Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

formule per situazioni più complesse che includono porzioni di superfici e segmenti.
Se n ∈ V IS è un versore,
I O,n := n · I O (n) , (5.11)
è detto momento d’inerzia di S rispetto all’asse per O parallelo a n. ♦
5.2.2 Terne principali d’inerzia.
Il tensore d’inerzia possiede un certo numero di proprietà che ne semplificano decisamente il
calcolo. Vedremo infatti tra poco che, per ogni fissato punto O solidale con un sistema rigido
S, esiste sempre una terna di assi spiccata da O rispetto alla quale la matrice che rappresenta
l’operatore I O assume forma diagonale ed è pertanto determinata da 3 coefficinti unicamente.
Tra le altre cose vedremo anche come determinare, con considerazioni di simmetria, queste terne
di assi.
La seguente proposizione illustra le principali proprietà del tensore d’inerzia.
Proposizione 5.3. Il tensore d’inerzia I O : V IS → V IS di un corpo rigido S (discreto,
continuo, o costituito da parti miste) soddisfa le seguenti proprietà.
(a) Si supponga che S sia l’unione di due sistemi rigidi S 1 e S 2 , assunti disgiunti se entrambi
discreti, oppure con S 1 ∩ S 2 di misura nulla, nel caso di S 1 , S 2 siano entrambi continui e della
stessa dimensione. In tal caso il tensore d’inerzia I O è la somma dei due tensori d’inerzia di S 1
e S 2 rispetto allo stesso punto O.
(b) I O è un operatore simmetrico, in altre parole, la matrice che lo rappresenta rispetto ad una
qualsiasi base ortonormale in V IS è simmetrica. I coefficienti I Oij di tale matrice, riferita alla
base ortonormale destrorsa e 1 , e 2 , e 3 , per comodità pensata come spiccata da O, hanno la forma
I Oij = e i · I O ( e j ) =
N∑
m k€x 2 (k) δ ij − x (k)i x (k)jŠ, (5.12)
k=1
se x K := P k − O per k = 1, . . . , N dove gli N punti P k con rispettive masse m K costituiscono
S, oppure
∫
I Oij = e i · I O ( e j ) = ρ(x)€x 2 δ ij − x i x jŠdv(x) , (5.13)
V S
per un corpo rigido continuo dato da una porzione di spazio V con densità di massa ρ, e valgono
analoghe espressioni per corpi rigidi continui individuati da porzioni di superficie o segmenti, o
di tipo più complesso.
(c) Se S non è costituito da punti allineati su un unico asse, I O è strettamente definito positivo.
In altre parole è definito positivo:
a · I O (a) ≥ 0
per ogni a ∈ V IS
e non degenere:
a · I O (a) = 0 implica a = 0.
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