Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

Caso 1. Il polo O è in quiete con il corpo rigido. In questo caso, scegliendo O ′ = O, abbiamo
che la (5.5) si riduce a:
Γ O | I = M(G − O) ∧ v O | I +
3∑
I Ok ˆω k ê k . (5.16)
Caso 2. Il polo O è in moto arbitrario. In questo caso, se O ′ = G, la (5.8) si riduce a:
Γ O | I = M(G − O) ∧ v G | I +
k=1
3∑
I Gk ˆω k ê k . (5.17)
Per l’energia cinetica totale T | I abbiamo i seguenti due casi.
Caso 1. A causa dei vincoli, nel riferimento solidale I S c’è un punto O che rimane in
quiete con I . In questo caso, per O = O ′ , la (5.9) si riduce a:
T | I = 1 2
k=1
3∑
I Ok ˆωk 2 . (5.18)
k=1
Caso 2. Il sistema rigido S è animato da moto arbitrario. In questa situazione, con O ′ = G,
la (5.10) si riduce a:
T | I = 1 2 Mv G| 2 I + 1 3∑
I Gk ˆω k 2 . (5.19)
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Esempi 5.1.
1. Un caso particolarmente interessante per l’applicazione di queste formule si ha quando si
studia il moto di un corpo rigido S, nel riferimento I che ammette un punto O con velocità v O | I
nulla all’istante considerato. Quando ciò accade, tutti i punti P in quiete con S sull’asse r
parallelo ad ω IS | I e passante per O, hanno velocità v P | I = 0 come si prova immediatamente
essendo
v P | I = v O | I + ω IS | I ∧ (P − O) = 0 + 0 .
Si dice allora che, all’istante considerato r è una asse istantaneo di rotazione di S per il
riferimento I . In certe situazioni accade che l’asse istantaneo di rotazione è anche un asse
principale d’inerzia. Per esempio si ha questo stato di cose quando S è un corpo rigido che
ammette un piano di simmetria π e ω IS | I è perpendicolare al piano π. la prova di ciò segue
dall’osservazione (3) sotto. Un disco omogeneo oppure un cilindro omogeneo che rotolano senza
strisciare su una guida rettilinea soddisfano tale requisito quando I è il sistema di riferimento
della guida. In questo caso il punto O di S (l’asse di rotazione istantanea pensato come asse di
punti materiali di S) in contatto con la guida istante per istante è diverso. Nel caso in esame la
formula (5.16) per Γ O | I si riduce a, nell’istante considerato
Γ O | I =
k=1
3∑
I Ok ˆω k ê k .
k=1
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