Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

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con I a causa di forze vincolari, ma S è libero di muoversi attorno a O senza altri vincoli. 2. Il polo O coincide con il centro di massa G di S ed S non è sottoposto a vincoli. In entrambi i casi, dal capitolo 4, sappiamo la seconda equazione cardinale della dinamica per S assume la forma: d dt ∣ Γ O | I = M O (5.25) I dove M O è il momento totale delle forze esterne valutato rispetto al polo O. L’eventuale forza vincolare che agisce in O non fornisce comunque contributo al momento totale delle forze dato che il polo coinciderebbe con il punto di applicazione. Tenendo conto del fatto che il corpo è rigido, l’equazione (5.25) si può trascrivere come d dt ∣ I (ω IS | I ) = M O , (5.26) I dove I S è il solito sistema di riferimento solidale con S. Consideriamo una terna principale d’inerzia per S ê 1 , ê 2 , ê 3 riferita al punto O. Nel seguito useremo la decomposizione 3∑ ω IS | I = ˆω i ê i , 3∑ M O = ˆM Oi ê i , i=1 i=1 ed indicheremo con I O1 , I O2 , I O3 i momenti principali d’inerzia riferiti alla terna detta. Sviluppando (5.26) sulla base ê 1 , ê 2 , ê 3 , si ottiene il sistema di equazioni differenziali ⎧ dˆω 1 I O1 = (I O2 − I O3 )ˆω 2 ˆω 3 = ⎪⎨ dt ˆM O1 , dˆω 2 I O2 = (I O3 − I O1 )ˆω 3 ˆω 1 = dt ˆM O2 , (5.27) dˆω ⎪⎩ 3 I O3 = (I O1 − I O2 )ˆω 1 ˆω 2 = dt ˆM O3 . Queste equazioni sono dette Equazioni di Eulero. Insieme alla prima equazione cardinale esse individuano il moto di S attorno ad O nei due casi considerati. Perché ciò sia possibile bisogna esprimere le componenti ˆω k in funzione degli angoli di Eulero, e delle loro derivate prime, che individuano la terna principale d’inerzia solidale con S in funzione di una terna solidale con I . La stessa cosa deve essere fatta per le componenti del momento M O , ricordando che, nel caso O sia vincolato a rimanere fermo in I , M O non può comunque includere termini dovuti alle forze vincolari incognite come osservato sopra. Se gli angoli di Eulero non sono sufficienti ad esprimere funzionalmente M O , ma sono necessari altri parametri come posizioni e velocità di punti di S, in particolare quelle del centro di massa G, le equazioni di Eulero devono essere accompagnate con le equazioni derivanti dalla prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi. Nel caso in cui M O si possa scrivere in funzione dei soli angoli di Eulero e delle loro derivate temporali, le equazioni di Eulero si possono riscrivere come un sitema di equazioni differenziali del secondo ordine (negli angoli di Eulero), in forma normale almeno localmente. Si osservi ancora che, dopo 151
avere determinanto il moto di S attorno ad O, l’eventuale forza vincolare incognita agente su O si ricava alla fine usando la prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi. d dt ∣ Mv G | I = R , (5.28) I dove R è la risultante di tutte le forze esterne agenti su S, includendo le reazioni vincolari se presenti. Nel caso in cui O = G e S si può muovere in I senza vincoli, il moto di G viene determinato dalla seconda equazione cardinale, notando che in questo caso non sono presenti forze vincolari. Osservazioni 5.4. Ci sono almeno due casi importanti in cui le equazioni di Eulero risultano essere indipendenti dalla prima equazione cardinale e possono pertanto essere studiate separatamente. Un caso è quello di una trottola in cui O è il punto di appoggio fermo su un piano π scabro in quiete nel riferimento inerziale I , e la trottola è sottoposta alla forza di gravità costante normale a π e diretta verso di esso. Il secondo caso è quello in cui M O è identicamente nullo. Questa è, per esempio, la situazione fisica di un corpo rigido vincolato in O in quiete nel riferimento inerziale I , in assenza di altre forze. Oppure la situazione di un corpo rigido in caduta libera nel campo gravitazionale costante e O coincide con il centro di massa G del corpo. Nel riferimento non inerziale in caduta libera con G, la situazione appare esattamente come quella del corpo rigido vincolato in O in assenza di gravità ed altre forze. 5.3.2 Equazione di Poinsot. Quando il secondo membro di (5.27) è identicamente nullo, i moti determinati dalle equazioni di Eulero si dicono moti alla Poinsot. Le equazioni corrispondenti dunque sono: ⎧ dˆω 1 I O1 = (I O2 − I O3 )ˆω 2 ˆω 3 = 0 , ⎪⎨ dt dˆω 2 I O2 = (I O3 − I O1 )ˆω 3 ˆω 1 = 0 , (5.29) dt dˆω ⎪⎩ 3 I O3 = (I O1 − I O2 )ˆω 1 ˆω 2 = 0 . dt Studieremo il caso non degenere in cui S non è un insieme di punti allineati. In tal caso il tensore d’inerzia è strettamente positivo. Se ω := ω IS | I , possiamo riscrivere queste equazioni in forma compatta come: dω I O ‹+ω ∧ I O (ω = 0) , dt e ancora, tenendo conto che l’operatore I O è invertibile essendo l’operatore d’inerzia strettamente positivo, possiamo infine scrivere le equazioni di POinsot come: dω dt = −I−1 O (ω ∧ I O(ω)) , (5.30) dove la derivata temporale si può indifferentemente pensare come rispetto a I oppure I S come ben noto dal capitolo 1. Possiamo interpretare questa equazione differenziale come un’equazione 152
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