Dispense del corso - Ingegneria Aerospaziale - Politecnico di Milano

Dinamica dei Sistemi Aerospaziali
(DSA)
Revisione 16 gennaio 2012

Indice
1 Dinamica del corpo rigido 1-1
1.1 Sistemi fisici e modelli matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1
1.2 I sistemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
1.2.1 Gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
1.2.2 Gradi di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
1.2.3 Variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3
1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4
1.3.1 Dinamica del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5
1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso . . . . . . . . . 1-8
2 Scrittura delle equazioni di moto mediante approcci energetici 2-1
2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1
2.2 Il teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-3
2.3 Le equazioni di Lagrange (di II o tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-4
2.4 Le equazioni di Lagrange (di I o tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-6
3 Cenni di dinamica del corpo rigido nello spazio 3-1
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.2 Dinamica del corpo rigido nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2
3.2.1 Richiami di calcolo vettoriale in notazione matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2
3.2.2 Cinematica del punto materiale nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3
3.2.3 Descrizione delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5
3.2.4 Forze e coppie d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6
3.2.5 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-9
3.2.6 Applicazione al caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11
3.3 Fenomeni giroscopici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11
3.3.1 Coppia d’inerzia in un sistema di riferimento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-12
3.3.2 Misura della velocità di rotazione: il giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-16
3.4 Esercizio: pala rigida di elicottero nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-19
3.5 Esercizio: trottola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-24
4 Cinematica e dinamica dei sistemi di corpi rigidi 4-1
4.1 I sistemi di corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
4.2 Dipendenza dell’equilibrio dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2
4.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2
4.2.2 Forze dipendenti dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5
4.3 Esempio: il manovellismo ordinario centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-10
4.3.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11
4.3.2 Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera . . . . . . . . . . . . . . . 4-13
4.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14
4.3.4 Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15
i

5 Dinamica mediante le equazioni di Lagrange 5-1
5.1 Equazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1
5.1.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2
5.1.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3
5.1.3 Funzione di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3
5.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-4
5.2 Scrittura dell’equazione di moto del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-4
5.3 Linearizzazione dell’equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-6
5.3.1 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 5-7
5.3.2 Procedure per la linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8
5.3.3 Linearizzazione diretta dell’equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-9
5.3.4 Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione . . . . . . . . . 5-10
5.3.5 Utilizzo dell’equazione di moto linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-12
5.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-12
6 Sistemi vibranti ad un grado di libertà — Parte I 6-1
6.1 Meccanica delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1
6.2 Moto libero non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2
6.3 Vibrazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-5
6.4 Moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-9
6.5 Moto forzato per spostamento del vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11
6.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13
7 Cenni sulla stabilità 7-1
7.1 Che cosa si intende per stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1
7.2 Definizione di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1
7.3 Stabilità ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-2
7.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3
7.3.2 Stabilità della soluzione del problema linearizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3
7.3.3 Validità dello studio del problema linearizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4
7.4 Stabilità statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-6
7.5 Regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-8
7.6 Stabilità statica ed energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-9
7.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-11
8 Azioni mutue tra elementi di macchine — Parte I 8-1
8.1 Attrito di strisciamento nei solidi a contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1
8.2 Usura nel contatto tra solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5
8.2.1 Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante . . . . . . . . . . . . . . . 8-6
8.2.2 Esempio: innesto a frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-6
8.3 Resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-12
8.3.1 Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-14
9 Dinamica della macchina a un grado di libertà 9-1
9.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1
9.1.1 Espressione della potenza motrice e della potenza resistente . . . . . . . . . . . . . 9-2
9.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto di motore e utilizzatore . . . . . . . . 9-4
9.1.3 La trasmissione: espressione della potenza perduta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-4
9.1.4 Esempio applicativo: piani inclinati con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-8
9.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di libertà . . . . . . . . . 9-10
9.2 La macchina a regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-11
9.2.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-11
9.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-12
9.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi . . . . . . . . . 9-12
9.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-15
ii

9.3 Macchina in regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-20
9.3.1 Equazione di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-20
9.3.2 Funzionamento in regime periodico: irregolarità periodica . . . . . . . . . . . . . . 9-20
9.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna . . . . . . . . . . . 9-23
9.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-23
9.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . 9-24
10 Azionamento elettromeccanico in corrente continua 10-1
10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1
10.2 Motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1
10.2.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1
10.2.2 Architettura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3
10.2.3 Forza elettromotrice indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3
10.2.4 Coppia motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-4
10.2.5 Contatti striscianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-4
10.2.6 Potenza elettromeccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5
10.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-6
10.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . 10-7
10.3 L’azionamento in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8
10.3.1 Controllo in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-9
10.3.2 Controllo in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-14
10.3.3 Azionamento in c.c. di un compressore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-16
10.3.4 L’analisi di stabilità del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-18
10.4 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-21
10.4.1 Approccio in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-21
10.4.2 Approccio in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-24
11 Azioni mutue tra elementi di macchine — Parte II 11-1
11.1 Azioni aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1
11.2 Teoria elementare della lubrificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3
11.2.1 Descrizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3
11.2.2 Fluidodinamica del lubrificante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-4
11.2.3 Lubrificazione idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-6
11.2.4 Lubrificazione idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-8
12 Modellazione elementi a fluido 12-1
12.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-10
12.1.1 Colpo d’ariete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-10
12.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11
12.1.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-14
12.1.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-16
13 Sistemi vibranti ad un grado di libertà — Parte II 13-1
13.1 Identificazione dello smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1
13.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1
13.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-3
13.1.3 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-4
13.2 Isolamento delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-4
13.3 Strumenti di misura delle vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-7
13.4 Risposta a forzante impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-11
13.4.1 Impulso di quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-11
13.4.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-11
13.4.3 Generalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-17
iii

14 Sistemi vibranti a più gradi di libertà 14-1
14.1 Sistemi a più gradi di libertà non smorzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1
14.1.1 Moto libero: modi propri di vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2
14.1.2 Ortogonalità dei modi propri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-5
14.2 Approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-7
14.2.1 Risposta a forzanti armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-9
14.2.2 Considerazioni sull’utilizzo dell’approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11
14.2.3 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 14-12
14.3 Applicazione: assorbitore dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-13
14.4 Vibrazioni forzate smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15
14.4.1 Smorzamento proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-16
14.4.2 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-17
14.4.3 Smorzamento viscoso generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-18
14.5 Dal continuo al discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-19
15 Rappresentazione agli stati di sistemi vibranti e modelli approssimati 15-1
15.1 Rappresentazione agli stati nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1
15.1.1 Integrale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-2
15.1.2 Integrale particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-2
15.2 Rappresentazione agli stati nel dominio di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-3
15.3 Realizzazione agli stati di una funzione di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-3
15.3.1 Invarianza di una rappresentazione agli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-4
15.3.2 Raggiungibilità ed osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-4
15.3.3 Verifica intuitiva del criterio di osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-5
15.4 Rappresentazione agli stati di problemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-6
15.4.1 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-6
15.4.2 Forma canonica di controllabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-7
15.4.3 Forma canonica di osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-9
15.5 Risposta a forzanti specifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-10
15.5.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-10
15.5.2 Risposta a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-11
15.6 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-11
15.6.1 Approssimazione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-11
15.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-13
15.6.3 Residualizzazione degli stati“veloci” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-17
15.6.4 Accelerazione dei modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-21
16 Sistemi immersi in campi di forza 16-1
16.1 Sistemi ad un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1
16.1.1 Freno a disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1
16.1.2 Campo di forze aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-2
16.2 Sistemi vibranti a 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-7
16.2.1 Campo di forze puramente posizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-9
16.2.2 Instabilità aeroelastica della“sezione tipica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-12
A Esempi di azionamenti idraulici A-1
A.1 Valvola a doppio getto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1
A.1.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2
A.1.2 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-3
A.1.3 Incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4
A.1.4 Bilancio di portata della camera 1 del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4
A.1.5 Bilancio di portata della camera 2 del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4
A.1.6 Bilancio di portata della camera 1 della valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4
A.1.7 Bilancio di portata della camera 2 della valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5
A.1.8 Equazione di moto del pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5
iv

A.1.9 Equazione di moto del flap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5
A.1.10 Equazione del motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6
A.1.11 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6
A.1.12 Comportamento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-7
A.2 Attuatore collegato ad un sistema dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-7
B Procedure per l’impostazione e la soluzione dei problemi B-1
B.1 Comprensione e scrittura del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1
B.1.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1
B.1.2 Scrittura delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2
B.1.3 Scrittura delle relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2
B.1.4 Mettiamo tutto insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-3
B.2 Soluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-3
C Breviario ad (ab)uso degli studenti C-1
C.1 Primo Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1
C.2 Teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1
C.2.1 Corollario della viralità del moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1
C.2.2 Lemma della singolarità della distribuzione delle masse. . . . . . . . . . . . . . . . C-2
C.2.3 Corollario dell’incompatibilità tra regime e forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . C-2
C.2.4 Sull’opportunità di considerare due volte le forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . C-2
C.3 Lemma della crasi tra definizioni diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3
C.4 Teoremadelcalcolodellefrequenzecaratteristichedisistemimeccanicidescrittidaequazioni
disaccoppiate (o della“ammuina”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3
C.5 Esercizio: trova l’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3
D Soluzione esercizi D-1
v

Elenco delle figure
1.1 Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . 1-2
1.2 Un sistema meccanico a due gradi di libertà (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3
1.3 Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-6
1.4 Componenti della forza d’inerzia agente sul punto P di un corpo rigido con un punto fisso. 1-9
1.5 Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘diagramma di corpo libero’). . . . . . . . . . . . . . 1-9
1.6 Sistema equipollente delle forze d’inerzia (a sinistra) e loro reale distribuzione (a destra)
in un’asta incernierata ad un estremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11
2.1 Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio. . . . . . . . . . . . 2-2
3.1 Il giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.2 Sequenza di rotazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6
3.3 Un Control Moment Gyro (CMG) della ECP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-15
3.4 Effetto della coppia giroscopica sulla forcella anteriore di una motocicletta. . . . . . . . . 3-15
3.5 Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-17
3.6 Modello semplificato di pala di elicottero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-19
3.7 Sistemi di riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine dell’elicottero tratta
da http://www.midisegni.it/disegni/vari/elicottero.gif). . . . . . . . . . . . . . . 3-20
3.8 Descrizione dell’orientazione della trottola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-24
3.9 Traiettoria del baricentro della trottola per condizioni iniziali di precessione“retrocedente”
positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-28
4.1 Motore alternativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3
4.2 Carrello di atterraggio (carrello principale di un F18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4
4.3 Curva caratteristica di una molla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-6
4.4 Galleggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-9
4.5 Andamento sperimentale ( o ) e approssimato delle forze di attrito secco, viscoso e con legge
quadratica in funzione della velocità relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-10
4.6 Il manovellismo ordinario centrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11
4.7 L’equazione di chiusura per l’analisi cinematica; il punto B ′ indica lo schema di montaggio
corrispondente alla radice negativa nell’equazione (4.28), che corrisponde ad un cambio di
osservatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11
4.8 La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla
fase di aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico. . . . . . . . . . . . . . . 4-13
4.9 Ciclo ideale termodinamico per unità di volume d’aria aspirata. . . . . . . . . . . . . . . . 4-14
4.10 Approssimazione della biella a masse concentrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15
4.11 Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15
4.12 Le forze agenti sul sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-16
5.1 Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo. . . . . . . . . 5-7
6.1 Velivolo in atterraggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2
6.2 Pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2
6.3 Sistema vibrante a un grado di libertà, senza attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3
vii

6.4 Oscillazione armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-4
6.5 Oscillatore smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-5
6.6 Oscillazione smorzata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7
6.7 Risposta supercritica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7
6.8 Risposta critica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-8
6.9 Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento. . . . . . . . . . . . . . 6-8
6.10 Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-10
6.11 Sistema vibrante per spostamento del vincolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11
6.12 Sistema vibrante per squilibrio dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-12
6.13 Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-14
6.14 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω0
è indicato con ω/ωn, lo smorzamento r è indicato con c, mentre la fase φ è rappresentata
con segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-15
6.15 Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . 6-16
7.1 Stabilità del pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4
7.2 Stabilità in presenza di attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5
7.3 Transizione da stabilità ad instabilità al variare di parametri del sistema. . . . . . . . . . 7-8
7.4 Sistema meccanico ad un grado di libertà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-10
7.5 Sistema meccanico ad un grado di libertà in un sistema rotante. . . . . . . . . . . . . . . . 7-11
8.1 Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi. . . . . . . . . . . . . 8-2
8.2 Attrito statico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-3
8.3 Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocità relativa. . . . . . . 8-4
8.4 Perno rotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5
8.5 Innesto a frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-7
8.6 Velocità dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . . . . . . 8-9
8.7 Innesto a frizione — dettaglio del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9
8.8 Innesto a frizione — dettaglio della campana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10
8.9 Velocità del motore durante la manovra di innesto della frizione. . . . . . . . . . . . . . . 8-10
8.10 Velocità di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto della
frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11
8.11 Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-12
8.12 Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-13
8.13 Coefficiente di resistenza al rotolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-13
8.14 Schema di funzionamento della ruota strada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-14
8.15 Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale. . . . . . . . . . 8-15
9.1 Schema della macchina a un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1
9.2 Flussi di potenza attraverso la trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-5
9.3 Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito. . . 9-8
9.4 Schema della macchina ad un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-10
9.5 Impianto di sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-13
9.6 Caratteristica del motore asincrono trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-13
9.7 Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto di
sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-14
9.8 Veicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-16
10.1 Principio di funzionamento del motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-2
10.2 Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . 10-2
10.3 Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore
elettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N; il valore fornito dalla singola spira
tende rapidamente al valor medio 2/π, pari a circa 0.63662. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5
10.4 Il modello del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-6
10.5 Il modello essenziale del motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-7
viii

10.6 Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di
alimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata da
un generico utilizzatore, cambiata di segno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8
10.7 Un carico inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-9
10.8 Schema a blocchi del sistema in anello aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-10
10.9 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico
in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11
10.10Schema a blocchi del sistema in anello chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11
10.11Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-12
10.12Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-13
10.13Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-15
10.14Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-16
10.15Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche . . . . . . . 10-17
10.16Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore . . . . . . . . . . . 10-18
10.17Induttore e condensatore (LC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-22
10.18Resistore, induttore e condensatore (RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-23
10.19Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-25
11.1 Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente di
resistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b). . . . . . . 11-2
11.2 Schematizzazione del moto laminare di un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3
11.3 Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo. . . . . 11-5
11.4 Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria. . . . . . . . . . . . . . . 11-7
11.5 Perno lubrificato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-10
11.6 Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dell’attrito mediato dalla velocità relativa. . . . . 11-10
12.1 Variazione di pressione massima in una condotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11
12.2 Orifizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-12
12.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-14
12.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-16
13.1 Identificazione dello smorzamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-2
13.2 Validità dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (13.6). 13-2
13.3 Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-5
13.4 Sistema soggetto a vibrazione del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-5
13.5 Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno ω/ω0 è
indicato con ω/ωn, lo smorzamento r è indicato con c, mentre la fase φ è rappresentata
con segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-6
13.6 Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-8
13.7 Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-9
13.8 Accelerometro piezoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-10
13.9 Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini. . . . . . . . . . . . . . . . . 13-12
13.10Approssimazioni di un impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-12
13.11Funzione impulso: δ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-12
13.12Funzione scalino: step(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-13
13.13Funzione scalino approssimata come (1+tanh(αt))/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-13
13.14Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la
funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per
consentirne il confronto visivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-14
13.15Funzione discontinua con salto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-15
ix

14.1 Sistema dinamico a 2 gradi di libertà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1
14.2 Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di libertà. . . . . . . . . . . . . . 14-4
14.3 Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di libertà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11
14.4 Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dell’alta tensione. . . . . . . . . . . . . . 14-13
14.5 Modello dell’assorbitore dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-14
14.6 Risposta della massa 1 dell’assorbitore dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15
14.7 Sistema vibrante a 2 gradi di libertà smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-16
14.8 Torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-20
14.9 Modello ad un grado di libertà per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . 14-21
14.10Modello a due gradi di libertà per la torsione di una trave omogenea incastrata. . . . . . . 14-22
15.1 Esempio di applicazione dell’accelerazione dei modi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-23
15.2 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e
lo spostamento della massa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-25
15.3 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e
lo spostamento della massa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-26
15.4 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e
l’azione interna nella molla 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-27
16.1 Freno a disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1
16.2 Composizione delle velocità di vento V∞ e corpo ˙x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-2
16.3 Decomposizione della forza aerodinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-3
16.4 Auto da corsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-4
16.5 Caratteristiche del profilo alare NACA 0009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-5
16.6 Sistema a 2 gdl immerso in un campo di forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-8
16.7 Autovalori di un sistema conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-11
16.8 Autovalori di un sistema non conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-12
16.9 Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano. . . . . . . . . 16-13
16.10Composizione delle velocità del vento V∞ e del corpo ˙x a dare l’angolo di incidenza
cinematico ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-14
16.11Curve CL-α, CD-α e CM-α del profilo NACA 0009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-16
16.12Coalescenza, al crescere della velocità V∞, di due frequenze proprie; per semplicità sono
mostrate solo le radici con parte immaginaria positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-18
A.1 Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2
x

Elenco delle tabelle
4.1 Rigidezze equivalenti di travi variamente vincolate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8
9.1 Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione . . . . . . . . . 9-7
xi

Introduzione
Queste dispense costituiscono una parte essenziale del materiale didattico a supporto del corso di Dinamica
dei Sistemi Aerospaziali, relativo al corso di laurea in Ingegneria Aerospaziale, Facoltà di Ingegneria
Industriale del Politecnico di Milano.
Il contenuto è il risultato del lavoro di alcuni docenti, in particolare dei Proff. Andrea Curami e
Ferruccio Resta, del Dipartimento di Meccanica, e del Prof. Paolo Mantegazza e dell’Ing. Pierangelo
Masarati, del Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale.
L’ispirazione è tratta da testi classici della Meccanica Razionale, della Meccanica Applicata e della
Dinamica dei Sistemi, a cui sono state aggiunte elaborazioni personali, frutto dell’esperienza didattica
e di ricerca sia degli autori che dei colleghi dei rispettivi Dipartimenti.
È ormai impossibile identificare
con precisione l’autore di specifiche parti di questo materiale; per questo motivo, non sono riportate
attribuzioni a specifiche persone. Un sentito ringraziamento va ai colleghi che hanno in qualche modo
contribuito alla sua stesura.
Le dispense sono per definizione materiale in continua evoluzione. Anche per questo motivo possono
contenere materiale incompleto o errori nelle formule, nella sintassi, o parti di difficile comprensione. Gli
autori sono grati al lettore attento che volesse segnalare eventuali errori o suggerire possibili migliorie,
da indirizzare preferibilmente per posta elettronica a pierangelo.masarati@polimi.it.
Notazione
Nella stesura di queste note si è cercato da una parte di usare una notazione il più possibile uniforme, e
dall’altra di mutuare i simboli e i formalismi dalla letteratura più consolidata.
In genere, i vettori sono indicati sovrapponendo una freccia al simbolo, ad esempio �a per indicare un
vettore di nome a.
Le operazioni tra vettori seguono la notazione tradizionale italo-tedesca, in continuità con il testo di
Meccanica Razionale del Prof. Bruno Finzi. Dati due vettori �a e � b, rappresentabili in base cartesiana
come
�a = ax �i+ay �j +az � k
� b = bx �i+by �j +bz � k
in funzione delle loro componenti ax, ay, az e bx, by e bz, e dei versori degli assi,�i,�j e � k, il loro prodotto
scalare viene indicato con �a× � b, ovvero
�a× � b = axbx +ayby +azbz. (1)
Il loro prodotto vettore, invece, viene indicato con �a∧ �b, ovvero
�a∧ � �
� �i �
b = �
� ax
�
�
�j �k �
�
ay az
�
�
� = (aybz −azby)�i+(azbx −axbz)�j +(axby −aybx) �k. (2)
bx by bz
Questa notazione differisce da quella anglosassone, che caratterizza la letteratura più recente. La
notazione anglosassone indica il prodotto scalare con �a· � b, e il prodotto vettore con �a× � b. Si noti come
I-1

quest’ultimo crei confusione con il simbolo del prodotto scalare utilizzato nella notazione di tradizione
italo-tedesca. Per questo motivo si richiede al lettore di prestare particolare attenzione nella lettura delle
operazioni vettoriali.
Il significato dei simboli dovrebbe comunque essere chiaro dal contesto, in quanto l’operazione di
prodotto scalare dà come risultato uno scalare, mentre l’operazione di prodotto vettorie dà come risultato
un vettore.
I-2

Capitolo 1
Dinamica del corpo rigido
Generato il 16 gennaio 2012
1.1 Sistemi fisici e modelli matematici
Per condurre lo studio del comportamento di un qualsiasi sistema fisico, per una corretta progettazione e
dimensionamento, sono possibili due vie: una puramente sperimentale, che consiste nella misura diretta
delle proprietà fisiche che si desidera conoscere, eventualmente applicando correzioni e reiterando gli esperimenti
fino all’ottenimento del risultato voluto, e l’altra teorica, basata sulla soluzione, con opportuni
algoritmi, di modelli matematici del sistema. Questi ultimi sono basati sulla descrizione e caratterizzazione
del sistema fisico con un appropriato modello fisico e possono assumere gradi di complessità
diversi in funzione delle ipotesi semplificative adottate. Comunque, nel caso si voglia studiare la dinamica
di un sistema fisico, i modelli sono sempre costituiti da sistemi di equazioni differenziali rappresentanti
il cambiamento nel tempo delle proprietà fisiche che caratterizzano il sistema stesso.
Per analisi dinamica di un sistema fisico s’intende l’insieme di operazioni che dall’identificazione
del sistema stesso portano alla creazione del suo modello matematico e alla successiva soluzione di
quest’ultimo. Con il termine di sintesi dinamica si intende, invece, la successiva indagine che può essere
condotta variando i valori di alcune proprietà del modello fisico affinché alcuni parametri del sistema
assumano valori prefissati.
In funzione del fenomeno principale che governa il sistema fisico riconosceremo sistemi meccanici,
sistemi termici, sistemi idraulici, sistemi elettrici, sistemi elettronici ecc., e in generale si potrà vedere
che i sistemi reali sono composti da più sottosistemi di natura diversa tra loro interconnessi a formare un
unico insieme multidisciplinare, come è il caso del sistema di controllo di rotta per missili schematizzato
nella figura 1.1.
Nel caso in oggetto, il cambiamento di rotta del missile viene ottenuto variando la direzione di
spinta del motore a razzo attraverso un attuatore idraulico che è azionato da una servovalvola, a sua
volta azionata da un motore elettrico di coppia pilotato da un controllore, sempre più spesso di tipo
digitale, utilizzando cioè un microprocessore. Il controllore, per far seguire al missile la traiettoria voluta,
necessita di informazioni sulla sua posizione, velocità ed accelerazione, attraverso le misure di opportuni
accelerometri, giroscopi, GPS, ecc. e, sulla base di queste misure, interviene sulla direzione di spinta.
Il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali ha principalmente per oggetto lo studio della dinamica
dei sistemi meccanici e delle macchine in particolare, ove per macchina s’intende quel particolare sistema
atto sia a trasformare energie di forme diverse in energia meccanica e viceversa, ove possibile, sia a
utilizzare i vari tipi di energia per realizzare particolari funzioni richieste per il funzionamento degli
aeromobili che costituiscono l’oggetto principale del corso di studi in Ingegneria Aerospaziale.
I modelli matematici ai quali perverremo si traducono, come detto, in una serie di equazioni differenziali,
dette anche equazioni di moto, che legano le azioni agenti sul sistema reale al suo movimento.
1-1

Figura 1.1: Modello fisico di un sistema di guida per razzi (da Cannon, [1]).
1.2 I sistemi meccanici
Nel corso di Meccanica Razionale si sono studiati i metodi per condurre l’analisi cinematica e dinamica
di un punto materiale e di un corpo rigido, spesso elementi di base di sistemi meccanici più complessi.
Qualsiasi sistema meccanico reale può essere infatti schematizzato come un sistema fisico ideale formato
dall’insieme di punti materiali e di corpi rigidi, tra loro connessi da opportuni vincoli, al fine di realizzare
lo scopo per il quale si è progettata la macchina.
1.2.1 Gradi di libertà
L’analisi dinamica dei sistemi reali necessita della conoscenza del numero di gradi di libertà da loro
posseduti, ovvero le possibilità di moto libero e non condizionato dai vincoli. Al fine di definire lo stato
di un sistema (posizione e velocità) è infatti necessario identificare il numero di parametri, pari ai gradi
di libertà, in grado di variare indipendentemente: tali parametri sono variabili indipendenti.
Il corso di Meccanica Razionale ha messo in luce come, al fine di individuare la posizione nello spazio
di un punto materiale, siano necessarie tre coordinate; se se ne confina la giacitura in un piano, tali
coordinate si riducono a due. Conseguentemente, le variabili indipendenti per l’analisi dinamica di un
punto materiale nello spazio saranno tre; due nel caso di moto piano.
Per ilcorporigidolibero, ovverouncorpodotatodidimensioninontrascurabili, al finedi identificarne
la configurazione nello spazio sono necessarie sei coordinate libere che, spesso, vengono ricondotte alla
posizione di un punto appartenente al corpo e a tre parametri 1 che forniscono l’orientamento del corpo
nello spazio.
Analogamente, passando al piano, saranno sufficienti tre coordinate libere, ovvero tre gradi di libertà,
per caratterizzare la configurazione del corpo: due per la posizione e una per l’orientamento.
1.2.2 Gradi di vincolo
Come detto, i sistemi meccanici sono in generale costituiti da un insieme di più corpi rigidi opportunamente
vincolati tra loro. Tali vincoli impediscono alcune tra le possibilità di spostamento e rotazione dei
singoli componenti del sistema, ovvero creano dei legami tra lo stato dei vari componenti e le variabili
indipendenti scelte.
Ad esempio, già la condizione di rigidità di un corpo rigido deve essere vista come un vincolo. In
realtà, infatti, ogni corpo è deformabile sotto l’azione delle forze che agiscono su di esso. Ipotizzare tale
deformabilità trascurabile implica imporre che la distanza tra due punti arbitrari solidali al corpo stesso
1 La definizione di un’orientazione nello spazio richiede tre parametri che possono essere rappresentati da nove coseni
direttori, vincolati da sei equazioni che ne impongono l’ortonormalità, oppure da tre angoli valutati secondo una ben
determinata sequenza, o da altre forme di parametrizzazione in ogni caso riconducibili a tre gradi di libertà.
1-2

Figura 1.2: Un sistema meccanico a due gradi di libertà (da Cannon, [1]).
non vari mai, e che l’angolo formato da due rette solidali al corpo rimanga costante durante il movimento.
Tale vincolo si traduce nel fatto che per identificare la posizione di tutti i punti appartenenti al corpo
rigido stesso è sufficiente identificare sei parametri indipendenti (tre nel caso di moto piano) e che per
tutti i punti del corpo è possibile scrivere dei legami tra i loro spostamenti e le variabili indipendenti.
Un sistema composto da n corpi liberi (meccanismo) possiede 6×n gradi di libertà nello spazio; 3×n
nel piano. L’introduzione di vincoli tra i corpi o verso il mondo esterno (telaio) riduce il numero dei
gradi di libertà del sistema. Tale riduzione di gradi di libertà implica l’esistenza di legami tra le varie
posizioni caratteristiche del sistema e le variabili indipendenti.
È necessario quindi, come primo passo di ogni analisi, il computo del numero dei gradi di libertà (o
gradi di mobilità) del sistema.
A titolo di esempio, nel caso di meccanismi piani con sole coppie inferiori (ad esempio cerniere, pattini
e carrelli), in cui i collegamenti siano solo di tipo binario (ossia ogni vincolo collega solo due elementi),
si definisce la regola di Grübler per il calcolo del grado di mobilità del sistema. Detto c1 il numero di
vincoli che sopprimono un solo grado di libertà (es. carrello), e c2 il numero di vincoli che sopprimono
due gradi di libertà, (es. cerniera o pattino), il numero di gradi di libertà ngdl è
ngdl = 3×n−c1 −2×c2
essendo n il numero di corpi rigidi componenti il meccanismo.
1.2.3 Variabili fisiche
L’analisi dinamica di un sistema, una volta noto il numero di gradi di libertà ngdl di cui esso gode,
richiede la scrittura e la soluzione delle equazioni di moto e quindi, nel caso di un sistema meccanico,
l’identificazione delle forze agenti su di esso.
Poiché alcune delle forze agenti possono essere funzione di grandezze cinematiche, è opportuno
definire, oltre alle variabili indipendenti del sistema, anche altre variabili, dette variabili fisiche, che
permettano di definire posizione, velocità o accelerazione di questi punti d’applicazione in modo da rendere
agevole la scrittura delle equazioni di moto. Tali variabili sono, per quanto detto, funzione delle
variabili indipendenti attraverso legami geometrici.
Con riferimento al sistema di figura 1.2, ad esempio, il meccanismo piano è composto dai due corpi
rigidi m1 e m2 che possono solo traslare sui due rispettivi piani d’appoggio. Il sistema libero godrebbe
di sei gradi di libertà (3×2); i piani d’appoggio si comportano come due pattini sopprimendo due gradi
di libertà per ogni corpo rigido, ovvero, dalla (1.1):
ngdl = 3×2−2×2 = 2 (1.2)
Quindi, per definire in ogni istante la configurazione del sistema, è sufficiente scegliere come variabili
indipendenti due coordinate (ad esempio x1 e x2), e stabilirne l’origine ed il verso positivo nel quale sono
misurate.
Qualsiasi altra variabile fisica, ad esempio la posizione relativa ξ del corpo m2 rispetto alla slitta m1,
risulta dipendente dalle variabili indipendenti scelte. Infatti, dall’analisi della geometria del sistema, si
1-3
(1.1)

icava che:
ξ = x2 −x1
ovveroesisteunlegametravariabilefisicaξ elevariabiliindipendentix1 ex2 adottate; tuttavia, potrebbe
risultare conveniente definire la grandezza ξ se, ad esempio, fosse necessario inserire una molla tra i corpi
m1 e m2.
Sempre in riferimento alla figura 1.2, l’azione esercitata dalla molla k5 dipende dalla sua elongazione
rispetto alla posizione di molla scarica, per cui può risultare conveniente l’utilizzo di un’altra variabile
fisica per definire la deformazione della molla rispetto alla condizione di molla scarica.
1.3 Equazioni di moto: equilibri dinamici
Come noto, l’equilibrio di un sistema meccanico in condizioni di quiete può essere studiato mediante le
equazioni cardinali della statica.
Ad esempio, nel caso di un corpo rigido libero nel piano xy, dotato quindi di tre gradi di libertà,
soggetto ad un generico sistema di forze esterne, il sistema di equazioni di equilibrio equivale a tre
equazioni scalari indipendenti (due componenti per il risultante � R di tali forze, ed una sola componente
per l’equazione del loro momento � M rispetto a un polo O qualsivoglia), in numero eguale al numero dei
gradi di libertà del corpo, ovvero:
�R = 0 (1.4a)
�MO = 0 (1.4b)
che, proiettate sul piano cartesiano xy, danno luogo al sistema di equazioni pure:
Rx = 0 (1.5a)
Ry = 0 (1.5b)
MOz = 0. (1.5c)
L’operazione di proiezione si ottiene moltiplicando il vettore delle equazioni per il versore della direzione
rispetto alla quale si vuole scrivere l’equazione, ovvero
Rx =�i× � R (1.6a)
Ry =�j × � R (1.6b)
MOz = � k × � MO. (1.6c)
Nel caso di un sistema composto da più corpi tra loro connessi, le equazioni cardinali della statica
applicate all’intero sistema costituiscono condizione solo necessaria. In tal caso occorre:
• separare i corpi che costituiscono il sistema e scriverle per ognuno di essi, includendo quindi anche
le reazioni vincolari scambiate tra i corpi stessi, oppure
• considerare, oltre alle equazioni cardinali applicate al sistema completo, ulteriori equazioni di equilibrio
riguardanti le mobilità relative tra i corpi che costituiscono il sistema meccanico nel suo
complesso.
La dinamica di un sistema meccanico è definita attraverso relazioni che intercorrono tra moto del
sistema (in termini di accelerazioni subite dai diversi punti del sistema) e forze agenti. Sono possibili due
approcci allo studio della dinamica:
• uno basato sulle equazioni di equilibrio di D’Alembert, che possono essere considerate il corrispondente
dinamico delle equazioni cardinali della statica,
1-4
(1.3)

• uno basato su principi energetici, come il Principio dei Lavori Virtuali (d’ora in poi PLV), il
teorema di Lagrange, quello dell’energia cinetica, o altri ancora 2 .
Vale infine la pena di osservare che nel legame tra le forze agenti su un sistema e le corrispondenti
accelerazioni gioca un ruolo fondamentale la definizione delle caratteristiche meccaniche del sistema
stesso: pertanto utilizzeremo nello studio della dinamica tutte le nozioni relative alla geometria delle
masse che sono state oggetto del corso di Meccanica Razionale.
Nel caso di un punto materiale di massa m vincolato, dalla legge di Newton (seconda legge della
Dinamica, [3]) si ricava che l’accelerazione subita dal punto è legata al risultante � F di tutte le forze
attive e reattive agenti sul corpo attraverso la relazione:
m�a = � F = � R+ � Ψ (1.7)
dove � Ψ è la reazione vincolare che traduce l’azione del vincolo, mentre � R è il risultante delle sole forze
attive.
Definendo come forza d’inerzia la quantità:
�Fi = −m�a (1.8)
pari al prodotto della massa del punto per la sua accelerazione e agente in verso opposto a quest’ultima,
l’equazione di moto (1.7) può essere riscritta sotto forma di una equazione di equilibrio equivalente:
�F + � Fi = 0 → � R+ � Ψ+ � Fi = 0 (1.9)
ossia il problema dinamico può essere sempre ricondotto a un problema statico equivalente, a condizione
di aggiungere al risultante delle forze attive e reattive anche la forza di inerzia.
Questa affermazione, rappresentata matematicamente dalla Equazione (1.9), costituisce l’enunciato
del principio di D’Alembert nel caso del punto materiale.
L’applicazione di tale principio può essere estesa al caso del corpo rigido, o del sistema di corpi rigidi.
1.3.1 Dinamica del corpo rigido
Consideriamo il caso di un corpo rigido di dimensioni non trascurabili, cioè un sistema continuo di punti
materiali ai quali è imposto il vincolo della rigidità. In questo caso, il principio di D’Alembert, che
nella (1.9) è stato applicato ad un generico punto materiale, può essere scritto per ciascun punto del
corpo. Il corpo è quindi sottoposto a forze di inerzia distribuite. La forza d’inerzia infinitesima agente
sul generico punto P di volume infinitesimo dV e massa infinitesima dm = ρdV è:
d � Fi = −dm �a (1.10)
Definita questa distribuzione di forze, potremo quindi dire che il moto del corpo deve soddisfare le
equazioni che ne definiscono l’equilibrio dinamico sotto l’azione delle forze (attive e reattive) agenti su
di esso, oltre a quelle di inerzia. Nel caso del corpo rigido è possibile ridurre l’intero sistema di forze
d’inerzia distribuite ad un risultante � Fi più una coppia d’inerzia � CGi che possono essere espressi in
funzione dell’accelerazione del baricentro G e dell’accelerazione angolare del corpo stesso, come illustrato
nel seguito.
Le equazioni vettoriali che descrivono il moto del corpo rigido possono essere scritte a partire dalle
equazionicardinalidellastatica(1.4), includendoiltermineaggiuntivodovutoalleforzediinerzia, ovvero:
�F + � Fi = 0 (1.11a)
�MO + � COi = 0 (1.11b)
dove � F è il risultante delle forze attive e reattive, e � MO è il loro momento rispetto ad un polo O. Il
problema dinamico è quindi ricondotto, ancora una volta, a un problema statico equivalente, a condizione
2 Si elencano, per completezza e senza presentarli: il principio di Hamilton, il principio di Gauss (o di minimo vincolo),
il principio di Jourdain, le equazioni di Gibbs-Appell, le equazioni di Maggi-Kane, e così via.
1-5

y
�xO
O
000 111
000 111
�xP
P
�ω, ˙ �ω
Figura 1.3: Cinematica di un corpo rigido con un punto fisso.
di essere in grado di calcolare il risultante � Fi delle forze di inerzia d� Fi agenti sul corpo e il loro momento
risultante rispetto al polo O considerato. Questo calcolo risulta in genere molto complesso per un corpo
deformabile, ma per i corpi rigidi, oggetto principale di questo corso, vale la regola generale illustrata nel
seguito.
Laforzad’inerziaèdatadall’integraleestesoalvolumeV delcorpodellaforzad’inerziaelementare(1.10)
�
�Fi = d
V
� Fi
�
= − ρ�a dV (1.12)
V
dove la massa infinitesima è data dal prodotto della densità del materiale per il suo volume infinitesimo
dm = ρdV (1.13)
mentre la coppia d’inerzia rispetto al generico punto O è data dall’integrale esteso al volume V del corpo
del momento della forza d’inerzia elementare (1.10) rispetto al punto O
�
�COi = (P −O)∧ d
V
� Fi
�
= − ρ(P −O)∧�a dV (1.14)
V
Nell’ipotesi che il polo O sia solidale con il corpo, la distanza P − O tra il generico punto P ed il
polo rimane costante in modulo. A seguito del movimento rigido del corpo, ne può variare soltanto
l’orientazione. Facendo riferimento alla terna intrinseca 3 , posizione, velocità ed accelerazione del punto
3 Si ricordi che un vettore è definito dal suo modulo e dalla sua direzione. La derivata di un vettore di modulo costante
non è nulla se la sua direzione cambia. Si consideri, ad esempio, un vettore (P −O) di modulo �P −O� costante che
rappresenta la distanza tra il generico punto P ed un polo O all’istante di tempo t, entrambi solidali con un corpo rigido
che si muove nel piano di moto rotatorio attorno al polo O. Nell’istante t ′ il punto P si sposti in P ′ ; la velocità del punto
P all’istante t si definisce
(P
�vP = lim
t ′ →t
′ −P)
t ′ −t
e, per costruzione, è perpendicolare a (P −O). Può quindi essere scritta come
�vP = � k ∧
(P −O)
�P −O� vP
1-6
x
(1.15)
(1.16)

P sono
�xP = �xO +(P −O) (1.19a)
˙�xP = ˙ �xO +�ω ∧(P −O) (1.19b)
¨�xP = ¨ �xO +�ω ∧(�ω ∧(P −O))+ ˙ �ω ∧(P −O) (1.19c)
L’equazione (1.12), che esprime la forza d’inerzia complessiva del corpo, nel caso piano diventa
�
�Fi = −
�
= −
V
V
ρ¨ �
�xO dV −
V
� �� �
m
�
ρ�ω ∧(�ω ∧(P −O)) dV −
ρ
V
˙ �ω ∧(P −O) dV
ρ dV ¨�xO +ω 2
�
ρ(P −O) dV −˙ω
V
� �� �
� �
k ∧ ρ(P −O) dV
V
� �� �
�sO
�sO
(1.20)
La posizione del punto P può essere espressa in relazione alla posizione di un altro punto, G, anch’esso
solidale con il corpo (il baricentro),
(P −O) = (P −G)+(G−O) (1.21)
Di conseguenza, l’espressione del momento statico �sO rispetto al punto O diventa
�
�sO = ρ(P −O) dV
V
� �
= ρ(P −G) dV + ρ(G−O) dV
V
� �� �
V
�sG≡�0
�
= (G−O) ρ dV
V
� �� �
m
(1.22)
in quanto per definizione il momento statico rispetto al baricentro, �sG, è nullo; la (1.12) diventa quindi
�Fi = −m ¨ �xO +ω 2 �sO − ˙ω � k ∧�sO
ove vP è uno scalare che ne rappresenta l’ampiezza. Si definisca
(1.23)
vP = ω�P −O� (1.17)
l’ampiezza della velocità �vP, costituita dal prodotto tra il modulo della distanza del punto P dal polo O e uno scalare ω;
la (1.16) diventa
� �
�vP = �kω ∧(P −O) (1.18)
ove, in � kω = �ω, si riconosce la velocità angolare del segmento (P −O). Se ne deduce che la derivata di un vettore costante
in modulo corrisponde alla velocità con cui cambia la sua orientazione.
1-7

L’equazione 1.14 che esprime la coppia d’inerzia complessiva del corpo diventa4 �
�COi = − ρ(P −O)∧
V
¨ �
�xO dV − ρ(P −O)∧(�ω ∧(�ω ∧(P −O))) dV
V
� � �
− ρ(P −O)∧ ˙�ω ∧(P −O) dV
V
�
= − ρ(P −O) dV ∧
V
� �� �
�sO
¨ �
�xO + ρω
V
2 (P −O)∧(P −O) dV
� �� �
�0
� �� �
�
solo nel caso piano!
− ρ(P −O)×(P −O) dV ˙�ω
V
� �� �
JO
�
= − �sO ∧ ¨ ⎛ �
⎞
⎜
ρ(P −G)×(P −G) dV
⎟
⎜ V
⎜ � �� � ⎟
⎜
JG
⎜ � ⎟
� ⎜ +2(G−O)× ρ(P −G) dV ⎟
�xO −⎜
V ⎟ ˙�ω
⎜ � �� � ⎟
⎜
��0
⎟
⎜
⎟
⎜ +(G−O)×(G−O) ρ dV ⎟
⎝
⎠ V
� �� �
m
�
= − �sO ∧ ¨ �
�xO −JG ˙ �ω −m(G−O)×(G−O) ˙ �ω (1.24)
Dalle (1.23) e (1.24) è evidente come la scelta del baricentro come punto rispetto al quale riferire la
coppia sia particolarmente vantaggioso, in quanto, per G−O =�0, si ottiene
�Fi = −m ¨ �xG
(1.25a)
CGi = −JG˙ω (1.25b)
Le formule (1.25) in questa forma valgono solo nel caso piano. Nello spazio, l’espressione della coppia
d’inerzia è più complessa.
Quanto illustrato a proposito della forza e coppia d’inerzia si applica anche a problemi nello spazio;
in tale caso, tuttavia, la velocità e l’accelerazione angolare possono avere direzione arbitraria, per cui
la scrittura delle caratteristiche inerziali del corpo rigido comporta che non necessariamente si verifichi
l’annullamento di alcuni termini, come invece avviene nel caso piano.
1.3.2 Dinamica di un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso
Esercizio 1.1 Si calcolino la coppia motrice M e le reazioni vincolari nel punto di vincolo O di un
corpo rigido di spessore trascurabile incernierato in O per velocità angolare �ω e accelerazione angolare ˙ �ω
imposte.
Soluzione. L’analisi cinematica insegna che tutti i punti del corpo rigido descrivono una traiettoria
circolare intorno al punto fisso O; quindi il moto del baricentro G è descritto dalle relazioni
�xG = (G−O) (1.26a)
˙�xG = ω � k ∧(G−O) (1.26b)
¨�xG = −ω 2 (G−O) + ˙ω
� �� �
�k ∧(G−O)
� �� �
�an
�at
(1.26c)
4 Si noti come, nel caso piano, �ω ∧(�ω ∧(P −O)) = −ω 2 (P −O) in quanto �ω è per definizione perpendicolare a P −O.
Per questo motivo (P −O) ∧ (�ω ∧(�ω ∧(P −O))) ≡ �0 nella (1.24). Nel caso spaziale (si veda il Capitolo 3) ciò non è più
necessariamente vero, in quanto in generale �ω ×(P −O) �=�0, ovvero �ω non è necessariamente perpendicolare a P −O.
1-8

y
O
00 11
00 11
00 11
P
�ω, ˙ �ω
dmω 2� �OP � �
dm˙ω � � OP � �
Figura 1.4: Componenti della forza d’inerzia agente sul punto
P di un corpo rigido con un punto fisso.
y
Ψn
O
�Ψ
M
Ψt
G
m�g
mω 2� � OG � �
θ, ω, ˙ω
m˙ω � � OG � �
Figura 1.5: Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘diagramma
di corpo libero’).
dove sono state messe in evidenzale componenti normale e tangenziale dell’accelerazione, rispettivamente
�an e �at.
Sostituendo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari, è possibile quindi scrivere le equazioni
scalari di equilibrio dinamico del corpo rigido:
(m˙ω(G−O)+Ψt)sinθ + � mω 2 �
(G−O)−Ψn cosθ = 0 (1.27a)
−(m˙ω(G−O)+Ψt)cosθ + � mω 2 �
(G−O)−Ψn sinθ −mg = 0 (1.27b)
M −m˙ω(G−O) 2 −JG˙ω −mg(G−O)cosϑ = 0 (1.27c)
corrispondenti alle equazioni della statica (1.5) quando vengano considerate anche le forze e coppie d’inerzia.
Dal momento che la scelta delle coordinate cartesiane xy è del tutto arbitraria, si può considerare,
nel piano xy, una qualunque coppia di direzioni ortogonali 5 purché convenienti; nel caso in esame, le
5 In realtà è sufficiente che le direzioni rispetto alle quali vengono scritte le equazioni di equilibrio alla traslazione siano
distinte, e quindi non parallele, per ottenere due equazioni linearmente indipendenti.
1-9
Ci
x
x

equazioni (1.27) diventano particolarmente semplici se si considerano le direzioni normale e tangenziale
m˙ω(G−O)+Ψt +mgcosθ = 0 (1.28a)
mω 2 (G−O)−Ψn −mgsinθ = 0 (1.28b)
M −m˙ω(G−O) 2 −JG˙ω −mg(G−O)cosϑ = 0 (1.28c)
In ogni caso, sia le (1.27) che le (1.28), equivalenti alle prime, conducono a un problema univocamente
determinato di tre equazioni nelle tre incognite Ψt, Ψn, M. È evidente come le (1.28) siano molto più
facili da risolvere delle (1.27), essendo le incognite disaccoppiate.
A prescindere da quale insieme di equazioni si considera, è comunque possibile, note la velocità
angolare ω e l’accelerazione angolare ˙ω del corpo, determinare la coppia motrice M necessaria. Si noti
che in ogni caso una equazione (nell’esempio l’ultima) è pura, ovvero non contiene le reazioni vincolari,
e corrisponde all’equazione del moto associata alla coordinata libera del problema. Le altre due possono
essere risolte a posteriori una volta determinato il movimento a partire dall’equazione del moto.
Esercizio 1.2 A partire dalla soluzione dell’esercizio 1.1 si calcolino le azioni interne nel corpo, nell’ipotesi
che sia costituito da un’asta di densità uniforme ρ, sezione uniforme A e lunghezza l.
Soluzione. A partire dalla coppia motrice calcolata nell’esercizio precedente, per dimensionare
l’organo meccanico schematizzato come corpo rigido occorre valutare le azioni interne. Tuttavia non
è possibile utilizzare il sistema equipollente delle forze d’inerzia, costituito dalle (1.23) e (1.24); occorre
utilizzare la reale distribuzione delle azioni d’inerzia.
La valutazione degli sforzi agenti all’interno di un corpo di geometria arbitraria è un problema complesso.
La scienza delle costruzioni ci fornisce i metodi per lo studio della meccanica del continuo, ma
ci insegna anche che raramente si conoscono soluzioni analitiche per geometrie non banali. Per questo
motivo, a fini puramente didattici, si consideri l’esempio di figura 1.6, in cui il generico corpo rigido di
forma arbitraria viene approssimato con un’asta omogenea, di densità costante ρ, sezione costante A e
lunghezza l. Per semplicità, l’asta è vincolata a ruotare nel piano verticale attorno alla cerniera O.
Per valutare il momento M necessario a imporre l’orientazione, la velocità e l’accelerazione angolare
volute (problema inverso) o, al contrario, per determinare l’accelerazione angolare dovuta al momento
imposto M, note l’orientazione e la velocità angolare (problema diretto) è sufficiente, come illustrato
nell’esercizio precedente, scrivere l’equilibrio dei momenti rispetto al polo O:
M −m
� l
2
� 2
˙ω −JG˙ω −mg l
cosθ = 0 =⇒ M = ml2 ˙ω +mgl cosθ, (1.29)
2 3 2
ove si è sfruttato JG = ml 2 /12.
Le altre due equazioni permettono invece il calcolo della reazione nelle sue due componenti tangente
e normale alla traiettoria circolare del baricentro:
Ψt +ρAlgcosθ +ρA˙ω l2
2 = 0 =⇒ Ψt = −mgcosθ −m˙ω l
2
(1.30a)
−Ψn −ρAlgsinθ +ρAω 2l2
2 = 0 =⇒ Ψn = −mgsinθ +mω (1.30b)
2
Volendo calcolare le azioni interne normali N, di taglio T e flettenti Mf in una generica sezione distante
a dalla cerniera, dobbiamo tener conto della distribuzione triangolare6 delle azioni d’inerzia scomposte
nelle due componenti normale e tangenziale, ovvero:
Mf (a)+M +Ψta+
N (a)−Ψn −
T (a)−Ψt −
� a
0
� a
0
� a
0
ρAgsinθ dξ +
ρAgcosθ(a−ξ) dξ +
ρAgcosθ dξ −
� a
0
� a
0
� a
0
2 l
ρAω 2 ξ dξ = 0 (1.31a)
ρA˙ωξ dξ = 0 (1.31b)
ρA˙ωξ(a−ξ) dξ = 0 (1.31c)
6Se le componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del generico punto a distanza ξ dal centro di rotazione sono
rispettivamente ¨xn = −ξω2 e ¨xt = ξ˙ω, le conseguenti componenti della distribuzione di forza d’inerzia sono dFin = dmξω2
e dFit = −dmξ˙ω, e hanno quindi andamento lineare in ξ.
1-10

Ci
Ψt
y
G
M
θ, ω, ˙ω
ρAω 2� � OG � �
ρA˙ω � � OG � �
ρAg
O x
Ψn
ρAg
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
ρAω 2� � OG � � ρA˙ω � � OG � �
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
y
M
θ, ω, ˙ω
O x
Figura 1.6: Sistema equipollente delle forze d’inerzia (a sinistra) e loro reale
distribuzione (a destra) in un’asta incernierata ad un estremo.
A partire dalle ipotesi di densità ρ e area della sezione A costanti, svolgendo gli integrali si ottiene
N (a)−Ψn −ρAagsinθ +ρAω 2a2
2
T (a)−Ψt −ρAagcosθ −ρA˙ω a2
2
Mf
a
Ψt
N
T
Ψn
= 0 (1.32a)
= 0 (1.32b)
Mf (a)+M +Ψta+ρA a2
gcosθ +ρA˙ωa3 = 0 (1.32c)
2 6
Esercizio 1.3 Si consideri di nuovo l’esercizio 1.2 ma ora, anziché considerare la parte di problema dalla
cerniera alla generica sezione, si consideri invece la parte dalla sezione all’estremo libero. Ovviamente
devono risultarne le medesime azioni interne. Lo si verifichi, e si discuta l’opportunità di scegliere l’una
o l’altra parte per il calcolo delle azioni interne.
Esercizio 1.4 A partire dalla soluzione degli esercizi 1.1 e 1.2 si calcolino l’angolo θ e la posizione
radiale a per i quali sono rispettivamente massimi e minimi lo sforzo assiale e lo sforzo di taglio, scelta
una geometria a piacere per la sezione A dell’asta.
1-11

1-12

Capitolo 2
Scrittura delle equazioni di moto
mediante approcci energetici
Generato il 16 gennaio 2012
In questo capitolo viene illustrata la scrittura delle equazioni del moto di sistemi piani mediante
principi energetici, metodo alternativo alla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico di ogni
corpo componente.
Con la dicitura principi energetici si intendono quegli approcci basati sulla scrittura di un funzionale
la cui minimizzazione porta alla scrittura di un sistema di equazioni di bilancio. Tra questi metodi ricade
il Principio dei Lavori Virtuali.
2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali
L’approccio visto nel capitolo precedente studia l’equilibrio dinamico di un sistema meccanico basandosi
sulla scrittura diretta delle equazioni di equilibrio di forze e momenti. In particolare si è visto che,
grazie al principio di D’Alembert, è possibile ricondurre il problema dinamico ad un problema statico
equivalente, introducendo il sistema di forze e coppie di inerzia.
In alternativa, è possibile usare il Principio dei Lavori Virtuali (o P.L.V.), che si enuncia come segue:
condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio dinamico, in un sistema meccanico con
vincoli lisci ovvero in assenza di attrito, è che sia nullo il lavoro delle forze e coppie attive,
comprendendo tra esse la forza e la coppia d’inerzia, per qualsiasi spostamento virtuale del
sistema.
Uno spostamento si definisce virtuale quando è infinitesimo e compatibile con i vincoli a
tempo fissato.
Il senso delle parole ‘compatibile con i vincoli a tempo fissato’ verrà illustrato nel seguito.
La limitazione ai soli vincoli lisci sopra indicatapuò essererimossacon opportuniaccorgimenti, quindi
l’applicabilità del P.L.V. è sufficientemente ampia da consentirne l’uso in tutte le applicazioni di interesse
perilcorso. Inoltre,perunsistemaadunsologradodilibertàavincolilisci,ilmetodoconsentediottenere
una sola equazione pura di moto che non dipende dalle incognite di reazione vincolare. Questa equazione
consente di risolvere direttamente il problema dinamico senza dover calcolare le incognite aggiuntive
rappresentate dalle reazioni vincolari stesse.
Per fare un esempio di questo procedimento ci riferiamo nuovamente al caso del corpo rigido di piccolo
spessore del capitolo precedente. Data la presenza di una cerniera a terra in O, lo spostamento virtuale
del corpo è di tipo rotatorio, descritto dalla rotazione virtuale δ � ϑ = � kδϑ del corpo rigido (assunta, per
convenzione, positiva se antioraria), con � k versore perpendicolare al piano contenente il corpo e positivo
quando uscente dal piano stesso.
Applicando il P.L.V. si ottiene
δ ∗ L = � M ×δ � ϑ+m�g ×δ�xG + � F ×δ�xP −
�
JG ˙ �
�ω ×δ� ϑ−m�aG ×δ�xG = 0, (2.1)
2-1

y
�aG
O
�M
000 111
000 111
G
ϑ
m�g
�F
P
JG ˙ �ω
ϑ,
˙ϑ = ω,
¨ϑ = ˙ω
Figura 2.1: Corpo rigido di piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio.
avendo aggiunto una generica forza � F applicata nel punto P, in cui le variabili fisiche sono
�xG = (G−O) �xP = (P −O), (2.2)
da cui risultano le variazioni virtuali
mentre
δ�xG = δ � ϑ∧(G−O) δ�xP = δ � ϑ∧(P −O), (2.3)
�aG = d2 �xG
dt 2 = �ω ∧(�ω ∧(G−O))+ ˙ �ω ∧(G−O) = −ω 2 (G−O)+ ˙ �ω ∧(G−O).
Come indicato in figura 2.1, si sono definiti ω = ˙ ϑ e ˙ω = ¨ ϑ.
È relativamente agevole verificare che
�
�F ×δ�xP = (P −O)∧ � �
F ×δ� ϑ (2.4)
(si veda a questo proposito la (3.8c)); questo corrisponde ad affermare che il lavoro virtuale compiuto
dalla forza � F per lo spostamento virtuale del punto di applicazione P, quando lo spostamento sia dovuto
ad una rotazione rispetto ad un polo O, è uguale al lavoro virtuale dovuto al momento (P −O)∧ � F per
la rotazione virtuale δ � ϑ = δϑ � k.
Esercizio 2.1 Si verifichi la (2.4).
Svolgendo i prodotti indicati e raccogliendo a fattor comune la rotazione virtuale δϑ si ha:
δ ∗ �
L = M −JG˙ω −mg|(G−O)|cosϑ−m|(G−O)| 2 �
˙ω + (P −O)∧ � �
F × � �
k δϑ = 0 (2.5)
da cui, semplificando 1 per δϑ �= 0, si ottiene
M −JG˙ω −mg|(G−O)|cosϑ−m|(G−O)| 2 ˙ω +
x
�
(P −O)∧ � �
F × �k = 0 (2.6)
che (a meno del contributo � F, introdotto solo ora) coincide con la (1.27), ottenuta direttamente dall’equilibrio
dinamico dei momenti.
Si noti come non sia mai stato necessario prendere in considerazione le reazioni vincolari scambiate
tra corpo e telaio nella cerniera, a seguito dell’ipotesi di vincolo ideale.
1 Questa semplificazione è lecita per l’arbitrarietà degli spostamenti virtuali.
2-2

2.2 Il teorema dell’energia cinetica
La Meccanica Razionale ha proposto il Teorema dell’Energia Cinetica in due forme. Indicati con T
l’energia cinetica del corpo rigido, Π la potenza e L il lavoro delle forze esterne, per un sistema a vincoli
fissi il teorema dell’energia cinetica:
• in forma differenziale,
dT
dt
= Π, (2.7)
afferma che la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica eguaglia la potenza delle forze attive,
escluse quelle d’inerzia;
• in forma integrale,
∆T = L, (2.8)
afferma che la variazione di energia cinetica tra due istanti di tempo eguaglia il lavoro compiuto
dalle forze attive, escluse quelle d’inerzia, nell’intervallo trascorso.
La potenza o il lavoro delle forze di inerzia sono esplicitamente esclusi dal computo di Π e di L perché
la derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica rappresenta proprio la potenza delle forze d’inerzia,
mentre la variazione di energia cinetica in un dato intervallo di tempo è proprio pari al lavoro fatto
dalle forze d’inerzia in quell’intervallo.
Ritornando all’esempio considerato, l’energia cinetica T del corpo è 2 :
T = 1
2 m�vG �vG + 1
2 JG�ω ×�ω (2.9)
dove si è utilizzato il teorema di König, per cui
mentre
dT
dt = m�aG ×�vG +JG ˙ �ω ×�ω (2.10)
Π = � M ×�ω +m�g ×�vG + � F ×�vP. (2.11)
Sostituendo nella (2.7) le (2.10) e (2.11), otteniamo:
ovvero
m�aG ×�vG +JG ˙ �ω ×�ω = � M ×�ω +m�g ×�vG + � F ×�vP, (2.12)
�M ×�ω +m�g ×�vG + � F ×�vP −m�aG ×�vG −JG ˙ �ω ×�ω = 0 (2.13)
cheesprimel’annullamentocomplessivodellepotenzeditutteleforzeecoppie(compresequellediinerzia)
agenti sul sistema. Il principio illustrato da questa equazione è noto anche come bilancio di potenze, in
quanto la potenza Πin della forza e della coppia d’inerzia è pari a
Πin = −m�aG ×�vG −JG ˙ �ω ×�ω = − dT
dt
e quindi la (2.7) può essere riscritta anche come
(2.14)
Π+Πin = 0 (2.15)
2 Il contributodi energia cinetica associato alla velocità angolare è scritto come 1/2JG�ω×�ω perchénel caso bidimensionale
la velocità angolare è �ω = [0,0,ωz] T e si assume che i corpi abbiano spessore trascurabile, quindi solo il momento di inerzia
JG attornoa � k partecipa. ComesivedrànelCapitolo3talecontributohaunaformapiùcomplicatanelcasotridimensionale.
2-3

Ricordando, poi, che dall’analisi cinematica di questo specifico problema risulta che
e
�vG = �ω ∧(G−O) (2.16)
�vP = �ω ∧(P −O), (2.17)
sostituendo la (2.16) nella (2.13) e risolvendo i prodotti scalari, otteniamo:
�
�
M −mg(O −G)cosϑ+ (P −O)∧ � �
F × �k −JG˙ω −m(O −G) 2 �
˙ω ω = 0 (2.18)
che semplificata per ω �= 0 fornisce un’equazione scalare pura che è di nuovo la (2.5).
La validità di questa equazione non è limitata ad un singolo corpo rigido, ma vale per qualunque
sistema formato da n corpi, purché ad un solo grado di libertà, potendosi riscrivere nella forma
n�
(Π+Πin) k = 0 (2.19)
k=1
Nelle applicazioni di dinamica, in cui spesso occorre considerare macchine ad un solo grado di libertà, il
teorema dell’energia cinetica (ovvero l’equazione di bilancio delle potenze) può risultare di più spontaneo
utilizzo rispetto al principio dei lavori virtuali visto in precedenza, poiché più direttamente collegato al
moto dei corpi rigidi componenti il sistema, in quanto la velocità è analoga ad uno spostamento virtuale
quando i vincoli sono fissi.
Il Teorema dell’Energia Cinetica si presta a una importante interpretazione fisica: durante il moto del
sistema, negli istanti in cui la somma delle potenze delle forze attive risulta positiva l’energia cinetica del
sistema viene incrementata; al contrario, quando tale somma risulta negativa il sistema riduce la propria
energia cinetica. Secondo questa interpretazione, le inerzie presenti nel sistema (masse e momenti di
inerzia) possono essere visti come “serbatoi di energia” che nelle fasi di accelerazione immagazzinano
l’energia fornita in eccesso al sistema rispetto a quella necessaria per vincere le resistenze, mentre nelle
fasi di decelerazione restituiscono l’energia immagazzinata per supplire a un deficit di potenza motrice
rispetto a quella necessaria per vincere le resistenze.
2.3 Le equazioni di Lagrange (di II o tipo)
È stato messo in luce come l’analisi dinamica di un sistema composto da più corpi possa essere convenientemente
risolta mediante la scrittura del teorema dell’energia cinetica (o dell’equivalente bilancio di
potenze) in quanto, in presenza di soli vincoli lisci e fissi, ne deriva l’equazione scalare pura del moto.
Nel caso si debbano determinare le forze scambiate tra i vari elementi componenti il sistema, le azioni
interne e le reazioni vincolari, è stato invece proposto il metodo degli equilibri dinamici, noto anche come
principio di d’Alembert.
Si vuole presentare un metodo ulteriore per la scrittura delle equazioni di moto tramite le equazioni
di Lagrange. Questo metodo energetico trova un’importante applicazione, come illustrato in seguito, nel
caso di sistemi a più gradi di libertà.
Ci si limiti, per ora, al caso di un sistema piano ad un solo grado di libertà, composto da un corpo
rigidodi massa m e momento d’inerziabaricentricoJG soggetto a vincolibilaterilisci. Dettaq la variabile
indipendente scelta per il sistema, l’equazione di Lagrange nella sua forma più nota si presenta come:
d
dt
� ∂T
∂˙q
�
− ∂T
∂q
+ dV
dq
= Qq
(2.20)
dove T e V indicano rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale 3 del sistema, mentre Qq
indica la componente lagrangiana delle sollecitazioni attive relativa alla coordinata libera q.
3 Alcuni autori, al posto dell’energia potenziale V, usano il potenziale U delle forze conservative; si ricorda che U = −V.
2-4

L’energia cinetica del sistema è data dalla (2.9), qui ripetuta per chiarezza espositiva:
T = 1
2 m�vG �vG + 1
2 JG�ω ×�ω (2.21)
dove con �vG e con �ω sono indicate rispettivamente la velocità del baricentro e la velocità angolare del
corpo rigido.
Le generiche variabili fisiche y sono funzioni dell’unica coordinata libera q tramite le relazioni che
ne governano la cinematica e la geometria (tali legami possono avere anche una dipendenza esplicita
dal tempo nel caso in cui vincoli esterni o interni varino la loro configurazione con legge assegnata nel
tempo):
y = y(q,t) (2.22)
Si noti che, data la definizione di variabile fisica in (2.22), la velocità fisica è definita come
v = dy
dt
= ∂y
∂q
∂y
˙q + , (2.23)
∂t
mentre lo spostamento virtuale corrispondente è definito come
δy = ∂y
δq (2.24)
∂q
in quanto lo spostamento virtuale avviene a vincoli e a tempo fissato, per cui la dipendenza esplicita dal
tempo della (2.22), che nella (2.23) compare attraverso il termine ∂y/∂t, nella (2.24) non partecipa alla
definizione dello spostamento virtuale.
Il termine V rappresenta l’energia potenziale delle forze agenti che ammettono potenziale, e quindi
conservative (adesempiolaforzapeso, eventualiforzeelastiche, ecc.). InQq sonocompreselecomponenti
lagrangiane di tutte le restanti forze attive agenti sul sistema. Il termine Qq viene calcolato come il lavoro
virtuale di tali forze per uno spostamento virtuale unitario della variabile indipendente δq, ovvero come
il termine ottenuto dal raccoglimento a fattor comune di δq nell’espressione del lavoro virtuale di tali
forze, Qq = ∂δL/∂δq.
Con riferimento sempre all’esempio iniziale, utilizzando come variabile libera q l’angolo ϑ di rotazione
del corpo, e quindi ω = ˙ ϑ, avremo che
∂T
∂ ˙ ∂
=
ϑ ∂ ˙ �
1
�
JG +m|(G−O)|
ϑ 2
2�
ω 2
� �
= JG +m|(G−O)| 2�
ω
�
d ∂T
dt ∂
(2.25)
˙ � �
= JG +m|(G−O)|
ϑ
2�
˙ω (2.26)
∂T
= 0
∂ϑ
(2.27)
V = mg|(G−O)|sinϑ (2.28)
dV
= mg|(G−O)|cosϑ
dϑ
� �
δL = M + (P −O)∧
(2.29)
� �
F × � �
k δϑ (2.30)
�
Qq = M + (P −O)∧ � �
F × �k (2.31)
che, sostituite nella (2.20), portano a
�
JG +m|(G−O)| 2�
ovvero di nuovo all’equazione scalare pura (2.5).
�
˙ω +mg|(G−O)|cosϑ = M + (P −O)∧ � �
F × �k (2.32)
2-5

2.4 Le equazioni di Lagrange (di I o tipo)
Le equazioni di Lagrange di primo tipo partono dalle equazioni di Newton-Eulero, o equazioni cardinali
della dinamica. Queste sono espresse in funzione di coordinate cartesiane che descrivono la posizione e
l’orientazione di ogni corpo che costituisce il sistema.
La presenza di vincoli cinematici, che riducono il numero di gradi di libertà effettivi del problema,
viene espressa esplicitamente mediante l’aggiunta delle equazioni algebriche di vincolo,
ϕj (xG,yG,ϑ,t) = 0. (2.33)
Queste ultime consentono di applicare le reazioni vincolari, nell’ipotesi di vincoli lisci, direttamente
alle equazioni cardinali del moto del corpo, mediante il formalismo dei moltiplicatori di Lagrange. Le
equazioni di vincolo devono essere indipendenti, altrimenti si ha una sovradeterminazione (le equazioni
di vincolo non sono più indipendenti). Condizione necessaria per avere equazioni indipendenti è che le
equazioni di vincolo siano in numero al più pari ai gradi di libertà del sistema.
Si scriva formalmente la Lagrangiana
L = T −V = 1
2 m�vG �vG + 1
2 JG�ω ×�ω = 1
2 m� ˙x 2 G + ˙y 2� 1
G +
2 JG ˙ ϑ 2 . (2.34)
La si aumenti con un termine
L ′ = �
λkϕk(xG,yG,ϑ,t), (2.35)
k=1,c
ove i λk sono moltiplicatori incogniti relativi ad ogni equazione di vincolo cinematico. Quando il vincolo
ϕk è rispettato, il valore della Lagrangiana originaria, L, non dipende in alcun modo dal valore del
corrispondente moltiplicatore λk.
Si applichi il formalismo di Lagrange a L+L ′ , considerando alla stregua di coordinate libere sia le
coordinate cartesiane di ogni corpo che i moltiplicatori λk. La derivazione del contributo delle equazioni
di vincolo, L ′ , comporta
∂L ′
=
∂xG
�
k=1,c
∂L ′
=
∂yG
�
∂L ′
∂ϑ
∂L ′
∂λk
k=1,c
= �
k=1,c
∂ϕk
λk
∂xG
∂ϕk
λk
∂yG
∂ϕk
λk
∂ϑ
(2.36a)
(2.36b)
(2.36c)
= ϕk. (2.36d)
Si ottiene, per il corpo rigido e per ogni vincolo k:
m¨xG + �
k=1,c
m¨yG + �
k=1,c
JG ¨ ϑ+ �
k=1,c
Ciascun termine
∂ϕk
∂qj
λk
∂ϕk
λk = QxG
∂xG
∂ϕk
λk = QyG
∂yG
∂ϕk
∂ϑ λk = Qϑ
(2.37a)
(2.37b)
(2.37c)
ϕk = 0. (2.37d)
2-6
(2.38)

appresenta il contributo del vincolo k-esimo alle reazioni vincolari dell’equazione di equilibrio alla
traslazione in direzione j-esima, o alla rotazione attorno all’asse j-esimo, del corpo.
Considerando il problema iniziale, le coordinate sono rappresentate da xG, yG e ϑ, quest’ultima
corrispondente alla coordinata libera usata nelle equazioni di Lagrange di secondo tipo. La lagrangiana
è
L = 1
2 m� ˙x 2 G + ˙y 2� 1
G +
2 JG ˙ ϑ 2 −mgyG, (2.39)
mentre il lavoro virtuale delle forze generalizzate è
δ ∗ L = δ�xP × � F +δ � ϑ× � M = δxGFx +δyGFy +δϑ
dal momento che lo spostamento virtuale del punto P è dato da
��
(P −G)∧ � �
F × � �
k +M , (2.40)
δ�xP = δxG �i+δyG �j +δϑ � k ∧(P −G). (2.41)
Sono presenti due relazioni di vincolo, in quanto il sistema ha un solo grado di libertà. Possono
essere espresse in vari modi equivalenti. Ad esempio, si può imporre che la distanza tra i punti G e O
sia costante e pari a |G−O|, e che il rapporto tra le coordinate del baricentro sia pari alla tangente
dell’angolo ϑ. Sia quindi
ϕ1 = � �
(G−O)×(G−O)−|G−O| = x2 G +y2 G −|G−O| = 0, (2.42)
da cui
e
da cui
∂ϕ1
∂xG
∂ϕ1
∂yG
∂ϕ1
∂ϑ
= xG
[G−O]
= yG
[G−O]
(2.43a)
(2.43b)
= 0, (2.43c)
ϕ2 = xGsinϑ−yGcosϑ = 0, (2.44)
∂ϕ2
= sinϑ (2.45a)
∂xG
∂ϕ2
= −cosϑ (2.45b)
∂yG
∂ϕ2
∂ϑ = xGcosϑ+yGsinϑ. (2.45c)
Trascurando nel seguito la forza � F, ne risulta
m¨xG + xG
[G−O] λ1 +sinϑλ2 = 0 (2.46a)
m¨yG + yG
[G−O] λ1 −cosϑλ2 = −mg (2.46b)
JG ¨ ϑ+(xGcosϑ+yGsinϑ)λ2 = M
�
(2.46c)
x2 G +y2 G −|G−O| = 0 (2.46d)
xGsinϑ−yGcosϑ = 0. (2.46e)
2-7

Oppure, più semplicemente, si possono definire le coordinate del baricentro come
da cui
ϕ1 = xG −|G−O|cosϑ (2.47a)
ϕ2 = yG −|G−O|sinϑ, (2.47b)
∂ϕ1
= 1 (2.48a)
∂xG
∂ϕ1
= 0 (2.48b)
∂yG
∂ϕ1
= |G−O|sinϑ
∂ϑ
(2.48c)
∂ϕ2
= 0
∂xG
(2.48d)
∂ϕ2
= 1 (2.48e)
∂yG
∂ϕ2
= −|G−O|cosϑ (2.48f)
∂ϑ
Ne risulta
m¨xG +λ1 = 0 (2.49a)
m¨yG +λ2 = −mg (2.49b)
JG ¨ ϑ+|G−O|sinϑλ1 −|G−O|cosϑλ2 = M (2.49c)
xG −|G−O|cosϑ = 0 (2.49d)
yG −|G−O|sinϑ = 0. (2.49e)
In entrambi i casi mediante sostituzioni è possibile riottenere l’equazione precedente.
Èevidentecomel’usodelleequazionidiLagrangedelprimotipodialuogoasistemidiequazionimolto
più grandi rispetto, ad esempio, alle equazioni del secondo tipo, che consentono di ricavare direttamente
le equazioni pure del moto, in numero pari ai gradi di libertà effettivi del problema.
Tuttavia, la scrittura delle equazioni del primo tipo può essere più facilmente automatizzabile, a
condizione di risolvere poi un problema di equazioni sia algebriche che differenziali.
Un vantaggio significativo è che nelle equazioni del primo tipo occorre soltanto calcolare la derivata
prima delle equazioni di vincolo, per scrivere i coefficienti con cui i moltiplicatori λk agiscono sulle
equazioni cardinali del moto. Viceversa, le equazioni del secondo tipo richiedono di derivare le equazioni
di vincolo per esplicitare le variabili cinematiche dipendenti in funzione delle coordinate libere, e fino alla
derivata seconda, per poter scrivere le forze d’inerzia.
Un altro vantaggio è dato dal fatto che in presenza di vincoli non lisci per risolvere le equazioni del
moto occorre conoscere a priori le reazioni vincolari associate a tali vincoli. Le equazioni di Lagrange
di I o tipo consentono di scrivere il problema direttamente sotto forma di sistema di equazioni in cui alle
incognite cinematiche si aggiungono quelle di reazione, e quindi di esprimere opportunamente le forze
attive che dipendono dalle reazioni vincolari associate ai vincoli non lisci. Si veda a tal proposito il
Capitolo 8, in cui viene discusso l’attrito.
Esercizio 2.2 Utilizzando il formalismo delle equazioni di Lagrange di I o tipo si scrivano le equazioni del
moto di un punto materiale di massa m, nel piano verticale, descritto mediante le componenti cartesiane
della sua posizione, x e y, vincolato a scorrere lungo un piano inclinato di un angolo α.
Esercizio 2.3 Si consideri un punto materiale di massa m, posto nel piano verticale, spinto da una
forza orizzontale f(t) e vincolato a scorrere lungo una guida ideale (liscia), la cui quota y dipende dalla
posizione in direzione orizzontale x secondo la funzione regolare y = y(x). Si scriva l’equazione del moto
del punto materiale e si ricavi la reazione vincolare scambiata con la guida utilizzando, nell’ordine, gli
equilibri dinamici, il principio dei lavori virtuali, il teorema dell’energia cinetica (verificandone l’applicabilità)
e le equazioni di Lagrange di II o e di I o tipo, nel caso in cui y = y0sin(2πx/L). Si valutino i
vantaggi e gli svantaggi dei diversi approcci.
2-8

Capitolo 3
Cenni di dinamica del corpo rigido
nello spazio
Generato il 16 gennaio 2012
3.1 Introduzione
In questo capitolo si richiama la dinamica del corpo rigido nello spazio. Lo studio di questo argomento
è alla base della dinamica di sistemi di vario tipo e complessità. Ne viene presentata nel seguito
l’applicazione alla modellazione dei giroscopi meccanici, come quello illustrato in figura 3.1.
Figura 3.1: Il giroscopio (Applied Dynamics - F.C. Moon 1998) applicato alla misura del rateo di
imbardata (yaw rate) di un velivolo (immagine del velivolo da http://www.lucytravels.com).
Questi strumenti consentono la misura indiretta della velocità angolare di un corpo rigido rispetto
ad un sistema di riferimento inerziale. Questa misura è fondamentale per la realizzazione dei sistemi
di navigazione inerziale (Inertial Measurement Unit, IMU), che sono alla base non solo dei sistemi di
3-1

navigazione strumentale dei velivoli e dei veicoli spaziali, ma anche di numerosi altri sistemi di ausilio alla
condotta dei veicoli, quali i sistemi di controllo della stabilità dei veicoli (Electronic Stability Control,
ESC, dei quali il più famoso è quello sviluppato da Bosch e Mercedes-Benz e noto come Elektronisches
Stabilitätsprogramm, ESP).
I giroscopi meccanici presentano alcuni svantaggi che ne sconsigliano l’uso nei moderni sistemi di
navigazione inerziale, soppiantati da sistemi laser per applicazioni ad alta precisione (e costo) o da sistemi
micro-elettro-meccanici (Micro-Electro Mechanical Systems, MEMS) per applicazioni a bassa precisione
(e costo; la carenza di precisione viene compensata dalla fusione di misure diverse). La teoria alla base
dei giroscopi meccanici presenta tuttavia un indubbio interesse didattico, storico ma anche applicativo.
3.2 Dinamica del corpo rigido nello spazio
Al fine di fornire uno strumento per la valutazione della dinamica del corpo rigido, che permetta di
passare in modo generale alla dinamica nello spazio, si vogliono formulare alcune considerazioni alla base
dell’analisi dinamica di sistemi multicorpo nello spazio.
3.2.1 Richiami di calcolo vettoriale in notazione matriciale
La posizione di un punto P nello spazio è identificabile mediante un vettore. Se si utilizza un sistema di
riferimento cartesiano ortogonale caratterizzato dalla terna destrorsa�i, �j, � k, le componenti del vettore
sono le sue coordinate. Le coordinate del vettore possono venire organizzate in forma matriciale. È
infatti possibile passare da un vettore (P −O) nella forma:
(P −O) = px �i+py �j +pz � k (3.1)
alla forma matriciale alternativa:
⎧ ⎫
⎨ px ⎬
(P −O) = py
⎩ ⎭
Prodotto scalare
pz
Il prodotto scalare tra due vettori (P −O) e (Q−O), indicato come (P −O)×(Q−O), è lo scalare
(P −O)×(Q−O) = pxqx +pyqy +pzqz. (3.3)
Utilizzando il formalismo matriciale si ottiene
⎧ ⎫T
⎧ ⎫
⎨ px ⎬ ⎨ qx ⎬
(P −O)×(Q−O) = py qy
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ = pxqx +pyqy +pzqz. (3.4)
pz
qz
Si noti come il primo vettore, (P−O), sia stato trasposto, in modo da renderelecito il prodotto matriciale
tra un vettore riga e un vettore colonna di pari lunghezza 1 .
Prodotto vettore
Il prodotto vettore di due vettori (P −O) e (Q−O), indicato come (P −O)∧(Q−O), è un vettore di
componenti:
� �
� �i �j �
� k �
�
(P −O)∧(Q−O) = �
� px py pz
�
�
� � = (pyqz −pzqy)�i+(pzqx −pxqz)�j +(pxqy −pyqx) �k. (3.5)
qx qy qz
1 Si ricordi che il prodotto tra matrici richiede che la matrice a sinistra abbia numero di colonne pari al numero di righe
della matrice a destra.
3-2
(3.2)

Al medesimo risultato si arriva definendo la matrice antisimmetrica2 [(P −O)∧],
⎡
0
[(P −O)∧] = ⎣ pz
−pz
0
⎤
py
−px ⎦, (3.6)
−py px 0
costruitaapartiredalprimovettorenelprodottodiEq.(3.5), ecalcolandopoiilprodottomatrice-vettore
(P −O)∧(Q−O) = [(P −O)∧](Q−O)
⎡ ⎤⎧
0 −pz py ⎨
= ⎣ pz 0 −px ⎦
⎩
−py px 0
Proprietà dell’algebra vettoriale
qx
qy
qz
⎫
⎬
⎭ =
⎧
⎨
⎩
pyqz −pzqy
pzqx −pxqz
pxqy −pyqx
⎫
⎬
. (3.7)
⎭
L’algebra vettoriale presenta utili proprietà, che nel formalismo matriciale possono assumere una forma
notevole. Le più importanti e utili, facilmente verificabili 3 , sono:
�p�q = �q �p {p} T {q} = {q} T {p} (3.8a)
�p∧�q = −�q ∧�p [p∧]{q} = −[q ∧]{p} (3.8b)
�r ×(�p∧�q) = −�q ×(�p∧�r) [p∧] T = −[p∧] (3.8c)
�p∧�q ∧�r = �q(�p×�r)−(�q ×�p)�r [p∧][q ∧] = {q}{p} T −{q} T {p}[I] (3.8d)
�0 = �p∧�q ∧�r +�q ∧�r ∧�p {0} = [p∧][q ∧]{r}+[q ∧][r ∧]{p}
+�r ∧�p∧�q +[r ∧][p∧]{q} (3.8e)
(�p∧�q)∧�r = �p∧�q ∧�r −�q ∧�p∧�r [([p∧]{q})∧] = [p∧][q ∧]−[q ∧][p∧]
= �q(�p×�r)−�p(�q ×�r) = {q}{p} T −{p}{q} T
Si ricordi che l’associatività del prodotto vettore è da destra, ovvero
(3.8f)
�p∧�q ∧�r = �p∧(�q ∧�r). (3.9)
Nei casi dubbi, si consiglia l’uso delle parentesi come nella (3.9).
Esercizio 3.1 Verificare le proprietà descritte nelle (3.8), utilizzando sia la notazione vettoriale che
quella matriciale.
3.2.2 Cinematica del punto materiale nello spazio
Per definire la cinematica di un corpo rigido, si può fare riferimento ai moti relativi. In particolare è
utile definire il moto di un generico punto P in funzione della sua posizione all’interno del corpo, e del
moto rigido del corpo stesso.
Posizione di un punto solidale ad un corpo rigido
Si definisca la posizione del punto P rispetto all’origine O, data dal vettore (P −O). Tale posizione può
essere descritta come la somma della posizione di P rispetto ad un polo Q arbitrario ma solidale con il
corpo rigido, (P −Q), e della posizione del polo Q rispetto all’origine, (Q−O), ovvero
(P −O) = (P −Q)+(Q−O). (3.10)
Se il corpo a cui appartengono i punti P e Q è rigido, la loro distanza �P −Q� non cambia. Tuttavia,
per effetto della rotazione rigida del corpo, può cambiare l’orientazione del vettore (P −Q) rispetto al
sistema di riferimento inerziale.
2 Una matrice [A] è antisimmetrica quando la sua trasposta è uguale al suo opposto, [A] T = −[A].
3 Alcune delle proprietà illustrate nelle (3.8) sono ovvie, altre richiedono manipolazioni non banali. Non ne viene data
dimostrazione perché esula dagli scopi del corso.
3-3

Velocità di un punto solidale ad un corpo rigido
La velocità del punto P si ottiene dalla derivata rispetto al tempo della (3.10),
�vP = d d d
(P −O) = (P −Q)+ (Q−O). (3.11)
dt dt dt
Ilprimotermineasecondomembrodella(3.11),d(P−Q)/dt, rappresentauncambiamentodiorientazione
del vettore (P −Q), il cui modulo è costante per l’ipotesi di corpo rigido. Il secondo termine a secondo
membro della (3.11), d(Q − O)/dt, rappresenta la velocità assoluta del punto Q, �vQ. Di conseguenza,
la (3.11) può essere riscritta come
�vP =�vQ + ˙ �r (3.12)
dove �r = (P −Q).
Siccome per la definizione di corpo rigido il vettore posizione �r non varia in modulo, la sua derivata
rispetto al tempo è legata alla sola variazione di direzione, che secondo le relazioni di Poisson (si veda la
nota 3 di pagina 1-6) risulta essere pari a:
d
dt (P −Q) = ˙ �r = �ω ∧�r. (3.13)
La (3.12) può essere infine scritta come
�vP =�vQ +�ω ∧�r, (3.14)
che rappresenta la velocità del punto P in funzione del moto rigido del corpo al quale P è solidale,
espresso da �vQ e �ω. È comodo esprimere la (3.14) nella forma del tutto analoga
�vP =�vQ −�r ∧�ω, (3.15)
sfruttando la proprietà del prodotto vettore �ω ∧�r = −�r ∧ �ω, illustrata nella (3.8b), grazie alla quale è
possibile esprimere con notazione matriciale la velocità del punto P,
{vP} = {vQ}−[r ∧]{ω} = � [I] −[r ∧] �� �
{vQ}
, (3.16)
{ω}
in forma lineare rispetto alla velocità {vQ} e alla velocità angolare {ω} del corpo rigido.
Accelerazione di un punto solidale ad un corpo rigido
L’accelerazione del punto P, ottenuta per derivazione dal vettore velocità, sarà allora data da:
�aP =�aQ +�˙ω ∧�r +�ω ∧(�ω ∧�r). (3.17)
L’analoga espressione con notazione matriciale è
{aP} = {aQ}−[r ∧]{˙ω}+[ω ∧][ω ∧]{r}
= � [I] −[r ∧] �� {aQ}
{˙ω}
�
+[ω ∧][ω ∧]{r}. (3.18)
Si noti che la matrice che moltiplica da sinistra l’accelerazione {aQ} e l’accelerazione angolare {˙ω} è la
medesima della (3.16).
Esercizio 3.2 Utilizzando le proprietà (3.8), mettere in luce come il termine centrifugo delle (3.17,
3.18), contenente la velocità angolare �ω (o {ω}), sia diretto rispetto al vettore �r (o {r}).
L’algebra vettoriale è uno strumento molto potente e sintetico per descrivere la cinematica (e la
dinamica) nello spazio, ma a volte male si presta alla scrittura di espressioni di facile implementazione
in codici di calcolo, specialmente nel caso di generalizzazione a sistemi con più corpi rigidi. Al contrario
l’algebra matriciale, anche se può sembrare meno intuitiva e meno adatta alla soluzione manuale di
semplici problemi, meglio si presta alla scrittura di codici di calcolo numerico, grazie alla sua più agevole
sistematizzazione: la costruzione delle equazioni risolventi si riduce a sequenze di prodotti tra matrici e
tra matrici e vettori opportunamente costruiti. In ogni caso le due notazioni sono, inevitabilmente, del
tutto equivalenti, e verranno utilizzate indifferentemente nel seguito.
3-4

3.2.3 Descrizione delle rotazioni
In generale, un vettore {p} può essere proiettato da un sistema di riferimento ad un altro mediante una
trasformazione lineare, che consiste nella moltiplicazione per una matrice di rotazione, [R]:
{p} ′′ = [R]{p} ′ . (3.19)
Ortonormalità
Lematricidirotazionegodonodialcuneproprietànotevoli. Lapiùimportanteèlaortonormalità: l’inversa
della matrice è uguale alla sua trasposta. Questa proprietà si desume da una semplice constatazione:
il prodotto scalare tra due vettori non dipende dal sistema di riferimento in cui sono espressi.
Si considerino due vettori, {p} e {q}, espressi in un dato sistema di riferimento, indicato con un
singolo apice. Se entrambi i vettori sono proiettati in un altro sistema di riferimento, indicato con due
apici, tramite la matrice di rotazione [R],
{p} ′′ = [R]{p} ′
(3.20a)
{q} ′′ = [R]{q} ′ , (3.20b)
il loro prodotto scalare deve rimanere invariato. Ne risulta
{p} ′T {q} ′ = {p} ′′T {q} ′′ = {p} ′T [R] T [R]{q} ′ . (3.21)
Se ne deduce che [R] T [R] = [I] e quindi
[R] −1 = [R] T . (3.22)
Rotazioni attorno agli assi coordinati
La descrizione delle numerose proprietà delle matrici di rotazione, e di come queste possano essere più
o meno efficientemente parametrizzate in funzione dei numerosi tipi di parametri esula dallo scopo di
questo corso. Viene solamente proposta la costruzione delle matrici di rotazione associate a rotazioni
attorno ad uno degli assi coordinati del sistema di riferimento iniziale.
⎡
[R] x = ⎣
1 0 0
0 cosα −sinα
0 sinα cosα
⎤
⎡
⎦ [R] y = ⎣
cosβ 0 sinβ
0 1 0
−sinβ 0 cosβ
⎤
⎡
⎦ [R] z = ⎣
⎤
cosγ −sinγ 0
sinγ cosγ 0 ⎦.
0 0 1
(3.23)
Dal punto di vista del calcolo numerico queste trasformazioni corrispondono a rotazioni di Givens in uno
spazio a tre dimensioni. Esse sono alla base di numerosi algoritmi per la trasformazione di matrici, ad
esempio la decomposizione QR.
Sequenze di rotazioni
È bene ricordare che le rotazioni non si sommano; viceversa, la rotazione corrispondente ad una sequenza
di rotazioni si ricava moltiplicando le relative matrici di rotazione.
Occorre prestare attenzione al fatto che ogni rotazione viene riferita all’orientazione risultante dalla
combinazione delle rotazioni precedenti. La figura 3.2 mostra la dipendenza dell’orientazione finale dalla
sequenza con cui sono effettuate le rotazioni intermedie. Ad esempio, una rotazione di 90 gradi attorno
all’asse z come quella descritta da [R] z porta l’asse x finale ad allinearsi all’asse y iniziale (da A a B). Di
conseguenza, una successiva rotazione attorno all’asse x finale (da B a C) avverrebbe attorno a quello
che inizialmente era l’asse y. Se la sequenza delle rotazioni venisse invertita, e quindi si eseguisse prima
una rotazione attorno all’asse x (da A a D), seguita da una rotazione attorno all’asse z (da D a E),
l’orientazione finale del corpo sarebbe diversa da quella ottenuta nel primo caso.
3-5

Rotazione e velocità angolare
z
A
y
x
y
z
y
D
B
z x z
y
x x
Figura 3.2: Sequenza di rotazioni.
È utile considerare come la velocità angolare {ω} si ricavi dalla derivazione della matrice di rotazione.
Siccome una rotazione non modifica la lunghezza di un vettore, ma al più ne cambia l’orientazione, questo
vale anche per i versori di un sistema di riferimento. Per questo motivo, in base alle relazioni di Poisson
illustrate nella nota 3 di pagina 1-6, la derivata rispetto al tempo di una matrice di rotazione dà
� �
˙R = [ω ∧][R]. (3.24)
Dalla (3.24) è immediato notare come
� �
˙R [R] T = [ω ∧]. (3.25)
Si premoltiplichi ora la (3.24) per [R] T :
[R] T � �
R˙
= [R] T [ω ∧][R]. (3.26)
È relativamente semplice verificare che
[R] T ��
[ω ∧][R] = [R] T � �
{ω} ∧ = [ω ∧], (3.27)
dove {ω} = [R] T {ω} è la velocità angolare {ω}, definita nel sistema assoluto, proiettata quindi nel
sistema di riferimento definito dalla matrice [R] mediante premoltiplicazione per [R] T .
Le matrici di rotazione verranno usate nel seguito per formulare nel modo più conveniente i problemi
di dinamica dei corpi rigidi nello spazio.
Esercizio 3.3 Si verifichi la (3.24). (Suggerimento: si derivi la relazione [R][R] T = [I] rispetto al
tempo).
Esercizio 3.4 Si verifichi la (3.27). (Suggerimento: si derivi la relazione [R] T [R] = [I] rispetto al
tempo, e la si confronti con la precedente).
Esercizio 3.5 A partire dalla (3.24), si ricavi la velocità angolare dalle matrici di rotazione descritte
nella (3.23) e dalle loro derivate temporali.
Esercizio 3.6 Come si potrebbe definire la variazione virtuale di orientazione, da utilizzare per scrivere
il lavoro virtuale di una coppia?
3.2.4 Forze e coppie d’inerzia
L’accelerazione del generico punto P, data dalla (3.18), e pesata dalla densità che il materiale di cui è
costituito il corpo ha nel punto P, dà la forza d’inerzia elementare che agisce sul corpo nel punto P,
d � Fi = −ρ�aPdV. (3.28)
3-6
y
C
x
E
z

Forza d’inerzia
L’integrale della (3.28) sul volume V dà la forza d’inerzia complessiva che agisce sul corpo, ricordando
che �aQ, �ω e ˙ �ω non dipendono dalla posizione del punto P,
� � �
�Fi = − ρ�aPdV = − ρ �aQ −�r ∧
V V
˙ �
�ω +�ω ∧�ω ∧�r dV
�� � �� �
= − ρdV �aQ + ρ�rdV ∧
V
� �� �
V
� �� �
˙ �� �
�ω −�ω ∧�ω ∧ ρ�rdV
V
� �� �
m
�sQ
�
�
= − m�aQ −�sQ ∧�˙ω +�ω ∧�ω ∧�sQ , (3.29)
ove è stato messo in evidenza il momento statico rispetto al polo Q, �sQ. In notazione matriciale, il
momento statico è
� �
⎧ ⎫
⎨ x ⎬
{sQ} = ρ{r}dV = ρ y dV.
V V ⎩ ⎭
z
(3.30)
Si ricordi che il vettore �r (o {r}) è costante in modulo, ma cambia direzione al variare dell’orientazione
del corpo. Sempre in notazione matriciale, la (3.29) diventa
{Fi} = −(m{aQ}−[sQ ∧]{˙ω}+[ω ∧][ω ∧]{sQ}). (3.31)
Il polo Q può essere opportunamente scelto in modo da annullare il momento statico �sQ (o {sQ}). Il
punto che soddisfa questo requisito è il baricentro del corpo rigido, G. In tale caso, se si pone Q = G,
la (3.31) diventa semplicemente
{Fi} = −m{aG}, (3.32)
dove {aG} è l’accelerazione del baricentro G. La (3.32) mostra come, per quanto riguarda la forza
d’inerzia, il caso tridimensionale non si discosti da quanto anticipato nel caso piano: essa è direttamente
proporzionale all’accelerazione attraverso la massa.
Coppia d’inerzia
Il momento dell’azione d’inerzia (3.28) rispetto al polo generico Q è
� � �
�CiQ = − ρ�r ∧�aPdV = − ρ�r ∧ �aQ −�r ∧ ˙ �
�ω +�ω ∧�ω ∧�r dV (3.33)
Dal momento che, per le (3.8),
V
V
�r ∧�ω ∧�ω ∧�r = −�ω ∧�r ∧�r ∧�ω, (3.34)
la (3.33) diventa
�� � � �
�CiQ = − ρ�rdV ∧�aQ + ρ �r ∧�r ∧
V
� �� �
V
˙ �
�ω +�ω ∧�r ∧�r ∧�ω dV (3.35)
�sQ
Usando la notazione vettoriale è relativamente più complicato 4 esprimere il contributo alla coppia d’inerzia
dato dal secondo integrale a secondo membro isolando la velocità e l’accelerazione angolare, che
4 Occorre infatti definire un operatore ⊗ tale per cui �r ⊗�r diventa un tensore doppio, il cui contributo all’espressione
della coppia è analogo a quello dato dal termine {r}{r} T usato nella notazione matriciale.
3-7
�sQ

non dipendono dalla posizione del punto P. Usando invece la notazione matriciale, la (3.35) diventa
��� � � �� � �� �
{CiQ} = − ρ{r}dV ∧ {aQ}+ ρ[r ∧][r ∧]dV {˙ω}+[ω ∧] ρ[r ∧][r ∧]dV {ω},
�
V
�� �
V
� �� �
V
� �� �
[sQ∧]
−[JQ]
−[JQ]
(3.36)
ove nell’ultimo termine a destra si è fatto uso della rappresentazione matriciale della (3.34) e si è messa
in evidenza la matrice dei momenti d’inerzia [JQ], valutata rispetto al polo Q. Il momento d’inerzia è 5
� �
[JQ] = − ρ[r ∧][r ∧]dV = −
V
V
�
=
V
⎡
ρ⎣
⎡
ρ⎣
y 2 +z 2 −xy −xz
−yx z 2 +x 2 −yz
−zx −zy x 2 +y 2
0 −z y
z 0 −x
−y x 0
⎤
⎡
⎦dV = ⎣
⎤⎡
⎦⎣
⎤
0 −z y
z 0 −x ⎦dV
−y x 0
⎤
Ixx −Ixy −Ixz
−Iyx Iyy −Iyz
−Izx −Izy Izz
⎦. (3.37)
Si ricordi che la matrice dei momenti d’inerzia [JQ] e il momento statico {sQ}, essendo costruiti mediante
integrazione sul volume di una relazione che contiene il vettore {r}, in generale variano al variare
dell’orientazione del corpo.
Esercizio 3.7 Si esprimano il momento statico {sQ} e la matrice d’inerzia [JQ] in un sistema di
riferimento solidale con il corpo, descritto dalla matrice di rotazione [R].
Esercizio 3.8 Si calcoli la derivata rispetto al tempo di momento statico e matrice d’inerzia.
Esercizio 3.9 Si calcoli la derivata rispetto al tempo di momento statico e matrice d’inerzia considerando
la loro espressione in un sistema di riferimento solidale con il corpo, come da esercizio 3.7.
Se la coppia d’inerzia è riferita al baricentro G, la (3.36) diventa
{CiG} = −[JG]{˙ω}−[ω ∧][JG]{ω}. (3.38)
Usando la notazione matriciale, le forze e le coppie d’inerzia possono venire espresse quindi come
� � ��
{F}i m[I] [sQ ∧]
= −
{CiQ}
T �� � �
{aQ} [ω ∧][sQ ∧]
+
[sQ ∧] [JQ] {˙ω}
T � �
{ω}
[ω ∧][JQ]
�� m[I] [sQ ∧]
= −
T �� � � ��
{aQ} [sQ ∧]
−
[sQ ∧] [JQ] {˙ω}
T � � � �
{ω} ∧
{ω} (3.39a)
[([JQ]{ω})∧]
che se riferite al baricentro divengono
{Fi} = −m{aG} (3.40a)
{CiG} = −[JG]{˙ω}−[ω ∧][JG]{ω} = −[JG]{˙ω}+[([JG]{ω})∧]{ω}. (3.40b)
La coppia d’inerzia nel caso tridimensionale si differenzia dal caso piano in quanto in generale può
dipendere non solo dall’accelerazione angolare, ma anche dalla velocità angolare �ω. Questo traduce, ad
esempio, il fenomeno per cui un moto rotatorio a velocità angolare anche costante può dare luogo a
coppie d’inerzia attorno ad assi diversi da quello di rotazione. Quello che succede è che l’accelerazione
centripeta dovuta alla velocità angolare può dare luogo a forze d’inerzia che hanno braccio non nullo
rispetto all’asse o al polo di rotazione, e quindi a coppie d’inerzia anche in assenza di accelerazione.
Esercizio 3.10 Verificare la (3.34).
5 Si noti che la matrice dei momenti di inerzia è simmetrica e definita positiva. A volte, in letteratura, i termini
extra-diagonali sono definiti con segno opposto rispetto a quello indicato nella (3.37).
3-8

Esercizio 3.11 La matrice dei momenti d’inerzia [JQ] per definizione è simmetrica definita positiva.
Tuttavia queste proprietà non sono direttamente desumibili dalla definizione data nella (3.36). Si verifichi
la simmetria e la positiva definizione della matrice [JQ].
Esercizio 3.12 Si valuti la potenza associata alle coppie d’inerzia (si consideri ad esempio la (3.40b)).
Esercizio 3.13 Si valutino le forze e le coppie d’inerzia dovute ad un moto puramente rotatorio attorno
all’asse z (�ω = ωz � k, ˙ �ω = ˙ωz � k) passante per il baricentro di un corpo rigido.
3.2.5 Geometria delle masse
Come già notato in precedenza, le equazioni del moto possono essere ricavate attraverso diversi procedimenti,
fra loro equivalenti. La scelta di un particolare procedimento può essere vantaggiosa nel
momento in cui comporta una semplificazione o un minore sforzo nel giungere a risultati che devono
necessariamente essere analoghi.
Matrice di inerzia nell’espressione dell’energia cinetica
Nel caso del formalismo di Lagrange, il contributo alle equazioni del moto dato dalle forze di inerzia si
ricava a partire dall’energia cinetica. L’energia cinetica associata al movimento di un corpo rigido nello
spazio è
T = 1
2
�
V
ρ�vP ×�vPdV = 1
�
ρ(�vQ −�r ∧�ω)×(�vQ −�r ∧�ω)dV. (3.41)
2 V
Ancheinquestocaso, lanotazionevettorialerisultamenointuitivanelmomentoincuioccorreconsiderare
il termine associato al momento d’inerzia.
Usando la notazione matriciale,
�
T = 1
2
= 1
�
2
− 1
�
2
V
V
V
ρ{vP} T {vP}dV = 1
�
ρ({vQ}−[r ∧]{ω})
2 V
T ({vQ}−[r ∧]{ω})dV
ρ{vQ} T {vQ}dV − 1
�
ρ{ω}
2 V
T [r ∧] T {vQ}dV
ρ{vQ} T [r ∧]{ω}dV + 1
�
ρ{ω}
2
T [r ∧] T [r ∧]{ω}dV (3.42)
V
Siccome la velocità del punto di riferimento, o polo, Q, ovvero {vQ} e la velocità angolare del corpo
rigido {ω} non dipendono dalla posizione all’interno del corpo, {r}, possono essere portati fuori dagli
integrali. La (3.42) diventa
T = 1
�� �
T
{vQ} ρdV
2
− 1
��
T
{vQ}
2
V
� �� �
m
{vQ}− 1
2 {ω}T
��
V
ρ[r ∧] T �
dV {vQ}
� �� �
[sQ∧] T
�
ρ[r ∧]dV {ω}+
V
� �� �
[sQ∧]
1
2 {ω}T
��
ρ[r ∧]
V
T �
[r ∧]dV {ω}.
� �� �
(3.43)
[JQ]
Èagevoleverificarecomelamassam, ilmomentostatico[sQ ∧]eilmomentod’inerzia[JQ]corrispondano
a quelli ottenuti nel paragrafo precedente. L’energia cinetica può essere scritta come
T = 1
� �T �
{vQ} m[I] [sQ ∧]
2 {ω}
T �� �
{vQ}
. (3.44)
[sQ ∧] [JQ] {ω}
Nel caso particolare in cui il punto Q coincida con il baricentro G del corpo, l’espressione (3.44)
dell’energia cinetica diventa
T = 1
2 m{vG} T {vG}+ 1
2 {ω}T [JG]{ω}, (3.45)
3-9

ovvero il noto teorema di König, ove la matrice dei momenti di inerzia [JG] è ora riferita al baricentro 6 .
Energia cinetica nel formalismo di Lagrange
L’utilizzo dell’espressione (3.45) dell’energia cinetica nel formalismo di Lagrange richiede una certa
cautela, perché il momento d’inerzia [JG] dipende dall’orientazione del corpo, e il legame tra questa
e la velocità angolare {ω} non è riducibile in modo semplice alla relazione tra le coordinate Lagrangiane
{q} e le loro derivate {˙q}.
È tuttavia possibile dimostrare che, espressa la velocità angolare del corpo nella forma
{ω} =
� �
∂{ω}
{˙q} (3.47)
∂{˙q}
in funzione della derivata rispetto al tempo delle coordinate Lagrangiane {q}, il contributo dell’energia
cinetica associata alla rotazione del corpo alle equazioni del moto generalizzate rispetto alle coordinate
{q} si ottiene nella forma
� �T ∂{ω}
([ω ∧][JG]{ω}+[JG]{˙ω}) = {Q} {q} , (3.48)
∂{˙q}
ove {Q} {q} sono le forze generalizzate che compiono lavoro per una variazione virtuale delle coordinate
libere {q}, posto tale lavoro pari a δL = δ{q} T {Q} {q} . Si noti bene che le {Q} {q} non sono necessariamente
momenti in senso stretto, in quanto sono coniugate alle variazioni virtuali dei parametri di
rotazione δ{q}, e non a rotazioni virtuali.
Matrice d’inerzia nella scrittura di quantità di moto e momento delle quantità di moto
È inoltre possibile definire la quantità di moto e il momento delle quantità di moto come
� {Q}
{ΓQ}
� �
m[I] [sQ ∧]
=
T
[sQ ∧] [JQ]
�� {vP}
{ω}
che, se riferiti al baricentro G del corpo, diventano
�
(3.49)
{Q} = m{vG} (3.50a)
{ΓG} = [JG]{ω}. (3.50b)
La derivata rispetto al tempo delle (3.50) fornisce di nuovo le (3.40), ovvero le forze e le coppie di inerzia
relative al corpo rigido per un movimento riferito al baricentro. Quest’ultimo è anche il polo a cui è
riferito il momento.
Esercizio 3.14 Si verifichi che la derivata delle (3.50) fornisce le (3.40).
6La matrice di inerzia riferita al baricentro consente una ulteriore semplificazione. Si osservi come, in generale, data
una arbitraria velocità angolare {ω}, il corrispondente momento delle quantità di moto {ΓG} = [JG]{ω} sia un vettore
non parallelo a {ω}, ovvero non è garantito che esista uno scalare γ tale per cui {ΓG} = γ{ω}. Se si ipotizza che esistano
particolari valori di {ω}, detti {ω}, tali per cui il corrispondente � �
ΓG risulta parallelo a {ω} attraverso un coefficiente di
proporzionalità γ, si ottiene
γ{ω} = [JG]{ω} (3.46)
La (3.46) è un problema agli autovalori in forma canonica, tipo [A]{x} = λ{x}, la cui soluzione sono i tre valori di γ,
detti momenti principali d’inerzia, per cui esistono altrettante direzioni {u} = {ω}/�{ω}�, mutuamente ortogonali, che
definiscono l’orientazione del sistema di riferimento principale d’inerzia (gli assi principali d’inerzia) rispetto al sistema
di riferimento in cui è espressa la matrice [JG]. Dal momento che la matrice [JG] è simmetrica definita positiva, i suoi
autovalori, ovvero i momenti principali d’inerzia, sono reali e positivi.
3-10

3.2.6 Applicazione al caso piano
Applicando al caso piano quanto appena illustratonel caso generale, occorre consideraresolo le prime due
equazioni (equilibrio alla traslazione nelle direzioni x e y del piano) e l’ultima (equilibrio alla rotazione
attorno all’asse z), in funzione delle rispettive componenti del moto. Si definisca la matrice di massa
con
⎡
[M] = ⎣
�
m =
�
JQ =
V
V
m 0 −m(yG −yQ)
0 m m(xG −xQ)
−m(yG −yQ) m(xG −xQ) JQ
⎤
⎦ (3.51)
ρdV (3.52a)
� x 2 +y 2 � dV (3.52b)
per cui l’energia cinetica assume la forma
T = 1
⎧
⎨
2 ⎩
˙xQ
˙yQ
ωz
⎫
⎬
⎭
T
⎧
⎨
[M]
⎩
˙xQ
˙yQ
ωz
⎫
⎬
, (3.53)
⎭
con ˙xQ e ˙yQ a indicare le componenti della velocità del punto Q nelle direzioni x e y del piano e ωz a
indicare la velocità di rotazione attorno all’asse z. L’energia cinetica riferita al baricentro è
T = 1
2 m� ˙x 2 G + ˙y 2� 1
G +
2 JGω 2 z, (3.54)
avendo indicato con ˙xG e ˙yG le componenti del vettore velocità del baricentro del corpo rigido. Infine,
la forza e la coppia d’inerzia risultano:
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎨ Fix ⎬ ⎨ ¨xQ ⎬
Fiy = −[M] ¨yQ
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
˙ωz
−
⎧ ⎫
⎨ m(xG −xQ) ⎬
m(yG −yQ)
⎩ ⎭
0
ω2 z
(3.55)
CizQ
che, se riferite al baricentro, si riducono a
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎨ Fix ⎬ ⎨ m¨xG ⎬
Fiy = − m¨yG
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
JG˙ωz
CizQ
3.3 Fenomeni giroscopici
(3.56)
In assenza di forzanti e di dissipazioni, un corpo in rotazione idealmente tende a mantenere invariato il
suo momento delle quantità di moto. Si possono intuitivamente distinguere due tipi di variazione del
momento delle quantità di moto. Un tipo è costituito da una variazione della sua entità. A questo tipo di
variazione si oppone l’inerzia, ad esempio, del volano di un motore quando viene accelerato. Questo tipo
di variazione richiede che sia compiuto un lavoro, perché ad una variazione del momento delle quantità
di moto corrisponde una variazione dell’energia cinetica del corpo.
Un altro tipo è costituito da una variazione della direzione del momento delle quantità di moto, che
infatti è un vettore. Quando si cerca di cambiare l’orientazione di un corpo in rotazione, questo genera
delle coppie, legate all’inerzia, ovvero alla tendenza a contrastare il cambiamento del suo stato di moto.
Una variazione di direzione del momento delle quantità di moto che non ne comporti una variazione di
entità può non richiedere che sia compiuto un lavoro, perché è possibile che avvenga senza variazione di
energia cinetica.
Per studiare questo fenomeno, conviene scrivere le coppie d’inerzia che nascono quando l’orientazione
del corpo cambia con una velocità angolare imposta.
3-11

3.3.1 Coppia d’inerzia in un sistema di riferimento relativo
Si consideri innanzitutto la (3.40b), ricordando che la matrice dei momenti d’inerzia [JG] dipende dall’orientazione
del corpo. Si supponga il corpo vincolato in modo che il proprio baricentro non si possa
spostare. Il moto rigido consentito dai vincoli è costituito da una variazione arbitraria dell’orientazione
del corpo.
Inerzia indipendente dall’orientazione del corpo
In generale, è possibile scegliere un sistema di riferimento solidale con il corpo, nel quale la matrice dei
momenti d’inerzia sia costante e pari a � �
JG . La velocità angolare del corpo, espressa in un sistema di
riferimento inerziale, sia {ω}. La velocità angolare può essere espressa nel sistema di riferimento solidale
con il corpo moltiplicandola per la trasposta della matrice di rotazione [R], che esprime l’orientazione
del corpo rispetto al sistema di riferimento inerziale, ovvero {ω} = [R] T {ω}.
La (3.40b), proiettata nel sistema di riferimento del corpo moltiplicandola per la trasposta della
matrice di rotazione [R],
[R] T {CiG} = −[R] T [ω ∧][R] � � � � T
JG {ω}− JG [R] {˙ω} (3.57)
fornisce le coppie d’inerzia nel sistema di riferimento del corpo.
È lecito domandarsi che cosa si ottenga derivando la velocità angolare nel sistema di riferimento
solidale con il corpo, {ω}. Si derivi l’espressione {ω} = [R]{ω} rispetto al tempo. Si ottiene
{˙ω} = [ω ∧][R]{ω}+[R] � ˙ω � . (3.58)
Si noti come il primo termine a secondo membro possa essere ricondotto a [ω ∧]{ω} = {0}. Di
conseguenza, vale la relazione
� ˙ω � = [R] T {˙ω}, (3.59)
secondolaqualeladerivatadellavelocitàangolarenelsistemadiriferimentosolidaleconilcorpoconsente
di ottenere l’accelerazione angolare nel medesimo sistema 7 .
Ricordando inoltre la relazione (3.27),
[R] T [ω ∧][R] =
qui riscritta per comodità, si ottiene
��
[R] T � �
{ω} ∧ = [ω∧], (3.60)
[R] T {CiG} = −[ω∧] � � � ��
JG ω − JG ˙ω � . (3.61)
Velocità angolare nel sistema solidale con il corpo
Le relazioni precedenti sono di relativamente facile uso e possono essere applicate in un qualsiasi sistema
di riferimento avendo naturalmente l’accortezza di esprimere tutte le quantità nello stesso sistema.
Si consideri ad esempio un corpo rigido messo in rotazione rispetto ad un suo asse z con velocità
angolare ˙ Φ, detta velocità di nutazione o di spin. Dal punto di vista fisico, si può immaginare il corpo
rotante rispetto ad una cassa, alla quale è collegato mediante due perni lungo l’asse z comune a corpo e
cassa. La rotazione tra corpo e cassa è data dalla matrice di rotazione
⎡
[R] corpo-cassa = ⎣
cosΦ −sinΦ 0
sinΦ cosΦ 0
0 0 1
⎤
⎦. (3.62)
7 Si noti bene che � ˙ω � è l’accelerazione angolare assoluta proiettata in un sistema di riferimento solidale con il corpo,
così come {ω} è la velocità angolare assoluta proiettata in un sistema di riferimento solidale con il corpo; non sono in
nessun caso grandezze relative che, nell’ipotesi di corpo rigido, per definizione sarebbero necessariamente nulle.
3-12

La velocità angolare tra corpo e cassa, sia in un sistema di riferimento solidale con il corpo che in uno
solidale con la cassa, è quindi
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{ω} corpo-cassa = 0 . (3.63)
⎩ ˙Φ
⎭
Si ipotizzi ora di applicare una rotazione alla cassa, e di conseguenza al corpo ad essa vincolato, rispetto
ad un asse fisso perpendicolare al precedente, ad esempio l’asse x,
⎡
1 0 0
⎤
[R] cassa-telaio = ⎣ 0 cosΨ −sinΨ ⎦,
0 sinΨ cosΨ
(3.64)
con velocità ˙ Ψ, detta di precessione,
⎧ ⎫
⎨ ˙Ψ ⎬
{ω} cassa-telaio = 0 , (3.65)
⎩ ⎭
0
ove con telaio si intende un sistema di riferimento inerziale 8 .
La velocità angolare del corpo nel sistema di riferimento inerziale è data dalla velocità tra corpo
e cassa, {ω} corpo-cassa , proiettata nel sistema di riferimento inerziale mediante la matrice di rotazione
[R] cassa-telaio , a cui si aggiunge la velocità angolare tra cassa e telaio, {ω} cassa-telaio ,
{ω} corpo-telaio = [R] cassa-telaio {ω} cassa-telaio
� �� �
{ω} cassa-telaio
⎧
⎨ ˙Ψ
= −
⎩
˙ ΦsinΨ
˙ΦcosΨ
+[R] cassa-telaio [R] corpo-cassa {ω} corpo-cassa
� �� �
{ω} corpo-cassa
⎫
⎬
. (3.66)
⎭
Viceversa, la velocità angolare proiettata nel sistema di riferimento del corpo è data dalla (3.66) premoltiplicata
per la matrice di rotazione che porta dal sistema di riferimento inerziale al sistema di riferimento
del corpo,
{ω} corpo-telaio = [R] T
corpo-cassa [R]T
cassa-telaio {ω} corpo-telaio
= [R] T
corpo-cassa [R]T
⎧
⎨ ˙ΨcosΦ
= −
⎩
˙ ΨsinΦ
˙Φ
cassa-telaio {ω} cassa-telaio
� �� �
{ω} cassa-telaio
+[R] T
corpo-cassa {ω} corpo-cassa
� �� �
{ω} corpo-cassa
⎫
⎬
. (3.67)
⎭
La derivata della velocità angolare fornisce l’accelerazione angolare. Se quest’operazione viene applicata
alla velocità angolare nel sistema di riferimento inerziale, {ω}, si ottiene l’accelerazione angolare
nel sistema di riferimento inerziale, {˙ω}. Si supponga ora, per semplicità, che anche la velocità ˙ Ψ sia
costante. Questo corrisponde a considerare una condizione di moto a regime. Nella realtà ciò non si verificherà
se non in casi particolari; tuttavia, se l’accelerazione ¨ Ψ fosse limitata, il suo effetto sulle coppie
d’inerzia potrebbe essere considerato alla stregua di un disturbo. Dalla derivazione della (3.67) si ricava
�
˙ω �
corpo-telaio =
⎧
⎨ −
⎩
˙ Ψ˙ ΦsinΦ
− ˙ Ψ˙ ⎫
⎬
ΦcosΦ , (3.68)
⎭
0
8 Si noti che la cosiddetta ‘messa a terra’ non corrisponde esattamente ad un sistema inerziale, in quanto la Terra è soggetta
al proprio moto rotatorio, e al moto di rivoluzione attorno al Sole. Mentre quest’ultimo ha velocità angolare decisamente
bassa rispetto alle applicazioni di interesse (2π radianti/anno), la velocità di rotazione della Terra (2π radianti/giorno,
pari a circa 7.3·10 −5 radianti/s) può non essere trascurabile in applicazioni che richiedano particolare precisione, tanto da
essere considerata nei sistemi di navigazione inerziale per uso aeronautico.
3-13

avendosuppostochelavelocitàdirotazione ˙ Φsiamantenutacostantedaimotorichemettonoinrotazione
il corpo, e che ˙ Ψ sia costante per la durata dell’analisi.
Coppia giroscopica nel sistema di riferimento solidale con il corpo
Dalla (3.61), nell’ipotesi che il sistema solidale con il corpo sia anche principale d’inerzia e quindi la
matrice dei momenti d’inerzia � �
JG sia diagonale,
si ricava
� �
JG =
⎡
⎣
I1 0 0
0 I2 0
0 0 I3
⎡
[R] T {CiG} = −⎣
⎡
−⎣
⎤
⎦, (3.69)
0 −˙ Φ − ˙ ΨsinΦ
˙Φ 0 − ˙ ΨcosΦ
˙ΨsinΦ ˙ ΨcosΦ 0
I1 0 0
0 I2 0
0 0 I3
⎤⎧
⎨
⎦
⎩
− ˙ Ψ ˙ ΦsinΦ
− ˙ Ψ ˙ ΦcosΦ
0
⎤⎡
⎦⎣
I1 0 0
0 I2 0
0 0 I3
⎤⎧
⎨
⎦
⎩
˙ΨcosΦ
− ˙ ΨsinΦ
˙Φ
⎫
⎬
⎫
⎬
. (3.70)
⎭
Sviluppando i prodotti matriciali e ricordando che per corpi cilindrici a base circolare per simmetria si ha
che I1 = I2 = I (momento d’inerzia rispetto ad un qualunque asse contenuto nel piano x–y), si ottiene
[R] T ⎧ ⎫
⎨ I3sinΦ ⎬
{CiG1 } = I3cosΦ
⎩ ⎭
0
˙ Ψ˙ Φ. (3.71)
Si può avere una più immediata interpretazione fisica della coppia d’inerzia proiettandola sul sistema di
riferimento della cassa,
[R] T
cassa-telaio {CiG} = [R] corpo-cassa [R] T ⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{CiG} = I3
⎩ ⎭
0
˙ Ψ˙ Φ. (3.72)
La coppia che nasce è detta coppia giroscopica. Si noti come la coppia sia proporzionale al prodotto
delle due velocità angolari. Si noti anche che la coppia è attorno all’asse y, mentre la velocità angolare
con cui varia l’orientazione della cassa è attorno all’asse x del sistema di riferimento solidale con la cassa
stessa. Ne consegue che la coppia giroscopica agisce con 90 gradi di sfasamento rispetto al movimento di
precessione.
Applicazioni della coppia giroscopica
Questa coppia è sfruttata in numerose applicazioni, quali ad esempio alcuni strumenti di misura di
velocità o di posizione angolari, e le piattaforme inerziali.
Si noti anche come, controllando la velocità ˙ Ψ di precessione, è possibile variare l’intensità della
coppia giroscopica permettendo l’applicazione di una coppia di controllo, anche di elevata entità, perpendicolarmente
al piano ˙ Ψ– ˙ Φ. Tale principio è utilizzato nei cosiddetti giroscopi per momenti di controllo
(Control Moment Gyros, CMG), utilizzati per il controllo dell’assetto dei satelliti (figura (3.3).
Tale coppia può essere inoltre fonte di perturbazioni e sollecitazioni strutturali significative. Un
fenomeno giroscopico di esperienza comune è legato alla guida di biciclette e motocicli (figura 3.4).
Questi veicoli, in velocità, devono essere inclinati attorno all’asse di rollio per consentirne la conduzione
lungo una traiettoria circolare, per far sì che la combinazione di forza centrifuga e peso, applicata nel
baricentro, passi per la linea di contatto tra le ruote e il terreno. Il passaggio dalla posizione verticale a
quella inclinata richiede di cambiare l’orientazione dell’asse di rotazione delle ruote, che si comportano
come veri e propri giroscopi.
3-14
⎭

Figura 3.3: Un Control Moment Gyro (CMG) della ECP: a sinistra il sistema reale, a destra il modello
fisico.
Figura 3.4: Effetto della coppia giroscopica sulla forcella anteriore di una motocicletta (Prof. V.
Cossalter).
3-15

Durante il transitorio con cui il veicolo viene inclinato, nascono coppie giroscopiche che tendono a
ruotare le ruote attorno ad un asse verticale. Inoltre, durante la percorrenza di una curva di piccolo
raggio ad alta velocità, nasce una coppia giroscopica diretta come l’asse di rollio del veicolo.
Si pensi infine alla coppia associata al moto di un’elica e di un motore che tende a imbardare in
richiamata e a picchiare o cabrare in virata. Tale coppia provoca significative sollecitazioni al castello
motore. Nel caso di velivoli con un numero pari di motori, essi vengono fatti ruotare contro-rotanti a
coppie, equilibrando così tali effetti sul volo, lasciando inalterato lo stato di sollecitazione sui castelli
motore.
Esercizio 3.15 Si dimostri la (3.60). (Suggerimento: si consideri la rotazione del prodotto di due vettori
generici.)
Esercizio 3.16 Si verifichi la (3.72) utilizzando la (3.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica in un
sistema di riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema di riferimento solidale con la cassa.
Esercizio 3.17 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore di un velivolo monomotore
ad elica durante una richiamata a velocità di beccheggio costante. Come è possibile compensare
questa coppia in volo?
Esercizio 3.18 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore di un velivolo monomotore
ad elica durante una virata corretta, ad angolo di rollio (bank) costante. Come è possibile compensare
questa coppia in volo?
Esercizio 3.19 I motori a getto risentono delle coppie giroscopiche? Il loro moto ne risente? Nel caso,
quali parti del motore ne sono influenzate?
3.3.2 Misura della velocità di rotazione: il giroscopio
Nel paragrafo precedente si sono valutate le coppie d’inerzia che nascono quando viene cambiata l’orientazione
di un corpo in rotazione. Tali coppie, espresse ad esempio dalla (3.72) in un sistema di riferimento
solidale con quella che era stata chiamata cassa, che ruota con velocità angolare di precessione ˙ Ψ, e che a
sua volta contiene il corpo in rotazione con velocità angolare di spin ˙ Φ, sono proporzionali ad entrambe
le velocità angolari. Se il corpo viene mantenuto in rotazione a velocità di spin ˙ Φ costante, e quest’ultima
è nota, allora una misura della coppia consente di misurare la velocità di precessione ˙ Ψ.
Nel caso di un giroscopio applicato ad un velivolo (o ad un qualsiasi veicolo, terrestre o navale o
spaziale), la cassa è rappresentata dal velivolo stesso, a cui il giroscopio è rigidamente collegato.
Misura della deformazione di una molla
Una misura di coppia si può ottenere indirettamente consentendo alla coppia di deformare la struttura
a cui è collegata, e misurando la deformazione che ne consegue. Come si è visto, per una velocità di
precessione attorno ad un asse ortogonale a quello di spin si ottiene una coppia attorno ad un asse
ortogonale sia a quello di spin che a quello di precessione.
Si immagini quindi di consentire la rotazione del corpo rotante rispetto alla cassa anche attorno ad
un asse ortogonale sia a quello di spin che a quello di precessione, mediante l’introduzione di un supporto
mobile. Il supporto mobile porta i perni di collegamento con il corpo rotante, consentendone così la
rotazione attorno all’asse di spin. Il supporto mobile, a sua volta, è collegato alla cassa mediante perni
che ne consentono la rotazione ϑ rispetto alla cassa attorno ad un asse perpendicolare agli altri due. Tale
rotazione sarà consentita, ma contrastata da un sistema di molle che consenta di limitarla per coppie
legate alla combinazione di velocità di spin e di precessione a cui l’intero sistema può essere soggetto 9 .
Per semplicità si consideri una condizione stazionaria, in cui la rotazione attorno a questo asse,
ϑ, sia già avvenuta e si mantenga costante, come illustrato nella figura 3.5. Non ci interessa quindi
la velocità con cui tale movimento avviene, ma solo l’effetto che la sua presenza ha sulla coppia di
9 Le molle devono essere abbastanza cedevoli da consentire una rotazione misurabile a seguito delle coppie centrifughe
relative alle velocità che si intende misurare (sensibilità dello strumento), ma sufficientemente rigide da mantenere la
rotazione limitata per le coppie centrifughe relative alla massima velocità angolare che si intende misurare (fondo scala).
3-16

Figura 3.5: Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi.
natura giroscopica espressa dalla (3.72). Alla luce di quanto verrà formalizzato nel Capitolo 15.6, questo
corrisponde a supporre che la rotazione ϑ si adegui molto rapidamente alla coppia giroscopica, tanto da
far ritenere accettabile una approssimazione stazionaria del comportamento dello strumento.
L’orientazione tra corpo e cassa diventa ora
⎡ ⎤⎡
cosϑ 0 sinϑ cosΦ −sinΦ 0
[R] corpo-cassa = ⎣ 0 1 0 ⎦⎣
sinΦ cosΦ 0
−sinϑ 0 cosϑ 0 0 1
� �� �
rotazione della cassa
⎤
� �� �
rotazione di spin
⎦,
(3.73)
mentre l’orientazione della cassa rimane quella indicata dalla (3.64). Quindi la velocità angolare dello
spinner, nel sistema di riferimento solidale con il corpo, è
⎧
⎨ ˙ΨcosΦcosϑ
{ω} corpo-telaio = −
⎩
˙ ΨsinΦcosϑ
˙Ψsinϑ+ ˙ ⎫
⎬
. (3.74)
⎭
Φ
La sua derivata fornisce l’accelerazione angolare nel sistema di riferimento solidale con il corpo,
�
˙ω �
corpo-telaio =
⎧
⎨ −
⎩
˙ Φ ˙ ΨsinΦcosϑ
−˙ Φ ˙ ⎫
⎬
ΨcosΦcosϑ . (3.75)
⎭
0
La coppia d’inerzia che ne risulta è
[R] T ⎡ ⎤⎧
I1 0 0 ⎨ −
{CiG} = −⎣
0 I2 0 ⎦
⎩
0 0 I3
˙ Φ ˙ ΨsinΦcosϑ
−˙ Φ ˙ ⎫
⎬
ΨcosΦcosϑ
⎭
0
⎡ � �
0 − ˙Ψsinϑ+ Φ˙
−
⎢
−⎢
⎣
˙ ΨsinΦcosϑ
� �
˙Ψsinϑ+ Φ˙
0 − ˙ ⎤
⎡
⎥
ΨcosΦcosϑ
⎣
⎦
˙ΨsinΦcosϑ ΨcosΦcosϑ ˙ 0
I1 0 0
0 I2 0
0 0 I3
⎤⎧
⎨
⎦
⎩
˙ΨcosΦcosϑ
− ˙ ΨsinΦcosϑ
˙Ψsinϑ+ ˙ Φ
⎫
⎬
⎭
(3.76)
Sviluppando i prodotti matriciali e ponendo i momenti I1 = I2 = I per simmetria, si ottiene:
[R] T ⎧ ⎫
⎨ sinΦ ⎬�
{CiG} = cosΦ I3
⎩ ⎭
0
˙ Φ ˙ Ψ+(I3 −I) ˙ Ψ 2 �
sinϑ cosϑ. (3.77)
3-17

Se si proietta la coppia nel sistema di riferimento solidale con la cassa, usando la (3.73), si ottiene
[R] T
cassa-telaio {CiG} = [R] corpo-cassa [R] T ⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬�
{CiG} = 1 I3
⎩ ⎭
0
˙ Φ ˙ Ψ+(I3 −I) ˙ Ψ 2 �
sinϑ cosϑ. (3.78)
Confrontando la (3.78) con la (3.72) si può notare come la presenza di un angolo ϑ perturbi la coppia
giroscopica della (3.72) di un termine che è quadratico nella velocità di precessione.
Esercizio 3.20 Si verifichi la (3.78) utilizzando la (3.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica in un
sistema di riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema di riferimento solidale con la cassa.
Equazione del moto del giroscopio
Il giroscopio si ottiene aggiungendo al sistema una molla di rigidezza K, tale da dare una coppia elastica
proporzionale alla rotazione ϑ che si opponga alla coppia giroscopica. È lecito attendersi che sia presente
anche una certa dissipazione, descritta mediante un elemento viscoso di caratteristica C, utile a smorzare
leoscillazionidellarotazioneϑ. Nonèdettochelamollaelosmorzatoresianolineari; questaipotesiviene
fatta per semplicità espositiva. È evidente che una loro eventuale non-linearità complica l’equazione del
moto, e di conseguenza la taratura dello strumento. Infine, l’inerzia della parte mobile quando soggetta
ad una accelerazione angolare ¨ ϑ è prossima10 a I, l’inerzia dello spinner attorno ad un asse perpendicolare
a quello di spin.
L’equazione di equilibrio alla rotazione dello spinner attorno all’asse che consente la rotazione ϑ è
I¨ ϑ+C ˙ �
ϑ+Kϑ = I3 ˙ Φ ˙ Ψ+(I3 −I) ˙ Ψ 2 �
sinϑ cosϑ. (3.79)
Se si suppone che l’angolo ϑ rimanga limitato (�ϑ� ≪ 1), allora è lecito considerare l’approssimazione
cosϑ ∼ = 1, sinϑ ∼ = ϑ. La (3.79) diventa
I¨ ϑ+C ˙ �
ϑ+ K −(I3 −I) ˙ Ψ 2�
ϑ = I3 ˙ Φ ˙ Ψ. (3.80)
In condizioni stazionarie, e quindi per ˙ ϑ = 0, ¨ ϑ = 0, la misura è data da
ϑ =
I3 ˙ Φ ˙ Ψ
K −(I3 −I) ˙ Ψ 2.
(3.81)
La sensibilità della misura è data dalla relazione ∂ϑ/∂ ˙ Ψ,
∂ϑ
∂ ˙ Ψ =
I3 ˙ Φ
K −(I3 −I) ˙ Ψ2 �
1+ 2(I3 −I) ˙ Ψ2 K −(I3 −I) ˙ Ψ2 �
. (3.82)
Si noti come, per una velocità di rotazione ˙ Ψ della cassa sostenuta e non piccola, la misura dell’angolo
ϑ possa risultare falsata. Questo errore, intrinseco nella natura inerziale della relazione tra le coppie
centrifughe che deformano la molla, e la velocità angolare che si desidera misurare, si aggiungono agli
inevitabili altri errori di misura.
Note sulla misura delle variazioni di assetto
Lamisuradivelocitàangolarechesiricavadaungiroscopiopuòessereutilizzatapervalutarelevariazioni
di assetto di un veicolo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
L’assetto del veicolo viene ricostruito a partire dalla misura di velocità angolare in un sistema di riferimento
solidale con il veicolo (la cassa nella trattazione precedente). Quindi la ricostruzione dell’assetto
del veicolo richiede l’integrazione della misura di velocità angolare.
10 Adessaoccorreaggiungerel’inerziadellastrutturanecessariaavincolarelospinnerallacassa, quisuppostatrascurabile.
3-18

Ω
f
xG
Figura 3.6: Modello semplificato di pala di elicottero.
Questa operazione è soggetta ad errori di vario tipo, sia istantanei che nel tempo. Ad esempio,
un’errata inizializzazione del calcolo può portare ad un errore sistematico sull’assetto. Inoltre, un errore
sistematico sulla misura può portare al fenomeno cosiddetto della deriva (drift in inglese), ovvero ad un
errore sull’assetto che cresce almeno linearmente nel tempo.
Per questo motivo, di solito misure di questo tipo, ricostruite mediante integrazione numerica,
richiedono la correzione periodica della deriva mediante altre misure indipendenti, con cui compensare
gli errori. Per una trattazione più approfondita di questi problemi si rimanda il lettore a testi di
navigazione.
3.4 Esercizio: pala rigida di elicottero nel vuoto
Si consideri un modello estremamente semplificato di pala di elicottero, illustrato in Figura 3.6. Esso è
costituitodauncorpoaerodinamicoassimilabileadun’aladigrandeallungamento, collegataadunmozzo
rotante attorno all’asse � k a velocità angolare costante Ω mediante una cerniera, nota come cerniera di
flappeggio (flap hinge), perpendicolare sia all’asse di rotazione che all’asse della pala stessa. La velocità
angolare Ω è mantenuta costante in prima approssimazione da un sistema di controllo dell’alimentazione
dei motori detto FADEC (Full Authority Digital Engine Control).
La presenza di una cerniera di flappeggio è tipica dei rotori cosiddetti articolati. Esistono altri tipi
di rotori, detti hingeless, nei quali il moto di flappeggio delle pale, fondamentale per l’aeromeccanica dei
rotori, è consentito dalla deformazione elastica della zona di radice della pala stessa, o del suo supporto.
Questo consente di ridurre il numero di parti che costituiscono il mozzo e di eliminare o drasticamente
ridurre le esigenze di lubrificazione associate a cerniere convenzionali.
Di solito, la connessione con il mozzo delle pale di rotori articolati con più di due pale presenta anche
una cerniera di ritardo (lead-lag hinge), il cui asse è perpendicolare a quello della pala e a quello della
cerniera di flappeggio. Anche la funzione di quest’ultima cerniera, nei rotori hingeless, è svolta dalla
deformazione elastica della zona di radice della pala, o del suo supporto.
Infine, le pale presentano di solito un cuscinetto di passo (pitch bearing) che consente di variare il
passo, e quindi l’incidenza, della pala. In particolari tipi di rotori, detti bearingless, la rotazione che
consente la variazione di passo della pala è ottenuta mediante deformazione della zona di radice della
pala.
Per semplicità, la cernieradi ritardoeil cuscinettodi variazione passonon sono consideratinel seguito
di questo esercizio.
L’analisi della dinamica del moto di flappeggio della pala richiede la definizione di alcuni sistemi di
riferimento, illustrati in Figura 3.7.
Soluzione mediante equilibri dinamici. Il sistema di riferimento solidale con l’albero, e quindi
rotante rispetto ad un sistema solidale con l’elicottero a velocità angolare Ω, è descritto dalla matrice di
3-19
β

−β
pala
x
z
y
ψ
albero
x
z
x
y
y
z
elicottero
Figura 3.7: Sistemi di riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine dell’elicottero tratta da
http://www.midisegni.it/disegni/vari/elicottero.gif).
rotazione
⎡
[R] a→e = ⎣
cosψ −sinψ 0
sinψ cosψ 0
0 0 1
⎤
⎦, (3.83)
ove ψ = Ωt definisce la posizione azimutale della pala in funzione del tempo. La sua derivata rispetto al
tempo, ricordando la (3.24), dà11 ⎡⎧
⎫
⎨ 0 ⎬
[R] ˙
a→e = ⎣ 0
⎩ ⎭
Ω
∧
⎤ ⎡⎧
⎫
⎨ 0 ⎬
⎦[R] a→e = [R] ⎣
a→e 0
⎩ ⎭
Ω
∧
⎤
⎦. (3.84)
La posizione della cerniera, in un sistema di riferimento rotante con il mozzo, è
⎧ ⎫
⎨ f ⎬
{x} f = 0 , (3.85)
⎩ ⎭
0
ove f è il cosiddetto offset della cerniera di flappeggio. Questo parametro è molto importante nei rotori
articolati, come si vedrà nel seguito. La posizione del baricentro della pala, nel sistema di riferimento
solidale con la pala che ha origine nella cerniera di flappeggio, è
⎧ ⎫
⎨ xG ⎬
{xG} = 0 . (3.86)
⎩ ⎭
0
Il movimento di flappeggio della pala rispetto al mozzo avviene attraverso la cerniera di flappeggio.
L’angolo di cui la pala ruota è detto angolo di flappeggio, β, ed è positivo quando la pala “sale” (si
noti che, considerando la regola della mano destra, se l’asse della pala a flappeggio nullo è �i e quello
di rotazione del rotore è �k, la rotazione β così definita corrisponde ad una rotazione negativa attorno
all’asse�j).
La rotazione della pala è descritta dalla matrice
⎡
[R] f→a = ⎣
cos(−β) 0 sin(−β)
0 1 0
−sin(−β) 0 cos(−β)
⎤
⎦. (3.87)
11 Si ricordi che [ ˙ R] = [ω∧][R] = [R][ω∧], con {ω} = [R] T {ω}; nel caso in esame, {ω} = {ω} perché la rotazione avviene
attorno ad un asse fissato.
3-20

La sua derivata rispetto al tempo dà 12
˙
[R] f→a =
⎡⎧
⎨
⎣
⎩
0
− ˙ β
0
⎫
⎬
⎭ ∧
⎤ ⎡⎧
⎨
⎦[R] f→a = [R] ⎣
f→a ⎩
0
− ˙ β
0
⎫
⎬
⎭ ∧
⎤
⎦. (3.88)
La velocità angolare della pala, nel sistema di riferimento inerziale, è
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{ω} = 0
⎩ ⎭
Ω
+[R] ⎧
⎨ 0
a→e −
⎩
˙ ⎫
⎬
β . (3.89)
⎭
0
Nel sistema di riferimento solidale con l’albero questa velocità angolare diventa
[R] T
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
a→e {ω} = [R]T a→e 0
⎩ ⎭
Ω
+
⎧
⎨ 0
−
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
0
=
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
0
⎩ ⎭
Ω
+
⎧
⎨ 0
−
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
0
=
⎧
⎨ 0
−
⎩
˙ ⎫
⎬
β . (3.90)
⎭
Ω
La derivata rispetto al tempo della (3.89) dà
⎧
⎨
{˙ω} =
⎩
0
0
˙Ω
⎫
⎬
⎭ +
⎡⎧
⎨
⎣
⎩
0
0
Ω
⎫
⎬
⎭ ∧
⎤
⎦[R] a→e
da cui, siccome per ipotesi Ω è costante,
[R] T
a→e {˙ω} =
⎧
⎨
⎩
Ω ˙ β
− ¨ β
0
⎧
⎨
⎩
0
− ˙ β
0
⎫
⎬
⎧
⎨
⎭ +[R] a→e⎩
0
− ¨ β
0
⎫
⎬
⎧
⎨
⎭ = [R] a→e⎩
Ω ˙ β
− ¨ β
˙Ω
⎫
⎬
, (3.91)
⎭
⎫
⎬
. (3.92)
⎭
La scrittura delle equazioni del moto attraverso la velocità e l’accelerazione angolare nel sistema
di riferimento solidale con l’albero richiede la scrittura della matrice di inerzia in tale riferimento.
Nell’ipotesi che tale matrice, in un sistema di riferimento solidale con la pala, sia
� �
JG =
⎡
⎣
con JpG ≪ JfG < JlG
JpG 0 0
0 JfG 0
0 0 JlG
∼= JfG
⎤
⎦, (3.93)
+JpG , la sua espressione nel sistema di riferimento solidale con l’albero è
� � T
[JG] = [R] f→a
JG [R] f→a
⎡ �
2 cos (−β)JpG
= ⎣
+sin2 �
(−β)JlG 0 −cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG )
0 JfG �
0
2
−cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG ) 0 sin (−β)JpG +cos2 ⎤
⎦.
�
(3.94)
(−β)JlG
La coppia d’inerzia rispetto al baricentro, nel sistema di riferimento solidale con l’albero, è quindi
⎡⎧
⎨ 0
{CiG } = −⎣
−
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
Ω
∧
⎤ ⎧
⎨ 0
⎦[JG] −
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
Ω
−[JG]
⎧
⎨ 0
−
⎩
¨ ⎫
⎬
β
⎭
0
⎧ �
⎨ JfG
= −
⎩
+�cos2 (−β)−sin 2 (−β) � (JpG −JlG )�Ω ˙ β
−cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG )Ω2 ¨β −JfG
−2cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG )Ω ˙ ⎫
⎬
(3.95)
⎭
β
12 Si veda la nota 11.
3-21

La posizione, la velocità e l’accelerazione angolare del baricentro della pala, nel sistema di riferimento
assoluto, sono
{xG} = [R] a→e ({x} f +[R] f→a {xG})
⎧ ⎫
⎨ f +xGcos(−β) ⎬
= [R] a→e 0
⎩ ⎭
−xGsin(−β)
⎛⎡⎧
⎫
⎨ 0 ⎬
{˙xG} = [R] ⎝⎣
a→e 0
⎩ ⎭
Ω
(3.96a)
∧
⎤
⎡⎧
⎨ 0
⎦({x} f +[R] f→a {xG})+[R] ⎣
f→a −
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
0
∧
⎤ ⎞
⎦{xG} ⎠
⎧
⎨ sin(−β)xG
= [R] a→e⎩
˙ β
(f +xGcos(−β))Ω
cos(−β)xG ˙ ⎫
⎬
(3.96b)
⎭
β
⎛⎡⎧
⎫
⎨ 0 ⎬
{¨xG} = [R] ⎝⎣
a→e 0
⎩ ⎭
Ω
∧
⎤⎡⎧
⎫
⎨ 0 ⎬
⎦⎣
0
⎩ ⎭
Ω
∧
⎤
⎦({x} f +[R] f→a {xG})
⎡⎧
⎫
⎨ 0 ⎬
+2 ⎣ 0
⎩ ⎭
Ω
∧
⎤ ⎡⎧
⎨ 0
⎦[R] ⎣
f→a −
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
0
∧
⎤ ⎞
⎦{xG} ⎠
⎛⎡⎧
⎨ 0
+[R] ⎝⎣
f→a −
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
0
∧
⎤⎡⎧
⎨ 0
⎦⎣
−
⎩
˙ ⎫
⎬
β
⎭
0
∧
⎤ ⎡⎧
⎨ 0
⎦{xG}+ ⎣ −
⎩
¨ ⎫
⎬
β
⎭
0
∧
⎤ ⎞⎞
⎦{xG} ⎠⎠
⎧
⎨ −(f +xGcos(−β))Ω
= [R] a→e⎩
2 −cos(−β)xG ˙ β2 +sin(−β)xG ¨ β
2sin(−β)xGΩ ˙ β
sin(−β)xG ˙ β2 +cos(−β)xG ¨ ⎫
⎬
(3.96c)
⎭
β
Laloroproiezionenelsistemadiriferimentosolidaleconl’albero, mediantepremoltiplicazioneper[R] T
a→e ,
consiste nel rimuovere la matrice [R] a→e .
La forza d’inerzia nel sistema di riferimento solidale con l’albero è
[R] T
a→e {Fi}
�
= −m [R] T
a→e {¨xG}
⎛⎧
� ⎨ −Ω
= −m⎝
⎩
2 ⎫
(f +cos(−β)xG) ⎬
0
⎭
0
+
⎧
⎨ 0
2Ω
⎩
˙ ⎫
⎬
βsin(−β)xG
⎭
0
⎧
⎨ −
+
⎩
˙ β2cos(−β)xG 0
˙β 2 ⎫
⎬
⎭
sin(−β)xG
+
⎧
⎨ sin(−β)
⎩
¨ βxG
0
cos(−β) ¨ ⎫⎞
⎬
⎠ (3.97)
⎭
βxG
Il momento della forza d’inerzia rispetto al punto in cui è collocata la cerniera di flappeggio, nel
sistema di riferimento solidale con l’albero, è
�
([R] f→a {xG})∧ [R] T
a→e {Fi}
⎧
⎫
� ⎨
⎬
= −m
(3.98)
⎩
⎭
2sin 2 (−β)x 2 G Ω ˙ β
Ω 2 sin(−β)xG(f +cos(−β)xG)−x 2 G ¨ β
2sin(−β)cos(−β)x 2 G Ω ˙ β
Quindi il momento di tutte le forze, ovvero delle sole inerzie e delle reazioni vincolari Cp e Cl, rispetto
al punto in cui è collocata la cerniera di flappeggio, è
⎧ �
⎨ JfG
⎩
+�cos2 (−β)−sin 2 (−β) � (JpG −JlG )+2sin2 (−β)mx2 �
G Ωβ˙ −sin(−β) � cos(−β) � JpG −JlG −mx2 �
G −mxGf � Ω2 − � JfG +mx2 �
¨β
G
−2cos(−β)sin(−β) � JpG −JlG −mx2 ⎫
⎬
�
G Ωβ˙ ⎭ =
⎧ ⎫
⎨ Cp ⎬
0
⎩ ⎭
Cl
(3.99)
La coppia si annulla ∀t per β = 0, ˙ β = 0, ¨ β = 0, che quindi rappresenta una soluzione di equilibrio
statico. Se si considerano piccole oscillazioni attorno a tale soluzione, si possono approssimare sin(−β) ∼ =
3-22

−β e cos(−β) ∼ = 1. Si ottiene quindi
⎧ �
⎨ JfG
⎩
−β2�JpG −2mx2 � �
−JlG G Ωβ˙ −β(JlF −JpG +mxGf)Ω 2 ¨β −JfF
β � JpG −JlG −2mx2 ⎫
⎬
�
G Ωβ˙ ⎭ ∼ ⎧
⎨
=
⎩
ove con JlF = JlG + mx2 G e JfF = JfG + mx2 G
Cp
0
Cl
⎫
⎬
, (3.100)
⎭
si sono rispettivamente indicati i momenti d’inerzia di
ritardo e di flappeggio rispetto al punto in cui è collocata la cerniera di flappeggio.
La seconda equazione, che rappresenta l’equilibrio della pala alla rotazione attorno all’asse di flappeggio,
è analoga all’equazione di un oscillatore armonico non smorzato, la cui inerzia sia pari all’inerzia di
flappeggiodellapalaattornoall’assediflappeggio,JfF ,elacuirigidezzasiaparia(JlF −JpG +mxGf)Ω 2 .
Siccome ∼= JlF
JfF + JpG , la rigidezza è essenzialmente proporzionale a (1+mxGf/JfF )JfF Ω2 . Se la
pala avesse densità uniforme lungo l’apertura, pari a m/R, e spessore trascurabile, il baricentro sarebbe
a xG = R/2, e il momento d’inerzia rispetto alla cerniera di flappeggio sarebbe JfF = mR2 /3, quindi
la rigidezza sarebbe pari a (1+3/2f/R)JfF Ω2 . Questa espressione mette in luce l’effetto di incremento
che in prima approssimazione l’offset f della cerniera di flappeggio ha sulla rigidezza dovuta alla forza
centrifuga.
Soluzione mediante equazioni di Lagrange. Si consideri l’energia cinetica associata alla pala.
Siccome l’energia cinetica è un invariante scalare, la sua scrittura non dipende dal sistema di riferimento
in cui sono espresse le velocità e le caratteristiche inerziali del sistema, purché si usino grandezze coerenti.
Si sceglie quindi di scrivere sia la velocità del baricentro (equazione (3.96b)) che la velocità angolare
(equazione (3.90)) e le caratteristiche di inerzia baricentriche (equazione (3.94)) nel sistema di riferimento
solidale con l’albero.
L’energia cinetica della pala è
Ec = 1
2 m{˙xG} T {˙xG}+ 1
2 {ω}T [JG]{ω} (3.101)
La velocità del baricentro della pala è
⎧
⎨ sin(−β)xG
{˙xG} =
⎩
˙ β
(f +cos(−β)xG)Ω
cos(−β)xG ˙ ⎫
⎬
⎭
β
L’energia cinetica della pala diventa quindi
Ec = 1
2 m
�
x 2 G ˙ β 2 +(f +cos(−β)xG) 2 Ω 2�
+ 1
�
˙β JfG
2
2 + � sin 2 (−β)JpG +cos2 � 2
(−β)JlG Ω �
L’applicazione del formalismo di Lagrange richiede di calcolare
d
dt
∂Ec
∂β = −sin(−β)� cos(−β) � JpG −JlG −mx2 G
(3.102)
(3.103)
∂Ec
∂ ˙ β = mx2G ˙ β ˙β +JfG
�
∂Ec
∂
(3.104a)
˙ �
=
β
� mx 2 �
¨β
G +JfG
(3.104b)
�
−mxGf � Ω 2 . (3.104c)
L’equazione del moto della pala che ne risulta,
� � � � 2
mx ¨β
G +JfG −sin(−β) cos(−β) JlG −JpG +mx2 �
G +mxGf � Ω 2 = 0, (3.105)
è quindi identica alla seconda riga della (3.99).
Esercizio 3.21 Nell’ipotesi che l’angolo di flappeggio β sia piccolo, e quindi valga l’approssimazione
cos(−β) = 1, sin(−β) = −β, qual’è la frequenza della coppia scaricata sui supporti?
3-23

x0
x1
3.5 Esercizio: trottola
z2
G
Ω
x2
ϑ
z0, z1
O
ϕ
y0
y1, y2
Figura 3.8: Descrizione dell’orientazione della trottola.
Questo problema è costituito da una“trottola”, ovvero da un corpo con simmetria di rotazione che ruoti
con velocità elevata attorno al proprio asse di simmetria e sia vincolato a terra in un punto O, distinto
dal baricentro G e posto lungo l’asse di simmetria ad una distanza L, da una cerniera sferica, ovvero da
un vincolo che impedisce lo spostamento del punto senza impedire in alcun modo le rotazioni.
Quando l’asse di simmetria è inclinato rispetto alla verticale il peso esercita una coppia rispetto al
polo O; questa può essere bilanciata da una coppia giroscopica se il corpo, oltre a ruotare attorno all’asse
di spin, ruota anche rispetto ad un asse verticale con velocità angolare opportuna.
In questo esercizio si cerca di trovare una condizione di moto stazionario, in cui la velocità di spin,
l’angolo di nutazione e la velocità di precessione siano costanti. Per fare questo si scrivono le equazioni
del moto del corpo, si impongono le condizioni di stazionarietà sopra enunciate, e si verifica se è possibile
trovarne valori di angoli e velocità angolari che garantiscano il soddisfacimento delle equazioni.
Descrizione del movimento. Si consideri un corpo con simmetria di rotazione, che abbia matrice
d’inerzia rispetto al baricentro
⎡
� �
J = ⎣
Ix 0 0
0 Ix 0
0 0 Iz
⎤
⎦. (3.106)
L’orientazione del corpo, come illustrato in figura 3.8, è definita dalla sequenza di rotazioni:
• angolo di precessione, ϕ, che consiste in una rotazione attorno all’asse z del sistema di riferimento
fisso,
⎡
[Rϕ] = ⎣
cosϕ −sinϕ 0
sinϕ cosϕ 0
0 0 1
che porta dal sistema x1y1z1 al sistema fisso x0y0z0;
⎤
⎦, (3.107)
3-24

• angolo di nutazione, ϑ, corrispondente ad una rotazione attorno all’asse y del sistema di riferimento
che segue il moto di precessione,
⎡ ⎤
cosϑ 0 sinϑ
[Rϑ] = ⎣ 0 1 0 ⎦, (3.108)
−sinϑ 0 cosϑ
che porta dal sistema x2y2z2 al sistema x1y1z1;
• angolo di spin, ψ, corrispondente ad una rotazione del corpo attorno all’asse di simmetria, ovvero
all’asse z del sistema di riferimento che segue il moto di nutazione,
⎡ ⎤
cosψ −sinψ 0
[Rψ] = ⎣ sinψ cosψ 0 ⎦, (3.109)
0 0 1
che porta dal sistema solidale con il corpo al sistema x2y2z2.
La posizione del baricentro è lungo l’asse z2 del sistema definito da [Rϑ], ad una distanza L dal punto
fisso O.
Equazioni del moto mediante il formalismo di Lagrange di II o tipo. Lascritturadelleequazioni
di Lagrange di II o tipo richiede la lagrangiana, che a sua volta richiede energia cinetica e potenziale. La
loro scrittura richiede
Il sistema di riferimento più opportuno per scrivere le equazioni del moto è quello di nutazione, al
quale si arriva a partire dal sistema di riferimento globale mediante la rotazione [Rϑ] T [Rϕ] T .
La velocità angolare del corpo nel sistema di riferimento assoluto si ricava dalla relazione
� �
[ω ∧] = ˙R [R] T , (3.110)
con [R] = [Rϕ][Rϑ][Rψ], ovvero
� �
[ω ∧] = ˙Rϕ [Rϕ] T � �
+[Rϕ] ˙Rϑ [Rϑ] T [Rϕ] T � �
+[Rϕ][Rϑ] ˙Rψ [Rψ] T [Rϑ] T [Rϕ] T
con
= [ωϕ ∧]+[Rϕ][ωϑ ∧][Rϕ] T +[Rϕ][Rϑ][ωψ ∧][Rϑ] T [Rϕ] T , (3.111)
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{ωϕ} = 0
⎩ ⎭
˙ϕ
La velocità angolare corrispondente è
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{ωϑ} = ˙ϑ
⎩ ⎭
0
⎧
⎨ 0
{ωψ} = 0
⎩
Ω
⎫
⎬
. (3.112)
⎭
{ω} = {ωϕ}+[Rϕ]{ωϑ}+[Rϕ][Rϑ]{ωψ}. (3.113)
La si proietti nel sistema di riferimento di nutazione mediante la rotazione [Rϑ] T [Rϕ] T ; siccome le
rotazioni sono tutte attorno ad assi fissi, si ha [Rϕ] T {ωϕ} = {ωϕ} e [Rϑ] T {ωϑ} = {ωϑ}, per cui
[Rϑ] T [Rϕ] T {ω} = {ω} = [Rϑ] T ⎧ ⎫
⎨ − ˙ϕsinϑ ⎬
{ωϕ}+{ωϑ}+{ωψ} = ˙ϑ . (3.114)
⎩ ⎭
˙ϕcosϑ+Ω
La posizione del baricentro rispetto al polo O, nel sistema di riferimento di nutazione13 , è
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{x} ϑ = 0 . (3.115)
⎩ ⎭
L
13 La posizione del baricentro non dipende dalla rotazione [Rψ], dal momento che [Rψ]{x}ϑ = {x}ϑ.
3-25

Nel sistema di riferimento assoluto, la posizione è
{x} = [Rϕ][Rϑ]{x} ϑ . (3.116)
La velocità del baricentro, considerando il vincolo, è
{˙x} = [ωϕ ∧][Rϕ][Rϑ]{x} ϑ +[Rϕ][ωϑ ∧][Rϑ]{x} ϑ . (3.117)
La sua proiezione nel sistema di riferimento di nutazione è
[Rϑ] T [Rϕ] T {˙x} = {v} = [Rϑ] T [ωϕ ∧][Rϑ]{x} ϑ +[ωϑ ∧]{x} ϑ
=
��
[Rϑ] T � �
{ωϕ}+{ωϑ} ∧ {x} ϑ =
⎧
⎨
⎩
˙ϑL
sinϑ ˙ϕL
0
Si considerino le equazioni di Lagrange di secondo tipo; l’energia cinetica è
T = 1
2 m{v}T {v}+ 1
2 {ω}T � J � {ω}
= 1
�
mL
2
2 ϑ˙ 2 2 2 2
+mL sin ϑ ˙ϕ +Ixsin 2 ϑ ˙ϕ 2 +Ix ˙ ϑ 2 +Iz( ˙ϕcosϑ+Ω) 2�
= 1
2
⎫
⎬
. (3.118)
⎭
�
I ∗ x sin 2 ϑ ˙ϕ 2 +I ∗ x ˙ ϑ 2 +Iz( ˙ϕcosϑ+Ω) 2�
, (3.119)
con I ∗ x = Ix+mL 2 , ovvero il momento d’inerzia attorno all’asse x2 valutato rispetto al polo O. L’energia
potenziale è
V = mgzG = mgLcosϑ. (3.120)
Il problema ha 3 gradi di libertà; a partire dalla lagrangiana L = T − V, dato che non ci sono
sollecitazioni esterne, è possibile scrivere le equazioni del moto associate ad ognuno di essi:
• si consideri ψ, ricordando che si è posto Ω = ˙ ψ; si ottiene
∂L
∂ ˙ ψ = Iz( ˙ϕcosϑ+Ω)
�
d ∂L
dt ∂
(3.121a)
˙ � �
= Iz ¨ϕcosϑ− ˙ϕ
ψ
˙ ϑsinϑ+ ˙ �
Ω
(3.121b)
∂L
= 0
∂ψ
(3.121c)
da cui l’equazione del moto
�
¨ϕcosϑ− ˙ϕ ˙ ϑsinϑ+ ˙ �
Ω = 0; (3.122)
Iz
• si consideri ora ϑ; si ottiene
∂L
∂ ˙ ϑ = I∗ x ˙ ϑ
�
d ∂L
dt ∂
(3.123a)
˙ �
= I
ϑ
∗ x ¨ ϑ (3.123b)
∂L
∂ϑ = I∗ x sinϑcosϑ ˙ϕ 2 −Iz( ˙ϕcosϑ+Ω) ˙ϕsinϑ+mgLsinϑ (3.123c)
da cui l’equazione del moto
I ∗ x ¨ ϑ−(I ∗ x −Iz)sinϑcosϑ ˙ϕ 2 +IzΩ ˙ϕsinϑ−mgLsinϑ = 0; (3.124)
3-26

• si consideri infine ϕ; si ottiene
∂L
∂ ˙ϕ = I∗ x sin 2 ϑ ˙ϕ+Iz( ˙ϕcosϑ+Ω)cosϑ (3.125a)
� �
d ∂L
=
dt ∂ ˙ϕ
� I ∗ x sin 2 ϑ+Izcos 2 ϑ � ¨ϕ+Izcosϑ ˙ Ω+2(I ∗ x −Iz)cosϑsinϑ ˙ ϑ ˙ϕ−Izsinϑ ˙ ϑΩ
(3.125b)
∂L
= 0 (3.125c)
∂ϕ
da cui l’equazione del moto
� I ∗ x sin 2 ϑ+Izcos 2 ϑ � ¨ϕ+Izcosϑ ˙ Ω+2(I ∗ x −Iz)cosϑsinϑ ˙ ϑ ˙ϕ−Izsinϑ ˙ ϑΩ = 0. (3.126)
Nell’ipotesi che ϑ, ˙ϕ e Ω siano costanti, le equazioni in ψ e ϕ sono identicamente soddisfatte.
L’equazione in ϑ, viceversa, diventa
−(I ∗ x −Iz)sinϑcosϑ ˙ϕ 2 +IzΩ ˙ϕsinϑ−mgLsinϑ = 0. (3.127)
Questa equazione è soddisfatta per ϑ = 0+kπ e, per ϑ �= π/2+kπ, quando
˙ϕ = IzΩ±
�
(IzΩ) 2 −4mgL(I ∗ x −Iz)cosϑ
2(I∗ x −Iz)cosϑ
o, per I ∗ x −Iz = 0 o ϑ = π/2+kπ, quando
(3.128)
˙ϕ = mgL
. (3.129)
IzΩ
Perché queste soluzioni siano accettabili, nel caso della (3.128) occorre che I ∗ x − Iz �= 0 e che (IzΩ) 2 −
4mgL(I ∗ x −Iz)cosϑ ≥ 0, mentre nel caso della (3.129) è sufficiente che Ω �= 0.
Si noti inoltre che se I ∗ x − Iz < 0 le due radici della (3.128) hanno segno diverso, mentre nel caso
contrario hanno lo stesso segno. Di conseguenza è possibile riconoscere due tipi di precessione, una
“avanzante”e una“retrocedente”; identificano rispettivamente una condizione di funzionamento in cui la
velocità di spin e una frazione della velocità di precessione si sommano, e una in cui si sottraggono.
La figura 3.9 mostra la traiettoria del baricentro di una trottola per condizioni iniziali che corrispondono
ad un moto di precessione“retrocedente”positiva, sia nominali che a seguito di una piccola
perturbazione. Nel secondo caso, gli angoli e le velocità angolari oscillano attorno alla soluzione che si
ottiene nel primo caso.
Esercizio 3.22 Si scriva l’equazione di equilibrio della trottola attorno all’asse di nutazione mediante
gli equilibri dinamici.
Esercizio 3.23 Si scrivano le equazioni del moto della trottola mediante il Principio dei Lavori Virtuali.
(Nota: come si definisce la rotazione virtuale per cui compiono lavoro le coppie?)
Esercizio 3.24 Si calcoli la forza di reazione scaricata a terra nel punto O.
3-27

1
0.8
0.6
z
-0.4
-0.2
x
0
0.2 0.4
nominale
perturbata
0.4
0.2
0
-0.2 y
-0.4
Figura 3.9: Traiettoria del baricentro della trottola per condizioni iniziali di precessione“retrocedente”
positiva.
3-28

Capitolo 4
Cinematica e dinamica dei sistemi di
corpi rigidi
Generato il 16 gennaio 2012
4.1 I sistemi di corpi rigidi
I risultati ottenuti nel Capitolo 1 per un singolo corpo rigido possono essere estesi al caso di un sistema
di corpi rigidi ricordando dalla Meccanica Razionale che:
condizione necessaria e sufficiente perché un sistema di corpi rigidi sia in equilibrio è che sia
in equilibrio ciascuna sua parte considerata rigida.
Ovviamente, per applicare questo criterio alla condizione dinamica, occorrerà estendere il concetto di
equilibrio statico al caso dinamico, ossia inserire nelle equazioni anche le forze e coppie di inerzia agenti
sui vari corpi componenti il sistema. Dalla condizione sopra citata discende che per un sistema composto
da n corpi rigidi possono scriversi n sistemi di equazioni vettoriali del tipo (1.11):
�
�Fj + � Fi,j = 0
�MO,j + � Ci,j +(Gj −O)∧ � Fi,j = 0
che, opportunamente proiettate, daranno luogo, per un sistema piano, a 3×n equazioni scalari indipendenti.
Nel sistema di equazioni (4.1) il vettore risultante delle forze agenti sul generico corpo j-esimo,
�Fj, comprende:
• le forze esterne agenti sul solo corpo j;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j a terra;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j agli altri corpi del
sistema.
Queste equazioni consentono di calcolare 3×n incognite che, in genere, saranno in larga parte costituite
dalle reazioni vincolari, e che inoltre comprenderanno:
• un numero di parametri cinematici incogniti (componenti di accelerazione periferica o angolare dei
corpi) pari al numero di gradi di libertà del sistema, nel caso in cui si voglia risolvere un problema
di dinamica diretta;
• un numero di componenti di forza o coppia incognite pari al numero di gradi di libertà del sistema,
nel caso in cui si voglia risolvere un problema di dinamica inversa.
4-1
(4.1)

Naturalmente, in base a quanto affermato sopra, una coppia di equazioni di equilibrio dinamico aventi
la forma (4.1) può essere scritta per qualsiasi parte del sistema, non necessariamente formata dal singolo
j-esimo corpo rigido, ma ad esempio da più corpi uniti fra loro da vincoli. In questo caso, le tre equazioni
scalari di equilibrio dinamico che si possono scrivere conterranno:
• le forze esterne agenti su tutti i corpi facenti parte di quella porzione del sistema per cui si scrive
la condizione di equilibrio dinamico;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano a terra la parte di sistema
considerata;
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano la porzione considerata al
resto del sistema; non compariranno però le forze scambiate tra i corpi appartenenti alla parte di
sistema considerata, in quanto forze interne 1 .
In ogni caso, è facile verificare che qualunque nuova equazione si scriva in aggiunta al sistema (4.1)
è combinazione lineare delle equazioni già contenute in quel sistema. In altre parole, l’equilibrio di un
sistema di n corpi consente di scrivere solamente 3×n equazioni scalari linearmente indipendenti. Fermo
restando questo numero massimo di equazioni, di volta in volta potrà essere più opportuno e semplice,
per il tipo di sistema considerato, scegliere di imporre l’equilibrio parziale di un solo corpo, di una parte
di sistema formata da più corpi o addirittura dell’intero sistema, tenendo conto delle avvertenze sopra
riportate su quali forze includere in tali equazioni.
4.2 Dipendenza dell’equilibrio dalla configurazione
Lascritturadelleequazionidiequilibriodipendedallaconoscenzadellaconfigurazionedelsistema, ovvero
delle posizioni relative tra le parti che lo compongono, e dalla capacità di descriverne le variazioni in
funzione delle variabili indipendenti che lo caratterizzano, per due ordini di motivi:
• la scrittura delle equazioni di equilibrio richiede la conoscenza della posizione dei punti di applicazione
delle forze che agiscono sui corpi, dell’orientazione dei corpi sui quali agiscono le coppie, e
della posizione dei poli rispetto ai quali si scrivono le equazioni di equilibrio dei momenti
• le forze e le coppie agenti sui corpi che costituiscono il sistema possono dipendere a vario titolo
dalla configurazione e dalle sue derivate.
La descrizione della cinematica del sistema in funzione delle variabili indipendenti prescelte si ottiene
mediante la scrittura delle equazioni cinematiche che esprimono i vincoli tra le varie parti del sistema,
come illustrato nel Capitolo 1.2.2. La derivazione delle equazioni di vincolo, a sua volta, consente di
esprimere le derivate delle variabili cinematiche che descrivono la configurazione del sistema in funzione
delle derivate delle variabili indipendenti. Tali derivate sono essenziali per la scrittura delle forze da loro
dipendenti.
4.2.1 Cinematica
I sistemi di corpi tra i quali è consentito movimento relativo si chiamano catene cinematiche. La descrizione
delle catene cinematiche, siano esse aperte o chiuse, avviene rappresentando ogni corpo come
un insieme di vettori che collegano i punti nei quali i corpi sono vincolati l’uno all’altro. Dal momento
che i vettori sono entità matematiche che descrivono entità fisiche, con essi si possono scrivere e risolvere
equazioni. In figura 4.1 è illustrato il passaggio da un problema fisico, un pistone in movimento all’interno
di un motore alternativo, al corrispondente modello matematico, ovvero un insieme di vettori che
descrivono i punti in cui sono applicati i vincoli tra i diversi corpi costituenti il sistema.
1 Ricordando difatti il principio di azione e reazione, a ciascuna forza se ne accompagnerà una uguale e contraria, con
uguale retta di applicazione, di modo che il contributo di queste due forze sarà complessivamente nullo, sia per quanto
riguarda il vettore risultante � F che per il momento � M0 rispetto al polo O considerato.
4-2

Equazione di chiusura
Figura 4.1: Motore alternativo.
L’equazione vettoriale di chiusura di un percorso ad anello nello spazio consiste nella somma vettoriale di
tutti i vettori che costituiscono un percorso ad anello della catena cinematica, che quindi risulta nulla. È
conveniente utilizzare questo metodo per la scrittura delle equazioni di vincolo per le catene cinematiche
chiuse, in quanto si sfrutta il fatto che un percorso chiuso, durante l’operatività della macchina, si
mantiene tale. Se ne ricavano 3 equazioni scalari di vincolo nello spazio; 2 nel piano.
Attraverso la scrittura di opportune equazioni di vincolo, tutti i parametri di configurazione di un
meccanismo possono essere descritti in funzione delle variabili indipendenti del problema. Non tutte
le equazioni di chiusura che si possono scrivere sono linearmente indipendenti; ad esempio, se lo stesso
anello chiuso viene sommato una volta in un verso e un’altra volta nel verso opposto si ottiene due volte
la stessa equazione. Occorre quindi aver cura di descrivere, con ogni equazione di chiusura, un diverso
percorso.
Si consideri ad esempio il sistema in figura 4.2, la gamba di un carrello principale di un velivolo da
combattimento. Esso costituisce un chiaro esempio di catena cinematica chiusa. I 3 corpi costituenti
sono la parte fissa e la parte basculante della gamba, e l’ammortizzatore 2 . I corpi siano descritti mediante
vettori che congiungono i punti di vincolo, ossia, nel caso in esame, i punti in cui sono collocate le cerniere
che consentono la rotazione relativa tra le parti:
• la parte fissa della gamba è rappresentata dal vettore (A−C), di lunghezza e orientazione costanti;
• la parte basculante della gamba è rappresentata dal vettore (B −A), di lunghezza costante e
orientazione variabile;
• l’ammortizzatore è rappresentato dal vettore (C −B), di lunghezza e orientazione variabili.
2 In realtà l’ammortizzatore è costituito da due corpi tra i quali è consentita solamente la traslazione lungo l’asse, ed
eventualmente la rotazione attorno allo stesso asse. Nel caso in esame, tuttavia, è sufficiente ed opportuno considerare un
solo corpo, la cui lunghezza possa variare.
4-3

Figura 4.2: Carrello di atterraggio (carrello principale di un F18).
La configurazione dipende quindi dalle tre grandezze cinematiche variabili appena menzionate. L’equazione
di chiusura è
(A−C)+(B −A)+(C −B) =�0 (4.2)
In un problema piano, l’equazione vettoriale (4.2) rappresenta 2 equazioni scalari, che possono essere
interpretate come le proiezioni dell’equazione (4.2) sugli assi che definiscono il sistema di riferimento
considerato.
Formalismo dei numeri complessi
Quando si considerano problemi piani, è spesso vantaggioso utilizzare il formalismo dei numeri complessi,
ovvero l’analogia tra il piano cartesiano ed il piano complesso (o piano di Gauss), per cui la proiezione su
due assi coordinati ortogonali viene ricondotta alla decomposizione dei numeri complessi in parte reale
ed immaginaria.
Un generico vettore �v nel piano ha due componenti,
� �
vx
�v =
(4.3)
vy
Quindi, nel piano complesso, può essere rappresentato come
�v = vx +ivy. (4.4)
L’uso dei numeri complessi in notazione esponenziale rende particolarmente vantaggioso questo metodo
qualora si voglia esprimere i vettori in termini di modulo e anomalia, ove l’anomalia, per tutti i vettori,
deve essere valutata a partire da un comune riferimento, ovvero una direzione parallela all’asse reale, con
verso positivo dell’anomalia in senso antiorario. Quindi un vettore
� �
cosθ
�v = |v|
(4.5)
sinθ
viene rappresentato nel piano complesso come
�v = |v|e iθ , (4.6)
in quanto e iθ = cosθ +isinθ.
Nell’esempio in questione siano
4-4

• a e α il modulo e l’anomalia del vettore (B −A), con a costante in quanto (B −A) è rigido;
• b e β il modulo e l’anomalia del vettore (C −B), entrambi variabili;
• c e γ il modulo e l’anomalia del vettore (A−C), entrambi costanti, in quanto (A−C) è il telaio.
L’equazione di chiusura (4.2) diventa
ae iα +be iβ +ce iγ = 0 (4.7)
Questa equazione in variabili complesse corrisponde a due equazioni in variabili reali,
acosα+bcosβ +ccosγ = 0 (4.8a)
asinα+bsinβ +csinγ = 0 (4.8b)
I parametri cinematici incogniti sono 3; di conseguenza, attraverso l’equazione di chiusura, si ottengono
le due relazioni che consentono di descrivere il movimento dell’intera catena cinematica in funzione di un
solo parametro, che rappresenta la coordinata libera del sistema.
Esistono tre combinazioni di parametri da esplicitare in funzione della coordinata libera:
1. due angoli; si ottiene un problema non-lineare trascendente, di cui tuttavia la soluzione, se esiste,
è ottenibile in forma chiusa
2. un angolo ed una lunghezza; si ottiene di nuovo un problema non-lineare trascendente, la cui
soluzione, se esiste, è di nuovo esplicitabile in forma chiusa
3. due lunghezze; si ottiene un problema lineare.
Esercizio 4.1 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (4.7), in cui α, b e c sono costanti,
e si esprimano β e γ in funzione di a.
Esercizio 4.2 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (4.7), in cui α, b e c sono costanti,
e si esprimano β e a in funzione di γ.
Esercizio 4.3 Si consideri un’equazione di chiusura nella forma della (4.7), in cui α, β e c sono costanti,
e si esprimano a e b in funzione di γ.
Un vantaggio che si ha con l’uso di questa notazione consiste nella possibilità di derivare l’equazione
di chiusura con una notevole facilità, eseguendo una sola operazione di derivazione, per poi separare il
risultato in parte reale ed immaginaria ad ottenere le due equazioni scalari derivate di vincolo.
Nel seguito verrà illustrata un’applicazione di questo formalismo alla descrizione del movimento di
un pistone in un motore a combustione interna.
4.2.2 Forze dipendenti dalla configurazione
Nei sistemi meccanici possiamo riconoscere tre classi di forze legate alla geometria, ovvero:
• forze dipendenti dagli spostamenti del sistema;
• forze dipendenti dalle velocità del sistema;
• forze dipendenti dalle accelerazioni del sistema; queste ultime comprendono le forze d’inerzia, e
tipicamente si limitano ad esse.
4-5

Figura 4.3: Curva caratteristica di una molla.
Forze dipendenti dagli spostamenti del sistema
Possonoessereprodotteoda una deformazionedi un elementodel sistema(come nel caso dell’elongazione
di una molla o della torsione di un albero) oppure per effetto del movimento in un campo di forze
(gravitazionale, elettrostatico, elettromagnetico). Sperimentalmente si verifica che la forza f necessaria
ad imporre uno spostamento relativo ξ tra due corpi rigidi dipende da ξ stesso. In figura 4.3, i cerchi
bianchi rappresentano i valori sperimentali. Anche se il legame fra f (ξ) e ξ è non lineare, in molti casi di
interesse applicativo se ne può utilizzare un’approssimazione lineare. Essa è ottenuta nel modo seguente:
• indichiamo con f (ξ ∗ ) la forza agente fra i due corpi in condizioni di equilibrio statico per un’elongazione
ξ ∗ ;
• incrementando la forza di una quantità ∆f, i corpi si allontaneranno di una quantità ∆ξ. La nuova
forza agente f (ξ∗ )+∆f può anche essere calcolata usando l’espansione in serie di Taylor attorno
alla posizione di equilibrio statico ovvero
f (ξ ∗ )+∆f = f (ξ ∗ +∆ξ) = f (ξ ∗ )+ df
�
dξ�
ξ∗ �
�
∆ξ + 1
2!
d2f dξ2 �
�
�
� ξ ∗
∆ξ 2 +... (4.9)
Per piccoli valori di elongazione, le derivate di ordine superiore al primo possono essere trascurate,
per cui
f (ξ ∗ )+∆f ∼ = f (ξ ∗ )+ df
�
�
� ∆ξ (4.10)
dξ
ovvero
∆f ∼ = df
�
�
�
dξ
ove k è pari a:
k = df
�
�
�
dξ
� ξ ∗
� ξ ∗
� ξ ∗
∆ξ = k∆ξ (4.11)
(4.12)
e rappresenta il coefficiente angolare della tangente locale alla curva sperimentale che lega le forze
f alle elongazioni ξ, ovvero la forza applicata che, in condizioni statiche, induce un’elongazione
unitaria.
4-6

Rigidezza equivalente di elementi elastici continui. In molti casi, il valore approssimato della
rigidezza k di elementi elastici può essere stimato utilizzando le formule fornite dalla Scienza delle
Costruzioni 3 .
Ad esempio la rigidezza torsionale di un albero può essere calcolata ricordando che in condizioni di
equilibrio statico, ovvero trascurando l’inerzia dell’albero stesso supposto omogeneo, l’angolo di rotazione
Ψstat di una sezione generica di coordinata z rispetto alla sezione z = 0 è proporzionale a z stesso e vale
Ψstat
z
= q Mt
GJp
ove G èilmodulodielasticitàtangenzialedelmaterialedicuiècomposto
l’albero;
(4.13)
Jp è il momento polare d’inerzia della sezione;
Mt è il momento torcente equivalente alla distribuzione degli sforzi
sulla sezione normale;
q è il fattore di torsione.
Nel caso particolare di torsione circolare, in cui le sezioni si mantengono piane, q è uguale a 1. Ne
deriva che il momento torcente Mt che induce una rotazione Ψstat unitaria in una sezione di estremità
rispetto all’altra in un albero omogeneo a sezione circolare lungo l, ovvero la rigidezza torsionale kt
dell’albero stesso, è pari a:
kt = GJp
l
(4.14)
Con analoghi approcci, sempre utilizzando quanto imparato nel corso di Scienza delle Costruzioni, è
possibile valutare, sempre nelle ipotesi di Saint Venant, la rigidezza in alcuni punti significativi di travi
omogenee variamente vincolate agli estremi, come illustrato in Tabella 4.1, ove
A è l’area della sezione trasversale;
E è il modulo di elasticità normale del materiale (o di Young) di cui
è composto l’albero;
J è il momento d’inerzia della sezione trasversale;
l lunghezza di libera inflessione della trave (l = a+b).
Rigidezza equivalente dovuta a campi di forze dipendenti dalla posizione. Per quanto riguarda
il caso di campi di forze, supponiamo di studiare che cosa succede a un galleggiante cilindrico come
quello illustrato in figura 4.4, opportunamente zavorrato, che si muova solo in direzione verticale. Trascurando
ogni moto del liquido che possa interferire col sistema, il cilindro si dispone, in condizioni statiche,
con la sua faccia superiore a una quota h dal pelo libero in modo che il suo peso sia equilibrato dalla
spinta di Archimede. Se il cilindro è spostato verticalmente di una quantità x, la forza di galleggiamento
varia di una quantità pari al peso del volume di fluido spostato, ovvero
∆f = ρgAx = kx (4.20)
dove ρ è la densità del liquido, g l’accelerazione di gravità e A l’area di base del cilindro. La variazione di
forza è opposta allo spostamento x, e tendente a riportare il cilindro nella posizione di equilibrio statico.
Esercizio 4.4 Illustrare altri esempi di forze dipendenti dalla posizione.
Forze dipendenti dalla velocità del sistema
Tra le forze dipendenti dalla velocità, di interesse rilevante in meccanica sono quelle che introducono
dissipazione, in quanto si oppongono al verso del moto e quindi compiono sempre lavoro negativo.
3 Queste note sono state scritte quando il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali era preceduto, nell’ordinamento
degli studi D.M. 509, dal corso di Scienza delle Costruzioni. Nell’ordinamento corrente, D.M. 270, i due corsi sono in
parallelo, per cui gli studenti avranno le nozioni necessarie per valutare le rigidezze equivalenti solo al termine del semestre.
Queste note vanno quindi considerate a titolo di esempio, ed eventualmente meditate durante la preparazione dell’esame
anche alla luce di quanto appreso nel frattempo dallo studio della Scienza delle Costruzioni.
4-7

Tabella 4.1: Rigidezze equivalenti di travi variamente vincolate.
condizioni di carico e di
vincolo
trave sollecitata a carico assiale
(libera-libera)
trave sollecitata a flessione
(appoggio-appoggio)
trave sollecitata a flessione
(incastro-libera)
trave sollecitata a flessione
(incastro-appoggio)
trave sollecitata a flessione
(incastro-incastro)
4-8
rigidezza equivalente lungo
la direzione del carico
nel punto di applicazione
dello stesso
k = EA
l
k = 3EJl
a 2 b 2
k = 3EJ
l 3
k = 768EJ
7l 3
k = 192EJ
l 3
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)

Figura 4.4: Galleggiante
Si differenziano tra loro per la natura del fenomeno da cui hanno origine e per la dipendenza che
mostrano dal modulo della velocità.
Nel caso di strisciamento tra corpi a contatto, si ha il fenomeno dell’attrito dinamico, indicato in
figura 4.5 con il nome di attrito secco, che verrà ulteriormente discusso nel Capitolo 8. L’entità della
forza di attrito non dipende sostanzialmente dalla velocità relativa, salvo che in prossimità dell’arresto o
del primo distacco.
Qualora il contatto avvenga tra un corpo e un fluido, dalla Fluidodinamica è noto che le particelle
di fluido immediatamente a contatto con le superfici del corpo sono ferme 4 rispetto al corpo, mentre in
generale le particelle del fluido sono in moto relativo fra loro. Mediante considerazioni sviluppate nei
Capitoli 11 e 12, si ricava una proporzionalità diretta tra forza e velocità del fluido nel caso di flusso
laminare, che diventa quadratica in caso di flusso turbolento.
Il rapporto tra la pressione dinamica e gli sforzi di attrito va sotto il nome di numero di Reynolds 5 ,
indicato con Re, e, in base alla esperienza di Sir Osborne Reynolds, rappresenta un indicatore del tipo
di regime più probabile del moto del fluido:
• se il numero di Reynolds è relativamente basso (Re < 1100), in quanto il moto relativo tra le
particelle di fluido è relativamente lento, oppure se la viscosità del fluido è relativamente alta, il
moto di quest’ultimo è generalmente laminare; la forza d’attrito che nasce, detta di smorzamento
viscoso, può ritenersi direttamente proporzionale alla velocità relativa.
• se invece il numero di Reynolds è sufficientemente alto (Re > 3500) il moto del fluido si manifesta
in forma turbolenta, e la forza di attrito risulta essere a grandi linee proporzionale al quadrato della
velocità relativa tra corpo e fluido.
4 In realtà, per uno strato di spessore confrontabile con il libero cammino medio delle molecole di fluido a partire dalla
parete, le particelle hanno una velocità dell’ordine di quella di agitazione molecolare.
5 Il numero di Reynolds è definito come il rapporto tra la pressione dinamica e gli sforzi viscosi caratteristici del fenomeno
fluidodinamico in esame; ad esempio, nel caso di movimento relativo di scorrimento tra superfici piane di corpi tra cui sia
inserito un sottile strato di fluido, ove si assuma una variazione lineare di velocità in direzione trasversale al moto, si ha
Re =
1
2 ρv2
µ v
,
D
dove v sia la velocità relativa tra i corpi e D la loro distanza. A meno della costante 1/2, si ottiene l’espressione consueta
Re = ρvD
µ .
4-9

Figura 4.5: Andamento sperimentale ( o ) e approssimato delle forze di attrito secco, viscoso e con legge
quadratica in funzione della velocità relativa.
• per valori intermedi del numero di Reynolds il tipo di moto può essere sia laminare che turbolento,
e la transizione da una forma all’altra può avvenire in conseguenza di piccole perturbazioni sia del
moto, sia dei parametri che lo caratterizzano.
Gli aspetti rilevanti dell’interazione tra corpi e fluidi verranno discussi in seguito nel Capitolo 12.
Nella figura 4.5 sono rappresentati gli andamenti sperimentali tipici per i tre casi di forze dipendenti
dalla velocità citati in questo paragrafo e le loro approssimazioni.
Forze d’inerzia
Tra le forze dipendenti dal movimento del sistema hanno un ruolo particolarmente importante le forze
d’inerzia. La loro scrittura non differisce da quanto osservato per il caso del singolo corpo rigido, in
quanto ogni corpo è soggetto alle sole forze e coppie d’inerzia risultanti dalla propria inerzia e dalla
propria cinematica; nel caso piano, le (1.25a, 1.25b) si applicano direttamente al corpo j-esimo nella
forma:
�Fij = −mj ¨ �xGj
CGij = −JGi˙ωj
(4.21)
(4.22)
Per la scrittura delle forze d’inerzia è quindi fondamentale la capacità di descrivere la configurazione, le
velocitàeleaccelerazionilineariedangolaridiognicorpoinfunzionedellecoordinateliberedelproblema.
A tal fine, nel caso di catene cinematiche, è fondamentale la scrittura e la soluzione dell’equazione di
chiusura e delle sue derivate fino al secondo ordine.
4.3 Esempio: il manovellismo ordinario centrato
Si tratta di un meccanismo a catena chiusa, utilizzato per convertire il moto rotatorio in moto traslatorio
rettilineo alternato (e viceversa). È uno dei meccanismi più utilizzati, e trova impiego, ad esempio,
nei motori a combustione interna (figura di riferimento) nelle presse, nelle pompe e nei compressori
alternativi.
4-10

Figura 4.6: Il manovellismo ordinario centrato.
Figura 4.7: L’equazione di chiusura per l’analisi cinematica; il punto
B ′ indica lo schema di montaggio corrispondente alla radice negativa
nell’equazione (4.28), che corrisponde ad un cambio di osservatore.
4.3.1 Analisi cinematica
Un motore monocilindrico è costituito da un albero motore che porta una manovella di lunghezza a, un
corsoioopistonechescorrenelcilindro, edunabielladilunghezzabchecollegal’estremitàdellamanovella
al corsoio. Lo schema cinematico mostrato in figura 4.6 comprende la manovella (O −A), in grado di
compiere una rotazione completa, e la biella (A−B), alla cui estremità B è collegato il corsoio. Si
assuma che (A−B) sia maggiore di (O −A), affinché l’elemento (O −A) possa effettivamente compiere
un giro completo.
La scrittura dell’equazione di chiusura, come illustrato in figura 4.3.1, porta a scrivere
(A−O)+(B −A) = (B −O) (4.23)
che in forma complessa diventa:
ae iα +be iβ = ce i0 = c (4.24)
Derivando rispetto al tempo la (4.24) si ottiene il legame tra la velocità del corsoio, ˙c, e quella degli altri
membri del cinematismo:
i˙αae iα +i ˙ βbe iβ = ˙c (4.25)
La successiva derivazione rispetto al tempo fornisce l’espressione dell’accelerazione ¨c del punto B:
i¨αae iα − ˙α 2 ae iα +i ¨ βbe iβ − ˙ β 2 be iβ = ¨c (4.26)
La precedente equazione di chiusura (4.23) può essere riscritta separando parte reale ed immaginaria,
cosa che corrisponde a scrivere le componenti orizzontale e verticale dell’equazione vettoriale:
�
acosα+bcosβ = c
(4.27)
asinα+bsinβ = 0
incuilasecondaequazionecostituiscelacondizionedivincolodelpuntoB, ossial’appartenenzaall’assex.
Le equazioni sopra descritte costituiscono un sistema di equazioni non lineare; gli angoli α e β compaiono
4-11

infatti come argomenti di funzioni trigonometriche. In questo primo esempio la posizione del corsoio B
e l’inclinazione della biella in funzione dell’angolo di di cui ruota la manovella divengono6 :
⎧ �
� �
�
⎪⎨ c = acosα+b � a
1−
b
⎪⎩
sinα
�2 β = sin −1
�
− a
b sinα
�
(4.28)
PerottenerevelocitàedaccelerazionedelpuntoB possiamorispettivamenteproiettareleequazioni(4.25)
e (4.26) sull’asse reale e su quello immaginario, che corrisponde a derivare il sistema di equazioni (4.27):
�
−˙αasinα− βbsinβ ˙ = ˙c
˙αacosα+ ˙ (4.29)
βbcosβ = 0
che ammette la soluzione:
⎧
⎪⎨ ˙c = −a˙α(sinα−cosαtanβ)
� �
⎪⎩
˙β
acosα
= −˙α
bcosβ
(4.30)
Il sistema (4.29) può essere scritto in modo particolarmente significativo in forma matriciale, in quanto
è necessariamente lineare nelle derivate delle variabili cinematiche:
� �� � � �
1 bsinβ ˙c −sinα
0 −bcosβ ˙β
= a˙α (4.31)
cosα
Perché sia risolubile in ogni configurazione, il determinante
�� ��
1 bsinβ
det = −bcosβ (4.32)
0 −bcosβ
non deve mai annullarsi. Questa condizione è sempre verificata se b > a, perché in tal caso l’angolo β
è limitato a valori −π/2 < β < π/2. Altre scelte di variabile cinematica indipendente diversa da α non
verificano la condizione; ad esempio, se si sceglie c, il sistema (4.29) diventa
� �� � � �
−asinα −bsinβ ˙α 1
acosα bcosβ ˙β
= ˙c (4.33)
0
il cui determinante
�� ��
−asinα −bsinβ
det
= absin(β −α) (4.34)
acosα bcosβ
si annulla per α = β e per α = β+π, ovvero ai punti morti inferiore e superiore, nei quali ˙c è nulla ma la
velocità angolare di biella e manovella può assumere qualsiasi valore, purché nella proporzione espressa
dalla seconda delle (4.30). In tali condizioni, il sistema è indeterminato.
La successiva derivazione porta a definire le accelerazioni:
�
2 −¨αasinα− ˙α acosα− βbsinβ ¨ −β˙ 2bcosβ = ¨c
¨αacosα− ˙α 2asinα+ ¨ βbcosβ − ˙ β2 (4.35)
bsinβ = 0
Si noti che se si esprimono le (4.35) in forma matriciale
� � � �
1 bsinβ −sinα
= a¨α+
0 −bcosβ cosα
�� ¨c
¨β
� ˙α 2 acosα+ ˙ β 2 bcosβ
˙α 2 asinα+ ˙ β 2 bsinβ
�
(4.36)
si ottiene un’espressione caratterizzata dalla stessa matrice utilizzata per la derivata prima dell’equazione
di chiusura, la (4.31).
6Si noti che nella prima delle (4.28) il radicando è sempre positivo perché si è ipotizzato b > a affinché la manovella
possa compiere un giro completo. Inoltre, si è scelta la radice positiva di c come regola di montaggio del meccanismo, come
illustrato in figura 4.3.1; la scelta della radice negativa come regola di montaggio avrebbe mostrato il corsoio diretto dalla
parte opposta, corrispondente ad un cambio di osservatore. È importante sottolineare che, dal punto di vista matematico,
le due regole di montaggio sono assolutamente equivalenti; è necessario operare una scelta all’atto del montaggio, in quanto
non è possibile passare dall’una all’altra posizione durante il regolare funzionamento della macchina.
4-12

Figura 4.8: La sequenza del ciclo termodinamico di un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla fase
di aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico.
4.3.2 Forza dipendente dalla posizione: pressione nella camera
All’interno della camera di dimensioni variabili delimitata lateralmente dal cilindro, inferiormente dal
cielo del pistone e superiormente dalla camera di combustione, si ha un andamento variabile della
pressione p, determinato dall’alternarsi delle quattro fasi di funzionamento del motore: aspirazione
(0 ≤ α ≤ π), compressione (π ≤ α ≤ 2π), espansione (2π ≤ α ≤ 3π) e scarico (3π ≤ α ≤ 4π) dei
gas combusti.
L’andamento della pressione pg all’interno della camera di dimensioni variabili è normalmente rappresentato
sotto forma di un diagramma avente per ascisse il volume geometrico effettivo veff = veff (α)
della camera
veff (α) = v2 +(a+b−c(α))π D2
4
(4.37)
ove D è il diametro del cilindro, detto anche alesaggio, e v2 è il volume nocivo, ovvero il volume della
camera quando il corsoio, o pistone, si trova al massimo della sua corsa, posizione detta anche punto
morto superiore. Dal momento che il manovellismo in esame è centrato, ovvero l’asse del corsoio passa
per l’asse di rotazione del motore, questa condizione si ha per α = 0, quando a, b e c sono allineati e
quindi a+b = c.
La pressione pg = pg(α) risulta così funzione implicita della rotazione della manovella α secondo il
ciclo ideale di figura 4.9 nell’ipotesi di compressione ed espansione adiabatica.
Con riferimento alla figura 4.9, la fase 5-1 rappresenta l’aspirazione, la 1-2 la compressione adiabatica,
la 2-3 lo scoppio, che si suppone avvenga a volume costante con la produzione del calore Q1, ove
Q1 = cv(T3 −T2) (4.38)
avendo chiamato cv il calore specifico a volume costante della miscela
La fase 3-4 è quella di espansione adiabatica durante la quale viene prodotto lavoro meccanico, ed
infine la 4-1 e la 1-5 costituiscono la fase di scarico dei gas combusti, con la cessione nella parte iniziale
4-1 del calore Q2 a una sorgente più fredda, come richiede il II o Principio della Termodinamica.
Sul cielo del pistone agisce pertanto la forza Fg(α), che rappresenta la risultante delle pressioni agenti
sullo stantuffo, pari a:
Fg(α) = π D2
4 (pg(α)−patm) = π D2
4 p∗ g(α) (4.39)
4-13

Figura 4.9: Ciclo ideale termodinamico per unità di volume d’aria aspirata.
dove p ∗ g(α) è la pressione relativa, in quanto non dobbiamo dimenticare che la faccia interna del cielo del
corsoio è sottoposta all’azione della pressione atmosferica patm.
4.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti
Nell’esempiocorrentesisupporràpoichesull’alberomotore, ossiasullamanovella, agiscaunmomentoMr
di valore incognito, opposto alla velocità angolare dell’albero. Tale momento rappresenta la sollecitazione
interna all’albero motore dovuta ad un utilizzatore che sfrutti la potenza erogata dal motore stesso.
Per quanto riguarda le inerzie del sistema, si supporrà che sull’albero motore sia calettato un volano
con momento di inerzia Jm, e che il corsoio abbia massa mB. Le inerzie della biella possono essere
considerate, in via approssimata, attraverso due masse puntiformi, m1 e m2 poste nel centro della testa
e del piede della biella stessa:
• la massa m1, idealmente posta al centro foro all’estremità, detta testa di biella, in cui la biella si
connette alla manovella, si muove solidalmente con la manovella, per cui fornisce un contributo di
inerzia in aggiunta al momento di inerzia Jm di quest’ultima:
Jt = Jm +m1a 2
(4.40)
• la massa m2, idealmente posta al centro del foro all’estremità opposta, detta piede di biella, si
muove insieme al pistone, e quindi va sommata alla massa mB del pistone propriamente detto:
mc = mB +m2
(4.41)
Si ricorda che la riduzione delle inerzie della biella a due masse puntiformi consente di riprodurre la
massa complessiva della biella e la posizione del baricentro di questa, ma introduce una approssimazione
per quanto riguarda il momento di inerzia baricentrico della biella, che viene ad assumere il valore
JGBapprox = m1l 2 1 +m2l 2 2
anziché quello effettivo.
Con riferimento alla figura 4.10, le masse m1 e m2 si ricavano dal sistema di equazioni
�
1 1
�� �
m1
�
l1 −l2
m2
=
� mbiella
0
4-14
(4.42)
(4.43)

Figura 4.10: Approssimazione della biella a masse concentrate.
Figura 4.11: Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella.
Si fa inoltre l’ipotesi che il baricentro dell’insieme formato dalla manovella e dalla frazione m1 della
massa della biellain movimento con essa sia coincidentecon il punto O, ossia con l’assedi rotazione, come
avvienenellarealtà, grazieadunopportunocontrappeso. Inquestomodoilrisultantedelleforzed’inerzia
agenti sulla manovella è nullo in quanto è nulla l’accelerazione del baricentro. Si veda, a proposito, la
figura 4.11, che illustra l’albero a gomiti, ovvero l’insieme delle manovelle, per un motore stellare di
impiego aeronautico.
4.3.4 Diagramma di corpo libero ed equilibrio dinamico
Come evidenziato in precedenza, il sistema presenta un solo grado di libertà. Facendo corrispondere una
reazione vincolare a ciascun grado di vincolo, ed una azione attiva libera al grado di libertà residuo, nelle
equazioni di equilibrio vengono evidenziate 8 reazioni vincolari e il momento incognito Mr. Tali azioni e
reazioni sono poste in evidenza nello schema di figura 4.12, detto diagramma di corpo libero
Il sistema è costituito da tre corpi rigidi ed è pertanto possibile scriverne le equazioni di equilibrio.
• Corsoio:
� Fx = 0 → Fg +mc¨c−SBx = 0 (4.44a)
� Fy = 0 → ΦB +SBy = 0 (4.44b)
� MB = 0 → MB = 0 (4.44c)
4-15

Figura 4.12: Le forze agenti sul sistema.
• Biella:
� Fx = 0 → SAx +SBx = 0 (4.45a)
� Fy = 0 → SAy +SBy = 0 (4.45b)
� MB = 0 → SAxlsinϕ+SAylcosϕ = 0 (4.45c)
• Manovella:
� Fx = 0 → SOx +SAx = 0 (4.46a)
� Fy = 0 → SOy +SAy = 0 (4.46b)
� MO = 0 → −Mr −Jt¨α−SAxasinα+SAyacosα = 0 (4.46c)
Si ricorda che la sommatoria nelle equazioni (4.44a-4.46c) deve comprendere anche il sistema delle forze
d’inerzia del corpo considerato.
Il sistema costituito dalle 9 equazioni scalari (4.44a-4.46c) è determinato nelle 9 incognite: SOx, SOy,
SAx, SAy, SBx, SBy, MB, ΦB e Mr; può essere risolto equazione per equazione, in cascata. Innanzitutto,
la (4.44c) fornisce immediatamente la coppia di reazione esercitata dal cilindro sul pistone. La (4.44a)
consente di ricavare la reazione SBx:
SBx = Fg +mc¨c (4.47)
La (4.45a) e la (4.47) consentono di ricavare la reazione SAx:
SAx = −(Fg +mc¨c) (4.48)
La (4.45c) e la (4.48) consentono di ricavare la reazione SAy:
SAy = tanϕ(Fg +mc¨c) (4.49)
4-16

La (4.45b) e la (4.49) consentono di ricavare la reazione SBy:
SBy = −tanϕ(Fg +mc¨c) (4.50)
La (4.44b) e la (4.50) consentono di ricavare la reazione ΦB:
ΦB = tanϕ(Fg +mc¨c) (4.51)
La (4.46a) e la (4.48) consentono di ricavare la reazione SOx:
SOx = Fg +mc¨c (4.52)
La (4.46b) e la (4.49) consentono di ricavare la reazione SOy:
SOy = −tanϕ(Fg +mc¨c) (4.53)
La (4.46c), la (4.48) e la (4.49) consentono di ricavare il momento Mr:
Mr = −Jt¨α+(Fg +mc¨c)a(sinα+tanϕcosα) (4.54)
La scelta di quale insieme di corpi rigidi sia più opportuno prendere in considerazione nella scrittura
delle equazioni di equilibrio dipende dalle grandezze da determinare. L’approccio appena presentato è
necessario qualora si dovessero calcolare tutte le reazioni vincolari. Se tuttavia solo alcune delle incognite
devono essere calcolate a priori, mentre la determinazione del resto della soluzione può essere evitato, è
possibile semplificare notevolmente il problema mediante una opportuna scelta di quali equazioni scrivere
e un opportuno partizionamento del sistema.
Se ad esempio si desidera calcolare direttamente la reazione ΦB, è sufficiente scrivere l’equazione
di equilibrio dei momenti agenti sul solo corsoio, scegliendo come polo il punto B, da cui si ricava
l’equazione (4.44c), e quindi scrivere l’equazione di equilibrio dei momenti agenti sul corsoio e sulla
biella, scegliendo come polo il punto A, da cui si ricava
−lsinϕ(Fg +mc¨c)+lcosϕΦB = 0 (4.55)
ovvero direttamente la (4.51).
Se invece si desidera calcolare direttamente il momento attivo Mr, si può ricorrere al teorema dell’energia
cinetica, in quanto il momento Mr è l’unica azione incognita che partecipa al bilancio di potenze.
L’energia cinetica è
T = 1 �
Jt ˙α
2
2 +mc˙c 2�
la cui derivata è
(4.56)
dT
dt = Jt ˙α¨α+mc˙c¨c
= (Jt¨α−mc¨ca(sinα+tanϕcosα)) ˙α (4.57)
dove si è fatto uso della prima delle (4.30), con β = 2π−ϕ, mentre la potenza delle forze attive, escluse
le forze d’inerzia, è
ovvero
Π = −Mr ˙α−Fg˙c (4.58)
Π = −Mr ˙α+Fga(sinα+tanϕcosα) ˙α (4.59)
Eguagliando la (4.57) e la (4.59), e semplificando ˙α in entrambi i membri, si ricava direttamente la (4.54),
ovvero il momento Mr.
4-17

4-18

Capitolo 5
Dinamica dei sistemi di corpi rigidi
mediante le equazioni di Lagrange
Generato il 16 gennaio 2012
Si consideri un generico sistema piano a 1 grado di libertà composto da più corpi rigidi e indichiamo
con q la coordinata libera, variabile indipendente, scelta per descriverne il moto; con y la generica
variabilefisicacorrelataallavariabileindipendentedaunarelazionegenericamentenonlinearedipendente
esplicitamente dal tempo, del tipo:
y = y(q,t) (5.1)
Adottando le equazioni di Lagrange occorre definire, dapprima in funzione delle variabili fisiche y, le
diverse forme di energia che concorrono all’energia totale del sistema, ovvero l’energia cinetica, l’energia
potenziale, la funzione di dissipazione e il lavoro virtuale delle rimanenti forze attive.
5.1 Equazione di Lagrange
Indicata con
T = T (q, ˙q,t) (5.2)
l’energia cinetica del sistema, dipendente sicuramente dalla derivata prima ˙q della coordinata libera q,
ma potenzialmente anche dalla coordinata libera stessa, e anche dal tempo in caso di vincoli mobili,
l’equazione di Lagrange stabilisce che l’equilibrio dinamico è definito dall’uguaglianza
d
dt
� ∂T
∂˙q
�
− ∂T
∂q = Q∗ (q, ˙q,...,t) (5.3)
ove Q ∗ indica la componente generalizzata della sollecitazione attiva per la coordinata libera q, a meno
delle forze d’inerzia, le quali sono espresse dai termini derivati a partire dall’energia cinetica.
La componente generalizzata della sollecitazione attiva, a sua volta, può essere decomposta in
• uncontributoespressionediforzepuramenteconservative, QV, checometalenonpuòchedipendere
dalla sola 1 q;
• un contributo espressione di forze puramente dissipative, QD, ovvero di forze la cui retta d’azione
coincide con quella della velocità ˙y del punto di applicazione e, come tale, dipendente dalla ˙q ma,
potenzialmente, anche da q e dal tempo t;
• la parte rimanente, Q, che non sia possibile o non si ritenga opportuno esprimere altrimenti.
1 In linea di principio, l’energia potenziale potrebbe dipendere anche dal tempo, nel caso di vincoli mobili; al momento
tale ipotesi non viene presa in considerazione.
5-1

Ne risulta
Q ∗ (q, ˙q,...,t) = QV (q)+QD(˙q)+Q(q, ˙q,...,t) (5.4)
Si noti che la Q rimanente può dipendere arbitrariamente da q e dalle sue derivate di qualsivoglia ordine.
In linea di principio, potrebbe anche dipendere dall’integrale della coordinata libera q: ad esempio,
quando esprima forze di controllo dipendenti da un controllore PID (proporzionale, integrale, derivativo).
Senza nulla togliere alla generalità della presentazione, nel corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali
verranno considerate solo forze dipendenti da posizione, velocità e tempo.
Il contributo QV, in quanto espressione di forze conservative, può essere scritto come opposto della
derivata di una variazione di energia potenziale
tale per cui
∆V (q) = V (q)−V (q0) (5.5)
QV = − dV
dq
IlcontributoQD, inquantoespressionediforzepuramentedissipative,puòesserescrittocomeopposto
della derivata rispetto a ˙q dell’integrale primo D(q, ˙q,t) della potenza delle forze QD stesse, detto anche
funzione di dissipazione, tale per cui
QD = − ∂D
∂˙q
Si definisca quindi la funzione di Lagrange
L = T −V (5.8)
L’equazione del moto si ricava da
d
dt
� ∂L
∂˙q
(5.6)
(5.7)
�
− ∂L ∂D
+ = Q(q, ˙q,...,t) (5.9)
∂q ∂˙q
di cui si nota l’analogia con la (5.3).
5.1.1 Energia cinetica
L’energia cinetica T di un generico sistema piano a 1 grado di libertà, composto da nc corpi, è data
dalla somma delle singole energie cinetiche Tj associate alle singole masse mj e/o momenti d’inerzia
baricentrici Jj che costituiscono il sistema
�
mj ˙ �yj × ˙ �yj +Jj ˙ ϑ 2�
= 1
� � 2
mj ˙y xi + ˙y
2
2 �
yj +Jj ˙ ϑ 2 �
j
= 1
⎧ ⎫T
⎡
⎨ ˙yxi ⎬
⎣
2 ⎩ ⎭
Tj = 1
2
= 1
2
3�
k=1
˙yyj
˙ϑj
mkj ˙y 2 kj
mj 0 0
0 mj 0
0 0 Jj
⎤⎧
⎨
⎦
⎩
˙yxi
˙yyj
˙ϑj
⎫
⎬
⎭
(5.10)
in cui si è indicata con mkj la generica k-esima massa mj o il momento d’inerzia Jj del j-esimo corpo
rigido e con ˙ykj la generica componente della velocità assoluta di traslazione del baricentro del corpo, o
la sua velocità angolare ˙ ϑj. L’energia cinetica complessiva è
nc �
T = Tj = 1
2
j=1
nc �
3�
j=1 k=1
mkj ˙y 2 kj
5-2
(5.11)

5.1.2 Energia potenziale
L’energia potenziale V, associata al campo elastico dovuto agli nk elementi elastici di interconnessione e
alla presenza di np forze conservative2 Pp, � assume un’espressione generale del tipo:
V = −
= 1
2
= 1
2
� ∆ls
0
nk �
k=1
nk �
k=1
QV (∆ls) dls
kk(∆lk) 2 np �
− �Pp ×�yp
p=1
kk(yk1 −yk2 )2 np �
− �Pp ×�yp
p=1
(5.13)
in cui kk rappresenta la rigidezza del generico k-esimo elemento elastico. Le coordinate fisiche yk1 e yk2
rappresentano lo spostamento degli estremi della generica molla, nella direzione della molla stessa (per
semplicità di trattazione non si considerano infatti, nella definizione dell’allungamento, gli spostamenti
ortogonali alla direzione della molla).
Il vettore �yp rappresenta, invece, lo spostamento del punto d’applicazione della generica forza � Pp.
Gli allungamenti delle molle, ∆lk = (yk1 −yk2 ), e gli spostamenti dei punti di applicazione delle
forze, �yp, sono legati da una relazione (lineare o non lineare) all’unica coordinata libera q del sistema; per
tale motivo l’energia potenziale V può essere sinteticamente espressa come funzione della sola variabile
indipendente q
V = V (q) (5.14)
5.1.3 Funzione di dissipazione
La funzione di dissipazione è definibile come:
� ∆ls ˙ �
D = − QD ∆
0
˙ �
ls d˙ ls
= 1
2
= 1
2
ns �
s=1
ns �
s=1
�
r ∆˙ �2 ls
r(˙ys1 − ˙ys2 )2
(5.15)
dove si è considerata soltanto la presenza di ns smorzatori viscosi3 ciascuno di costante rk, in cui la
coordinata fisica ∆˙ ls = (˙ys1 − ˙ys2 ) rappresenta la velocità relativa cui sono sottoposte le estremità del
generico s-esimo smorzatore, lungo la direzione dello smorzatore stesso, senza considerare le componenti
a questa ortogonali nella definizione delle velocità di allungamento.
2Nel seguito si considerano solo forze costanti in modulo, direzione e verso, quale il peso, e forze elastiche lineari per
semplificare la trattazione; in realtà l’energia potenziale può essere definita per qualunque forza conservativa integrandone
il lavoro elementare lungo il cammino percorso per passare da a a b:
� b
∆V = V (b)−V (a) = − �F ×d�s (5.12)
a
ove d�s sia lo spostamento compiuto dal punto di applicazione della forza. Perché la forza ammetta potenziale, ovviamente,
tale integrale deve dipendere solo dagli estremi di integrazione e non dal percorso seguito.
3 Tipicamente si considerano contributi di dissipazione associati a
• attrito radente, a cui si è accennato nel Capitolo 4 e che verrà illustrato in dettaglio nel Capitolo 8, per il quale la
forza resistente ha espressione
˙y
Fr = −rr = −rrsign(˙y) (5.16)
|˙y|
dove rr è un coefficiente che in molti casi può essere ritenuto costante; si tratta di una funzione discontinua ma
integrabile, per cui la corrispondente funzione di dissipazione è
Dr = rr |˙y| (5.17)
5-3

5.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti
Consideriamo infine il lavoro virtuale δL compiuto dalle rimanenti nf forze esterne attive � Ff per uno
spostamento virtuale δ�yf del loro punto d’applicazione. Risulta
δL =
nf �
f=1
�Ff ×δ�yf
(5.22)
Abbiamo in tal modo espresso le diverse forme di energia e di lavoro in funzione delle variabili fisiche y.
5.2 Scrittura dell’equazione di moto del sistema
Analizziamo in dettaglio tutti i contributi all’Equazione di Lagrange.
Energia cinetica. La generica coordinata fisica y è funzione dell’unica coordinata indipendente q; può
dipendere esplicitamente dal tempo t:
y = y(q,t) (5.23)
e quindi i termini di velocità delle (5.11, 5.15) varranno:
˙yjk = dyjk
dt
= ∂yjk
∂q
dq ∂yjk
+
dt ∂t
= ∂yjk
∂q
˙q + ∂yjk
∂t
che, sostituiti nella definizione dell’energia cinetica (5.11), portano alla seguente espressione:
nc �
T =
j=1
= 1
2
Tj
nc �
= 1
2 ˙q2
3�
j=1 k=1
nc �
j=1 k=1
mjk˙y 2 jk
3�
mjk
� �2 ∂yjk
∂q
nc �
+ ˙q
3�
j=1 k=1
∂yjk ∂yjk 1
mjk +
∂q ∂t 2
nc �
3�
j=1 k=1
mjk
� �2 ∂yjk
∂t
(5.24)
= 1
2 a(q,t) ˙q2 +b(q,t) ˙q +c(q,t)
= T (q, ˙q,t) (5.25)
• resistenza laminare, ovvero comportamento laminare di fluidi viscosi, a cui si è accennato nel Capitolo 4 e che verrà
ulteriormente illustrato in dettaglio nei Capitoli 11 e 12, per i quali vale la relazione
Fv = −rv ˙y (5.18)
dove rv è un coefficiente che in molti casi può essere ritenuto costante, nel qual caso la funzione di dissipazione è
Dv = 1
rv ˙y2
2
• resistenza turbolenta, a cui si è accennato nel Capitolo 4 e che verrà illustrato in dettaglio nel Capitolo 12, per il
quale la forza resistente ha espressione
(5.19)
Ft = −rt|˙y| ˙y (5.20)
dove rt è un coefficiente che in molti casi può essere ritenuto costante; la corrispondente funzione di dissipazione è
Dt = 1
rt|˙y| ˙y2
3
5-4
(5.21)

ove i termini a(q,t), b(q,t) e c(q,t) valgono:
a(q,t) =
b(q,t) =
nc �
3�
j=1 k=1
nc �
c(q,t) = 1
2
3�
j=1 k=1
nc �
mjk
j=1 k=1
� ∂yjk
∂q
� 2
∂yjk ∂yjk
mjk
∂q ∂t
3�
mjk
� �2 ∂yjk
∂t
(5.26a)
(5.26b)
(5.26c)
La dipendenza esplicita dal tempo delle coordinate fisiche rende tempovariante l’equazione del moto;
senza ledere la generalità della trattazione, si considerino per ora coordinate fisiche non dipendenti
esplicitamente dal tempo, ovvero la (5.23) si riduca a
e quindi
y = y(q), (5.27)
b(q,t) = 0 (5.28)
c(q,t) = 0. (5.29)
Poiché il coefficiente definito nella (5.26a) contiene le derivate delle coordinate fisiche rispetto alla coordinata
libera q, può a sua volta essere funzione di quest’ultima, rendendo così non quadratica l’espressione
dell’energia cinetica e quindi non lineare, per i termini inerziali, l’equazione di moto del sistema.
Derivando, infatti, l’energia cinetica espressa dalla (5.25) secondo Lagrange si ottiene:
d
dt
� ∂T
∂˙q
�
− ∂T
∂q
= a(q)¨q + da(q)
dq
˙q 2 − 1da(q)
2 dq
˙q 2 = a(q)¨q + 1da(q)
˙q
2 dq
2
(5.30)
Esercizio 5.1 Si sviluppi la forma quadratica associata all’energia cinetica nel caso generale in cui valga
la (5.23), ovvero la cinematica dipende esplicitamente dal tempo.
Energia potenziale. Consideriamo ora l’energia potenziale V: la sua derivata dV/dq secondo Lagrange
dà origine a un termine lineare nell’equazione del moto solo se V (q) è una forma quadratica in q:
ciò accade quando yk dipende in forma lineare da q. L’espressione più generale della derivata dell’energia
potenziale rispetto alla coordinata libera q vale infatti:
dV
dq =
nk �
k=1
�
∂yk1
kk(yk1 −yk2 )
∂q
− ∂yk2
∂q
� np �
−
p=1
�Pp × ∂�yp
∂q = −fV (q) (5.31)
ed è quindi a sua volta una funzione non lineare di q. La dipendenza esplicita dal tempo non è compatibile
con l’esistenza di un’energia potenziale; indipendentemente dalla dipendenza esplicita o meno delle
coordinate fisiche dal tempo, l’energia potenziale deve dipendere solamente da q.
Funziond di dissipazione. Passando alla funzione di dissipazione D, essa può essere espressa come:
D = 1
2
ns �
s=1
rs(˙ys1 − ˙ys2 )2 = 1
2
ns �
rs
s=1
� ∂ys1
∂q
− ∂ys2
∂q
� 2
˙q 2 = 1
r(q) ˙q2
2
(5.32)
La funzione di dissipazione D è necessariamente una forma quadratica in ˙q in quanto la derivata prima
delle variabili cinematiche è sicuramente lineare in ˙q, come descritto dalla (5.24); tuttavia, i coefficienti
moltiplicativi di tale termine possono a loro volta essere funzione della variabile indipendente q. La
derivazione del termine dissipativo secondo Lagrange porta dunque a
∂D
∂˙q =
ns �
rs
s=1
� ∂ys1
∂q
− ∂ys2
∂q
� 2
˙q = r(q) ˙q (5.33)
che dà origine a un termine non lineare, essendo il coefficiente r(q) in genere funzione ancora di q.
5-5

Lavoro virtuale delle forze rimanenti. Analizziamo ora il lavoro virtuale δL compiuto dalle rimanenti
forze attive esterne; il generico spostamento virtuale δ�yf del punto di applicazione della generica
forzante è definibile:
δ�yf = ∂�yf
δq (5.34)
∂q
Sostituendo tale relazione nell’espressione del lavoro virtuale si ottiene:
δL =
nf �
f=1
�F ×δ�yf =
nf �
f=1
�F × ∂�yf
δq (5.35)
∂q
L’applicazione della formula di Lagrange porta così alla definizione della componente lagrangiana Q della
sollecitazione attiva esterna:
Q = ∂δL
∂δq =
nf �
f=1
�F × ∂�yf
∂q
= Q(q, ˙q,...,t) (5.36)
che sarà una funzione del tempo t, per la presenza di forze funzioni esplicite del tempo, e della coordinata
libera q, per una eventuale dipendenza diretta delle forze � F da q, e per la presenza delle derivate delle
coordinate fisiche rispetto alla coordinata libera. Tali derivate sono costanti solo nel caso di legame
yf = yf (q) lineare. Le forze � F possono dipendere dalla coordinata libera q e dalle sue derivate nel modo
più arbitrario; possono dipendere anche dall’integrale di q (ad esempio, le forze di controllo risultanti da
un regolatore di tipo integrale).
Equazione del moto. È ora possibile scrivere per esteso l’equazione del moto del generico sistema
fisico a 1 g.d.l. non lineare applicando le equazioni di Lagrange nella variabile q; sostituendo le (5.30,
5.31, 5.33, 5.36) nella (5.9) si ottiene
a(q)¨q + 1da(q)
˙q
2 dq
2 +r(q) ˙q −fV (q) = Q(q, ˙q,...,t) (5.37)
Nel seguito ci si occuperà soltanto di sollecitazioni attive Q dipendenti esplicitamente al più dalla
coordinata libera q, eventualmente dalla sua derivata prima ˙q e dal tempo.
5.3 Linearizzazione dell’equazione di moto
L’equazione del moto non è, in generale, integrabile analiticamente se non in casi particolari. Se ne
interessa lo studio per spostamenti finiti, è indispensabile tener conto delle non linearità del sistema
integrando numericamente l’equazione di moto.
Nel caso in cui, invece, si ritenga sufficiente limitarne lo studio a piccoli spostamenti nell’intorno di
una soluzione di equilibrio per la quale la derivata di ordine minimo di q sia costante, e quindi tutte quelle
di ordine superiore si annullino, è possibile linearizzare l’equazione di moto nell’intorno di tale soluzione,
ottenendo, in questo modo, un’equazione lineare a coefficienti costanti, integrabile in forma chiusa. La
linearizzazione delle equazioni di moto, rispetto alla integrazione numerica delle equazioni non lineari,
consente l’utilizzo dei comodi algoritmi propri dell’analisi dei sistemi lineari. Ovviamente, in tal caso, è
necessario dapprima trovare, se esiste, la posizione di equilibrio di riferimento, risolvendo generalmente
un’equazionenonlineare, esuccessivamentelinearizzarel’equazionedimotostessa. Condizioneessenziale
perché la soluzione dell’equazione linearizzata si mantenga nell’intorno della soluzione di equilibrio di
riferimento è che tale soluzione sia stabile.
La posizione di equilibrio di riferimento si definisce:
• equilibrio statico quando individua un movimento q che si mantiene costante nel tempo (tipico, ad
esempio, delle strutture caricate staticamente), per il quale valga quindi la condizione
d (n) q
= 0 (5.38)
dt (n)
per n > 0, ossia che tutte le sue derivate rispetto al tempo t siano sempre nulle;
5-6

Figura 5.1: Sistema non vincolato soggetto a un sistema di forze a risultante non nullo.
• regime assoluto quando individua un movimento ˙q che si mantiene costante nel tempo (tipico, ad
esempio, delle macchine rotative), per il quale la relazione (5.38) valga per n > 1;
• moto uniformemente accelerato quando individua un movimento ad accelerazione costante, per il
quale la relazione (5.38) valga per n > 2.
Nel caso più completo, in cui l’equazione del moto presenti dipendenza esplicita da q, la soluzione di
equilibrio statico è definita a partire dalla (5.37) tenendo conto della (5.38) con n > 0:
dV
dq
= Q(q,0) (5.39)
ovelacomponentegeneralizzatadellasollecitazioneattivaQnondevedipendereesplicitamentedaltempo
perché una condizione di equilibrio statico possa esistere. Nel caso in cui tutte le forze attive dipendenti
dalla sola posizione siano conservative, la soluzione di equilibrio statico soddisfa l’equazione
dV
dq
= 0 (5.40)
che quindi è un caso particolare della (5.39). La soluzione, ossia la posizione di equilibrio q0, se esiste,
viene in genere ricavata con opportuni metodi numerici quali quello di bisezione, delle secanti o di
Newton-Raphson.
5.3.1 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero
Siconsideriilsistemanonvincolatoillustratoinfigura5.1, postonelvuotoinassenzadigravità, costituito
da due masse di uguale valore m collegate da una molla di rigidezza k. Alla prima massa sia applicata
una forza esterna F diretta come la congiungente le due masse e costante in modulo, direzione e verso.
La determinazione della soluzione di equilibrio statico ne richiede innanzitutto la definizione. La
presenza della molla, in quanto portatrice di forze dipendenti dalla posizione, fa sì che si debba cercare
una soluzione statica in cui lo spostamento si mantenga costante; siccome però il sistema non è vincolato
a terra, la presenza di un sistema di forze esterne a risultante non nullo fa sì che non sia possibile una
soluzione per cui si annullano le accelerazioni delle masse. Occorre quindi un’attenta analisi del problema
per definire che cosa sia possibile intendere per sua soluzione di equilibrio statico.
Il problema ha due gradi di libertà; si considerino le posizioni assolute delle due masse, x1 e x2;
l’equazione di equilibrio dell’intero sistema è
F −m¨x1 −m¨x2 = 0 (5.41)
ma, dal momento che le forze d’inerzia del sistema sono riducibili ad una forza data dalla massa totale
per l’accelerazione del baricentro, definita come
�
mixi
xCG = � =
mi
x1 +x2
(5.42)
2
5-7

si ha
F −2m¨xCG = 0 (5.43)
da cui si ricava l’accelerazione del baricentro
¨xCG = F
(5.44)
2m
che non può essere nulla perché solo le forze d’inerzia possono ristabilire l’equilibrio del sistema.
Dall’equazione di equilibrio alla traslazione della massa 2, a cui non è applicata la forza, si ricava
−k(x2 −x1)−m¨x2 = 0 (5.45)
Si esprima lo spostamento delle masse come spostamento relativo rispetto al punto coincidente con il
baricentro a molla indeformata:
x1 = xCG +x ′ 1
x2 = xCG +x ′ 2
da cui si ricava l’allungamento della molla
∆x = x2 −x1 = x ′ 2 −x ′ 1
e, dalla definizione di baricentro,
e quindi
x ′ 2 = −x ′ 1
(5.46)
(5.47)
(5.48)
(5.49)
x ′ 1 = − 1
∆x
2
(5.50)
x ′ 2 = 1
∆x
2
(5.51)
L’equazione (5.45) diventa
�
−k∆x−m ¨xCG + 1
2 Ƭx
�
= 0 (5.52)
Si consideri, come soluzione di equilibrio statico, quella per cui gli spostamenti relativi sono costanti, e
quindi le accelerazioni relative si annullano; l’equazione (5.52) diventa quindi
−k∆x−m¨xCG = 0 (5.53)
da cui è immediato ricavare l’allungamento della molla
∆x = − 1F
(5.54)
2 k
Sel’utilizzodeglispostamentiassolutidelleduemassenonconsenteun’immediatadefinizionedisoluzione
di equilibrio di riferimento per un problema di questo tipo, un semplice cambio di variabile che porti
a considerare la posizione assoluta xCG del baricentro del sistema e l’allungamento ∆x della molla fa
sì che la soluzione di equilibrio di riferimento per la prima sia una condizione di moto uniformemente
accelerato, la (5.44), mentre per la seconda sia una soluzione di equilibrio statico, la (5.54).
5.3.2 Procedure per la linearizzazione
Se la posizione di equilibrio statico esiste, sono possibili due approcci:
• linearizzare nell’intorno di tale posizione la (5.37) in funzione della variabile q e delle sue derivate;
• ricondurre, tramite sviluppo in serie di Taylor nell’intorno di q0, arrestato ai termini di second’ordine,
l’energia cinetica T e la funzione di dissipazione D a forme quadratiche nella variabile ˙q, e
l’energia potenziale V a un’analoga forma quadratica in q. In questo secondo caso, della (5.37)
sarà comunque necessario linearizzare la Q(q, ˙q,t) rispetto alla variabile q e alla sua derivata ˙q.
5-8

5.3.3 Linearizzazione diretta dell’equazione del moto
La linearizzazione diretta dell’equazione di moto consiste nello sviluppare in serie di Taylor l’equazione
stessa rispetto alla coordinata libera q e alle sue derivate, arrestando lo sviluppo ai termini del primo
ordine. Ricordando la (5.30), si nota subito che la linearizzazione delle forze d’inerzia nell’intorno di una
soluzione di equilibrio statico, per cui
q = q0
˙q = 0 (5.55)
¨q = 0
si riduce alla valutazione della funzione a(q) e della sua derivata prima rispetto a q nella soluzione q0,
in quanto lo sviluppo in serie delle forze d’inerzia è dato da
� �
d ∂T
−
dt ∂˙q
∂T
∂q ∼ = a(q0)¨q0 + 1
�
da(q) �
�
2 dq � ˙q
q0
2 0
+a(q0)(¨q − ¨q0)+ da(q)
�
�
�
dq � ¨q0(q −q0)
q0
+ da(q)
�
�
� ˙q0(˙q − ˙q0)+
dq
1 d
2
2a(q) dq2 �
�
� ˙q 2 0 (q −q0) (5.56)
� q0
ma, sostituendo i valori di riferimento dati dalle (5.55), si ottiene
� �
d ∂T
−
dt ∂˙q
∂T
∂q ∼ = a(q0)·0+ 1
�
da(q) �
�
2 dq � ·0
q0
2
+a(q0)(¨q −0)+ da(q)
�
�
�
dq � ·0·(q −q0)
q0
+ da(q)
�
�
� ·0·(˙q −0)+
dq
1 d
2
2a(q) dq2 �
�
� ·0 2 ·(q −q0)
� q0
� q0
� q0
= a(q0)¨q (5.57)
In modo analogo si procede per le forze conservative e dissipative, e per le rimanenti azioni attive
fV (q) ∼ = fV| + q0 dfV
�
�
� (q −q0) (5.58)
dq
� q0
r(q) ˙q ∼ = r(q0) ˙q (5.59)
Q(q, ˙q,...,t) ∼ = Q(q0,0,t)+ ∂Q
�
�
� (q −q0)+
∂q
∂Q
�
�
� ˙q (5.60)
∂˙q
� q0,0
� q0,0
Per quanto riguarda la Q, a partire dalla (5.36) si ricava:
Q(q, ˙q,t) ∼ �
�
∂Q(q, ˙q)
�
� ∂Q(q, ˙q)
�
�
= Q(q0,0,t)+ � (q −q0)+ �
∂q ∂˙q
=
nf �
f=1
�Ff (q0,0,t)× ∂�yf
∂q
⎛
nf � ∂
+ ⎝
f=1
� �
Ff (q, ˙q)
�
�
�
∂q
nf � ∂
+
� �
Ff (q, ˙q)
�
�
�
∂˙q
f=1
� q0,0
� q0,0
� q0,0
�
�
�
� q0
× ∂�yf
∂q
× ∂�yf
∂q
�
�
�
� q0
�
�
�
� q0
nf �
+
f=1
� q0,0
�Ff (q0,0)× ∂2 �yf
∂q 2
(˙q − ˙q0)
�
�
�
� q0
⎞
⎠(q −q0)
˙q (5.61)
5-9

Occorreipotizzarecheladipendenzaesplicitadaltempo, sepresente, siaconfinataneltermineQ(q0,0,t),
esprimibile come
Q(q0,0,t) = ˆ Q(q0,0)+ ˜ Q(q0,0,t) (5.62)
ovvero costituito da una parte costante e da una dipendente dal tempo, quest’ultima tale da portare
ad un moto di ampiezza limitata nell’intorno della soluzione di equilibrio statico; il valore costante di
riferimento ˆ Q(q0,0) è quello che in realtà occorre usare nella (5.39) per il calcolo della soluzione di
equilibrio statico q0.
Ne risulta, considerando anche la (5.39), l’equazione linearizzata del moto
a(q0)¨q +
�
r(q0)−
∂Q(q, ˙q)
∂˙q
�
�
�
� q0,0
�
˙q +
�
− dfV
dq
�
�
�
� q0
−
∂Q(q, ˙q)
∂q
�
�
�
� q0,0
�
(q −q0) = ˜ Q(q0,0,t) (5.63)
La (5.63) è un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, di cui è possibile l’integrazione
analitica.
Può convenire la definizione di una nuova coordinata libera q come
q = q −q0
˙q = d
dt (q −q0) = ˙q (5.64)
¨q = d2
dt 2(q −q0) = ¨q
In questo modo, l’equazione (5.63) diventa
a(q0)¨q +
�
r(q0)−
∂Q(q, ˙q)
∂˙q
�
�
�
� q0,0
�
˙q +
�
− dfV
dq
�
�
�
� q0
−
∂Q(q, ˙q)
∂q
�
�
�
� q0,0
�
q = ˜ Q(q0,0,t) (5.65)
5.3.4 Quadraticizzazione della funzione di Lagrange e sua linearizzazione
Si consideri dapprima l’energia cinetica T. La (5.25) può essere sviluppata in serie di Taylor nell’intorno
della posizione di equilibrio statico definita dalle (5.55) troncando l’espansione ai termini quadratici, in
quantofornisconoicontributilineariaseguitodelledifferenziazionirichiesteperlascritturadell’equazione
del moto:
T (q, ˙q) ∼ �
�
∂T (q, ˙q)
�
� ∂T (q, ˙q)
�
�
= T (q0,0)+ � (q −q0)+ � (˙q −0)
∂q ∂˙q
+ 1
2
∂2 �
T (q, ˙q) �
�
�
∂q 2
� q0,0
Si deve fin da subito notare che:
�
∂T (q, ˙q)
�
�
�
∂q
�
∂T (q, ˙q)
�
�
�
∂˙q
� q0,0
� q0
= 1
2
�
da(q)
�
�
�
dq
� q0,0
(q −q0) 2 + ∂2 �
T (q, ˙q) �
�
�
∂q∂˙q
� q0
= a(q0)·0 = 0
� q0,0
T (q0,0) = 1
2 a(q0)·0 2 = 0
·0 2 = 0
5-10
� q0,0
(q −q0)(˙q −0)+ 1
2
∂2 �
T (q, ˙q)
�
�
�
∂q 2
� q0
∂2 �
T (q, ˙q)
�
�
�
∂q∂˙q
� q0
= 1
2
d2a(q) dq2 �
�
�
�
= da(q)
�
�
�
�
dq
� q0
∂2 �
T (q, ˙q) �
�
�
� q0
∂˙q 2
·0 2 = 0
·0 = 0
� q0,0
(˙q −0) 2
(5.66)
(5.67)

in quanto valutati per ˙q = 0; ovvero la (5.19) può essere riscritta come:
T ∼ = 1 ∂
2
2T (q, ˙q)
∂˙q 2
�
�
� ˙q 2 = 1
2 a(q0) ˙q 2
� q0,0
(5.68)
Applicando la (5.68) alla equazione di Lagrange, otteniamo:
� �
d ∂T
∼= a(q0)¨q,
dt ∂˙q
∂T
∂q ∼ = 0 (5.69)
e quindi
d
dt
� �
∂T
−
∂˙q
∂T
∂q ∼ = a(q0)¨q = m0¨q (5.70)
In modo del tutto analogo si può ricondurre ad una forma quadratica anche l’energia potenziale V,
sviluppandola secondo Taylor nell’intorno della posizione di equilibrio statico:
V (q) ∼ �
dV (q) �
= V (q0)+ � (q −q0)+
dq
1 d
2
2V (q)
dq2 �
�
� (q −q0) 2
(5.71)
� q0
avendo definito, con la variabile q = q −q0, lo spostamento subìto dalla variabile indipendente rispetto
alla posizione di equilibrio statico
V (q) = V (q0)+
dV (q0)
dq
� q0
q + 1d
2
2V (q0)
dq2 q 2 +... (5.72)
Con tale trasformazione di coordinate, la variabile q definisce dunque il solo moto perturbato del sistema
nell’intorno della posizione di equilibrio statico q = q0. L’applicazione delle equazioni di Lagrange alla
funzione V (q), resa quadratica nella variabile indipendente q, porta alla:
dV (q)
dq ∼ =
dV (q)
dq
�
�
�
� q0
+ d2 V (q)
dq 2
�
�
�
� q0
q =
dV (q)
dq
�
�
�
� q0
+k0q (5.73)
in cui si è sfruttato il fatto che la derivata del termine costante V (q0), per definizione, è nulla. Il termine
lineare dell’energia potenziale quadraticizzata, invece, nell’equazione del moto linearizzata si annulla o
perché il sistema è conservativo e quindi, dalla (5.40), il suo annullamento è condizione per l’equilibrio,
o, in caso di sistema non conservativo, dalla definizione di soluzione di equilibrio secondo la (5.39), si
elide con il valore costante Q(q0,0) risultante dalla linearizzazione della componente generalizzata della
sollecitazione attiva.
Analogamente a quanto fatto per l’energia cinetica, anche la funzione di dissipazione D data dalla
(5.32) può essere resa quadratica, sviluppandola in serie di Taylor arrestata al termine quadratico:
D(q, ˙q) ∼ �
�
∂D(q, ˙q)
�
� ∂D(q, ˙q)
�
�
= D(q0,0)+ � (q −q0)+ � (˙q −0) (5.74)
∂q ∂˙q
+ 1
2
∂2 �
D(q, ˙q) �
�
�
∂q 2
� q0,0
� q0,0
(q −q0) 2 + ∂2 �
D(q, ˙q) �
�
�
∂q∂˙q
� q0,0
� q0,0
(q −q0)(˙q −0)+ 1
2
∂2 �
D(q, ˙q) �
�
�
∂˙q 2
� q0,0
(˙q −0) 2
In analogia con quanto osservato per l’espressione quadraticizzata dell’energia cinetica, si nota che
�
∂D(q, ˙q)
�
�
�
∂q
� q0,0
∂2 �
D(q, ˙q)
�
�
�
∂q 2
� q0,0
= 1
2
= 1
2
�
dr(q)
�
�
�
dq
� q0
d2r(q) dq2 �
�
�
�
D(q0,0) = 1
2 r(q0)·0 2 = 0
·0 2 = 0,
� q0
·0 2 = 0,
5-11
�
∂D(q, ˙q)
�
�
�
∂˙q
� q0,0
∂2 �
D(q, ˙q)
�
�
�
∂q∂˙q
� q0,0
= r(q0)·0 = 0
= dr(q)
�
�
�
�
dq
� q0
·0 = 0
(5.75)
(5.76)

questo porta all’espressione:
D(q, ˙q) ∼ = 1 ∂
2
2D(q, ˙q)
∂˙q 2
�
�
�
� q0,0
˙q 2 = 1 2
r0˙q
2
(5.77)
Da ultimo si consideri il lavoro virtuale δL delle rimanenti forze attive esterne � Ff, che possono dipendere
arbitrariamente dalla coordinata libera q, dalle sue derivate e dal tempo t. La loro linearizzazione
è del tutto analoga a quella effettuata quando si è considerato l’approccio diretto alla linearizzazione
dell’equazione del moto, quindi il contributo delle rimanenti sollecitazioni attive all’equazione linearizzata
è dato dalla (5.60). ove, si ricorda, si è fatta l’ipotesi che Q possa essere decomposta in modo che
l’eventuale dipendenza dal tempo si abbia solo in contributi che non dipendono dalla coordinata libera
e viceversa.
Si ottiene di nuovo l’equazione (5.65)
m0 ¨q +
�
r0 −
∂Q(q, ˙q)
∂˙q
�
�
�
� q0
�
˙q +
�
k0 −
∂Q(q, ˙q)
∂q
�
�
�
� q0
�
q = ˜ Q(q0,0,t) (5.78)
che risulta differenziale del secondo ordine lineare e a coefficienti costanti completa, in cui si considera
come variabile indipendente la coordinata q del moto perturbato definita nelle (5.64) a partire dalla
posizione di equilibrio q0.
5.3.5 Utilizzo dell’equazione di moto linearizzata
Come già accennato, la linearizzazione dell’equazione di moto consente di ottenere un problema differenziale
lineare a coefficienti costanti qualora sia possibile definire una condizione di equilibrio tale per cui la
configurazione del sistema non cambi. Ne verrà fatto largo uso nello studio della dinamica delle vibrazioni
per i sistemi meccanici, nei capitoli 6, 13 e 14; la capacità di ridurre in questa forma anche problemi in
cui sono presenti forze arbitrariamente dipendenti dalla configurazione consente di affrontare e risolvere
importanti problemi di aeroelasticità, ovvero in cui riveste un ruolo fondamentale la dipendenza delle
forze aerodinamiche dal movimento della struttura, come verrà illustrato nel Capitolo 16.
5.4 Esempi
Gliesempirelativiallalinearizzazionesonoattualmenteinrevisione; verrannoresidisponibiliilpiùpresto
possibile.
5-12

Capitolo 6
Sistemi vibranti ad un grado di
libertà — Parte I
Generato il 16 gennaio 2012
6.1 Meccanica delle vibrazioni
Per le macchine viste finora, è quasi sempre possibile effettuare uno studio considerandole a un solo grado
di libertà, dove ogni elemento è ritenuto rigido. In realtà essi sono approssimati, pertanto i nostri schemi
sono approssimati. La deformabilità degli elementi componenti può essere voluta o indesiderata: ad
esempio le sospensioni di un veicolo sono elementi volutamente deformabili. Purtroppo, per le difficoltà
che insorgono nello studio e per gli effetti collaterali, sono ben più importanti i casi di deformabilità
dinamica non voluta, quando un elemento che il progettista vorrebbe rigido si deforma, dando luogo
di regola a moti vibratori indesiderati e dannosi. Per lo studio di questi moti vibratori è necessario
fare qualche considerazione sui modelli matematici atti a descrivere tali fenomeni. Spesso la difficoltà
consiste nell’associare un modello deformabile a qualcosa che nella realtà il progettista vorrebbe rigido.
Ovviamente questi schemi devono essere i più semplici possibili ed è possibile suddividerli in due gruppi:
• modelli continui (a infiniti gradi di libertà) derivanti dalla Scienza delle Costruzioni, dove riferendoci,
ad esempio, a una trave, ogni punto di questa può muoversi e ogni sezione può ruotare.
Per descriverne il comportamento è necessario conoscere una funzione f (x) e delle equazioni alle
derivate parziali. Tali modelli vengono usati per lo studio delle vibrazioni trasversali di travi o funi;
• modelli discreti (a n finiti gradi di libertà) che contrastano con l’osservazione del fenomeno fisico
secondo la quale la deformabilità e l’inerzia sono distribuite nel sistema fisico.
Per fortuna, molte volte è possibile ricondurre il modello reale a sistemi a uno o pochi gradi di libertà.
Si tenga presente che, per utilizzare modelli a uno o pochi gradi di libertà, è necessario prima effettuare
lo studio con schemi a un numero maggiore di g.d.l. e capire sotto quali condizioni si può tornare a pochi
g.d.l. senza perdere informazioni importanti per la risoluzione del problema.
Un velivolo in atterraggio, ad esempio, come quello illustrato in figura 6.1, possiede una velocità che
non è mai perfettamente orizzontale, e per questo i carrelli sono dotati di opportuni molleggi che hanno
il compito di dissipare l’energia associata alla componente verticale di tale velocità. Se analizziamo in
prima approssimazione l’impatto del velivolo sul campo d’atterraggio, trascurando, nel breve intervallo
di tempo in cui avviene l’impatto, l’effetto dovuto alla componente orizzontale della velocità, si nota che
il comportamento dinamico del sistema, grazie alla grande rigidezza della fusoliera rispetto agli elementi
elastici del treno d’atterraggio, può essere rappresentato dalla seguente equazione differenziale.
−m¨y −ky = 0 (6.1)
6-1

Figura 6.1: Velivolo in atterraggio.
Figura 6.2: Pendolo.
Altro esempio, noto dalla Meccanica Razionale, è quello del pendolo, illustrato in figura 6.2, per il
quale la scrittura dell’equazione di equilibrio alla rotazione attorno alla cerniera O porta a
−ml 2¨ θ −mglsinθ = 0 (6.2)
ove la dipendenza del momento dall’angolo θ, per piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio,
definita da θ = 0, può essere così linearizzata
sinθ ∼ = sin(0)+ dsinθ
�
�
� ∆θ = ∆θ (6.3)
dθ
� θ=0
dando luogo a una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti
−¨ θ − g
θ = 0 (6.4)
l
simile a quella già vista per il velivolo.
6.2 Moto libero non smorzato
Trattiamo il problema delle vibrazioni a un solo g.d.l. in modo generale, studiando per ora il caso che
sul sistema dinamico, considerato in assenza di attriti o smorzamento, non agiscano forze esterne.
Per mettere in equazione il modello meccanico, dobbiamo scegliere la coordinata libera, ovviamente
la x, e sceglierne l’origine.
6-2

Figura 6.3: Sistema vibrante a un grado di libertà, senza attrito.
Vedremo in seguito il motivo, ma risulta comodo misurare la coordinata libera (ovvero le coordinate
libere in sistemi a più gradi di libertà) a partire dalla posizione di equilibrio statico. Consideriamo
un moto traslatorio della massa e scriviamo l’equazione di moto del sistema. Utilizzando gli equilibri
dinamici, in una generica posizione deformata x(t), agiranno sul corpo la forza d’inerzia e la forza di
richiamo elastico della molla, ovvero
−m¨x−kx = 0 (6.5)
che noi per convenzione riscriviamo con il segno cambiato, tenendo a sinistra dell’uguale le forze dipendenti
dalla configurazione con il segno cambiato e portando le altre forze (in questo caso assenti) a destra
m¨x+kx = 0 (6.6)
Si ottiene un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, la cui soluzione è del
tipo
x(t) = Ae λt
dove A è una costante arbitraria e λ un parametro da determinare. Sostituendo la soluzione (6.7)
nell’equazione di partenza (6.6)
mAλ 2 e λt +kAe λt = 0 (6.8)
che, trascurando la soluzione banale A = 0 che rappresenta la condizione di equilibrio statico, porta a
λ 2 = − k
m
ovvero
�
λ1,2 = ± − k
�
k
= ±i
m m
= ±iω0
(6.10)
(6.7)
(6.9)
La soluzione dell’equazione differenziale (6.6) è quindi data dalla combinazione lineare delle due
soluzioni date da λ1 e λ2
x(t) = A1e iω0t +A2e −iω0t
(6.11)
Lo spostamento x(t) è una quantità reale, mentre per la forma dell’equazione (6.6) lo spostamento
risultante dalla sua soluzione in generale è complesso:
x(t) = (A1 +A2)cos(ω0t)+i(A1 −A2)sin(ω0t) (6.12)
per cui affinché x(t) sia reale, occorre che la somma delle costanti A1 e A2 sia reale e la loro differenza
immaginaria, ovvero occorre che siano complesse coniugate.
Se si prende come tempo iniziale t0 = 0, cosa sempre lecita a patto di ridefinire l’origine dell’asse
dei tempi, dal momento che i coefficienti dell’equazione (6.6) non dipendono dal tempo, si nota che, per
t = 0, la soluzione (6.12) vale
x(0) = A1 +A2
6-3
(6.13)

mentre la sua derivata vale
Figura 6.4: Oscillazione armonica.
˙x(0) = iω0(A1 −A2) (6.14)
Le relazioni (6.13) e (6.14) mostrano come le costanti A1 e A2 siano in relazione con le condizioni
iniziali del moto, dalle quali si ricavano:
⎧
⎪⎨ A1 =
⎪⎩
1
�
x(0)+
2
˙x(0)
�
iω0
A2 = 1
�
x(0)−
2
˙x(0)
� (6.15)
iω0
Consideriamo ancora lo stesso oscillatore già visto, ma supponiamolo anche soggetto alla gravità. Nel
precedente esempio avevamo posto l’origine della coordinata libera (x = 0) dove è nulla la forza esercitata
dalla molla. Anche in questo caso porremo l’origine y = 0 dove la molla è scarica.
L’equazione di equilibrio dinamico porta a
ovvero
−m¨y −ky +mg = 0 (6.16)
m¨y +ky = mg, (6.17)
equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa. Se prendiamo ora come origine della
coordinata libera x la posizione di equilibrio statico y0, sarà
e
con
y = y0 +x (6.18)
¨y = ¨x, (6.19)
y0 = mg
k
(6.20)
che sostituite portano a
�
mg
−m¨x−k
k +x
�
+mg = 0 (6.21)
6-4

da cui
Figura 6.5: Oscillatore smorzato.
m¨x+kx = 0. (6.22)
Ovvero, se non interessa lo studio del moto derivante dall’applicazione di una forza costante nel tempo,
conviene scegliere l’origine della coordinata libera nel punto di equilibrio statico, in quanto si ottiene
sempre un’equazione differenziale omogenea.
6.3 Vibrazioni libere smorzate
Smorzamento viscoso. Durante la vibrazione libera, l’energia è dissipata in vari modi, e un moto
con ampiezza costante non può essere mantenuto senza che venga continuamente fornita energia.
È difficile una formulazione esatta del fenomeno dissipativo, in quanto questo può essere funzione
dello spostamento, della velocità, dello stato di deformazione, del tempo o di altro.
Un modello ideale, spesso soddisfacente, è quello dello smorzamento viscoso, secondo il quale la forza
dissipativa è espressa da
F = −r˙x = −c˙x, (6.23)
dove r è utilizzato nella bibliografia italiana, mentre c in quella di lingua anglosassone. L’equazione di
equilibrio dinamico del nostro solito oscillatore diverrà quindi
−m¨x−r˙x−kx = 0 (6.24)
che può essere risolta usando la solita forma (6.7) la quale, sostituita nell’equazione differenziale di
partenza (6.24) porta all’equazione lineare
�
λ 2 + r
�
k
λ+ Ae
m m
λt = 0 (6.25)
che ammette come soluzioni non banali (per A �= 0 e valide per qualsiasi valore di t)
λ1,2 = − r
2m ±
�
�
r
�2 −
2m
k
m
e la soluzione generale per la vibrazione libera smorzata è data da
x(t) = Ae λ1t +Be λ2t
dove A e B sono costanti arbitrarie dipendenti dalle condizioni iniziali.
6-5
(6.26)
(6.27)

Smorzamento critico. Il comportamento dell’oscillatore smorzato dipende dal valore numerico del
radicando
∆ =
�
r
�2 −
2m
k
m
(6.28)
detto anche discriminante. A seconda che esso sia maggiore o minore di zero, le radici saranno reali
e distinte o complesse coniugate. Quindi è ragionevole prendere come valore di riferimento per lo
smorzamento, detto anche smorzamento critico, quello per il quale il radicando si annulla:
rc = 2 √ mk (6.29)
A questo punto lo smorzamento effettivo del sistema può essere espresso in forma adimensionale come
frazione dello smorzamento critico rc, dal rapporto
ξ = r
rc
detto anche indice di smorzamento 1 . Ne consegue che
r rc
= ξ
2m 2m = ξ2√ �
km k
= ξ = ξω0
(6.31)
2m m
e quindi le radici del polinomio caratteristico sono espresse dalla relazione
λ1,2 =
(6.30)
�
−ξ ±i � 1−ξ 2
�
ω0 |ξ| < 1 (6.32)
Ovviamente se |ξ| ≥ 1 questa rappresentazione perde di interesse, in quanto il radicando della (6.32)
diventa a sua volta negativo, e le radici λ1,2 diventano reali e distinte. A questo punto, conviene scrivere
λ1,2 =
�
−ξ ± � ξ2 �
−1 ω0 |ξ| ≥ 1 (6.33)
Si ricordi che è opportuno ragionare sul modulo di ξ in quanto, in casi particolari, lo smorzamento
r potrebbe essere negativo e portare quindi ad un comportamento instabile; si veda il capitolo 7 ed
il capitolo 16 per una discussione più approfondita. Posto σ = −ξω0 e ω = � 1−ξ 2 ω0, la generica
soluzione (6.27) assume la forma
x(t) = ((A+B)cos(ωt)+i(A−B)sin(ωt))e σt
(6.34)
Anche in questo caso, valutando la soluzione (6.34) e la sua derivata all’istante iniziale, si possono
esprimere i coefficienti A e B in funzione delle condizioni iniziali:
e
x(0) = A+B (6.35)
˙x(0) = σ(A+B)+iω(A−B) (6.36)
da cui si ricava
⎧
⎪⎨ A =
⎪⎩
1
�
x(0)+
2
˙x(0)−σx(0)
�
iω
B = 1
�
x(0)−
2
˙x(0)−σx(0)
� (6.37)
iω
6-6

Figura 6.6: Oscillazione smorzata.
Figura 6.7: Risposta supercritica.
Smorzamento minore di quello critico: 0 < ξ < 1. La soluzione generale diventa
�� �
1−ξ 2ω0t+φ x(t) = e −ξω0t�
Ae i√ 1−ξ 2 ω0t +Be −i √ 1−ξ 2 ω0t �
= Xe −ξω0t sin
e il moto risulta periodico con pulsazione
ω = � 1−ξ 2 ω0
e ampiezza decrescente nel tempo con legge esponenziale.
(6.38)
(6.39)
Smorzamento maggiore di quello critico: ξ > 1. In questo caso le due radici sono reali, e la
soluzione generale diventa
x(t) = Ae
�
−ξ+ √ ξ2 �
−1
ω0t +Be
�
−ξ− √ ξ2 �
−1
ω0t . (6.40)
Il moto non è più oscillatorio, ma si smorza col tempo in modo esponenziale.
1 In alcuni ambiti, lo smorzamento è descritto in termini di fattore di qualità (quality factor), indicato con Q. Il fattore
di qualità indica il rapporto fra la quantità di energia immagazzinata dal sistema e quella dissipata in un ciclo. Tanto meno
è smorzato un sistema, tanto più alto è il suo fattore di qualità. Un sistema non smorzato ha fattore di qualità Q = ∞.
L’equivalenza tra il fattore di qualità Q e il coefficiente di smorzamento ξ è Q = 1/(2ξ).
6-7

Figura 6.8: Risposta critica.
Figura 6.9: Confronto tra le risposte al variare del coefficiente di smorzamento.
Smorzamento uguale a quello critico: ξ = 1. In quest’ultimo caso le due radici sono reali e
coincidenti. In questo caso l’integrale generale assumerà la forma
x(t) = (A+tB)e −ω0t
(6.41)
Per cui il moto libero non è più oscillatorio ma si smorza anch’esso in modo esponenziale.
Non sono stati considerati i casi per cui ξ < 0; in tali casi il sistema ha comportamento instabile e,
dallo studio del modulo di ξ, in totale analogia con quanto visto sopra, si può dedurre se l’instabilità
si manifesta come una oscillazione che cresca esponenzialmente (0 > ξ > −1) o come una divergenza
statica (ξ < −1).
Confrontando per lo stesso oscillatore l’andamento del moto libero al variare dell’indice di smorzamento
ξ per le medesime condizioni iniziali
�
x(0) = 1
(6.42)
˙x(0) = 0
come illustrato in figura 6.9, si nota che:
• indipendentemente dalle condizioni iniziali il moto libero si annulla sempre dopo un tempo più o
meno lungo;
• a parità di condizioni iniziali, il tempo necessario per smorzarsi dipende da ξ;
• a parità di condizioni iniziali, per ξ = 1 il tempo è minimo (strumenti di misura, artiglierie, ecc.).
6-8

6.4 Moto forzato
Sempre in assenza di smorzamento e di attriti, vediamo ora che cosa succede se applichiamo al sistema
una forza esterna F (t) che supponiamo per semplicità armonica 2 , ovvero
F (t) = F0sin(ωt) (6.43)
con F0 e ω noti. L’equazione di equilibrio per la massa m diventa
m¨x+kx = F0sin(ωt) (6.44)
equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa il cui integrale generale è dato dall’integrale
generale dell’omogenea associata più l’integrale particolare
ovvero
con
x(t) = xg(t)+xp(t) (6.45)
x(t) = Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)+xp(t) (6.46)
xp(t) = Csin(ωt) (6.47)
integrale particolare che sostituito nell’equazione (6.44) di partenza
dà
−mCω 2 sin(ωt)+kCsin(ωt) = F0sin(ωt) (6.48)
C =
F0
k −mω 2
quindi la (6.46) diventa
x(t) = Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)+
(6.49)
F0
sin(ωt) (6.50)
k −mω2 Il moto risultante è quindi somma di due funzioni armoniche, una con pulsazione ω0, caratteristica del
sistema, e l’altra con pulsazione ω, data dalla forzante.
Per effetto degli inevitabili smorzamenti, l’integrale generale dell’omogenea associata, come visto,
tende a zero col crescere del tempo, per cui a noi interessa studiare il solo integrale particolare che
rappresenta il comportamento vibratorio a regime del sistema 3 :
x(t) t≫t0
∼=
F0
sin(ωt) (6.51)
k −mω2 Analizziamo l’ampiezza C del moto a regime al variare dei parametri:
• se la pulsazione ω della forzante tende a zero, l’ampiezza di vibrazione C tende a un valore pari
alla deformazione indotta dalla forza F0 applicata staticamente;
• se la pulsazione ω cresce, l’ampiezza C aumenta (fenomeno dell’amplificazione dinamica) fino a un
asintoto verticale (risonanza):
lim |C| = ∞ (6.52)
ω→ω0
• al crescere ulteriore della pulsazione ω della forzante, l’ampiezza della risposta si annulla:
lim |C| = 0 (6.53)
ω→∞
6-9

Figura 6.10: Risposta in frequenza di un sistema vibrante forzato.
Attenzione: se siamo in risonanza, la soluzionecade in difettoin primoluogo perchéil comportamento
dellamollaèlinearesoloperpiccolispostamenti. Inoltre, dobbiamoricordarechelecostantiAeB devono
essere calcolate per la soluzione generale completa rappresentata dalla (6.46) per cui
�
x(0) = A+xp(0)
(6.54)
˙x(0) = ω0B + ˙xp(0)
supponendo, per t = 0, che tanto lo spostamento quanto la velocità siano nulle, si ottiene
x(t) = F0
�
1
� �
k 2 sin(ωt)−
ω
1−
ω
�
sin(ω0t)
ω0
ω0
ω0
(6.55)
che fornisce una forma indeterminata del tipo 0/0 per ω → ω0. Applicando alla (6.55) la regola di de
l’Hôpital si ottiene
�
F0 1
lim x(t) = lim � �
ω→ω0 ω→ω0 k 2 sin(ωt)−
ω
1−
ω
�
sin(ω0t) =
ω0
F0
2k (sin(ω0t)−ω0tcos(ω0t)) (6.56)
per cui sarebbe comunque necessario tempo infinito, anche in condizioni ideali di linearità delle forze
elastiche, per raggiungere ampiezze infinite. Ricordando, infine, che
C =
F0
k −ω2 F0/k
=
m
1− ω2 =
m
k
1−
δst
� ω
si definisce il coefficiente di amplificazione dinamica H come
H(ω) = C
δst
=
1−
1
�
ω
ω0
� 2
ω0
� 2
(6.57)
(6.58)
2 Sotto ampie ipotesi, una forzante generica può essere descritta da una funzione periodica, ovvero una funzione per la
quale f (t+T) = f (t), con T pari al suo periodo. Un’ampia classe di funzioni periodiche può essere sviluppata in serie di
Fourier, ovvero in serie di funzioni armoniche e quindi, per la linearità del problema, la risposta ad una generica forzante
può essere espressa come combinazione lineare della risposta a forzanti alle diverse armoniche che costituiscono la serie.
3 La (6.51), a rigore, è vero solo in presenza di smorzamento; tuttavia spesso si opera questa semplificazione anche
in assenza di smorzamento esplicito nell’equazione (6.44), avendo tacitamente assunto che lo smorzamento nel sistema è
sufficientemente piccolo da consentire di ignorarlo, ma è sicuramente presente in misura sufficiente da cancellare, dopo un
tempo sufficientemente elevato, il moto libero della (6.46).
6-10

Figura 6.11: Sistema vibrante per spostamento del vincolo.
6.5 Moto forzato per spostamento del vincolo
Consideriamo il solito sistema che si muova rispetto ad un osservatore assoluto con una legge y(t) nota,
come rappresentato in figura 6.11.
Definiamo x(t) lo spostamento assoluto della massa e misuriamo lo spostamento dalla posizione di
equilibrio statico che sarà definita da
y(t) = x(t)−xr(t) = 0 (6.59)
ove xr(t) indica lo spostamento relativo della massa, e quindi l’allungamento della molla. Scrivendo
l’equazione di equilibrio dinamico, otteniamo
ovvero
m¨x+k(x−y(t)) = 0, (6.60)
m¨x+kx = ky(t) (6.61)
che è un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa del tutto simile a quella già vista
nel moto forzato.
Per un osservatore relativo, l’equazione di equilibrio dinamico diventa invece
ovvero
m(¨xr + ¨y(t))+kxr = 0, (6.62)
m¨xr +kxr = −m¨y(t) (6.63)
Si supponga che il moto del vincolo sia armonico, di frequenza ω e ampiezza b:
y(t) = bsin(ωt) (6.64)
per cui la (6.61) diventa
m¨x+kx = kbsin(ωt) (6.65)
che ha, come integrale particolare,
xp(t) =
kb
k −ω2 sin(ωt) = Xsin(ωt) (6.66)
m
ove X è l’ampiezza di vibrazione nel moto assoluto della massa m. In termini adimensionali:
X
b =
1−
1
�
ω
ω0
� 2
6-11
(6.67)

Figura 6.12: Sistema vibrante per squilibrio dinamico.
del tutto analogo al coefficiente di amplificazione H già definito. Pertanto, una molla potrà esseredefinita
“rigida”quando non vi è moto relativo, e quindi
X
b ∼ = 1 (6.68)
ovvero
ω 2 0 ≫ ω 2
Considerando ora l’osservatore relativo, la (6.63) diventa
e quindi
(6.69)
m¨xr +kxr = mω 2 bsin(ωt) (6.70)
xrp(t) = mω2 b
k −ω 2 m sin(ωt) = Xrsin(ωt) (6.71)
che, in termini adimensionali, diventa
� �2 ω
Xr
b =
1−
ω0
� ω
ω0
� 2
(6.72)
Moto forzato dovuto a squilibri rotanti. Supponiamodiavereunamacchinaconunaparterotante,
avente massa propria M e uno squilibrio di momento statico rispetto all’asse di rotazione, definito
attraverso una massa m e un braccio e rispetto all’asse di rotazione. Supponiamo che la velocità angolare
ω sia costante.
L’accelerazione assoluta della massa eccentrica sarà
�a =�ar +�at = − � � ω 2 e � �e iωt + ¨ �x (6.73)
dove, con un certo abuso di notazione, si sono combinati il formalismo esponenziale dei fasori per quanto
riguarda l’accelerazione relativa, centripeta, a cui è soggetta la massa eccentrica, e la notazione vettoriale
6-12

più classica per l’accelerazione di trascinamento a cui è soggetta la massa M. Avremo quindi, misurando
gli spostamenti x, positivi verso l’alto, a partire dalla posizione di equilibrio statico, l’equazione della
dinamica dell’intero sistema
ovvero
M¨x+m � −ω 2 esin(ωt)+ ¨x � +2kx = 0 (6.74)
(M +m)¨x+2kx = mω 2 esin(ωt) (6.75)
e l’integrale particolare, in condizioni di regime, varrà
e quindi
xp(t) =
X(ω)
e
meω2 sin(ωt) = X(ω)sin(ωt) (6.76)
2k −(M +m)ω 2
m
=
M +m
ω 2 0
ω 2
� ω
� 2
m ω0
= �
−ω2 M +m
ω
1−
ω0
� 2
(6.77)
Si noti che la macchina al variare della velocità trasmetterà al terreno una forza variabile nel tempo pari
a
Ftr = 2kXsin(ωt) (6.78)
che forzerà il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzerà a sua
volta a vibrare, per spostamento di vincolo, le altre strutture posate su di esso.
Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse di rotazione sia baricentrico
(e anche principale d’inerzia come vedremo), la forzante si annulla e il fenomeno scompare in
quanto l’equazione di moto risulta essere la soluzione di
(M +m)¨x+2kx = 0 (6.79)
6.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica
La soluzione a regime per un’eccitazione di tipo armonico ha una validità del tutto generale in quanto:
• un’eccitazione periodica è scomponibile, sotto ipotesi largamente accettabili e verificate nella pratica,
in una serie di eccitazioni armoniche (serie di Fourier);
• i sistemi meccanici di cui ci occupiamo sono descritti da equazioni differenziali lineari e quindi vale
il principio di sovrapposizione degli effetti.
Quindi, la risposta del sistema meccanico è fornita dalla sovrapposizione delle risposte alle singole
componenti armoniche in cui è sviluppabile la generica eccitazione periodica.
Inoltre, tali risposte, in condizioni di regime, sono date dai soli integrali particolari in quanto gli
integrali generali delle omogenee associate, per effetto delle inevitabili dissipazioni, tendono comunque a
zero in un tempo più o meno lungo.
L’equazione differenziale del moto può essere scritta come
m¨x+r˙x+kx = F0e iωt
la cui soluzione è data da
(6.80)
x(t) = xg(t)+xp(t) (6.81)
6-13

Figura 6.13: Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.
Tralasciamo, per quanto più volte detto, il contributo dell’integrale generale dell’omogenea associata;
quindi, a regime:
con
x(t) ∼ = xp(t) (6.82)
xp(t) = Xe iωt = |X|e iφ e iωt = |X|e i(ωt+φ) ÷|X|sin(ωt+φ) (6.83)
con X e φ calcolati sostituendo nell’equazione differenziale l’integrale particolare. Sostituendo quindi
la (6.83) nell’equazione differenziale (6.80) di partenza otteniamo
� −mω 2 +irω +k � Xe iωt = F0e iωt
(6.84)
che ammette come soluzione valida per tutti i valori di t
con
X =
F0
k −mω 2 +irω =
φ = −tan −1
�
ωr
k −mω2 �
Ricordando che
F0
�
(k −mω 2 ) 2 +r 2 ω 2
• ω0 = � k/m è la frequenza propria del sistema non smorzato;
• ξ = r/rc è il fattore di smorzamento, rapporto tra lo smorzamento ed il suo valore critico;
• rc = 2mω0 è lo smorzamento critico;
• X(0) = F0/k è la freccia statica, per effetto della forzante F0 a pulsazione nulla,
otteniamo
|X| 1
= �
X0 �⎛
�
� � ⎞
2
� ω
�⎝1−
⎠
ω0
2
+
�
2ξ ω
ω0
� 2
e iφ
6-14
(6.85)
(6.86)
(6.87)

Figura 6.14: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel disegno ω/ω0
è indicato con ω/ωn, lo smorzamento r è indicato con c, mentre la fase φ è rappresentata con segno
opposto).
e
⎛
φ = −tan −1
⎜ 2ξ
⎜
⎝
ω
ω0
�
ω
1−
ω0
� 2
⎞
⎟
⎠
(6.88)
Possiamo rappresentare graficamente in figura 6.14 l’andamento dell’integrale particolare in funzione del
rapporto ω/ω0. Si notano due zone: per ω/ω0 < 1 e per ω/ω0 > 1, con il caso ω/ω0 = 1 a fare da
spartiacque.
Si può effettuare un’interessante analisi qualitativa del comportamento del sistema studiando il
diagramma vettoriale delle forze agenti sulla massa: dall’equazione di equilibrio
m¨x+r˙x+kx = F0e iωt
una volta sostituita la soluzione particolare
xp(t) = Xe iωt
(6.89)
(6.90)
con X complesso, le singole forze sono descritte da coefficienti complessi che hanno una rappresentazione
molto chiara nel piano complesso avente come riferimento la direzione e iωt :
−mω 2 Xe iωt +irωXe iωt +kXe iωt = F0e iωt
(6.91)
ovvero
�� � � 2 iωt
−mω +irω +k X −F0 e = 0 (6.92)
quindi in generale si può costruire graficamente un trapezio rettangolo, avente come basi le forze elastica
e inerziale, come altezza la forza viscosa, e come quarto lato la forzante esterna. Ad una data pulsazione
ω corrispondono ben precise lunghezze delle basi e dell’altezza; data l’ampiezza della forzante F0, la
chiusura del trapezio si ottiene variando il modulo e la fase attraverso la scelta di X.
6-15

(a) ω/ω0 < 1.
(b) ω/ω0 = 1.
(c) ω/ω0 > 1.
Figura 6.15: Risposta di un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.
6-16

• ω/ω0 < 1: l’angolo di fase è piccolo e quindi è principalmente la forza della molla ad equilibrare la
forzante esterna, cui si somma la forza d’inerzia, come illustrato in figura 6.15(a).
• ω/ω0 = 1: l’angolo di fase è pari a 90 gradi, per cui la forzante esterna è equilibrata dalla sola forza
viscosa, come illustrato in figura 6.15(b). L’ampiezza di vibrazione a regime è pari a
|X| = F0
=
rω0
X(0)
2ξ
(6.93)
• ω/ω0 > 1: l’angolo di fase cresce e si avvicina a 180 gradi; la forza impressa è equilibrata quasi
integralmente da quella d’inerzia, come illustrato in figura 6.15(c).
Esercizio 6.1 Si consideri un motore elettrico in c.c. che comanda un carico costituito da una inerzia
Ju collegata al motore da un albero flessibile, descrivibile mediante una molla rotazionale di rigidezza kθ
e uno smorzamento strutturale rθ. Si progetti un controllo proporzionale tra la tensione di alimentazione
e la rotazione del motore, facendo attenzione a come le caratteristiche dinamiche del carico possono
influenzare il progetto.
6-17

6-18

Capitolo 7
Cenni sulla stabilità
Generato il 16 gennaio 2012
7.1 Che cosa si intende per stabilità
Il termine“stabilità”indica la sensitività della soluzione di un problema matematico alle perturbazioni.
Spessoladefinizionedi stabilità, la suaportataed il significatosiafisicochematematicocheessasottende
sfuggono allo studente frettoloso o distratto. Queste brevi note non vogliono tanto rappresentare una
trattazione rigorosa e completa dal punto di vista matematico, quanto una sorta di breviario che aiuti
non solo lo studente del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali a superare l’esame, ma in generale
gli studenti di Ingegneria Aerospaziale ad orientarsi nella terminologia e nella scelta degli strumenti più
adatti a risolvere i problemi fondamentali della dinamica dei sistemi, in un linguaggio che sia il più
possibile corretto e allo stesso tempo conforme alla terminologia in uso nel settore.
Lo studio della stabilità così come interessa il corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali si applica
tipicamente alle soluzioni
y = y(t) (7.1)
dei problemi
f (y, ˙y,t) = 0, y(t0) = y0. (7.2)
In generale, non è possibile affermare che un generico sistema sia stabile; tuttavia, è possibile studiare
la stabilità di una particolare soluzione.
Solo in caso di sistemi lineari a coefficienti costanti 1 si può studiare la stabilità del sistema, in quanto
la struttura della generica soluzione, il cosiddetto integrale generale, è nota a partire dalle caratteristiche
del sistema, e ha la forma
y(t) = y(t0)e λ(t−t0)
con λ complesso e dipendente solo dai coefficienti del sistema, mentre y(t0) rappresenta le condizioni
iniziali. Anche in questo caso, quindi, lo studio della stabilità si applica ad una specifica soluzione, e solo
per la specificità del problema, ovvero per l’unicità della soluzione di un sistema lineare, è possibile da
questo studio risalire a caratteristiche globali di stabilità del sistema.
7.2 Definizione di stabilità
Esistono diverse definizioni di stabilità, a seconda di che cosa venga perturbato (stato, parametri, ...).
Nel caso in esame, oggetto del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, si intende studiare la stabilità
alla perturbazione dello stato.
1 In caso di sistemi lineari a coefficienti dipendenti dal tempo, se periodici, è ancora possibile studiare la stabilità con
metodi dedicati; si veda ad esempio la teoria di Floquet.
7-1
(7.3)

Si considerino gli enunciati:
Una soluzione si dice stabile se, comunque venga fissata la misura della distanza tollerabile, è
possibiledeterminareunvalorenonnullodiperturbazioneinizialedellasoluzionecheconsente
alla soluzione perturbata di rimanere al di sotto di tale distanza per tutti gli istanti di tempo
successivi a quello iniziale 2 . In forma rigorosa: una soluzione di equilibrio ye si dice stabile
al tempo t0 se e solo se per ogni ǫ > 0 esiste un valore δ(ǫ) > 0 tale che �y(t0)−ye� < δ(ǫ)
implica �y(t)−ye� < ǫ qualunque sia t ≥ t0.
Una soluzione si dice asintoticamente stabile se è stabile e la soluzione perturbata, dopo un
tempo sufficientemente lungo (al limite, infinito), ritorna alla soluzione di riferimento.
Una soluzione si dice instabile se non è stabile, ovvero non è possibile determinare un valore
non nullo della perturbazione iniziale che le consenta di rimanere al di sotto della distanza
fissata per tutti gli istanti successivi a quello iniziale.
Si badi bene che la perturbazione si applica allo stato, ovvero, per un sistema meccanico descritto
da un’equazione o da un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, può essere applicata
separatamente alla posizione e alla velocità.
Quando si parla di perturbazione di una soluzione, si intende che viene perturbato lo stato ad un dato
istante di tempo t0; quindi, in quell’istante di tempo, lo stato perturbato presenta un salto (uno scalino)
rispetto al valore della soluzione di riferimento.
Come questa perturbazione venga applicata non riveste alcuna importanza; quindi, nel caso di un
problema meccanico, è limitativo parlare di forze usate per applicare la perturbazione; ciò non toglie che
la definizione di stabilità come effetto sulla soluzione di un ingresso impulsivo, come viene proposto da
altri corsi, sia collegato alla definizione proposta. Infatti, si può dimostrare che, in un sistema meccanico,
una forza impulsiva corrisponde ad una perturbazione della velocità 3 .
7.3 Stabilità ed equilibrio
Si noti bene che la definizione di stabilità si riferisce ad una soluzione qualunque, anche dipendente dal
tempo; infatti, in essa, non si parla mai di equilibrio.
Equilibrio e stabilità sono due concetti distinti.
La soluzione di equilibrio,
y(t) = ye = costante, (7.4)
incuiladerivatadiordineminimodacuidipendeilproblemaècostanteneltempo,assumeun’importanza
fondamentalein meccanicaed in dinamica in generale. In corrispondenzadi una soluzionedi equilibrio, lo
studio della stabilità delle piccole oscillazioni è significativo in quanto, se la configurazione di riferimento
è di equilibrio e l’ampiezza delle oscillazioni è limitata, da una parte può essere lecito ritenere che il
comportamento di un modello linearizzato del problema non si discosti molto da quello del sistema
reale (ma non è detto che ciò sia sempre lecito); dall’altra, i coefficienti risultanti dalla linearizzazione
del problema, valutati nella soluzione di equilibrio, possono essere ritenuti costanti a meno che non
contengano una dipendenza esplicita dal tempo.
Quindi si ricade nel caso del problema lineare a coefficienti costanti, per il quale, dallo studio della
stabilità della soluzione generale, è possibile risalire a risultati di validità generale, a condizione che le
ipotesi fatte sulla linearizzazione siano rispettate.
2 Questa definizione di stabilità si dice uniforme; la definizione più generale prevede che il valore della perturbazione
possa dipendere dall’istante in cui viene applicata.
3 Ciò che in effetti viene applicato è un impulso di quantità di moto per perturbare la velocità, oppure una derivata di
impulso di quantità di moto per perturbare la posizione. Tuttavia, questo approccio presuppone che attraverso l’ingresso
del sistema sia possibile perturbare tutto lo stato; allo stesso modo, si assume che osservando l’uscita sia possibile osservare
tutto lo stato. Entrambe le condizioni potrebbero non essere verificate per sistemi con stati cosiddetti non raggiungibili
oppure non osservabili.
7-2

Riassumendo: lo studio della stabilità attorno ad una soluzione di equilibrio riveste per noi un’importanza
fondamentale essenzialmente perché tale tipo di movimento è molto importante nella pratica, e
perchétale studio può essereeffettuato, sotto certe ipotesi, con strumentianalitici relativamentesemplici.
Tuttavia lo studio della stabilità non è limitato a questo tipo di problemi, e ha valenza molto più ampia.
7.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione di equilibrio
Il generico problema dinamico del secondo ordine, rappresentativo di un problema meccanico ad un grado
di libertà 4
f (y, ˙y,¨y,t) = 0, (7.5)
unavoltalinearizzatoattornoadunasoluzionediequilibrioy(t) = ye costante, inunproblemameccanico
ad un grado di libertà assume la forma
M∆¨y +R∆˙y +K∆y = f (ye,0,0,t), (7.6)
oveleforzedipendentidallacoordinataliberay sonostateriassuntedaicoefficientidimassaM, resistenza
R e rigidezza K equivalenti, ovvero
M = − ∂f
∂¨y
, R = −∂f
∂˙y
La soluzione dell’equazione omogenea associata
, K = −∂f . (7.7)
∂y
M¨y +R˙y +Ky = 0, (7.8)
indicata in Equazione (7.3) e qui riprodotta per chiarezza
y(t) = Ce λt , (7.9)
èrappresentatadaunmovimentoesponenzialeche,incasodiesponentecomplesso,modulaunmovimento
oscillante armonicamente, in quanto se λ = σ +iω, con σ e ω reali,
e (σ+iω)t = e σt (cos(ωt)+isin(ωt)). (7.10)
7.3.2 Stabilità della soluzione del problema linearizzato
La parte reale dell’esponente λ determina l’evoluzione del movimento.
Se la parte reale è positiva, il movimento è instabile.
Se la parte reale è negativa, il movimento è asintoticamente stabile.
Se la parte reale è nulla, il movimento è stabile (secondo alcuni autori, semplicemente stabile).
Dal momento che la soluzione indicata in Equazione (7.3) per la linearità del sistema è unica, e
dipende dalle condizioni iniziali solo nel coefficiente moltiplicativo C, le considerazioni precedenti si
applicano all’intero sistema, ovvero a tutte le sue soluzioni, dal momento che fra loro si distinguono solo
per il coefficiente C, che non ha alcuna influenza sulle caratteristiche di stabilità della soluzione.
L’esponente λ, radice del polinomio caratteristico, è dato da
λ = − R
2M ±
� R 2
In base al valore del discriminante
∆ = R2 K
−
4M2 M
si possono distinguere tre casi.
K
− . (7.11)
4M2 M
(7.12)
4 In questa trattazione si fa essenzialmente riferimento a problemi meccanici, anche se la trasposizione a problemi generici
delle considerazioni svolte è, o dovrebbe essere, immediata.
7-3

Figura 7.1: Stabilità del pendolo.
1. Per ∆ > 0, le radici sono reali e distinte, e sono date dall’Equazione (7.11). A seconda dei valori
dei parametri, possono essere tutte positive; in ogni caso, per R/M ≤ 0 almeno una è positiva, ma
anche per R/M > 0 si può avere una radice positiva, qualora K/M < 0; in tale caso, infatti, la
radice positiva del discriminante è maggiore in modulo di R/(2M).
2. Per ∆ = 0, le radici sono reali e coincidenti
λ = − R
. (7.13)
2M
Se R/M < 0 sono entrambe positive e quindi la soluzione è instabile.
3. Per ∆ < 0, le radici sono complesse coniugate
λ = − R
2M ±i
�
K
M
− R2
4M 2.
(7.14)
Il segno della parte reale è determinato da R/M; anche in questo caso per R/M < 0 la soluzione è
instabile.
7.3.3 Validità dello studio del problema linearizzato
Lostudiodellastabilitàdellasoluzionelinearizzatahavaloresolamentenellamisuraincuisonorispettate
le ipotesi che hanno portato alla linearizzazione, ovvero:
• se la soluzione attorno alla quale la linearizzazione è avvenuta è di equilibrio;
• se l’ampiezza del movimento è sufficientemente limitata da non far allontanare la soluzione dell’equazione
linearizzata dal bacino di attrazione della soluzione di equilibrio.
Quest’ultima condizione può essere decisamente critica, in quanto il suo soddisfacimento non è di agevole
valutazione.
Problema: pendolo. Si studi la stabilità del problema di un pendolo costituito da una massa puntiforme
m, incernierata nel piano verticale ad una distanza L dall’asse di rotazione, soggetta all’accelerazione
di gravità g e ad uno smorzamento che dà un momento R ˙ θ 2 , come illustrato in figura 7.1.
L’equazione del moto è
mL 2¨ θ +R ˙ θ 2 +mLgcosθ = 0 (7.15)
ove si è indicato con θ l’angolo che il pendolo forma rispetto all’orizzontale. La soluzione di equilibrio
statico è
θ = π
+nπ, n ∈ N (7.16)
2
7-4

Figura 7.2: Stabilità in presenza di attrito.
Si consideri la soluzione di equilibrio θ1 = −π/2; l’equazione del moto linearizzata diventa:
mL 2 ∆ ¨ θ +mLg∆θ = 0 (7.17)
le cui radici del polinomio caratteristico sono
�
g
λ = ±i
L
Si consideri ora la soluzione di equilibrio θ2 = π/2; l’equazione del moto linearizzata diventa:
(7.18)
mL 2 ∆ ¨ θ −mLg∆θ = 0 (7.19)
le cui radici del polinomio caratteristico sono
�
g
λ = ±
L
(7.20)
Nel primo caso il sistema è stabile; nel secondo è instabile. È lecito supporre che attorno alla soluzione
θ1 il sistema reale abbia un comportamento smorzato, tuttavia lo studio della stabilità del sistema
linearizzato non consente di affermarlo con certezza.
Problema: attrito dinamico. Le forze di attrito, secondo il modello di Coulomb considerato nell’ambito
di questo corso, non sono linearizzabili in prossimità della condizione di equilibrio statico, se questa
comporta l’annullarsi della velocità relativa tra le superfici a contatto. È possibile, tuttavia, formulare
problemi nei quali, ad una condizione di equilibrio definibile come statica, corrispondente in realtà ad
una condizione di regime, la velocità relativa tra le superfici di contatto si mantenga costante anche se
non nulla5 .
Si consideri il problema in figura 7.2, posto in un piano verticale. Il nastro si muova con velocità v
imposta; la velocità relativa del corpo rispetto al nastro è
vr = v − ˙x (7.21)
La reazione normale tra massa e nastro trasportatore è pari al peso della massa, mg; la forza tangenziale
dovuta all’attrito, secondo quanto illustrato nel Capitolo 8, è
RT = fdmg vr
, (7.22)
|vr|
avendoassuntocomeversopositivodellaforzaquellodix, oppostoalversopositivodellavelocitàrelativa.
Quindi l’equilibrio statico, per ˙x = 0 e ¨x = 0, e quindi per vr = v, si ottiene dalla relazione
kxe = fdmg. (7.23)
5 Si veda, ad esempio, l’analogo problema del freno a disco svolto nell’introduzione del Capitolo 16.
7-5

L’equazione del moto è
f (x, ˙x,¨x) = −m¨x−kx+fdmg vr
= 0; (7.24)
|vr|
la sua linearizzazione attorno alla posizione di equilibrio xe = fdmg/k, ˙xe = 0, ¨xe = 0 ne comporta lo
sviluppo in serie, arrestato al primo ordine, rispetto alla coordinata libera x e alle sue derivate:
�
∂f ∂f ∂fd�
∂vr
= −k, = �
∂x ∂˙x ∂vr ∂˙x mg,
∂f
= −m. (7.25)
∂¨x
� vr=v
Dal momento che ∂vr/∂˙x = −1, si ottiene:
m∆¨x+ ∂fd
mg∆˙x+k∆x = 0 (7.26)
∂vr
A condizione che la molla abbia rigidezza k > 0, la stabilità dipende dal segno di ∂fd/∂vr; se si considera
una curva caratteristica del coefficiente fd in funzione della velocità relativa vr come quello descritto in
figura 8.3, è possibile identificare, sia a bassissima (0 < vr < 0.02 m/s) che ad alta (vr > 5 m/s) velocità
delle zone in cui il segno della derivata ∂fd/∂vr diventa negativo. Se l’equilibrio viene raggiunto per
valori di velocità del nastro in quegli intervalli, sarà instabile.
7.4 Stabilità statica
Esiste una particolare definizione di stabilità, anch’essa strettamente associata al concetto di equilibrio:
la cosiddetta stabilità statica. Non si tratta di una vera e propria definizione di stabilità; va piuttosto
interpretata come un requisito minimo che una soluzione di equilibrio deve possedere per essere stabile in
senso lato e, allo stesso tempo, come un comodo ed utile indice di prestazione di un sistema nell’intorno
di quella soluzione.
Innanzitutto, occorre precisare che l’equilibrio è un particolare tipo di movimento che non varia nel
tempo
ye = costante (7.27)
quindi è un caso particolare della soluzione considerata nella definizione di stabilità in senso lato. Se tale
soluzione esiste, la relazione
f (ye,0,t) = 0 (7.28)
è verificata per ogni istante di tempo.
Una perturbazione di questa soluzione, in generale, dà luogo ad una soluzione che non è più di
equilibrio, perché in assenza della derivata temporale ˙y si ottiene la relazione
f (ye +∆y,0,t) �= 0 (7.29)
ovvero una diseguaglianza. Perché l’eguaglianza sia ripristinata, dovrebbe nascere una opportuna ˙y che
ripristini l’equilibrio dinamico.
Ad esempio, se si considera il problema meccanico
M¨y +Ky = 0, (7.30)
la posizione di equilibrio statico è data dalla soluzione di
Ky = 0 (7.31)
Una perturbazione ∆y �= 0 della (7.31) rispetto alla sua soluzione di equilibrio statico y = 0 porta a
K∆y �= 0; (7.32)
7-6

infatti, perché l’equilibrio sia ripristinato, occorre, per una data perturbazione ∆y, introdurre le forze
d’inerzia in accordo con la (7.30), ovvero occorre scrivere un equilibrio dinamico
M∆¨y +K∆y = 0. (7.33)
Lo studio della stabilità statica consiste nel valutare come variano, per effetto della perturbazione
della soluzione di equilibrio, le sole porzioni del sistema che dipendono dalla derivata di ordine minimo
della coordinata libera; in un problema meccanico, le forze dipendenti dalla posizione.
La relazione di Equazione (7.29), sviluppata in serie di Taylor attorno alla posizione di equilibrio
diventa
f (ye +∆y,0,t) = f (ye,0,t)+
∂f (ye,0,t)
∆y +o(∆y), (7.34)
∂y
da cui, tenendo conto dell’Equazione (7.28) e trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene
f (ye +∆y,0,t) =
∂f (ye,0,t)
∆y; (7.35)
∂y
quindi per valutare la variazione della funzione f in seguito alla perturbazione ∆y dello stato ye è
sufficiente considerare il segno della derivata parziale di f rispetto a y, a condizione che si sia assunto lo
stesso verso come positivo sia per f che per y. In un problema meccanico, il significato fisico è legato
al verso della variazione di f, che rappresenta una equazione di equilibrio di forza, a seguito di una
perturbazione ∆y di y, che rappresenta uno spostamento.
Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio si oppone alla perturbazione di configurazione,
si dice che la soluzione di equilibrio è staticamente stabile.
Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio è concorde con la perturbazione di configurazione,
si dice che la soluzione di equilibrio è staticamente instabile.
Se la variazione di forza rispetto all’equilibrio è nulla, si dice che la soluzione di equilibrio è
indifferentemente stabile.
Si noti che, in quest’ultimo caso, la soluzione perturbata è ancora equilibrata, in quanto, dal momento
che la funzione f non varia al variare della coordinata libera, la relazione
f (ye +∆y,0,t) = 0 (7.36)
è ancora verificata 6 .
Dallo studio della stabilità dei sistemi lineari a coefficienti costanti si ricava una interpretazione significativadelconcettodistabilitàstatica.
Infatti, perilsistemadescrittodall’Equazione(7.8), lacondizione
di stabilità statica è data da K > 0; si noti però che, dal paragrafo 7.3.2, assumendo M > 0, la medesima
condizione è necessaria affinché le radici del polinomio caratteristico associato all’Equazione (7.8),
quando sono reali e distinte, siano negative.
Il passaggio di una radice del polinomio caratteristico dal semipiano sinistro (stabile) a quello destro
(instabile) del piano complesso può avvenire attraverso l’asse immaginario lontano dall’origine, quando,
per K > 0 e M > 0, lo smorzamento R passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 7.3(a);
oppure per l’origine quando, per R > 0, K passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 7.3(b).
Questo secondo caso è descritto dalla condizione di stabilità statica.
Dal confronto tra lo studio della stabilità della soluzione dell’equazione lineare a coefficienti costanti
e della sua stabilità statica appare evidente che la seconda è una condizione necessaria alla prima, ma
non sufficiente. In questo senso, è corretto affermare che la stabilità statica non è una vera definizione
di stabilità di una soluzione di equilibrio, in quanto il verificarsi della condizione di stabilità statica non
è garanzia di stabilità ma solo un suo prerequisito.
6 A rigore, è verificata al primo ordine, ovvero
f (ye +∆y,0,t) = o(∆y) (7.37)
7-7

(a) Con M > 0, per K > 0, quando R
passa da positivo a negativo.
(b) Con M > 0, per R ≥ 0, quando K
passa da positivo a negativo.
Figura 7.3: Transizione da stabilità ad instabilità al variare di parametri del sistema.
7.5 Regime assoluto
Va sotto il nome di regime assoluto il moto di un sistema che non dipende dalla coordinata libera ma
solo dalle sue derivate a partire da un dato ordine; ad esempio, per un sistema meccanico, si parla
di regime assoluto quando non sono presenti forze dipendenti dalla posizione, per cui la derivata prima
della posizione è la derivata di ordine minimo da cui dipendono le forze agenti sul sistema, quando questa
derivata assuma un valore costante. Un esempio è dato da un corpo in moto in un fluido in equilibrio a
velocità costante, per quanto concerne la posizione, oppure dal moto delle tipiche macchine rotative in
condizioni di velocità angolare costante.
In questo caso, il problema descritto dall’Equazione (7.5) diventa
f (˙y,¨y,t) = 0 (7.38)
per cui, una volta linearizzato, dall’omogenea associata si ottengono le radici del polinomio caratteristico
�
−R/M
λ = , (7.39)
0
ove M e R sono state definite in precedenza. Si noti che una delle due radici è sempre nulla, ovvero
il problema è staticamente indifferente. Non bisogna però confondere la stabilità indifferente di questa
soluzioneconunacondizionecritica, legataadesempioall’avvicinarsidiunasoluzioneallimitedistabilità
statica. Infatti, inquestocasolastabilitàdelsistemaèstrutturalmenteindifferente, inquantoilproblema
è retto in realtà da un’equazione del primo ordine anziché del secondo, quindi in realtà è più corretto
descriverne il comportamento utilizzando la velocità come incognita primaria, riducendolo così ad un
problema differenziale del primo ordine.
Problema: particella in moto in un fluido. Si studi la stabilità del moto di una particella di massa
m immersa in un fluido che esercita su di essa una forza viscosa r˙z che si oppone al moto.
L’equazione di equilibrio della particella in direzione verticale è
m¨z +r˙z = mg (7.40)
Si consideri la soluzione di equilibrio, nel senso di regime assoluto, ˙z = mg/r. Il sistema è lineare a
coefficienti costanti, quindi la sua stabilità si studia mediante le radici del polinomio caratteristico:
�
0
λ =
(7.41)
−r/m,
ovvero la soluzione è stabile se r/m > 0.
7-8

Lo studio della stabilità statica del problema dà un risultato del tutto equivalente: riscrivendo il
sistema al primo ordine nella componente verticale della velocità, w = ˙z, e considerando le sole forze
nella derivata di ordine minimo w,
f = −rw +mg = 0 (7.42)
si verifica che la condizione di stabilità statica ∂f/∂w < 0 è soddisfatta per r > 0, ove per definizione
m > 0.
7.6 Stabilità statica ed energia potenziale
(Ovvero: come non rispondere all’esame quando viene chiesto di spiegare che cosa si intende
per stabilità statica).
Nel corso di Meccanica Razionale, lo studio della stabilità di una soluzione di equilibrio viene presentato
nell’ambito di sistemi conservativi a vincoli fissi, in cui l’energia meccanica totale si conserva, ed il cui
moto si manifesta sotto forma di trasferimento di energia da potenziale a cinetica e viceversa. In questi
casi, lo studio della stabilità statica consente di giungere a considerazioni generali sulla stabilità del
problema, in quanto la stabilità statica, che ricordiamo è una condizione necessaria per la stabilità della
soluzione, diventa anche condizione sufficiente. In tale ambito, la ricerca della soluzione di equilibrio
avviene attraverso la ricerca delle soluzioni per le quali l’energia potenziale del sistema è stazionaria,
mentre lo studio della stabilità statica consiste nel determinare se il punto stazionario è un minimo
(stabile) o un massimo o un flesso (o sella per i sistemi a più gradi di libertà, instabile).
Per tale studio, in genere, si ricorre all’uso della matrice Hessiana, ovvero della derivata seconda
dell’energia potenziale rispetto alle coordinate libere del problema. Senza nulla togliere alla validità di
questa trattazione, è fondamentale sottolineare come il concetto di stabilità statica abbia valore indipendentemente
dall’esistenza dell’energia potenziale, in quanto si applica a soluzioni di problemi qualsiasi,
anche non conservativi. Per questo motivo è fondamentale non associare automaticamente il concetto
di stabilità statica alla derivata seconda dell’energia potenziale, così come è fondamentale non associare
automaticamente il concetto di equilibrio alla derivata prima dell’energia potenziale.
In un generico problema meccanico, che senza nulla togliere alla generalità viene scelto lineare nelle
forze puramente meccaniche, l’energia cinetica ha la forma
Ec = 1
2 M ˙y2 , (7.43)
mentre l’energia potenziale ha la forma
Ep = 1
2 Ky2 . (7.44)
Se è presente anche una sollecitazione attiva
Qy = Qy(y,t), (7.45)
l’equazione del moto che ne risulta è
ovvero
d ∂Ec ∂Ec ∂Ep
− +
dt ∂˙y ∂y ∂y = Qy, (7.46)
M¨y +Ky = Qy(y,t). (7.47)
La determinazione della soluzione di equilibrio, se esiste, si ottiene dalla relazione
∂Ep
∂y = Qy, (7.48)
7-9

ovvero
Figura 7.4: Sistema meccanico ad un grado di libertà.
Ky = Qy(y,t), (7.49)
mentre lo studio della stabilità statica si ottiene valutando il segno della relazione
ovvero
∂f
∂y = −∂2 Ep ∂Qy
+ , (7.50)
∂y2 ∂y
∂f
∂y
∂Qy
= −K + . (7.51)
∂y
Come si può notare, la matrice Hessiana partecipa in quanto, essendo richiesta la derivata parziale della
forza rispetto alla coordinata libera, ed essendo la forza conservativa l’opposto della derivata parziale
dell’energia potenziale rispetto alla coordinata libera, lo studio della stabilità statica viene a richiedere
la derivata seconda dell’energia potenziale.
Tuttavia, la presenza delle forze non conservative Qy rende necessario considerare altri contributi
alla stabilità statica, per cui la matrice Hessiana fornisce solo una parte dell’informazione richiesta.
Al contrario, le forze conservative possono essere espresse direttamente nella forza generalizzata Qy
anzichéattraversol’energiapotenziale,qualoranonsiritenganecessariotenerneincontolaconservatività.
Quindi, la matrice Hessiana dell’energia potenziale può essere utilizzata per concorrere allo studio della
stabilità statica di un problema meccanico, ma il concetto di stabilità statica, così come il suo studio,
non dipendono in alcun modo dalla conoscenza o dall’esistenza stessa della matrice Hessiana.
Problema: sistema meccanico ad un grado di libertà. Sia dato il sistema meccanico ad un grado
di libertà di figura 7.4, costituito da una massa m e da una molla k collegata al terreno, a cui è applicata
una forza f.
L’energia cinetica è
Ec = 1
2 m˙x2 , (7.52)
mentre l’energia potenziale è
Ep = 1
2 kx2 . (7.53)
Il lavoro associato alla forza è
δL = δxf (7.54)
L’equazione del moto è
ovvero
d ∂Ec ∂Ec ∂Ep
− + = Qx
(7.55)
dt ∂˙x ∂x ∂x
m¨x+kx = f (7.56)
7-10

Figura 7.5: Sistema meccanico ad un grado di libertà in un sistema rotante.
La soluzione di equilibrio è x = f/k.
Lo studio della stabilità statica è possibile mediante lo studio della matrice Hessiana, in quanto il
sistema è soggetto a sole forze di natura conservativa e a vincoli fissi:
H = ∂2Ep = k (7.57)
∂x2 Il sistema risulta staticamente stabile se k > 0.
Problema: sistema meccanico ad un grado di libertà in rotazione. Si consideri il sistema
definito nel problema precedente, in cui il sistema di riferimento ruoti rispetto all’origine a velocità
angolare Ω costante, come illustrato in figura 7.5.
La velocità relativa della massa è
vr = ˙x (7.58)
mentre quella di trascinamento è
vt = Ωx (7.59)
e sono tra loro perpendicolari; ne risulta un’energia cinetica
Ec = 1
2 m� ˙x 2 +Ω 2 x 2�
(7.60)
mentre l’energia potenziale ed il lavoro della forza esterna sono immutati rispetto al problema precedente.
L’equazione del moto è
m¨x+ � k −Ω 2 m � x = f (7.61)
È possibile definire una condizione di equilibrio rispetto alla variabile cinematica x, dal momento che
l’equazione del moto non dipende esplicitamente dal tempo, mentre la velocità angolare del riferimento
mobile è costante per ipotesi. La soluzione di equilibrio è x = f/ � k −Ω 2 m � ed è definita solo per
Ω �= � k/m; inoltre, per Ω > � k/m, il sistema risulta staticamente instabile. In questo caso, la matrice
Hessiana non può essere usata perché il sistema è soggetto a vincoli mobili.
7.7 Applicazioni
Il problema dello studio della stabilità delle soluzioni e, attraverso la linearizzazione dei problemi attorno
a soluzioni di equilibrio, lo studio della stabilità dei sistemi lineari, è di importanza fondamentale
nell’ingegneria.
Gli studenti di Ingegneria Aerospaziale incontrano questi problemi e queste tematiche in molti corsi,
spesso presentate in modo diverso da quanto illustrato in queste note perché ogni disciplina può avere
basi, terminologia e problemi specifici.
7-11

Questo non può esimere lo studente attento dal cogliere il filo comune e le analogie, oltre alla
sostanziale comunanza di metodo, che caratterizza lo studio della stabilità indipendentemente dal problema
a cui si applica.
La stabilità dei sistemi lineari viene affrontata in modo esaustivo nell’ambito del corso di Automatica,
in riferimento sia a sistemi dinamici generici che ai sistemi con controllo in retroazione.
La stabilità statica viene utilizzata in Scienza delle Costruzioni I (o Fondamenti di Meccanica Strutturale)
per studiare la stabilità dell’equilibrio delle strutture; l’applicazione di riferimento è la trave di
Eulero caricata a compressione.
Nel corso di Strutture Aerospaziali, il problema viene arricchito introducendo i concetti di stabilità
degli elementi sottili, travi e pannelli, e il concetto di instabilità locale delle travi in parete sottile.
In meccanica del volo vengono utilizzati i concetti sia di stabilità statica, per verificare la stabilità
dell’equilibrio statico del velivolo, che i concetti fondamentali di stabilità “dinamica”: nel piano di
simmetria, il moto fugoide e quello di corto periodo, e le loro relazioni con la qualità del volo.
Nel corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, oltre alla introduzione dei problemi di vibrazione
dei sistemi meccanici, il concetto di stabilità statica viene applicato al moto assoluto delle macchine ad
un grado di libertà e alla divergenza aeroelastica delle superfici aerodinamiche, mentre il concetto di
stabilità viene applicato alla dinamica dei sistemi con un cenno alla stabilità aeroelastica delle superfici
aerodinamiche.
In corsi successivi, e nella laurea specialistica, i concetti legati alla stabilità assumono una importanza
fondamentale.
Come si può notare, l’argomento è fondamentale e interdisciplinare; viene affrontato in numerose
occasioni, sempre in relazione ad una sua applicazione pratica a problemi essenziali dell’Ingegneria ed in
particolare dell’Ingegneria Aerospaziale.
7-12

Capitolo 8
Azioni mutue tra elementi di
macchine — Parte I
Generato il 16 gennaio 2012
In ogni sistema meccanico, durante il suo funzionamento, nascono dei movimenti relativi tra i membri
che lo compongono e, inoltre, la macchina stessa o parti di essa si muovono rispetto all’ambiente
circostante.
Questifenomeniassumonograndeimportanzanellostudiodelcomportamentodinamicoeiloroeffetti
sono studiati riconducendoli a due distinte tipologie di contatto, ovvero:
• contatto tra solido e solido;
• contatto fra solido e fluido.
I due principali fenomeni legati all’aderenza tra solidi sono l’attrito e l’usura. Il primo si manifesta
come resistenza o impedimento al moto relativo tra le parti a contatto. Ciò può costituire uno svantaggio
quando diviene fonte di perdita di potenza tra i membri che devono essere mantenuti in movimento
(attrito nei supporti, nelle tenute, ecc.); viceversa, in alcuni casi diventa un fattore essenziale per il
funzionamento delle macchine (come nel contatto ruota-rotaia e pneumatico-strada, ovvero in organi
quali i freni e le frizioni, le giunzioni forzate e imbullonate, ecc.).
L’usura si manifesta invece come un’abrasione progressiva di materiale dalle superfici di due corpi
in moto relativo, che ha luogo nelle superfici stesse. L’usura può essere un fattore utile (ad esempio
nelle lavorazioni tecnologiche di finitura) o, come accade in generale, causare un progressivo degrado
dell’accoppiamento tra le parti a contatto.
Dal punto di vista cinematico possiamo distinguere, almeno macroscopicamente, contatti di rotolamento,
strisciamento e urto. Si osserva come nel caso di rotolamento il moto relativo al contatto è nullo
(almeno limitandoci ad un punto di vista macroscopico). Nello strisciamento è invece presente una componente
di velocità relativa lungo la tangente comune alle superfici di contatto tra i due corpi, mentre
nell’urto è presente anche una componente normale della velocità relativa.
Dal punto di vista geometrico è possibile effettuare un’ulteriore classificazione, distinguendo contatti
puntiformi, lineari e superficiali, a seconda che l’ente geometrico in comune tra i solidi sia, nell’ipotesi di
corpi indeformabili, un punto (per esempio una sfera a contatto su un piano), una linea (la generatrice di
un cilindro a sezione circolare su un piano), o un’intera superficie (una faccia di un prisma su un piano).
8.1 Attrito di strisciamento nei solidi a contatto
Si definisce come attrito la resistenza al moto che si manifesta quando un corpo striscia su un altro. Tale
azione di resistenza agisce secondo la direzione del moto relativo, ma in verso opposto, e viene indicata
come forza di attrito. La forza di attrito che è necessario vincere per iniziare un moto di strisciamento,
a partire da uno stato di quiete, è detta forza di attrito statico, mentre quella necessaria a mantenere
il moto di strisciamento tra due corpi è detta forza di attrito dinamico (o cinetico). La forza di attrito
8-1

Figura 8.1: Rappresentazione pittorica della superficie di contatto tra due corpi.
dinamico è in generale inferiore a quella statica. Nel contatto tra solidi si è sempre in presenza di una
superficie nominale di contatto che, nel caso di superfici conformi, corrisponde alla superficie in comune
tra i due corpi, mentre nel caso di superfici non conformi, è una conseguenza dell’elasticità dei corpi a
contatto e dell’azione che li preme uno contro l’altro.
Una delle teorie più accreditate è quella della micro-saldatura fra le parti effettivamente a contatto,
la cui superficie complessiva è una piccolissima frazione di quella apparente di contatto, come illustrato
in figura 8.1. In seguito alla compressione mutua e alle conseguenti deformazioni plastiche ed elastiche, le
zone deformate, fra le quali può verificarsi una vera e propria saldatura, si estendono proporzionalmente
alla forza che preme i corpi l’uno contro l’altro e indipendente dalla superficie apparente di contatto.
Consideriamo il caso in cui tra i due corpi a contatto non vi sia moto relativo. L’esperienza mostra
che se applichiamo a uno dei due corpi una forza � F, anche non perpendicolare al piano, questo resta
fermo finché la componente � Ft non supera in modulo un certo valore F∗ �
�
t , ovvero �� �
�
Ft�
< F∗ t . Possiamo
perciò dire che il piano è in grado di esercitare una reazione � R avente una componente � Rt tangente al
piano di valore massimo in modulo R ∗ t = F ∗ t , capace di opporsi all’azione di � Ft che tenderebbe a muovere
il corpo rispetto al piano di appoggio.
Dalle esperienze di Coulomb, risulta che
ove
R ∗ t = faRn
• Rn è la componente normale della reazione, avendo assunto Rn > 0 quando si ha contatto;
• fa è il coefficiente di aderenza (o attrito statico) dipendente dalla natura e dallo stato delle superfici
a contatto, indipendente entro ampi limiti dall’estensione dell’area apparente di contatto.
Per cui, affinché non vi sia moto relativo tra le superfici, deve valere che
�
�
�� �
�
Rt�
≤ R ∗ t
Perché lo strisciamento fra i due corpi possa avere inizio, la componente tangenziale della reazione deve
avere un valore in modulo pari al valore massimo R ∗ t. Ciò significa, facendo riferimento alla teoria delle
micro-saldature, che esse si debbono rompere e, per conseguenza:
R ∗ t = τmaxAeff
dove si assume un comportamento perfettamente plastico del materiale, per il quale lo sforzo raggiunge
il valore massimo di plasticizzazione su tutta la sezione e lo mantiene indipendentemente dall’entità della
8-2
(8.1)
(8.2)
(8.3)

deformazione; ma
quindi
Aeff = Rn
σmax
R ∗ t = τmax
Rn = faRn
σmax
Figura 8.2: Attrito statico.
che evidenzia la ricordata indipendenza dall’estensione della superficie apparente di contatto, e la dipendenza
dalle sole caratteristiche del materiale.
Se la reazione tangente richiesta è maggiore di quella massima sviluppabile dal vincolo in base al
coefficientediattrito, allorasihal’innescodelmotorelativodistrisciamento, abbandonandolacondizione
di aderenza. Se infatti:
�
�
�� �
�
Rt�
> R ∗ t = faRn
(8.6)
il corpo si mette in moto rispetto alla superficie d’appoggio, ovvero accelera, nella direzione della reazione
�Rt, ma con verso opposto. Non appena in movimento, la componente tangenziale della reazione vale:
�v
�Rt = −f (|�v|)Rn
|�v|
diretta in verso opposto a quello della velocità relativa �v (la funzione �v/|�v| rappresenta un versore,
ovvero un vettore di modulo unitario diretto come �v). Il coefficiente di attrito dinamico (o cinetico)
f (|�v|) è anch’esso dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici a contatto, e sempre indipendente
dall’estensione dell’area apparente di contatto. Normalmente, in prima approssimazione, si trascura la
sua dipendenza dalla velocità relativa e si assume f costante.
L’indipendenza di f dalla velocità relativa è ammissibile entro limiti non troppo ampi, come illustrato
in figura 8.3. Dopo una brusca diminuzione passando da velocità relativa nulla (attrito statico) a velocità
relative piccolissime, dell’ordine di qualche millimetro al secondo, subisce poi un sensibile aumento al
crescere della velocità relativa fino a valori di circa 0.3 m/s. Per velocità relative maggiori, fino a circa
5 m/s, il coefficiente d’attrito rimane praticamente costante. Oltre quella velocità relativa il coefficiente
di attrito tende nuovamente a decrescere, diminuzione che diventa notevole a forti velocità relative.
Le leggi utilizzate per considerare i fenomeni di attrito sono di origine empirica; sono state individuate
da Amonton (1699) e successivamente perfezionate da Coulomb (1785). Possono essere sintetizzate come
segue:
• l’attrito è indipendente dall’estensione dell’area apparente di contatto;
• laforzalimitediattritostatico, elaforzadiattritoincondizionidistrisciamento,sonoproporzionali
alla forza normale che tiene i corpi a contatto;
• l’attrito dinamico è indipendente dalla velocità di strisciamento, con le limitazioni sopra chiarite.
8-3
(8.4)
(8.5)
(8.7)

Figura 8.3: Coefficiente di attrito dinamico f in funzione del modulo della velocità relativa.
Le(8.6, 8.7) valgonosolamenteselesuperficiacontattosonopiane; la(8.7)richiedeinoltrechelavelocità
sia costante in modulo, direzione e verso. Se tali ipotesi non sono verificate, allora le relazioni (8.6, 8.7)
valgono per le sole componenti di forza infinitesime:
�
�
�d� �
�
Rt�
≤ fadRn
(8.8a)
�vdA
d� Rt = −fdRn
|�vdA|
(8.8b)
ove dA è l’area di contatto infinitesima (d� A = dA�n è un vettore avente modulo pari a dA e direzione
normale all’area stessa), �vdA è la velocità relativa di strisciamento e dRn è la componente della reazione
normale all’area dA (e quindi parallela a d� A) e agente su di essa; le forze infinitesime sono
�
dRn = σd� �
A �n (8.9a)
d� �
Rt = σd� �
A −�ndRn
(8.9b)
ovvero rappresentano il prodotto del tensore degli sforzi a cui è soggetto il materiale al contatto per l’area
di contatto infinitesima, nell’ipotesi di contatto continuo.
La potenza dissipata per attrito vale
�
Wr(attrito) = �vdA ×d
A
� �
R = �vdA ×d
A
� �
Rt = − �vdA ×
A
�vdA
|�vdA| fdRn
�
= −
A
|�vdA|fdRn, (8.10)
nell’ipotesi che, per un vincolo unilatero, deve valere la relazione dRn ≥ 0. Altrimenti, se il vincolo è
bilatero, si usa |dRn|.
Nel caso in cui la velocità sia uniforme,
�
Wr(attrito) =�v × d� R = � R×�v = � �v
Rt ×�v = −fRn
|�v| ×�v = −fRn|v|. (8.11)
A
Questo contributo di potenza è da annoverare nell’espressione della somma delle potenze nel Teorema
dell’energia cinetica
Π = dT
dt
come richiamato nel Capitolo 2.
8-4
(8.12)

Figura 8.4: Perno rotante.
Al fine di chiarire come la (8.7) valga solamente nel caso di strisciamento a velocità relativa costante
tra due superfici piane, si consideri il perno spingente di figura 8.4, ruotante con velocità angolare �ω
costante attorno al proprio asse e premuto su una superficie piana, immobile, da una forza assiale N.
Ogni punto della superficie d’appoggio del perno è dotato di velocità assoluta in modulo proporzionale
alla distanza �r dall’asse di rotazione e di direzione tangente alla rispettiva traiettoria circolare:
�v(r) = �ω ∧�r (8.13)
il cui modulo è v(r) = ωr.
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale si ottiene
� �
N = Rn = dRn = p dA �= 0 (8.14)
A
A
dove p è la pressione di contatto, funzione del solo raggio r per l’ovvia simmetria assiale del problema,
ma
�
�
�� � ��
� �
Rt�
= �
� d� �
�
Rt
�
� = 0 �= fRn
(8.15)
A
Esercizio 8.1 Considerando la (8.8b) con la velocità espressa dalla (8.13), si verifichi la (8.15).
8.2 Usura nel contatto tra solidi
Richiamando le tre cause che possono portare alla messa fuori servizio di una macchina (rottura,
obsolescenza ed usura), si può osservare che:
• la rottura di elementi di macchine è un evento non frequente, che può essere dovuto a difetti del
materiale o al fatto che il sistema sia assoggettato a carichi maggiori rispetto a quelli di progetto;
• l’obsolescenza, ossia l’invecchiamento dovuto alla comparsa sul mercato di macchine in grado
di effettuare la medesima funzione in modo più conveniente (sia dal punto di vista della velocità
di esecuzione, sia del risparmio dell’energia impiegata), interviene, in genere, dopo anni di
funzionamento;
• l’usura è connaturata all’esercizio stesso della macchina, provocandone un decadimento della funzionalità,
e non sempre in misura proporzionale al trascorrere del tempo. Di solito, infatti, i
fenomeni di usura mostrano un tasso di crescita più elevato man mano che il livello globale di
usura cresce.
L’usura si manifesta attraverso:
8-5

• aumento dei giochi negli accoppiamenti con conseguenti imprecisioni nel movimento e aumento
della rumorosità;
• possibile comparsa di fenomeni di urti microscopici e conseguenti vibrazioni e sovraccarichi dinamici;
• possibile aumento del tasso di usura stesso, sopra citato, a causa dell’incremento delle azioni
scambiate tra i corpi a contatto, oltre che a causa dell’abrasione delle superfici di contatto.
Un modello elementare di usura (Ipotesi di Reye) definisce il rateo di asportazione di materiale per
logoramento come proporzionale al lavoro dissipato per attrito nell’unità di tempo.
8.2.1 Esempio: distribuzione di pressione su un perno rotante
L’ipotesi di Reye può essere utilizzata “al contrario”, per determinare la distribuzione radiale della
pressione su un disco rotante, in base a semplici considerazioni cinematiche.
Si consideri l’esempio precedente relativo ad un perno rotante attorno alla normale ad una superficie
piana contro cui è premuto (figura 8.4). Su un elemento dA della superficie di contatto, su cui agisce la
pressione p, si ha una forza normale pdA e perciò, durante il moto, una componente tangenziale fpdA,
con f supposto noto e indipendente dalla velocità.
Se v è la velocità di strisciamento, il lavoro perduto nell’unità di tempo vale:
dΠ = fpvdA (8.16)
Se h è lo spessore asportato sull’elemento per logoramento nell’unità di tempo 1 , il volume asportato
nell’unità di tempo risulta hdA; per la proporzionalità affermata dal Reye, detto k un coefficiente di
usura dipendente dai materiali di cui sono costituite le due parti e dalle condizioni di lavoro, risulta:
hdA = kfpvdA (8.17)
Nel caso del perno spingente risulta quindi:
h = kfpv = kfpωr (8.18)
e poiché nell’ipotesi che si usuri solamente il perno, e quindi la sua superficie a contatto con il piano
si mantenga a sua volta piana, lo spessore di materiale asportato nell’unità di tempo risulta costante e
indipendente dalla posizione sulla superficie, si ha:
kfpωr = h = costante → p(r) = h k′
=
kfωr r
8.2.2 Esempio: innesto a frizione
(8.19)
Come applicazione di quanto detto, si consideri un innesto a frizione, illustrato in figura 8.5, tipicamente
utilizzato in veicoli spinti da motori a combustione interna, in quanto:
• imotoriacombustioneinternanonpossonoavviarsisottocaricoedevonoesseremantenuti, durante
l’avviamento del veicolo, a un regime di velocità angolare superiore a un dato valore minimo; inoltre
occorre poter fermare il veicolo stesso senza dover necessariamente fermare il motore;
• qualora sia presente un cambio di velocità, il passaggio da una marcia all’altra va fatto mentre
la trasmissione non trasmette coppia, in quanto occorre accoppiare alberi inizialmente rotanti a
velocità diverse.
1 Ovvero la velocità di asportazione del materiale. L’ipotesi di Reye può essere espressa in forma differenziale: la portata
di materiale asportato è proporzionale alla potenza dissipata dalle forze d’attrito; oppure in forma integrale: il volume di
materiale asportato è proporzionale al lavoro (negativo) compiuto dalle forze d’attrito.
8-6

Figura 8.5: Innesto a frizione.
Tali esigenze sono soddisfatte dagli innesti a frizione, che permettono di trasmettere una data coppia
motrice tra due alberi coassiali rotanti a velocità angolari differenti.
Al fine di realizzare un innesto a frizione, vengono utilizzate le forze d’attrito che nascono tra due
superfici rotanti (a−a1 e b) rispettivamente solidali con l’albero motore e con quello comandato, premute
l’una contro l’altra dallo spingidisco a1.
Tale pressione è generalmente data da molle opportunamente precaricate ed è necessario che la
pressione sia tale da poter trasmettere una coppia superiore a quella massima erogata dal motore.
È necessario, d’altronde, che:
• l’innesto possa funzionare come giunto di sicurezza evitando che, in caso di frenatura d’urgenza
con motore innestato, si possano trasmettere all’albero motore decelerazioni troppo grandi;
• la differenza tra la coppia che l’innesto trasmette slittando e la coppia motrice non sia troppo
grande per evitare grandi rallentamenti nel motore durante la fase di avviamento del veicolo.
Al fine di determinare la coppia trasmessa per attrito, indicato con A2 il precarico dato dalle molle, la
pressione p agente su una faccia del disco b solidale con l’albero di trasmissione risulta essere pari a:
� � re
A2 = p dA = 2πpr dr (8.20)
A
ri
Secondo la (8.19), la distribuzione di pressione è inversamente proporzionale al raggio. Si ha quindi
A2 =
� re
ri
2π k′
r r dr = 2πk′ (re −ri) (8.21)
da cui, nota la forza A2 applicata dal pilota e le dimensioni del disco:
k ′ =
A2
2π(re −ri)
(8.22)
Nel moto relativo tra i dischi, a causa dell’attrito definito dal coefficiente f supposto costante, si genera
quindi un momento � Mr opposto alla velocità angolare �ω del motore
� � � � re �ω ∧�r
�Mr = �r ∧ −fp dA = − 2πf
��ω ∧�r�
k′ r
r
2�ω �r�ω� rdr = −fπk′�r 2 e −r 2� �ω
i , (8.23)
��ω�
A
ri
8-7

ove si è sfruttato il fatto che, secondo la (3.8d), �r ∧ (�ω ∧�r) = r2�ω quando �r × �ω = 0. Tale momento,
di ampiezza Mr = fπk ′�r2 e −r2 �
i , può essere interpretato come conseguenza di una forza tangenziale
fittizia2 , di modulo pari a fA2 e quindi proporzionale alla forza normale esercitata tra il disco e la
campana, avente un braccio equivalente Req
Req = Mr
=
fA2
fπk′�r2 e −r2 �
i
f2πk ′ (re −ei) = (re −ri)(re +ri)
=
2(re −ri)
re +ri
(8.24)
2
pari al raggio medio del disco.
Manovra d’innesto
Si consideri la manovra di innesto, all’inizio della quale il motore è in movimento con velocità angolare
ω0 e l’utilizzatore è fermo, per arrivare ad una condizione in cui essi ruotano entrambi alla stessa velocità
angolare e quindi non c’è più strisciamento. Quindi, inizialmente il sistema ha due gradi di libertà
mentre, al termine della manovra, il sistema ha un solo grado di libertà, in quanto la condizione di non
strisciamento tra disco e campana della frizione introduce il vincolo cinematico di uguaglianza tra le
velocità angolari del motore e dell’utilizzatore.
Al fine di semplificare la trattazione del problema, si assume che il motore eroghi una coppia Mm
costante, indipendentemente dal valore della valocità angolare ωm, e che ogni accoppiamento tra parti
della frizione in moto relativo trasmetta una coppia Mr costante, ovvero che la forza normale A2 scambiata
si mantenga costante. Nell’esempio illustrato in figura 8.5, la coppia scambiata tra i due alberi è
in realtà M ′ r = 2Mr, dal momento che ci sono due facce di accoppiamento tra il disco e la campana della
frizione.
Dinamica dell’utilizzatore prima dell’innesto
Si consideri innanzitutto il sistema composto dall’utilizzatore, dall’albero di trasmissione e dal disco della
frizione; dall’applicazione del teorema dell’enegia cinetica si ricava
M ′ rωu −Muωu = Ju˙ωuωu
(8.25)
avendo indicato con Mu e Ju, rispettivamente, la coppia e il momento d’inerzia del veicolo ridotti
all’albero sul quale è calettato il disco della frizione che ruota con velocità angolare ωu, ovvero
Muωu = �
(Fivi +Miωi) (8.26)
e
dTu
dt
i
= �
(FiRi +Miτi)ωu
i
�
d 1
=
dt 2
�
1
�
i
�
miv 2 i +Jiω 2� i
�
= d ��
miR
dt 2
i
2 i +Jiτ 2 i
= ��
miR 2 i +Jiτ 2� i ωu˙ωu
i
= Juωu˙ωu
� ω 2 u
�
(8.27)
(8.28)
(8.29)
(8.30)
(8.31)
ove si sono indicati con mi e Ji rispettivamente le masse e le inerzie delle parti in movimento, con Fi
e Mi rispettivamente le forze e le coppie attive, mentre Ri e τi rispettivamente indicano i rapporti di
trasmissione tra la velocità dell’utilizzatore ωu e le rispettive velocità di traslazione vi e di rotazione ωi
2 Si badi bene: questa interpretazione si basa solo su considerazioni di tipo dimensionale; come mostrato dalla (8.15), la
risultante delle forze tangenziali agenti sul disco è esattamente zero.
8-8

Figura 8.6: Velocità dell’utilizzatore durante la manovra di innesto della frizione.
Figura 8.7: Innesto a frizione — dettaglio del disco.
delle varie parti. Il momento d’inerzia ridotto Ju tiene conto solo della massa del veicolo e del momento
d’inerzia delle ruote e degli organi di trasmissione.
L’accelerazione del disco della frizione è quindi
˙ωu = M′ r −Mu
Ju
(8.32)
e la conseguente legge del moto del veicolo, supposto inizialmente fermo e considerando Mu costante, è
ωu(t) = M′ r −Mu
t (8.33)
Ju
Ne risulta un andamento lineare a partire da velocità ωu nulla, come illustrato in figura 8.6, la cui
pendenza è direttamente proprozionale alla coppia M ′ r trasmessa dalla frizione, che per l’utilizzatore
funge da coppia motrice; tale coppia deve essere superiore ala coppia resistente Mu affinché la velocità
cresca.
Dinamica del motore prima dell’innesto
Applicando quindi il teorema dell’energia cinetica al sistema composto dal motore e dalla campana della
frizione si ottiene
Mmωm −M ′ rωm = Jm˙ωmωm
(8.34)
Poiché si vuole portare il disco (figura 8.7) e la campana (figura 8.8) alla stessa velocità di rotazione,
è opportuno che la velocità angolare del motore non aumenti; in tale caso, occorre far sì che il momento
8-9

Figura 8.8: Innesto a frizione — dettaglio della campana.
Figura 8.9: Velocità del motore durante la manovra di innesto della frizione.
M ′ r applicato dalla frizione all’albero motore sia maggiore della coppia massima erogata dal motore 3 ; di
conseguenza, quest’ultimo decelera con una accelerazione negativa pari a:
˙ωm = Mm −M ′ r
Jm
(8.35)
Conseguentemente, supponendo Mm costante e integrando la (8.35) a partire dalla condizione di
velocità angolare iniziale del motore pari a ω0, la legge del moto del sistema fisico composto dal motore
e dalla sola campana della frizione risulta essere
ωm(t) = ω0 − M′ r −Mm
t (8.36)
Jm
come illustrato dalla figura 8.9, dalla quale si nota che se la velocità angolare iniziale del motore è
troppo piccola, o troppo grande è la differenza tra la coppia erogata e quella applicata dalla frizione, la
decelerazione può portare il motore a spegnersi.
3 Si ricordi che la coppia massima che la frizione può sviluppare è proporzionale alla forza normale applicata tra disco e
campana, a meno di una piccola dipendenza di f dalla velocità. La forza normale, a sua volta, dipende dal precarico delle
molle che mantengono premuti fra loro i due corpi. In generale, se la coppia massima erogabile dal motore supera la coppia
massima trasmissibile dalla frizione in condizione di slittamento, la trasmissione non può funzionare correttamente perché
in tali condizioni la frizione non può giungere alla condizione di non strisciamento.
8-10

Figura 8.10: Velocità di motore ed utilizzatore durante e al termine della manovra di innesto della
frizione.
Dinamica del sistema dopo l’innesto
Dopo un tempo t1, detto tempo d’innesto, le due velocità angolari saranno eguali; da tale condizione si
ricava il tempo
t1 =
M ′ r
� 1
Jm
+ 1
�
Ju
ω0
−
� Mm
Jm
+ Mu
Ju
�; (8.37)
la frizione si comporterà quindi come un collegamento rigido, e la legge del moto del veicolo varrà
ωm(t) = ωu(t) = ωm(t1)+ Mm −Mu
Jm +Ju
(t−t1) (8.38)
Tale legge vale se non vi è slittamento tra disco e campana della frizione, ovvero se sono verificate
entrambe le equazioni:
M ′ max = 2faA2Req > Mm(ω)−Jm˙ω
M ′ max = 2faA2Req > Mu(ω)+Ju˙ω
(8.39)
dove M ′ max rappresenta il momento massimo che la frizione riesce a trasmettere in condizioni di slittamento
incipiente.
Si noti che la potenza dissipata durante l’avviamento è
Π = −M ′ r(ωm −ωu) (8.40)
che corrisponde all’area tratteggiata in figura 8.10.
Si noti che:
• durante il transitorio d’innesto gli organi della trasmissione sono sollecitati da un momento torcente
M ′ r maggiore della coppia Mm erogata dal motore; siccome ciò deve essere possibile anche se Mm
è la coppia massima erogata dal motore, questo spiega le possibili rotture in fase di partenza, se gli
organi di trasmissione sono dimensionati per Mm massimo anziché per M ′ r massimo;
• l’aumento del momento M ′ r trasmesso durante la fase di slittamento riduce il tempo d’innesto a
vantaggio delle prestazioni;
• la riduzione di Jm e Ju migliora le accelerazioni;
• aumentando il momento trasmesso dalla frizione in fase d’innesto si ha un incremento della potenza
dissipata con corrispondente incremento della temperatura del materiale d’attrito e, tipicamente,
una conseguente riduzione del coefficiente f.
8-11

Figura 8.11: Schema di contatto ruota-strada per ruota deformbile
8.3 Resistenza al rotolamento
Con il termine resistenza al rotolamento (talora impropriamente indicato come attrito volvente) si
definisce la resistenza incontrata da un corpo che rotoli senza strisciare macroscopicamente sulla superficie
di un altro corpo. L’esperienza, infatti, indica che per mantenere, ad esempio, una ruota in moto
a velocità costante, anche in assenza di azioni resistenti attive, è necessario applicare delle azioni motrici,
realizzate tramite coppie applicate alle ruote o forze al centro ruota.
In varie applicazioni in campo ingegneristico, la potenza dissipata associata a questa forma di resistenza
non può essere sempre trascurata. Si darà qui una spiegazione qualitativa del fenomeno, che in
realtà è molto complessa e legata alla deformabilità dei corpi, indicando la procedura per includere tali
effetti negli schemi di calcolo utilizzati per i corpi rigidi.
Se i corpi fossero continui e perfettamente rigidi, quali si suppongono in schemi di prima approssimazione,
nel rotolamento puro di un corpo su un altro, ammesso che le forze agenti tra i due corpi passino
sempre per i punti di contatto, non si dovrebbe avere, per effetto di tale moto relativo, dispersione alcuna
di energia meccanica. Infatti, essendo nullo, per la definizione stessa di rotolamento, il moto istantaneo
tra i punti di contatto, le forze agenti tra i due corpi con linee d’azione passanti per detti punti eseguono
lavoro nullo.
Ancheseicorpinonfosserorigidi,maperfettamenteelastici,ilrotolamentonondarebbedispersionedi
energia, perché l’energia spesa per produrre la deformazione negli elementi che vengono successivamente
a contatto sarebbe eguale a quella restituita da quelli che abbandonano il contatto.
In realtà, i corpi reali non sono perfettamente elastici, con l’effetto di far diminuire i valori che le
forze elastiche assumono, nell’intervallo in cui il corpo tende a riprendere la forma primitiva, rispetto ai
valori che esse avevano, per il medesimo valore di deformazione, nell’intervallo in cui questa aumentava.
La distribuzione reale delle pressioni assume quindi l’andamento (b), rispetto a quello simmetrico (a)
del caso di perfetta elasticità. La risultante Rn delle pressioni passa per un punto C1 spostato nel verso
del moto di una quantità u legata dalla relazione u = fvr al coefficiente di resistenza al rotolamento fv.
È possibile a questo punto determinare la potenza perduta per rotolamento da prendere in considerazione
nel teorema dell’energia cinetica:
Wr = −Rnuω = −fvRnv (8.41)
essendo ω la velocità angolare della ruota, e v la velocità di avanzamento del centro ruota.
8-12

Figura 8.12: Schema di contatto ruota-strada: diagramma di carico
Figura 8.13: Coefficiente di resistenza al rotolamento.
8-13

Figura 8.14: Schema di funzionamento della ruota strada.
8.3.1 Misura del coefficiente di resistenza al rotolamento
Il coefficiente di resistenza al rotolamento è in genere funzione della velocità di marcia (diagramma
sperimentale), normalmente approssimato con l’espressione
fv = f0 +Kv 2
Qualora il campo di velocità lo permetta, viene ritenuto costante.
Ruota strada
(8.42)
Al fine di rilevare sperimentalmente il coefficiente di resistenza al rotolamento ad esempio di pneumatici,
le più semplici macchine di prova sono quelle che utilizzano la cosiddetta “ruota strada”, ovvero una
superficie cilindrica sulla quale la ruota viene fatta rotolare.
Le condizioni reali di funzionamento del pneumatico sono intermedie tra i risultati ottenuti con i due
tipi di macchina, e i risultati sono tanto più attendibili quanto più è alto il rapporto tra i raggi della
ruota strada e del pneumatico.
Per la misura del coefficiente di resistenza al rotolamento si può portare il complesso ruota-ruota
strada a una velocità prestabilita per poi lasciare che il sistema proceda per inerzia disinnestando i
motori. Applicando il bilancio di potenze al sistema si ottiene, nota la curva caratteristica del momento
resistente Ms(ωs) applicato alla ruota strada e trascurando il momento resistente applicato al cerchio
con pneumatico, avremo
−Ms(ωs)ωs −fvZr0ω = Js˙ωsωs +J ˙ωω (8.43)
dove il pedice (·) s si riferisce alle grandezze della ruota strada, r0 è il raggio di rotolamento sotto carico
del pneumatico e Z è il carico verticale applicato zavorrando la ruota dotata di pneumatico.
Ricordando per le ipotesi di rotolamento che
otteniamo:
da cui:
rsωs = r0ω (8.44)
−Ms(ωs) r0
rs
−Ms(ωs) r0
rs
ω −fvZr0ω = Js
−fvZr0 =
�
Js
� �2 r0
rs
� �2 r0
rs
˙ωω +J ˙ωω (8.45)
+J
�
˙ω (8.46)
8-14

Figura 8.15: Misura sperimentale della resistenza al rotolamento di un veicolo stradale.
ovvero:
fv = −Ms(ωs)r0rs − � Jsr2 0 +Jr 2 �
s ˙ω
Zr0r 2 s
(8.47)
La curva caratteristica Ms(ωs) può essere rilevata sperimentalmente registrando un transitorio di
arresto della sola ruota strada. Il metodo presenta delle difficoltà di misura in quanto normalmente si
registra la legge del moto ω(t), della quale è necessario calcolare numericamente l’accelerazione angolare.
Prove su strada
In alternativa si effettuano prove su strada trainando un veicolo posto all’interno di un cassone per
impedire che su di esso si esercitino forze aerodinamiche, come illustrato in figura 8.15.
Un tirante dinamometrico collega il cassone con il veicolo, e applicando il bilancio di potenze alla sola
autovettura avremo, in condizione di regime assoluto,
Tv −
4�
fviRnir0iωi = 0 (8.48)
i=1
che, nelle ipotesi di egual coefficiente di attrito per le quattro ruote ed eguale raggio di rotolamento sotto
carico, e ricordando che nelle ipotesi di rotolamento v = r0iωi porta a
Tv −fvv
4�
Rni = 0 (8.49)
i=1
ma, nelle ipotesi di marcia in piano, detta M la massa del veicolo, l’equilibrio alla traslazione verticale
porta a
4�
Rni = Mg (8.50)
i=1
e quindi la (8.49) diventa
fv = T
. (8.51)
Mg
8-15

8-16

Capitolo 9
Dinamica della macchina a un grado
di libertà
Generato il 16 gennaio 2012
9.1 Considerazioni generali
In questo capitolo si esaminerà il funzionamento di una macchina sotto l’ipotesi di poter considerare tale
sistema dotato di un solo grado di libertà. In generale, una macchina può essere pensata come composta
da un motore, una trasmissione ed un utilizzatore, come mostrato dalla figura 9.1.
Benché la suddivisione tra queste tre parti della macchina possa risultare talvolta schematica o poco
aderente all’effettivo funzionamento del sistema, è possibile in linea di massima affermare che:
• il motore ha il compito di produrre potenza meccanica, utilizzando una fonte di energia di diversa
natura (chimica, elettrica o altro);
• l’utilizzatore impiega la potenza meccanica resa disponibile dal motore per compiere uno scopo, che
può essere di natura alquanto varia, ad esempio il sollevamento o la movimentazione di un carico,
una lavorazione meccanica, la compressione di un fluido ecc.;
• la trasmissione ha il compito di trasferire la potenza dal motore all’utilizzatore e, dal punto di
vista della cinematica della macchina, stabilisce un rapporto (detto rapporto di trasmissione, come
illustrato nel paragrafo 9.1.3) tra la velocità del motore e quella dell’utilizzatore.
L’ipotesi che la macchina sia un sistema dotato di un solo grado di libertà, corrisponde ad affermare
che la posizione di tutti i punti della macchina viene univocamente determinata dal valore di una sola
coordinata libera, che nel seguito sarà sempre rappresentata dalla rotazione dell’albero motore.
Escludendo casi particolari in cui la macchina abbia più di una possibilità di movimento rigido (ad
esempio macchine contenenti rotismi epicicloidali), questa ipotesi corrisponde a considerare trascurabili
gli effetti di deformabilità degli organi (alberi, membri di sistemi articolati, cinghie ecc.) che compongono
la macchina stessa.
Motore Trasmissione Utilizzatore
Figura 9.1: Schema della macchina a un grado di libertà
9-1

Per scrivere l’equazione differenziale che governa il moto della macchina ad un grado di libertà è
conveniente utilizzare il teorema dell’energia cinetica
Π = dEc
dt
nella forma detta di bilancio delle potenze, con
Π = ˆ Wm + ˆ Wr + ˆ Wp
Ec = Ecm +Ecr
avendo assunto nulla l’energia cinetica associata alla trasmissione stessa in quanto la si idealizza in un
componente privo di inerzia riducibile ad una rotazione, come illustrato nel seguito. Tale equazione
assume la forma:
ˆWm + ˆ Wr + ˆ Wp = dEc
dt
in cui il termine ˆ Wm rappresenta la potenza dovuta a tutte le forze ed i momenti, a meno di quelli
d’inerzia, che si esercitano sul lato motore, ossia su tutte le parti della macchina poste a monte della
trasmissione, il termine ˆ Wr tiene conto di tutte le forze e coppie agenti sull’utilizzatore (ossia a valle della
trasmissione), ed il termine ˆ Wp rappresenta le perdite che si realizzano nella trasmissione per effetto degli
attriti e delle resistenze interne a questo organo.
9.1.1 Espressione della potenza motrice e della potenza resistente
La potenza motrice rappresenta il contributo al bilancio di potenze dovuto a tutte le forze ed in momenti
che agiscono sul lato motore della macchina, ossia su tutti gli organi posti a monte della trasmissione.
Nel caso più generale, in cui sul lato motore agiscano nfm forze ed nmm momenti, tale termine si può
scrivere come:
ˆWm =
nfm �
i=1
�Fmi
nmm �
�vFmi +
j=1
�Mmj ×�ωmj
in cui � Fmi rappresenta il valore della i-esima forza agente sul lato motore, �vmi rappresenta la velocità del
punto di applicazione della forza � Fmi e, analogamente, � Mmj rappresenta il valore del j-esimo momento
applicato al lato motore e �ωmj la velocità angolare del corpo a cui viene applicato il momento.
Si assume che la macchina sia caratterizzatada soli vincoli fissi, tali per cui le velocità�vmi e le velocità
angolari �ωmj non dipendano esplicitamente dal tempo.
Poichélamacchinapossiedeunsologradodilibertà,tuttelevelocitàevelocitàangolarichecompaiono
nella (9.5) possono essere espresse, per mezzo di opportuni legami cinematici, in funzione di un unico
parametro cinematico q. Nel seguito si assumerà che tale parametro sia la posizione angolare dell’albero
motore, ϑm; la sua derivata ˙ ϑm, corrispondente alla derivata temporale della coordinata libera, ˙q, è la
velocità angolare dell’albero motore, nel seguito spesso indicata con ωm. I legami cinematici assumono
la forma:
�vFmi = � XFmi ωm
�ωmi = � Θmi ωm
in cui � Xmi e � Θmi sono gli jacobiani che definiscono il legame cinematico tra le velocità dei punti di
applicazione delle forze e la velocità angolare dell’albero motore; per l’ipotesi di vincoli fissi, dipendono
al più dalla coordinata libera q.
Introducendo tali legami cinematici nella espressione (9.5) è possibile esprimere complessivamente la
potenza motrice come prodotto della velocità angolare ωm per un termine M∗ m che viene detto momento
9-2
(9.1)
(9.2)
(9.3)
(9.4)
(9.5)
(9.6)

motore ridotto1 all’albero motore:
⎛
nfm �
ˆWm = ⎝ �Fmi × � XFmi +
i=1
nmm �
j=1
⎞
�Mmj × � Θmj
⎠ωm = M ∗ mωm
Il momento motore ridotto può essere interpretato come il valore di un momento applicato all’albero
motore che fornisce una potenza motrice uguale in ogni istante alla potenza motrice prodotta
complessivamente da tutte le forze e coppie che agiscono effettivamente sul lato motore.
Nella (9.7) si osserva che l’espressione del momento motore ridotto dipende:
• dalle forze e coppie fisicamente agenti sul lato motore; tali grandezze a loro volta possono assumere
valori costanti (ad esempio nel caso di una forza gravitazionale), oppure dipendere dalla posizione
e/o dalla velocità dell’albero motore (si veda ad esempio nel paragrafo 4.3 la forza sul pistone di
un motore alternativo dovuta alla pressione nella camera di combustione.
• dagli jacobiani che legano il moto dei punti di applicazione delle forze fisiche alla rotazione dell’albero
motore; tali quantità sono costanti nel caso di legami cinematici lineari e dipendono invece
dalla rotazione ϑm dell’albero motore se i legami cinematici sono non lineari.
Di conseguenza, il momento motore ridotto dipenderà, in generale, sia dalla coordinata libera q, che
rappresenta la posizione angolare dell’albero motore ϑm, sia dalla sua velocità angolare ωm:
M ∗ m = M ∗ m(ϑm,ωm) (9.8)
Se, come caso particolare, il momento motore ridotto non dipende dalla posizione angolare dell’albero
ma solo dalla sua velocità angolare, la relazione M ∗ m = M ∗ m(ωm) viene detta caratteristica meccanica
del motore, e curva caratteristica la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano Mm −ωm, come
nell’esempio di figura 9.6.
Se invece il momento motore dipende anche dalla posizione angolare dell’albero lo studio della dinamica
della macchina risulta più complesso, come sarà discusso nel paragrafo 9.3. In alcune applicazioni è
però possibile approssimare il momento motore nel seguente modo:
M ∗ m(ϑm,ωm) ∼ = M ∗
m = 1
Θ
� Θ
0
M ∗ m(ϑm,ωm)dϑm
ove con Θ si è indicata la rotazione corrispondente ad un periodo del moto2 , in modo da eliminarne
la dipendenza dalla posizione angolare dell’albero: tale approssimazione è giustificata dal fatto che,
se la macchina ruota ad una velocità pressoché costante, le variazioni che si producono nel momento
motore rispetto al suo valore medio sono assorbite dalle inerzie e dalle deformabilità dei suoi organi.
Questa motivazione, necessariamente incompleta e qualitativa, potrà essere meglio precisata quando si
affronteranno i problemi dell’isolamento delle vibrazioni e delle oscillazioni torsionali di una macchina.
Per quanto riguarda l’espressione della potenza resistente è possibile definire un momento resistente
ridotto, sulla base di considerazioni analoghe a quelle presentate per la potenza motrice. Tale quantità
rappresenta l’effetto complessivo di tutte le forze e coppie agenti sul lato utilizzatore, e consente di
scrivere la potenza resistente nella forma
⎛
nfr �
ˆWr = ⎝ �Fri × � XFri +
i=1
nmr �
j=1
⎞
�Mrj × � Θrj
⎠ωr = M ∗ rωr
(9.7)
(9.9)
(9.10)
in cui le varie grandezze introdotte assumono significato analogo, per il lato utilizzatore, a quanto
introdotto nella (9.5) e nella (9.6) per il lato motore.
1Il momento ridotto può essere positivo o negativo; nel primo caso, il motore sta introducendo lavoro nel sistema, mentre
nel secondo caso lo sta estraendo.
2Ad esempio, per un motore alternativo a combustione interna monocilindrico a quattro tempi, ad un periodo corrispondono
due giri dell’albero motore, quindi Θ = 4π; per un analogo motore a 6 cilindri in linea, in caso di perfetta simmetria
e bilanciamento delle parti l’angolo si riduce a Θ = 2/3π.
9-3

9.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto di motore e utilizzatore
Per quanto riguarda l’energia cinetica del lato motore, si consideri il caso più generale in cui questo sia
composto da ncm corpi, e siano mmi e Jmi rispettivamente il valore della massa e del momento di inerzia
dell’i-esimo corpo. L’energia cinetica complessiva del lato motore sarà fornita, in base al teorema di
König, da:
Ecm =
ncm �
i=1
� �
1 1
mmi�vGim ×�vGim + Jmi�ωim ×�ωim
2 2
(9.11)
Anche in questo caso è possibile esprimere attraverso opportuni legami cinematici la relazione che
intercorre tra le velocità dei baricentri dei diversi corpi, le velocità angolari di questi e la velocità angolare
ωm dell’albero motore
�vGmi = � XGmi ωm
�ωmi = � Θmi ωm
(9.12)
Introducendo tali relazioni nella espressione dell’energia cinetica del lato motore si ottiene è possibile
definire il momento d’inerzia ridotto del motore ridotto all’albero motore:
Ecm
ncm
1 ��
=
2
i=1
mmi
�XGmi × � XGmi +Jmi
�Θmi × � �
Θmi ω 2 m = 1
2 J∗ mω 2 m
(9.13)
in questa espressione il momento d’inerzia ridotto J ∗ m può essere interpretato come il momento di inerzia
di un volano posto sull’albero motore, la cui energia cinetica sia uguale all’energia cinetica complessiva
di tutte le inerzie presenti sul lato motore della macchina.
Seilegamicinematiciespressidalla(9.12)sonononlineari, glijacobianiXGmi eΘmi , ediconseguenza
il momento di inerzia ridotto J∗ m, dipendono dalla posizione angolare dell’albero motore ϑm:
J ∗ m = J ∗ m(ϑm) (9.14)
se invece i legami cinematici sono lineari gli jacobiani e quindi anche il momento di inerzia ridotto sono
costanti.
Per quanto riguarda l’energia cinetica dell’utilizzatore, si può pervenire ad una scrittura dell’energia
cinetica analoga a quella ottenuta per il lato motore, che consente di definire un momento di inerzia
ridotto dell’utilizzatore J ∗ r:
Ecr
ncr
1 ��
=
2
i=1
mri
�XGri × � XGri +Jri
�Θri × � �
Θri ω 2 r = 1
2 J∗ rω 2 r
(9.15)
In linea di principio, è possibile definire, in analogia, anche l’energia cinetica associata alla trasmissione;
tuttavia nel modello ideale considerato in questa trattazione si assume che l’energia cinetica della
trasmissione sia nulla, ovvero che sia nulla l’inerzia ridotta della trasmissione stessa.
9.1.3 La trasmissione: espressione della potenza perduta
La trasmissione di una macchina può essere realizzata per mezzo di dispositivi quali ingranaggi, alberi,
organi flessibili (cinghie trapezoidali o dentate) catene o altri dispositivi. Dal punto di vista della cinematica
della macchina, essa stabilisce una relazione tra il moto del lato motore e dell’utilizzatore. Tale
legame è espresso dal rapporto di trasmissione τ definito come:
τ = ωr
ωm
(9.16)
nel seguito si ipotizzerà che il valore del rapporto di trasmissione sia costante, benché esistano esempi di
trasmissioni per le quali il valore di questo parametro varia con la posizione angolare dell’albero motore 3 .
3 Ad esempio il giunto di Cardano.
9-4

Per quanto riguarda invece il contributo della trasmissione al bilancio di potenze della macchina, la
potenza dissipata dalla trasmissione viene di norma espressa come una frazione della potenza entrante
nella trasmissione stessa, attraverso il rendimento η:
η = − Wuscente
, (9.17)
Wentrante
ove il segno negativo è necessario dal momento che le due potenze considerate hanno generalmente segno
opposto 4 . Al fine di descrivere il flusso della potenza attraverso la trasmissione, si indichino con Wm e
Wr le potenze agli alberi della trasmissione rispettivamente lato motore e lato utilizzatore, definite come
Wm = ˆ Wm −J ∗ m˙ωmωm
Wr = ˆ Wr −J ∗ r ˙ωrωr
(9.18)
(9.19)
e con Wp la potenza dissipata all’interno della trasmissione che, per le ipotesi fatte in precedenza
sull’assenza di inerzia nella trasmissione, risulta
Wp = ˆ Wp. (9.20)
Per tutti e tre questi termini si adotterà la convenzione di considerare positivi i contributi di potenza
entranti nella trasmissione, come mostrato in figura 9.2.
Wm
Wp
Trasmissione Wr
Figura 9.2: Flussi di potenza attraverso la trasmissione
Nel caso in cui sia Wm > 0 e Wr < 0 il moto è definito diretto ed il rapporto tra le due potenze Wm
e Wr nella forma
ηd = − Wr
Wm
(9.21)
è detto rendimento (della trasmissione) nel moto diretto, Nel caso in cui sia Wr > 0 e Wm < 0, il moto
è detto retrogrado (o inverso) ed il rapporto tra le due potenze nella forma
ηr = − Wm
Wr
(9.22)
è detto rendimento nel moto retrogrado.
Per rapporti di trasmissione τ = ωr/ωm che si discostano via via dall’unità (τ < 1/6 e τ > 6) i due
rendimenti divengono progressivamente diversi fra loro. Per τ = ωr/ωm ≪ 1 (motore veloce e utilizzatore
lento), come spesso accade nelle applicazioni, in cui la trasmissione determina una riduzione di velocità
tra il lato motore ed il lato utilizzatore, è ηd > ηr.
Al diminuire di ηd (ηd < 0.4 ÷ 0.5) può inoltre verificarsi il caso ηr < 0, nel qual caso è necessario
avere anche Wm > 0 (rispetto al caso di moto retrogrado già detto) per far funzionare la macchina in
cui la trasmissione è inserita. In tal caso la trasmissione si definisce“irreversibile”e la potenza Wm+Wr
viene tutta dissipata. È privo di significato fisico il caso in cui entrambe le potenze Wm e Wr siano
negative.
4 Il caso particolare in cui hanno entrambe segno positivo viene considerato a parte.
9-5

Espressione della potenza perduta
Effettuando un bilancio di potenze parziale della trasmissione, e facendo riferimento alle convenzioni
indicate in figura 9.2, si ottiene l’equazione
Wm +Wr +Wp = 0 (9.23)
al fine di ottenere l’espressione della potenza perduta, conviene distinguere le diverse possibili condizioni
di funzionamento della trasmissione.
Condizioni di moto diretto. Inserendo nel bilancio di potenze della trasmissione la definizione del
rendimento in moto diretto fornita in precedenza si ottiene:
⎧
⎪⎨ −(1−ηd)Wm � �
Wp = −Wm −Wr = 1
(9.24)
⎪⎩ −1 Wr
ηd
in cui le due espressioni riportate per la potenza perduta Wp sono equivalenti in quanto danno luogo allo
stesso valore. Si osservi che, in conseguenza del fatto che 0 < ηd < 1 la potenza dissipata risulta sempre
minore di zero, il che è in accordo con il fatto che all’interno della trasmissione si verifica sempre una
perdita di energia.
Condizioni di moto retrogrado. In questo caso, ricordando la definizione del rendimento in moto
retrogrado, ed escludendo per il momento il caso di trasmissione irreversibile, si ha:
⎧
⎪⎨ −(1−ηr)Wr � �
Wp = −Wm −Wr = 1
(9.25)
⎪⎩ −1 Wm
ηr
in questo caso si ha 0 < ηr < 1 e di conseguenza la potenza perduta risulta negativa.
Caso di trasmissione irreversibile. In questo caso, indicando con η ∗ r il rendimento in moto retro-
grado per sottolineare il fatto che esso assume un valore negativo, si ottiene:
⎧
⎪⎨ −(1−η
Wp = −Wm −Wr =
⎪⎩
∗ � �r)Wr
1
−1 Wm
η ∗ r
(9.26)
in cui, osservando che questa volta η ∗ r < 0, si ha che la potenza perduta ha segno negativo e risulta in
modulo maggiore sia della potenza lato motore Wm, sia della potenza lato utilizzatore Wr.
Determinazione del flusso di potenza attraverso la trasmissione
Nello studio del moto di una macchina, al fine di valutare correttamente la potenza perduta nella trasmissione,
occorre determinare il flusso di potenza attraverso la trasmissione, ossia determinare se questa
funzioni in condizioni di moto diretto o retrogrado.
Si consideri una trasmissione per la quale sia:
ηd > ηr > 0 (9.27)
ossia per la quale sia esclusa la possibilità di arresto spontaneo.
Nel caso in cui le due potenze Wm e Wr delle forze agenti rispettivamente sul lato motore e sul lato
utilizzatore abbiano segno opposto, la determinazione del flusso di potenza discende immediatamente
dal segno di questi termini, secondo la tabella 9.1. Invece il caso in cui entrambi i termini Wm e Wr
risultino positivi, il moto può essere diretto oppure retrogrado in funzione delle condizioni di funzionamento
della macchina. Nel seguito di questo paragrafo si chiarirà in che modo sia possibile sciogliere
9-6

Lato motore Lato utilizzatore
Wm > 0 Wr < 0 moto diretto
Wm < 0 Wr > 0 moto retrogrado
Wm > 0 Wr > 0 caso indeterminato
Tabella 9.1: Riassunto delle condizioni di moto diretto e retrogrado della trasmissione
l’indeterminazione e decidere se il moto sia diretto o retrogrado. A tale fine si ipotizzerà per semplicità
che i momenti di inerzia ridotti del lato motore e del lato utilizzatore J ∗ m e J ∗ r siano costanti, e si distingueranno
due casi tipici che si verificano nello studio della dinamica della macchina: nel primo caso
si assumerà di conoscere il valore della accelerazione della macchina nella condizione di funzionamento
considerata. Nel secondo caso si considererà invece incognita l’accelerazione della macchina.
Caso 1 - accelerazione nota. In questo caso basta valutare la più comoda delle espressioni:
Wm = ˆ Wm −J ∗ m˙ωmωm
Wr = ˆ Wr −J ∗ r ˙ωrωr
(9.28)
che corrispondono rispettivamente alla scrittura di un bilancio di potenze parziale del solo lato motore o
del solo lato utilizzatore. Avremo necessariamente (per l’ipotesi di trasmissione reversibile) che una delle
due potenze Wm e Wr sarà positiva e l’altra negativa, e sarà di conseguenza possibile determinare se la
macchina funziona in moto diretto o retrogrado e quindi utilizzare l’espressione corretta della potenza
perduta Wp secondo quanto indicato in precedenza.
Caso 2 - accelerazione incognita. in questo caso occorre ipotizzare un flusso di potenza (moto
diretto o retrogrado), ricavare l’accelerazione e verificare l’ipotesi fatta.
Ipotizzando ad esempio moto diretto, avendo ridotto tutte le azioni agenti sui due lati motore ed
utilizzatore ai momenti M ∗ m e M ∗ r e tutte le inerzie ai momenti ridotti di inerzia J ∗ m e J ∗ r, il bilancio di
potenze diviene:
M ∗ mωm +τM ∗ rωm −(1−ηd)(M ∗ m −J ∗ m˙ωm)ωm = J ∗ m˙ωmωm +τ 2 J ∗ r ˙ωmωm
che fornisce il valore della accelerazione angolare dell’albero motore:
˙ωm = ηdM ∗ m +τM ∗ r
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r
(9.29)
(9.30)
in cui il valore della accelerazione angolare risulta sicuramente positivo in quanto sia il momento motore
ridotto sia il momento resistente ridotto sono positivi. Inserendo tale valore nella espressione della
potenza Wm entrante nella trasmissione dal lato motore è possibile verificare se questa risulta maggiore
di zero, e quindi se il moto risulta effettivamente diretto, come precedentemente ipotizzato.
Sostituendo nella condizione di moto diretto
M ∗ m −J ∗ m˙ωm > 0 (9.31)
l’espressione della accelerazione angolare del motore (nell’ipotesi di moto diretto), si ottiene una condizione
necessaria e sufficiente affinché la macchina funzioni in moto diretto:
ed essendo:
si ottiene:
M ∗ m −J ∗ ηdM
m
∗ m +τM ∗ r
ηdJ∗ m +τ 2J∗ r
> 0 (9.32)
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r > 0 (9.33)
ηdJ ∗ mM ∗ m +τ 2 J ∗ rM ∗ m −ηdJ ∗ mM ∗ m −τJ ∗ mM ∗ r > 0 (9.34)
9-7

Figura 9.3: Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito.
da cui, semplificando e riordinando i termini:
M ∗ m
J ∗ m
> τM∗ r
τ 2 J ∗ r
(9.35)
ossia condizione per avere moto diretto è che il rapporto tra la coppia dell’utilizzatore ridotta all’albero
motore ed il momento d’inerzia dell’utilizzatore ridotto all’albero motore stesso risulti minore del
corrispondente rapporto relativo alle quantità direttamente agenti sul lato motore.
In definitiva è quindi possibile, anche nel caso di accelerazione incognita, determinare a priori il flusso
di potenza nella trasmissione.
9.1.4 Esempio applicativo: piani inclinati con attrito
Si consideri la semplice macchina illustrata in figura 9.3, consistente in un corpo che scorre orizzontalmente
su un piano liscio, sul quale scorre un altro corpo lungo un piano inclinato di un angolo α, la
cui superficie sia caratterizzata da un coefficiente di attrito dinamico fd relativo allo strisciamento tra
i due corpi. Il secondo corpo, a sua volta, sia vincolato a scorrere verticalmente su un piano liscio. La
cinematica mostra che lo spostamento del secondo corpo è
xr = xmtanα (9.36)
quindi tanα è il rapporto di trasmissione τ.
Moto diretto
Si consideri il caso in cui il primo corpo si muova nel verso positivo di xm a velocità costante, quindi in
condizioni di regime. La potenza motrice è
Πm = Fm˙xm
La componente tangenziale della reazione vincolare è data da
RT = fdRN
(9.37)
(9.38)
quindi, dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si
ottiene
RN = Fm
1
(sinα+fdcosα)
9-8
(9.39)

Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottiene
invece
(cosα−fdsinα)
Fr = −RN (cosα−fdsinα) = −Fm
(sinα+fdcosα)
Ne risulta una potenza resistente
(9.40)
(cosα−fdsinα)
Πr = Fr˙xr = −Fm˙xm tanα (9.41)
(sinα+fdcosα)
Il rendimento è dato da
ηd = − Πr
Πm
= (1−fdtanα)
(1+fd/tanα)
ed è unitario in assenza di attrito, mentre decresce al crescere di fd e di α, fino ad annullarsi per
tanα = 1
fd
Moto retrogrado
(9.42)
(9.43)
Si consideri ora il caso in cui il secondo corpo si muova verso il basso, ovvero in direzione opposta al
verso positivo di xr, sempre a velocità costante. La potenza associata alla forza Fr è sempre data da
Πr = Fr˙xr = Fr˙xmtanα (9.44)
ma ora sia la forza che la velocità sono negative, in quanto la forza Fr svolge il ruolo di forza motrice.
Dal momento che il moto ha cambiato verso, si inverte anche il verso della componente tangenziale della
reazione vincolare; quindi ora
RT = −fdRN
(9.45)
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale del secondo corpo si ottiene
ora
1
RN = −Fr
(cosα+fdsinα)
(9.46)
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale del primo corpo si ottiene
invece
(sinα−fdcosα)
Fm = RN (sinα−fdcosα) = −Fr
(cosα+fdsinα)
Ne risulta una potenza
(sinα−fdcosα)
Πm = Fm˙xm = −Fr˙xm
(cosα+fdsinα)
Il rendimento è ora dato da
ηr = − Πm
Πr
= (1−fd/tanα)
(1+fdtanα)
(9.47)
(9.48)
(9.49)
Anche in questo caso il rendimento è unitario in assenza di attrito, e decresce al crescere di fd e di α,
fino ad annullarsi; questa volta, per
tanα = fd
9-9
(9.50)

È evidente come i due rendimenti, in presenza di attrito, siano diversi. Si noti che, per α = π/4, ossia
per tanα = 1, il rapporto di trasmissione è unitario; in tale circostanza, le espressioni dei due rendimenti
coincidono, e si ha
ηd| α=π/4 = ηr| α=π/4 = (1−fd)
(1+fd)
(9.51)
Il meccanismo per cui si ha una perdita di potenza nelle trasmissioni è spesso associato all’attrito legato
allo strisciamento tra parti meccaniche. Questo semplice modello è in grado di illustrare in modo efficace
come il rendimento possa non dipendere significativamente dalla velocità, e come i rendimenti in caso di
moto diretto o retrogrado possano differire tanto più quanto più il rapporto di trasmissione è diverso da
1.
9.1.5 Condizioni di funzionamento della macchina ad un grado di libertà
In definitiva, lo studio della macchina ad un grado di libertà può essere condotto sulla base dello schema
rappresentato in figura 9.4, in cui l’insieme di tutte le forze agenti sul lato motore viene ridotto ad un
momento motore M ∗ m agente sull’albero motore, l’insieme delle forze agenti sull’utilizzatore viene ridotto
ad un unico momento resistente M ∗ r agente sull’albero dell’utilizzatore, e tutte le inerzie vengono ridotte
ai due momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore J ∗ m e J ∗ r rispettivamente.
M ∗ m
J ∗ m
Lato Motore
Trasmissione
Lato Utilizzatore
J ∗ r M ∗ r
Figura 9.4: Schema della macchina ad un grado di libertà
Le condizioni di funzionamento di questo sistema possono essere riassunte in tre categorie dette:
• regime assoluto (spesso indicato semplicemente come regime): si tratta di una condizione di
funzionamento in cui l’energia cinetica della macchina si mantiene costante nel tempo;
• moto vario (spesso indicato come transitorio): è una qualsiasi condizione di moto in cui l’energia
cinetica della macchina subisce una variazione nel tempo; esempi tipici di moto vario sono la fase di
avviamento, durante la quale la macchina si porta dalla condizione di quiete ad una condizione di
moto a regime, e di arresto, durante la quale avviene la transizione opposta dal regime alla quiete;
• regime periodico che può essere vista come una particolare condizione di moto vario, in cui l’energia
cinetica dela macchina, pur variando nel tempo, assume un andamento periodico, ossia ritorna ad
assumere lo stesso valore ad intervalli regolari di tempo (in genere corrispondenti ad un multiplo o
sottomultiplo intero del periodo di rotazione della macchina);
Affinché una macchina possa funzionare in condizioni di regime assoluto, è necessario che si verifichino
le seguenti due condizioni:
• il momento motore ridotto ed il momento resistente ridotto non devono dipendere dalla posizione
angolare dei relativi alberi, ma unicamente dalle velocità angolari di questi;
• i momenti di inerzia ridotti del motore e dell’utilizzatore devono essere costanti.
Nel seguito si dirà macchina a regime assoluto una macchina per la quale si realizzano queste due
condizioni. Lo studio del moto di questo tipo di macchina (sia in condizioni di regime, sia in transitorio)
sarà oggetto del paragrafo 9.2.
9-10

Nel paragrafo 9.3 si fornirà invece un cenno relativo al funzionamento di una macchina per la quale
le condizioni (1) e (2) precedentemente citate non si verificano. Si mostrerà che per una macchina di
questo tipo non è possibile il funzionamento in regime assoluto, ma possono sussistere invece condizioni
di funzionamento di regime periodico. Per questo motivo, una macchina di questo tipo verrà detta
macchina a regime periodico.
9.2 La macchina a regime assoluto
9.2.1 Equazione di moto
Al fine di scrivere l’equazione di moto della macchina ad un grado di libertà, si applica l’equazione
di bilancio delle potenze (9.4) utilizzando le espressioni della potenza motrice, resistente, perduta e
dell’energia cinetica ricavate in precedenza.
Per quanto riguarda la derivata dell’energia cinetica, si può osservare che, se il momento di inerzia ridottodelmotoreedell’utilizzatoresonoindipendentidallarotazionedeirispettivialberi,
alloralederivate
dell’energia cinetica ripettivamente del motore e dell’utilizzatore assumono le seguenti espressioni:
dEcm
dt = J∗ mωm˙ωm
dEcr
dt = J∗ rωr ˙ωr
Inserendo tale risultato nella espressione della condizione di moto diretto si ottiene:
(9.52)
Wm > 0 se: M ∗ m −J ∗ m˙ωm > 0 (9.53)
Inoltre le espressioni della potenza perduta in moto diretto e retrogrado diventano:
⎧
⎨ Wp = −(1−ηd)(M ∗ m −J ∗ m˙ωm)ωm (moto diretto)
⎩
Wp = −(1−ηr)(M ∗ r −J ∗ r ˙ωr)ωr (moto retrogrado)
(9.54)
Per effetto del termine di potenza dissipata nella trasmissione, l’equazione di moto della macchina, ossia
l’equazione differenziale che lega l’accelerazione angolare dell’albero motore alle forze agenti assume una
diversa espressione in condizioni di moto diretto e retrogrado.
Siconsideriinnanzituttolacondizionedimotodiretto; inserendonell’equazionedibilanciodellepotenze
(9.4) le espressioni (9.7), (9.10), (9.54), (9.52) della potenza motrice, resistente, perduta e dell’energia
cinetica si ottiene:
M ∗ mωm +M ∗ rωr −(1−ηd)(M ∗ m −J ∗ m˙ωm)ωm = J ∗ mωm˙ωm +J ∗ rωr ˙ωr
(9.55)
Inserendo in tale equazione l’espressione del legame cinematico (9.16) tra la velocità angolare dell’albero
motore e dell’albero dell’utilizzatore e riordinando i termini si ottiene:
(ηdM ∗ m +τM ∗ r)ωm = (ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r)˙ωmωm
(9.56)
ed, esplicitando in funzione della accelerazione angolare dell’albero motore, si ottiene l’equazione di moto
della macchina per condizioni di moto diretto:
˙ωm = ηdM ∗ m +τM ∗ r
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r
(9.57)
nel caso in cui (come ipotizzato in questo paragrafo) il momento motore ed il momento resistente dipendano
solo dalle velocità angolari dei rispettivi alberi e non dalla posizione angolare di questi, si ottiene
una equazione differenziale del primo ordine, che consente di determinare la legge di moto dell’albero
motore, ossia l’andamento nel tempo della velocità angolare ωm dell’albero motore.
9-11

Nel caso in cui invece la macchina funzioni in condizioni di moto retrogrado, mediante passaggi
analoghi si ottiene:
˙ωm = M∗ m +ηrτM ∗ r
J ∗ m +ηrτ 2 J ∗ r
(9.58)
Unendo le due espressioni della accelerazione dell’albero motore, valide rispettivamente nel caso di
moto diretto e retrogrado, si ottiene l’equazione di moto della macchina in regime assoluto, che esprime,
in termini di equazione differenziale del primo ordine, la relazione tra le forze agenti nella macchina ed
il moto di questa:
⎧
⎪⎨
˙ωm =
⎪⎩
ηdM ∗ m(ωm)+τM ∗ r(ωm)
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r
M ∗ m(ωm)+ηrτM ∗ r(ωm)
J ∗ m +ηrτ 2 J ∗ r
per M ∗ m −J ∗ m˙ωm > 0
per M ∗ r −J ∗ r ˙ωr < 0
9.2.2 Condizioni di funzionamento in regime assoluto
(9.59)
Lecondizionidifunzionamentoinregimeassolutodellamacchinasiottengonoimponendonellaequazione
di bilancio delle potenze la condizione di regime:
dEc
dt
= 0 (9.60)
in tal modo si ottiene l’equazione:
⎧
⎨ ηdM∗ m(ωm)+τM ∗ r(ωm) = 0 per M∗ m > 0
⎩
M ∗ m(ωm)+ηrτM ∗ r(ωm) = 0 per M ∗ m < 0
(9.61)
in cui la prima equazione si riferisce a condizioni di moto diretto, e la seconda a condizioni di moto
retrogrado. Si osservi che a regime, venendo a mancare il contributo dei termini inerziali, la condizione
di moto diretto/retrogrado viene determinata esclusivamente dal segno del momento ridotto del motore
o dell’utilizzatore (che devono essere necessariamente di segno opposto, per consentire la conservazione
dell’energia cinetica).
La condizione di regime (9.61) rappresenta una equazione non lineare nella incognita ωm, che può
essere risolta con tecniche numeriche, ad esempio attraverso la minimizzazione di una opportuna funzione
residuo, come visto in precedenza per le equazioni di chiusura nel metodo dei numeri complessi. Trattandosi
di una equazione non lineare, non è possibile garantire a priori l’unicità della soluzione: si potrà
perciò avere un numero diverso di possibili condizioni di regime in funzione della particolare macchina
considerata, e quindi delle espressioni dei momenti motore e resistente ridotti.
9.2.3 Esempio applicativo: moto di un impianto di sollevamento carichi
In figura 9.5 si mostra un impianto di sollevamento carichi, composto da un motore asincrono trifase,
collegato attraverso una trasmissione formata da una coppia di ingranaggi del tipo ruota elicoidale-vite
senza fine 5 ad una puleggia. Sulla puleggia si avvolge una fune metallica collegata da un lato alla cabina
che porta il carico da sollevare, ed alla estremità opposta ad un contrappeso. Nel seguito si indicheranno
con mc, mu ed mq rispettivamente la massa della cabina a vuoto, la massa del carico utile portato dalla
cabina e la massa del contrappeso. Infine, sull’albero motore è calettato un volano Jv che, come si vedrà
nel seguito, ha lo scopo di limitare l’accelerazione della cabina nella fase di avviamento dell’impianto.
5 Si tratta di un tipo di rotismo atto a trasmettere il moto tra due assi fra loro ortogonali. Generalmente questo tipo di
trasmissione presenta un elevato rapporto di riduzione (ossia un valore del rapporto di trasmissione τ molto inferiore ad 1)
e da un rendimento modesto.
9-12

τ, ηd, ηr
mc, mu
mq
Jv
ωm Mm
Figura 9.5: Impianto di sollevamento carichi
Cenni sul funzionamento del motore asincrono trifase
Il motore asincrono trifase è costituito da una parte fissa, detta statore e da una parte mobile, detta
rotore, posta all’interno dello statore e dotata della possibilità di ruotare rispetto ad un asse fisso. Su
ciascuno di questi elementi è posto un avvolgimento trifase. L’avvolgimento posto sullo statore, detto
induttore, è alimentato con un sistema di tensioni trifase alternate, che genera un campo magnetico
rotante con velocità angolare ωs detta velocità di sincronismo, pari a:
ωs = 2πfa
p
(9.62)
in cui fa è la frequenza della tensione di alimentazione e p è il numero di coppie di poli dello statore.
Sul rotore si genera quindi una forza elettromotrice che dipende dalla velocità angolare del rotore
e che si annulla quando questo ruota alla velocità di sincronismo, ossia in maniera sincrona rispetto al
campo magnetico generato dallo statore.
La caratteristica meccanica del motore è mostrata in figura 9.6. Come si può osservare, tale caratteristica
assume un andamento pressoché rettilineo per velocità prossime a quella di sincronismo. Per
evitare un funzionamento non corretto del motore (eccessive dissipazioni di energia con conseguente surriscaldamento)
è necessario che il motore lavori a regime in prossimità della velocità di sincronismo, e
che la sua velocità angolare non subisca eccessive oscillazioni attorno al valore di regime.
Mm
Mmax
ωm
ωs
ωm
Figura 9.6: Caratteristica del motore asincrono trifase
Sipuòinoltreosservarechepervelocitàangolarisuperioriallavelocitàdisincronismolacoppiamotrice
diviene negativa, ossia risulta opposta alla velocità angolare dell’albero motore. In queste condizioni il
motore asincrono trifase si comporta come un organo frenante, sottraendo potenza alla macchina.
9-13

Le inerzie del motore asincrono trifase possono essere rappresentate per mezzo di un momento di
inerzia Jm che rappresenta il momento di inerzia del rotore rispetto al suo asse di rotazione.
Osservazione: Nel caso di un impianto di sollevamento carichi occorre osservare che il senso di rotazione
del campo magnetico rotante, e di conseguenza, il verso del momento motore, viene invertito tra
la fase di salita e quella di discesa dell’impianto. Nella fase di salita il momento motore risulta perciò
concorde con una velocità angolare del motore che produca un sollevamento del carico utile, mentre nella
fase di discesa il momento motore agisce secondo il senso di rotazione che produce la discesa del carico.
Funzionamento in salita dell’impianto
Si considera innanzitutto la condizione di funzionamento dell’impianto in cui la cabina si muove verso
l’alto. In questa situazione la macchina è soggetta, sul lato motore, ad una coppia motrice Mm concorde
con la velocità angolare dell’albero motore e dipendente da questa secondo la caratteristica di figura 9.6.
Sullatoutilizzatoreinveceagisconoleforzepesorelativeallacabina(comprensivadelcaricotrasportato)
e sul contrappeso. Come mostrato in figura 9.7, la forza peso e la velocità sono discordi sulla cabina
e concordi sul contrappeso.
Vc
ωr
(mc +mu)g
mqg
Vq
(mc +mu)g
Figura 9.7: Condizione di funzionamento in salita ed in discesa del lato utilizzatore dell’impianto di
sollevamento carichi
Di conseguenza, la potenza motrice e la potenza resistente assumono le espressioni:
ˆWm = Mmωm
ˆWr = −(mc +mu)gVc +mqgVq
Vc
ωr
mqg
Vq
(9.63)
(9.64)
Ipotizzando che non vi sia strisciamento tra la fune e la puleggia, le velocità Vc della cabina e Vq del
contrappeso possono essere espresse come:
Vc = Rωr
Vq = Rωr
(9.65)
(9.66)
in cui R e ωr sono rispettivamente il raggio e la velocità angolare della puleggia. Inserendo tali relazioni
nella espressione della potenza resistente si ottiene:
ˆWr = M ∗ rωr
essendo il momento resistente ridotto M ∗ r pari a:
(9.67)
M ∗ r = −(mc +mu −mq)gR (9.68)
9-14

L’energia cinetica del lato motore e del lato utilizzatore sono rappresentate dalle seguenti espressioni:
Ecm
Ecr
= 1
2 (Jm +Jv)ω 2 m
= 1
2 (mc +mu)V 2
c + 1
2
mqV 2
q + 1
2 Jpω 2 r
(9.69)
(9.70)
avendo indicato con Jp il momento di inerzia della puleggia.
Inserendo nella espressione della energia cinetica del lato utilizzatore i legami cinemetici precedentemente
ricavati si ottiene:
Ecr
1 �
= mcR
2
2 +muR 2 +mqR 2 � 2
+Jp ωr = J ∗ rω 2 r
Applicando alle espressioni ottenute l’equazione (9.59) si ottiene:
⎧
ηdMm −τ (mc +mu −mq)gR
⎪⎨ ηd(Jm +Jv)+τ
˙ωm =
⎪⎩
2 (mcR2 +muR2 +mqR2 +Jp)
Mm −ηrτ (mc +mu −mq)gR
(Jm +Jv)+ηrτ 2 (mcR 2 +muR 2 +mqR 2 +Jp)
Funzionamento in discesa dell’impianto
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm > 0
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm < 0
(9.71)
(9.72)
Si considera in questo caso che il motore ruoti in senso tale da produrre un moto verso il basso della
cabina. Come osservato in precedenza, per effetto della inversione del senso di rotazione del campo
magnetico rotante, anche il momento motore cambia verso e risulta quindi concorde con la velocità
angolare dell’albero motore, così come nel moto in salita.
Per quanto riguarda invece l’utilizzatore, si invertono le diresioni delle velocità della cabina e del
contrappeso, come mostrato nella parte di destra della figura 9.7.
Di conseguenza, l’espressionedella potenza motrice rimane immutata rispetto al caso in salita, mentre
quella della potenza resistente cambia segno. Per quanto riguarda invece l’energia cinetica l’espressione
rimane uguale sia per il lato motore che per l’utilizzatore, perché la sua espressione non risente del segno
delle velocità.
Operando gli stessi passaggi descritti per il moto in salita si ottiene l’equazione di moto:
⎧
ηdMm +τ (mc +mu −mq)gR
⎪⎨ ηd(Jm +Jv)+τ
˙ωm =
⎪⎩
2 (mcR2 +muR2 +mqR2 +Jp)
Mm +ηrτ ((mc +mu −mq)gR
(Jm +Jv)+ηrτ 2 (mcR 2 +muR 2 +mqR 2 +Jp)
9.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm > 0
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm < 0
(9.73)
Si consideri un autoveicolo a due assi, a trazione posteriore, in moto lungo un piano inclinato. Il motore è
collegato all’assale con le ruote motrici da una trasmissione, il cui rapporto di trasmissione τ sia costante
e noto, così come il rendimento η. Si considera la presenza di resistenza al rotolamento su entrambi gli
assali. Si richiede di:
1. calcolare la coppia che consente di mantenere il veicolo in salita a regime;
2. calcolare l’accelerazione che si ottiene per una coppia motrice superiore a quella di regime;
3. verificare l’aderenza delle ruote motrici e condotte.
9-15

Potenza delle forze attive
Figura 9.8: Veicolo in salita
La potenza delle sole forze attive fornita dal motore è
ˆWm = Cmωm
mentre la potenza delle sole forze attive agenti dal lato dell’utilizzatore è costituita dai contributi
(9.74)
ˆWg = M�g × ˙ �x = −Mgsinα˙x (9.75)
dovuto al peso del veicolo, nel caso in cui il moto avvenga in salita lungo un piano inclinato di un angolo
α; da
ˆWv = −Cvpωp −Cvaωa
dovuto alle coppie resistenti al rotolamento delle ruote anteriori e posteriori.
Nell’ipotesi di puro rotolamento sia delle ruote anteriori che posteriori, posta
ωp = τωm
la velocità angolare delle ruote motrici, la velocità del veicolo è
˙x = Rpωp = τRpωm
mentre la velocità angolare delle ruote anteriori risulta
ωa = ˙x
Ra
= τ Rp
ωm
Ra
(9.76)
(9.77)
(9.78)
(9.79)
In base al modello presentato nel Capitolo 8, la resistenza al rotolamento è proporzionale alla componentenormaledellareazionescambiatafraruotaeterrenoealraggiodellaruotaattraversouncoefficiente
di resistenza al rotolamento fv; quindi la potenza espressa dalla (9.76) diventa
ˆWv = −fvpNpRpωp −fvaNaRaωa
Dalle (9.77) e (9.79) si ricava
(9.80)
ˆWv = −(fvpNp +fvaNa) ˙x (9.81)
e, nell’ipotesi di eguaglianza delle ruote degli assali anteriore e posteriore, da cui
fvp = fva = fv
9-16
(9.82)

si ottiene infine
ˆWv = −fv(Np +Na) ˙x (9.83)
La scrittura del bilancio di potenze richiede quindi la conoscenza della componente normale al terreno
delle reazioni scambiate con gli assali. In generale, il calcolo delle reazioni vincolari richiede la conoscenza
della dinamica e quindi le reazioni vanno calcolate simultaneamente all’equazione del moto. In questo
caso particolare, però, è agevole notare che la scrittura dell’equazione di equilibrio dell’intero veicolo in
direzione perpendicolare al piano su cui avviene il moto fornisce direttamente la somma delle reazioni
necessarie:
Np +Na = Mgcosα (9.84)
Quindi la potenza dissipata per rotolamento, in virtù della (9.82), diventa
ˆWv = −fvMgcosα˙x (9.85)
Coppia necessaria al moto a regime
Nella condizione in esame, di moto in salita, la potenza viene sicuramente assorbita dall’utilizzatore,
quindi il moto è diretto. Quindi il bilancio di potenze dà
�
ˆWm + ˆWg + ˆ �
Wv + ˆ Wp = 0 (9.86)
con ˆ Wp = −(1−ηd) ˆ Wm, ovvero
ηdCmωm −Mgsinα˙x−fvMgcosα˙x = 0 (9.87)
da cui, sostituendo l’espressione (9.78) della velocità ˙x del veicolo in funzione della velocità angolare ωm
del motore si ottiene
Cm = τ
Mg(sinα+fvcosα)Rp = 0 (9.88)
ηd
La coppia è sicuramente positiva in caso di pendenza α positiva; in caso di pendenza negativa, la coppia
associata alla gravità cambia segno; la coppia motrice rimane positiva, e quindi il moto rimane diretto,
fintanto che tanα > −fv.
Accelerazione allo spunto
L’energia cinetica del sistema è associata a:
• inerzia Jm del motore;
• massa M dell’intero veicolo;
• inerzia Jp dell’assale posteriore;
• inerzia Ja dell’assale anteriore.
Risulta quindi
Ec = 1 �
Jmω
2
2 +M ˙x 2 +Jpω 2 p +Jaω 2� 1
a =
2
�
Jm +τ 2
Posta la potenza dissipata nella trasmissione pari a
� �
Wp = −(1−ηd) ˆWm −Jm˙ωmωm
9-17
�
MR 2 p +Jp +Ja
R2 p
r2 a
��
ω 2 m
(9.89)
(9.90)

dal teorema dell’energia cinetica si ricava
Cmωm −τMg(sinα+fvcosα)Rpωm −(1−ηd)(Cm −Jm˙ωm)ωm
� � ��
=
Jm +τ 2
da cui, dopo alcune semplificazioni, si ricava
MR 2 p +Jp +Ja
R2 p
r2 a
˙ωmωm
(9.91)
˙ωm = ηdCm −τMg(sinα+fvcosα)Rp
� � (9.92)
ηdJm +τ 2
MR 2 p +Jp +Ja
Verifica di aderenza delle ruote
R2 p
r2 a
La verifica di aderenza delle ruote non è particolarmente attinente al tema di questo capitolo; viene qui
discussa essenzialmente per illustrare come i bilanci di potenze possono anche essere utili al calcolo delle
reazioni vincolari.
Ruote anteriori. La verifica di aderenza delle ruote anteriori richiede la valutazione delle componenti
normale e tangenziale della reazione vincolare scambiata tra ruota e terreno.
La componente normale può essere agevolmente ricavata scrivendo l’equilibrio dei momenti agenti
sull’intero veicolo rispetto ad un polo opportunamente posto al punto di contatto tra l’assale posteriore
ed il terreno, in modo da escludere la partecipazione della reazione scambiata con il terreno dalle ruote
posteriori stesse:
Na(p1 +p2)+Mg(hsinα−p1cosα)+M¨xh+Jp˙ωp +Ja˙ωa +(Cvp +Cva) = 0 (9.93)
Si noti che la coppia motrice non partecipa a questa equazione, in quanto si tratta di una coppia interna
scambiata tra veicolo e assale posteriore. Considerando le definizioni
Cvp = fvNpRp
Cva = fvNaRa
e l’equazione (9.84), si ottiene
(9.94)
(9.95)
Cvp +Cva = fv(NpRp +NaRa) = fv(MgcosαRp −Na(Rp −Ra)) (9.96)
e quindi, dalla (9.93),
Na = Mg(p1cosα−hsinα)−M¨xh−Jp˙ωp −Ja˙ωa −fvMgcosαRp
p1 +p2 −fv(Rp −Ra)
(9.97)
In realtà, la componente normale della reazione vincolare sulla singola ruota è la metà del valore calcolato
nella (9.97). Questa relazione si semplifica qualora sia Rp = Ra, come avviene ad esempio nella maggior
parte degli autoveicoli.
La componente tangenziale della reazione vincolare si ricava, ad esempio, dall’equilibrio alla rotazione
del solo assale anteriore, per il quale si ha
Ja˙ωa +Cva −TaRa = 0 (9.98)
in quantonon partecipanoil peso, le reazioniscambiatenel vincolocon il veicoloela componentenormale
della reazione scambiata con il terreno, in quanto il loro braccio è nullo. Da questa si ricava
Ta = Ja
˙ωa +fvNa
Ra
9-18
(9.99)

La condizione di aderenza è data da
Na > 0 (9.100)
in quanto le ruote anteriori devono essere a contatto con il terreno 6 , e da
|Ta|
Na
≤ fs
(9.101)
Si noti che, nel caso la reazione Na diminuisca, come avviene ad esempio per effetto di una accelerazione
positiva, è possibile che la condizione (9.101) sia violata proprio a causa dell’accelerazione angolare ˙ωa
dell’assale. Quindi le ruote anteriori, in caso di accelerazione sufficientemente elevata, inizierebbero a
strisciare prima di arrivare alla perdita di contatto (motociclo che“impenna”).
Ruote posteriori. Il calcolo della componente normale della reazione scambiata con il terreno si
ricava dalle (9.84) e (9.97):
Np = Mg((p2 −fv(Rp −Ra))cosα+hsinα)+M¨xh+Jp˙ωp +Ja˙ωa +fvMgcosαRp
p1 +p2 −fv(Rp −Ra)
(9.102)
Il calcolo della componente tangenziale della reazione scambiata con il terreno può avvenire in due modi;
il primo, banale, consiste nello scrivere l’equilibrio alla traslazione dell’intero veicolo in direzione parallela
al piano inclinato, dalla quale si ottiene
Tp +Ta +M¨x+Mgsinα = 0 (9.103)
da cui si ottiene
Tp = −Ta −M¨x−Mgsinα (9.104)
Il secondo approccio consiste nello scrivere l’equilibrio dei momenti del solo assale posteriore che, a
differenza di quello anteriore, comprende anche la coppia motrice C:
Jp˙ωp +Cvp −TpRp −C = 0 (9.105)
Quest’ultima si ricava scrivendo un bilancio di potenza a valle della trasmissione ove, come potenza
assorbita dall’utilizzatore, si scriva la potenza associata alla coppia −C incognita, uguale ed opposta alla
coppia motrice applicata all’assale:
ηd(Cm −Jm˙ωm)ωm −Cωp
da cui risulta
(9.106)
C = ηd
τ (Cm −Jm˙ωm) (9.107)
La reazione è quindi
Tp = Jp
˙ωp +fvNp −
Rp
ηd
(Cm −Jm˙ωm) (9.108)
τRp
Lacomponentenormaledellareazionescambiataconilterreno, inquestocaso, èessenzialmentecostituita
da contributi che, in caso di accelerazione positiva, tendono ad aumentarla. Quindi la principale causa di
potenziale slittamento risulta dalla coppia motrice Cm, a meno dell’inerzia accumulata dal motore stesso
e dall’assale.
6 Si noti che, a parte il contributo associato al peso per la distanza p1 tra l’assale posteriore ed il baricentro, tutti gli
altri contributi alla reazione Na sono negativi, in caso di accelerazione positiva.
9-19

9.3 Macchina in regime periodico
Lo studio della dinamica di una macchina a regime periodico sarà limitato per semplicità di trattazione
al caso in cui il motore e l’utilizzatore della macchina siano posti sullo stesso albero, senza l’interposizione
di una trasmissione.
9.3.1 Equazione di moto
L’equazione della macchina a regime periodico può essere ottenuta mediante l’equazione di bilancio delle
potenze (9.4). Rispetto al caso della macchina a regime assoluto studiato in precedenza, si osserva che,
nell’ipotesi di assenza della trasmissione, viene a mancare il termine relativo alla potenza perduta Wp,
ed inoltre che, per effetto del fatto che i momenti ridotti di inerzia del motore e dell’utilizzatore sono
funzione della posizione angolare dell’albero ϑm (la quale, a sua volta, è funzione del tempo), la derivata
dell’energia cinetica assume la forma:
dEc
dt
= dEcm
dt
in cui si è tenuto conto del fatto che:
dϑm
dt
= ωm
(9.110)
dEcr
+
dt = (J∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm))ωm˙ωm + 1d(J
2
∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm))
dϑm
ω 3 m
(9.109)
ed i momenti d’inerzia associati al motore (J ∗ m) e al carico resistente (J ∗ r) sono stati entrambi ridotti alla
rotazione ωm dell’albero motore.
Sostituendo queste espressioni nella equazione di bilancio di potenze si ottiene:
M ∗ m(ϑm,ωm)+M ∗ r (ϑm,ωm) = (J ∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm)) ˙ωm + 1
2
ed, esplicitando rispetto alla accelerazione angolare dell’albero:
M
˙ωm =
∗ m(ϑm,ωm)+M ∗ r (ϑm,ωm)− 1
�
∗ dJm +
2 dϑm
dJ∗ �
r
dϑm
J∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm)
ω 2 m
d(J ∗ m +J ∗ r)
dϑm
ω 2 m
(9.111)
(9.112)
in cui anche la coppia motrice M ∗ m e quella resistente M ∗ r sono state ridotte alla rotazione ωm dell’albero
motore.
9.3.2 Funzionamento in regime periodico: irregolarità periodica
Per una macchina retta da una equazione di moto avente la forma (9.112) non è possibile determinare
una condizione di funzionamento in regime assoluto. Infatti, per avere una condizione di regime assoluto
sarebbe necessario che, in ogni istante del funzionamento, le derivate dei momenti di inerzia associati
alle parti motrice e resistente della macchina si annullassero, così come le coppie motrice e resistente.
Infatti se si impone la condizione di regime assoluto:
dEc
dt
si ottiene l’equazione:
= 0 (9.113)
M ∗ m(ϑm,ωm)+M ∗ r (ϑm,ωm) = 0 (9.114)
Tale equazione può risultare soddisfatta in particolari istanti del funzionamento della macchina, in cui
occasionalmente il momento motore ed il momento resistente assumono valori opposti, ma non può essere
soddisfatta identicamente per qualsiasi valore del tempo, perché i due momenti agenti sull’albero motore
dipendono secondo espressioni diverse dalla posizione angolare dell’albero.
9-20

E’ però possibile imporre che l’andamento dell’energia cinetica, pur non risultando esattamente
costante nel tempo, sia periodico con periodo T:
Ec(t+T)−Ec(t) =
� t+T
t
dEc
dt = 0 (9.115)
dt
Ciò significa che nel proprio moto la macchina subirà una periodica alternanza di fasi di accelerazione
e di decelerazione, tali però da compensarsi a vicenda, in modo che la velocità media della macchina
(anch’essa da valutarsi sul periodo T) non cambi.
Se si integra l’equazione (9.4) di bilancio delle potenze tra il generico tempo t ed il tempo t+T e si
impone la condizione (9.115) si ottiene:
� t+T
t
si osservi poi che:
e si ponga:
(M ∗ m +M ∗ r)ωmdt =
ωm = dϑm
dt ⇒ ωmdt = dϑm
� t+T
t
dEc
dt = 0 (9.116)
dt
(9.117)
ϑ = ϑm(t) (9.118)
Θ = ϑm(T +t)−ϑm(t) (9.119)
si osservi che Θ rappresenta l’angolo di cui l’albero motore ruota in un periodo T. Inserendo tali relazioni
nell’integrale calcolato in precedenza nella (9.116) si ottiene:
� ϑ+Θ
ϑ
(M ∗ m +M ∗ r)dϑm = 0 (9.120)
tale equazione mostra che la macchina funziona in regime periodico se l’integrale esteso al periodo della
somma del momento motore e del momento resistente si annulla, ovvero se i valori medi nel periodo dei
due momenti sono uguali ed opposti:
� ϑ+Θ
ϑ
M ∗ mdϑm = −
� ϑ+Θ
ϑ
M ∗ rdϑm
(9.121)
Una funzione periodica continua e regolare 7 può presentare in un periodo un numero arbitrario di
minimi e massimi relativi per i quali si annulla la derivata prima; tra questi devono necessariamente
essere compresi un massimo ed un minimo assoluti, che sono rispettivamente i valori più grande e più
piccolo assunti dalla funzione nel periodo.
In un moto periodico anche l’energia cinetica è una funzione periodica del tempo; in presenza di
sollecitazioni a scalino 8 la velocità non è più regolare ma rimane continua; in presenza di sollecitazioni
impulsive 9 la velocità non è più neppure continua, ma presenta a sua volta un salto. In ogni caso, in un
periodo, è sempre possibile individuare almeno un massimo ed un minimo assoluti di valore finito; nei
punti di massimo e di minimo si hanno le condizioni di energia cinetica massima e minima. Si consideri,
per semplicità espositiva, un sistema per il quale il momento d’inerzia totale ridotto all’albero motore
sia costante; per esso, il minimo ed il massimo dell’energia cinetica corrispondono con il minimo ed il
massimo della velocità angolare.
7 Ovvero una funzione la cui derivata prima è anch’essa continua.
8 Ovvero sollecitazioni che variano bruscamente nel tempo, soggette a discontinuità con“salto”.
9 Ovvero sollecitazioni di durata molto breve, idealmente infinitesima, ma il cui integrale nel tempo sia finito, e quindi
di ampiezza molto elevata, idealmente infinita.
9-21

Si consideri ora l’integrale della potenza delle forze d’inerzia dall’istante tmin, in cui si ha il minimo
della velocità, all’istante tmax, in cui la velocità raggiunge il suo valore massimo
∆L tmax
tmin =
� ϑmax
=
=
ϑmin
� tmax
tmin
� ωmax
ωmin
(M ∗ m +M ∗ r) dϑ
J ∗ ω˙ω dt
J ∗ ω dω
= 1
2 J∗�ω 2 max −ω 2 �
min
= 1
2 J∗ (ωmax +ωmin)(ωmax −ωmin)
= J ∗ ωmed(ωmax −ωmin) (9.122)
dove si è introdotta la velocità media ωmed come la media aritmetica tra le velocità massima e minima
ωmed = ωmax +ωmin
2
(9.123)
L’integrale (9.122) rappresenta il lavoro compiuto dalle sollecitazioni attive a cui è soggetto il sistema
durante il transitorio che porta dalla velocità minima a quella massima; esso è uguale ed opposto al
lavoro assorbito durante il transitorio successivo dalla velocità massima alla minima, e quindi entrambi
rappresentano una misura della variabilità delle coppie in gioco durante un periodo.
Spesso, un problema tecnico presentato dalle macchine che operano in regime periodico consiste nel
limitare le oscillazioni di velocità che la macchina subisce nel suo periodo di funzionamento. L’entità
delle oscillazioni di velocità può essere quantificata per mezzo di un parametro adimensionale i, detto
grado di irregolarità periodica e definito come
i = ωmax −ωmin
ωmed
Si ricavi la variazione di velocità dalla (9.122) e la si sostituisca nella (9.124):
i = ∆Ltmax
tmin
J ∗ ω 2 med
(9.124)
(9.125)
La (9.125) mostra come, a pari variabilità delle forze attive sul periodo e a pari velocità media di
funzionamento, l’aumento dell’inerzia ridotta J∗ abbia l’effetto di limitare l’irregolarità periodica della
macchina. A tal fine viene di norma aggiunto un volano, il cui momento di inerzia può essere determinato
per mezzo di metodi approssimati come quello sopra esposto.
Si consideri, ora, un sistema in cui sia rimossa l’ipotesi di costanza del momento d’inerzia ridotto
all’albero motore, ma in cui sia presente un volano di inerzia Jv; le coppie d’inerzia a meno di quelle del
volano si considerino parte della sollecitazione attiva:
�
Jvω˙ω = M ∗ m +M ∗ r −J ∗ ˙ω − 1
2
dJ ∗
dt ω2
�
ω (9.126)
L’integrale del secondo membro della (9.126) tra tmin e tmax rappresenta ora il lavoro ∆L tmax
tmin delle forze
complessive agenti sul sistema, incluso l’effetto moderatore dell’irregolarità periodica operato dall’inerzia
del sistema stesso. In analogia con la (9.122) si ottiene:
∆L tmax
tmin =
� ϑmax
ϑmin
�
M ∗ m +M ∗ r −J ∗ ˙ω − 1
2
dJ∗ dt ω2
�
dϑ
= Jvω 2 medi (9.127)
9-22

e quindi si ricava un utile criterio per il dimensionamento di un ulteriore volano, ai fini del contenimento
dell’irregolarità periodica.
L’integrazione numerica delle equazioni di moto della macchina in regime periodico può essere utilizzata,
ad esempio, per verificare a posteriori la correttezza del dimensionamento del volano, in quanto
rende possibile valutare l’effettiva irregolarità della macchina con volano montato, prescindendo dalle
ipotesi semplificative che stanno alla base delle metodologie utilizzate nel dimensionamento di questo
componente.
Inoltrel’integrazionenumericadelleequazionidimotopuòessereutilizzatapervalutarelecomponenti
armoniche del momento torcente che viene applicato all’albero motore durante il funzionamento della
macchina, e fornisce quindi la base per lo studio delle vibrazioni torsionali della macchina stessa. Questo
argomento verrà ripreso nel seguito del corso.
9.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna
Nel capitolo 4 è stato illustrato il funzionamento del motore alternativo a combustione interna. Dal
diagramma di figura 4.9 è evidente come la potenza delle varie fasi abbia non solo valore, ma anche segno
diverso: durante la fase di compressione, il fluido riceve lavoro dal pistone, che, dal punto di vista della
macchina, risulta quindi assorbito, mentre, durante la fase di espansione, il lavoro viene restituito dal
fluido alla macchina; in più, durante tutte le fasi, la macchina deve vincere attriti ed altre resistenze. La
coppia fornita dal motore è quindi fortemente variabile su di un ciclo che, per un motore monocilindrico
a 4 tempi, è costituito da due giri completi, ovvero Θ = 4π, ed è tipicamente positiva solo per circa un
quarto del periodo, ovvero π/2.
Un’altra fonte di periodicità nel moto di questo tipo di macchina è legata alla dipendenza dell’inerzia
ridotta all’albero motore dalla posizione angolare dell’albero stesso, come illustrato dall’equazione (4.57).
9.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo
Si tratta di un meccanismo cinematicamente analogo al motore alternativo a combustione interna, ovvero
di un manovellismo ordinario che spinge un pistone, il quale a sua volta, in prima approssimazione, aspira
un fluido a pressione Pa ragionevolmente costante durante la fase di discesa, e lo espelle a pressione Ps
di nuovo ragionevolmente costante durante la fase di risalita.
Nelle ipotesi fatte, e considerando costante la coppia Cm fornita dal motore, è relativamente agevole
calcolare il lavoro su un periodo, pari ad un giro e quindi a 2π, che è dato da
∆L 2π
0 =
� 2π
0
�
Cm − dc
dϑ ApP
�
dϑ
= 2πCm −Ap(cmax −cmin)(Ps −Pa)
= 0 (9.128)
dove si è posta c = c(ϑ) la corsa del pistone, e si è sfruttato il fatto che la pressione è costante durante
le fasi di aspirazione ed espulsione, e quindi
�
�
�
�
� π
0
dc
dϑ dϑ
�
�
�
� = (cmax −cmin) (9.129)
Il diverso segno tra le pressioni Pa e Ps è dovuto al fatto che durante l’aspirazione lo stantuffo scende
e quindi il gas compie lavoro positivo, mentre durante l’espulsione il pistone sale e quindi il gas compie
lavoro negativo, ovvero assorbe lavoro dalla macchina.
Dalla (9.128) si ricava la coppia motrice necessaria a mantenere la condizione di moto periodico
Cm = 1
2π Ap(cmax −cmin)(Ps −Pa) (9.130)
9-23

9.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua
Nel Capitolo 10 viene illustrato l’azionamento elettromeccanico in corrente continua. In tale sistema, la
coppia erogata, ancorché in genere ritenuta costante ad una data velocità di rotazione, risulta in realtà
periodica. Si rimanda a tale capitolo per una discussione più estesa della natura di questa periodicità e
per una breve illustrazione del regime periodico.
9-24

Capitolo 10
Azionamento elettromeccanico in
corrente continua
Generato il 16 gennaio 2012
10.1 Introduzione
In questo capitolo viene presentato un semplice esempio di azionamento elettromeccanico: il motore elettrico
in corrente continua. Questo esempio viene usato per illustrare in generale i principi dell’attuazione
elettromeccanica, in quanto consente, attraverso l’utilizzo di semplici nozioni di elettromagnetismo, di
descrivere in modo completo ed efficace un sistema multidisciplinare, in cui la potenza elettrica viene
trasformata in potenza meccanica 1 . Dallo studio di questo semplice modello si passa poi allo studio in
generale della stabilità dei sistemi in cui un motore viene accoppiato ad un utilizzatore.
10.2 Motore elettrico in corrente continua
Il motore elettrico in corrente continua è costituito da una parte rotante, detta rotore, che ruota rispetto
ad una cassa, detta statore, nella quale è presente un campo magnetico idealmente uniforme. La presenza
di spire sul rotore fa sì che si generi tra rotore e statore una coppia in funzione della corrente circolante
nellespire, mentrelavelocitàdirotazionerelativafrarotoreestatorefasìchesigeneriuncampoelettrico
indotto lungo le spire.
Il principio di funzionamento è illustrato in figura 10.1; la figura 10.2 mostra invece uno schema
costruttivo del rotore.
10.2.1 Considerazioni generali
Se una carica elettrica q è in moto con velocità �v in un campo magnetico uniforme � B, su di essa nasce
una forza
�F = q�v ∧ � B, (10.1)
detta forza di Lorenz. Se al posto della carica q con velocità �v si considera una corrente i = dq/dt che
scorre lungo un conduttore rettilineo di lunghezza L, al posto di q�v si può sostituire L�i, ove�i è il vettore
che esprime la corrente i lungo la direzione del conduttore, supposta fissata. La forza � F che agisce su un
conduttore rettilineo di lunghezza L posto in un campo magnetico uniforme � B è quindi
�F = L�i∧ � B, (10.2)
ed è perpendicolare al piano individuato dal flusso magnetico � B e dal vettore corrente�i.
1 O, viceversa, la potenza meccanica viene trasformata in potenza elettrica, come nei generatori di corrente.
10-1

Figura 10.1: Principio di funzionamento del motore in corrente continua.
Figura 10.2: Disegno schematico del rotore di un motore in corrente continua.
10-2

Analogamente, se un conduttore viene mosso con velocità �v all’interno di un campo magnetico � B, sul
conduttore viene indotto un campo elettrico
�E = � B ∧�v (10.3)
a cui corrisponde, sulla lunghezza L del conduttore, una differenza di potenziale
∆ � V = −L � B ∧�v (10.4)
tra i due capi del conduttore.
10.2.2 Architettura generale
La realizzazione di una macchina elettrica in corrente continua prevede pertanto che il conduttore venga
messo in moto all’interno di un campo magnetico � B realizzato mediante magneti permanenti o in alternativa
mediante un circuito di induzione. Il motore in c.c. è costituito da un rotore e da uno statore:
nello statore è presente un sistema di magneti permanenti (motore a magneti permanenti) oppure una
serie di avvolgimenti percorsi da una corrente di eccitazione (motori a campo avvolto) che generano un
campo magnetico fisso nello spazio, idealmente uniforme e costante nel tempo, entro cui si muove il
rotore. Quest’ultimo è costituito da un albero sulla cui periferia è presente un avvolgimento formato da
una serie di conduttori (avvolgimento di armatura), diretti lungo l’asse dell’albero in modo da formare
delle spire che quindi si trovano a ruotare all’interno del campo magnetico.
Tale avvolgimento è munito di numerose prese equidistanti connesse ad un cilindro costituito da tante
lamelle, isolate tra loro, su cui poggiano le spazzole che costituisconoil collegamento elettrico(strisciante)
tra rotore e statore. I motori a magneti permanenti, così come quelli a campo avvolto se la corrente di
eccitazione è mantenuta costante, vengono regolati attraverso la tensione di armatura ea; naturalmente
esistono altri modi per comandare un motore in c.c., ad esempio attraverso la corrente di armatura ia.
Quando il rotore si muove all’interno del campo magnetico, su di esso si manifestano due fenomeni,
uno elettrico e uno meccanico. Si consideri, in un sistema di riferimento cartesiano, l’asse del rotore
diretto come z, e il campo magnetico � B diretto come x.
10.2.3 Forza elettromotrice indotta
Per effetto della velocità di rotazione �ω del rotore, i lati della spira diretti come l’asse del rotore si
muovono nel campo magnetico con velocità
�v = �ω ∧ � R (10.5)
proporzionale a ω e diretta perpendicolarmente alla posizione radiale del conduttore.
L’equazione (10.4) applicata ad uno dei lati della spira diretti come l’asse del rotore diventa
∆� V ∗
b = −L� �
B ∧ �ω ∧ � �
R
(10.6)
e quindi, per costruzione, la differenza di potenziale indotta è sempre diretta come z e ha forma
cosinusoidale:
∆V ∗
b = −LRBωcosθ (10.7)
avendo preso la direzione del campo magnetico come riferimento per l’angolo θ, ove ω = ˙ θ.
Si noti che la forza elettromotrice indotta sui lati della spira diretti radialmente è nulla in quanto
diretta come z e quindi perpendicolare al conduttore stesso.
La forza elettromotrice indotta sulla singola spira è quindi due volte quella fornita dalla (10.7)
∆V ∗∗
b = −2LRBωcosθ. (10.8)
Allo stesso risultato si può giungere a partire dalla definizione della tensione indotta su una spira per
effetto della variazione del flusso magnetico Φ attraverso la spira stessa,
∆V ∗∗
b = − dΦ
. (10.9)
dt
10-3

Nel caso in esame il flusso è
Φ = � B × � A = 2LRBsinθ, (10.10)
in quanto la normale�n dell’area A = 2RL è inclinata dell’angolo θ−π/2 rispetto alla direzione del campo
magnetico � B. La variazione del flusso Φ è legata alla variazione di area efficace a seguito della rotazione
della spira; si ha quindi
dΦ
dt
= 2LRBωcosθ, (10.11)
da cui la relazione (10.8).
10.2.4 Coppia motrice
La forza che si esercita su uno dei lati della singola spira diretti come l’asse del rotore per effetto della
corrente di armatura fornisce al rotore una coppia
�C ∗ = � �
R∧ L�i∧ � �
B
(10.12)
che è diretta, per costruzione, come l’asse del rotore, e varia cosinusoidalmente con la posizione angolare
del rotore
C ∗ = LRBicosθ (10.13)
Ancheinquestocaso, sinotichelaforzachenascesuilatidellaspiradirettiradialmentenonpartecipa
alla coppia applicata al rotore, in quanto sempre diretta come z.
La coppia totale che si esercita sul rotore per effetto dell’intera spira è quindi
C ∗∗ = 2LRBicosθ (10.14)
10.2.5 Contatti striscianti
Dalle (10.8) e (10.14) si evince che la forza elettromotrice indotta, come pure la coppia, sono mediamente
nulle su un giro. Tuttavia, considerando ad esempio la coppia, se all’atto del passare da positiva a
negativa si inverte la polarità dei contatti agli estremi della spira, si ottiene una coppia
C = 2LRBi|cosθ| (10.15)
il cui valore medio è
C = 1
2π
� 2π
0
C dθ = 4
LRBi (10.16)
π
La funzione che descrive la dipendenza della coppia dall’angolo θ è tutt’altro che costante e regolare;
tuttavia, se si considera l’insieme delle spire, sfasate in modo da distribuire con uniformità i massimi e le
cuspididi|cosθ|, siottieneunafunzionecaratterizzatadaunvaloremediopariaN voltelacoppia(10.16)
Cm = N 4
LRBi (10.17)
π
e da una piccolairregolaritàcon frequenzapari ad un multiplo dellavelocità di rotazione legato al numero
delle spire, N, come illustrato in figura 10.3.
In modo analogo si ottiene che la forza elettromotrice indotta, in presenza di contatti striscianti che
invertono la polarità ogni mezzo giro, è data dalla relazione
∆Vb = −2LRBω|cosθ| (10.18)
10-4

C, eb [adim]
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
2/π
0.2
N=1
N=3
0.1
0
0 0.2
N=7
N=15
0.4 0.6 0.8 1
θ [giri]
Figura 10.3: Distribuzione sul giro di coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore
elettrico in c.c. al crescere del numero delle spire N; il valore fornito dalla singola spira tende rapidamente
al valor medio 2/π, pari a circa 0.63662.
il cui valore medio è
∆V b = − 1
2π
� 2π
0
∆Vb dθ = − 4
LRBω (10.19)
π
mentre la forza elettromotrice indotta media associata a tutte le spire è pari a N volte la (10.19)
eb = −N 4
LRBω (10.20)
π
Sia la coppia che la forza elettromotrice indotta presentano quindi un andamento sul giro che è
sostanzialmentecostante, conpiccoleperturbazioniafrequenzaparia2N lavelocitàdirotazione. Questo
disturbo va sotto il nome di ripple; ove necessario, può essere tenuto in conto usando le tecniche illustrate
nel paragrafo 9.3 per il moto in regime periodico.
Le spazzole possono essere sostituite, in motori moderni, da circuiti di commutazione della tensione
che consentono di realizzare la funzionalità desiderata evitando la complessità meccanica e i problemi di
usura e di manutenzione associati alla soluzione tradizionale. Questi motori sono detti brushless, ovvero
senza spazzole.
10.2.6 Potenza elettromeccanica
La potenza meccanica associata al motore è data dal prodotto tra la coppia fornita dal motore e la
velocità angolare che si sviluppano tra rotore e statore
Πm = Cmω = N 4
LRBiω (10.21)
π
ed è positiva, in quanto è generata dal motore.
La potenza elettrica associata al motore è data dal prodotto tra la forza elettromotrice indotta dal
movimento del rotore all’interno del campo magnetico dello statore, e la corrente che percorre le spire
Πe = ebi = −N 4
LRBωi (10.22)
π
10-5

Figura 10.4: Il modello del motore in corrente continua
ed è negativa in quanto è assorbita dal motore.
Le due potenze sono uguali ed opposte; questo significa che in un bilancio di potenza non partecipano,
inquantodalpuntodivistaelettromeccanico, ovvero, perquantoconcerneilsolofenomenodell’induzione
elettromagnetica, il motore trasforma potenza, ma non ne genera e neppure ne dissipa.
Ne consegue che la coppia fornita dal motore può essere espressa come
Cm = Ki (10.23)
mentre la forza elettromotrice esercitata dal rotore sul circuito di alimentazione può essere espressa come
eb = −Kω (10.24)
mediante la stessa caratteristica K, che nei motori a magneti permanenti è costante, mentre in quelli avvoltièproporzionaleal
flussomagneticogeneratodagli avvolgimentisullostatore, il qualeèproporzionale
a sua volta alla corrente di eccitazione.
10.2.7 Modello elettrodinamico del motore in c.c.
La prima caratteristica da considerare in un motore è la sua impedenza elettrica. La miglior via di
determinazione è sperimentale, mediante una sua identificazione: fissato il rotore e applicando al motore
una tensione armonica a frequenza variabile, è possibile misurare la corrente risultante e determinare la
caratteristica tra corrente e tensione. Il circuito elettrico equivalente risulta formato da una resistenza
in serie ad un sistema di resistenza e induttanza in parallelo tra loro, secondo lo schema riportato in
figura 10.4.
In tale sistema, Ra e La rappresentano rispettivamente la resistenza e l’induttanza dell’armatura,
mentre ea ed ia sono la tensione e la corrente di armatura. La resistenza Ra dell’armatura esprime
la resistenza elettrica che l’insieme delle spire esercita sulla corrente di armatura ia. L’induttanza La
dell’armatura esprime l’effetto di autoinduzione elettromagnetica che le spire esercitano su se stesse. La
presenza della resistenza RL viene spiegata attraverso le perdite nel circuito magnetico 2 : tale valore RL si
2 A cavallo di due elementi in parallelo si ha la stessa differenza di potenziale, mentre la corrente complessiva si ripartisce
tra i due componenti. Nel caso in esame, i due componenti hanno caratteristiche dinamiche differenti: il resistore è percorso
da una corrente
iR = ∆V
RL
mentre l’induttore è percorso da una corrente che, nel dominio delle frequenze, si esprime come
iL = ∆V
jΩLa
(10.25)
(10.26)
Ne consegue che, in condizioni stazionarie, ovvero per i costante e Ω = 0, la differenza di potenziale sarà nulla e quindi la
corrente passerà tutta per l’induttanza, mentre a frequenza Ω tendente ad infinito la corrente passerà tutta per la resistenza.
Per valori finiti di frequenza, la corrente si ripartisce tra i due rami, privilegiando la resistenza via via che la frequenza
cresce. In conclusione:
10-6

Figura 10.5: Il modello essenziale del motore in corrente continua
presenta molto maggiore del corrispondenteRa (5-10 volte), ritenendo pertanto il suo effetto trascurabile,
in quanto, a bassa frequenza, la corrente che passa per la resistenza RL è minima.
Il circuito elettrico equivalente diventa pertanto come in figura 10.5 ed è pertanto possibile scrivere
l’equazionedi chiusuradella maglia (annullamentodelle tensioni sulla maglia) per l’avvolgimento rotorico
dia
La
dt +Raia −eb = ea
(10.27)
dove la forza controelettromotrice eb risulta proporzionale alla velocità angolare del rotore stesso, come
indicato nella (10.24).
Nei motori a magneti permanenti il controllo in genere si ottiene variando la tensione di alimentazione
ea. Nei motori ad avvolgimento, come ulteriore parametro di controllo si dispone anche della tensione di
alimentazione degli avvolgimenti, la quale fa variare K.
10.2.8 Funzionamento e rendimento del motore elettrico in c.c.
Si consideri l’equazione (10.27) del motore elettrico in condizioni di regime; in questo caso, da essa è
possibile esplicitare la corrente elettrica
ia = ea −Kω
Ra
(10.28)
che, sostituita nella (10.23), consente di esprimere la dipendenza della coppia dalla velocità angolare del
motore
Cm = K
ea −
Ra
K2
Ra
ω (10.29)
detta anche curva di funzionamento. Essa ha andamento rettilineo, con pendenza negativa; può essere
traslata verticalmente variando la tensione di alimentazione ea, come illustrato in figura 10.6.
La potenza elettrica che occorre fornire al motore è
Πentrante = eaia
che, in condizioni di regime, ovvero per corrente ia costante, a partire dalla (10.27), diventa
Πentrante = Rai 2 a +Kωia
(10.30)
(10.31)
• considerare infinita la resistenza RL significa privilegiare il comportamento“lento”del circuito, ovvero considerarne
un’approssimazione statica;
• la resistenza RL non ha un significato fisico preciso; serve a descrivere l’evidenza sperimentale che ad alta frequenza,
quando nel modello sopra indicato una frazione via via più rilevante della corrente si trova a passare per la resistenza
anziché per l’induttanza, si manifesta una dissipazione di potenza via via maggiore nel circuito.
10-7

Figura 10.6: Curve di funzionamento di un motore elettrico in corrente continua per diverse tensioni di
alimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata da un generico
utilizzatore, cambiata di segno.
La potenza uscente, sotto forma di potenza meccanica, è data da
Πuscente = −Cmω (10.32)
ovvero, mediante la (10.23)
Πuscente = −Kiaω (10.33)
Ne risulta un rendimento
η = − Πuscente
=
Πentrante
1
1+ Raia
Kω
(10.34)
che dipende da corrente e velocità angolare. Si noti che il rendimento va a zero nel momento in cui la
coppia, e quindi la corrente, non è nulla ma si annulla la velocità angolare, e quindi il motore, fermo, deve
sostenere un carico. Inoltre, il rendimento è minore di 1 ogni qual volta ci sia corrente, e quindi coppia;
la riduzione del rendimento è di natura puramente elettrica, ed è legato alla differenza di potenziale che
esprime la dissipazione ohmica nel conduttore, descritta dal termine Raia, e al suo rapporto con la forza
elettromotrice indotta, Kω.
10.3 L’azionamento in corrente continua
Si consideri un sistema costituito da un motore in c.c. con un carico inerziale illustrato in figura 10.7. In
questa fase si vuole giungere alla scrittura delle equazioni di moto facendo alcuni cenni alla regolazione
di tale sistema.
Il sistema in esame è pertanto costituito da una massa m all’estremità di una trave priva di massa e
schematizzabile come un corpo rigido di lunghezza L.
L’altro estremo della trave è vincolato tramite una cerniera in modo tale essa possa compiere un
moto rotatorio nel piano orizzontale. Supponendo che gli attriti che si sviluppano nella cerniera siano
rappresentabili con uno smorzatore di tipo viscoso, nascerà una coppia resistente proporzionale alla
velocità di rotazione della trave tramite il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente rt.
È possibile scrivere l’equazione di moto del sistema tenendo conto dell’inerzia del motore Jm e del
carico ridotto all’albero motore Jr = ml 2 e di inevitabili dissipazioni introdotte nel modello attraverso il
10-8

termine proporzionale alla velocità:
Figura 10.7: Un carico inerziale
(Jm +Jr) ¨ θ +rt ˙ θ = C. (10.35)
Ricordando l’espressione della coppia motrice (10.23) e le (10.27) e (10.24), si ottiene il sistema di
equazioni:
⎧
⎨ J¨ θ +rt ˙ θ −Kia = 0
⎩
dia
La
dt +Raia +K ˙ θ = ea
(10.36)
dove con J si è indicata l’inerzia totale, comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del carico.
Il sistema di equazioni descrive pertanto la dinamica del sistema; si nota come la dinamica delle
variabili di stato caratteristiche del motore sono mutuamente influenzate con le grandezze di stato
caratteristiche della meccanica.
In conclusione si vuole illustrare come spesso anche le discipline legate al controllo e all’automatica
diventino parte integrante della modellazione dinamica.
Si pensi infatti di voler portare il sistema in una posizione desiderata o di riferimento θrif (controllo
in posizione). L’azione della coppia motrice C = Kia deve essere così regolata in modo da minimizzare
la differenza tra la posizione angolare θ e quella di riferimento θrif.
10.3.1 Controllo in tensione
Essendo il motore l’organo di attuazione, la regolazione avviene tramite la tensione ea di alimentazione
che potrà assumere, ad esempio, la forma:
ea = Kp(θrif −θ) (10.37)
in caso di semplice controllo proporzionale, o
ea = Kp(θrif −θ)+Ki
� t
in caso di controllo proporzionale ed integrale.
t0
(θrif −θ) dt (10.38)
Risposta in anello aperto. Si usi la trasformata di Laplace per esprimere la perturbazione di
rotazione θ in funzione delle perturbazioni di tensione di alimentazione ea e di coppia dell’utilizzatore
Cr,
(sL+R)ia +sKθ = ea
(10.39a)
� � 2
s J +srt θ −Kia = Cr. (10.39b)
10-9

Cr
ea
C(s)
G(s)
+ +
Figura 10.8: Schema a blocchi del sistema in anello aperto
Tipicamente Cr < 0 quando il funzionamento è diretto. Esplicitando la corrente ia dalla (10.39a) e
sostituendola nella (10.39b) si ottiene
da cui
s � s 2 LaJ +s(RaJ +Lart)+ � Rart +K 2�� θ = Kea +(sLa +Ra)Cr, (10.40)
θ = 1 K
s (s2LaJ +s(RaJ +Lart)+(Rart +K 2 ))
� �� �
G(s)
ea
θ
(10.41)
+ 1 (sLa +Ra)
s (s2LaJ +s(RaJ +Lart)+(Rart +K 2 Cr. (10.42)
))
� �� �
C(s)
La figura 10.8 mostra lo schema a blocchi del sistema in anello aperto.
La funzione di trasferimento del sistema in anello aperto G(s) ha un polo nell’origine e altri due poli,
tipicamente reali negativi e ben separati:
�
s = p 1|2 = − RaJ +Lart
2LaJ
��
�
±
� RaJ +Lart
2LaJ
� 2
− Rart +K 2
, (10.43)
LaJ
di cui quello a più alta frequenza associato alla dinamica della parte elettrica, e quello a più bassa
frequenza associato alla dinamica della parte meccanica.
Occorre notare che non è stata specificata la natura della coppia dell’utilizzatore; qualora essa presentasse
una significativa dipendenza dall’angolo θ o dalle sue derivate potrebbe modificare anche sostanzialmente
la natura del sistema. Per questo motivo la regolazione di un sistema dinamico da una parte
richiede una conoscenza il più possibile dettagliata della natura del sistema, mentre dall’altra deve essere
il più possibile robusta per comportarsi adeguatamente anche in presenza di incertezze sul modello.
Controllo proporzionale. Il sistema di equazioni da risolvere, a partire dalla (10.36), diventa
J ¨ θ +rt ˙ θ −Ki = 0 (10.44a)
dia
La
dt +Raia +K ˙ θ = −Kp(θ −θrif) (10.44b)
Quest’ultimo costituisce un sistema controllato in anello chiuso con una retroazione proporzionale all’errore
angolare. L’obiettivo del controllo è quello di fare in modo che la rotazione del braccio θ(t) segua
al meglio l’andamento desiderato θrif(t) (controllo in posizione).
In questo esempio la grandezza in ingresso è la rotazione di riferimento del braccio θrif(t), mentre la
grandezza in uscita è la rotazione effettiva del braccio stesso, θ(t).
La presenza del termine di controllo proporzionale fa sì che la tensione di alimentazione vari in modo
da garantire una coppia che si oppone all’errore di posizionamento. Tuttavia, in presenza di coppia
resistente non nulla, perché nasca una coppia del motore che contrasti l’errore occorre che l’errore sia
10-10

dB
deg
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
open loop
1 10 100 1000
-90
-120
-150
-180
-210
-240
-270
1 10 100 1000
Figura 10.9: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento in anello aperto del motore elettrico in
c.c.
θrif
Cr
+ + +
−
R(s)
ea
G(s)
ω
C(s)
Figura 10.10: Schema a blocchi del sistema in anello chiuso
non nullo, e tanto più grande quanto più piccolo è il coefficiente di guadagno Kp. Aumentare il guadagno
Kp riduce l’errore ma non lo può annullare. Inoltre, un aumento eccessivo porta conseguenze negative
sulla stabilità del sistema controllato.
La funzione di trasferimento in anello aperto
G(s) = 1
s
K
(s2LaJ +s(RaJ +Lart)+(Rart +K 2 , (10.45)
))
illustrata in Figura 10.9 (a titolo di esempio, La = 10 −4 , J = 0.1, K = 0.1, Ra = 0.01 e rt = 0), esprime
la rotazione θ del motore in funzione della tensione di alimentazione ea.
Con riferimento allo schema a blocchi del sistema retroazionato di figura 10.10, il controllo proporzionale
consiste nel progettare il regolatore R(s), che concorre a formare la funzione d’anello del
sistema regolato L(s) = R(s)G(s), nel modo più semplice possibile, in base solamente ad un progetto
statico. Con i metodi dell’automatica, si ipotizzi infatti di realizzare un regolatore R(s) = R1(s)R2(s),
ove R1(s) = s −gR µR viene progettato staticamente, mentre R2(s) è una funzione polinomiale razionale
che garantisca la stabilità del sistema controllato. Nel caso del controllo proporzionale, si sceglie a priori
gR = 0 e R2(s) = 1, nell’ipotesi di poter ottenere le prestazioni desiderate contestualmente alla stabilità
del sistema agendo soltanto sul guadagno µR = Kp. La funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) diventa quindi
10-11
θ

dB
deg
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
-60
-120
-180
-240
open loop
open loop, regulated
closed loop
1 10 100 1000
1 10 100 1000
Figura 10.11: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c.
L(s) = KpG(s), il che corrisponde a traslare verticalmente la curva del modulo della funzione G(s) nel
diagramma di Bode senza modificarne la fase.
Siccome il sistema ha un polo nell’origine, a bassa frequenza la fase è −90 gradi. Quando la frequenza
si avvicina al polo non nell’origine più piccolo in modulo, o polo dominante, la fase tende a −180 gradi.
Siccome secondo il criterio di Bode occorre che l’attraversamento dell’asse a 0 dB avvenga quando la fase
è sufficientemente in anticipo rispetto a −180 gradi, esso deve avvenire a frequenza inferiore a quella del
polo dominante.
Sia ωc la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale 0 dB (frequenza di crossover); sia
ω la frequenza alla quale il modulo della funzione L(s) vale −3 dB, in modo da avere un certo margine
rispetto a ωc. Se si approssima la funzione di trasferimento del sistema con il solo polo dominante, in
aggiunta a quello nell’origine, si ha una fase di −120 gradi, che garantisce un margine di fase di 60 gradi,
quando ωc = −p1/ √ 3. Allora L(jω), per ω < ωc, vale circa
L(jω) ∼ = 1 KpK
jω Rart +K 2.
Imponendo che 20log 10(�L(jω)�) = −3 dB si ricava
ω
(10.46)
Kp = 10 −3/20 ω Rart +K 2
∼= 0.7ω
K
Rart +K 2
. (10.47)
K
Questo valore rappresenta il limite superiore al guadagno che garantisce la stabilità con un semplice
controllo proporzionale. Occorre notare che un controllo di questo tipo non è necessariamente robusto,
né rende il sistema particolarmente performante, in quanto non consente di aumentare sensibilmente il
guadagno a bassa frequenza.
Esercizio 10.1 Si calcolino il margine di fase e di guadagno della funzione di trasferimento (10.45).
Esercizio 10.2 Si verifichi la robustezza del controllo proporzionale appena progettato, in termini di
margine di fase e di guadagno, al variare di rt.
La Figura 10.11, rispetto alla 10.9, mostra anche la funzione di trasferimento in anello aperto scalata
per il guadagno µR, ovvero la funzione d’anello L(s), mettendo in evidenza come essa valga −3 dB
10-12

imag
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0
real
open loop
open loop, regulated
closed loop
Figura 10.12: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c.
quando la fase è −120 gradi, e la funzione in anello chiuso, F(s), che ricalca la precedente ad alta
frequenza mentre assume guadagno unitario a frequenze inferiori a ωc. La Figura 10.12 mostra le stesse
funzioni di trasferimento nel piano complesso.
Inuncertosenso, l’usodelcontrolloproporzionaleinsistemidiquestotipoconsentedinonconsiderare
ladinamicadelsistemanelprogettodelregolatoresemplicementeperchéèpossibilefareinmodochenella
bandadifrequenzeincuiessasimanifesta(aldisopradiωc) l’ampiezzadellarispostasiasufficientemente
attenuata da non consentirle di mettere a rischio la stabilità del sistema. Perché questa condizione sia
soddisfatta, però, occorre porre un limite al guadagno, e quindi alle prestazioni del sistema in anello
chiuso.
La funzione di trasferimento in anello chiuso è data da F(s) = L(s)/(1+L(s)); se L(s) è razionale,
e quindi può essere espressa come L(s) = N(s)/D(s), si ha F(s) = N(s)/(D(s) + N(s)). Nel caso in
esame si ottiene
� 3
s LaJ +s 2 (RaJ +Lart)+s � Rart +K 2� �
+KKp θ = KKpθrif +(sLa +Ra)Cr, (10.48)
da cui
θ =
KKp
s 3 LaJ +s 2 (RaJ +Lart)+s(Rart +K 2 )+KKp
� �� �
F(s)
sLa +Ra
+
s3LaJ +s2 (RaJ +Lart)+s(Rart +K 2 Cr. (10.49)
)+KKp
La differenza sostanziale, rispetto al caso in anello aperto, sta nel fatto che il polo nell’origine è stato
rimpiazzato da un polo circa in ωc, come appare chiaramente dalla Figura 10.11.
La funzione che moltiplica Cr rappresenta l’ammettenza del sistema in anello chiuso, ovvero la
rotazione del motore in funzione del carico applicato. Per s = 0 si ha la cedevolezza statica del sistema,
θ (s=0) = Ra
Cr(s=0). (10.50)
KKp
Come si vede, è costituita da termini elettrici (K e Ra) e legati al controllo (Kp). La cedevolezza statica
rappresenta l’errore statico per effetto di un disturbo di coppia.
L’ammettenza si mantiene costante fino al primo polo, circa in ωc, poi scende fino ad avere asintoticamente
pendenza −2 (−40 dB) per via dello zero in −Ra/La. Quindi l’errore dinamico associato ad un
10-13
θrif

disturbo di coppia si attenua al crescere della frequenza, in quanto l’ammettenza è analoga ad un filtro
passa-basso del secondo ordine.
Esercizio 10.3 Si valuti la banda passante del sistema (10.49).
Esercizio 10.4 Si valuti la sensitività al disturbo di coppia Cr del sistema (10.49).
Controllo proporzionale-integrale. Occorre conoscere l’integrale dell’errore di posizionamento. Si
definisca una nuova variabile (o stato) e, tale per cui ˙e = θ −θrif. Il problema diventa
J ¨ θ +rt ˙ θ −Kia = 0 (10.51a)
dia
La
dt +Raia +K ˙ θ = −Kp(θ −θrif)−Kie (10.51b)
˙e = θ −θrif. (10.51c)
La presenza del termine integrale fa sì che la tensione di alimentazione dipenda anche da quanto l’errore
è perdurato nel tempo. Di conseguenza, la tensione avrà anche un contributo persistente, che smette di
crescere solo quando l’errore si è esattamente annullato.
Esercizio 10.5 Si indichi come l’aggiunta del contributointegraleal controllo possa giovare alle prestazioni
statiche del sistema controllato, garantendo nel contempo caratteristiche di stabilità analoghe a quelle del
controllo puramente proporzionale.
10.3.2 Controllo in corrente
Mediante l’uso di amplificatori di potenza è possibile separare l’azionamento meccanico, ovvero la generazione
della coppia Cm = Ki, dalla generazione della corrente i necessaria per ottenere la coppia. In
questo caso, purché si rimanga al di sotto del valore imax di saturazione, è possibile imporre direttamente
il valore della corrente desiderata.
Il modello del motore si riduce quindi a
J ¨ θ = Ki+Cr
ovvero, nel dominio di Laplace,
θ = 1
s 2
K
J
� �� �
G(s)
(10.52)
i+ 1
s2 1
J Cr, (10.53)
a meno di poli ad alta frequenza. Quindi la funzione di trasferimento tra la corrente e la rotazione è
semplicemente costituita da due poli nell’origine. Perché la funzione d’anello garantisca la stabilità e
le prestazioni desiderate occorre progettare un regolatore che abbia uno zero al di sotto della frequenza
ωc alla quale la funzione d’anello vale 0 dB, e almeno un polo a frequenza superiore ad ωc, in modo da
ripristinare il comportamento asintotico della (10.53) e cancellare il più rapidamente possibile eventuali
dinamiche ad alta frequenza. In questo modo il margine di fase sarà di circa 90 gradi.
Si vuole quindi progettare un regolatore della corrente in funzione della differenza tra l’angolo
desiderato e quello effettivo, i = R(s)(θrif −θ), con la struttura
1+s/z
R(s) = µR , (10.54)
1+s/p
dove µR è il guadagno statico, z lo zero e p il polo. Si scelga z = 0.1ωc e p = 10.0ωc; il guadagno si
determina imponendo che il modulo della funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) valga 0 dB per s = jωc.
Data la G(s), si ha circa
�
�
�L(jω)� = �
� µR
1+j/0.1 1
1+j/10.0
ω 2 c
K
J
�
�
�
� ∼ = µR 1
0.1
ω 2 c
K
J
= 1 (10.55)
10-14

dB
deg
100
50
0
-50
-100
-150
-200
0
-60
-120
-180
-240
open loop
open loop, regulated
closed loop
0.01 0.1 1 10 100 1000
0.01 0.1 1 10 100 1000
Figura 10.13: Diagramma di Bode delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente.
da cui si ricava
µR = 0.1ω 2 c
J
K
La funzione ad anello chiuso diventa
ω
(10.56)
1+s/z
θ = µRK
s2 (1+s/p)J +µRK(1+s/z) θrif
1+s/p
+
s2 (1+s/p)J +µRK(1+s/z) Cr. (10.57)
Si noti come l’errore statico sia 1/(µRK), ovvero circa 1/(0.1ω 2 cJ).
Le figure 10.13 e 10.14 mostrano rispettivamente il diagramma di Bode e di Nyquist delle funzioni
di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore controllato in corrente per J = 1 kg m 2 , K = 1 V
s/radian, ωc = 10 radian/s.
Questo progetto sembra indicare che scegliendo ωc opportunamente grande è possibile aumentare a
piacere la banda passante del motore e/o aumentare a piacere il guadagno statico e quindi ridurre l’errore
di posizionamento statico. Vi possono essere, però, delle controindicazioni. Per esempio, se il sistema
presenta delle dinamiche poco smorzate ad alta frequenza (ad esempio una coppia di poli complessi
coniugati con smorzamento basso), quando ωc diventa sufficientemente grande il picco corrispondente
ai poli complessi coniugati verrà amplificato fino a far assumere valore unitario alla funzione d’anello
alla frequenza corrispondente. Di conseguenza si rischia di avere spill-over, ovvero eccitazione di modi
non previsti nel progetto del regolatore. Siccome su tali modi è possibile che ci siano incertezze, sia in
termini di frequenza che soprattutto di smorzamento, dovuti sia alla difficoltà di caratterizzarli che alla
loro variabilità in funzione di parametri del sistema (in dipendenza della configurazione, per esempio), è
opportuno cautelarsi adeguatamente.
Esercizio 10.6 Si consideri la funzione d’anello del motore controllato in corrente. Si aggiunga una
coppia di poli complessi coniugati con pulsazione caratteristica arbitrariamente alta e smorzamento dell’1%.
Si diagrammi la funzione d’anello per diversi valori di guadagno, in modo che ωc si avvicini via
via alla pulsazione caratteristica dei due poli ad alta frequenza.
Esercizio 10.7 Si aggiunga al regolatore un polo nell’origine per cancellare l’errore statico; quale altra
modifica occorre apportare al regolatore per garantire la stabilità del sistema controllato?
10-15

imag
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0
real
open loop
open loop, regulated
closed loop
Figura 10.14: Diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento in anello aperto e chiuso del motore
elettrico in c.c. controllato in corrente.
10.3.3 Azionamento in c.c. di un compressore
L’obiettivo in questo caso è regolare la velocità angolare di un compressore azionato da un motore in
corrente continua. Il motore in c.c. è costituito da un rotore di momento d’inerzia Jm.
Sulrotoreagisceunacoppiamotriceproporzionaleallacorrentediarmaturaia, secondouncoefficiente
di coppia K, come descritto nella (10.23).
La curva caratteristica del motore, ovvero la coppia motrice erogata a regime, quindi per ¨ θ = 0 e
di/dt = 0, si presenta lineare, funzione parametrica della tensione di alimentazione ea
C = K
Ra
�
ea −K ˙ �
θ
(10.58)
La curva caratteristica del compressore può essere in prima approssimazione schematizzata come una
funzione proporzionale al quadrato 3 della velocità angolare:
Cr = −r ˙ θ 2 , (10.59)
con r > 0. L’equazione di moto dell’albero è:
J ¨ θ = C +Cr
(10.60)
dove con J si è indicata l’inerzia totale comprensiva sia del momento d’inerzia del motore che del
compressore. Sostituendo l’equazione caratteristica del compressore e l’equazione motore si ottiene:
J ¨ θ +r ˙ θ 2 = Kia
(10.61)
Per ricavare ora la corrente ia in funzione della grandezza di regolazione ea, tensione di alimentazione
del motore, si deve ricorrere al modello del motore introdotto nella (10.27). Le equazioni della dinamica
del sistema diventano pertanto
⎧
⎨ J¨ θ +r ˙ θ2 −Kia = 0
⎩
dia
La
dt +Raia +K ˙ θ = ea
(10.62)
3 A rigore, la curva caratteristica dovrebbe essere espressa come Cr = −r� ˙ θ� ˙ θ, in quanto la coppia si oppone sempre
alla velocità angolare. La distinzione è superflua se la velocità angolare ha sempre segno positivo.
10-16

Figura 10.15: Il motore di azionamento di un compressore e le relative curve caratteristiche
e quindi possono essere viste nella forma:
⎧
⎪⎨ ¨θ = −
⎪⎩
r
J ˙ θ2 + K
J ia
dia
= −Raia
−
dt La
K
˙θ +
La
1
ea
La
Definendo ora il vettore di stato
� �
˙θ
{x} =
ia
e il vettore degli ingressi
� �
0
{u} =
ea
il sistema di equazioni può essere scritto nella forma
(10.63)
(10.64)
(10.65)
{˙x} = {f ({x})}+[B]{u} (10.66)
Taleequazione, comesivede, ènonlineareepermette, unavoltanotalatensioneea, diricavarelavelocità
angolaredelsistema. Naturalmentetalemodellopuòfornire, datalavelocitàel’accelerazioneangolare, la
tensione di alimentazione del motore stesso; tale applicazione, che sfrutta la dinamica inversa del sistema,
può ad esempio servire per controllare in anello aperto la velocità del compressore. Naturalmente tale
logicadicontrolloinanelloapertosoffredegliinconvenientiderivantidalnonconsiderareidisturbiesterni
e le incertezze del modello stesso.
Si possono integrare numericamente le (10.63) e analizzare la risposta ad assegnati andamenti della
tensione ea(t). In alternativa, dal momento che interessa studiare il comportamento del sistema nell’intorno
della condizione di funzionamento a regime, il problema può essere analizzato linearizzando le
equazioni di moto nell’intorno di una assegnata velocità ˙ θ0 ritenuta costante.
Tale analisi si effettua risolvendo il sistema di equazioni algebriche non lineari
{0} = {f ({x})}+[B]{u} (10.67)
ottenuto dalla (10.66), dal momento che si ricerca la soluzione avendola supposta costante; si ottiene
⎧
⎪⎨ 0 = −
⎪⎩
r
J ˙ θ2 + K
J ia
0 = − Ra
ia − K
˙θ + 1
(10.68)
La
La
ea
La
da cui è possibile determinare la tensione necessaria e la conseguente corrente che circola nel circuito
statorico, o viceversa conoscere la velocità angolare ad una assegnata tensione di alimentazione ea0.
Tale soluzione può essere inoltre vista in forma grafica come in figura 10.16, permettendo ancora una
volta di ricavare, nota ea0, la velocità angolare di regime e la coppia di regime.
10-17

Figura 10.16: Condizione di moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore
10.3.4 L’analisi di stabilità del sistema
Si possono a questo punto linearizzare le equazioni di moto non lineari nell’intorno della posizione di
equilibrio
� �
˙θ0
{x0} =
(10.69)
ia0
ovvero, indicando con ∆˙ θ = ˙ θ − ˙ θ0 e ∆ia = ia −ia0, da cui ∆{x} = {x}−{x0}, si ottiene
∆{˙x} = {f ({x0})}+ ∂{f}
�
�
�
∂{x}
∆{x}+[B]{u} (10.70)
ma, per definizione di equilibrio,
� {x0}
{f ({x0})}+[B]{u0} = {0} (10.71)
per cui l’equazione diventa
∆{˙x} = ∂{f}
�
�
�
∂{x}
∆{x}+[B]∆{u} = [A]∆{x}+[B]∆{u} (10.72)
con
[A] =
⎡
⎢
⎣
− 2r˙ θ0
J
− K
La
� {x0}
L’omogenea associata
K
J
− Ra
La
⎤
⎥
⎦
(10.73)
∆{˙x} = [A]∆{x} (10.74)
ammette la soluzione generica:
∆{x} = {X}e λt
che, sostituita nella (10.74), dà
(10.75)
([A]−[I]λ){X}e λt = {0} (10.76)
Il sistema di equazioni ammette soluzione diversa da quella banale {X} = {0} se il determinante
della matrice dei coefficienti è nullo, ovvero se
⎛⎡
⎜⎢
−
det⎜⎢
⎝⎣
2r˙ θ0
J −λ
K
J
− K
−
La
Ra
⎤⎞
⎥⎟
⎥⎟
⎦⎠
= 0 (10.77)
−λ
La
10-18

ovvero
λ 2 +
�
2r˙ �
θ0 Ra
+ λ+
J La
K2 +2r ˙ θ0Ra
= 0 (10.78)
JLa
Risolvendol’equazionecaratteristicaprecedenteèpossibilecalcolareleradici(oautovalori)delsistema
λ = 1
⎛
�
⎜ 2r
⎝−
2
˙ �
�
��
� θ0 Ra
+ ±
� 2r
J La
˙ �2 θ0 Ra
+ −4
J La
K2 +2r ˙ ⎞
θ0Ra⎟
⎠ (10.79)
JLa
che sono un indice della stabilità della soluzione di equilibrio rispetto alla quale il sistema è stato
linearizzato.
Si noti come il primo addendo degli autovalori sia sempre negativo; quindi il sistema è stabile se la
parte sotto radice è minore in modulo del primo addendo, ovvero
K 2
Ra
+2r ˙ θ0 > 0. (10.80)
Inoltre, a seconda che il radicando sia maggiore o minore di zero, i due autovalori stabili si possono
presentare puramente reali (negativi) o complessi coniugati.
Se invece
K 2
Ra
+2r ˙ θ0 < 0 (10.81)
il sistema presenta una forma di instabilità statica messa in evidenza dal fatto che un autovalore ha parte
reale positiva.
Stabilità statica. Ad analoghe conclusioni si può giungere considerando l’equazione
J¨ � � � �
θ = C ˙θ +Cr
˙θ
(10.82)
ossia considerando le curve caratteristiche ad una assegnata tensione di armatura ea. Definita ˙ θ0 dalla
soluzione dell’equazione (10.82) per ¨ θ = 0, è possibile effettuare l’analisi di stabilità linearizzando
nell’intorno della velocità angolare trovata, ottenendo pertanto
J¨ � �
θ = C ˙θ0
da cui
J∆¨ �
∂C
θ =
∂˙ �
�
�
θ
+ ∂C
∂ ˙ θ
� ˙θ0
�
�
�
� ˙θ0
+ ∂Cr
∂ ˙ θ
che ammette come soluzione
˙θ = Ωe λt
� ˙θ − ˙ θ0
�
�
�
� ˙θ0
�
�
+Cr
� �
˙θ0
+ ∂Cr
∂ ˙ θ
�
�
�
� ˙θ0
� �
˙θ −θ0 ˙ , (10.83)
∆ ˙ θ, (10.84)
(10.85)
che, sostituita nell’omogenea associata
�
∂C
∂˙ �
�
�
θ
� +
˙θ0
∂Cr
∂˙ � �
�
�
θ
� −Jλ ∆
˙θ0
˙ θ = 0, (10.86)
da cui:
λ = 1
J
�
∂C
∂˙ �
�
�
θ
� ˙θ0
+ ∂Cr
∂ ˙ θ
�
�
�
� ˙θ0
�
. (10.87)
10-19

Perché il sistema si presenti come stabile, l’autovalore λ, essendo reale, deve essere negativo, ovvero deve
essere:
∂C
∂˙ �
�
�
θ
� +
˙θ0
∂Cr
∂˙ �
�
�
θ
� < 0. (10.88)
˙θ0
Ricordando l’espressione (10.58) della coppia motrice a regime, e quella (10.59) della coppia resistente
si ottiene così la medesima condizione di stabilità:
∂C
∂˙ �
�
�
θ
� +
˙θ0
∂Cr
∂˙ �
�
�
θ
� = −
˙θ0
K2
−2r
Ra
˙ θ0 < 0. (10.89)
L’analisi di stabilità presentata in questo paragrafo va sotto il nome, forse improprio, di studio della
stabilità statica. Essaconsistenel valutare, a partireda una condizionedi riferimentodi equilibriostatico,
la variazione dei termini che compongono un’equazione di equilibrio in conseguenza di una variazione
della derivata di ordine minimo della coordinata libera; nel caso in esame, ˙ θ. Questo tipo di analisi
consente di esprimere una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la stabilità della soluzione di
riferimento. Per una trattazione più approfondita si veda il capitolo 7.
Controllo proporzionale. Si consideri l’equazione
J ˙ω = Ki+Cr(ω) (10.90)
con la corrente del motore data dalla
Rai+Kω = ea, (10.91)
avendo scelto di definire
ea = −Kp(θ −θrif). (10.92)
Questo corrisponde a trascurare la dinamica della parte elettrica del motore, ovvero Ladi/dt ∼ = 0. A
seguito di una linerizzazione attorno ad una posizione di equilibrio θ0 = 0, da cui ω0 = 0, si ottiene
l’equazione
J ˙ω = − K
Kp(θ −θrif)−
Ra
K2
Ra
a cui occorre aggiungere ˙ θ = ω. Si ha quindi
⎡
� �
˙θ 0 1
= ⎣
˙ω − K
Kp −
JRa
K2
+
JRa
C ⎤ ⎧
� � ⎨ 0
⎦
θ
r/ω + K
ω ⎩
J JRa
ω +C r/ωω, (10.93)
Kp
⎫
⎬
⎭ θrif. (10.94)
Il polinomio caratteristico della matrice è
λ 2 � 2 K
+λ −
JRa
C �
/ω
+
J
K
Kp = 0. (10.95)
JRa
Perché la soluzione di equilibrio sia stabile occorre che gli autovalori abbiano parte reale negativa. si
ottiene
λ = − 1
� 2 K
−
2 JRa
C �
�
�
/ω 1 K2 ± −
J 4 JRa
C �2 /ω
−
J
K
Kp
(10.96)
JRa
Occorre che Kp > 0 e C /ω < K 2 /Ra affinché gli autovalori abbiano sicuramente parte reale negativa.
Se Kp è sufficientemente grande da rendere il discriminante negativo, gli autovalori diventano complessi
coniugati. Questo può rappresentare un vantaggio, nel senso che la rapidità con cui il sistema risponde
è maggiore, ma introduce sovraelongazione nella risposta. Per questo motivo, è opportuno che Kp sia
limitato. Intuitivamente, è opportuno che lo smorzamento del sistema sia prossimo a quello critico.
10-20

Controllo proporzionale-integrale. Si definisca ora
ea = −Kp(θ −θrif)−Ki
� t
t0
(θ −θrif) dt; (10.97)
aggiungendo al sistema precedente l’equazione ˙e = θ −θrif, si ottiene
⎧ ⎫
⎨ ˙e ⎬
˙θ
⎩ ⎭
˙ω
=
⎡
0 1
⎢ 0 0
⎣
−
0
1
K
Ki −
JRa
K
Kp
JRa
− K2
+
JRa
C ⎤
⎧ ⎫
⎥⎨
e ⎬
⎥
⎦
θ
r/ω ⎩ ⎭
ω
J
+
Il polinomio caratteristico della matrice è
⎧ ⎫
⎪⎨
−1 ⎪⎬
0
θrif.
⎪⎩
K ⎪⎭ Kp
JRa
(10.98)
λ 3 +λ 2
� 2 K
−
JRa
C �
r/ω
+λ
J
K
Kp +
JRa
K
Ki = 0.
JRa
(10.99)
L’espressione analitica delle radici è piuttosto involuta e poco espressiva. Tuttavia, si può notare come un
requisito per l’asintotica stabilità sia dato dal criterio di Routh-Hurwitz, dal quale, per Cr/ω < K2 /Ra
(requisito di stabilità statica del sistema non controllato), si ottiene
� 2 K
Ki < Kp
JRa
− C r/ω
J
�
. (10.100)
SiricordicheilcriteriodiRouth-Hurwitzesprimeunacondizionenecessaria, basatasull’ipotesidiassenza
di radici sull’asse immaginario.
10.4 Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici
Senza grandi pretese di eleganza formale, si vogliono generalizzare le equazioni di Lagrange nel caso del
problema elettromeccanico, applicandolo al contesto del motore elettrico in c.c.
10.4.1 Approccio in corrente
Siconsideriinnanzituttouninduttoreidealelineare, diinduttanzaL(danonconfondersiconlalunghezza
del conduttore nei paragrafi precedenti), la cui relazione costitutiva è
∆V = L di
dt
La potenza associata a questo componente è
(10.101)
ΠL = i∆V = Li di
, (10.102)
dt
che può essere espressa anche come
ΠL = d
dt
� 1
2 Li2
�
. (10.103)
Inoltre, ricordando che la corrente i è la derivata rispetto al tempo della carica q, si ottiene
ΠL = d
dt
� 1
2 L˙q2
�
. (10.104)
Si consideri ora, anche se non necessario per il semplice modello di motore in c.c. considerato finora,
la relazione costitutiva di un condensatore di capacità C,
i = C d∆V
dt
. (10.105)
10-21

La potenza ad esso associata è
ΠC = ∆Vi = C∆V d∆V
dt
che può essere espressa anche come
ΠC = d
� �
1 2
C∆V
dt 2
L
C
o, invertendo la relazione costitutiva, come
ΠC = d
dt
� 1
2
q 2
C
i
∆V
Figura 10.17: Induttore e condensatore (LC).
, (10.106)
(10.107)
�
. (10.108)
Si noti come, se si sceglie come variabile indipendente la carica q, le funzioni le cui derivate danno
la potenza dell’induttore e del condensatore assomiglino rispettivamente ad un’energia cinetica e ad
un’energia potenziale. Questi componenti elettrici, infatti, nella loro idealizzazione sono conservativi,
ovvero immagazzinano e rilasciano energia senza dissipazione.
Quindi, definita una funzione
Le = 1
2 L˙q2 − 1q
2
2
, (10.109)
C
l’applicazione del formalismo di Lagrange a Le consente di scrivere
d
dt
� ∂Le
∂˙q
�
− ∂Le q
= L¨q +
∂q C
= 0, (10.110)
ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore e un condensatore collegati fra loro
come in figura 10.17.
È possibile anche definire l’equivalente della funzione di dissipazione,
De = 1
2 R˙q2 , (10.111)
ove come elemento dissipativo si è considerato un resistore lineare di caratteristica R. Il suo contributo
alla equazione relativa alla coordinata q è ∂De/∂˙q = R˙q, ovvero la differenza di tensione associata al
resistore. L’applicazione del formalismo di Lagrange diventa così
d
dt
� ∂Le
∂˙q
�
− ∂Le ∂De q
+ = L¨q + +R˙q = 0, (10.112)
∂q ∂˙q C
ovvero la relazione di equilibrio alla maglia che lega un induttore, un condensatore e un resistore collegati
fra loro come in figura 10.18.
10-22

L
R
C
i
∆V
Figura 10.18: Resistore, induttore e condensatore (RLC).
Nelle relazioni precedenti occorre aggiungere il lavoro generalizzato delle eventuali forze non descritte
in Le per una variazione virtuale della variabile indipendente q. Per esempio, il lavoro associato ad un
generatore di tensione ea è
δWea = δqea. (10.113)
Il lavoro associato alla forza controelettromotrice del motore in c.c. in esame è
δWeb = δqeb = −δqK ˙ θ. (10.114)
Si consideri ora il lato meccanico del motore in corrente continua. La funzione di Lagrange, Lm, è
Lm = 1
2 J ˙ θ 2 . (10.115)
Il lavoro è dato da
δWm = δθ(Cm +Cu) = δθ(K ˙q +Cu), (10.116)
ove si è considerata l’espressione Cm = K ˙q per la coppia motrice. La funzione di Lagrange complessiva,
L, è
L = 1
2 La˙q 2 + 1
2 J ˙ θ 2 . (10.117)
La funzione di dissipazione complessiva è
D = 1 2
Ra˙q
2
(10.118)
Il lavoro complessivo è
�
δW = δq ea −K ˙ �
θ +δθ(Cu +K ˙q). (10.119)
Dall’applicazione del formalismo di Lagrange alla funzione L così definita, alla funzione di dissipazione
D, e al corrispondente lavoro generalizzato W, rispetto alle due coordinate libere q e θ, si ottiene
La¨q +Ra˙q +K ˙ θ = ea
(10.120a)
J ¨ θ −K ˙q = Cu, (10.120b)
ovvero le medesime equazioni scritte in precedenza, come era lecito attendersi. In sostanza, il formalismo
di Lagrange può essere vantaggiosamente esteso a problemi multidisciplinari, ove sia possibile definire
convenientemente le grandezze che vi partecipano. Questo consente di rendere automatica e generale la
scrittura delle equazioni che governano il problema.
10-23

10.4.2 Approccio in tensione
Si consideri ora un approccio complementare al precedente. Si definisca l’integrale della tensione ϕ, tale
per cui ˙ϕ = V. La legge costitutiva dell’induttanza, data dalla (10.101), può essere riscritta come
d∆ϕ
dt
da cui si ricava
= Ldi,
(10.121)
dt
i = 1
∆ϕ. (10.122)
L
La potenza corrispondente è
ΠL = i d∆ϕ
dt
1
=
L ∆ϕd∆ϕ
d
=
dt dt
� 1
2
∆ϕ 2
L
�
. (10.123)
Analogamente, la legge costitutiva del condensatore, data dalla (10.105), si può scrivere come
i = C d2∆ϕ . (10.124)
dt2 La potenza ad esso associata è
ΠC = i d∆ϕ
dt
= C∆ ˙ϕ∆¨ϕ = d
dt
È possibile anche riscrivere la funzione di dissipazione (10.111) come
De = 1
2
� �
1
C∆ ˙ϕ2 . (10.125)
2
∆ ˙ϕ 2
. (10.126)
R
La funzione di Lagrange relativa alle grandezze elettriche è
Le = 1
2 C∆ ˙ϕ2 − 1∆ϕ
2
2
, (10.127)
L
e l’equazione della dinamica del sistema è data da
d
dt
� ∂Le
∂∆ ˙ϕ
�
− ∂Le ∂De
+
∂∆ϕ ∂∆ ˙ϕ = Q∆ϕ, (10.128)
dove la Q∆ϕ, non ancora definita, è la corrente generalizzata che fluisce nel nodo a cui è associato il
flusso rispetto al quale viene scritta l’equazione della dinamica.
Ora, a differenza di quanto visto in precedenza, anziché un equilibrio delle tensioni lungo una maglia,
sistannoscrivendobilancidicorrenteainodi. Quindioccorreprestareattenzioneacomevengonodefinite
le variazioni di flusso ∆ϕ. Occorre anche trovare un modo per esprimere il lavoro delle tensioni esterne,
quali la tensione di alimentazione ea e la forza controelettromotrice eb = K ˙ θ. Si consideri di nuovo
l’esempio del motore elettrico in corrente continua, mettendo in evidenza i nodi 1, 2, 3 e 4 ai capi dei
componenti del circuito equivalente come illustrato in Figura 10.19.
La funzione di Lagrange è data da
Le = − 1
2
(ϕ1 −ϕ2) 2
, (10.129)
L
mentre la funzione di dissipazione è data da
De = 1
2
( ˙ϕ2 − ˙ϕ3) 2
. (10.130)
R
10-24

ea
1 2 3
4
ia
L R
Figura 10.19: Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione.
L’effetto delle tensioni ea e eb si introduce con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si definiscano
le relazioni
˙ϕ1 − ˙ϕ4 = ea
eb
ib
(10.131a)
˙ϕ3 − ˙ϕ4 = eb = K ˙ θ, (10.131b)
analoghe a vincoli anolonomi sulle derivate dei flussi ai rispettivi nodi. Introducendo le correnti incognite
ia e ib, associate ai rami 1–4 e 3–4, si ottiene il lavoro virtuale
δWe = ia(δϕ1 −δϕ4)+ib(δϕ3 −δϕ4). (10.132)
Il sistema finale può essere scritto in funzione delle incognite nodali, ϕ1, ϕ2, ϕ3 e ϕ4, e delle correnti nei
rami di alimentazione e di forza controelettromotrice, ia = ˙qa e ib = ˙qb, ovvero
⎡
⎤⎧
⎫ ⎡
⎤⎧
0 0 0 0 1 0 ˙ϕ1 1/L −1/L 0 0 0 0 ϕ1
⎢ 0 1/R −1/R 0 0 0 ⎥ ˙ϕ2 ⎢
⎥⎪⎨
⎪⎬ ⎢ −1/L 1/L 0 0 0 0 ⎥ ϕ2 ⎥⎪⎨
⎢ 0 −1/R 1/R 0 0 1 ⎥ ˙ϕ3 ⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 −1 −1 ⎥ + ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ϕ3 ⎥
˙ϕ4 ⎢
⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ϕ4 ⎥
⎣ 1 0 0 −1 0 0 ⎦
⎪⎩
˙qa ⎣
⎪⎭
0 0 0 0 0 0 ⎦
⎪⎩
qa
0 0 1 −1 0 0 ˙qb 0 0 0 0 0 0 qb
⎫ ⎧
0
⎪⎬ ⎪⎨
0
0
=
0
ea ⎪⎭ ⎪⎩
K ˙ ⎫
⎪⎬
.
⎪⎭
θ
(10.133)
Si noti come le matrici siano simmetriche e significativamente sparse.
Questo problema è indeterminato; infatti il flusso ϕ è definito a meno di una costante. Lo si può
agevolmente verificareconstatando che la somma delle prime quattro righe dà 0. Per ovviare al problema,
occorre mettere a terra un nodo. Ad esempio, se si pone ϕ4 = 0, e quindi anche ˙ϕ4 = 0 e δϕ4 = 0, si
ottiene ⎡
⎢
⎣
0 0 0 1 0
0 1/R −1/R 0 0
0 −1/R 1/R 0 1
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
⎤⎧
⎫ ⎡
˙ϕ1
⎥⎪⎨
˙ϕ2 ⎪⎬ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ˙ϕ3 ⎥ + ⎢
⎦ ˙qa ⎣
⎪⎩ ⎪⎭
˙qb
1/L −1/L 0 0 0
−1/L 1/L 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎤⎧
⎥⎪⎨
⎥
⎦
⎪⎩
ϕ1
ϕ2
ϕ3
qa
qb
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
0
0
0
ea
K ˙ θ
⎫
⎪⎬
. (10.134)
⎪⎭
È agevole verificare l’equivalenza tra questo sistema e l’equazione di equilibrio alla maglia ottenuta con
l’approccio in corrente:
• dalla quarta e dalla quinta equazione si ricava ˙ϕ1 = ea e ˙ϕ3 = K ˙ θ;
• dalla terza equazione si ricava ˙ϕ2 = ˙ϕ3 +Rib, ovvero ˙ϕ2 = K ˙ θ +Rib;
• dalla prima equazione si ricava ϕ1 − ϕ2 + Lia = 0 che, derivata una volta, dà ea − K ˙ θ − Rib +
Ldia/dt = 0;
• per costruzione, ia va dal nodo 1 al nodo 4, quindi è opposta alla corrente ib; ne consegue che
i = ib = −ia, da cui l’equazione di equilibrio alla maglia.
Questo approccio, solo all’apparenza complesso, è in realtà di relativamente facile implementazione
numerica, in analogia con l’approccio agli spostamenti nel calcolo strutturale.
10-25

10-26

Capitolo 11
Azioni mutue tra elementi di
macchine — Parte II
Generato il 16 gennaio 2012
11.1 Azioni aerodinamiche
Nelle macchine si devono spesso considerare azioni tra solidi e fluidi; questi ultimi possono essere ritenuti
veri e propri membri non rigidi della macchina, accoppiati con i membri solidi, dei quali bagnano tutta
o parte della superficie.
Le azioni possono avere carattere di forze interne, come ad esempio in una turbina in cui il fluido si
muove entro condotti facenti parte della macchina e reagisce su di essi, oppure di forze esterne, come
l’azione dell’aria su di una aeroplano o la resistenza offerta dal mezzo all’avanzamento di una nave o di
una vettura, quando tutta la massa del fluido è considerata esterna al sistema che si studia. Esse inoltre
possono essere costituite da semplici pressioni statiche come quelle che sostengono un corpo immerso in
un fluido o che vengono esercitate da un fluido in pressione sulle pareti di un recipiente chiuso, oppure
possono essere pressioni dinamiche, cioè esercitate dal fluido in conseguenza del suo moto o del moto del
solido.
Spesso l’azione del fluido costituisce una resistenza al moto di un corpo in esso totalmente o parzialmente
immerso; in tal caso essa prende il nome di resistenza del mezzo ed è una resistenza passiva, che,
di regola, si deve cercare di ridurre il più possibile. Nasce così il problema di ottimizzare la forma al fine
di aumentarne la penetrazione (carene di navi, forme di autovetture, ...). In generale però tale azione tra
corpo e fluido ha una componente utile che si cerca di massimizzare (forza propulsiva di un’elica, forza
portante di un’ala).
Le forze esercitate da fluidi in quiete sono determinate dalla fluidostatica, mentre assai più complessa
è la ricerca delle azioni esercitate dai fluidi in moto, la quale più particolarmente interessa le macchine e
forma oggetto della fluidodinamica, comprendente come casi particolari l’idrodinamica e l’aerodinamica.
Supponiamo che il corpo sia fermo rispetto al fluido; in tal caso l’unica azione agente sul corpo è la
spinta fluidostatica. Tale spinta è proporzionale, come noto, alla densità del fluido e al volume del corpo.
Se invece il corpo si muove con una certa velocità in un fluido, oppure se il corpo è investito da un fluido
in moto con una certa velocità, nascono su ogni elemento infinitesimo di area della superficie del corpo
stesso delle forze infinitesime normali e tangenziali.
Si supponga che la corrente sia laminare e il fluido incomprimibile (numero di Mach, definito come
il rapporto tra la velocità del fluido e la velocità di propagazione del suono nel fluido stesso, minore di
0.1÷0.2).
In tali condizioni, sul contorno del corpo il fluido aderisce e ciò significa che la velocità del fluido a
contatto con il corpo si annulla 1 : la velocità del fluido passa pertanto da zero al valore v allontanandosi
dal corpo.
1 Si veda la nota 4 del Capitolo 4.
11-1

Figura 11.1: Sezioni di riferimento in campo automobilistico per la valutazione del coefficiente di
resistenza del veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b).
Per esprimere la generica forza F e il generico momento aerodinamico M in modo semplice si ricorre
alle espressioni:
F = 1
2 ρv2 SCf
M = 1
2 ρv2 SlCm
(11.1)
ove 1/2ρv 2 è la pressione dinamica, spesso indicata con q in aeroelasticità 2 .
Si suppone quindi che essi siano proporzionali alla pressione dinamica della corrente indisturbata e
a una superficie di riferimento S (nell’espressione del momento compare anche una lunghezza l) tramite
un coefficiente adimensionale da determinare sperimentalmente.
I coefficienti che compaiono nelle (11.1) sono funzione, oltre che della forma del corpo e della sua
posizione relativa alla direzione della corrente, del numero di Reynolds
Re = ρvl
µ
(11.2)
ove ρ e µ sono rispettivamente la densità e la viscosità dinamica del fluido (la viscosità cinematica è
ν = µ/ρ). La dipendenza dei coefficienti aerodinamici dal numero di Reynolds non è grande se il valore
di quest’ultimo è sufficientemente elevato, come si verifica per tipiche applicazioni aeronautiche, con
lunghezze dell’ordine del metro, velocità dell’ordine del centinaio di m/s, densità dell’ordine di 1 kg/m3 e viscosità dell’ordine di 1.6 · 10−5 kg/(ms). I coefficienti aerodinamici ricavati sperimentalmente sono
da ritenersi indipendenti dalla velocità se il numero di Reynolds è superiore ad alcuni milioni.
La superficie S e la lunghezza l di riferimento possono essere qualsiasi: esse esprimono solamente la
dipendenza delle forze e dei momenti rispettivamente dal quadrato e dal cubo delle dimensioni lineari
del corpo. È però evidente che il valore dei coefficienti aerodinamici dipende dalla scelta della superficie
e della lunghezza di riferimento.
In campo automobilistico, nel quale la portanza è spesso da ritenersi un effetto indesiderato della
presenzadell’aria,mentrelaresistenzaèunarilevantefontedidissipazione,siusasceglierequalesuperficie
di riferimento l’area della superficie trasversale del veicolo, anche se una certa confusione può essere
ingenerata dal fatto che taluni usano l’area della proiezione frontale (a) e altri l’area della massima
sezione trasversale (b) indicate in figura 11.1.
In campo aeronautico, viceversa, come superficie di riferimento per un velivolo si considera in genere
la sezione in pianta dell’ala, in quanto si è primariamente interessati alla forza portante, mentre quella
resistente, altrettanto importante, viene comunque in seconda battuta, essendo tipicamente, in normali
condizioni di volo, di almeno un ordine di grandezza inferiore.
2 Da non confondere con la generica coordinata libera; di solito la confusione non è possibile dal momento che la pressione
dinamica q è uno scalare, mentre le coordinate libere sono raccolte in un vettore {q}.
11-2

Figura 11.2: Schematizzazione del moto laminare di un fluido.
11.2 Teoria elementare della lubrificazione
Gli strisciamenti tra corpi asciutti si verificano nelle macchine solo in casi eccezionali, quando sia utile
avere un forte attrito, come ad esempio nei freni e negli innesti a frizione; negli altri casi le superfici a
contatto sono sempre bagnate da un liquido detto lubrificante, ovvero lubrificate. Per lubrificazione si
intende la riduzione dell’attrito tra superfici a contatto in moto relativo mediante l’interposizione tra esse
di un apposito mezzo detto appunto lubrificante. Tale liquido, interposto tra le due superfici, impedisce
il fenomeno della microsaldatura che si è riconosciuto nel Capitolo 8 essere la causa dell’attrito cinetico
(o dinamico).
Da un lato, possono essere usati come lubrificanti gli olii e i grassi, che hanno la proprietà di formare
veli superficiali (epilamini) di spessore molecolare (qualche micron) aderenti alle superfici striscianti. I
lubrificanti possono essere anche solidi (grafite) per condizioni operative a temperature molto basse.
D’altra parte, un’azione più decisiva viene esercitata dal lubrificante nella lubrificazione idrostatica
e in quella idrodinamica, le quali consistono nella interposizione tra le superfici striscianti di un velo
continuo di lubrificante che, per quanto sottile, ha però spessore sufficiente per impedire il contatto
diretto tra le due parti. Lo strisciamento non avviene più fra solido e solido (attrito cinetico) o fra
strati molecolari aderenti alle superfici (attrito untuoso), ma fra gli strati del lubrificante interposto tra
queste (attrito mediato o fluido) che può assumere valori pari anche a 1/100 (dipendente solo dal tipo di
lubrificante) di quello che si ha nell’attrito radente (dipendente dallo stato e dalla natura delle superfici).
Tutti i fluidi reali sono viscosi e oppongono una resistenza allo scorrimento delle particelle che li
compongono. Se noi facciamo scorrere degli strati di fluido gli uni sugli altri, fra gli strati stessi si esercita
un’azione che si oppone al moto relativo, come illustrato in figura 11.2. Tale azione è proporzionale
alla velocità con la quale avviene lo scorrimento, secondo un coefficiente caratteristico del fluido, detto
coefficiente di viscosità, ovvero il coefficiente µ illustrato nella definizione del numero di Reynolds.
11.2.1 Descrizione del problema
Nel seguito, per semplicità espositiva, viene considerato un problema piano, in cui due corpi sono in
movimento relativo di traslazione in direzione parallela alle superfici, ritenute piane, tra le quali avviene
la lubrificazione. Si assume inoltre che non ci siano perdite laterali, per cui il meato di fluido può essere a
tutti gli effetti considerato in movimento in un condotto per cui quindi vale il principio di conservazione
della massa.
Per semplicità, si consideri il corpo inferiore vincolato al telaio, mentre il corpo superiore viene
fatto scorrere con velocità v; il caso in cui entrambe le superfici si muovono verrà brevemente discusso
nel seguito. La velocità del fluido nel meato sia u, diretta essenzialmente lungo il condotto. Questa
velocità potrà variare in funzione della posizione nel condotto, sia trasversale che longitudinale. Sul
corpo superiore, per effetto della presenza del fluido in moto relativo, si generano una forza normale ed
una tangenziale.
11-3

La forza normale per unità di larghezza, data dall’integrale della pressione relativa p nel fluido lungo
la lunghezza del meato, è
N =
� l
0
p dx; (11.3)
si è considerata direttamente la pressione relativa in quanto la pressione di riferimento agisce comunque
anche sul resto del corpo. Si indichi con b la dimensione del condotto nella terza direzione, perpendicolare
al piano in cui avviene il moto, per cui la forza normale scambiata è FN = bN.
La forza tangenziale per unità di larghezza, data dall’integrale degli sforzi di taglio τ alla parete, è
T =
� l
0
τ dx (11.4)
L’effetto globale dell’interazione con il fluido viscoso può essere descritto mediante un coefficiente di
attrito equivalente, detto di attrito mediato
fm = |T|
N
(11.5)
che esprime il rapporto tra la forza tangenziale che si oppone al movimento e quella normale che occorre
per separare i corpi.
La determinazionedel coefficiente di attrito mediato, e la valutazione delle caratteristichegeometriche
e meccaniche necessarie perché la lubrificazione, e quindi l’attrito mediato, abbiano luogo, richiede lo
studio della fluidodinamica del lubrificante per poter determinare la pressione p e gli sforzi di taglio τ
agenti sul corpo sostentato.
11.2.2 Fluidodinamica del lubrificante
Nel moto laminare, considerando due strati di ordinate z e z+∆z, caratterizzati dalle velocità u e u+∆u,
la velocità relativa sarà ∆u. Il gradiente di velocità per ∆z tendente a 0 è pari a du/dz, da cui la legge
di Petroff 3 :
τ = µ du
dz
(11.7)
che descrive la legge costitutiva degli sforzi tangenziali viscosi, in caso di moto laminare, affermando
che sono linearmente proporzionali al gradiente di velocità in direzione normale alla superficie a cui si
riferiscono.
Si analizzi il problema del moto del fluido interposto tra due superfici in moto, supponendo che:
• il moto del fluido sia laminare permanente per strati paralleli all’asse z;
• le forze di volume (peso e inerzia) siano trascurabili rispetto a quelle dovute alla viscosità 4 ;
• il fluido sia incomprimibile e abbia µ costante (ovvero, in sostanza, la temperatura si mantenga
costante all’interno del condotto);
• il moto avvenga in una sola direzione (lungo x).
Si assume dunque il problema piano e quindi che non vi sia fuoriuscita laterale in direzione y
(perpedicolare al piano x−z), secondo lo schema illustrato in figura 11.3.
3 La legge di Petroff in realtà rappresenta una semplificazione della definizione più generale dello sforzo viscoso laminare
che, nel caso bidimensionale, è
� �
∂u ∂w
τ = µ +
∂z ∂x
avendo chiamato w la componente della velocità in direzione z, nulla per ipotesi nel caso in esame.
4 Quest’ipotesi non è verificata, ad esempio, in caso di moto nel meato a corona circolare che si ha in un accoppiamento
perno-sede
11-4
(11.6)

Figura 11.3: Schematizzazione del moto laminare di un fluido tra due superfici in moto relativo.
Imponendo l’equilibrio alla traslazione secondo x per un prisma elementare di fluido di dimensioni
(dx,1,dz), si ottiene
ovvero
pdz −(p+dp)dz −τdx+(τ +dτ)dx = 0 (11.8)
dpdz = dτdx → dp
dx
dτ
= . (11.9)
dz
Questa relazione afferma che la variazione della pressione lungo il condotto è pari alla variazione degli
sforzi tangenziali nella direzione trasversale.
Ricordando la legge di Petroff (11.7), si ottiene:
dp
dx = µd2 u
dz 2,
ovvero un’equazione differenziale lineare del 2 o ordine a coefficienti costanti completa.
Se si scrive l’analoga equazione di equilibrio in direzione trasversale si ricava invece
dpdx = dτdz → dp
dz
(11.10)
dτ
= . (11.11)
dx
In questo caso, però, nell’ipotesi che la velocità w in direzione trasversale sia nulla e così pure le sue
derivate, e che quindi la velocità u in direzione longitudinale, per effetto dell’equazione di bilancio di
massa, non dipenda dalla coordinata x lungo il meato, dalla derivata della legge di Petroff (11.7) si
ottiene dτ/dx = 0, da cui si ricava
dp
= 0, (11.12)
dz
ovvero la pressione non varia in direzione trasversale, per cui la dp/dx che compare nella (11.10) non
dipende dalla variabile z rispetto alla quale è differenziata la velocità u.
Grazie alla (11.12), l’integrale generale, somma della soluzione dell’omogenea associata e dell’integrale
particolare, è dato dalla:
µu = dp z
dx
2
+Cz +D, (11.13)
2
in cui le costanti di integrazione C e D sono da determinare a partire dalle condizioni al contorno:
u(0) = 0 → D = 0
u(h) = v → µv = dp
dx
h 2
2
+Ch → C = µv
h
dph
−
dx2
.
(11.14)
L’espressione del campo di velocità (11.13) diventa quindi:
u(z) = dp z
dx
2 � �
1 µv dp h
+ − z =
2µ µ h dx 2
v dp z
z − (h−z), (11.15)
h dx2µ
11-5

mentre gli sforzi di taglio sulla faccia superiore dell’elemento di fluido alla quota z sono
τ = µ v
�
dp h
−
h dx 2 −z
�
. (11.16)
Questo risultato è dato dalla sovrapposizione dei moti di Newton, lineare in z e legato al trascinamento
v per la diversa velocità delle due pareti al contorno, e di Couette, parabolico in z e legato al gradiente
di pressione dp/dx.
Ipotizzando che non vi siano fuoriuscite laterali e sostituendo la (11.15) nell’equazione di continuità
della portata volumetrica per unità di larghezza
Q =
� h
0
u dz = costante, (11.17)
esprimente la portata di fluido vista dal corpo solidale con il telaio, otteniamo, considerando costante la
viscosità e ricordando che p ′ = dp/dx non è funzione di z:
Q = v
� h
z dz −
h 0
p′
� h�
2
hz −z
2µ 0
� dz = v
� �h 2 z
−
h 2 0
p′
� �h 2 hz z3
− =
2µ 2 3 0
vh
2 − p′ h3 (11.18)
12µ
in cui il primo termine, detto portata di trascinamento, è un effetto del trascinamento della parete mobile
sul meato, e il secondo, detto portata di pressione, dipende dal gradiente di pressione; se p ′ = 0 questo
termine si annulla.
Dall’espressione della portata (11.18) è possibile determinare il gradiente di pressione:
p ′ = 12µ
h3 �
vh
2 −Q
�
(11.19)
Dal momento che la portata Q, per la (11.17), è costante lungo x, se anche h(x) fosse costante tutti
i termini a destra dell’uguale sarebbero costanti, e quindi p ′ dovrebbe necessariamente essere costante.
Ma agli estremi del meato la pressione è pari a quella atmosferica, quindi la pressione relativa è nulla; di
conseguenza
p ′ = dp
dx = C′ → dp = C ′ dx → p(x) = C ′ x+D ′
(11.20)
che, con le condizioni al contorno p(0) = 0 → D ′ = 0, p(l) = 0 → C ′ = 0, implica che p ′ = 0, ovvero
il sostentamento non è possibile.
11.2.3 Lubrificazione idrostatica
Nel paragrafo precedente è stato evidenziato come, se h fosse costante, non sarebbe possibile il sostentamento
naturale e di conseguenza la lubrificazione idrodinamica naturale. Si deve quindi ricorrere a
quella idrostatica, nella quale la pressione viene fornita al lubrificante tramite una pompa.
In realtà, la portata ¯ Qs = bQs associata al gradiente di pressione
Qs = − p′ h 3
12µ
(11.21)
viene immessa da un circuito di alimentazione. A regime, essa è costante; quindi il gradiente di pressione
diventa
p ′ = − 12µQs
h 3
(11.22)
La pressione relativa, nell’estremo al quale viene immessa la portata, vale p = −lp ′ , mentre all’estremo al
quale il fluido fuoriesce libero5 vale 0. Quindi, a partire dalle condizioni al contorno p(0) = p → D ′ = p,
p(l) = 0 → C ′ = −p/l, si ottiene un andamento lineare della pressione
�
p(x) = p 1− x
�
(11.23)
l
5 Trascurando eventuali perdite di carico concentrate dovute all’effusione del meato in una camera.
11-6

Figura 11.4: Andamento della pressione nel meato per effetto della geometria.
Da questa, a partire dalla (11.3), si ricava lo spessore del meato in funzione del carico ¯ N = bN, della
geometria del problema, delle proprietà del fluido e della portata imposta Qs.
¯N = p bl
2 = −bl2 p ′
2 = bl26µQs h3 → h = 3
�
l26µ Qs
¯
¯N
(11.24)
Gli sforzi tangenziali definiti nella (11.16), sulla superficie inferiore del corpo in movimento (z = h)
in questo caso valgono
�
v
τs(h) = −µ
h −6Qs
h2 �
(11.25)
La forza resistente ¯ T = bT agente sul corpo in movimento è quindi
�
¯T
v
= −µbl
h −6Qs
h2 �
Ne risulta, idealmente, un coefficiente di attrito mediato
� �
�¯ T� |T|
fm =
¯N
=
N =
�
�
�
vh
�
2
�
h�
− �
6Qsl l �
(11.26)
(11.27)
C’è quindi un contributo al coefficiente di attrito mediato che è proporzionale alla velocità relativa tra
le pareti e al quadrato dello spessore, e inversamente proporzionale alla portata immessa nel meato; la
dipendenza del cubo dello spessore dalla portata immessa illustrato nella (11.24) fa sì che il coefficiente
di attrito mediato diminuisca al crescere della portata immessa. Se la portata dovuta al gradiente di
pressione è concorde con il movimento relativo, il corpo superiore è trascinato nella direzione del moto
dagli sforzi tangenziali; questo fa sì che ci sia una riduzione del coefficiente di attrito mediato (il termine
−h/l) tanto più grande quanto più grande è lo spessore del meato.
Si noti però che la potenza perduta non è data soltanto da Πd = − ¯ T · v, ma anche dalla potenza
necessaria per alimentare il flusso forzato, Πh = −p· ¯ Qs; quindi l’elevata efficienza meccanica di questa
soluzione viene attenuata dalla riduzione in efficienza complessiva legata alla necessità di provvedere al
forzamento della lubrificazione.
11-7

11.2.4 Lubrificazione idrodinamica
Nel caso in cui all’estremo iniziale non venga imposta una pressione maggiore di quella presente all’estremo
finale, la pressione relativa deve essere nulla agli estremi del meato e variabile lungo di esso per
ottenere capacità di sostentamento; quindi, a tal fine, vi deve essere una variazione di altezza h(x).
Vi sarà quindi, lungo il meato, un punto di ascissa x0 in cui la pressione è massima ed è individuata
dal fatto che in quel punto il gradiente p ′ è nullo
p ′ = 12µ
h 3 (x0)
� �
vh(x0)
−Q
2
= 0 → vh(x0) = 2Q → Q = vh(x0)
2
e quindi, sostituendo la (11.28) nella (11.19), quest’ultima diventa
(11.28)
p ′ = 6µv
h 3 (h−h(x0)) (11.29)
Si nota immediatamente che se v = 0, ovvero non vi è moto relativo tra le superfici, la portata è nulla
e quindi non può instaurarsi la lubrificazione idrodinamica (problema degli organi di macchine dotati di
moto con arresto).
Nel punto in cui si ha la massima pressione, la portata di pressione è nulla e si ha solo la portata di
trascinamento6 . Nella zona in cui il gradiente p ′ è positivo, la portata di pressione si sottrae a quella di
trascinamento, mentre dove p ′ è negativo la portata di pressione si somma a quella di trascinamento.
L’azione di sostentamento per unità di larghezza del cuscinetto risulta quindi pari a:
� l � l � x
N =
0
p(x) dx =
0
dx
0
p ′ (ξ) dξ (11.37)
ovvero la pressione genera una spinta per unità di larghezza del cuscinetto N, capace di tenere separate
le due superfici.
Inoltre, sulla superficie superiore in moto si genera una reazione d’attrito per unità di larghezza del
cuscinetto pari a:
Tsup =
� l
0
τ| z=h(x) dx (11.38)
6Sostituendo l’espressione (11.28) della portata, Q = vh(x0)/2, in quella (11.29) del gradiente di p:
p ′ (x) = 12µ
h3 �
vh(x)
(x) 2 −Q
�
= 6µv
h3 (x) (h(x)−h(x0)) (11.30)
e, integrandola sulla lunghezza l del meato, si ottiene:
� l
p(l)−p(0) = p
0
′ � l 6µv
(x) dx =
0 h3 (x) (h(x)−h(x0)) dx = 0 (11.31)
Utilizzando un’espressione lineare per l’altezza del meato:
h(x) = h1 − h1 −h2
x (11.32)
l
da cui, differenziando:
dh = − h1 −h2 l
dx → dx = dh
l h2 −h1
(11.33)
� h2 h−h(x0)
6µv
h1 h3 l
dh = 0
h2 −h1
che semplificata nelle costanti:
(11.34)
� h2
h1
h(x)−h(x0)
h3 dh = 0 →
� h2
h1
dh
= h(x0)
h2 � h2
espressione che sostituita nell’espressione (11.32) di h valutata in x0,
2h1h2
h1 +h2
= h1 − h1 −h2
x0
l
permette di calcolare l’ascissa x0.
h1
11-8
dh
h 3 → h(x0) = 2h1h2
h1 +h2
(11.35)
(11.36)

mentre su quella inferiore si genera una reazione d’attrito per unità di larghezza
Tinf =
� l
0
τ| z=0 dx (11.39)
Possiamo quindi calcolare il coefficiente di attrito mediato come:
fm = T
N
(11.40)
che tipicamente è dell’ordine di 0.01.
Ricordando che b indica la larghezza del meato, l’azione tangenziale genera una potenza resistente:
Wr = b � T ×�v = −bTv = −fmbNv = −fm ¯ Nv (11.41)
che, in un bilancio termico del fluido, risulta entrante in esso e quindi positiva; questa si trasforma in
calore portando il lubrificante alla temperatura θ:
fm ¯ Nv = αbl(θ −θe) → θ = θe + fm ¯ Nv
bαl
(11.42)
ove α è il coefficiente di scambio termico, θ è la temperatura del fluido a regime e θe è la temperatura
esterna verso cui avviene lo scambio termico all’equilibrio.
Noto quindiilcarico ¯ N = bN cheilcuscinettodevesopportareelasuageometria(b,l), sipuòvalutare
la temperatura di funzionamento e quindi scegliere l’olio della gradazione più opportuna, tenendo conto
che all’aumento della temperatura la viscosità µ, e quindi la capacità di sostentamento, decresce.
Si noti che, noto il carico ¯ N, la temperatura di esercizio risulta essere, secondo questo modello semplificato,
inversamente proporzionale alla larghezza b del cuscinetto. Proprio la temperatura di esercizio
del fluido, e quindi la necessità di dissipare il calore accumulato nel fluido durante il funzionamento, può
diventare un criterio dimensionante per la larghezza del cuscinetto.
Si noti inoltre che, se entrambe le superfici sono in moto, l’integrale generale (11.13) deve essere
risolto per le condizioni al contorno
�
u(0) = v1
(11.43)
u(h) = v2
dove v1 e v2 sono le velocità delle due superfici. Se esse sono eguali e concordi, è facile verificare che
la portata Q è pari a 0, ovvero non può instaurarsi la lubrificazione idrodinamica naturale, che risulta
quindi legata alla velocità relativa tra le due superfici che delimitano trasversalmente il meato.
Si noti, infine, che il carico effettivo applicabile nella realtà è inferiore a quello ricavato da questa
trattazione elementare, infatti il fluido non ha sempre direzione parallela a x, ma si ha fuoriuscita laterale
e, quand’anche questa non vi fosse, il moto non è rigorosamente unidirezionale, ma piano.
Sperimentalmente si è ricavato un fattore correttivo c = (b+l)/b, detto coefficiente di fuoriuscita
laterale, e il carico effettivamente sopportabile è
P ′ = bN
c
(11.44)
Per i perni lubrificati, illustrati in figura 11.5, la teoria elementare non è più sufficiente e si deve
ricorrere alla integrazione numerica delle equazioni di Navier-Stokes o alla teoria semplicata di Reynolds;
infatti il perno cambia posizione del centro al variare del carico a parità di velocità angolare, o a pari
carico al variare della velocità di rotazione.
Nella lubrificazione idrodinamica, per basse velocità angolari dei perni è possibile ancora il contatto
tra le superfici e, per valori molto bassi della velocità periferica v, nella zona detta di attrito combinato,
il coefficiente di attrito mediato fm anziché variare con legge parabolica come vorrebbe la teoria, ritorna
a crescere fino ad assumere il valore dato da OB nella figura 11.6, che rappresenta l’attrito untuoso.
Questo è uno dei motivi per cui gli olii lubrificanti sono addittivati con prodotti che creino un resistente
epilamine.
11-9

Figura 11.5: Perno lubrificato.
Figura 11.6: Lubrificazione idrodinamica: dipendenza dell’attrito mediato dalla velocità relativa.
11-10

Capitolo 12
Modellazione elementi a fluido
Generato il 16 gennaio 2012
La soluzione completa del campo di moto di un fluido richiede la determinazione di:
• densità (1),
• pressione (1),
• temperatura (1),
• vettore velocità (3), e
• tensore degli sforzi (9) del fluido;
i termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna grandezza incognita, per un
totale di 15 incognite di campo. Allo scopo abbiamo disponibili le seguenti leggi fisiche:
• conservazione della massa (1)
• bilancio della quantità di moto (3)
• bilancio del momento delle quantità di moto (3)
• conservazione dell’energia (1, primo principio della termodinamica)
• equazione di stato (1)
I termini fra parentesi rappresentano il numero di componenti di ciascuna equazione, per un totale di
9 relazioni. Notiamo immediatamente che una relazione esplicita si può ottenere rapidamente per i
fluidi più comuni dalla conservazione del momento delle quantità di moto applicata ad un volume elementare
infinitesimo. Tale relazione stabilisce l’importante proprietà di simmetria del tensore degli
sforzi, riducendone le relative componenti incognite a 6. Si hanno pertanto 12 incognite di campo con 6
equazioni, ragion per cui devono essere determinate 6 ulteriori relazioni fra le variabili del campo fluido
per permettere la chiusura del bilancio equazioni-incognite. Tali relazioni costituiscono quello che viene
genericamente detto legame costitutivo, cioè la relazione che collega il tensore degli sforzi al tensore delle
velocità di deformazione. La determinazione di tale relazione si basa su considerazioni sia teoriche che
sperimentali, ma la determinazione dei parametri che la caratterizzano richiede comunque una sperimentazione
appropriata. Alle relazioni costitutive è solitamente demandato anche il soddisfacimento del
vincolo fisico associato all’entropia che, in un sistema isolato, non può che crescere o rimanere invariata
(secondo principio della termodinamica, irreversibilità di processi termodinamici reali). Assegnata
la legge costitutiva, il bilancio incognite-equazioni è quindi chiuso. Per la determinazione di tutte le
grandezze di campo summenzionate, le leggi di cui sopra vengono scritte per elementi infinitesimi di fluido,
assunto come continuo, dando origine ad un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Per la soluzione di tali equazioni occorre poi assegnare le condizioni al contorno e, nel caso instazionario,
le condizioni iniziali, specifiche di ciascun problema. Molto spesso, nella pratica ingegneristica, è però
12-1

possibile ottenere risultati significativi utilizzando le leggi di cui sopra sotto forma di bilanci globali che,
pur non permettendo certo la soluzione completa del campo di moto del fluido, rendono possibile la
determinazione di significative relazioni, estremamente utili per l’analisi e la progettazione di sistemi industriali
a fluido, per i quali viene spesso usata la denominazione di“idraulici”, quando elaborano liquidi,
e“pneumatici”, quando elaborano gas. Tali sistemi sono modellabili con flussi interni in:
• tubi (tubazioni),
• valvole,
• pompe, e
• motori/attuatori,
che, con accettabile approssimazione, si possono ritenere sostanzialmente monodimensionali ed approssimabili
ad isotermici. In realtà il fluido subisce anche apprezzabili variazioni di temperatura dovute
agli attriti interni e di parete, comunque non tali da influenzare significativamente il suo movimento, e
vengono pertanto trascurate. A causa della monodimensionalità, il bilancio del momento delle quantità
di moto non è d’interesse, mentre la conservazione dell’energia viene utilizzata, di solito, a posteriori,
per determinare la quantità di calore da smaltire a causa dell’inevitabile riscaldamento del fluido causato
dagli attriti. Si possono pertanto scrivere le sole:
• conservazione della massa (1)
• bilancio della quantità di moto, o bilancio dell’energia meccanica (1)
• equazione di stato (1).
Noi faremo riferimento a tale semplificazione, utile per una significativa parte di problemi associati a
impiantiidrauliciepneumatici, che, utilizzatainformadibilanciglobalisuopportunivolumidicontrollo,
ci permetterà di affrontare alcuni semplici e significativi problemi.
Inoltre, come illustrato nel seguito, non si cercherà un modello unico onnicomprensivo, in grado di
descrivere il comportamento puntuale del fluido, ma piuttosto un insieme di semplici modelli, adatti alla
descrizione di specifici componenti di circuiti idraulici, nei quali vengono trascurati gli aspetti inessenziali
alla descrizione del comportamento fondamentale di tali componenti. L’utilizzo di tali componenti all’interno
di uno schema di connessione riconducibile ad una rete consente di descrivere il comportamento
del sistema nell’ambito di validità delle approssimazioni utilizzate.
Conservazione della massa: la conservazione della massa in un volume di controllo, con un flusso
entrante ed uno uscente, si scrive semplicemente:
(ρAu) entrante −(ρAu) uscente = d(ρV)
dt
(12.1)
Bilancio dell’energia meccanica: è poi pratica comune non utilizzare direttamente l’equazione del
bilancio della quantità di moto, ma il suo integrale primo, ossia il teorema dell’energia meccanica, spesso
chiamato teorema di Bernoulli, pratica impropria nel caso di bilancio globale completo dell’energia
meccanica sulle grandezze medie sezionali di flussi monodimensionali, che comunque accetteremo fra“virgolette”.
Più accettabile è invece la generica denominazione di trinomio di Bernoulli per le espressioni:
e
p u2
+ +gz = cost. (12.2)
ρ 2
p u2
+ +z = cost. (12.3)
γ 2g
che compariranno fra breve. Ci limitiamo qui a scrivere la relativa relazione ipotizzando che il fluido
di interesse sia sostanzialmente incomprimibile, in moto sostanzialmente stazionario e soggetto al solo
12-2

campo gravitazionale. Ricordiamo che l’ipotesi di incomprimibilità non è tanto legata al fatto che il
fluido sia un gas o un liquido, quanto al rapporto fra la velocità dello stesso e la propagazione delle
piccole perturbazioni interne al campo a velocità sonica c, detto numero di Mach M. Tale rapporto deve
essere significativamente minore di uno per potere parlare di fluido incomprimibile, ragion per cui i nostri
richiami di fluidodinamica saranno generalmente validi per un fluido generico, gas o liquido, purché M
sia significativamente minore di uno. Il bilancio di energia meccanica per unità di massa è
pingresso
ρingresso
+ u2 entrante
2
+gzingresso = puscita
ρuscita
+ u2 uscente
2
+gzuscita +Energia dissipata (12.4)
dove il termine“Energia dissipata”, rappresentante l’energia dissipata per unità di massa di fluido, sarà
precisato più avanti. Si noti che dimensionalmente questa equazione contiene delle velocità al quadrato.
Una forma equivalente, spesso usata, si ottiene dividendo per g entrambi i termini, ottenendo:
pingresso
γingresso
+ u2 entrante
2g
+zingresso = puscita
γuscita
+ u2uscente 2g +zuscita
Energia dissipata
+
g
(12.5)
in cui tutti i termini hanno le dimensioni di una lunghezza, e a volte permettono una più intuitiva
valutazione dell’importanza relativa dei vari termini.
Come vedremo nelle applicazioni successive, utilizzeremo spesso tale relazione anche per flussi instazionari,
ragion per cui riteniamo utile giustificare subito tale estensione in modo da evitarne usi
impropri. Allo scopo notiamo che il bilancio dell’energia meccanica sopra riportato si può ricavare dall’integrazione
del bilancio della quantità di moto di un flusso stazionario lungo il tubo, ritenuto sensibilmente
rettilineo.
Nella derivata totale della quantità di moto,
d
(ρu) = ρ
dt
�
∂u dξ ∂u
+
∂ξ dt ∂t
�
, (12.6)
ove ξ è una coordinata curvilinea lungo il tubo, per cui dξ/dt = u e, siccome si è considerata l’ipotesi
di incomprimibilità, non compare esplicitamente la derivata della densità ρ, in quanto nulla, l’ipotesi di
stazionarietà implica la condizione
∂u
∂t
= 0. (12.7)
Qualora si consideri un flusso non stazionario, l’approssimazione data dal considerare ancora valida
la (12.7) può essere ancora relativamente accettabile purché l’integrale del termine temporale della
variazione della quantità di moto,
ρ ∂u
, (12.8)
∂t
lungo il tubo, si possa ritenere trascurabile rispetto agli altri termini.
È importante rilevare, come già visto in altri casi, che nella pratica ingegneristica si ricorre spesso a
simili approssimazioni, che trascurano alcuni termini del problema al fine di una più semplice soluzione
senza però inficiare sensibilmente la validità dei risultati ottenibili. In tali approssimazioni, anche se il
tralasciare formalmente alcuni termini appare come considerare gli stessi nulli, il relativo significato fisico
è invece sempre associato al fatto che essi sono trascurabili rispetto agli altri fattori che intervengono
nella scrittura delle relazioni d’interesse.
Poiché noi utilizzeremo prevalentemente l’equazione di“Bernoulli”per determinare la velocità media
del flusso monodimensionale in condizioni dominate dai gradienti di pressione e dal termine convettivo,
ρu ∂u
, (12.9)
∂ξ
della variazione della quantità di moto (12.6), l’approssimazione stazionaria manterrà un significativo
livellodi accettabilitàanchequandola velocitàpotràvariaretemporalmenteinmodo non trascurabile. In
12-3

ultima analisi, la validazione di tale ipotesi spetta alla sperimentazione, ed infatti una lunga pratica ne ha
ampiamente dimostrato il livello di validità nelle tipiche applicazioni che qui esemplificheremo, ma potrà,
anzi dovrà, comunque sempre essere verificata a posteriori analizzando accuratamente i risultati ottenuti.
È infatti evidente che, se dopo avere risolto le equazioni che modellano il nostro sistema a fluido sulla
base di una certa ipotesi, la soluzione ottenuta non verifica le ipotesi stesse, la formulazione sviluppata
non può che ritenersi inappropriata. D’altro canto, l’ottenimento di risultati consistenti con gli assunti
non può certo garantire la bontà fisica della soluzione se quest’ultima è soggetta solo ad approssimazioni
plausibili ma non rigorosamente provate, ragion per cui la verifica sperimentale diventa essenziale. È
utile aggiungere che spesso tale verifica può essere assunta a priori come scontata sulla base di pratiche
consolidate da una vasta letteratura. Un’ulteriore immediata applicazione di quanto appena detto viene
suggerito dalla formula espressa in unità di lunghezza (12.5), che chiaramente ci dice che per i fluidi più
comuni, già in presenza di variazioni di pressione dell’ordine di pochi bar, si potrà spesso trascurare il
termine associato a variazioni di quota, poiché le variazioni di energia gravitazionale corrispondenti sono
trascurabili rispetto alle quote barometriche e d’energia cinetica, ipotesi valida per molte applicazioni
industriali di componenti a fluido. Continuiamo ancora notando che il nostro volume di controllo è sì
prevalentemente monodimensionale, ma dotato di sezione finita, per cui l’equazione di cui sopra implica
che si possano definire una pressione ed una velocità mediamente uniformi nella stessa. Senza dilungarci
ricordiamo che tale condizione è praticamente soddisfatta per correnti turbolente su tutta la sezione, al
di fuori, al più, di uno strato genericamente sottile vicino alla parete fisica che contiene il volume di
controllo. In sostanza, nella sezione il flusso è dominato dalle forze d’inerzia, mentre gli sforzi viscosi
si evidenziano solo in prossimità della parete del tubo, quando la velocità diminuisce fino ad annullarsi
per soddisfare la condizione di adesione del fluido alla parete. Si noti che si è preferito parlare di
distribuzione di velocità nella sezione, evitando ogni riferimento improprio ad un possibile strato limite
di parete, essendo tale estensione del concetto di strato limite inappropriata, anche se spesso usata in
letteratura 1 . Come detto, l’esistenza di moti stabilmente turbolenti dipende essenzialmente dal prevalere
delle forze d’inerzia sulle forze viscose, condizione come noto sintetizzata da un numero di Reynolds
medio sulla sezione sufficientemente elevato. Nel caso di flussi prevalentemente monodimensionali, tale
numero di Reynolds è definito da:
Re = ρDiu
µ = Diu
, (12.10)
ν
essendo Di una dimensione caratterizzante la sezione di riferimento, spesso definita per una generica
sezione col termine di diametro idraulico equivalente, o semplicemente diametro idraulico, dato da:
Di = 4A
P
(12.11)
dove A è l’area della sezione e P è il suo perimetro. Chiaramente, per tubi a sezione circolare, Di altro
non è che il diametro reale del tubo. Con tale definizione si può approssimativamente ritenere che il
flusso sia sicuramente turbolento per Re > 4000 e laminare per Re < 2000, mentre per valori compresi
fra 2000 e 4000 si ha una condizione di flusso misto, detto di transizione. In generale, la transizione
presenta una isteresi, nel senso che, in assenza di perturbazioni, per numeri di Reynolds in crescita
da valori inferiori a 2000, il flusso tende a rimanere significativamente laminare ben dentro l’intervallo
critico, e, viceversa, in diminuizione da valori maggiori di 4000, il flusso tende a permanere turbolento.
La condizione Re > 4000 è generalmente soddisfatta, e sarà assunta come vera nella maggior parte della
nostra trattazione, salvo quando verranno specificamente evidenziati flussi meglio approssimabili come
laminari. Si ricorda che la viscosità dipende sia dalla pressione che dalla temperatura. In particolare la
viscosità dei liquidi diminuisce significativamente all’aumentare della temperatura, aumentando invece,
ma con minore sensitività, all’aumentare della pressione. Per i gas si hanno invece aumenti di viscosità
sia all’aumentare della pressione che della temperatura. Si ricordano alcuni valori tipici di orientamento
per la viscosità cinematica alla pressione atmosferica, e per temperature attorno ai 20 o C: acqua 10 −6 ,
1 La nozione di ‘strato limite’ presuppone che al di fuori di esso esista una regione del campo di moto del fluido nel quale
il comportamento possa essere approssimato dal modello del fluido perfetto, ovvero non viscoso. Questo, nelle condutture
di sezione piccola rispetto alla lunghezza, non è mai possibile, in quanto tutto il campo di moto risente della viscosità, sia
pure in modo diverso.
12-4

olî qualche decina di 10 −6 , aria 1.5 10 −5 m 2 /s. Nella pratica ingegneristica il termine“Energia dissipata”
viene denominato genericamente come “perdite d’attrito”, o anche “perdite di carico”, con riferimento
al termine energetico associato ad un salto di pressione che eguaglia le perdite stesse. Tale dicitura
richiama la semplice ed intuitiva constatazione che per vincere la resistenza d’attrito del fluido bisogna
applicare una pressione. Tali perdite vengono generalmente suddivise in perdite distribuite lungo tratti
di tubazione di sezione a caratteristiche costruttive sensibilmente costanti e perdite concentrate, collegate
ad esempio a:
• brusche variazioni di sezione,
• intersezioni di tubazioni,
• brusche curve,
• raccordi.
Le perdite d’attrito distribuite su una tubazione di lunghezza L, diametro idraulico Di e percorsa da un
fluido alla velocità media u sono generalmente espresse tramite la relazione:
con
Energia dissipata per unità di volume = f L
Di
ρu 2
2
(12.12)
f = f (Re) (12.13)
funzione dimensionale determinata sperimentalmente. Le perdite concentrate hanno un’analoga espressione:
Energia dissipata per unità di volume = K ρu2
2
(12.14)
dove K è ancora una volta determinato sperimentalmente. Qualora l’elemento di concentrazione della
perdita coinvolga una variazione di sezione, K è generalmente espresso assumendo per u la velocità più
elevata. È opportuno ricordare che tale convenzione non ha nulla di arbitrario, in quanto la perdita
concentrata coinvolge un volume equivalente di controllo abbastanza limitato, per il quale è sempre
possibile scrivere la relazione di continuità in termini volumetrici
(Au) entrante = (Au) uscente . (12.15)
Comunque è opportuno verificare attentamente la convenzione utilizzata per definire K ogni volta che se
ne reperiscono i valori in letteratura e/o su manuali. Può essere utile ricordare l’estensione del bilancio
dell’energia meccanica testè illustrato al caso in cui il volume di controllo non sia un semplice tratto
di condotta, ma contenga anche macchine utilizzatrici/operatrici, che scambino potenza con l’esterno.
Scriviamo pertanto il:
Bilancio globale generalizzato dell’energia meccanica:
�
pingresso
(ρAu) entrante +
ρingresso
u2 �
entrante
+gzingresso = (ρAu) uscente
2
+Potenza dissipata+Potenza esterna
� puscita
ρuscita
+ u2 uscente
2
+gzuscita
dove il termine “Potenza esterna” si riferisce alla potenza totale scambiata con l’esterno, positiva in
uscita, mentre il termine“Potenza dissipata”indica la potenza totale dissipata all’interno. Come abbiamo
detto precedentemente, l’energia dissipata si trasforma in calore che è parzialmente smaltito lungo
il circuito idraulico, principalmente per conduzione verso componenti con esso a contatto e convezione
verso l’ambiente che lo circonda. Come già detto, noi riterremo che, anche in assenza di un significativo
smaltimento termico distribuito, le variazioni di temperatura non siano generalmente tali da causare
12-5
�

significativi effetti sul flusso. In tale asserzione si ritiene implicitamente che il fluido elaborato sia continuamente
rinnovato, in quanto è chiaro che, qualora la stessa massa fluida fosse continuamente ricircolata
in un impianto chiuso che non è in grado di smaltire naturalmente il calore accumulato sotto forma di
energia interna lungo il percorso, la temperatura continuerebbe a salire invalidando l’assunto. Poiché
questo è proprio ciò che avviene negli impianti a fluido di potenza, tali impianti sono sempre dotati di
un sistema di raffreddamento, concentrato in uno o più radiatori, che ha il compito di smaltire l’energia
termica accumulata dal fluido a causa dell’attrito. Ecco allora che a questo punto possiamo chiarire cosa
intendevamo quando abbiamo detto che il bilancio dell’energia ci avrebbe permesso di trarre opportune
conclusioni sullo smaltimento dell’accumulo dell’energia dissipata per attrito sotto forma di energia interna.
Infatti se Et è l’energia totale dissipata per unità di massa e Q è la portata di massa elaborata
nel circuito idraulico, la variazione media di temperatura del fluido sarà
∆T = Et
, (12.16)
cp
mentre la potenza termica totale generata, e quindi da smaltire per mantenere la temperatura del fluido
in limiti accettabili, sarà
Pt = QEt. (12.17)
Tali valori permettono il dimensionamento di massima del sistema di raffreddamento del fluido.
Equazione di stato: l’equazione di stato di un fluido è una generica relazione del tipo:
ρ = ρ(p,T) (12.18)
Per flussi idraulici e pneumatici approssimabili come incomprimibili è spesso necessario poter valutare
alcuni effetti causati dalla comprimibilitàsul bilancio di massa del fluido attorno alla condizione nominale
di funzionamento. Infatti si ricorda che in tale bilancio interviene il termine
d(ρV)
, (12.19)
dt
per il quale il volume V funge da fattore di amplificazione delle variazioni di densità ρ, variazioni che
invece abbiamo ritenuto inessenziali e tali da non influenzare significativamente il bilancio energetico
meccanico. Limitandosi a flussi poco comprimibili e con limitate variazioni di temperatura, è spesso
accettabile utilizzare un approssimazione linearizzata dell’equazione di stato ottenuta con uno sviluppo
attorno ad una densità media nota di riferimento ρ0:
� � � �
∂ρ ∂ρ
ρ = ρ0 + ∆p+ ∆T
∂p T ∂T p
ρ0
�
1+ 1
ρ0
� ∂ρ
∂p
�
T
∆p+ 1
ρ0
� � �
∂ρ
∆T
∂T p
(12.20)
Chiaramente, in condizioni normali 2 , la densità aumenta all’aumentare della pressione, (∂ρ/∂p) T > 0,
mentre diminuisce all’aumentare della temperatura, (∂ρ/∂T) p < 0. Tenendo conto delle condizioni
precedenti, si definiscono allora due significative grandezze caratterizzanti i fluidi:
• il modulo di comprimibilità volumetrica (isotermico)
� �
∂p
β = ρ0 , (12.21)
∂ρ T
detto anche bulk modulus in inglese, e
2 Vi sono notevoli eccezioni nel comportamento di alcuni fluidi, che spesso si verificano in prossimità di un cambiamento
di stato. Ad esempio, l’acqua ha (∂ρ/∂T) p > 0 tra 0 e 4 gradi centigradi a pressione atmosferica.
12-6

• il coefficiente di dilatazione volumetrica isobarico
α = − 1
� �
∂ρ
, (12.22)
ρ0 ∂T p
per cui la formula espressa dall’equazione 12.20 si scrive:
�
ρ = ρ0 1+ 1
β ∆p−α∆T
�
(12.23)
Spesso è utile riferire β e α ad un generico volume di riferimento V0, invece che ad una densità. Essendo,
a parità di massa, il volume inversamente proporzionale alla densità, si avrà:
e quindi
ρ = 1
V
dρ = − dV
V 2,
(12.24)
(12.25)
per cui
� � � � � �
∂p ∂p ∂V ∂p
β = ρ0 = ρ0 = −V0 , (12.26)
∂ρ T ∂V ∂ρ T ∂V T
α = − 1
� �
∂ρ
= −
ρ0 ∂T p
1
� �
∂ρ ∂V
=
ρ0 ∂V ∂T p
1
� �
∂V
. (12.27)
V0 ∂T p
Siccome abbiamo assunto trascurabili gli effetti termici sulla dinamica del fluido, α non sarà considerato.
Al contrario, β sarà una caratteristica della massima importanza nella determinazione della dinamica
dei sistemi a fluido ogniqualvolta non potremo ritenere il fluido perfettamente incomprimibile, in quanto
ne caratterizzerà la relativa rigidezza. Si noti che è anche possibile la definizione di un coefficiente di
comprimibilità adiabatica βa, collegabile a β tramite la relazione:
Essendo 3
βa = cp
cv
γ = cp
cv
β. (12.28)
(12.29)
significativamente approssimabile a uno per i liquidi, per essi la distinzione fra i due moduli è solitamente
inessenziale. Per i gas, invece, la differenza può essere significativa; si ricordi che cp/cv vale all’incirca 1.4
per gas perfetti biatomici, e l’utilizzo del modulo adiabatico meglio approssima la realtà, in quanto per i
gas l’ipotesi di adiabaticità, ovvero scambio di calore nullo, è più appropriata. Per un gas, approssimato
come perfetto, ricordando la definizione di β e la relativa equazione di stato,
p = ρRT, (12.30)
si constata facilmente che β = p (mentre α = 1/T) e quindi
βa = cp
cv
p = γp. (12.31)
Nel prosieguo, salvo diversa ed esplicita menzione, noi utilizzeremo sempre il simbolo β, sottintendendo
allo stesso βa nel caso di gas. Si può quindi avere un’idea immediata dell’ordine di grandezza della
comprimibilità di un gas, mentre per i liquidi si ricordano i valori approssimativi a 20 o C: per gli olî
3 Non si confonda questo γ, rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante, con quello usato nella (12.5)
per indicare la densità specifica ρg.
12-7

utilizzati nei circuiti idraulici β = 1.5 Gpa (15000 bar), e per l’acqua β = 2.1 Gpa (21000 bar). La
comprimibilità volumetrica generalmente diminuisce all’aumentare della temperatura, con variazioni che
dipendono da liquido a liquido; l’acqua, ad esempio, non presenta significative variazioni nell’intervallo
20÷100 o C, mentre gli olî idraulici possono subire una diminuizione di circa il 25%.
È importante rilevare che nelle reali condizioni operative, per quanto si ponga attenzione ad evitare
l’inclusione e la formazione di gas, una certa percentuale di inclusione di gas non disciolto è sempre
presente. Tale inclusione può influenzare significativamente la rigidezza del fluido, esperienza spesso
drammaticamente avvertita quando il calore sviluppato dall’eccessivo riscaldamento dei freni di un autoveicolo
si trasmette al fluido del circuito frenante che evapora parzialmente, facendo sì che la pressione
esercitata sul pedale del freno produca un effetto frenante estremamente limitato, poiché frenando non
si fa altro che comprimere le bolle di vapore sviluppatesi in seno al liquido (fading). Infatti, il vapore
ed il liquido agiscono come due elementi elastici in serie, per i quali, come ben sappiamo, si sommano le
relativeflessibilità(inversodelle rigidezze), per cui se una è preponderantesull’altradiventapraticamente
la sola responsabile della cedevolezza globale del sistema idromeccanico.
Può essere utile evidenziare tale concetto nei casi di interesse applicativo. Supponiamo che in un
volume complessivo Vt ci sia una parte Vl di liquido e una parte Vg di gas; sarà evidentemente Vt = Vl+Vg
e ∆Vt = ∆Vl +∆Vg. Chiamando β il modulo relativo a tutto il volume, dalla sua definizione in termini
volumetrici potremo scrivere la precedente relazione delle variazioni volumetriche nella forma:
Vt
β
∆p = Vl
βl
da cui proseguendo:
Vt
β ∆p = Vt −Vg
βl
per arrivare a:
1 1
= +
β βl
Vg
Vt
∆p+ Vg
∆p, (12.32)
βg
� 1
∆p+ Vg
∆p, (12.33)
βg
βg
− 1
�
βl
spesso più semplicemente approssimabile con
1 1
≃ +
β βl
Vg
Vt
(12.34)
1
, (12.35)
βg
essendo βl ≫ βg. Da tale formula si vede come per un’inclusione volumetrica di gas dell’1%, ovvero per
Vg/Vt = 0.01, alla pressione media operativa atmosferica, βg ≡ 1 bar, un fluido idraulico con βl = 15000
bar abbia una rigidezza volumetrica effettiva di soli circa 100 bar, mentre alla pressione media operativa
di 150 bar si abbia un valore“solo”dimezzato. Questa è certamente una delle ragioni che ben evidenzia
l’opportunità dell’utilizzo di circuiti idraulici di potenza operanti a pressioni relativamente alte.
Ad ulteriore complemento si rileva che l’inclusione di aria nei circuiti idraulici operanti alla pressione
atmosferica può raggiungere valori ben maggiori dell’1%, mentre ad alte pressioni medie operative l’aria
tende a dissolversi nel liquido con minore degrado della rigidezza volumetrica dello stesso. Pur senza
dilungarci oltre, notiamo che un’ulteriore diminuzione della rigidezza apparente del fluido può imputarsi
anche alla deformabilità strutturale degli elementi che lo contengono.
Abbiamo già richiamato come la distinzione fra flussi comprimibili e non sia associata al numero di
Mach M e quindi alla velocità di propagazione del suono nel fluido. Può essere ora utile ricordare che
la velocità del suono altro non è che la velocità di propagazione delle piccole perturbazioni di campo nel
mezzo, approssimato come non dissipativo, ed è data da
c =
��
∂p
∂ρ
�
adiabatico
=
�
βa
. (12.36)
ρ
Come già ricordato, per i liquidi la distinzione fra comprimibilità isotermica e adiabatica è inessenziale,
mentre per i gas è necessario usare βa. Si ricorda che per i gas perfetti la celerità del suono, a partire
dalla (12.36), è data dalla
c = � γRT. (12.37)
12-8

Riprendendo il bilancio di massa dato dalla (12.1), qui ripetuto per chiarezza espositiva:
(ρAu) entrante −(ρAu) uscente = d(ρV)
, (12.38)
dt
dopo aver condotto buona parte della presentazione precedente sulla base dell’ipotesi di flusso incomprimibile
parrebbe naturale riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici, e cioè:
(Au) entrante −(Au) uscente = dV
, (12.39)
dt
essendo quindi ogni effetto instazionario attribuibile alla sola variabilità del volume di controllo, come nel
caso di un cilindro con pistone mobile o di una valvola con elemento di chiusura scorrevole. Ricordando
l’equazione di stato linearizzata
�
ρ = ρ0 1+ ∆p
�
(12.40)
β
e trascurando le dilatazioni termiche, è infatti facilmente verificabile che per i liquidi ∆p/β rimane
nell’ordine di soli alcuni punti percentuali anche per variazioni di alcune centinaia di bar, mentre per
i gas, essendo ∆p/β dell’ordine di ∆p/p l’effetto è sostanzialmente dipendente dalla pressione media
operativa, ma può comunque rimanere adeguatamente contenuto in presenza di una pressurizzazione
media adeguata. È comunque utile esplicitare tali considerazioni eseguendo alcuni passaggi. Sostituendo
allora l’equazione di stato linearizzata nel bilancio di massa abbiamo:
(ρAu) entrante −(ρAu) uscente = ρ dV
dt +ρ0
V
β
d∆p
, (12.41)
dt
che, assumendo ∆p/β sufficientemente minore di uno, permette di confondere ρ0 con ρ e quindi di
semplificare ρ e riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici:
(Au) entrante −(Au) uscente ∼ = dV
dt
+ V
β
d∆p
. (12.42)
dt
Tale formula mostra come, anche per flussi ben approssimabili come incomprimibili, in presenza di
relativamente elevate variazioni temporali di pressione e/o volumi non piccoli si possano introdurre
eccessive approssimazioni trascurando il termine
V
β
d∆p
. (12.43)
dt
La differenza essenziale fra liquidi e gas è allora legata alla pressione di riferimento implicita nell’equazione
di stato linearizzata. Infatti, come già detto, per i liquidi tale equazione può fornire una buona
approssimazione anche per variazioni di pressione di centinaia di bar e si può quindi scrivere anche assumendo
come pressione di riferimento la pressione nulla, e quindi direttamente in termini di pressione
assoluta:
(Au) entrante −(Au) uscente = dV
dt
V dp
+
β dt
(12.44)
e non di variazione ∆p. È anche opportuno ricordare che la pressione non può essere minore di zero,
corrispondendo infatti la pressione nulla al vuoto assoluto. Una banale constatazione da cui consegue
l’impossibilità di aspirare un liquido alla pressione atmosferica ad un altezza di più di 100000/(ρg) metri,
circa 10 m nel caso dell’acqua. Di fatto, a causa delle perdite di carico e della necessità di garantire una
portata adeguata, il fluido deve pervenire a destinazione con una velocità, e quindi energia cinetica,
adeguata, tale altezza è in pratica assai inferiore al limite sopra riportato. Inoltre, all’abbassarsi della
pressione a livelli significativamente inferiori alla pressione atmosferica, il fluido libera ogni gas in esso
disciolto e comincia a vaporizzare, diventando praticamente bifasico (gas-liquido); i gas disciolti e il suo
vapore formano bolle di varie dimensioni. Tale condizione è spesso fonte di varie forme di vibrazioni,
12-9

umore e generazione di sollecitazioni dinamiche. Quando poi il liquido viene assoggettato a ricompressione,
si possono generare fenomeni di erosione dovuti a pressioni intense e fortemente localizzate, causate
dall’esplosione delle bolle, che sono spesso in grado di rompere i legami intermolecolari del materiale con
cui vengono a contatto durante l’esplosione stessa, formando cavità ed erosioni distruttive. Il termine
generalmente usato per tali situazioni è quello di cavitazione. Concludiamo ricordando la scrittura del
bilancio globale della quantità di moto per un flusso stazionario applicato ad un volume di controllo fisso:
�
F = ρU(U·n) dS, (12.45)
S
essendo F la risultante di tutte le forze applicate al volume di controllo, U la velocità di efflusso e S
la superficie che racchiude il volume di controllo. Tale formula risulterà utile per determinare le forze
scambiate fra fluido e parti meccaniche, sia fisse che mobili.
12.1 Esempi di applicazione dei concetti richiamati
12.1.1 Colpo d’ariete
Perfino nelle normali condotte domestiche dell’acqua potabile è a volte possibile avvertire un colpo
metallico proveniente dalle tubazioni quando si chiude bruscamente un rubinetto ben aperto. Tale
“botto” è associato alla sovrapressione che si genera a causa della comprimibilità dell’acqua. Non ci
addentreremo qui in uno studio dettagliato del fenomeno, ma solo in un’analisi semplificata, in grado di
fornire però alcune utili indicazioni pratiche. Supponiamo allora che si sia stabilito un flusso stazionario
avente velocità media u in una tubazione di lunghezza L e area A; a tale flusso sarà associata un’energia
cinetica
T = 1
2 ρLAu2 . (12.46)
In conseguenza di una chiusura istantanea della condotta, il flusso viene improvvisamente bloccato all’uscita,
e comincerà a comprimersi, propagando, alla velocità del suono c e in senso retrogrado al flusso,
una sovrapressione che si accompagna ad un annullamento della sua velocità. Dopo un tempo L/c,
tutto il fluido avrà velocità nulla e, trascurando gli effetti gravitazionali, tutta l’energia cinetica si sarà
trasformata ed accumulata in energia elastica, che sarà data da:
�
E = − p dV. (12.47)
V
Il principio di conservazione della massa, applicato alla tubazione, ci dice che
dV
dt
o anche
V dp
+ = 0, (12.48)
β dt
dV = − V
dp, (12.49)
β
che, sostituita nell’integrale precedente, permette di scrivere
E = 1LA
2 β p2 . (12.50)
Eguagliando le due energie, si ricava la variazione di pressione massima conseguente ad una soppressione
istantanea del flusso:
�
β
∆pci = ρ u = ρcu (12.51)
ρ
12-10

Figura 12.1: Variazione di pressione massima in una condotta
che, va rilevato, non dipende dalla pressione già esistente nella condotta. È facile constatare che già con
un modesto flusso d’acqua, con velocità di circa un metro al secondo, si può instaurare una sovrapressione
di una decina di bar. Naturalmente, una chiusura istantanea del rubinetto di casa non è ipotizzabile
ma, come abbiamo già detto, zero non vuol mai dire zero di per sé, ma qualcosa di piccolo rispetto ad
una grandezza di riferimento. È allora evidente che la rapidità di chiusura non è un valore assoluto, ma
va collegata ad un tempo caratteristico legato al propagarsi della perturbazione ipotizzata. Tale tempo
può, riferendosi ad una compressione e riespansione completa, assumersi dato da
Tc = 2 L
, (12.52)
c
ragion per cui, per evitare sovrapressioni eccessive, sarà opportuno effettuare le manovre di chiusura
in tempi molto maggiori di tale quantità. Tale condizione si può facilmente soddisfare in occasione
di manovre di chiusura programmabili a priori, ma può imporre un vincolo inaccettabile in tutte le
operazioni di regolazione, sia di normale funzionamento che di emergenza, nelle quali è richiesta una certa
prontezza, ragion per cui è spesso opportuno provvedere con opportuni accorgimenti di progetto, su cui
non è opportuno qui dilungarsi. Chiaramente, l’esempio“domestico”viene fatto solo per immediatezza
intuitiva. Per un esempio più significativo basti pensare alle lunghe condotte in pressione che alimentano
leturbineidraulicheeagliimpiantiafluidochecontengonocomponentidiregolazioneconbandapassante
avente frequenze dell’ordine di 1/Tc. Il grafico di figura 12.1 permette una valutazione approssimata della
variazione di pressione massima ∆pmax che si sviluppa in una condotta in cui il fluido scorre alla pressione
p0 e la chiusura avviene con legge lineare su un tempo T. I simboli utilizzati sono:
K = ∆pic
2p0
, Tc = 2L T
, N =
c Tc
12.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio)
(12.53)
Si supponga che in un tubo di area At sia inserito un diaframma con un’apertura di area Ao, centrata
attorno all’asse del tubo, come illustrato in figura 12.2. Se Ao è significativamente minore di At, ovvero
se l’apertura è un orifizio, si ha in genere una forte contrazione del flusso, la cui minima sezione non si
stabilisce in coincidenza del diaframma ma in una sezione contratta, detta appunto di vena contracta,
12-11

Figura 12.2: Orifizio
poco a valle e di area Ac = CcAo, essendo Cc un opportuno coefficiente di contrazione. Allora, tra la
sezione 2 e una sufficientemente a monte della sezione 1 si possono scrivere le seguenti equazioni: dalla
(12.15)
Atut = Acuc, (12.54)
e dalla (12.4), ricordando la (12.14)
da cui
2∆p
ρ = u2 c (1+Kc)−u 2 t, (12.55)
1
uc = �
�
�
� (1+Kc)−
� �2 Ac
At
�
2∆p
. (12.56)
ρ
Più usualmente, però, le perdite dovute alla contrazione vengono tenute in conto riscrivendo la formula
(12.56) nella forma:
�
Cu 2∆p
uc = �
� � �
, (12.57)
2
�
ρ
Ac �1− At
dove Cu è un coefficiente, detto di velocità, lievemente inferiore ad uno, dell’ordine di 0.98, spesso
omesso essendo assai prossimo ad 1, il che corrisponde anche ad assumere perdite concentrate nulle e
quindi Kvc = 0. Si può allora scrivere la portata corrispondente in termini delle grandezze geometriche
effettive:
q = �
�
�
�1− CuCcAo
� �2 CcAo
At
�
che, definendo un coefficiente d’efflusso
Ce = �
�
�
�1− CuCc
�
CcAo
At
2∆p
, (12.58)
ρ
� 2 , (12.59)
12-12

si scrive più sinteticamente:
�
2∆p
q = CeAo . (12.60)
ρ
Nella prassi, Ce è il coefficiente di più facile valutazione sperimentale, dipende dal numero di Reynolds
ed è sensibilmente compreso fra 0.6 e 0.7 per rapporti di contrazione che soddisfino la relazione: 0.2 ≤
Ao/At ≤ 0.6. Per mantenersi consistenti con la relazione sopra illustrata, per il calcolo della portata da
un orifizio sarà allora opportuno calcolare la relativa velocità d’efflusso con:
uo = Ce
�
2∆p
. (12.61)
ρ
Va anche notato che nelle formule precedenti si è sempre assunto ∆p > 0 e che un’eventuale variazione del
segno del salto di pressione starebbe ad indicare l’inversione del flusso attraverso l’orifizio. Chiaramente,
sia la portata che la velocità d’efflusso sono grandezze con un verso, e quindi segno, e un’inversione di
flusso è sempre possibile. In relazione a tale eventualità, sarà opportuno scrivere:
q = CeAo
�
2|∆p|
sign(∆p) (12.62)
ρ
nella quale, qualora si evidenzino asimmetrie geometriche, si dovrà inoltre avere cura di utilizzare un Ce
dipendente anch’esso dal segno del salto di pressione. Una simile precauzione può essere evitata solo se
è possibile garantire l’impossibilità di inversione del flusso sulla base di considerazioni fisiche, ragion per
cui ∆p ≤ 0 diventerà invece una sicura indicazione di errori di calcolo e/o di modellazione. La presenza
del termine � 2∆p/ρ nelle formule presentate evidenzia chiaramente che tali formule non sono utilizzabili
per flussi laminari. In tale caso è infatti noto che la portata è invece proporzionale a ∆p, per cui si può
scrivere:
q = CelAo∆p. (12.63)
Si riportano quindi brevemente le espressionidi Cel per due geometrie di orifizi più comuni, valide quando
la dimensione massima degli stessi è molto minore della dimensione del tubo:
• per orifizi circolari:
Cel = d
; (12.64)
12.6µ
• per orifizi rettangolari e corone circolari di altezza molto inferiore alla circonferenza media:
Cel =
dimensione minima
. (12.65)
10.2µ
Anchesenonèunorifizio, ricordiamoquilaformulaperilCel delflussopianofraduepiastredilunghezza
L distanti h, con h/L molto minore di uno:
Cel = h2
12µL
(12.66)
Essendo h/L molto minore di uno, il flusso è sostanzialmente bidimensionale sia per intagli rettangolari
che circolari, e tale formula è assai utile per determinare le perdite di flusso conseguente ai giochi
costruttivi. Come già precedentemente ricordato a commento del bilancio di energia meccanica nelle
condotte, si rileva che le espressioni sopra ricavate valgono per flussi stazionari, ma verranno da noi
utilizzate anche nel caso non stazionario, essendo tale fenomeno dominato dalle variazioni di pressione e
dai termini inerziali convettivi.
12-13

12.1.3 Molla-smorzatore a fluido
Figura 12.3: Molla-smorzatore a fluido
Con riferimento alla figura 12.3, si assuma che il cilindro-pistone contenga un fluido inizialmente pressurizzato
uniformemente, in modo da non avere squilibri di pressione sulle due facce. Assumendo che
ogni successivo movimento sia effettuato in modo da causare variazioni di pressione tali da permettere
di utilizzare il bilancio di massa basato sull’equazione di stato linearizzata (12.42), ricordando la (12.63),
potremo scrivere:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∆ ˙
P1 =
∆ ˙
P2 =
β
Apx (−Ap˙x−CeliAeli(∆P1 −∆P2)−CeleAele∆P1)
β
Ap(L−x) (Ap˙x+CeliAeli(∆P1 −∆P2)−CeleAele∆P2),
(12.67)
dove L è la corsa del pistone, e i termini di scambio di fluido, fra le due camere e verso l’esterno, sono
formulati assumendo un flusso laminare, ritenendo quindi che gli accoppiamenti cilindro-pistone e stelosupporti
siano sufficientemente precisi da garantire giochi tali da mantenere il numero di Reynolds ben
dentro i limiti di laminarità in ogni condizione operativa. Celi è il coefficiente di efflusso laminare interno
attraverso l’area anulare Aeli attorno al pistone, Cele è il coefficiente di efflusso laminare verso l’esterno
attraverso i supporti dello stelo. Supponendo che l’attrito che si stabilisce fra cilindro e pistone e fra
stelo e supporti sia approssimabile con una dissipazione viscosa di coefficiente r, la forza generata dalla
molla-smorzatore sarà:
F ′ = (∆P1 −∆P2)Ap −r˙x. (12.68)
Le formule di cui sopra possono essere sintetizzate nella seguente forma matriciale:
• equazione di stato:
�
∆P1 ˙
∆ ˙
�
= −
P2
β
⎡
⎢
⎣
• equazione di uscita:
Ap
⎢
+β ⎣
CeliAeli +CeleAele
x
⎡
F ′ � �
= −Ap −1 1 � ∆P1
∆P2
− CeliAeli
−
x
CeliAeli
L−x
−
⎤
� �
⎥ ∆P1
⎦
CeliAeli +CeleAele ∆P2
L−x
1
⎤
x ⎥
1
⎦ ˙x;
L−x
(12.69)
�
−r˙x; (12.70)
12-14

le quali mostrano come il sistema risponda con la generazione di una forza ad un movimento assegnato
definito da x, ˙x. Si deve rilevare che il comportamento della molla-smorzatore a fluido non solo sia non
lineare, per la presenza dello spostamento x a denominatore, ma sia anche caratterizzato da un sistema
di equazioni differenziali che non permettono di definire la forza come puntualmente dipendente dai
valori istantanei di x, ˙x, poiché la stessa viene a dipendere dall’integrazione di un sistema di equazioni
differenziali e quindi dalla storia del movimento.
Caso limite: smorzatore Solo nel caso in cui il coefficiente di comprimibilità sia talmente elevato, e
i movimenti sufficientemente lenti da rendere le derivate delle variazioni di pressione trascurabili rispetto
alla variazione temporale delle pressioni nelle due camere, il sistema sarà approssimabile con la semplice
relazione algebrica:
⎛
F ′ ⎜
= −⎜
⎝ A2 p
⎡
� �⎢
−1 1 ⎣
− CeliAeli +CeleAele
x
CeliAeli
L−x
CeliAeli
x
− CeliAeli +CeleAele
L−x
⎤
⎥
⎦
−1⎡
⎢
⎣
− 1
x
1
L−x
⎤
⎞
⎥ ⎟
⎦+r ⎟
⎠ ˙x. (12.71)
In tal modo è sì possibile una relazione algebrica che permette di determinare la forza esercitabile dalla
molla-smorzatore a fluido, ma il comportamento rimane comunque non lineare, ed una linearizzazione
è possibile solo per piccole perturbazioni attorno ad una condizione di riferimento, ovvero ad un dato
valore di x.
Caso limite: molla Si noti che una forza dipendente dalla sola posizione è possibile solo con tenute
perfette e senza nessun attrito di contatto, nel qual caso si ha una molla a fluido:
si ha
CeliAeli = CeleAele = 0, (12.72)
� ∆ ˙
P1
∆ ˙
P2
⎡
�
⎢
= β⎣
− 1
x
1
L−x
⎤
⎥
⎦ ˙x (12.73)
che, per integrazione (trascurando la dipendenza da x del termine forzante), dà
� ∆P1
∆P2
⎡
�
⎢
= β⎣
− 1
x
1
L−x
⎤
⎥
⎦(x−x0). (12.74)
La forza diventa
F ′ � �
= −Ap −1 1 � �
∆P1
∆P2
� �
1 1
= −βAp + (x−x0)
x L−x
L
= −βAp
x(L−x) (x−x0), (12.75)
che rappresenta un elemento elastico non lineare, la cui linearizzazione attorno a x = x0 dà:
F ′ L
= −βAp ∆x. (12.76)
x0(L−x0)
Si noti come il minimo della rigidezza equivalente si abbia per x0 = L/2, mentre questa tenda ad infinito
quando x0 è tale da far tendere a zero il volume di una delle camere.
12-15

12.1.4 Attuatore idraulico lineare
Figura 12.4: Attuatore idraulico lineare
Se nel cilindro studiato nel caso precedente, che supponiamo attuato con un liquido, apriamo due luci di
alimentazione che, grazie ad una valvola di distribuzione, possiamo collegare sia ad una elevata pressione
dialimentazione, ritenutacostante, Pa, cheaunapressionediscaricoPs (spessolapressioneatmosferica),
otteniamo un attuatore, leggasi anche motore, idraulico lineare, ovvero una macchina che genera uno
spostamento o una forza, illustrato in figura 12.4. Utilizzando i concetti qui presentati, il comportamento
di tale sistema è modellabile tramite il seguente sistema di equazioni differenziali non lineari:
• bilancio di massa nelle due camere, dalle (12.67) e (12.60):
˙
P1 =
˙
P2 =
⎛
�
β
⎝−Ap˙x−CeliAeli(P1 −P2)−CeleAele(P1 −Pe)+CeAic
Apx
2
ρ (Pa
⎞
−P1) ⎠
⎛
�
β
⎝Ap˙x+CeliAeli(P1 −P2)−CeleAele(P2 −Pe)−CeAuc
Ap(L−x)
2
ρ (P2
⎞
−Ps) ⎠;
• equazione di moto del pistone:
M¨x = Ap(P1 −P2)−r˙x−F, (12.77)
essendo F una generica forza esterna applicata alla stelo (opposta allo spostamento x).
12-16

Anch’esse sono sintetizzabili in forma matriciale nella seguente:
⎡
0 1 0 0
⎧ ⎫ ⎢
⎪⎨
˙x ⎢
⎪⎬ ⎢ 0 −
¨x ⎢
P1
˙ = ⎢
⎪⎩ ⎪⎭ ⎢
P2
˙ ⎢
⎣
r
M
Ap
M
− Ap
0 −
M
β
x
−β CeliAeli +CeleAele
Apx
β CeliAeli
0
Apx
⎡
⎢
+ ⎢
⎣
βCe
Apx
�
2
β
L−x
0 0
0 0
β CeliAeli
Ap(L−x)
ρ (Pa −P1) 0
�
βCe 2
0 −
Ap(L−x) ρ (P2
⎥
⎦
−Ps)
−β CeliAeli +CeleAele
Ap(L−x)
⎤
� Aic
Auc
⎡
⎢
� ⎢
+ ⎢
⎣
0
0
⎤
⎥⎧
⎥
⎥⎪⎨
⎥
⎥⎪⎩
⎥
⎦
β CeleAele
Apx
β CeleAele
Ap(L−x)
x
˙x
P1
P2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥Pe−
⎢
⎥ ⎣
⎦
(12.78)
0
1
M 0
0
⎤
⎥
⎦ F,
(12.79)
dalla quale si vede che si può controllare il movimento del pistone e la forza generata controllando le
portate di fluido nelle camere del cilindro tramite le aperture Aic, Auc. Spostanto opportunamente la
valvola a cassetto è possibile anche invertire il collegamento tra le camere del pistone e le pressioni di
alimentazione e scarico. In questo modo il comportamento dell’attuatore è perfettamente simmetrico.
12-17

12-18

Capitolo 13
Sistemi vibranti ad un grado di
libertà — Parte II
Generato il 16 gennaio 2012
13.1 Identificazione dello smorzamento
13.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero
Nell’ipotesi di avere uno smorzamento di tipo viscoso, la risposta del moto libero è retta da una legge
del tipo
x(t) = |X|e −ξω0t �� �
sin 1−ξ 2ω0t+φ (13.1)
Negli istanti di tempo t per cui
�� �
sin 1−ξ 2ω0t+φ = 1 (13.2)
la risposta è tangente all’inviluppo esponenziale
|X|e −ξω0t ; (13.3)
tuttavia le tangenti non sono orizzontali, e i punti di tangenza sono leggermente spostati a destra del
punto di massima ampiezza. Generalmente questo fatto è trascurabile e l’ampiezza del punto di tangenza
può essere considerata coincidente con l’ampiezza al punto di massimo dell’oscillazione. Con riferimento
alla simbologia indicata in figura, il decremento logaritmico tra due oscillazioni consecutive è
� � � � −ξω0t
x1 |X|e
δ = ln = ln = ξω0T (13.4)
x2
|X|e −ξω0(t+T)
Dal momento che il periodo di una oscillazione è
si ottiene
T = 2π
ω =
ω0
2π
�
1−ξ 2
(13.5)
δ = 2πξ
� ∼= 2πξ (13.6)
1−ξ 2
ove l’approssimazione si può ritenere valida per valori di ξ relativamente piccoli (si noti che per ξ = 0.1
l’errore è dello 0.5%, mentre per ξ = 0.3 l’errore è del 5%). La validità dell’approssimazione è illustrata
in figura 13.2.
Si noti inoltre che, per ξ = 0.1, l’attenuazione è x2/x1 = e −ξω0T ∼ = 0.53, ovvero l’ampiezza dell’oscillazione
su un periodo è quasi dimezzata. Ne consegue che il segnale si attenua molto rapidamente.
13-1

Figura 13.1: Identificazione dello smorzamento.
Figura 13.2: Validità dell’approssimazione dello smorzamento identificato mediante la relazione (13.6).
13-2

13.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato
Per una forzante armonica del tipo
F (t) = F0sin(ωt) (13.7)
il lavoro introdotto in un periodo in un sistema meccanico è pari a
�
L =
T
F dx (13.8)
e supponendo il sistema a regime con legge del moto
x(t) = |X|sin(ωt+φ) (13.9)
ne deriva quindi che
dx = dx
dt = |X|ωcos(ωt+φ)dt (13.10)
dt
e quindi la (13.8) diventa 1
L = ωF0|X|
� 2π
ω
0
sin(ωt)cos(ωt+φ) dt = −πF0|X|sinφ (13.12)
dove si è sfruttata la relazione T = 2π/ω tra periodo e pulsazione. Nell’ipotesi di smorzamento viscoso,
quindi con FD = −r˙x e fase φ = π/2, il lavoro dissipato 2 a regime è
�
LD =
T
−r˙x dx = −ω 2 r|X| 2
� 2π
ω
0
cos 2 (ωt+φ) dt = −ωπr|X| 2
(13.13)
Imponendo l’annullamento della somma del lavoro (13.12) compiuto dalla forzante F e di quello (13.13)
assorbito dallo smorzamento viscoso si ottiene
L+LD = −πF0|X|sinφ−ωπr|X| 2 = 0, (13.14)
da cui è possibile ricavare il valore dello smorzamento
r = − F0sinφ
ω|X|
(13.15)
a seguito del rilevamento sperimentale del modulo |X| e della fase φ della risposta del sistema ad una
forzante armonica (si ricordi che per un sistema ad un grado di libertà −π < φ ≤ 0), di cui siano noti
ampiezza F0 e pulsazione ω.
Dalla misura dell’energia dissipata scopriamo che, a parità di ampiezza |X| della risposta, il lavoro
dissipato varia proporzionalmente con la pulsazione ω, mentre a parità di pulsazione si modifica con il
quadrato dell’ampiezza della risposta.
1 Si ricordi che, secondo le formule di prostaferesi,
cos(ωt+φ) = cos(ωt)cosφ−sin(ωt)sinφ (13.11)
e che l’integrale sul periodo del prodotto di funzioni ortogonali dà zero, a meno che non si tratti della stessa funzione,
ovvero del quadrato di una funzione; quindi nella (13.12) solo il termine sin 2 (ωt) dà integrale diverso da zero.
2 È relativamente agevole verificare che il lavoro compiuto su un periodo dalle forze elastiche e di inerzia per il movimento
armonico descritto dalla (13.9) è nullo; di conseguenza, se la forzante compie lavoro, questo non può che essere assorbito
dalle forze dissipative.
13-3

13.1.3 Smorzamento isteretico
A dispetto di quanto evidenziato nel paragrafo precedente, molte esperienze di laboratorio hanno mostrato
che se il fenomeno dissipativo è legato a fenomeni d’isteresi, come spesso avviene ad esempio per lo
smorzamento delle vibrazioni nelle strutture metalliche, l’energia dissipata in un ciclo è indipendente
dalla frequenza di vibrazione, e dipende solamente dal quadrato dell’ampiezza di deformazione e quindi
di vibrazione, per cui
ovvero
LD ÷−|X| 2 → LD = −α|X| 2
(13.16)
LD = −ωπreq|X| 2 = −α|X| 2 . (13.17)
Da questa si ricava uno smorzamento equivalente, all’equilibrio, dato da
req = 1 α
ω π
(13.18)
per cui l’equazione differenziale, la cui soluzione descrive il moto del sistema quando è forzato armonicamente
alla frequenza ω, diventa
m¨x+ 1 α
ω π ˙x+kx = F0sin(ωt) (13.19)
il cui integrale particolare ha un’ampiezza
F0
|X| = �
�
�
� (k −ω2 2
m) +
che in risonanza vale
|X| = F0
α/π
� �2 α
π
(13.20)
(13.21)
Si noti che l’equazione (13.19) non è in grado di descrivere il comportamento generale del sistema, in
quanto il coefficiente che moltiplica ˙x dipende dalla pulsazione ω della forzante; quindi è in grado di
descrivere solamente il comportamento del sistema soggetto ad una forzante armonica alla frequenza ω.
La conclusione è che lo smorzamento viscoso, descritto dalla relazione costitutiva FD = −r˙x, consente
di introdurre smorzamento nei modelli matematici dei sistemi fisici preservando i vantaggi dell’uso di
modelli lineari o linearizzati, ma l’evidenza sperimentale mostra che in alcuni casi non descrive in modo
adeguato la natura della dissipazione che ha luogo nei meccanismi durante i fenomeni di vibrazione.
Tuttavia, vista l’importanza dello studio di fenomeni meccanici quali le vibrazioni, sia libere che forzate
armonicamente, la possibilità di tarare empiricamente il coefficiente di smorzamento ξ in funzione della
pulsazione ω della forzante consente comunque di utilizzare il modello viscoso, introducendo quindi il
fenomeno fondamentale della dissipazione dell’energia associata alle vibrazioni, tenendone ben presenti i
limiti di applicabilità.
13.2 Isolamento delle vibrazioni
Come abbiamo visto, la forzante armonica impressa al nostro oscillatore potrebbe essere dovuta a un
macchinario ruotante con velocità angolare ω posto sulla massa di fondazione.
La forza trasmessa al terreno, al generico tempo t, sarà
Ftr(t) = kx+r˙x = kXe iωt +irωXe iωt = (k +irω)Xe iωt = Ftre iωt
13-4
(13.22)

dove
ovvero
�
F0 k
|Ftr| =
2 +(rω) 2
�
(k −mω2 ) 2 +(rω) 2
|Ftr|
F0
Figura 13.3: Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno.
Figura 13.4: Sistema soggetto a vibrazione del terreno.
�
� �
�
�1+ 2ξ
=
ω
�2 ω0
�
�⎛
�
� � ⎞
2
2 �
� ω
�⎝1−
⎠ + 2ξ
ω0
ω
ω0
� 2
(13.23)
(13.24)
Come visto in precedenza, questa forzante armonica applicata al terreno lo porterà a vibrare con
un’ampiezza b, ovvero con una legge del tipo descritto dalla (6.64), che forzerà le strutture circostanti,
come illustrato in figura 13.4.
Per questa struttura l’equazione di equilibrio dinamico è
ovvero
m¨x+r(˙x− ˙y)+k(x−y) = 0 (13.25)
m¨x+r˙x+kx = r˙y +ky = b(iωr +k)e iωt
13-5
(13.26)

Figura 13.5: Modulo e fase della risposta di un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel disegno ω/ω0
è indicato con ω/ωn, lo smorzamento r è indicato con c, mentre la fase φ è rappresentata con segno
opposto).
e il relativo integrale particolare è
con
xp = |X|e i(ωt+φ)
|X| =
�
b k2 +(rω) 2
�
(k −mω2 ) 2 +(rω) 2
ovvero
|X|
b =
�
� �
�
�1+ 2ξ ω
�2 ω0
�
�⎛
�
� � ⎞
2
2 �
� ω
�⎝1−
⎠ + 2ξ
ω0
ω
ω0
� 2
(13.27)
(13.28)
(13.29)
Sinotichepuressendoduefenomenidiversi,lasoluzioneèdeltuttoanalogaaquelladellaforzatrasmessa,
descritta dalla (13.24). In entrambi i casi interessa che la soluzione sia ≪ 1 tanto per la forza trasmessa
|Ftr|/F0 al terreno quanto per la trasmissibilità β = |X|/b.
I parametri di progetto sono:
• per la macchina eccitatrice la massa M, la pulsazione di funzionamento a regime ω e il momento
statico di eccenticità me, prodotto della massa eccentrica m e della distanza dal centro di rotazione
e;
• per la struttura eccitata la massa m, l’ampiezza dello spostamento imposto b e ovviamente la
pulsazione ω dell’eccitazione, che è uguale a quello della macchina sbilanciata.
Diagrammiamo l’andamento di β = |X|/b al variare di ω/ω0. Si nota che per ω/ω0 = √ 2 la
trasmissibilità è pari a 1 e che al crescere del rapporto tra le frequenze la trasmissibilità scende fino
a tendere asintoticamente a zero per ω/ω0 → ∞. Questo fatto avviene indipendentemente dal valore
dell’indice di smorzamento ξ, il cui effetto è, al suo aumento, di ridurre l’ampiezza di vibrazione per
ω/ω0 = 1, ma d’altra parte, rallenta la diminuzione di β per ω/ω0 → ∞.
13-6

Riassumendo, converrebbe quindi scegliere ω/ω0 > √ 2, e quindi la rigidezza k < mω 2 /2, e nel
contempo avere valori del fattore di smorzamento ξ piccoli per non ricorrere a rigidezze k troppo piccole,
che comportano, ad esempio, frecce statiche elevate. Poiché abbiamo scelto di far operare la fondazione
con ω/ω0 > √ 2, ciò significa che tutte le volte che il macchinario viene avviato o arrestato, entrambe
le fondazioni, durante il transitorio, si troveranno a passare per ω/ω0 = 1 e quindi non conviene avere
valori dell’indice di smorzamento troppo piccoli, o addirittura trascurabili, in quanto ciò porterebbe ad
ampiezze in risonanza elevate che creerebbero problemi ai collegamenti verso l’esterno del macchinario.
In secondo luogo, operare con valori di ξ piccoli significa anche non poter più trascurare l’integrale
generale dell’omogenea associata, che partecipa alla soluzione completa, perché torna a essere presente
tutte le volte che avvengono delle perturbazioni, per quanto piccole, delle condizioni di regime, e la sua
cancellazione può richiedere un numero elevato di cicli.
I problemi maggiori vengono, tuttavia, creati dalla rigidezza k. Dal diagramma di figura 13.5 si vede,
ad esempio, che per ridurre del 60% le vibrazioni nelle strutture circostanti dobbiamo avere ω/ω0 > 2,
ovvero k < mω 2 /4.
Tale ragionamento porterebbe a scegliere ω0 → 0, ma in tale caso
δst = mg
k
= g
ω 2 0
(13.30)
ovvero lo schiacciamento statico è inversamente proporzionale al quadrato della pulsazione caratteristica
del sistema, per cui dovremmo realizzare fondazioni con frecce statiche molto grandi, e tale problema è
ovviamente di impossibile soluzione se abbiamo macchine lente in cui ω è dell’ordine di qualche centinaio
di giri/min.
Per un’asta omogenea ed uniforme, la rigidezza k è esprimibile come
k = F F FE
= =
∆h hε hσ
= FEA
hF
= EA
h
(13.31)
quindi per ridurre k, scelto un materiale e quindi il modulo di elasticità E, dovremo avere delle aree A
piccole e degli spessori h degli elementi elastici (ad esempio un tappeto di gomma) grandi. Ma, perché
la molla sia in grado di sopportare un certo carico, ad esempio quello statico, deve valere la relazione
quindi
ovvero
A > F
>
σamm
mg
σamm
k > mgE
σammh
ω0 =
�
k
m >
�
gE
σammh
(13.32)
(13.33)
(13.34)
da cui si nota che per avere una bassa pulsazione caratteristica ω0 ed essere contemporaneamente in
grado di sostenere la sollecitazione statica si dovrebbero avere bassi valori di E e corrispondentemente,
impossibili nei materiali, alti valori di σamm e comunque alti valori di h, che potenzialmente creerebbero
problemi di instabilità delle aste caricate di punta.
13.3 Strumenti di misura delle vibrazioni
Tra le applicazioni del nostro oscillatore degna di nota è la misura delle vibrazioni assolute di un corpo,
come illustrato in figura 13.6.
Con riferimento alle grandezze indicate nella figura 13.6 e ai relativi versi positivi degli spostamenti,
avremo che
Ksx0 +B˙x0 = M¨xM = M (¨xi − ¨x0) (13.35)
13-7

Figura 13.6: Strumento di misura delle vibrazioni assolute di un corpo.
dove xi è il movimento del telaio, che rappresenta un cedimento imposto del vincolo, mentre xM è lo
spostamento assoluto della massa M, e x0 = xi−xM è lo spostamento relativo 3 , ovvero la grandezza che
viene direttamente misurata per determinare, in via indiretta, il movimento xi imposto alla cassa dello
strumento.
La (13.35) può essere riscritta usando le nostre consuete notazioni come
dove
kx0 +r˙x0 = M¨xM = M (¨xi − ¨x0) (13.36)
xi(t) = |Xi|sin(ωit+ψi) (13.37)
è l’andamento temporaledell’i-esimacomponentearmonica (seriedi Fourier)dello spostamentoincognito
x(t) del vincolo.
Riordinando l’equazione avremo
M¨x0 +r˙x0 +kx0 = −ω 2 i |Xi|Me i(ωit+ψi)
di cui l’integrale particolare ha coefficiente complesso
|Xi|Me iψi
−
X0i = −ω2 i
−ω2 =
iM +k +irωi
1−
� �2 ωi
|Xi|e
ω0
iψi
� �2 ωi
ω0
+i2ξ ωi
ω0
(13.38)
= |X0i|e iφi (13.39)
con ω0 = � k/M e ξ = r/rc = r/(2Mω0).
Se riferiamo le fasi della risposta a quelle delle componenti armoniche avremo che
X ′ 0i =
1−
da cui si ottiene
|X ′ 0i |
|Xi| =
−
� �2 ωi
ω0
� �2 ωi
ω0
�
�⎛
�
�
�⎝1−
|Xi|
+i2ξ ωi
−
� ωi
ω0
ω0
� �2 ωi
ω0
� 2 ⎞
⎠
2
= |X0i|e i(φ−ψi) = |X0i|e iβi (13.40)
+
�
2ξ ωi
�2 ω0
3 Si noti che, come indicato nella figura, il verso di x0 è opposto a quello di xM e xi
13-8
(13.41)

e
βi = −tan −1
⎜ 2ξ
⎜
⎝
ωi
ω0
�
ωi
1−
Figura 13.7: Risposta dello strumento di misura delle vibrazioni.
⎛
ω0
� 2
⎞
⎟
⎠
(13.42)
Si nota, quindi, che, se ωi ≫ ω0 (almeno 4÷5 volte) la misura dell’ampiezza della vibrazione relativa
permette di ricavare quella incognita di trascinamento. Ovviamente, affinché la misura non sia distorta,
|X0i|/|Xi| deve essere costante e βi = nπ (con n=0,1,2,...,N) per i = 1,2,3,...,N.
Questa esigenza comporta che il sismografo, tale è il nome dello strumento, abbia una frequenza
propria ω0 < ω1/4, dove ω1 è la prima delle armoniche significative del segnale che si intende misurare,
e tale condizione verifica automaticamente che non vi sia distorsione per le componenti armoniche di
ordine superiore.
I sismografi sono quindi strumenti pesanti e ingombranti, dovendo avere una frequenza propria necessariamente
bassa; normalmente si usano indici di smorzamento ξ dell’ordine di 0.6-0.7 per ridurre l’effetto
delle condizioni iniziali.
Nel caso duale di ωi ≪ ω0 risulta che |X0i|/|Xi| → 0, per cui
¨xM (t) = ¨xi(t)− ¨x0(t) ∼ = ¨xi(t) (13.43)
e la forza d’inerzia agente sulla massa M è praticamente dovuta al solo moto di trascinamento, per cui, se
riuscissimoamisurarela reazionedellamolla, questa, a menodelguadagno, sarebbepari all’accelerazione
incognita del vincolo.
Ovviamente la necessità di non distorcere la misura comporta che la condizione ωi ≪ ω0 sia verificata
per la massima frequenza presente nello sviluppo in serie del segnale incognito, ovvero ω0 deve essere
dell’ordine dei kHz. Dobbiamo avere, quindi, massa M molto piccola e rigidezza k molto grande.
Spesso come elemento elastico si usa una lastra di quarzo, materiale piezoelettrico 4 che, se sollecitato
lungo l’asse elettrico, produce sulle facce ortogonali all’asse delle cariche di segno opposto proporzionali
4 Letteralmente, un materiale che genera una carica elettrostatica per effetto di uno sforzo. Si tratta di materiali polari
che, deformati o caricati lungo direzioni preferenziali, si polarizzano elettricamente, producendo un dipolo elettrico e quindi
una carica di spostamento, in analogia con i condensatori piani le cui piastre siano spostate. Il legame costitutivo, qui
ridotto per semplicità in forma monodimensionale, è formato da una parte elastica
σ = Eε−eE (13.44)
e da una dielettrica
D = eε+ǫE (13.45)
13-9

Figura 13.8: Accelerometro piezoelettrico.
alla forza applicata (circa 2 pC/N). L’uso del quarzo limita la frequenza minima di misura (dell’ordine
dell’Hz).
Riscrivendo l’equazione differenziale in coordinate assolute
M¨xMi +r˙xMi +kxMi = r˙xi +kxi = (iωir +k)|Xi|e i(ωt+ψi)
otteniamo l’integrale particolare
con
ovvero
e
xMi(t) = XMie iωit
XMi =
(13.46)
(13.47)
(k +iωir)|Xi|e iψi
k −Mω 2 i +iωir = |XMi|e iβi (13.48)
|XMi|
|Xi| = |Hi| =
�
k 2 +(ωir) 2
�
(k −Mω 2 i )2 +(ωir) 2
βi = −tan −1
�
ωir � 2k −Mω 2 �
i
−k2 +kMω 2 �
2
i +(ωir)
(13.49)
(13.50)
Utilizzando, a esempio, un fattore di smorzamento ξ = 0.7 si nota che la fase varia, per un range di
frequenza compreso tra 0.6ω0 e ω0, con legge pari a βi ÷ωi/ω0.
dove σ e ε sono i consueti sforzi e deformazioni, D ed E sono rispettivamente lo spostamento dielettrico ed il campo elettrico,
E è la rigidezza del materiale, ǫ è la sua costante dielettrica ed infine e è la costante piezoelettrica. Quindi uno strumento
di questo tipo consente di tradurre una misura di sforzo o di deformazione direttamente in una misura elettrica, fatte salve
esigenze ulteriori di condizionamento ed amplificazione del segnale.
13-10

13.4 Risposta a forzante impulsiva
13.4.1 Impulso di quantità di moto
Si consideri un generico sistema meccanico ad un grado di libertà,
m¨x+kx = f (t). (13.51)
La forzante f (t) sia un impulso. Per il momento, la si consideri semplicemente una forzante che vale 0
lontano da t0, e che abbia un valore tendente ad infinito per t = 0. A questa definizione poco rigorosa si
affianca il requisito che l’integrale dell’impulso sia però finito, e valga f1.
La durata dell’evento impulsivo deve essere trascurabile rispetto alla scala dei tempi del problema,
definita da T = 2π/ω0 = 2π/ � k/m.
Siccome la forzante impulsiva ha durata infinitesima, mentre la forza è diversa da zero, non possono
ragionevolmente avere luogo variazioni finite di x, per cui il contributo delle forze elastiche kx ad
equilibrare l’ingresso sarà nullo. Il valore della forza tende istantaneamente ad infinito; l’accelerazione
che ne consegue tenderà anch’essa istantaneamente ad infinito. Siccome l’integrale della forza è finito, e
l’integrale di una forza nel tempo corrisponde ad un impulso di quantità di moto, ad esso corrisponderà
una variazione finita di quantità di moto del sistema, ovvero
� +∞
−∞
f (t) dt = ∆q =
� 0 +
0 −
f (t) dt = m � ˙x � 0 +� − ˙x � 0 −�� , (13.52)
dove ˙x(0 − ) e ˙x(0 + ) hanno il significato di velocità ‘appena prima’ e ‘appena dopo’ l’applicazione della
forzanteimpulsiva. Diconseguenza,l’applicazionediunaforzanteimpulsivacorrispondeadunarepentina
modifica delle condizioni iniziali di velocità del problema, in corrispondenza del tempo t = 0, pari a
∆˙x = f1
. (13.53)
m
Ne consegue che, intuitivamente, risolvere un problema di forzamento impulsivo corrisponde a risolvere il
problema omogeneo, nel quale l’effetto dell’impulso si manifesta in una modifica delle condizioni iniziali.
13.4.2 Impulso
Un impulso è una funzione che per una durata tendente a zero assume un valore molto elevato, tendente
ad infinito, mentre è nulla al di fuori di quell’intervallo di tempo. Tuttavia, l’integrale nel tempo di tale
funzione, su un dominio che comprenda l’intervallo in cui non è nulla, è finito.
Al di là della sua formalizzazione matematica, accennata nel seguito ma sostanzialmente lasciata a
corsi successivi, si pensi ad un impulso come a qualche cosa che ha luogo in un tempo molto limitato
rispetto alla scala dei tempi caratteristica del problema che si sta analizzando. Se ciò è vero, l’espressione
precisa dell’impulso in funzione del tempo non ha molta importanza, ciò che conta è l’effetto che esso ha
sul sistema.
Come indicato in figura 13.9, si immagini che l’impulso, convenzionalmente definito all’istante t = 0,
abbia forma rettangolare, ovvero sia nullo per t < −a/2 e t > a/2, e assuma il valore b per −a/2 <
t < a/2, senza (per ora) precisare quanto valga per t = ±a/2. Questo equivale a descriverlo come una
sequenza di due scalini di ampiezza uguale e segno opposto, distanziati di un tempo a.
L’integrale rispetto al tempo tra −∞ e +∞ dell’impulso così definito vale ab; se si assume convenzionalmente
che tale valore sia 1, si ottiene l’ampiezza dell’impulso b = 1/a. Quindi, se la durata a tende
a 0, l’ampiezza tende ad infinito, ma l’integrale rimane finito.
È possibile immaginare altre funzioni con caratteristiche analoghe, ma più regolari, come quelle
illustrate in figura 13.10: un triangolo di base 2a e altezza b (funzione con continuità C 0 ), la funzione
(1+cos(πt/a))b/2 in [−a,a] (funzione con continuità C 1 ), ecc. Il loro limite per a → 0 è lo stesso, come
pure il loro integrale.
La funzione δ(t) si chiama“delta di Dirac”, e non è una vera e propria funzione, ma viene definita
nell’ambito delle funzioni generalizzate o distribuzioni. Come anticipato, gode della proprietà
� +∞
−∞
δ(t) dt = 1, (13.54)
13-11

a
Figura 13.9: Approssimazione di un impulso come sequenza di due scalini.
b
2a
rettangolo
� �
1+cos 2π t
��
b
a 2
triangolo
Figura 13.10: Approssimazioni di un impulso.
e vale 0 per t �= 0 mentre tende ad infinito per t = 0. La figura 13.11 mostra la rappresentazione grafica
della funzione δ(t).
L’impulso può essere interpretato come la derivata della funzione “scalino”, indicata con step(t)
e rappresentata in figura 13.12. Quest’ultima è definita come il limite di una funzione infinitamente
derivabile, che vale 0 per t → −∞ e 1 per t → +∞, che passa per 1/2 per t = 0, e che è dispari
rispetto a tale punto, ovvero step(−t) = 1−step(t). Dal momento che la funzione scalino, così definita,
è infinitamente derivabile, anche l’impulso è infinitamente derivabile. Inoltre, l’impulso è pari rispetto
all’origine, ovvero δ(−t) = δ(t).
Come approssimazione della funzione scalino, si consideri, per esempio, la funzione (1+tanh(αt))/2,
quando α → +∞. La figura 13.13 ne mostra l’andamento per alcuni valori di α. La sua derivata è
(1−tanh 2 (αt))α/2, e al limite per α → +∞ si comporta come le approssimazioni di impulso definite in
precedenza. La figura 13.14 ne mostra l’andamento per i medesimi valori di α.
0
Figura 13.11: Funzione impulso: δ(t).
13-12
t
t
t

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
α = 1
α = 10
α = 100
1
0
Figura 13.12: Funzione scalino: step(t).
-1 -0.5 0 0.5 1
Time
Figura 13.13: Funzione scalino approssimata come (1+tanh(αt))/2.
13-13
t

50
40
30
20
10
0
-1 -0.5 0 0.5 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
α = 1
α = 10
α = 100
α = 1
α = 10
α = 100
Time
-1 -0.5 0 0.5 1
Figura 13.14: Impulso approssimato come derivata di (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la
funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per consentirne il
confronto visivo.
Time
13-14

fd0 = f(0+ )−f(0 − )
f(0 + )
f(0 − )
fd0 step(t)
fc(t)
f(t)
Figura 13.15: Funzione discontinua con salto.
Esercizio 13.1 Si propongano altre funzioni che approssimano la funzione scalino al tendere a +∞ del
loro parametro che ne definisce la pendenza nell’origine.
Una funzione f(t) che presenta discontinuità con salto in t = 0 può essere espressa come composizione
di una parte regolare, fc(t), a cui si aggiunge una costante fd0 moltiplicata per la funzione scalino, ovvero
f (t) = fc(t)+fd0 step(t), (13.55)
come illustrato in figura 13.15. La costante fd0 rappresenta la differenza tra i limiti destro e sinistro
della funzione discontinua, ovvero fd0 = f(0+ ) − f(0− ). Questa funzione diventa derivabile, in senso
generalizzato, in tutto il dominio:
d d
f (t) = fc(t)+fd0 δ(t), (13.56)
dt dt
in quanto la derivata dello scalino è l’impulso. In base a ragionamenti analoghi, basati sull’uso della
funzione“rampa”, indicata con ramp(t), si possono definire funzioni continue ma non derivabili in senso
stretto.
Esercizio 13.2 Si mostri come una funzione continua, ma con una discontinuità con salto nella derivata
prima, può essere rappresentata mediante la funzione ramp(t).
L’impulso gode di altre proprietà interessanti. Una proprietà, nota come proprietà del campionamento,
afferma che il prodotto tra la funzione δ(t) e una generica funzione f (t) è
f (t)δ(t) = f (0)δ(t). (13.57)
Non ne viene data dimostrazione.
Un’altra, estremamente importante, è :
� +∞
−∞
f (t)δ(t) dt = f(0). (13.58)
13-15
t
t

Questo significa che integrare una qualsiasi funzione moltiplicata per un impulso equivale ad estrarne il
valore per l’istante in cui l’impulso è definito. Per estrarre f(t) ad un istante arbitrario t0, basta valutare
l’impulso in δ(t−t0). La proprietà diventa
� +∞
−∞
f (t)δ(t−t0) dt = f(t0). (13.59)
La proprietà si dimostra considerando che, siccome l’impulso è la derivata dello scalino, la derivazione
del prodotto di funzioni dà
f (t)δ(t) = f (t) d d
� �
step(t) = f (t)step(t) −f
dt dt
′ (t)step(t). (13.60)
Se f (t) è regolare, il prodotto f (t)step(t) è pari a f (t) per t > 0, e a 0 per t < 0. Ne consegue che
l’integrale
� +∞
�+∞
�
� +∞
f (t)δ(t) dt = f (t)step(t) �
� − f ′ (t)step(t) dt
−∞
dove � +∞
−∞
f ′ (t)step(t) dt = lim
a→0 +
−∞
−∞
= f (+∞)−0−f (+∞)+f (0) = f (0), (13.61)
� +∞
a
f ′ (t) dt = f(+∞)− lim
a→0 +f(a)
= f(+∞)−f(0). (13.62)
Se f (t) non è regolare, ma presenta una discontinuità con salto in t = 0, ovvero proprio nell’istante
di tempo in cui viene valutata dalla δ(t), è comunque possibile eseguire l’operazione, ed il risultato è
molto interessante.
Si consideri l’espressione di f(t) data dalla (13.56); la proprietà in esame diventa
�
� +∞
−∞
�
f (t)δ(t) dt = f (t)step(t) �
�
+∞
−∞
−
� +∞
−∞
(f ′ c(t)+fd0 δ(t))step(t) dt
= f (+∞)−0−fc(+∞)+fc(0)− 1
2 fd0
= fc(0)+ 1
2 fd0 = f(0+ )+f(0 − )
, (13.63)
2
in quanto f (+∞) = fc(+∞)+fd0 . Ovvero, viene preso il valore della funzione che rappresenta la media
tra i limiti destro e sinistro, dal momento che fc(0) = f(0− ) e fd0 = f(0+ )−f(0 − ).
Questa dimostrazione fa uso della proprietà che si vuole dimostrare, dimostrata in precedenza per
funzioni regolari. Tuttavia la si sta applicando ad una funzione non regolare, step(t). Quindi la dimostrazione
è valida se si considera la funzione step(t) come limite di una funzione regolare, in base alla
sua definizione.
In alternativa, si può rappresentare il dominio di integrazione come l’unione di due parti, che escluda
la discontinuità, ovvero
� +∞
−∞
f (t)δ(t) dt =
� 0 −
−∞
f (t)δ(t) dt+
�
�
= f (t)step(t) �
�
�
�
+ f (t)step(t) �
�
0 −
−
−∞
+∞
0 +
� +∞
0 +
� −
0
−
−∞
� +∞
0 +
f (t)δ(t) dt
f ′ (t)step(t) dt
f ′ (t)step(t) dt
= 1
2 f � 0 −� −0−0+0+f (+∞)− 1
2 f � 0 +� −f (+∞)+f � 0 +�
= f (0+ )+f (0− )
, (13.64)
2
ovvero il medesimo risultato ottenuto in precedenza.
13-16

13.4.3 Generalizzazione
Come anticipato, l’impulso è un’astrazione matematica che rappresenta qualcosa di breve durata rispetto
alla scala dei tempi del problema in esame, ma che lascia effetti non trascurabili.
Si consideri ora un generico sistema meccanico ad un grado di libertà,
m¨x+r˙x+kx = f (t). (13.65)
La forzante f (t) sia costituita dall’impulso introdotto in precedenza, e dalla sua derivata:
f (t) = f1δ(t)+f2 ˙ δ(t). (13.66)
È lecito attendersi che la risposta x(t) sia anch’essa caratterizzata da discontinuità. In particolare, se il
sistema prima dell’impulso era a riposo, la risposta del sistema sarà data da una funzione regolare xc(t)
moltiplicata per uno scalino al tempo t, ovvero
x(t) = xc(t)step(t). (13.67)
In base alle proprietà dello scalino, le sue derivate sono
˙x(t) = ˙xc(t)step(t)+xc(t)δ(t) = ˙xc(t)step(t)+xc(0)δ(t) (13.68a)
¨x(t) = ¨xc(t)step(t)+ ˙xc(t)δ(t)+xc(0) ˙ δ(t) = ¨xc(t)step(t)+ ˙xc(0)δ(t)+xc(0) ˙ δ(t). (13.68b)
Sostituendo queste espressioni nella (13.65) si ottiene
�
m ¨xc(t)step(t)+ ˙xc(0)δ(t)+xc(0) ˙ �
δ(t)
+r(˙xc(t)step(t)+xc(0)δ(t))+kxc(t)step(t) = f1δ(t)+f2 ˙ δ(t). (13.69)
Raccogliendo i termini omogenei si ottiene
(m¨xc(t)+r˙xc(t)+kxc(t))step(t)
+(m˙xc(0)+rxc(0)−f1)δ(t)
+(mxc(0)−f2) ˙ δ(t) = 0. (13.70)
Siccome tale relazione deve essere vera qualunque sia t, occorre annullare indipendentemente i termini
moltiplicati per le funzioni step(t), δ(t) e ˙ δ(t). Si ricavano quindi le relazioni
m¨xc(t)+r˙xc(t)+kxc(t) = 0 (13.71a)
m˙xc(0)+rxc(0) = f1
(13.71b)
mxc(0) = f2. (13.71c)
La (13.71a) rappresenta un’equazione differenziale omogenea in xc(t), la soluzione del sistema a seguito
della forzante impulsiva. Ne consegue che la forzante impulsiva dà luogo ad un movimento libero del
sistema, analogo a quello che risulta da una perturbazione delle condizioni iniziali. Le (13.71c) e (13.71b)
definiscono le condizioni iniziali su posizione e velocità,
xc(0) = f2
m
˙xc(0) =
f1 −f2
m
(13.72a)
r
m.
(13.72b)
La risposta di un sistema ad una forzante impulsiva corrisponde al moto libero del medesimo sistema,
datodall’integralegeneraledella(13.65), calcolatoapartiredallecondizioniinizialifornitedalle(13.72).
13-17

Viene quindi formalizzata e generalizzata la conclusione, ottenuta intuitivamente all’inizio, che una
forzante impulsiva, come pure la sua derivata, equivalgono ad una perturbazione finita delle condizioni
iniziali del sistema.
Dal punto di vista fisico, una forzante descritta mediante un impulso può essere ritenuta rappresentativa
di una sollecitazione applicata per una durata Tf ≪ 2π/ � k/m. Ad essa corrisponde una
discontinuità finita nella velocità, e quindi nell’energia cinetica del sistema.
La derivata dell’impulso, invece, non è altrettanto facilmente spiegabile in modo intuitivo. In base
alla sua definizione, la si può considerare come una sequenza di due impulsi, di segno opposto, separati
da un tempo che tende a zero. Si tratta quindi di una doppietta di impulsi. Ad essa corrisponde una
discontinuità finita nello spostamento, e quindi una discontinuità nell’energia potenziale. Inoltre, alla
discontinuitàfinitadellospostamentocorrispondeunimpulsodi velocità, e quindiunimpulsoal quadrato
di energia cinetica.
Esercizio 13.3 Si scriva la derivata prima dell’impulso ottenuto approssimando la funzione scalino come
(1+tanh(αt))/2. Se ne rappresenti il grafico per α → +∞.
Esercizio 13.4 Si scriva l’espressione della soluzione (13.67) del problema della risposta impulsiva in
base alle condizioni iniziali definite dalle (13.72). Quindi la si sostituisca nella (13.65) per verificarne
il soddisfacimento (suggerimento: per semplicità, conviene prima considerare il caso non smorzato, con
r = 0).
Esercizio 13.5 In analogia con quanto svolto finora per la risposta impulsiva, si ricavi la risposta ad
una forzante a scalino, f(t) = f0step(t). Si discuta in particolare la natura dell’equazione del moto che
si ottiene e la scelta delle condizioni iniziali.
Esercizio 13.6 Si calcoli la risposta di un sistema meccanico smorzato ad una sequenza di scalini di
ampiezza b e −b, rispettivamente a t = −a/2 e t = a/2, come indicato in figura 13.9. Quindi, si verifichi
che al tendere di a a 0 si ottiene la risposta all’impulso.
13-18

Capitolo 14
Sistemi vibranti a più gradi di
libertà
Generato il 16 gennaio 2012
14.1 Sistemi a più gradi di libertà non smorzati
Per un sistema non smorzato con N gradi di libertà, le equazioni che ne governano il moto possono essere
sempre scritte nella forma matriciale
dove
[M]{¨x(t)}+[K]{x(t)} = {f (t)} (14.1)
• [M] e [K] sono rispettivamente le matrici quadrate di massa e di rigidezza di ordine N;
• {x(t)} e {f (t)} sono i vettori di ordine N degli spostamenti e delle forze agenti, entrambi funzione
del tempo.
Siconsideri, adesempio, ilsistemaillustratoinFigura14.1. Applicandoilprincipiodisovrapposizione
degli effetti, ovvero calcolando le forze che agiscono sul sistema prima per x1 �= 0, x2 = 0 e poi quelle per
x1 = 0, x2 �= 0 si possono facilmente determinare le equazioni di equilibrio dinamico delle due masse,
m1¨x1 +k1x1 +k2(x1 −x2) = f1
(14.2a)
m2¨x2 +k3x2 +k2(x2 −x1) = f2. (14.2b)
Queste possono essere riscritte come
� �� � �
m1 0 ¨x1 k1 +k2 −k2
+
0 m2 ¨x2 −k2 k2 +k3
ovvero nella forma della (14.1) con
�� x1
x2
�
=
� f1
Figura 14.1: Sistema dinamico a 2 gradi di libertà.
14-1
f2
�
(14.3)

• la matrice di massa
� �
m1 0
[M] =
0 m2
• la matrice di rigidezza
� �
k1 +k2 −k2
[K] =
−k2 k2 +k3
• il vettore delle incognite
� �
x1
{x} =
x2
• ed il vettore dei termini noti
� �
f1
{f} =
f2
14.1.1 Moto libero: modi propri di vibrare
La soluzione del moto libero, per {f} = {0}, sarà del tipo
{x(t)} = {X}e λt
(14.4)
(14.5)
(14.6)
(14.7)
(14.8)
dove {X} è un vettore di ordine X di ampiezze indipendenti dal tempo. Imponendo la soluzione (14.8)
all’equazione differenziale otteniamo
� λ 2 [M]+[K] � {X}e λt = {0} (14.9)
la quale presenta soluzione non banale, ovvero per {X} �= {0}, quando
det � λ 2 [M]+[K] � ��
2 λ m1 +k1 +k2
= det
−k2
−k2
λ2 ��
= 0,
m2 +k2 +k3
(14.10)
che è il polinomio di grado 2N in λ
m1m2λ 4 +(m1(k2 +k3)+m2(k1 +k2))λ 2 +k1k2 +k1k3 +k2k3 = 0 (14.11)
detto polinomio caratteristico, da cui, posti
⎧
⎨
⎩
a = m1m2
b = (m1(k2 +k3)+m2(k1 +k2))
c = k1k2 +k1k3 +k2k3
si ottiene il polinomio di secondo grado in λ 2
(14.12)
aλ 4 +bλ 2 +c = 0 (14.13)
le cui radici sono
λ 2 b
1|2 = −
2a +
�
��
�
� b
2a
λ 2 b
3|4 = −
2a −
�
��
�
� b
2a
� 2
� 2
− c
a
− c
a
14-2
(14.14a)
(14.14b)

Dal momento che per definizione le masse e le rigidezze sono positive, si ha sempre λ2 j < 0, quindi i
singoli autovalori sono a due a due immaginari e coniugati:
λ1|2 = ±iω1
(14.15a)
λ3|4 = ±iω2. (14.15b)
Questa proprietà ha valore generale: quando le matrici di massa [M] e di rigidezza [K] sono definite
positive, le N radici del polinomio caratteristico in λ 2 sono reali negative, quindi le 2N radici λ sono
immaginarie coniugate.
Nei problemi di interesse per la meccanica la matrice di massa [M] è sempre definita positiva; qualora
la matrice di rigidezza fosse semi-definita, le corrispondenti radici λ sarebbero nulle. Questa eventualità
è possibile quando al sistema è consentito un movimento rigido (ad esempio i 6 gradi di libertà di moto
rigido di un velivolo nello spazio) oppure quando il sistema rappresenta un meccanismo.
Sostituendo le radici nell’equazione di partenza si ottiene
� [K]−ω 2 1 [M] � {X} 1 = {0} (14.16)
e
� [K]−ω 2 2 [M] � {X} 2 = {0} (14.17)
che permettono di calcolare, a meno di una costante arbitraria, dipendente dalle condizioni iniziali, le
forme modali {X} j , o modi, del sistema associate a ogni frequenza propria ωj.
Nel caso in esame,
� −ω 2 1m1 +k1 +k2
−k2
−k2
−ω2 1m2 +k2 +k3
�� 1X1
1X2
�
1
=
� 0
0
�
(14.18)
Risolvendo ad esempio la prima equazione,
� � 2
−ω1m1 +k1 +k2 1X1 −k21X2 = 0 (14.19)
si ottiene la relazione tra le componenti 1X1 e 1X2 dell’autovettore, che risulta definito, ad esempio,
⎧
⎨
{X} 1 =
⎩
e analogamente
⎧
⎨
{X} 2 =
⎩
1
−ω 2 1m1 +k1 +k2
k2
1
−ω 2 2m1 +k1 +k2
k2
⎫
⎬
⎭ 1X1
⎫
⎬
⎭ 2X1
(14.20)
(14.21)
ove si è arbitrariamente posta unitaria la prima componente dell’autovettore, data l’intrinseca indeterminazione
della soluzione. Ad un risultato del tutto analogo si può giungere risolvendo, ad esempio, la
seconda equazione e ponendo unitaria la seconda componente dell’autovettore; infatti la matrice
[A] = λ 2 [M]+[K] (14.22)
èsingolarequaloraaλsisostituiscaunqualsiasiautovaloredelproblema; neconseguecheuna 1 equazione
del sistema è combinazione lineare delle altre.
Nel caso, ad esempio, che m1 = m2 = m e k1 = k2 = k3 = k, abbiamo che
�
k
ω1 =
(14.23a)
m
�
ω2 = 3 k
(14.23b)
m
1 Si suppone che le radici del polinomio caratteristico abbiano molteplicità pari esattamente a 1; questa ipotesi può essere
rimossa, come verrà illustrato nel seguito. Si veda in particolare la nota 3.
14-3

a cui corrispondono
� �
1
{X} 1 =
1
� �
1
{X} 2 =
−1
Figura 14.2: Forme modali e risposta del sistema dinamico a 2 gradi di libertà.
1X1
2X1
(14.24a)
(14.24b)
La figura 14.2 mostra come al primo modo corrisponda un movimento in cui la molla di mezzo non
viene deformata; infatti, le due componenti dell’autovettore sono identiche. Di conseguenza, il sistema si
comporta come se le due masse fossero collegate rigidamente. Il secondo modo, al contrario, vede le due
masse muoversi in opposizione, per cui la molla centrale è deformata esattamente il doppio di quelle di
estremità. Di conseguenza, è come se le due masse fossero disaccoppiate, e la molla centrale fosse messa
a terra nel suo punto medio. Il moto generico avviene come combinazione di due movimenti armonici a
frequenze tra loro incommensurabili (il loro rapporto è √ 3, quindi un numero irrazionale).
Ritornando all’equazione (14.9) di partenza, se la si premoltiplica per l’inversa della matrice di massa
[M] si ottiene
�
λ 2 [I]+[M] −1 �
[K] {X}e λt = {0} (14.25)
che è una forma del tutto analoga a
(γ[I]−[A]){V} = {0} (14.26)
14-4

ovvero ad un problema agli autovalori in forma canonica, ove γ sono gli autovalori della matrice [A] e
{V} sono i corrispondenti autovettori, posto γ = −λ2 , [A] = [M] −1 [K] e {V} = {X}.
Nell’esempio iniziale si ha
[M] −1 � �
1/m 0
=
(14.27)
0 1/m
e quindi la matrice
[A] = [M] −1 [K] =
� 2k/m −k/m
−k/m 2k/m
�
(14.28)
che ne risulta è simmetrica; questo in generale non è più vero per matrici [M] e [K] meno banali, anche
se, al costo di un cambio di base per le incognite, è possibile ottenere un problema agli autovalori nella
forma canonica della (14.26) con la matrice simmetrica 2 .
Gli autovalori della matrice (14.28) sono
γ1|2 = k k
, 3
m m
mentre gli autovettori, a meno di una costante, sono
� �
−1
{V} 1 =
1
� �
1
{V} 2 =
1
(14.33)
(14.34a)
(14.34b)
Esercizio 14.1 Si verifichi che gli autovalori della matrice nella forma della (14.25) sono anche autovalori
della matrice nella forma della (14.32).
14.1.2 Ortogonalità dei modi propri
Si può ora dimostrare l’ortogonalità dei modi di vibrare. Se ω1 e ω2 sono due autovalori distinti di un
generico problema omogeneo, e {X}1 e {X}2 sono i corrispondenti autovettori, si ha
� −ω 2 1 [M]+[K] � {X} 1 = {0} (14.35)
e
� −ω 2 2 [M]+[K] � {X} 2 = {0}. (14.36)
L’equazione (14.35) può essere liberamente premoltiplicata per {X} T
2 senza alterarne il valore:
{X} T � 2
2 −ω1 [M]+[K] � {X} 1 = 0 (14.37)
2 Dal momento che si assume che la matrice di massa sia simmetrica e definita positiva, è possibile decomporla nel
prodotto di una matrice triangolare inferiore per la sua trasposta secondo Cholesky
[M] = [L][L] T
quindi, operando il cambio di variabili
il problema
diventa
(14.29)
{z} = [L] T {x} (14.30)
[M]¨x+[K]{x} = {0} (14.31)
{¨z}+[L] −1 [K][L] −T {z} = {0} (14.32)
e quindi, assumendo che la matrice [K] sia simmetrica, anche la matrice [L] −1 [K][L] −T rimane simmetrica.
14-5

da cui si ricava
{X} T
2 [K]{X} 1 = ω2 1 {X} T
2 [M]{X} 1
Allo stesso modo, si può moltiplicare la trasposta dell’equazione (14.36) per {X} 1 :
{X} T
2
(14.38)
�
−ω 2 2 [M] T +[K] T�
{X} 1 = 0 (14.39)
da cui si ricava, anche in considerazione della simmetria delle matrici [M] e [K],
{X} T
2 [K]{X} 1 = ω2 2 {X} T
2 [M]{X} 1
Quindi, per l’uguaglianza dei termini a primo membro delle (14.38) e (14.40), si ha
ω 2 1 {X} T
2 [M]{X} 1 = ω2 2 {X} T
2 [M]{X} 1
(14.40)
(14.41)
ovvero
� 2
ω2 −ω 2� T
1 {X} 2 [M]{X} 1 = 0. (14.42)
Se ω2 �= ω1, cioè le frequenze proprie sono distinte 3 , deve valere la relazione
{X} T
2 [M]{X} 1 = 0 (14.43)
e, di consequenza
{X} T
2 [K]{X} 1 = 0 (14.44)
Più in generale, detti j e k gli indici di due modi, deve essere
{X} T
k [M]{X} j = 0 (14.45a)
{X} T
k [K]{X} j = 0 (14.45b)
quando j �= k; ovvero, i modi propri vibrare, associati a frequenze proprie distinte, sono ortogonali
rispetto alla matrice di massa e rigidezza 4 .
Quando si pre- e post-moltiplica per lo stesso autovettore si ottiene
{X} T
j [M]{X} j = mj
(14.46a)
{X} T
j [K]{X} j = kj
(14.46b)
dove mj e kj sono chiamate rispettivamente massa e rigidezza generalizzata, o massa e rigidezza modale
associate al modo j-esimo.
Nell’esempio iniziale,
m1 =
� 1
1
� T � m 0
0 m
�� 1
1
�
= 2m (14.47a)
m2 = 2m (14.47b)
k1 = 2k (14.47c)
k2 = 6k (14.47d)
3Nel caso in cui due o più autovalori siano uguali, se è possibile individuare un numero di autovettori indipendenti pari
alla molteplicità degli autovalori coincidenti, come sempre avviene nei casi di interesse pratico per lo studio delle vibrazioni
dei sistemi meccanici, in cui le matrici di massa sono simmetriche e definite positive, o al più semidefinite, gli autovettori,
per la loro arbitrarietà, possono essere ortogonalizzati proprio imponendo le condizioni (14.43) e (14.44). Un tipico esempio
in cui ciò avviene è dato dai sistemi non vincolati, come i velivoli, che ammettono i sei spostamenti rigidi, ai quali è associato
l’autovalore nullo con molteplicità 6. Un altro esempio è dato dai modi associati al movimento delle superfici di comando
nel caso si consideri il velivolo a comandi liberi.
4 T
Attenzione: i modi propri non sono ortogonali fra loro; dall’analisi si ottiene che {X} j {X} k = 0 se j �= k per il
problema in forma canonica, in cui la matrice che moltiplica l’autovalore è l’identità, [I]. Ma il problema meccanico non è
in forma canonica, quindi gli autovalori che ne risultano non sono in generale ortogonali rispetto a loro stessi.
14-6

La rigidezza e la massa modale tra loro stanno in un rapporto ben preciso, kj/mj = ω2 j , ma per il resto
sono indeterminate; o meglio, il loro valore dipende dal valore arbitrariamente assegnato all’autovettore,
il quale è determinato a meno di un fattore di scala. Se per esempio si sceglie di ridefinire l’autovettore
j-esimo, {X}j, come {X} ′ j = cj{X}j, si ottiene
m ′ j =
k ′ j =
�
�
{X} ′
�T j
{X} ′
j
� T
[M]{X} ′
j = c2 j {X} T
j [M]{X} j = c2 jmj
(14.48a)
[K]{X} ′
j = c2 j {X} T
j [K]{X} j = c2 jkj. (14.48b)
Indipendentemente dal valore di cj, si ha k ′ j /m′ j = ω2 j , quindi la scalatura dell’autovalore non ha alcun
effetto sulla frequenza caratteristica di quel modo. Questo consente di scalare gli autovettori in modo da
modificare convenientemente la massa e la rigidezza modali. Una scalatura usata spesso, detta a massa
unitaria, consiste nel rendere la matrice delle masse modali pari alla matrice identità.
Esercizio 14.2 Si riscrivano gli autovettori del problema iniziale scalati a massa unitaria.
Esercizio 14.3 Si mostri come, in caso di autovalori coincidenti, è possibile ortogonalizzare gli autovettori
corrispondenti.
14.2 Approccio modale
Cerchiamo ora un sistema di coordinate libere che disaccoppi contemporaneamente il sistema tanto
inerzialmente quanto elasticamente, ovvero tale per cui le equazioni che, risolte, descrivano il moto del
sistema siano disaccoppiate. Se costruiamo una matrice quadrata [ψ] le cui colonne siano costituite dai
modi propri di vibrare, ovvero
� �
1X1 2X1
[ψ] =
(14.49)
1X2 2X2
detta anche matrice modale, e definiamo la trasformazione
{x(t)} = [ψ]{q(t)} (14.50)
con {q(t)} detto vettore delle coordinate principali, il problema (14.1) diventa
[M][ψ]{¨q}+[K][ψ]{q} = {f} (14.51)
Se si premoltiplica 5 la (14.51) per la trasposta della matrice modale (14.49), si ottiene
[ψ] T [M][ψ]{¨q}+[ψ] T [K][ψ]{q} = [ψ] T {f} (14.54)
Da quanto detto in precedenza, si vede che
[ψ] T [M][ψ] = [diag(mj)] (14.55a)
[ψ] T [K][ψ] = [diag(kj)] (14.55b)
dove [diag(mj)] e [diag(kj)] sono matrici diagonali, ovvero tali per cui mjk e kjk sono nulli se j �= k,
mentre mj e kj sono rispettivamente la massa e la rigidezza associate al modo j-esimo.
5 Questa operazione può apparire un artifizio, ma ha una giustificazione più profonda se si considera che l’equazione (14.1)
può essere ricondotta ad un principio variazionale e quindi ad una relazione del tipo
δ{x} T � {F ({x})} = 0 (14.52)
per cui la trasformazione (14.50) viene applicata sia alle incognite da cui dipendono le forze {F} che alle loro variazioni
virtuali, ovvero
δ{q} T [ψ] T � {F ([ψ]{q})} = 0. (14.53)
14-7

Nell’esempio iniziale, si ha
� �
2m 0
[diag(mj)] =
0 2m
� �
2k 0
[diag(kj)] =
0 6k
quindi il problema diventa
� �� � �
2m 0 ¨q1 2k 0
+
0 2m ¨q2 0 6k
�� q1
q2
� � �
f1 +f2
=
f1 −f2
(14.56a)
(14.56b)
(14.57)
Si noti che le due equazioni sono disaccoppiate, ovvero ogni equazione dipende solo dalla propria incognita;
l’accoppiamento tra i gradi di libertà fisici si è tradotto, a livello modale, in accoppiamento tra i
corrispondenti termini noti.
Sostituendo uno ad uno gli autovalori ed i corrispondenti autovettori, l’equazione omogenea (14.9)
risulta soddisfatta; ne consegue che, così come sono stati accostati gli autovettori a dare la matrice
modale [ψ], è possibile accostare gli autovalori a dare la matrice diagonale dei quadrati delle frequenze
proprie
� � �� 2
diag ωj =
tale per cui 6
� ω 2 1 0
0 ω 2 2
�
(14.58)
[K][ψ]−[M][ψ] � diag � ω 2�� j = [0] (14.59)
La (14.59), se premoltiplicata per la trasposta della matrice modale (14.49), diventa
[ψ] T [K][ψ]−[ψ] T [M][ψ] � diag � ω 2�� j = [0] (14.60)
ovvero
[diag(kj)]−[diag(mj)] � diag � ω 2�� j = [0] (14.61)
Se la matrice di massa modale [diag(mj)] è definita positiva7 , la sua inversa esiste; quindi la (14.61) può
essere riscritta, previa premoltiplicazione per l’inversa della matrice di massa modale, come
[diag(mj)] −1 [diag(kj)] = � diag � ω 2�� j
(14.65)
6Si noti l’odine in cui vengono eseguiti i prodotti di matrici, essenziale perché ogni autovettore venga moltiplicato per
il proprio autovalore.
7L’unico motivo per cui la matrice di massa, anziché essere definita positiva, può essere semidefinita, è che ad un grado
di libertà non sia associata inerzia. Questa eventualità viene scartata nella presente trattazione perché in tale caso il grado
di libertà privo di massa può essere eliminato staticamente, rendendo la nuova matrice di massa strettamente definita
positiva. Ad esempio: dato il problema
� �� � � �� � � �
m 0 ¨x1 k11 k12 x1 f1
+
=
(14.62)
0 0 ¨x2 k21 k22 x2 f2
la cui matrice di massa è chiaramente semidefinita positiva in quanto tutti i minori principali sono positivi tranne uno che è
nullo, a condizione che la matrice [K] non sia singolare la seconda equazione può essere usata per esplicitare x2 in funzione
di x1
x2 = f2 −k21x1
k22
che, sostituito nella prima equazione, dà
� �
k21
m¨x1 + k11 −k12 x1 = f1 −
k22
k12
f2
k22
ovvero dal problema iniziale se ne ottiene uno di dimensioni inferiori ma con la matrice di massa definita positiva.
14-8
(14.63)
(14.64)

Nel caso in esame,
[diag(mj)] −1 [diag(kj)] =
� 1/(2m) 0
0 1/(2m)
�� 2k 0
0 6k
�
=
� k/m 0
0 3k/m
�
(14.66)
Questo suggerisce una scelta interessante per la normalizzazione dei modi propri, detta a massa unitaria;
se si dividono i coefficienti del modo j-esimo per il valore √ mj, si ottiene:
[ψI] = [ψ] � diag �√ ��−1 mj
A questo punto, le relazioni (14.55a) e (14.55b), attraverso la nuova matrice modale [ψI], diventano
(14.67)
[ψI] T [M][ψI] = � diag �√ ��−1[ψ] T � �√ ��−1 mj [M][ψ] diag mj
= � diag �√ ��−1[diag(mj)] mj
� diag �√ ��−1 mj = [I] (14.68a)
[ψI] T [K][ψI] = � diag �√ ��−1[ψ] T � �√ ��−1 mj [K][ψ] diag mj
= � diag �√ ��−1[diag(kj)] mj
� diag �√ ��−1 mj
= [diag(mj)] −1 [diag(kj)] = � diag � ω 2�� j
(14.68b)
ove si è sfruttato il fatto che � diag �√ ��−T � �√ ��−1 mj = diag mj in quanto la matrice è diagonale; allo
stesso modo, l’ultimo passaggio che porta alla matrice di rigidezza modale è lecito perché il prodotto di
matrici diagonali è commutativo.
14.2.1 Risposta a forzanti armoniche
Analizziamo, ora, larispostadelgenericosistemadiEquazione14.1 quandosoggettoaforzantiarmoniche
[M]{¨x(t)}+[K]{x(t)} = {f}e iωt
che, a regime, ammette una soluzione del tipo
{x(t)} = {x}e iωt
(14.69)
(14.70)
dove il vettore delle ampiezze di vibrazione {x} è soluzione di
� [K]−ω 2 [M] � {x} = {f} (14.71)
ovvero
{x} = � [K]−ω 2 [M] � −1 {f} (14.72)
che può essere anche riscritta come
{x} = [H(ω)]{f} (14.73)
dove [H(ω)] è la matrice dell’ammettenza meccanica (in inglese, receptance matrix) del sistema; è
quadrata, di ordine N, e ne costituisce il modello della risposta in frequenza. La sua inversa,
[Z(ω)] = [H(ω)] −1
(14.74)
èdettamatricedell’impedenzameccanica, edescrivelaforzacheilsistemaopponeadundatomovimento.
Dalla definizione
si ricava
[Z(ω)] = [K]−ω 2 [M] (14.75)
[H(ω)] = � [K]−ω 2 [M] � −1
14-9
(14.76)

Se si applica la trasformazione modale all’impedenza meccanica, si ottiene
[ψ] T [Z(ω)][ψ] = [ψ] T � [K]−ω 2 [M] � [ψ]
= [diag(kj)]−ω 2 [diag(mj)]
si inverta quindi la (14.77); si ottiene
= [ψ] T [H(ω)] −1 [ψ] (14.77)
� [diag(kj)]−ω 2 [diag(mj)] � −1 = [ψ] −1 [H(ω)][ψ] −T
e quindi la [H(ω)] si ottiene come
[H(ω)] = [ψ] � [diag(kj)]−ω 2 [diag(mj)] � −1 [ψ] T
(14.78)
(14.79)
Dalla (14.79) si evince che la matrice [H(ω)] è simmetrica; se si utilizza la normalizzazione a massa
unitaria dei modi, ovvero la matrice (14.67), la (14.79) diventa
[H(ω)] = [ψI] �� diag � ω 2�� � 2 −1[ψI]
j −ω [I] T = [ψI] � diag � 1/(ω 2 j −ω 2 ) �� [ψI] T
ed il generico coefficiente è dato da
hjk(ω) = xj (ω)
fk(ω) = hkj (ω) = xk(ω)
fj (ω) =
N�
r=1
rXIj · rXIk
ω 2 r −ω 2
(14.80)
(14.81)
da cui si nota come il sistema possa andare in risonanza qualora la pulsazione della forzante ω uguagli
una delle N frequenze ωr proprie del sistema vibrante.
Ritornando al sistema vibrante iniziale, risulta che risolvendo il sistema di equazioni lineari
−2k +ω
h11(ω) =
2m 3k2 −4kmω2 +ω4 2k −ω
=
m2 2m m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )
k
h21(ω) =
3k2 −4kmω2 +ω4 k
=
m2 m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )
mentre, in termini modali, si ottiene
1
h11(ω) =
2m(k/m−ω 2 ) +
1
2m(3k/m−ω 2 ) =
2k −ω2m m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )
1
h21(ω) =
2m(k/m−ω 2 ) −
1
2m(3k/m−ω 2 ) =
k
m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )
(14.82a)
(14.82b)
(14.83a)
(14.83b)
Come si vede dalla figura 14.3, ove è mostrato l’andamento del modulo di h11, non si commette un
grande errore se studiamo la risposta del sistema nell’intorno della prima frequenza propria considerando
la risposta di un sistema ad un solo grado di libertà che abbia massa pari a m1 e rigidezza pari a k1.
Analogo discorso si può fare considerando la sola risposta dovuta alla seconda frequenza propria se la
pulsazione della forzante è di valore non troppo dissimile da questa. Ovvero abbiamo verificato empiricamente
che pur essendo i sistemi fisici continui, purché le loro frequenze proprie siano ragionevolmente
separate nel dominio delle frequenze, è lecito, nell’ipotesi che lo spettro della forzante sia limitato nello
stesso dominio, considerare il contributo di un numero limitato di modi le cui frequenze proprie associate
stanno nel dominio dello spettro della forzante. Ovvero: è possibile studiare la risposta dinamica a
regime di un sistema continuo con un modello matematico caratterizzato da un numero discreto di gradi
di libertà. Ne consegue, inoltre, che misurando sperimentalmente la receptance matrix, dalla risposta
misurata nell’intorno di una risonanza possiamo ricavare i parametri modali (massa modale o massa
generalizzata mj e rigidezza modale o rigidezza generalizzata kj) così come il modo di vibrare.
14-10

Figura 14.3: Risposta modale del sistema dinamico a 2 gradi di libertà.
14.2.2 Considerazioni sull’utilizzo dell’approccio modale
Le considerazionichestannoalla basedell’utilizzopraticodell’approcciomodale si basanoprincipalmente
su aspetti computazionali:
1. la risposta a forzante armonica utilizzando la base di coordinate fisiche richiede l’inversione della
matrice di impedenza meccanica, [Z(ω)],
[H(ω)] = � [K]−ω 2 [M] � −1 . (14.84)
Se occorre calcolare la risposta a più armoniche, ad esempio perché una forzante periodica è stata
decomposta nella sommatoria di forzanti armoniche mediante sviluppo in serie di Fourier arrestato
ad un certo ordine, si devono invertire tante matrici quante sono le armoniche, con una complessità
computazionale che può essere elevata (dell’ordine di n 3 operazioni, a meno che una particolare
struttura delle matrici non consenta ottimizzazioni). Viceversa, l’approccio modale non richiede
alcuna inversione, ma solo prodotti di matrici: si veda la (14.80);
2. se si usano tecniche esplicite di integrazione numerica, in genere il calcolo delle incognite (in questo
caso le velocità) ad un dato istante di tempo è funzione delle loro derivate ad un tempo antecedente
secondo una formula del tipo 8
{˙x(t+∆t)} = {˙x(t)}+∆t{¨x(t)} (14.85)
Il calcolo delle accelerazioni richiede l’inversione della matrice di massa:
{¨x(t)} = [M] −1 ({f}−[K]{x(t)}) (14.86)
che invece viene evitata se si usa l’approccio modale, in quanto senza particolari normalizzazioni
dei modi l’accelerazione è
�
{¨q(t)} = [diag(1/mj)] [ψ] T �
{f}−[diag(kj)]{q(t)}
(14.87)
mentre, se si usa la normalizzazione a massa unitaria, si ha
�
{¨qI (t)} = [ψI] T {f}− � diag � ω 2�� �
j {qI (t)} . (14.88)
Algoritmi più sofisticati richiedono l’inversione di una combinazione lineare delle matrici di massa e
di rigidezza, operazione in ogni caso banale se le matrici, proiettate in base modale, sono diagonali.
8 La formula di integrazione numerica riportata corrisponde al metodo di Eulero esplicito e non è raccomandabile per
questioni di stabilità dell’algoritmo; viene qui utilizzata al solo fine di illustrare senza eccessivi tecnicismi le operazioni
richieste per l’integrazione esplicita di sistemi dinamici.
14-11

Si noti tuttavia che questi vantaggi si pagano in qualche modo, perché l’approccio modale richiede comunquel’estrazionediautovaloriedautovettori,
operazioneingeneralerelativamentecostosa(dell’ordine
di n 4 ). Occorre verificare quale strada è più conveniente in funzione del tipo di risultato che si vuole
ottenere. Ad esempio, l’approccio modale può essere comunque conveniente nel caso le autosoluzioni
siano già disponibili, perché il loro calcolo era comunque richiesto per altri motivi.
14.2.3 Esempio: soluzione di equilibrio statico di un sistema libero
Si vuole applicare l’approccio modale all’esempio illustrato nel paragrafo 5.3.1. Il problema, in forma
matriciale, è
� m 0
0 m
�� ¨x1
¨x2
� �
k −k
+
−k k
�� x1
x2
�
=
� F
0
Si consideri il problema agli autovalori che risulta dall’equazione omogenea associata:
�
−ω 2
� � � ��� � � �
m 0 k −k x1 0
+
=
0 m −k k 0
da cui si ricava l’equazione caratteristica
0 = � k −ω 2 m � 2 −k 2
= ω 2 m � ω 2 m−2k �
quindi gli autovalori sono:
x2
�
(14.89)
(14.90)
(14.91)
ω 2 1 = 0 (14.92a)
ω 2 2 = 2 k
m
(14.92b)
Si ricavi ora lo spostamento della seconda massa in funzione di quello della prima, alternativamente con
il primo ed il secondo autovalore; si ottiene:
� � � � � �
x1 1X1 1
= q1 = q1
(14.93a)
x2 1 1X2 1
� � � � � �
x1 2X1 1
= q2 = q2
(14.93b)
−1
x2
2
2X2
da cui si ricava la matrice dei modi
� �
1 1
[ψ] =
1 −1
(14.94)
Ora occorre ridurre le matrici di massa e di rigidezza, secondo le (14.55a), (14.55b), e il termine noto in
base modale:
[diag(mj)] = [ψ] T � �
2m 0
[M][ψ] =
(14.95a)
0 2m
[diag(kj)] = [ψ] T � �
0 0
[K][ψ] =
(14.95b)
0 4k
[ψ] T � �
F
{F} =
(14.95c)
F
La (14.95b) mette in evidenza la singolarità della matrice [K].
Il problema (14.90), trasformato secondo l’approccio modale, diventa quindi
2m¨q1 = F (14.96a)
2m¨q2 +4kq2 = F (14.96b)
14-12

Figura 14.4: Assorbitore dinamico di vibrazioni usato su cavi dell’alta tensione.
ovvero si ottengono due equazioni disaccoppiate di cui la prima descrive un moto uniformemente accelerato,
associato alla traslazione rigida dell’intero sistema, mentre la seconda descrive un tipico oscillatore
armonico non smorzato, associato alla vibrazione delle due masse attorno al baricentro.
Si calcoli, infatti, la posizione del baricentro relativa ai due modi (14.93a) e (14.93b):
xCG1 =
xCG2 =
� mj1Xjq1
� mj
� mj2Xjq2
� mj
= q1
(14.97a)
= 0 (14.97b)
dalla (14.97a) si deduce che la coordinata modale q1 esprime naturalmente il moto del baricentro del
sistema; per l’ortogonalità dei modi propri attraverso la matrice di massa ne risulta la necessità che il
baricentro non si sposti in conseguenza del moto secondo l’altro modo proprio.
È interessante notare come l’approccio modale abbia portato direttamente ed in modo naturale alla
scrittura delle due equazioni (5.43) e (5.52), ove si ponga q1 = xCG e q2 = ∆x, che nel paragrafo 5.3.1
eranostatededotteattraversounaseriediragionamentiall’apparenzaspecificiperilparticolareproblema
in esame.
14.3 Applicazione: assorbitore dinamico
Il concetto su cui si basa l’assorbitore dinamico è quello di trasferire tutta l’energia introdotta in un
sistemavibrantedauncampodiforze, mandandonevolutamenteinunasortadirisonanzaunparticolare,
mentre il resto del sistema è mantenuto in quiete.
È importante notare che l’assorbitore dinamico, come dice il nome stesso, non dissipa energia. Al
contrario, assorbe l’energia associata al movimento forzato a regime di un sistema, e la confina, sotto
forma di energia cinetica e potenziale elastica, in una parte del sistema stesso.
14-13

Figura 14.5: Modello dell’assorbitore dinamico.
Nella figura è rappresentata la sospensione di una linea elettrica ad alta tensione. Ovvi problemi
impediscono di collegare il cavo a terra, ad esempio con un elemento dissipativo. D’altronde il basso
smorzamento del cavo e l’ampio spettro del vento incidente, oltre al fenomeno delle vibrazioni indotte
per distacco di vortici, rendono molto probabile l’eccitazione in risonanza della campata.
Consideriamo il comportamento del cavo con l’assorbitore dinamico, considerando quest’ultimo, per
semplicità, a un solo grado di libertà anzichá a quattro, ovvero ci si riconduca allo schema seguente dove
m1 e k1 sono rispettivamente la massa e la rigidezza a flessione del cavo, mentre m2 e k2 sono quelle di
uno dei due contrappesi. Essendo il sistema lineare, o come tale approssimabile, la forzante armonica è
una delle componenti dello sviluppo in serie di Fourier dell’azione del vento.
Le equazioni di moto sono le soluzioni a regime del sistema
m1¨x1 +k1x1 +k2(x1 −x2) = F0sin(ωt) (14.98a)
m2¨x2 +k2(x2 −x1) = 0 (14.98b)
Effettuiamo le seguenti sostituzioni
ω11 =
ω22 =
�
�
X0 = F0
k1
k1
m1
k2
m2
e imponiamo come soluzioni degli integrali particolari
otterremo
⎛
(14.99a)
(14.99b)
(14.99c)
x1(t) = X1sin(ωt) (14.100a)
x2(t) = X2sin(ωt) (14.100b)
⎝1+ k2
k1
� � ⎞
2
ω
− ⎠X1 − k2
ω11
X2 = X0
k1
(14.101a)
⎛ � � ⎞
2
ω
−X1 + ⎝1− ⎠X2 = 0 (14.101b)
ω22
14-14

ovvero
X1
X0
X2
X0
= ⎛
= ⎛
⎝1+ k2
k1
⎝1+ k2
k1
Figura 14.6: Risposta della massa 1 dell’assorbitore dinamico.
1−
� ω
ω22
� 2
� � ⎞⎛
2 � � ⎞
2
ω ω
− ⎠⎝1−
ω11
ω22
1
� � ⎞⎛
2 � � ⎞
2
ω ω
− ⎠⎝1−
ω11
ω22
⎠− k2
k1
⎠− k2
k1
(14.102a)
(14.102b)
Si nota immediatamente che per ω = ω22, pari alla frequenza propria del solo assorbitore dinamico messo
a terra, X1/X0 si annulla 9 , mentre X2/X0 = −k1/k2, ovvero
k2X2 = −F0 = ω 2 m2X2
(14.103)
che ci permette, noto F0 e ω, ovvero nota la forzante, di determinare l’entità della massa m2 una volta
fissata la massima freccia ammissibile X2 per il trefolo che regge la massa stessa. Le due frequenze
proprie del sistema dipendono, ovviamente, dal rapporto
µ = m2
m1
14.4 Vibrazioni forzate smorzate
(14.104)
Come sappiamo esistono diversi tipi di smorzamento, quali il viscoso, l’isteretico, quello dovuto ad attrito
coulombiano, quello aerodinamico, ecc. È in generale difficile valutare quale tipo di smorzamento agisca
in una particolare struttura; spesso il fenomeno dissipativo è dovuto alla presenza contemporanea di più
di tipi di smorzamento. In molti casi, tuttavia, lo smorzamento è piccolo e possono essere fatte alcune
ipotesi semplificative.
Il sistema di equazioni di equilibrio dinamico per il sistema vibrante di figura 14.7 è dato da
� �� � � �� � � �� � � �
m1 0 ¨x1 c1 +c2 −c2 ˙x1 k1 +k2 −k2 x1 f1
+
+
=
0 m2 ¨x2 −c2 c2 +c3 ˙x2 −k2 k2 +k3 x2 f2
9 Infatti, per tale frequenza, si annullano i due zeri della funzione di trasferimento tra la forzante X0 e lo spostamento
della massa 1, X1. Si noti che è improprio dire che l’assorbitore viene fatto funzionare in risonanza, perché, dal momento
che viene montato sul sistema, non è più definita una sua frequenza propria indipendente, ma, dato che aggiunge un grado
di libertà al sistema su cui viene montato, il sistema risultante ha una frequenza propria in più, che però dipende dalle
caratteristiche dinamiche dell’insieme.
14-15

ovvero
Figura 14.7: Sistema vibrante a 2 gradi di libertà smorzato.
(14.105)
[M]{¨x}+[C]{˙x}+[K]{x} = {f} (14.106)
14.4.1 Smorzamento proporzionale
Si ha il cosiddetto smorzamento proporzionale se la matrice [C] può essere scritta come
[C] = α[M]+β[K] (14.107)
con i casi particolari per cui α = 0 o β = 0. Quindi il termine ‘proporzionale’ si riferisce al fatto che la
matrice di smorzamento [C] è proporzionale alle matrici di massa e di rigidezza.
In tutti e tre i casi si dimostra facilmente che la matrice modale (14.49) del sistema conservativo
associato, ovvero quello senza smorzamento, che diagonalizza tanto la matrice di massa [M] quanto
quella di rigidezza [K], rende diagonale anche la matrice [C].
Infatti, nel caso più generale di equazione (14.107)
[ψ] T [C][ψ] = [ψ] T (α[M]+β[K])[ψ] = α[diag(mj)]+β[diag(kj)] = [diag(cj)] (14.108)
quindi il problema (14.106), in coordinate principali, diventa
[diag(mj)]{¨q}+[diag(cj)]{˙q}+[diag(kj)]{q} = [ψ] T {f} (14.109)
che rappresenta un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di libertà del sistema, del
tipo
mj¨qj +cj ˙qj +kjqj = {X} T
j
{f} (14.110)
dove {X} j è il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.
L’equazione, che risolta fornisce la legge del moto di un sistema ad un grado di libertà forzato, mette
in luce che, a meno di una costante arbitraria, la forzante è data dal lavoro che le restanti forze agenti
sul sistema compiono per il j-esimo modo di vibrare.
Le frequenze proprie del sistema sono date da
ωDi = ωj
ωj =
�
�
1−ξ 2 j
kj
mj
ξj = cj
=
2mjωj
α
+
2ωj
βωj
2
(14.111a)
(14.111b)
(14.111c)
mentre la contrazione della soluzione avviene con le ampiezze che decrescono esponenzialmente con legge
del tipo e −ξjωjt , e il generico termine della matrice di trasferimento vale
hjk(ω) = hkj (ω) =
N�
r=1
rXj · rXk
kr −mrω 2 +iωcr
14-16
(14.112)

Il modello di smorzamento proporzionale viene essenzialmente introdotto perché, per strutture debolmente
smorzate, consente di utilizzare le forme modali ottenute per il sistema conservativo ad un costo
computazionale decisamente inferiore a quello necessario nel caso di smorzamento generico, illustrato nel
seguito.
Un’analisi puramente qualitativa di questo modello mostra che se l’idea di forze dissipative proporzionali
alle forze elastiche può essere plausibile, in quanto le forze elastiche sono proporzionali alla
deformazione e quindi a movimenti relativi, l’idea di forze dissipative proporzionali alle forze d’inerzia
lascia abbastanza perplessi, in quanto le forze d’inerzia sono proporzionali alle accelerazioni assolute, e
quindi a movimenti assoluti. Per cui si arriva all’assurdo che su di un sistema non vincolato, sottoposto
ad un movimento rigido, agisce uno smorzamento strutturale di tipo viscoso.
In conclusione, la scelta di questo tipo di smorzamento va vista soprattutto come un espediente per
introdurre in modo computazionalmente vantaggioso una dissipazione che di caso in caso deve essere
tarata per risultare globalmente equivalente a quella rilevata sperimentalmente per un dato sistema
debolmente smorzato.
14.4.2 Smorzamento isteretico
Nel caso di smorzamento isteretico o strutturale, abbiamo già visto nel Capitolo 13 che l’energia dissipata
in un ciclo è indipendente dalla pulsazione, ma dipende solo dalla ampiezza di vibrazione, ovvero, nel
dominio delle frequenze 10 ,
−[M]ω 2 {x}+i η
[K]ω{x}+[K]{x} = {f} (14.113)
ω
ove si è usata la matrice proporzionale
[C] = η
[K] (14.114)
ω
per rendere la proporzionalità dello smorzamento dalla rigidezza, attraverso il coefficiente η, ma non
dalla frequenza. Ne risulta l’equazione
� −ω 2 [M]+(1+iη)[K] � {x} = {f} (14.115)
nella quale la dissipazione è ottenuta “sfasando” le forze elastiche di un angolo tan −1 η. In coordinate
principali si ottiene
� −ω 2 [diag(mj)]+(1+iη)[diag(kj)] � {q} = [ψ] T {f} (14.116)
ovvero un set di N equazioni disaccoppiate, tante quanti sono i gradi di libertà del sistema, del tipo
−ω 2 mjqj +(1+iη)kjqj = {X} T
j
dove {X} j è il j-esimo autovettore del sistema conservativo associato.
Ovviamente
λ 2 j = − kj
mj
(1+iη) = −ω 2 j
{f} (14.117)
� 1+η 2 e itan −1 η
mentre il generico termine della matrice di trasferimento vale
hjk(ω) = hkj (ω) =
N�
r=1
rXj · rXk
kr −mrω 2 +iηkj
(14.118)
(14.119)
10 Questo tipo di smorzamento non è rappresentabile nel dominio del tempo, perché dà luogo ad un sistema dal
comportamento non causale.
14-17

14.4.3 Smorzamento viscoso generico
Quando la matrice di smorzamento non è proporzionale alla matrice di massa e/o a quella di rigidezza, la
matrice modale (14.49) del sistema conservativo associato non diagonalizza la matrice di smorzamento.
Si può tuttavia ottenere un sistema disaccoppiato nel modo seguente. Il set di N equazioni differenziali
del secondo ordine è convertito in un set di 2N equazioni differenziali del primo ordine, assegnando nuove
variabili (chiamate variabili di stato) a ciascuna delle coordinate libere originali e delle loro derivate nel
tempo
� �� � � �� � � �
m1 0 ˙x1 m1 0 ˙x1 0
− =
0 m2 ˙x2 0 m2 ˙x2 0
� �� � �
m1 0 ¨x1 c1 +c2
+
0 m2 ¨x2 −c2
ovvero
�� � �
−c2 ˙x1 k1 +k2
+
c2 +c3 ˙x2 −k2
(14.120a)
�� � � �
−k2 x1 f1
=
k2 +k3 x2 f2
(14.120b)
⎡
0 0 m1
⎢ 0 0 0
⎣ m1 0 c1 +c2
0 m2 −c2
Sostituendo
⎤⎧
⎫ ⎡
0 ¨x1 −m1 ⎪⎨ ⎪⎬
m2 ⎥ ¨x2 ⎢
⎥
−c2 ⎦ + ⎢ 0
˙x1 ⎣
⎪⎩ ⎪⎭
0
c2 +c3 ˙x2 0
0
−m2
0
0
0
0
k1 +k2
−k2
⎤⎧
⎫ ⎧ ⎫
0 ˙x1 ⎪⎨ ⎪⎬ ⎪⎨
0 ⎪⎬
0 ⎥ ˙x2 ⎥ 0
−k2 ⎦ =
x1 f1 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
k2 +k3 x2 f2
(14.121)
x1 = z1
(14.122a)
x2 = z2
(14.122b)
˙x1 = ˙z1 = z3
(14.122c)
˙x2 = ˙z2 = z4
(14.122d)
¨x1 = ˙z3
(14.122e)
¨x2 = ˙z4
otteniamo
(14.122f)
⎡
0 0 m1
⎢ 0 0 0
⎣ m1 0 c1 +c2
0 m2 −c2
ovvero
⎤⎧
⎫ ⎡
0 ˙z3 −m1 ⎪⎨ ⎪⎬
m2 ⎥ ˙z4 ⎢
⎥
−c2 ⎦ + ⎢ 0
˙z1 ⎣
⎪⎩ ⎪⎭
0
c2 +c3 ˙z2 0
0
−m2
0
0
0
0
k1 +k2
−k2
⎤⎧
⎫ ⎧ ⎫
0 z3 ⎪⎨ ⎪⎬ ⎪⎨
0 ⎪⎬
0 ⎥ z4 ⎥ 0
−k2 ⎦ =
z1 f1 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
k2 +k3 z2 f2
(14.123)
[A]{˙z}+[B]{z} = {g} (14.124)
con
� �
[0] [M]
[A] =
[M] [C]
� �
−[M] [0]
[B] =
[0] [K]
� �
{0}
{g} =
{f}
(14.125a)
(14.125b)
(14.125c)
Si noti che le matrici [A] e [B] sono simmetriche, ancorché non più definite positive; gli autovalori del
problemaomogeneo associato sono direttamentegli autovalori del problemameccanico, e sono in generale
o reali o complessi coniugati.
14-18

Si consideri ancora il problema di figura 14.7, con m1 = m2 = m, c1 = c2 = c3 = c, k1 = k2 = k3 = k.
In questo caso particolare di smorzamento proporzionale si ottiene, dal calcolo degli autovalori e degli
autovettori
e
⎡
⎢
[diag(ωj)] = ⎢
⎣
3c+ √ 9c 2 −12mk
2m
0
0 0 0
3c− √ 9c 2 −12mk
2m
0 0
0 0
c+ √ c 2 −4mk
2m
0 0 0
0
c− √ c 2 −4mk
2m
⎤
⎥ (14.126)
⎥
⎦
⎡
⎢ −
⎢
[ψ] = ⎢
⎣
3c+√9c 2 −12mk
2m
− 3c−√9c 2 −12mk
2m
c+ √ c2 −4mk
2m
c− √ c2 3c+
−4mk
2m
√ 9c2 −12mk
2m
3c− √ 9c2 −12mk
2m
c+ √ c2 −4mk
2m
c− √ c2 −1 −1 1
⎤
⎥
−4mk ⎥
2m ⎥ (14.127)
⎥
1 ⎥
⎦
1 1 1 1
Si noti che gli autovalori sono o reali, se i radicandi sono positivi, o complessi coniugati, se i radicandi
sono negativi; inoltre, le prime e le ultime due righe della matrice degli autovettori soddisfano la relazione
� � � �
ψ1|2 = ψ3|4 [diag(ωj)] (14.128)
che traduce la condizione
x1 = z1
˙x1 = ˙z1 = z3 = ωjx1
x2 = z2
˙x2 = ˙z2 = z4 = ωjx2
(14.129a)
(14.129b)
(14.129c)
(14.129d)
mentre le ultime due righe della matrice degli autovettori contengono gli autovettori del sistema conservativo
di partenza, come atteso dal momento che la matrice di smorzamento è proporzionale.
Nel caso invece generale, di smorzamento non proporzionale, i modi propri smorzati esistono, ma
non sono più identici a quelli del sistema conservativo e vi sono differenze di fase (non più 0 o π) tra le
componenti delle coordinate libere. I modi sono quindi complessi e in generale non sono più definibili
punti nodali (aventi componente nulla dello spostamento).
Esercizio 14.4 Dato il problema omogeneo associato alla (14.106) si dimostri che non può avere autovettori
{X} reali associati agli eventuali autovalori complessi coniugati.
14.5 Dal continuo al discreto
Lo studio delle vibrazioni di sistemi continui, ad esempio dei modi propri di vibrare di una trave, viene
affrontato in modo abbastanza simile a quello descritto in questo capitolo per i sistemi discreti a più
gradi di libertà, a partire dalle equazioni differenziali alle derivate parziali che descrivono la dinamica del
continuo. Questa trattazione esula dallo scopo del corso di Dinamica dei Sistemi Aerospaziali; tuttavia,
dal momento che sono evidenti i punti di contatto tra i due argomenti, viene qui introdotto, in modo
del tutto qualitativo, il problema della discretizzazione dei problemi continui, che consente di superare i
limiti della trattazione analitica qualora il problema non sia risolvibile in forma chiusa.
In particolare, si illustra come, attraverso una discretizzazione sia pure grossolana del problema
continuo, sia possibile stimare le sue frequenze proprie con accuratezza via via crescente.
14-19

Figura 14.8: Torsione di una trave omogenea incastrata.
Si consideri la sola torsione della trave rettilinea di figura 14.8, di lunghezza L e di rigidezza GJ ed
inerzia Jp torsionali uniformi, incastrata all’estremo x = 0 e libera all’estremo x = L. Dal momento che
si tratta di un sistema continuo, possiede infiniti gradi di libertà e quindi infiniti modi di vibrare.
L’equilibrio alla rotazione attorno all’asse di un concio infinitesimo di trave afferma che la derivata
del momento torcente equilibra le coppie torcenti distribuite
d
dx Mt = M ′ t = µ (14.130)
Il momento torcente è legato alla derivata prima dell’angolo di rotazione attorno all’asse
Mt = GJ d
θ = GJθ′
dx
(14.131)
le coppie torcenti distribuite, in presenza di solo movimento di rotazione attorno all’asse, per effetto di
piccole perturbazioni della posizione di equilibrio, per il principio di d’Alembert sono date dalla coppia
di inerzia distribuita,
µ = −Jp ¨ θ(x,t) (14.132)
quindi l’equazione differenziale alle derivate parziali che governa le piccole perturbazioni della torsione
di una trave uniforme rispetto alla posizione di equilibrio è
GJθ ′′ +Jp ¨ θ = 0 (14.133)
Senza presentare i dettagli della soluzione analitica del problema, lo studio delle vibrazioni del continuo,
una volta applicate le condizioni al contorno di rotazione nulla all’estremo incastrato, θ(0) = 0, e
momento torcente nullo all’estremo libero, GJθ ′ (L) = 0, ci dice che le sue pulsazioni proprie sono
�
π
ωk =
2 +kπ
� �
GJ
JpL2 (14.134)
ed i corrispondenti modi sono
��
π
θk(x) = sin
2 +kπ
�
x
�
L
Quindi, posto
�
GJ
φ =
JpL2 la pulsazione associata al primo modo, la cui forma è un quarto di onda di seno, è
(14.135)
(14.136)
ω1 = π
2 φ ∼ = 1.57φ (14.137)
Per poter stimare i modi propri di vibrare di questo problema, si può immaginare di trasformarlo in
qualche modo da continuo a discreto, per ricondurlo in una forma nota; ad esempio, si può pensare di
suddividere la trave in due parti, come illustrato in figura 14.9, e di associare le rispettive inerzie alle
14-20

otazioni dei due estremi. Siccome il primo è incastrato, solo l’inerzia associata al secondo, pari a JpL/2,
darà luogo ad una coppia associata all’accelerazione angolare dell’estremo libero. La rotazione relativa
tra i due estremi darà luogo ad una coppia elastica dovuta alla rigidezza torsionale dell’intera trave,
GJ/L. Ne risulta l’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti
JpL
2 ¨ θL + GJ
L θL = 0 (14.138)
la cui costante caratteristica è
ω = √ �
GJ
2
JpL2 = √ 2φ (14.139)
mentre la forma associata è una variazione lineare dell’angolo θ da 0 a θL. Dal momento che il problema
è stato approssimato in maniera piuttosto grossolana, non ci aspettiamo una particolare accuratezza,
soprattutto in virtù del fatto che la differenza tra la forma corretta e quella approssimata del modo è
così notevole; tuttavia, si nota che il rapporto tra √ 2 ∼ = 1.41 e π/2 ∼ = 1.57 è pari a 0.90, quindi l’errore
commesso è solo del 10% rispetto alla soluzione analitica (14.137).
Si consideri ora un modello leggermente più raffinato, come illustrato in figura 14.10, in cui la trave è
divisa in tre parti, e si considerino, come incognite, la rotazione di mezzeria e quella dell’estremo libero.
L’inerzia associata alla rotazione di mezzeria sarà la metà dell’inerzia polare della trave, mentre quella
associata alla rotazione di estremità sarà pari ad un quarto. La rigidezza delle molle torsionali sarà invece
il doppio della rigidezza iniziale, in quanto la lunghezza degli spezzoni di trave è la metà della lunghezza
originaria.
Si ottengono le equazioni
⎡
⎢
⎣
ovvero
JpL
4
e, infine,
JpL
2
0
� 2 0
0 1
0
JpL
4
� 2 0
0 1
⎤
⎥
⎦
�� ¨θL/2
� ¨θL/2
�� ¨θL/2
¨θL
¨θL
¨θL
⎡
�
⎢
+ ⎢
⎣
2 GJ
L/2 −GJ
− GJ
L/2
�
+ GJ
�
2 −1
L/2 −1 1
� �
2 −1
+8φ
−1 1
Le radici del polinomio caratteristico sono
L/2
GJ
L/2
�� θL/2
⎤
⎥
⎦
�� θL/2
θL
� θL/2
θL
�
=
θL
�
=
� 0
0
�
=
�
� 0
0
� 0
0
�
�
(14.140)
(14.141)
(14.142)
�
ω = 2 2± √ 2φ (14.143)
Figura 14.9: Modello ad un grado di libertà per la torsione di una trave omogenea incastrata.
14-21

Figura 14.10: Modello a due gradi di libertà per la torsione di una trave omogenea incastrata.
di cui la minore è pari a circa 1.53φ, con un errore rispetto alla soluzione analitica (14.137) inferiore al
3%. La forma modale è data da una spezzata, ovvero da una funzione che varia linearmente da 0 a θ L/2
e quindi a θL, in cui
θ L/2 = 1
√ 2 θL
(14.144)
che, caso fortuito, posta unitaria la rotazione all’estremo libero per entrambe le forme, è esattamente
uguale alla soluzione analitica: sin(π/4) = 1/ √ 2.
L’altra radice dà una stima della pulsazione del secondo modo di vibrare, che sarà decisamente più
grossolana rispetto a quella del primo (circa il 22% di errore). Al raffinarsi della suddivisione, e quindi al
cresceredelnumerodeigradidilibertàdelmodellodiscretoapprossimato, lastimadellaprimapulsazione
propria, e via via di quelle immediatamente successive, diventa sempre più accurata.
14-22

Capitolo 15
Rappresentazione agli stati di
sistemi vibranti e modelli
approssimati
Generato il 16 gennaio 2012
La rappresentazione agli stati di un sistema dinamico consiste nella scrittura di un problema differenziale
nella forma
{˙x} = [A]{x}+[B]{u} (15.1a)
{y} = [C]{x}+[D]{u} (15.1b)
ove la relazione dinamica tra ingresso {u} e uscita {y} dipende da una relazione differenziale lineare.
Qualsiasi sistema lineare di equazioni differenziali, di qualsiasi ordine, può essere rappresentato in questa
forma a seguito di opportune trasformazioni.
Se la matrice [D] è nulla, non vi è termine di trasmissione diretta, e il sistema si dice strettamente
proprio. È sempre possibile descrivere un sistema proprio come combinazione di un termine di trasmissione
diretta tra ingresso e uscita e di un sistema strettamente proprio, quindi lo studio di quest’ultimo
caso è sufficiente per lo studio del caso più generale.
La capacità di rappresentare un sistema dinamico generico nella forma agli stati consente di studiarne
le caratteristiche ed il comportamento mediante le tecniche sviluppate nell’ambito della teoria dei sistemi.
La formulazione agli stati è considerata parte di un approccio“moderno”alla teoria dei sistemi, nato
e fiorito nella seconda metà del ventesimo secolo, in contrapposizione ad un approccio“classico”mediante
funzioni di trasferimento formulate nel dominio di Laplace, fiorito nella prima metà dello stesso secolo.
I due approcci sono quasi perfettamente analoghi in quanto a contenuti, ma presentano vantaggi e
svantaggi diversi, che li rendono complementari. La conoscenza di entrambi gli approcci, e la capacità di
utilizzare il più vantaggioso a seconda dell’ambito di applicazione e delle esigenze di analisi costituiscono
importanti strumenti.
Le implicazioni relative all’opportunità di utilizzare o meno la formulazione agli stati vengono lasciate
ad altri corsi per i quali l’argomento è centrale1 . In questo capitolo si vogliono soprattutto presentare le
tecniche per descrivere problemi tipici della dinamica dei sistemi aerospaziali mediante tale formalismo.
15.1 Rappresentazione agli stati nel dominio del tempo
Dalla teoria dei sistemi è noto che la soluzione ad un problema di questo tipo è data dalla combinazione
lineare di una soluzione dipendente dalle condizioni iniziali {x0}, in assenza di forzamento ({u} = {0}),
e da una dipendente dall’ingresso {u} ({u} = {u(t)} �= {0}). La prima va sotto il nome di integrale
generale, mentre la seconda va sotto il nome di integrale particolare.
1 Si rammenta che la formulazione agli stati di sistemi dinamici è stata discussa nell’ambito del corso di Fondamenti di
Automatica, al quale si rimanda per approfondimenti e rigore delle formalizzazioni.
15-1

15.1.1 Integrale generale
La soluzione dell’integrale generale ha la forma
{xg} = e [A](t−t0) {x0}. (15.2)
Si ricorda che la funzione esponenziale di matrice è definita come
e [A](t−t0) =
∞�
k=0
È immediato verificare che
1
k! [A]k (t−t0) k . (15.3)
d
dt e[A](t−t0) = [A]e [A](t−t0) , (15.4)
da cui risulta che la (15.2) soddisfa la (15.1a) per {u} = {0}.
La soluzione dell’integrale generale tende ad annullarsi se il sistema descritto dalla matrice [A] è
asintoticamente stabile 2 . Questo si verifica quando gli autovalori λi della matrice, in generale reali o
complessi coniugati in quanto la matrice è reale, hanno parte reale negativa.
Esponenziale di matrice
La (15.3) rappresenta la definizione di esponenziale di matrice. Tuttavia, la definizione come serie
non rappresenta uno strumento pratico per il suo calcolo (si veda [4] per una discussione completa
sull’argomento).
Se invece, qualora sia possibile, si opera una decomposizione spettrale della matrice [A], si ottiene
[A] = [V][diag(λ)][V] −1 , (15.5)
ove [diag(λ)] è una matrice diagonale contenente gli autovalori λi della matrice [A], mentre la matrice
[V] contiene i rispettivi autovettori, {v} i .
La (15.3) diventa così
e [A](t−t0) ∞� 1
�
= [V][diag(λ)][V]
k!
k=0
−1� k
(t−t0) k
∞� 1
= [V]
= [V]
k!
k=0
([diag(λ)](t−t0)) k [V] −1
15.1.2 Integrale particolare
� �
diag e λ(t−t0)��
[V] −1 . (15.6)
La soluzione dell’integrale particolare è data dall’integrale di convoluzione tra l’ingresso {u(t)} e la
soluzione e [A]t , ovvero
{xp(t−t0)} =
� t
Esercizio 15.1 Si verifichi che
� t
0
t0
e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ =
e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ. (15.7)
� t
Suggerimento: si operi il cambio di variabile η = t−τ.
0
e [A]τ [B]{u(t−τ)} dτ. (15.8)
2 Si ricorda che a rigore la stabilità può essere valutata per le singole soluzioni, e non per i sistemi. Fanno eccezione, tra
gli altri, i sistemi lineari tempoinvarianti.
15-2

Anche in questo caso, ricordando l’espressione della derivata dell’integrale
d
dt
� b(t)
a(t)
f (t−τ) dτ =
è immediato verificare che
d
dt {xp(t−t0)} =
� t
t0
� b(t)
a(t)
d
d d
f (t−τ) dτ +f (b(t)) b(t)−f (a(t)) a(t), (15.9)
dt dt dt
[A]e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ +[B]{u(t)}. (15.10)
Siccome [A] è costante e quindi può essere portata fuori dal segno di integrale, l’ultima espressione
corrisponde alla (15.1a).
Ricordando la (13.58), e supponendo per semplicità che il sistema abbia un solo ingresso u e che
quindi la matrice [B] sia formata da una sola colonna, la risposta ad un ingresso sotto forma di Delta di
Dirac u(t) = δ(t−t0) è
{x(t−t0)} =
� t
e [A](t−τ) [B]δ(τ) dτ = e [A](t−t0) [B]. (15.11)
t0
15.2 Rappresentazione agli stati nel dominio di Laplace
La rappresentazione agli stati assume forme particolarmente significative quando viene valutata nel
dominio di Laplace:
s{x} = [A]{x}+[B]{u} (15.12a)
{y} = [C]{x}+[D]{u}, (15.12b)
ove si sono supposte per semplicità condizioni iniziali nulle. La soluzione del problema forzato diventa
�
{y} = [C](s[I]−[A]) −1 �
[B]+[D] {u}. (15.13)
15.3 Realizzazione agli stati di una funzione di trasferimento
Una generica funzione di trasferimento razionale strettamente propria, caratterizzante un semplice sistema
a singolo ingresso e singola uscita (Single-Input Single-Output, SISO), esprimibile come
n�
aiy (n−i) =
i=0
n�
biu (n−i) , (15.14)
i=1
con a0 = 1, può essere realizzata agli stati in varie forme. Con y (i) si indica la derivata di ordine i della
funzione y. La sua rappresentazione nel dominio di Laplace è
oppure
y =
y =
�n �i=1 n
i=0
n−i bis
aisn−iu, (15.15)
� n
i=1
s n + � n
i=1
bis n−i
ais n−iu
(15.16)
per sottolineare che a0 = 1.
Esercizio 15.2 Si mostri come una funzione di trasferimento non strettamente propria possa essere
espressa come somma di una funzione strettamente propria e di un termine di trasmissione diretta.
15-3

Il motivo per cui una funzione è realizzabile in molteplici forme è legato alla constatazione che la
realizzazione agli stati richiede più coefficienti (n 2 per [A], n sia per [B] che per [C], per un totale di
n 2 +2n) di quanti presenti nella forma razionale di Eq. (15.14), ovvero al più 2n.
Questa semplice considerazione sottintende un’altra considerazione: la forma razionale non contiene
eventuali cancellazioni tra poli e zeri coincidenti, né eventuali dinamiche nascoste, ovvero non raggiungibili
o non osservabili. Quindi la forma agli stati consente di considerare nei modelli anche quegli aspetti
che non contribuiscono direttamente alla relazione ingresso-uscita, ma possono essere presenti nella fisica
di un problema, con conseguenze potenzialmente non trascurabili sul suo comportamento dinamico.
Quanto detto vale anche per sistemi a ingresso multiplo e a uscita multipla (Multi-Input Multi-
Output, MIMO), a patto di considerare le ai come matrici quadrate di ordine ny × ny, e le bi come
matrici rettangolari di ordine ny ×nu. In questo caso, si avrebbe
n�
i=0
con [a0] = [I], e
�
[ai] y (n−i)�
=
n�
i=1
�
[bi] u (n−i)�
, (15.17)
�
n�
{y} = [ai]s n−i
�−1� n�
[bi]s n−i
�
{u}. (15.18)
i=0
i=1
15.3.1 Invarianza di una rappresentazione agli stati
Una rappresentazione agli stati è invariante rispetto ad una trasformazione degli stati che sia invertibile.
Data una trasformazione
{x} = [T]{x ′ } (15.19)
invertibile, tale per cui
{x ′ } = [T] −1 {x}, (15.20)
il sistema (15.1) diventa
{˙x ′ } = [T] −1 [A][T]{x ′ }+[T] −1 [B]{u} (15.21a)
{y} = [C][T]{x ′ }+[D]{u}. (15.21b)
Si consideri ora, in analogia con la (15.13), la rappresentazione nel dominio di Laplace della (15.21),
� �
{y} = [C][T] s[I]−[T] −1 �−1 [A][T] [T] −1 �
[B]+[D] {u}
� �
= [C][T] s[T] −1 [T]−[T] −1 �−1 [A][T] [T] −1 �
[B]+[D] {u}
� �
= [C][T] [T] −1 �−1 (s[I]−[A])[T] [T] −1 �
[B]+[D] {u}
�
= [C][T][T] −1 (s[I]−[A]) −1 [T][T] −1 �
[B]+[D] {u}
�
= [C](s[I]−[A]) −1 �
[B]+[D] {u}. (15.22)
La(15.22)èidenticaalla(15.13), quindiunatrasformazioneinvertibiledellostatononcambialarelazione
tra ingresso e uscita.
15.3.2 Raggiungibilità ed osservabilità
Definizione di raggiungibilità:
15-4

Un sistema, per essere raggiungibile, deve consentire di portare, in un tempo finito arbitrario,
il suo stato {x} dal valore iniziale {x0} ad un qualsiasi valore desiderato, attraverso
un’opportuna scelta degli ingressi {u} tra l’istante iniziale e quello finale.
Spesso la raggiungibilità è denominata controllabilità. Definizione di osservabilità:
Perché un sistema sia osservabile, il moto di ogni suo stato, a partire da un qualunque valore
iniziale {x0}, deve poter essere rilevato in un tempo finito attraverso le uscite {y}, in assenza
di forzamento {u}.
Le nozioni di raggiungibilità e osservabilità sono generali3 , ovvero si applicano a sistemi lineari anche
tempovarianti o, in caso di sistemi non lineari, si applicano alla loro linearizzazione attorno ad una
soluzione di riferimento.
Per i sistemi lineari tempo-invarianti, esistono criteri di verifica particolarmente semplici. Si definiscono
le matrici di raggiungibilità
[Kr] = � [B], [A][B], [A] 2 [B], ... [A] n−1 [B] �
(15.23)
e osservabilità
�
[Ko] =
[C] T , [A] T [C] T ,
�
[A] T� 2
[C] T , ...
�
[A] T� n−1
[C] T
�
, (15.24)
con n pari al numero degli stati. Il sistema si dice raggiungibile se la matrice [Kr] ha rango pieno, e si
dice osservabile se la matrice [Ko] ha rango pieno.
Si noti che, se il sistema ha nu ingressi e ny uscite, le matrici [Kr] e [Ko] hanno ordine rispettivamente
n × (n · nu) e n × (n · ny). Ne consegue che il loro rango non può essere maggiore di n, la dimensione
più piccola. Tuttavia, è possibile che abbiano rango inferiore a n, nel qual caso il sistema sarebbe
rispettivamente non raggiungibile o non osservabile.
15.3.3 Verifica intuitiva del criterio di osservabilità
La definizione di osservabilità dice che qualunque sia lo stato iniziale {x0}, deve poter essere rilevato
attraverso le uscite {y} in un tempo finito, in assenza di forzamento {u}. Questo significa che l’uscita
dovuta all’integrale generale,
{y} = [C]e [A]t {x0}, (15.25)
deve essere non-nulla qualunque sia {x0}.
Se esiste un vettore {x0} = {z} tale per cui la (15.25) è identicamente nulla, ovvero
[C]e [A]t {z} ≡ {0}, ∀{z} �= {0}, (15.26)
allora anche tutte le derivate di {y} devono essere identicamente nulle. Ne consegue che
{˙y} = [C][A]e [A]t {z} = {0} (15.27a)
{¨y} = [C][A] 2 e [A]t {z} = {0} (15.27b)
...
�
y (n−1)�
= [C][A] n−1 e [A]t {z} = {0}. (15.27c)
Perché questo sia vero qualunque sia t, compreso t = 0, il vettore {z} deve essere ortogonale a tutte le
matrici [C][A] k , con k = 0,n−1. Ma questo è possibile solo se la matrice [Ko] ha rango minore di n.
3 Esistono anche definizioni meno stringenti, che vengono riportate per completezza. Si parla di stabilizzabilità quando
un sistema è raggiungibile, oppure i suoi stati non raggiungibili sono asintoticamente stabili. Si parla di rilevabilità (in
inglese detectability) quando un sistema è osservabile, oppure i suoi stati non osservabili sono asintoticamente stabili.
15-5

Un ragionamento analogo può essere svolto per il criterio di raggiungibilità. Si può anche notare che
dato un sistema
{˙xo} = [Ao]{xo}+[Bo]{uo} (15.28a)
{yo} = [Co]{xo} (15.28b)
che sia osservabile, ovvero tale per cui [Ko] abbia rango pieno, si ottiene un sistema
{˙xr} = [Ar]{xr}+[Br]{ur} (15.29a)
{yr} = [Cr]{xr} (15.29b)
sicuramente raggiungibile ponendo [Ar] = [Ao] T , [Br] = [Co] T , [Cr] = [Co] T , dal momento che la matrice
di raggiungibilità [Kr] di quest’ultimo sistema è strutturalmente identica alla matrice di osservabilità del
problema precedente.
15.4 Rappresentazione agli stati di problemi meccanici
La rappresentazione agli stati di problemi meccanici richiede di esprimere l’equazione
[M]{¨z}+[R]{˙z}+[K]{z} = {f} (15.30)
mediante la quadrupla di matrici [A], [B], [C], [D].
15.4.1 Oscillatore armonico smorzato
Si consideri il caso di un oscillatore armonico smorzato, oggetto principale di studio del capitolo 6. Il suo
moto è descritto dall’equazione
m¨z +r˙z +kz = f. (15.31)
La realizzazione agli stati più intuitiva consiste nel definire w = ˙z e quindi
� �
w
{x} =
z
(15.32a)
{u} = {f} (15.32b)
� �
−r/m −k/m
[A] =
(15.32c)
1 0
� �
1/m
[B] =
(15.32d)
0
[C] = � 0 1 � . (15.32e)
Si considerino gli autovalori del sistema, radici del polinomio caratteristico
Essi sono
det(λ[I]−[A]) = λ 2 +λr/m+k/m = 0. (15.33)
λ = − r
2m ±
�
�
r
�2 −
2m
k
. (15.34)
m
Il polinomio caratteristico è ovviamente identico a quello che si ottiene considerando direttamente
l’equazione di secondo grado originaria.
Per questo sistema il problema dell’osservabilità e della raggiungibilità non si pone, in quanto sappiamo
dalla fisica che si tratta di un sistema in realtà ad un solo grado di libertà, quindi un forzamento
15-6

applicato al grado di libertà non può non eccitarlo, e la misura scelta è direttamente il grado di libertà
stesso. È tuttavia interessanteverificareil calcolo delle matrici di raggiungibilità e osservabilità; si ottiene
� �
2 1/m −r/m
[Kr] =
(15.35a)
0 1/m
� �
0 1
[Ko] = , (15.35b)
1 0
e quindi il sistema è raggiungibile e osservabile (anche in assenza di smorzamento, per r = 0).
15.4.2 Forma canonica di controllabilità
Tra le infinite realizzazioni possibili, un caso importante è rappresentato dalla forma canonica di controllabilità,
o forma canonica di raggiungibilità,
⎧ ⎫ ⎡
⎤⎧
⎫ ⎧ ⎫
˙x1
−a1 −a2 −a3 ... −an x1 1
⎪⎨ ˙x2 ⎪⎬
⎢ 1 0 0 0 ⎥
⎥⎪⎨
x2 ⎪⎬ ⎪⎨ 0 ⎪⎬
⎢
˙x3 = ⎢ 0 1 0 0 ⎥ x3 ⎥ + 0 u (15.36a)
⎢
⎪⎩
...
.
⎪⎭
⎣ . .
.
..
.
⎥ .
. ⎦ .
.
⎪⎩
.
.
⎪⎭ ⎪⎩
. ⎪⎭
˙xn 0 0 0 ... 0 xn 0
⎧ ⎫
y = � b1 b2 b3 ... bn
⎪⎨ �
⎪⎩
x1
x2
x3
.
xn
⎪⎬
. (15.36b)
⎪⎭
Il nome esprime il fatto che la matrice di raggiungibilità è intrinsecamente triangolare superiore, con i
coefficienti diagonali unitari, e quindi la raggiungibilità è strutturalmente garantita indipendentemente
dai coefficienti della funzione originaria.
Esercizio 15.3 Si scriva la matrice di raggiungibilità [Kr] della forma canonica di raggiungibilità.
Bilanciamento. È opportuno ricordare che spesso le matrici che si ottengono mediante canonicizzazione
sono mal condizionate. Può essere vantaggioso scalarle mediante algoritmi di bilanciamento che
scalano gli stati e l’ingresso in modo da migliorare il condizionamento sia per quanto riguarda la fattorizzazione
della matrice [A] che l’estrazione dei suoi autovalori. Si vedano ad esempio le funzioni balance
di Matlab e Octave, e le funzioni dgebal e dggbal di LAPACK.
Il bilanciamento consiste nel calcolare una matrice di trasformazione [T] che consenta di esprimere
gli stati {x} come
{x} = [T]{ˆx}. (15.37)
A questo punto, il problema diventa
� �
˙ˆx
= [T] −1 [A][T]{ˆx}+[T] −1 [B]{u} (15.38a)
{y} = [C][T]{ˆx}+[D]{u}. (15.38b)
La scalatura [T] viene scelta in modo che la matrice bilanciata [T] −1 [A][T] abbia la norma di righe e
colonne dello stesso ordine di grandezza.
Ad esempio, si consideri la matrice [A] associata ad un oscillatore armonico non smorzato di frequenza
caratteristica pari a ω0 = 10 radianti/s, realizzato in forma canonica di raggiungibilità, ovvero
octave:1> A = [0 -100; 1 0]
A =
15-7

0 -100
1 0
octave:2> [T, AA] = balance(A)
T =
AA =
8 0
0 1
0.00000 -12.50000
8.00000 0.00000
Anche per un problema così semplice una scalatura è opportuna. Essa consiste nel dividere il primo stato
per 8. Per ragioni di efficienza, la funzione balance effettua la scalatura utilizzando potenze di 2.
Oscillatore armonico smorzato
Si consideri il problema descritto dall’equazione (15.31). La sua realizzazione in forma canonica di
controllabilità è molto simile a quella presentata nelle (15.32), ottenuta in modo del tutto intuitivo.
Si riscriva infatti tale equazione nella forma
¨z + r k
˙z +
m m z = 0 f ˙
1
+
m f
↑ ↑ ↑ ↑
.
↑
(15.39)
1 a1 a2 b1 b2
In base alle (15.36) ne risultano le matrici
{u} = f (15.40a)
� �
−r/m −k/m
[A] =
(15.40b)
1 0
� �
1
[B] =
(15.40c)
0
[C] = � 0 1/m � . (15.40d)
La differenza principale rispetto alla scrittura intuitiva delle (15.32) sta nel fatto che ora la divisione
per m compare nella matrice [C] anziché nella [B]. Di conseguenza gli stati non assumono il significato
di posizione e velocità, ma di integrale della quantità di moto e quantità di moto. Data la specificità
di questo caso, per cui il coefficiente b1 è sempre zero, nulla vieta di considerare la forma presentata
nelle (15.32).
15-8

Generico sistema meccanico
Si ottiene il risultato desiderato con una minima rielaborazione 4 della forma canonica di controllabilità,
ovvero
{u} = {f} (15.42a)
� �
−1 −1
−[M] [R] −[M] [K]
[A] =
(15.42b)
[I] [0]
� � −1
[M]
[B] =
(15.42c)
[0]
[C] = � [0] [I] � . (15.42d)
Sinoticheèrichiestal’inversionedellamatricedimassadelproblema. Taleoperazionepuòessereonerosa
per problemi di grandi dimensioni. In tali casi, dal momento che il problema può essere formulato in
modo che la matrice di massa sia simmetrica definita positiva, può essere opportuno riformulare la
formalizzazione agli stati considerando prima una decomposizione di Cholesky della matrice, tale per cui
[M] = [L][L] T , (15.43)
ove [L] sia una matrice triangolare inferiore. Si ponga poi {w} = [L] T {z}. A questo punto, il problema
di equazione (15.30) può essere riformulato come
{¨w}+[L] −1 [R][L] −T { ˙w}+[L] −1 [K][L] −T {w} = [L] −1 {f}. (15.44)
Le matrici [L] −1 [R][L] −T e [L] −1 [K][L] −T sono simmetriche per costruzione se anche le matrici [R] e
[K] lo sono. La rappresentazione agli stati diventa
{u} = {f} (15.45a)
� �
−1 −T −1 −T
−[L] [R][L] −[L] [K][L]
[A] =
(15.45b)
[I] [0]
� � −1
[L]
[B] =
(15.45c)
[0]
� �
−T
[C] = [0] [L] . (15.45d)
15.4.3 Forma canonica di osservabilità
Un altro caso importante è rappresentato dalla forma canonica di osservabilità,
⎧ ⎫ ⎡
˙x1
−a1
⎪⎨ ˙x2 ⎪⎬
⎢ −a2 ⎢
˙x3 = −a3 ⎢
⎪⎩
...
.
⎪⎭
⎣ .
˙xn −an
⎤⎧
⎫ ⎧ ⎫
1 0 ... 0 x1 b1
0 1 0 ⎥
⎥⎪⎨
x2 ⎪⎬ ⎪⎨ b2 ⎪⎬
0 0 0 ⎥ x3 ⎥ + b3 u
. ..
.
⎥ .
. ⎦ . .
⎪⎩
. .
⎪⎭ ⎪⎩
. ⎪⎭
0 0 ... 0 xn bn
⎧ ⎫
(15.46a)
y = � 1 0 0 ... 0 �
⎪⎨
⎪⎩
x1
x2
x3
.
xn
⎪⎬
. (15.46b)
⎪⎭
4 Una realizzazione secondo la forma canonica avrebbe la matrice [A] data dalla (15.42b), mentre le matrici [B] e [C]
sarebbero
[B] =
� [I]
[0]
�
[C] = � [0] [M] −1 � . (15.41)
Anche in questo caso gli stati perderebbero il significato fisico di spostamenti e velocità; per questo motivo può essere
preferibile utilizzare la forma modificata.
15-9

Il nome esprime il fatto che la matrice di osservabilità è intrinsecamente triangolare superiore, con i
coefficienti diagonali unitari, e quindi l’osservabilità è strutturalmente garantita indipendentemente dai
coefficienti della funzione originaria.
Esercizio 15.4 Si scriva la matrice di osservabilità [Ko] della forma canonica di osservabilità.
Oscillatore armonico smorzato
Si consideri il problema descritto dall’equazione (15.31). Ricordando la (15.39), la sua realizzazione in
forma canonica di osservabilità è
{u} = f (15.47a)
� �
−r/m 1
[A] =
(15.47b)
−k/m 0
� �
0
[B] =
(15.47c)
1/m
[C] = � 1 0 �
(15.47d)
Anche questa forma può essere ottenuta in modo relativamente intuitivo, definendo
e quindi
mw = m˙z +rz (15.48)
m ˙w +kz = f. (15.49)
Le matrici di raggiungibilità e osservabilità sono
� �
0 1/m
[Kr] =
(15.50a)
1/m 0
� �
1 −r/m
[Ko] = , (15.50b)
0 1
a conferma che il problema è strutturalmente osservabile e, nel caso specifico, raggiungibile.
15.5 Risposta a forzanti specifiche
15.5.1 Risposta impulsiva
In aggiunta a quanto già illustrato nella sezione 13.4 si consideri un generico sistema, rappresentato agli
stati, in cui, senza ledere la generalità, sia presente un solo ingresso u(t) impulsivo u(t) = f1δ(t−t1). La
soluzione generale data dalla (15.7), con t1 > t0, diventa
{xp(t−t0)} =
� t
t0
e [A](t−τ) [B]f1δ(τ −t1) dτ = step(t−t1)e [A](t−t1) [B]f1, (15.51)
che, come già notato nella sezione 13.4, corrisponde all’integrale generale dato dalla (15.2) in cui le
condizioni iniziali siano {x0} = [B]f1.
Esercizio 15.5 A partire dalla (15.51) si valuti la risposta del sistema meccanico descritto da m¨x+r˙x+
kx = f0δ(t−t1) con condizioni iniziali x(t0) = 0 e ˙x(t0) = 0, con t1 > t0.
15-10

15.5.2 Risposta a scalino
Si consideri una forzante a scalino, ovvero una forza che ha valore nullo per t < t1 e valore costante pari
a f0 per t > t1, senza che occorra specificarne il valore al tempo t1. Si consideri un generico sistema,
rappresentato agli stati, in cui, senza ledere la generalità, sia presente un solo ingresso u(t) a scalino di
valore f0 al tempo t1. La soluzione generale data dalla (15.7), con t1 > t0, diventa
{xp(t−t0)} =
� t
t0
e [A](t−τ) [B]f0step(τ −t1) dτ = step(t−t1)
� t
t1
e [A](t−τ) dτ [B]f0, (15.52)
ove la funzione step(t−t1) è stata introdotta per imporre che la soluzione sia considerata solo per t ≥ t1,
mentre per t < t1 la soluzione è nulla per causalità5 . Si consideri il cambio di variabile τ = η+t, per cui
dτ = dη; si ottiene
{xp(t−t0)} = step(t−t1)
� 0
t1−t
e −[A]η dη[B]f0 = −step(t−t1)
�
[A] −1 e −[A]η�� � � 0
t1−t
[B]f0
= −step(t−t1)[A] −1�
[I]−e [A](t−t1)�
[B]f0. (15.53)
Perché la risposta sia definita occorre che [A] non sia singolare. Se gli autovalori della matrice [A] hanno
parte reale negativa, per t → ∞ si ottiene la soluzione statica
lim
t→∞ {xp(t−t0)} = −[A] −1 [B]f0, (15.54)
data direttamente dalla (15.1a) per {u} costante a transitorio esaurito, ovvero per {˙x} = {0}. L’uscita
a transitorio esaurito è quindi
{y} = −[C][A] −1 [B]+[D]. (15.55)
Esercizio 15.6 A partire dalla (15.53) si valuti la risposta del sistema meccanico descritto da m¨x+r˙x+
kx = f0step(t−t1) con condizioni iniziali x(t0) = 0 e ˙x(t0) = 0, con t1 > t0.
15.6 Approssimazioni
In questo paragrafo sono presentate le definizioni di alcune forme di approssimazione di sistemi dinamici
la cui applicazione può essere utile nel caso in cui siano valide opportune ipotesi, in base alle quali la
dinamica del sistema, o una sua porzione, siano trascurabili ai fini dell’analisi che si intende effettuare.
Alcune definizioni saranno fornite in modo intuitivo, sia perché la loro formalizzazione richiede strumenti
relativamente sofisticati che non è opportuno introdurre in questo contesto, sia perché spesso la
scelta di quando utilizzare un’approssimazione e quanto spingerla sono soggettive e spesso basate su
considerazioni empiriche.
15.6.1 Approssimazione statica
Si ha un’approssimazione cosiddetta statica (o stazionaria) quando la dinamica del sistema viene interamente
trascurata. Si consideri la soluzione a regime, ovvero a transitorio esaurito, di un sistema
dinamico asintoticamente stabile, soggetto ad un ingresso costante {u(t)} = {u0}. Questo significa che
la soluzione è costituita dal solo integrale particolare, dal momento che l’integrale generale in caso di
stabilità asintotica si annulla a condizione di lasciar trascorrere un tempo sufficientemente lungo.
In caso di ingresso costante, l’integrale particolare è dato da una soluzione costante; ovvero, posto
{0} = [A]{x}+[B]{u0}, (15.56)
si ricava {x} che, sostituito nella relazione di uscita, dà
{y} = −[C][A] −1 [B]{u0}. (15.57)
5 Siccome per t < t1 l’ingresso è nullo, anche l’uscita deve essere nulla.
15-11

Si noti che la matrice [A] deve essere invertibile; questa condizione è verificata in caso di stabilità
asintotica, perché in tale caso tutti gli autovalori di [A] devono avere parte reale negativa, e quindi sono
diversi da zero 6 .
Si ipotizzi ora un processo in cui l’ingresso {u} non è più costante, ma varia lentamente. Se la
variazione è sufficientemente lenta e regolare, si può pensare di suddividerla in tratti costanti, raccordati
dascalini. Intalecaso, larispostasaràdatadasequenzediintegraliparticolaricostanti, analoghi a quello
appena determinato, raccordati da integrali generali che tengono conto della variazione improvvisa di
condizioni al contorno.
Se il tempo necessario perché l’integrale generale si annulli è piccolo rispetto alla durata del singolo
tratto in cui è stato discretizzato l’ingresso, allora si può ridurre la lunghezza dei tratti, affinando la discretizzazione.
Se l’ingresso è sufficientemente regolare, questo comporta salti più piccoli nelle condizioni
al contorno, e così via, fino a rendere di nuovo continuo l’ingresso.
Ne risulta, in modo intuitivo, che la regolarità dell’ingresso fornisce un termine di paragone da confrontare
con la rapidità di annullamento dell’integrale generale. Se l’ingresso è sufficientemente regolare,
la dinamica del sistema non viene eccitata, e quindi è sufficiente considerare un’approssimazione statica
del sistema stesso,
{y(t)} s = −[C][A] −1 [B]{u(t)}, (15.58)
dove con s = si è indicata una uguaglianza non in senso stretto, ma mediante approssimazione stazionaria.
Approssimazione statica: interpretazione nel dominio di Laplace
Se si considera la trasformata di Laplace della rappresentazione agli stati, l’approssimazione statica
consiste nel valutare l’uscita per s = 0. Dalla (15.13) si ottiene
{y(s)} s=0 = −[C][A] −1 [B]{u(s)} (15.59)
che, antitrasformata di nuovo nel dominio del tempo, dà la (15.58).
Approssimazione stazionaria con ingresso instazionario
In alcuni contesti, il fatto che l’ingresso {u(t)} dipenda dal tempo porta a chiamare impropriamente
quasi-stazionaria l’approssimazione stazionaria appena descritta. Questo non è corretto, perché la
non-stazionarietà, ovvero la variabilità nel tempo, è solo dell’ingresso. La dinamica del sistema viene
interamente trascurata.
Si consideri per esempio un sistema dinamico molto semplice, costituito dalle forze aerodinamiche
stazionarie,
F = 1
2 ρv2 SCf (α), (15.60)
la cui dipendenza dall’angolo di incidenza α è confinata nel generico coefficiente Cf, che può essere
scomposto in Cl e in Cd proiettando la forza in direzione rispettivamente perpendicolare e parallela alla
velocità relativa �v, di cui v è il modulo. Il modello di forze aerodinamiche descritto dal coefficiente Cf
è puramente stazionario, in quanto non dipende dalla storia di α ma solo dal suo valore istantaneo,
nell’ipotesi che ogni transitorio si sia esaurito.
Se ad esempio la velocità relativa�v è combinazione di un vento asintotico v∞ in una direzione fissata,
e di un movimento del corpo, ˙ h, perpendicolare al vento relativo, l’angolo di incidenza istantaneo è
α = θ −tan −1
� �
˙h
, (15.61)
v∞
dove θ rappresenta l’orientazione del corpo rispetto alla direzione del vento relativo.
6 Si ricordi che una matrice è invertibile quando il suo determinante non è nullo, e il determinante di una matrice è pari
al prodotto di tutti i suoi autovalori.
15-12

Se si considera l’angolo di incidenza dato dalla (15.61) nel modello di forze aerodinamiche dato dalla(15.60)sicompieunaforzatura,
inquantola(15.60)èunmodellostazionariodelleforzeaerodinamiche,
mentre α può variare nel tempo (per via del termine ˙ h, nel caso di moto vario), e quindi viola l’ipotesi
di stazionarietà.
L’approssimazione può divenire accettabile se la variazione di α è sufficientemente lenta da consentire
di trascurare il transitorio della dinamica delle forze aerodinamiche che causerebbe. Il modello delle forze
rimane tuttavia puramente stazionario, nonostante l’ingresso instazionario.
15.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria
L’approssimazione quasi-stazionaria consiste nell’approssimare la convoluzione con la funzione esponenziale
della (15.7) mediante uno sviluppo in serie di Taylor, arrestato all’ordine desiderato, nell’ipotesi che
i transitori siano sufficentemente veloci da poter essere trascurati.
In alternativa, si consideri la (15.1a). La sua derivata dà
{¨x} = [A]{˙x}+[B]{˙u}, (15.62)
nell’ipotesi che l’ingresso sia sufficientemente regolare da poter essere derivato, e che la sua derivata sia
nota. È possibile sostituire la (15.1a) nella (15.62), da cui si ottiene
{¨x} = [A]([A]{x}+[B]{u})+[B]{˙u}. (15.63)
In analogia con il caso dell’approssimazione statica, nell’ipotesi che l’ingresso e la sua derivata siano
sufficientemente regolari rispetto al tempo necessario per annullare l’integrale generale, si trascuri la
derivata seconda dello stato, {¨x}. Si ottiene
{y(t)} qs1
= −[C][A] −1 [B]{u(t)}−[C][A] −2 [B]{˙u(t)}, (15.64)
che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. In analogia con l’uguaglianza
mediante approssimazione stazionaria, indicata con s =, con qs1
= si vuole indicare una uguaglianza mediante
approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine.
Esercizio 15.7 Si verifichi come, scrivendola convoluzionenella forma dell’esercizio15.1 con la forzante
{u(t − τ)} sviluppata in serie di Taylor rispetto a t, l’integrazione della forma risultante consenta di
riottenere la (15.64).
L’operazione può essere ripetuta arrestandosi ad ordini più elevati. Ad esempio, se si deriva ulteriormente
la (15.62) e si eseguono le opportune sostituzioni, si ottiene
{y(t)} qs2
= −[C][A] −1 [B]{u(t)}−[C][A] −2 [B]{˙u(t)}−[C][A] −3 [B]{ü(t)}, (15.65)
che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria del second’ordine.
In generale, la sequenza di derivazioni può essere continuata a piacere. Tuttavia, al crescere dell’ordine,
sono richieste via via derivate di ordine superiore dell’ingresso, la cui disponibilità può essere
problematica, oltre a non avere un chiaro significato fisico.
Si noti come in questo caso la dinamica del sistema venga in parte recuperata mediante la dinamica
dell’ingresso (le sue derivate), attraverso opportune matrici −[C][A] −n [B] fra loro indipendenti.
Approssimazione quasi-stazionaria: interpretazione nel dominio di Laplace
Se si considera la trasformata di Laplace della rappresentazione agli stati, l’approssimazione quasistazionaria
consiste nel valutare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione di trasferimento, arrestato
all’ordine dell’approssimazione, per s = 0.
Si ricorda che la derivata dell’inversa di una matrice [M] rispetto ad un generico parametro scalare s
è data dalla relazione
d
ds
�
[M] −1�
= −[M] −1
�
d
ds [M]
�
[M] −1 . (15.66)
15-13

Esercizio 15.8 Si verifichi la relazione (15.66).
Da questa relazione, con alcune manipolazioni, si ricava
d j
dsj �
[C](s[I]−[A]) −1 �
[B] = j!(−1) j [C](s[I]−[A]) −j−1 [B]. (15.67)
Lo sviluppo in serie di Taylor della (15.13) attorno a s = 0 dà quindi
{y(s)} ∼ =
�
−[C][A] −1 [B]−s[C][A] −2 [B]−...−s k [C][A] −k−1 �
[B] {u(s)} (15.68)
Questa può essere riscritta come
{y(s)} ∼ = −[C][A] −1 [B]{u(s)}−[C][A] −2 [B]s{u(s)}−...−[C][A] −k−1 [B]s k {u(s)}, (15.69)
ove si è messa in evidenza, mediante moltiplicazione per s j , la derivazione dell’ingresso. Questa relazione,
antitrasformata di nuovo nel dominio del tempo, dà
{y(t)} qs-k
= − �
j=0,k
[C][A] −j−1 �
[B] u (j) �
(t) , (15.70)
ovvero la formula dell’approssimazione quasi-stazionaria dedotta in precedenza, compresa l’approssimazione
stazionaria intesa come approssimazione quasi-stazionaria di ordine 0. Con {u (j) (t)} si indica
la derivata j-esima dell’ingresso.
Esempio: oscillatore armonico
Si consideri il caso dell’oscillatore armonico in forma canonica di osservabilità dato dalle (15.47). Si
supponga che il forzamento avvenga mediante cedimento imposto v della base, ovvero che f = kv +r˙v.
Si noti che, per r �= 0, occorre conoscere a priori la derivata prima del moto della base.
Oscillatore armonico non smorzato. Si consideri innanzitutto il caso non smorzato, ovvero con
r = 0. L’approssimazione stazionaria è data da
z s = − � 1 0 ��
0 1
−k/m 0
� −1�
0
1/m
�
kv = v. (15.71)
L’approssimazione stazionaria non può che consistere in uno spostamento del corpo identico a quello del
vincolo, in assenza di forze dinamiche che lo contrastino.
L’errorecommessopuòessereagevolmentevalutatorispettoallafrequenzadellaforzanteconsiderando
che la risposta a forzante armonica di questo sistema è
1
z(jΩ) =
1−Ω 2 /ω2v(jΩ), (15.72)
0
ove ω0 = � k/m. Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde a trascurare il contributo
delle forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0.
Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. Si ottiene
z qs1
= v − � 1 0 ��
0 1
−k/m 0
� −2�
0
1/m
�
k˙v = v. (15.73)
L’aggiunta di un termine del primo ordine non comporta alcun cambiamento nell’approssimazione. Ciò
è in qualche misura atteso, perché non vi sono contributi del primo ordine alla dinamica del sistema.
15-14

Si consideri infine un’approssimazione quasi-stazionaria del secondo ordine. Si ottiene
z qs2
= v − � 1 0 ��
0 1
−k/m 0
� −3�
In frequenza, questa approssimazione diventa
0
1/m
�
k¨v = v − ¨v/ω 2 0. (15.74)
z(jΩ) = � 1+Ω 2 /ω 2� 0 v(jΩ). (15.75)
Il miglioramento che introduce rispetto alle precedenti può essere valutato considerando che la (15.72)
può essere riscritta come
z(jΩ) =
�
1+ Ω2 /ω2 0
1−Ω 2 /ω2 �
v(jΩ), (15.76)
0
che mette in luce come compaia un termine del secondo ordine in Ω. L’approssimazione quasi-stazionaria
del second’ordine tende alla (15.76) per 0 ≤ Ω ≪ ω0.
Oscillatore armonico smorzato. In questo caso, l’approssimazione stazionaria è data da
z s = − � 1 0 �� −r/m 1
−k/m 0
In frequenza, questo corrisponde a
� −1�
0
1/m
�
(kv +r˙v) = v + r
˙v. (15.77)
k
z(jΩ) = (1+2jξΩ/ω0)v(jΩ). (15.78)
L’errorecommessopuòessereagevolmentevalutatorispettoallafrequenzadellaforzanteconsiderando
che la risposta a forzante armonica di questo sistema è
1+2jξΩ/ω0
z(jΩ) =
1−Ω 2 /ω2 0 +2jξΩ/ω0
v(jΩ), (15.79)
ove ω0 = � k/m e ξ = r/(2 √ km). Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde non
solo a trascurare il contributo delle forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0, ma anche a
sopravvalutareilcontributodelleforzeviscose, dalmomentoche, seΩ 2 /ω 2 0 ètrascurabile, allorala(15.79)
si riduce all’unità, mentre l’approssimazione stazionaria dà una risposta complessa e quindi sfasata.
Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria del primo ordine. Si ottiene
z qs1
= v + r
k ˙v −� 1 0 �� −r/m 1
−k/m 0
In frequenza, questo diventa
� −2�
0
1/m
�
(k˙v +r¨v) = v − r2
k 2¨v.
(15.80)
z(jΩ) = � 1+4ξ 2 Ω 2 /ω 2� 0 v(jΩ). (15.81)
L’errore rispetto all’espressione esatta della risposta in frequenza contiene a numeratore un termine
Ω 2 /ω 2 0, oltre a termini di ordine superiore, che sono trascurabili quando 0 ≤ Ω ≪ ω0. Ciò che più conta
è che la presenza del contributo quasi-stazionario rende l’approssimazione puramente reale, e quindi
elimina lo sfasamento spurio introdotto dall’approssimazione stazionaria.
Nonconvienespingersioltre, dalmomentocheun’approssimazionequasi-stazionariadelsecond’ordine
richiederebbe la conoscenza della derivata terza dello spostamento del vincolo, ...
v.
15-15

Esempio: forze aerodinamiche
Si ipotizzi di poter esprimere, mediante un modello agli stati, la dinamica delle forze aerodinamiche in
funzione di un ingresso dipendente dal tempo. In questo caso, l’uscita y rappresenta le forze aerodinamiche
in senso lato, mentre l’ingresso u rappresenta la condizione al contorno cinematica, ad esempio
l’angolo di incidenza effettivo in un problema bidimensionale associato ad un corpo aerodinamico rigido.
Come illustrato nella (15.61), la dipendenza dal tempo dell’ingresso α in un semplice modello come
quellorappresentatodalcoefficienteCf della(15.60)puòesserelegatoalmovimentodelsistema, descritto
da rotazione θ e spostamento trasversale h.
Una volta nota la quadrupla, qualora il tipo di analisi lo giustifichi, è possibile ricavarne modelli
approssimati, mediante approssimazione statica o quasi-stazionaria. In quest’ultimo caso, conviene
arrestarsi al prim’ordine, in quanto, se si considera la linearizzazione dell’angolo di incidenza
α ∼ = θ − ˙ h
v∞
, (15.82)
l’ingresso u = α è proporzionale a θ e ˙ h. L’approssimazione quasi-stazionaria del prim’ordine richiede
infatti la conoscenza dell’ingresso fino alla derivata prima, che contiene ˙ θ e ¨ h. Nella descrizione della
dinamicadiunsistemameccanico, disolitoleincognitecinematichecompaionofinoalladerivataseconda,
per via delle forze d’inerzia. Quindi conviene arrestare l’ordine dell’approssimazione al più a quel valore
che richiede la derivata massima delle incognite cinematiche che sia già disponibile.
Il generico coefficiente aerodinamico diventa così
dove
= −[C][A] −1 [B]α(t)−[C][A] −2 [B] ˙α(t)
= −[C][A] −1 �
[B] θ − ˙ �
h
−[C][A]
v∞
−2 �
[B] ˙θ − ¨ �
h
v∞
�
1 = 0 v∞ [C][A]−2 �
[B]
� �
θ¨
¨h
�
+ −[C][A] −2 1 [B] v∞ [C][A]−1 �
[B]
� �
θ˙
˙h
Cf (t) qs1
+ � −[C][A] −1 [B] 0 �� θ
h
�
. (15.83)
Se si considera per esempio un problema del tipo
� � � � � � � �
¨θ ˙θ θ m
[M]
¨h
+[R]
˙h
+[K] = , (15.84)
h l
m = 1
2 ρv2 SLCm
l = 1
2 ρv2 SCl
(15.85a)
(15.85b)
sono rispettivamente il momento aerodinamico e la portanza, la loro rappresentazione quasi-stazionaria
del prim’ordine mediante la (15.83) porta a scrivere
�
[M]+ 1
2 ρv2 �
0 −L/v∞[Cm][Am]
S
−2 [Bm]
0 −1/v∞[Cl][Al] −2 ��� �
¨θ
[Bl] ¨h
�
+ [R]+ 1
2 ρv2 �
[Cm][Am]
S
−2 [Bm] −L/v∞[Cm][Am] −1 [Bm]
[Cm][Am] −2 [Bm] −1/v∞[Cl][Al] −1 ��� �
˙θ
[Bl] ˙h
�
+ [K]+ 1
2 ρv2 �
[Cm][Am]
S
−1 [Bm] 0
[Cl][Al] −1 ��� � � �
θ m0
= , (15.86)
[Bl] 0 h l0
15-16

dove si è sfruttato il fatto che la (15.83) dipende dal movimento della struttura, θ e h, e dalle loro derivate
fino al secondo ordine.
Quindi l’approssimazione porta a contributi formalmente analoghi a rigidezze, smorzamenti e inerzie
di natura aerodinamica. Senza voler entrare nel significato fisico di questi contributi, dal punto di vista
della modellazione le approssimazioni (quasi-)stazionarie consentono quindi di estendere l’utilizzo di
modelli e tecniche di analisi già note ed impiegate per la dinamica strutturale a problemi di interazione.
Nota a margine: la scrittura diretta della quadrupla del sistema è piuttosto complessa, se non impossibile.
Per questo motivo non vengono forniti esempi. Di solito viene ricavata mediante tecniche
specifiche di identificatione basate sulla minimizzazione dell’errore nella rappresentazione nel dominio di
Laplace di modelli aerodinamici instazionari di cui è nota o calcolabile la rappresentazione analitica o
per lo meno numerica [5].
15.6.3 Residualizzazione degli stati“veloci”
Nelgiustificarel’approssimazionestazionaria, sièintrodottal’ideadiconfrontareitempidiannullamento
dell’integrale generale con la regolarità dell’ingresso.
In realtà i sistemi meccanici, ad esempio le grandi strutture metalliche, sono caratterizzate da comportamento
dinamico particolare: i movimenti liberi sono molto poco smorzati, e coprono un ampio
intervallo di frequenze. Lo smorzamento strutturale presente, anche se piccolo, è sufficiente a rendere il
comportamento della struttura asintoticamente stabile.
Quindi è lecito attendersi che i movimenti liberi a frequenze più basse, ω0l, vengano eccitati dall’ingresso,
nel momento in cui Ω ≈ ω0l, rispondendo quindi dinamicamente, mentre i movimenti liberi a
frequenze più alte, ω0v, per cui vale ancora Ω ≪ ω0v, vengano sì eccitati, ma solo staticamente.
Si supponga ora di essere in grado di partizionare gli stati del problema in “lenti”, {xl}, le cui
frequenze caratteristiche ω0l siano in qualche modo confrontabili con quelle dell’ingresso, e “veloci”,
{xv}. Il problema diventa
� �
{˙xl}
=
{˙xv}
� ��
[All] [Alv] {xl}
[Avl] [Avv] {xv}
{y} = � [Cl] [Cv] �� �
{xl}
{xv}
� �
[Bl]
+
[Bv]
�
{u} (15.87a)
(15.87b)
A questo punto, in base alle considerazioni precedenti, si trascuri la dinamica degli stati veloci, ponendo
{˙xv} r = {0}, dove r = indica approssimazione per residualizzazione della dinamica veloce. L’equazione
degli stati veloci diventa quindi algebrica:
{0} r = [Avl]{xl}+[Avv]{xv}+[Bv]{u}. (15.88)
Da quest’ultima è immediato ricavare il valore degli stati veloci,
{xv} r = −[Avv] −1 [Avl]{xl}−[Avv] −1 [Bv]{u}, (15.89)
che, sostituiti nell’equazione degli stati lenti e in quella dell’uscita, danno
{˙xl} r �
= [All]−[Alv][Avv] −1 � �
[Avl] {xl}+ [Bl]−[Alv][Avv]
� �� �
−1 �
[Bv] {u} (15.90a)
� �� �
{y} r �
=
[A r ]
[Cl]−[Cv][Avv] −1 [Avl]
�
� �� �
[C r ]
�
{xl}+
[B r ]
−[Cv][Avv] −1 �
[Bv] {u}. (15.90b)
� �� �
[D r ]
Come si può notare, da un sistema strettamente proprio, mediante residualizzazione degli stati veloci
se ne è ottenuto uno proprio, in cui compare il termine di trasmissione diretta [D r ] relativo agli stati
residualizzati.
Esistono numerosi criteri e tecniche, dal punto di vista matematico, che consentono di operare la
scelta di quali stati eliminare. Esse si basano in genere su considerazioni di ottimalità della base ridotta
che si ottiene. Tra queste vale la pena di citare la selezione in base alla frequenza dei modi propri, l’uso
di spazi di Krylov con controllo sull’errore residuo, l’uso del troncamento bilanciato [6].
15-17

Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un sistema libero in coordinate modali
Siconsideril’esempiodelleduemassenonvincolateecollegatedaunamolla,discussonelparagrafo14.2.3.
Utilizzando la forma canonica di controllabilità, si ottiene
{u} = f
⎡ ⎤
0 0 0 0
⎢
[A] = ⎢ 0 0 0 −2k/m ⎥
⎣ 1 0 0 0 ⎦
(15.91a)
(15.91b)
0 1 0
⎡ ⎤
1/(2m)
⎢
[B] = ⎢ 1/(2m) ⎥
⎣ 0 ⎦
0
(15.91c)
0
� �
0 0 1 1
[C] = .
0 0 1 −1
(15.91d)
Sono state usate le matrici ottenute mediante l’approccio modale. Questo consente di utilizzare agevolmente
le frequenze caratteristiche per partizionare gli stati in“lenti”e“veloci”.
Nel caso in esame, si considerano“lenti”gli stati associati al moto libero del sistema, che ha frequenza
nulla, mentre quelli associati al moto relativo tra le due masse, che ha frequenza ω0 = � 2k/m, sono
considerati“veloci”. Si ottiene:
� �
� �
0 0
0 0
[All] =
[Alv] =
(15.92a)
1 0
0 0
� �
� �
0 0
0 −2k/m
[Avl] =
[Avv] =
(15.92b)
0 0
1 0
� �
� �
1/(2m)
1/(2m)
[Bl] =
[Bv] =
(15.92c)
[Cl] =
0
� 0 1
0 1
�
[Cv] =
0
� 0 1
0 −1
�
. (15.92d)
Il sistema residualizzato diventa
[A r � �
0 0
] =
(15.93a)
1 0
[B r � �
1/(2m)
] =
(15.93b)
0
[C r � �
0 1
] =
(15.93c)
0 1
[D r � �
1/(4k)
] = . (15.93d)
−1/(4k)
Si noti come la dinamica non dipenda in alcun modo dalla molla k (infatti [Avl] e [Alv] sono nulle). Il
suo effetto sul moto delle due masse è puramente statico, attraverso il termine di trasmissione diretta
[D r ].
Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un sistema libero in coordinate fisiche
Si consideri un sistema topologicamente analogo al precedente, ma costituito da due masse diverse, con
m2 ≫ m1. Si considerino direttamente le posizioni delle due masse quali coordinate libere. Si consideri,
come uscita, l’azione interna nella molla, definita come N = k(z1 −z2).
15-18

Utilizzando la forma canonica di controllabilità, si ottiene
{u} = f
⎡
0 0 −k/m1
⎢
[A] = ⎢ 0 0 k/m2
⎣ 1 0 0
⎤
k/m1
−k/m2 ⎥
0 ⎦
(15.94a)
(15.94b)
0 1 0
⎡ ⎤
1/m1
⎢
[B] = ⎢ 0 ⎥
⎣ 0 ⎦
0
0
(15.94c)
[C] = � 0 0 k −k � . (15.94d)
L’uso delle coordinate fisiche rende difficile decidere quali stati possano essere considerati“veloci”, quindi
residualizzabili staticamente, e quali debbano invece essere considerati“lenti”, di cui è necessario preservare
la dinamica. In questo caso specifico, intuitivamente occorre preservare la dinamica degli stati a cui
è associata la massa più grande, ovvero la seconda.
Si ottiene:
� �
� �
0 −k/m2
0 k/m2
[All] =
[Alv] =
(15.95a)
1 0
0 0
� �
� �
0 k/m1
0 −k/m1
(15.95b)
[Avl] =
0 0
� �
0
[Bl] =
0
[Cl] = � 0 −k �
Il sistema residualizzato diventa
[A r � �
0 0
] =
1 0
[B r � �
1/m2
] =
0
[C r ] = � 0 0 �
[Avv] =
[Bv] =
1 0
� �
1/m1
0
(15.95c)
[Cv] = � 0 k � . (15.95d)
(15.96a)
(15.96b)
(15.96c)
[D r ] = � 1 � . (15.96d)
Si noti come la dinamica non dipenda in alcun modo dalla molla k, ma soltanto dalla massa m2 che, per
ipotesi, è grossolanamente equivalente alla massa totale. Questo modello è tanto più“sbagliato”quanto
più è violata l’ipotesi m2 ≫ m1.
Inoltre c’è una trasmissione diretta tra l’ingresso f e l’azione interna nell’asta, pari esattamente a 1.
La misura dell’azione interna non dipende quindi dalla dinamica, ed è pari alla forza stessa.
Una immediata conseguenza di questa approssimazione è che il movimento complessivo del sistema
risulta errato. Infatti, il sistema dovrebbe muoversi di moto uniformememte accelerato con accelerazione
a = f/(m1+m2), mentre l’accelerazionedovuta all’approssimazioneèa r = f/m2. Inoltre, l’azione interna
dovrebbe essere N = fm2/(m1 +m2), ma l’approssimazione restituisce N r = f.
Si consideri ora lo stesso problema, ovvero con m2 ≫ m1, in coordinate modali. Le frequenze
caratteristiche e i rispettivi modi propri sono
ω 2 � �
1
1 = 0 {X} 1 =
(15.97a)
1
ω 2 2 = k m1
� �
+m2
−m2/m1
{X} 2 =
(15.97b)
m1m2
1
15-19

Le matrici diventano
⎡
⎤
0 0 0 0
⎢
[A] = ⎢ 0 0 0 −k(m1 +m2)/(m1m2) ⎥
⎣ 1 0 0 0 ⎦
0 1 0 0
⎡ ⎤
1
1 ⎢
[B] = ⎢ −1 ⎥
m1 +m2
⎣ 0 ⎦
0
� �
0 0 1 −m2/m1
[C] =
0 0 1 1
(15.98a)
(15.98b)
(15.98c)
A seguito del partizionamento in stati lenti e veloci, e della residualizzazione statica di questi ultimi, si
ottiene
[A r � �
0 0
] =
(15.99a)
1 0
[B r � �
1 1
] =
(15.99b)
m1 +m2 0
[C r � �
0 1
] =
(15.99c)
0 1
[D r 1
] =
k(1+m1/m2) 2
� �
1
. (15.99d)
−m1/m2
La forza nella molla è data da
1
F = k(x2 −x1) = −
1+m1/m2
(15.100)
ovvero differisce da quella applicata per la parte equilibrata dalla massa m1 sotto forma di forza d’inerzia.
Esempio: residualizzazione della dinamica veloce di un motore elettrico in CC
Si consideri il modello di motore elettrico in corrente continua che trascina una coppia resistente dipendente
dalla velocità angolare descritta nel paragrafo 10.3.
Dopo aver linearizzato il problema attorno alla condizione di regime ω = ˙ θ0, i = i0 in funzione della
tensione di alimentazione ea imposta, si ottiene l’equazione differenziale lineare
�
d ∆ω
dt ∆i
� �
−2rω0/J K/J
=
−K/La −Ra/La
�� ∆ω
∆i
� �
+
0
∆ea/La
�
. (15.101)
Si supponga che l’uscita sia y = ω.
In genere, la dinamica della parte elettrica del sistema è più“veloce”di quella della parte meccanica.
Se questa ipotesi è fondata, allora si può considerare“lento”lo stato associato alla parte meccanica, ω, e
“veloce”quello associato alla parte elettrica, i. Questo consiste nel porre di/dt r = 0. Dalla seconda riga
della (15.101) si ottiene
∆i r = − K
∆ω + 1
∆ea
Ra
Ra
che, sostituito nella prima riga della (15.101), dà
(15.102)
∆˙ω r � �
2rω0 K2
= − + ∆ω +
J JRa
K
∆ea. (15.103)
JRa
15-20

Al medesimo risultato si giunge considerando
[All] = − 2rω0
J
[Avl] = − K
La
[Alv] = K
J
[Avv] = − Ra
[Bl] = 0 [Bv] = 1
La
La
(15.104a)
(15.104b)
(15.104c)
[Cl] = 1 [Cv] = 0, (15.104d)
per cui il sistema residualizzato diventa
[A r � �
2rω0 K2
] = − +
J JRa
(15.105a)
[B r ] = K
JRa
(15.105b)
[C r ] = 1 (15.105c)
[D r ] = 0. (15.105d)
Gli autovalori della matrice del problema (15.101) sono
� �
�
�rω0 �2 rω0 Ra Ra
λ = − + ± − −
J 2La J 2La
K2
. (15.106)
JLa
Se Ra/La ≫ rω0/J (dinamica della parte elettrica molto più“veloce”di quella della parte meccanica),
diventano
⎧
⎪⎨ −∞�
�
λ = 2rω0 K2 . (15.107)
⎪⎩ − +
J JRa
Il secondo è pari al coefficiente caratteristico che si ottiene con la residualizzazione, dato dalla (15.105a).
15.6.4 Accelerazione dei modi
Con il nome di“accelerazione dei modi”(o, a volte, “modi di accelerazione”), si intende la soluzione di
un problema statico dettagliato per il quale le sollecitazioni dinamiche siano ottenute dall’analisi di un
modello approssimato. Come illustrato nel seguito, questo corrisponde ad una residualizzazione statica
della dinamica degli stati ritenuti“veloci”rispetto alla banda passante del forzamento.
Si consideri un generico problema a più gradi di libertà
[M]{¨x}+[K]{x} = {f} (15.108)
caratterizzato da scale delle dinamiche proprie molto diverse tra loro, tali per cui, in presenza di forzamento
{f} con banda relativamente limitata rispetto alle dinamiche più veloci del sistema, sia lecita una
residualizzazione statica di queste ultime.
Anche se non è strettamente necessario, tale residualizzazione, specialmente a fini illustrativi, può
risultare molto efficace se si descrivono i gradi di libertà {x} su base modale, ovvero {x} = [ψ]{q}. Si
suddividano i modi in “lenti”, [ψl], e “veloci”, [ψv], con [ψ] = [[ψl][ψv]]. Usando l’approccio modale il
problema diventa
� [diag(mil)] [0]
[0] [diag(miv)]
�� {¨ql}
{¨qv}
� �
[diag(kil)] [0]
+
[0] [diag(kiv)]
15-21
�� {ql}
{qv}
� �
=
[ψl] T {f}
[ψv] T {f}
�
(15.109)

e, a seguito della residualizzazione statica della dinamica dei modi veloci, ovvero posto {¨qv} r = {0},
� �� � � �� � �
[diag(mil)] [0] {¨ql} [diag(kil)] [0] {ql} r= [ψl]
+
[0] [0] {¨qv} [0] [diag(kiv)] {qv}
T {f}
[ψv] T �
.
{f}
(15.110)
Questa approssimazione è accettabile nel momento in cui le frequenze caratteristiche degli stati veloci,
ωiv = � kiv/miv, sono molto più grandi dell’estremo superiore della banda di frequenze che caratterizza
la forzante {f}. A questo punto la soluzione è
{x} = [ψl]{ql}+[ψv]{qv} = [ψl]{ql}+[ψv][diag(kiv)] −1 [ψv] T {f}, (15.111)
ove {ql} risulta dall’integrazione della dinamica dei gradi di libertà lenti, mentre i gradi di libertà veloci
sono risolti direttamente in quanto associati alle equazioni algebriche che costituiscono il secondo blocco
della (15.110).
Questo approccio richiede un cambiamento completo di base, e quindi la conoscenza di [ψl] e [ψv], il
cui calcolo, per problemi con un elevato numero di gradi di libertà, può essere molto oneroso. Siccome
il calcolo di un sottoinsieme dei modi propri di vibrare può essere relativamente più efficiente 7 , sarebbe
utile poter ottenere lo stesso risultato della (15.111) avendo a disposizione soltanto i modi lenti, ovvero
[ψl].
Si consideri ora il problema dato dalla (15.108) in cui le forze d’inerzia, in linea con l’approssimazione
data dalla residualizzazione statica della dinamica degli stati veloci, siano espresse in funzione dei soli
stati lenti, quindi {fin} = −[M][ψl]{¨ql}, a dare
da cui
[K]{x} = {f}−[M][ψl]{¨ql}, (15.112)
{x} = [K] −1 ({f}−[M][ψl]{¨ql}). (15.113)
Siccome la matrice di rigidezza modale si può esprimere come
[diag(ki)] = [ψ] T [K][ψ], (15.114)
l’inversa della matrice di rigidezza è
[K] −1 = [ψ][diag(ki)] −1 [ψ] T = [ψl][diag(kil)] −1 [ψl] T +[ψv][diag(kiv)] −1 [ψv] T . (15.115)
La (15.113) diventa quindi
{x} = [ψ][diag(ki)] −1 [ψ] T ({f}−[M][ψl]{¨ql})
= [ψl][diag(kil)] −1 [ψl] T ({f}−[M][ψl]{¨ql})
+[ψv][diag(kiv)] −1 [ψv] T ({f}−[M][ψl]{¨ql}); (15.116)
ma, per l’ortogonalità dei modi propri rispetto alla matrice di massa, nell’ultimo termine a destra
dell’espressione precedente si ha [ψv] T [M][ψl] = [0], quindi la (15.113) può essere scritta come
{x} = [ψl][diag(kil)] −1�
[ψl] T �
{f}−[diag(mil)]{¨ql} +[ψv][diag(kiv)] −1 [ψv] T {f}. (15.117)
A partire dal primo blocco della (15.110), si può scrivere
[ψl] T {f}−[diag(mil)]{¨ql} = [diag(kil)]{ql}, (15.118)
che, sostituito nella (15.117), dà di nuovo la (15.111).
7 Ad esempio utilizzando metodi iterativi per il calcolo degli autovalori quali il metodo delle potenze a blocchi o il metodo
di Lanczos.
15-22

01
01
01
01
01
01
01
01
01
k1
m1
x1
Figura 15.1: Esempio di applicazione dell’accelerazione dei modi.
Quindi la soluzione del problema (15.108) mediante residualizzazione statica della dinamica degli
stati veloci corrisponde ad integrare prima le equazioni del moto degli stati lenti, data dal primo blocco
della (15.110), e quindi risolvere il problema statico dato dalla (15.112) in cui le forze d’inerzia sono
portate a secondo membro e scritte in funzione dei soli stati lenti, come illustrato dalla (15.113). Questa
procedura richiede la semplice fattorizzazione della matrice di rigidezza 8 , in aggiunta al calcolo dei soli
autovettori [ψl], o di una opportuna base di spostamenti da considerarsi lenti, anziché il calcolo di tutti
gli autovettori. Si noti infine che la dimostrazione riportata sopra si avvale dell’ortogonalità degli autovettori
rispetto alle matrici di massa e di rigidezza; tuttavia, l’approssimazione del problema mediante
accelerazione dei modi rimane valida qualunque sia la base scelta, come dimostrato nell esercizio 15.9.
Esercizio 15.9 Scelto un sottospazio arbitrario [Hl] delle coordinate {x}, che non soddisfa il criterio
di ortogonalità rispetto alle matrici di massa e di rigidezza, lo si utilizzi come base di coordinate generalizzate
“lente” applicando l’approssimazione dell’accelerazione dei modi. Dato il complemento [Hv] di
[Hl], tale per cui [H] = [[Hl][Hv]] rappresenta una base completa, si scriva l’equazione del moto nelle
nuove coordinate, si residualizzino staticamente quelle veloci e si ricavi la soluzione {x} in funzione delle
coordinate lente {ql} e della residualizzazione di quelle veloci, {qv}. Si verifichi che la soluzione per
accelerazione dei modi è coincidente.
Si consideri per esempio il sistema illustrato in figura 15.1, costituito da una massa m1 collegata al
telaio da una molla k1, e da una seconda massa m2, confrontabile con m1, connessa alla prima da una
molla k2 molto più rigida dell’altra, k2 ≫ k1. Le equazioni del moto sono
� m1 0
0 m2
�� ¨x1
¨x2
� �
k1 +k2 −k2
+
−k2 k2
�� x1
x2
k2
�
=
m2
� f1
f2
x2
f2
�
. (15.119)
A partire dall’equazione omogenea associata alle equazioni del moto, si possono calcolare i modi propri
di vibrare del problema,
ω 2 1|2
�
1 k2
= +
2 m2
k1
�
+k2
∓
m1
1
�
�
k2
+
2 m2
k1
�2 +k2
−4
m1
k1
m1
k2
m2
. (15.120)
Il sistema sia soggetto ad una forzante armonica di frequenza Ω confrontabile con quella del primo
modo, applicata alla seconda massa; siccome k2 ≫ k1, la frequenza del primo modo è circa ω1 ∼ =
� k1/(m1 +m2). A questo punto si può considerare veloce la coordinata associata al secondo modo di
vibrare. Ne consegue che l’equazione del modo lento dà come risultato
ql(jΩ) = 2XI1
ω 2 1 −Ω2f2,
(15.121)
ove 2XI1 è l’elemento del primo modo associato allo spostamento della massa m2, avendo assunto per i
modi propri la normalizzazione a massa unitaria.
8 A condizione che la matrice [K] non sia singolare; se lo fosse, questo significa che tra i gradi di libertà sono presenti
movimenti rigidi. Quindi occorre rendere il problema staticamente determinato, imponendo opportune condizioni di vincolo
che rimuovano i movimenti rigidi senza alterare la soluzione statica in termini di azioni interne.
15-23

La soluzione diventa quindi
{x(jΩ)} r �
= {XI1} 2XI1
ω2 2XI2
+{XI2}
1 −Ω2 ω2 �
f2. (15.122)
2
Questa soluzione mette in luce come il primo modo risponda dinamicamente, mentre il secondo risponde
staticamente, in quanto il termine esatto 1/(ω 2 2 −Ω 2 ) è sostituito da 1/ω 2 2, nell’ipotesi che ω 2 2 ≫ Ω 2 .
Se si considerano, per esempio, m1 = m2 = 1 kg, k1 = (2π) 2 N/m, k2 = 100k1 N/m, si ha ω1 = 4.44
radian/s e ω2 = 88.97 radian/s, con {XI1} = {0.70534;0.70887} e {XI2} = {0.70887;−0.7034}, f2 = 1
N e Ω = 5 radian/s. Si ottiene
�� �
0.49999
{x(jΩ)} =
0.50250
e quindi
{x(j5)} =
�� −0.094158
−0.094630
�
1 −6.3167e−05
+
19.690−Ω 2 6.2852e−05
� �
−6.3167e−05
+
6.2852e−05
��
=
��
� −0.094221
−0.094567
(15.123)
�
. (15.124)
Si noti che il contributo alla soluzione dato dal modo veloce è di alcuni ordini di grandezza inferiore in
modulo a quello dato dal modo lento. Tuttavia, l’azione interna nella molla k2, data da N = k2(x2 −
x1), calcolata con il solo modo lento è pari a Nl = k2[−1 1]{XI1}ql, e quindi Nl = 0.0035355k2ql =
r
−4.7197e−04k2 N, mentre il contributo del modo veloce è Nv = k2[−1 1]{XI2}qv = 1.2602e−04k2 N.
r
Di conseguenza, la somma dei due contributi dà N = Nl +Nv = −3.4595e−04k2 N. Come confronto, la
soluzione esatta è N = −3.4555e−04k2 N. Si può quindi notare come la residualizzazione statica della
dinamica degli stati veloci possa portare ad una soluzione molto più accurata rispetto alla loro semplice
eliminazione.
Le figure 15.2 e 15.3 mostrano lo spostamento delle masse 1 e 2, rispettivamente, per effetto della
forza applicata alla massa 2. La soluzione esatta, ottenuta dal calcolo della risposta in frequenza di un
sistema a due gradi di libertà, è confrontata con la soluzione di:
• un modello semplificato, corrispondente a considerare solo la risposta del modo a frequenza più
bassa (indicata come“modo #1”nella legenda), quindi {x} = {Xl}ql, con ql dato dalla (15.121);
• un modello semplificato consistente nella residualizzazione statica del modo più veloce (indicata
come“acc. modi, modale”nella legenda), secondo la (15.122);
• un modello semplificato ottenuto definendo due forme di spostamento generalizzate {X1} = {1;1},
corrispondente ad uno spostamento in cui la molla 2 non si deforma, e {X2} = {0;1}, corrispondente
ad uno spostamento in cui la molla 1 non si deforma (indicata come“acc. modi, arbitraria”
nella legenda); il modo in cui la molla 2 non si deforma è considerato “lento” (vi corrisponde un
valore � ({X1} T [K]{X1})/({X1} T [M]{X1}) = 4.44 radian/s), mentre l’altro è considerato“veloce”
( � ({X2} T [K]{X2})/({X2} T [M]{X2}) = 62.83 radian/s); si noti però che le matrici di massa e di
rigidezza corrispondenti alle nuove variabili non sono diagonali, in quanto la trasformazione non
corrisponde ai modi propri.
Si può notare come tutti i modelli diano risultati sostanzialmente equivalenti per frequenze inferiori a
quella del primo modo di vibrare, mentre il loro comportamento si differenzia tra loro e da quello esatto
man mano che la frequenza si avvicina a quella del secondo modo di vibrare. Questo è consistente con
l’osservazione che in prossimità di un modo di vibrare la risposta è dominata dal contributo alla soluzione
dato dal modo stesso, e tutti i modelli descrivono accuratamente il primo modo di vibrare.
Lafigura15.4, invece, mostral’azioneinternanellamolla2, mettendoinevidenzacomeunmodelloottenuto
per troncamento del modello esatto, quello indicato come“modo #1”, non sia in grado di ottenere
il comportamento statico corretto, mentre vi riescono perfettamente entrambi i modelli ottenuti mediante
residualizzazione statica della dinamica degli stati veloci. Quindi la residualizzazione può non portare
miglioramenti significativi alla qualità del movimento del sistema, qualora esso sia sostanzialmente descritto
dalla dinamica a bassa frequenza. Tuttavia può portare significativi miglioramenti alla qualità
delle azioni interne, qualora la dinamica a bassa frequenza non sia in grado di descriverle accuratamente.
15-24

ampiezza, m/N
fase, deg
1e+01
1e+00
1e-01
1e-02
1e-03
massa 1
1e-04
1e-05
1e-06
1e-07
esatto
modo #1
acc. modi, modale
acc. modi, arbitrario
1 10 100
0
-90
-180
1 10 100
frequenza, radian/s
Figura 15.2: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lo
spostamento della massa 1.
15-25

ampiezza, m/N
fase, deg
1e+01
1e+00
1e-01
1e-02
1e-03
massa 2
1e-04
1e-05
1e-06
1e-07
esatto
modo #1
acc. modi, modale
acc. modi, arbitrario
1 10 100
0
-90
-180
1 10 100
frequenza, radian/s
Figura 15.3: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lo
spostamento della massa 2.
15-26

ampiezza, N/N
fase, deg
1e+03
1e+02
1e+01
1e+00
1e-01
azione interna molla 2
1e-02
1e-03
esatto
modo #1
1e-04
1e-05
1
acc. modi, modale
acc. modi, arbitrario
10 100
0
-90
-180
1 10 100
frequenza, radian/s
Figura 15.4: Diagramma di Bode della funzione di trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e
l’azione interna nella molla 2.
15-27

Questoesempiomostraanchecomelabasedeglistatilentinondebbaesserenecessariamentecostituita
da soli modi propri di vibrare. In pratica conviene spesso utilizzare alcuni modi propri per descrivere il
grosso del movimento libero, in quanto rappresentano una base molto efficiente per la sua descrizione alle
frequenze nella banda che caratterizza la forzante, arricchendo però la base con altre forme, linearmente
indipendentidaimodiscelti,checontribuiscanoadincrementarel’efficaciadellabaseridottaneldescrivere
le caratteristiche del problema che sono di interesse per l’analisi. La discussione di questi aspetti travalica
tuttavia i limiti del corso.
15-28

Capitolo 16
Sistemi immersi in campi di forza
Generato il 16 gennaio 2012
16.1 Sistemi ad un grado di libertà
16.1.1 Freno a disco
Siconsideriunfrenoadiscocomequelloillustratoinfigura16.1esisuppongachelarigidezzaelosmorzamento
del vincolo della pinza in direzione verticale siano ks ed rs, e mp sia la sua massa. Esercitando
Figura 16.1: Freno a disco.
una forza N sulla pinza, nascerà una forza frenante su ogni lato del disco disco, la cui somma è pari a
F = 2Nf (16.1)
direttainversooppostoallavelocitàperifericarelativadeldisco, mentrelapinzadelfrenosaràsottoposta
a una forza uguale e opposta. Ricordiamo che il coefficiente di attrito f varia in funzione della velocità
relativatraiduecorpichestriscianoconunaleggechehal’andamentodifigura8.3,riportataapagina8-4.
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale (approssimabile alla direzione della velocità
periferica Vr del disco nella zona di contatto tra questo e le pastiglie) otteniamo
−mp¨x−rs˙x−ksx+2Nf (Vr) = 0 (16.2)
16-1

dove il coefficiente di attrito f(˙x) = f(Vr(˙x)), nelle zone in cui è ragionevolmente regolare, è localmente
approssimabile con il suo sviluppo in serie di Taylor arrestato al prim’ordine,
f (˙x) ∼ = f(Vr(˙x0))+ df
�
�
�
d˙x � (˙x− ˙x0) = f(Vr0)+
˙x=˙x0
df
� �
� dVr�
� �
dVr
� d˙x � ˙x
Vr=Vr0 ˙x=0
= f(Vr0)− df
�
�
� ˙x, (16.3)
dVr
� Vr=Vr0
in quanto Vr = V − ˙x, e la condizione di linearizzazione si riferisce a ˙x0 = 0, per cui Vr(˙x0) = Vr0 = V e
dVr/d˙x = −1. Quindi, sostituendo la (16.3) nella (16.2), si ottiene
�
−mp¨x−rs˙x−ksx+2N f (Vr0)− df
� �
�
� ˙x . (16.4)
dVr
L’equazione (16.4) diventa
�
mp¨x+ rs +2N df
�
�
�
dVr
� Vr=Vr0
�
� Vr=Vr0
˙x+kx = 2Nf (Vr0) (16.5)
Esistono regioni, nel diagramma di figura 8.3, in cui, per Vr che tende a zero, la pendenza della curva
del coefficiente di attrito dinamico è negativa, per cui, in tali regioni, sarà sempre possibile trovare valori
della forza N per la quale il coefficiente di smorzamento complessivo
r = rs +2N df
�
�
� < 0; (16.6)
dVr
� Vr=Vr0
in tali casi rischiano di innescarsi oscillazioni autoeccitate. Il fenomeno è fortemente non-lineare, in
quanto non appena la velocità relativa si allontana dal tratto di curva a pendenza fortemente negativa
lo smorzamento torna ad essere dissipativo.
16.1.2 Campo di forze aerodinamico
Analogamente, un sistema vibrante ad un grado di libertà investito da una vena fluida può dare origine
a forme di instabilità. Supponiamo ora un generico corpo in moto verticale 1 con relativa traslazione x
rispetto alla sua posizione di equilibrio.
Figura 16.2: Composizione delle velocità di vento V∞ e corpo ˙x.
L’ala verrà investita da una velocità relativa Vr, la cui composizione è illustrata in figura 16.2, di
modulo
|Vr| = � V 2 ∞ + ˙x 2 (16.7)
1 In aeroelasticità spesso per indicare lo spostamento di un profilo alare in direzione perpendicolare alla direzione del
vento asintotico si usa il simbolo h, che deriva da heave, il nome con cui in inglese si indica tale movimento, detto anche
plunge.
16-2

con anomalia
ˆα = tan −1
� �
˙x
V∞
Figura 16.3: Decomposizione della forza aerodinamica.
(16.8)
rispetto alla direzione della vena indisturbata V∞. L’anomalia rappresenta un vero e proprio angolo di
incidenza cinematico, dovuto alla composizione della velocità assoluta del corpo con la velocità del vento
asintotico.
Sul profilo alare, quindi, si genera una forza aerodinamica F che è opportuno decomporre in portanza
(L come lift, perpendicolare al vento relativo Vr) e di resistenza (D come drag, diretta come il vento
relativo Vr) che nel caso di ala ferma saranno dirette come nella parte sinistra di figura 16.3 e varranno
rispettivamente 2 :
L = 1
2 ρV 2 SCL(α) (16.10)
D = 1
2 ρV 2 SCD(α) (16.11)
dove ρ è la densità del fluido, mentre S è la superficie di riferimento rispetto alla quale sono stati calcolati
i coefficienti adimensionali CL e CD, dei quali è stata messa in evidenza la dipendenza 3 dall’angolo di
incidenza α.
Nel caso di profilo in traslazione con velocità ˙x, le forze di resistenza e portanza agiscono come nella
parte destra di figura 16.3 e valgono rispettivamente:
L = 1 2
ρVr SCL(α− ˆα)
2
(16.12)
D = 1 2
ρVr SCD(α− ˆα),
2
(16.13)
in quanto l’angolo di incidenza effettivo è dato dalla somma, con segno, dell’angolo α, dovuto al calettamento
del profilo, e dell’angolo ˆα, dovuto alla velocità di traslazione ˙x, che va sottratto al precedente.
2 Spesso si dice che la forza aerodinamica F è
F = 1
2 ρV 2 SCF. (16.9)
In realtà la forza aerodinamica F è data dall’integrale degli sforzi esercitati dal fluido sul contorno del corpo immerso nel
fluido stesso. L’espressione sopra riportata nasce dal fatto che, in base al teorema π di Buckingham, è possibile mettere
in evidenza la dipendenza della forza F da tre parametri dimensionali (nel caso specifico la densità ρ, la velocità V e la
lunghezza attraverso cui si esprime la superficie S), in modo da esprimerla in forma adimensionale attraverso un coefficiente
CF che dipenda solo da altri parametri adimensionali, come l’angolo di incidenza, il numero di Mach, di Reynolds, ed altri
(si veda anche la nota 3).
3 I coefficienti possono dipendere anche da altri parametri adimensionali caratteristici; fra questi, vale sicuramente la
pena di menzionare i numeri di Reynolds e di Mach, che esprimono gli effetti legati alla viscosità e alla comprimibilità del
fluido. In genere, però, queste dipendenze non influenzano direttamente i fenomeni dinamici di interesse, perché nel corso
di questi fenomeni il loro valore varia di poco, o addirittura rimane costante.
16-3

Spesso, in aeroelasticità, la velocità di riferimento e la densità vengono riassunte nella pressione
dinamica di riferimento
q = 1 2
ρVr 2
(16.14)
Questo consente di studiare agevolmente i fenomeni dinamici a parità di numero di Mach, che dipende
dalla velocità Vr ma anche dalla quota, a cui è associata la densità ρ e quindi la celerità del suono.
Superficie aerodinamica di automobile da corsa
Venendo a un esempio pratico, uno dei profili alari usati nel recente passato nello sport automobilistico 4
era il NACA 0009, che veniva montato posteriormente, collegato direttamente ai portamozzi delle ruote
motrici tramite due bracci verticali. L’angolo d’incidenza statico α comunemente usato era di circa
14 o così da farlo lavorare in prossimità del minimo (massimo negativo) del coefficiente di portanza CL e
ottenere la massima deportanza possibile (circa 1.2) indipendentemente dalla velocità di avanzamento
V della vettura. Il corrispondente CD legato alla resistenza passiva della sola ala era circa 0.12 per
quell’angolo di attacco. A una certa velocità V, costante, trascurando l’effetto degli spoiler anteriori,
la sospensione posteriore sarà compressa rispetto alla posizione indeformata per effetto non solo della
quota parte del peso della vettura che su di essa si scarica, ma anche per effetto della deportanza e della
resistenza agenti sull’ala posteriore.
L’equilibrio alla rotazione della vettura rispetto all’asse anteriore, nell’ipotesi che il baricentro sia a
metà tra gli assi, dà
NRl = W l
+Dh−Ll, (16.15)
2
dove NR è la forza che agisce sulla sospensione, W è il peso, L la forza deportante, D la resistenza,
l la distanza tra gli assi e h l’altezza dell’alettone rispetto al suolo. Da questa relazione si ricava uno
schiacciamento statico della sospensione posteriore 5
x0 = NR
ks
(16.16)
dove ks indica la rigidezza della sospensione posteriore (per semplicità supponiamo i montanti dell’ala
rigidi).
4 Si noti che il profilo NACA 0009 è simmetrico; siccome le superfici aerodinamiche delle automobili da corsa devono
essenzialmente fornire deportanza, in applicazioni moderne si usano soprattutto ali a profilo non simmetrico, spesso a
profili multipli, montate con la concavità verso l’alto, e fornite di vari dispositivi (spesso fissi e dettati più da considerazioni
regolamentari che da effettive ragioni ingegneristiche di efficacia ed efficienza) volti ad aumentare il coefficiente di portanza
massimo (negativo).
5 A seguito di uno schiacciamento della sola sospensione posteriore è lecito domandarsi se la vettura subisca anche un
movimento di beccheggio, che a rigore modificherebbe l’angolo di calettamento del profilo alare. Non c’è contraddizione tra
il trascurarne l’effetto sull’angolo di calettamento e il considerarne l’effetto dovuto alla velocità di traslazione del profilo
alare in direzione verticale perché una elevata rigidezza della sospensione può dare luogo a significative velocità verticali
con trascurabili rotazioni di beccheggio.
Figura 16.4: Auto da corsa.
16-4

Figura 16.5: Caratteristiche del profilo alare NACA 0009
16-5

Consideriamo, ora, il moto traslatorio lungo la verticale della sala posteriore completa di ala, su cui
agisce, trascurando l’effetto della coppia aerodinamica, la forza aerodinamica per effetto della velocità
Vr, dovuta sia alla velocità V di avanzamento, sia alla velocità ˙x di vibrazione.
Scrivendo l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale della sola sospensione posteriore, ala
compresa, avremo, con ovvio significato dei simboli non definiti:
−ms¨x−rs˙x−ksx− 1 2
ρVr SCD(α− ˆα)sin ˆα+
2 1 2
ρVr SCL(α− ˆα)cos ˆα = 0 (16.17)
2
Le componenti delle forze di resistenza e portanza possono essere linearizzate; dal momento che è
ragionevole ritenere ˙x piccolo rispetto alla velocità di avanzamento V, la (16.7) diventa
Vr ∼ = V (16.18)
e conseguentemente
sin ˆα ∼ = ˆα ∼ = ˙x
(16.19)
V
cos ˆα ∼ = 1 (16.20)
per cui la (16.17) diventa
−ms¨x−rs˙x−ksx− 1
2 ρVSCD(−ˆα+α) ˙x+ 1
2 ρV 2 SCL(−ˆα+α) = 0 (16.21)
A loro volta, i coefficienti di portanza e resistenza possono essere linearizzati secondo Taylor nell’intorno
della posizione statica di α = α0 = −12o , ovvero:
CL(α− ˆα) ∼ = CL(α)− dCL(α)
�
�
�
� ˆα = CL(α0)−
dα �
α=α0
dCL(α)
�
�
� ˙x
� (16.22)
dα � V
α=α0
CD(α− ˆα) ∼ = CD(α)− dCD(α)
�
�
�
� ˆα ∼
˙x
= CD(α0)−0·
(16.23)
dα
V
� α=α0
tenendo anche in conto del piccolo valore numerico della derivata del coefficiente di resistenza rispetto
all’angolo d’incidenza, dCD/dα ∼ = 0. Sostituendo le (16.22, 16.23) nella (16.21) si ha:
ovvero
−ms¨x−rs˙x−ksx+ 1
2 ρV 2 SCL(α0)− 1
2 ρVS
ms¨x+
�
rs + 1
2 ρVS
� �
dCL(α)
�
�
�
dα
� α=α0
+CD(α0)
� �
dCL(α)
�
�
�
dα
��
� α=α0
+CD(α0)
�
˙x = 0 (16.24)
˙x+ksx = 1
2 ρV 2 SCL(α0) (16.25)
Per il profilo scelto, in prossimità dell’angolo di incidenza di riferimento considerato la pendenza della
curva statica 6 del coefficiente di portanza, come riportato in figura 16.5, è negativa e molto maggiore
del coefficiente di resistenza, per cui il contributo di origine aerodinamica allo smorzamento del sistema
è instabilizzante, ed esisterà sempre una velocità V di avanzamento della vettura al di sopra della quale
la soluzione di equilibrio statico x0 nel cui intorno il problema è stato linearizzato diventa instabile.
6 Si noti che la curva riportata in figura 16.5 si riferisce a misure statiche di coefficienti di forza (e momento) che, per gli
angoli di incidenza di interesse per questo problema, includono condizioni di stallo. In tali condizioni, il valore dei coefficienti
in genere dipende non solo dall’angolo di incidenza, ma anche dalla sua storia temporale; ovvero, le curve presentano una
isteresi tanto più marcata quanto più sono rapide le variazioni di angolo di incidenza. Per questo motivo, a rigore, l’analisi
svolta in questo paragrafo è valida solo per fenomeni sufficientemente lenti da poter essere considerati stazionari dal punto
di vista dell’aerodinamica. Per ulteriori chiarimenti sul concetto di approssimazione stazionaria si veda la nota 9.
16-6

Infatti se, per un dato α0
�
dCL(α)
�
�
�
dα
� α=α0
allora esiste un valore di V per cui
ovvero
req = rs + 1
2 ρVS
+CD(α0) < 0 (16.26)
� �
dCL(α)
�
�
�
dα
� α=α0
+CD(α0)
Di conseguenza, le radici del polinomio caratteristico dell’equazione
�
< 0 (16.27)
ms¨x+req ˙x+ksx = 0 (16.28)
λ1|2 = − req
±
2ms
� � req
2ms
� 2
− ks
ms
(16.29)
se, come probabile, hanno discriminante negativo, e quindi sono complesse coniugate, hanno sicuramente
parte reale positiva; se viceversa hanno discriminante positivo e quindi sono reali e distinte, almeno una
radice è sicuramente maggiore di zero.
Siccomel’originedell’instabilitàèlegataadunanonlinearitàdellegametrailcoefficienteaerodinamico
e l’angolo di incidenza, per effetto di un fenomeno complesso come lo stallo, non è possibile ricavare da
queste considerazioni alcuna informazione sulla stabilità del problema nel suo insieme, se non l’instabilità
della soluzione di equilibrio statico. A volte, condizioni di instabilità di questo tipo, dovute ad effetti non
lineari che insorgono in problemi altrimenti lineari e stabili, risultano in una evoluzione della soluzione
da equilibrio statico ad un ciclo limite, ovvero ad una soluzione di equilibrio dinamico periodico, con
un’ampiezza limitata ma finita. Un fenomeno di questo tipo è il cosiddetto flutter da stallo.
16.2 Sistemi vibranti a 2 gdl perturbati nell’intorno della posizione
di equilibrio
Estendiamo ai sistemi a 2 gdl quanto già visto per i sistemi a un solo grado di libertà, andando a valutare
la stabilità delle soluzioni di equilibrio statico di sistemi di questo tipo.
Le equazioni di equilibrio dinamico per il sistema di figura 16.6 sono
m¨x+rx˙x+kxx = Fx(x,y, ˙x, ˙y) (16.30a)
m¨y +ry ˙y +kyy = Fy(x,y, ˙x, ˙y) (16.30b)
dove i termini Fx e Fy dovuti al campo di forze sono funzioni non lineari di x e y e delle loro derivate
rispetto al tempo. In linea di principio tali forze possono dipendere da derivate di ordine arbitrario delle
coordinate libere (ad esempio, in figura 16.30, fino al secondo ordine). Senza ledere la generalità, nel
seguito si considera la dipendenza soltanto fino al primo ordine.
Il sistema di equazioni (16.30) può essere riscritto in forma matriciale come
[M]{¨z}+[R]{˙z}+[K]{z} = {F ({z},{˙z})} (16.31)
16-7

con
Figura 16.6: Sistema a 2 gdl immerso in un campo di forze.
� �
x
{z} =
y
� �
Fx(x,y, ˙x, ˙y)
{F ({z},{˙z})} =
Fy(x,y, ˙x, ˙y)
� �
m 0
[M] =
0 m
� �
rx 0
[R] =
0 ry
� �
kx 0
[K] =
0 ky
Del sistema potremo calcolare una 7 posizione di equilibrio statico, se esiste, definita da
(16.32)
(16.33)
(16.34)
(16.35)
(16.36)
[K]{z0} = {F ({z0},{0})} (16.37)
ovvero con {z} = {z0} e {˙z} = {0}, e quindi, nell’intorno di tale soluzione, linearizzare il campo di forze
{F ({z},{˙z})} ∼ � � � �
∂{F}
∂{F}
= {F ({z0},{0})}+ ({z}−{z0})+ {˙z} (16.38)
∂{z} {z0},{0} ∂{˙z} {z0},{0}
ma
⎡
� �
∂{F} ⎢
= ⎢
∂{z} ⎣
{z0},{0}
⎡
� �
∂{F} ⎢
= ⎢
∂{˙z} ⎣
{z0},{0}
∂Fx
∂x
∂Fy
∂x
∂Fx
∂˙x
∂Fy
∂˙x
⎤
∂Fx
∂y
⎥
∂Fy ⎦
∂y
⎤
∂Fx
∂˙y
⎥
∂Fy ⎦
∂˙y
{z0},{0}
{z0},{0}
= −[KF] (16.39a)
= −[RF] (16.39b)
Indicando con il vettore {z} gli spostamenti a partire dalla posizione di equilibrio statico
{z} = {z0}+{z} (16.40)
il sistema di equazioni differenziali di partenza può essere riscritto come
[M] � ¨z � +([R]+[RF]) � ˙z � +([K]+[KF]){z} = {0} (16.41)
7 Dato che le equazioni non sono lineari, possono esistere più soluzioni di equilibrio statico, o nessuna.
16-8

ovvero, con ovvio significato dei simboli,
[M] � ¨z � +[RT] � ˙z � +[KT]{z} = {0} (16.42)
Si ottiene un sistema di equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti la cui soluzione
è del tipo
{z(t)} = � Z � e λt
(16.43)
dove λ sono le radici di
� λ 2 [M]+λ[RT]+[KT] �� Z � e λt = {0} (16.44)
Analizziamo separatamente i vari casi che possono presentarsi.
16.2.1 Campo di forze puramente posizionale
In questo caso il sistema si riduce a
[M] � ¨z � +[R] � ˙z � +[KT]{z} = {0} (16.45)
ovvero, trascurando lo smorzamento strutturale [R], in genere limitato, si ottiene
[M] � ¨z � +[KT]{z} = {0} (16.46)
da cui si ha il problema agli autovalori
� λ 2 [M]+[KT] �� Z � e λt = {0} (16.47)
Essendo la matrice [M] reale, simmetrica e definita positiva, tutti i suoi minori principali dominanti
sono positivi, ovvero
p1 = m11 > 0; p2 = m11m22 −m12m21 > 0 (16.48)
Analogamente ciò vale per la matrice [K]
p1 = k11 > 0; p2 = k11k22 −k12k21 > 0 (16.49)
Per quanto riguarda la matrice [KF], possono presentarsi due casi:
• il campo di forze è conservativo, per cui
∂Fx
∂y
= ∂Fy
∂x
e la matrice [KF] risulta simmetrica;
• il campo di forze non è conservativo, per cui
∂Fx
∂y
�= ∂Fy
∂x
e la matrice [KF] non risulta simmetrica;
In entrambi i casi, tuttavia, i valori di λ sono comunque le radici del polinomio
ovvero
(16.50)
(16.51)
m11m22λ 4 +(m11kT22 +m22kT11)λ 2 +(kT11kT22 −kT12kT21) = 0 (16.52)
aλ 4 +bλ 2 +c = 0 (16.53)
16-9

con
a = m11m22
b = m11kT22 +m22kT11
(16.54a)
(16.54b)
c = kT11kT22 −kT12kT21. (16.54c)
Le generiche radici sono date dalla relazione
λ 2 b
1|2,3|4 = −
2a ±
�
� �2 b
−
2a
c
a
ove a > 0 dal momento che la matrice di massa è definita positiva.
Campo di forze conservativo
Si possono presentare due casi:
• la matrice [KT] è definita positiva, ovvero
(16.55)
p1 = kT11 > 0; p2 = kT11kT22 −k 2 T12 > 0 (16.56)
con b > 0 e c > 0, in quanto kT21 = kT12 perché il campo di forze è conservativo. Le radici del
polinomio caratteristico (16.55) risultano essere
λ 2 1|2,3|4
essendo nella (16.55)
< 0, (16.57)
c
> 0, (16.58)
a
per cui i quattro autovalori sono tutti immaginari, come illustrato in figura 16.7(a), e il moto libero
risultante è semplicemente stabile; è realistico pensare che si annulli per effetto dell’inevitabile
smorzamento strutturale, fin qui trascurato.
• la matrice [KT] non è definita positiva, ovvero o
oppure
p1 = kT11 < 0 (16.59)
p2 = kT11kT22 −k 2 T12 < 0 (16.60)
oppure entrambe le condizioni sono verificate. Nell’ipotesi che p2 < 0 avremo che nella (16.55)
e quindi
a
< 0 (16.61)
c
λ 2 1|2
λ 2 3|4
> 0 (16.62a)
< 0. (16.62b)
La prima radice porta a due valori di λ reali ed opposti, come illustrato in figura 16.7(b), che
danno luogo per la soluzione positiva a un fenomeno di instabilità statica (divergenza) essendo la
soluzione data dalla (16.43). La stessa condizione si può verificare per p1 < 0.
16-10

Campo di forze non conservativo
Accade che
∂Fx
∂y
�= ∂Fy
∂x
(a) Stabile per c/a > 0. (b) Instabile per c/a < 0.
Figura 16.7: Autovalori di un sistema conservativo.
e la matrice [KT] risulta non simmetrica.
Ricordando che le radici del polinomio caratteristico sono date dalla (16.55), ovvero
con
λ 2 1|2,3|4
∆ =
se risulta che
si ottiene
1
�
= −b±
2a
√ �
∆
� �2 b
−
2a
c
a
(16.63)
(16.64)
(16.65)
∆ < 0 (16.66)
λ 2 1|2,3|4
1
�
= −b±i
2a
� �
|∆|
= e∓itan−1 (|∆|/b)
2a
� e
b2 +|∆| = ∓iα�
b2 +|∆| (16.67)
2a
e quindi
� � � � � � ��
1 �
λ1|2 = ± b2 iα/2 1 � α α
+|∆|e = ± b2 +|∆| cos +isin = ±(ψ1 +iψ2) (16.68)
2a 2a 2 2
�
� � � � � ��
1 �
λ3|4 = ± b2 −iα/2 1 � α α
+|∆|e = ± b2 +|∆| cos −isin = ±(ψ1 −iψ2)
2a
2a 2 2
(16.69)
Le radici sono illustrate in figura 16.8(a). Ricordando la soluzione generale (16.43), sappiamo che, come
più volte mostrato, ciascuna coppia di radici coniugate, quando vengono imposte le condizioni iniziali,
fornisce una soluzione puramente reale
{z(t)} = � � �� �� � � �� �� (ψ1+iψ2)t −(ψ1+iψ2)t (ψ1−iψ2)t −(ψ1−iψ2)t
Z1 e +conj Z1 e + Z2 e +conj Z2 e (16.70)
16-11

(a) Instabile per ∆ < 0. (b) Instabile per matrice [RT] non
definita.
Figura 16.8: Autovalori di un sistema non conservativo.
delle quali quella con parte reale positiva è esponenzalmente espansiva (instabile), mentre l’altra è esponenzialmente
contrattiva (asintoticamente stabile). Ovvero il moto libero risultante è ellittico e instabile
con pulsazione ψ2. Il fenomeno, in aeroelasticità, prende il nome di flutter.
Se invece
e
∆ > 0 (16.71)
c < 0 (16.72)
si avrà b < √ ∆ e quindi, essendo
λ 2 1|2,3|4
1
�
= −b±
2a
√ �
∆
(16.73)
avremo due soluzioni reali opposte e due immaginarie coniugate, con quella reale positiva che porta
alla divergenza, in analogia con quanto illustrato in figura 16.7(b) per la possibile instabilità dei sistemi
conservativi.
Gli altri casi portano a soluzioni armoniche stabili, differenti solo nei valori delle frequenze proprie
da quello già trattato nel caso di campo di forze conservativo.
Banale è poi il caso in cui la matrice [RT] sia definita negativa, o non definita, come illustrato
in figura 16.8(b). Il sistema sarà soggetto a fenomeni di instabilità dinamica, con ampiezze crescenti
esponenzialmente nel tempo.
16.2.2 Instabilità aeroelastica della“sezione tipica”
La dinamica di un corpo aerodinamico deformabile immerso in un fluido rappresenta un problema di
notevole complessità. Tuttavia, l’essenza dei fenomeni che lo coinvolgono può essere descritta efficacemente
da un modello piuttosto semplice e tuttavia rappresentativo di sistemi di particolare importanza
in aeronautica e in meccanica in genere, detto“sezione tipica”. Questo modello, descritto in figura 16.9,
è costituito da un profilo alare che si muove nel suo piano; di esso si considerano solo i gradi di libertà di
traslazione in direzione perpendicolare alla corrente asintotica e di rotazione attorno all’asse di beccheggio.
In prima approssimazione, può essere ritenuto rappresentativo di un’ala ad elevato allungamento
senza freccia, o della sezione di un ponte sospeso, o di una superficie aerodinamica di automobile da
corsa.
16-12

Figura 16.9: Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano.
Le equazioni semplificate 8 che descrivono la dinamica del sistema di figura 16.9 sono:
m¨x+rx˙x+kxx = Lcosψ +Dsinψ (16.74a)
J ¨ θ +rxl 2˙ θ +kxl 2 θ = M (16.74b)
dove ψ è l’angolo tra la velocità relativa Vr della vena e la direzione della corrente indisturbata V∞,
supposta costante, mentre l è la distanza di entrambi i complessi molla-smorzatore dal punto a cui è
riferita la rotazione.
Esercizio 16.1 Si ricavino le equazioni del moto (16.74).
Si noti che, nel puro moto rotatorio, ogni punto della superficie del profilo possiede una velocità di
trascinamento diversa, quindi la velocità relativa Vr varia da punto a punto del profilo. Non sarebbe
quindi lecito utilizzare l’approssimazione stazionaria 9 delle forze aerodinamiche, dal momento che questa
8 Le equazioni qui riportate, per semplicità, si basano sull’assunto che il punto nel piano della sezione a cui si riferiscono
le coordinate libere sia simultaneamente il baricentro ed il centro di taglio della sezione tipica. Di conseguenza, le matrici di
massa e di rigidezza sono diagonali, cosa abbastanza rara e, d’altra parte, non sempre desiderabile nelle normali costruzioni
aeronautiche.
9 Con il termine approssimazione stazionaria si intende che di un modello dinamico si considera solo la parte statica,
ovvero si assume che il sistema risponda istantaneamente ad un ingresso con la sola risposta statica. Per fare un esempio
meccanico, è come se di un sistema ad un grado di libertà, retto dall’equazione
m¨x+r˙x+kx = f, (16.75)
a condizione che sia asintoticamente stabile, si considerasse solo la parte
kx ∼ = f (16.76)
Questa approssimazione è sicuramente drastica in assoluto, ma può essere ritenuta ragionevole, ad esempio, se il sistema
viene forzato da una forzante armonica di frequenza ω ≪ � k/m.
Le forze aerodinamiche, al pari delle forze meccaniche ed in totale analogia con i sistemi elettro- ed idromeccanici studiati
nei paragrafi precedenti, sono descrivibili sotto forma di sistemi dinamici, che, ad esempio, per un profilo alare consentono di
descrivere i coefficienti di forza e momento in funzione della storia temporale dell’angolo di incidenza. In altre parole, sono
descritte dall’uscita di un sistema dinamico il cui ingresso è l’angolo di incidenza. Per molte applicazioni pratiche, ogni volta
che la dinamica dell’aerodinamica è caratterizzata da costanti di tempo molto più piccole di quelle degli ingressi, nel nostro
caso legati al movimento della struttura e quindi, in prima battuta, alle frequenze proprie del sistema meccanico, il sistema
dinamico che descrive le forze aerodinamiche può essere approssimato nella forma stazionaria, ovvero considerandone solo
la parte statica.
La stima delle costanti di tempo delle forze aerodinamiche si basa sul concetto di frequenza ridotta; ovvero, nell’ipotesi
che la rilevanza della dinamica dell’aerodinamica che interessa il corpo sia legata al tempo in cui una particella di fluido
interagisce con il corpo stesso, ovvero alla lunghezza caratteristica del corpo nella direzione del flusso (la corda c per un
profilo alare, o meglio la semicorda secondo una certa letteratura) divisa per la velocità di riferimento del flusso (V∞),
si definisce la frequenza ridotta come il numero adimensionale che esprime il rapporto tra la pulsazione del movimento e
questa misura caratteristica della velocità dell’aerodinamica:
frequenza ridotta = k = ωc
2V∞
16-13
(16.77)

Figura 16.10: Composizione delle velocità del vento V∞ e del corpo ˙x a dare l’angolo di incidenza
cinematico ψ.
presuppone l’esistenza di un angolo di incidenza definito per tutto il profilo; senonché, è possibile dimostrare
che riferendosi alla velocità di trascinamento di un punto P1 del profilo alare, in genere vicino
al bordo d’attacco 10 , posto a una certa distanza b1 dall’asse di rotazione, è possibile utilizzare ancora
l’approssimazione stazionaria.
In pratica, per il calcolo delle forze aerodinamiche, si utilizza l’angolo di incidenza instazionario
calcolato con la velocità relativa di P1.
L’approssimazione stazionaria è comunemente accettata per frequenze ridotte inferiori a 0.01, ma c’è chi fa salire questo
numero fino a 0.1 ed oltre.
10 Alcuni autori, utilizzando la teoria dei profili sottili applicata ad una lamina piana in moto oscillatorio armonico, fanno
cadere questo punto a 3/4 della corda, quindi in posizione opposta al centro aerodinamico che, per la medesima teoria, cade
ad 1/4 della corda. Tuttavia, i risultati ottenuti in questo modo sono a volte in contrasto con l’evidenza sperimentale. La
motivazione sostanziale è legata al fatto che l’approssimazione stazionaria delle forze e del momento aerodinamico non è in
grado di descriverne la dipendenza dalla sola velocità di rotazione del profilo, perché non contiene l’informazione associata
a questo ingresso; sono necessarie approssimazioni di ordine superiore, ad esempio l’approssimazione quasi-stazionaria.
Quest’ultima parte dalla definizione dei coefficienti aerodinamici come risposta di un sistema dinamico
CA(s) = H (s)α(s) (16.78)
Se la soluzione di interesse è caratterizzata da una bassa frequenza ridotta, è ragionevole supporre che uno sviluppo in serie
di Taylor attorno alla frequenza nulla possa descriverne, in prima battuta, la dinamica. Quindi
H (s) ∼ = H (0)+ ∂H
�
�
�
∂s � s+
s=0
1
2
∂ 2 H
∂s 2
�
�
�
� s
s=0
2
(16.79)
Si verifica che la parte reale della funzione complessa H (s) è simmetrica rispetto all’asse immaginario, mentre la parte
immaginaria è antisimmetrica; quindi, se la funzione è regolare nell’intorno di 0, la si può valutare in 0 assieme alle sue
derivate rispetto a s, ottenendo numeri reali. Ma quando si moltiplica la (16.79) per α(s), si ha che sα(s) nel dominio
del tempo corrisponde a ˙α(t), mentre s 2 α(s) nel dominio del tempo corrisponde a ¨α(t); quindi, dal momento che la
funzione di trasferimento H e le sue derivate sono costanti in quanto valutate a frequenza nulla, l’approssimazione della
relazione (16.78) ottenuta mediante la (16.79) può essere rappresentata nel dominio del tempo come
CA(t) ∼ = H (0)α(t)+ ∂H
∂s
�
�
�
�
s=0
˙α(t)+ 1
2
∂ 2 H
∂s 2
�
�
�
� ¨α(t) (16.80)
s=0
Se ci si ferma al termine di ordine 0 si ottiene l’approssimazione stazionaria; le approssimazioni ottenute considerando
termini di ordine superiore vanno sotto il nome generale di approssimazione quasi-stazionaria.
L’errore che si ottiene considerando anche l’effetto dell’incidenza associata a ˙ θ nell’approssimazione stazionaria è
essenzialmente dovuto al fatto che si sta scrivendo qualcosa del tipo
CA(t) ∼ �
= H (0) α(t)+ b1
�
˙θ(t)
V∞
(16.81)
che, come si può notare, è ben diverso dalla (16.80) arrestata al primo ordine: innanzitutto ˙ θ è solo una porzione di ˙α,
inoltre manca completamente l’informazione su ∂H/∂s. Ciò nonostante, l’uso della (16.81) per frequenze ridotte molto
piccole da una parte è ritenuto accettabile, dall’altra è desiderabile perché consente di introdurre smorzamento di natura
aerodinamica anche sulla coordinata libera di rotazione, pur conoscendo soltanto i coefficienti aerodinamici stazionari. Per
una formalizzazione del concetto di approssimazione di modelli dinamici si rimanda al capitolo 15.
16-14

Varrà quindi
Vt = ˙x+b1 ˙ θ (16.82)
�
Vr = V 2 �
∞ + ˙x+b1 ˙ �2 θ
(16.83)
ψ = −tan −1
�
˙x+b1 ˙ �
θ
(16.84)
V∞
Se si considerano piccole perturbazioni di x e θ attorno all’equilibrio, valgono le consuete approssimazioni
�
sinψ = sin − ˙x+b1 ˙ �
θ
∼= −
Vr
˙x+b1 ˙ θ
(16.85)
V∞
cosψ = V∞ ∼= 1 (16.86)
Vr
L’angolo di incidenza che si utilizza per il calcolo dei coefficienti aerodinamici secondo l’approssimazione
stazionaria è quindi, ad ogni istante di tempo, dato dalla somma dell’angolo di incidenza cinematica
ψ, ottenuto considerando l’angolo formato dalla velocità relativa, per composizione della velocità di
traslazione del corpo e della velocità del vento, con una direzione di riferimento sul corpo, e dell’angolo
di incidenza geometrica θ, legato alla rotazione della linea di riferimento rispetto al vento asintotico,
ovvero
α = ψ +θ ∼ = − ˙x+b1 ˙ θ
+θ (16.87)
V∞
per cui il sistema di equazioni differenziali che descrive il moto della sezione tipica diventa
� �� � �
m 0 ¨x rx 0
0 J ¨θ
+
0 rxl2 �� � �
˙x kx 0
˙θ
+
0 kxl2 �� �
x
=
θ
1
�
2 CL(α)cosψ +CD(α)sinψ
ρVr S
2 cCM (α)
(16.88)
dove ai coefficienti di portanza e resistenza si aggiunge il coefficiente di momento CM rispetto al punto a
cui è riferita la rotazione θ, mentre la corda c viene aggiunta per una corretta dimensionalizzazione del
momento aerodinamico.
Dopo aver linearizzato attorno alla posizione di equilibrio, che per semplicità si assume essere α = 0,
e considerando un profilo simmetrico quale il NACA0009 di figura 16.11, per il quale i coefficienti di
portanza e di momento rispetto al centro aerodinamico sono nulli per α = 0, mentre il coefficiente di
resistenza presenta un minimo, si ottiene:
≈2π
CL(α)cosψ +CD(α)sinψ ∼ � �� =0 � �
� �� � � dCL�
= CL(0)+ � α−CD(0)
dα �
α=0
˙x+b1 ˙ θ
(16.89a)
V∞
CM (α) ∼ = CM (0) +
� �� �
=0
dCM
�
�
�
� α (16.89b)
dα �
α=0
Sostituendo ad α la sua espressione (16.87) in funzione delle coordinate libere, e riordinando i termini
delle equazioni, le forze di campo linearizzate possono essere scritte, in forma matriciale, come
� �
F
= −
M
1
2 ρV 2 ⎡
1 � � b1 �
⎢ CL/α +CD(0) CL/α +CD(0)
∞S⎢
V∞ V∞
⎣
�
⎤
� �
⎥
˙x
c cb1 ⎦ ˙θ
CM/α CM/α V∞ V∞
− 1
2 ρV 2 � �� �
0 −CL/α x
∞S
(16.90)
0 −cCM/α θ
16-15
�
,

Figura 16.11: Curve CL-α, CD-α e CM-α del profilo NACA 0009.
16-16

dove per praticità si è usata la notazione C /α ≡ dC/dα, per cui
⎡
rx ⎢ +
[RT] = ⎣
1
2 ρV∞S � � 1
CL/α +CD(0)
2 ρV∞Sb1
�
CL/α +CD(0) �
1
2 ρV∞ScCM/α rxl2 + 1
2 ρV∞Sb1cC
⎤
⎥
⎦ (16.91)
M/α
⎡
kx ⎢ −
[KT] = ⎣
1
2 ρV 2 ∞SCL/α 0 kxl2 − 1
2 ρV 2 ⎤
⎥
⎦ (16.92)
∞ScCM/α Instabilità legate allo smorzamento aerodinamico
Dall’analisi delle matrici (16.91, 16.92) si deduce la possibilità di avere instabilità dinamica per il grado
di libertà di spostamento (tipicamente associato alla flessione dell’ala) se
rx + 1
2 ρV∞S � C L/α +CD(0) � < 0, (16.93)
mentre il profilo sarebbe instabile per quanto concerne il grado di libertà torsionale se
rxl 2 + 1
2 ρV∞Sb1cC M/α < 0. (16.94)
Senessunadellecondizioni(16.93, 16.94)èverificata, lamatrice[RT]risultadefinitapositivaacondizione
che il suo determinante sia positivo, ovvero
�
rx rxl 2 �
1
+
2 ρV∞S
�2�l 2� CL/α +CD(0) � �
+b1cCM/α �
> 0. (16.95)
Come è noto, per i profili alari normalmente usati si ha C L/α > 0 (pari a circa 2π) per piccoli
angoli di incidenza, lontano dall’incidenza di stallo. Sempre nell’ipotesi di angoli di incidenza lontani da
quello di stallo, il coefficiente di momento, quando è riferito al centro aerodinamico del profilo, ovvero
CM = CMCA, per definizione non dipende dall’angolo di incidenza; quindi, per piccoli angoli di incidenza
C MCA/α ≡ 0. Seviceversailpuntoal qualesonoriferitele coordinateliberesi trovainposizionearretrata
rispetto al centro aerodinamico, detta e la distanza tra tale punto ed il centro aerodinamico, il coefficiente
di momento CM nel generico punto di riferimento si ricava dalla relazione
1
2 ρV 2 ScCM (α) = 1
2 ρV 2 ScCMCA + 1
2 ρV 2 SeCL(α) (16.96)
e quindi, dato che ci occorre solo la sua derivata rispetto all’angolo di incidenza,
C M/α = e
c C L/α
(16.97)
in quanto, come affermato in precedenza, C MCA/α ≡ 0 per definizione di centro aerodinamico. Ne
consegue che un’instabilità associata ad un eventuale smorzamento aerodinamico negativo è improbabile,
ma il fenomeno potrebbe avvenire per profili con elevata sezione frontale (ad esempio, travi a semplice o
doppio T, ecc.).
Flutter
Tuttavia, analizzando la matrice [KT], dove si è fatto uso della (16.97), il termine
kT22 = kxl 2 − 1
2 ρV 2 ∞ScC M/α = kxl 2 − 1
2 ρV 2 ∞SeC L/α
16-17
(16.98)

(a) Coalescenza lungo l’asse immaginario
di due frequenze proprie che si dipartono
in direzione perpendicolare all’asse
dando luogo ad una soluzione
instabile (flutter).
(b) Qualora sia presente smorzamento, le
radici non coalescono, ma evolvono in direzioni
diverse; il flutter potrebbe anche non
avere luogo.
Figura 16.12: Coalescenza, al crescere della velocità V∞, di due frequenze proprie; per semplicità sono
mostrate solo le radici con parte immaginaria positiva.
della matrice di rigidezza mostra come le forze aerodinamiche possano modificare la frequenza propria
torsionale del profilo alare riducendola al crescere della velocità, mentre quella flessionale, dipendente da
kT11, rimane sostanzialmente costante.
Per cui se, come di solito si verifica per le normali costruzioni aerodnautiche, la frequenza propria
torsionale nel vuoto è più alta di quella flessionale, e il centro aerodinamico si trova più avanti (in
genere al 25–27% della corda) rispetto all’asse di rotazione della sezione (dal 25% della corda per le
pale di elicottero fino al 35–45% per velivoli commerciali), vi sarà sempre una velocità V∞ per cui le
due frequenze diverranno molto prossime, dando luogo al fenomeno del flutter per coalescenza delle
due pulsazioni, come illustrato in figura 16.12(a); nella realtà, la presenza di smorzamento sia di natura
strutturalechesoprattuttodinaturaaerodinamicapotràspostareilfenomenoadunavelocitàpiùelevata,
o addirittura inibirlo, in quanto gli autovalori tenderanno a comportarsi come in figura 16.12(b): non vi
è una vera e propria coalescenza degli autovalori, che rimangono sempre distinti, ma semplicemente un
avvicinamento lungo la direzione immaginaria, a cui può seguire un allontanamento lungo la direzione
reale.
Divergenza aeroelastica
Il coefficiente kT22 consente anche di mettere in luce un’altra forma di instabilità aeroelastica, che si
ottiene quando la velocità V∞, e quindi la pressione dinamica, assume un valore tale per cui kT22 = 0
1
2 ρV 2 ∞ =
kxl 2
SeC L/α
(16.99)
Intalecasolamatrice[KT]diventasingolare, equindisihaunacondizionedistabilitàstaticaindifferente,
ovvero una condizione di limite di stabilità a frequenza nulla.
Questo fenomeno va sotto il nome di divergenza aeroelastica, e la velocità a cui avviene si chiama
velocità di divergenza.
È evidente che se la frequenza del modo flessionale è inferiore a quella del modo
torsionale nel vuoto, al crescere della velocità V∞ la frequenza torsionale intersecherà quella flessionale
prima di annullarsi, e quindi la condizione di flutter viene tipicamente incontrata prima di quella di
divergenza. Per questo motivo, nelle tipiche costruzioni aeronautiche la condizione di divergenza raramente
diventa critica, mentre quella di flutter è spesso determinante nelle scelte di progetto. Tuttavia
la semplice riduzione di rigidezza torsionale dovuta alla presenza delle forze aerodinamiche può influenzare
significativamente il comportamento sia statico che dinamico del velivolo già a velocità decisamente
inferiori a quella di divergenza, ad esempio sotto forma di fenomeni quali l’inversione dei comandi.
16-18

Appendice A
Esempi di azionamenti idraulici
Generato il 16 gennaio 2012
In questa appendice vengono presentati esempi di azionamenti idraulici.
A.1 Valvola a doppio getto controllata da un motore elettrico
in corrente continua e accoppiata ad un attuatore lineare
Ilcompletamentodell’esempiodiazionamentoidraulicopresentatonelcapitolo12richiederebbelamodellazione
della valvola distributrice e del suo sistema di attuazione. Se si astrae dal sistema di attuazione
del pistone della valvola distributrice, generalmente di tipo elettrico o misto elettroidraulico, la relativa
modellazione non è dissimile da quella del cilindro attuatore, ragion per cui non dovrebbe essere difficile
completare l’esempio precedente fino a contenere tutti i suoi componenti. Una corretta formulazione
necessita però di un approfondimento, non tanto concettuale ma preminentemente associato ad alcuni
dettagli, che richiederebbe un’estensione che mal si concilia con le finalità esemplificative della nostra
presentazione. Si preferisce pertanto completare l’esempio facendo riferimento ad una valvola di controllo
del flusso a flappeggio, quale quella schematizzata in figura A.1.
A-1

A.1.1 Nomenclatura
Siano:
Figura A.1: Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]).
A1 sezione di trafilamento tra valvola e alimentazione
A2 sezione di trafilamento tra valvola e pistone
Ae sezione di trafilamento tra le camere del pistone e l’esterno
Ag sezione del getto tra le camere della valvola e la camera del flap
Ai sezione di trafilamento tra le camere del pistone
Ap area del pistone
Ce0 coefficiente di efflusso tra valvola e alimentazione
Ce1 coefficiente di efflusso tra valvola e pistone
Ceg coefficiente di efflusso tra valvola e camera del flap
Cele coefficiente di trafilamento tra le camere del pistone e l’esterno
Celi coefficiente di trafilamento tra le camere del pistone
Dg diametro del getto tra valvola e flap
F forza esterna agente sul pistone
i corrente elettrica nel motore
kf rigidezza molla di richiamo flap
Km costante caratteristica del motore elettrico
L induttanza del motore elettrico
Lp lunghezza del pistone
M massa del pistone
Pa pressione di alimentazione
Pc1 pressione camera 1 pistone
Pc2 pressione camera 2 pistone
Pe pressione esterna
Ps pressione di scarico
Pv1 pressione camera 1 valvola
Pv2 pressione camera 2 valvola
A-2

R resistenza elettrica del motore
rp smorzamento del pistone di natura non idraulica
rf smorzamento del flap di natura non idraulica
V1 volume camera 1 del pistone
V2 volume camera 2 del pistone
Vc tensione di alimentazione del motore
Vv volume camere della valvola
xf spostamento del flap
xf0 spostamento massimo del flap
xp spostamento del pistone
β modulo di comprimibilità volumetrica
ρ densità del fluido
θf angolo di rotazione del flap
A.1.2 Equazioni
Le equazioni necessarie alla scrittura della parte idraulica del problema sono:
a) bilancio di portata:
(Av) entrante −(Av) uscente = dV
dt
V dP
+
β dt
(A.1)
ovveroladifferenzatralaportatavolumetricainentrataedinuscitaèdatadalladerivatatemporale
del volume della camera e dalla variazione di densità del fluido;
b) perdite di carico laminari:
Q = CelA0∆P (A.2)
c) perdite di carico turbolente:
�
2
Q = CeA0 ∆P (A.3)
ρ
in realtà è più corretto scrivere
�
2
Q = CeA0 |∆P|sign(∆P) (A.4)
ρ
tuttavia, in questo esempio, si assume nota la direzione in cui il flusso avviene;
d) teorema di Bernoulli:
P + 1
2 ρv2 = costante (A.5)
Le equazioni che descrivono il problema sono:
1. bilancio di portata della camera 1 dell’attuatore
2. bilancio di portata della camera 2 dell’attuatore
3. bilancio di portata della camera 1 della valvola
4. bilancio di portata della camera 2 della valvola
5. equazione di moto del pistone
6. equazione di moto del flap
7. equazione del motore elettrico
A-3

A.1.3 Incognite
Le incognite sono:
i) la posizione del pistone, xp, e le sue derivate
ii) l’angolo di rotazione del flap, θf, e le sue derivate
iii) la pressione nella camera 1 del pistone, P1c, e le sue derivate
iv) la pressione nella camera 2 del pistone, P2c, e le sue derivate
v) la pressione nella camera 1 della valvola, P1v, e le sue derivate
vi) la pressione nella camera 2 della valvola, P2v, e le sue derivate
vii) la corrente applicata al motore, i.
A.1.4 Bilancio di portata della camera 1 del pistone
Il volume della camera 1 del pistone è V1 = xpAp; il bilancio di portata comprende:
• la variazione di densità dovuta alla comprimibilità,
V1 ˙
P1c
β
• la variazione di volume della camera dovuta allo spostamento del pistone, ˙xpAp
• il flusso entrante dalla camera 1 della valvola, di tipo turbolento, Ce1A1
�
2
ρ (P1v −P1c)
• il flusso di trafilamento verso la camera 2 del pistone, di tipo laminare, CeliAi(P1c −P2c )
• il flusso di trafilamento verso l’esterno, di tipo laminare, CeleAe(P1c −Pe)
L’equazione diventa:
Apxp
β
˙
P1c = −˙xpAp +Ce1A1
� 2
ρ (P1v −P1c)−CeliAi(P1c −P2c )−CeleAe(P1c −Pe) (A.6)
A.1.5 Bilancio di portata della camera 2 del pistone
I termini che compaiono in questa equazione sono analoghi a quelli dell’equazione precedente; il volume
ora è V2 = Ap(Lp −xp) L’equazione diventa:
Ap(Lp −xp)
β
˙
P2c = ˙xpAp −Ce1A1
� 2
ρ (P2c −P2v)+CeliAi(P1c −P2c )−CeleAe(P2c −Pe) (A.7)
si noti che la variazione di volume dovuta al movimento del pistone è l’opposto del caso precedente. Si
noti tuttavia che i flussi verso la valvola e tra le due camere cambiano segno.
A.1.6 Bilancio di portata della camera 1 della valvola
Si suppone nulla la variazione di volume della camera. Il bilancio è quindi costituito dai flussi:
• variazione di densità del fluido,
Vv ˙
P1v
β
• portata di alimentazione, di tipo turbolento, Ce0A0
A-4
�
2
ρ (Pa −P1v)

• portata verso la camera 1, di tipo turbolento, Ce1A1
�
2
ρ (P1v −P1c)
• portata uscente verso il flap; si assuma che il getto verso il flap sia un cilindro; in prossimità della
superficie del flap, il getto si apre in direzione radiale. La superficie attraverso la quale il getto
fluisce è quindi πDg(xf0 −xf), ovvero la circonferenza del getto per la distanza dell’ugello dal flap.
Questa distanza teorica, in genere, è corretta da un coefficiente determinato sperimentalmente, che
tiene conto della effettiva geometria del getto. Il flusso è quindi
�
2
CegπDg(xf0 −xf)
ρ (P1v −Ps) (A.8)
L’equazione diventa
Vv
β ˙
�
2
P1v = Ce0A0
ρ (Pa −P1v)−Ce1A1
−CegπDg(xf0 −xf)
� 2
ρ (P1v −Ps)
� 2
ρ (P1v −P1c)
A.1.7 Bilancio di portata della camera 2 della valvola
Analogamente, nell’altra camera della valvola si ottiene:
Vv
β ˙
�
2
P2v = Ce0A0
ρ (Pa −P2v)+Ce1A1
�
2
−CegπDg(xf0 +xf)
ρ (P2v −Ps)
� 2
ρ (P2c −P2v)
Sinoticomeancheinquestocasolaportatadallacameradelpistoneaquelladellavalvolaabbiacambiato
segno, comepureècambiatol’effettodellospostamentodellavalvolanelcalcolodellasuperficiediefflusso.
A.1.8 Equazione di moto del pistone
Il pistone ha massa M, un generico smorzamento r, e gli è applicata una sollecitazione esterna F che
rappresenta il carico che deve vincere (ad esempio, una molla, o la forza aerodinamica su una superficie
mobile, o il peso di un carrello di atterraggio). Sulle due superfici esposte nelle camere dell’attuatore
agiscono le forze dovute alla pressione, Ap(P1c −P2c). Si noti che in linea di principio le due aree
potrebbero essere diverse. La sua equazione di moto è un equilibrio alla traslazione del pistone stesso,
che diventa:
M¨xp +rp˙xp = Ap(P1c −P2c)+F (A.9)
A.1.9 Equazione di moto del flap
La valvola a flap è costituita da una lamina incernierata ad un estremo, che si può avvicinare ad uno
dei due diffusori ruotando attorno al punto di cerniera, comandata da un motore. La sua equazione
di moto è un equilibrio alla rotazione attorno al punto di cerniera. Il momento d’inerzia rispetto alla
cerniera è Jc = Jcg +mL2 cg; Tipicamente la rotazione è contrastata da una molla di rigidezza kf, e nel
caso in esame è controllata da un motore elettrico in corrente continua, la cui coppia è Kmi. La forza
di origine idraulica agente sulla valvola può essere stimata usando il teorema di Bernoulli, ovvero un
bilancio di quantità di moto in direzione perpendicolare al flap; la somma di pressione statica e dinamica
all’uscita dalla valvola, in prima approssimazione, è uguale alla pressione esercitata sul flap, quindi la
forza esercitata sul flap è data dalla somma di pressione statica e dinamica all’uscita dalla valvola per
l’area del tubo di flusso:
F1 = AgP1f = Ag
�
P1v + 1
2 ρv2 1g
�
A-5
(A.10)

all’uscita dalla camera 1 della valvola verso il flap il fluido ha pressione P1v e velocità v1g; quest’ultima
si ricava dalla portata attraverso l’ugello, dalla camera 1 della valvola verso la camera del flap, quindi
tra P1v e Ps:
v 2 1g =
� �2 Q1v
Ag
= 32C2 eg
ρD 2 g
(xf0 −xf) 2 (P1v −Ps)
Tipicamente questo valore viene corretto empiricamente per tenere conto di effetti dovuti alla effettiva
geometria del getto. Quindi le forze di natura idraulica agenti sul flap sono:
F1 = πD2 g
4 P1v +4πC 2 eg(xf0 −xf) 2 (P1v −Ps)
F2 = πD2 g
4 P2v +4πC 2 eg(xf0 +xf) 2 (P2v −Ps)
Lo spostamento della valvola è xf = dtanθf. L’equazione del flap diventa:
J ¨ θf +rf ˙ θf +kfθf = Kmi+d(F2 −F1) (A.11)
A.1.10 Equazione del motore elettrico
L’equazione del motore elettrico in corrente continua è:
L di
dt +Ri+Km ˙ θf = ea
dove ea è la tensione alla quale viene alimentato per controllarne la posizione.
A.1.11 Linearizzazione
Vi sono contributi non lineari del tipo:
• tanθ
• xy
• √ cx
la cui linearizzazione è
• tanθ ∼ = ∆θ per θ0 = 0
• xy ∼ = x0y0 +y0∆x+x0∆y
• √ cx ∼ = √ cx0 +∆x/ � 2 √ �
x0
(A.12)
Ad esempio, la linearizzazione dei termini di portata attraverso le perdite di carico turbolente,
�
2
Q = CeA0
ρ (Pa −Pb) (A.13)
porta ad una forma
Q+∆Q = CeA0
� �
2 �(Pa0 −Pb0)+
ρ
∆Pa −∆Pb
2 � �
(Pa0 −Pb0)
(A.14)
Si noti che quando la differenza tra le due pressioni diminuisce, il denominatore del coefficiente delle
perturbazioni di pressione tende ad annullarsi, rendendo singolare il problema. Questo fenomeno, dal
punto di vista fisico, non ha corrispondenza, in quanto, al diminuire della differenza di pressione, la
portata diminuisce. Quindi, a parità di sezione, la velocità del fluido diminuisce e con essa il numero di
Reynolds, fino al punto in cui il moto diventa laminare. In caso di moto laminare, quindi, il coefficiente
della perturbazione di pressione è praticamente costante.
A-6

A.1.12 Comportamento del sistema
Duranteilfunzionamentonormale, quandoilpistoneèinequilibrioilflussodifluidodaeversolecamereè
moltolimitato, inteorianullo. Inrealtàrimaneunpiccoloefflussodovutoalleperdite; sicuramentequesto
efflusso sarà in entrata nella camera del pistone a pressione più alta, mentre nell’altra camera dipende da
quale tra le perdite interna ed esterna prevale. All’interno della valvola, invece, c’è un continuo ricircolo
di fluido dai condotti di alimentazione verso la pressione di scarico che, in un sistema pressurizzato, è
comunque superiore alla pressione atmosferica. Quando, mentre il pistone è in equilibrio, si sposta il flap,
si altera la sezione di efflusso delle perdite di carico tra ugelli di efflusso e flap stesso. In particolare, la
camera della valvola verso cui il flap si sposta vedrà ridurre la sezione e quindi la portata, mentre l’altra
vedrà aumentare sezione e portata. Di conseguenza, la pressione nella prima camera aumenta, mentre
nella seconda diminuisce. Le camere omonime del pistone vedono variare allo stesso modo le rispettive
pressioni, quindi il pistone non è più in equilibrio e inizia a spostarsi (nel modello illustrato nel disegno)
in direzione opposta a quella del flap. Se la valvola viene nuovamente portata in posizione di equilibrio,
il flusso da e verso le camere del pistone si annulla, quindi il pistone si arresta nella nuova posizione. La
posizione del flap che dà equilibrio può essere diversa da caso a caso, perché la forza che il pistone deve
reagire, F, può dipendere dalla posizione.
In ogni caso, la linearizzazione in condizioni di equilibrio del pistone, quella di maggiore interesse
per lo studio della dinamica del sistema, differisce comunque da punto a punto perché nelle equazioni
di bilancio di portata per le camere del pistone c’è una dipendenza esplicita del coefficiente legato alla
comprimibilità del fluido dalla posizione del pistone. Si può verificare che, dal punto di vista dinamico,
la condizione in genere più critica per la stabilità del sistema si ha quando il pistone è centrato, ovvero
xp = Lp/2 e V1 = V2. In questa condizione, lo smorzamento del sistema idromeccanico è minimo. Si
noti che, in condizioni di equilibrio, ovvero quando le derivate temporali si annullano, non c’è alcuna
dipendenza esplicita delle equazioni dalla posizione del pistone. Infatti, ad una data posizione della
valvola, possono corrispondere infinite posizioni del pistone. Di conseguenza, controllando la posizione
del flap è possibile al più controllare la velocità del pistone. Per controllarne la posizione, occorre legare
la posizione del flap (o meglio, la tensione di alimentazione del motore) ad una misura di posizione del
pistone. Occorre, in altre parole, retroazionare il flap con la misura della posizione del pistone.
A.2 Attuatore collegato ad un sistema dinamico
Viene presentata la modellazione di un attuatore idraulico che aziona un sistema dinamico rappresentativo
di una generica superficie mobile di un velivolo, ad esempio un alettone ma, fatte le dovute
considerazioni, anche l’azionamento del passo collettivo di un elicottero.
TODO
A-7

A-8

Appendice B
Procedure per l’impostazione e la
soluzione dei problemi
Generato il 16 gennaio 2012
Questo capitolo vuole rappresentare un breve compendio di quanto già illustrato nei capitoli precedenti,
finalizzato all’impostazione e alla soluzione di problemi.
L’obbiettivo non è tanto facilitare il superamento della prova scritta, quanto cercare di fornire un
metodo che consenta allo studente di comprendere e sistematizzare le fasi necessarie ad affrontare un
tipico problema di dinamica.
Il metodo consta di due fasi:
• comprensione e scrittura del problema
– analisi cinematica
– scrittura delle equazioni del moto
– scrittura delle relazioni costitutive
• soluzione del problema
Letresottofasidicomprensioneescritturadelproblemasonocorrelate; inmolticasiconvienesvolgerle
in parallelo.
Paradossalmente, la fase di soluzione del problema è la meno critica, in quanto di solito si riduce
all’utilizzo di metodi standard in base al tipo di problema.
B.1 Comprensione e scrittura del problema
B.1.1 Analisi cinematica
L’analisi cinematica del problema consiste nel:
• comprendere quanti sono i gradi di libertà del problema;
• scegliere i gradi di libertà più convenienti;
• comprendere quali variabili cinematiche sono necessarie o semplicemente agevolano la definizione
del problema;
• scrivere le relazioni cinematiche tra le variabili e i gradi di libertà scelti.
L’analisi cinematica può limitarsi alle sole variabili cinematiche che partecipano alla scrittura delle
equazioni e delle relazioni costitutive. Tuttavia, un’analisi più approfondita e dettagliata può agevolare
la comprensione della natura del problema.
Non esiste una semplice formula per l’individuazione e la scelta dei gradi di libertà di un sistema.
B-1

B.1.2 Scrittura delle equazioni del moto
La scrittura delle equazioni del problema deve rispondere innanzitutto alla domanda:
quali equazioni del moto occorre scrivere per risolvere il problema?
La seconda domanda è
quale metodo conviene utilizzare per scriverle efficacemente?
Il metodo usato, di per sé, dovrebbe essere ininfluente, dal momento che qualunque metodo deve portare
alle stesse equazioni, o a set di equazioni equivalenti. In alcuni casi, la scelta del metodo rende la scrittura
più semplice, o a“prova di errore”(per quanto sia possibile).
Di solito, quando possibile, si sceglie di utilizzare il formalismo di Lagrange, o comunque qualche
metodo riconducibile alla meccanica analitica e quindi al principio dei lavori virtuali, per il semplice
motivo che, una volta scritta correttamente la cinematica, e riconosciute tutte le forze attive che partecipano
al problema, si ottengono direttamente e“a prova di errore”(concettuale) le equazioni del moto
coniugate alle coordinate libere (equazioni di Lagrange del secondo tipo). Questo consente di rispondere
alla prima domanda:
le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coordinate libere.
L’approccio appena delineato non è più valido nel caso in cui i vincoli non siano ideali. In questo
caso compaiono forze che dipendono dalle reazioni vincolari e che contemporaneamente compiono lavoro
per spostamenti virtuali. Un tipico esempio sono le forze dovute all’attrito radente, o la coppia che dà
resistenza al rotolamento.
Occorre scrivere un set ulteriore di equazioni di equilibrio, indipendenti da quelle coniugate alle
coordinate libere, sufficiente a calcolare a priori le reazioni vincolari necessarie 1 . Le reazioni così calcolate
possono dipendere dalla cinematica, ovvero dalle q e dalle loro derivate, anche se ancora incognite, dal
momentocheverrannopoiutilizzatenellerelazionicostitutiveperconcorrereallascritturadelleequazioni
del moto. Questo consente di estendere la risposta alla prima domanda:
le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coordinate libere, più un numero
di equazioni di equilibrio pari al numero di reazioni vincolari necessarie ad esprimere le
forze di reazione che compiono lavoro.
Soprattutto quando si usino gli equilibri dinamici, ma in ogni caso, è di grande aiuto tracciare il
cosiddetto diagramma di corpo libero, ovvero un disegno in cui il corpo o i corpi di cui è costituito il
sistema viene svincolato, con i vincoli sostituiti dalle reazioni vincolari, e tutte le forze attive vengono
messe in evidenza. Questo diagramma consente di individuare tutti i punti la cui cinematica occorre
scrivere per valutarne posizione, velocità ed eventualmente accelerazione e spostamento virtuale. Si
consiglia caldamente di tracciare il diagramma di corpo libero indipendentemente dal metodo che si usa
per scrivere le equazioni del moto.
B.1.3 Scrittura delle relazioni costitutive
La scrittura delle relazioni costitutive da un certo punto di vista è la parte più semplice: noto il tipo di
forza, e quindi il principio fisico da cui dipende, è sufficiente procurarsi le variabili cinematiche da cui
dipende. La criticità di questa fase consiste appunto nello scegliere il principio fisico da cui dipende la
forza in questione.
1 Esistono tecniche alternative (equazioni di Lagrange del primo tipo) che, attraverso il formalismo dei moltiplicatori di
Lagrange, consentono di scrivere simultaneamente le equazioni del moto e le equazioni da cui ricavare le reazioni vincolari
relative ai vincoli non ideali.
B-2

B.1.4 Mettiamo tutto insieme
Indipendentemente dalla sequenza scelta, la scrittura del problema consiste nell’unire le fasi descritte in
precedenza, qui riassunte nella loro essenza.
• L’analisi cinematica consiste nello scegliere i gradi di libertà, ovvero le coordinate libere q, e nello
scrivere le variabili cinematiche x in funzione di queste, x = x(q). Ciò implica la conoscenza anche
delle derivate e delle variazioni virtuali delle variabili cinematiche, se richieste nella procedura di
soluzione, per semplice derivazione o perturbazione virtuale:
˙x = ∂x ∂x
˙q +
∂q ∂t
¨x = ∂x
∂q ¨q +2 ∂2x ∂t∂q ˙q + ∂2x ∂t2 (B.1a)
(B.1b)
δx = ∂x
δq. (B.1c)
∂q
• La scrittura delle equazioni del moto
�
consiste nello scrivere relazioni di equilibrio tra le forze
T (generalizzate) agenti sul sistema, δx ifi = 0, con δx definito al punto precedente in funzione
della variazione virtuale delle coordinate libere.
• La scrittura delle relazioni costitutive consente di sostituire ad ogni forza fi la sua espressione in
funzione delle variabili cinematiche e delle loro derivate, fi = fi(x, ˙x,¨x), e quindi, in ultima analisi,
delle coordinate libere e delle loro derivate, fi = fi(q, ˙q,¨q).
B.2 Soluzione del problema
Questa è un’altra storia...
B-3

B-4

Appendice C
Breviario ad (ab)uso degli studenti
Questaappendiceracchiudealcunenozioniutiliaglistudentiperaumentareleprobabilitàdinonsuperare
l’esame.
C.1 Primo Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali
Qualunque sia la natura del sistema, in presenza di attrito dinamico di coefficiente fd, il modulo della
forza resistente è definito come
T = fdN (C.1)
ove N, la componente della reazione vincolare normale alla superficie di scorrimento, secondo il Primo
Principio della Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, è sempre e comunque
N = mg (C.2)
o, nel caso in cui la superficie di scorrimento sia inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale,
N = mgcosα (C.3)
Per nessuna ragione N può essere ricavata a partire da una equazione di equilibrio.
Nota: almeno il 25% degli svolgimenti di ogni tema d’esame vede l’applicazione del Primo Principio.
Nota: N = mg anche se il problema è nel piano orizzontale (visto veramente in uno scritto della
prova del 16 Febbraio 2010).
C.2 Teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia
Enunciato: un corpo, spinto verso l’alto a velocità costante da una forza uguale ed opposta al peso,
al cessare della stessa scende immediatamente. La dimostrazione è lasciata alla curiosità del lettore.
Nota: sentito davvero ad un orale.
Esercizio C.1 Dimostrare il teorema dell’ininfluenza delle forze d’inerzia.
C.2.1 Corollario della viralità del moto uniforme
Una parte di un meccanismo arbitrariamente complesso si muova di moto uniforme (per esempio una
manovella ruoti a velocità costante). Allora, indipendentemente dalla complessità cinematica del meccanismo,
tutte le forze di inerzia si annullano, anche qualora il moto uniforme di una parte si traduca
in moto vario di altre parti del sistema (per esempio la biella trascinata dalla manovella e il corsoio
trascinato dalla biella in un glifo).
Esercizio C.2 Con riferimento all’esempio della manovella in moto a velocità angolare costante, si
verifichi come il corollario non sia vero a rigore neppure per la manovella stessa: le forze d’inerzia sono
veramente nulle?
C-1

C.2.2 Lemma della singolarità della distribuzione delle masse.
Si consideri un’asta uniforme di lunghezza L. Si calcolino le azioni interne in un punto qualsiasi, posto
a distanza x da un estremo. Le forze di inerzia sono applicate nel baricentro, e quindi agiscono solo
sulla porzione di asta che contiene il baricentro. Quando l’asta è tagliata nel baricentro, la metà a cui si
applicano le forze di inerzia non è definita.
Esercizio C.3 Si calcolino le forze di inerzia di un’asta uniforme soggetta a moto vario dopo averla
sezionata in due parti in un punto arbitrario. Si faccia tendere tale punto al baricentro dell’asta integra.
C.2.3 Corollario dell’incompatibilità tra regime e forze d’inerzia
Qualora in una frase compaia l’espressione“a regime”, ciò necessariamente implica che le forze d’inerzia
siano nulle per tutto il resto dell’esercizio.
Esercizio C.4 Si calcoli la risposta a regime di un sistema descritto dall’equazione
m¨x+r˙x+kx = f(t) (C.4)
quando sia forzato armonicamente, ovvero f = fe jΩt .
Svolgimento (sconsigliato): siccome nel testo compare l’espressione“a regime”, l’equazione diventa
r˙x+kx = fe jΩt
Daquidisolitocisiincartaintentatividitrovareun’espressioneplausibileperx, eventualmentescrivendo
frasi del tipo“non sono in grado di concludere per mancanza di tempo”.
Ri-svolgimento (corretto): l’espressione “a regime” va inteso nel senso di “a transitorio esaurito”.
Si ricorda infatti che la soluzione di equazioni differenziali lineari è costituita dalla combinazione di
un integrale generale, soluzione dell’equazione omogenea associata al problema non omogeneo, e di un
integrale particolare, associato al termine noto specifico. La soluzione omogenea viene determinata
imponendo il raccordo tra il valore all’istante iniziale dell’integrale particolare e le condizioni iniziali del
problema. Se il sistema è asintoticamente stabile (si può parlare di stabilità del sistema anziché della
soluzione solo perché si tratta di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti), allora l’integrale
generale è destinato ad annullarsi asintoticamente; ne consegue che “a regime”, ovvero a transitorio
esaurito, rimane solo l’integrale particolare,
(C.5)
x = � −Ω 2 m+jΩr +k � −1 f (C.6)
C.2.4 Sull’opportunità di considerare due volte le forze d’inerzia
L’(ab)uso del teorema dell’energia cinetica consente di commettere un errore piuttosto frequente. Questo
teoremadiceche“laderivatarispettoaltempodell’energiacineticaèugualeallapotenzadelleforzeattive,
escluse quelle di inerzia”. Se si trascura la invero secondaria postilla sulle forze di inerzia, si ottiene il
Teorema dell’(abuso del teorema dell’)Energia Cinetica, il quale afferma che“la derivata rispettoal tempo
dell’energia cinetica è (quasi) uguale alla potenza delle forze attive (incluse quelle di inerzia)”.
Esercizio C.5 Si utilizzi il summenzionato teorema per scrivere l’equazione del moto di un punto materiale
libero, soggetto ad una forza arbitraria.
Soluzione (sbagliata): l’energia cinetica è T = m�v ×�v/2; la potenza delle forze attive (incluse
quelle di inerzia) è Π = � F ×�v −m�a×�v. La derivata dell’energia cinetica dà ˙ T = m�a×�v. Ne consegue
m�a×�v = � F ×�v −m�a×�v
da cui si ricava
�
2m�a− � �
F �v = 0,
ovvero la nota relazione � F = 2m�a.
C-2

C.3 Lemma della crasi tra definizioni diverse
Spesso, uno stesso principio o fenomeno può essere enunciato in modi diversi. In questi casi, i diversi
modi possono sintetizzati prendendo a caso un po’ da uno e un po’ da un altro.
Esercizio C.6 Illustrare l’ipotesi di Reye mischiando la definizione in termini sia di lavoro che di
potenza delle forze di attrito, avendo cura di cadere in contraddizione almeno una volta.
C.4 Teorema del calcolo delle frequenze caratteristiche di sistemi
meccanici descritti da equazioni disaccoppiate (o della
“ammuina”)
Le frequenze caratteristiche di un sistema meccanico si calcolano trovando le radici del polinomio caratteristico,
che si ottiene imponendo l’annullamento del determinante della matrice
[Z] = −ω 2 [M]+[K] (C.7)
Se le matrici [M] e [K] sono diagonali, il determinante di [Z] è costituito dal prodotto dei coefficienti
diagonali kii−ω 2 mii, e quindi si annulla quando si annulla ciascun coefficiente della diagonale. Malgrado
ciò, occorre ogni volta:
• scrivere per intero il polinomio caratteristico
• raccogliere i coefficienti del polinomio per ogni potenza pari dell’incognita ω
• se possibile, calcolarne le radici
• evitare di accorgersi che queste sono semplicemente e rispettivamente ω 2 i
Questo consente di:
= kii/mii.
1. non ammettere che probabilmente, se le matrici sono diagonali, è stato commesso qualche errore
nel loro calcolo; se si sono svolti tutti quei passaggi, significa che non ci si è accorti che le matrici
erano diagonali, e quindi l’errore è stato commesso in buona fede;
2. introdurre errori in un risultato altrimenti banale.
Nota: se le matrici [K] e [M] sono entrambe diagonali,
1. si ha un occhio incredibile nella scelta dei gradi di libertà; oppure
2. è stato commesso un errore.
Nota alla nota: questo non implica che matrici non diagonali siano sempre corrette.
C.5 Esercizio: trova l’errore
Questa sezione propone una serie di esercizi sbagliati, nei quali si richiede di trovare e spiegare l’errore.
Tutti gli esercizi sono ispirati a risposte realmente viste in prove scritte (mutatis mutandis).
Esercizio C.7 Data una ruota di massa m, raggio R e inerzia J, rotolante lungo un piano inclinato di
un angolo α trascinata da una fune inestensibile e priva di massa, parallela al terreno, calcolare:
1. la reazione al contatto tra ruota e terreno;
2. la tensione nella fune.
Svolgimento:
C-3

Risposta 1) L’equilibrio alla traslazione in direzione parallela al terreno è −RT −mgsinα−m¨x = 0, da cui la
componente tangenziale della reazione tra ruota e terreno è RT = −m¨x−mgsinα.
Risposta 2) L’equilibrio alla traslazione in direzione parallela al terreno è T − mgsinα − m¨x = 0, da cui la
tensione nella fune è T = m¨x+mgsinα.
Si è fatto uso del Teorema dell’Omissione dell’Incognita che si Preferisce non Considerare per Rendere
più Semplici i Calcoli.
Il risultato corretto è:
1. dall’equilibrio alla rotazione della ruota attorno al proprio centro si ottiene RT = J/R 2 ¨x
2. dall’equilibrio alla traslazione della ruota lungo la direzione tangente al piano si ricava T = (m+
J/R 2 )¨x+mgsinα.
Esercizio C.8 Vero o falso?
1
a
b +1
= b
+1 (C.8)
a
Falso. Il risultato si ottiene a seguito dell’utilizzo del Metodo del Passaggio Inutile e Non Richiesto per
Complicare un Risultato in Origine Semplice.
Il risultato corretto è
1
a
b +1
= 1
a
b +1
, (C.9)
ovvero meglio non rigirare troppo formule senza che sia strettamente necessario; se lo si fa, si stia almeno
attenti.
C-4

Appendice D
Soluzione esercizi
Capitolo 2
Soluzione es. 2.2
L’energia cinetica del corpo è T = m(˙x 2 + ˙y 2 )/2, mentre l’energia potenziale è V = mgy. L’equazione di
vincolo può essere formulata come ycosα−xsinα = 0. La lagrangiana aumentata corrispondente è
L = 1
2 m� ˙x 2 + ˙y 2� −mgy −(ycosα−xsinα)λ
Si ottiene
� �
d ∂L
−
dt ∂˙x
∂L
= m¨x−sinαλ = 0
∂x
� �
d ∂L
−
dt ∂˙y
∂L
= m¨y +mg +cosαλ = 0
∂y
�
d ∂L
dt ∂˙ �
−
λ
∂L
= ycosα−xsinα = 0
∂λ
Per la riduzione ad una equazione pura si può procedere come segue:
• si derivi due volte l’equazione di vincolo rispetto al tempo, in modo da ottenere
¨ycosα− ¨xsinα = 0
• dalle due equazioni di equilibrio si esplicitino ¨x e ¨y,
¨x = 1
m sinαλ
¨y = −g − 1
m cosαλ
• e li si sostituiscano nella derivata seconda dell’equazione di vincolo,
�
− g + 1
m cosαλ
� �
1
cosα−
m sinαλ
�
sinα = 0
• da questa relazione si espliciti il moltiplicatore λ,
λ = −mgcosα
D-1

• lo si sostituisca nelle equazioni di equilibrio,
m¨x = −mgcosαsinα
m¨y = −mgsin 2 α.
Queste due equazioni sono solo formalmente indipendenti; in realtà basta risolverne una, rispettivamente
in funzione della coordinata x o y, e usare l’equazione di vincolo per calcolare l’altra coordinata.
Se si considera una nuova coordinata q parallela al piano inclinato, si ha x = qcosα e y = qsinα;
è immediato verificare che le due equazioni“pure”ottenute sono in realtà la stessa equazione una volta
sostituite le x e y in funzione di q, ovvero ¨x = ¨qcosα e ¨y = ¨qsinα, con cui si ottiene due volte
m¨q = −mgsinα.
Soluzione es. 2.3
La guida scambia con il corpo una reazione diretta perpendicolarmente alla guida stessa, ove α = dy/dx
è la pendenza locale della guida.
Equilibri dinamici. La reazione Φ ha componente verticale Φy = Φcosα e componente orizzontale
Φx = −Φsinα. Ne consegue che la componente orizzontale è
dy
Φx = −Φytanα = −Φy
dx .
Le equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale e verticale danno
−m¨x+Φx +f(t) = 0
−m¨y +Φy −mg = 0.
La componente verticale dell’accelerazione si calcola in funzione della componente orizzontale del moto
come
˙y = dy
dx ˙x
¨y = dy d
¨x+
dx dx
�
dy
dx ˙x
�
˙x = dy
dx ¨x+ d2y dx2 ˙x2 .
Dall’equilibrio in direzione verticale si ricava Φy,
Φy = mg +m¨y
Sfruttando l’espressione di Φx in funzione di Φy si può eliminare per sostituzione la reazione vincolare
dall’equazione di equilibrio in direzione orizzontale,
� � � �
2
dy
−m 1+ ¨x−m
dx
dy d
dx
2 y
dx2 ˙x2 −mg dy
+f(t) = 0,
dx
ottenendo così un’equazione pura del moto.
Nel caso in esame, y = y0sin(2πx/L), quindi
dy 2π
= y0
dx
d 2 y
= −y0
dx2 L cos
� �
2πx
L
� �2 � �
2π 2πx
sin .
L L
D-2

L’equazione del moto è
� �
2π
m 1+ y0
L cos
� �� �
2
2πx
¨x−my
L
2 � �3 � � � �
2π 2πx 2πx
0 cos sin ˙x
L L L
2
2π
= f(t)−mgy0
L cos
� �
2πx
L
Principio dei lavori virtuali. La componente orizzontale di uno spostamento virtuale della massa
è δx. La componente verticale è δy = (dy/dx)δx. Il lavoro virtuale delle forze attive è
�
δL = δxf(t)−δxm¨x−δymg −δym¨y = δx f(t)−m¨x− dy
�
(mg +m¨y) .
dx
Sostituendo l’espressione di ¨y, per l’arbitrarietà dello spostamento virtuale δx si ottiene direttamente
l’equazione pura del moto scritta in precedenza. Il calcolo della reazione vincolare può essere svolto a
posteriori utilizzando per esempio l’equilibrio alla traslazione in direzione verticale scritto in precedenza,
ove ¨y è noto dall’equazione del moto (anche se sarebbe più corretto scrivere un equilibrio alla traslazione
in direzione perpendicolare alla guida).
Teorema dell’energia cinetica. Il teorema dell’energia cinetica può essere utilizzato per scrivere
direttamente l’equazione del moto perché il sistema ha un solo grado di libertà e i vincoli sono fissi (non
dipendono esplicitamente dal tempo), quindi l’atto di moto è compatibile con i vincoli a tempo fissato.
L’energia cinetica del sistema è
T = 1 1
m�v �v =
2 2 m� ˙x 2 + ˙y 2� .
La sua derivata rispetto al tempo dà
dT
dt
= m(¨x˙x+ ¨y˙y) = m
�
¨x+ ¨y dy
�
dx
La potenza delle forze attive, escluse quelle di inerzia, è
�
Π = f(t)˙x−mg˙y = f(t)−mg dy
�
˙x.
dx
Dall’uguaglianza dT/dt = Π si ricava
�
m ¨x+ ¨y dy
� �
˙x = f(t)−mg
dx
dy
�
˙x.
dx
˙x.
Eliminando la velocità ˙x e sostituendo ¨y si ottiene di nuovo l’equazione pura del moto scritta in precedenza.
La reazione vincolare si può ricavare in modo analogo al caso del principio dei lavori virtuali.
Equazioni di Lagrange di II o tipo. All’energia cinetica calcolata in precedenza si sottragga
l’energia potenziale associata al peso, mgy, a dare la Lagrangiana
L = 1
2 m� ˙x 2 + ˙y 2� −mgy.
Il lavoro virtuale delle forze attive rimanenti è δL = δxf(t). Si ottiene
d
dt
∂L
= m˙x+m˙ydy
∂˙x dx
� �
∂L
= m¨x+m¨y
∂˙x
dy
dx +m˙yd2 y
˙x
dx2 ∂L
= m˙yd˙y
∂x dx −mgdy
dx = m˙yd2 y
˙x−mgdy
dx2 dx
Q = f(t)
D-3

Si ottiene quindi
m¨x+m¨y dy
dx + ✟ ✟✟✟ m˙y d2y dx2 ˙x− ✟ ✟✟✟ m˙y d2y ˙x+mgdy = f(t),
dx2 dx
ovvero, dopo alcune semplificazioni e sostituendo l’espressione di ¨y, di nuovo l’equazione pura del moto
trovata in precedenza. La reazione vincolare si può ricavare in modo analogo al caso del principio dei
lavori virtuali.
Equazioni di Lagrange di I o tipo. Si consideri la Lagrangiana scritta in precedenza e aumentata
dall’equazione di vincolo y−y(x) = 0 moltiplicata per l’incognita di reazione λ, ove y è considerata alla
stregua di una coordinata libera mentre y(x) è il valore imposto dalla presenza della guida. Si ottiene
L = 1
2 m� ˙x 2 + ˙y 2� −mgy +λ(y −y(x)).
Si applichi il formalismo di Lagrange in funzione delle tre variabili x, y e λ, considerando anche il lavoro
virtuale δL = δxf(t). Si ottiene
∂L
= m˙x
∂˙x
∂L
= m˙y
∂˙y
∂L
∂˙ = 0
λ
ovvero
m¨x+ dy
λ = f(t)
dx
m¨y −λ = −mg
0 = y −y(x).
d
dt
d
dt
d
dt
� �
∂L
= m¨x
∂˙x
� �
∂L
= m¨y
∂˙y
�
∂L
∂˙ �
= 0
λ
∂L
= −dy
∂x dx λ Qx = f(t)
∂L
∂y = −mg +λ Qy = 0
∂L
∂λ = y −y(x) Qλ = 0
Il moltiplicatore λ assume il significato di componente verticale della reazione vincolare (si confrontino
le equazioni appena scritte con gli equilibri dinamici).
Per arrivare all’equazione pura del moto si può esplicitare λ dalla seconda equazione e sostituirlo nella
prima, dopo aver ricavato ¨y dalla derivata seconda della terza equazione. La reazione vincolare si ricava
direttamente dalla seconda equazione esplicitata rispetto a λ, una volta noto il movimento.
Capitolo 3
Soluzione es. 3.1
• Equazione (3.8a): si consideri la rappresentazione vettoriale �v = vx�i+vy �j +vz �k; si ottiene
�
�p�q = px�i+py �j +pz � � �
k × qx�i+qy �j +qz � �
k = pxqx +pyqy +pzqz
�
�q �p = qx�i+qy �j +qz � � �
k × px�i+py �j +pz � �
k = qxpx +qypy +qzpz
in quanto il prodotto scalare tra versori differenti dà 0 (�i×�j =�j× � k = � k×�i = 0) mentre il prodotto
scalare di un versore per se stesso dà 1 (�i×�i =�j ×�j = � k × � k = 1).
Si consideri la notazione matriciale {v} = [vx,vy,vz] T ; si ottiene
{p}×{q} = � px py pz
{q}×{p} = � qx qy qz
� T
� T
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
qx
qy
qz
px
py
pz
⎫
⎬
⎭ = pxqx +pyqy +pzqz
⎫
⎬
⎭ = qxpx +qypy +qzpz
D-4

• Equazione (3.8b): si consideri la notazione vettoriale; si ha:
�
�
�
�p∧�q = �
�
�
�
�
�
�q ∧�p = �
�
�
px py pz
qx qy qz
�i �j � k
qx qy qz
px py pz
�i �j � k
�
�
�
�
�
� = (pyqz −pzqy)�i+(pzqx −pxqz)�j +(pxqy −pyqx) �k �
�
�
�
�
� = (qypz −qzpy)�i+(qzpx −qxpz)�j +(qxpy −qypx) �k. I due risultati sono chiaramente uno l’opposto dell’altro.
Si consideri ora la notazione matriciale; si ha
⎡
[p∧]{q} = ⎣ 0 −pz
⎤⎧
py ⎨
pz 0 −px ⎦
⎩
−py px 0
⎡ ⎤⎧
0 −qz qy ⎨
[q ∧]{p} = ⎣ qz 0 −qx ⎦
⎩
−qy qx 0
qx
qy
qz
px
py
pz
⎫
⎬
⎭ =
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭ =
⎧
⎨
⎩
I due risultati sono chiaramente uno l’opposto dell’altro.
pyqz −pzqy
pzqx −pxqz
pxqy −pyqx
qypz −qzpy
qzpx −qxpz
qxpy −qypx
• Equazione (3.8c): si consideri la notazione vettoriale; sfruttando la relazione �p ∧ �q calcolata in
precedenza, si ha
�
�r ×(�p∧�q) = rx�i+ry �j +rz � �
k
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
�
× (pyqz −pzqy)�i+(pzqx −pxqz)�j +(pxqy −pyqx) � �
k
= rx(pyqz −pzqy)+ry(pzqx −pxqz)+rz(pxqy −pyqx)
Si potrebbe procedere come nei casi precedenti, cioè sviluppare la forma �q × (�p ∧�r) e verificare
che il risultato è l’opposto di quanto ottenuto (viene lasciato al lettore come esercizio). Si osservi
invece che l’ultima espressione può essere raccolta altrimenti, ovvero
rx(pyqz −pzqy)+ry(pzqx −pxqz)+rz(pxqy −pyqx)
= −qx(pyrz −pzry)−qy(pzrx −pxrz)−qz(pxry −pyrx).
Ma l’espressione a destra dell’uguale non è altro che il risultato di −�q ×(�p∧�r).
Si consideri ora la notazione matriciale; la relazione [p∧] T = −[p∧] è dovuta al fatto che per
costruzione [p∧] è antisimmetrica.
Per quanto riguarda la relazione usata per enunciare la proprietà con la notazione vettoriale, si
consideri il fatto che {r} T [p∧]{q} è uno scalare, quindi è identico alla sua trasposta:
{r} T [p∧]{q} = {q} T [p∧] T {r}.
Ma la matrice [p∧] è antisimmetrica, quindi
{r} T [p∧]{q} = {q} T [p∧] T {r} = −{q} T [p∧]{r}.
• Equazione (3.8d): viene lasciata alla curiosità del lettore.
• Equazione (3.8e): viene lasciata alla curiosità del lettore.
• Equazione (3.8f): viene lasciata alla curiosità del lettore.
D-5
⎭

Soluzione es. 3.2
Si consideri la notazione vettoriale. Del termine centrifugo �a = �ω ∧ (�ω ∧�r) si consideri il termine tra
parentesi, �v = �ω ∧ �r. Questo, per costruzione, è normale sia a �r che a �ω. Di conseguenza, �ω ∧ �v è
ortogonale a �ω e �v. Questo significa che �a giace nel piano normale a �v ed è normale a �ω. Questo piano,
per costruzione, contiene anche �r. Se ne conclude che �a è diretto come la porzione di �r perpendicolare a
�ω (con verso opposto).
Nel caso piano, in cui per costruzione �ω è perpendicolare a �r, il vettore�a è diretto come �r, e ha verso
opposto.
Si consideri la notazione matriciale. Il termine centrifugo {a} = [ω∧][ω∧]{r} può essere riscritto come
{a} = ({ω}{ω} T −ω 2 [I]){r}, ove si è posto ω 2 = {ω} T {ω}. L’effetto della matrice {ω}{ω} T −ω 2 [I] può
essere separato in due contributi: il primo, {ω}{ω} T , attraverso il prodotto scalare {ω} T {r} estrae la
parte di {r} diretta come {ω} e la moltiplica per il modulo di {ω} stesso; quindi moltiplica il tutto di
nuovo per {ω}, dando luogo ad un vettore diretto come {ω} e avente modulo pari alla lunghezza della
componente di {r} diretta come {ω} per il modulo di {ω} al quadrato. Il secondo contributo, −ω 2 [I],
dà luogo ad un vettore diretto come {r} il cui modulo è pari al modulo di {r} per il modulo di {ω} al
quadrato. L’insieme dei due contributi consiste quindi nella sola porzione di {r} perpendicolare a {ω}
moltiplicata per l’opposto del quadrato del modulo di {ω} stesso.
Anche in questo caso, se si considera un problema piano, {r} è per definizione perpendicolare a {ω};
di conseguenza {a} = −{ω} T {ω}{r}.
Per completezza, e per evidenziare la generalità di questa operazione mediante il formalismo matriciale,
si propone un’ulteriore interpretazione. Si ridefinisca la velocità angolare {ω} come {ω} = ω{n},
in cui si separa il modulo ω dal versore {n}, diretto come {ω} e di modulo unitario. Il termine centrifugo
{a} = [ω∧][ω∧]{r} = ({ω}{ω} T −ω 2 [I]){r} può essere riscritto come {a} = −ω 2 ([I]−{n}{n} T ){r}.
Lamatrice[P] = [I]−{n}{n} T èunproiettore (ortogonale),ovveroun’entitàcheproiettaunvettorein
un sottospazio del suo spazio di definizione. In questo caso il sottospazio è dato dalle direzioni ortogonali
a {n}. I proiettori ortogonali godono delle proprietà
• [P] T = [P]
• [P] 2 = [P]
È immediato verificarle entrambe.
Il vettore {r} può essere decomposto in una parte diretta come {n} ed una ortogonale ad {n}, ovvero
{r} = rn{n}+rm{m}, con {n} T {m} = 0. Ne consegue che
{a} = [P]{r}
�
= [I]−{n}{n} T��
�
rn{n}+rm{m}
= rn{n}+rm{m}−rn{n}{n} T {n}
= rm{m}
� �� �
1
−rm{n}{n} T {m}
� �� �
0
L’operazionepuòessereestesaaspazididimensionearbitrariaeallaproiezioneinsottospazididimensioni
arbitrarie purché inferiori.
Soluzione es. 3.3
La generica matrice di rotazione [R] è ortonormale, ovvero [R] T [R] = [R][R] T = [I]. Si derivi rispetto al
tempo la seconda relazione,
d
�
[R][R]
dt
T�
= ˙ [R][R] T +[R] [R] ˙
T
= [0].
D-6

Siccome [R] ˙ [R] T
= ( ˙
[R][R] ˙ T �
= − [R][R] ˙ T� T
,
[R][R] T ) T , se ne deduce che
ovvero che la trasposta di [R] ˙ [R] T
è uguale al suo opposto. Ma questo implica che [R] ˙ [R] T
sia esprimibile
come [ω∧], ovvero come la matrice prodotto vettore di un vettore {ω}, che assume il significato di velocità
angolare.
Soluzione es. 3.4
In analogia con l’esercizio precedente, la derivazione di [R] T [R] dà
d
�
[R]
dt
T �
[R] = ˙ [R] T
[R]+[R] T [R] ˙ = [0],
da cui si ricava
[R] T ˙
[R] = [v ∧],
dove {v} è un generico vettore 1 . Si consideri ora
[v ∧] = [v ∧][R] T [R] = [R] T ˙
[R][R] T [R] = [R] T [ω ∧][R].
Se ne deduce che {v} = [R] T {ω} = {ω}.
Soluzione es. 3.5
Si consideri la prima delle matrici della (3.23). Dalla sua derivazione rispetto al tempo si ottiene
⎛⎡
⎤⎞
⎡ ⎤
1 0 0 0 0 0
d
⎝⎣
0 cosα −sinα ⎦⎠
= ˙α ⎣ 0 −sinα −cosα ⎦.
dt
0 sinα cosα 0 cosα −sinα
Dal prodotto della derivata per la trasposta della matrice stessa si ottiene
⎡
0 0 0
⎤⎡
1 0 0
⎤ ⎡ ⎤
0 0 0
˙α ⎣ 0 −sinα −cosα ⎦⎣
0 cosα sinα ⎦ = ˙α ⎣ 0 0 −1 ⎦
0 cosα −sinα 0 −sinα cosα 0 1 0
da cui si ricava {ω} = [0,0, ˙α] T , ovvero un vettore il cui modulo è ˙α e la cui direzione è data dall’asse x.
In modo analogo si calcola la velocità angolare associata alle rimanenti due matrici della (3.23).
Soluzione es. 3.7
Il momento statico {sQ} e la matrice d’inerzia [JQ] risultano dagli integrali della (3.36),
�
{sQ} = ρ{r} dV
V
�
[JQ] = ρ[r ∧][r ∧] T dV.
V
Il vettore {r} può essere espresso in funzione del suo valore in un sistema di riferimento solidale con il
corpo come {r} = [R]{r}, da cui
� �
{sQ} = ρ[R]{r} dV = [R] ρ{r} dV = [R]{sQ}
V
�
V
[JQ] = ρ[([R]r)∧][([R]r)∧]
V
T �
dV = [R]ρ[r ∧][R]
V
T [R][r ∧] T [R] T dV
�
= [R] ρ[r ∧][r ∧] T dV [R] T = [R] � � T
JQ [R] .
V
1 È evidente che anche {v} sarà legato in qualche modo alla velocità angolare.
D-7

Soluzione es. 3.8
Il momento statico {sQ} varia al variare dell’orientazione del corpo. Essendo definito rispetto al polo
Q, non risente di una pura traslazione del corpo, ma soltanto di una rotazione rispetto a tale polo.
Di conseguenza, definito un valore rispetto ad una orientazione di riferimento, {sQ}, e una matrice
di rotazione [R] dall’orientazione di riferimento a quella corrente, il momento statico nell’orientazione
corrente è
{sQ} = [R]{sQ}.
La sua derivata rispetto al tempo è quindi
{˙sQ} = [ω ∧][R]{sQ} = [ω ∧]{sQ}.
La matrice di inerzia, allo stesso modo, risente solo di una rotazione rigida rispetto al polo Q. Di
conseguenza, definito un valore di riferimento [JQ], la matrice di inerzia nell’orientazione corrente è
[JQ] = [R] � � T
JQ [R] .
A questa considerazione si può arrivare in diversi modi; qui si preferisce una considerazione ‘operativa’.
L’energia cinetica associata alla rotazione di un corpo rigido non dipende dal sistema di riferimento, è un
invariante scalare del moto. Nella configurazione corrente, essa è {ω} T [JQ]{ω}/2. Nella configurazione di
riferimento, per la quale {ω} = [R] T {ω}, si ha {ω} T [JQ]{ω}/2. Le due espressioni devono essere uguali,
per cui si ottiene
1
2 {ω}T � � 1
JQ {ω} =
2 {ω}T [R] � � T 1
JQ [R] {ω} =
2 {ω}T [JQ]{ω},
da cui, per l’arbitrarietà di {ω}, si ricava [JQ] = [R][JQ][R] T . La sua derivata è quindi
� �
JQ
˙ = [ω ∧][R] � � T � � � � � �
T T
JQ [R] +[R] JQ [R] [ω ∧] = [ω ∧] JQ
˙ + JQ
˙ [ω ∧] T .
Soluzione es. 3.9
Il momento statico {sQ} e la matrice d’inerzia [JQ] in un sistema di riferimento solidale con il corpo sono
costanti per definizione; di conseguenza la loro derivata è nulla.
Soluzione es. 3.10
Usando la notazione vettoriale e applicando la (3.8b)
�r ∧�ω ∧�ω ∧�r =�r ∧(�ω ∧(�ω ∧�r))
= −(�ω ∧(�ω ∧�r))∧�r.
Quindi, applicando ripetutamente la (3.8f) e la (3.8b),
−(�ω ∧(�ω ∧�r))∧�r = −�ω ∧(�ω ∧�r)∧�r +(�ω ∧�r)∧�ω ∧�r
= −�ω ∧�ω ∧�r ∧�r +�ω ∧�r ∧�ω ∧�r + ✭✭✭✭✭✭✭✭
(�ω ∧�r)∧(�ω ∧�r)
= − ✭✭✭✭✭✭✭
�ω ∧�ω ∧(�r ∧�r)−�ω ∧�r ∧�r ∧�ω
È forse più intuitivo usare la notazione matriciale anziché quella vettoriale; in questo caso, l’obbiettivo
è dimostrare che
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = −[ω ∧][r ∧][r ∧]{ω}.
Si consideri la proprietà (3.8d), qui riscritta per comodità:
[a∧][b∧] = {b}{a} T −{a} T {b}[I].
D-8

La si usi per sostituire il contributo [ω∧][ω∧] con {ω}{ω} T −{ω} T {ω}[I], ovvero
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = [r ∧]{ω}{ω} T {r}−{ω} T {ω}[r ∧]{r} .
� �� �
{0}
Il contributo {ω} T {r} è scalare, quindi può essere riscritto come {r} T {ω}. Il contributo [r∧]{ω} ricordando
la proprietà di antisimmetria del prodotto vettore può essere invece riscritto come −[ω∧]{r};
quindi
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = [r ∧]{ω}{ω} T {r}
= −[ω ∧]{r}{r} T {ω}.
A questo punto, è possibile aggiungere arbitrariamente un contributo del tipo {r} T {r}[I][ω∧]{ω} in
quanto identicamente nullo; si ottiene
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = [r ∧]{ω}{ω} T {r}
Soluzione es. 3.11
= −[ω ∧]{r}{r} T {ω}
�
= −[ω ∧] {r}{r} T −{r} T �
{r}[I] {ω}
= −[ω ∧][r ∧][r ∧]{ω}.
La verifica della simmetria è immediata: la matrice di inerzia, nella (3.36), è definita come
�
[JQ] = − ρ[r ∧][r ∧] dV.
V
Grazie alla proprietà di antisimmetria della matrice che esprime il prodotto vettore, questa si può
riscrivere
�
[JQ] = ρ[r ∧][r ∧] T dV.
V
Siccome il prodotto di una matrice per la sua trasposta dà una matrice simmetrica, la [JQ] è simmetrica
per costruzione.
Verificare che la matrice di inerzia sia definita positiva richiede una trattazione più elaborata. Una
delle proprietà delle matrici definite positive consiste nell’avere tutti gli autovalori positivi. Come descritto
nella nota 6 di pagina 3-10, gli autovalori della matrice di inerzia sono i momenti principali di
inerzia, ovvero i momenti di inerzia calcolati rispetto agli assi principali di inerzia. Siccome un cambiamento
di orientazione non cambia le proprietà invarianti di una matrice, quali gli autovalori, non si lede
la generalità se ci si riferisce fin dall’inizio al sistema di riferimento principale d’inerzia. In questo caso
speciale la matrice d’inerzia, data da
�
[JQ] =
V
ρ[r ∧][r ∧] T �
dV =
V
⎡
ρ⎣
y 2 +z 2 −xy −xz
−yx z 2 +x 2 −yz
−zx −zy x 2 +y 2
⎤
⎦ dV,
ha i coefficienti extra-diagonali identicamente nulli. Siccome la densità ρ è positiva, i coefficienti diagonali
sono positivi per costruzione, perché integrali di funzioni sempre positive (tranne che in un insieme
limitato di punti; ma la matrice non può essere semidefinita perché ciò implicherebbe che almeno due
dimensioni siano nulle, ad esempio che il corpo sia un segmento di retta).
D-9

Soluzione es. 3.12
Si consideri l’espressione delle coppie d’inerzia data dalla (3.40b). L’espressione della potenza è
Π = {ω} T {CiG} = {ω} T (−[JG]{˙ω}−[ω ∧][JG]{ω}).
Si noti però che {ω} T [ω∧] = {0} T (perché? lo si verifichi), quindi
Π = −{ω} T [JG]{˙ω}.
Si verifichi che l’espressione trovata è l’opposto della derivata rispetto al tempo dell’energia cinetica
associata alla rotazione, {ω} T [JG]{ω}/2.
Soluzione es. 3.13
La (3.40a) ci dice che le forze d’inerzia sono nulle, in quanto il baricentro, che per ipotesi si trova sull’asse
di rotazione, ha accelerazione nulla. La (3.40b), nell’ipotesi che il sistema di riferimento in cui è espressa
la matrice dei momenti di inerzia [JG] non sia principale d’inerzia, ci dice che le coppie d’inerzia sono
⎧
⎨
{CiG} = −
⎩
−IxzG
−IyzG
IzzG
Soluzione es. 3.14
⎫
⎬
⎭ ˙ωz
⎧
⎨
−
⎩
La derivata della (3.50a) è immediata:
� �
˙Q = m{˙vG}.
IyzG
−IxzG
0
⎫
⎬
⎭ ω2 z.
La derivata della (3.50b) comporta anche la derivazione rispetto al tempo della matrice di inerzia, ovvero
� � � �
˙ΓG = [JG]{˙ω}+ JG
˙ {ω}.
La derivata della matrice d’inerzia è
� �
JG
˙ = [ω ∧][JG]+[JG][ω ∧] T ;
la sua sostituzione nella derivata del momento delle quantità di moto comporta un prodotto [ω∧] T {ω},
che è nullo per definizione. Si ottiene così
� �
˙ΓG = [JG]{˙ω}+[ω ∧][JG]{ω}.
Dal momento che {Fi} = −{ ˙ Q} e {CiG} = −{ ˙ ΓG}, si riottengono le (3.40).
Soluzione es. 3.15
La soluzione è già stata data come soluzione dell’esercizio 3.4. Viene qui proposta una dimostrazione
alternativa. Una rotazione in generale rappresenta un cambiamento del ‘punto di vista’ rispetto al
quale si guarda una relazione tra vettori, non la natura dei vettori né della relazione. Si consideri il
prodotto vettore tra {ω} e un generico vettore {v}, espresso nello stesso sistema di riferimento del primo.
L’operazione dà
{z} = [ω ∧]{v}.
La stessa operazione può essere svolta come sequenza di operazioni che portano entrambi i vettori {ω} e
{v} in un altro sistema di riferimento, mediante moltiplicazione per [R], e poi riportano il risultato nel
sistema di riferimento iniziale mediante moltiplicazione per [R] T , ovvero
D-10

{ω} = [R]{ω}
{v} = [R]{v}
{z} = [ω ∧]{v}
{z} = [R] T {z}.
Quindi {z} = [ω∧]{v} = [R] T [ω∧][R]{v}, ovvero, per l’arbitrarietà di {v}, [([R] T {ω})∧] = [R] T [ω∧][R].
Soluzione es. 3.16
La velocità angolare tra il corpo e il telaio nel sistema di riferimento inerziale (3.66) è
⎧
⎨ ˙Ψ
{ω} = −
⎩
˙ ⎫
⎬
ΦsinΨ
˙ΦcosΨ
⎭ .
La sua derivata è
⎧
⎨ ¨Ψ
{˙ω} = −
⎩
¨ ⎫
⎬
ΦsinΨ
¨ΦcosΨ
⎭ −
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
cosΨ
⎩ ⎭
sinΨ
˙ Ψ˙ Φ.
In condizioni nominali, ¨ Ψ = ¨ Φ = 0, quindi
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{˙ω} = − cosΨ
⎩ ⎭
sinΨ
˙ Ψ˙ Φ.
La matrice d’inerzia nel sistema solidale con il corpo, [J] = diag(I,I,I3) rimane inalterata quando la
si trasforma nel sistema di riferimento della cassa; quando la si trasforma nel sistema di riferimento del
telaio, si ottiene
⎡
[JG] = ⎣
⎡
= ⎣
1 0 0
0 cosΨ −sinΨ
0 sinΨ cosΨ
⎤⎡
⎦⎣
I 0 0
0 I 0
0 0 I3
⎤⎡
⎦⎣
I 0 0
0 Icos 2 Ψ+I3sin 2 Ψ (I −I3)cosΨsinΨ
0 (I −I3)cosΨsinΨ Isin 2 Ψ+I3cos 2 Ψ
La coppia d’inerzia nel sistema di riferimento inerziale diventa
⎧ ⎫
⎨ 0 ⎬
{CiG} = cosΨ
⎩ ⎭
sinΨ
I3 ˙ Ψ˙ Φ
1 0 0
0 cosΨ sinΨ
0 −sinΨ cosΨ
La sua proiezione nel riferimento solidale con la cassa dà di nuovo la (3.72).
Capitolo 14
Soluzione es. 14.3
Se due autovalori ωi e ωj sono uguali, pur avendo autovettori distinti, la relazione
� 2
ωi −ω 2� T
j {X} j [M]{X} i = 0 (D.1)
D-11
⎤
⎦
⎤
⎦

è verificata anche se gli autovettori non sono ortogonali, e quindi in generale è possibile che
{X} T
j [M]{X} i �= 0. (D.2)
Questa relazione può essere utilizzata per imporre l’ortogonalizzazione degli autovettori. Per esempio,
si scelga di preservare {X}i; se la (D.2) è vera occorre modificare {X}j affinché sia ortogonale a {X}i
attraverso la matrice di massa. Si scelga di scrivere
{X} ′
j = {X} j −α{X} i , (D.3)
ovvero di combinare linearmente {X}j con {X}i attraverso il coefficiente incognito α, in modo da sottrarre
a {X}j un vettore di ampiezza incognita allineato con {X}i. Si imponga ora l’ortogonalità tra
{X} ′ j e {X}i attraverso la matrice di massa,
{X} T
i [M]
� �
{X} j −α{X} i = 0, (D.4)
da cui si ricava
{X} T
i [M]{X} i
� �� �
mi
α = {X} T
i [M]{X} j . (D.5)
Siccome la matrice di massa è definita positiva, mi > 0, quindi è possibile esplicitare α:
α = {X}T i [M]{X} j
{X} T
i [M]{X} . (D.6)
i
A questo punto {X} ′ j sostituisce l’autovettore originario {X}j.
Capitolo 15
Soluzione es. 15.1
Si consideri, come suggerito, un cambio di variabile η = t−τ; ne consegue τ = t−η e dτ = dη. Quindi
la convoluzione diventa
{x(t)} =
� t
0
e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ =
� 0
t
e [A](η) [B]{u(t−η)} (−dη)
A questo punto, data l’arbitrarietà della variabile di integrazione η, la si può ribattezzare τ; inoltre,
invertendo gli estremi di integrazione, l’integrale cambia segno, per cui si ottiene
{x(t)} =
� t
0
e [A](τ) [B]{u(t−τ)} dτ,
ovvero quanto si voleva verificare.
Soluzione es. 15.2
Si consideri una funzione di trasferimento non strettamente propria definita come
y = b0sn + �n n−i
i=1bis sn + �n u
aisn−i i=1
(è strettamente propria se b0 = 0). A numeratore si sommi e si sottragga �
i=1,n ais n−i moltiplicato per
b0; si ottiene
y = b0s n + � n
i=1 bis n−i +b0
��n i=1aisn−i� ��n −b0 i=1
s n + � n
i=1
ais n−i
= b0
� � n n
s + i=1aisn−i� + �n i=1bisn−i −b0
�
= b0 +
� n
s n + � n
i=1 (bi −b0ai)s n−i
s n + � n
i=1
ais n−i
i=1
�
u.
ais n−i
D-12
�� n
i=1
aisn−i� u
aisn−i� u

Quindi il termine di trasmissione diretta b0u si somma ad una funzione di trasferimento strettamente
propria i cui coefficienti del numeratore sono b ′ i = bi −b0ai.
Soluzione es. 15.6
Il problema in esame può essere realizzato agli stati come
�
0
[A] =
−ω
1
2 0
�
−2ξω0
�
[B] =
con ω0 = � k/m e ξ = r/rc = r/(2 √ km). L’inversa della matrice [A] è
[A] −1 =
� −2ξ/ω0 −1/ω 2 0
1 0
�
.
0
1/m
La valutazione dell’esponenziale di matrice si può ricavare a partire dalla sua decomposizione spettrale,
con
[A] = [X][Λ][X] −1 ,
� �
σ +jω 0
[Λ] =
0 σ −jω
� �
1 1
[X] =
σ +jω σ −jω
�
e σ = −ω0ξ e ω = ω0 1−ξ 2 . L’esponenziale diventa
con
e [A](t−t1) = [X]e [Λ](t−t1) [X] −1 ,
e [Λ](t−t1) =
� e (σ+jω)(t−t1) 0
0 e (σ−jω)(t−t1)
�
.
Dal momento che l’esponenziale della matrice deve essere moltiplicata per [B], è sufficiente valutarne
l’ultima colonna, ovvero
e [A](t−t1) [B] = eσ(t−t1)
⎡
sin(ω(t−t1))
⎢
⎣ ω
m σ
ω sin(ω(t−t1))+cos(ω(t−t1))
⎤
⎥
⎦.
Quindi si ha
e infine
⎡
�
[I]−e [A](t−t1)�
[B] = 1 ⎢
m ⎣
1−e σ(t−t1)
−step(t−t1)[A] −1�
[I]−e [A](t−t1)�
[B] = step(t−t1) ⎢
k ⎣
sin(ω(t−t1))
σ(t−t1) −e
� ω
σ
ω sin(ω(t−t1))+cos(ω(t−t1))
�
⎡
�
1+e σ(t−t1)
⎤
⎥
⎦
�
σ
ω sin(ω(t−t1))−cos(ω(t−t1))
�
ω2 sin(ω(t−t1))
σ(t−t1)
0e
ω
È relativamente agevole verificare come questa soluzione corrisponda alla soluzione statica meno la
soluzione dell’integrale generale trovata per altra via nella sezione 6.3.
D-13
⎤
⎥
⎦ .

Soluzione es. 15.7
Si consideri la convoluzione
{x(t)} p =
� t
0
e [A]τ [B]{u(t−τ)} dτ
Si sviluppi l’ingresso in serie di Taylor rispetto a τ; senza ledere la generalità ci si può arrestare al primo
termine:
{u(t−τ)} ∼ = {u(t)}− d{u(t)}
τ
dτ
L’integrale di convoluzione diventa
{x(t)} p ∼ =
=
� t
0
� t
0
e [A]τ �
[B] {u(t)}− d{u(t)}
�
τ dτ
dτ
e [A]τ dτ [B]{u(t)}−
Il primo integrale dà semplicemente
� t
e
0
[A]τ dτ = [A] −1 e [A]τ
�
�
� t
0
� t
0
= [A] −1�
e [A]t �
−[I] .
e [A]τ τ dτ [B] d{u(t)}
dτ
Il secondo integrale può essere risolto mediante integrazione per parti: la derivata di prodotto di funzioni
ci dice che f ′ g = (fg) ′ −fg ′ , per cui, posto f ′ = e [A]τ e g = τ, per cui f = [A] −1 e [A]τ e g ′ = 1, si ottiene
� t
0
Di conseguenza,
e [A]τ �
−1
τ dτ = [A] e [A]τ ��t ��
τ −[A]
0
−1
� t
0
e [A]τ dτ = [A] −1 e [A]t t−[A] −2�
e [A]t �
−[I] .
{x(t)} ∼ −1
p = [A] �
e [A]t � �
−[I] [B]{u(t)}− [A] −1 e [A]t t−[A] −2�
e [A]t ��
−[I] [B] d{u(t)}
dτ
Se la dinamica del sistema è abbastanza più veloce rispetto alla variabilità dell’ingresso, tutti i termini
esponenziali che risultano dagli integrali di convoluzione si annullano molto rapidamente al crescere di t,
quindi si ottiene
e quindi
{x(t)} ∼ −1
p = [A] �
✟ ✟
�
[A]t
e −[I] [B]{u(t)}−
�
✘✘ ✘✘✘
= −[A] −1 [B]{u(t)}−[A] −2 [B] d{u(t)}
,
dτ
[A] −1 e [A]t t−[A] −2�
{y(t)} = −[C][A] −1 [B]{u(t)}−[C][A] −2 [B] d{u(t)}
dτ
✟ ✟
��
[A]t
e −[I] [B] d{u(t)}
dτ
che è quanto si voleva verificare. Arrestando lo sviluppo in serie di Taylor a termini di ordine superiore
si ottiene la formula dell’approssimazione quasi-stazionaria dell’ordine desiderato.
Soluzione es. 15.9
Si consideri {x} = [H]{q}, con [H] = [[Hl][Hv]] e {q} = {{ql};{qv}}. L’equazione del moto
[M]{¨x}+[K]{x} = {f} (D.7)
D-14

nelle nuove coordinate diventa
�
mll mlv
mT lv mvv
�� �
¨ql
+
¨qv
� kll klv
k T lv kvv
�� ql
qv
�
=
� H T l f
H T v f
�
(D.8)
dove per semplicità di notazione d’ora in avanti si omettono le parentesi che indicano semplicemente
r
matrici e vettori. Se si approssima ¨qv = 0, dal secondo blocco si ricava
� T
Hv f −m T lv¨ql −k T �
lvql , (D.9)
qv = k −1
vv
che, sostituito nel primo blocco dà
� mll −klvk −1
vv m T lv
Il risultato è
x = Hlql +Hvk −1
vv
� ¨ql + � kll −klvk −1
vv k T lv
� T
Hv f −m T lv¨ql −k T �
lvql
= Hvk −1
vv H T v f −Hvk −1
vv m T lv¨ql + � Hl −Hvk −1
vv k T lv
La matrice di rigidezza nelle nuove coordinate è data dalla relazione
da cui
e quindi
�
ql = � H T l −klvk −1
vv H T� v f (D.10)
� ql. (D.11)
k = H T KH (D.12)
K = H −T kH −1
K −1 = Hk −1 H T
con, per il lemma di inversione delle matrici,
k −1 � �
kll −klvk
=
−1
vv kT �−1 lv
−k−1 vv kT �
lv
kll −klvk −1
�−1 e quindi
K −1 = Hl
vv k T lv
− � kll −klvk −1
vv kT �−1klvk lv
−1
vv
k−1 vv +k−1 vv kT �
lv
kll −klvk −1
vv kT �−1klvk lv
−1
vv
�
kll −klvk −1
vv k T�−1 T
lv Hl �
−Hl kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
vv H T v
−Hvk −1
vv k T �
lv kll −klvk −1
vv k T�−1 T
lv Hl +Hvk −1
vv H T v +Hvk −1
vv k T �
lv kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
vv H T v
Il problema formulato come accelerazione dei modi è
ovvero
�
(D.13)
(D.14)
(D.15)
(D.16)
x = K −1 (f −MHl¨ql) (D.17)
x = Hl
�
kll −klvk −1
vv k T lv
�
kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
�
kll −klvk −1
vv k T lv
−Hl
−Hvk −1
vv k T lv
+Hvk −1
vv H T v (f −MHl¨ql)
+Hvk −1
vv k T lv
= � Hl −Hvk −1
+
�−1 H T l (f −MHl¨ql)
�
Hvk −1
vv + � Hvk −1
vv k T lv −Hl
vv H T v (f −MHl¨ql)
�−1 T
Hl (f −MHl¨ql)
�
kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
vv k T�� lv kll −klvk −1
vv k T lv
��
kll −klvk −1
vv k T lv
vv H T v (f −MHl¨ql)
�−1� � T
Hl f −mll¨ql
�−1
klvk −1
��HT vv v f −m T �
lv¨ql
D-15
(D.18)

Siccome
si ottiene
H T l f −mll¨ql = kllql +klvqv = � kll −klvk −1
vv k T lv
x = � Hl −Hvk −1
vv k T lv
�
+ Hvk −1
vv − � Hl −Hvk −1
= � Hl −Hvk −1
vv k T lv
� ql −klvk −1
vv m T lv¨ql +klvk −1
vv H T v f (D.19)
��
kll −klvk −1
vv k T�−1�� lv kll −klvk −1
vv k T� lv ql −klvk −1
vv m T lv¨ql +klvk −1
vv k T�� lv kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
��HT vv v f −m T �
lv¨ql
�
ql
− � Hl −Hvk −1
vv k T�� lv kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
vv m T lv¨ql
+ � Hl −Hvk −1
vv k T�� lv kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
vv H T v f
+Hvk −1
vv H T v f
−Hvk −1
vv m T lv¨ql
− � Hl −Hvk −1
vv k T�� lv kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
vv H T v f
��
kll −klvk −1
vv k T�−1 lv klvk −1
�
ql
+ � Hl −Hvk −1
vv k T lv
vv m T lv¨ql
= Hvk −1
vv H T v f −Hvk −1
vv m T lv¨ql + � Hl −Hvk −1
vv k T lv
ovvero ciò che si voleva dimostrare.
D-16
vv H T v f �
(D.20)

Bibliografia
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[2] H. E. Merritt, Hydraulic Control Systems. New York: John Wiley & Sons, 1967.
[3] I. Newton,“Philosophiae naturalis principia mathematica,”1687.
[4] C. Moler and C. V. Loan,“Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty-five
years later,”SIAM Review, vol. 45, no. 1, pp. 3–49, 2003.
[5] M. Bianchin, G. Quaranta, and P. Mantegazza, “State space reduced order models for the static
aeroelasticityandflightmechanicsofflexibleaircrafts,”inProceeding of the XVII Congresso Nazionale
AIDAA, (Rome, Italy), AIDAA, September 15–19 2003.
[6] W. H. A. Schilders, H. A. van der Vorst, and J. Rommes, Model order reduction: theory, research
aspects and applications. Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.
D-17