Formulario (limiti, derivate, integrali) - Alessandro Dal Maso

Limiti notevoli
Formulario
sin x
lim
x!0 x = 1 lim 1 ¡ cos x
1 ¡ cos x
= 0 lim
x!0 x
x!0 x 2 = 1 2
µ
lim 1 + 1 x
ln(1 + x)
e x ¡ 1
= e lim = 1 lim = 1
x!§1 x x!0 x
x!0 x
Derivate
Potenze di x
Funzioni goniometriche
D(k) = 0
D(sin x) = cos x
D(x ® ) = ®x ®¡1 ^ ® 2 R D(cos x) = ¡ sin x
D(x) = 1
D(tan x) = 1
cos 2 x = 1 + tan2 x
D( np 1
x ) =
n np ^ x > 0 ^ n 2 N D(cotan x) = ¡ 1
x n¡1 sin 2 x = ¡1(1 + cotan2 x)
D( p x ) = 1
2 p ^ x > 0
µ
x
1
D = D
x
x ¡1¢ = ¡ 1 x 2
Funzioni logaritmiche ed esponenziali
Inverse delle funzioni goniometriche
D(a x ) = a x ln a ^ a > 0 D(arctan x) = 1
1 + x 2
D(e x ) = e x D(arccotan x) = ¡ 1
1 + x 2
D(log a x) = 1 x log 1
a e ^ x > 0 D(arcsin x) = p
1 ¡ x 2
D(ln x) = 1 1
^ x > 0 D(arccos x) = ¡ p
x
1 ¡ x 2
Regole di derivazione
D[k ¢ f(x)] = k ¢ f 0 (x)
D[f(x) + g(x)] = f 0 (x) + g 0 (x)
D[f(x) ¢ g(x)] = f 0 (x) ¢ g(x) + g 0 (x) ¢ f(x)
D[f(x) ¢ g(x) ¢ z(x)] = f 0 (x) ¢ g(x) ¢ z(x) + f(x) ¢ g 0 (x) ¢ z(x) + f(x) ¢ g(x) ¢ z 0 (x)
D[f(x) a ] = a[f(x)] a¡1 ¢ f 0 (x) ^ a 2 R
· ¸
1
D
f(x) a = f 0 (x)
f 2 (x)
¸ ·f(x)
D = f 0 (x) ¢ g(x) ¡ f(x) ¢ g 0 (x)
g(x)
g 2 (x)
D [f(g(x))] = f 0 (x) ¢ g 0 (x) ^ z = g(x)
D [f(g(z(x)))] = f 0 (u) ¢ g 0 (t) ¢ z 0 (x) ^ t = z(x); u = g(t)
µ
D[f(x)] g(x) = [f(x)] g(x) = g 0 (x) ln f(x) + g(x) ¢ f 0
(x)
f(x)
D[f ¡1 (y)] = 1
f 0 ^ x = f ¡1 (y)
(x)

Integrali
Una funzione F (x) si dice primitiva di una funzione f(x) nell’intervallo [a; b] se F (x) risulta derivabile in tutto
l’intervallo, e la sua derivata coincide con f(x). Se una funzione f(x) ammette una primitiva F (x), allora
ammette infinite primitive del tipo F (x) + c, con c numero reale qualunque. Si chiama integrale indefinito
della funzione f(x) l’insieme di tutte le primitive F (x) + c, di f(x) e si indica con la scrittura R f(x) dx. La
funzione f(x) viene detta funzione integranda, e la variabile x variabile di integrazione.
Si danno ora le proprietà dell’integrale indefinito:
Z
Z
Z
k ¢ f(x) dx = k f(x) dx
Z
Z
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx +
g(x) dx
(Proprietà del prodotto per una costante)
(Proprietà della somma)
Integrali immediati delle funzioni fondamentali
Z
Z
x ® dx = x®+1
® + 1 + c ^ ® 2 R ¡ f¡1g Z Z
1
x dx = ln jxj + c
Z
Z
Z
e x dx = e x + c
a x dx = ax
ln a + c
sin x dx = ¡ cos x + c
Z
Z
Z
cos x dx = sin x + c
1
cos 2 dx = tan x + c
x
1
sin 2 dx = cotan x + c
x
1
p dx = arcsin x + c _ ¡arccos x + c
1 ¡ x 2
1
dx = arctan x + c _ ¡arccotan x + c
1 + x2 Integrali la cui primitiva è una funzione composta
Z
[f(x)] ® f 0 (x) dx = [f(x)]®+1 + c ^ ® 2 R ¡ f¡1g
® + 1
Z f 0 Z
(x)
dx = ln jf(x)j + c
f(x)
Z
f 0 (x)e f(x) dx = e f(x) + c
Z
Z
f 0 (x)
cos 2 dx = tan f(x) + c
f(x)
f 0 (x)
sin 2 dx = ¡cotan f(x) + c
f(x)
f 0 (x)
p dx = arcsin f(x) + c _
1 ¡ [f(x)]
2
Z
Z
Z
f 0 (x)a f(x) dx = af(x)
ln a + c
f 0 (x) sin f(x) dx = cos f(x) + c
f 0 (x) sin f(x) dx = cos f(x) + c
Z
Z
Z
= ¡arccos f(x) + c
f 0 (x)
sin 2 dx = arctan f(x) + c
[f(x)] _
= ¡arccotan f(x) + c
f 0 (x)
f(x)
p dx = arcsin + c _
a 2 ¡ [f(x)] 2 jaj
= ¡arccos f(x)
jaj
+ c
(a 2 R ¡ f0g)
f 0 (x)
a 2 + [f(x)] 2 dx = 1 f(x)
arctan
a a + c _
= ¡ 1 f(x)
arccotan
a a
+ c
(a 2 R ¡ f0g)

Integrazione per sostituzione
Il metodo di sostituzione permette di semplificare il calcolo dell’integrale effettuando una sostituzione del tipo
x = g(t), cioè un cambiamento di variabile:
Z
Z
f(x) dx =
f(g(t))g 0 (t) dt
(Integrazione per sostituzione)
Esempio: calcolare per sostituzione l’integrale R (3x 2 ¡ 4)6x dx.
Poniamo t = 3x 2 ¡ 4; calcoliamo dt = 6x dx. Sostituiamo nell’integrale dato R t dt e troviamo le primitive
R
t dt =
t 2 2 + c, e infine sostituiamo al posto di t la funzione 3x2 ¡ 4: R (3x 2 ¡ 4) ¢ 6x dx = (3x2 ¡4) 2
2
+ c.
Integrazione per parti
La formula di integrazione per parti è la seguente
Z
Z
f(x)g 0 (x) dx = f(x) ¢ g(x) ¡
f 0 (x)g(x) dx
(Integrazione per parti)
Esempio: calcolare per sostituzione l’integrale R (3x 2 ¡ 4)6x dx.
Poniamo t = 3x 2 ¡ 4; calcoliamo dt = 6x dx. Sostituiamo nell’integrale dato R t dt e troviamo le primitive
R
t dt =
t 2 2 + c, e infine sostituiamo al posto di t la funzione 3x2 ¡ 4: R (3x 2 ¡ 4) ¢ 6x dx = (3x2 ¡4) 2
2
+ c.

Integrali indefiniti
L’area di un trapezoide può essere approssimata nel modo seguente: dividiamo l’intervallo [a; b] in n parti u-
guali, e consideriamo dei rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione; indichiamo con s n la somma
delle aree dei rettangoli con altezza corrispondente al valore minimo della funzione in ognuno degli intervalli;
indichiamo con S n la somma delle aree dei rettangoli con altezza corrispondente al valore massimo della funzione
in ognuno degli intervalli.
Se f(x) è positiva (o nulla) e continua nell’intervallo [a; b] chiamiamo integrale definito esteso all’intervallo
Z b
[a; b]:
f(x) dx = lim s n = lim S n = S.
a
n!+1 n!+1
Il numero a viene chiamato estremo inferiore, b estremo superiore. La funzione f(x) è detta funzione integranda.
Abbiamo anche fornito una definizione più generale di integrale definito, che permette di calcolarlo
anche quando f(x) è negativa. Per convenzione, si pone:
se a > b
se a = b
Z b
a
f(x) dx = ¡
Z a
Si danno ora le proprietà dell’integrale definito:
a
Z a
b
f(x) dx = 0.
f(x) dx;
Z c
a
f(x) dx =
Z b
a
f(x) dx +
Z c
b
f(x) dx
se a < b < c
(Additività dell’integrale rispetto all’intervallo d’integrazione)
Z b
a
[f(x) + g(x)] dx =
Z b
a
f(x) dx +
Z b
a
g(x) dx
(Somma di funzioni continue)
Z b
a
k ¢ f(x) dx = k
f(x) · g(x) =)
¯
Z b
a
Z b
a
f(x)dx
¯ =
Z b
a
k dx = k(b ¡ a)
Z b
a
Z b
a
f(x) dx
f(x)dx ·
jf(x)j dx
Z b
a
g(x)dx
(Prodotto di una costante per una funzione continue)
(Confronto degli integrali di due funzioni)
(Integrale del modulo di una funzione)
(Integrale di una costante)
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f è una
Z
funzione continua nell’intervallo [a; b], la funzione integrale definita anch’essa per x 2 [a; b] è
x
F (x) = f(t) dt. Ne deriva che per calcolare l’integrale definito si ha che, se '(x) è una primitiva qualunque
di f(x), allora f(x) dx = ['(x)] b a = '(b) ¡ '(a).
a
Z b
a
Esempio:
Z 4
2
4x dx =
·4 x2
¸4
2
2
= £ 2x 2¤ 4
2 = 2 ¢ 42 ¡ 2 ¢ 2 2 = 32 ¡ 8 = 24.
Applicazioni
Dato il trapezoide ABCD all’intervallo [a; b], delimitato dal grafico y = f(x) (positiva o nulla), dall’asse x e dalle rette x = a e
x = b, il volume del solido che si ottiene ruotando il trapezoide attorno l’asse x di un giro completo è: V = ¼
Z b
a
f 2 (x) dx.