Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

esprime il momento d’inerzia riferito a due assi paralleli, con vettore tangente n, ma uno passante
per O e l’altro passante per G.
I O,n = I G,n + Md 2 , (5.24)
dove d è la distanza tra i due assi considerati.
Esercizi 5.1.
1. Si consideri un quadrato ABCD omogeneo di massa M e lato L. Si supponga che
tale quadrato sia appeso al soffitto tramite un’asta rigida di massa m saldata al quadrato che
prolunga la diagonale del quadrato AC ed unisce il vertice A al punto O del soffitto. Tale asta
si identifica quindi con il segmento AO. L’asta è libera di ruotare attorno ad O rimanendo nel
piano verticale. Nel vertice B del quadrato è attaccato un punto matriale P di massa m. Il
sistema rigido è sottoposto alla forza di gravità individuata dal vettore di accelerazione costante
verticale g diretto verso il basso. Si risolvano ai seguenti quesiti.
(i) Si scrivano le equazioni che determinano il moto del sistema e le reazioni vincolari.
(ii) Si determini il periodo delle piccole oscillazioni in funzione dei parametri noti.
(iii) Si determini un integrale primo e se ne discuta il significato fisico.
Si consiglia di individuare il sistema tramite l’angolo θ che l’asse AO individua rispetto alla
verticale.
5.3 Introduzione alla teoria delle equazioni di Eulero.
Le equazioni di Eulero sono le equazioni differenziali che rappresentano, per i corpi rigidi, la
seconda equazione cardinale rispetto ad un polo O, nella situazione più semplice che si possa
immaginare dal punto di vista vincolare: quando il corpo non è sottoposto a forze vincolari
e O coincide con il centro di massa, oppure quando il sistema è vincolato all’unico punto O.
In entrambi i casi sono ammesse altre forze non vincolari. Se aggiunte alla prima equazione
cardinale dei sistemi, le equazioni di Eulero determinano la dinamica de corpo rigido studiato.
La particolare situazione considerata è tale che, talvolta, le equazioni di Eulero risultano essere
indipendenti dalla prima equazione cardinale e, pertanto, possono essere studiate separatamente.
A dispetto dell’apparente semplificazione della situazione fisica riguardante i vincoli, la casistica
delle soluzioni che ne conseguono è enormemente varia e costituisce un capitolo molto importante
della meccanica classica. Noi daremo qui solo qualche breve cenno introduttivo a tale vastissimo
argomento.
5.3.1 Equazioni di Eulero.
Consideriamo un corpo rigido S, di massa totale M, soggetto a forze tali che sia valida una delle
due seguenti situazioni rispetto ad un riferimento I nel quale si descrive il moto di S.
1. C’è un punto O solidale con S (eventualmente il centro di massa di S), che verrà usato
come polo per enunciare la seconda equazione cardinale della dinamica, che rimane in quiete
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