Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

Dato che ω IS | I , nella terna principale d’inerzia ha solo una componente non nulla, diciamo la
prima (quella lungo l’asse istantaneo di rotazione passante per O), la formula scritta sopra si
semplifica in
Γ O | I = I O1 ˆω 1 ê 1 .
Nello stesso modo e nelle stesse ipotesi, il caso 1 per il calcolo dell’energia cinetica T | I , produce
la formula
T | I = 1 2 I O1 ˆω 2 1 .
In altre parole, vale la seguente proposizione.
Proposizione 5.4. Se il corpo rigido S ammette, all’istante considerato un asse istantaneo
di rotazione r per il riferimento I e O ∈ r, allora si ha
Γ O | I = I r ω IS | I , (5.20)
e
T | I = 1 2 I r(ω IS | I ) 2 , (5.21)
dove I r denota il momento d’inerzia valutato rispetto all’asse istantano di rotazione.
Osservazioni 5.3.
Le seguenti osservazioni sono molto importanti nelle applicazioni per individuare rapidamente
delle terne principali d’inerzia.
(1) Supponiamo che un corpo rigido S sia simmetrico rispetto ad un piano π solidale con S. In
altre parole, per ogni punto materiale P k di S con massa m k c’è un altro punto materiale P k ′
di S, simmetrico di P k rispetto a π ed ha la stessa massa m k ′ = m k , ovvero, nel caso continuo
sussiste l’analoga proprietà in termini di funzione densità di massa. In questo caso, se O ∈ π,
esiste sempre una terna principale d’inerzia rispetto a O che abbia un asse principale d’inerzia
normale a π.
La dimostrazione si ottiene osservando che, in virtù della definizione (5.6) o (5.7), il sottospazio
di V IS dei vettori normali a π ed il suo ortogonale (i vettori paralleli a π) sono sottospazi invarianti
per I O (la prova è semplice per verifica diretta). Restringendo tale operatore a ciascuno
dei due sottospazi si ottiene ancora un operatore simmetrico che pertanto può essere diagonalizzato
separatamente nei due sottospazi. In questo modo, per costruzione, il versore normale a π
e i due autovettori (normalizzati all’unità) tangenti a π formano una terna principale d’inerzia
rispetto a O.
(2) Supponiamo che un corpo rigido S necessariamente continuo sia simmetrico rispetto ad un
asse r solidale con S individuato dal versore tangente u e passante per O. In altre parole, la
densità di massa (lineare, superficiale o volumetrica) è una funzione simmetrica per rotazioni
attorno ad r. In questo caso, se O ∈ r, esiste sempre una terna principale d’inerzia rispetto a
O che abbia un asse principale d’inerzia dato da u. Più precisamente, ogni terna ortonormale
destrorsa in cui un asse è diretto lungo r (e quindi i rimanenti due sono ortogonali a r) è una
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