Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

5.2.1 Il tensore d’inerzia
Per introdurre il tensore d’inerzia, cominciamo la discussione ricavendo l’espressione del momento
angolare Γ O | I di un corpo rigido rispetto ad un riferimento I ed al polo O, esaminando
due casi. Nel seguito I S indicherà un sistema di riferimento solidale con il corpo rigido S che
per comodità supporremo di tipo discreto e costituito da N punti materiali P i di masse m i , ma
le relazioni trovate sono valide anche nel caso di corpi rigidi continui sostituendo, nelle dimostrazioni,
un’integranzione al posto della sommatoria.
Caso 1. Il polo O è in quiete con il corpo rigido. In questo caso abbiamo che
N∑
N∑
Γ O | I = (P i − O) ∧ m i v i | I = (P i − O) ∧ m i [v O | I + ω IS | I ∧ (P i − O)] .
i=1
i=1
Pertanto, se M = ∑ i m i è la massa totale del corpo rigido, vale
Γ O | I = M(G − O) ∧ v O | I + I O (ω IS | I
) (5.5)
dove abbiamo introdotto il tensore d’inerzia del corpo rigido S rispetto al punto O, I O :
V IS → V IS con
N∑
I O (a) := m i (P i − O) ∧ [a ∧ (P i − O)] , per ogni a ∈ V IS . (5.6)
i=1
Nel caso continuo, per esempio volumetrico, avremmo invece
∫
I O (a) = ρ V (P )(P − O) ∧ [a ∧ (P − O)] dv(P ) , per ogni a ∈ V IS . (5.7)
V S
Caso 2. Il polo O è in moto arbitrario. In questo caso abbiamo che
N∑
N∑
N∑
Γ O | I = (P i − O) ∧ m i v i | I = (P i − G) ∧ m i v i | I + (G − O) ∧ m i v i | I .
i=1
i=1
i=1
Ora possiamo ridurci al caso precedente per quanto riguarda il termine ∑ i(P i − G) ∧ m i v i | I a
secondo membro, notando che, a causa della rigidità di S, il centro di massa G di S sarà sempre
solidale con S. Pertanto si ricava:
In definitiva:
Γ O | I = M(G − G) ∧ v G | I + I G (ω IS | I ) + M(G − O) ∧ v G | I .
Γ O | I = M(G − O) ∧ v G | I + I G (ω IS ) . (5.8)
Mostrimamo ora che anche l’energia cinetica di S si può esprimere tramite un’espressione che
contiene ancora il tensore d’inerzia. Anche in questo caso esaminamo due casi supponendo il
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