FOGLIO DI ESERCIZI 1 EDO Esercizi su equazioni lineari scalari 1 ...

a) È un’equazione della forma y′ = −P (t, y)/Q(t, y) con P (t, y) = t + y e
Q(t, y) = t − 3y. L’equazione ha senso se y ≠ t/3. L’equazione è esatta con
potenziale
ϕ(t, y) = t2 2 + yt − 3 2 y2 ,
da cui si ha l’integrale generale (ogni ± genera due soluzioni; l’annullarsi
della radice produce y(t) = t/3 non ammissibile)
y :] − ∞, +∞[→ R,
] √ [
3
y −∞, −
4 c → R,
]√ [
3
y :
4 c, +∞ → R,
t ↦→ t ± √ 4t 2 − 3c
, c < 0,
3
t ↦→ t ± √ 4t 2 − 3c
, c ≥ 0,
3
t ↦→ t ± √ 4t 2 − 3c
, c ≥ 0.
3
La soluzione del problema di Cauchy è dunque
y :] − ∞, +∞[→ R, t ↦→ t + √ 4t 2 + 9
.
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c) Notiamo subito che la costante nulla è soluzione dell’equazione e che
anzi ne è l’unica soluzione costante; se inotre t = 0, allora si deve avere
y(t) = 0 e quindi, per unicità, abbiamo ancora la soluzione nulla. Cerchiamo
l’integrale generale nel primo quadrante (t, y > 0). Allora l’equazione è a
variabili separabili della forma
y ′ = y2 (1 + t)
t 2 .
d) Notare che y 3 (t) − t = 0 solamente se y(t) = t 1 3 , ma che la funzione
t ↦→ t 1 3 non è soluzione dell’equazione. Quindi dividere per y 3 − t e studiare
l’equazione come differenziale esatta nel dominio R 2 \ {t = y 3 }. L’integrale
generale risulta essere in forma implicita 4ty − y 4 = c e lo si lasci pure in
forma implicita. Per quanto riguarda i problemi di Cauchy, il dato (1, 1)
non è ammissibile (non c’è soluzione del problema) in quanto mettendo (1, 1)
nell’equazione si avrebbe la contraddizione y(1) = 0. Il dato (0, 0) non porta
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