Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

Tornando alle variabili reali, la soluzione generale di (5.31) si può scrivere come:
ω(t) = Ω cos
I − I O3
I
ˆω 3 t‹ê 1 − Ω sin
I − I O3
I
ˆω 3 t‹ê 2 + ˆω 3 ê 3 , per ogni t ∈ R, (5.33)
dove ˆω 1 , Ω ∈ R sono costanti fissate arbitrariamente.
La soluzione (5.33) non è ancora espressa in modo fisicamente interessante, dato che è spressa
rispetto alla la terna solidale con S, invece che rispetto alla terna e 1 , e 2 , e 3 solidale con I , nel
quale si descrive il moto di S. Vogliamo esprimere la soluzione (5.33) in modo che sia più chiaro
il moto di rotazione di S in I . Dato che siamo liberi di fissare a piacimento tale Studiamo
ora soluzioni delle equazioni di Poinsot meno banali delle rotazioni permanenti. Considereremo
solo sistemi in cui i momenti principali d’inerzia sono tutti non nulli (quindi sistemi rigidi non
allineati lungo un unico asse). Consideriamo la situazione in cui, nelle equazioni (5.30) valga
I O1 = I O2 =: I.terna, e dato che il momento angolare Γ O | I è costante nel tempo per I (è proprio
questo fatto che esprimono le equazioni di Poinsot!), scegliamo e 3 in modo che Γ O | I = Γ e 3
con Γ > 0 (tralasciamo di studiare il caso limite in cui Γ O | I = 0). Mostriamo ora che l’angolo
θ che ê 3 individua rispetto a e 3 è costante nel tempo. Dato che vale la decomposizione di
Γ O | I = I O (ω) sulla terna principale d’inerzia di S rispetto a O:
abbiamo anche che
Γ O | I = I ˆω 1 ê 1 + I ˆω 2 ê 2 + I O3 ˆω 3 ê 3 (5.34)
I 3 ˆω 3 = Γ O | I · ê 3 = Γ cos θ .
D’altra parte, essendo I 3 , ˆω 3 , Γ delle costanti, deve essere costante θ. Abbiamo anche trovato
che
ˆω 3 = Γ cos θ
I O3
. (5.35)
Usando (5.35) possiamo eliminare ˆω 3 nella (5.33), che si riduce a
ω(t) = Ω cos
I − I O3
I
ˆω 3 t‹ê 1 − Ω sin
I − I O3
I
ˆω 3 t‹ê 2 + Γ cos θ
I O3
ê 3 , per ogni t ∈ R, (5.36)
Sostituendo (5.35) anche in (5.34) troviamo:
Γ O | I = I ˆω 1 ê 1 + I ˆω 2 ê 2 + Γ cos θe 3 . (5.37)
Confrontando questa identità con (5.36) si arriva alla formula:
ω(t) = Γ I e 3 + I − I O3
I
Γ
I O3
cos θê 3 (t) . (5.38)
Si osservi che, nel secondo membro di (5.38), solo il versore ê 3 evolve nel tempo nel riferimento
I . In definitiva, la soluzione (5.38) delle equazioni di Poinsot nel caso considerato è costituita
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