Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

momenti M O rispetto ad un punto O in quiete con S. La potenza totale del sistema di forze
considerato, rispetto ad un arbitrario sistema di riferimento I soddisfa:
Π| I = ω IS | I · M O + v 0 | I · R . (5.1)
In particolare, la potenza complessiva delle forze interne agenti su S è sempre nulla indipendentemente
dal riferimento I .
Dimostrazione. Se f i , per i = 1, . . . , N è il sistema di forze considerato, dove f i agisce sull’iesimo
punto, P i , di S che possiede velocità v i | I rispetto a I , vale in virtù delle note relazioni
cinematiche ottenute nella sezione 1.4.2:
N∑
N∑
Π| I = f i · v i | I = f i · (v 0 | I + ω IS | I ∧ (P i − O)) ,
i=1
i=1
dove si è tenuto conto del fatto che v i | IS = 0 per definizione di sistema di riferimento solidale
con S. La formula ottenuta porta immediatamente alla (5.1). Nel caso in cui il sistema di forze
è costituito dalle forze interne agenti su S, come sappiamo dalla sezione 4.1.2. la risultante di
tali forze e la risultante dei momenti è nulla e pertanto vale anche l’ultima affermazione della
proposizione. ✷
Per un corpo rigido S, escludendo il caso patologico in cui i punti di S giacciono su un unico segmento,
i gradi di libertà sono tutti e soli quelli necessari e sufficienti a determinare un sistema di
riferimento I S solidale con S. Infatti, se è nota la configurazione di S in un riferimento solidale
I S , la configurazione di S sarà determinata in ogni altro riferimento I , quando è conosciuta la
relazione che individua I S rispetto ad I . In definitiva, per determinare, istante per istante, la
configurazione di S nel riferimento I bisogna conoscere 6 parametri. Per esempio le 3 coordinate
dell’origine di un sistema di assi cartesiani solidali con I S e i 3 angoli di Eulero (vedi esercizi
1.4) che individuano tali assi rispetto agli assi di un analogo sistema di coordinate solidale con
I . Le due equazioni cardinali della dinamica coinvolgono 6 funzioni incognite (e le loro derivate)
che portano le stesse informazioni dei 6 gradi di libertà suddetti. Una volta assegnate le forze
esterne agenti su un sistema rigido in funzione di tali gradi di libertà (e delle loro derivate prime),
in linea di principio le equazioni cardinali della dinamica determinano il moto di un corpo
rigido. Nel caso in cui sono anche presenti reazioni vincolari (non interne), sarà anche necessario
assegnare qualche relazione costitutiva del vincolo per ottenere equazioni pure di movimento.
5.1.2 Corpi rigidi continui.
Su ogni spazio al tempo assoluto Σ t c’è una misura naturale di volume dv associata alla struttura
di spazio affine euclideo. Il modo più semplice di definire tale misura è quello di pensarla come
indotta da un qualunque sistema di coordinate cartesiane ortonormali su Σ t , semplicemente
definendo dv := dx 1 dx 2 dx 3 , dove dx 1 dx 2 dx 3 è l’ordinaria misura di lebesgue su R 3 . Dato che
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