Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

del prim’ordine (non lineare) nella funzione a valori vettoriali ω = ω(t). È chiaro che si tratta di
un’equazione scritta in forma normale e con secondo membro di classe C ∞ e pertanto possiamo
applicare i teoremi di esitenza ed unicità delle soluzioni.
5.3.3 Rotazioni permanenti.
Come vedremo più generalmente nel capitolo 6, i punti singolari del sistema del prim’ordine
(5.30), cioè le configurazioni ω 0 che annullano il secondo memebro, corrispondono alle soluzioni
con ω(t) = ω 0 costantemente, sia in I che I S , in modulo, direzione e verso. Questo genere di
soluzioni sono dette rotazioni permanenti. Dato che I −1
O è una funzione iniettiva, il secondo
membro di (5.30) si può annullare per ω = ω 0 se e solo se:
ω 0 ∧ I O (ω 0 ) = 0 .
Questo significa che ω 0 e I O (ω 0 ) sono vettori paralleli. Abbiamo provato che ω = ω(t) = ω 0
costante per t ∈ R è una rotazione permanente se e solo se, per qualche λ ∈ R
I O (ω 0 ) = λω 0 .
In altre parole le rotazioni permanenti individuano autovettori di I O se non corrispondono a
ω 0 = 0, oppure la rotazione banale ω 0 = 0. Ogni autovettore di un operatore simmetrico definito
su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita appartiene ad una base di tale spazio fatta
di autovettori dello stesso operatore 1 . Pertanto il versore di ω 0 ≠ 0 è sempre un elemento di una
terna principale d’inerzia per S rispetto ad O. Concludiamo che vale la seguente proposizione.
Proposizione 5.5. Per un corpo rigido S non costituito da punti allineati lungo un unico
asse, e le cui equazioni del moto sono quelle di Poinsot (5.30), le soluzioni di tipo rotazione
permanente:
ω(t) = ω 0 per ogni t ∈ R,
si hanno se e solo se il vettore costante ω 0 è diretto lungo un asse principali d’inerzia, oppure
per ω 0 = 0.
Osservazioni 5.5.
(1) Si noti che la proposizione di sopra si riferisce ad ogni asse principale d’inerzia uscente da
O e non solo a quelli della terna principale d’inerzia scelta per scrivere le equazioni di Eulero.
Infatti, in presenza di qualche simmetria attorno ad O, potrebbero esserci più terne principali
d’inerzia rispetto allo stesso O. Per esempio, in un cubo omogeneo ogni asse che esce dal suo
centro (che coincide con il centro di massa) è un asse principale d’inerzia.
(2) Applicando la teoria della stabilità che svilupperemo nel capitolo 6, si può provare che nel
caso i tre momenti principali d’inerzia di una terna principale d’inerzia per S rispetto ad O
1 La prova di ciò si ha proprio dalla procedura ricorsiva con la quale si può dimostrare il teorema citato di
diagonalizzazione per operatori simmetrici.
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