Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

dove abbiamo usato il teorema di Pitagora con P k − O = x 2k e 2 + x 3k e 3 .
Esempi 5.2.
1. Consideriamo un cubo di lato L, omogeneo di massa totale M. Per simmetria il centro di
massa G coincide con l’intersezione dei tre piani che dividono a metà il cubo. Dato che tali
piani sono piani di simmetria, una terna principale d’inerzia rispetto al centro di massa G, è
quella riferita ai tre versori perpendicolari ai tre piani detti. Data la simmetria del problema, i
momenti d’inerzia rispetto a tali assi saranno uguali. Tuttavia il corpo
)Œ
rigido non è totalmente
giroscopico. Il calcolo di ciascuno di questi momenti d’inerzia è elementare:
∫ L/2 L/2 ∫ L/2
I = dz‚∫
dx dy M
−L/2 −L/2 −L/2 L 3 (x2 + y 2
= ML
L 3
‚∫ L/2 ∫ L/2
dx
−L/2 −L/2
∫ L/2 ∫ L/2
dyx 2 ML
+ dx dyy
2Œ=
−L/2 −L/2 L 3 2L1 3 2 L =
2‹3
ML2 .
6
In questo caso il tensore d’inerzia nella base considerata è espresso dalla matrice i cui coefficienti
sono I Gij = ML2
6
δ ij .
Un’altra terna principale d’inerzia in G è quella formata dai tre versori ortonormali che giacciono
sugli assi che da G raggiungono i 6 vertici del cubo. Questo è dovuto al fatto che i piani
perpendicolari a tali assi e passanti per G sono ancora piani di simmetria per il cubo. In base
al commento (3) di sopra, i momenti principali d’inerzia di tale terna sono ancora tutti uguali a
ML 2
6
.
In base al commento (3) di sopra risulta anche che una terna ortonormale destrorsa centrata in
G e disposta arbitrariamente rispetto alle facce del cubo è ancora una terna principale d’inerzia
per S rispetto a G e vale ancora I Gij = ML2
6
δ ij .
2. Consideriamo un disco piano omogeneo di massa M e raggio R. Il centro del disco coincide
con il centro di massa G del disco. Ogni terna ortonormale destrorsa in G, con un versore e z
normale al disco deve essere una terna principale d’inerzia, dato che il versore normale al disco
individua un asse giroscopico. Il calcolo del momento principale d’inerzia associato a tale asse è
immediato in coordinate polari piane:
I Gz =
∫ 2π
0
∫ R
dθ rdr M
0 πR 2 r2 = 2π M R 4
πR 2 4 = MR2 .
2
I due momenti principali d’inerzia rispetto agli assi e x e e y devono coincidere per simmetria.
D’altra parte deve anche essere I Gx + I Gy = I Gz in base all’ultima osservazione nell’elenco di
sopra. Pertanto I Gx = I Gy = MR2
4
. In definitiva, rispetto alla base detta: e x , e y , e z , la matrice
che rappresenta il tensore d’inerzia I G è
MR 2
diag (1, 1, 2) .
4
3. Consideriamo un quadrato rigido omogeneo di massa M e lato L in cui è stato praticato un
foro circolare di raggio R < L/2 con centro dato dal centro G del quadrato. La terna destrorsa
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