Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

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del prim’ordine (non lineare) nella funzione a valori vettoriali ω = ω(t). È chiaro che si tratta di un’equazione scritta in forma normale e con secondo membro di classe C ∞ e pertanto possiamo applicare i teoremi di esitenza ed unicità delle soluzioni. 5.3.3 Rotazioni permanenti. Come vedremo più generalmente nel capitolo 6, i punti singolari del sistema del prim’ordine (5.30), cioè le configurazioni ω 0 che annullano il secondo memebro, corrispondono alle soluzioni con ω(t) = ω 0 costantemente, sia in I che I S , in modulo, direzione e verso. Questo genere di soluzioni sono dette rotazioni permanenti. Dato che I −1 O è una funzione iniettiva, il secondo membro di (5.30) si può annullare per ω = ω 0 se e solo se: ω 0 ∧ I O (ω 0 ) = 0 . Questo significa che ω 0 e I O (ω 0 ) sono vettori paralleli. Abbiamo provato che ω = ω(t) = ω 0 costante per t ∈ R è una rotazione permanente se e solo se, per qualche λ ∈ R I O (ω 0 ) = λω 0 . In altre parole le rotazioni permanenti individuano autovettori di I O se non corrispondono a ω 0 = 0, oppure la rotazione banale ω 0 = 0. Ogni autovettore di un operatore simmetrico definito su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita appartiene ad una base di tale spazio fatta di autovettori dello stesso operatore 1 . Pertanto il versore di ω 0 ≠ 0 è sempre un elemento di una terna principale d’inerzia per S rispetto ad O. Concludiamo che vale la seguente proposizione. Proposizione 5.5. Per un corpo rigido S non costituito da punti allineati lungo un unico asse, e le cui equazioni del moto sono quelle di Poinsot (5.30), le soluzioni di tipo rotazione permanente: ω(t) = ω 0 per ogni t ∈ R, si hanno se e solo se il vettore costante ω 0 è diretto lungo un asse principali d’inerzia, oppure per ω 0 = 0. Osservazioni 5.5. (1) Si noti che la proposizione di sopra si riferisce ad ogni asse principale d’inerzia uscente da O e non solo a quelli della terna principale d’inerzia scelta per scrivere le equazioni di Eulero. Infatti, in presenza di qualche simmetria attorno ad O, potrebbero esserci più terne principali d’inerzia rispetto allo stesso O. Per esempio, in un cubo omogeneo ogni asse che esce dal suo centro (che coincide con il centro di massa) è un asse principale d’inerzia. (2) Applicando la teoria della stabilità che svilupperemo nel capitolo 6, si può provare che nel caso i tre momenti principali d’inerzia di una terna principale d’inerzia per S rispetto ad O 1 La prova di ciò si ha proprio dalla procedura ricorsiva con la quale si può dimostrare il teorema citato di diagonalizzazione per operatori simmetrici. 153
soddisfino I O1 alla rotazione permanente banale con ω 0 = 0. Le rotazioni permanenti attorno all’asse con momento d’inerzia di valore intermedio sono invece instabili. Per sviluppare queste considerazioni è importante notare che, riferendosi al caso in cui S è vincolato a I per il solo punto O e non agiscono altre forze se non la reazione vincolare in O, si hanno contemporaneamente due leggi di conservazione: Γ O | I = costante, da cui Γ O | 2 I = costante e T | I = costante. La prima deriva dalla seconda equazione cardinale e la seconda dal fatto che l’unica forza che agisce non compie lavoro. Il vettore ω(t) = ω IS | I (t) che risolve le equazioni di Poinsot deve, di conseguenza, giacere sull’intersezione di due superfici individuate dalle condizioni iniziali: (I O (ω(t))) 2 = (I O (ω(t 0 ))) 2 e ω(t) · I O (ω(t)) = ω(t 0 ) · I O (ω(t 0 )). Riferendosi ad una terna principale d’inerzia rispetto ad O e definendo, nelle coordinate cartesiane ortonormali associate a tale terna, ˆx i := I Oi Γ ˆω i dove, Γ := ||Γ O | I (t 0 )|| e le ˆω i sono le componenti di ω, le due superfici dette sopra hanno equazione, rispettivamente: 3∑ ˆx 2 i = 1 , i=1 3∑ i=1 Γ 2 2I 0i T | I (t 0 ) ˆx2 i = 1 . Si tratta dunque dell’intersezione di una sfera e di un ellissoide. L’evoluzione di ω(t) (riscalato con fattori costanti come indicato prima) deve avvenire su tale intersezione di superfici. 5.3.4 Moti alla Poinsot per corpi giroscopici. Studiamo ora soluzioni delle equazioni di Poinsot meno banali delle rotazioni permanenti. Considereremo solo sistemi in cui i momenti principali d’inerzia sono tutti non nulli (quindi sistemi rigidi non allineati lungo un unico asse). Consideriamo la situazione in cui, nelle equazioni (5.30) valga I O1 = I O2 =: I. Lavoriamo dunque con un corpo giroscopico con asse giroscopico individuato da ê 3 . In questo caso le equazioni di Poinsot per ω := ω IS |I risultano essere: ⎧ I dˆω 1 = (I − I O3 )ˆω 2 ˆω 3 = 0 , ⎪⎨ dt I dˆω 2 = −(I O3 − I)ˆω 3 ˆω 1 = 0 , (5.31) dt dˆω ⎪⎩ 3 I O3 = 0 . dt Assumeremo per il momento che I ≠ I 03 , alla fine diremo cosa accade in questo caso limite. La prima equazione ha l’unica soluzione banale ω 3 costante nel tempo. Se definiamo z := ˆω 1 +iˆω 2 , moltiplichiamo per i ambo i memebri della seconda equazione, e sommiamo il risultato memebro a membro con la prima equazione, le prime due equazioni si possono scrivere nell’unica equazione La soluzione (massimale e completa) sarà quindi della forma: I dz dt = −i(I − I O3)ˆω 3 z . (5.32) z(t) = z(0)e −i I−I O3 I ˆω 3 t . 154
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