Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...
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terna principale d’inerzia.<br />
La dimostrazione si ottiene osservando che, in virtù della definizione (5.7) (o le analoghe nel<br />
caso lineare e superficiale), il sottospazio di V IS <strong>dei</strong> vettori normali a r ed il suo ortogonale (i<br />
vettori paralleli a u) sono sottospazi invarianti per I O (la prova è semplice per verifica diretta).<br />
Restringendo tale operatore a ciascuno <strong>dei</strong> due sottospazi si ottiene ancora un operatore simmetrico<br />
che pertanto può essere diagonalizzato separatamente nei due sottospazi. In questo modo,<br />
per costruzione, il versore u e i due autovettori (normalizzati all’unità) normali a r formano una<br />
terna principale d’inerzia rispetto a O. D’altra parte, data la simmetria assiale, una rotazione<br />
della terna trovata attorno all’asse r non può alterare la forma del tensore d’inerzia e pertanto<br />
ogni terna ortonormale destrorsa con un asse parallelo a r è una terna pricipale d’inerzia.<br />
(3) Nella situazione discussa nel punto (2), accade che i momenti d’inerzia rispetto ai due assi<br />
perpendicolari ad r sono uguali per simmetria. Un corpo rigido in cui c’è una terna principale<br />
d’inerzia riferita ad un punto O in cui due momenti principali d’inerzia valgono enetrambi lo<br />
stesso valore λ, è detto giroscopico. L’asse perpendicolare al piano π passante per O e generato<br />
dai due assi principali d’inerzia con momenti principali d’inerzia uguali è detto asse giroscopico.<br />
È fondamentale notare che ogni altra terna che si ottiene da quella iniziale tramite una rotazione<br />
arbitraria attorno all’asse giroscopico è ancora principale d’inerzia rispetto allo stesso O ed ha<br />
gli stessi momenti principali d’inerzia della terna iniziale.<br />
Questo accade perché se si restringe I O a lavorare sul sottospazio U O,π <strong>dei</strong> vettori uscenti da O<br />
e giacenti in π, in virtù del fatto che su una base di tale spazio l’operatore è diagonale con un<br />
unico autovalore λ, risulta che I O ↾ UO,π = λI. Dove I è l’operatore identità su U O,π . Di conseguenza,<br />
banalmente, ogni base ortonormale di U O,π sarà composta da autovettori con autovalore<br />
λ. Completando una tale base con il versore normale a π si ottiene ancora, per definizione una<br />
terna principale d’inerzia, con gli stessi momenti pricipali d’inerzia iniziali.<br />
Nel caso vi siano due assi giroscopici in una terna principale d’inerzia riferita ad un punto O<br />
solidale con S, allora il tensore d’inerzia I O risulta essere proporzianale all’operatore identità,<br />
dato che i tre momenti principali d’inerzia devono coincidere (e quindi coincidono tutti i momenti<br />
d’inerzia riferiti ad assi passanti per O). Un corpo di questo tipo si dice totalmente<br />
giroscopico.<br />
(4) Supponiamo che S sia un corpo rigido piano e che {e k } k=1,2,3 sia una terna principale d’inerzia<br />
di S rispetto ad O, punto solidale con S, in modo tale che e 1 sia perpendicolare al piano<br />
che contine S. In questo caso i momenti principali d’inerzia soddisfano la relazione<br />
I O1 = I O2 + I O3 . (5.22)<br />
La dimostrazione si ha per via diretta. Assumiamo il sistema discreto, nel caso continuo la<br />
dimostrazione è del tutto analoga. I O1 è il momento d’inerzia rispetto all’asse parallelo ad e 1<br />
uscente da O e quindi perpendicolare al sistema. Pertanto, per (5.14), se d i è la disatanza del<br />
punto P k da tale asse:<br />
I O1 =<br />
N∑<br />
m k d 2 i =<br />
k=1<br />
N∑<br />
N∑<br />
m k x 2 2i + m k x 2 3i = I O2 + I O3 ,<br />
k=1<br />
147<br />
k=1