FOGLIO DI ESERCIZI 1 EDO Esercizi su equazioni lineari scalari 1 ...

alla contraddizione come sopra. Dalla forma implicita dell’integrale generale
si ha che c = 0 e, lavorando un pochino, si deduce che l’unica soluzione è
y ≡ 0.
e) È omogenea (rispetto alla moltiplicazione per λ > 0). Nei conti può
essere utile ottenere una primitiva di 1/(z √ 1 + z 2 ), che è
− 1 2 log(√ 1 + z 2 + 1) + 1 2 log(√ 1 + z 2 − 1),
(porre √ 1 + z 2 = τ). Esplicitare poi √ 1 + z 2 in funzione di t (ad un certo
punto si dovrebbe ottenere un’equazione di secondo grado in √ 1 + z 2 ) e
quindi proseguire eplicitando z e poi determinando y.
g) Cercare un fattore integrante e/o risolverla come equazione di Bernoulli...
l) È un’equazione di Bernoulli con α = −3. Quindi poniamo z = y4 ,
e dobbiamo quindi impore z > 0 (y non può essere nulla e z, essendo una
potenza pari, deve essere positiva). L’equazione in z è
il cui integrale generale è
z(t) =
z ′ = 12z + 4,
(
c + 1 )
e 12t − 1 3 3 ,
e si ha z(t) > 0 per
c > − 1 3 , t > 1 ( ) 1
12 log 3c + 1
per cui l’integrale generale dell’equazione in y è, al variare di c > −1/3,
] ( ) [
1 1
y :
12 log , +∞ → R, t ↦→ (( )
c + 1
3c + 1
3)
e 12t − 1 1
4
,
3
] ( ) [
1 1
y :
12 log , +∞ → R, t ↦→ − (( )
c + 1
3c + 1
3)
e 12t − 1 1
4
.
3
Si ha poi,
y(0) = −2 ⇐⇒ c = 16,
4