Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

e G O ′ tramite:
allora:
G O − G O ′ = (O − O ′ ) + 1 M
∫
M(G O ′ − O ′ ) =
∫
V
V
ρ(P )(P − O ′ ) dv(P ) ,
ρ(P )(P − O)dv(P ) − 1 M
= (O − O ′ ) − (O − O ′ ) = 0 .
∫
V
ρ(P )(P − O ′ ) dv(P )
(2) Se v G | I è la velocità del centro di massa nel riferimento I per un sistema di punti materiali
di massa totale M, allora vale la relazione
P| I = Mv G | I . (5.2)
In altre parole: l’impulso totale del sistema è quello che avrebbe un singolo punto materiale di
massa M concentrata nel centro di massa del sistema.
La verifica di ciò è immediata, scegliendo una linea di universo O = O(t), derivando membro
a membro nel tempo l’identità M(G(t) − O(t)) = ∫ V
ρ(P )(P − O(t)) dv(P ) e tenendo conto di
M = ∫ V
ρ(P ) dv(P ).
(3) Dalla definizione di centro di massa segue che, se dividiamo un sistema in un numero finito
di sottosistemi, il centro di massa del sistema complessivo risulta essere il centro di massa
di un sistema di punti materiali costituito dai centri di massa dei singoli sottosistemi dotati,
rispettivamente, delle masse totali dei sottosistemi come masse dei punti materiali.
(4) Dalla definizione di centro di massa si evince che il centro di massa di un sistema rigido
continuo appartiene sempre ad ogni piano di simmetria del sistema.
(5) Esattamente come nel caso di sistemi costituiti da un numero finito di punti materiali, anche
per i corpi rigidi continui si dimostrano facilmente le seguenti relazioni sostituendo le sommatorie
con appropriati integrali (vedi gli esercizi 4.1 e le corrispondenti soluzioni). Passando dal polo O
al polo O ′ , ma rimanendo nello stesso riferimento I , vale la legge di trasformazione del momento
della quantità di moto (al tempo t ∈ R fissato):
Γ O | I = Γ O ′| I + (O ′ − O) ∧ P| I . (5.3)
In particolare, scegliendo O ′ = G, Γ O | I si può sempre scrivere la somma del momento angolare
totale in I rispetto a G e del momento angolare di un unico punto materiale di posizione G
avente massa pari alla massa totale del sistema:
Γ O | I = Γ G | I + (G − O) ∧ P| I . (5.4)
5.2 Il tensore d’inerzia e le sue proprietà.
Introduciamo ora un utilissimo strumento matematico che ci permetterà di formulare in modo
particolarmente chiaro tutte le grandezze che appaiono nelle leggi meccaniche riguardati un
corpo rigido S (continuo o no), in particolare le equazioni cardinali della dinamica. Si tratta
di un operatore lineare I O dallo spazio dei vettori liberi del riferimento solidale con S, V IS , a
valori in V IS stesso, detto tensore d’inerzia, dipendente dalla scelta di un punto O ∈ E IS .
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