âιÏλÏμαÏική ÎÏγαÏία - Nemertes
âιÏλÏμαÏική ÎÏγαÏία - Nemertes
âιÏλÏμαÏική ÎÏγαÏία - Nemertes
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ<br />
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ<br />
ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ<br />
ΤΟΜΕΑΣ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ<br />
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ∆ΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗΣ<br />
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ<br />
∆ιπλωματική Εργασία<br />
του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και<br />
Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του<br />
Πανεπιστημίου Πατρών<br />
ΕΥΡΙΠΙ∆Η ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΥ<br />
Αριθμός Μητρώου:<br />
5850<br />
Θέμα<br />
«Έλεγχος μεταβατικής Ευστάθειας Συστήματος<br />
Ισχύος»
Επιβλέπων<br />
Αντώνιος Αλεξανδρίδης<br />
Αριθμός ∆ιπλωματικής Εργασίας:<br />
Πάτρα, Οκτώβριος 2009<br />
~ 2 ~
ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ<br />
Πιστοποιείται ότι η ∆ιπλωματική Εργασία με θέμα<br />
«Έλεγχος μεταβατικής Ευστάθειας Συστήματος<br />
Ισχύος»<br />
Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και<br />
Τεχνολογίας Υπολογιστών<br />
ΕΥΡΙΠΙ∆Η ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΥ του ΧΡΗΣΤΟΥ<br />
Αριθμός Μητρώου:<br />
5850<br />
Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα<br />
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις<br />
…….../……../………<br />
Ο Επιβλέπων<br />
Καθηγητής Αλεξανδρίδης Αντώνιος<br />
Ο ∆ιευθυντής του Τομέα<br />
~ 3 ~
Καθηγητής Αλεξανδρίδης Αντώνιος<br />
Αριθμός ∆ιπλωματικής Εργασίας:<br />
Θέμα: «Έλεγχος μεταβατικής Ευστάθειας<br />
Συστήματος Ισχύος»<br />
Φοιτητής:<br />
Φωτόπουλος Ευριπίδης<br />
Επιβλέπων: Αλεξανδρίδης Αντώνιος<br />
Περίληψη<br />
Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως στόχο την αντιμετώπιση των<br />
ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων οι οποίες εμφανίζονται σε μία σύγχρονη<br />
γεννήτρια παραγωγής Ηλεκτρικής Ενέργειας μετά από διαταραχές.<br />
Ο συμβατικός έλεγχος για τη διατήρηση της μηχανής σε συγχρονισμό μετά από<br />
ξαφνικές αλλαγές φορτίου, βραχυκυκλωμάτων, κλείσιμο διακοπτών ή<br />
οποιασδήποτε κατάστασης που μπορεί να προκαλέσει αστάθεια στο Σύστημα της<br />
Ηλεκτρικής Ενέργειας, γίνεται με χρήση ελεγκτικών διατάξεων Σταθεροποιητών<br />
Συστημάτων Ισχύος σε συνδυασμό με τον Αυτόματο Ρυθμιστή Τάσης (ΑΡΤ/ΣΣΙ).<br />
Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να σχεδιαστούν και να ρυθμιστούν κατάλληλα οι<br />
διατάξεις αυτές, ώστε να εξασφαλίζεται η απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων που εμφανίζονται ανάμεσα στην γεννήτρια και το υπόλοιπο<br />
σύστημα.<br />
~ 4 ~
Στην εργασία αυτή, αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στα είδη των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων και την ευστάθεια για δυναμικά Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας.<br />
Στη συνέχεια αναπτύσσεται το δυναμικό μοντέλο ενός απλού συστήματος μιας<br />
γεννήτριας άπειρου ζυγού βασισμένο στο απλοποιημένο μοντέλο 4 ης τάξης της<br />
σύγχρονης μηχανής. Επειδή το μοντέλο αυτό είναι μη γραμμικό προχωράμε στην<br />
εξαγωγή του γραμμικοποιημένου μοντέλου που θα μας βοηθήσει για τον<br />
σχεδιασμό του κατάλληλου ελεγκτή. Αξιοποιώντας ιδιότητες του μοντέλου<br />
παρουσιάζεται μια συστηματική μέθοδος σχεδίασης του Σταθεροποιητή<br />
Συστήματος Ισχύος που είναι βασισμένη στη λογική των ολοκληρωτικών<br />
υπολοίπων. Τέλος με τη βοήθεια του λογισμικού SIMULINK του MATLAB<br />
προσομοιώνεται το σύστημα σύγχρονης γεννήτριας συνδεδεμένης σε άπειρο ζυγό,<br />
που ελέγχεται με την χρήση του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης και του<br />
Σταθεροποιητή Συστήματος Ισχύος σε κατάσταση τυπικής φόρτισης. Εφαρμόζοντας<br />
διαταραχές στο σύστημα παρατηρείται η απόκριση του συστήματος και εκτιμάται<br />
η λειτουργία του ελεγκτή.<br />
Abstract<br />
This thesis aims to address the electromechanical oscillations which appear in a<br />
synchronous generator after disturbances.<br />
The conventional control for maintaining the machine synchronized after sudden<br />
load changes, short circuits, switching or any condition which may cause instability<br />
phenomena, is achieved by the use of control circuits such as Power System<br />
Stabilizers combined with the Automatic Voltage Regulator ( PSS / AVR).<br />
The purpose of this work is to design and configure properly these control circuits to<br />
ensure the reduction of electromechanical oscillations that occur between the<br />
generator and the rest of the system.<br />
In the beginning this thesis, an introduction of the types of power system<br />
electromechanical oscillations and stability is being discussed. Afterwards, the<br />
dynamic model of a simple system of a generator infinite‐bus based on simplified<br />
4th order of synchronous machine is being developed. Due to the model<br />
nonlinearities, we export the linearized model which helps us to design a suitable<br />
controller. Taking into account the model properties, we provide a systematic<br />
method for designing a Power System Stabilizer based on the residues method.<br />
Finally, using the MATLAB‐SIMULINK software, the synchronous generator infinitebus<br />
system is simulated which is controlled by an Automatic Voltage Regulator and a<br />
Power System Stabilizer. After applying disturbances, the system response is driven<br />
and analyzed along with the controller functioning.<br />
~ 5 ~
ΠΡΟΛΟΓΟΣ<br />
Η εκπόνηση της παρούσας Διπλωματικής εργασίας πραγματοποιήθηκε στο<br />
εργαστήριο Παραγωγής Μεταφοράς Διανομής και Χρησιμοποίησης της Ηλεκτρικής<br />
Ενέργειας υπό την επίβλεψη του Καθηγητή της Πολυτεχνικής Σχολής των<br />
Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου<br />
Πατρών, Αντώνιο Αλεξανδρίδη, τον οποίο και ευχαριστώ θερμότατα για την<br />
εποικοδομητική καθοδήγηση, την βοήθεια και τον χρόνο που μου αφιέρωσε.<br />
Ακόμα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καλό μου φίλο και υποψήφιο διδάκτορα της<br />
σχολής των Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών, Γεώργιο<br />
Κωνσταντόπουλο για τον χρόνο, τις πολύτιμες συμβουλές και υποδείξεις του, που<br />
συνέβαλλαν στην ολοκλήρωση της εργασίας.<br />
~ 6 ~
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ<br />
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ<br />
1.1) Εισαγωγή……………………………………………………………………………………………………..8<br />
1.2) Είδη Ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων……………………………………………………… 12<br />
1.3) Ευστάθεια δυναμικού συστήματος…………………………………………………………….14<br />
1.3.1) Ευστάθεια συστήματος κατά Liapunov……………………………………………………….14<br />
1.3.2) Είδη ευστάθειας σε δυναμικά Σύστημα Ηλεκτρικής Ενέργειας…………………..15<br />
2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ<br />
ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ<br />
2.1.1) ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ………………………………………………………………………………..16<br />
2.1.2) Μοντέλα σύγχρονων γεννητριών‐Εξισώσεις Park………………………………………17<br />
2.1.3) Μοντέλο 4ης τάξης…………………………………………………………………………………….20<br />
2.1.4) Αρχικές συνθήκες της Σύγχρονης Μηχανής……………………………………………….25<br />
2.1.5) Ευστάθεια Σύγχρονης Μηχανής………………………………………………………………..26<br />
2.2) Ρυθμιστές στροφών………………………………………………………………………………….28<br />
2.3.) Αυτόματοι Ρυθμιστές Τάσης (ΑΡΤ ή AVR )………………………………………………..29<br />
2.4.) Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος ( ΣΣΙ ή PSS) ……………………………………..30<br />
3ο Κεφάλαιο<br />
3.1) ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ………….34<br />
3.2) Γραμμικοποίηση συστήματος μηχανής –άπειρου ζυγού………………………….40<br />
3.3) Σχεδίαση σταθεροποιητών σε ένα Σύστημα Ηλεκτρικής Ενέργειας………….45<br />
3.3.1) Υπολογισμός της γωνίας αντιστάθμισης………………………………………………….46<br />
3.3.2) Υπολογισμός του κέρδους του σταθεροποιητή……………………………………….51<br />
4ο Κεφάλαιο<br />
Διάταξη Ελέγχου Matlab……………………………………………………………………………………53<br />
ΣΧΟΛΙΑ‐ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ………………..…………………………………………………66<br />
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………………………………………………..68<br />
~ 7 ~
1ο Κεφάλαιο<br />
1.1 Εισαγωγή<br />
Τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας αποτελούν μια από τις μεγαλύτερες<br />
τεχνολογικές εφαρμογές της εποχής μας. Για τον σύγχρονο κόσμο αποτελούν<br />
αναπόσπαστο κομμάτι του πολιτισμού και μια από τις πλέον αναγκαίες<br />
παραμέτρους για την οικονομική ανάπτυξη μιας χώρας.<br />
Η δυσκολία αποθήκευσης της ηλεκτρικής ενέργειας δημιούργησε την ανάγκη για<br />
την κατασκευή μεγάλων και πολύπλοκων δικτύων μεταφοράς και διανομής της. Η<br />
συνεχώς αυξανόμενη ζήτηση της ειδικότερα στα αστικά αλλά και βιομηχανικά<br />
κέντρα, έχει ως αποτέλεσμα η λειτουργία του συστήματος να γίνεται στο όριο της<br />
ικανότητας μεταφοράς του.<br />
Η νεότερη ενεργειακή πολιτική επιβάλει τη διασύνδεση των επιμέρους<br />
ενεργειακών συστημάτων πράγμα που αυξάνει την αξιοπιστία του ενιαίου<br />
συστήματος και ταυτόχρονα μειώνει το κόστος λειτουργίας του. Εκτός από την<br />
ολοένα αυξανόμενη ανάπτυξη του δικτύου αλλάζουν και τα χαρακτηριστικά του<br />
ηλεκτρικού φορτίου, γεγονός που δημιουργεί προβλήματα στην ομαλή λειτουργία<br />
των σύγχρονων συστημάτων ηλεκτρικής ενέργειας. Έτσι γίνεται κατανοητό πως η<br />
ανάλυση, ο έλεγχος και η ευστάθεια των συστημάτων ενέργειας είναι οι<br />
βασικότερες παράμετροι για την εξασφάλιση της συνεχούς και ομαλούς<br />
λειτουργίας του συστήματος κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες.<br />
Η ευστάθεια των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων των σύγχρονων μηχανών<br />
αποτελεί το κυριότερο πρόβλημα που έχει να αντιμετωπίσει ο μηχανικός που<br />
σχεδιάζει και ελέγχει το σύστημα. Οι ταλαντώσεις αυτές εμφανίζονται μετά από<br />
μία διαταραχή (μικρή ή μεγάλη) στο σύστημα και οφείλονται στην προσπάθεια<br />
διατήρησης των γεννητριών σε συγχρονισμό, και χαρακτηριστικό τους είναι η<br />
ασθενής απόσβεση.<br />
Οι ασθενώς αποσβενύμενες ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις δημιουργούν<br />
περαιτέρω ταλαντώσεις σε άλλες παραμέτρους του συστήματος, ή ακόμα και<br />
φθορά στα μηχανικά μέρη της γεννήτριας. Ακόμα οι ταλαντώσεις αυτές<br />
περιορίζουν, τα θερμικά όρια μεταφερόμενης ισχύος των γραμμών, τα όρια της<br />
ευστάθειας του συστήματος και προκαλούν πολλά προβλήματα ελέγχου.<br />
Κατά την σύνδεση πολλαπλών γεννητριών παρουσιάζονται οι ταλαντώσεις<br />
διασύνδεσης οι οποίες έχουν χαμηλή συχνότητα και είναι δύσκολο να<br />
αντιμετωπιστούν.<br />
~ 8 ~
Οι ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις εμφανίζονται σε πολύ μικρό χρονικό διάστημα,<br />
αφότου υπάρξει μια διαταραχή στο σύστημα. Στο ίδιο χρονικό διάστημα<br />
εμφανίζονται και άλλοι ταλαντωτικοί ρυθμοί λόγω της δράσης διάφορων<br />
ρυθμιστών όπως του αυτόματου ρυθμιστή τάσης, του ρυθμιστή στροφών και του<br />
σταθεροποιητή. Η προσπάθεια είναι να αντιμετωπίζονται άμεσα, και έτσι οι<br />
γεννήτριες να παραμένουν σε συγχρονισμό.<br />
Επειδή τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας περιγράφονται από μη γραμμικά<br />
μοντέλα, τον τρόπο συμπεριφοράς του δικτύου για μικρές διαταραχές γύρω από το<br />
σημείο λειτουργίας μπορούμε να τον αναλύσουμε στο πεδίο της συχνότητας ή του<br />
χρόνου, με την χρήση γραμμικοποιημένων μοντέλων όλων των δυναμικών μερών<br />
του συστήματος που ενεργοποιούνται στο διάστημα της διαταραχής. Η ανάλυση<br />
της ευστάθειας των μικρών αυτών διαταραχών στο γραμμικοποιημένο μοντέλο<br />
δίνει πολλά πλεονεκτήματα μεταξύ των οποίων είναι ότι μπορεί να γίνεται με τον<br />
υπολογισμό των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων των μεταβλητών κατάστασης<br />
που περιγράφουν το σύστημα(ανάλυση των ρυθμών του συστήματος). Στην<br />
ανάλυση αυτή σημαντικό ρόλο παίζουν πολλοί παράγοντες. Παραδείγματος χάριν,<br />
εξαιτίας της σταδιακής αύξησης του φορτίου ή του κέρδους ενός ρυθμιστή ή<br />
κάποιας άλλης παραμέτρου του συστήματος αλλάζει το σημείο λειτουργίας του και<br />
έτσι μετατοπίζονται οι ιδιοτιμές στο μιγαδικό επίπεδο και αλλάζει η μορφή των<br />
ιδιοδιανυσμάτων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι νέοι ρυθμοί να συνεπάγονται<br />
διαφορετική απόκριση σε μια διαταραχή από ότι οι προηγούμενοι.<br />
Όπως προαναφέρθηκε τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας περιέχουν πολλούς<br />
ρυθμούς ταλαντώσεων λόγω της αλληλεπίδρασης των επιμέρους δυναμικών<br />
συστημάτων που τα αποτελούν. Οι ταλαντώσεις αυτές γίνονται ιδιαίτερα έντονες<br />
όταν ορισμένες διαταραχές αναστέλλουν τους μηχανισμούς απόσβεσης ή φέρνουν<br />
το σύστημα πολύ κοντά στα όρια της ευστάθειας μικρών διαταραχών. Από την<br />
στιγμή που εμφανίζονται οι ασταθείς ταλαντώσεις το πλάτος τους διαρκώς<br />
αυξάνεται και συνοδεύονται από ταλαντώσεις της συχνότητας ή της τάσης και<br />
οδηγούν σε μεγάλες αποκλίσεις από τις ονομαστικές τιμές του συστήματος. Αυτό<br />
έχει σαν αποτέλεσμα να έχουμε αποσυγχρονισμό των σύγχρονων μηχανών και<br />
μερική ή ολική κατάρρευση του ηλεκτρικού δικτύου.<br />
Οι πλέον συνηθισμένες ταλαντώσεις που εμφανίζονται στα Συστήματα Ηλεκτρικής<br />
Ενέργειας αφορούν την ταλάντωση των στρεφόμενων μαζών των δρομέων των<br />
σύγχρονων μηχανών μεταξύ τους ή σε σχέση προς κάποιο σταθερά στρεφόμενο<br />
πλαίσιο αναφοράς, όπως ο άπειρος ζυγός. Η τυχούσα μεταβολή των παραμέτρων<br />
του συστήματος που συνήθως προκαλείται από κάποια διαταραχή (μεταβολή<br />
φορτίου, σφάλματα κλπ) αλλάζει το σημείο λειτουργίας του και συνοδεύεται από<br />
μεταβολές της ηλεκτρικής και μηχανικής ισχύος της γεννητριών καθώς αυτές<br />
προσπαθούν να προσεγγίσουν το νέο σημείο ισορροπίας. Έτσι η ταχύτητα<br />
~ 9 ~
περιστροφής των γεννητριών απομακρύνεται από την σύγχρονη γεγονός που<br />
προκαλεί ανταλλαγή κινητικής και ηλεκτρικής ενέργειας μεταξύ των συνδεόμενων<br />
γεννητριών. Αν η γεννήτρια δεν οδηγηθεί σε αποσυγχρονισμό μετά την διαταραχή<br />
προσεγγίζει το νέο σημείο ισορροπίας και επανέρχεται στην σύγχρονη ταχύτητα.<br />
Κατά την διάρκεια της προσέγγισης στο νέο σημείο ισορροπίας ο δρομέας της<br />
γεννήτριας εκτελεί μια ταλάντωση ως προς τον δρομέα άλλης συνδεδεμένης<br />
γεννήτριας και ταυτόχρονα μια ταλάντωση ως προς το εξωτερικό σύστημα. Η<br />
ταλάντωση των δύο δρομέων των μηχανών οφείλεται στην προσπάθεια<br />
συγχρονισμού των μαγνητικών πεδίων των γεννητριών. Οι ταλαντώσεις αυτές<br />
ονομάζονται ταλαντώσεις ισχύος ή ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις και<br />
συνοδεύονται από ανταλλαγή ισχύος μεταξύ των διασυνδεδεμένων σύγχρονων<br />
μηχανών.<br />
Η συχνότητα και η απόσβεση των ταλαντώσεων ισχύος εξαρτώνται από τα<br />
χαρακτηριστικά του δικτύου αλλά και από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κάθε<br />
σύγχρονης γεννήτριας. Σημαντικό ρόλο έχουν : η τιμή της αδράνειας του άξονα της<br />
γεννήτριας ,τα ηλεκτρικά χαρακτηριστικά των τυλιγμάτων του δρομέα όπως και οι<br />
διατάξεις ελέγχου των γεννητριών.<br />
Ενδεικτικά αίτια που μπορούν να προκαλέσουν ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις<br />
είναι η μεταφορά ενεργού ή άεργου ισχύος σε δίκτυα με μη ισχυρή διασύνδεση,<br />
αλλαγές στο φορτίο ή στην τοπολογία του δικτύου, το μεγάλο κέρδος των<br />
ρυθμιστών τάσης σε συνάρτηση με πολύ μικρές χρονικές σταθερές του, τη<br />
χωρητική λειτουργία των σύγχρονων γεννητριών, την μη γραμμική συμπεριφορά<br />
των φορτίων κλπ.<br />
Η δυνατότητα κατανόησης των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων γίνεται με την<br />
ανάλυση της μηχανικής και ηλεκτρομαγνητικής ροπής των μηχανών σε μία<br />
συνιστώσα ροπής συγχρονισμού, σε φάση με την μεταβολή της γωνίας δ της<br />
σύγχρονης γεννήτριας και μία συνιστώσα ροπής απόσβεσης, σε φάση με την<br />
μεταβολή της ταχύτητας του δρομέα.<br />
Η ροπή συγχρονισμού είναι η συνιστώσα της ηλεκτρομαγνητικής ροπής που<br />
περιορίζει την απόκλιση των δυο πεδίων των μηχανών και τις κρατά σε<br />
συγχρονισμό. Έχει μεγάλη τιμή και παίζει ρόλο στην μεταβατική ευστάθεια γωνίας,<br />
μετά από μια απότομη μεταβολή και καθορίζει τη συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής<br />
ταλάντωσης.<br />
Η ροπή απόσβεσης είναι η συνιστώσα της ηλεκτρομαγνητικής ροπής που<br />
περιορίζει την απόκλιση της ταχύτητας περιστροφής της γεννήτριας από την<br />
ονομαστική τιμή. Ο ρόλος της είναι να διατηρήσει την ευστάθεια του συστήματος<br />
μετά την μεταβατική περίοδο ύστερα από μια μεγάλη μεταβολή η οποία είναι<br />
~ 10 ~
γνωστή ως ευστάθεια πρώτου κύκλου. Έχει συνήθως μικρή τιμή και μπορεί να γίνει<br />
αρνητική λόγω της δράσης άλλων διατάξεων ελέγχου που μπορεί να δράσουν ως<br />
αρνητικές πηγές απόσβεσης.<br />
Η εμφάνιση των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων αποδόθηκε παλαιότερα στην<br />
αρνητική ροπή απόσβεσης που εισήγαγε το τύλιγμα του πεδίου, για ορισμένες<br />
τιμές της σύνθετης αντίστασης της γραμμής διασύνδεσης. Ωστόσο η προσθήκη<br />
επιπλέον τυλιγμάτων απόσβεσης στο δρομέα μηχανής και η κατάλληλη ρύθμιση<br />
της σύνθετης αντίστασης εξάλειψαν το φαινόμενο σε ότι αφορά την συγκεκριμένη<br />
αυτή αιτία.<br />
Όμως, το φαινόμενο αυτό εξακολουθεί να εμφανίζεται λόγω της εισαγωγής των<br />
Αυτόματων Ρυθμιστών Τάσης και την αύξηση της μεταφερόμενης ισχύος σε<br />
γραμμές μεγάλου μήκους. Η επίδραση των Αυτόματων Ρυθμιστών Τάσης στο πεδίο<br />
του τυλίγματος εισάγει αρνητική ροπή απόσβεσης, η οποία αυξάνει με το κέρδος<br />
του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης και μπορεί να πάρει τιμές μεγαλύτερες από την<br />
θετική ροπή απόσβεσης που εισάγουν τα τυλίγματα απόσβεσης της σύγχρονης<br />
μηχανής. Το νέο αυτό φαινόμενο δεν ήταν δυνατό να αντιμετωπιστεί με περαιτέρω<br />
τυλίγματα απόσβεσης εξαιτίας της μεγάλης αύξησης του ρεύματος βραχυκύκλωσης<br />
των γεννητριών.<br />
Την λύση για αυτό το πρόβλημα έδωσαν νέες διατάξεις ελέγχου οι οποίες<br />
επιδρούν τοπικά στην διέγερση ώστε αυτή να εισάγει θετική ροπή απόσβεσης. Οι<br />
διατάξεις αυτές είναι γνωστές ως Σταθεροποιητές των Συστημάτων Ηλεκτρικής<br />
Ενέργειας‐ΣΣΙ (Power System Stabilizers‐PSS), και ενεργούν στην διέγερση μιας<br />
γεννήτριας ώστε να προπορεύεται η φάση, γεγονός που αντισταθμίζει την<br />
καθυστέρηση φάσης που εισάγουν ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης και το τύλιγμα<br />
πεδίου.<br />
Η ανάπτυξη των διασυνδέσεων μεγάλων συστημάτων ηλεκτρικής ενέργειας<br />
δημιουργεί νέα προβλήματα στην απόσβεση των ταλαντώσεων ισχύος. Οι<br />
ταλαντώσεις διασύνδεσης μπορεί να εμπλέκουν πολλές γεννήτριες από<br />
διαφορετικά συστήματα γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε εμφάνιση<br />
ταλαντώσεων λόγω διαφορετικής λειτουργίας των συστημάτων διέγερσής τους.<br />
Ακόμα μπορούν να εμφανιστούν εξαιτίας άλλων φαινομένων όπως η<br />
βραχυπρόθεσμη ταλαντωτική αστάθεια τάσεων των ζυγών διασύνδεσης, λόγω της<br />
δυναμικής συμπεριφοράς των φορτίων. Όμως οι σταθεροποιητές ΣΣΙ σχεδιάζονται<br />
και λειτουργούν τοπικά με μεθόδους αποκεντρωμένου ελέγχου, έτσι δεν είναι<br />
αυτονόητο ότι μπορούν πάντοτε να αντιμετωπίσουν αποτελεσματικά αυτές τις<br />
συμπεριφορές.<br />
Για την αντιμετώπιση ταλαντώσεων διασύνδεσης χρησιμοποιούνται τα τελευταία<br />
χρόνια επιπλέον διατάξεις που βασίζονται στα ηλεκτρονικά ισχύος. Παραδείγματα<br />
~ 11 ~
τέτοιων διατάξεων είναι οι στατοί αντισταθμιστές άεργου ισχύος (SVC), και<br />
διάφορες άλλες διατάξεις ευέλικτων συστημάτων μεταφοράς εναλλασσόμενου<br />
ρεύματος (FACTS). Οι διατάξεις αυτές ενεργούν στις σύνθετες αντιστάσεις<br />
επιλεγμένων γραμμών μεταφοράς ή στις τάσεις των ζυγών διασύνδεσης, με τρόπο<br />
τέτοιο ώστε να αυξάνεται η απόσβεση του ηλεκτρομηχανικού ρυθμού.<br />
Ωστόσο παρότι η νέα γενιά ρυθμιστών μπορεί να μειώσει τις ηλεκτρομηχανικές<br />
ταλαντώσεις σε απλά συστήματα και σε συστήματα μιας μηχανής‐ άπειρου ζυγού,<br />
δεν υπάρχουν σαφείς ενδείξεις σημαντικής βελτίωσης της απόσβεσης με μόνη τη<br />
χρήση αυτών των συσκευών σε σχέση με αυτήν που μπορεί να επιτευχθεί αν γίνει<br />
σωστή χρήση κατάλληλα ρυθμισμένων σταθεροποιητών. Ακόμα το υψηλό τους<br />
κόστος σε συνάρτηση με την δυσκολία σχεδίασης και ελέγχου τους, καθιστά την<br />
δράση τους συμπληρωματική ως προς την δράση των σταθεροποιητών για τον<br />
έλεγχο των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων.<br />
1.2 Είδη Ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων<br />
Οι ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ταξινομούνται ως εξής :<br />
1.) Τοπικές ταλαντώσεις (Local modes)<br />
Περιγράφουν την ταλάντωση των δρομέων των γεννητριών ενός σταθμού<br />
παραγωγής μεταξύ τους ή μεταξύ γεννητριών πολύ κοντινών σταθμών.<br />
Δημιουργούνται συνήθως από την δράση Αυτόματων Ρυθμιστών Τάσης<br />
ταχείας απόκρισης όταν αυτοί λειτουργούν με μεγάλη τιμή κέρδους, ενώ η<br />
γεννήτρια τροφοδοτεί ένα σχετικά ασθενές δίκτυο μεταφοράς. Οι<br />
ταλαντώσεις αυτές εμφανίζονται σε ένα φάσμα συχνοτήτων 1~2 Hz .<br />
2.) Ενδοσυστηματικές ταλαντώσεις (Intra‐area oscillations )<br />
Είναι οι ταλαντώσεις που εμφανίζονται μεταξύ σταθμών παραγωγής οι<br />
οποίοι βρίσκονται σε διαφορετικές γεωγραφικές περιοχές του ίδιου<br />
Συστήματος Ηλεκτρικής Ενέργειας και συνοδεύονται από ανταλλαγές<br />
ισχύος μεταξύ τους.<br />
~ 12 ~
3.) Ταλαντώσεις διασυνδέσεων (Inter‐area oscillations)<br />
Οι ταλαντώσεις αυτές αφορούν το σύνολο των σύγχρονων μηχανών ενός<br />
συστήματος σε συνάρτηση με το σύνολο των μηχανών ενός γειτονικού<br />
συστήματος , όταν συνδέονται μέσω ενός ασθενούς δικτύου μεταφοράς.<br />
Βρίσκονται σε συχνότητες 0.1~0.5 Hz και ο έλεγχος της απόσβεσης τους<br />
είναι δύσκολος καθώς απαιτεί σωστή σχεδίαση των διατάξεων απόσβεσης<br />
σε ένα μεγάλο αριθμό μηχανών.<br />
4.) Υποσύγχρονες στρεπτικές ταλαντώσεις (Torsional Oscillations)<br />
Είναι οι στρεπτικές ταλαντώσεις μεταξύ των στρεφόμενων μαζών της<br />
γεννήτριας και του ατμοστροβίλου(οι υδροστρόβιλοι είναι πιο στιβαροί και<br />
δεν έχουν πρόβλημα), οι οποίες εκδηλώνονται με την σχετική κίνηση μεταξύ<br />
των επιμέρους τμημάτων του άξονα που τις συνδέει. Οι ταλαντώσεις αυτές<br />
διεγείρονται από τους ρυθμιστές των στροφών των στροβίλων και την<br />
διέγερση της γεννήτριας και εμφανίζονται σε συχνότητες 10~30 Hz και<br />
έχουν χαμηλή απόσβεση.<br />
5.) Ταλαντώσεις που διεγείρονται από τις διατάξεις ελέγχου<br />
(Control Excitation Oscillations)<br />
Εμφανίζονται λόγω της επίδρασης που έχει ένας Αυτόματος Ρυθμιστής<br />
Τάσης στους ρυθμούς ενός Συστήματος Ηλεκτρικής Ενέργειας. Η<br />
ενεργοποίηση ενός ρυθμιστή και η σταδιακή αύξηση του κέρδους αλλάζει<br />
το σημείο λειτουργίας και προκαλεί την αλληλεπίδραση των ρυθμών του<br />
συστήματος. Η πλέον έντονη μορφή μπορεί να εμφανιστεί όταν έχουμε<br />
συντονισμό των ρυθμών. Σε περίπτωση λανθασμένης σχεδίασης διατάξεων<br />
ελέγχου που επιδρούν στην απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων<br />
μπορεί να προκληθεί ανεπιθύμητη δράση ενός ρυθμιστή σε κάποιο<br />
ηλεκτρομηχανικό ρυθμό και αυτό γίνεται συνήθως όταν το κέρδος του<br />
ρυθμιστή παίρνει μεγάλες τιμές. Η αύξηση του κέρδους του αυτόματου<br />
ρυθμιστή τάσης έχει ως αποτέλεσμα να εκδηλώνεται μια ταλάντωση<br />
ανάμεσα στην Ηλεκτρεγερτική δύναμη του τυλίγματος διέγερσης και τη<br />
μαγνητική ροή του πεδίου. Οι ταλαντώσεις του συστήματος διέγερσης<br />
εμφανίζονται με διάφορες συχνότητες και έχουν μεγάλη απόσβεση.<br />
Επιδρούν με τις ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις και μπορούν να<br />
προκαλέσουν αστάθεια.<br />
~ 13 ~
1.3 Ευστάθεια δυναμικού συστήματος<br />
Η ευστάθεια είναι μία βασική ιδιότητα που πρέπει να χαρακτηρίζει τη<br />
λειτουργία ενός δυναμικού συστήματος. Το σύστημα χαρακτηρίζεται ευσταθές<br />
όταν αφού υποστεί μία διαταραχή τείνει να επανέλθει σε μόνιμη κατάσταση<br />
λειτουργίας κοντά στην αρχική. Αντίθετα, χαρακτηρίζεται ασταθές όταν μετά από<br />
κάποια διαταραχή δεν επανέρχεται σε μόνιμη κατάσταση ή όταν η μόνιμη<br />
κατάσταση δεν είναι αποδεκτή.<br />
1.3.1Ευστάθεια συστήματος κατά Liapunov<br />
Η κατά Liapunov ευστάθεια είναι μία τοπική ιδιότητα του συστήματος που<br />
αφορά περιοχές κοντά στα σημεία ισορροπίας. Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή<br />
υπάρχει μία περιοχή μέσα στην οποία έλκονται οι τροχιές του συστήματος από ένα<br />
ευσταθές σημείο ισορροπίας. Η περιοχή αυτή καλείται «περιοχή έλξης» του<br />
σημείου ισορροπίας.<br />
Τα συστήματα που μελετώνται στην πλειοψηφία τους χαρακτηρίζονται από μη<br />
γραμμική συμπεριφορά και τέτοια είναι και τα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας. Η<br />
μελέτη ευστάθειας γίνεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα κατάστασης A του<br />
γραμμικοποιημένου μοντέλου, το οποίο χαρακτηρίζεται από σχέσεις της μορφής:<br />
Δ x<br />
= ΑΔ x + ΒΔu<br />
Δ y = CΔ x + D Δu<br />
.<br />
Όπου ο πίνακας κατάστασης Α στην περίπτωση αυτή είναι η Ιακωβιανή του<br />
συστήματος.<br />
Είναι γνωστό ότι σε ένα γραμμικό σύστημα η ευστάθεια του σημείου<br />
ισορροπίας προσδιορίζεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα κατάστασης Α. Αν όλες οι<br />
ιδιοτιμές έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη, το σημείο ισορροπίας είναι<br />
ασυμπτωτικά ευσταθές. Αν έστω και μία ιδιοτιμή έχει θετικό πραγματικό μέρος το<br />
σημείο είναι ασταθές.<br />
~ 14 ~
1.3.2 Είδη ευστάθειας σε δυναμικά Σύστημα Ηλεκτρικής<br />
Ενέργειας<br />
Τα φαινόμενα που απασχολούν τις μελέτες ευστάθειας σε ένα Σύστημα<br />
Ηλεκτρικής Ενέργειας διακρίνουν την ευστάθεια στις εξής τρεις κατηγορίες:<br />
• Ευστάθεια μόνιμης κατάστασης ή μικρών διαταραχών, που σχετίζεται με<br />
την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας και αφορά στην απόκριση του<br />
συστήματος σε μικρές διαταραχές (π.χ. μικρές ή μεσαίες μεταβολές<br />
φορτίσεων του συστήματος).<br />
• Μεταβατική ευστάθεια, που αναφέρεται στις μεγάλες και απότομες<br />
διαταραχές δυναμικής μορφής που είναι αποτέλεσμα ή συνεπάγονται<br />
μεταβολή των στοιχείων του συστήματος (π.χ. βραχυκυκλώματα,<br />
απόρριψη ή εισαγωγή μεγάλων φορτίων κλπ ).<br />
• Ευστάθεια τάσης, που αναφέρεται στην ικανότητα ενός συστήματος να<br />
διατηρήσει μετά από μία διαταραχή ικανοποιητικές τάσεις σε όλους τους<br />
ζυγούς.<br />
~ 15 ~
2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ<br />
ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ<br />
2.1.1) ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ<br />
Στην παρούσα εργασία η ανάλυση μας βασίζεται στο γραμμικοποιημένο μοντέλο<br />
του συστήματος γύρω από κάποιο σημείο λειτουργίας. Προτού παρουσιαστεί το<br />
γραμματικοποιημένο μοντέλο της σύγχρονης μηχανής καλό θα είναι να<br />
περιγραφούν και κάποια βασικά στοιχεία της θεωρίας των σύγχρονων μηχανών για<br />
να μπορέσουμε τελικά να εξάγουμε το μαθηματικό μοντέλο το οποίο θα<br />
χρειαστούμε για την ανάλυση της ευστάθειας των μικρών διαταραχών που θα<br />
μελετήσουμε. Οι σύγχρονες μηχανές έχουν τον κυριότερο ρόλο στις<br />
ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ενός Συστήματος Ηλεκτρικής Ενέργειας. Η<br />
συχνότητα και η απόσβεση των ταλαντώσεων εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά<br />
του δικτύου και της μηχανής, με κυριότερο παράγοντα την τιμή της αδράνειας του<br />
άξονα της γεννήτριας, τις αντιστάσεις, τις επαγωγικές αντιδράσεις, τις χρονικές<br />
σταθερές των ηλεκτρικών τυλιγμάτων του δρομέα των γεννητριών και τις διατάξεις<br />
ελέγχου.<br />
Ο αριθμός των τυλιγμάτων που περιγράφουν τον δρομέα καθορίζουν την τάξη<br />
του μοντέλου της μηχανής και την ακρίβεια ανάλυσης της μεταβατικής<br />
συμπεριφοράς του δρομέα στο διάστημα μιας διαταραχής. Η περιγραφή του<br />
δρομέα των σύγχρονων μηχανών γίνεται με την θεώρηση του τυλίγματος πεδίου<br />
στον ευθύ άξονα του δρομέα και ενός τυλίγματος απόσβεσης στον εγκάρσιο άξονα.<br />
Για την μελέτη μας θα θεωρήσουμε ότι το δίκτυο είναι σε μόνιμη ημιτονοειδή<br />
κατάσταση και έτσι η ταχύτητα περιστροφής της μηχανής είναι συγχρονισμένη στην<br />
ταχύτητα περιστροφής του πλαισίου αναφοράς. Ο στάτης της μηχανής όπως και τα<br />
ρεύματα και οι τάσεις του δικτύου μεταβάλλονται αρμονικά με τη συχνότητα του<br />
συστήματος μας. Για τον λόγο αυτό αμελούνται οι επιδράσεις των μεταβατικών<br />
φαινομένων της μαγνητικής ροής των τυλιγμάτων του στάτη οι οποίες<br />
περιγράφονται ως τάσεις μετασχηματιστή στην εξίσωση της τάσεως ακροδεκτών<br />
μιας σύγχρονης μηχανής. Αυτή η παραδοχή δεν σημαίνει ότι η ταχύτητα<br />
περιστροφής παραμένει σταθερή αλλά ότι η επίδραση που αυτή έχει στα ηλεκτρικά<br />
μεγέθη του στάτη είναι αμελητέα. Από την άλλη μεριά η μηχανική εξίσωση κίνησης<br />
του δρομέα λαμβάνεται υπόψη γιατί οι μικρές μεταβολές της ταχύτητας<br />
~ 16 ~
περιστροφής έχουν σημαντική επίδραση στην τιμή της γωνίας δ της μηχανής όπως<br />
και στις εξισώσεις που περιγράφουν τα ηλεκτρικά μεγέθη του δρομέα.<br />
2.1.2)Μοντέλα σύγχρονων γεννητριών‐Εξισώσεις Park<br />
Η μαθηματική ανάλυση των σύγχρονων μηχανών απλοποιείται σημαντικά με<br />
την εφαρμογή του μετασχηματισμού Park, όπου οι πραγματικές επαγωγικές<br />
αντιδράσεις των τυλιγμάτων του στάτη προβάλλονται σε ένα σύστημα αξόνων d‐q‐<br />
0, δημιουργώντας τρία φανταστικά τυλίγματα. Οι άξονες d‐q δημιουργούν ένα<br />
ορθογώνιο σύστημα αξόνων το οποίο είναι προσαρμοσμένο στο δρομέα της<br />
μηχανής και στρέφεται με την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα, ενώ ο άξονας 0<br />
δεν είναι μαγνητικά συζευγμένος με τους άλλους δυο και ενεργοποιείται μόνο σε<br />
περιπτώσεις ασύμμετρων συνθηκών. Ο άξονας d είναι ευθυγραμμισμένος με το<br />
μαγνητικό τύλιγμα του πεδίου διέγερσης της μηχανής (ευθύς άξονας), και ο<br />
εγκάρσιος άξονας q προπορεύεται του άξονα d κατά 90 ο . Αποτέλεσμα αυτού του<br />
μετασχηματισμού είναι ότι αν η ηλεκτρική ταχύτητα περιστροφής του δρομέα είναι<br />
ίση με την συχνότητα των ηλεκτρικών μεγεθών του στάτη, οι επαγωγικές<br />
αντιδράσεις του στάτη, όπως φαίνονται από τα τυλίγματα του δρομέα δεν<br />
μεταβάλλονται με το χρόνο και η μηχανή μπορεί να παρασταθεί από δυο<br />
συζευγμένα ισοδύναμα μαγνητικά κυκλώματα με σταθερές παραμέτρους. Τo<br />
μαγνητικό πεδίο που δημιουργούν τα τυλίγματα της σύγχρονης μηχανής θεωρούμε<br />
ότι έχει ημιτονοειδή κατανομή στο διάκενο, και έτσι τα δυο μαγνητικά κυκλώματα<br />
των οποίων οι άξονες είναι κάθετοι δεν είναι μαγνητικά συζευγμένα.<br />
Θεωρούμε ακόμα πως οι αύλακες του στάτη δεν προκαλούν σημαντική<br />
μεταβολή των αυτεπαγωγών και αλληλεπαγωγών λόγω της θέσης του δρομέα.<br />
Τέλος η μαγνητική υστέρηση και η συνεισφορά του μαγνητικού κορεσμού<br />
αμελούνται. Η τελευταία θεώρηση γίνεται γιατί δεν υπάρχουν γραμμικά μοντέλα<br />
και έτσι είναι πολύ δύσκολη η ανάλυση τους. Τα υπόλοιπα αντίθετα εισάγουν<br />
αμελητέο σφάλμα στην λειτουργία της μηχανής.<br />
Η κυκλωματική παράσταση σύγχρονης μηχανής που λειτουργεί σαν γεννήτρια<br />
φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:<br />
~ 17 ~
Το κύκλωμα του στάτη αποτελείται από τα τριφασικά τυλίγματα του τυμπάνου<br />
με τάσεις Ua, Ub , Uc και ρεύματα ia,ib,ic.<br />
Το κύκλωμα του δρομέα αποτελείται από το τύλιγμα πεδίου με τάση U fd και<br />
ρεύμα i fd . Επιπλέον εισάγονται τα τυλίγματα απόσβεσης της γεννήτριας.<br />
Ο αριθμός των τυλιγμάτων όπως έχουμε προαναφέρει καθορίζει την τάξη του<br />
ισοδύναμου μοντέλου, δηλαδή τον αριθμό των μεταβλητών κατάστασης και των<br />
διαφορικών εξισώσεων που χρησιμοποιούνται για την παράσταση των δυναμικών<br />
φαινομένων του δρομέα.<br />
Επομένως με χρήση του μετασχηματισμού του Park τα τρία τυλίγματα του στάτη<br />
αντικαθίστανται από τρία άλλα υποθετικά ισοδύναμα τυλίγματα. Δύο από αυτά τα<br />
τυλίγματα βρίσκονται στους ίδιους άξονες με αυτά του δρομέα. Το πρώτο<br />
βρίσκεται στον ευθύ άξονα και το συμβολίζουμε με το γράμμα d. Το δεύτερο στον<br />
εγκάρσιο άξονα και το συμβολίζουμε με το γράμμα q . Το τρίτο τύλιγμα, το<br />
συμβολίζουμε με 0, δεν είναι μαγνητικά συζευγμένο με τα άλλα δύο και επειδή<br />
συμμετέχει μόνο στις ασύμμετρες συνθήκες φόρτισης μπορεί να αμεληθεί .<br />
Η μαθηματική παράσταση του ηλεκτρικού μέρους της σύγχρονης μηχανής μετά<br />
το μετασχηματισμό Park στο σύστημα μας είναι η ακόλουθη:<br />
~ 18 ~
Η εφαρμογή του μετασχηματισμού Park δίνει τις εξής εξισώσεις για το ηλεκτρικό<br />
μέρος του στάτη:<br />
U<br />
ωr<br />
1<br />
•<br />
d<br />
=−ri<br />
a d<br />
− Ψ<br />
q<br />
+ Ψd<br />
ωo<br />
ωo<br />
(2.1.1)<br />
U<br />
ωr<br />
1<br />
•<br />
=−ri<br />
− Ψ + Ψ q<br />
(2.1.2)<br />
ω ω<br />
q a d d<br />
o<br />
o<br />
όπου<br />
U d ,U q :οι τάσεις των τυλιγμάτων d,q, του στάτη αντίστοιχα<br />
i d ,i q : τα ρεύματα των τυλιγμάτων του στάτη<br />
Ψ d ,Ψ q :οι πεπλεγμένες ροές των τυλιγμάτων d, q του στάτη<br />
ω r : η ηλεκτρική γωνιακή ταχύτητα δρομέα (rad/sec)<br />
ω ο : η σύγχρονη ταχύτητα (rad/sec)<br />
r a : η ωμική αντίσταση του στάτη<br />
Αντίστοιχα για τα τυλίγματα του δρομέα του σχήματος μας έχουμε:<br />
~ 19 ~
U<br />
1<br />
•<br />
fd<br />
= rfdifd<br />
+ Ψ fd<br />
ω ο<br />
(2.1.3)<br />
1<br />
= + Ψ (2.1.4)<br />
•<br />
0 r1di1d<br />
1d<br />
ω ο<br />
1<br />
•<br />
0 = ri<br />
1q<br />
1q<br />
+ Ψ1q<br />
ω ο<br />
(2.1.5)<br />
1<br />
= + Ψ (2.1.6)<br />
•<br />
0 r2qi2q<br />
2q<br />
ω ο<br />
Όπου οι σύγχρονες μηχανές εμφανίζουν τα ακόλουθα μεταβατικά φαινόμενα:<br />
1. Μεταβατικά φαινόμενα στο στάτη, που περιγράφονται από τις τάσεις του<br />
μετασχηματιστή.<br />
2. Μεταβατικά φαινόμενα στο δρομέα, τα οποία περιγράφονται από τις<br />
παραγώγους των μαγνητικών ροών των τυλιγμάτων του δρομέα και διακρίνονται<br />
σε υπομεταβατικά, που σχετίζονται με την απόκριση των τυλιγμάτων απόσβεσης<br />
και σε μεταβατικά , που σχετίζονται με την απόκριση του τυλίγματος πεδίου.<br />
3. Μηχανικά μεταβατικά φαινόμενα που σχετίζονται με την κίνηση του άξονα.<br />
Αν αμεληθούν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, τα ρεύματα και οι τάσεις του<br />
στάτη περιέχουν μόνο όρους θεμελιώδους συχνότητας και οι (2.1.1),(2.1.2)<br />
γίνονται αλγεβρικές.<br />
2.1.3) Μοντέλο 4 ης τάξης<br />
Το μοντέλο της σύγχρονης γεννήτριας το οποίο θα μελετήσουμε εμείς είναι το<br />
μοντέλο 4 ης τάξης το οποίο βασίζεται στις ακόλουθες παραδοχές:<br />
•<br />
•<br />
1.) Οι τάσεις μετασχηματιστή Ψ d και Ψ q αμελούνται, έτσι οι (2.1.1),(2.1.1)<br />
διαφορικές εξισώσεις μετατρέπονται σε αλγεβρικές<br />
~ 20 ~
2.) Η απόκλιση της γωνιακής ταχύτητας του δρομέα από την ονομαστική γωνιακή<br />
ταχύτητα ω 0 θεωρείται μηδενική άρα ω r =ω 0 .<br />
3.) Στον δρομέα θεωρούνται μόνο το τύλιγμα του πεδίου διέγερσης και το τύλιγμα<br />
απόσβεσης στον άξονα q.<br />
4.) Τέλος αμελείται η επίδραση του μαγνητικού κορεσμού.<br />
Έτσι οι σχέσεις του στάτη και του δρομέα παίρνουν την εξής μορφή:<br />
U<br />
d<br />
=−Ψ − r i<br />
(2.1.7)<br />
q<br />
a<br />
d<br />
U =−Ψ − r i<br />
(2.1.8)<br />
q<br />
d<br />
a q<br />
U fd<br />
1<br />
•<br />
= Ψ fd − r a<br />
i d<br />
(2.1.9)<br />
ω<br />
0<br />
1<br />
= Ψ − (2.1.10)<br />
•<br />
0 kq ri<br />
a kq<br />
ω<br />
0<br />
Οι πεπλεγμένες μορφές ροών είναι :<br />
Ψ<br />
d<br />
=− Xi<br />
d d<br />
+ Xafdifd<br />
(2.1.11)<br />
Ψ<br />
q<br />
=− Xi<br />
q q<br />
+ Xakqikq<br />
(2.1.12)<br />
Ψ<br />
fd<br />
=− Xafdid + X<br />
ffdifd<br />
(2.1.13)<br />
Ψ =− + (2.1. 14)<br />
kq<br />
Xakqq i Xkkqkq<br />
i<br />
Όπου:<br />
Χ d : Η σύγχρονη αντίδραση στον άξονα d<br />
X q : Η σύγχρονη αντίδραση στον άξονα q<br />
Χ afd , X akq : Οι αντιδράσεις αλληλεπαγωγής μεταξύ των τυλιγμάτων<br />
του στάτη και του δρομέα.<br />
Χ ffd , X kkq : Οι αντιδράσεις των τυλιγμάτων διέγερσης και απόσβεσης<br />
~ 21 ~
Για μόνιμη κατάσταση λειτουργίας θεωρούμε ότι i kq =0 και<br />
προκύπτουν οι εξισώσεις τάσης της σύγχρονης μηχανής :<br />
.<br />
Ψ<br />
fd<br />
=0 και έτσι<br />
Ud = Xqiq −ri<br />
a d<br />
(2.1.15)<br />
Uq =−Xdid − ri<br />
a q<br />
+ Xafdifd<br />
(2.1.16)<br />
X i = E όπου η Ε q , είναι η Ηλεκτρεγερτική δύναμη κενού φορτίου<br />
afd fd<br />
q<br />
Σε μορφή πινάκων οι εξισώσεις μόνιμης κατάστασης είναι:<br />
⎛Ud ⎞ ⎛0<br />
⎞ ⎛ r i<br />
a<br />
−Xq⎞⎛<br />
d ⎞<br />
⎜ ⎟= ⎜ ⎟−<br />
Uq<br />
E<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎟⎠ (2.1.17)<br />
⎝ ⎠ ⎝ q ⎠ ⎝X<br />
i<br />
d<br />
ra<br />
⎠⎝<br />
q<br />
Και αν απαλείψουμε το ρεύμα i fd από τις (2.3.11),(2.3.13) έχουμε:<br />
X<br />
X<br />
afd<br />
ffd<br />
2<br />
Xafd<br />
Ψ<br />
fd<br />
=Ψ<br />
d<br />
+ ( X<br />
d<br />
− ) i d<br />
(2.1.18)<br />
X<br />
ffd<br />
Ομοίως αν απαλείψουμε και το ρεύμα του τυλίγματος απόσβεσης i kq από τις<br />
(2.3.12),(2.3.14) έχουμε:<br />
X<br />
X<br />
akq<br />
kkq<br />
X<br />
Ψ =Ψ + − (2.1.19)<br />
2<br />
kq q<br />
akq<br />
( X<br />
q<br />
Xkkq<br />
) iq<br />
Οι εξισώσεις της γεννήτριας είναι καλό να εκφράζονται με όρους ανάλογους των<br />
μαγνητικών ροών. Ορίζεται η μεταβατική Ηλεκτρεγερτική δύναμη στον εγκάρσιο<br />
άξονα q ως μια τάση ανάλογη της μαγνητικής ροής του πεδίου, άρα έχουμε:<br />
E<br />
'<br />
q<br />
X<br />
afd<br />
= Ψ fd<br />
(2.1.20)<br />
X<br />
ffd<br />
Ομοίως και στον άξονα d ορίζεται η μεταβατική Ηλεκτρεγερτική δύναμη ως μια<br />
τάση ανάλογη της μαγνητικής ροής του τυλίγματος απόσβεσης:<br />
~ 22 ~
E<br />
'<br />
d<br />
X<br />
X<br />
akq<br />
kkq<br />
(2.1.21)<br />
=− Ψ kq<br />
d ⎞<br />
⎟⎠<br />
Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2.1.20),(2.1.21) στις (2.1.7),(2.1.8) έχουμε τις<br />
αλγεβρικές εξισώσεις τάσης της σύγχρονης γεννήτριας που σε μορφή πίνακα<br />
είναι:<br />
'<br />
'<br />
⎛Ud ⎞ ⎛E ⎞<br />
d ⎛ ra −X<br />
⎞⎛i<br />
q<br />
⎜ ⎟= −<br />
'<br />
'<br />
U ⎜<br />
q E ⎟<br />
⎜ ⎟⎜<br />
⎝ ⎠ i<br />
⎝ q ⎠ ⎝X<br />
d<br />
ra<br />
⎠⎝<br />
q<br />
(2.1.22)<br />
Για το μοντέλο 4 ης τάξης της σύγχρονης γεννήτριας έχουμε:<br />
1) Η εξίσωση επιτάχυνσης του άξονα της μηχανής στο ανά μονάδα σύστημα<br />
παίρνει την μορφή:<br />
2H<br />
m<br />
• ω =Τ − T<br />
(2.1.23)<br />
e<br />
Όπου:<br />
Η: Η σταθερά αδράνειας (ΜWs/MVA)<br />
T m : Η μηχανική ροπή που παράγεται από το στρόβιλο (p.u.)<br />
T e : Η ηλεκτρομαγνητική ροπή της γεννήτριας (p .u.)<br />
2) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την μεταβολή της γωνίας του δρομέα<br />
είναι:<br />
•<br />
δ = ( ω − 1) ω<br />
(2.1.24)<br />
0<br />
3) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την απόκριση της μεταβατικής ΗΕΔ του<br />
άξονα q δίνεται από την σχέση:<br />
.<br />
'<br />
'<br />
d0 q' fd<br />
(<br />
d d<br />
)<br />
d<br />
Τ E = E − X − X i − E q<br />
'<br />
(2.1.25)<br />
4) Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την απόκριση της μεταβατικής ΗΕΔ του<br />
άξονα d δίνεται από την σχέση:<br />
•<br />
'<br />
'<br />
q<br />
E d Xq Xq iq Ed<br />
Τ<br />
0<br />
' = ( − ) − '<br />
(2.1.26)<br />
~ 23 ~
Από την (2.1.22) παρατηρούμε ότι η ΗΕΔ κενού φορτίου συνδέεται με την<br />
μεταβατική ΗΕΔ ως εξής:<br />
Στον ευθύ άξονα d :<br />
E =− X i = E ' −( X − X' ) i<br />
(2.1.27)<br />
d akq kq d q q q<br />
Στον εγκάρσιο άξονα q :<br />
E = ( X − X ' ) i + E '<br />
(2.1.28)<br />
q d d d<br />
q<br />
Και οι διαφορικές εξισώσεις (2.1.25),(2.1.26) παίρνουν την τελική μορφή :<br />
'<br />
•<br />
T ' d0 E q = Efd<br />
− Eq<br />
(2.1.29)<br />
'<br />
•<br />
T ' q0 E d =− Ed<br />
(2.1.30)<br />
Η σχέση της ηλεκτρικής ροπής και ισχύος της σύγχρονης μηχανής είναι :<br />
T = E ' i + E ' i −( X ' − X ' ) i i<br />
(2.1.31)<br />
e d d q q d q d q<br />
ενώ διανυσματική παράσταση των τάσεων στους άξονες d‐q είναι:<br />
Από όπου προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις ισχύος στη μόνιμη κατάσταση:<br />
Vt<br />
⎡<br />
Vt<br />
⎤<br />
Pg = rV sin( ) cos( ) ( )sin 2( )<br />
2 a t<br />
XqEq δ θ raEq δ θ Xd Xq<br />
δ<br />
r X X ⎢− + − + − + − − θ<br />
+ 2<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
(2.1.32)<br />
a d q<br />
~ 24 ~
V<br />
Q ⎡ X E r E X V X V<br />
t<br />
2 2<br />
g<br />
= cos( ) sin( ) cos ( ) sin ( )<br />
2 q q<br />
δ −θ −<br />
a q<br />
δ −θ −<br />
q t<br />
δ −θ −<br />
d t<br />
δ −θ<br />
ra + XdX<br />
⎣<br />
q<br />
⎤<br />
⎦<br />
(2.1.33)<br />
Αντίστοιχα στην μεταβατική κατάσταση είναι:<br />
Vt<br />
⎡<br />
Vt<br />
⎤<br />
Pg = − rV ( ' ' ' )sin( ) ( ' ' ' )cos( ) ( ' ' )sin2( )<br />
2 a t<br />
+ raE d+ X<br />
q<br />
E<br />
q<br />
δ − θ + raE q− X<br />
d<br />
E<br />
d<br />
δ − θ + X<br />
d− X<br />
q<br />
δ −θ<br />
ra + X '<br />
d<br />
X ' ⎢<br />
q<br />
2<br />
⎥<br />
⎣ ⎦<br />
(2.1.34)<br />
V<br />
Q = ⎡ r E + X E − − r E + X E − − X V − − X V<br />
t<br />
2 2<br />
g<br />
( ' ' ' )cos( ) ( ' ' ' )sin( ) ' cos ( ) ' sin ( )<br />
2 a d q q a q d d q t d t<br />
ra X<br />
dX<br />
⎣<br />
δ θ δ θ δ θ<br />
δ −θ<br />
+<br />
q<br />
(2.1.35)<br />
Αν αμελήσουμε την αντίσταση r a , οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν την ηλεκτρική<br />
ισχύ στο διάκενο της γεννήτριας στη μόνιμη και μεταβατική κατάσταση λειτουργίας<br />
αντίστοιχα.<br />
⎤<br />
⎦<br />
2.1.4)Αρχικές συνθήκες της Σύγχρονης Μηχανής<br />
Για την αρχικοποίηση των παραμέτρων της σύγχρονης μηχανής θα πρέπει να<br />
επιλεγεί η θέση του άξονα d‐q της μηχανής σε σχέση με τον άξονα d‐q του<br />
συστήματος. Ο εγκάρσιος άξονας ορίζεται από το στρεφόμενο διάνυσμα της τάσης<br />
του ζυγού ταλάντωσης του συστήματος ενώ ο ευθύς άξονας έπεται κατά 90 ο . Η<br />
γωνία της τάσης του ζυγού θεωρείται ίση με μηδέν και θεωρείται ως γωνία<br />
αναφοράς. Άρα αν θεωρούσαμε πριν την διαταραχή την φαινόμενη ισχύ ίση με:<br />
S = P + jQ<br />
G<br />
G<br />
G<br />
Το ρεύμα του στάτη της μηχανής θα δίνεται από:<br />
∗<br />
⎛SG ⎞ PG − jQG<br />
G = ⎜ ⎟ = =<br />
D<br />
+<br />
Q<br />
⎝V<br />
t ⎠ Vt<br />
∠−θ<br />
I i ji<br />
Όπου: V t ,το μέτρο της τάσεως των ακροδεκτών της σύγχρονης μηχανής<br />
θ ,η γωνία τάσης των ακροδεκτών που προκύπτει από την επίλυση<br />
της ροής φορτίου.<br />
Η θέση του άξονα της μηχανής ως προς το σύστημα αξόνων του συστήματος γίνεται<br />
από την ΗΕΔ μόνιμης κατάστασης( Eqd) που ορίζεται από την σχέση:<br />
~ 25 ~
E = V + I ( r + jX ) = E ∠ δ<br />
(2.1.36)<br />
qd t G a q qd<br />
0<br />
Και με βάση την (17) έχουμε:<br />
E = u + X i = E −(<br />
X − X ) i<br />
(2.1.37)<br />
qd q q d q d q d<br />
Η αρχικοποίηση των συνθηκών της Σύγχρονης Μηχανής παρουσιάζεται αναλυτικά<br />
στο παρακάτω σχήμα.<br />
2.1.5)Ευστάθεια Σύγχρονης Μηχανής<br />
Κατά την διάρκεια μιας διαταραχής το σημείο λειτουργίας της μηχανής<br />
μετατοπίζεται γεγονός που οδηγεί σε αλλαγή της τιμής της γωνίας δ, καθώς<br />
σχετίζεται με τη σχετική θέση των πεδίων που δημιουργούν τα τυλίγματα του στάτη<br />
με αυτά του δρομέα στο διάκενο της μηχανής και της τιμής της ταχύτητας<br />
περιστροφής του δρομέα.<br />
Για περίπτωση μικρής διαταραχής η τιμή της γωνίας από<br />
• •<br />
δ = ω− ω →Δ δ = ω Δω (2.1.38)<br />
( 1)<br />
0<br />
0<br />
και η ταχύτητα περιστροφής του δρομέα από<br />
~ 26 ~
• •<br />
2H<br />
ω =Τ −T<br />
→2ΗΔ ω =ΔΤ −ΔT<br />
m e m<br />
e<br />
(2.1.39)<br />
Η μηχανή όπως έχουμε αναφέρει προσπαθεί να διατηρηθεί σε συγχρονισμό και<br />
για τον λόγο αυτό προσεγγίζει ένα νέο σημείο ισορροπίας, με αποτέλεσμα τα<br />
τυλίγματα του στάτη και του δρομέα να εμφανίζουν στον άξονα της μηχανής<br />
μεταβατικές ηλεκτρομαγνητικές ροπές που είναι , η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής<br />
ροπής και η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής ροπής απόσβεσης.<br />
Η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής ροπής συμβολίζεται με T s , και προσπαθεί να<br />
ευθυγραμμίσει τα μαγνητικά πεδία του στάτη και του δρομέα. Καθώς η σχετική<br />
θέση των πεδίων περιγράφεται από τη γωνία δ, είναι ανάλογη της μεταβολής Δδ.<br />
Η συνιστώσα ηλεκτρομαγνητικής ροπής απόσβεσης συμβολίζεται με Τ d , και<br />
προσπαθεί να διατηρήσει σταθερή την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα, για<br />
αυτό το λόγο είναι ανάλογη της Δω.<br />
Έτσι η μεταβολή της ηλεκτρομαγνητικής ροπής της σύγχρονης μηχανής<br />
περιγράφεται από την εξίσωση:<br />
ΔΤ = K Δ δ + K Δ ω<br />
(2.1.40)<br />
e s D<br />
Οι συντελεστές Κ s και Κ D ονομάζονται συντελεστές, συγχρονισμού και<br />
απόσβεσης, αντίστοιχα, και εξαρτώνται από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της<br />
μηχανής, το σημείο λειτουργίας της, τη συνολική σύνθετη αντίσταση του δικτύου<br />
και τη δράση των ρυθμιστών.<br />
Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη μεταβολή της γωνίας δρομέα είναι η :<br />
K D<br />
K s<br />
ω<br />
2H<br />
2H<br />
••<br />
•<br />
0<br />
Δ δ+ Δ δ+ Δ δ = 0<br />
(2.1.41)<br />
Η διαφορική αυτή εξίσωση έχει μιγαδικές ιδιοτιμές, όπου οι τιμές των Κ D και Κ s<br />
καθορίζουν την απόκριση της γωνίας ροπής της μηχανής σε μία μικρή διαταραχή. Ο<br />
συντελεστής συγχρονισμού έχει μεγαλύτερες τιμές από τον συντελεστή απόσβεσης.<br />
Αν δεχθούμε αυτήν την προσέγγιση θα δούμε ότι η συχνότητα που εκδηλώνεται η<br />
ταλαντωτική απόκριση της γωνίας του δρομέα δίνεται από την σχέση:<br />
ω0 K<br />
s<br />
ωem<br />
≈ ( rad / sec)<br />
(2.1.42)<br />
2H<br />
~ 27 ~
Η ω em ορίζει μια προσέγγιση της συχνότητας των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων που εκδηλώνει η σύγχρονη μηχανή για μικρή μεταβολή από το<br />
αρχικό σημείο ισορροπίας .<br />
Αν αναλύσουμε την ηλεκτρομαγνητική ροπή σε συνιστώσες συγχρονισμού και<br />
απόσβεσης στο πεδίο της συχνότητας σε μια ηλεκτρομηχανική ταλάντωση θα<br />
έχουμε:<br />
Όπου παρατηρούμε ότι η φασική απόκλιση της γωνίας δ και της ταχύτητας του<br />
δρομέα είναι 90 ο . Ακόμα παρατηρούμε ότι η ηλεκτρομαγνητική ροπή Τ e στη<br />
συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης θα πρέπει να έχει συγκεκριμένη<br />
κατεύθυνση για να έχουμε ευστάθεια. Εμφανίζεται μηχανική ισχύ αντίρροπη από<br />
αυτής της μηχανής, γιατί σε μια μικρή διαταραχή της ηλεκτρομαγνητικής ροπής η<br />
μηχανική ροπή αντιτίθεται στην μεταβολή της γωνίας δρομέα όπως και της<br />
ταχύτητας περιστροφής για να διατηρείται η ευστάθεια της απόκρισης της<br />
μηχανής.<br />
Αν βρεθούμε στο 2 ο τεταρτημόριο έχουμε θετική ροπή απόσβεσης αλλά<br />
αρνητική ροπή συγχρονισμού γεγονός που οδηγεί σε εκθετική αστάθεια. Αν<br />
βρεθούμε στο 4 ο τεταρτημόριο η ροπή συγχρονισμού είναι θετική αλλά η ροπή<br />
απόσβεσης είναι αρνητική με αποτέλεσμα την ταλαντωτική αστάθεια μικρών<br />
διαταραχών.<br />
2.2)Ρυθμιστές στροφών<br />
Ο ρυθμιστής στροφών ελέγχει την ταχύτητα περιστροφής μια σύγχρονης<br />
γεννήτριας. Αυτό το πετυχαίνει με δυο τρόπους:<br />
~ 28 ~
1.) Μετά από μια μικρή διαταραχή του συστήματος ή μεταβολή του φορτίου ο<br />
ρυθμιστής αντιδρά ώστε η νέα συχνότητα να προσεγγίσει την ονομαστική.<br />
2.) Μετά από μια μεγάλη διαταραχή μεταβάλει την παραγόμενη ισχύ της<br />
γεννήτριας ώστε να διορθώσει την μόνιμη απόκλιση της συχνότητας .<br />
Οι ρυθμιστές στροφών ωστόσο δεν επιδρούν στις ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις<br />
και για τον λόγο αυτό δεν θα τις εξετάσουμε.<br />
2.3.)Αυτόματοι Ρυθμιστές Τάσης (ΑΡΤ)<br />
Ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης (ΑΡΤ ή AVR) επεξεργάζεται τα σήματα ελέγχου με<br />
στόχο να μεταβάλει το ρεύμα στο τύλιγμα πεδίου με συνεχή και αυτόματο τρόπο<br />
ώστε η τάση των ακροδεκτών της γεννήτριας να παραμένει σταθερή. Ακόμα ρόλος<br />
του είναι να επεξεργάζεται τάχιστα τις μεταβατικές διαταραχές της γεννήτριας για<br />
να εξασφαλίζεται η λειτουργία της σε περιπτώσεις υπερφόρτισης, υπερδιέγερσης ή<br />
υποδιέγερσης. Ο γενικότερος ρόλος του ΑΡΤ είναι να φροντίζει να διατηρεί<br />
σταθερές τις τάσεις των ζυγών με αποτέλεσμα να αυξάνει τη συνολική ευστάθεια<br />
του συστήματος.<br />
Άρα ο ρόλος του είναι διττός, αφενός να διατηρεί τη γεννήτρια σε συγχρονισμό<br />
και αφετέρου να ρυθμίζει κατάλληλα το ρεύμα πεδίου ώστε να διατηρείται η<br />
ευστάθεια του συστήματος για μικρές διαταραχές.<br />
Για την υλοποίηση των παραπάνω ο AVR έχει τρεις διακριτές λειτουργίες:<br />
1. Μέτρηση της τερματικής τάσης, όπου μετράται η τερματική τάση και συγκρίνεται<br />
με την τάση αναφοράς.<br />
2. Έλεγχος των ορίων φόρτισης, όπου επιτηρείται η λειτουργία της γεννήτριας<br />
ώστε να μην δουλεύει σε όρια ανώτερα της ικανότητας φόρτισης της .<br />
3. Προστασία της διάταξης όταν υφίσταται συνεχή υπερδιέγερση ή υποδιέγερση η<br />
γεννήτρια.<br />
Τα μαθηματικά μοντέλα των αυτόματων ρυθμιστών τάσης μπορεί να είναι<br />
εξαιρετικά πολύπλοκα. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι αυτό που φαίνεται στο<br />
παρακάτω σχήμα:<br />
~ 29 ~
Όπου ο ρυθμιστής τάσης περιγράφεται σαν μια βαθμίδα πρώτης τάξης με<br />
κέρδος K Α και χρονική σταθερά Τ Α . Η διεγέρτρια είναι μια βαθμίδα με υστέρηση<br />
φάσης Τ Α . Η χρονική σταθερά του πρωτοβάθμιου αυτού μοντέλου είναι η χρονική<br />
σταθερά ανοιχτοκύκλωσης του τυλίγματος του πεδίου.<br />
Στα στρεφόμενα συστήματα διέγερσης οι χρονικές σταθερές της διεγέρτριας και<br />
του ρυθμιστή εισάγουν χρονικές καθυστερήσεις γεγονός που καθιστά ασταθή τον<br />
βρόχο ακόμα και για χαμηλές τιμές του κέρδους του ρυθμιστή. Για τον λόγο αυτό<br />
εισάγεται μια βαθμίδα αντιστάθμισης με στόχο την ελαχιστοποίηση της υστέρησης<br />
της φάσης ώστε να μπορεί να επιτευχθεί η ευσταθής λειτουργία της μηχανής εν<br />
κενώ, όπως δηλαδή συμβαίνει πριν τον συγχρονισμό της γεννήτριας ή αμέσως μετά<br />
μια μεγάλη απόρριψη φορτίου.<br />
Η ρύθμιση των παραμέτρων του AVR είναι μια δύσκολη διαδικασία και έχει να<br />
κάνει κατά κύριο λόγο με το κέρδος στις συχνότητες των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων και την χρονική σταθερά.<br />
Στο εύρος συχνοτήτων των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων η απόκριση των<br />
συστημάτων διέγερσης καθορίζεται από το παρακάτω απλοποιημένο γραμμικό<br />
πρωτοβάθμιο σύστημα :<br />
Όπου η σταθερά Κ Ε είναι το κέρδος στην συχνότητα των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων και Τ Ε είναι η σταθερά χρόνου. Η εξίσωση που περιγράφει τη<br />
μεταβολή της Ηλεκτρεγερτικής δύναμης διεγέρσεως λόγω της δράσης του<br />
αυτόματου ρυθμιστή τάσης είναι η :<br />
•<br />
TE Efd = KE( Vr − Vt)<br />
Efd<br />
~ 30 ~
2.4.) Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος (ΣΣΙ ή PSS)<br />
Η σύνθετη δράση του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης του τυλίγματος πεδίου και<br />
του τυλίγματος απόσβεσης εισάγει θετική ροπή συγχρονισμού και αρνητική ροπή<br />
απόσβεσης. Η συνιστώσα ροπής επομένως βρίσκεται στο 4 ο τεταρτημόριο. Για να<br />
αντιμετωπιστεί η φασική αυτή υστέρηση εισάγεται στο σύστημα ο Σταθεροποιητής<br />
Συστήματος Ισχύος (Power System Stabilizer) ο οποίος δημιουργεί προπορεία στην<br />
φάση με αποτέλεσμα η συνιστώσα ροπής του συστήματος να μετατοπίζεται στο 1 ο<br />
τεταρτημόριο, γεγονός που οδηγεί στην απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων.<br />
Η συνάρτηση μεταφοράς του σταθεροποιητή είναι η :<br />
ΔV PSS() s = s<br />
() s Δ ω<br />
Το σύστημα το οποίο αποτελείται από την εν σειρά σύνδεση του συστήματος<br />
διέγερσης, του AΡΤ και του ΣΣΙ δημιουργεί μια μηδενική φάση με το σύστημα ΑΡΤ,<br />
διέγερσης το οποίο είναι σε φάση με την μεταβολή της ταχύτητας Δω και έχει σαν<br />
αποτέλεσμα την καθαρή ροπή απόσβεσης.<br />
Για την ορθή λειτουργία του συστήματος γίνεται κατανοητό πως ούτε ο<br />
σταθεροποιητής ούτε ο αυτόματος ρυθμιστής τάσης δεν μπορούν να δουλέψουν<br />
ανεξάρτητα, παρά μόνο συμπληρωματικά. Είναι και τα δυο συστήματα απαραίτητα<br />
για τον ορθό έλεγχο και λειτουργία της διάταξης.<br />
Το σύστημα διέγερσης σε συνδυασμό με τον Αυτόματο Ρυθμιστή Τάσης<br />
δημιουργούν καθυστέρηση φάσης στην ηλεκτρομηχανική ροπή της γεννήτριας. Για<br />
τον λόγο αυτό στην είσοδο του συστήματος παρεμβάλλονται διατάξεις<br />
αντιστάθμισης φάσης( ΣΣΙ). Οι διατάξεις αυτές είναι οι σταθεροποιητές, οι οποίοι<br />
όταν δέχονται ένα σήμα που σχετίζεται με την ταλάντωση του δρομέα<br />
αντισταθμίζουν την καθυστέρηση φάσης που εισάγει η διέγερση, με τρόπο τέτοιο<br />
ώστε να αυξάνεται η συνιστώσα ροπής απόσβεσης της ηλεκτρομηχανικής ροπής.<br />
Αυτό μπορεί να επιτευχτεί είτε με μεταβολή της ταχύτητας του δρομέα, είτε με<br />
μεταβολή της ηλεκτρικής ισχύος ή της συχνότητας.<br />
Ο σταθεροποιητής πρέπει να περιλαμβάνει πολλαπλά επίπεδα προπορείας της<br />
φάσης για την αντιστάθμιση του AVR, για όλες τις τιμές συχνοτήτων που<br />
εμφανίζονται οι ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις. Το κέρδος του σταθεροποιητή<br />
πρέπει να είναι χαμηλό για να αποφεύγεται η αλληλεπίδραση με το σύστημα<br />
~ 31 ~
διέγερσης στις περιπτώσεις που δεν έχουμε ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις. Ακόμα<br />
θα πρέπει να μειώνεται στις υψηλές συχνότητες για να μην υπάρχει<br />
αλληλεπίδραση με τις στρεπτικές ταλαντώσεις άξονα στροβίλου‐ γεννήτριας, όπως<br />
επίσης και για να μειώνεται η επίδραση θορύβου.<br />
Ο σταθεροποιητής δυο βαθμίδων που παρουσιάζεται είναι αυτός που θα<br />
χρησιμοποιήσουμε και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.<br />
Στην είσοδο του σταθεροποιητή παρεμβάλλεται ένα υψιπερατό φίλτρο για να<br />
μηδενίζεται η είσοδος του σταθεροποιητή στην μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Το<br />
φίλτρο αυτό ωστόσο δεν επιδρά σημαντικά στους ρυθμούς των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων αν έχει μια κατάλληλη σταθερά και μπορεί να παραλειφθεί.<br />
Ο Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος (Power System Stabilizer) επιδρά είτε στο<br />
σύστημα διέγερσης ή στο στρόβιλο μίας σύγχρονης γεννήτριας και παρέχει<br />
πρόσθετη ροπή απόσβεσης στις ταλαντώσεις του δρομέα της σε ένα επιθυμητό<br />
εύρος συχνοτήτων. Για το σκοπό αυτό, ο σταθεροποιητής παράγει στην έξοδό του<br />
μία συνιστώσα της ηλεκτρικής ροπής, η οποία είναι σε φάση με την απόκλιση της<br />
ταχύτητας του δρομέα της γεννήτριας. Ο σταθεροποιητής λειτουργεί αφήνοντας<br />
ανεπηρέαστη την τερματική της τάση στη μόνιμη κατάσταση. Σαν είσοδοι του<br />
σταθεροποιητή χρησιμοποιούνται σήματα ανάλογα είτε της ταχύτητας του<br />
δρομέα, είτε της συχνότητας εξόδου είτε της ενεργού παραγωγής της γεννήτριας.<br />
Το εξεταζόμενο μοντέλο έχει σαν είσοδο την ανά μονάδα απόκλιση της γωνιακής<br />
ταχύτητας του δρομέα, και αποτελείται από ένα υψιπερατό φίλτρο, δύο διατάξεις<br />
αντιστάθμισης φάσης και μία βαθμίδα κέρδους. Το σήμα εξόδου V PSS του<br />
σταθεροποιητή προστίθεται στον κύριο αθροιστή εισόδου του ΑΡΤ της γεννήτριας.<br />
Το υψιπερατό φίλτρο διαθέτει αρκετά μεγάλη σταθερά χρόνου T W ώστε να<br />
επιτρέπει στα σήματα που σχετίζονται με τις ταλαντώσεις της γωνιακής ταχύτητας<br />
του δρομέα να το διαπερνούν αναλλοίωτα. Η παρουσία του εξασφαλίζει ότι ο<br />
σταθεροποιητής ενεργοποιείται μόνο σε απότομες μεταβολές της ταχύτητας της<br />
μηχανής.<br />
Ακολούθως, κάθε μία διάταξη αντιστάθμισης φάσης παρέχει την επιθυμητή<br />
γωνία προπορείας (T 1 >T 2 και T 3 >T 4 ) ώστε να αντισταθμιστεί η διαφορά φάσης<br />
μεταξύ της εισόδου της διεγέρτριας και της ηλεκτρομαγνητικής ροπής. Σε γενικές<br />
~ 32 ~
γραμμές, πάντως, η διαφορά φάσης δεν αντισταθμίζεται πλήρως, με αποτέλεσμα ο<br />
σταθεροποιητής εκτός της ροπής αποσβέσεως να αυξάνει ελάχιστα και τη ροπή<br />
συγχρονισμού.<br />
Τέλος, η βαθμίδα κέρδους καθορίζει το μέγεθος της απόσβεσης που εισάγεται<br />
από τη διάταξη του σταθεροποιητή . Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του κέρδους K PSS ,<br />
τόσο μεγαλύτερη ροπή απόσβεσης εισάγει η διάταξη αυτή. Ωστόσο, για λόγους<br />
ευστάθειας το παραπάνω κέρδος δεν μπορεί να ξεπεράσει μία μέγιστη τιμή.<br />
Στο χώρο κατάστασης, το εξεταζόμενο μοντέλο σταθεροποιητή παρουσιάζει τις<br />
εξής τρεις μεταβλητές κατάστασης:<br />
PSS<br />
• Τη μεταβλητή x W<br />
, η οποία συνδέεται με το υψιπερατό φίλτρο στην είσοδο.<br />
PSS<br />
PSS<br />
• Τις μεταβλητές x 1<br />
και x 2<br />
, οι οποίες συνδέονται με τις δύο βαθμίδες<br />
αντιστάθμισης φάσης.<br />
Η δυναμική απόκριση του ΣΣΙ περιγράφεται από τις διαφορικές εξισώσεις:<br />
PSS<br />
W<br />
x<br />
1<br />
= −<br />
T<br />
W<br />
PSS<br />
W<br />
x<br />
1<br />
+<br />
T<br />
W<br />
ωr<br />
−ω<br />
ω<br />
b<br />
ref<br />
r<br />
⎡<br />
ref<br />
1<br />
⎛ ⎞ −<br />
= −<br />
PSS K +<br />
PSS T<br />
⎜ −<br />
1 ω<br />
PSS<br />
⎟<br />
r ωr<br />
x1<br />
⎢ − xW<br />
T2<br />
T2<br />
⎝ T2<br />
⎠⎣<br />
ωb<br />
PSS<br />
1 1<br />
x<br />
x<br />
⎡<br />
⎛<br />
ref<br />
1 ⎛ ⎞<br />
−<br />
= −<br />
PSS 1 T + ⎢ + ⎜<br />
⎜ −<br />
3 PSS T<br />
PSS<br />
⎟<br />
1 ωr<br />
ωr<br />
x2<br />
x1<br />
K PSS<br />
− xW<br />
T4<br />
T4<br />
⎝ T4<br />
⎠⎢⎣<br />
T2<br />
⎝ ωb<br />
PSS<br />
2 1<br />
Το σήμα εξόδου V PSS του σταθεροποιητή υπολογίζεται από την Εξίσωση:<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎥<br />
⎠⎥⎦<br />
V<br />
PSS<br />
= x<br />
PSS<br />
2<br />
T<br />
+<br />
T<br />
3<br />
4<br />
⎡<br />
⎢x<br />
⎢⎣<br />
PSS<br />
1<br />
+ K<br />
PSS<br />
T<br />
T<br />
1<br />
2<br />
⎛ ω<br />
⎜<br />
r −ωr<br />
⎝ ωb<br />
ref<br />
− x<br />
PSS<br />
W<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎥<br />
⎠⎥⎦<br />
~ 33 ~
3 ο Κεφάλαιο<br />
3.1)ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ<br />
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ<br />
H δυναμική συμπεριφορά του ΣΗΕ περιγράφεται από ένα σύστημα μη<br />
γραμμικών διαφορικών εξισώσεων της μορφής:<br />
x = f ( x, u,<br />
p)<br />
(3.1.1)<br />
Με εξόδους:<br />
y = h ( x, u, p)<br />
(3.1.2)<br />
Και αλγεβρικούς περιορισμούς:<br />
0=<br />
g ( x, u, p)<br />
(3.1.3)<br />
Όπου:<br />
• x είναι το n x1 διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης συνεχούς χρόνου.<br />
• u είναι το m x1 διάνυσμα των μεταβλητών εισόδου.<br />
• p είναι το n p x1 διάνυσμα των παραμέτρων του συστήματος.<br />
Αν ο Ιακωβιανός πίνακας των αλγεβρικών περιορισμών αντιστρέφεται στο<br />
σημείο ισορροπίας, τότε το σύστημα των εξισώσεων (3.1.1) και (3.1.2), μπορεί να<br />
γραμμικοποιηθεί στην ακόλουθη μορφή:<br />
Δ x = ΑΔ x + ΒΔu<br />
(3.1.4)<br />
Δ y = CΔ x+ DΔu<br />
(3.1.5)<br />
Όπου:<br />
• Α είναι ο n x n πίνακας κατάστασης.<br />
• Β είναι ο n x m πίνακας εισόδου.<br />
• C είναι ο v x n πίνακας εξόδου.<br />
• D είναι ο v x m απευθείας πίνακας εισόδου<br />
~ 34 ~
Ο μετασχηματισμός Laplace των εξισώσεων (1.4), (1.5), δίνει τoν πίνακα<br />
συναρτήσεων μεταφοράς του συστήματος:<br />
Δy 1<br />
() s ( s<br />
−<br />
= C I− A)<br />
B+<br />
D (3.1.6)<br />
Δu<br />
Ο παρονομαστής της (1.6) είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και δίνει τη<br />
χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα κατάστασης:<br />
det( s I − A)<br />
= 0<br />
(3.1.7)<br />
Οι λύσεις της (3.1.7) είναι οι ιδιοτιμές του συστήματος (πόλοι της συνάρτησης<br />
μεταφοράς) για το συγκεκριμένο σημείο ισορροπίας. Οι ιδιοτιμές του συστήματος<br />
είναι ανεξάρτητες από την επιλογή των μεταβλητών κατάστασης και<br />
συμβολίζονται:<br />
λ = σ + jω για i = 1,...,<br />
n (3.1.8)<br />
i<br />
i<br />
Θεωρήσαμε ότι οι n ιδιοτιμές είναι διακριτές μεταξύ τους, για μεγαλύτερη<br />
διευκόληνση.<br />
Έστω ότι σε ένα διάνυσμα v διαστάσεων nx1 εκτελείται ένας γραμμικός<br />
μετασχηματισμός, που περιγράφεται από έναν nxn πίνακα A, έτσι ώστε το<br />
αποτέλεσμα να είναι στην ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα v.<br />
A v= λv<br />
(3.1.9)<br />
Για να ισχύει η παραπάνω σχέση για ένα μη μηδενικό διάνυσμα v πρέπει να<br />
ισχύει η σχέση:<br />
i<br />
det( λ I − A)<br />
= 0<br />
(3.1.10)<br />
Κάθε λύση της παραπάνω εξίσωσης, ορίζει μια ιδιοτιμή του πίνακα Α και σε<br />
κάθε ιδιοτιμή λ i αντιστοιχεί κάποιο διάνυσμα v i που ικανοποιεί τη σχέση (3.1.10),<br />
και το οποίο ονομάζεται δεξιό ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής. Έτσι, για την ιδιοτιμή λ i<br />
του πίνακα κατάστασης του συστήματος (3.1.4), το δεξιό ιδιοδιάνυσμα ορίζεται ως<br />
το nx1 διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση:<br />
Au<br />
i<br />
= λ u<br />
(3.1.11)<br />
i<br />
i<br />
Ομοίως, για την ιδιοτιμή λ i του πίνακα κατάστασης του συστήματος (3.1.4), το<br />
αριστερό ιδιοδιάνυσμα ορίζεται ως το 1 x n διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση:<br />
wA = λ w<br />
(3.1.12)<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Το αριστερό ιδιοδιάνυσμα μπορεί να ορισθεί ισοδύναμα σαν το ανάστροφο<br />
δεξιό ιδιοδιάνυσμα του Α Τ δηλαδή του ανάστροφου πίνακα του Α. Αν οι ιδιοτιμές<br />
είναι όλες διακριτές, τότε τα αριστερά και δεξιά ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν<br />
σε διαφορετικές ιδιοτιμές, είναι ορθογώνια μεταξύ τους, δηλαδή ισχύει ότι:<br />
ν w = 0<br />
j<br />
i<br />
i ≠ j<br />
(3.1.13)<br />
Αντίθετα, το δεξιό και αριστερό ιδιοδιάνυσμα της ίδιας ιδιοτιμής έχουν μη<br />
μηδενικό εσωτερικό γινόμενο:<br />
vw<br />
j<br />
i<br />
= C i<br />
i = j<br />
(3.1.14)<br />
~ 35 ~
Τα αριστερά ιδιοδιανύσματα συνήθως κανονικοποιούνται, έτσι ώστε C i = 1.<br />
Έστω ότι ορίζεται ο nxn πίνακας U με στήλες τα δεξιά ιδιοδιανύσματα, και ο nxn<br />
πίνακας V με γραμμές τα αριστερά ιδιοδιανύσματα του πίνακα κατάστασης Α:<br />
V = v v ]<br />
(3.1.15)<br />
[<br />
1<br />
n<br />
W = w w ] Τ<br />
(3.1.16)<br />
[<br />
1<br />
n<br />
Τότε, από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι<br />
VW = WV = I<br />
(3.1.17)<br />
Δηλαδή, οι πίνακες V και W είναι αντίστροφοι.<br />
Ρυθμοί Απόκρισης<br />
Η ελεύθερη απόκριση του συστήματος, περιγράφεται από την (3.1.4) για u = 0<br />
και η λύση της για το x o διάνυσμα αρχικών συνθηκών των μεταβλητών κατάστασης<br />
είναι:<br />
o<br />
At<br />
x( t,<br />
x ) = e x<br />
(3.1.18)<br />
o<br />
Στην περίπτωση που ο πίνακας Α έχει n διακριτές ιδοτιμές τότε υπάρχει ένας<br />
αντιστρέψιμος πίνακας Ρ, τέτοιος ώστε:<br />
Όπου:<br />
−1<br />
A = P Λ Ρ<br />
Ρ = U =<br />
[ u u ]<br />
1<br />
2<br />
u n<br />
(3.1.19)<br />
(3.1.20)<br />
Ρ<br />
1<br />
= V v1<br />
v 2 v n<br />
− = [ ] Τ<br />
(3.1.21)<br />
Και Λ = diag( λ1 λ2<br />
λn<br />
)<br />
(3.1.22)<br />
Ο μετασχηματισμός του πίνακα κατάστασης Α με χρήση των πινάκων U και V<br />
στο διαγώνιο πίνακα Λ με στοιχεία τις ιδιοτιμές του Α ονομάζεται μετασχηματισμός<br />
ομοιότητας.<br />
Η ελεύθερη απόκριση της x i μεταβλητής κατάστασης του συστήματος, έχει<br />
μορφή:<br />
i<br />
n<br />
∑<br />
x ( t)<br />
= K exp( λ t)<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
i = 1, …, n (3.1.23)<br />
Είναι προφανές ότι μια πραγματική ιδιοτιμή καθορίζει μια μονοτονική<br />
συμπεριφορά του συστήματος ενώ ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών καθορίζει μια<br />
~ 36 ~
ταλάντωση. Η ευστάθεια της απόκρισης κρίνεται από το πρόσημο του πραγματικού<br />
μέρος της κάθε ιδιοτιμής.<br />
Ρυθμός απόκρισης<br />
Ως ρυθμός απόκρισης z i ορίζεται ως ο μετασχηματισμός των μεταβλητών<br />
κατάστασης που ορίζει η σχέση:<br />
z () t = w Δx()<br />
t<br />
(3.1.24)<br />
i<br />
i<br />
Πολλαπλασιάζοντας την (1.4) με το αριστερό ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής λ i<br />
z = λ z + wΒΔu<br />
(3.1.25)<br />
i i i i<br />
Έτσι, οι n συζευγμένες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις της (3.1.4) έχουν<br />
αποζευχθεί και ο ρυθμός απόκρισης i υπολογίζεται ανεξάρτητα από τους<br />
υπόλοιπους.<br />
Ανάλυση ρυθμών δυναμικού συστήματος<br />
Η ανάλυση ενός δυναμικού συστήματος με τη βοήθεια του μετασχηματισμού<br />
των μεταβλητών κατάστασης στους αντίστοιχους ρυθμούς, λέγεται ανάλυση<br />
ρυθμών (modal analysis). Με την ανάλυση αυτή, η συμπεριφορά του συστήματος<br />
αναλύεται με τη βοήθεια των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν<br />
στους ρυθμούς και παρέχουν πληροφορίες για τη μορφή τους. Η μορφή του<br />
ρυθμού (mode shape) καθορίζεται από το δεξιό ιδιοδιάνυσμα.<br />
Η ελεύθερη απόκριση (u = 0) του ρυθμού ταλάντωσης δίνεται από την σχέση:<br />
z ( t)<br />
= z (0) exp( λ t)<br />
(3.1.26)<br />
i<br />
i<br />
i<br />
Λόγω της ορθογωνιότητας των ιδιοδιανυσμάτων ο ορισμός της (1.24) γράφεται<br />
ισοδύναμα σε μορφή πινάκων ως εξής:<br />
z( t)<br />
= V Δx(<br />
t)<br />
(3.1.27)<br />
Από όπου προκύπτει:<br />
Δx ( t)<br />
= Uz(<br />
t)<br />
(3.1.28)<br />
Συνεπώς, το διάνυσμα των μεταβλητών κατάστασης μπορεί να γραφτεί σαν το<br />
άθροισμα των ρυθμών πολλαπλασιασμένο με τα αντίστοιχα δεξιά ιδιοδιανύσματα:<br />
~ 37 ~
Δ x() t =∑ z () t v<br />
n<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
(3.1.29)<br />
Από την (3.1.29), φαίνεται ότι τα στοιχεία του δεξιού ιδιοδιανύσματος<br />
καθορίζουν την επίδραση που έχει ένας ρυθμός στις μεταβλητές κατάστασης.<br />
Επιπλέον, καθώς ο ρυθμός z i είναι βαθμωτό μέγεθος, δίνουν μια αίσθηση της<br />
κατεύθυνσης στο διανυσματικό χώρο που ορίζουν, προς την οποία το σημείο<br />
λειτουργίας θα μετατοπιστεί για μια μικρή απόκλιση από το σημείο ισορροπίας και<br />
ότι η απόκριση του γραμμικοποιημένου δυναμικού συστήματος είναι ένας<br />
γραμμικός συνδυασμός των ρυθμών του ενώ από την (3.1.26) προκύπτει ότι αν το<br />
σύστημα έχει διακριτές ιδιοτιμές τότε οι αντίστοιχοι ρυθμοί είναι αποζευγμένοι και<br />
ανεξάρτητοι μεταξύ τους.<br />
Από την (3.1.24) φαίνεται ότι τα στοιχεία του αριστερού ιδιοδιανύσματος<br />
καθορίζουν τη συμμετοχή που έχουν οι μεταβλητές κατάστασης στην εμφάνιση<br />
ενός ρυθμού. Από τις (3.1.24) και (3.1.29) προκύπτει ότι η ελεύθερη απόκριση του<br />
συστήματος, δίνεται από τη σχέση:<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
λ t<br />
n<br />
∑<br />
i<br />
i<br />
Δx ( t)<br />
= u z e = u v x e<br />
(3.1.30)<br />
i<br />
i o<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i<br />
o<br />
λ t<br />
Ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών λ i , λ * i με λ i = σ i + jω i , εισάγει στην απόκριση του<br />
συστήματος έναν όρο της μορφής:<br />
σ it<br />
e sin( ωit<br />
+ θ )<br />
(3.1.31)<br />
Η συχνότητα της ταλάντωσης f i δίνεται από τη σχέση:<br />
ωi<br />
f i = (3.1.32)<br />
2π<br />
Τέλος, ο λόγος απόσβεσης ζ i του ρυθμού i καθορίζει την εξασθένιση του<br />
πλάτους της ταλάντωσης και δίνεται από τη σχέση:<br />
ζ<br />
i<br />
−σ<br />
i<br />
= (3.1.33)<br />
σ + ω<br />
2<br />
i<br />
2<br />
i<br />
Προφανώς αν η ιδιοτιμή λ i = σ i + jω i έχει αρνητικό πραγματικό μέρος (ευσταθής<br />
λειτουργία), ο αντίστοιχος λόγος απόσβεσης είναι θετικός (ζ i > 0), ενώ για θετικό<br />
πραγματικό μέρος (ασταθής λειτουργία), η απόσβεση είναι αρνητική (ζ i < 0).<br />
~ 38 ~
Ευαισθησία ιδιοτιμών<br />
Η ευαισθησία των ιδιοτιμών δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλονται οι<br />
ιδιοτιμές όταν αλλάζει κάποια παράμετρος του πίνακα κατάστασης. Ως δείκτης<br />
ευαισθησίας των μιας ιδιοτιμής λαμβάνεται το μέτρο του συντελεστή συμμετοχής,<br />
ο οποίος ορίζεται παρακάτω.<br />
Από την (3.1.11) παραγωγίζοντας ως προς κάποια παράμετρο α του πίνακα<br />
κατάστασης, είναι:<br />
∂ Α<br />
u<br />
∂a<br />
i<br />
∂ u i<br />
+ A<br />
∂a<br />
∂λi<br />
= u<br />
∂a<br />
i<br />
∂ u i<br />
+ λi<br />
∂a<br />
(3.1.34)<br />
Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη με το αριστερό ιδιοδιάνυσμα v i προκύπτει<br />
τελικά:<br />
∂λi<br />
=<br />
∂a<br />
∂A<br />
v i u ∂ a<br />
v u<br />
i<br />
i<br />
i<br />
(3.1.35)<br />
Συντελεστής συμμετοχής<br />
Στη σχέση (1.35) αν η παράμετρος α είναι το διαγώνιο στοιχείο του πίνακα<br />
κατάστασης α rr που βρίσκεται στην r γραμμή και στήλη, τότε αν v i u i =1, ισχύει:<br />
∂λi<br />
= v i ( r)<br />
ui<br />
( r)<br />
= pi<br />
( r)<br />
(3.1.36)<br />
∂a<br />
rr<br />
Το γινόμενο του r στοιχείου του αριστερού και του δεξιού ιδιοδιανύσματος του<br />
ρυθμού i, ορίζει τον συντελεστή συμμετοχής της μεταβλητής κατάστασης x r στο<br />
ρυθμό i. Ο συντελεστής συμμετοχής είναι ένα αδιάστατο μέγεθος, λόγω του<br />
τρόπου με τον οποίο τα αριστερά και δεξιά ιδιοδιανύσματα ορίζονται.<br />
Ο συντελεστής συμμετοχής καθορίζει ποια μεταβλητή κατάστασης επηρεάζει<br />
περισσότερο τη μετατόπιση μιας ιδιοτιμής. Μικρή τιμή του μέτρου, σημαίνει μικρή<br />
επίδραση της συγκεκριμένης μεταβλητής κατάστασης στο ρυθμό, δηλαδή η μικρή<br />
επίδραση της μεταβολής του αντίστοιχου στοιχείου της διαγωνίου στον πίνακα<br />
κατάστασης στο ρυθμό.<br />
Οι συντελεστές συμμετοχής χρησιμοποιούνται στη σχεδίαση διατάξεων ελέγχου<br />
κυρίως για τον εντοπισμό της μεταβλητής κατάστασης που προκαλεί τη μεγαλύτερη<br />
~ 39 ~
επίδραση σε κάποιο ρυθμό και κατά συνέπεια να δώσει τον χαρακτηρισμό του<br />
ρυθμού.<br />
3.2) Γραμμικοποίηση συστήματος μηχανής –άπειρου ζυγού<br />
Για μεγαλύτερη και ευκολότερη δυνατότητα ελέγχου και υπολογισμού των<br />
ροπών απόσβεσης ,των ροπών συγχρονισμού όπως και της τάσης των ακροδεκτών,<br />
οι διαφορικές και αλγεβρικές εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική<br />
συμπεριφορά γραμμικοποιούνται. Τα ρεύματα του στάτη εκφράζονται συναρτήσει<br />
της τάσεως του ζυγού αναφοράς, της τάσης του δικτύου, των δυναμικών<br />
χαρακτηριστικών της μηχανής και απαλείφονται από τις εξισώσεις των μηχανών.<br />
Απαλείφονται οι ζυγοί στους οποίους δεν συνδέεται καμία δυναμική διάταξη, με<br />
αποτέλεσμα το δίκτυο να έχει έναν ελαττωμένο πίνακα αγωγιμοτήτων με τους<br />
ζυγούς που συνδέονται στην μηχανή.<br />
Για την μελέτη μας θα χρησιμοποιήσουμε το μοντέλο μηχανής –άπειρου ζυγού του<br />
παρακάτω σχήματος.<br />
V<br />
t<br />
V0∠ 0°<br />
Η τάση των ακροδεκτών της σύγχρονης μηχανής με την τάση του ζυγού συνδέονται<br />
με την σχέση:<br />
V = υ + jυ = ( V sinδ + jV cos δ) + ( R + jX )( i + ji )<br />
(3.2.1)<br />
t d q ∞<br />
∞<br />
e e d q<br />
Οι τάσεις του στάτη στους άξονες της μηχανής είναι:<br />
υd<br />
= V∞<br />
sinδ<br />
−Χ<br />
eiq<br />
+ Ri<br />
e d<br />
(3.2.2)<br />
υq<br />
= V∞<br />
cosδ<br />
+Χ<br />
eid<br />
+ Ri<br />
e q<br />
(3.2.3)<br />
Όπου αν αντικατασταθούν στον πίνακα (2.1.22) προκύπτει:<br />
~ 40 ~
⎡id⎤ 1 ⎛ r ' ' ' sin<br />
a<br />
+ Re X<br />
q+<br />
X<br />
e⎞⎛E<br />
d−V∞<br />
δ ⎞<br />
⎢<br />
i<br />
⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟<br />
⎣ q⎦ A ( X ' )<br />
E'<br />
q<br />
cos<br />
s ⎝− d+ Xe ra + R −V<br />
δ<br />
e ⎠⎝ ∞ ⎠<br />
(3.2.4)<br />
Με<br />
A r R X X X X<br />
2<br />
s<br />
= (<br />
a<br />
+<br />
e) + ( '<br />
d+ e)( '<br />
q+<br />
e)<br />
Η γραμμικοποίηση της (3.2.4) δίνει :<br />
r + R X ' + X V<br />
Δ i = Δ E' + − [( r + R )cos δ − ( X ' + X )sin δ ] Δ δ (3.2.5)<br />
a e<br />
q e ∞<br />
d d a e 0 q e<br />
As As As<br />
r + R X ' + X V<br />
Δ i = Δ E' + − [( r + R )sin δ + ( X ' + X )cos δ ] Δ δ (3.2.6)<br />
a e d e ∞<br />
q q a e 0 q e<br />
As As As<br />
0<br />
0<br />
Οι μεταβατικές ΗΕΔ στους άξονες d‐q είναι :<br />
•<br />
T ' Δ E ' =ΔE −Δ E ' + ( X − X ') Δi<br />
d<br />
d0<br />
q fd q d d<br />
(3.2.7)<br />
•<br />
T '<br />
q0<br />
Δ Eq' =−[ ΔEd ' −( Xq − Xq')<br />
Δ iq]<br />
(3.2.8)<br />
Και αντικαθιστώντας τις (3.2.5),(3.2.6) στις (3.2.7),(3.2.8) προκύπτουν οι :<br />
Δ E = K Δ δ +Κ Δ E ' + K Δ E '<br />
(3.2.9)<br />
q<br />
4 3 q 11<br />
7 12 q 9<br />
d<br />
Δ E = K Δ δ +Κ Δ E ' + K Δ E '<br />
(3.2.10)<br />
d<br />
d<br />
Με :<br />
K<br />
3<br />
ΔEq ( Xd − Xd ')( Xq' + Xe)<br />
= = 1+<br />
ΔE<br />
'<br />
A<br />
q<br />
ΔE V ( X − X ')<br />
K = =− [( r + R )cos δ − ( Χ ' −X<br />
)sin δ ]<br />
q ∞ d d<br />
4 a e 0 q e<br />
Δδ<br />
As<br />
Δ Eq ( ra + Re)( Xd − Xd<br />
')<br />
Κ<br />
11<br />
= =<br />
ΔE<br />
' A<br />
d<br />
s<br />
s<br />
0<br />
(3.2.11)<br />
~ 41 ~
ΔE<br />
V ( X − X ')<br />
K = =− [( X ' + X )cos δ + ( r + R )sin δ )]<br />
K<br />
d ∞ q q<br />
7 d e 0 a e<br />
Δδ<br />
As<br />
12<br />
ΔE<br />
( ra + Re)( Xq −Xq')<br />
d<br />
= =−<br />
ΔE<br />
'<br />
A<br />
q<br />
ΔE<br />
( Xd ' + Xe)( Xq −Xq')<br />
d<br />
Κ<br />
9<br />
= = 1+<br />
ΔE<br />
'<br />
A<br />
d<br />
s<br />
s<br />
0<br />
(3.2.12)<br />
Οι συντελεστές γραμμικοποίησης είναι οι Κ1‐Κ12 και περιγράφουν την μεταβολή<br />
των μεταβλητών ροπής, της τάσης ακροδεκτών και τις τάσεις Εq ,Εd ως προς τις<br />
μεταβλητές κατάστασης. Έτσι είναι δυνατό να παρασταθεί το μοντέλο της<br />
γεννήτριας στο πεδίο της συχνότητας. Εκεί είναι ευκολότερο να εξεταστεί η<br />
ευστάθεια της μηχανής για διάφορες συνθήκες λειτουργίας.<br />
Όπου Κ 3 ,Κ 4 ,Κ 11 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης του τυλίγματος πεδίου.<br />
Ειδικότερα ο Κ 3 περιγράφει την επίδραση της ωμικής αντίστασης και επαγωγικής<br />
αντίδρασης της γραμμής διασύνδεσης και του στάτη στην E q , όταν οι υπόλοιπες<br />
μεταβλητές κατάστασης είναι σταθερές. Ο Κ 4 περιγράφει την απομαγνήτιση του<br />
τυλίγματος του πεδίου αυξανόμενης της δ. Ο Κ 11 εκφράζει την επίδραση της<br />
μεταβατικής ΗΕΔ του άξονα d στον άξονα q. Έχουν και οι τρεις τιμές θετικό<br />
πρόσημο για τις περισσότερες μηχανές.<br />
Οι Κ 7 ,Κ 9 ,Κ 12 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης του τυλίγματος απόσβεσης.<br />
Ειδικότερα ο Κ 9 περιγράφει την επίδραση της ωμικής αντίστασης και επαγωγικής<br />
αντίδρασης της γραμμής διασύνδεσης και του στάτη στην E q , για μικρή μεταβολή<br />
της Ε d . Ο Κ 7 περιγράφει την απομαγνήτιση του τυλίγματος του πεδίου αυξανόμενης<br />
της δ. Ο Κ 12 εκφράζει την επίδραση της μεταβατικής ΗΕΔ του άξονα d στον άξονα<br />
q. Ο Κ 9 έχει πάντα θετικές τιμές, ο Κ 12 μικρές αρνητικές τιμές ενώ ο Κ 7 έχει τις<br />
περισσότερες των περιπτώσεων αρνητικές τιμές.<br />
Αντίστοιχα προκύπτει η γραμμικοποιημένη εξίσωση της ροπής της μηχανής στην<br />
μεταβατική κατάσταση και έχουμε:<br />
Δ T = i Δ E ' + i Δ E ' + [ E ' −( X ' − X ') i ] i + [ E ' −( X ' −X ') i ] 0<br />
i<br />
e q0 q d0 d q0 d q d0 q d0<br />
d q q d<br />
(3.2.13)<br />
και με αντικατάσταση των (3.2.5), (3.2.6) μας δίνει την<br />
Δ T = K Δ δ + K Δ E ' + K Δ E '<br />
(3.2.14)<br />
e<br />
1 2 q 8<br />
d<br />
~ 42 ~
Με<br />
ΔΤ V<br />
K = = {[ E ' −( X ' − X ') i ][( r + R )sin δ + ( Χ ' + X )cos δ ] −<br />
e ∞<br />
1 q0 d q d0 a e 0 d e 0<br />
Δδ<br />
As<br />
−[ E ' −( X ' − X ') i ][( r + R )cos δ −( Χ ' + X )sin δ ]}<br />
d0 d q q0 a e 0 q e 0<br />
Δ T r + R<br />
X ' + X<br />
Κ = = i + [ E ' −( X ' − X ') i ] + [ E ' −( X ' −X<br />
') i ] q0<br />
e a e<br />
q e<br />
2 q0 q0 d q d0 d0<br />
d q<br />
ΔΕq'<br />
As As<br />
K<br />
Δ T r + R<br />
= = i +<br />
e a e<br />
8 d 0<br />
ΔΕd<br />
' As<br />
(3.2.15)<br />
'<br />
[ E ' ( X ' X ') i X + X<br />
− − ] − [ E ' −( X ' − X ') i<br />
d e<br />
d0 d q q0 q0<br />
d q d0 A<br />
]<br />
s<br />
Οι Κ 1 ,Κ 2 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης της ηλεκτρομηχανικής ροπής. Ο<br />
Κ 1 είναι ο συντελεστής χρονισμού της μηχανής αν αμελήσουμε την επίδραση των<br />
τυλιγμάτων πεδίου και απόσβεσης. Ο K 2 εκφράζει την μεταβολή της ροπής σε μια<br />
μεταβολή του μαγνητικού ροής του τυλίγματος πεδίου, ενώ ο Κ 8 εκφράζει την<br />
μεταβολή της ροπής σε μια μεταβολή του τυλίγματος απόσβεσης. Οι Κ 1 , Κ 2 έχουν<br />
κατά κανόνα θετικές τιμές, αντίθετα ο Κ 8 έχει σχεδόν πάντα αρνητική τιμή.<br />
Η μεταβολή του μέτρου της τάσης ακροδεκτών είναι:<br />
υ<br />
υ<br />
d 0<br />
qo<br />
Δ Vt<br />
= Δ υd<br />
+ Δ υq<br />
(3.2.16)<br />
Vt0 Vt0<br />
Όπου :<br />
Δ υ = δ Δδ<br />
− Δ + Δ (3.2.17)<br />
d<br />
q<br />
V∞<br />
cos<br />
0<br />
Xe<br />
i q<br />
R e<br />
i d<br />
Δ υ =− δ Δδ<br />
− Δ + Δ (3.2.18)<br />
V∞<br />
sin<br />
0<br />
Xe<br />
i d<br />
R e<br />
i q<br />
Άρα το μέτρο τάσης των ακροδεκτών είναι :<br />
V<br />
1<br />
Δ V = ( υ cosδ −υ sin δ ) Δ δ + ( υ R −X υ ) Δ i q<br />
+<br />
∞<br />
t d0 0 q0 0 q0 e e d0<br />
Vt0 Vt0<br />
1<br />
+ ( υ R + X υ ) Δi<br />
V<br />
t0<br />
d0 e e q0<br />
d<br />
(3.2.19)<br />
Και προκύπτει με αντικατάσταση στην (3.2.19) των (3.2.5),(3.2.6):<br />
~ 43 ~
Δ V = K Δ δ +Κ Δ E ' + K Δ E '<br />
(3.2.20)<br />
t<br />
Όπου<br />
5 6 q 10<br />
d<br />
ΔV<br />
V<br />
K = = { A ( υ cosδ − υ sin δ ) + [( X ' + X )cos δ + ( r + R )sin δ ][ υ R −υ<br />
X ] −<br />
t ∞<br />
5 s d0 0 q0 0 d e 0 a e 0 q0<br />
e do e<br />
Δδ<br />
AV<br />
s t0<br />
− [( r + R )cos δ − ( X ' + X )sin δ ][ υ R + υ X ]}<br />
a e 0 q e 0 d0<br />
e qo e<br />
ΔV<br />
1<br />
K = = [( υ R − υ X )( r + R ) + ( υ R − υ X )( X ' + X )]<br />
K<br />
t<br />
6 qo e d 0 e a e do e q0<br />
e q e<br />
ΔEq'<br />
AV<br />
s t0<br />
10<br />
ΔVt<br />
= =<br />
ΔE<br />
'<br />
d<br />
1<br />
AV<br />
s<br />
t0<br />
[ −( υ R − υ X )( X ' + X ) + ( r + R )( υ R −υ<br />
X )]<br />
qo e d 0 e d e a e do e q0<br />
e<br />
(3.2.21)<br />
Οι Κ 5 ,Κ 6 είναι οι συντελεστές γραμμικοποίησης του τυλίγματος πεδίου, ενώ ο Κ 10<br />
είναι ο συντελεστής γραμμικοποίησης που περιγράφει την επίδραση του<br />
τυλίγματος απόσβεσης στην τάση των ακροδεκτών.<br />
Επομένως το γραμμικό μοντέλο της σύγχρονης μηχανής 4 ης τάξης που περιγράφεται<br />
από τους συντελεστές γραμμικοποίησης είναι :<br />
⎛ 0 ω0<br />
0 0 0 ⎞<br />
.<br />
⎛ ⎞ ⎜<br />
⎟<br />
1 D 1 1<br />
⎜<br />
Δδ<br />
⎟ ⎜ − Κ1 − − K2 − K8<br />
0 ⎟<br />
⎜ . ⎟ ⎜ 2Η<br />
2H 2H 2H<br />
⎟⎛Δδ<br />
⎞<br />
⎛ 0 0⎞<br />
⎜Δω<br />
⎟ ⎜ 1 1 1 1 ⎟⎜<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
0 1<br />
Δω<br />
⎜ . ⎟ ⎜− K4 0 − K3 − K11<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜Δ E ' Td0' Td0' Td0' Td0'<br />
q ⎟= ⎜<br />
⎟⎜ΔEq<br />
' ⎟<br />
⎜ 0 0⎟⎛ΔVref , t ⎞<br />
+<br />
⎜<br />
.<br />
⎟ ⎜ 1 1 1 ⎟⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟⎜ ⎟<br />
0 0 ΔTm<br />
⎜ ' K7 0 K12 K9<br />
0 ΔEd<br />
Δ E ⎟ ⎜− − −<br />
⎟⎜<br />
' ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠<br />
d<br />
⎜ ⎟ ⎜ Tq0' Tq0' Tq0'<br />
⎟<br />
⎜K<br />
⎟<br />
E<br />
⎜ .<br />
E ⎟ ⎜ 0⎟<br />
fd<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜Δ<br />
E<br />
fd<br />
' ⎝Δ<br />
⎠ TE<br />
⎟ KE KE KE<br />
1<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ ⎠ − K5 0 − K6 − K<br />
⎜<br />
10<br />
−<br />
TE TE TE T ⎟<br />
⎝<br />
E ⎠<br />
(3.2.22)<br />
~ 44 ~
Με την σχέση εισόδου εξόδου να είναι :<br />
⎛Δδ<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎛Δω<br />
⎞ ⎛ 0 1 0 0 0⎞⎜Δω<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
Δ Te<br />
= K1 D K2 K8<br />
0 ⎜ΔEd<br />
' ⎟<br />
⎟<br />
⎜ V ⎟ ⎜<br />
⎜ ⎟<br />
t<br />
K5 0 K6 K10<br />
0 ⎝Δ<br />
⎠ ⎝ ⎠⎜ΔEd<br />
' ⎟<br />
⎜<br />
ΔE<br />
⎟<br />
⎝ fd ⎠<br />
(3.2.23)<br />
3.3) Σχεδίαση σταθεροποιητών σε ένα Σύστημα Ηλεκτρικής<br />
Ενέργειας<br />
Η παρακάτω σχεδίαση είναι ακριβής στην περίπτωση που εξετάζουμε την<br />
απόσβεση μιας τοπικής ταλάντωσης, που εκδηλώνεται ανάμεσα στη γεννήτρια και<br />
στο σύστημα, και όχι στην περίπτωση πολλών μηχανών καθώς τότε έχουμε<br />
αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μηχανών. Αποτελείται από δύο επιμέρους τμήματα.<br />
• Υπολογισμό της γωνίας αντιστάθμισης.<br />
• Υπολογισμό του κέρδους του σταθεροποιητή.<br />
Η σχεδίαση ενός σταθεροποιητή θα πρέπει να γίνεται σε συνθήκες μέγιστης<br />
φόρτισης του συστήματος. Στις συνθήκες αυτές η ροπή απόσβεσης των γεννητριών<br />
ελαχιστοποιείται και μια ενδεχόμενη διαταραχή είναι πολύ πιθανόν να εμφανίσει<br />
μη αποσβενύμενες ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ανάμεσα στις γεννήτριες. Έτσι<br />
αν ο σταθεροποιητής μπορεί να εξασφαλίσει την απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων στη μέγιστη φόρτιση τότε μπορεί να εγγυηθεί και την γενικότερη<br />
ευσταθή λειτουργία του συστήματος.<br />
Για σύστημα που λειτουργεί σε συνθήκες μέγιστης φόρτισης γίνεται ανάλυση<br />
των ρυθμών απόκρισής του, με στόχο να βρεθούν εκείνοι οι ηλεκτρομηχανικοί<br />
ρυθμοί οι οποίοι χρήζουν ανάγκης περαιτέρω απόσβεσης. Στην συνέχεια<br />
υπολογίζεται η γωνία αντιστάθμισης και η συνάρτηση μεταφοράς του<br />
σταθεροποιητή και το κέρδος του σταθεροποιητή.<br />
Ο σταθεροποιητής λειτουργεί μέσω του συστήματος διέγερσης της γεννήτριας<br />
και απώτερος σκοπός είναι η παραγόμενη ροπή να είναι σε φάση με την ταχύτητα<br />
ώστε να συνεισφέρει καθαρή θετική ροπή απόσβεσης.<br />
~ 45 ~
Επιλέγεται η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου, η οποία έχει σαν είσοδο<br />
την τάση αναφοράς του ΑΡΤ και σαν έξοδο την ταχύτητα περιστροφής του δρομέα<br />
της γεννήτριας. Έπειτα υπολογίζεται το ολοκληρωτικό υπόλοιπο του<br />
ηλεκτρομηχανικού ρυθμού για την παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού<br />
βρόχου στην γεννήτρια. Η παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου είναι<br />
διαφορετική από τη συνάρτηση μεταφοράς της γεννήτριας, γιατί στη συνάρτηση<br />
αυτή περιλαμβάνεται και ο ΑΡΤ με το σύστημα διέγερσης της γεννήτριας.<br />
Ωστόσο κατά την περίπτωση που το σημείο λειτουργίας του συστήματος περνά<br />
κοντά από ένα σημείο ισχυρού συντονισμού τα ολοκληρωτικά υπόλοιπα δεν είναι<br />
αξιόπιστοι δείκτες ευαισθησίας της ιδιοτιμής ενός ηλεκτρομηχανικού ρυθμού.<br />
Επιπλέον θα πρέπει να λαμβάνεται σοβαρά υπόψη η σχετική θέση των μηδενικών<br />
του συστήματος χωρίς σταθεροποιητές αλλά και η μετατόπιση των μηδενικών λόγω<br />
της δράσης των σταθεροποιητών. Αυτό γίνεται γιατί όταν ένα μηδενικό βρίσκεται<br />
κοντά σε έναν πόλο τότε με την προσάρτηση του σταθεροποιητή ο πόλος αυτός<br />
πιθανόν να μην μπορέσει να μετακινηθεί πέραν του μηδενικού αυτού με<br />
αποτέλεσμα να μην αυξηθεί ουσιαστικά η απόσβεση του αντίστοιχου ρυθμού.<br />
3.3.1) Υπολογισμός της γωνίας αντιστάθμισης<br />
Ο υπολογισμός της γωνίας αντιστάθμισης του PSS επιτυγχάνεται με χρήση της<br />
μεθόδου των ολοκληρωτικών υπολοίπων.<br />
Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην εξής μεθοδολογία. Έστω η συνάρτηση<br />
μεταφοράς ανοιχτού βρόχου η οποία έχει σαν είσοδο την τάση αναφοράς του<br />
Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης (ΔU(s)) και σαν έξοδο την ταχύτητα περιστροφής του<br />
δρομέα της γεννήτριας (Δy(s)). Συμβολίζουμε τη συνάρτηση αυτή με G(s) . Ισχύει:<br />
Δy()<br />
s<br />
Gs () = Δ us ()<br />
Αν θεωρηθεί ότι οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι διακριτές τότε, η συνάρτηση<br />
αυτή μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα σαν ένα άθροισμα επιμέρους κλασμάτων ως<br />
εξής:<br />
n<br />
n<br />
⎡ cu<br />
i<br />
vi<br />
b⎤<br />
⎡ Ri<br />
⎤<br />
G(<br />
s)<br />
= ⎢∑<br />
⎥ = ⎢∑<br />
⎥<br />
⎣ i=<br />
1 s − λi<br />
⎦ ⎣ i=<br />
1 s − λi<br />
⎦<br />
~ 46 ~
Ο μιγαδικός αριθμός<br />
συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου G(s) .<br />
Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο ενός ρυθμού<br />
πως θα μεταβληθεί η αντίστοιχη ιδιοτιμή<br />
R i<br />
είναι το ολοκληρωτικό υπόλοιπο του ρυθμού i για τη<br />
i<br />
αποτελεί μια ένδειξη για το αν και<br />
λ<br />
i<br />
στην περίπτωση που το σύστημα<br />
ανοιχτού βρόχου μετατραπεί με χρήση ανατροφοδότησης της εξόδου του στην<br />
είσοδό του σε κλειστού βρόχου σύστημα. Με χρήση ολοκληρωτικών υπολοίπων<br />
προκύπτουν οι ρυθμοί του συστήματος που πρόκειται να επηρεαστούν και πόσο<br />
στην περίπτωση μιας τέτοιας ανατροφοδότησης .<br />
Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο του ρυθμού i για τη συνάρτηση μεταφοράς<br />
ανοιχτού βρόχου G(s)<br />
είναι R<br />
i<br />
ενώ το όρισμα του είναι arg( R i<br />
) .<br />
Το μέτρο του ολοκληρωτικού υπολοίπου καθορίζει το πόσο θα μετατοπιστεί η<br />
ιδοτιμή μετά τη χρήση της ανατροφοδότησης, ενώ το όρισμα του ολοκληρωτικού<br />
υπολοίπου είναι το μέγεθος εκείνο το οποίο καθορίζει την κατεύθυνση προς την<br />
οποία θα μετακινηθεί η ιδιοτιμή μετά το κλείσιμο του βρόχου.<br />
Αν θεωρηθεί ότι το σύστημα ανοιχτού βρόχου κλείνει μέσω μιας διάταξης<br />
θετικής ανατροφοδότησης η οποία έχει συνάρτηση μεταφοράς υπολογισμένη<br />
κατάλληλα έτσι ώστε η ιδιοτιμή λ<br />
i<br />
με το κλείσιμο του βρόχου να μετατοπιστεί προς<br />
τα αριστερά, η συνάρτηση μεταφοράς αυτή είναι η συνάρτηση μεταφοράς του<br />
σταθεροποιητή και είναι η :<br />
H<br />
( s)<br />
K T ( s)<br />
PSS<br />
=<br />
PSS<br />
PSS<br />
Για μια ιδιοτιμή λ<br />
i<br />
το όρισμα της συνάρτησης μεταφοράς του σταθεροποιητή<br />
είναι arg( T ( λ )) = ϕ<br />
PSS<br />
i<br />
i<br />
Έτσι γίνεται κατανοητό με χρήση της θεωρίας των ολοκληρωτικών υπολοίπων<br />
προκειμένου η ιδιοτιμή λ<br />
i<br />
να μετατοπιστεί προς τα αριστερά μετά τ του βρόχου<br />
για το όρισμα ϕ<br />
i<br />
θα πρέπει να ισχύει :<br />
Για να μετατοπιστεί η ιδιοτιμή λ<br />
i<br />
προς τα αριστερά μετά την ανατροφοδότηση<br />
για το όρισμα ϕ<br />
i<br />
θα πρέπει να ισχύει :<br />
~ 47 ~
φ =+ 180°−arg( R) arg( R) ∈ (0, + 180 ° )<br />
i i i<br />
(3.3.1)<br />
φ =− 180°−arg( R) arg( R) ∈( − 180 ° ,0)<br />
i i i<br />
Για την κάθε περίπτωση. Αν το όρισμα του ολοκληρωτικού υπολοίπου του<br />
ρυθμού i για τη συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου της γεννήτριας είναι<br />
θετικό τότε η συνάρτηση μεταφοράς του σταθεροποιητή θα πρέπει να έχει μια<br />
προπορεία φάσεως στην περιοχή της ιδιοτιμής<br />
λ<br />
i<br />
. Αντίθετα, αν το όρισμα του<br />
ολοκληρωτικού υπολοίπου είναι αρνητικό τότε η συνάρτηση μεταφοράς του<br />
σταθεροποιητή θα πρέπει να έχει μια υστέρηση φάσεως στην περιοχή αυτή.<br />
Στην παράγραφο 2.4 εξετάστηκε σταθεροποιητής δυο βαθμίδων αντιστάθμισης<br />
φάσης , ένα κέρδος Κ PSS , ένα φίλτρο αποκοπής και έναν περιοριστή. Το γενικότερο<br />
μοντέλο του σταθεροποιητή αποτελείται από n βαθμίδες αντισταθμίσεως φάσεως,<br />
ένα κέρδος<br />
K PSS<br />
, ένα φίλτρο απαλοιφής καθώς και έναν περιοριστή.<br />
Η συνάρτηση μεταφοράς του γενικευμένου μοντέλου είναι η :<br />
H<br />
PSS<br />
sTW<br />
( s)<br />
=<br />
1+<br />
sT<br />
W<br />
K<br />
PSS<br />
1+<br />
sT<br />
1+<br />
sT<br />
1<br />
2<br />
1+<br />
sT<br />
1+<br />
sT<br />
1+<br />
sT<br />
3<br />
2n−1<br />
(3.3.2)<br />
4<br />
1+<br />
sT<br />
2n<br />
Όπου ο όρος<br />
sT<br />
w<br />
/( 1+<br />
sTw<br />
) εκφράζει το φίλτρο απαλοιφής το οποίο δεν εισάγει<br />
σημαντική φάση στο εύρος συχνοτήτων των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων και<br />
μπορεί να παραληφθεί.<br />
Άρα η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται:<br />
H<br />
PSS<br />
( s)<br />
= K<br />
PSS<br />
1+<br />
sT<br />
1+<br />
sT<br />
1<br />
2<br />
1+<br />
sT<br />
1+<br />
sT<br />
1+<br />
sT<br />
3<br />
2n−1<br />
(3.3.3)<br />
4<br />
1+<br />
sT<br />
2n<br />
Για όμοιες βαθμίδες στον σταθεροποιητή έχουμε:<br />
H<br />
PSS<br />
n<br />
⎛ 1+<br />
sT1<br />
s K<br />
PSS<br />
sT ⎟ ⎞<br />
( ) =<br />
⎜<br />
(3.3.4)<br />
⎝1+<br />
2 ⎠<br />
~ 48 ~
Και στο πεδίο της συχνότητας έχουμε:<br />
H<br />
PSS<br />
n<br />
⎛ 1+<br />
jωT1<br />
j K<br />
PSS<br />
j T ⎟ ⎞<br />
( ω ) =<br />
⎜<br />
(3.3.5)<br />
⎝1+<br />
ω<br />
2 ⎠<br />
Αν οι χρονικές σταθερές Τ 1 και Τ 2 συνδέονται με τη σχέση:<br />
T<br />
1<br />
= kT 2<br />
για k>1 (3.3.6)<br />
Τότε αν γραφτεί η συνάρτηση μεταφοράς με πραγματικό και φανταστικό μέρος<br />
έχουμε:<br />
2<br />
⎛1 + k( ωT2) ( k−1)<br />
ωT<br />
⎞<br />
2<br />
HPSS<br />
( jω)<br />
= KPSS<br />
⎜ + j<br />
2<br />
2 ⎟<br />
⎝ 1 + ( ωT2) 1 + ( ωT2)<br />
⎠<br />
n<br />
(3.3.7)<br />
Επομένως η προπορεία φάσεως που εισάγει ο σταθεροποιητής στο πεδίο της<br />
συχνότητας είναι :<br />
φ<br />
PSS<br />
−1 ⎛ ( k−1)<br />
ωT<br />
⎞<br />
2<br />
= n tan ⎜ 2<br />
⎝1 + k( ωT2<br />
) ⎠ ⎟ (3.3.8)<br />
Έτσι ώστε να μετατοπιστεί προς τα αριστερά η ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στην<br />
ηλεκτρομηχανική ταλάντωση, η φάση<br />
πρέπει να ισούται με το επιθυμητό όρισμα<br />
ϕ<br />
PSS<br />
που εισάγει ο σταθεροποιητής θα<br />
ϕ<br />
i<br />
της (1). Η φάση ϕ<br />
PSS<br />
όμως<br />
μεταβάλλεται με τη συχνότητα και επομένως στο εύρος συχνοτήτων των<br />
ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων θα πρέπει να ισχύει :<br />
Η (8) με χρήση της (9) γράφεται:<br />
ϕ<br />
PSS<br />
( jω)<br />
≤ ϕ i<br />
(3.3.9)<br />
1 ( 1)<br />
2<br />
tan<br />
⎛ k−<br />
ωT<br />
φ<br />
− i<br />
⎜<br />
⎞<br />
2 ⎟≤<br />
⎝1 + ( ωT2<br />
) ⎠ n<br />
(3.3.10)<br />
Η σχεδίαση του σταθεροποιητή γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η φάση που<br />
εισάγει να μεγιστοποιείται στη συχνότητα της ιδιοτιμής που αντιστοιχεί στην<br />
ηλεκτρομηχανική ταλάντωση.<br />
~ 49 ~
Η γωνία προπορείας φάσεως μεγιστοποιείται όταν :<br />
dφ<br />
dw<br />
PSS<br />
= 0 ⇔<br />
( k− 1)(1 + k( ωT ) ) −2 k( ωT ) ( k−1)<br />
= 0 ⇔<br />
(1 + k( ωT ) ) + ( k−1) ( T )<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
ω<br />
2<br />
(3.3.11)<br />
( k− 1)(1 + k( ωT ) ) −2 k( ωT ) ( k− 1) = 0<br />
2 2<br />
2 2<br />
Άρα η μεγιστοποίηση γίνεται για :<br />
ω T =<br />
2<br />
1<br />
k<br />
(3.3.12)<br />
Η συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης θα είναι:<br />
1 1 1<br />
ω = = =<br />
T2 k kTT<br />
2 2<br />
TT<br />
1 2<br />
(3.3.13)<br />
Η φάση που εισάγει ο σταθεροποιητής στη συχνότητα της ηλεκτρομηχανικής<br />
ταλάντωσης ισούται με το επιθυμητό όρισμα ϕ<br />
i<br />
και θα είναι :<br />
−1⎛<br />
( k−1) ωT ⎞ ⎛<br />
2<br />
−1<br />
( k−1)(1/ k) ⎞<br />
−1⎛( k−1)<br />
⎞<br />
φi<br />
= ntan ⎜ ntan ntan<br />
2 ⎟= 2<br />
1 k( ωT2<br />
) ⎜<br />
= ⎜ ⎟<br />
1 k(1/ k) ⎟<br />
⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ 2 k ⎠<br />
(3.3.14)<br />
Όπου τελικά καταλήγουμε στην:<br />
⎛ϕi<br />
⎞<br />
1+<br />
sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ n<br />
k =<br />
⎠<br />
⎛ϕi<br />
⎞<br />
1−<br />
sin⎜<br />
⎟<br />
⎝ n ⎠<br />
(3.3.15)<br />
~ 50 ~
Με την παραπάνω μεθοδολογία μπορεί να σχεδιαστεί ένας σταθεροποιητής n<br />
όμοιων βαθμίδων ο οποίος να αποσβένει πλήρως έναν ηλεκτρομηχανικό ρυθμό. Ο<br />
σταθεροποιητής σχεδιάζεται με τέτοιον τρόπο ώστε στη συχνότητα του<br />
ηλεκτρομηχανικού ρυθμού να μεγιστοποιείται η προπορεία φάσεως που εισάγει<br />
και η αντιστάθμιση να είναι πλήρης.<br />
Για την υστέρηση που εισάγει ο βρόχος διέγερσης, ο PSS διαθέτει δυο βαθμίδες<br />
προπορείας της φάσης ώστε να αντισταθμίζεται αυτή η υστέρηση.<br />
Οι δυο βαθμίδες είναι απαραίτητες καθώς η υστέρηση φάσης που εισάγει ο<br />
βρόχος διέγερσης είναι αρκετές φορές μεγαλύτερη από 90 ο . Η κάθε βαθμίδα<br />
μπορεί να αντισταθμίσει περίπου μέχρι 45 ο .Το διάγραμμα φάσης του<br />
σταθεροποιητή είναι συμμετρικό γύρω από μία κεντρική συχνότητα, τη συχνότητα<br />
του ηλεκτρομηχανικού ρυθμού. Ο σταθεροποιητής εισάγει μια προπορεία στη<br />
φάση που μεγιστοποιείται σε αυτή την συχνότητα, έτσι επιτυγχάνεται η<br />
αντιστάθμιση, και παράλληλα παρέχει κάποια μερική αντιστάθμιση σε ένα<br />
ικανοποιητικό εύρος συχνοτήτων.<br />
Όσο μεγαλύτερο το παραπάνω εύρος τόσο καλύτερα, καθώς παρόλο που δεν<br />
έχουμε τέλεια αντιστάθμιση του κύριου τοπικού ρυθμού, μπορεί να παραμείνει σε<br />
συγχρονισμό η γεννήτρια σε πληθώρα περιπτώσεων πιθανών ταλαντώσεων.<br />
3.3.2) Υπολογισμός του κέρδους του σταθεροποιητή.<br />
Το κέρδος του σταθεροποιητή υπολογίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να<br />
αποφεύγεται το φαινόμενο συντονισμού του ρυθμού διέγερσης με τον<br />
ηλεκτρομηχανικό ρυθμό.<br />
Για τον υπολογισμό του κέρδους του σταθεροποιητή δουλεύουμε εμπειρικά με<br />
δοκιμές ακολουθώντας την εξής διαδικασία. Αυξάνουμε το κέρδος συνεχώς με<br />
ρυθμό τέτοιο ώστε να μειώνονται οι ανεπιθύμητες αλληλεπιδράσεις με τους<br />
άλλους ρυθμούς και να εξασφαλίζεται η απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών<br />
ταλαντώσεων του συστήματος. Ακόμα αν είναι εφικτό να γνωρίζουμε τα όρια των<br />
αποκλίσεων της συχνότητας ενός ηλεκτρομηχανικού ρυθμού μπορούμε να θέσουμε<br />
τα ανώτατα όρια (Δω lim ) και να εξετάζουμε συνεχώς αν βρισκόμαστε σε επιτρεπτά<br />
πλαίσια.<br />
~ 51 ~
Αν η απόσβεση της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης μειωθεί για μικρή αύξηση<br />
του κέρδους, αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει πλησιάσει κοντά στο σημείο<br />
συντονισμού του ηλεκτρομηχανικού ρυθμού και του ρυθμού διέγερσης. Ακόμα αν<br />
η απόκλιση της συχνότητας της ηλεκτρομηχανικής ταλάντωσης ξεπεράσει το Δω lim<br />
της αρχικής τιμής, τότε συνεπάγεται ότι έχουμε αλληλεπίδραση της ταλάντωσης με<br />
το ρυθμό διέγερσης και το κέρδος πρέπει να περιοριστεί για να μειώσουμε την<br />
υπερβολική ελάττωση της απόσβεσης του ρυθμού διέγερσης.<br />
~ 52 ~
4 ο Κεφάλαιο<br />
Διάταξη ελέγχου Matlab<br />
Η διάταξη την οποία εξετάσαμε για να δείξουμε πως μπορούμε να ελέγξουμε τις<br />
ηλεκτρομηχανικές ταλαντώσεις ενός συστήματος γεννήτριας –άπειρου ζυγού είναι<br />
η ακόλουθη:<br />
~ 53 ~
~ 54 ~
Αποτελείται από την σύγχρονη γεννήτρια, τον Αυτόματο Ρυθμιστή Τάσης και τον<br />
Σταθεροποιητή του συστήματος.<br />
Η σύγχρονη γεννήτρια παριστάνεται με χρήση του μοντέλου 4 ης τάξης στο πεδίο<br />
της συχνότητας. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις της μορφής:<br />
•<br />
x = Ax + Bu<br />
y = Cx + Du<br />
Με Α ,Β τους πίνακες<br />
της σχέσης (63)<br />
⎛ 0 ω0<br />
0 0 0 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
1 D 1 1<br />
− Κ1 − − K2 − K8<br />
0 ⎟<br />
⎜ 2Η<br />
2H 2H 2H<br />
⎟<br />
⎜ 1 1 1 1 ⎟<br />
⎜− K4 0 − K3 − K11<br />
⎟<br />
⎜ Td0' Td0' Td0'<br />
Td0'<br />
⎟<br />
⎜ 1 1 1 ⎟<br />
⎜− K7 0 − K12 − K9<br />
0 ⎟<br />
⎜ Tq0' Tq0' Tq0'<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
KE KE KE<br />
1<br />
K5 0 K6 K10<br />
−<br />
⎜<br />
− − −<br />
TE TE TE<br />
T ⎟<br />
⎝<br />
E ⎠<br />
⎛ 0 0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
0 1<br />
⎟<br />
⎜ 0 0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ 0 0⎟<br />
⎜K<br />
⎟<br />
E<br />
⎜ 0⎟<br />
⎝ TE<br />
⎠<br />
C τον πίνακα<br />
⎛ 0 1 0 0 0⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
K1 D K2 K8<br />
0<br />
⎟<br />
⎜K5 0 K6 K10<br />
0<br />
⎝<br />
⎠<br />
της σχέσης (64) και D τον μηδενικό πίνακα.<br />
Οι μεταβλητές κατάστασης είναι: η γωνία του άξονα της μηχανής Δδ ,η γωνιακή<br />
συχνότητα του συστήματος Δω, η μεταβατική ΔΕ q του εγκάρσιου άξονα q, η<br />
μεταβατική ΔΕ d του ευθύ άξονα d και η μεταβατική κατάσταση ΔΕ fd του πεδίου<br />
διέγερσης της αναφοράς.<br />
Δηλαδή<br />
⎛Δδ<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜Δω<br />
⎟<br />
x = ⎜ΔEq<br />
' ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ΔEd<br />
' ⎟<br />
⎜<br />
E ⎟<br />
⎝Δ<br />
fd ⎠<br />
Η είσοδος της μηχανής είναι η τάση αναφοράς ΔV ref,t και η μηχανική ροπή της<br />
σύγχρονης μηχανής ΔT m .<br />
~ 55 ~
⎛ΔVref , t ⎞<br />
Δηλαδή u = ⎜ ⎟<br />
⎝ΔTm<br />
⎠<br />
Η έξοδος του συστήματος δίνει την γωνιακή συχνότητα , την Ηλεκτρομαγνητική<br />
ροπή και το μέτρο τάσης των ακροδεκτών της μηχανής.<br />
⎛Δω<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
y = ΔTe<br />
⎜ V ⎟<br />
⎝Δ<br />
t ⎠<br />
Η σχέση που συνδέει τον έλεγχο της τάσης αναφοράς με τη γωνιακή συχνότητα<br />
και την τάση των ακροδεκτών της γεννήτριας είναι η :<br />
K ⎡<br />
a<br />
Ts<br />
1<br />
+ 1 T3s+<br />
1 Ts ⎤<br />
r<br />
Δ Vref , t<br />
= ⎢−Δ Vt + ⋅ ⋅ ΚPSSΔω⎥<br />
Ts<br />
a<br />
+ 1⎣<br />
Ts<br />
2<br />
+ 1 Ts<br />
4<br />
+ 1 Ts<br />
r<br />
+ 1 ⎦<br />
(65)<br />
Όπου ο όρος<br />
Ka<br />
ΔVt<br />
Ts+<br />
1<br />
a<br />
είναι ο βρόχος του αυτόματου ρυθμιστή τάσης ενώ ο όρος<br />
Ka<br />
Ts+<br />
1 Ts+<br />
1 Ts<br />
Ts+ 1 Ts+ 1 Ts+ 1 Ts+<br />
1<br />
a<br />
1 3<br />
r<br />
⋅ ⋅ ⋅ ΚPSSΔ<br />
2 4 r<br />
ω είναι ο βρόχος του σταθεροποιητή (PSS).<br />
Εξετάζεται η περίπτωση κατά την οποία μόνο η τάση αναφοράς ΔV ref,t αλλάζει<br />
τιμή ενώ η μηχανική ροπή παραμένει σταθερή για κάποιο διάστημα. Για να<br />
επιτευχθεί αυτό θεωρούμε ότι έχουμε είσοδο με ΔT m σταθερή η οποία αλλάζει<br />
μετά από 15 sec με χρήση βηματικής. Η βηματική σε συνδυασμό με την τάση<br />
αναφοράς αποτελούν την είσοδο της σύγχρονης μηχανής. Από την έξοδο της<br />
μηχανής παίρνουμε τα Δω και ΔV t που συμμετέχουν στον βρόχο ελέγχου του<br />
συστήματος όπως φαίνεται και από την σχέση (65).<br />
Οι συντελεστές Κ 1 ‐Κ 12 του πίνακα Α προκύπτουν από τις σχέσεις (52),(53),(56)<br />
για μία τυπική κατάσταση φόρτισης της μηχανής.<br />
Συγκεκριμένα οι τιμές των συντελεστών αυτών για το πείραμα μας είναι :<br />
K1=9.000, K2=3.800, K3=4.000, K4=1.800<br />
K5=‐0.0206, K6=0.420, K7=‐2.000<br />
K8=‐6.000, K9=3.000, K10=0.100<br />
K11=0.050, K12=‐0.050<br />
~ 56 ~
Γενικότερα οι τυπικές τιμές των συντελεστών αυτών για μια τυπική κατάσταση<br />
φόρτισης, όπως προκύπτουν από την βιβλιογραφία [7]:<br />
Κ 1 8~10<br />
Κ 2 6~9.5<br />
Κ 3 4<br />
Κ 4 1,5~4<br />
Κ 5 0~‐0.1<br />
Κ 6 0.2~0.5<br />
Κ 7 0~‐2<br />
Κ 8 ‐2~‐6<br />
Κ 9 3<br />
Κ 10 0.1~<br />
Κ 11 0.01~0.1<br />
Κ 12 ‐0.01~‐0.1<br />
Τα δυναμικά χαρακτηριστικά της γεννήτριας είναι :<br />
H=3.91, D=10, KE=25, TE=0.03<br />
T do =5.9, T qo =1.0, X d =1.85, X q =1.80<br />
X’ d =0.26, X’ q =0.42<br />
Για τον αυτόματο ρυθμιστή τάσης χρησιμοποιούμε το απλοποιημένο μοντέλο<br />
της ανάλυσης ευστάθειας μικρών διαταραχών που αναφέραμε στο 2 ο κεφάλαιο<br />
είναι:<br />
Με Ta=0.05, Ka=25<br />
Για την παράσταση του σταθεροποιητή , PSS, χρησιμοποιούμε το μοντέλο ενός<br />
τυπικού σταθεροποιητή με δυο βαθμίδες αντιστάθμισης με χωρίς να λαμβάνεται<br />
υπόψη το φίλτρο.<br />
~ 57 ~
Με<br />
T1=0.3 , T2=0.1<br />
T3=0.01, T4=0.007<br />
TR=0.4<br />
Για την μελέτη του συστήματος μας εργαζόμαστε ως εξής :<br />
Αρχικά στο σύστημα που εξετάζουμε, τοποθετούμε μια τυχαία αρχική<br />
⎡0<br />
⎤<br />
⎢<br />
0.2<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
κατάσταση με διάνυσμα ⎢0<br />
⎥, όπου έχουμε μεταβολή στην γωνιακή συχνότητα<br />
⎢ ⎥<br />
⎢0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣0.3⎥<br />
⎦<br />
Δω και στην μεταβατική κατάσταση του πεδίου διέγερσης ΔΕfd. Στη συνέχεια<br />
ζητούμε από το σύστημα μετά από χρόνο 15 sec να πραγματοποιηθεί μια<br />
μεταβολή στη ΔT m η οποία να έχει τιμή ίση με 0.3. Η ΔV r όλη την ώρα ελέγχεται με<br />
τη βοήθεια του ΑΡΤ και του ΣΣΙ.<br />
Οι αποκρίσεις που παίρνουμε με τη χρήση του Matlab είναι οι εξής:<br />
~ 58 ~
Για την Δδ<br />
4<br />
3<br />
2<br />
Dd (deg)<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
time sec<br />
Παρατηρούμε ότι η Δδ καταλήγει στην μόνιμη κατάσταση μετά από κάποιο χρόνο<br />
και στα 15 sec όπου έχουμε την είσοδο της βηματικής έχουμε μια αρχική<br />
μεταβατική κατάσταση και ένα νέο σημείο ισορροπίας με τιμή 0.5 ο .<br />
~ 59 ~
Για την Δω:<br />
0.2<br />
0.15<br />
0.1<br />
Dw (rad/sec)<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
-0.15<br />
-0.2<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
time (sec)<br />
Παρατηρούμε ότι φτάνουμε σύντομα στην μόνιμη κατάσταση και στην αρχική<br />
μετατόπιση και στην δεύτερη διαταραχή.<br />
~ 60 ~
Για την ΔE d<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
DEd (V)<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
0<br />
time (sec)<br />
Παρατηρούμε ότι η ΔE d καταλήγει αρχικά στην μόνιμη κατάσταση μετά από την<br />
πρώτη διαταραχή και στα 15 sec όπου έχουμε την είσοδο της βηματικής φτάνουμε<br />
μετά από μια μεταβατική κατάσταση στο νέο σημείο ισορροπίας στην τιμή 0.35 V.<br />
~ 61 ~
Για την ΔΕ q<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
DEq (V)<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
-1<br />
time (sec)<br />
Ομοίως παρατηρούμε ότι η ΔEq καταλήγει και αυτή με την σειρά της στην μόνιμη<br />
κατάσταση μετά από κάποιο μικρό χρόνο και στα 15 sec όπου έχουμε την είσοδο<br />
της βηματικής έχουμε εκ νέου μια αρχική μεταβατική κατάσταση και ένα νέο<br />
σημείο ισορροπίας στην τιμή ‐0.09.<br />
~ 62 ~
Για την ΔE fd<br />
150<br />
100<br />
50<br />
DEfd (V)<br />
0<br />
-50<br />
-100<br />
-150<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
time (sec)<br />
Για την διέγερση του ΔE fd έχουμε επίσης μία αρχική διαταραχή η οποία οδηγείται<br />
στην μόνιμη κατάσταση όπως συμβαίνει και στην δεύτερη διαταραχή.<br />
~ 63 ~
Για την ΔT e<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
30<br />
20<br />
10<br />
DTe (Nm)<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
time (sec)<br />
Για την ΔΤ e έχουμε μια αρχική μεταβατική κατάσταση η οποία οδηγήται σύντομα<br />
στην μόνιμη κατάσταση. Κατά την δεύτερη διαταραχή έχουμε αρχικά μια<br />
μεταβατική κατάσταση και μια μετατόπιση στη συνέχεια σε ένα νέο σημείο<br />
ισορροπίας στην τιμή 2.35 Nm.<br />
~ 64 ~
Για την ΔV t<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
0.4<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
DVt (V)<br />
0<br />
-0.1<br />
-0.2<br />
-0.3<br />
-0.4<br />
time (sec)<br />
Τέλος και για την ΔVt έχουμε ύστερα από την ύπαρξη της διαταραχής την<br />
σταθεροποίηση της τιμής στην μόνιμη κατάσταση ύστερα και από τις δυο<br />
διαταραχές.<br />
~ 65 ~
ΣΧΟΛΙΑ‐ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ:<br />
Η καλή σχεδίαση και συνεργασία και λειτουργία του Αυτόματου Ρυθμιστή Τάσης<br />
και του Σταθεροποιητή Συστήματος Ισχύος έχει σαν αποτέλεσμα να εξαλείφονται<br />
οι μεταβατικές καταστάσεις και το σύστημα να οδηγείται σε ένα νέο σημείο<br />
ισορροπίας και ευστάθειας. Έτσι γίνεται δυνατός ο έλεγχος μικρών διαταραχών και<br />
μεταβατικών καταστάσεων του συστήματος μας.<br />
Ο στόχος του συστήματος ΑΡΤ‐ΣΣΙ να διατηρεί το μέτρο της τάσης των ακροδεκτών<br />
της μηχανής, την γωνιακή συχνότητα και την Ηλεκτρομαγνητική ροπή επετεύχθη<br />
καθώς μετά από τις διαδοχικές διαταραχές η γεννήτρια οδηγήθηκε σε νέο σημείο<br />
ισορροπίας με αποτέλεσμα να μην αποσυχρονιστεί.<br />
Ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης σε συνδυασμό με το σύστημα διέγερσης<br />
δημιούργησαν μια καθυστέρηση φάσης στην ηλεκτρομαγνητική ροπή της<br />
γεννήτριας η οποία αντισταθμίστηκε με τον Σταθεροποιητή Συστήματος Ισχύος. Ο<br />
Σταθεροποιητής μόλις δέχτηκε το σήμα που σχετίζεται με την ταλάντωση του<br />
δρομέα έδρασε με τέτοιον τρόπο ώστε να αυξηθεί η συνιστώσα ροπής απόσβεσης<br />
της ηλεκτρομαγνητικής ροπής. Αυτό επετεύχθη με μεταβολή της ταχύτητας του<br />
δρομέα , με μεταβολή της ηλεκτρικής ισχύος και της συχνότητας.<br />
Για τον σωστό υπολογισμό των χαρακτηριστικών χρονικών σταθερών του<br />
σταθεροποιητή δουλέψαμε αρχικά με την μέθοδο των ολοκληρωτικών υπολοίπων<br />
που παρουσιάστηκε παραπάνω και βρήκαμε με μία τελική στρογγυλοποίηση ότι τα<br />
κατάλληλα κέρδη ήταν τα T1=0.3 , T2=0.1. Στη συνέχεια για τις σταθερές Τ3 και<br />
Τ4 δουλέψαμε με προσεγγιστικό τρόπο για την καλύτερη και ταχύτερη απόκριση<br />
του συστήματος, εφόσον γνωρίζαμε ότι έπρεπε οι τιμές των Τ3 και Τ4 να είναι<br />
μικρότερες από αυτές των Τ1 και Τ2 με κάποια μικρή διαφορά. (Θα πρέπει να<br />
ισχύει Τ1>Τ2>Τ3>Τ4).<br />
Για τον υπολογισμό του κέρδους του σταθεροποιητή δουλέψαμε εμπειρικά.<br />
Χρειάστηκαν πολλές δοκιμές οι οποίες μας βοήθησαν ώστε να επιλεγεί το<br />
καταλληλότερο κέρδος για την εξασφάλιση της ευστάθειας του συστήματος. Το<br />
κέρδος του σταθεροποιητή υπολογίστηκε έτσι ώστε να αποφευχθούν φαινόμενα<br />
συντονισμού του ρυθμού διέγερσης με τον ηλεκτρομηχανικό ρυθμό καθώς και να<br />
πραγματοποιηθεί η απόσβεση των ηλεκτρομηχανικών ταλαντώσεων στο σύστημα.<br />
Η τιμή του κέρδους που επιλέχθηκε ήταν KPSS=0.4, ενώ το διάστημα των τιμών του<br />
κέρδους του σταθεροποιητή κατά το οποίο το σύστημά μας βρισκόταν σε<br />
ευστάθεια ήταν από ‐0.5 έως 1.1. Η τιμή που επιλέξαμε ήταν αυτή κατά την οποία<br />
εξασφαλίσαμε γρήγορη απόσβεση και περιορισμένο αριθμό ταλαντώσεων.<br />
~ 66 ~
Όπως γίνεται αντιληπτό από τις παραπάνω αποκρίσεις παρατηρούμε ότι μετά την<br />
αρχική αυθαίρετη τιμή που θέσαμε στο σύστημα, αυτό ανταποκρίνεται και<br />
οδηγείται σε μόνιμη κατάσταση ύστερα από την μεταβατική περίοδο, μέχρι την<br />
τιμή 15 sec όπου δρα η βηματική είσοδος και αλλάζει η τιμή της ΔT m κατά 0.3. Το<br />
γεγονός αυτό οδηγεί το σύστημα μας προσωρινά ξανά σε μια μεταβατική<br />
κατάσταση η οποία ωστόσο και αυτή αντιμετωπίζεται και οδηγεί το σύστημα μας<br />
στην μόνιμη κατάσταση ευστάθειας.<br />
Σαν τελικό συμπέρασμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι έγινε απόλυτα σαφές ότι για<br />
την ορθή λειτουργία του συστήματος, ούτε ο Σταθεροποιητής Συστήματος Ισχύος,<br />
ούτε ο Αυτόματος Ρυθμιστής Τάσης μπορούν να δουλέψουν ανεξάρτητα, παρά<br />
μόνο συμπληρωματικά. Είναι και τα δυο συστήματα απαραίτητα για τον ορθό<br />
έλεγχο και λειτουργία της διάταξης.<br />
~ 67 ~
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:<br />
[1] Νικόλαος Α. Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος «Εισαγωγή στα Συστήματα<br />
Ηλεκτρικής Ενέργειας», Πάτρα 2005<br />
[2] Νικόλαος Α. Βοβός, «Ανάλυση έλεγχος και Ευστάθεια Συστημάτων Ηλεκτρικής<br />
Ενέργειας», Θεσσαλονίκη 2004<br />
[3] P. Kundur, «Power System Stability and Control”, EPRI Power System<br />
Engineering Series, McGraw‐Hill, 1994.<br />
[4] G. Rogers, «Power System Oscillations», Kluwer Academic Publishers, 2000<br />
[5] E.G. Potamianakis ,C.D . «Vournas Aggregetion of Wind Farms in Distribution<br />
Networks», European Wind Energy Conference, Madrid, Ιούνιος 2003<br />
[6] Αντώνιος Θ. Αλεξανδρίδης, «Δυναμική και Έλεγχος Ε‐L Παθητικών<br />
Ηλεκτρομηχανικών Συστήματος» , Πάτρα 2007<br />
[7] B.M Nomikos, «An Adaptive PSS Design for a Synchronous Generetor Connected<br />
to a Large Power System», RIMAPS Porto, Σεπτέμβριος 2001<br />
~ 68 ~