Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

Proposizione 5.1. Un sistema di punti materiali S è un corpo rigido se e solo se esiste un
sistema di riferimento I S in cui i punti di S risultano sempre in quiete. Il riferimento I S è
detto essere solidale con S ed il vettore ω IS | I , dove I è un arbitrario sistema di riferimento,
è detto vettore ω di S rispetto a I .
Dimostrazione. Se esiste un sistema di riferimento I S in cui tutti i punti di S appaiono in
quiete, le distanze tra i punti costituenti S saranno indipendenti dal tempo e pertanto costanti
nel tempo. Dato che le distanze sono assolute cioò accadrà in ogni altro riferimento (e rispetto
alla distanza assoluta su ogni spazio assoluto al tempo t), pertanto S sarà un corpo rigido.
Supponiamo viceversa che S sia un corpo rigido. Se S continene almeno tre punti distinti non
allineati P 1 , P 2 , P 3 ad un certo istante, ortonormalizzando la base di vettori P 1 − P 2 , P 3 − P 2 ,
(P 1 −P 2 )∧(P 3 −P 2 ) (eventualmente cambiandone l’orientamento) e scegliendo uno dei tre punti
come origine O, si individua un sistema di riferimento I S in cui i tre vettori detti risulteranno
sempre essere in quiete. La base vettoriale suddetta e l’origine O definiscono un sistema di
coordinate cartesiane ortonormali in quiete con I S . In virtù del vincolo di rigidità si ricava che
ogni altro punto materiale di S deve essere in quiete con I S , avendo coordinate costanti nel
tempo rispetto al sistema di coordinate cartesiane ortonormali solidali con I S individuato come
detto sopra. I S è dunque un sistema di riferimento solidale con S. Nel caso in cui tutti i punti
materiali di S siano allineati, al tempo t, lungo l’asse u, essi dovranno rimanere allineati per
sempre e con distanze reciproche costanti, in virtù del vincolo di rigidità. Un sistema di riferimento
individuato da u, uno dei punti di S preso come origine e due vettori arbitrari formanti
con u una base ortonormale destrorsa, individua una sistema di riferimento I S solidale con S. ✷
Osservazioni 5.1.
(1) È chiaro che se S è costituito da almeno 3 punti non allineati esiste un unico sistema di
riferimento solidale con S. Infatti, dato che la terna di assi costruita come nella dimostrazione
deve risultare in quiete in ogni riferimento solidale con S, sono ammissibili solo trasformazioni di
coordinate cartesiane indipendenti dal tempo quando si cambia sistema di riferimento solidale
con S. In altre parole i due riferimenti coincidono. Viceversa, se S contiene punti allineati
lungo u, ci sono infiniti sistemi di riferimento solidali con S, dato che, una volta fissato I S
come nella dimostrazione, ogni altro sistema di riferimento che ruota arbitrariamente, rispetto
al precedente, attorno all’asse u è ancora solidale con S.
(2) Solo nel caso in cui S sia costituito di punti allineati, il vettore omega di S rispetto ad un
riferimento I dipende in realtà dalla scelta del riferimento solidale I S .
(3) Nel seguito diremo che un punto O, che evolve con una certa linea di universo, è in quiete
con il corpo rigido S, se è in quiete in un sistema di riferimento solidale con S.
La seguente proposizione illustra l’utilità dell’esistenza di un riferimento solidale con un corpo
rigido.
Proposizione 5.2. Si consideri un sistema di punti materiali S sottoposto ad un insieme di
forze (eventualmente anche reattive e/o inerziali) con risultante delle forze R e risultante dei
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