Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

avere determinanto il moto di S attorno ad O, l’eventuale forza vincolare incognita agente su O
si ricava alla fine usando la prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi.
d
dt
∣ Mv G | I = R , (5.28)
I
dove R è la risultante di tutte le forze esterne agenti su S, includendo le reazioni vincolari se
presenti. Nel caso in cui O = G e S si può muovere in I senza vincoli, il moto di G viene
determinato dalla seconda equazione cardinale, notando che in questo caso non sono presenti
forze vincolari.
Osservazioni 5.4. Ci sono almeno due casi importanti in cui le equazioni di Eulero risultano
essere indipendenti dalla prima equazione cardinale e possono pertanto essere studiate separatamente.
Un caso è quello di una trottola in cui O è il punto di appoggio fermo su un piano
π scabro in quiete nel riferimento inerziale I , e la trottola è sottoposta alla forza di gravità
costante normale a π e diretta verso di esso. Il secondo caso è quello in cui M O è identicamente
nullo. Questa è, per esempio, la situazione fisica di un corpo rigido vincolato in O in quiete
nel riferimento inerziale I , in assenza di altre forze. Oppure la situazione di un corpo rigido
in caduta libera nel campo gravitazionale costante e O coincide con il centro di massa G del
corpo. Nel riferimento non inerziale in caduta libera con G, la situazione appare esattamente
come quella del corpo rigido vincolato in O in assenza di gravità ed altre forze.
5.3.2 Equazione di Poinsot.
Quando il secondo membro di (5.27) è identicamente nullo, i moti determinati dalle equazioni
di Eulero si dicono moti alla Poinsot. Le equazioni corrispondenti dunque sono:
⎧
dˆω 1
I O1 = (I O2 − I O3 )ˆω 2 ˆω 3 = 0 ,
⎪⎨ dt
dˆω 2
I O2 = (I O3 − I O1 )ˆω 3 ˆω 1 = 0 ,
(5.29)
dt
dˆω ⎪⎩ 3
I O3 = (I O1 − I O2 )ˆω 1 ˆω 2 = 0 .
dt
Studieremo il caso non degenere in cui S non è un insieme di punti allineati. In tal caso il tensore
d’inerzia è strettamente positivo. Se ω := ω IS | I , possiamo riscrivere queste equazioni in forma
compatta come:
dω
I O
‹+ω ∧ I O (ω = 0) ,
dt
e ancora, tenendo conto che l’operatore I O è invertibile essendo l’operatore d’inerzia strettamente
positivo, possiamo infine scrivere le equazioni di POinsot come:
dω
dt = −I−1 O (ω ∧ I O(ω)) , (5.30)
dove la derivata temporale si può indifferentemente pensare come rispetto a I oppure I S come
ben noto dal capitolo 1. Possiamo interpretare questa equazione differenziale come un’equazione
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