Introduzione alla meccanica dei Corpi Rigidi. - Scienze Matematiche ...

In tal caso ogni momento d’inerzia I O,n è strettamente positivo.
(d) Nel caso in cui S sia costituito da punti allineati su un unico asse di versore n, I O è definito
positivo, ma a·I O (a) = 0 se e solo se a = αn, con α ∈ R. In particolare tutti i momenti d’inerzia
sono strettamente positivi, eccetto I O,n = 0.
(e) Per ogni versore u ∈ E IS ed ogni punto O ∈ E IS , vale la formula
I O,u = u · I O (u) =
N∑
m k d 2 k , (5.14)
dove d k è la diatanza del punto materiale P k di S con massa m k dall’asse per O con vettore
tangente dato da u. Nel caso continuo vale l’analoga formula
∫
I O,u = u · I O (u) = ρ V (P )d(P ) 2 dv(P ) , (5.15)
V S
k=1
e le analoghe nel caso di corpi continui lineari o superficiali.
Dimostrazione. L’enunciato (a) è banalmente vero per le proprietà di additività della sommatoria
oppure dell’integrale, la dimostrazione è immediata.
Passiamo a dimostrare (b). Direttamente dalla definizione di tensore d’inerzia (5.6) e (5.7) ed
usando l’identità vettoriale
a ∧ (b ∧ c) = a · c b − a · b c ,
si ricavano (5.12) e (5.13). Da tali espressioni è evidente che la matrice che rappresenta I O è
simmetrica e pertanto l’operatore I O è simmetrico. Riguardo alle proprietà di positività espresse
in (c) e (d), si noti che, preso un qualsiasi versore u, in virtù di (5.12) risulta:
u · I O (u) =
N∑
m k€x 2 (k) u · u − (x (k) · u) 2Š=
k=1
N∑
m k€x 2 (k) − (x (k) · u) 2Š.
In altre parole, se d k ≥ 0 è la distanza del punto P k (con massa m k > 0) dall’asse passante per
O e parallelo a u, abbiamo che
u · I O (u) =
k=1
N∑
m k d 2 k ≥ 0 .
k=1
Questo, oltre alla (5.14), prova che, in tutti i casi I 0 è definito positivo, ma non ancora che è
anche strettamente positivo quando i punti di S non sono allineati. Dato che ogni massa m k è
strettamente positiva, affinché il secondo membro si annulli è necessario e sufficiente che tutte i
punti P k siano allineati lungo l’asse parallelo ad u passante per O, in modo da annullare tutte
le distanze d k ≥ 0. Quando i punti di S non sono allineati lungo alcun asse ciò è evidentemente
impossibile e risulta u · I O (u) > 0 comunque si scelga il versore u. In tal caso, dato che per
un vettore generico vale a := αu per qualche α ∈ R e qualche versore u, a · I O (a) = 0 implica
α 2 u·I O (u) = 0 e quindi α = 0, cioè a = 0. Nel caso in cui S sia costituito da punti allineati lungo
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