Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

u 0 , il ragionamento di sopra può comunque essere ripetuto per ogni altro versore u ≠ u 0 ed ogni
altro vettore a non parallelo a u 0 . La dimostrazione nel caso continuo è del tutto analoga. La
prova di (e) nel caso discreto è già stata fornita sopra, il caso continuo è del tutto analogo. ✷
Il fatto che l’operatore I 0 sia simmetrico come provato sopra ha un’importantissima conseguenza.
È noto dall’algebra lineare elementare che se V è uno spazio vettoriale reale di dimensione finita
dotato di prodotto scalare (strettamente definito positivo) e A : V → V è un operatore lineare
simmetrico, allora esiste una base ortonormale (rispetto al prodotto scalare detto) costituita da
autovettori di A. Di conseguenza, la matrice simmetrica che rappresenta A su tale base è in
forma diagonale e contiene sulla diagonale principale tutti e soli gli autovalori di A. Ne segue
che, per un corpo rigido S e fissato un punto O ∈ I S , esiste sempre una base ortonormale di
V IS (che può sempre essere presa come destrorsa) costrituita da autovettori di I O . Su tale base
I O assume forma diagonale. Si osservi che se I k è una autovalore di I O associato all’autovettore
e k elemento della base ortonormale appena citata, deve essere
e k · I O (e k ) = e k · I k e k = I k 1 = I k .
Pertanto, sempre in riferimento alla base ortonormale di autovettori di I O , gli autovalori I k , cioè
gli elementi della diagonale nella matrice che rappresenta I O su tale base, saranno i momenti
d’inerzia valutati rispetto agli assi parallei ai versori di base uscenti da O. Possiamo racchiudere
tutte queste osservazioni in una definizione.
Definizione 5.4. Sia S un corpo rigido e O un punto dello spazio di quiete E I di un sistema
di riferimento I S solidale con S. Una base ortonormale destrorsa di autovettori del tensore
d’inerzia I O di S valutato rispetto ad O (che esiste sempre in conseguenza di (b) nella proposizione
5.3) è detta terna principale d’inerzia di S rispetto ad O. I versori di tale base
sono detti assi principalo d’inerzia di S rispetto ad O. Gli autovalori corrispondenti a tale
base, cioè gli elementi della diagonale principale della matrice diagonale che rappresenta I O
sulla terna principale d’inerzia sono detti momenti principali d’inerzia di S rispetto ad O. ♦
L’uso delle terne principali d’inerzia semplifica notevolmente l’espressione del momento angolare
e dell’energia cinetica per un corpo rigido. Supponiamo che I O ′ k con k = 1, 2, 3 siano i momenti
pricipali d’inerzia del corpo rigido S rispetto al punto genreico O ′ ∈ I S , e che {ê k } k=1,2,3 sia la
relativa terna principale d’inerzia e sia
ω IS | I
=
3∑
ˆω k ê k .
Se M è la massa totale del corpo rigido, abbiamo i seguenti casi per il momento angolare totale
Γ O | I .
k=1
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