Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

terna principale d’inerzia.
La dimostrazione si ottiene osservando che, in virtù della definizione (5.7) (o le analoghe nel
caso lineare e superficiale), il sottospazio di V IS dei vettori normali a r ed il suo ortogonale (i
vettori paralleli a u) sono sottospazi invarianti per I O (la prova è semplice per verifica diretta).
Restringendo tale operatore a ciascuno dei due sottospazi si ottiene ancora un operatore simmetrico
che pertanto può essere diagonalizzato separatamente nei due sottospazi. In questo modo,
per costruzione, il versore u e i due autovettori (normalizzati all’unità) normali a r formano una
terna principale d’inerzia rispetto a O. D’altra parte, data la simmetria assiale, una rotazione
della terna trovata attorno all’asse r non può alterare la forma del tensore d’inerzia e pertanto
ogni terna ortonormale destrorsa con un asse parallelo a r è una terna pricipale d’inerzia.
(3) Nella situazione discussa nel punto (2), accade che i momenti d’inerzia rispetto ai due assi
perpendicolari ad r sono uguali per simmetria. Un corpo rigido in cui c’è una terna principale
d’inerzia riferita ad un punto O in cui due momenti principali d’inerzia valgono enetrambi lo
stesso valore λ, è detto giroscopico. L’asse perpendicolare al piano π passante per O e generato
dai due assi principali d’inerzia con momenti principali d’inerzia uguali è detto asse giroscopico.
È fondamentale notare che ogni altra terna che si ottiene da quella iniziale tramite una rotazione
arbitraria attorno all’asse giroscopico è ancora principale d’inerzia rispetto allo stesso O ed ha
gli stessi momenti principali d’inerzia della terna iniziale.
Questo accade perché se si restringe I O a lavorare sul sottospazio U O,π dei vettori uscenti da O
e giacenti in π, in virtù del fatto che su una base di tale spazio l’operatore è diagonale con un
unico autovalore λ, risulta che I O ↾ UO,π = λI. Dove I è l’operatore identità su U O,π . Di conseguenza,
banalmente, ogni base ortonormale di U O,π sarà composta da autovettori con autovalore
λ. Completando una tale base con il versore normale a π si ottiene ancora, per definizione una
terna principale d’inerzia, con gli stessi momenti pricipali d’inerzia iniziali.
Nel caso vi siano due assi giroscopici in una terna principale d’inerzia riferita ad un punto O
solidale con S, allora il tensore d’inerzia I O risulta essere proporzianale all’operatore identità,
dato che i tre momenti principali d’inerzia devono coincidere (e quindi coincidono tutti i momenti
d’inerzia riferiti ad assi passanti per O). Un corpo di questo tipo si dice totalmente
giroscopico.
(4) Supponiamo che S sia un corpo rigido piano e che {e k } k=1,2,3 sia una terna principale d’inerzia
di S rispetto ad O, punto solidale con S, in modo tale che e 1 sia perpendicolare al piano
che contine S. In questo caso i momenti principali d’inerzia soddisfano la relazione
I O1 = I O2 + I O3 . (5.22)
La dimostrazione si ha per via diretta. Assumiamo il sistema discreto, nel caso continuo la
dimostrazione è del tutto analoga. I O1 è il momento d’inerzia rispetto all’asse parallelo ad e 1
uscente da O e quindi perpendicolare al sistema. Pertanto, per (5.14), se d i è la disatanza del
punto P k da tale asse:
I O1 =
N∑
m k d 2 i =
k=1
N∑
N∑
m k x 2 2i + m k x 2 3i = I O2 + I O3 ,
k=1
147
k=1