Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

cambiando sistema di coordinate cartesiane ortonormali, la matrice jacobiana della trasformazione
di coordinate coincide con una matrice di rotazione R ∈ O(3) e che detR = 1, la misura dv
risulta effettivamente invariante sotto cambio di coordinate cartesiane ortonormali ed è pertanto
ben definita. Tale misura, ovviamente, induce una misura in ogni spazio di quiete E I di ogni
sistema di riferimento I nello spaziotempo, in virtù dell’identificazione di E I con Σ t .
In modo del tutto analogo, possiamo definire una misura naturale di superfici immerse in ogni Σ t
e di lunghezza di curve (rettificabili) immerse in ogni Σ t . Tali misure coincidono con le analoghe
definite negli spazi di quiete dei sistemi di riferimento dello spaziotempo. Con le misure definite
risulta facilmente che gli insiemi compatti (segmenti, porzioni di piano e porzioni di spazio)
hanno misura finita nelle corrispondenti misure.
Nel seguito considereremo una generalizzazione elementare della nozione di corpo rigido, data
dalla nozione di corpo rigido continuo. Intenderemo con ciò un sistema fisico S descritto nello
spazio di quiete E IS , di un sistema di riferimento I S da un insieme connesso, chiuso e limitato
C ⊂ E IS . C potrà essere costituito dall’unione finita di segmenti, dall’unione finita di porzioni
di piano, dall’unione finita di porzioni di spazio, oppure dall’unione di un numero finito di insiemi
dei tre tipi detti. Le uniche porzioni di piano o spazio che considereremo saranno date dalla
chiusura di insiemi aperti limitiati, la cui frontiera è una curva o una superficie continua e C ∞ a
tratti rispettivamente. Ciascuno dei segmenti I sarà dotato di una massa, m I ∈ [0, +∞), ottenuta
integrando una densità di massa lineare, data da una funzione continua λ I strettamente
positiva, definita sul segmento. Ciascuno delle porzioni di piano Σ sarà dotata di una massa,
m Σ ∈ [0, +∞), ottenuta integrando una densità di massa superficiale, data da una funzione
continua σ Σ strettamente positiva, definita sulla porzione di superficie. Ciascuno delle porzioni
di spazio V sarà dotata di una massa, m V ∈ [0, +∞), ottenuta integrando una densità di
massa lineare, data da una funzione continua ρ V strettamente positiva, definita sulla porzione
di spazio. Gli integrali sono ovviamente da riferirsi alle nozioni di misura descritte inizialmente.
Nel caso in cui il corpo rigido continuo sia costituito da un solo segmento, una sola porzione
di suprficie, oppure una sola porzione di spazio e la corrispondente densità di massa sia una
funzione costante, il corpo rigido continuo è detto omogeneo.
Supporremo inoltre che le forze esterne agenti sul corpo rigido continuo siano in numero finito
e agiscano su punti assegnati del corpo. Non considereremo pertanto densità di forze.
La trattazione delle forze interne sarebbe ben più complessa e non è possibile fare a meno delle
densità di forze, volendole trattare. Noi non avremo bisogno di fare ciò perché sarà sufficiente,
generalizzando il risultato dimostrato per i sistemi di punti discreti e la proposizione 5.2, assumere
che la risultante delle forze interne, la risultante dei momenti rispetto ad un qualsiasi punto
O e riferimento I , la potenza totale delle forze interne rispetto ad un qualsiasi riferimento siano
tutte nulle.
Definizione 5.2. Si consideri corpo rigido continuo S individuato dalla regione di spazio V
(la chiusura di un aperto non vuoto) nello spazio di quiete di un riferimento solidale con S. Sia
I un secondo sistema di riferimento in modo tale che, al variare del tempo il sistema S sia
descritto dalla classe di regioni {V (t) ⊂ E I | t ∈ R}. Sia infine ρ la densità di massa di S e
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