FOGLIO DI ESERCIZI 1 EDO Esercizi su equazioni lineari scalari 1 ...

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alla contraddizione come sopra. Dalla forma implicita dell’integrale generale si ha che c = 0 e, lavorando un pochino, si deduce che l’unica soluzione è y ≡ 0. e) È omogenea (rispetto alla moltiplicazione per λ > 0). Nei conti può essere utile ottenere una primitiva di 1/(z √ 1 + z 2 ), che è − 1 2 log(√ 1 + z 2 + 1) + 1 2 log(√ 1 + z 2 − 1), (porre √ 1 + z 2 = τ). Esplicitare poi √ 1 + z 2 in funzione di t (ad un certo punto si dovrebbe ottenere un’equazione di secondo grado in √ 1 + z 2 ) e quindi proseguire eplicitando z e poi determinando y. g) Cercare un fattore integrante e/o risolverla come equazione di Bernoulli... l) È un’equazione di Bernoulli con α = −3. Quindi poniamo z = y4 , e dobbiamo quindi impore z > 0 (y non può essere nulla e z, essendo una potenza pari, deve essere positiva). L’equazione in z è il cui integrale generale è z(t) = z ′ = 12z + 4, ( c + 1 ) e 12t − 1 3 3 , e si ha z(t) > 0 per c > − 1 3 , t > 1 ( ) 1 12 log 3c + 1 per cui l’integrale generale dell’equazione in y è, al variare di c > −1/3, ] ( ) [ 1 1 y : 12 log , +∞ → R, t ↦→ (( ) c + 1 3c + 1 3) e 12t − 1 1 4 , 3 ] ( ) [ 1 1 y : 12 log , +∞ → R, t ↦→ − (( ) c + 1 3c + 1 3) e 12t − 1 1 4 . 3 Si ha poi, y(0) = −2 ⇐⇒ c = 16, 4
da cui la soluzione del problema di Cauchy è y : ] 1 12 log 1 [ ( 49 49 , +∞ → R, t ↦→ − 3 e12t − 1 ) 1 4 , 3 P.S. Altri conti possono portare a scrivere la dipendenza dalla costante c in modo diverso. Al variare di c fra tutti i numeri reali si dovrebbe comunque descrivere lo stesso insieme di funzioni. n) Cercare un fattore integrante della forma λ(t, y) = t α y α e/o risolverla come equazione di Bernoulli. 5
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Page 3: a) È un’equazione della forma y

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