Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

ortonormale di assi e x , e y , e z centrata in G, con e z normale al quadrato e con e x e e y
perpendicolari ai lati del quadrato, è sicuramente principale d’inerzia rispetto a G, esattamente
come nell’esempio precedente. La mPoinsotatrice che rappresenta I G su questa base si calcola
facimente, in base ad (a) nella proposizione 5.3, prendendo la differenza tra la matrice del tensore
d’inerzia del quadrato completo (senza buco) e quella del cerchio corrispondente al buco. Il
risultato finale è dato dalla matrice diagonale che rappresenta I G nella base detta:
M
12 (L2 − 3R 2 )diag(1, 1, 2) .
4. Consideriamo lo stesso corpo rigido dell’esempio precedente. Una terna ortonormale destrorsa
centrata in G ed ottenuta da quella dell’esempio precedente tramite una rotazione di un angolo
θ arbitrario attorno all’asse z, è ancora una terna principale d’inerzia ed ha ancora gli stessi
momenti principali d’inerzia della terna considerata nell’esempio precedente. Ciò è vero come
conseguenza della discussione nel commento (3) di sopra.
5.2.3 Formula di Huygens-Steiner.
Per concludere presentiamo la formula di Huygens-Steiner che esprime la matrice del tensore
d’inerzia I O in funzione della matrice del tensore d’inerzia I G , quando si usa la stessa base
ortonormale di vettori liberi:
I O ij = I G ij + M ((G − O)δ ij − (G − O) i (G − O) j ) , (5.23)
dove, al solito M, indica la massa totale del sistema rigido. Il significato intuitivo è abbastanza
evidente: I O ij è pari alla I G ij con l’aggiunta della matrice tel tensore d’inerzia rispetto ad O di
un punto materiale che si trova in G e che ha M come massa. La prova
jŠ
segue dalla (5.12):
N∑
I Oij = m k€(P k − O) 2 δ ij − (P k − O) i (P k − O)
=
k=1
N∑
m k€(P k − G + G − O) 2 δ ij − (P k − G + G − O) i (P k − G + G − O) jŠ.
k=1
Sviluppando i prodotti e tenendo conto del fatto che ∑ k m k (P k − G) = M(G − G) = 0 e
∑
k m k (P k − G) = M(G − O), si ottiene
I Oij =
N∑
m k€(P k − G) 2 δ ij − (P k − G) i (P k − G) jŠ+M ((G − O)δ ij − (G − O) i (G − O) j ) ,
k=1
che è la (5.23). Nel caso di corpi rigidi continui, la prova è del tutto analoga usando integrali
invece di sommatorie.
Applicando ambo membri della (5.23) sulle componenti di uno stesso versore n e calcolando
il prodotto scalare per n del risultato ottenuto in questo modo, si ottiene l’utile relazione che
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