Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

da tue termini sommati. Un termine è costante (nel riferimento I ), ed è diretto lungo e 3 . Tale
termine è detto termine di precessione
ω pre := Γ I e 3 = Γ O| I
. (5.39)
I
Il termine rimanente
ω rot := I − I O3 Γ
cos θê 3 (t) (5.40)
I I O3
è detto termine di rotazione. Si osservi che ω rot ha modulo costante ed è diretto lungo l’asse
giroscopico ê 3 di S. L’asse ê 3 ruota, ovvero in gergo precede, attorno ad e 3 (cioè Γ O | I ) con un
vettore ω dato proprio da ω pre , essendo banalmente:
d
dt
∣ ê 3 (t) = ω ∧ ê 3 = ω pre ∧ ê 3 + 0 .
I
Dato che ω pre è costante nel tempo, la punta di ê 3 (t) ruota attorno a e 3 a velocità angolare
costante.
Dalla (5.38) si evince anche che ω, Γ O | I , ê 3 sono sempre vettori complanari.
Nel caso in cui I = I O3 (in particolare, dunque, per corpi totalmente giroscopici), accade che
ω rot = 0. Questo significa che il moto avviene senza precessione di ω attorno a Γ O | I , ma i due
vettori sono sempre paralleli.
Osservazioni 5.6. Il moto di un corpo rigido S in un riferimento I , che avvenga in modo
tale che un punto O solidale con S sia sempre fermo in I , è detto moto di precessione
quando ω IS | I = ω pre + ω rot , dove il termine di precessione ω pre ha versore costante nel tempo
nel riferimento I , mentre il termine di rotazione ω rot ha versore costante nel riferimento I S
solidale con S. Il moto di precessione è quindi detto regolare quando i due termini di precessione
e rotazione hanno anche modulo costante nel tempo. I moti alla Poinsot studiati sopra erano
quindi precessioni regolari.
5.3.5 Moti alla Poinsot per corpi non giroscopici.
Considereremo nuovamente solo sistemi rigidi in cui i momenti principali d’inerzia sono tutti
non nulli (quindi sistemi rigidi non allineati lungo un unico asse), ed esaminamo la la situazione
più generica in cui, nelle equazioni (5.30), I O1 , I O2 , I O3 siano tutti, in generale, differenti.
Per prima cosa introduciamo il cosiddetto ellissoide d’inerzia. Dato un corpo rigido S, sia O
solidale con S e I O il tensore d’inerzia riferito ad O. La superficie E O dei punti P ∈ E IS per i
quali vale l’equazione:
(P − O) · I O (P − O) = 1 (5.41)
è detta ellissoide d’inerzia di S rispetto ad O. Si noti che E O è davvero un ellissoide: scegliendo
una terna principale d’inerzia centrata in O con assi ê 1 , ê 2 , ê 3 , se P −O = x = ˆx 1 ê 1 + ˆx 2 ê 2 + ˆx 3 ê 3
e i momenti pricipali d’inerzia sono I O1 , I O2 , I O3 , l’equazione di E O è data da
ˆx 2 1
I −1
O1
+ ˆx2 2
I −1
O2
+ ˆx2 3
I −1
O3
156
= 1 .