Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

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corpo rigido come discreto. Le formule finali valgono anchye per il caso continuo, come si prova facilmente. Caso 1. A causa dei vincoli, nel riferimento solidale I S c’è un punto O che rimane in quiete con I . In questo caso, tenendo conto dell’identità a · b ∧ c = b · c ∧ a, abbiamo che: T | I = N∑ i=1 1 2 m iv i | I = N∑ i=1 = 1 ∑ m i [ω IS | I ∧ (P i − O)]·[ω IS | I ∧ (P i − O)] = ∑ 2 i i 1 2 m i [ω IS | I ∧ (P i − O)] 2 In definitiva, usando la definizione (5.6), abbiamo trovato che m i ω IS | I ∧·(P i −O)∧[ω IS | I ∧ (P i − O)] . T | I = 1 2 ω I S | I · I O (ω IS | I ) . (5.9) Caso 2. Il sistema rigido S è animato da moto arbitrario. In questa situazione possiamo usare il teorema di König (teorema 4.2), ottenendo che: T | I = 1 2 Mv G| 2 I + T | IG . Sopra, il riferimento I G è tale che in esso G sia in quiete, ed ulteriormente ω IG | I = 0 per definizione. Per calcolare T | IG possiamo allora usare il risultato precedente (visto che G è solidale con S ma anche in quiete con I G ) trovando T | IG = 1 2 ω I S | IG · I G (ω IS | IG ) . Dalla legge di composizione dei vettori ω abbiamo immediatamente (vedi proposizione 1.3)che ω IS | IG = ω IS | I . La formula finale è pertanto: T | I = 1 2 Mv G| 2 I + 1 2 ω I S | I · I G (ω IS | I ) . (5.10) Abbiamo visto come il tensore d’inerzia permetta di scrivere in termini compatti l’espressione per il momento angolare e per l’energia cinetica di un sistema rigido. Nella prossima sezione studieremo le proprietà del tensore d’inerzia in modo da renderne più facile il calcolo nei casi concreti. Concludiamo con la definizione formale di tensore d’inerzia e di momento d’inenrzia. Definizione 5.3. Si consideri un corpo rigido S e sia O un punto nello spazio di un riferimento I S solidale con S. Il tensore d’inerzia di S rispetto al punto O è l’operatore lineare I O : V IS → V IS definito dalla (5.6), se S è un sistema rigido discreto costituito da N punti materiali P i con rispettive masse m i , oppure dalla (5.7) nel caso in cui S sia un sistema rigido continuo definito nella porzione di spazio V S con densità di massa ρ S , oppure con le analoghe 141
formule per situazioni più complesse che includono porzioni di superfici e segmenti. Se n ∈ V IS è un versore, I O,n := n · I O (n) , (5.11) è detto momento d’inerzia di S rispetto all’asse per O parallelo a n. ♦ 5.2.2 Terne principali d’inerzia. Il tensore d’inerzia possiede un certo numero di proprietà che ne semplificano decisamente il calcolo. Vedremo infatti tra poco che, per ogni fissato punto O solidale con un sistema rigido S, esiste sempre una terna di assi spiccata da O rispetto alla quale la matrice che rappresenta l’operatore I O assume forma diagonale ed è pertanto determinata da 3 coefficinti unicamente. Tra le altre cose vedremo anche come determinare, con considerazioni di simmetria, queste terne di assi. La seguente proposizione illustra le principali proprietà del tensore d’inerzia. Proposizione 5.3. Il tensore d’inerzia I O : V IS → V IS di un corpo rigido S (discreto, continuo, o costituito da parti miste) soddisfa le seguenti proprietà. (a) Si supponga che S sia l’unione di due sistemi rigidi S 1 e S 2 , assunti disgiunti se entrambi discreti, oppure con S 1 ∩ S 2 di misura nulla, nel caso di S 1 , S 2 siano entrambi continui e della stessa dimensione. In tal caso il tensore d’inerzia I O è la somma dei due tensori d’inerzia di S 1 e S 2 rispetto allo stesso punto O. (b) I O è un operatore simmetrico, in altre parole, la matrice che lo rappresenta rispetto ad una qualsiasi base ortonormale in V IS è simmetrica. I coefficienti I Oij di tale matrice, riferita alla base ortonormale destrorsa e 1 , e 2 , e 3 , per comodità pensata come spiccata da O, hanno la forma I Oij = e i · I O ( e j ) = N∑ m k€x 2 (k) δ ij − x (k)i x (k)jŠ, (5.12) k=1 se x K := P k − O per k = 1, . . . , N dove gli N punti P k con rispettive masse m K costituiscono S, oppure ∫ I Oij = e i · I O ( e j ) = ρ(x)€x 2 δ ij − x i x jŠdv(x) , (5.13) V S per un corpo rigido continuo dato da una porzione di spazio V con densità di massa ρ, e valgono analoghe espressioni per corpi rigidi continui individuati da porzioni di superficie o segmenti, o di tipo più complesso. (c) Se S non è costituito da punti allineati su un unico asse, I O è strettamente definito positivo. In altre parole è definito positivo: a · I O (a) ≥ 0 per ogni a ∈ V IS e non degenere: a · I O (a) = 0 implica a = 0. 142
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