Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

E O è dunque un ellissoide di centro O e semiassi I −1/2
O1
, I −1/2
O2
, I −1/2
O3
. Tra poco sarà anche comodo
ricordare che il vettore normale all’ellissoide d’inerzia, nelle coordinate considerate si esprime
come:
N(ˆx 1 , ˆx 2 , ˆx 3 ) = 2I 01ˆx 1 ê 1 + 2I 02ˆx 2 ê 2 + 2I 03ˆx 3 ê 3 ,
e cioè, se x = P − O individua un punto su E O ,
N(x) = 2I O (x) . (5.42)
Nel seguito assumeremo di lavorare nella situazione in cui S è vincolato a mantenere O in quiete
con il riferimento non soidale I e non ci sono forze esterne su S eccettuata la reazione vincolare
in O, in modo tale che valgano le equazioni di Poinsot (5.29).
Sappiamo che tali equazioni corrispondono alla seconda equazione cardinale della dinamica dei
sistemi e, nel caso in esame, stabiliscono che Γ O | I è costante nel tempo in I . Pertanto è
conveniente scegliere un sistema di coordinate cartesiane ortonormali per I centrato in O e con
asse e 3 parallelo a Γ O | I . Per futura convenenza scegliamo e z in modo che Γ O | I = Γ e z dove
Γ > 0 è una costante (il caso banale Γ = 0 corrisponde alla quiete di S in I ).
Al solito ω(t) := ω IS | I (t) e le componenti di tale vettore sulla terna principale d’inerzia di
S rispetto ad O menzionata sopra sono le funzioni ˆω i che compaiono nell’equazione di Poinsot
(5.29). Vogliamo ora studiare quanlitativamente l’evoluzione del vettore ω = ω(t) che risolve le
equazioni di Poinsot. A tal fine introduciamo il nuovo vettore normalizzato
x(t) :=
ω(t) È2T | I
.
Si noti che l’energia cinetica di S rispetto a I : T | I := 1 2 ω · I O(ω) è una costante del del
quadrato e sia sottoposto alla forza di gravità individuata dal vettore di accelerazione costante
verticale g diretto verso il basso. moto, dato che l’unica forza esterna che agisce su S è la
reazione vincolare che agisce in O che è in quiete nel riferimento I e pertanto non compie
lavoro. Studieremo l’evoluzione qualitativa, nel tempo, del vettore normalizzato x = x(t) invece
che del vettore ω(t).
Dato che 2T | I = I O1 ˆω 1 2 + I O2 ˆω 2 2 + I O3 ˆω 3 2 , deve anche essere
x · I O (x) = 1 (5.43)
e pertanto, il vettore x(t) giace, istante per istante, sull’ellissoide d’inerzia. Si osservi che tuttavia
non rimane fermo su tale ellissoide, ma in generale la sua posizione su E O varierà nel tempo.
Dato che E O è solidale con S e con I S , questo significa che x(t) si muoverà sia rispetto a I che
rispetto a I S .
Un ulteriore informazione sul comportamento di x si ricava notando che
)
x(t) · e 3 = Γ −1 x(t) · Γ O | I = Γ −1 | I
x(t) · I O
(ΓÈ2T | I x(t) =È2T
Γ
(5.44)
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