Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

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cambiando sistema di coordinate cartesiane ortonormali, la matrice jacobiana della trasformazione di coordinate coincide con una matrice di rotazione R ∈ O(3) e che detR = 1, la misura dv risulta effettivamente invariante sotto cambio di coordinate cartesiane ortonormali ed è pertanto ben definita. Tale misura, ovviamente, induce una misura in ogni spazio di quiete E I di ogni sistema di riferimento I nello spaziotempo, in virtù dell’identificazione di E I con Σ t . In modo del tutto analogo, possiamo definire una misura naturale di superfici immerse in ogni Σ t e di lunghezza di curve (rettificabili) immerse in ogni Σ t . Tali misure coincidono con le analoghe definite negli spazi di quiete dei sistemi di riferimento dello spaziotempo. Con le misure definite risulta facilmente che gli insiemi compatti (segmenti, porzioni di piano e porzioni di spazio) hanno misura finita nelle corrispondenti misure. Nel seguito considereremo una generalizzazione elementare della nozione di corpo rigido, data dalla nozione di corpo rigido continuo. Intenderemo con ciò un sistema fisico S descritto nello spazio di quiete E IS , di un sistema di riferimento I S da un insieme connesso, chiuso e limitato C ⊂ E IS . C potrà essere costituito dall’unione finita di segmenti, dall’unione finita di porzioni di piano, dall’unione finita di porzioni di spazio, oppure dall’unione di un numero finito di insiemi dei tre tipi detti. Le uniche porzioni di piano o spazio che considereremo saranno date dalla chiusura di insiemi aperti limitiati, la cui frontiera è una curva o una superficie continua e C ∞ a tratti rispettivamente. Ciascuno dei segmenti I sarà dotato di una massa, m I ∈ [0, +∞), ottenuta integrando una densità di massa lineare, data da una funzione continua λ I strettamente positiva, definita sul segmento. Ciascuno delle porzioni di piano Σ sarà dotata di una massa, m Σ ∈ [0, +∞), ottenuta integrando una densità di massa superficiale, data da una funzione continua σ Σ strettamente positiva, definita sulla porzione di superficie. Ciascuno delle porzioni di spazio V sarà dotata di una massa, m V ∈ [0, +∞), ottenuta integrando una densità di massa lineare, data da una funzione continua ρ V strettamente positiva, definita sulla porzione di spazio. Gli integrali sono ovviamente da riferirsi alle nozioni di misura descritte inizialmente. Nel caso in cui il corpo rigido continuo sia costituito da un solo segmento, una sola porzione di suprficie, oppure una sola porzione di spazio e la corrispondente densità di massa sia una funzione costante, il corpo rigido continuo è detto omogeneo. Supporremo inoltre che le forze esterne agenti sul corpo rigido continuo siano in numero finito e agiscano su punti assegnati del corpo. Non considereremo pertanto densità di forze. La trattazione delle forze interne sarebbe ben più complessa e non è possibile fare a meno delle densità di forze, volendole trattare. Noi non avremo bisogno di fare ciò perché sarà sufficiente, generalizzando il risultato dimostrato per i sistemi di punti discreti e la proposizione 5.2, assumere che la risultante delle forze interne, la risultante dei momenti rispetto ad un qualsiasi punto O e riferimento I , la potenza totale delle forze interne rispetto ad un qualsiasi riferimento siano tutte nulle. Definizione 5.2. Si consideri corpo rigido continuo S individuato dalla regione di spazio V (la chiusura di un aperto non vuoto) nello spazio di quiete di un riferimento solidale con S. Sia I un secondo sistema di riferimento in modo tale che, al variare del tempo il sistema S sia descritto dalla classe di regioni {V (t) ⊂ E I | t ∈ R}. Sia infine ρ la densità di massa di S e 137
M := ∫ V ρ(P ) dv(P ) = ∫ V (t) ρ(Q) dv(Q) la massa totale del sistema S dove dv indica la misura standard di Lebesgue su Σ t indotta da quella di R 3 . Si danno le seguenti definizioni. (a) Il centro di massa del sistema S al tempo t ∈ R, G(t) è il punto (non necessariamente un punto materiale del sistema) individuato su ogni Σ t dall’equazione: ∫ M(G(t) − O) = (P − O) ρ(P ) dv(P ) , V (t) dove O ∈ Σ t è un punto qualsiasi. (b) L’impulso (totale) o quantità di moto (totale) del sistema S rispetto ad I al tempo t è il vettore di V t : ∫ P| I (t) := ρ(P )v P | I (t) dv(P ) . V (t) (c) Se O = O(t) è una qualsiasi linea di universo (non necessariamente quella del punto (b)) e I è un sistema di riferimento, il momento angolare (totale) o momento della quantità di moto (totale) del sistema rispetto al polo O ed ad I al tempo t è il vettore di V t : ∫ Γ O | I (t) := ρ(P )(P − O(t)) ∧ v P | I (t) dv(P ) . ♦ V (t) Nel seguito ometteremo, al solito, di scrivere la dipendenza temporale se non sarà necessario esplicitarla. L’importanza delle quantità definite sopra è essenzialmente legata al fatto che, sotto determinate ipotesi e per un fissato sistema meccanica, tali quantità si conservano nel tempo o appaiono nelle espressioni definitorie di quantità che si conservano nel tempo. In molti casi, la conoscenza dei valori di grandezze conservate nel tempo fornisce importanti informazioni sul moto del sistema, anche se non si riesce a risolvere esplicitamente l’equazione del moto. Le definizioni date si possono facilmente estendere al caso di sistemi rigidi continui definiti da segmenti, da porzioni di superfici o costituiti da unioni di porzioni di volumi, di porzioni di superfici e segmenti. Osservazioni 5.2. (1) La definizione di G è ben posta, nel senso che G è univocamente determinato, una volta fissato O, da: G := O + 1 ∫ ρ(P )(P − O) dv(P ) , M inoltre G non dipende dalla scelta di O. Infatti, se definiamo G O tramite: ∫ M(G O − O) = ρ(P )(P − O) dv(P ) , V V 138
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