Dispense del corso - Ingegneria Aerospaziale - Politecnico di Milano
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Dinamica dei Sistemi Aerospaziali<br />
(DSA)<br />
Revisione 16 gennaio 2012
In<strong>di</strong>ce<br />
1 Dinamica <strong>del</strong> corpo rigido 1-1<br />
1.1 Sistemi fisici e mo<strong>del</strong>li matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1<br />
1.2 I sistemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2<br />
1.2.1 Gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2<br />
1.2.2 Gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-2<br />
1.2.3 Variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3<br />
1.3 Equazioni <strong>di</strong> moto: equilibri <strong>di</strong>namici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4<br />
1.3.1 Dinamica <strong>del</strong> corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5<br />
1.3.2 Dinamica <strong>di</strong> un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso . . . . . . . . . 1-8<br />
2 Scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto me<strong>di</strong>ante approcci energetici 2-1<br />
2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1<br />
2.2 Il teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-3<br />
2.3 Le equazioni <strong>di</strong> Lagrange (<strong>di</strong> II o tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-4<br />
2.4 Le equazioni <strong>di</strong> Lagrange (<strong>di</strong> I o tipo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-6<br />
3 Cenni <strong>di</strong> <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> corpo rigido nello spazio 3-1<br />
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1<br />
3.2 Dinamica <strong>del</strong> corpo rigido nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2<br />
3.2.1 Richiami <strong>di</strong> calcolo vettoriale in notazione matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2<br />
3.2.2 Cinematica <strong>del</strong> punto materiale nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3<br />
3.2.3 Descrizione <strong>del</strong>le rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5<br />
3.2.4 Forze e coppie d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6<br />
3.2.5 Geometria <strong>del</strong>le masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-9<br />
3.2.6 Applicazione al caso piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11<br />
3.3 Fenomeni giroscopici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11<br />
3.3.1 Coppia d’inerzia in un sistema <strong>di</strong> riferimento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-12<br />
3.3.2 Misura <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> rotazione: il giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-16<br />
3.4 Esercizio: pala rigida <strong>di</strong> elicottero nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-19<br />
3.5 Esercizio: trottola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-24<br />
4 Cinematica e <strong>di</strong>namica dei sistemi <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong> 4-1<br />
4.1 I sistemi <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1<br />
4.2 Dipendenza <strong>del</strong>l’equilibrio dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2<br />
4.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2<br />
4.2.2 Forze <strong>di</strong>pendenti dalla configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5<br />
4.3 Esempio: il manovellismo or<strong>di</strong>nario centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-10<br />
4.3.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11<br />
4.3.2 Forza <strong>di</strong>pendente dalla posizione: pressione nella camera . . . . . . . . . . . . . . . 4-13<br />
4.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-14<br />
4.3.4 Diagramma <strong>di</strong> corpo libero ed equilibrio <strong>di</strong>namico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15<br />
i
5 Dinamica me<strong>di</strong>ante le equazioni <strong>di</strong> Lagrange 5-1<br />
5.1 Equazione <strong>di</strong> Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1<br />
5.1.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2<br />
5.1.2 Energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3<br />
5.1.3 Funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-3<br />
5.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-4<br />
5.2 Scrittura <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-4<br />
5.3 Linearizzazione <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-6<br />
5.3.1 Esempio: soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico <strong>di</strong> un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 5-7<br />
5.3.2 Procedure per la linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8<br />
5.3.3 Linearizzazione <strong>di</strong>retta <strong>del</strong>l’equazione <strong>del</strong> moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-9<br />
5.3.4 Quadraticizzazione <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> Lagrange e sua linearizzazione . . . . . . . . . 5-10<br />
5.3.5 Utilizzo <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto linearizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-12<br />
5.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-12<br />
6 Sistemi vibranti ad un grado <strong>di</strong> libertà — Parte I 6-1<br />
6.1 Meccanica <strong>del</strong>le vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1<br />
6.2 Moto libero non smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2<br />
6.3 Vibrazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-5<br />
6.4 Moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-9<br />
6.5 Moto forzato per spostamento <strong>del</strong> vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11<br />
6.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-13<br />
7 Cenni sulla stabilità 7-1<br />
7.1 Che cosa si intende per stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1<br />
7.2 Definizione <strong>di</strong> stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1<br />
7.3 Stabilità ed equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-2<br />
7.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione <strong>di</strong> equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3<br />
7.3.2 Stabilità <strong>del</strong>la soluzione <strong>del</strong> problema linearizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-3<br />
7.3.3 Vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> problema linearizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4<br />
7.4 Stabilità statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-6<br />
7.5 Regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-8<br />
7.6 Stabilità statica ed energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-9<br />
7.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-11<br />
8 Azioni mutue tra elementi <strong>di</strong> macchine — Parte I 8-1<br />
8.1 Attrito <strong>di</strong> strisciamento nei soli<strong>di</strong> a contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1<br />
8.2 Usura nel contatto tra soli<strong>di</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5<br />
8.2.1 Esempio: <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> pressione su un perno rotante . . . . . . . . . . . . . . . 8-6<br />
8.2.2 Esempio: innesto a frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-6<br />
8.3 Resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-12<br />
8.3.1 Misura <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-14<br />
9 Dinamica <strong>del</strong>la macchina a un grado <strong>di</strong> libertà 9-1<br />
9.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1<br />
9.1.1 Espressione <strong>del</strong>la potenza motrice e <strong>del</strong>la potenza resistente . . . . . . . . . . . . . 9-2<br />
9.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto <strong>di</strong> motore e utilizzatore . . . . . . . . 9-4<br />
9.1.3 La trasmissione: espressione <strong>del</strong>la potenza perduta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-4<br />
9.1.4 Esempio applicativo: piani inclinati con attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-8<br />
9.1.5 Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong>la macchina ad un grado <strong>di</strong> libertà . . . . . . . . . 9-10<br />
9.2 La macchina a regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-11<br />
9.2.1 Equazione <strong>di</strong> moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-11<br />
9.2.2 Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento in regime assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-12<br />
9.2.3 Esempio applicativo: moto <strong>di</strong> un impianto <strong>di</strong> sollevamento carichi . . . . . . . . . 9-12<br />
9.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-15<br />
ii
9.3 Macchina in regime perio<strong>di</strong>co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-20<br />
9.3.1 Equazione <strong>di</strong> moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-20<br />
9.3.2 Funzionamento in regime perio<strong>di</strong>co: irregolarità perio<strong>di</strong>ca . . . . . . . . . . . . . . 9-20<br />
9.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna . . . . . . . . . . . 9-23<br />
9.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-23<br />
9.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . 9-24<br />
10 Azionamento elettromeccanico in corrente continua 10-1<br />
10.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1<br />
10.2 Motore elettrico in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1<br />
10.2.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1<br />
10.2.2 Architettura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3<br />
10.2.3 Forza elettromotrice indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-3<br />
10.2.4 Coppia motrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-4<br />
10.2.5 Contatti striscianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-4<br />
10.2.6 Potenza elettromeccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5<br />
10.2.7 Mo<strong>del</strong>lo elettro<strong>di</strong>namico <strong>del</strong> motore in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-6<br />
10.2.8 Funzionamento e ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> motore elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . 10-7<br />
10.3 L’azionamento in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8<br />
10.3.1 Controllo in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-9<br />
10.3.2 Controllo in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-14<br />
10.3.3 Azionamento in c.c. <strong>di</strong> un compressore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-16<br />
10.3.4 L’analisi <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong> sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-18<br />
10.4 Equazioni <strong>di</strong> Lagrange per sistemi elettromeccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-21<br />
10.4.1 Approccio in corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-21<br />
10.4.2 Approccio in tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-24<br />
11 Azioni mutue tra elementi <strong>di</strong> macchine — Parte II 11-1<br />
11.1 Azioni aero<strong>di</strong>namiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1<br />
11.2 Teoria elementare <strong>del</strong>la lubrificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3<br />
11.2.1 Descrizione <strong>del</strong> problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3<br />
11.2.2 Fluido<strong>di</strong>namica <strong>del</strong> lubrificante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-4<br />
11.2.3 Lubrificazione idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-6<br />
11.2.4 Lubrificazione idro<strong>di</strong>namica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-8<br />
12 Mo<strong>del</strong>lazione elementi a fluido 12-1<br />
12.1 Esempi <strong>di</strong> applicazione dei concetti richiamati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-10<br />
12.1.1 Colpo d’ariete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-10<br />
12.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11<br />
12.1.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-14<br />
12.1.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-16<br />
13 Sistemi vibranti ad un grado <strong>di</strong> libertà — Parte II 13-1<br />
13.1 Identificazione <strong>del</strong>lo smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1<br />
13.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-1<br />
13.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-3<br />
13.1.3 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-4<br />
13.2 Isolamento <strong>del</strong>le vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-4<br />
13.3 Strumenti <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le vibrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-7<br />
13.4 Risposta a forzante impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-11<br />
13.4.1 Impulso <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-11<br />
13.4.2 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-11<br />
13.4.3 Generalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-17<br />
iii
14 Sistemi vibranti a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà 14-1<br />
14.1 Sistemi a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà non smorzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1<br />
14.1.1 Moto libero: mo<strong>di</strong> propri <strong>di</strong> vibrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-2<br />
14.1.2 Ortogonalità dei mo<strong>di</strong> propri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-5<br />
14.2 Approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-7<br />
14.2.1 Risposta a forzanti armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-9<br />
14.2.2 Considerazioni sull’utilizzo <strong>del</strong>l’approccio modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11<br />
14.2.3 Esempio: soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico <strong>di</strong> un sistema libero . . . . . . . . . . . . . 14-12<br />
14.3 Applicazione: assorbitore <strong>di</strong>namico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-13<br />
14.4 Vibrazioni forzate smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15<br />
14.4.1 Smorzamento proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-16<br />
14.4.2 Smorzamento isteretico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-17<br />
14.4.3 Smorzamento viscoso generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-18<br />
14.5 Dal continuo al <strong>di</strong>screto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-19<br />
15 Rappresentazione agli stati <strong>di</strong> sistemi vibranti e mo<strong>del</strong>li approssimati 15-1<br />
15.1 Rappresentazione agli stati nel dominio <strong>del</strong> tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-1<br />
15.1.1 Integrale generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-2<br />
15.1.2 Integrale particolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-2<br />
15.2 Rappresentazione agli stati nel dominio <strong>di</strong> Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-3<br />
15.3 Realizzazione agli stati <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong> trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-3<br />
15.3.1 Invarianza <strong>di</strong> una rappresentazione agli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-4<br />
15.3.2 Raggiungibilità ed osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-4<br />
15.3.3 Verifica intuitiva <strong>del</strong> criterio <strong>di</strong> osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-5<br />
15.4 Rappresentazione agli stati <strong>di</strong> problemi meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-6<br />
15.4.1 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-6<br />
15.4.2 Forma canonica <strong>di</strong> controllabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-7<br />
15.4.3 Forma canonica <strong>di</strong> osservabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-9<br />
15.5 Risposta a forzanti specifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-10<br />
15.5.1 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-10<br />
15.5.2 Risposta a scalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-11<br />
15.6 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-11<br />
15.6.1 Approssimazione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-11<br />
15.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-13<br />
15.6.3 Residualizzazione degli stati“veloci” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-17<br />
15.6.4 Accelerazione dei mo<strong>di</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-21<br />
16 Sistemi immersi in campi <strong>di</strong> forza 16-1<br />
16.1 Sistemi ad un grado <strong>di</strong> libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1<br />
16.1.1 Freno a <strong>di</strong>sco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1<br />
16.1.2 Campo <strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-2<br />
16.2 Sistemi vibranti a 2 gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-7<br />
16.2.1 Campo <strong>di</strong> forze puramente posizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-9<br />
16.2.2 Instabilità aeroelastica <strong>del</strong>la“sezione tipica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-12<br />
A Esempi <strong>di</strong> azionamenti idraulici A-1<br />
A.1 Valvola a doppio getto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1<br />
A.1.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2<br />
A.1.2 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-3<br />
A.1.3 Incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4<br />
A.1.4 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 1 <strong>del</strong> pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4<br />
A.1.5 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 2 <strong>del</strong> pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4<br />
A.1.6 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 1 <strong>del</strong>la valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-4<br />
A.1.7 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 2 <strong>del</strong>la valvola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5<br />
A.1.8 Equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> pistone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5<br />
iv
A.1.9 Equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> flap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-5<br />
A.1.10 Equazione <strong>del</strong> motore elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6<br />
A.1.11 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-6<br />
A.1.12 Comportamento <strong>del</strong> sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-7<br />
A.2 Attuatore collegato ad un sistema <strong>di</strong>namico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-7<br />
B Procedure per l’impostazione e la soluzione dei problemi B-1<br />
B.1 Comprensione e scrittura <strong>del</strong> problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1<br />
B.1.1 Analisi cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-1<br />
B.1.2 Scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2<br />
B.1.3 Scrittura <strong>del</strong>le relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-2<br />
B.1.4 Mettiamo tutto insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-3<br />
B.2 Soluzione <strong>del</strong> problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B-3<br />
C Breviario ad (ab)uso degli studenti C-1<br />
C.1 Primo Principio <strong>del</strong>la Dinamica dei Sistemi Aerospaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1<br />
C.2 Teorema <strong>del</strong>l’ininfluenza <strong>del</strong>le forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1<br />
C.2.1 Corollario <strong>del</strong>la viralità <strong>del</strong> moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-1<br />
C.2.2 Lemma <strong>del</strong>la singolarità <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>le masse. . . . . . . . . . . . . . . . C-2<br />
C.2.3 Corollario <strong>del</strong>l’incompatibilità tra regime e forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . C-2<br />
C.2.4 Sull’opportunità <strong>di</strong> considerare due volte le forze d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . C-2<br />
C.3 Lemma <strong>del</strong>la crasi tra definizioni <strong>di</strong>verse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3<br />
C.4 Teorema<strong>del</strong>calcolo<strong>del</strong>lefrequenzecaratteristiche<strong>di</strong>sistemimeccanicidescrittidaequazioni<br />
<strong>di</strong>saccoppiate (o <strong>del</strong>la“ammuina”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3<br />
C.5 Esercizio: trova l’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-3<br />
D Soluzione esercizi D-1<br />
v
Elenco <strong>del</strong>le figure<br />
1.1 Mo<strong>del</strong>lo fisico <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> guida per razzi (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . 1-2<br />
1.2 Un sistema meccanico a due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà (da Cannon, [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3<br />
1.3 Cinematica <strong>di</strong> un corpo rigido con un punto fisso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-6<br />
1.4 Componenti <strong>del</strong>la forza d’inerzia agente sul punto P <strong>di</strong> un corpo rigido con un punto fisso. 1-9<br />
1.5 Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘<strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> corpo libero’). . . . . . . . . . . . . . 1-9<br />
1.6 Sistema equipollente <strong>del</strong>le forze d’inerzia (a sinistra) e loro reale <strong>di</strong>stribuzione (a destra)<br />
in un’asta incernierata ad un estremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11<br />
2.1 Corpo rigido <strong>di</strong> piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio. . . . . . . . . . . . 2-2<br />
3.1 Il giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1<br />
3.2 Sequenza <strong>di</strong> rotazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-6<br />
3.3 Un Control Moment Gyro (CMG) <strong>del</strong>la ECP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-15<br />
3.4 Effetto <strong>del</strong>la coppia giroscopica sulla forcella anteriore <strong>di</strong> una motocicletta. . . . . . . . . 3-15<br />
3.5 Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-17<br />
3.6 Mo<strong>del</strong>lo semplificato <strong>di</strong> pala <strong>di</strong> elicottero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-19<br />
3.7 Sistemi <strong>di</strong> riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine <strong>del</strong>l’elicottero tratta<br />
da http://www.mi<strong>di</strong>segni.it/<strong>di</strong>segni/vari/elicottero.gif). . . . . . . . . . . . . . . 3-20<br />
3.8 Descrizione <strong>del</strong>l’orientazione <strong>del</strong>la trottola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-24<br />
3.9 Traiettoria <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong>la trottola per con<strong>di</strong>zioni iniziali <strong>di</strong> precessione“retrocedente”<br />
positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-28<br />
4.1 Motore alternativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-3<br />
4.2 Carrello <strong>di</strong> atterraggio (carrello principale <strong>di</strong> un F18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4<br />
4.3 Curva caratteristica <strong>di</strong> una molla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-6<br />
4.4 Galleggiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-9<br />
4.5 Andamento sperimentale ( o ) e approssimato <strong>del</strong>le forze <strong>di</strong> attrito secco, viscoso e con legge<br />
quadratica in funzione <strong>del</strong>la velocità relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-10<br />
4.6 Il manovellismo or<strong>di</strong>nario centrato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11<br />
4.7 L’equazione <strong>di</strong> chiusura per l’analisi cinematica; il punto B ′ in<strong>di</strong>ca lo schema <strong>di</strong> montaggio<br />
corrispondente alla ra<strong>di</strong>ce negativa nell’equazione (4.28), che corrisponde ad un cambio <strong>di</strong><br />
osservatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-11<br />
4.8 La sequenza <strong>del</strong> ciclo termo<strong>di</strong>namico <strong>di</strong> un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla<br />
fase <strong>di</strong> aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico. . . . . . . . . . . . . . . 4-13<br />
4.9 Ciclo ideale termo<strong>di</strong>namico per unità <strong>di</strong> volume d’aria aspirata. . . . . . . . . . . . . . . . 4-14<br />
4.10 Approssimazione <strong>del</strong>la biella a masse concentrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15<br />
4.11 Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-15<br />
4.12 Le forze agenti sul sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-16<br />
5.1 Sistema non vincolato soggetto a un sistema <strong>di</strong> forze a risultante non nullo. . . . . . . . . 5-7<br />
6.1 Velivolo in atterraggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2<br />
6.2 Pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-2<br />
6.3 Sistema vibrante a un grado <strong>di</strong> libertà, senza attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-3<br />
vii
6.4 Oscillazione armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-4<br />
6.5 Oscillatore smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-5<br />
6.6 Oscillazione smorzata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7<br />
6.7 Risposta supercritica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-7<br />
6.8 Risposta critica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-8<br />
6.9 Confronto tra le risposte al variare <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> smorzamento. . . . . . . . . . . . . . 6-8<br />
6.10 Risposta in frequenza <strong>di</strong> un sistema vibrante forzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-10<br />
6.11 Sistema vibrante per spostamento <strong>del</strong> vincolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-11<br />
6.12 Sistema vibrante per squilibrio <strong>di</strong>namico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-12<br />
6.13 Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-14<br />
6.14 Risposta <strong>di</strong> un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel <strong>di</strong>segno ω/ω0<br />
è in<strong>di</strong>cato con ω/ωn, lo smorzamento r è in<strong>di</strong>cato con c, mentre la fase φ è rappresentata<br />
con segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-15<br />
6.15 Risposta <strong>di</strong> un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente. . . . . . . . . . . . . . 6-16<br />
7.1 Stabilità <strong>del</strong> pendolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-4<br />
7.2 Stabilità in presenza <strong>di</strong> attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-5<br />
7.3 Transizione da stabilità ad instabilità al variare <strong>di</strong> parametri <strong>del</strong> sistema. . . . . . . . . . 7-8<br />
7.4 Sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-10<br />
7.5 Sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà in un sistema rotante. . . . . . . . . . . . . . . . 7-11<br />
8.1 Rappresentazione pittorica <strong>del</strong>la superficie <strong>di</strong> contatto tra due corpi. . . . . . . . . . . . . 8-2<br />
8.2 Attrito statico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-3<br />
8.3 Coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico f in funzione <strong>del</strong> modulo <strong>del</strong>la velocità relativa. . . . . . . 8-4<br />
8.4 Perno rotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5<br />
8.5 Innesto a frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-7<br />
8.6 Velocità <strong>del</strong>l’utilizzatore durante la manovra <strong>di</strong> innesto <strong>del</strong>la frizione. . . . . . . . . . . . . 8-9<br />
8.7 Innesto a frizione — dettaglio <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9<br />
8.8 Innesto a frizione — dettaglio <strong>del</strong>la campana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-10<br />
8.9 Velocità <strong>del</strong> motore durante la manovra <strong>di</strong> innesto <strong>del</strong>la frizione. . . . . . . . . . . . . . . 8-10<br />
8.10 Velocità <strong>di</strong> motore ed utilizzatore durante e al termine <strong>del</strong>la manovra <strong>di</strong> innesto <strong>del</strong>la<br />
frizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11<br />
8.11 Schema <strong>di</strong> contatto ruota-strada per ruota deformbile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-12<br />
8.12 Schema <strong>di</strong> contatto ruota-strada: <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-13<br />
8.13 Coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-13<br />
8.14 Schema <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong>la ruota strada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-14<br />
8.15 Misura sperimentale <strong>del</strong>la resistenza al rotolamento <strong>di</strong> un veicolo stradale. . . . . . . . . . 8-15<br />
9.1 Schema <strong>del</strong>la macchina a un grado <strong>di</strong> libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-1<br />
9.2 Flussi <strong>di</strong> potenza attraverso la trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-5<br />
9.3 Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito. . . 9-8<br />
9.4 Schema <strong>del</strong>la macchina ad un grado <strong>di</strong> libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-10<br />
9.5 Impianto <strong>di</strong> sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-13<br />
9.6 Caratteristica <strong>del</strong> motore asincrono trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-13<br />
9.7 Con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento in salita ed in <strong>di</strong>scesa <strong>del</strong> lato utilizzatore <strong>del</strong>l’impianto <strong>di</strong><br />
sollevamento carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-14<br />
9.8 Veicolo in salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-16<br />
10.1 Principio <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong> motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-2<br />
10.2 Disegno schematico <strong>del</strong> rotore <strong>di</strong> un motore in corrente continua. . . . . . . . . . . . . . . 10-2<br />
10.3 Distribuzione sul giro <strong>di</strong> coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore<br />
elettrico in c.c. al crescere <strong>del</strong> numero <strong>del</strong>le spire N; il valore fornito dalla singola spira<br />
tende rapidamente al valor me<strong>di</strong>o 2/π, pari a circa 0.63662. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-5<br />
10.4 Il mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-6<br />
10.5 Il mo<strong>del</strong>lo essenziale <strong>del</strong> motore in corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-7<br />
viii
10.6 Curve <strong>di</strong> funzionamento <strong>di</strong> un motore elettrico in corrente continua per <strong>di</strong>verse tensioni <strong>di</strong><br />
alimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata da<br />
un generico utilizzatore, cambiata <strong>di</strong> segno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-8<br />
10.7 Un carico inerziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-9<br />
10.8 Schema a blocchi <strong>del</strong> sistema in anello aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-10<br />
10.9 Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto <strong>del</strong> motore elettrico<br />
in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11<br />
10.10Schema a blocchi <strong>del</strong> sistema in anello chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-11<br />
10.11Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-12<br />
10.12Diagramma <strong>di</strong> Nyquist <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-13<br />
10.13Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-15<br />
10.14Diagramma <strong>di</strong> Nyquist <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c. controllato in corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-16<br />
10.15Il motore <strong>di</strong> azionamento <strong>di</strong> un compressore e le relative curve caratteristiche . . . . . . . 10-17<br />
10.16Con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore . . . . . . . . . . . 10-18<br />
10.17Induttore e condensatore (LC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-22<br />
10.18Resistore, induttore e condensatore (RLC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-23<br />
10.19Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-25<br />
11.1 Sezioni <strong>di</strong> riferimento in campo automobilistico per la valutazione <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong><br />
resistenza <strong>del</strong> veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b). . . . . . . 11-2<br />
11.2 Schematizzazione <strong>del</strong> moto laminare <strong>di</strong> un fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-3<br />
11.3 Schematizzazione <strong>del</strong> moto laminare <strong>di</strong> un fluido tra due superfici in moto relativo. . . . . 11-5<br />
11.4 Andamento <strong>del</strong>la pressione nel meato per effetto <strong>del</strong>la geometria. . . . . . . . . . . . . . . 11-7<br />
11.5 Perno lubrificato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-10<br />
11.6 Lubrificazione idro<strong>di</strong>namica: <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>l’attrito me<strong>di</strong>ato dalla velocità relativa. . . . . 11-10<br />
12.1 Variazione <strong>di</strong> pressione massima in una condotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-11<br />
12.2 Orifizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-12<br />
12.3 Molla-smorzatore a fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-14<br />
12.4 Attuatore idraulico lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12-16<br />
13.1 Identificazione <strong>del</strong>lo smorzamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-2<br />
13.2 Vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>l’approssimazione <strong>del</strong>lo smorzamento identificato me<strong>di</strong>ante la relazione (13.6). 13-2<br />
13.3 Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-5<br />
13.4 Sistema soggetto a vibrazione <strong>del</strong> terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-5<br />
13.5 Modulo e fase <strong>del</strong>la risposta <strong>di</strong> un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel <strong>di</strong>segno ω/ω0 è<br />
in<strong>di</strong>cato con ω/ωn, lo smorzamento r è in<strong>di</strong>cato con c, mentre la fase φ è rappresentata<br />
con segno opposto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-6<br />
13.6 Strumento <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le vibrazioni assolute <strong>di</strong> un corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-8<br />
13.7 Risposta <strong>del</strong>lo strumento <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le vibrazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-9<br />
13.8 Accelerometro piezoelettrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-10<br />
13.9 Approssimazione <strong>di</strong> un impulso come sequenza <strong>di</strong> due scalini. . . . . . . . . . . . . . . . . 13-12<br />
13.10Approssimazioni <strong>di</strong> un impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-12<br />
13.11Funzione impulso: δ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-12<br />
13.12Funzione scalino: step(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-13<br />
13.13Funzione scalino approssimata come (1+tanh(αt))/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-13<br />
13.14Impulso approssimato come derivata <strong>di</strong> (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la<br />
funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per<br />
consentirne il confronto visivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-14<br />
13.15Funzione <strong>di</strong>scontinua con salto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13-15<br />
ix
14.1 Sistema <strong>di</strong>namico a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-1<br />
14.2 Forme modali e risposta <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong>namico a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà. . . . . . . . . . . . . . 14-4<br />
14.3 Risposta modale <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong>namico a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-11<br />
14.4 Assorbitore <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> vibrazioni usato su cavi <strong>del</strong>l’alta tensione. . . . . . . . . . . . . . 14-13<br />
14.5 Mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong>l’assorbitore <strong>di</strong>namico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-14<br />
14.6 Risposta <strong>del</strong>la massa 1 <strong>del</strong>l’assorbitore <strong>di</strong>namico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-15<br />
14.7 Sistema vibrante a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà smorzato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-16<br />
14.8 Torsione <strong>di</strong> una trave omogenea incastrata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14-20<br />
14.9 Mo<strong>del</strong>lo ad un grado <strong>di</strong> libertà per la torsione <strong>di</strong> una trave omogenea incastrata. . . . . . 14-21<br />
14.10Mo<strong>del</strong>lo a due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà per la torsione <strong>di</strong> una trave omogenea incastrata. . . . . . . 14-22<br />
15.1 Esempio <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>l’accelerazione dei mo<strong>di</strong>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-23<br />
15.2 Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e<br />
lo spostamento <strong>del</strong>la massa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-25<br />
15.3 Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e<br />
lo spostamento <strong>del</strong>la massa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-26<br />
15.4 Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e<br />
l’azione interna nella molla 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-27<br />
16.1 Freno a <strong>di</strong>sco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-1<br />
16.2 Composizione <strong>del</strong>le velocità <strong>di</strong> vento V∞ e corpo ˙x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-2<br />
16.3 Decomposizione <strong>del</strong>la forza aero<strong>di</strong>namica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-3<br />
16.4 Auto da corsa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-4<br />
16.5 Caratteristiche <strong>del</strong> profilo alare NACA 0009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-5<br />
16.6 Sistema a 2 gdl immerso in un campo <strong>di</strong> forze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-8<br />
16.7 Autovalori <strong>di</strong> un sistema conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-11<br />
16.8 Autovalori <strong>di</strong> un sistema non conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-12<br />
16.9 Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano. . . . . . . . . 16-13<br />
16.10Composizione <strong>del</strong>le velocità <strong>del</strong> vento V∞ e <strong>del</strong> corpo ˙x a dare l’angolo <strong>di</strong> incidenza<br />
cinematico ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-14<br />
16.11Curve CL-α, CD-α e CM-α <strong>del</strong> profilo NACA 0009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-16<br />
16.12Coalescenza, al crescere <strong>del</strong>la velocità V∞, <strong>di</strong> due frequenze proprie; per semplicità sono<br />
mostrate solo le ra<strong>di</strong>ci con parte immaginaria positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16-18<br />
A.1 Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-2<br />
x
Elenco <strong>del</strong>le tabelle<br />
4.1 Rigidezze equivalenti <strong>di</strong> travi variamente vincolate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-8<br />
9.1 Riassunto <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto e retrogrado <strong>del</strong>la trasmissione . . . . . . . . . 9-7<br />
xi
Introduzione<br />
Queste <strong>di</strong>spense costituiscono una parte essenziale <strong>del</strong> materiale <strong>di</strong>dattico a supporto <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica<br />
dei Sistemi Aerospaziali, relativo al <strong>corso</strong> <strong>di</strong> laurea in <strong>Ingegneria</strong> <strong>Aerospaziale</strong>, Facoltà <strong>di</strong> <strong>Ingegneria</strong><br />
Industriale <strong>del</strong> <strong>Politecnico</strong> <strong>di</strong> <strong>Milano</strong>.<br />
Il contenuto è il risultato <strong>del</strong> lavoro <strong>di</strong> alcuni docenti, in particolare dei Proff. Andrea Curami e<br />
Ferruccio Resta, <strong>del</strong> Dipartimento <strong>di</strong> Meccanica, e <strong>del</strong> Prof. Paolo Mantegazza e <strong>del</strong>l’Ing. Pierangelo<br />
Masarati, <strong>del</strong> Dipartimento <strong>di</strong> <strong>Ingegneria</strong> <strong>Aerospaziale</strong>.<br />
L’ispirazione è tratta da testi classici <strong>del</strong>la Meccanica Razionale, <strong>del</strong>la Meccanica Applicata e <strong>del</strong>la<br />
Dinamica dei Sistemi, a cui sono state aggiunte elaborazioni personali, frutto <strong>del</strong>l’esperienza <strong>di</strong>dattica<br />
e <strong>di</strong> ricerca sia degli autori che dei colleghi dei rispettivi Dipartimenti.<br />
È ormai impossibile identificare<br />
con precisione l’autore <strong>di</strong> specifiche parti <strong>di</strong> questo materiale; per questo motivo, non sono riportate<br />
attribuzioni a specifiche persone. Un sentito ringraziamento va ai colleghi che hanno in qualche modo<br />
contribuito alla sua stesura.<br />
Le <strong>di</strong>spense sono per definizione materiale in continua evoluzione. Anche per questo motivo possono<br />
contenere materiale incompleto o errori nelle formule, nella sintassi, o parti <strong>di</strong> <strong>di</strong>fficile comprensione. Gli<br />
autori sono grati al lettore attento che volesse segnalare eventuali errori o suggerire possibili migliorie,<br />
da in<strong>di</strong>rizzare preferibilmente per posta elettronica a pierangelo.masarati@polimi.it.<br />
Notazione<br />
Nella stesura <strong>di</strong> queste note si è cercato da una parte <strong>di</strong> usare una notazione il più possibile uniforme, e<br />
dall’altra <strong>di</strong> mutuare i simboli e i formalismi dalla letteratura più consolidata.<br />
In genere, i vettori sono in<strong>di</strong>cati sovrapponendo una freccia al simbolo, ad esempio �a per in<strong>di</strong>care un<br />
vettore <strong>di</strong> nome a.<br />
Le operazioni tra vettori seguono la notazione tra<strong>di</strong>zionale italo-tedesca, in continuità con il testo <strong>di</strong><br />
Meccanica Razionale <strong>del</strong> Prof. Bruno Finzi. Dati due vettori �a e � b, rappresentabili in base cartesiana<br />
come<br />
�a = ax �i+ay �j +az � k<br />
� b = bx �i+by �j +bz � k<br />
in funzione <strong>del</strong>le loro componenti ax, ay, az e bx, by e bz, e dei versori degli assi,�i,�j e � k, il loro prodotto<br />
scalare viene in<strong>di</strong>cato con �a× � b, ovvero<br />
�a× � b = axbx +ayby +azbz. (1)<br />
Il loro prodotto vettore, invece, viene in<strong>di</strong>cato con �a∧ �b, ovvero<br />
�a∧ � �<br />
� �i �<br />
b = �<br />
� ax<br />
�<br />
�<br />
�j �k �<br />
�<br />
ay az<br />
�<br />
�<br />
� = (aybz −azby)�i+(azbx −axbz)�j +(axby −aybx) �k. (2)<br />
bx by bz<br />
Questa notazione <strong>di</strong>fferisce da quella anglosassone, che caratterizza la letteratura più recente. La<br />
notazione anglosassone in<strong>di</strong>ca il prodotto scalare con �a· � b, e il prodotto vettore con �a× � b. Si noti come<br />
I-1
quest’ultimo crei confusione con il simbolo <strong>del</strong> prodotto scalare utilizzato nella notazione <strong>di</strong> tra<strong>di</strong>zione<br />
italo-tedesca. Per questo motivo si richiede al lettore <strong>di</strong> prestare particolare attenzione nella lettura <strong>del</strong>le<br />
operazioni vettoriali.<br />
Il significato dei simboli dovrebbe comunque essere chiaro dal contesto, in quanto l’operazione <strong>di</strong><br />
prodotto scalare dà come risultato uno scalare, mentre l’operazione <strong>di</strong> prodotto vettorie dà come risultato<br />
un vettore.<br />
I-2
Capitolo 1<br />
Dinamica <strong>del</strong> corpo rigido<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
1.1 Sistemi fisici e mo<strong>del</strong>li matematici<br />
Per condurre lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> comportamento <strong>di</strong> un qualsiasi sistema fisico, per una corretta progettazione e<br />
<strong>di</strong>mensionamento, sono possibili due vie: una puramente sperimentale, che consiste nella misura <strong>di</strong>retta<br />
<strong>del</strong>le proprietà fisiche che si desidera conoscere, eventualmente applicando correzioni e reiterando gli esperimenti<br />
fino all’ottenimento <strong>del</strong> risultato voluto, e l’altra teorica, basata sulla soluzione, con opportuni<br />
algoritmi, <strong>di</strong> mo<strong>del</strong>li matematici <strong>del</strong> sistema. Questi ultimi sono basati sulla descrizione e caratterizzazione<br />
<strong>del</strong> sistema fisico con un appropriato mo<strong>del</strong>lo fisico e possono assumere gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> complessità<br />
<strong>di</strong>versi in funzione <strong>del</strong>le ipotesi semplificative adottate. Comunque, nel caso si voglia stu<strong>di</strong>are la <strong>di</strong>namica<br />
<strong>di</strong> un sistema fisico, i mo<strong>del</strong>li sono sempre costituiti da sistemi <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali rappresentanti<br />
il cambiamento nel tempo <strong>del</strong>le proprietà fisiche che caratterizzano il sistema stesso.<br />
Per analisi <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> un sistema fisico s’intende l’insieme <strong>di</strong> operazioni che dall’identificazione<br />
<strong>del</strong> sistema stesso portano alla creazione <strong>del</strong> suo mo<strong>del</strong>lo matematico e alla successiva soluzione <strong>di</strong><br />
quest’ultimo. Con il termine <strong>di</strong> sintesi <strong>di</strong>namica si intende, invece, la successiva indagine che può essere<br />
condotta variando i valori <strong>di</strong> alcune proprietà <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo fisico affinché alcuni parametri <strong>del</strong> sistema<br />
assumano valori prefissati.<br />
In funzione <strong>del</strong> fenomeno principale che governa il sistema fisico riconosceremo sistemi meccanici,<br />
sistemi termici, sistemi idraulici, sistemi elettrici, sistemi elettronici ecc., e in generale si potrà vedere<br />
che i sistemi reali sono composti da più sottosistemi <strong>di</strong> natura <strong>di</strong>versa tra loro interconnessi a formare un<br />
unico insieme multi<strong>di</strong>sciplinare, come è il caso <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> controllo <strong>di</strong> rotta per missili schematizzato<br />
nella figura 1.1.<br />
Nel caso in oggetto, il cambiamento <strong>di</strong> rotta <strong>del</strong> missile viene ottenuto variando la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong><br />
spinta <strong>del</strong> motore a razzo attraverso un attuatore idraulico che è azionato da una servovalvola, a sua<br />
volta azionata da un motore elettrico <strong>di</strong> coppia pilotato da un controllore, sempre più spesso <strong>di</strong> tipo<br />
<strong>di</strong>gitale, utilizzando cioè un microprocessore. Il controllore, per far seguire al missile la traiettoria voluta,<br />
necessita <strong>di</strong> informazioni sulla sua posizione, velocità ed accelerazione, attraverso le misure <strong>di</strong> opportuni<br />
accelerometri, giroscopi, GPS, ecc. e, sulla base <strong>di</strong> queste misure, interviene sulla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> spinta.<br />
Il <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali ha principalmente per oggetto lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica<br />
dei sistemi meccanici e <strong>del</strong>le macchine in particolare, ove per macchina s’intende quel particolare sistema<br />
atto sia a trasformare energie <strong>di</strong> forme <strong>di</strong>verse in energia meccanica e viceversa, ove possibile, sia a<br />
utilizzare i vari tipi <strong>di</strong> energia per realizzare particolari funzioni richieste per il funzionamento degli<br />
aeromobili che costituiscono l’oggetto principale <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> stu<strong>di</strong> in <strong>Ingegneria</strong> <strong>Aerospaziale</strong>.<br />
I mo<strong>del</strong>li matematici ai quali perverremo si traducono, come detto, in una serie <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali,<br />
dette anche equazioni <strong>di</strong> moto, che legano le azioni agenti sul sistema reale al suo movimento.<br />
1-1
Figura 1.1: Mo<strong>del</strong>lo fisico <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> guida per razzi (da Cannon, [1]).<br />
1.2 I sistemi meccanici<br />
Nel <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Meccanica Razionale si sono stu<strong>di</strong>ati i meto<strong>di</strong> per condurre l’analisi cinematica e <strong>di</strong>namica<br />
<strong>di</strong> un punto materiale e <strong>di</strong> un corpo rigido, spesso elementi <strong>di</strong> base <strong>di</strong> sistemi meccanici più complessi.<br />
Qualsiasi sistema meccanico reale può essere infatti schematizzato come un sistema fisico ideale formato<br />
dall’insieme <strong>di</strong> punti materiali e <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong>, tra loro connessi da opportuni vincoli, al fine <strong>di</strong> realizzare<br />
lo scopo per il quale si è progettata la macchina.<br />
1.2.1 Gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà<br />
L’analisi <strong>di</strong>namica dei sistemi reali necessita <strong>del</strong>la conoscenza <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà da loro<br />
posseduti, ovvero le possibilità <strong>di</strong> moto libero e non con<strong>di</strong>zionato dai vincoli. Al fine <strong>di</strong> definire lo stato<br />
<strong>di</strong> un sistema (posizione e velocità) è infatti necessario identificare il numero <strong>di</strong> parametri, pari ai gra<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> libertà, in grado <strong>di</strong> variare in<strong>di</strong>pendentemente: tali parametri sono variabili in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Il <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Meccanica Razionale ha messo in luce come, al fine <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare la posizione nello spazio<br />
<strong>di</strong> un punto materiale, siano necessarie tre coor<strong>di</strong>nate; se se ne confina la giacitura in un piano, tali<br />
coor<strong>di</strong>nate si riducono a due. Conseguentemente, le variabili in<strong>di</strong>pendenti per l’analisi <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> un<br />
punto materiale nello spazio saranno tre; due nel caso <strong>di</strong> moto piano.<br />
Per ilcorporigidolibero, ovverouncorpodotato<strong>di</strong><strong>di</strong>mensioninontrascurabili, al fine<strong>di</strong> identificarne<br />
la configurazione nello spazio sono necessarie sei coor<strong>di</strong>nate libere che, spesso, vengono ricondotte alla<br />
posizione <strong>di</strong> un punto appartenente al corpo e a tre parametri 1 che forniscono l’orientamento <strong>del</strong> corpo<br />
nello spazio.<br />
Analogamente, passando al piano, saranno sufficienti tre coor<strong>di</strong>nate libere, ovvero tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà,<br />
per caratterizzare la configurazione <strong>del</strong> corpo: due per la posizione e una per l’orientamento.<br />
1.2.2 Gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> vincolo<br />
Come detto, i sistemi meccanici sono in generale costituiti da un insieme <strong>di</strong> più corpi rigi<strong>di</strong> opportunamente<br />
vincolati tra loro. Tali vincoli impe<strong>di</strong>scono alcune tra le possibilità <strong>di</strong> spostamento e rotazione dei<br />
singoli componenti <strong>del</strong> sistema, ovvero creano dei legami tra lo stato dei vari componenti e le variabili<br />
in<strong>di</strong>pendenti scelte.<br />
Ad esempio, già la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> rigi<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> un corpo rigido deve essere vista come un vincolo. In<br />
realtà, infatti, ogni corpo è deformabile sotto l’azione <strong>del</strong>le forze che agiscono su <strong>di</strong> esso. Ipotizzare tale<br />
deformabilità trascurabile implica imporre che la <strong>di</strong>stanza tra due punti arbitrari solidali al corpo stesso<br />
1 La definizione <strong>di</strong> un’orientazione nello spazio richiede tre parametri che possono essere rappresentati da nove coseni<br />
<strong>di</strong>rettori, vincolati da sei equazioni che ne impongono l’ortonormalità, oppure da tre angoli valutati secondo una ben<br />
determinata sequenza, o da altre forme <strong>di</strong> parametrizzazione in ogni caso riconducibili a tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
1-2
Figura 1.2: Un sistema meccanico a due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà (da Cannon, [1]).<br />
non vari mai, e che l’angolo formato da due rette solidali al corpo rimanga costante durante il movimento.<br />
Tale vincolo si traduce nel fatto che per identificare la posizione <strong>di</strong> tutti i punti appartenenti al corpo<br />
rigido stesso è sufficiente identificare sei parametri in<strong>di</strong>pendenti (tre nel caso <strong>di</strong> moto piano) e che per<br />
tutti i punti <strong>del</strong> corpo è possibile scrivere dei legami tra i loro spostamenti e le variabili in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Un sistema composto da n corpi liberi (meccanismo) possiede 6×n gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà nello spazio; 3×n<br />
nel piano. L’introduzione <strong>di</strong> vincoli tra i corpi o verso il mondo esterno (telaio) riduce il numero dei<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> sistema. Tale riduzione <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà implica l’esistenza <strong>di</strong> legami tra le varie<br />
posizioni caratteristiche <strong>del</strong> sistema e le variabili in<strong>di</strong>pendenti.<br />
È necessario quin<strong>di</strong>, come primo passo <strong>di</strong> ogni analisi, il computo <strong>del</strong> numero dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà (o<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> mobilità) <strong>del</strong> sistema.<br />
A titolo <strong>di</strong> esempio, nel caso <strong>di</strong> meccanismi piani con sole coppie inferiori (ad esempio cerniere, pattini<br />
e carrelli), in cui i collegamenti siano solo <strong>di</strong> tipo binario (ossia ogni vincolo collega solo due elementi),<br />
si definisce la regola <strong>di</strong> Grübler per il calcolo <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> mobilità <strong>del</strong> sistema. Detto c1 il numero <strong>di</strong><br />
vincoli che sopprimono un solo grado <strong>di</strong> libertà (es. carrello), e c2 il numero <strong>di</strong> vincoli che sopprimono<br />
due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, (es. cerniera o pattino), il numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà ngdl è<br />
ngdl = 3×n−c1 −2×c2<br />
essendo n il numero <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong> componenti il meccanismo.<br />
1.2.3 Variabili fisiche<br />
L’analisi <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> un sistema, una volta noto il numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà ngdl <strong>di</strong> cui esso gode,<br />
richiede la scrittura e la soluzione <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto e quin<strong>di</strong>, nel caso <strong>di</strong> un sistema meccanico,<br />
l’identificazione <strong>del</strong>le forze agenti su <strong>di</strong> esso.<br />
Poiché alcune <strong>del</strong>le forze agenti possono essere funzione <strong>di</strong> grandezze cinematiche, è opportuno<br />
definire, oltre alle variabili in<strong>di</strong>pendenti <strong>del</strong> sistema, anche altre variabili, dette variabili fisiche, che<br />
permettano <strong>di</strong> definire posizione, velocità o accelerazione <strong>di</strong> questi punti d’applicazione in modo da rendere<br />
agevole la scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto. Tali variabili sono, per quanto detto, funzione <strong>del</strong>le<br />
variabili in<strong>di</strong>pendenti attraverso legami geometrici.<br />
Con riferimento al sistema <strong>di</strong> figura 1.2, ad esempio, il meccanismo piano è composto dai due corpi<br />
rigi<strong>di</strong> m1 e m2 che possono solo traslare sui due rispettivi piani d’appoggio. Il sistema libero godrebbe<br />
<strong>di</strong> sei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà (3×2); i piani d’appoggio si comportano come due pattini sopprimendo due gra<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> libertà per ogni corpo rigido, ovvero, dalla (1.1):<br />
ngdl = 3×2−2×2 = 2 (1.2)<br />
Quin<strong>di</strong>, per definire in ogni istante la configurazione <strong>del</strong> sistema, è sufficiente scegliere come variabili<br />
in<strong>di</strong>pendenti due coor<strong>di</strong>nate (ad esempio x1 e x2), e stabilirne l’origine ed il verso positivo nel quale sono<br />
misurate.<br />
Qualsiasi altra variabile fisica, ad esempio la posizione relativa ξ <strong>del</strong> corpo m2 rispetto alla slitta m1,<br />
risulta <strong>di</strong>pendente dalle variabili in<strong>di</strong>pendenti scelte. Infatti, dall’analisi <strong>del</strong>la geometria <strong>del</strong> sistema, si<br />
1-3<br />
(1.1)
icava che:<br />
ξ = x2 −x1<br />
ovveroesisteunlegametravariabilefisicaξ elevariabiliin<strong>di</strong>pendentix1 ex2 adottate; tuttavia, potrebbe<br />
risultare conveniente definire la grandezza ξ se, ad esempio, fosse necessario inserire una molla tra i corpi<br />
m1 e m2.<br />
Sempre in riferimento alla figura 1.2, l’azione esercitata dalla molla k5 <strong>di</strong>pende dalla sua elongazione<br />
rispetto alla posizione <strong>di</strong> molla scarica, per cui può risultare conveniente l’utilizzo <strong>di</strong> un’altra variabile<br />
fisica per definire la deformazione <strong>del</strong>la molla rispetto alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> molla scarica.<br />
1.3 Equazioni <strong>di</strong> moto: equilibri <strong>di</strong>namici<br />
Come noto, l’equilibrio <strong>di</strong> un sistema meccanico in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> quiete può essere stu<strong>di</strong>ato me<strong>di</strong>ante le<br />
equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica.<br />
Ad esempio, nel caso <strong>di</strong> un corpo rigido libero nel piano xy, dotato quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> tre gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà,<br />
soggetto ad un generico sistema <strong>di</strong> forze esterne, il sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong> equilibrio equivale a tre<br />
equazioni scalari in<strong>di</strong>pendenti (due componenti per il risultante � R <strong>di</strong> tali forze, ed una sola componente<br />
per l’equazione <strong>del</strong> loro momento � M rispetto a un polo O qualsivoglia), in numero eguale al numero dei<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> corpo, ovvero:<br />
�R = 0 (1.4a)<br />
�MO = 0 (1.4b)<br />
che, proiettate sul piano cartesiano xy, danno luogo al sistema <strong>di</strong> equazioni pure:<br />
Rx = 0 (1.5a)<br />
Ry = 0 (1.5b)<br />
MOz = 0. (1.5c)<br />
L’operazione <strong>di</strong> proiezione si ottiene moltiplicando il vettore <strong>del</strong>le equazioni per il versore <strong>del</strong>la <strong>di</strong>rezione<br />
rispetto alla quale si vuole scrivere l’equazione, ovvero<br />
Rx =�i× � R (1.6a)<br />
Ry =�j × � R (1.6b)<br />
MOz = � k × � MO. (1.6c)<br />
Nel caso <strong>di</strong> un sistema composto da più corpi tra loro connessi, le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica<br />
applicate all’intero sistema costituiscono con<strong>di</strong>zione solo necessaria. In tal caso occorre:<br />
• separare i corpi che costituiscono il sistema e scriverle per ognuno <strong>di</strong> essi, includendo quin<strong>di</strong> anche<br />
le reazioni vincolari scambiate tra i corpi stessi, oppure<br />
• considerare, oltre alle equazioni car<strong>di</strong>nali applicate al sistema completo, ulteriori equazioni <strong>di</strong> equilibrio<br />
riguardanti le mobilità relative tra i corpi che costituiscono il sistema meccanico nel suo<br />
complesso.<br />
La <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> un sistema meccanico è definita attraverso relazioni che intercorrono tra moto <strong>del</strong><br />
sistema (in termini <strong>di</strong> accelerazioni subite dai <strong>di</strong>versi punti <strong>del</strong> sistema) e forze agenti. Sono possibili due<br />
approcci allo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica:<br />
• uno basato sulle equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> D’Alembert, che possono essere considerate il corrispondente<br />
<strong>di</strong>namico <strong>del</strong>le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica,<br />
1-4<br />
(1.3)
• uno basato su principi energetici, come il Principio dei Lavori Virtuali (d’ora in poi PLV), il<br />
teorema <strong>di</strong> Lagrange, quello <strong>del</strong>l’energia cinetica, o altri ancora 2 .<br />
Vale infine la pena <strong>di</strong> osservare che nel legame tra le forze agenti su un sistema e le corrispondenti<br />
accelerazioni gioca un ruolo fondamentale la definizione <strong>del</strong>le caratteristiche meccaniche <strong>del</strong> sistema<br />
stesso: pertanto utilizzeremo nello stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica tutte le nozioni relative alla geometria <strong>del</strong>le<br />
masse che sono state oggetto <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Meccanica Razionale.<br />
Nel caso <strong>di</strong> un punto materiale <strong>di</strong> massa m vincolato, dalla legge <strong>di</strong> Newton (seconda legge <strong>del</strong>la<br />
Dinamica, [3]) si ricava che l’accelerazione subita dal punto è legata al risultante � F <strong>di</strong> tutte le forze<br />
attive e reattive agenti sul corpo attraverso la relazione:<br />
m�a = � F = � R+ � Ψ (1.7)<br />
dove � Ψ è la reazione vincolare che traduce l’azione <strong>del</strong> vincolo, mentre � R è il risultante <strong>del</strong>le sole forze<br />
attive.<br />
Definendo come forza d’inerzia la quantità:<br />
�Fi = −m�a (1.8)<br />
pari al prodotto <strong>del</strong>la massa <strong>del</strong> punto per la sua accelerazione e agente in verso opposto a quest’ultima,<br />
l’equazione <strong>di</strong> moto (1.7) può essere riscritta sotto forma <strong>di</strong> una equazione <strong>di</strong> equilibrio equivalente:<br />
�F + � Fi = 0 → � R+ � Ψ+ � Fi = 0 (1.9)<br />
ossia il problema <strong>di</strong>namico può essere sempre ricondotto a un problema statico equivalente, a con<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong> aggiungere al risultante <strong>del</strong>le forze attive e reattive anche la forza <strong>di</strong> inerzia.<br />
Questa affermazione, rappresentata matematicamente dalla Equazione (1.9), costituisce l’enunciato<br />
<strong>del</strong> principio <strong>di</strong> D’Alembert nel caso <strong>del</strong> punto materiale.<br />
L’applicazione <strong>di</strong> tale principio può essere estesa al caso <strong>del</strong> corpo rigido, o <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong>.<br />
1.3.1 Dinamica <strong>del</strong> corpo rigido<br />
Consideriamo il caso <strong>di</strong> un corpo rigido <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni non trascurabili, cioè un sistema continuo <strong>di</strong> punti<br />
materiali ai quali è imposto il vincolo <strong>del</strong>la rigi<strong>di</strong>tà. In questo caso, il principio <strong>di</strong> D’Alembert, che<br />
nella (1.9) è stato applicato ad un generico punto materiale, può essere scritto per ciascun punto <strong>del</strong><br />
corpo. Il corpo è quin<strong>di</strong> sottoposto a forze <strong>di</strong> inerzia <strong>di</strong>stribuite. La forza d’inerzia infinitesima agente<br />
sul generico punto P <strong>di</strong> volume infinitesimo dV e massa infinitesima dm = ρdV è:<br />
d � Fi = −dm �a (1.10)<br />
Definita questa <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> forze, potremo quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>re che il moto <strong>del</strong> corpo deve sod<strong>di</strong>sfare le<br />
equazioni che ne definiscono l’equilibrio <strong>di</strong>namico sotto l’azione <strong>del</strong>le forze (attive e reattive) agenti su<br />
<strong>di</strong> esso, oltre a quelle <strong>di</strong> inerzia. Nel caso <strong>del</strong> corpo rigido è possibile ridurre l’intero sistema <strong>di</strong> forze<br />
d’inerzia <strong>di</strong>stribuite ad un risultante � Fi più una coppia d’inerzia � CGi che possono essere espressi in<br />
funzione <strong>del</strong>l’accelerazione <strong>del</strong> baricentro G e <strong>del</strong>l’accelerazione angolare <strong>del</strong> corpo stesso, come illustrato<br />
nel seguito.<br />
Le equazioni vettoriali che descrivono il moto <strong>del</strong> corpo rigido possono essere scritte a partire dalle<br />
equazionicar<strong>di</strong>nali<strong>del</strong>lastatica(1.4), includendoiltermineaggiuntivodovutoalleforze<strong>di</strong>inerzia, ovvero:<br />
�F + � Fi = 0 (1.11a)<br />
�MO + � COi = 0 (1.11b)<br />
dove � F è il risultante <strong>del</strong>le forze attive e reattive, e � MO è il loro momento rispetto ad un polo O. Il<br />
problema <strong>di</strong>namico è quin<strong>di</strong> ricondotto, ancora una volta, a un problema statico equivalente, a con<strong>di</strong>zione<br />
2 Si elencano, per completezza e senza presentarli: il principio <strong>di</strong> Hamilton, il principio <strong>di</strong> Gauss (o <strong>di</strong> minimo vincolo),<br />
il principio <strong>di</strong> Jourdain, le equazioni <strong>di</strong> Gibbs-Appell, le equazioni <strong>di</strong> Maggi-Kane, e così via.<br />
1-5
y<br />
�xO<br />
O<br />
000 111<br />
000 111<br />
�xP<br />
P<br />
�ω, ˙ �ω<br />
Figura 1.3: Cinematica <strong>di</strong> un corpo rigido con un punto fisso.<br />
<strong>di</strong> essere in grado <strong>di</strong> calcolare il risultante � Fi <strong>del</strong>le forze <strong>di</strong> inerzia d� Fi agenti sul corpo e il loro momento<br />
risultante rispetto al polo O considerato. Questo calcolo risulta in genere molto complesso per un corpo<br />
deformabile, ma per i corpi rigi<strong>di</strong>, oggetto principale <strong>di</strong> questo <strong>corso</strong>, vale la regola generale illustrata nel<br />
seguito.<br />
Laforzad’inerziaèdatadall’integraleestesoalvolumeV <strong>del</strong>corpo<strong>del</strong>laforzad’inerziaelementare(1.10)<br />
�<br />
�Fi = d<br />
V<br />
� Fi<br />
�<br />
= − ρ�a dV (1.12)<br />
V<br />
dove la massa infinitesima è data dal prodotto <strong>del</strong>la densità <strong>del</strong> materiale per il suo volume infinitesimo<br />
dm = ρdV (1.13)<br />
mentre la coppia d’inerzia rispetto al generico punto O è data dall’integrale esteso al volume V <strong>del</strong> corpo<br />
<strong>del</strong> momento <strong>del</strong>la forza d’inerzia elementare (1.10) rispetto al punto O<br />
�<br />
�COi = (P −O)∧ d<br />
V<br />
� Fi<br />
�<br />
= − ρ(P −O)∧�a dV (1.14)<br />
V<br />
Nell’ipotesi che il polo O sia solidale con il corpo, la <strong>di</strong>stanza P − O tra il generico punto P ed il<br />
polo rimane costante in modulo. A seguito <strong>del</strong> movimento rigido <strong>del</strong> corpo, ne può variare soltanto<br />
l’orientazione. Facendo riferimento alla terna intrinseca 3 , posizione, velocità ed accelerazione <strong>del</strong> punto<br />
3 Si ricor<strong>di</strong> che un vettore è definito dal suo modulo e dalla sua <strong>di</strong>rezione. La derivata <strong>di</strong> un vettore <strong>di</strong> modulo costante<br />
non è nulla se la sua <strong>di</strong>rezione cambia. Si consideri, ad esempio, un vettore (P −O) <strong>di</strong> modulo �P −O� costante che<br />
rappresenta la <strong>di</strong>stanza tra il generico punto P ed un polo O all’istante <strong>di</strong> tempo t, entrambi solidali con un corpo rigido<br />
che si muove nel piano <strong>di</strong> moto rotatorio attorno al polo O. Nell’istante t ′ il punto P si sposti in P ′ ; la velocità <strong>del</strong> punto<br />
P all’istante t si definisce<br />
(P<br />
�vP = lim<br />
t ′ →t<br />
′ −P)<br />
t ′ −t<br />
e, per costruzione, è perpen<strong>di</strong>colare a (P −O). Può quin<strong>di</strong> essere scritta come<br />
�vP = � k ∧<br />
(P −O)<br />
�P −O� vP<br />
1-6<br />
x<br />
(1.15)<br />
(1.16)
P sono<br />
�xP = �xO +(P −O) (1.19a)<br />
˙�xP = ˙ �xO +�ω ∧(P −O) (1.19b)<br />
¨�xP = ¨ �xO +�ω ∧(�ω ∧(P −O))+ ˙ �ω ∧(P −O) (1.19c)<br />
L’equazione (1.12), che esprime la forza d’inerzia complessiva <strong>del</strong> corpo, nel caso piano <strong>di</strong>venta<br />
�<br />
�Fi = −<br />
�<br />
= −<br />
V<br />
V<br />
ρ¨ �<br />
�xO dV −<br />
V<br />
� �� �<br />
m<br />
�<br />
ρ�ω ∧(�ω ∧(P −O)) dV −<br />
ρ<br />
V<br />
˙ �ω ∧(P −O) dV<br />
ρ dV ¨�xO +ω 2<br />
�<br />
ρ(P −O) dV −˙ω<br />
V<br />
� �� �<br />
� �<br />
k ∧ ρ(P −O) dV<br />
V<br />
� �� �<br />
�sO<br />
�sO<br />
(1.20)<br />
La posizione <strong>del</strong> punto P può essere espressa in relazione alla posizione <strong>di</strong> un altro punto, G, anch’esso<br />
solidale con il corpo (il baricentro),<br />
(P −O) = (P −G)+(G−O) (1.21)<br />
Di conseguenza, l’espressione <strong>del</strong> momento statico �sO rispetto al punto O <strong>di</strong>venta<br />
�<br />
�sO = ρ(P −O) dV<br />
V<br />
� �<br />
= ρ(P −G) dV + ρ(G−O) dV<br />
V<br />
� �� �<br />
V<br />
�sG≡�0<br />
�<br />
= (G−O) ρ dV<br />
V<br />
� �� �<br />
m<br />
(1.22)<br />
in quanto per definizione il momento statico rispetto al baricentro, �sG, è nullo; la (1.12) <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
�Fi = −m ¨ �xO +ω 2 �sO − ˙ω � k ∧�sO<br />
ove vP è uno scalare che ne rappresenta l’ampiezza. Si definisca<br />
(1.23)<br />
vP = ω�P −O� (1.17)<br />
l’ampiezza <strong>del</strong>la velocità �vP, costituita dal prodotto tra il modulo <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stanza <strong>del</strong> punto P dal polo O e uno scalare ω;<br />
la (1.16) <strong>di</strong>venta<br />
� �<br />
�vP = �kω ∧(P −O) (1.18)<br />
ove, in � kω = �ω, si riconosce la velocità angolare <strong>del</strong> segmento (P −O). Se ne deduce che la derivata <strong>di</strong> un vettore costante<br />
in modulo corrisponde alla velocità con cui cambia la sua orientazione.<br />
1-7
L’equazione 1.14 che esprime la coppia d’inerzia complessiva <strong>del</strong> corpo <strong>di</strong>venta4 �<br />
�COi = − ρ(P −O)∧<br />
V<br />
¨ �<br />
�xO dV − ρ(P −O)∧(�ω ∧(�ω ∧(P −O))) dV<br />
V<br />
� � �<br />
− ρ(P −O)∧ ˙�ω ∧(P −O) dV<br />
V<br />
�<br />
= − ρ(P −O) dV ∧<br />
V<br />
� �� �<br />
�sO<br />
¨ �<br />
�xO + ρω<br />
V<br />
2 (P −O)∧(P −O) dV<br />
� �� �<br />
�0<br />
� �� �<br />
�<br />
solo nel caso piano!<br />
− ρ(P −O)×(P −O) dV ˙�ω<br />
V<br />
� �� �<br />
JO<br />
�<br />
= − �sO ∧ ¨ ⎛ �<br />
⎞<br />
⎜<br />
ρ(P −G)×(P −G) dV<br />
⎟<br />
⎜ V<br />
⎜ � �� � ⎟<br />
⎜<br />
JG<br />
⎜ � ⎟<br />
� ⎜ +2(G−O)× ρ(P −G) dV ⎟<br />
�xO −⎜<br />
V ⎟ ˙�ω<br />
⎜ � �� � ⎟<br />
⎜<br />
��0<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ +(G−O)×(G−O) ρ dV ⎟<br />
⎝<br />
⎠ V<br />
� �� �<br />
m<br />
�<br />
= − �sO ∧ ¨ �<br />
�xO −JG ˙ �ω −m(G−O)×(G−O) ˙ �ω (1.24)<br />
Dalle (1.23) e (1.24) è evidente come la scelta <strong>del</strong> baricentro come punto rispetto al quale riferire la<br />
coppia sia particolarmente vantaggioso, in quanto, per G−O =�0, si ottiene<br />
�Fi = −m ¨ �xG<br />
(1.25a)<br />
CGi = −JG˙ω (1.25b)<br />
Le formule (1.25) in questa forma valgono solo nel caso piano. Nello spazio, l’espressione <strong>del</strong>la coppia<br />
d’inerzia è più complessa.<br />
Quanto illustrato a proposito <strong>del</strong>la forza e coppia d’inerzia si applica anche a problemi nello spazio;<br />
in tale caso, tuttavia, la velocità e l’accelerazione angolare possono avere <strong>di</strong>rezione arbitraria, per cui<br />
la scrittura <strong>del</strong>le caratteristiche inerziali <strong>del</strong> corpo rigido comporta che non necessariamente si verifichi<br />
l’annullamento <strong>di</strong> alcuni termini, come invece avviene nel caso piano.<br />
1.3.2 Dinamica <strong>di</strong> un corpo rigido con spessore trascurabile e punto fisso<br />
Esercizio 1.1 Si calcolino la coppia motrice M e le reazioni vincolari nel punto <strong>di</strong> vincolo O <strong>di</strong> un<br />
corpo rigido <strong>di</strong> spessore trascurabile incernierato in O per velocità angolare �ω e accelerazione angolare ˙ �ω<br />
imposte.<br />
Soluzione. L’analisi cinematica insegna che tutti i punti <strong>del</strong> corpo rigido descrivono una traiettoria<br />
circolare intorno al punto fisso O; quin<strong>di</strong> il moto <strong>del</strong> baricentro G è descritto dalle relazioni<br />
�xG = (G−O) (1.26a)<br />
˙�xG = ω � k ∧(G−O) (1.26b)<br />
¨�xG = −ω 2 (G−O) + ˙ω<br />
� �� �<br />
�k ∧(G−O)<br />
� �� �<br />
�an<br />
�at<br />
(1.26c)<br />
4 Si noti come, nel caso piano, �ω ∧(�ω ∧(P −O)) = −ω 2 (P −O) in quanto �ω è per definizione perpen<strong>di</strong>colare a P −O.<br />
Per questo motivo (P −O) ∧ (�ω ∧(�ω ∧(P −O))) ≡ �0 nella (1.24). Nel caso spaziale (si veda il Capitolo 3) ciò non è più<br />
necessariamente vero, in quanto in generale �ω ×(P −O) �=�0, ovvero �ω non è necessariamente perpen<strong>di</strong>colare a P −O.<br />
1-8
y<br />
O<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
P<br />
�ω, ˙ �ω<br />
dmω 2� �OP � �<br />
dm˙ω � � OP � �<br />
Figura 1.4: Componenti <strong>del</strong>la forza d’inerzia agente sul punto<br />
P <strong>di</strong> un corpo rigido con un punto fisso.<br />
y<br />
Ψn<br />
O<br />
�Ψ<br />
M<br />
Ψt<br />
G<br />
m�g<br />
mω 2� � OG � �<br />
θ, ω, ˙ω<br />
m˙ω � � OG � �<br />
Figura 1.5: Forze agenti sul corpo rigido (ovvero, ‘<strong>di</strong>agramma<br />
<strong>di</strong> corpo libero’).<br />
dove sono state messe in evidenzale componenti normale e tangenziale <strong>del</strong>l’accelerazione, rispettivamente<br />
�an e �at.<br />
Sostituendo ai vincoli le corrispondenti reazioni vincolari, è possibile quin<strong>di</strong> scrivere le equazioni<br />
scalari <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico <strong>del</strong> corpo rigido:<br />
(m˙ω(G−O)+Ψt)sinθ + � mω 2 �<br />
(G−O)−Ψn cosθ = 0 (1.27a)<br />
−(m˙ω(G−O)+Ψt)cosθ + � mω 2 �<br />
(G−O)−Ψn sinθ −mg = 0 (1.27b)<br />
M −m˙ω(G−O) 2 −JG˙ω −mg(G−O)cosϑ = 0 (1.27c)<br />
corrispondenti alle equazioni <strong>del</strong>la statica (1.5) quando vengano considerate anche le forze e coppie d’inerzia.<br />
Dal momento che la scelta <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate cartesiane xy è <strong>del</strong> tutto arbitraria, si può considerare,<br />
nel piano xy, una qualunque coppia <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezioni ortogonali 5 purché convenienti; nel caso in esame, le<br />
5 In realtà è sufficiente che le <strong>di</strong>rezioni rispetto alle quali vengono scritte le equazioni <strong>di</strong> equilibrio alla traslazione siano<br />
<strong>di</strong>stinte, e quin<strong>di</strong> non parallele, per ottenere due equazioni linearmente in<strong>di</strong>pendenti.<br />
1-9<br />
Ci<br />
x<br />
x
equazioni (1.27) <strong>di</strong>ventano particolarmente semplici se si considerano le <strong>di</strong>rezioni normale e tangenziale<br />
m˙ω(G−O)+Ψt +mgcosθ = 0 (1.28a)<br />
mω 2 (G−O)−Ψn −mgsinθ = 0 (1.28b)<br />
M −m˙ω(G−O) 2 −JG˙ω −mg(G−O)cosϑ = 0 (1.28c)<br />
In ogni caso, sia le (1.27) che le (1.28), equivalenti alle prime, conducono a un problema univocamente<br />
determinato <strong>di</strong> tre equazioni nelle tre incognite Ψt, Ψn, M. È evidente come le (1.28) siano molto più<br />
facili da risolvere <strong>del</strong>le (1.27), essendo le incognite <strong>di</strong>saccoppiate.<br />
A prescindere da quale insieme <strong>di</strong> equazioni si considera, è comunque possibile, note la velocità<br />
angolare ω e l’accelerazione angolare ˙ω <strong>del</strong> corpo, determinare la coppia motrice M necessaria. Si noti<br />
che in ogni caso una equazione (nell’esempio l’ultima) è pura, ovvero non contiene le reazioni vincolari,<br />
e corrisponde all’equazione <strong>del</strong> moto associata alla coor<strong>di</strong>nata libera <strong>del</strong> problema. Le altre due possono<br />
essere risolte a posteriori una volta determinato il movimento a partire dall’equazione <strong>del</strong> moto.<br />
Esercizio 1.2 A partire dalla soluzione <strong>del</strong>l’esercizio 1.1 si calcolino le azioni interne nel corpo, nell’ipotesi<br />
che sia costituito da un’asta <strong>di</strong> densità uniforme ρ, sezione uniforme A e lunghezza l.<br />
Soluzione. A partire dalla coppia motrice calcolata nell’esercizio precedente, per <strong>di</strong>mensionare<br />
l’organo meccanico schematizzato come corpo rigido occorre valutare le azioni interne. Tuttavia non<br />
è possibile utilizzare il sistema equipollente <strong>del</strong>le forze d’inerzia, costituito dalle (1.23) e (1.24); occorre<br />
utilizzare la reale <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>le azioni d’inerzia.<br />
La valutazione degli sforzi agenti all’interno <strong>di</strong> un corpo <strong>di</strong> geometria arbitraria è un problema complesso.<br />
La scienza <strong>del</strong>le costruzioni ci fornisce i meto<strong>di</strong> per lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la meccanica <strong>del</strong> continuo, ma<br />
ci insegna anche che raramente si conoscono soluzioni analitiche per geometrie non banali. Per questo<br />
motivo, a fini puramente <strong>di</strong>dattici, si consideri l’esempio <strong>di</strong> figura 1.6, in cui il generico corpo rigido <strong>di</strong><br />
forma arbitraria viene approssimato con un’asta omogenea, <strong>di</strong> densità costante ρ, sezione costante A e<br />
lunghezza l. Per semplicità, l’asta è vincolata a ruotare nel piano verticale attorno alla cerniera O.<br />
Per valutare il momento M necessario a imporre l’orientazione, la velocità e l’accelerazione angolare<br />
volute (problema inverso) o, al contrario, per determinare l’accelerazione angolare dovuta al momento<br />
imposto M, note l’orientazione e la velocità angolare (problema <strong>di</strong>retto) è sufficiente, come illustrato<br />
nell’esercizio precedente, scrivere l’equilibrio dei momenti rispetto al polo O:<br />
M −m<br />
� l<br />
2<br />
� 2<br />
˙ω −JG˙ω −mg l<br />
cosθ = 0 =⇒ M = ml2 ˙ω +mgl cosθ, (1.29)<br />
2 3 2<br />
ove si è sfruttato JG = ml 2 /12.<br />
Le altre due equazioni permettono invece il calcolo <strong>del</strong>la reazione nelle sue due componenti tangente<br />
e normale alla traiettoria circolare <strong>del</strong> baricentro:<br />
Ψt +ρAlgcosθ +ρA˙ω l2<br />
2 = 0 =⇒ Ψt = −mgcosθ −m˙ω l<br />
2<br />
(1.30a)<br />
−Ψn −ρAlgsinθ +ρAω 2l2<br />
2 = 0 =⇒ Ψn = −mgsinθ +mω (1.30b)<br />
2<br />
Volendo calcolare le azioni interne normali N, <strong>di</strong> taglio T e flettenti Mf in una generica sezione <strong>di</strong>stante<br />
a dalla cerniera, dobbiamo tener conto <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stribuzione triangolare6 <strong>del</strong>le azioni d’inerzia scomposte<br />
nelle due componenti normale e tangenziale, ovvero:<br />
Mf (a)+M +Ψta+<br />
N (a)−Ψn −<br />
T (a)−Ψt −<br />
� a<br />
0<br />
� a<br />
0<br />
� a<br />
0<br />
ρAgsinθ dξ +<br />
ρAgcosθ(a−ξ) dξ +<br />
ρAgcosθ dξ −<br />
� a<br />
0<br />
� a<br />
0<br />
� a<br />
0<br />
2 l<br />
ρAω 2 ξ dξ = 0 (1.31a)<br />
ρA˙ωξ dξ = 0 (1.31b)<br />
ρA˙ωξ(a−ξ) dξ = 0 (1.31c)<br />
6Se le componenti normale e tangenziale <strong>del</strong>l’accelerazione <strong>del</strong> generico punto a <strong>di</strong>stanza ξ dal centro <strong>di</strong> rotazione sono<br />
rispettivamente ¨xn = −ξω2 e ¨xt = ξ˙ω, le conseguenti componenti <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> forza d’inerzia sono dFin = dmξω2<br />
e dFit = −dmξ˙ω, e hanno quin<strong>di</strong> andamento lineare in ξ.<br />
1-10
Ci<br />
Ψt<br />
y<br />
G<br />
M<br />
θ, ω, ˙ω<br />
ρAω 2� � OG � �<br />
ρA˙ω � � OG � �<br />
ρAg<br />
O x<br />
Ψn<br />
ρAg<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
ρAω 2� � OG � � ρA˙ω � � OG � �<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
000 111<br />
y<br />
M<br />
θ, ω, ˙ω<br />
O x<br />
Figura 1.6: Sistema equipollente <strong>del</strong>le forze d’inerzia (a sinistra) e loro reale<br />
<strong>di</strong>stribuzione (a destra) in un’asta incernierata ad un estremo.<br />
A partire dalle ipotesi <strong>di</strong> densità ρ e area <strong>del</strong>la sezione A costanti, svolgendo gli integrali si ottiene<br />
N (a)−Ψn −ρAagsinθ +ρAω 2a2<br />
2<br />
T (a)−Ψt −ρAagcosθ −ρA˙ω a2<br />
2<br />
Mf<br />
a<br />
Ψt<br />
N<br />
T<br />
Ψn<br />
= 0 (1.32a)<br />
= 0 (1.32b)<br />
Mf (a)+M +Ψta+ρA a2<br />
gcosθ +ρA˙ωa3 = 0 (1.32c)<br />
2 6<br />
Esercizio 1.3 Si consideri <strong>di</strong> nuovo l’esercizio 1.2 ma ora, anziché considerare la parte <strong>di</strong> problema dalla<br />
cerniera alla generica sezione, si consideri invece la parte dalla sezione all’estremo libero. Ovviamente<br />
devono risultarne le medesime azioni interne. Lo si verifichi, e si <strong>di</strong>scuta l’opportunità <strong>di</strong> scegliere l’una<br />
o l’altra parte per il calcolo <strong>del</strong>le azioni interne.<br />
Esercizio 1.4 A partire dalla soluzione degli esercizi 1.1 e 1.2 si calcolino l’angolo θ e la posizione<br />
ra<strong>di</strong>ale a per i quali sono rispettivamente massimi e minimi lo sforzo assiale e lo sforzo <strong>di</strong> taglio, scelta<br />
una geometria a piacere per la sezione A <strong>del</strong>l’asta.<br />
1-11
1-12
Capitolo 2<br />
Scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto<br />
me<strong>di</strong>ante approcci energetici<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
In questo capitolo viene illustrata la scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> sistemi piani me<strong>di</strong>ante<br />
principi energetici, metodo alternativo alla scrittura <strong>di</strong>retta <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> ogni<br />
corpo componente.<br />
Con la <strong>di</strong>citura principi energetici si intendono quegli approcci basati sulla scrittura <strong>di</strong> un funzionale<br />
la cui minimizzazione porta alla scrittura <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong> bilancio. Tra questi meto<strong>di</strong> ricade<br />
il Principio dei Lavori Virtuali.<br />
2.1 Il Principio dei Lavori Virtuali<br />
L’approccio visto nel capitolo precedente stu<strong>di</strong>a l’equilibrio <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> un sistema meccanico basandosi<br />
sulla scrittura <strong>di</strong>retta <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> forze e momenti. In particolare si è visto che,<br />
grazie al principio <strong>di</strong> D’Alembert, è possibile ricondurre il problema <strong>di</strong>namico ad un problema statico<br />
equivalente, introducendo il sistema <strong>di</strong> forze e coppie <strong>di</strong> inerzia.<br />
In alternativa, è possibile usare il Principio dei Lavori Virtuali (o P.L.V.), che si enuncia come segue:<br />
con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente per l’equilibrio <strong>di</strong>namico, in un sistema meccanico con<br />
vincoli lisci ovvero in assenza <strong>di</strong> attrito, è che sia nullo il lavoro <strong>del</strong>le forze e coppie attive,<br />
comprendendo tra esse la forza e la coppia d’inerzia, per qualsiasi spostamento virtuale <strong>del</strong><br />
sistema.<br />
Uno spostamento si definisce virtuale quando è infinitesimo e compatibile con i vincoli a<br />
tempo fissato.<br />
Il senso <strong>del</strong>le parole ‘compatibile con i vincoli a tempo fissato’ verrà illustrato nel seguito.<br />
La limitazione ai soli vincoli lisci sopra in<strong>di</strong>catapuò essererimossacon opportuniaccorgimenti, quin<strong>di</strong><br />
l’applicabilità <strong>del</strong> P.L.V. è sufficientemente ampia da consentirne l’uso in tutte le applicazioni <strong>di</strong> interesse<br />
peril<strong>corso</strong>. Inoltre,perunsistemaadunsologrado<strong>di</strong>libertàavincolilisci,ilmetodoconsente<strong>di</strong>ottenere<br />
una sola equazione pura <strong>di</strong> moto che non <strong>di</strong>pende dalle incognite <strong>di</strong> reazione vincolare. Questa equazione<br />
consente <strong>di</strong> risolvere <strong>di</strong>rettamente il problema <strong>di</strong>namico senza dover calcolare le incognite aggiuntive<br />
rappresentate dalle reazioni vincolari stesse.<br />
Per fare un esempio <strong>di</strong> questo proce<strong>di</strong>mento ci riferiamo nuovamente al caso <strong>del</strong> corpo rigido <strong>di</strong> piccolo<br />
spessore <strong>del</strong> capitolo precedente. Data la presenza <strong>di</strong> una cerniera a terra in O, lo spostamento virtuale<br />
<strong>del</strong> corpo è <strong>di</strong> tipo rotatorio, descritto dalla rotazione virtuale δ � ϑ = � kδϑ <strong>del</strong> corpo rigido (assunta, per<br />
convenzione, positiva se antioraria), con � k versore perpen<strong>di</strong>colare al piano contenente il corpo e positivo<br />
quando uscente dal piano stesso.<br />
Applicando il P.L.V. si ottiene<br />
δ ∗ L = � M ×δ � ϑ+m�g ×δ�xG + � F ×δ�xP −<br />
�<br />
JG ˙ �<br />
�ω ×δ� ϑ−m�aG ×δ�xG = 0, (2.1)<br />
2-1
y<br />
�aG<br />
O<br />
�M<br />
000 111<br />
000 111<br />
G<br />
ϑ<br />
m�g<br />
�F<br />
P<br />
JG ˙ �ω<br />
ϑ,<br />
˙ϑ = ω,<br />
¨ϑ = ˙ω<br />
Figura 2.1: Corpo rigido <strong>di</strong> piccolo spessore soggetto a moto puramente rotatorio.<br />
avendo aggiunto una generica forza � F applicata nel punto P, in cui le variabili fisiche sono<br />
�xG = (G−O) �xP = (P −O), (2.2)<br />
da cui risultano le variazioni virtuali<br />
mentre<br />
δ�xG = δ � ϑ∧(G−O) δ�xP = δ � ϑ∧(P −O), (2.3)<br />
�aG = d2 �xG<br />
dt 2 = �ω ∧(�ω ∧(G−O))+ ˙ �ω ∧(G−O) = −ω 2 (G−O)+ ˙ �ω ∧(G−O).<br />
Come in<strong>di</strong>cato in figura 2.1, si sono definiti ω = ˙ ϑ e ˙ω = ¨ ϑ.<br />
È relativamente agevole verificare che<br />
�<br />
�F ×δ�xP = (P −O)∧ � �<br />
F ×δ� ϑ (2.4)<br />
(si veda a questo proposito la (3.8c)); questo corrisponde ad affermare che il lavoro virtuale compiuto<br />
dalla forza � F per lo spostamento virtuale <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> applicazione P, quando lo spostamento sia dovuto<br />
ad una rotazione rispetto ad un polo O, è uguale al lavoro virtuale dovuto al momento (P −O)∧ � F per<br />
la rotazione virtuale δ � ϑ = δϑ � k.<br />
Esercizio 2.1 Si verifichi la (2.4).<br />
Svolgendo i prodotti in<strong>di</strong>cati e raccogliendo a fattor comune la rotazione virtuale δϑ si ha:<br />
δ ∗ �<br />
L = M −JG˙ω −mg|(G−O)|cosϑ−m|(G−O)| 2 �<br />
˙ω + (P −O)∧ � �<br />
F × � �<br />
k δϑ = 0 (2.5)<br />
da cui, semplificando 1 per δϑ �= 0, si ottiene<br />
M −JG˙ω −mg|(G−O)|cosϑ−m|(G−O)| 2 ˙ω +<br />
x<br />
�<br />
(P −O)∧ � �<br />
F × �k = 0 (2.6)<br />
che (a meno <strong>del</strong> contributo � F, introdotto solo ora) coincide con la (1.27), ottenuta <strong>di</strong>rettamente dall’equilibrio<br />
<strong>di</strong>namico dei momenti.<br />
Si noti come non sia mai stato necessario prendere in considerazione le reazioni vincolari scambiate<br />
tra corpo e telaio nella cerniera, a seguito <strong>del</strong>l’ipotesi <strong>di</strong> vincolo ideale.<br />
1 Questa semplificazione è lecita per l’arbitrarietà degli spostamenti virtuali.<br />
2-2
2.2 Il teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica<br />
La Meccanica Razionale ha proposto il Teorema <strong>del</strong>l’Energia Cinetica in due forme. In<strong>di</strong>cati con T<br />
l’energia cinetica <strong>del</strong> corpo rigido, Π la potenza e L il lavoro <strong>del</strong>le forze esterne, per un sistema a vincoli<br />
fissi il teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica:<br />
• in forma <strong>di</strong>fferenziale,<br />
dT<br />
dt<br />
= Π, (2.7)<br />
afferma che la derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>l’energia cinetica eguaglia la potenza <strong>del</strong>le forze attive,<br />
escluse quelle d’inerzia;<br />
• in forma integrale,<br />
∆T = L, (2.8)<br />
afferma che la variazione <strong>di</strong> energia cinetica tra due istanti <strong>di</strong> tempo eguaglia il lavoro compiuto<br />
dalle forze attive, escluse quelle d’inerzia, nell’intervallo tras<strong>corso</strong>.<br />
La potenza o il lavoro <strong>del</strong>le forze <strong>di</strong> inerzia sono esplicitamente esclusi dal computo <strong>di</strong> Π e <strong>di</strong> L perché<br />
la derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>l’energia cinetica rappresenta proprio la potenza <strong>del</strong>le forze d’inerzia,<br />
mentre la variazione <strong>di</strong> energia cinetica in un dato intervallo <strong>di</strong> tempo è proprio pari al lavoro fatto<br />
dalle forze d’inerzia in quell’intervallo.<br />
Ritornando all’esempio considerato, l’energia cinetica T <strong>del</strong> corpo è 2 :<br />
T = 1<br />
2 m�vG �vG + 1<br />
2 JG�ω ×�ω (2.9)<br />
dove si è utilizzato il teorema <strong>di</strong> König, per cui<br />
mentre<br />
dT<br />
dt = m�aG ×�vG +JG ˙ �ω ×�ω (2.10)<br />
Π = � M ×�ω +m�g ×�vG + � F ×�vP. (2.11)<br />
Sostituendo nella (2.7) le (2.10) e (2.11), otteniamo:<br />
ovvero<br />
m�aG ×�vG +JG ˙ �ω ×�ω = � M ×�ω +m�g ×�vG + � F ×�vP, (2.12)<br />
�M ×�ω +m�g ×�vG + � F ×�vP −m�aG ×�vG −JG ˙ �ω ×�ω = 0 (2.13)<br />
cheesprimel’annullamentocomplessivo<strong>del</strong>lepotenze<strong>di</strong>tutteleforzeecoppie(compresequelle<strong>di</strong>inerzia)<br />
agenti sul sistema. Il principio illustrato da questa equazione è noto anche come bilancio <strong>di</strong> potenze, in<br />
quanto la potenza Πin <strong>del</strong>la forza e <strong>del</strong>la coppia d’inerzia è pari a<br />
Πin = −m�aG ×�vG −JG ˙ �ω ×�ω = − dT<br />
dt<br />
e quin<strong>di</strong> la (2.7) può essere riscritta anche come<br />
(2.14)<br />
Π+Πin = 0 (2.15)<br />
2 Il contributo<strong>di</strong> energia cinetica associato alla velocità angolare è scritto come 1/2JG�ω×�ω perchénel caso bi<strong>di</strong>mensionale<br />
la velocità angolare è �ω = [0,0,ωz] T e si assume che i corpi abbiano spessore trascurabile, quin<strong>di</strong> solo il momento <strong>di</strong> inerzia<br />
JG attornoa � k partecipa. ComesivedrànelCapitolo3talecontributohaunaformapiùcomplicatanelcasotri<strong>di</strong>mensionale.<br />
2-3
Ricordando, poi, che dall’analisi cinematica <strong>di</strong> questo specifico problema risulta che<br />
e<br />
�vG = �ω ∧(G−O) (2.16)<br />
�vP = �ω ∧(P −O), (2.17)<br />
sostituendo la (2.16) nella (2.13) e risolvendo i prodotti scalari, otteniamo:<br />
�<br />
�<br />
M −mg(O −G)cosϑ+ (P −O)∧ � �<br />
F × �k −JG˙ω −m(O −G) 2 �<br />
˙ω ω = 0 (2.18)<br />
che semplificata per ω �= 0 fornisce un’equazione scalare pura che è <strong>di</strong> nuovo la (2.5).<br />
La vali<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> questa equazione non è limitata ad un singolo corpo rigido, ma vale per qualunque<br />
sistema formato da n corpi, purché ad un solo grado <strong>di</strong> libertà, potendosi riscrivere nella forma<br />
n�<br />
(Π+Πin) k = 0 (2.19)<br />
k=1<br />
Nelle applicazioni <strong>di</strong> <strong>di</strong>namica, in cui spesso occorre considerare macchine ad un solo grado <strong>di</strong> libertà, il<br />
teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica (ovvero l’equazione <strong>di</strong> bilancio <strong>del</strong>le potenze) può risultare <strong>di</strong> più spontaneo<br />
utilizzo rispetto al principio dei lavori virtuali visto in precedenza, poiché più <strong>di</strong>rettamente collegato al<br />
moto dei corpi rigi<strong>di</strong> componenti il sistema, in quanto la velocità è analoga ad uno spostamento virtuale<br />
quando i vincoli sono fissi.<br />
Il Teorema <strong>del</strong>l’Energia Cinetica si presta a una importante interpretazione fisica: durante il moto <strong>del</strong><br />
sistema, negli istanti in cui la somma <strong>del</strong>le potenze <strong>del</strong>le forze attive risulta positiva l’energia cinetica <strong>del</strong><br />
sistema viene incrementata; al contrario, quando tale somma risulta negativa il sistema riduce la propria<br />
energia cinetica. Secondo questa interpretazione, le inerzie presenti nel sistema (masse e momenti <strong>di</strong><br />
inerzia) possono essere visti come “serbatoi <strong>di</strong> energia” che nelle fasi <strong>di</strong> accelerazione immagazzinano<br />
l’energia fornita in eccesso al sistema rispetto a quella necessaria per vincere le resistenze, mentre nelle<br />
fasi <strong>di</strong> decelerazione restituiscono l’energia immagazzinata per supplire a un deficit <strong>di</strong> potenza motrice<br />
rispetto a quella necessaria per vincere le resistenze.<br />
2.3 Le equazioni <strong>di</strong> Lagrange (<strong>di</strong> II o tipo)<br />
È stato messo in luce come l’analisi <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> un sistema composto da più corpi possa essere convenientemente<br />
risolta me<strong>di</strong>ante la scrittura <strong>del</strong> teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica (o <strong>del</strong>l’equivalente bilancio <strong>di</strong><br />
potenze) in quanto, in presenza <strong>di</strong> soli vincoli lisci e fissi, ne deriva l’equazione scalare pura <strong>del</strong> moto.<br />
Nel caso si debbano determinare le forze scambiate tra i vari elementi componenti il sistema, le azioni<br />
interne e le reazioni vincolari, è stato invece proposto il metodo degli equilibri <strong>di</strong>namici, noto anche come<br />
principio <strong>di</strong> d’Alembert.<br />
Si vuole presentare un metodo ulteriore per la scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto tramite le equazioni<br />
<strong>di</strong> Lagrange. Questo metodo energetico trova un’importante applicazione, come illustrato in seguito, nel<br />
caso <strong>di</strong> sistemi a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
Ci si limiti, per ora, al caso <strong>di</strong> un sistema piano ad un solo grado <strong>di</strong> libertà, composto da un corpo<br />
rigido<strong>di</strong> massa m e momento d’inerziabaricentricoJG soggetto a vincolibilaterilisci. Dettaq la variabile<br />
in<strong>di</strong>pendente scelta per il sistema, l’equazione <strong>di</strong> Lagrange nella sua forma più nota si presenta come:<br />
d<br />
dt<br />
� ∂T<br />
∂˙q<br />
�<br />
− ∂T<br />
∂q<br />
+ dV<br />
dq<br />
= Qq<br />
(2.20)<br />
dove T e V in<strong>di</strong>cano rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale 3 <strong>del</strong> sistema, mentre Qq<br />
in<strong>di</strong>ca la componente lagrangiana <strong>del</strong>le sollecitazioni attive relativa alla coor<strong>di</strong>nata libera q.<br />
3 Alcuni autori, al posto <strong>del</strong>l’energia potenziale V, usano il potenziale U <strong>del</strong>le forze conservative; si ricorda che U = −V.<br />
2-4
L’energia cinetica <strong>del</strong> sistema è data dalla (2.9), qui ripetuta per chiarezza espositiva:<br />
T = 1<br />
2 m�vG �vG + 1<br />
2 JG�ω ×�ω (2.21)<br />
dove con �vG e con �ω sono in<strong>di</strong>cate rispettivamente la velocità <strong>del</strong> baricentro e la velocità angolare <strong>del</strong><br />
corpo rigido.<br />
Le generiche variabili fisiche y sono funzioni <strong>del</strong>l’unica coor<strong>di</strong>nata libera q tramite le relazioni che<br />
ne governano la cinematica e la geometria (tali legami possono avere anche una <strong>di</strong>pendenza esplicita<br />
dal tempo nel caso in cui vincoli esterni o interni varino la loro configurazione con legge assegnata nel<br />
tempo):<br />
y = y(q,t) (2.22)<br />
Si noti che, data la definizione <strong>di</strong> variabile fisica in (2.22), la velocità fisica è definita come<br />
v = dy<br />
dt<br />
= ∂y<br />
∂q<br />
∂y<br />
˙q + , (2.23)<br />
∂t<br />
mentre lo spostamento virtuale corrispondente è definito come<br />
δy = ∂y<br />
δq (2.24)<br />
∂q<br />
in quanto lo spostamento virtuale avviene a vincoli e a tempo fissato, per cui la <strong>di</strong>pendenza esplicita dal<br />
tempo <strong>del</strong>la (2.22), che nella (2.23) compare attraverso il termine ∂y/∂t, nella (2.24) non partecipa alla<br />
definizione <strong>del</strong>lo spostamento virtuale.<br />
Il termine V rappresenta l’energia potenziale <strong>del</strong>le forze agenti che ammettono potenziale, e quin<strong>di</strong><br />
conservative (adesempiolaforzapeso, eventualiforzeelastiche, ecc.). InQq sonocompreselecomponenti<br />
lagrangiane <strong>di</strong> tutte le restanti forze attive agenti sul sistema. Il termine Qq viene calcolato come il lavoro<br />
virtuale <strong>di</strong> tali forze per uno spostamento virtuale unitario <strong>del</strong>la variabile in<strong>di</strong>pendente δq, ovvero come<br />
il termine ottenuto dal raccoglimento a fattor comune <strong>di</strong> δq nell’espressione <strong>del</strong> lavoro virtuale <strong>di</strong> tali<br />
forze, Qq = ∂δL/∂δq.<br />
Con riferimento sempre all’esempio iniziale, utilizzando come variabile libera q l’angolo ϑ <strong>di</strong> rotazione<br />
<strong>del</strong> corpo, e quin<strong>di</strong> ω = ˙ ϑ, avremo che<br />
∂T<br />
∂ ˙ ∂<br />
=<br />
ϑ ∂ ˙ �<br />
1<br />
�<br />
JG +m|(G−O)|<br />
ϑ 2<br />
2�<br />
ω 2<br />
� �<br />
= JG +m|(G−O)| 2�<br />
ω<br />
�<br />
d ∂T<br />
dt ∂<br />
(2.25)<br />
˙ � �<br />
= JG +m|(G−O)|<br />
ϑ<br />
2�<br />
˙ω (2.26)<br />
∂T<br />
= 0<br />
∂ϑ<br />
(2.27)<br />
V = mg|(G−O)|sinϑ (2.28)<br />
dV<br />
= mg|(G−O)|cosϑ<br />
dϑ<br />
� �<br />
δL = M + (P −O)∧<br />
(2.29)<br />
� �<br />
F × � �<br />
k δϑ (2.30)<br />
�<br />
Qq = M + (P −O)∧ � �<br />
F × �k (2.31)<br />
che, sostituite nella (2.20), portano a<br />
�<br />
JG +m|(G−O)| 2�<br />
ovvero <strong>di</strong> nuovo all’equazione scalare pura (2.5).<br />
�<br />
˙ω +mg|(G−O)|cosϑ = M + (P −O)∧ � �<br />
F × �k (2.32)<br />
2-5
2.4 Le equazioni <strong>di</strong> Lagrange (<strong>di</strong> I o tipo)<br />
Le equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> primo tipo partono dalle equazioni <strong>di</strong> Newton-Eulero, o equazioni car<strong>di</strong>nali<br />
<strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica. Queste sono espresse in funzione <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate cartesiane che descrivono la posizione e<br />
l’orientazione <strong>di</strong> ogni corpo che costituisce il sistema.<br />
La presenza <strong>di</strong> vincoli cinematici, che riducono il numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà effettivi <strong>del</strong> problema,<br />
viene espressa esplicitamente me<strong>di</strong>ante l’aggiunta <strong>del</strong>le equazioni algebriche <strong>di</strong> vincolo,<br />
ϕj (xG,yG,ϑ,t) = 0. (2.33)<br />
Queste ultime consentono <strong>di</strong> applicare le reazioni vincolari, nell’ipotesi <strong>di</strong> vincoli lisci, <strong>di</strong>rettamente<br />
alle equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> corpo, me<strong>di</strong>ante il formalismo dei moltiplicatori <strong>di</strong> Lagrange. Le<br />
equazioni <strong>di</strong> vincolo devono essere in<strong>di</strong>pendenti, altrimenti si ha una sovradeterminazione (le equazioni<br />
<strong>di</strong> vincolo non sono più in<strong>di</strong>pendenti). Con<strong>di</strong>zione necessaria per avere equazioni in<strong>di</strong>pendenti è che le<br />
equazioni <strong>di</strong> vincolo siano in numero al più pari ai gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> sistema.<br />
Si scriva formalmente la Lagrangiana<br />
L = T −V = 1<br />
2 m�vG �vG + 1<br />
2 JG�ω ×�ω = 1<br />
2 m� ˙x 2 G + ˙y 2� 1<br />
G +<br />
2 JG ˙ ϑ 2 . (2.34)<br />
La si aumenti con un termine<br />
L ′ = �<br />
λkϕk(xG,yG,ϑ,t), (2.35)<br />
k=1,c<br />
ove i λk sono moltiplicatori incogniti relativi ad ogni equazione <strong>di</strong> vincolo cinematico. Quando il vincolo<br />
ϕk è rispettato, il valore <strong>del</strong>la Lagrangiana originaria, L, non <strong>di</strong>pende in alcun modo dal valore <strong>del</strong><br />
corrispondente moltiplicatore λk.<br />
Si applichi il formalismo <strong>di</strong> Lagrange a L+L ′ , considerando alla stregua <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate libere sia le<br />
coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> ogni corpo che i moltiplicatori λk. La derivazione <strong>del</strong> contributo <strong>del</strong>le equazioni<br />
<strong>di</strong> vincolo, L ′ , comporta<br />
∂L ′<br />
=<br />
∂xG<br />
�<br />
k=1,c<br />
∂L ′<br />
=<br />
∂yG<br />
�<br />
∂L ′<br />
∂ϑ<br />
∂L ′<br />
∂λk<br />
k=1,c<br />
= �<br />
k=1,c<br />
∂ϕk<br />
λk<br />
∂xG<br />
∂ϕk<br />
λk<br />
∂yG<br />
∂ϕk<br />
λk<br />
∂ϑ<br />
(2.36a)<br />
(2.36b)<br />
(2.36c)<br />
= ϕk. (2.36d)<br />
Si ottiene, per il corpo rigido e per ogni vincolo k:<br />
m¨xG + �<br />
k=1,c<br />
m¨yG + �<br />
k=1,c<br />
JG ¨ ϑ+ �<br />
k=1,c<br />
Ciascun termine<br />
∂ϕk<br />
∂qj<br />
λk<br />
∂ϕk<br />
λk = QxG<br />
∂xG<br />
∂ϕk<br />
λk = QyG<br />
∂yG<br />
∂ϕk<br />
∂ϑ λk = Qϑ<br />
(2.37a)<br />
(2.37b)<br />
(2.37c)<br />
ϕk = 0. (2.37d)<br />
2-6<br />
(2.38)
appresenta il contributo <strong>del</strong> vincolo k-esimo alle reazioni vincolari <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla<br />
traslazione in <strong>di</strong>rezione j-esima, o alla rotazione attorno all’asse j-esimo, <strong>del</strong> corpo.<br />
Considerando il problema iniziale, le coor<strong>di</strong>nate sono rappresentate da xG, yG e ϑ, quest’ultima<br />
corrispondente alla coor<strong>di</strong>nata libera usata nelle equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> secondo tipo. La lagrangiana<br />
è<br />
L = 1<br />
2 m� ˙x 2 G + ˙y 2� 1<br />
G +<br />
2 JG ˙ ϑ 2 −mgyG, (2.39)<br />
mentre il lavoro virtuale <strong>del</strong>le forze generalizzate è<br />
δ ∗ L = δ�xP × � F +δ � ϑ× � M = δxGFx +δyGFy +δϑ<br />
dal momento che lo spostamento virtuale <strong>del</strong> punto P è dato da<br />
��<br />
(P −G)∧ � �<br />
F × � �<br />
k +M , (2.40)<br />
δ�xP = δxG �i+δyG �j +δϑ � k ∧(P −G). (2.41)<br />
Sono presenti due relazioni <strong>di</strong> vincolo, in quanto il sistema ha un solo grado <strong>di</strong> libertà. Possono<br />
essere espresse in vari mo<strong>di</strong> equivalenti. Ad esempio, si può imporre che la <strong>di</strong>stanza tra i punti G e O<br />
sia costante e pari a |G−O|, e che il rapporto tra le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> baricentro sia pari alla tangente<br />
<strong>del</strong>l’angolo ϑ. Sia quin<strong>di</strong><br />
ϕ1 = � �<br />
(G−O)×(G−O)−|G−O| = x2 G +y2 G −|G−O| = 0, (2.42)<br />
da cui<br />
e<br />
da cui<br />
∂ϕ1<br />
∂xG<br />
∂ϕ1<br />
∂yG<br />
∂ϕ1<br />
∂ϑ<br />
= xG<br />
[G−O]<br />
= yG<br />
[G−O]<br />
(2.43a)<br />
(2.43b)<br />
= 0, (2.43c)<br />
ϕ2 = xGsinϑ−yGcosϑ = 0, (2.44)<br />
∂ϕ2<br />
= sinϑ (2.45a)<br />
∂xG<br />
∂ϕ2<br />
= −cosϑ (2.45b)<br />
∂yG<br />
∂ϕ2<br />
∂ϑ = xGcosϑ+yGsinϑ. (2.45c)<br />
Trascurando nel seguito la forza � F, ne risulta<br />
m¨xG + xG<br />
[G−O] λ1 +sinϑλ2 = 0 (2.46a)<br />
m¨yG + yG<br />
[G−O] λ1 −cosϑλ2 = −mg (2.46b)<br />
JG ¨ ϑ+(xGcosϑ+yGsinϑ)λ2 = M<br />
�<br />
(2.46c)<br />
x2 G +y2 G −|G−O| = 0 (2.46d)<br />
xGsinϑ−yGcosϑ = 0. (2.46e)<br />
2-7
Oppure, più semplicemente, si possono definire le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> baricentro come<br />
da cui<br />
ϕ1 = xG −|G−O|cosϑ (2.47a)<br />
ϕ2 = yG −|G−O|sinϑ, (2.47b)<br />
∂ϕ1<br />
= 1 (2.48a)<br />
∂xG<br />
∂ϕ1<br />
= 0 (2.48b)<br />
∂yG<br />
∂ϕ1<br />
= |G−O|sinϑ<br />
∂ϑ<br />
(2.48c)<br />
∂ϕ2<br />
= 0<br />
∂xG<br />
(2.48d)<br />
∂ϕ2<br />
= 1 (2.48e)<br />
∂yG<br />
∂ϕ2<br />
= −|G−O|cosϑ (2.48f)<br />
∂ϑ<br />
Ne risulta<br />
m¨xG +λ1 = 0 (2.49a)<br />
m¨yG +λ2 = −mg (2.49b)<br />
JG ¨ ϑ+|G−O|sinϑλ1 −|G−O|cosϑλ2 = M (2.49c)<br />
xG −|G−O|cosϑ = 0 (2.49d)<br />
yG −|G−O|sinϑ = 0. (2.49e)<br />
In entrambi i casi me<strong>di</strong>ante sostituzioni è possibile riottenere l’equazione precedente.<br />
Èevidentecomel’uso<strong>del</strong>leequazioni<strong>di</strong>Lagrange<strong>del</strong>primotipo<strong>di</strong>aluogoasistemi<strong>di</strong>equazionimolto<br />
più gran<strong>di</strong> rispetto, ad esempio, alle equazioni <strong>del</strong> secondo tipo, che consentono <strong>di</strong> ricavare <strong>di</strong>rettamente<br />
le equazioni pure <strong>del</strong> moto, in numero pari ai gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà effettivi <strong>del</strong> problema.<br />
Tuttavia, la scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> primo tipo può essere più facilmente automatizzabile, a<br />
con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> risolvere poi un problema <strong>di</strong> equazioni sia algebriche che <strong>di</strong>fferenziali.<br />
Un vantaggio significativo è che nelle equazioni <strong>del</strong> primo tipo occorre soltanto calcolare la derivata<br />
prima <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> vincolo, per scrivere i coefficienti con cui i moltiplicatori λk agiscono sulle<br />
equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong> moto. Viceversa, le equazioni <strong>del</strong> secondo tipo richiedono <strong>di</strong> derivare le equazioni<br />
<strong>di</strong> vincolo per esplicitare le variabili cinematiche <strong>di</strong>pendenti in funzione <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate libere, e fino alla<br />
derivata seconda, per poter scrivere le forze d’inerzia.<br />
Un altro vantaggio è dato dal fatto che in presenza <strong>di</strong> vincoli non lisci per risolvere le equazioni <strong>del</strong><br />
moto occorre conoscere a priori le reazioni vincolari associate a tali vincoli. Le equazioni <strong>di</strong> Lagrange<br />
<strong>di</strong> I o tipo consentono <strong>di</strong> scrivere il problema <strong>di</strong>rettamente sotto forma <strong>di</strong> sistema <strong>di</strong> equazioni in cui alle<br />
incognite cinematiche si aggiungono quelle <strong>di</strong> reazione, e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> esprimere opportunamente le forze<br />
attive che <strong>di</strong>pendono dalle reazioni vincolari associate ai vincoli non lisci. Si veda a tal proposito il<br />
Capitolo 8, in cui viene <strong>di</strong>scusso l’attrito.<br />
Esercizio 2.2 Utilizzando il formalismo <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> I o tipo si scrivano le equazioni <strong>del</strong><br />
moto <strong>di</strong> un punto materiale <strong>di</strong> massa m, nel piano verticale, descritto me<strong>di</strong>ante le componenti cartesiane<br />
<strong>del</strong>la sua posizione, x e y, vincolato a scorrere lungo un piano inclinato <strong>di</strong> un angolo α.<br />
Esercizio 2.3 Si consideri un punto materiale <strong>di</strong> massa m, posto nel piano verticale, spinto da una<br />
forza orizzontale f(t) e vincolato a scorrere lungo una guida ideale (liscia), la cui quota y <strong>di</strong>pende dalla<br />
posizione in <strong>di</strong>rezione orizzontale x secondo la funzione regolare y = y(x). Si scriva l’equazione <strong>del</strong> moto<br />
<strong>del</strong> punto materiale e si ricavi la reazione vincolare scambiata con la guida utilizzando, nell’or<strong>di</strong>ne, gli<br />
equilibri <strong>di</strong>namici, il principio dei lavori virtuali, il teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica (verificandone l’applicabilità)<br />
e le equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> II o e <strong>di</strong> I o tipo, nel caso in cui y = y0sin(2πx/L). Si valutino i<br />
vantaggi e gli svantaggi dei <strong>di</strong>versi approcci.<br />
2-8
Capitolo 3<br />
Cenni <strong>di</strong> <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> corpo rigido<br />
nello spazio<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
3.1 Introduzione<br />
In questo capitolo si richiama la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> corpo rigido nello spazio. Lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> questo argomento<br />
è alla base <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong> vario tipo e complessità. Ne viene presentata nel seguito<br />
l’applicazione alla mo<strong>del</strong>lazione dei giroscopi meccanici, come quello illustrato in figura 3.1.<br />
Figura 3.1: Il giroscopio (Applied Dynamics - F.C. Moon 1998) applicato alla misura <strong>del</strong> rateo <strong>di</strong><br />
imbardata (yaw rate) <strong>di</strong> un velivolo (immagine <strong>del</strong> velivolo da http://www.lucytravels.com).<br />
Questi strumenti consentono la misura in<strong>di</strong>retta <strong>del</strong>la velocità angolare <strong>di</strong> un corpo rigido rispetto<br />
ad un sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale. Questa misura è fondamentale per la realizzazione dei sistemi<br />
<strong>di</strong> navigazione inerziale (Inertial Measurement Unit, IMU), che sono alla base non solo dei sistemi <strong>di</strong><br />
3-1
navigazione strumentale dei velivoli e dei veicoli spaziali, ma anche <strong>di</strong> numerosi altri sistemi <strong>di</strong> ausilio alla<br />
condotta dei veicoli, quali i sistemi <strong>di</strong> controllo <strong>del</strong>la stabilità dei veicoli (Electronic Stability Control,<br />
ESC, dei quali il più famoso è quello sviluppato da Bosch e Mercedes-Benz e noto come Elektronisches<br />
Stabilitätsprogramm, ESP).<br />
I giroscopi meccanici presentano alcuni svantaggi che ne sconsigliano l’uso nei moderni sistemi <strong>di</strong><br />
navigazione inerziale, soppiantati da sistemi laser per applicazioni ad alta precisione (e costo) o da sistemi<br />
micro-elettro-meccanici (Micro-Electro Mechanical Systems, MEMS) per applicazioni a bassa precisione<br />
(e costo; la carenza <strong>di</strong> precisione viene compensata dalla fusione <strong>di</strong> misure <strong>di</strong>verse). La teoria alla base<br />
dei giroscopi meccanici presenta tuttavia un indubbio interesse <strong>di</strong>dattico, storico ma anche applicativo.<br />
3.2 Dinamica <strong>del</strong> corpo rigido nello spazio<br />
Al fine <strong>di</strong> fornire uno strumento per la valutazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> corpo rigido, che permetta <strong>di</strong><br />
passare in modo generale alla <strong>di</strong>namica nello spazio, si vogliono formulare alcune considerazioni alla base<br />
<strong>del</strong>l’analisi <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> sistemi multicorpo nello spazio.<br />
3.2.1 Richiami <strong>di</strong> calcolo vettoriale in notazione matriciale<br />
La posizione <strong>di</strong> un punto P nello spazio è identificabile me<strong>di</strong>ante un vettore. Se si utilizza un sistema <strong>di</strong><br />
riferimento cartesiano ortogonale caratterizzato dalla terna destrorsa�i, �j, � k, le componenti <strong>del</strong> vettore<br />
sono le sue coor<strong>di</strong>nate. Le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> vettore possono venire organizzate in forma matriciale. È<br />
infatti possibile passare da un vettore (P −O) nella forma:<br />
(P −O) = px �i+py �j +pz � k (3.1)<br />
alla forma matriciale alternativa:<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ px ⎬<br />
(P −O) = py<br />
⎩ ⎭<br />
Prodotto scalare<br />
pz<br />
Il prodotto scalare tra due vettori (P −O) e (Q−O), in<strong>di</strong>cato come (P −O)×(Q−O), è lo scalare<br />
(P −O)×(Q−O) = pxqx +pyqy +pzqz. (3.3)<br />
Utilizzando il formalismo matriciale si ottiene<br />
⎧ ⎫T<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ px ⎬ ⎨ qx ⎬<br />
(P −O)×(Q−O) = py qy<br />
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ = pxqx +pyqy +pzqz. (3.4)<br />
pz<br />
qz<br />
Si noti come il primo vettore, (P−O), sia stato trasposto, in modo da renderelecito il prodotto matriciale<br />
tra un vettore riga e un vettore colonna <strong>di</strong> pari lunghezza 1 .<br />
Prodotto vettore<br />
Il prodotto vettore <strong>di</strong> due vettori (P −O) e (Q−O), in<strong>di</strong>cato come (P −O)∧(Q−O), è un vettore <strong>di</strong><br />
componenti:<br />
� �<br />
� �i �j �<br />
� k �<br />
�<br />
(P −O)∧(Q−O) = �<br />
� px py pz<br />
�<br />
�<br />
� � = (pyqz −pzqy)�i+(pzqx −pxqz)�j +(pxqy −pyqx) �k. (3.5)<br />
qx qy qz<br />
1 Si ricor<strong>di</strong> che il prodotto tra matrici richiede che la matrice a sinistra abbia numero <strong>di</strong> colonne pari al numero <strong>di</strong> righe<br />
<strong>del</strong>la matrice a destra.<br />
3-2<br />
(3.2)
Al medesimo risultato si arriva definendo la matrice antisimmetrica2 [(P −O)∧],<br />
⎡<br />
0<br />
[(P −O)∧] = ⎣ pz<br />
−pz<br />
0<br />
⎤<br />
py<br />
−px ⎦, (3.6)<br />
−py px 0<br />
costruitaapartiredalprimovettorenelprodotto<strong>di</strong>Eq.(3.5), ecalcolandopoiilprodottomatrice-vettore<br />
(P −O)∧(Q−O) = [(P −O)∧](Q−O)<br />
⎡ ⎤⎧<br />
0 −pz py ⎨<br />
= ⎣ pz 0 −px ⎦<br />
⎩<br />
−py px 0<br />
Proprietà <strong>del</strong>l’algebra vettoriale<br />
qx<br />
qy<br />
qz<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
pyqz −pzqy<br />
pzqx −pxqz<br />
pxqy −pyqx<br />
⎫<br />
⎬<br />
. (3.7)<br />
⎭<br />
L’algebra vettoriale presenta utili proprietà, che nel formalismo matriciale possono assumere una forma<br />
notevole. Le più importanti e utili, facilmente verificabili 3 , sono:<br />
�p�q = �q �p {p} T {q} = {q} T {p} (3.8a)<br />
�p∧�q = −�q ∧�p [p∧]{q} = −[q ∧]{p} (3.8b)<br />
�r ×(�p∧�q) = −�q ×(�p∧�r) [p∧] T = −[p∧] (3.8c)<br />
�p∧�q ∧�r = �q(�p×�r)−(�q ×�p)�r [p∧][q ∧] = {q}{p} T −{q} T {p}[I] (3.8d)<br />
�0 = �p∧�q ∧�r +�q ∧�r ∧�p {0} = [p∧][q ∧]{r}+[q ∧][r ∧]{p}<br />
+�r ∧�p∧�q +[r ∧][p∧]{q} (3.8e)<br />
(�p∧�q)∧�r = �p∧�q ∧�r −�q ∧�p∧�r [([p∧]{q})∧] = [p∧][q ∧]−[q ∧][p∧]<br />
= �q(�p×�r)−�p(�q ×�r) = {q}{p} T −{p}{q} T<br />
Si ricor<strong>di</strong> che l’associatività <strong>del</strong> prodotto vettore è da destra, ovvero<br />
(3.8f)<br />
�p∧�q ∧�r = �p∧(�q ∧�r). (3.9)<br />
Nei casi dubbi, si consiglia l’uso <strong>del</strong>le parentesi come nella (3.9).<br />
Esercizio 3.1 Verificare le proprietà descritte nelle (3.8), utilizzando sia la notazione vettoriale che<br />
quella matriciale.<br />
3.2.2 Cinematica <strong>del</strong> punto materiale nello spazio<br />
Per definire la cinematica <strong>di</strong> un corpo rigido, si può fare riferimento ai moti relativi. In particolare è<br />
utile definire il moto <strong>di</strong> un generico punto P in funzione <strong>del</strong>la sua posizione all’interno <strong>del</strong> corpo, e <strong>del</strong><br />
moto rigido <strong>del</strong> corpo stesso.<br />
Posizione <strong>di</strong> un punto solidale ad un corpo rigido<br />
Si definisca la posizione <strong>del</strong> punto P rispetto all’origine O, data dal vettore (P −O). Tale posizione può<br />
essere descritta come la somma <strong>del</strong>la posizione <strong>di</strong> P rispetto ad un polo Q arbitrario ma solidale con il<br />
corpo rigido, (P −Q), e <strong>del</strong>la posizione <strong>del</strong> polo Q rispetto all’origine, (Q−O), ovvero<br />
(P −O) = (P −Q)+(Q−O). (3.10)<br />
Se il corpo a cui appartengono i punti P e Q è rigido, la loro <strong>di</strong>stanza �P −Q� non cambia. Tuttavia,<br />
per effetto <strong>del</strong>la rotazione rigida <strong>del</strong> corpo, può cambiare l’orientazione <strong>del</strong> vettore (P −Q) rispetto al<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale.<br />
2 Una matrice [A] è antisimmetrica quando la sua trasposta è uguale al suo opposto, [A] T = −[A].<br />
3 Alcune <strong>del</strong>le proprietà illustrate nelle (3.8) sono ovvie, altre richiedono manipolazioni non banali. Non ne viene data<br />
<strong>di</strong>mostrazione perché esula dagli scopi <strong>del</strong> <strong>corso</strong>.<br />
3-3
Velocità <strong>di</strong> un punto solidale ad un corpo rigido<br />
La velocità <strong>del</strong> punto P si ottiene dalla derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>la (3.10),<br />
�vP = d d d<br />
(P −O) = (P −Q)+ (Q−O). (3.11)<br />
dt dt dt<br />
Ilprimotermineasecondomembro<strong>del</strong>la(3.11),d(P−Q)/dt, rappresentauncambiamento<strong>di</strong>orientazione<br />
<strong>del</strong> vettore (P −Q), il cui modulo è costante per l’ipotesi <strong>di</strong> corpo rigido. Il secondo termine a secondo<br />
membro <strong>del</strong>la (3.11), d(Q − O)/dt, rappresenta la velocità assoluta <strong>del</strong> punto Q, �vQ. Di conseguenza,<br />
la (3.11) può essere riscritta come<br />
�vP =�vQ + ˙ �r (3.12)<br />
dove �r = (P −Q).<br />
Siccome per la definizione <strong>di</strong> corpo rigido il vettore posizione �r non varia in modulo, la sua derivata<br />
rispetto al tempo è legata alla sola variazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione, che secondo le relazioni <strong>di</strong> Poisson (si veda la<br />
nota 3 <strong>di</strong> pagina 1-6) risulta essere pari a:<br />
d<br />
dt (P −Q) = ˙ �r = �ω ∧�r. (3.13)<br />
La (3.12) può essere infine scritta come<br />
�vP =�vQ +�ω ∧�r, (3.14)<br />
che rappresenta la velocità <strong>del</strong> punto P in funzione <strong>del</strong> moto rigido <strong>del</strong> corpo al quale P è solidale,<br />
espresso da �vQ e �ω. È comodo esprimere la (3.14) nella forma <strong>del</strong> tutto analoga<br />
�vP =�vQ −�r ∧�ω, (3.15)<br />
sfruttando la proprietà <strong>del</strong> prodotto vettore �ω ∧�r = −�r ∧ �ω, illustrata nella (3.8b), grazie alla quale è<br />
possibile esprimere con notazione matriciale la velocità <strong>del</strong> punto P,<br />
{vP} = {vQ}−[r ∧]{ω} = � [I] −[r ∧] �� �<br />
{vQ}<br />
, (3.16)<br />
{ω}<br />
in forma lineare rispetto alla velocità {vQ} e alla velocità angolare {ω} <strong>del</strong> corpo rigido.<br />
Accelerazione <strong>di</strong> un punto solidale ad un corpo rigido<br />
L’accelerazione <strong>del</strong> punto P, ottenuta per derivazione dal vettore velocità, sarà allora data da:<br />
�aP =�aQ +�˙ω ∧�r +�ω ∧(�ω ∧�r). (3.17)<br />
L’analoga espressione con notazione matriciale è<br />
{aP} = {aQ}−[r ∧]{˙ω}+[ω ∧][ω ∧]{r}<br />
= � [I] −[r ∧] �� {aQ}<br />
{˙ω}<br />
�<br />
+[ω ∧][ω ∧]{r}. (3.18)<br />
Si noti che la matrice che moltiplica da sinistra l’accelerazione {aQ} e l’accelerazione angolare {˙ω} è la<br />
medesima <strong>del</strong>la (3.16).<br />
Esercizio 3.2 Utilizzando le proprietà (3.8), mettere in luce come il termine centrifugo <strong>del</strong>le (3.17,<br />
3.18), contenente la velocità angolare �ω (o {ω}), sia <strong>di</strong>retto rispetto al vettore �r (o {r}).<br />
L’algebra vettoriale è uno strumento molto potente e sintetico per descrivere la cinematica (e la<br />
<strong>di</strong>namica) nello spazio, ma a volte male si presta alla scrittura <strong>di</strong> espressioni <strong>di</strong> facile implementazione<br />
in co<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> calcolo, specialmente nel caso <strong>di</strong> generalizzazione a sistemi con più corpi rigi<strong>di</strong>. Al contrario<br />
l’algebra matriciale, anche se può sembrare meno intuitiva e meno adatta alla soluzione manuale <strong>di</strong><br />
semplici problemi, meglio si presta alla scrittura <strong>di</strong> co<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> calcolo numerico, grazie alla sua più agevole<br />
sistematizzazione: la costruzione <strong>del</strong>le equazioni risolventi si riduce a sequenze <strong>di</strong> prodotti tra matrici e<br />
tra matrici e vettori opportunamente costruiti. In ogni caso le due notazioni sono, inevitabilmente, <strong>del</strong><br />
tutto equivalenti, e verranno utilizzate in<strong>di</strong>fferentemente nel seguito.<br />
3-4
3.2.3 Descrizione <strong>del</strong>le rotazioni<br />
In generale, un vettore {p} può essere proiettato da un sistema <strong>di</strong> riferimento ad un altro me<strong>di</strong>ante una<br />
trasformazione lineare, che consiste nella moltiplicazione per una matrice <strong>di</strong> rotazione, [R]:<br />
{p} ′′ = [R]{p} ′ . (3.19)<br />
Ortonormalità<br />
Lematrici<strong>di</strong>rotazionegodono<strong>di</strong>alcuneproprietànotevoli. Lapiùimportanteèlaortonormalità: l’inversa<br />
<strong>del</strong>la matrice è uguale alla sua trasposta. Questa proprietà si desume da una semplice constatazione:<br />
il prodotto scalare tra due vettori non <strong>di</strong>pende dal sistema <strong>di</strong> riferimento in cui sono espressi.<br />
Si considerino due vettori, {p} e {q}, espressi in un dato sistema <strong>di</strong> riferimento, in<strong>di</strong>cato con un<br />
singolo apice. Se entrambi i vettori sono proiettati in un altro sistema <strong>di</strong> riferimento, in<strong>di</strong>cato con due<br />
apici, tramite la matrice <strong>di</strong> rotazione [R],<br />
{p} ′′ = [R]{p} ′<br />
(3.20a)<br />
{q} ′′ = [R]{q} ′ , (3.20b)<br />
il loro prodotto scalare deve rimanere invariato. Ne risulta<br />
{p} ′T {q} ′ = {p} ′′T {q} ′′ = {p} ′T [R] T [R]{q} ′ . (3.21)<br />
Se ne deduce che [R] T [R] = [I] e quin<strong>di</strong><br />
[R] −1 = [R] T . (3.22)<br />
Rotazioni attorno agli assi coor<strong>di</strong>nati<br />
La descrizione <strong>del</strong>le numerose proprietà <strong>del</strong>le matrici <strong>di</strong> rotazione, e <strong>di</strong> come queste possano essere più<br />
o meno efficientemente parametrizzate in funzione dei numerosi tipi <strong>di</strong> parametri esula dallo scopo <strong>di</strong><br />
questo <strong>corso</strong>. Viene solamente proposta la costruzione <strong>del</strong>le matrici <strong>di</strong> rotazione associate a rotazioni<br />
attorno ad uno degli assi coor<strong>di</strong>nati <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento iniziale.<br />
⎡<br />
[R] x = ⎣<br />
1 0 0<br />
0 cosα −sinα<br />
0 sinα cosα<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ [R] y = ⎣<br />
cosβ 0 sinβ<br />
0 1 0<br />
−sinβ 0 cosβ<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ [R] z = ⎣<br />
⎤<br />
cosγ −sinγ 0<br />
sinγ cosγ 0 ⎦.<br />
0 0 1<br />
(3.23)<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista <strong>del</strong> calcolo numerico queste trasformazioni corrispondono a rotazioni <strong>di</strong> Givens in uno<br />
spazio a tre <strong>di</strong>mensioni. Esse sono alla base <strong>di</strong> numerosi algoritmi per la trasformazione <strong>di</strong> matrici, ad<br />
esempio la decomposizione QR.<br />
Sequenze <strong>di</strong> rotazioni<br />
È bene ricordare che le rotazioni non si sommano; viceversa, la rotazione corrispondente ad una sequenza<br />
<strong>di</strong> rotazioni si ricava moltiplicando le relative matrici <strong>di</strong> rotazione.<br />
Occorre prestare attenzione al fatto che ogni rotazione viene riferita all’orientazione risultante dalla<br />
combinazione <strong>del</strong>le rotazioni precedenti. La figura 3.2 mostra la <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>l’orientazione finale dalla<br />
sequenza con cui sono effettuate le rotazioni interme<strong>di</strong>e. Ad esempio, una rotazione <strong>di</strong> 90 gra<strong>di</strong> attorno<br />
all’asse z come quella descritta da [R] z porta l’asse x finale ad allinearsi all’asse y iniziale (da A a B). Di<br />
conseguenza, una successiva rotazione attorno all’asse x finale (da B a C) avverrebbe attorno a quello<br />
che inizialmente era l’asse y. Se la sequenza <strong>del</strong>le rotazioni venisse invertita, e quin<strong>di</strong> si eseguisse prima<br />
una rotazione attorno all’asse x (da A a D), seguita da una rotazione attorno all’asse z (da D a E),<br />
l’orientazione finale <strong>del</strong> corpo sarebbe <strong>di</strong>versa da quella ottenuta nel primo caso.<br />
3-5
Rotazione e velocità angolare<br />
z<br />
A<br />
y<br />
x<br />
y<br />
z<br />
y<br />
D<br />
B<br />
z x z<br />
y<br />
x x<br />
Figura 3.2: Sequenza <strong>di</strong> rotazioni.<br />
È utile considerare come la velocità angolare {ω} si ricavi dalla derivazione <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> rotazione.<br />
Siccome una rotazione non mo<strong>di</strong>fica la lunghezza <strong>di</strong> un vettore, ma al più ne cambia l’orientazione, questo<br />
vale anche per i versori <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> riferimento. Per questo motivo, in base alle relazioni <strong>di</strong> Poisson<br />
illustrate nella nota 3 <strong>di</strong> pagina 1-6, la derivata rispetto al tempo <strong>di</strong> una matrice <strong>di</strong> rotazione dà<br />
� �<br />
˙R = [ω ∧][R]. (3.24)<br />
Dalla (3.24) è imme<strong>di</strong>ato notare come<br />
� �<br />
˙R [R] T = [ω ∧]. (3.25)<br />
Si premoltiplichi ora la (3.24) per [R] T :<br />
[R] T � �<br />
R˙<br />
= [R] T [ω ∧][R]. (3.26)<br />
È relativamente semplice verificare che<br />
[R] T ��<br />
[ω ∧][R] = [R] T � �<br />
{ω} ∧ = [ω ∧], (3.27)<br />
dove {ω} = [R] T {ω} è la velocità angolare {ω}, definita nel sistema assoluto, proiettata quin<strong>di</strong> nel<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento definito dalla matrice [R] me<strong>di</strong>ante premoltiplicazione per [R] T .<br />
Le matrici <strong>di</strong> rotazione verranno usate nel seguito per formulare nel modo più conveniente i problemi<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>namica dei corpi rigi<strong>di</strong> nello spazio.<br />
Esercizio 3.3 Si verifichi la (3.24). (Suggerimento: si derivi la relazione [R][R] T = [I] rispetto al<br />
tempo).<br />
Esercizio 3.4 Si verifichi la (3.27). (Suggerimento: si derivi la relazione [R] T [R] = [I] rispetto al<br />
tempo, e la si confronti con la precedente).<br />
Esercizio 3.5 A partire dalla (3.24), si ricavi la velocità angolare dalle matrici <strong>di</strong> rotazione descritte<br />
nella (3.23) e dalle loro derivate temporali.<br />
Esercizio 3.6 Come si potrebbe definire la variazione virtuale <strong>di</strong> orientazione, da utilizzare per scrivere<br />
il lavoro virtuale <strong>di</strong> una coppia?<br />
3.2.4 Forze e coppie d’inerzia<br />
L’accelerazione <strong>del</strong> generico punto P, data dalla (3.18), e pesata dalla densità che il materiale <strong>di</strong> cui è<br />
costituito il corpo ha nel punto P, dà la forza d’inerzia elementare che agisce sul corpo nel punto P,<br />
d � Fi = −ρ�aPdV. (3.28)<br />
3-6<br />
y<br />
C<br />
x<br />
E<br />
z
Forza d’inerzia<br />
L’integrale <strong>del</strong>la (3.28) sul volume V dà la forza d’inerzia complessiva che agisce sul corpo, ricordando<br />
che �aQ, �ω e ˙ �ω non <strong>di</strong>pendono dalla posizione <strong>del</strong> punto P,<br />
� � �<br />
�Fi = − ρ�aPdV = − ρ �aQ −�r ∧<br />
V V<br />
˙ �<br />
�ω +�ω ∧�ω ∧�r dV<br />
�� � �� �<br />
= − ρdV �aQ + ρ�rdV ∧<br />
V<br />
� �� �<br />
V<br />
� �� �<br />
˙ �� �<br />
�ω −�ω ∧�ω ∧ ρ�rdV<br />
V<br />
� �� �<br />
m<br />
�sQ<br />
�<br />
�<br />
= − m�aQ −�sQ ∧�˙ω +�ω ∧�ω ∧�sQ , (3.29)<br />
ove è stato messo in evidenza il momento statico rispetto al polo Q, �sQ. In notazione matriciale, il<br />
momento statico è<br />
� �<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ x ⎬<br />
{sQ} = ρ{r}dV = ρ y dV.<br />
V V ⎩ ⎭<br />
z<br />
(3.30)<br />
Si ricor<strong>di</strong> che il vettore �r (o {r}) è costante in modulo, ma cambia <strong>di</strong>rezione al variare <strong>del</strong>l’orientazione<br />
<strong>del</strong> corpo. Sempre in notazione matriciale, la (3.29) <strong>di</strong>venta<br />
{Fi} = −(m{aQ}−[sQ ∧]{˙ω}+[ω ∧][ω ∧]{sQ}). (3.31)<br />
Il polo Q può essere opportunamente scelto in modo da annullare il momento statico �sQ (o {sQ}). Il<br />
punto che sod<strong>di</strong>sfa questo requisito è il baricentro <strong>del</strong> corpo rigido, G. In tale caso, se si pone Q = G,<br />
la (3.31) <strong>di</strong>venta semplicemente<br />
{Fi} = −m{aG}, (3.32)<br />
dove {aG} è l’accelerazione <strong>del</strong> baricentro G. La (3.32) mostra come, per quanto riguarda la forza<br />
d’inerzia, il caso tri<strong>di</strong>mensionale non si <strong>di</strong>scosti da quanto anticipato nel caso piano: essa è <strong>di</strong>rettamente<br />
proporzionale all’accelerazione attraverso la massa.<br />
Coppia d’inerzia<br />
Il momento <strong>del</strong>l’azione d’inerzia (3.28) rispetto al polo generico Q è<br />
� � �<br />
�CiQ = − ρ�r ∧�aPdV = − ρ�r ∧ �aQ −�r ∧ ˙ �<br />
�ω +�ω ∧�ω ∧�r dV (3.33)<br />
Dal momento che, per le (3.8),<br />
V<br />
V<br />
�r ∧�ω ∧�ω ∧�r = −�ω ∧�r ∧�r ∧�ω, (3.34)<br />
la (3.33) <strong>di</strong>venta<br />
�� � � �<br />
�CiQ = − ρ�rdV ∧�aQ + ρ �r ∧�r ∧<br />
V<br />
� �� �<br />
V<br />
˙ �<br />
�ω +�ω ∧�r ∧�r ∧�ω dV (3.35)<br />
�sQ<br />
Usando la notazione vettoriale è relativamente più complicato 4 esprimere il contributo alla coppia d’inerzia<br />
dato dal secondo integrale a secondo membro isolando la velocità e l’accelerazione angolare, che<br />
4 Occorre infatti definire un operatore ⊗ tale per cui �r ⊗�r <strong>di</strong>venta un tensore doppio, il cui contributo all’espressione<br />
<strong>del</strong>la coppia è analogo a quello dato dal termine {r}{r} T usato nella notazione matriciale.<br />
3-7<br />
�sQ
non <strong>di</strong>pendono dalla posizione <strong>del</strong> punto P. Usando invece la notazione matriciale, la (3.35) <strong>di</strong>venta<br />
��� � � �� � �� �<br />
{CiQ} = − ρ{r}dV ∧ {aQ}+ ρ[r ∧][r ∧]dV {˙ω}+[ω ∧] ρ[r ∧][r ∧]dV {ω},<br />
�<br />
V<br />
�� �<br />
V<br />
� �� �<br />
V<br />
� �� �<br />
[sQ∧]<br />
−[JQ]<br />
−[JQ]<br />
(3.36)<br />
ove nell’ultimo termine a destra si è fatto uso <strong>del</strong>la rappresentazione matriciale <strong>del</strong>la (3.34) e si è messa<br />
in evidenza la matrice dei momenti d’inerzia [JQ], valutata rispetto al polo Q. Il momento d’inerzia è 5<br />
� �<br />
[JQ] = − ρ[r ∧][r ∧]dV = −<br />
V<br />
V<br />
�<br />
=<br />
V<br />
⎡<br />
ρ⎣<br />
⎡<br />
ρ⎣<br />
y 2 +z 2 −xy −xz<br />
−yx z 2 +x 2 −yz<br />
−zx −zy x 2 +y 2<br />
0 −z y<br />
z 0 −x<br />
−y x 0<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦dV = ⎣<br />
⎤⎡<br />
⎦⎣<br />
⎤<br />
0 −z y<br />
z 0 −x ⎦dV<br />
−y x 0<br />
⎤<br />
Ixx −Ixy −Ixz<br />
−Iyx Iyy −Iyz<br />
−Izx −Izy Izz<br />
⎦. (3.37)<br />
Si ricor<strong>di</strong> che la matrice dei momenti d’inerzia [JQ] e il momento statico {sQ}, essendo costruiti me<strong>di</strong>ante<br />
integrazione sul volume <strong>di</strong> una relazione che contiene il vettore {r}, in generale variano al variare<br />
<strong>del</strong>l’orientazione <strong>del</strong> corpo.<br />
Esercizio 3.7 Si esprimano il momento statico {sQ} e la matrice d’inerzia [JQ] in un sistema <strong>di</strong><br />
riferimento solidale con il corpo, descritto dalla matrice <strong>di</strong> rotazione [R].<br />
Esercizio 3.8 Si calcoli la derivata rispetto al tempo <strong>di</strong> momento statico e matrice d’inerzia.<br />
Esercizio 3.9 Si calcoli la derivata rispetto al tempo <strong>di</strong> momento statico e matrice d’inerzia considerando<br />
la loro espressione in un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo, come da esercizio 3.7.<br />
Se la coppia d’inerzia è riferita al baricentro G, la (3.36) <strong>di</strong>venta<br />
{CiG} = −[JG]{˙ω}−[ω ∧][JG]{ω}. (3.38)<br />
Usando la notazione matriciale, le forze e le coppie d’inerzia possono venire espresse quin<strong>di</strong> come<br />
� � ��<br />
{F}i m[I] [sQ ∧]<br />
= −<br />
{CiQ}<br />
T �� � �<br />
{aQ} [ω ∧][sQ ∧]<br />
+<br />
[sQ ∧] [JQ] {˙ω}<br />
T � �<br />
{ω}<br />
[ω ∧][JQ]<br />
�� m[I] [sQ ∧]<br />
= −<br />
T �� � � ��<br />
{aQ} [sQ ∧]<br />
−<br />
[sQ ∧] [JQ] {˙ω}<br />
T � � � �<br />
{ω} ∧<br />
{ω} (3.39a)<br />
[([JQ]{ω})∧]<br />
che se riferite al baricentro <strong>di</strong>vengono<br />
{Fi} = −m{aG} (3.40a)<br />
{CiG} = −[JG]{˙ω}−[ω ∧][JG]{ω} = −[JG]{˙ω}+[([JG]{ω})∧]{ω}. (3.40b)<br />
La coppia d’inerzia nel caso tri<strong>di</strong>mensionale si <strong>di</strong>fferenzia dal caso piano in quanto in generale può<br />
<strong>di</strong>pendere non solo dall’accelerazione angolare, ma anche dalla velocità angolare �ω. Questo traduce, ad<br />
esempio, il fenomeno per cui un moto rotatorio a velocità angolare anche costante può dare luogo a<br />
coppie d’inerzia attorno ad assi <strong>di</strong>versi da quello <strong>di</strong> rotazione. Quello che succede è che l’accelerazione<br />
centripeta dovuta alla velocità angolare può dare luogo a forze d’inerzia che hanno braccio non nullo<br />
rispetto all’asse o al polo <strong>di</strong> rotazione, e quin<strong>di</strong> a coppie d’inerzia anche in assenza <strong>di</strong> accelerazione.<br />
Esercizio 3.10 Verificare la (3.34).<br />
5 Si noti che la matrice dei momenti <strong>di</strong> inerzia è simmetrica e definita positiva. A volte, in letteratura, i termini<br />
extra-<strong>di</strong>agonali sono definiti con segno opposto rispetto a quello in<strong>di</strong>cato nella (3.37).<br />
3-8
Esercizio 3.11 La matrice dei momenti d’inerzia [JQ] per definizione è simmetrica definita positiva.<br />
Tuttavia queste proprietà non sono <strong>di</strong>rettamente desumibili dalla definizione data nella (3.36). Si verifichi<br />
la simmetria e la positiva definizione <strong>del</strong>la matrice [JQ].<br />
Esercizio 3.12 Si valuti la potenza associata alle coppie d’inerzia (si consideri ad esempio la (3.40b)).<br />
Esercizio 3.13 Si valutino le forze e le coppie d’inerzia dovute ad un moto puramente rotatorio attorno<br />
all’asse z (�ω = ωz � k, ˙ �ω = ˙ωz � k) passante per il baricentro <strong>di</strong> un corpo rigido.<br />
3.2.5 Geometria <strong>del</strong>le masse<br />
Come già notato in precedenza, le equazioni <strong>del</strong> moto possono essere ricavate attraverso <strong>di</strong>versi proce<strong>di</strong>menti,<br />
fra loro equivalenti. La scelta <strong>di</strong> un particolare proce<strong>di</strong>mento può essere vantaggiosa nel<br />
momento in cui comporta una semplificazione o un minore sforzo nel giungere a risultati che devono<br />
necessariamente essere analoghi.<br />
Matrice <strong>di</strong> inerzia nell’espressione <strong>del</strong>l’energia cinetica<br />
Nel caso <strong>del</strong> formalismo <strong>di</strong> Lagrange, il contributo alle equazioni <strong>del</strong> moto dato dalle forze <strong>di</strong> inerzia si<br />
ricava a partire dall’energia cinetica. L’energia cinetica associata al movimento <strong>di</strong> un corpo rigido nello<br />
spazio è<br />
T = 1<br />
2<br />
�<br />
V<br />
ρ�vP ×�vPdV = 1<br />
�<br />
ρ(�vQ −�r ∧�ω)×(�vQ −�r ∧�ω)dV. (3.41)<br />
2 V<br />
Ancheinquestocaso, lanotazionevettorialerisultamenointuitivanelmomentoincuioccorreconsiderare<br />
il termine associato al momento d’inerzia.<br />
Usando la notazione matriciale,<br />
�<br />
T = 1<br />
2<br />
= 1<br />
�<br />
2<br />
− 1<br />
�<br />
2<br />
V<br />
V<br />
V<br />
ρ{vP} T {vP}dV = 1<br />
�<br />
ρ({vQ}−[r ∧]{ω})<br />
2 V<br />
T ({vQ}−[r ∧]{ω})dV<br />
ρ{vQ} T {vQ}dV − 1<br />
�<br />
ρ{ω}<br />
2 V<br />
T [r ∧] T {vQ}dV<br />
ρ{vQ} T [r ∧]{ω}dV + 1<br />
�<br />
ρ{ω}<br />
2<br />
T [r ∧] T [r ∧]{ω}dV (3.42)<br />
V<br />
Siccome la velocità <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> riferimento, o polo, Q, ovvero {vQ} e la velocità angolare <strong>del</strong> corpo<br />
rigido {ω} non <strong>di</strong>pendono dalla posizione all’interno <strong>del</strong> corpo, {r}, possono essere portati fuori dagli<br />
integrali. La (3.42) <strong>di</strong>venta<br />
T = 1<br />
�� �<br />
T<br />
{vQ} ρdV<br />
2<br />
− 1<br />
��<br />
T<br />
{vQ}<br />
2<br />
V<br />
� �� �<br />
m<br />
{vQ}− 1<br />
2 {ω}T<br />
��<br />
V<br />
ρ[r ∧] T �<br />
dV {vQ}<br />
� �� �<br />
[sQ∧] T<br />
�<br />
ρ[r ∧]dV {ω}+<br />
V<br />
� �� �<br />
[sQ∧]<br />
1<br />
2 {ω}T<br />
��<br />
ρ[r ∧]<br />
V<br />
T �<br />
[r ∧]dV {ω}.<br />
� �� �<br />
(3.43)<br />
[JQ]<br />
Èagevoleverificarecomelamassam, ilmomentostatico[sQ ∧]eilmomentod’inerzia[JQ]corrispondano<br />
a quelli ottenuti nel paragrafo precedente. L’energia cinetica può essere scritta come<br />
T = 1<br />
� �T �<br />
{vQ} m[I] [sQ ∧]<br />
2 {ω}<br />
T �� �<br />
{vQ}<br />
. (3.44)<br />
[sQ ∧] [JQ] {ω}<br />
Nel caso particolare in cui il punto Q coincida con il baricentro G <strong>del</strong> corpo, l’espressione (3.44)<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica <strong>di</strong>venta<br />
T = 1<br />
2 m{vG} T {vG}+ 1<br />
2 {ω}T [JG]{ω}, (3.45)<br />
3-9
ovvero il noto teorema <strong>di</strong> König, ove la matrice dei momenti <strong>di</strong> inerzia [JG] è ora riferita al baricentro 6 .<br />
Energia cinetica nel formalismo <strong>di</strong> Lagrange<br />
L’utilizzo <strong>del</strong>l’espressione (3.45) <strong>del</strong>l’energia cinetica nel formalismo <strong>di</strong> Lagrange richiede una certa<br />
cautela, perché il momento d’inerzia [JG] <strong>di</strong>pende dall’orientazione <strong>del</strong> corpo, e il legame tra questa<br />
e la velocità angolare {ω} non è riducibile in modo semplice alla relazione tra le coor<strong>di</strong>nate Lagrangiane<br />
{q} e le loro derivate {˙q}.<br />
È tuttavia possibile <strong>di</strong>mostrare che, espressa la velocità angolare <strong>del</strong> corpo nella forma<br />
{ω} =<br />
� �<br />
∂{ω}<br />
{˙q} (3.47)<br />
∂{˙q}<br />
in funzione <strong>del</strong>la derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate Lagrangiane {q}, il contributo <strong>del</strong>l’energia<br />
cinetica associata alla rotazione <strong>del</strong> corpo alle equazioni <strong>del</strong> moto generalizzate rispetto alle coor<strong>di</strong>nate<br />
{q} si ottiene nella forma<br />
� �T ∂{ω}<br />
([ω ∧][JG]{ω}+[JG]{˙ω}) = {Q} {q} , (3.48)<br />
∂{˙q}<br />
ove {Q} {q} sono le forze generalizzate che compiono lavoro per una variazione virtuale <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate<br />
libere {q}, posto tale lavoro pari a δL = δ{q} T {Q} {q} . Si noti bene che le {Q} {q} non sono necessariamente<br />
momenti in senso stretto, in quanto sono coniugate alle variazioni virtuali dei parametri <strong>di</strong><br />
rotazione δ{q}, e non a rotazioni virtuali.<br />
Matrice d’inerzia nella scrittura <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto e momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto<br />
È inoltre possibile definire la quantità <strong>di</strong> moto e il momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto come<br />
� {Q}<br />
{ΓQ}<br />
� �<br />
m[I] [sQ ∧]<br />
=<br />
T<br />
[sQ ∧] [JQ]<br />
�� {vP}<br />
{ω}<br />
che, se riferiti al baricentro G <strong>del</strong> corpo, <strong>di</strong>ventano<br />
�<br />
(3.49)<br />
{Q} = m{vG} (3.50a)<br />
{ΓG} = [JG]{ω}. (3.50b)<br />
La derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>le (3.50) fornisce <strong>di</strong> nuovo le (3.40), ovvero le forze e le coppie <strong>di</strong> inerzia<br />
relative al corpo rigido per un movimento riferito al baricentro. Quest’ultimo è anche il polo a cui è<br />
riferito il momento.<br />
Esercizio 3.14 Si verifichi che la derivata <strong>del</strong>le (3.50) fornisce le (3.40).<br />
6La matrice <strong>di</strong> inerzia riferita al baricentro consente una ulteriore semplificazione. Si osservi come, in generale, data<br />
una arbitraria velocità angolare {ω}, il corrispondente momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto {ΓG} = [JG]{ω} sia un vettore<br />
non parallelo a {ω}, ovvero non è garantito che esista uno scalare γ tale per cui {ΓG} = γ{ω}. Se si ipotizza che esistano<br />
particolari valori <strong>di</strong> {ω}, detti {ω}, tali per cui il corrispondente � �<br />
ΓG risulta parallelo a {ω} attraverso un coefficiente <strong>di</strong><br />
proporzionalità γ, si ottiene<br />
γ{ω} = [JG]{ω} (3.46)<br />
La (3.46) è un problema agli autovalori in forma canonica, tipo [A]{x} = λ{x}, la cui soluzione sono i tre valori <strong>di</strong> γ,<br />
detti momenti principali d’inerzia, per cui esistono altrettante <strong>di</strong>rezioni {u} = {ω}/�{ω}�, mutuamente ortogonali, che<br />
definiscono l’orientazione <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento principale d’inerzia (gli assi principali d’inerzia) rispetto al sistema<br />
<strong>di</strong> riferimento in cui è espressa la matrice [JG]. Dal momento che la matrice [JG] è simmetrica definita positiva, i suoi<br />
autovalori, ovvero i momenti principali d’inerzia, sono reali e positivi.<br />
3-10
3.2.6 Applicazione al caso piano<br />
Applicando al caso piano quanto appena illustratonel caso generale, occorre consideraresolo le prime due<br />
equazioni (equilibrio alla traslazione nelle <strong>di</strong>rezioni x e y <strong>del</strong> piano) e l’ultima (equilibrio alla rotazione<br />
attorno all’asse z), in funzione <strong>del</strong>le rispettive componenti <strong>del</strong> moto. Si definisca la matrice <strong>di</strong> massa<br />
con<br />
⎡<br />
[M] = ⎣<br />
�<br />
m =<br />
�<br />
JQ =<br />
V<br />
V<br />
m 0 −m(yG −yQ)<br />
0 m m(xG −xQ)<br />
−m(yG −yQ) m(xG −xQ) JQ<br />
⎤<br />
⎦ (3.51)<br />
ρdV (3.52a)<br />
� x 2 +y 2 � dV (3.52b)<br />
per cui l’energia cinetica assume la forma<br />
T = 1<br />
⎧<br />
⎨<br />
2 ⎩<br />
˙xQ<br />
˙yQ<br />
ωz<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
T<br />
⎧<br />
⎨<br />
[M]<br />
⎩<br />
˙xQ<br />
˙yQ<br />
ωz<br />
⎫<br />
⎬<br />
, (3.53)<br />
⎭<br />
con ˙xQ e ˙yQ a in<strong>di</strong>care le componenti <strong>del</strong>la velocità <strong>del</strong> punto Q nelle <strong>di</strong>rezioni x e y <strong>del</strong> piano e ωz a<br />
in<strong>di</strong>care la velocità <strong>di</strong> rotazione attorno all’asse z. L’energia cinetica riferita al baricentro è<br />
T = 1<br />
2 m� ˙x 2 G + ˙y 2� 1<br />
G +<br />
2 JGω 2 z, (3.54)<br />
avendo in<strong>di</strong>cato con ˙xG e ˙yG le componenti <strong>del</strong> vettore velocità <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong> corpo rigido. Infine,<br />
la forza e la coppia d’inerzia risultano:<br />
⎧ ⎫ ⎧ ⎫<br />
⎨ Fix ⎬ ⎨ ¨xQ ⎬<br />
Fiy = −[M] ¨yQ<br />
⎩ ⎭ ⎩ ⎭<br />
˙ωz<br />
−<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ m(xG −xQ) ⎬<br />
m(yG −yQ)<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
ω2 z<br />
(3.55)<br />
CizQ<br />
che, se riferite al baricentro, si riducono a<br />
⎧ ⎫ ⎧ ⎫<br />
⎨ Fix ⎬ ⎨ m¨xG ⎬<br />
Fiy = − m¨yG<br />
⎩ ⎭ ⎩ ⎭<br />
JG˙ωz<br />
CizQ<br />
3.3 Fenomeni giroscopici<br />
(3.56)<br />
In assenza <strong>di</strong> forzanti e <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazioni, un corpo in rotazione idealmente tende a mantenere invariato il<br />
suo momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto. Si possono intuitivamente <strong>di</strong>stinguere due tipi <strong>di</strong> variazione <strong>del</strong><br />
momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto. Un tipo è costituito da una variazione <strong>del</strong>la sua entità. A questo tipo <strong>di</strong><br />
variazione si oppone l’inerzia, ad esempio, <strong>del</strong> volano <strong>di</strong> un motore quando viene accelerato. Questo tipo<br />
<strong>di</strong> variazione richiede che sia compiuto un lavoro, perché ad una variazione <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità<br />
<strong>di</strong> moto corrisponde una variazione <strong>del</strong>l’energia cinetica <strong>del</strong> corpo.<br />
Un altro tipo è costituito da una variazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto, che<br />
infatti è un vettore. Quando si cerca <strong>di</strong> cambiare l’orientazione <strong>di</strong> un corpo in rotazione, questo genera<br />
<strong>del</strong>le coppie, legate all’inerzia, ovvero alla tendenza a contrastare il cambiamento <strong>del</strong> suo stato <strong>di</strong> moto.<br />
Una variazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto che non ne comporti una variazione <strong>di</strong><br />
entità può non richiedere che sia compiuto un lavoro, perché è possibile che avvenga senza variazione <strong>di</strong><br />
energia cinetica.<br />
Per stu<strong>di</strong>are questo fenomeno, conviene scrivere le coppie d’inerzia che nascono quando l’orientazione<br />
<strong>del</strong> corpo cambia con una velocità angolare imposta.<br />
3-11
3.3.1 Coppia d’inerzia in un sistema <strong>di</strong> riferimento relativo<br />
Si consideri innanzitutto la (3.40b), ricordando che la matrice dei momenti d’inerzia [JG] <strong>di</strong>pende dall’orientazione<br />
<strong>del</strong> corpo. Si supponga il corpo vincolato in modo che il proprio baricentro non si possa<br />
spostare. Il moto rigido consentito dai vincoli è costituito da una variazione arbitraria <strong>del</strong>l’orientazione<br />
<strong>del</strong> corpo.<br />
Inerzia in<strong>di</strong>pendente dall’orientazione <strong>del</strong> corpo<br />
In generale, è possibile scegliere un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo, nel quale la matrice dei<br />
momenti d’inerzia sia costante e pari a � �<br />
JG . La velocità angolare <strong>del</strong> corpo, espressa in un sistema <strong>di</strong><br />
riferimento inerziale, sia {ω}. La velocità angolare può essere espressa nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale<br />
con il corpo moltiplicandola per la trasposta <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> rotazione [R], che esprime l’orientazione<br />
<strong>del</strong> corpo rispetto al sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale, ovvero {ω} = [R] T {ω}.<br />
La (3.40b), proiettata nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong> corpo moltiplicandola per la trasposta <strong>del</strong>la<br />
matrice <strong>di</strong> rotazione [R],<br />
[R] T {CiG} = −[R] T [ω ∧][R] � � � � T<br />
JG {ω}− JG [R] {˙ω} (3.57)<br />
fornisce le coppie d’inerzia nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong> corpo.<br />
È lecito domandarsi che cosa si ottenga derivando la velocità angolare nel sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
solidale con il corpo, {ω}. Si derivi l’espressione {ω} = [R]{ω} rispetto al tempo. Si ottiene<br />
{˙ω} = [ω ∧][R]{ω}+[R] � ˙ω � . (3.58)<br />
Si noti come il primo termine a secondo membro possa essere ricondotto a [ω ∧]{ω} = {0}. Di<br />
conseguenza, vale la relazione<br />
� ˙ω � = [R] T {˙ω}, (3.59)<br />
secondolaqualeladerivata<strong>del</strong>lavelocitàangolarenelsistema<strong>di</strong>riferimentosolidaleconilcorpoconsente<br />
<strong>di</strong> ottenere l’accelerazione angolare nel medesimo sistema 7 .<br />
Ricordando inoltre la relazione (3.27),<br />
[R] T [ω ∧][R] =<br />
qui riscritta per como<strong>di</strong>tà, si ottiene<br />
��<br />
[R] T � �<br />
{ω} ∧ = [ω∧], (3.60)<br />
[R] T {CiG} = −[ω∧] � � � ��<br />
JG ω − JG ˙ω � . (3.61)<br />
Velocità angolare nel sistema solidale con il corpo<br />
Le relazioni precedenti sono <strong>di</strong> relativamente facile uso e possono essere applicate in un qualsiasi sistema<br />
<strong>di</strong> riferimento avendo naturalmente l’accortezza <strong>di</strong> esprimere tutte le quantità nello stesso sistema.<br />
Si consideri ad esempio un corpo rigido messo in rotazione rispetto ad un suo asse z con velocità<br />
angolare ˙ Φ, detta velocità <strong>di</strong> nutazione o <strong>di</strong> spin. Dal punto <strong>di</strong> vista fisico, si può immaginare il corpo<br />
rotante rispetto ad una cassa, alla quale è collegato me<strong>di</strong>ante due perni lungo l’asse z comune a corpo e<br />
cassa. La rotazione tra corpo e cassa è data dalla matrice <strong>di</strong> rotazione<br />
⎡<br />
[R] corpo-cassa = ⎣<br />
cosΦ −sinΦ 0<br />
sinΦ cosΦ 0<br />
0 0 1<br />
⎤<br />
⎦. (3.62)<br />
7 Si noti bene che � ˙ω � è l’accelerazione angolare assoluta proiettata in un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo,<br />
così come {ω} è la velocità angolare assoluta proiettata in un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo; non sono in<br />
nessun caso grandezze relative che, nell’ipotesi <strong>di</strong> corpo rigido, per definizione sarebbero necessariamente nulle.<br />
3-12
La velocità angolare tra corpo e cassa, sia in un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo che in uno<br />
solidale con la cassa, è quin<strong>di</strong><br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{ω} corpo-cassa = 0 . (3.63)<br />
⎩ ˙Φ<br />
⎭<br />
Si ipotizzi ora <strong>di</strong> applicare una rotazione alla cassa, e <strong>di</strong> conseguenza al corpo ad essa vincolato, rispetto<br />
ad un asse fisso perpen<strong>di</strong>colare al precedente, ad esempio l’asse x,<br />
⎡<br />
1 0 0<br />
⎤<br />
[R] cassa-telaio = ⎣ 0 cosΨ −sinΨ ⎦,<br />
0 sinΨ cosΨ<br />
(3.64)<br />
con velocità ˙ Ψ, detta <strong>di</strong> precessione,<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ ˙Ψ ⎬<br />
{ω} cassa-telaio = 0 , (3.65)<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
ove con telaio si intende un sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale 8 .<br />
La velocità angolare <strong>del</strong> corpo nel sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale è data dalla velocità tra corpo<br />
e cassa, {ω} corpo-cassa , proiettata nel sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale me<strong>di</strong>ante la matrice <strong>di</strong> rotazione<br />
[R] cassa-telaio , a cui si aggiunge la velocità angolare tra cassa e telaio, {ω} cassa-telaio ,<br />
{ω} corpo-telaio = [R] cassa-telaio {ω} cassa-telaio<br />
� �� �<br />
{ω} cassa-telaio<br />
⎧<br />
⎨ ˙Ψ<br />
= −<br />
⎩<br />
˙ ΦsinΨ<br />
˙ΦcosΨ<br />
+[R] cassa-telaio [R] corpo-cassa {ω} corpo-cassa<br />
� �� �<br />
{ω} corpo-cassa<br />
⎫<br />
⎬<br />
. (3.66)<br />
⎭<br />
Viceversa, la velocità angolare proiettata nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong> corpo è data dalla (3.66) premoltiplicata<br />
per la matrice <strong>di</strong> rotazione che porta dal sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale al sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
<strong>del</strong> corpo,<br />
{ω} corpo-telaio = [R] T<br />
corpo-cassa [R]T<br />
cassa-telaio {ω} corpo-telaio<br />
= [R] T<br />
corpo-cassa [R]T<br />
⎧<br />
⎨ ˙ΨcosΦ<br />
= −<br />
⎩<br />
˙ ΨsinΦ<br />
˙Φ<br />
cassa-telaio {ω} cassa-telaio<br />
� �� �<br />
{ω} cassa-telaio<br />
+[R] T<br />
corpo-cassa {ω} corpo-cassa<br />
� �� �<br />
{ω} corpo-cassa<br />
⎫<br />
⎬<br />
. (3.67)<br />
⎭<br />
La derivata <strong>del</strong>la velocità angolare fornisce l’accelerazione angolare. Se quest’operazione viene applicata<br />
alla velocità angolare nel sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale, {ω}, si ottiene l’accelerazione angolare<br />
nel sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale, {˙ω}. Si supponga ora, per semplicità, che anche la velocità ˙ Ψ sia<br />
costante. Questo corrisponde a considerare una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto a regime. Nella realtà ciò non si verificherà<br />
se non in casi particolari; tuttavia, se l’accelerazione ¨ Ψ fosse limitata, il suo effetto sulle coppie<br />
d’inerzia potrebbe essere considerato alla stregua <strong>di</strong> un <strong>di</strong>sturbo. Dalla derivazione <strong>del</strong>la (3.67) si ricava<br />
�<br />
˙ω �<br />
corpo-telaio =<br />
⎧<br />
⎨ −<br />
⎩<br />
˙ Ψ˙ ΦsinΦ<br />
− ˙ Ψ˙ ⎫<br />
⎬<br />
ΦcosΦ , (3.68)<br />
⎭<br />
0<br />
8 Si noti che la cosiddetta ‘messa a terra’ non corrisponde esattamente ad un sistema inerziale, in quanto la Terra è soggetta<br />
al proprio moto rotatorio, e al moto <strong>di</strong> rivoluzione attorno al Sole. Mentre quest’ultimo ha velocità angolare decisamente<br />
bassa rispetto alle applicazioni <strong>di</strong> interesse (2π ra<strong>di</strong>anti/anno), la velocità <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong>la Terra (2π ra<strong>di</strong>anti/giorno,<br />
pari a circa 7.3·10 −5 ra<strong>di</strong>anti/s) può non essere trascurabile in applicazioni che richiedano particolare precisione, tanto da<br />
essere considerata nei sistemi <strong>di</strong> navigazione inerziale per uso aeronautico.<br />
3-13
avendosuppostochelavelocità<strong>di</strong>rotazione ˙ Φsiamantenutacostantedaimotorichemettonoinrotazione<br />
il corpo, e che ˙ Ψ sia costante per la durata <strong>del</strong>l’analisi.<br />
Coppia giroscopica nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo<br />
Dalla (3.61), nell’ipotesi che il sistema solidale con il corpo sia anche principale d’inerzia e quin<strong>di</strong> la<br />
matrice dei momenti d’inerzia � �<br />
JG sia <strong>di</strong>agonale,<br />
si ricava<br />
� �<br />
JG =<br />
⎡<br />
⎣<br />
I1 0 0<br />
0 I2 0<br />
0 0 I3<br />
⎡<br />
[R] T {CiG} = −⎣<br />
⎡<br />
−⎣<br />
⎤<br />
⎦, (3.69)<br />
0 −˙ Φ − ˙ ΨsinΦ<br />
˙Φ 0 − ˙ ΨcosΦ<br />
˙ΨsinΦ ˙ ΨcosΦ 0<br />
I1 0 0<br />
0 I2 0<br />
0 0 I3<br />
⎤⎧<br />
⎨<br />
⎦<br />
⎩<br />
− ˙ Ψ ˙ ΦsinΦ<br />
− ˙ Ψ ˙ ΦcosΦ<br />
0<br />
⎤⎡<br />
⎦⎣<br />
I1 0 0<br />
0 I2 0<br />
0 0 I3<br />
⎤⎧<br />
⎨<br />
⎦<br />
⎩<br />
˙ΨcosΦ<br />
− ˙ ΨsinΦ<br />
˙Φ<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎬<br />
. (3.70)<br />
⎭<br />
Sviluppando i prodotti matriciali e ricordando che per corpi cilindrici a base circolare per simmetria si ha<br />
che I1 = I2 = I (momento d’inerzia rispetto ad un qualunque asse contenuto nel piano x–y), si ottiene<br />
[R] T ⎧ ⎫<br />
⎨ I3sinΦ ⎬<br />
{CiG1 } = I3cosΦ<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
˙ Ψ˙ Φ. (3.71)<br />
Si può avere una più imme<strong>di</strong>ata interpretazione fisica <strong>del</strong>la coppia d’inerzia proiettandola sul sistema <strong>di</strong><br />
riferimento <strong>del</strong>la cassa,<br />
[R] T<br />
cassa-telaio {CiG} = [R] corpo-cassa [R] T ⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{CiG} = I3<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
˙ Ψ˙ Φ. (3.72)<br />
La coppia che nasce è detta coppia giroscopica. Si noti come la coppia sia proporzionale al prodotto<br />
<strong>del</strong>le due velocità angolari. Si noti anche che la coppia è attorno all’asse y, mentre la velocità angolare<br />
con cui varia l’orientazione <strong>del</strong>la cassa è attorno all’asse x <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con la cassa<br />
stessa. Ne consegue che la coppia giroscopica agisce con 90 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> sfasamento rispetto al movimento <strong>di</strong><br />
precessione.<br />
Applicazioni <strong>del</strong>la coppia giroscopica<br />
Questa coppia è sfruttata in numerose applicazioni, quali ad esempio alcuni strumenti <strong>di</strong> misura <strong>di</strong><br />
velocità o <strong>di</strong> posizione angolari, e le piattaforme inerziali.<br />
Si noti anche come, controllando la velocità ˙ Ψ <strong>di</strong> precessione, è possibile variare l’intensità <strong>del</strong>la<br />
coppia giroscopica permettendo l’applicazione <strong>di</strong> una coppia <strong>di</strong> controllo, anche <strong>di</strong> elevata entità, perpen<strong>di</strong>colarmente<br />
al piano ˙ Ψ– ˙ Φ. Tale principio è utilizzato nei cosiddetti giroscopi per momenti <strong>di</strong> controllo<br />
(Control Moment Gyros, CMG), utilizzati per il controllo <strong>del</strong>l’assetto dei satelliti (figura (3.3).<br />
Tale coppia può essere inoltre fonte <strong>di</strong> perturbazioni e sollecitazioni strutturali significative. Un<br />
fenomeno giroscopico <strong>di</strong> esperienza comune è legato alla guida <strong>di</strong> biciclette e motocicli (figura 3.4).<br />
Questi veicoli, in velocità, devono essere inclinati attorno all’asse <strong>di</strong> rollio per consentirne la conduzione<br />
lungo una traiettoria circolare, per far sì che la combinazione <strong>di</strong> forza centrifuga e peso, applicata nel<br />
baricentro, passi per la linea <strong>di</strong> contatto tra le ruote e il terreno. Il passaggio dalla posizione verticale a<br />
quella inclinata richiede <strong>di</strong> cambiare l’orientazione <strong>del</strong>l’asse <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong>le ruote, che si comportano<br />
come veri e propri giroscopi.<br />
3-14<br />
⎭
Figura 3.3: Un Control Moment Gyro (CMG) <strong>del</strong>la ECP: a sinistra il sistema reale, a destra il mo<strong>del</strong>lo<br />
fisico.<br />
Figura 3.4: Effetto <strong>del</strong>la coppia giroscopica sulla forcella anteriore <strong>di</strong> una motocicletta (Prof. V.<br />
Cossalter).<br />
3-15
Durante il transitorio con cui il veicolo viene inclinato, nascono coppie giroscopiche che tendono a<br />
ruotare le ruote attorno ad un asse verticale. Inoltre, durante la percorrenza <strong>di</strong> una curva <strong>di</strong> piccolo<br />
raggio ad alta velocità, nasce una coppia giroscopica <strong>di</strong>retta come l’asse <strong>di</strong> rollio <strong>del</strong> veicolo.<br />
Si pensi infine alla coppia associata al moto <strong>di</strong> un’elica e <strong>di</strong> un motore che tende a imbardare in<br />
richiamata e a picchiare o cabrare in virata. Tale coppia provoca significative sollecitazioni al castello<br />
motore. Nel caso <strong>di</strong> velivoli con un numero pari <strong>di</strong> motori, essi vengono fatti ruotare contro-rotanti a<br />
coppie, equilibrando così tali effetti sul volo, lasciando inalterato lo stato <strong>di</strong> sollecitazione sui castelli<br />
motore.<br />
Esercizio 3.15 Si <strong>di</strong>mostri la (3.60). (Suggerimento: si consideri la rotazione <strong>del</strong> prodotto <strong>di</strong> due vettori<br />
generici.)<br />
Esercizio 3.16 Si verifichi la (3.72) utilizzando la (3.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica in un<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con la cassa.<br />
Esercizio 3.17 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore <strong>di</strong> un velivolo monomotore<br />
ad elica durante una richiamata a velocità <strong>di</strong> beccheggio costante. Come è possibile compensare<br />
questa coppia in volo?<br />
Esercizio 3.18 Si calcoli la coppia giroscopica che si scarica sul castello motore <strong>di</strong> un velivolo monomotore<br />
ad elica durante una virata corretta, ad angolo <strong>di</strong> rollio (bank) costante. Come è possibile compensare<br />
questa coppia in volo?<br />
Esercizio 3.19 I motori a getto risentono <strong>del</strong>le coppie giroscopiche? Il loro moto ne risente? Nel caso,<br />
quali parti <strong>del</strong> motore ne sono influenzate?<br />
3.3.2 Misura <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> rotazione: il giroscopio<br />
Nel paragrafo precedente si sono valutate le coppie d’inerzia che nascono quando viene cambiata l’orientazione<br />
<strong>di</strong> un corpo in rotazione. Tali coppie, espresse ad esempio dalla (3.72) in un sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
solidale con quella che era stata chiamata cassa, che ruota con velocità angolare <strong>di</strong> precessione ˙ Ψ, e che a<br />
sua volta contiene il corpo in rotazione con velocità angolare <strong>di</strong> spin ˙ Φ, sono proporzionali ad entrambe<br />
le velocità angolari. Se il corpo viene mantenuto in rotazione a velocità <strong>di</strong> spin ˙ Φ costante, e quest’ultima<br />
è nota, allora una misura <strong>del</strong>la coppia consente <strong>di</strong> misurare la velocità <strong>di</strong> precessione ˙ Ψ.<br />
Nel caso <strong>di</strong> un giroscopio applicato ad un velivolo (o ad un qualsiasi veicolo, terrestre o navale o<br />
spaziale), la cassa è rappresentata dal velivolo stesso, a cui il giroscopio è rigidamente collegato.<br />
Misura <strong>del</strong>la deformazione <strong>di</strong> una molla<br />
Una misura <strong>di</strong> coppia si può ottenere in<strong>di</strong>rettamente consentendo alla coppia <strong>di</strong> deformare la struttura<br />
a cui è collegata, e misurando la deformazione che ne consegue. Come si è visto, per una velocità <strong>di</strong><br />
precessione attorno ad un asse ortogonale a quello <strong>di</strong> spin si ottiene una coppia attorno ad un asse<br />
ortogonale sia a quello <strong>di</strong> spin che a quello <strong>di</strong> precessione.<br />
Si immagini quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> consentire la rotazione <strong>del</strong> corpo rotante rispetto alla cassa anche attorno ad<br />
un asse ortogonale sia a quello <strong>di</strong> spin che a quello <strong>di</strong> precessione, me<strong>di</strong>ante l’introduzione <strong>di</strong> un supporto<br />
mobile. Il supporto mobile porta i perni <strong>di</strong> collegamento con il corpo rotante, consentendone così la<br />
rotazione attorno all’asse <strong>di</strong> spin. Il supporto mobile, a sua volta, è collegato alla cassa me<strong>di</strong>ante perni<br />
che ne consentono la rotazione ϑ rispetto alla cassa attorno ad un asse perpen<strong>di</strong>colare agli altri due. Tale<br />
rotazione sarà consentita, ma contrastata da un sistema <strong>di</strong> molle che consenta <strong>di</strong> limitarla per coppie<br />
legate alla combinazione <strong>di</strong> velocità <strong>di</strong> spin e <strong>di</strong> precessione a cui l’intero sistema può essere soggetto 9 .<br />
Per semplicità si consideri una con<strong>di</strong>zione stazionaria, in cui la rotazione attorno a questo asse,<br />
ϑ, sia già avvenuta e si mantenga costante, come illustrato nella figura 3.5. Non ci interessa quin<strong>di</strong><br />
la velocità con cui tale movimento avviene, ma solo l’effetto che la sua presenza ha sulla coppia <strong>di</strong><br />
9 Le molle devono essere abbastanza cedevoli da consentire una rotazione misurabile a seguito <strong>del</strong>le coppie centrifughe<br />
relative alle velocità che si intende misurare (sensibilità <strong>del</strong>lo strumento), ma sufficientemente rigide da mantenere la<br />
rotazione limitata per le coppie centrifughe relative alla massima velocità angolare che si intende misurare (fondo scala).<br />
3-16
Figura 3.5: Corpo rigido in moto rotatorio rispetto a due assi.<br />
natura giroscopica espressa dalla (3.72). Alla luce <strong>di</strong> quanto verrà formalizzato nel Capitolo 15.6, questo<br />
corrisponde a supporre che la rotazione ϑ si adegui molto rapidamente alla coppia giroscopica, tanto da<br />
far ritenere accettabile una approssimazione stazionaria <strong>del</strong> comportamento <strong>del</strong>lo strumento.<br />
L’orientazione tra corpo e cassa <strong>di</strong>venta ora<br />
⎡ ⎤⎡<br />
cosϑ 0 sinϑ cosΦ −sinΦ 0<br />
[R] corpo-cassa = ⎣ 0 1 0 ⎦⎣<br />
sinΦ cosΦ 0<br />
−sinϑ 0 cosϑ 0 0 1<br />
� �� �<br />
rotazione <strong>del</strong>la cassa<br />
⎤<br />
� �� �<br />
rotazione <strong>di</strong> spin<br />
⎦,<br />
(3.73)<br />
mentre l’orientazione <strong>del</strong>la cassa rimane quella in<strong>di</strong>cata dalla (3.64). Quin<strong>di</strong> la velocità angolare <strong>del</strong>lo<br />
spinner, nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo, è<br />
⎧<br />
⎨ ˙ΨcosΦcosϑ<br />
{ω} corpo-telaio = −<br />
⎩<br />
˙ ΨsinΦcosϑ<br />
˙Ψsinϑ+ ˙ ⎫<br />
⎬<br />
. (3.74)<br />
⎭<br />
Φ<br />
La sua derivata fornisce l’accelerazione angolare nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo,<br />
�<br />
˙ω �<br />
corpo-telaio =<br />
⎧<br />
⎨ −<br />
⎩<br />
˙ Φ ˙ ΨsinΦcosϑ<br />
−˙ Φ ˙ ⎫<br />
⎬<br />
ΨcosΦcosϑ . (3.75)<br />
⎭<br />
0<br />
La coppia d’inerzia che ne risulta è<br />
[R] T ⎡ ⎤⎧<br />
I1 0 0 ⎨ −<br />
{CiG} = −⎣<br />
0 I2 0 ⎦<br />
⎩<br />
0 0 I3<br />
˙ Φ ˙ ΨsinΦcosϑ<br />
−˙ Φ ˙ ⎫<br />
⎬<br />
ΨcosΦcosϑ<br />
⎭<br />
0<br />
⎡ � �<br />
0 − ˙Ψsinϑ+ Φ˙<br />
−<br />
⎢<br />
−⎢<br />
⎣<br />
˙ ΨsinΦcosϑ<br />
� �<br />
˙Ψsinϑ+ Φ˙<br />
0 − ˙ ⎤<br />
⎡<br />
⎥<br />
ΨcosΦcosϑ<br />
⎣<br />
⎦<br />
˙ΨsinΦcosϑ ΨcosΦcosϑ ˙ 0<br />
I1 0 0<br />
0 I2 0<br />
0 0 I3<br />
⎤⎧<br />
⎨<br />
⎦<br />
⎩<br />
˙ΨcosΦcosϑ<br />
− ˙ ΨsinΦcosϑ<br />
˙Ψsinϑ+ ˙ Φ<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(3.76)<br />
Sviluppando i prodotti matriciali e ponendo i momenti I1 = I2 = I per simmetria, si ottiene:<br />
[R] T ⎧ ⎫<br />
⎨ sinΦ ⎬�<br />
{CiG} = cosΦ I3<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
˙ Φ ˙ Ψ+(I3 −I) ˙ Ψ 2 �<br />
sinϑ cosϑ. (3.77)<br />
3-17
Se si proietta la coppia nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con la cassa, usando la (3.73), si ottiene<br />
[R] T<br />
cassa-telaio {CiG} = [R] corpo-cassa [R] T ⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬�<br />
{CiG} = 1 I3<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
˙ Φ ˙ Ψ+(I3 −I) ˙ Ψ 2 �<br />
sinϑ cosϑ. (3.78)<br />
Confrontando la (3.78) con la (3.72) si può notare come la presenza <strong>di</strong> un angolo ϑ perturbi la coppia<br />
giroscopica <strong>del</strong>la (3.72) <strong>di</strong> un termine che è quadratico nella velocità <strong>di</strong> precessione.<br />
Esercizio 3.20 Si verifichi la (3.78) utilizzando la (3.40b), ovvero scrivendo la coppia giroscopica in un<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale, per poi proiettarla nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con la cassa.<br />
Equazione <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> giroscopio<br />
Il giroscopio si ottiene aggiungendo al sistema una molla <strong>di</strong> rigidezza K, tale da dare una coppia elastica<br />
proporzionale alla rotazione ϑ che si opponga alla coppia giroscopica. È lecito attendersi che sia presente<br />
anche una certa <strong>di</strong>ssipazione, descritta me<strong>di</strong>ante un elemento viscoso <strong>di</strong> caratteristica C, utile a smorzare<br />
leoscillazioni<strong>del</strong>larotazioneϑ. Nonèdettochelamollaelosmorzatoresianolineari; questaipotesiviene<br />
fatta per semplicità espositiva. È evidente che una loro eventuale non-linearità complica l’equazione <strong>del</strong><br />
moto, e <strong>di</strong> conseguenza la taratura <strong>del</strong>lo strumento. Infine, l’inerzia <strong>del</strong>la parte mobile quando soggetta<br />
ad una accelerazione angolare ¨ ϑ è prossima10 a I, l’inerzia <strong>del</strong>lo spinner attorno ad un asse perpen<strong>di</strong>colare<br />
a quello <strong>di</strong> spin.<br />
L’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla rotazione <strong>del</strong>lo spinner attorno all’asse che consente la rotazione ϑ è<br />
I¨ ϑ+C ˙ �<br />
ϑ+Kϑ = I3 ˙ Φ ˙ Ψ+(I3 −I) ˙ Ψ 2 �<br />
sinϑ cosϑ. (3.79)<br />
Se si suppone che l’angolo ϑ rimanga limitato (�ϑ� ≪ 1), allora è lecito considerare l’approssimazione<br />
cosϑ ∼ = 1, sinϑ ∼ = ϑ. La (3.79) <strong>di</strong>venta<br />
I¨ ϑ+C ˙ �<br />
ϑ+ K −(I3 −I) ˙ Ψ 2�<br />
ϑ = I3 ˙ Φ ˙ Ψ. (3.80)<br />
In con<strong>di</strong>zioni stazionarie, e quin<strong>di</strong> per ˙ ϑ = 0, ¨ ϑ = 0, la misura è data da<br />
ϑ =<br />
I3 ˙ Φ ˙ Ψ<br />
K −(I3 −I) ˙ Ψ 2.<br />
(3.81)<br />
La sensibilità <strong>del</strong>la misura è data dalla relazione ∂ϑ/∂ ˙ Ψ,<br />
∂ϑ<br />
∂ ˙ Ψ =<br />
I3 ˙ Φ<br />
K −(I3 −I) ˙ Ψ2 �<br />
1+ 2(I3 −I) ˙ Ψ2 K −(I3 −I) ˙ Ψ2 �<br />
. (3.82)<br />
Si noti come, per una velocità <strong>di</strong> rotazione ˙ Ψ <strong>del</strong>la cassa sostenuta e non piccola, la misura <strong>del</strong>l’angolo<br />
ϑ possa risultare falsata. Questo errore, intrinseco nella natura inerziale <strong>del</strong>la relazione tra le coppie<br />
centrifughe che deformano la molla, e la velocità angolare che si desidera misurare, si aggiungono agli<br />
inevitabili altri errori <strong>di</strong> misura.<br />
Note sulla misura <strong>del</strong>le variazioni <strong>di</strong> assetto<br />
Lamisura<strong>di</strong>velocitàangolarechesiricavadaungiroscopiopuòessereutilizzatapervalutarelevariazioni<br />
<strong>di</strong> assetto <strong>di</strong> un veicolo rispetto ad un sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale.<br />
L’assetto <strong>del</strong> veicolo viene ricostruito a partire dalla misura <strong>di</strong> velocità angolare in un sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
solidale con il veicolo (la cassa nella trattazione precedente). Quin<strong>di</strong> la ricostruzione <strong>del</strong>l’assetto<br />
<strong>del</strong> veicolo richiede l’integrazione <strong>del</strong>la misura <strong>di</strong> velocità angolare.<br />
10 Adessaoccorreaggiungerel’inerzia<strong>del</strong>lastrutturanecessariaavincolarelospinnerallacassa, quisuppostatrascurabile.<br />
3-18
Ω<br />
f<br />
xG<br />
Figura 3.6: Mo<strong>del</strong>lo semplificato <strong>di</strong> pala <strong>di</strong> elicottero.<br />
Questa operazione è soggetta ad errori <strong>di</strong> vario tipo, sia istantanei che nel tempo. Ad esempio,<br />
un’errata inizializzazione <strong>del</strong> calcolo può portare ad un errore sistematico sull’assetto. Inoltre, un errore<br />
sistematico sulla misura può portare al fenomeno cosiddetto <strong>del</strong>la deriva (drift in inglese), ovvero ad un<br />
errore sull’assetto che cresce almeno linearmente nel tempo.<br />
Per questo motivo, <strong>di</strong> solito misure <strong>di</strong> questo tipo, ricostruite me<strong>di</strong>ante integrazione numerica,<br />
richiedono la correzione perio<strong>di</strong>ca <strong>del</strong>la deriva me<strong>di</strong>ante altre misure in<strong>di</strong>pendenti, con cui compensare<br />
gli errori. Per una trattazione più approfon<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> questi problemi si rimanda il lettore a testi <strong>di</strong><br />
navigazione.<br />
3.4 Esercizio: pala rigida <strong>di</strong> elicottero nel vuoto<br />
Si consideri un mo<strong>del</strong>lo estremamente semplificato <strong>di</strong> pala <strong>di</strong> elicottero, illustrato in Figura 3.6. Esso è<br />
costituitodauncorpoaero<strong>di</strong>namicoassimilabileadun’ala<strong>di</strong>grandeallungamento, collegataadunmozzo<br />
rotante attorno all’asse � k a velocità angolare costante Ω me<strong>di</strong>ante una cerniera, nota come cerniera <strong>di</strong><br />
flappeggio (flap hinge), perpen<strong>di</strong>colare sia all’asse <strong>di</strong> rotazione che all’asse <strong>del</strong>la pala stessa. La velocità<br />
angolare Ω è mantenuta costante in prima approssimazione da un sistema <strong>di</strong> controllo <strong>del</strong>l’alimentazione<br />
dei motori detto FADEC (Full Authority Digital Engine Control).<br />
La presenza <strong>di</strong> una cerniera <strong>di</strong> flappeggio è tipica dei rotori cosiddetti articolati. Esistono altri tipi<br />
<strong>di</strong> rotori, detti hingeless, nei quali il moto <strong>di</strong> flappeggio <strong>del</strong>le pale, fondamentale per l’aeromeccanica dei<br />
rotori, è consentito dalla deformazione elastica <strong>del</strong>la zona <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>la pala stessa, o <strong>del</strong> suo supporto.<br />
Questo consente <strong>di</strong> ridurre il numero <strong>di</strong> parti che costituiscono il mozzo e <strong>di</strong> eliminare o drasticamente<br />
ridurre le esigenze <strong>di</strong> lubrificazione associate a cerniere convenzionali.<br />
Di solito, la connessione con il mozzo <strong>del</strong>le pale <strong>di</strong> rotori articolati con più <strong>di</strong> due pale presenta anche<br />
una cerniera <strong>di</strong> ritardo (lead-lag hinge), il cui asse è perpen<strong>di</strong>colare a quello <strong>del</strong>la pala e a quello <strong>del</strong>la<br />
cerniera <strong>di</strong> flappeggio. Anche la funzione <strong>di</strong> quest’ultima cerniera, nei rotori hingeless, è svolta dalla<br />
deformazione elastica <strong>del</strong>la zona <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>la pala, o <strong>del</strong> suo supporto.<br />
Infine, le pale presentano <strong>di</strong> solito un cuscinetto <strong>di</strong> passo (pitch bearing) che consente <strong>di</strong> variare il<br />
passo, e quin<strong>di</strong> l’incidenza, <strong>del</strong>la pala. In particolari tipi <strong>di</strong> rotori, detti bearingless, la rotazione che<br />
consente la variazione <strong>di</strong> passo <strong>del</strong>la pala è ottenuta me<strong>di</strong>ante deformazione <strong>del</strong>la zona <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>la<br />
pala.<br />
Per semplicità, la cerniera<strong>di</strong> ritardoeil cuscinetto<strong>di</strong> variazione passonon sono consideratinel seguito<br />
<strong>di</strong> questo esercizio.<br />
L’analisi <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> flappeggio <strong>del</strong>la pala richiede la definizione <strong>di</strong> alcuni sistemi <strong>di</strong><br />
riferimento, illustrati in Figura 3.7.<br />
Soluzione me<strong>di</strong>ante equilibri <strong>di</strong>namici. Il sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con l’albero, e quin<strong>di</strong><br />
rotante rispetto ad un sistema solidale con l’elicottero a velocità angolare Ω, è descritto dalla matrice <strong>di</strong><br />
3-19<br />
β
−β<br />
pala<br />
x<br />
z<br />
y<br />
ψ<br />
albero<br />
x<br />
z<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
elicottero<br />
Figura 3.7: Sistemi <strong>di</strong> riferimento definiti ed utilizzati sull’elicottero (immagine <strong>del</strong>l’elicottero tratta da<br />
http://www.mi<strong>di</strong>segni.it/<strong>di</strong>segni/vari/elicottero.gif).<br />
rotazione<br />
⎡<br />
[R] a→e = ⎣<br />
cosψ −sinψ 0<br />
sinψ cosψ 0<br />
0 0 1<br />
⎤<br />
⎦, (3.83)<br />
ove ψ = Ωt definisce la posizione azimutale <strong>del</strong>la pala in funzione <strong>del</strong> tempo. La sua derivata rispetto al<br />
tempo, ricordando la (3.24), dà11 ⎡⎧<br />
⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
[R] ˙<br />
a→e = ⎣ 0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
∧<br />
⎤ ⎡⎧<br />
⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
⎦[R] a→e = [R] ⎣<br />
a→e 0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
∧<br />
⎤<br />
⎦. (3.84)<br />
La posizione <strong>del</strong>la cerniera, in un sistema <strong>di</strong> riferimento rotante con il mozzo, è<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ f ⎬<br />
{x} f = 0 , (3.85)<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
ove f è il cosiddetto offset <strong>del</strong>la cerniera <strong>di</strong> flappeggio. Questo parametro è molto importante nei rotori<br />
articolati, come si vedrà nel seguito. La posizione <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong>la pala, nel sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
solidale con la pala che ha origine nella cerniera <strong>di</strong> flappeggio, è<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ xG ⎬<br />
{xG} = 0 . (3.86)<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
Il movimento <strong>di</strong> flappeggio <strong>del</strong>la pala rispetto al mozzo avviene attraverso la cerniera <strong>di</strong> flappeggio.<br />
L’angolo <strong>di</strong> cui la pala ruota è detto angolo <strong>di</strong> flappeggio, β, ed è positivo quando la pala “sale” (si<br />
noti che, considerando la regola <strong>del</strong>la mano destra, se l’asse <strong>del</strong>la pala a flappeggio nullo è �i e quello<br />
<strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong> rotore è �k, la rotazione β così definita corrisponde ad una rotazione negativa attorno<br />
all’asse�j).<br />
La rotazione <strong>del</strong>la pala è descritta dalla matrice<br />
⎡<br />
[R] f→a = ⎣<br />
cos(−β) 0 sin(−β)<br />
0 1 0<br />
−sin(−β) 0 cos(−β)<br />
⎤<br />
⎦. (3.87)<br />
11 Si ricor<strong>di</strong> che [ ˙ R] = [ω∧][R] = [R][ω∧], con {ω} = [R] T {ω}; nel caso in esame, {ω} = {ω} perché la rotazione avviene<br />
attorno ad un asse fissato.<br />
3-20
La sua derivata rispetto al tempo dà 12<br />
˙<br />
[R] f→a =<br />
⎡⎧<br />
⎨<br />
⎣<br />
⎩<br />
0<br />
− ˙ β<br />
0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ∧<br />
⎤ ⎡⎧<br />
⎨<br />
⎦[R] f→a = [R] ⎣<br />
f→a ⎩<br />
0<br />
− ˙ β<br />
0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ∧<br />
⎤<br />
⎦. (3.88)<br />
La velocità angolare <strong>del</strong>la pala, nel sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale, è<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{ω} = 0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
+[R] ⎧<br />
⎨ 0<br />
a→e −<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β . (3.89)<br />
⎭<br />
0<br />
Nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con l’albero questa velocità angolare <strong>di</strong>venta<br />
[R] T<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
a→e {ω} = [R]T a→e 0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
+<br />
⎧<br />
⎨ 0<br />
−<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
=<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
+<br />
⎧<br />
⎨ 0<br />
−<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
=<br />
⎧<br />
⎨ 0<br />
−<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β . (3.90)<br />
⎭<br />
Ω<br />
La derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>la (3.89) dà<br />
⎧<br />
⎨<br />
{˙ω} =<br />
⎩<br />
0<br />
0<br />
˙Ω<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ +<br />
⎡⎧<br />
⎨<br />
⎣<br />
⎩<br />
0<br />
0<br />
Ω<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ∧<br />
⎤<br />
⎦[R] a→e<br />
da cui, siccome per ipotesi Ω è costante,<br />
[R] T<br />
a→e {˙ω} =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
Ω ˙ β<br />
− ¨ β<br />
0<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
0<br />
− ˙ β<br />
0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎭ +[R] a→e⎩<br />
0<br />
− ¨ β<br />
0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎭ = [R] a→e⎩<br />
Ω ˙ β<br />
− ¨ β<br />
˙Ω<br />
⎫<br />
⎬<br />
, (3.91)<br />
⎭<br />
⎫<br />
⎬<br />
. (3.92)<br />
⎭<br />
La scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> moto attraverso la velocità e l’accelerazione angolare nel sistema<br />
<strong>di</strong> riferimento solidale con l’albero richiede la scrittura <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> inerzia in tale riferimento.<br />
Nell’ipotesi che tale matrice, in un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con la pala, sia<br />
� �<br />
JG =<br />
⎡<br />
⎣<br />
con JpG ≪ JfG < JlG<br />
JpG 0 0<br />
0 JfG 0<br />
0 0 JlG<br />
∼= JfG<br />
⎤<br />
⎦, (3.93)<br />
+JpG , la sua espressione nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con l’albero è<br />
� � T<br />
[JG] = [R] f→a<br />
JG [R] f→a<br />
⎡ �<br />
2 cos (−β)JpG<br />
= ⎣<br />
+sin2 �<br />
(−β)JlG 0 −cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG )<br />
0 JfG �<br />
0<br />
2<br />
−cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG ) 0 sin (−β)JpG +cos2 ⎤<br />
⎦.<br />
�<br />
(3.94)<br />
(−β)JlG<br />
La coppia d’inerzia rispetto al baricentro, nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con l’albero, è quin<strong>di</strong><br />
⎡⎧<br />
⎨ 0<br />
{CiG } = −⎣<br />
−<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
Ω<br />
∧<br />
⎤ ⎧<br />
⎨ 0<br />
⎦[JG] −<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
Ω<br />
−[JG]<br />
⎧<br />
⎨ 0<br />
−<br />
⎩<br />
¨ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
⎧ �<br />
⎨ JfG<br />
= −<br />
⎩<br />
+�cos2 (−β)−sin 2 (−β) � (JpG −JlG )�Ω ˙ β<br />
−cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG )Ω2 ¨β −JfG<br />
−2cos(−β)sin(−β)(JpG −JlG )Ω ˙ ⎫<br />
⎬<br />
(3.95)<br />
⎭<br />
β<br />
12 Si veda la nota 11.<br />
3-21
La posizione, la velocità e l’accelerazione angolare <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong>la pala, nel sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
assoluto, sono<br />
{xG} = [R] a→e ({x} f +[R] f→a {xG})<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ f +xGcos(−β) ⎬<br />
= [R] a→e 0<br />
⎩ ⎭<br />
−xGsin(−β)<br />
⎛⎡⎧<br />
⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{˙xG} = [R] ⎝⎣<br />
a→e 0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
(3.96a)<br />
∧<br />
⎤<br />
⎡⎧<br />
⎨ 0<br />
⎦({x} f +[R] f→a {xG})+[R] ⎣<br />
f→a −<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
∧<br />
⎤ ⎞<br />
⎦{xG} ⎠<br />
⎧<br />
⎨ sin(−β)xG<br />
= [R] a→e⎩<br />
˙ β<br />
(f +xGcos(−β))Ω<br />
cos(−β)xG ˙ ⎫<br />
⎬<br />
(3.96b)<br />
⎭<br />
β<br />
⎛⎡⎧<br />
⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{¨xG} = [R] ⎝⎣<br />
a→e 0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
∧<br />
⎤⎡⎧<br />
⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
⎦⎣<br />
0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
∧<br />
⎤<br />
⎦({x} f +[R] f→a {xG})<br />
⎡⎧<br />
⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
+2 ⎣ 0<br />
⎩ ⎭<br />
Ω<br />
∧<br />
⎤ ⎡⎧<br />
⎨ 0<br />
⎦[R] ⎣<br />
f→a −<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
∧<br />
⎤ ⎞<br />
⎦{xG} ⎠<br />
⎛⎡⎧<br />
⎨ 0<br />
+[R] ⎝⎣<br />
f→a −<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
∧<br />
⎤⎡⎧<br />
⎨ 0<br />
⎦⎣<br />
−<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
∧<br />
⎤ ⎡⎧<br />
⎨ 0<br />
⎦{xG}+ ⎣ −<br />
⎩<br />
¨ ⎫<br />
⎬<br />
β<br />
⎭<br />
0<br />
∧<br />
⎤ ⎞⎞<br />
⎦{xG} ⎠⎠<br />
⎧<br />
⎨ −(f +xGcos(−β))Ω<br />
= [R] a→e⎩<br />
2 −cos(−β)xG ˙ β2 +sin(−β)xG ¨ β<br />
2sin(−β)xGΩ ˙ β<br />
sin(−β)xG ˙ β2 +cos(−β)xG ¨ ⎫<br />
⎬<br />
(3.96c)<br />
⎭<br />
β<br />
Laloroproiezionenelsistema<strong>di</strong>riferimentosolidaleconl’albero, me<strong>di</strong>antepremoltiplicazioneper[R] T<br />
a→e ,<br />
consiste nel rimuovere la matrice [R] a→e .<br />
La forza d’inerzia nel sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con l’albero è<br />
[R] T<br />
a→e {Fi}<br />
�<br />
= −m [R] T<br />
a→e {¨xG}<br />
⎛⎧<br />
� ⎨ −Ω<br />
= −m⎝<br />
⎩<br />
2 ⎫<br />
(f +cos(−β)xG) ⎬<br />
0<br />
⎭<br />
0<br />
+<br />
⎧<br />
⎨ 0<br />
2Ω<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
βsin(−β)xG<br />
⎭<br />
0<br />
⎧<br />
⎨ −<br />
+<br />
⎩<br />
˙ β2cos(−β)xG 0<br />
˙β 2 ⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
sin(−β)xG<br />
+<br />
⎧<br />
⎨ sin(−β)<br />
⎩<br />
¨ βxG<br />
0<br />
cos(−β) ¨ ⎫⎞<br />
⎬<br />
⎠ (3.97)<br />
⎭<br />
βxG<br />
Il momento <strong>del</strong>la forza d’inerzia rispetto al punto in cui è collocata la cerniera <strong>di</strong> flappeggio, nel<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con l’albero, è<br />
�<br />
([R] f→a {xG})∧ [R] T<br />
a→e {Fi}<br />
⎧<br />
⎫<br />
� ⎨<br />
⎬<br />
= −m<br />
(3.98)<br />
⎩<br />
⎭<br />
2sin 2 (−β)x 2 G Ω ˙ β<br />
Ω 2 sin(−β)xG(f +cos(−β)xG)−x 2 G ¨ β<br />
2sin(−β)cos(−β)x 2 G Ω ˙ β<br />
Quin<strong>di</strong> il momento <strong>di</strong> tutte le forze, ovvero <strong>del</strong>le sole inerzie e <strong>del</strong>le reazioni vincolari Cp e Cl, rispetto<br />
al punto in cui è collocata la cerniera <strong>di</strong> flappeggio, è<br />
⎧ �<br />
⎨ JfG<br />
⎩<br />
+�cos2 (−β)−sin 2 (−β) � (JpG −JlG )+2sin2 (−β)mx2 �<br />
G Ωβ˙ −sin(−β) � cos(−β) � JpG −JlG −mx2 �<br />
G −mxGf � Ω2 − � JfG +mx2 �<br />
¨β<br />
G<br />
−2cos(−β)sin(−β) � JpG −JlG −mx2 ⎫<br />
⎬<br />
�<br />
G Ωβ˙ ⎭ =<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ Cp ⎬<br />
0<br />
⎩ ⎭<br />
Cl<br />
(3.99)<br />
La coppia si annulla ∀t per β = 0, ˙ β = 0, ¨ β = 0, che quin<strong>di</strong> rappresenta una soluzione <strong>di</strong> equilibrio<br />
statico. Se si considerano piccole oscillazioni attorno a tale soluzione, si possono approssimare sin(−β) ∼ =<br />
3-22
−β e cos(−β) ∼ = 1. Si ottiene quin<strong>di</strong><br />
⎧ �<br />
⎨ JfG<br />
⎩<br />
−β2�JpG −2mx2 � �<br />
−JlG G Ωβ˙ −β(JlF −JpG +mxGf)Ω 2 ¨β −JfF<br />
β � JpG −JlG −2mx2 ⎫<br />
⎬<br />
�<br />
G Ωβ˙ ⎭ ∼ ⎧<br />
⎨<br />
=<br />
⎩<br />
ove con JlF = JlG + mx2 G e JfF = JfG + mx2 G<br />
Cp<br />
0<br />
Cl<br />
⎫<br />
⎬<br />
, (3.100)<br />
⎭<br />
si sono rispettivamente in<strong>di</strong>cati i momenti d’inerzia <strong>di</strong><br />
ritardo e <strong>di</strong> flappeggio rispetto al punto in cui è collocata la cerniera <strong>di</strong> flappeggio.<br />
La seconda equazione, che rappresenta l’equilibrio <strong>del</strong>la pala alla rotazione attorno all’asse <strong>di</strong> flappeggio,<br />
è analoga all’equazione <strong>di</strong> un oscillatore armonico non smorzato, la cui inerzia sia pari all’inerzia <strong>di</strong><br />
flappeggio<strong>del</strong>lapalaattornoall’asse<strong>di</strong>flappeggio,JfF ,elacuirigidezzasiaparia(JlF −JpG +mxGf)Ω 2 .<br />
Siccome ∼= JlF<br />
JfF + JpG , la rigidezza è essenzialmente proporzionale a (1+mxGf/JfF )JfF Ω2 . Se la<br />
pala avesse densità uniforme lungo l’apertura, pari a m/R, e spessore trascurabile, il baricentro sarebbe<br />
a xG = R/2, e il momento d’inerzia rispetto alla cerniera <strong>di</strong> flappeggio sarebbe JfF = mR2 /3, quin<strong>di</strong><br />
la rigidezza sarebbe pari a (1+3/2f/R)JfF Ω2 . Questa espressione mette in luce l’effetto <strong>di</strong> incremento<br />
che in prima approssimazione l’offset f <strong>del</strong>la cerniera <strong>di</strong> flappeggio ha sulla rigidezza dovuta alla forza<br />
centrifuga.<br />
Soluzione me<strong>di</strong>ante equazioni <strong>di</strong> Lagrange. Si consideri l’energia cinetica associata alla pala.<br />
Siccome l’energia cinetica è un invariante scalare, la sua scrittura non <strong>di</strong>pende dal sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
in cui sono espresse le velocità e le caratteristiche inerziali <strong>del</strong> sistema, purché si usino grandezze coerenti.<br />
Si sceglie quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> scrivere sia la velocità <strong>del</strong> baricentro (equazione (3.96b)) che la velocità angolare<br />
(equazione (3.90)) e le caratteristiche <strong>di</strong> inerzia baricentriche (equazione (3.94)) nel sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
solidale con l’albero.<br />
L’energia cinetica <strong>del</strong>la pala è<br />
Ec = 1<br />
2 m{˙xG} T {˙xG}+ 1<br />
2 {ω}T [JG]{ω} (3.101)<br />
La velocità <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong>la pala è<br />
⎧<br />
⎨ sin(−β)xG<br />
{˙xG} =<br />
⎩<br />
˙ β<br />
(f +cos(−β)xG)Ω<br />
cos(−β)xG ˙ ⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
β<br />
L’energia cinetica <strong>del</strong>la pala <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
Ec = 1<br />
2 m<br />
�<br />
x 2 G ˙ β 2 +(f +cos(−β)xG) 2 Ω 2�<br />
+ 1<br />
�<br />
˙β JfG<br />
2<br />
2 + � sin 2 (−β)JpG +cos2 � 2<br />
(−β)JlG Ω �<br />
L’applicazione <strong>del</strong> formalismo <strong>di</strong> Lagrange richiede <strong>di</strong> calcolare<br />
d<br />
dt<br />
∂Ec<br />
∂β = −sin(−β)� cos(−β) � JpG −JlG −mx2 G<br />
(3.102)<br />
(3.103)<br />
∂Ec<br />
∂ ˙ β = mx2G ˙ β ˙β +JfG<br />
�<br />
∂Ec<br />
∂<br />
(3.104a)<br />
˙ �<br />
=<br />
β<br />
� mx 2 �<br />
¨β<br />
G +JfG<br />
(3.104b)<br />
�<br />
−mxGf � Ω 2 . (3.104c)<br />
L’equazione <strong>del</strong> moto <strong>del</strong>la pala che ne risulta,<br />
� � � � 2<br />
mx ¨β<br />
G +JfG −sin(−β) cos(−β) JlG −JpG +mx2 �<br />
G +mxGf � Ω 2 = 0, (3.105)<br />
è quin<strong>di</strong> identica alla seconda riga <strong>del</strong>la (3.99).<br />
Esercizio 3.21 Nell’ipotesi che l’angolo <strong>di</strong> flappeggio β sia piccolo, e quin<strong>di</strong> valga l’approssimazione<br />
cos(−β) = 1, sin(−β) = −β, qual’è la frequenza <strong>del</strong>la coppia scaricata sui supporti?<br />
3-23
x0<br />
x1<br />
3.5 Esercizio: trottola<br />
z2<br />
G<br />
Ω<br />
x2<br />
ϑ<br />
z0, z1<br />
O<br />
ϕ<br />
y0<br />
y1, y2<br />
Figura 3.8: Descrizione <strong>del</strong>l’orientazione <strong>del</strong>la trottola.<br />
Questo problema è costituito da una“trottola”, ovvero da un corpo con simmetria <strong>di</strong> rotazione che ruoti<br />
con velocità elevata attorno al proprio asse <strong>di</strong> simmetria e sia vincolato a terra in un punto O, <strong>di</strong>stinto<br />
dal baricentro G e posto lungo l’asse <strong>di</strong> simmetria ad una <strong>di</strong>stanza L, da una cerniera sferica, ovvero da<br />
un vincolo che impe<strong>di</strong>sce lo spostamento <strong>del</strong> punto senza impe<strong>di</strong>re in alcun modo le rotazioni.<br />
Quando l’asse <strong>di</strong> simmetria è inclinato rispetto alla verticale il peso esercita una coppia rispetto al<br />
polo O; questa può essere bilanciata da una coppia giroscopica se il corpo, oltre a ruotare attorno all’asse<br />
<strong>di</strong> spin, ruota anche rispetto ad un asse verticale con velocità angolare opportuna.<br />
In questo esercizio si cerca <strong>di</strong> trovare una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto stazionario, in cui la velocità <strong>di</strong> spin,<br />
l’angolo <strong>di</strong> nutazione e la velocità <strong>di</strong> precessione siano costanti. Per fare questo si scrivono le equazioni<br />
<strong>del</strong> moto <strong>del</strong> corpo, si impongono le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stazionarietà sopra enunciate, e si verifica se è possibile<br />
trovarne valori <strong>di</strong> angoli e velocità angolari che garantiscano il sod<strong>di</strong>sfacimento <strong>del</strong>le equazioni.<br />
Descrizione <strong>del</strong> movimento. Si consideri un corpo con simmetria <strong>di</strong> rotazione, che abbia matrice<br />
d’inerzia rispetto al baricentro<br />
⎡<br />
� �<br />
J = ⎣<br />
Ix 0 0<br />
0 Ix 0<br />
0 0 Iz<br />
⎤<br />
⎦. (3.106)<br />
L’orientazione <strong>del</strong> corpo, come illustrato in figura 3.8, è definita dalla sequenza <strong>di</strong> rotazioni:<br />
• angolo <strong>di</strong> precessione, ϕ, che consiste in una rotazione attorno all’asse z <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
fisso,<br />
⎡<br />
[Rϕ] = ⎣<br />
cosϕ −sinϕ 0<br />
sinϕ cosϕ 0<br />
0 0 1<br />
che porta dal sistema x1y1z1 al sistema fisso x0y0z0;<br />
⎤<br />
⎦, (3.107)<br />
3-24
• angolo <strong>di</strong> nutazione, ϑ, corrispondente ad una rotazione attorno all’asse y <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
che segue il moto <strong>di</strong> precessione,<br />
⎡ ⎤<br />
cosϑ 0 sinϑ<br />
[Rϑ] = ⎣ 0 1 0 ⎦, (3.108)<br />
−sinϑ 0 cosϑ<br />
che porta dal sistema x2y2z2 al sistema x1y1z1;<br />
• angolo <strong>di</strong> spin, ψ, corrispondente ad una rotazione <strong>del</strong> corpo attorno all’asse <strong>di</strong> simmetria, ovvero<br />
all’asse z <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento che segue il moto <strong>di</strong> nutazione,<br />
⎡ ⎤<br />
cosψ −sinψ 0<br />
[Rψ] = ⎣ sinψ cosψ 0 ⎦, (3.109)<br />
0 0 1<br />
che porta dal sistema solidale con il corpo al sistema x2y2z2.<br />
La posizione <strong>del</strong> baricentro è lungo l’asse z2 <strong>del</strong> sistema definito da [Rϑ], ad una <strong>di</strong>stanza L dal punto<br />
fisso O.<br />
Equazioni <strong>del</strong> moto me<strong>di</strong>ante il formalismo <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> II o tipo. Lascrittura<strong>del</strong>leequazioni<br />
<strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> II o tipo richiede la lagrangiana, che a sua volta richiede energia cinetica e potenziale. La<br />
loro scrittura richiede<br />
Il sistema <strong>di</strong> riferimento più opportuno per scrivere le equazioni <strong>del</strong> moto è quello <strong>di</strong> nutazione, al<br />
quale si arriva a partire dal sistema <strong>di</strong> riferimento globale me<strong>di</strong>ante la rotazione [Rϑ] T [Rϕ] T .<br />
La velocità angolare <strong>del</strong> corpo nel sistema <strong>di</strong> riferimento assoluto si ricava dalla relazione<br />
� �<br />
[ω ∧] = ˙R [R] T , (3.110)<br />
con [R] = [Rϕ][Rϑ][Rψ], ovvero<br />
� �<br />
[ω ∧] = ˙Rϕ [Rϕ] T � �<br />
+[Rϕ] ˙Rϑ [Rϑ] T [Rϕ] T � �<br />
+[Rϕ][Rϑ] ˙Rψ [Rψ] T [Rϑ] T [Rϕ] T<br />
con<br />
= [ωϕ ∧]+[Rϕ][ωϑ ∧][Rϕ] T +[Rϕ][Rϑ][ωψ ∧][Rϑ] T [Rϕ] T , (3.111)<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{ωϕ} = 0<br />
⎩ ⎭<br />
˙ϕ<br />
La velocità angolare corrispondente è<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{ωϑ} = ˙ϑ<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
⎧<br />
⎨ 0<br />
{ωψ} = 0<br />
⎩<br />
Ω<br />
⎫<br />
⎬<br />
. (3.112)<br />
⎭<br />
{ω} = {ωϕ}+[Rϕ]{ωϑ}+[Rϕ][Rϑ]{ωψ}. (3.113)<br />
La si proietti nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>di</strong> nutazione me<strong>di</strong>ante la rotazione [Rϑ] T [Rϕ] T ; siccome le<br />
rotazioni sono tutte attorno ad assi fissi, si ha [Rϕ] T {ωϕ} = {ωϕ} e [Rϑ] T {ωϑ} = {ωϑ}, per cui<br />
[Rϑ] T [Rϕ] T {ω} = {ω} = [Rϑ] T ⎧ ⎫<br />
⎨ − ˙ϕsinϑ ⎬<br />
{ωϕ}+{ωϑ}+{ωψ} = ˙ϑ . (3.114)<br />
⎩ ⎭<br />
˙ϕcosϑ+Ω<br />
La posizione <strong>del</strong> baricentro rispetto al polo O, nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>di</strong> nutazione13 , è<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{x} ϑ = 0 . (3.115)<br />
⎩ ⎭<br />
L<br />
13 La posizione <strong>del</strong> baricentro non <strong>di</strong>pende dalla rotazione [Rψ], dal momento che [Rψ]{x}ϑ = {x}ϑ.<br />
3-25
Nel sistema <strong>di</strong> riferimento assoluto, la posizione è<br />
{x} = [Rϕ][Rϑ]{x} ϑ . (3.116)<br />
La velocità <strong>del</strong> baricentro, considerando il vincolo, è<br />
{˙x} = [ωϕ ∧][Rϕ][Rϑ]{x} ϑ +[Rϕ][ωϑ ∧][Rϑ]{x} ϑ . (3.117)<br />
La sua proiezione nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>di</strong> nutazione è<br />
[Rϑ] T [Rϕ] T {˙x} = {v} = [Rϑ] T [ωϕ ∧][Rϑ]{x} ϑ +[ωϑ ∧]{x} ϑ<br />
=<br />
��<br />
[Rϑ] T � �<br />
{ωϕ}+{ωϑ} ∧ {x} ϑ =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
˙ϑL<br />
sinϑ ˙ϕL<br />
0<br />
Si considerino le equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> secondo tipo; l’energia cinetica è<br />
T = 1<br />
2 m{v}T {v}+ 1<br />
2 {ω}T � J � {ω}<br />
= 1<br />
�<br />
mL<br />
2<br />
2 ϑ˙ 2 2 2 2<br />
+mL sin ϑ ˙ϕ +Ixsin 2 ϑ ˙ϕ 2 +Ix ˙ ϑ 2 +Iz( ˙ϕcosϑ+Ω) 2�<br />
= 1<br />
2<br />
⎫<br />
⎬<br />
. (3.118)<br />
⎭<br />
�<br />
I ∗ x sin 2 ϑ ˙ϕ 2 +I ∗ x ˙ ϑ 2 +Iz( ˙ϕcosϑ+Ω) 2�<br />
, (3.119)<br />
con I ∗ x = Ix+mL 2 , ovvero il momento d’inerzia attorno all’asse x2 valutato rispetto al polo O. L’energia<br />
potenziale è<br />
V = mgzG = mgLcosϑ. (3.120)<br />
Il problema ha 3 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà; a partire dalla lagrangiana L = T − V, dato che non ci sono<br />
sollecitazioni esterne, è possibile scrivere le equazioni <strong>del</strong> moto associate ad ognuno <strong>di</strong> essi:<br />
• si consideri ψ, ricordando che si è posto Ω = ˙ ψ; si ottiene<br />
∂L<br />
∂ ˙ ψ = Iz( ˙ϕcosϑ+Ω)<br />
�<br />
d ∂L<br />
dt ∂<br />
(3.121a)<br />
˙ � �<br />
= Iz ¨ϕcosϑ− ˙ϕ<br />
ψ<br />
˙ ϑsinϑ+ ˙ �<br />
Ω<br />
(3.121b)<br />
∂L<br />
= 0<br />
∂ψ<br />
(3.121c)<br />
da cui l’equazione <strong>del</strong> moto<br />
�<br />
¨ϕcosϑ− ˙ϕ ˙ ϑsinϑ+ ˙ �<br />
Ω = 0; (3.122)<br />
Iz<br />
• si consideri ora ϑ; si ottiene<br />
∂L<br />
∂ ˙ ϑ = I∗ x ˙ ϑ<br />
�<br />
d ∂L<br />
dt ∂<br />
(3.123a)<br />
˙ �<br />
= I<br />
ϑ<br />
∗ x ¨ ϑ (3.123b)<br />
∂L<br />
∂ϑ = I∗ x sinϑcosϑ ˙ϕ 2 −Iz( ˙ϕcosϑ+Ω) ˙ϕsinϑ+mgLsinϑ (3.123c)<br />
da cui l’equazione <strong>del</strong> moto<br />
I ∗ x ¨ ϑ−(I ∗ x −Iz)sinϑcosϑ ˙ϕ 2 +IzΩ ˙ϕsinϑ−mgLsinϑ = 0; (3.124)<br />
3-26
• si consideri infine ϕ; si ottiene<br />
∂L<br />
∂ ˙ϕ = I∗ x sin 2 ϑ ˙ϕ+Iz( ˙ϕcosϑ+Ω)cosϑ (3.125a)<br />
� �<br />
d ∂L<br />
=<br />
dt ∂ ˙ϕ<br />
� I ∗ x sin 2 ϑ+Izcos 2 ϑ � ¨ϕ+Izcosϑ ˙ Ω+2(I ∗ x −Iz)cosϑsinϑ ˙ ϑ ˙ϕ−Izsinϑ ˙ ϑΩ<br />
(3.125b)<br />
∂L<br />
= 0 (3.125c)<br />
∂ϕ<br />
da cui l’equazione <strong>del</strong> moto<br />
� I ∗ x sin 2 ϑ+Izcos 2 ϑ � ¨ϕ+Izcosϑ ˙ Ω+2(I ∗ x −Iz)cosϑsinϑ ˙ ϑ ˙ϕ−Izsinϑ ˙ ϑΩ = 0. (3.126)<br />
Nell’ipotesi che ϑ, ˙ϕ e Ω siano costanti, le equazioni in ψ e ϕ sono identicamente sod<strong>di</strong>sfatte.<br />
L’equazione in ϑ, viceversa, <strong>di</strong>venta<br />
−(I ∗ x −Iz)sinϑcosϑ ˙ϕ 2 +IzΩ ˙ϕsinϑ−mgLsinϑ = 0. (3.127)<br />
Questa equazione è sod<strong>di</strong>sfatta per ϑ = 0+kπ e, per ϑ �= π/2+kπ, quando<br />
˙ϕ = IzΩ±<br />
�<br />
(IzΩ) 2 −4mgL(I ∗ x −Iz)cosϑ<br />
2(I∗ x −Iz)cosϑ<br />
o, per I ∗ x −Iz = 0 o ϑ = π/2+kπ, quando<br />
(3.128)<br />
˙ϕ = mgL<br />
. (3.129)<br />
IzΩ<br />
Perché queste soluzioni siano accettabili, nel caso <strong>del</strong>la (3.128) occorre che I ∗ x − Iz �= 0 e che (IzΩ) 2 −<br />
4mgL(I ∗ x −Iz)cosϑ ≥ 0, mentre nel caso <strong>del</strong>la (3.129) è sufficiente che Ω �= 0.<br />
Si noti inoltre che se I ∗ x − Iz < 0 le due ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong>la (3.128) hanno segno <strong>di</strong>verso, mentre nel caso<br />
contrario hanno lo stesso segno. Di conseguenza è possibile riconoscere due tipi <strong>di</strong> precessione, una<br />
“avanzante”e una“retrocedente”; identificano rispettivamente una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento in cui la<br />
velocità <strong>di</strong> spin e una frazione <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> precessione si sommano, e una in cui si sottraggono.<br />
La figura 3.9 mostra la traiettoria <strong>del</strong> baricentro <strong>di</strong> una trottola per con<strong>di</strong>zioni iniziali che corrispondono<br />
ad un moto <strong>di</strong> precessione“retrocedente”positiva, sia nominali che a seguito <strong>di</strong> una piccola<br />
perturbazione. Nel secondo caso, gli angoli e le velocità angolari oscillano attorno alla soluzione che si<br />
ottiene nel primo caso.<br />
Esercizio 3.22 Si scriva l’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>del</strong>la trottola attorno all’asse <strong>di</strong> nutazione me<strong>di</strong>ante<br />
gli equilibri <strong>di</strong>namici.<br />
Esercizio 3.23 Si scrivano le equazioni <strong>del</strong> moto <strong>del</strong>la trottola me<strong>di</strong>ante il Principio dei Lavori Virtuali.<br />
(Nota: come si definisce la rotazione virtuale per cui compiono lavoro le coppie?)<br />
Esercizio 3.24 Si calcoli la forza <strong>di</strong> reazione scaricata a terra nel punto O.<br />
3-27
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
z<br />
-0.4<br />
-0.2<br />
x<br />
0<br />
0.2 0.4<br />
nominale<br />
perturbata<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2 y<br />
-0.4<br />
Figura 3.9: Traiettoria <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong>la trottola per con<strong>di</strong>zioni iniziali <strong>di</strong> precessione“retrocedente”<br />
positiva.<br />
3-28
Capitolo 4<br />
Cinematica e <strong>di</strong>namica dei sistemi <strong>di</strong><br />
corpi rigi<strong>di</strong><br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
4.1 I sistemi <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong><br />
I risultati ottenuti nel Capitolo 1 per un singolo corpo rigido possono essere estesi al caso <strong>di</strong> un sistema<br />
<strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong> ricordando dalla Meccanica Razionale che:<br />
con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente perché un sistema <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong> sia in equilibrio è che sia<br />
in equilibrio ciascuna sua parte considerata rigida.<br />
Ovviamente, per applicare questo criterio alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong>namica, occorrerà estendere il concetto <strong>di</strong><br />
equilibrio statico al caso <strong>di</strong>namico, ossia inserire nelle equazioni anche le forze e coppie <strong>di</strong> inerzia agenti<br />
sui vari corpi componenti il sistema. Dalla con<strong>di</strong>zione sopra citata <strong>di</strong>scende che per un sistema composto<br />
da n corpi rigi<strong>di</strong> possono scriversi n sistemi <strong>di</strong> equazioni vettoriali <strong>del</strong> tipo (1.11):<br />
�<br />
�Fj + � Fi,j = 0<br />
�MO,j + � Ci,j +(Gj −O)∧ � Fi,j = 0<br />
che, opportunamente proiettate, daranno luogo, per un sistema piano, a 3×n equazioni scalari in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Nel sistema <strong>di</strong> equazioni (4.1) il vettore risultante <strong>del</strong>le forze agenti sul generico corpo j-esimo,<br />
�Fj, comprende:<br />
• le forze esterne agenti sul solo corpo j;<br />
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j a terra;<br />
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano il corpo j agli altri corpi <strong>del</strong><br />
sistema.<br />
Queste equazioni consentono <strong>di</strong> calcolare 3×n incognite che, in genere, saranno in larga parte costituite<br />
dalle reazioni vincolari, e che inoltre comprenderanno:<br />
• un numero <strong>di</strong> parametri cinematici incogniti (componenti <strong>di</strong> accelerazione periferica o angolare dei<br />
corpi) pari al numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> sistema, nel caso in cui si voglia risolvere un problema<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>namica <strong>di</strong>retta;<br />
• un numero <strong>di</strong> componenti <strong>di</strong> forza o coppia incognite pari al numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> sistema,<br />
nel caso in cui si voglia risolvere un problema <strong>di</strong> <strong>di</strong>namica inversa.<br />
4-1<br />
(4.1)
Naturalmente, in base a quanto affermato sopra, una coppia <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico aventi<br />
la forma (4.1) può essere scritta per qualsiasi parte <strong>del</strong> sistema, non necessariamente formata dal singolo<br />
j-esimo corpo rigido, ma ad esempio da più corpi uniti fra loro da vincoli. In questo caso, le tre equazioni<br />
scalari <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico che si possono scrivere conterranno:<br />
• le forze esterne agenti su tutti i corpi facenti parte <strong>di</strong> quella porzione <strong>del</strong> sistema per cui si scrive<br />
la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico;<br />
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano a terra la parte <strong>di</strong> sistema<br />
considerata;<br />
• le reazioni vincolari corrispondenti agli eventuali vincoli che collegano la porzione considerata al<br />
resto <strong>del</strong> sistema; non compariranno però le forze scambiate tra i corpi appartenenti alla parte <strong>di</strong><br />
sistema considerata, in quanto forze interne 1 .<br />
In ogni caso, è facile verificare che qualunque nuova equazione si scriva in aggiunta al sistema (4.1)<br />
è combinazione lineare <strong>del</strong>le equazioni già contenute in quel sistema. In altre parole, l’equilibrio <strong>di</strong> un<br />
sistema <strong>di</strong> n corpi consente <strong>di</strong> scrivere solamente 3×n equazioni scalari linearmente in<strong>di</strong>pendenti. Fermo<br />
restando questo numero massimo <strong>di</strong> equazioni, <strong>di</strong> volta in volta potrà essere più opportuno e semplice,<br />
per il tipo <strong>di</strong> sistema considerato, scegliere <strong>di</strong> imporre l’equilibrio parziale <strong>di</strong> un solo corpo, <strong>di</strong> una parte<br />
<strong>di</strong> sistema formata da più corpi o ad<strong>di</strong>rittura <strong>del</strong>l’intero sistema, tenendo conto <strong>del</strong>le avvertenze sopra<br />
riportate su quali forze includere in tali equazioni.<br />
4.2 Dipendenza <strong>del</strong>l’equilibrio dalla configurazione<br />
Lascrittura<strong>del</strong>leequazioni<strong>di</strong>equilibrio<strong>di</strong>pendedallaconoscenza<strong>del</strong>laconfigurazione<strong>del</strong>sistema, ovvero<br />
<strong>del</strong>le posizioni relative tra le parti che lo compongono, e dalla capacità <strong>di</strong> descriverne le variazioni in<br />
funzione <strong>del</strong>le variabili in<strong>di</strong>pendenti che lo caratterizzano, per due or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> motivi:<br />
• la scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> equilibrio richiede la conoscenza <strong>del</strong>la posizione dei punti <strong>di</strong> applicazione<br />
<strong>del</strong>le forze che agiscono sui corpi, <strong>del</strong>l’orientazione dei corpi sui quali agiscono le coppie, e<br />
<strong>del</strong>la posizione dei poli rispetto ai quali si scrivono le equazioni <strong>di</strong> equilibrio dei momenti<br />
• le forze e le coppie agenti sui corpi che costituiscono il sistema possono <strong>di</strong>pendere a vario titolo<br />
dalla configurazione e dalle sue derivate.<br />
La descrizione <strong>del</strong>la cinematica <strong>del</strong> sistema in funzione <strong>del</strong>le variabili in<strong>di</strong>pendenti prescelte si ottiene<br />
me<strong>di</strong>ante la scrittura <strong>del</strong>le equazioni cinematiche che esprimono i vincoli tra le varie parti <strong>del</strong> sistema,<br />
come illustrato nel Capitolo 1.2.2. La derivazione <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> vincolo, a sua volta, consente <strong>di</strong><br />
esprimere le derivate <strong>del</strong>le variabili cinematiche che descrivono la configurazione <strong>del</strong> sistema in funzione<br />
<strong>del</strong>le derivate <strong>del</strong>le variabili in<strong>di</strong>pendenti. Tali derivate sono essenziali per la scrittura <strong>del</strong>le forze da loro<br />
<strong>di</strong>pendenti.<br />
4.2.1 Cinematica<br />
I sistemi <strong>di</strong> corpi tra i quali è consentito movimento relativo si chiamano catene cinematiche. La descrizione<br />
<strong>del</strong>le catene cinematiche, siano esse aperte o chiuse, avviene rappresentando ogni corpo come<br />
un insieme <strong>di</strong> vettori che collegano i punti nei quali i corpi sono vincolati l’uno all’altro. Dal momento<br />
che i vettori sono entità matematiche che descrivono entità fisiche, con essi si possono scrivere e risolvere<br />
equazioni. In figura 4.1 è illustrato il passaggio da un problema fisico, un pistone in movimento all’interno<br />
<strong>di</strong> un motore alternativo, al corrispondente mo<strong>del</strong>lo matematico, ovvero un insieme <strong>di</strong> vettori che<br />
descrivono i punti in cui sono applicati i vincoli tra i <strong>di</strong>versi corpi costituenti il sistema.<br />
1 Ricordando <strong>di</strong>fatti il principio <strong>di</strong> azione e reazione, a ciascuna forza se ne accompagnerà una uguale e contraria, con<br />
uguale retta <strong>di</strong> applicazione, <strong>di</strong> modo che il contributo <strong>di</strong> queste due forze sarà complessivamente nullo, sia per quanto<br />
riguarda il vettore risultante � F che per il momento � M0 rispetto al polo O considerato.<br />
4-2
Equazione <strong>di</strong> chiusura<br />
Figura 4.1: Motore alternativo.<br />
L’equazione vettoriale <strong>di</strong> chiusura <strong>di</strong> un per<strong>corso</strong> ad anello nello spazio consiste nella somma vettoriale <strong>di</strong><br />
tutti i vettori che costituiscono un per<strong>corso</strong> ad anello <strong>del</strong>la catena cinematica, che quin<strong>di</strong> risulta nulla. È<br />
conveniente utilizzare questo metodo per la scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> vincolo per le catene cinematiche<br />
chiuse, in quanto si sfrutta il fatto che un per<strong>corso</strong> chiuso, durante l’operatività <strong>del</strong>la macchina, si<br />
mantiene tale. Se ne ricavano 3 equazioni scalari <strong>di</strong> vincolo nello spazio; 2 nel piano.<br />
Attraverso la scrittura <strong>di</strong> opportune equazioni <strong>di</strong> vincolo, tutti i parametri <strong>di</strong> configurazione <strong>di</strong> un<br />
meccanismo possono essere descritti in funzione <strong>del</strong>le variabili in<strong>di</strong>pendenti <strong>del</strong> problema. Non tutte<br />
le equazioni <strong>di</strong> chiusura che si possono scrivere sono linearmente in<strong>di</strong>pendenti; ad esempio, se lo stesso<br />
anello chiuso viene sommato una volta in un verso e un’altra volta nel verso opposto si ottiene due volte<br />
la stessa equazione. Occorre quin<strong>di</strong> aver cura <strong>di</strong> descrivere, con ogni equazione <strong>di</strong> chiusura, un <strong>di</strong>verso<br />
per<strong>corso</strong>.<br />
Si consideri ad esempio il sistema in figura 4.2, la gamba <strong>di</strong> un carrello principale <strong>di</strong> un velivolo da<br />
combattimento. Esso costituisce un chiaro esempio <strong>di</strong> catena cinematica chiusa. I 3 corpi costituenti<br />
sono la parte fissa e la parte basculante <strong>del</strong>la gamba, e l’ammortizzatore 2 . I corpi siano descritti me<strong>di</strong>ante<br />
vettori che congiungono i punti <strong>di</strong> vincolo, ossia, nel caso in esame, i punti in cui sono collocate le cerniere<br />
che consentono la rotazione relativa tra le parti:<br />
• la parte fissa <strong>del</strong>la gamba è rappresentata dal vettore (A−C), <strong>di</strong> lunghezza e orientazione costanti;<br />
• la parte basculante <strong>del</strong>la gamba è rappresentata dal vettore (B −A), <strong>di</strong> lunghezza costante e<br />
orientazione variabile;<br />
• l’ammortizzatore è rappresentato dal vettore (C −B), <strong>di</strong> lunghezza e orientazione variabili.<br />
2 In realtà l’ammortizzatore è costituito da due corpi tra i quali è consentita solamente la traslazione lungo l’asse, ed<br />
eventualmente la rotazione attorno allo stesso asse. Nel caso in esame, tuttavia, è sufficiente ed opportuno considerare un<br />
solo corpo, la cui lunghezza possa variare.<br />
4-3
Figura 4.2: Carrello <strong>di</strong> atterraggio (carrello principale <strong>di</strong> un F18).<br />
La configurazione <strong>di</strong>pende quin<strong>di</strong> dalle tre grandezze cinematiche variabili appena menzionate. L’equazione<br />
<strong>di</strong> chiusura è<br />
(A−C)+(B −A)+(C −B) =�0 (4.2)<br />
In un problema piano, l’equazione vettoriale (4.2) rappresenta 2 equazioni scalari, che possono essere<br />
interpretate come le proiezioni <strong>del</strong>l’equazione (4.2) sugli assi che definiscono il sistema <strong>di</strong> riferimento<br />
considerato.<br />
Formalismo dei numeri complessi<br />
Quando si considerano problemi piani, è spesso vantaggioso utilizzare il formalismo dei numeri complessi,<br />
ovvero l’analogia tra il piano cartesiano ed il piano complesso (o piano <strong>di</strong> Gauss), per cui la proiezione su<br />
due assi coor<strong>di</strong>nati ortogonali viene ricondotta alla decomposizione dei numeri complessi in parte reale<br />
ed immaginaria.<br />
Un generico vettore �v nel piano ha due componenti,<br />
� �<br />
vx<br />
�v =<br />
(4.3)<br />
vy<br />
Quin<strong>di</strong>, nel piano complesso, può essere rappresentato come<br />
�v = vx +ivy. (4.4)<br />
L’uso dei numeri complessi in notazione esponenziale rende particolarmente vantaggioso questo metodo<br />
qualora si voglia esprimere i vettori in termini <strong>di</strong> modulo e anomalia, ove l’anomalia, per tutti i vettori,<br />
deve essere valutata a partire da un comune riferimento, ovvero una <strong>di</strong>rezione parallela all’asse reale, con<br />
verso positivo <strong>del</strong>l’anomalia in senso antiorario. Quin<strong>di</strong> un vettore<br />
� �<br />
cosθ<br />
�v = |v|<br />
(4.5)<br />
sinθ<br />
viene rappresentato nel piano complesso come<br />
�v = |v|e iθ , (4.6)<br />
in quanto e iθ = cosθ +isinθ.<br />
Nell’esempio in questione siano<br />
4-4
• a e α il modulo e l’anomalia <strong>del</strong> vettore (B −A), con a costante in quanto (B −A) è rigido;<br />
• b e β il modulo e l’anomalia <strong>del</strong> vettore (C −B), entrambi variabili;<br />
• c e γ il modulo e l’anomalia <strong>del</strong> vettore (A−C), entrambi costanti, in quanto (A−C) è il telaio.<br />
L’equazione <strong>di</strong> chiusura (4.2) <strong>di</strong>venta<br />
ae iα +be iβ +ce iγ = 0 (4.7)<br />
Questa equazione in variabili complesse corrisponde a due equazioni in variabili reali,<br />
acosα+bcosβ +ccosγ = 0 (4.8a)<br />
asinα+bsinβ +csinγ = 0 (4.8b)<br />
I parametri cinematici incogniti sono 3; <strong>di</strong> conseguenza, attraverso l’equazione <strong>di</strong> chiusura, si ottengono<br />
le due relazioni che consentono <strong>di</strong> descrivere il movimento <strong>del</strong>l’intera catena cinematica in funzione <strong>di</strong> un<br />
solo parametro, che rappresenta la coor<strong>di</strong>nata libera <strong>del</strong> sistema.<br />
Esistono tre combinazioni <strong>di</strong> parametri da esplicitare in funzione <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera:<br />
1. due angoli; si ottiene un problema non-lineare trascendente, <strong>di</strong> cui tuttavia la soluzione, se esiste,<br />
è ottenibile in forma chiusa<br />
2. un angolo ed una lunghezza; si ottiene <strong>di</strong> nuovo un problema non-lineare trascendente, la cui<br />
soluzione, se esiste, è <strong>di</strong> nuovo esplicitabile in forma chiusa<br />
3. due lunghezze; si ottiene un problema lineare.<br />
Esercizio 4.1 Si consideri un’equazione <strong>di</strong> chiusura nella forma <strong>del</strong>la (4.7), in cui α, b e c sono costanti,<br />
e si esprimano β e γ in funzione <strong>di</strong> a.<br />
Esercizio 4.2 Si consideri un’equazione <strong>di</strong> chiusura nella forma <strong>del</strong>la (4.7), in cui α, b e c sono costanti,<br />
e si esprimano β e a in funzione <strong>di</strong> γ.<br />
Esercizio 4.3 Si consideri un’equazione <strong>di</strong> chiusura nella forma <strong>del</strong>la (4.7), in cui α, β e c sono costanti,<br />
e si esprimano a e b in funzione <strong>di</strong> γ.<br />
Un vantaggio che si ha con l’uso <strong>di</strong> questa notazione consiste nella possibilità <strong>di</strong> derivare l’equazione<br />
<strong>di</strong> chiusura con una notevole facilità, eseguendo una sola operazione <strong>di</strong> derivazione, per poi separare il<br />
risultato in parte reale ed immaginaria ad ottenere le due equazioni scalari derivate <strong>di</strong> vincolo.<br />
Nel seguito verrà illustrata un’applicazione <strong>di</strong> questo formalismo alla descrizione <strong>del</strong> movimento <strong>di</strong><br />
un pistone in un motore a combustione interna.<br />
4.2.2 Forze <strong>di</strong>pendenti dalla configurazione<br />
Nei sistemi meccanici possiamo riconoscere tre classi <strong>di</strong> forze legate alla geometria, ovvero:<br />
• forze <strong>di</strong>pendenti dagli spostamenti <strong>del</strong> sistema;<br />
• forze <strong>di</strong>pendenti dalle velocità <strong>del</strong> sistema;<br />
• forze <strong>di</strong>pendenti dalle accelerazioni <strong>del</strong> sistema; queste ultime comprendono le forze d’inerzia, e<br />
tipicamente si limitano ad esse.<br />
4-5
Figura 4.3: Curva caratteristica <strong>di</strong> una molla.<br />
Forze <strong>di</strong>pendenti dagli spostamenti <strong>del</strong> sistema<br />
Possonoessereprodotteoda una deformazione<strong>di</strong> un elemento<strong>del</strong> sistema(come nel caso <strong>del</strong>l’elongazione<br />
<strong>di</strong> una molla o <strong>del</strong>la torsione <strong>di</strong> un albero) oppure per effetto <strong>del</strong> movimento in un campo <strong>di</strong> forze<br />
(gravitazionale, elettrostatico, elettromagnetico). Sperimentalmente si verifica che la forza f necessaria<br />
ad imporre uno spostamento relativo ξ tra due corpi rigi<strong>di</strong> <strong>di</strong>pende da ξ stesso. In figura 4.3, i cerchi<br />
bianchi rappresentano i valori sperimentali. Anche se il legame fra f (ξ) e ξ è non lineare, in molti casi <strong>di</strong><br />
interesse applicativo se ne può utilizzare un’approssimazione lineare. Essa è ottenuta nel modo seguente:<br />
• in<strong>di</strong>chiamo con f (ξ ∗ ) la forza agente fra i due corpi in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio statico per un’elongazione<br />
ξ ∗ ;<br />
• incrementando la forza <strong>di</strong> una quantità ∆f, i corpi si allontaneranno <strong>di</strong> una quantità ∆ξ. La nuova<br />
forza agente f (ξ∗ )+∆f può anche essere calcolata usando l’espansione in serie <strong>di</strong> Taylor attorno<br />
alla posizione <strong>di</strong> equilibrio statico ovvero<br />
f (ξ ∗ )+∆f = f (ξ ∗ +∆ξ) = f (ξ ∗ )+ df<br />
�<br />
dξ�<br />
ξ∗ �<br />
�<br />
∆ξ + 1<br />
2!<br />
d2f dξ2 �<br />
�<br />
�<br />
� ξ ∗<br />
∆ξ 2 +... (4.9)<br />
Per piccoli valori <strong>di</strong> elongazione, le derivate <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore al primo possono essere trascurate,<br />
per cui<br />
f (ξ ∗ )+∆f ∼ = f (ξ ∗ )+ df<br />
�<br />
�<br />
� ∆ξ (4.10)<br />
dξ<br />
ovvero<br />
∆f ∼ = df<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dξ<br />
ove k è pari a:<br />
k = df<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dξ<br />
� ξ ∗<br />
� ξ ∗<br />
� ξ ∗<br />
∆ξ = k∆ξ (4.11)<br />
(4.12)<br />
e rappresenta il coefficiente angolare <strong>del</strong>la tangente locale alla curva sperimentale che lega le forze<br />
f alle elongazioni ξ, ovvero la forza applicata che, in con<strong>di</strong>zioni statiche, induce un’elongazione<br />
unitaria.<br />
4-6
Rigidezza equivalente <strong>di</strong> elementi elastici continui. In molti casi, il valore approssimato <strong>del</strong>la<br />
rigidezza k <strong>di</strong> elementi elastici può essere stimato utilizzando le formule fornite dalla Scienza <strong>del</strong>le<br />
Costruzioni 3 .<br />
Ad esempio la rigidezza torsionale <strong>di</strong> un albero può essere calcolata ricordando che in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong><br />
equilibrio statico, ovvero trascurando l’inerzia <strong>del</strong>l’albero stesso supposto omogeneo, l’angolo <strong>di</strong> rotazione<br />
Ψstat <strong>di</strong> una sezione generica <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nata z rispetto alla sezione z = 0 è proporzionale a z stesso e vale<br />
Ψstat<br />
z<br />
= q Mt<br />
GJp<br />
ove G èilmodulo<strong>di</strong>elasticitàtangenziale<strong>del</strong>materiale<strong>di</strong>cuiècomposto<br />
l’albero;<br />
(4.13)<br />
Jp è il momento polare d’inerzia <strong>del</strong>la sezione;<br />
Mt è il momento torcente equivalente alla <strong>di</strong>stribuzione degli sforzi<br />
sulla sezione normale;<br />
q è il fattore <strong>di</strong> torsione.<br />
Nel caso particolare <strong>di</strong> torsione circolare, in cui le sezioni si mantengono piane, q è uguale a 1. Ne<br />
deriva che il momento torcente Mt che induce una rotazione Ψstat unitaria in una sezione <strong>di</strong> estremità<br />
rispetto all’altra in un albero omogeneo a sezione circolare lungo l, ovvero la rigidezza torsionale kt<br />
<strong>del</strong>l’albero stesso, è pari a:<br />
kt = GJp<br />
l<br />
(4.14)<br />
Con analoghi approcci, sempre utilizzando quanto imparato nel <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Scienza <strong>del</strong>le Costruzioni, è<br />
possibile valutare, sempre nelle ipotesi <strong>di</strong> Saint Venant, la rigidezza in alcuni punti significativi <strong>di</strong> travi<br />
omogenee variamente vincolate agli estremi, come illustrato in Tabella 4.1, ove<br />
A è l’area <strong>del</strong>la sezione trasversale;<br />
E è il modulo <strong>di</strong> elasticità normale <strong>del</strong> materiale (o <strong>di</strong> Young) <strong>di</strong> cui<br />
è composto l’albero;<br />
J è il momento d’inerzia <strong>del</strong>la sezione trasversale;<br />
l lunghezza <strong>di</strong> libera inflessione <strong>del</strong>la trave (l = a+b).<br />
Rigidezza equivalente dovuta a campi <strong>di</strong> forze <strong>di</strong>pendenti dalla posizione. Per quanto riguarda<br />
il caso <strong>di</strong> campi <strong>di</strong> forze, supponiamo <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are che cosa succede a un galleggiante cilindrico come<br />
quello illustrato in figura 4.4, opportunamente zavorrato, che si muova solo in <strong>di</strong>rezione verticale. Trascurando<br />
ogni moto <strong>del</strong> liquido che possa interferire col sistema, il cilindro si <strong>di</strong>spone, in con<strong>di</strong>zioni statiche,<br />
con la sua faccia superiore a una quota h dal pelo libero in modo che il suo peso sia equilibrato dalla<br />
spinta <strong>di</strong> Archimede. Se il cilindro è spostato verticalmente <strong>di</strong> una quantità x, la forza <strong>di</strong> galleggiamento<br />
varia <strong>di</strong> una quantità pari al peso <strong>del</strong> volume <strong>di</strong> fluido spostato, ovvero<br />
∆f = ρgAx = kx (4.20)<br />
dove ρ è la densità <strong>del</strong> liquido, g l’accelerazione <strong>di</strong> gravità e A l’area <strong>di</strong> base <strong>del</strong> cilindro. La variazione <strong>di</strong><br />
forza è opposta allo spostamento x, e tendente a riportare il cilindro nella posizione <strong>di</strong> equilibrio statico.<br />
Esercizio 4.4 Illustrare altri esempi <strong>di</strong> forze <strong>di</strong>pendenti dalla posizione.<br />
Forze <strong>di</strong>pendenti dalla velocità <strong>del</strong> sistema<br />
Tra le forze <strong>di</strong>pendenti dalla velocità, <strong>di</strong> interesse rilevante in meccanica sono quelle che introducono<br />
<strong>di</strong>ssipazione, in quanto si oppongono al verso <strong>del</strong> moto e quin<strong>di</strong> compiono sempre lavoro negativo.<br />
3 Queste note sono state scritte quando il <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali era preceduto, nell’or<strong>di</strong>namento<br />
degli stu<strong>di</strong> D.M. 509, dal <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Scienza <strong>del</strong>le Costruzioni. Nell’or<strong>di</strong>namento corrente, D.M. 270, i due corsi sono in<br />
parallelo, per cui gli studenti avranno le nozioni necessarie per valutare le rigidezze equivalenti solo al termine <strong>del</strong> semestre.<br />
Queste note vanno quin<strong>di</strong> considerate a titolo <strong>di</strong> esempio, ed eventualmente me<strong>di</strong>tate durante la preparazione <strong>del</strong>l’esame<br />
anche alla luce <strong>di</strong> quanto appreso nel frattempo dallo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la Scienza <strong>del</strong>le Costruzioni.<br />
4-7
Tabella 4.1: Rigidezze equivalenti <strong>di</strong> travi variamente vincolate.<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> carico e <strong>di</strong><br />
vincolo<br />
trave sollecitata a carico assiale<br />
(libera-libera)<br />
trave sollecitata a flessione<br />
(appoggio-appoggio)<br />
trave sollecitata a flessione<br />
(incastro-libera)<br />
trave sollecitata a flessione<br />
(incastro-appoggio)<br />
trave sollecitata a flessione<br />
(incastro-incastro)<br />
4-8<br />
rigidezza equivalente lungo<br />
la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> carico<br />
nel punto <strong>di</strong> applicazione<br />
<strong>del</strong>lo stesso<br />
k = EA<br />
l<br />
k = 3EJl<br />
a 2 b 2<br />
k = 3EJ<br />
l 3<br />
k = 768EJ<br />
7l 3<br />
k = 192EJ<br />
l 3<br />
(4.15)<br />
(4.16)<br />
(4.17)<br />
(4.18)<br />
(4.19)
Figura 4.4: Galleggiante<br />
Si <strong>di</strong>fferenziano tra loro per la natura <strong>del</strong> fenomeno da cui hanno origine e per la <strong>di</strong>pendenza che<br />
mostrano dal modulo <strong>del</strong>la velocità.<br />
Nel caso <strong>di</strong> strisciamento tra corpi a contatto, si ha il fenomeno <strong>del</strong>l’attrito <strong>di</strong>namico, in<strong>di</strong>cato in<br />
figura 4.5 con il nome <strong>di</strong> attrito secco, che verrà ulteriormente <strong>di</strong>scusso nel Capitolo 8. L’entità <strong>del</strong>la<br />
forza <strong>di</strong> attrito non <strong>di</strong>pende sostanzialmente dalla velocità relativa, salvo che in prossimità <strong>del</strong>l’arresto o<br />
<strong>del</strong> primo <strong>di</strong>stacco.<br />
Qualora il contatto avvenga tra un corpo e un fluido, dalla Fluido<strong>di</strong>namica è noto che le particelle<br />
<strong>di</strong> fluido imme<strong>di</strong>atamente a contatto con le superfici <strong>del</strong> corpo sono ferme 4 rispetto al corpo, mentre in<br />
generale le particelle <strong>del</strong> fluido sono in moto relativo fra loro. Me<strong>di</strong>ante considerazioni sviluppate nei<br />
Capitoli 11 e 12, si ricava una proporzionalità <strong>di</strong>retta tra forza e velocità <strong>del</strong> fluido nel caso <strong>di</strong> flusso<br />
laminare, che <strong>di</strong>venta quadratica in caso <strong>di</strong> flusso turbolento.<br />
Il rapporto tra la pressione <strong>di</strong>namica e gli sforzi <strong>di</strong> attrito va sotto il nome <strong>di</strong> numero <strong>di</strong> Reynolds 5 ,<br />
in<strong>di</strong>cato con Re, e, in base alla esperienza <strong>di</strong> Sir Osborne Reynolds, rappresenta un in<strong>di</strong>catore <strong>del</strong> tipo<br />
<strong>di</strong> regime più probabile <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> fluido:<br />
• se il numero <strong>di</strong> Reynolds è relativamente basso (Re < 1100), in quanto il moto relativo tra le<br />
particelle <strong>di</strong> fluido è relativamente lento, oppure se la viscosità <strong>del</strong> fluido è relativamente alta, il<br />
moto <strong>di</strong> quest’ultimo è generalmente laminare; la forza d’attrito che nasce, detta <strong>di</strong> smorzamento<br />
viscoso, può ritenersi <strong>di</strong>rettamente proporzionale alla velocità relativa.<br />
• se invece il numero <strong>di</strong> Reynolds è sufficientemente alto (Re > 3500) il moto <strong>del</strong> fluido si manifesta<br />
in forma turbolenta, e la forza <strong>di</strong> attrito risulta essere a gran<strong>di</strong> linee proporzionale al quadrato <strong>del</strong>la<br />
velocità relativa tra corpo e fluido.<br />
4 In realtà, per uno strato <strong>di</strong> spessore confrontabile con il libero cammino me<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le molecole <strong>di</strong> fluido a partire dalla<br />
parete, le particelle hanno una velocità <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> quella <strong>di</strong> agitazione molecolare.<br />
5 Il numero <strong>di</strong> Reynolds è definito come il rapporto tra la pressione <strong>di</strong>namica e gli sforzi viscosi caratteristici <strong>del</strong> fenomeno<br />
fluido<strong>di</strong>namico in esame; ad esempio, nel caso <strong>di</strong> movimento relativo <strong>di</strong> scorrimento tra superfici piane <strong>di</strong> corpi tra cui sia<br />
inserito un sottile strato <strong>di</strong> fluido, ove si assuma una variazione lineare <strong>di</strong> velocità in <strong>di</strong>rezione trasversale al moto, si ha<br />
Re =<br />
1<br />
2 ρv2<br />
µ v<br />
,<br />
D<br />
dove v sia la velocità relativa tra i corpi e D la loro <strong>di</strong>stanza. A meno <strong>del</strong>la costante 1/2, si ottiene l’espressione consueta<br />
Re = ρvD<br />
µ .<br />
4-9
Figura 4.5: Andamento sperimentale ( o ) e approssimato <strong>del</strong>le forze <strong>di</strong> attrito secco, viscoso e con legge<br />
quadratica in funzione <strong>del</strong>la velocità relativa.<br />
• per valori interme<strong>di</strong> <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> Reynolds il tipo <strong>di</strong> moto può essere sia laminare che turbolento,<br />
e la transizione da una forma all’altra può avvenire in conseguenza <strong>di</strong> piccole perturbazioni sia <strong>del</strong><br />
moto, sia dei parametri che lo caratterizzano.<br />
Gli aspetti rilevanti <strong>del</strong>l’interazione tra corpi e flui<strong>di</strong> verranno <strong>di</strong>scussi in seguito nel Capitolo 12.<br />
Nella figura 4.5 sono rappresentati gli andamenti sperimentali tipici per i tre casi <strong>di</strong> forze <strong>di</strong>pendenti<br />
dalla velocità citati in questo paragrafo e le loro approssimazioni.<br />
Forze d’inerzia<br />
Tra le forze <strong>di</strong>pendenti dal movimento <strong>del</strong> sistema hanno un ruolo particolarmente importante le forze<br />
d’inerzia. La loro scrittura non <strong>di</strong>fferisce da quanto osservato per il caso <strong>del</strong> singolo corpo rigido, in<br />
quanto ogni corpo è soggetto alle sole forze e coppie d’inerzia risultanti dalla propria inerzia e dalla<br />
propria cinematica; nel caso piano, le (1.25a, 1.25b) si applicano <strong>di</strong>rettamente al corpo j-esimo nella<br />
forma:<br />
�Fij = −mj ¨ �xGj<br />
CGij = −JGi˙ωj<br />
(4.21)<br />
(4.22)<br />
Per la scrittura <strong>del</strong>le forze d’inerzia è quin<strong>di</strong> fondamentale la capacità <strong>di</strong> descrivere la configurazione, le<br />
velocitàeleaccelerazionilineariedangolari<strong>di</strong>ognicorpoinfunzione<strong>del</strong>lecoor<strong>di</strong>natelibere<strong>del</strong>problema.<br />
A tal fine, nel caso <strong>di</strong> catene cinematiche, è fondamentale la scrittura e la soluzione <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong><br />
chiusura e <strong>del</strong>le sue derivate fino al secondo or<strong>di</strong>ne.<br />
4.3 Esempio: il manovellismo or<strong>di</strong>nario centrato<br />
Si tratta <strong>di</strong> un meccanismo a catena chiusa, utilizzato per convertire il moto rotatorio in moto traslatorio<br />
rettilineo alternato (e viceversa). È uno dei meccanismi più utilizzati, e trova impiego, ad esempio,<br />
nei motori a combustione interna (figura <strong>di</strong> riferimento) nelle presse, nelle pompe e nei compressori<br />
alternativi.<br />
4-10
Figura 4.6: Il manovellismo or<strong>di</strong>nario centrato.<br />
Figura 4.7: L’equazione <strong>di</strong> chiusura per l’analisi cinematica; il punto<br />
B ′ in<strong>di</strong>ca lo schema <strong>di</strong> montaggio corrispondente alla ra<strong>di</strong>ce negativa<br />
nell’equazione (4.28), che corrisponde ad un cambio <strong>di</strong> osservatore.<br />
4.3.1 Analisi cinematica<br />
Un motore monocilindrico è costituito da un albero motore che porta una manovella <strong>di</strong> lunghezza a, un<br />
<strong>corso</strong>ioopistonechescorrenelcilindro, edunabiella<strong>di</strong>lunghezzabchecollegal’estremità<strong>del</strong>lamanovella<br />
al <strong>corso</strong>io. Lo schema cinematico mostrato in figura 4.6 comprende la manovella (O −A), in grado <strong>di</strong><br />
compiere una rotazione completa, e la biella (A−B), alla cui estremità B è collegato il <strong>corso</strong>io. Si<br />
assuma che (A−B) sia maggiore <strong>di</strong> (O −A), affinché l’elemento (O −A) possa effettivamente compiere<br />
un giro completo.<br />
La scrittura <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> chiusura, come illustrato in figura 4.3.1, porta a scrivere<br />
(A−O)+(B −A) = (B −O) (4.23)<br />
che in forma complessa <strong>di</strong>venta:<br />
ae iα +be iβ = ce i0 = c (4.24)<br />
Derivando rispetto al tempo la (4.24) si ottiene il legame tra la velocità <strong>del</strong> <strong>corso</strong>io, ˙c, e quella degli altri<br />
membri <strong>del</strong> cinematismo:<br />
i˙αae iα +i ˙ βbe iβ = ˙c (4.25)<br />
La successiva derivazione rispetto al tempo fornisce l’espressione <strong>del</strong>l’accelerazione ¨c <strong>del</strong> punto B:<br />
i¨αae iα − ˙α 2 ae iα +i ¨ βbe iβ − ˙ β 2 be iβ = ¨c (4.26)<br />
La precedente equazione <strong>di</strong> chiusura (4.23) può essere riscritta separando parte reale ed immaginaria,<br />
cosa che corrisponde a scrivere le componenti orizzontale e verticale <strong>del</strong>l’equazione vettoriale:<br />
�<br />
acosα+bcosβ = c<br />
(4.27)<br />
asinα+bsinβ = 0<br />
incuilasecondaequazionecostituiscelacon<strong>di</strong>zione<strong>di</strong>vincolo<strong>del</strong>puntoB, ossial’appartenenzaall’assex.<br />
Le equazioni sopra descritte costituiscono un sistema <strong>di</strong> equazioni non lineare; gli angoli α e β compaiono<br />
4-11
infatti come argomenti <strong>di</strong> funzioni trigonometriche. In questo primo esempio la posizione <strong>del</strong> <strong>corso</strong>io B<br />
e l’inclinazione <strong>del</strong>la biella in funzione <strong>del</strong>l’angolo <strong>di</strong> <strong>di</strong> cui ruota la manovella <strong>di</strong>vengono6 :<br />
⎧ �<br />
� �<br />
�<br />
⎪⎨ c = acosα+b � a<br />
1−<br />
b<br />
⎪⎩<br />
sinα<br />
�2 β = sin −1<br />
�<br />
− a<br />
b sinα<br />
�<br />
(4.28)<br />
Perottenerevelocitàedaccelerazione<strong>del</strong>puntoB possiamorispettivamenteproiettareleequazioni(4.25)<br />
e (4.26) sull’asse reale e su quello immaginario, che corrisponde a derivare il sistema <strong>di</strong> equazioni (4.27):<br />
�<br />
−˙αasinα− βbsinβ ˙ = ˙c<br />
˙αacosα+ ˙ (4.29)<br />
βbcosβ = 0<br />
che ammette la soluzione:<br />
⎧<br />
⎪⎨ ˙c = −a˙α(sinα−cosαtanβ)<br />
� �<br />
⎪⎩<br />
˙β<br />
acosα<br />
= −˙α<br />
bcosβ<br />
(4.30)<br />
Il sistema (4.29) può essere scritto in modo particolarmente significativo in forma matriciale, in quanto<br />
è necessariamente lineare nelle derivate <strong>del</strong>le variabili cinematiche:<br />
� �� � � �<br />
1 bsinβ ˙c −sinα<br />
0 −bcosβ ˙β<br />
= a˙α (4.31)<br />
cosα<br />
Perché sia risolubile in ogni configurazione, il determinante<br />
�� ��<br />
1 bsinβ<br />
det = −bcosβ (4.32)<br />
0 −bcosβ<br />
non deve mai annullarsi. Questa con<strong>di</strong>zione è sempre verificata se b > a, perché in tal caso l’angolo β<br />
è limitato a valori −π/2 < β < π/2. Altre scelte <strong>di</strong> variabile cinematica in<strong>di</strong>pendente <strong>di</strong>versa da α non<br />
verificano la con<strong>di</strong>zione; ad esempio, se si sceglie c, il sistema (4.29) <strong>di</strong>venta<br />
� �� � � �<br />
−asinα −bsinβ ˙α 1<br />
acosα bcosβ ˙β<br />
= ˙c (4.33)<br />
0<br />
il cui determinante<br />
�� ��<br />
−asinα −bsinβ<br />
det<br />
= absin(β −α) (4.34)<br />
acosα bcosβ<br />
si annulla per α = β e per α = β+π, ovvero ai punti morti inferiore e superiore, nei quali ˙c è nulla ma la<br />
velocità angolare <strong>di</strong> biella e manovella può assumere qualsiasi valore, purché nella proporzione espressa<br />
dalla seconda <strong>del</strong>le (4.30). In tali con<strong>di</strong>zioni, il sistema è indeterminato.<br />
La successiva derivazione porta a definire le accelerazioni:<br />
�<br />
2 −¨αasinα− ˙α acosα− βbsinβ ¨ −β˙ 2bcosβ = ¨c<br />
¨αacosα− ˙α 2asinα+ ¨ βbcosβ − ˙ β2 (4.35)<br />
bsinβ = 0<br />
Si noti che se si esprimono le (4.35) in forma matriciale<br />
� � � �<br />
1 bsinβ −sinα<br />
= a¨α+<br />
0 −bcosβ cosα<br />
�� ¨c<br />
¨β<br />
� ˙α 2 acosα+ ˙ β 2 bcosβ<br />
˙α 2 asinα+ ˙ β 2 bsinβ<br />
�<br />
(4.36)<br />
si ottiene un’espressione caratterizzata dalla stessa matrice utilizzata per la derivata prima <strong>del</strong>l’equazione<br />
<strong>di</strong> chiusura, la (4.31).<br />
6Si noti che nella prima <strong>del</strong>le (4.28) il ra<strong>di</strong>cando è sempre positivo perché si è ipotizzato b > a affinché la manovella<br />
possa compiere un giro completo. Inoltre, si è scelta la ra<strong>di</strong>ce positiva <strong>di</strong> c come regola <strong>di</strong> montaggio <strong>del</strong> meccanismo, come<br />
illustrato in figura 4.3.1; la scelta <strong>del</strong>la ra<strong>di</strong>ce negativa come regola <strong>di</strong> montaggio avrebbe mostrato il <strong>corso</strong>io <strong>di</strong>retto dalla<br />
parte opposta, corrispondente ad un cambio <strong>di</strong> osservatore. È importante sottolineare che, dal punto <strong>di</strong> vista matematico,<br />
le due regole <strong>di</strong> montaggio sono assolutamente equivalenti; è necessario operare una scelta all’atto <strong>del</strong> montaggio, in quanto<br />
non è possibile passare dall’una all’altra posizione durante il regolare funzionamento <strong>del</strong>la macchina.<br />
4-12
Figura 4.8: La sequenza <strong>del</strong> ciclo termo<strong>di</strong>namico <strong>di</strong> un motore a 4 tempi a partire (a sinistra) dalla fase<br />
<strong>di</strong> aspirazione, seguita da compressione, espansione e scarico.<br />
4.3.2 Forza <strong>di</strong>pendente dalla posizione: pressione nella camera<br />
All’interno <strong>del</strong>la camera <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni variabili <strong>del</strong>imitata lateralmente dal cilindro, inferiormente dal<br />
cielo <strong>del</strong> pistone e superiormente dalla camera <strong>di</strong> combustione, si ha un andamento variabile <strong>del</strong>la<br />
pressione p, determinato dall’alternarsi <strong>del</strong>le quattro fasi <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong> motore: aspirazione<br />
(0 ≤ α ≤ π), compressione (π ≤ α ≤ 2π), espansione (2π ≤ α ≤ 3π) e scarico (3π ≤ α ≤ 4π) dei<br />
gas combusti.<br />
L’andamento <strong>del</strong>la pressione pg all’interno <strong>del</strong>la camera <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni variabili è normalmente rappresentato<br />
sotto forma <strong>di</strong> un <strong>di</strong>agramma avente per ascisse il volume geometrico effettivo veff = veff (α)<br />
<strong>del</strong>la camera<br />
veff (α) = v2 +(a+b−c(α))π D2<br />
4<br />
(4.37)<br />
ove D è il <strong>di</strong>ametro <strong>del</strong> cilindro, detto anche alesaggio, e v2 è il volume nocivo, ovvero il volume <strong>del</strong>la<br />
camera quando il <strong>corso</strong>io, o pistone, si trova al massimo <strong>del</strong>la sua corsa, posizione detta anche punto<br />
morto superiore. Dal momento che il manovellismo in esame è centrato, ovvero l’asse <strong>del</strong> <strong>corso</strong>io passa<br />
per l’asse <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong> motore, questa con<strong>di</strong>zione si ha per α = 0, quando a, b e c sono allineati e<br />
quin<strong>di</strong> a+b = c.<br />
La pressione pg = pg(α) risulta così funzione implicita <strong>del</strong>la rotazione <strong>del</strong>la manovella α secondo il<br />
ciclo ideale <strong>di</strong> figura 4.9 nell’ipotesi <strong>di</strong> compressione ed espansione a<strong>di</strong>abatica.<br />
Con riferimento alla figura 4.9, la fase 5-1 rappresenta l’aspirazione, la 1-2 la compressione a<strong>di</strong>abatica,<br />
la 2-3 lo scoppio, che si suppone avvenga a volume costante con la produzione <strong>del</strong> calore Q1, ove<br />
Q1 = cv(T3 −T2) (4.38)<br />
avendo chiamato cv il calore specifico a volume costante <strong>del</strong>la miscela<br />
La fase 3-4 è quella <strong>di</strong> espansione a<strong>di</strong>abatica durante la quale viene prodotto lavoro meccanico, ed<br />
infine la 4-1 e la 1-5 costituiscono la fase <strong>di</strong> scarico dei gas combusti, con la cessione nella parte iniziale<br />
4-1 <strong>del</strong> calore Q2 a una sorgente più fredda, come richiede il II o Principio <strong>del</strong>la Termo<strong>di</strong>namica.<br />
Sul cielo <strong>del</strong> pistone agisce pertanto la forza Fg(α), che rappresenta la risultante <strong>del</strong>le pressioni agenti<br />
sullo stantuffo, pari a:<br />
Fg(α) = π D2<br />
4 (pg(α)−patm) = π D2<br />
4 p∗ g(α) (4.39)<br />
4-13
Figura 4.9: Ciclo ideale termo<strong>di</strong>namico per unità <strong>di</strong> volume d’aria aspirata.<br />
dove p ∗ g(α) è la pressione relativa, in quanto non dobbiamo <strong>di</strong>menticare che la faccia interna <strong>del</strong> cielo <strong>del</strong><br />
<strong>corso</strong>io è sottoposta all’azione <strong>del</strong>la pressione atmosferica patm.<br />
4.3.3 Forze d’inerzia: masse equivalenti<br />
Nell’esempiocorrentesisupporràpoichesull’alberomotore, ossiasullamanovella, agiscaunmomentoMr<br />
<strong>di</strong> valore incognito, opposto alla velocità angolare <strong>del</strong>l’albero. Tale momento rappresenta la sollecitazione<br />
interna all’albero motore dovuta ad un utilizzatore che sfrutti la potenza erogata dal motore stesso.<br />
Per quanto riguarda le inerzie <strong>del</strong> sistema, si supporrà che sull’albero motore sia calettato un volano<br />
con momento <strong>di</strong> inerzia Jm, e che il <strong>corso</strong>io abbia massa mB. Le inerzie <strong>del</strong>la biella possono essere<br />
considerate, in via approssimata, attraverso due masse puntiformi, m1 e m2 poste nel centro <strong>del</strong>la testa<br />
e <strong>del</strong> piede <strong>del</strong>la biella stessa:<br />
• la massa m1, idealmente posta al centro foro all’estremità, detta testa <strong>di</strong> biella, in cui la biella si<br />
connette alla manovella, si muove solidalmente con la manovella, per cui fornisce un contributo <strong>di</strong><br />
inerzia in aggiunta al momento <strong>di</strong> inerzia Jm <strong>di</strong> quest’ultima:<br />
Jt = Jm +m1a 2<br />
(4.40)<br />
• la massa m2, idealmente posta al centro <strong>del</strong> foro all’estremità opposta, detta piede <strong>di</strong> biella, si<br />
muove insieme al pistone, e quin<strong>di</strong> va sommata alla massa mB <strong>del</strong> pistone propriamente detto:<br />
mc = mB +m2<br />
(4.41)<br />
Si ricorda che la riduzione <strong>del</strong>le inerzie <strong>del</strong>la biella a due masse puntiformi consente <strong>di</strong> riprodurre la<br />
massa complessiva <strong>del</strong>la biella e la posizione <strong>del</strong> baricentro <strong>di</strong> questa, ma introduce una approssimazione<br />
per quanto riguarda il momento <strong>di</strong> inerzia baricentrico <strong>del</strong>la biella, che viene ad assumere il valore<br />
JGBapprox = m1l 2 1 +m2l 2 2<br />
anziché quello effettivo.<br />
Con riferimento alla figura 4.10, le masse m1 e m2 si ricavano dal sistema <strong>di</strong> equazioni<br />
�<br />
1 1<br />
�� �<br />
m1<br />
�<br />
l1 −l2<br />
m2<br />
=<br />
� mbiella<br />
0<br />
4-14<br />
(4.42)<br />
(4.43)
Figura 4.10: Approssimazione <strong>del</strong>la biella a masse concentrate.<br />
Figura 4.11: Albero a gomiti per motore d’aviazione a doppia stella.<br />
Si fa inoltre l’ipotesi che il baricentro <strong>del</strong>l’insieme formato dalla manovella e dalla frazione m1 <strong>del</strong>la<br />
massa <strong>del</strong>la biellain movimento con essa sia coincidentecon il punto O, ossia con l’asse<strong>di</strong> rotazione, come<br />
avvienenellarealtà, grazieadunopportunocontrappeso. Inquestomodoilrisultante<strong>del</strong>leforzed’inerzia<br />
agenti sulla manovella è nullo in quanto è nulla l’accelerazione <strong>del</strong> baricentro. Si veda, a proposito, la<br />
figura 4.11, che illustra l’albero a gomiti, ovvero l’insieme <strong>del</strong>le manovelle, per un motore stellare <strong>di</strong><br />
impiego aeronautico.<br />
4.3.4 Diagramma <strong>di</strong> corpo libero ed equilibrio <strong>di</strong>namico<br />
Come evidenziato in precedenza, il sistema presenta un solo grado <strong>di</strong> libertà. Facendo corrispondere una<br />
reazione vincolare a ciascun grado <strong>di</strong> vincolo, ed una azione attiva libera al grado <strong>di</strong> libertà residuo, nelle<br />
equazioni <strong>di</strong> equilibrio vengono evidenziate 8 reazioni vincolari e il momento incognito Mr. Tali azioni e<br />
reazioni sono poste in evidenza nello schema <strong>di</strong> figura 4.12, detto <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> corpo libero<br />
Il sistema è costituito da tre corpi rigi<strong>di</strong> ed è pertanto possibile scriverne le equazioni <strong>di</strong> equilibrio.<br />
• Corsoio:<br />
� Fx = 0 → Fg +mc¨c−SBx = 0 (4.44a)<br />
� Fy = 0 → ΦB +SBy = 0 (4.44b)<br />
� MB = 0 → MB = 0 (4.44c)<br />
4-15
Figura 4.12: Le forze agenti sul sistema.<br />
• Biella:<br />
� Fx = 0 → SAx +SBx = 0 (4.45a)<br />
� Fy = 0 → SAy +SBy = 0 (4.45b)<br />
� MB = 0 → SAxlsinϕ+SAylcosϕ = 0 (4.45c)<br />
• Manovella:<br />
� Fx = 0 → SOx +SAx = 0 (4.46a)<br />
� Fy = 0 → SOy +SAy = 0 (4.46b)<br />
� MO = 0 → −Mr −Jt¨α−SAxasinα+SAyacosα = 0 (4.46c)<br />
Si ricorda che la sommatoria nelle equazioni (4.44a-4.46c) deve comprendere anche il sistema <strong>del</strong>le forze<br />
d’inerzia <strong>del</strong> corpo considerato.<br />
Il sistema costituito dalle 9 equazioni scalari (4.44a-4.46c) è determinato nelle 9 incognite: SOx, SOy,<br />
SAx, SAy, SBx, SBy, MB, ΦB e Mr; può essere risolto equazione per equazione, in cascata. Innanzitutto,<br />
la (4.44c) fornisce imme<strong>di</strong>atamente la coppia <strong>di</strong> reazione esercitata dal cilindro sul pistone. La (4.44a)<br />
consente <strong>di</strong> ricavare la reazione SBx:<br />
SBx = Fg +mc¨c (4.47)<br />
La (4.45a) e la (4.47) consentono <strong>di</strong> ricavare la reazione SAx:<br />
SAx = −(Fg +mc¨c) (4.48)<br />
La (4.45c) e la (4.48) consentono <strong>di</strong> ricavare la reazione SAy:<br />
SAy = tanϕ(Fg +mc¨c) (4.49)<br />
4-16
La (4.45b) e la (4.49) consentono <strong>di</strong> ricavare la reazione SBy:<br />
SBy = −tanϕ(Fg +mc¨c) (4.50)<br />
La (4.44b) e la (4.50) consentono <strong>di</strong> ricavare la reazione ΦB:<br />
ΦB = tanϕ(Fg +mc¨c) (4.51)<br />
La (4.46a) e la (4.48) consentono <strong>di</strong> ricavare la reazione SOx:<br />
SOx = Fg +mc¨c (4.52)<br />
La (4.46b) e la (4.49) consentono <strong>di</strong> ricavare la reazione SOy:<br />
SOy = −tanϕ(Fg +mc¨c) (4.53)<br />
La (4.46c), la (4.48) e la (4.49) consentono <strong>di</strong> ricavare il momento Mr:<br />
Mr = −Jt¨α+(Fg +mc¨c)a(sinα+tanϕcosα) (4.54)<br />
La scelta <strong>di</strong> quale insieme <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong> sia più opportuno prendere in considerazione nella scrittura<br />
<strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>pende dalle grandezze da determinare. L’approccio appena presentato è<br />
necessario qualora si dovessero calcolare tutte le reazioni vincolari. Se tuttavia solo alcune <strong>del</strong>le incognite<br />
devono essere calcolate a priori, mentre la determinazione <strong>del</strong> resto <strong>del</strong>la soluzione può essere evitato, è<br />
possibile semplificare notevolmente il problema me<strong>di</strong>ante una opportuna scelta <strong>di</strong> quali equazioni scrivere<br />
e un opportuno partizionamento <strong>del</strong> sistema.<br />
Se ad esempio si desidera calcolare <strong>di</strong>rettamente la reazione ΦB, è sufficiente scrivere l’equazione<br />
<strong>di</strong> equilibrio dei momenti agenti sul solo <strong>corso</strong>io, scegliendo come polo il punto B, da cui si ricava<br />
l’equazione (4.44c), e quin<strong>di</strong> scrivere l’equazione <strong>di</strong> equilibrio dei momenti agenti sul <strong>corso</strong>io e sulla<br />
biella, scegliendo come polo il punto A, da cui si ricava<br />
−lsinϕ(Fg +mc¨c)+lcosϕΦB = 0 (4.55)<br />
ovvero <strong>di</strong>rettamente la (4.51).<br />
Se invece si desidera calcolare <strong>di</strong>rettamente il momento attivo Mr, si può ricorrere al teorema <strong>del</strong>l’energia<br />
cinetica, in quanto il momento Mr è l’unica azione incognita che partecipa al bilancio <strong>di</strong> potenze.<br />
L’energia cinetica è<br />
T = 1 �<br />
Jt ˙α<br />
2<br />
2 +mc˙c 2�<br />
la cui derivata è<br />
(4.56)<br />
dT<br />
dt = Jt ˙α¨α+mc˙c¨c<br />
= (Jt¨α−mc¨ca(sinα+tanϕcosα)) ˙α (4.57)<br />
dove si è fatto uso <strong>del</strong>la prima <strong>del</strong>le (4.30), con β = 2π−ϕ, mentre la potenza <strong>del</strong>le forze attive, escluse<br />
le forze d’inerzia, è<br />
ovvero<br />
Π = −Mr ˙α−Fg˙c (4.58)<br />
Π = −Mr ˙α+Fga(sinα+tanϕcosα) ˙α (4.59)<br />
Eguagliando la (4.57) e la (4.59), e semplificando ˙α in entrambi i membri, si ricava <strong>di</strong>rettamente la (4.54),<br />
ovvero il momento Mr.<br />
4-17
4-18
Capitolo 5<br />
Dinamica dei sistemi <strong>di</strong> corpi rigi<strong>di</strong><br />
me<strong>di</strong>ante le equazioni <strong>di</strong> Lagrange<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
Si consideri un generico sistema piano a 1 grado <strong>di</strong> libertà composto da più corpi rigi<strong>di</strong> e in<strong>di</strong>chiamo<br />
con q la coor<strong>di</strong>nata libera, variabile in<strong>di</strong>pendente, scelta per descriverne il moto; con y la generica<br />
variabilefisicacorrelataallavariabilein<strong>di</strong>pendentedaunarelazionegenericamentenonlineare<strong>di</strong>pendente<br />
esplicitamente dal tempo, <strong>del</strong> tipo:<br />
y = y(q,t) (5.1)<br />
Adottando le equazioni <strong>di</strong> Lagrange occorre definire, dapprima in funzione <strong>del</strong>le variabili fisiche y, le<br />
<strong>di</strong>verse forme <strong>di</strong> energia che concorrono all’energia totale <strong>del</strong> sistema, ovvero l’energia cinetica, l’energia<br />
potenziale, la funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione e il lavoro virtuale <strong>del</strong>le rimanenti forze attive.<br />
5.1 Equazione <strong>di</strong> Lagrange<br />
In<strong>di</strong>cata con<br />
T = T (q, ˙q,t) (5.2)<br />
l’energia cinetica <strong>del</strong> sistema, <strong>di</strong>pendente sicuramente dalla derivata prima ˙q <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera q,<br />
ma potenzialmente anche dalla coor<strong>di</strong>nata libera stessa, e anche dal tempo in caso <strong>di</strong> vincoli mobili,<br />
l’equazione <strong>di</strong> Lagrange stabilisce che l’equilibrio <strong>di</strong>namico è definito dall’uguaglianza<br />
d<br />
dt<br />
� ∂T<br />
∂˙q<br />
�<br />
− ∂T<br />
∂q = Q∗ (q, ˙q,...,t) (5.3)<br />
ove Q ∗ in<strong>di</strong>ca la componente generalizzata <strong>del</strong>la sollecitazione attiva per la coor<strong>di</strong>nata libera q, a meno<br />
<strong>del</strong>le forze d’inerzia, le quali sono espresse dai termini derivati a partire dall’energia cinetica.<br />
La componente generalizzata <strong>del</strong>la sollecitazione attiva, a sua volta, può essere decomposta in<br />
• uncontributoespressione<strong>di</strong>forzepuramenteconservative, QV, checometalenonpuòche<strong>di</strong>pendere<br />
dalla sola 1 q;<br />
• un contributo espressione <strong>di</strong> forze puramente <strong>di</strong>ssipative, QD, ovvero <strong>di</strong> forze la cui retta d’azione<br />
coincide con quella <strong>del</strong>la velocità ˙y <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> applicazione e, come tale, <strong>di</strong>pendente dalla ˙q ma,<br />
potenzialmente, anche da q e dal tempo t;<br />
• la parte rimanente, Q, che non sia possibile o non si ritenga opportuno esprimere altrimenti.<br />
1 In linea <strong>di</strong> principio, l’energia potenziale potrebbe <strong>di</strong>pendere anche dal tempo, nel caso <strong>di</strong> vincoli mobili; al momento<br />
tale ipotesi non viene presa in considerazione.<br />
5-1
Ne risulta<br />
Q ∗ (q, ˙q,...,t) = QV (q)+QD(˙q)+Q(q, ˙q,...,t) (5.4)<br />
Si noti che la Q rimanente può <strong>di</strong>pendere arbitrariamente da q e dalle sue derivate <strong>di</strong> qualsivoglia or<strong>di</strong>ne.<br />
In linea <strong>di</strong> principio, potrebbe anche <strong>di</strong>pendere dall’integrale <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera q: ad esempio,<br />
quando esprima forze <strong>di</strong> controllo <strong>di</strong>pendenti da un controllore PID (proporzionale, integrale, derivativo).<br />
Senza nulla togliere alla generalità <strong>del</strong>la presentazione, nel <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali<br />
verranno considerate solo forze <strong>di</strong>pendenti da posizione, velocità e tempo.<br />
Il contributo QV, in quanto espressione <strong>di</strong> forze conservative, può essere scritto come opposto <strong>del</strong>la<br />
derivata <strong>di</strong> una variazione <strong>di</strong> energia potenziale<br />
tale per cui<br />
∆V (q) = V (q)−V (q0) (5.5)<br />
QV = − dV<br />
dq<br />
IlcontributoQD, inquantoespressione<strong>di</strong>forzepuramente<strong>di</strong>ssipative,puòesserescrittocomeopposto<br />
<strong>del</strong>la derivata rispetto a ˙q <strong>del</strong>l’integrale primo D(q, ˙q,t) <strong>del</strong>la potenza <strong>del</strong>le forze QD stesse, detto anche<br />
funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione, tale per cui<br />
QD = − ∂D<br />
∂˙q<br />
Si definisca quin<strong>di</strong> la funzione <strong>di</strong> Lagrange<br />
L = T −V (5.8)<br />
L’equazione <strong>del</strong> moto si ricava da<br />
d<br />
dt<br />
� ∂L<br />
∂˙q<br />
(5.6)<br />
(5.7)<br />
�<br />
− ∂L ∂D<br />
+ = Q(q, ˙q,...,t) (5.9)<br />
∂q ∂˙q<br />
<strong>di</strong> cui si nota l’analogia con la (5.3).<br />
5.1.1 Energia cinetica<br />
L’energia cinetica T <strong>di</strong> un generico sistema piano a 1 grado <strong>di</strong> libertà, composto da nc corpi, è data<br />
dalla somma <strong>del</strong>le singole energie cinetiche Tj associate alle singole masse mj e/o momenti d’inerzia<br />
baricentrici Jj che costituiscono il sistema<br />
�<br />
mj ˙ �yj × ˙ �yj +Jj ˙ ϑ 2�<br />
= 1<br />
� � 2<br />
mj ˙y xi + ˙y<br />
2<br />
2 �<br />
yj +Jj ˙ ϑ 2 �<br />
j<br />
= 1<br />
⎧ ⎫T<br />
⎡<br />
⎨ ˙yxi ⎬<br />
⎣<br />
2 ⎩ ⎭<br />
Tj = 1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
3�<br />
k=1<br />
˙yyj<br />
˙ϑj<br />
mkj ˙y 2 kj<br />
mj 0 0<br />
0 mj 0<br />
0 0 Jj<br />
⎤⎧<br />
⎨<br />
⎦<br />
⎩<br />
˙yxi<br />
˙yyj<br />
˙ϑj<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
(5.10)<br />
in cui si è in<strong>di</strong>cata con mkj la generica k-esima massa mj o il momento d’inerzia Jj <strong>del</strong> j-esimo corpo<br />
rigido e con ˙ykj la generica componente <strong>del</strong>la velocità assoluta <strong>di</strong> traslazione <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong> corpo, o<br />
la sua velocità angolare ˙ ϑj. L’energia cinetica complessiva è<br />
nc �<br />
T = Tj = 1<br />
2<br />
j=1<br />
nc �<br />
3�<br />
j=1 k=1<br />
mkj ˙y 2 kj<br />
5-2<br />
(5.11)
5.1.2 Energia potenziale<br />
L’energia potenziale V, associata al campo elastico dovuto agli nk elementi elastici <strong>di</strong> interconnessione e<br />
alla presenza <strong>di</strong> np forze conservative2 Pp, � assume un’espressione generale <strong>del</strong> tipo:<br />
V = −<br />
= 1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
� ∆ls<br />
0<br />
nk �<br />
k=1<br />
nk �<br />
k=1<br />
QV (∆ls) dls<br />
kk(∆lk) 2 np �<br />
− �Pp ×�yp<br />
p=1<br />
kk(yk1 −yk2 )2 np �<br />
− �Pp ×�yp<br />
p=1<br />
(5.13)<br />
in cui kk rappresenta la rigidezza <strong>del</strong> generico k-esimo elemento elastico. Le coor<strong>di</strong>nate fisiche yk1 e yk2<br />
rappresentano lo spostamento degli estremi <strong>del</strong>la generica molla, nella <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la molla stessa (per<br />
semplicità <strong>di</strong> trattazione non si considerano infatti, nella definizione <strong>del</strong>l’allungamento, gli spostamenti<br />
ortogonali alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la molla).<br />
Il vettore �yp rappresenta, invece, lo spostamento <strong>del</strong> punto d’applicazione <strong>del</strong>la generica forza � Pp.<br />
Gli allungamenti <strong>del</strong>le molle, ∆lk = (yk1 −yk2 ), e gli spostamenti dei punti <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>le<br />
forze, �yp, sono legati da una relazione (lineare o non lineare) all’unica coor<strong>di</strong>nata libera q <strong>del</strong> sistema; per<br />
tale motivo l’energia potenziale V può essere sinteticamente espressa come funzione <strong>del</strong>la sola variabile<br />
in<strong>di</strong>pendente q<br />
V = V (q) (5.14)<br />
5.1.3 Funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione<br />
La funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione è definibile come:<br />
� ∆ls ˙ �<br />
D = − QD ∆<br />
0<br />
˙ �<br />
ls d˙ ls<br />
= 1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
ns �<br />
s=1<br />
ns �<br />
s=1<br />
�<br />
r ∆˙ �2 ls<br />
r(˙ys1 − ˙ys2 )2<br />
(5.15)<br />
dove si è considerata soltanto la presenza <strong>di</strong> ns smorzatori viscosi3 ciascuno <strong>di</strong> costante rk, in cui la<br />
coor<strong>di</strong>nata fisica ∆˙ ls = (˙ys1 − ˙ys2 ) rappresenta la velocità relativa cui sono sottoposte le estremità <strong>del</strong><br />
generico s-esimo smorzatore, lungo la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>lo smorzatore stesso, senza considerare le componenti<br />
a questa ortogonali nella definizione <strong>del</strong>le velocità <strong>di</strong> allungamento.<br />
2Nel seguito si considerano solo forze costanti in modulo, <strong>di</strong>rezione e verso, quale il peso, e forze elastiche lineari per<br />
semplificare la trattazione; in realtà l’energia potenziale può essere definita per qualunque forza conservativa integrandone<br />
il lavoro elementare lungo il cammino per<strong>corso</strong> per passare da a a b:<br />
� b<br />
∆V = V (b)−V (a) = − �F ×d�s (5.12)<br />
a<br />
ove d�s sia lo spostamento compiuto dal punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza. Perché la forza ammetta potenziale, ovviamente,<br />
tale integrale deve <strong>di</strong>pendere solo dagli estremi <strong>di</strong> integrazione e non dal per<strong>corso</strong> seguito.<br />
3 Tipicamente si considerano contributi <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione associati a<br />
• attrito radente, a cui si è accennato nel Capitolo 4 e che verrà illustrato in dettaglio nel Capitolo 8, per il quale la<br />
forza resistente ha espressione<br />
˙y<br />
Fr = −rr = −rrsign(˙y) (5.16)<br />
|˙y|<br />
dove rr è un coefficiente che in molti casi può essere ritenuto costante; si tratta <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong>scontinua ma<br />
integrabile, per cui la corrispondente funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione è<br />
Dr = rr |˙y| (5.17)<br />
5-3
5.1.4 Sollecitazioni attive rimanenti<br />
Consideriamo infine il lavoro virtuale δL compiuto dalle rimanenti nf forze esterne attive � Ff per uno<br />
spostamento virtuale δ�yf <strong>del</strong> loro punto d’applicazione. Risulta<br />
δL =<br />
nf �<br />
f=1<br />
�Ff ×δ�yf<br />
(5.22)<br />
Abbiamo in tal modo espresso le <strong>di</strong>verse forme <strong>di</strong> energia e <strong>di</strong> lavoro in funzione <strong>del</strong>le variabili fisiche y.<br />
5.2 Scrittura <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> sistema<br />
Analizziamo in dettaglio tutti i contributi all’Equazione <strong>di</strong> Lagrange.<br />
Energia cinetica. La generica coor<strong>di</strong>nata fisica y è funzione <strong>del</strong>l’unica coor<strong>di</strong>nata in<strong>di</strong>pendente q; può<br />
<strong>di</strong>pendere esplicitamente dal tempo t:<br />
y = y(q,t) (5.23)<br />
e quin<strong>di</strong> i termini <strong>di</strong> velocità <strong>del</strong>le (5.11, 5.15) varranno:<br />
˙yjk = dyjk<br />
dt<br />
= ∂yjk<br />
∂q<br />
dq ∂yjk<br />
+<br />
dt ∂t<br />
= ∂yjk<br />
∂q<br />
˙q + ∂yjk<br />
∂t<br />
che, sostituiti nella definizione <strong>del</strong>l’energia cinetica (5.11), portano alla seguente espressione:<br />
nc �<br />
T =<br />
j=1<br />
= 1<br />
2<br />
Tj<br />
nc �<br />
= 1<br />
2 ˙q2<br />
3�<br />
j=1 k=1<br />
nc �<br />
j=1 k=1<br />
mjk˙y 2 jk<br />
3�<br />
mjk<br />
� �2 ∂yjk<br />
∂q<br />
nc �<br />
+ ˙q<br />
3�<br />
j=1 k=1<br />
∂yjk ∂yjk 1<br />
mjk +<br />
∂q ∂t 2<br />
nc �<br />
3�<br />
j=1 k=1<br />
mjk<br />
� �2 ∂yjk<br />
∂t<br />
(5.24)<br />
= 1<br />
2 a(q,t) ˙q2 +b(q,t) ˙q +c(q,t)<br />
= T (q, ˙q,t) (5.25)<br />
• resistenza laminare, ovvero comportamento laminare <strong>di</strong> flui<strong>di</strong> viscosi, a cui si è accennato nel Capitolo 4 e che verrà<br />
ulteriormente illustrato in dettaglio nei Capitoli 11 e 12, per i quali vale la relazione<br />
Fv = −rv ˙y (5.18)<br />
dove rv è un coefficiente che in molti casi può essere ritenuto costante, nel qual caso la funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione è<br />
Dv = 1<br />
rv ˙y2<br />
2<br />
• resistenza turbolenta, a cui si è accennato nel Capitolo 4 e che verrà illustrato in dettaglio nel Capitolo 12, per il<br />
quale la forza resistente ha espressione<br />
(5.19)<br />
Ft = −rt|˙y| ˙y (5.20)<br />
dove rt è un coefficiente che in molti casi può essere ritenuto costante; la corrispondente funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione è<br />
Dt = 1<br />
rt|˙y| ˙y2<br />
3<br />
5-4<br />
(5.21)
ove i termini a(q,t), b(q,t) e c(q,t) valgono:<br />
a(q,t) =<br />
b(q,t) =<br />
nc �<br />
3�<br />
j=1 k=1<br />
nc �<br />
c(q,t) = 1<br />
2<br />
3�<br />
j=1 k=1<br />
nc �<br />
mjk<br />
j=1 k=1<br />
� ∂yjk<br />
∂q<br />
� 2<br />
∂yjk ∂yjk<br />
mjk<br />
∂q ∂t<br />
3�<br />
mjk<br />
� �2 ∂yjk<br />
∂t<br />
(5.26a)<br />
(5.26b)<br />
(5.26c)<br />
La <strong>di</strong>pendenza esplicita dal tempo <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate fisiche rende tempovariante l’equazione <strong>del</strong> moto;<br />
senza ledere la generalità <strong>del</strong>la trattazione, si considerino per ora coor<strong>di</strong>nate fisiche non <strong>di</strong>pendenti<br />
esplicitamente dal tempo, ovvero la (5.23) si riduca a<br />
e quin<strong>di</strong><br />
y = y(q), (5.27)<br />
b(q,t) = 0 (5.28)<br />
c(q,t) = 0. (5.29)<br />
Poiché il coefficiente definito nella (5.26a) contiene le derivate <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate fisiche rispetto alla coor<strong>di</strong>nata<br />
libera q, può a sua volta essere funzione <strong>di</strong> quest’ultima, rendendo così non quadratica l’espressione<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica e quin<strong>di</strong> non lineare, per i termini inerziali, l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> sistema.<br />
Derivando, infatti, l’energia cinetica espressa dalla (5.25) secondo Lagrange si ottiene:<br />
d<br />
dt<br />
� ∂T<br />
∂˙q<br />
�<br />
− ∂T<br />
∂q<br />
= a(q)¨q + da(q)<br />
dq<br />
˙q 2 − 1da(q)<br />
2 dq<br />
˙q 2 = a(q)¨q + 1da(q)<br />
˙q<br />
2 dq<br />
2<br />
(5.30)<br />
Esercizio 5.1 Si sviluppi la forma quadratica associata all’energia cinetica nel caso generale in cui valga<br />
la (5.23), ovvero la cinematica <strong>di</strong>pende esplicitamente dal tempo.<br />
Energia potenziale. Consideriamo ora l’energia potenziale V: la sua derivata dV/dq secondo Lagrange<br />
dà origine a un termine lineare nell’equazione <strong>del</strong> moto solo se V (q) è una forma quadratica in q:<br />
ciò accade quando yk <strong>di</strong>pende in forma lineare da q. L’espressione più generale <strong>del</strong>la derivata <strong>del</strong>l’energia<br />
potenziale rispetto alla coor<strong>di</strong>nata libera q vale infatti:<br />
dV<br />
dq =<br />
nk �<br />
k=1<br />
�<br />
∂yk1<br />
kk(yk1 −yk2 )<br />
∂q<br />
− ∂yk2<br />
∂q<br />
� np �<br />
−<br />
p=1<br />
�Pp × ∂�yp<br />
∂q = −fV (q) (5.31)<br />
ed è quin<strong>di</strong> a sua volta una funzione non lineare <strong>di</strong> q. La <strong>di</strong>pendenza esplicita dal tempo non è compatibile<br />
con l’esistenza <strong>di</strong> un’energia potenziale; in<strong>di</strong>pendentemente dalla <strong>di</strong>pendenza esplicita o meno <strong>del</strong>le<br />
coor<strong>di</strong>nate fisiche dal tempo, l’energia potenziale deve <strong>di</strong>pendere solamente da q.<br />
Funziond <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione. Passando alla funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione D, essa può essere espressa come:<br />
D = 1<br />
2<br />
ns �<br />
s=1<br />
rs(˙ys1 − ˙ys2 )2 = 1<br />
2<br />
ns �<br />
rs<br />
s=1<br />
� ∂ys1<br />
∂q<br />
− ∂ys2<br />
∂q<br />
� 2<br />
˙q 2 = 1<br />
r(q) ˙q2<br />
2<br />
(5.32)<br />
La funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione D è necessariamente una forma quadratica in ˙q in quanto la derivata prima<br />
<strong>del</strong>le variabili cinematiche è sicuramente lineare in ˙q, come descritto dalla (5.24); tuttavia, i coefficienti<br />
moltiplicativi <strong>di</strong> tale termine possono a loro volta essere funzione <strong>del</strong>la variabile in<strong>di</strong>pendente q. La<br />
derivazione <strong>del</strong> termine <strong>di</strong>ssipativo secondo Lagrange porta dunque a<br />
∂D<br />
∂˙q =<br />
ns �<br />
rs<br />
s=1<br />
� ∂ys1<br />
∂q<br />
− ∂ys2<br />
∂q<br />
� 2<br />
˙q = r(q) ˙q (5.33)<br />
che dà origine a un termine non lineare, essendo il coefficiente r(q) in genere funzione ancora <strong>di</strong> q.<br />
5-5
Lavoro virtuale <strong>del</strong>le forze rimanenti. Analizziamo ora il lavoro virtuale δL compiuto dalle rimanenti<br />
forze attive esterne; il generico spostamento virtuale δ�yf <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la generica<br />
forzante è definibile:<br />
δ�yf = ∂�yf<br />
δq (5.34)<br />
∂q<br />
Sostituendo tale relazione nell’espressione <strong>del</strong> lavoro virtuale si ottiene:<br />
δL =<br />
nf �<br />
f=1<br />
�F ×δ�yf =<br />
nf �<br />
f=1<br />
�F × ∂�yf<br />
δq (5.35)<br />
∂q<br />
L’applicazione <strong>del</strong>la formula <strong>di</strong> Lagrange porta così alla definizione <strong>del</strong>la componente lagrangiana Q <strong>del</strong>la<br />
sollecitazione attiva esterna:<br />
Q = ∂δL<br />
∂δq =<br />
nf �<br />
f=1<br />
�F × ∂�yf<br />
∂q<br />
= Q(q, ˙q,...,t) (5.36)<br />
che sarà una funzione <strong>del</strong> tempo t, per la presenza <strong>di</strong> forze funzioni esplicite <strong>del</strong> tempo, e <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata<br />
libera q, per una eventuale <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong>retta <strong>del</strong>le forze � F da q, e per la presenza <strong>del</strong>le derivate <strong>del</strong>le<br />
coor<strong>di</strong>nate fisiche rispetto alla coor<strong>di</strong>nata libera. Tali derivate sono costanti solo nel caso <strong>di</strong> legame<br />
yf = yf (q) lineare. Le forze � F possono <strong>di</strong>pendere dalla coor<strong>di</strong>nata libera q e dalle sue derivate nel modo<br />
più arbitrario; possono <strong>di</strong>pendere anche dall’integrale <strong>di</strong> q (ad esempio, le forze <strong>di</strong> controllo risultanti da<br />
un regolatore <strong>di</strong> tipo integrale).<br />
Equazione <strong>del</strong> moto. È ora possibile scrivere per esteso l’equazione <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> generico sistema<br />
fisico a 1 g.d.l. non lineare applicando le equazioni <strong>di</strong> Lagrange nella variabile q; sostituendo le (5.30,<br />
5.31, 5.33, 5.36) nella (5.9) si ottiene<br />
a(q)¨q + 1da(q)<br />
˙q<br />
2 dq<br />
2 +r(q) ˙q −fV (q) = Q(q, ˙q,...,t) (5.37)<br />
Nel seguito ci si occuperà soltanto <strong>di</strong> sollecitazioni attive Q <strong>di</strong>pendenti esplicitamente al più dalla<br />
coor<strong>di</strong>nata libera q, eventualmente dalla sua derivata prima ˙q e dal tempo.<br />
5.3 Linearizzazione <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto<br />
L’equazione <strong>del</strong> moto non è, in generale, integrabile analiticamente se non in casi particolari. Se ne<br />
interessa lo stu<strong>di</strong>o per spostamenti finiti, è in<strong>di</strong>spensabile tener conto <strong>del</strong>le non linearità <strong>del</strong> sistema<br />
integrando numericamente l’equazione <strong>di</strong> moto.<br />
Nel caso in cui, invece, si ritenga sufficiente limitarne lo stu<strong>di</strong>o a piccoli spostamenti nell’intorno <strong>di</strong><br />
una soluzione <strong>di</strong> equilibrio per la quale la derivata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne minimo <strong>di</strong> q sia costante, e quin<strong>di</strong> tutte quelle<br />
<strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore si annullino, è possibile linearizzare l’equazione <strong>di</strong> moto nell’intorno <strong>di</strong> tale soluzione,<br />
ottenendo, in questo modo, un’equazione lineare a coefficienti costanti, integrabile in forma chiusa. La<br />
linearizzazione <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto, rispetto alla integrazione numerica <strong>del</strong>le equazioni non lineari,<br />
consente l’utilizzo dei como<strong>di</strong> algoritmi propri <strong>del</strong>l’analisi dei sistemi lineari. Ovviamente, in tal caso, è<br />
necessario dapprima trovare, se esiste, la posizione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> riferimento, risolvendo generalmente<br />
un’equazionenonlineare, esuccessivamentelinearizzarel’equazione<strong>di</strong>motostessa. Con<strong>di</strong>zioneessenziale<br />
perché la soluzione <strong>del</strong>l’equazione linearizzata si mantenga nell’intorno <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong><br />
riferimento è che tale soluzione sia stabile.<br />
La posizione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> riferimento si definisce:<br />
• equilibrio statico quando in<strong>di</strong>vidua un movimento q che si mantiene costante nel tempo (tipico, ad<br />
esempio, <strong>del</strong>le strutture caricate staticamente), per il quale valga quin<strong>di</strong> la con<strong>di</strong>zione<br />
d (n) q<br />
= 0 (5.38)<br />
dt (n)<br />
per n > 0, ossia che tutte le sue derivate rispetto al tempo t siano sempre nulle;<br />
5-6
Figura 5.1: Sistema non vincolato soggetto a un sistema <strong>di</strong> forze a risultante non nullo.<br />
• regime assoluto quando in<strong>di</strong>vidua un movimento ˙q che si mantiene costante nel tempo (tipico, ad<br />
esempio, <strong>del</strong>le macchine rotative), per il quale la relazione (5.38) valga per n > 1;<br />
• moto uniformemente accelerato quando in<strong>di</strong>vidua un movimento ad accelerazione costante, per il<br />
quale la relazione (5.38) valga per n > 2.<br />
Nel caso più completo, in cui l’equazione <strong>del</strong> moto presenti <strong>di</strong>pendenza esplicita da q, la soluzione <strong>di</strong><br />
equilibrio statico è definita a partire dalla (5.37) tenendo conto <strong>del</strong>la (5.38) con n > 0:<br />
dV<br />
dq<br />
= Q(q,0) (5.39)<br />
ovelacomponentegeneralizzata<strong>del</strong>lasollecitazioneattivaQnondeve<strong>di</strong>pendereesplicitamentedaltempo<br />
perché una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio statico possa esistere. Nel caso in cui tutte le forze attive <strong>di</strong>pendenti<br />
dalla sola posizione siano conservative, la soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico sod<strong>di</strong>sfa l’equazione<br />
dV<br />
dq<br />
= 0 (5.40)<br />
che quin<strong>di</strong> è un caso particolare <strong>del</strong>la (5.39). La soluzione, ossia la posizione <strong>di</strong> equilibrio q0, se esiste,<br />
viene in genere ricavata con opportuni meto<strong>di</strong> numerici quali quello <strong>di</strong> bisezione, <strong>del</strong>le secanti o <strong>di</strong><br />
Newton-Raphson.<br />
5.3.1 Esempio: soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico <strong>di</strong> un sistema libero<br />
Siconsideriilsistemanonvincolatoillustratoinfigura5.1, postonelvuotoinassenza<strong>di</strong>gravità, costituito<br />
da due masse <strong>di</strong> uguale valore m collegate da una molla <strong>di</strong> rigidezza k. Alla prima massa sia applicata<br />
una forza esterna F <strong>di</strong>retta come la congiungente le due masse e costante in modulo, <strong>di</strong>rezione e verso.<br />
La determinazione <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico ne richiede innanzitutto la definizione. La<br />
presenza <strong>del</strong>la molla, in quanto portatrice <strong>di</strong> forze <strong>di</strong>pendenti dalla posizione, fa sì che si debba cercare<br />
una soluzione statica in cui lo spostamento si mantenga costante; siccome però il sistema non è vincolato<br />
a terra, la presenza <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze esterne a risultante non nullo fa sì che non sia possibile una<br />
soluzione per cui si annullano le accelerazioni <strong>del</strong>le masse. Occorre quin<strong>di</strong> un’attenta analisi <strong>del</strong> problema<br />
per definire che cosa sia possibile intendere per sua soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico.<br />
Il problema ha due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà; si considerino le posizioni assolute <strong>del</strong>le due masse, x1 e x2;<br />
l’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>del</strong>l’intero sistema è<br />
F −m¨x1 −m¨x2 = 0 (5.41)<br />
ma, dal momento che le forze d’inerzia <strong>del</strong> sistema sono riducibili ad una forza data dalla massa totale<br />
per l’accelerazione <strong>del</strong> baricentro, definita come<br />
�<br />
mixi<br />
xCG = � =<br />
mi<br />
x1 +x2<br />
(5.42)<br />
2<br />
5-7
si ha<br />
F −2m¨xCG = 0 (5.43)<br />
da cui si ricava l’accelerazione <strong>del</strong> baricentro<br />
¨xCG = F<br />
(5.44)<br />
2m<br />
che non può essere nulla perché solo le forze d’inerzia possono ristabilire l’equilibrio <strong>del</strong> sistema.<br />
Dall’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla traslazione <strong>del</strong>la massa 2, a cui non è applicata la forza, si ricava<br />
−k(x2 −x1)−m¨x2 = 0 (5.45)<br />
Si esprima lo spostamento <strong>del</strong>le masse come spostamento relativo rispetto al punto coincidente con il<br />
baricentro a molla indeformata:<br />
x1 = xCG +x ′ 1<br />
x2 = xCG +x ′ 2<br />
da cui si ricava l’allungamento <strong>del</strong>la molla<br />
∆x = x2 −x1 = x ′ 2 −x ′ 1<br />
e, dalla definizione <strong>di</strong> baricentro,<br />
e quin<strong>di</strong><br />
x ′ 2 = −x ′ 1<br />
(5.46)<br />
(5.47)<br />
(5.48)<br />
(5.49)<br />
x ′ 1 = − 1<br />
∆x<br />
2<br />
(5.50)<br />
x ′ 2 = 1<br />
∆x<br />
2<br />
(5.51)<br />
L’equazione (5.45) <strong>di</strong>venta<br />
�<br />
−k∆x−m ¨xCG + 1<br />
2 Ƭx<br />
�<br />
= 0 (5.52)<br />
Si consideri, come soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico, quella per cui gli spostamenti relativi sono costanti, e<br />
quin<strong>di</strong> le accelerazioni relative si annullano; l’equazione (5.52) <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
−k∆x−m¨xCG = 0 (5.53)<br />
da cui è imme<strong>di</strong>ato ricavare l’allungamento <strong>del</strong>la molla<br />
∆x = − 1F<br />
(5.54)<br />
2 k<br />
Sel’utilizzodeglispostamentiassoluti<strong>del</strong>leduemassenonconsenteun’imme<strong>di</strong>atadefinizione<strong>di</strong>soluzione<br />
<strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> riferimento per un problema <strong>di</strong> questo tipo, un semplice cambio <strong>di</strong> variabile che porti<br />
a considerare la posizione assoluta xCG <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong> sistema e l’allungamento ∆x <strong>del</strong>la molla fa<br />
sì che la soluzione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> riferimento per la prima sia una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto uniformemente<br />
accelerato, la (5.44), mentre per la seconda sia una soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico, la (5.54).<br />
5.3.2 Procedure per la linearizzazione<br />
Se la posizione <strong>di</strong> equilibrio statico esiste, sono possibili due approcci:<br />
• linearizzare nell’intorno <strong>di</strong> tale posizione la (5.37) in funzione <strong>del</strong>la variabile q e <strong>del</strong>le sue derivate;<br />
• ricondurre, tramite sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor nell’intorno <strong>di</strong> q0, arrestato ai termini <strong>di</strong> second’or<strong>di</strong>ne,<br />
l’energia cinetica T e la funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione D a forme quadratiche nella variabile ˙q, e<br />
l’energia potenziale V a un’analoga forma quadratica in q. In questo secondo caso, <strong>del</strong>la (5.37)<br />
sarà comunque necessario linearizzare la Q(q, ˙q,t) rispetto alla variabile q e alla sua derivata ˙q.<br />
5-8
5.3.3 Linearizzazione <strong>di</strong>retta <strong>del</strong>l’equazione <strong>del</strong> moto<br />
La linearizzazione <strong>di</strong>retta <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto consiste nello sviluppare in serie <strong>di</strong> Taylor l’equazione<br />
stessa rispetto alla coor<strong>di</strong>nata libera q e alle sue derivate, arrestando lo sviluppo ai termini <strong>del</strong> primo<br />
or<strong>di</strong>ne. Ricordando la (5.30), si nota subito che la linearizzazione <strong>del</strong>le forze d’inerzia nell’intorno <strong>di</strong> una<br />
soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico, per cui<br />
q = q0<br />
˙q = 0 (5.55)<br />
¨q = 0<br />
si riduce alla valutazione <strong>del</strong>la funzione a(q) e <strong>del</strong>la sua derivata prima rispetto a q nella soluzione q0,<br />
in quanto lo sviluppo in serie <strong>del</strong>le forze d’inerzia è dato da<br />
� �<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂˙q<br />
∂T<br />
∂q ∼ = a(q0)¨q0 + 1<br />
�<br />
da(q) �<br />
�<br />
2 dq � ˙q<br />
q0<br />
2 0<br />
+a(q0)(¨q − ¨q0)+ da(q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dq � ¨q0(q −q0)<br />
q0<br />
+ da(q)<br />
�<br />
�<br />
� ˙q0(˙q − ˙q0)+<br />
dq<br />
1 d<br />
2<br />
2a(q) dq2 �<br />
�<br />
� ˙q 2 0 (q −q0) (5.56)<br />
� q0<br />
ma, sostituendo i valori <strong>di</strong> riferimento dati dalle (5.55), si ottiene<br />
� �<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂˙q<br />
∂T<br />
∂q ∼ = a(q0)·0+ 1<br />
�<br />
da(q) �<br />
�<br />
2 dq � ·0<br />
q0<br />
2<br />
+a(q0)(¨q −0)+ da(q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dq � ·0·(q −q0)<br />
q0<br />
+ da(q)<br />
�<br />
�<br />
� ·0·(˙q −0)+<br />
dq<br />
1 d<br />
2<br />
2a(q) dq2 �<br />
�<br />
� ·0 2 ·(q −q0)<br />
� q0<br />
� q0<br />
� q0<br />
= a(q0)¨q (5.57)<br />
In modo analogo si procede per le forze conservative e <strong>di</strong>ssipative, e per le rimanenti azioni attive<br />
fV (q) ∼ = fV| + q0 dfV<br />
�<br />
�<br />
� (q −q0) (5.58)<br />
dq<br />
� q0<br />
r(q) ˙q ∼ = r(q0) ˙q (5.59)<br />
Q(q, ˙q,...,t) ∼ = Q(q0,0,t)+ ∂Q<br />
�<br />
�<br />
� (q −q0)+<br />
∂q<br />
∂Q<br />
�<br />
�<br />
� ˙q (5.60)<br />
∂˙q<br />
� q0,0<br />
� q0,0<br />
Per quanto riguarda la Q, a partire dalla (5.36) si ricava:<br />
Q(q, ˙q,t) ∼ �<br />
�<br />
∂Q(q, ˙q)<br />
�<br />
� ∂Q(q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
= Q(q0,0,t)+ � (q −q0)+ �<br />
∂q ∂˙q<br />
=<br />
nf �<br />
f=1<br />
�Ff (q0,0,t)× ∂�yf<br />
∂q<br />
⎛<br />
nf � ∂<br />
+ ⎝<br />
f=1<br />
� �<br />
Ff (q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂q<br />
nf � ∂<br />
+<br />
� �<br />
Ff (q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂˙q<br />
f=1<br />
� q0,0<br />
� q0,0<br />
� q0,0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
× ∂�yf<br />
∂q<br />
× ∂�yf<br />
∂q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
nf �<br />
+<br />
f=1<br />
� q0,0<br />
�Ff (q0,0)× ∂2 �yf<br />
∂q 2<br />
(˙q − ˙q0)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
⎞<br />
⎠(q −q0)<br />
˙q (5.61)<br />
5-9
Occorreipotizzarechela<strong>di</strong>pendenzaesplicitadaltempo, sepresente, siaconfinataneltermineQ(q0,0,t),<br />
esprimibile come<br />
Q(q0,0,t) = ˆ Q(q0,0)+ ˜ Q(q0,0,t) (5.62)<br />
ovvero costituito da una parte costante e da una <strong>di</strong>pendente dal tempo, quest’ultima tale da portare<br />
ad un moto <strong>di</strong> ampiezza limitata nell’intorno <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico; il valore costante <strong>di</strong><br />
riferimento ˆ Q(q0,0) è quello che in realtà occorre usare nella (5.39) per il calcolo <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong><br />
equilibrio statico q0.<br />
Ne risulta, considerando anche la (5.39), l’equazione linearizzata <strong>del</strong> moto<br />
a(q0)¨q +<br />
�<br />
r(q0)−<br />
∂Q(q, ˙q)<br />
∂˙q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0,0<br />
�<br />
˙q +<br />
�<br />
− dfV<br />
dq<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
−<br />
∂Q(q, ˙q)<br />
∂q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0,0<br />
�<br />
(q −q0) = ˜ Q(q0,0,t) (5.63)<br />
La (5.63) è un’equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare a coefficienti costanti, <strong>di</strong> cui è possibile l’integrazione<br />
analitica.<br />
Può convenire la definizione <strong>di</strong> una nuova coor<strong>di</strong>nata libera q come<br />
q = q −q0<br />
˙q = d<br />
dt (q −q0) = ˙q (5.64)<br />
¨q = d2<br />
dt 2(q −q0) = ¨q<br />
In questo modo, l’equazione (5.63) <strong>di</strong>venta<br />
a(q0)¨q +<br />
�<br />
r(q0)−<br />
∂Q(q, ˙q)<br />
∂˙q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0,0<br />
�<br />
˙q +<br />
�<br />
− dfV<br />
dq<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
−<br />
∂Q(q, ˙q)<br />
∂q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0,0<br />
�<br />
q = ˜ Q(q0,0,t) (5.65)<br />
5.3.4 Quadraticizzazione <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> Lagrange e sua linearizzazione<br />
Si consideri dapprima l’energia cinetica T. La (5.25) può essere sviluppata in serie <strong>di</strong> Taylor nell’intorno<br />
<strong>del</strong>la posizione <strong>di</strong> equilibrio statico definita dalle (5.55) troncando l’espansione ai termini quadratici, in<br />
quantofornisconoicontributilineariaseguito<strong>del</strong>le<strong>di</strong>fferenziazionirichiesteperlascrittura<strong>del</strong>l’equazione<br />
<strong>del</strong> moto:<br />
T (q, ˙q) ∼ �<br />
�<br />
∂T (q, ˙q)<br />
�<br />
� ∂T (q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
= T (q0,0)+ � (q −q0)+ � (˙q −0)<br />
∂q ∂˙q<br />
+ 1<br />
2<br />
∂2 �<br />
T (q, ˙q) �<br />
�<br />
�<br />
∂q 2<br />
� q0,0<br />
Si deve fin da subito notare che:<br />
�<br />
∂T (q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂q<br />
�<br />
∂T (q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂˙q<br />
� q0,0<br />
� q0<br />
= 1<br />
2<br />
�<br />
da(q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dq<br />
� q0,0<br />
(q −q0) 2 + ∂2 �<br />
T (q, ˙q) �<br />
�<br />
�<br />
∂q∂˙q<br />
� q0<br />
= a(q0)·0 = 0<br />
� q0,0<br />
T (q0,0) = 1<br />
2 a(q0)·0 2 = 0<br />
·0 2 = 0<br />
5-10<br />
� q0,0<br />
(q −q0)(˙q −0)+ 1<br />
2<br />
∂2 �<br />
T (q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂q 2<br />
� q0<br />
∂2 �<br />
T (q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂q∂˙q<br />
� q0<br />
= 1<br />
2<br />
d2a(q) dq2 �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
= da(q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dq<br />
� q0<br />
∂2 �<br />
T (q, ˙q) �<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
∂˙q 2<br />
·0 2 = 0<br />
·0 = 0<br />
� q0,0<br />
(˙q −0) 2<br />
(5.66)<br />
(5.67)
in quanto valutati per ˙q = 0; ovvero la (5.19) può essere riscritta come:<br />
T ∼ = 1 ∂<br />
2<br />
2T (q, ˙q)<br />
∂˙q 2<br />
�<br />
�<br />
� ˙q 2 = 1<br />
2 a(q0) ˙q 2<br />
� q0,0<br />
(5.68)<br />
Applicando la (5.68) alla equazione <strong>di</strong> Lagrange, otteniamo:<br />
� �<br />
d ∂T<br />
∼= a(q0)¨q,<br />
dt ∂˙q<br />
∂T<br />
∂q ∼ = 0 (5.69)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
d<br />
dt<br />
� �<br />
∂T<br />
−<br />
∂˙q<br />
∂T<br />
∂q ∼ = a(q0)¨q = m0¨q (5.70)<br />
In modo <strong>del</strong> tutto analogo si può ricondurre ad una forma quadratica anche l’energia potenziale V,<br />
sviluppandola secondo Taylor nell’intorno <strong>del</strong>la posizione <strong>di</strong> equilibrio statico:<br />
V (q) ∼ �<br />
dV (q) �<br />
= V (q0)+ � (q −q0)+<br />
dq<br />
1 d<br />
2<br />
2V (q)<br />
dq2 �<br />
�<br />
� (q −q0) 2<br />
(5.71)<br />
� q0<br />
avendo definito, con la variabile q = q −q0, lo spostamento subìto dalla variabile in<strong>di</strong>pendente rispetto<br />
alla posizione <strong>di</strong> equilibrio statico<br />
V (q) = V (q0)+<br />
dV (q0)<br />
dq<br />
� q0<br />
q + 1d<br />
2<br />
2V (q0)<br />
dq2 q 2 +... (5.72)<br />
Con tale trasformazione <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate, la variabile q definisce dunque il solo moto perturbato <strong>del</strong> sistema<br />
nell’intorno <strong>del</strong>la posizione <strong>di</strong> equilibrio statico q = q0. L’applicazione <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> Lagrange alla<br />
funzione V (q), resa quadratica nella variabile in<strong>di</strong>pendente q, porta alla:<br />
dV (q)<br />
dq ∼ =<br />
dV (q)<br />
dq<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
+ d2 V (q)<br />
dq 2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
q =<br />
dV (q)<br />
dq<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
+k0q (5.73)<br />
in cui si è sfruttato il fatto che la derivata <strong>del</strong> termine costante V (q0), per definizione, è nulla. Il termine<br />
lineare <strong>del</strong>l’energia potenziale quadraticizzata, invece, nell’equazione <strong>del</strong> moto linearizzata si annulla o<br />
perché il sistema è conservativo e quin<strong>di</strong>, dalla (5.40), il suo annullamento è con<strong>di</strong>zione per l’equilibrio,<br />
o, in caso <strong>di</strong> sistema non conservativo, dalla definizione <strong>di</strong> soluzione <strong>di</strong> equilibrio secondo la (5.39), si<br />
elide con il valore costante Q(q0,0) risultante dalla linearizzazione <strong>del</strong>la componente generalizzata <strong>del</strong>la<br />
sollecitazione attiva.<br />
Analogamente a quanto fatto per l’energia cinetica, anche la funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione D data dalla<br />
(5.32) può essere resa quadratica, sviluppandola in serie <strong>di</strong> Taylor arrestata al termine quadratico:<br />
D(q, ˙q) ∼ �<br />
�<br />
∂D(q, ˙q)<br />
�<br />
� ∂D(q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
= D(q0,0)+ � (q −q0)+ � (˙q −0) (5.74)<br />
∂q ∂˙q<br />
+ 1<br />
2<br />
∂2 �<br />
D(q, ˙q) �<br />
�<br />
�<br />
∂q 2<br />
� q0,0<br />
� q0,0<br />
(q −q0) 2 + ∂2 �<br />
D(q, ˙q) �<br />
�<br />
�<br />
∂q∂˙q<br />
� q0,0<br />
� q0,0<br />
(q −q0)(˙q −0)+ 1<br />
2<br />
∂2 �<br />
D(q, ˙q) �<br />
�<br />
�<br />
∂˙q 2<br />
� q0,0<br />
(˙q −0) 2<br />
In analogia con quanto osservato per l’espressione quadraticizzata <strong>del</strong>l’energia cinetica, si nota che<br />
�<br />
∂D(q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂q<br />
� q0,0<br />
∂2 �<br />
D(q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂q 2<br />
� q0,0<br />
= 1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
�<br />
dr(q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dq<br />
� q0<br />
d2r(q) dq2 �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
D(q0,0) = 1<br />
2 r(q0)·0 2 = 0<br />
·0 2 = 0,<br />
� q0<br />
·0 2 = 0,<br />
5-11<br />
�<br />
∂D(q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂˙q<br />
� q0,0<br />
∂2 �<br />
D(q, ˙q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂q∂˙q<br />
� q0,0<br />
= r(q0)·0 = 0<br />
= dr(q)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dq<br />
� q0<br />
·0 = 0<br />
(5.75)<br />
(5.76)
questo porta all’espressione:<br />
D(q, ˙q) ∼ = 1 ∂<br />
2<br />
2D(q, ˙q)<br />
∂˙q 2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0,0<br />
˙q 2 = 1 2<br />
r0˙q<br />
2<br />
(5.77)<br />
Da ultimo si consideri il lavoro virtuale δL <strong>del</strong>le rimanenti forze attive esterne � Ff, che possono <strong>di</strong>pendere<br />
arbitrariamente dalla coor<strong>di</strong>nata libera q, dalle sue derivate e dal tempo t. La loro linearizzazione<br />
è <strong>del</strong> tutto analoga a quella effettuata quando si è considerato l’approccio <strong>di</strong>retto alla linearizzazione<br />
<strong>del</strong>l’equazione <strong>del</strong> moto, quin<strong>di</strong> il contributo <strong>del</strong>le rimanenti sollecitazioni attive all’equazione linearizzata<br />
è dato dalla (5.60). ove, si ricorda, si è fatta l’ipotesi che Q possa essere decomposta in modo che<br />
l’eventuale <strong>di</strong>pendenza dal tempo si abbia solo in contributi che non <strong>di</strong>pendono dalla coor<strong>di</strong>nata libera<br />
e viceversa.<br />
Si ottiene <strong>di</strong> nuovo l’equazione (5.65)<br />
m0 ¨q +<br />
�<br />
r0 −<br />
∂Q(q, ˙q)<br />
∂˙q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
�<br />
˙q +<br />
�<br />
k0 −<br />
∂Q(q, ˙q)<br />
∂q<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� q0<br />
�<br />
q = ˜ Q(q0,0,t) (5.78)<br />
che risulta <strong>di</strong>fferenziale <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne lineare e a coefficienti costanti completa, in cui si considera<br />
come variabile in<strong>di</strong>pendente la coor<strong>di</strong>nata q <strong>del</strong> moto perturbato definita nelle (5.64) a partire dalla<br />
posizione <strong>di</strong> equilibrio q0.<br />
5.3.5 Utilizzo <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto linearizzata<br />
Come già accennato, la linearizzazione <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> moto consente <strong>di</strong> ottenere un problema <strong>di</strong>fferenziale<br />
lineare a coefficienti costanti qualora sia possibile definire una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio tale per cui la<br />
configurazione <strong>del</strong> sistema non cambi. Ne verrà fatto largo uso nello stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>le vibrazioni<br />
per i sistemi meccanici, nei capitoli 6, 13 e 14; la capacità <strong>di</strong> ridurre in questa forma anche problemi in<br />
cui sono presenti forze arbitrariamente <strong>di</strong>pendenti dalla configurazione consente <strong>di</strong> affrontare e risolvere<br />
importanti problemi <strong>di</strong> aeroelasticità, ovvero in cui riveste un ruolo fondamentale la <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>le<br />
forze aero<strong>di</strong>namiche dal movimento <strong>del</strong>la struttura, come verrà illustrato nel Capitolo 16.<br />
5.4 Esempi<br />
Gliesempirelativiallalinearizzazionesonoattualmenteinrevisione; verrannoresi<strong>di</strong>sponibiliilpiùpresto<br />
possibile.<br />
5-12
Capitolo 6<br />
Sistemi vibranti ad un grado <strong>di</strong><br />
libertà — Parte I<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
6.1 Meccanica <strong>del</strong>le vibrazioni<br />
Per le macchine viste finora, è quasi sempre possibile effettuare uno stu<strong>di</strong>o considerandole a un solo grado<br />
<strong>di</strong> libertà, dove ogni elemento è ritenuto rigido. In realtà essi sono approssimati, pertanto i nostri schemi<br />
sono approssimati. La deformabilità degli elementi componenti può essere voluta o indesiderata: ad<br />
esempio le sospensioni <strong>di</strong> un veicolo sono elementi volutamente deformabili. Purtroppo, per le <strong>di</strong>fficoltà<br />
che insorgono nello stu<strong>di</strong>o e per gli effetti collaterali, sono ben più importanti i casi <strong>di</strong> deformabilità<br />
<strong>di</strong>namica non voluta, quando un elemento che il progettista vorrebbe rigido si deforma, dando luogo<br />
<strong>di</strong> regola a moti vibratori indesiderati e dannosi. Per lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> questi moti vibratori è necessario<br />
fare qualche considerazione sui mo<strong>del</strong>li matematici atti a descrivere tali fenomeni. Spesso la <strong>di</strong>fficoltà<br />
consiste nell’associare un mo<strong>del</strong>lo deformabile a qualcosa che nella realtà il progettista vorrebbe rigido.<br />
Ovviamente questi schemi devono essere i più semplici possibili ed è possibile sud<strong>di</strong>viderli in due gruppi:<br />
• mo<strong>del</strong>li continui (a infiniti gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà) derivanti dalla Scienza <strong>del</strong>le Costruzioni, dove riferendoci,<br />
ad esempio, a una trave, ogni punto <strong>di</strong> questa può muoversi e ogni sezione può ruotare.<br />
Per descriverne il comportamento è necessario conoscere una funzione f (x) e <strong>del</strong>le equazioni alle<br />
derivate parziali. Tali mo<strong>del</strong>li vengono usati per lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le vibrazioni trasversali <strong>di</strong> travi o funi;<br />
• mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong>screti (a n finiti gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà) che contrastano con l’osservazione <strong>del</strong> fenomeno fisico<br />
secondo la quale la deformabilità e l’inerzia sono <strong>di</strong>stribuite nel sistema fisico.<br />
Per fortuna, molte volte è possibile ricondurre il mo<strong>del</strong>lo reale a sistemi a uno o pochi gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
Si tenga presente che, per utilizzare mo<strong>del</strong>li a uno o pochi gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, è necessario prima effettuare<br />
lo stu<strong>di</strong>o con schemi a un numero maggiore <strong>di</strong> g.d.l. e capire sotto quali con<strong>di</strong>zioni si può tornare a pochi<br />
g.d.l. senza perdere informazioni importanti per la risoluzione <strong>del</strong> problema.<br />
Un velivolo in atterraggio, ad esempio, come quello illustrato in figura 6.1, possiede una velocità che<br />
non è mai perfettamente orizzontale, e per questo i carrelli sono dotati <strong>di</strong> opportuni molleggi che hanno<br />
il compito <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipare l’energia associata alla componente verticale <strong>di</strong> tale velocità. Se analizziamo in<br />
prima approssimazione l’impatto <strong>del</strong> velivolo sul campo d’atterraggio, trascurando, nel breve intervallo<br />
<strong>di</strong> tempo in cui avviene l’impatto, l’effetto dovuto alla componente orizzontale <strong>del</strong>la velocità, si nota che<br />
il comportamento <strong>di</strong>namico <strong>del</strong> sistema, grazie alla grande rigidezza <strong>del</strong>la fusoliera rispetto agli elementi<br />
elastici <strong>del</strong> treno d’atterraggio, può essere rappresentato dalla seguente equazione <strong>di</strong>fferenziale.<br />
−m¨y −ky = 0 (6.1)<br />
6-1
Figura 6.1: Velivolo in atterraggio.<br />
Figura 6.2: Pendolo.<br />
Altro esempio, noto dalla Meccanica Razionale, è quello <strong>del</strong> pendolo, illustrato in figura 6.2, per il<br />
quale la scrittura <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla rotazione attorno alla cerniera O porta a<br />
−ml 2¨ θ −mglsinθ = 0 (6.2)<br />
ove la <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong> momento dall’angolo θ, per piccole oscillazioni attorno alla posizione <strong>di</strong> equilibrio,<br />
definita da θ = 0, può essere così linearizzata<br />
sinθ ∼ = sin(0)+ dsinθ<br />
�<br />
�<br />
� ∆θ = ∆θ (6.3)<br />
dθ<br />
� θ=0<br />
dando luogo a una equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare a coefficienti costanti<br />
−¨ θ − g<br />
θ = 0 (6.4)<br />
l<br />
simile a quella già vista per il velivolo.<br />
6.2 Moto libero non smorzato<br />
Trattiamo il problema <strong>del</strong>le vibrazioni a un solo g.d.l. in modo generale, stu<strong>di</strong>ando per ora il caso che<br />
sul sistema <strong>di</strong>namico, considerato in assenza <strong>di</strong> attriti o smorzamento, non agiscano forze esterne.<br />
Per mettere in equazione il mo<strong>del</strong>lo meccanico, dobbiamo scegliere la coor<strong>di</strong>nata libera, ovviamente<br />
la x, e sceglierne l’origine.<br />
6-2
Figura 6.3: Sistema vibrante a un grado <strong>di</strong> libertà, senza attrito.<br />
Vedremo in seguito il motivo, ma risulta comodo misurare la coor<strong>di</strong>nata libera (ovvero le coor<strong>di</strong>nate<br />
libere in sistemi a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà) a partire dalla posizione <strong>di</strong> equilibrio statico. Consideriamo<br />
un moto traslatorio <strong>del</strong>la massa e scriviamo l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> sistema. Utilizzando gli equilibri<br />
<strong>di</strong>namici, in una generica posizione deformata x(t), agiranno sul corpo la forza d’inerzia e la forza <strong>di</strong><br />
richiamo elastico <strong>del</strong>la molla, ovvero<br />
−m¨x−kx = 0 (6.5)<br />
che noi per convenzione riscriviamo con il segno cambiato, tenendo a sinistra <strong>del</strong>l’uguale le forze <strong>di</strong>pendenti<br />
dalla configurazione con il segno cambiato e portando le altre forze (in questo caso assenti) a destra<br />
m¨x+kx = 0 (6.6)<br />
Si ottiene un’equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, la cui soluzione è <strong>del</strong><br />
tipo<br />
x(t) = Ae λt<br />
dove A è una costante arbitraria e λ un parametro da determinare. Sostituendo la soluzione (6.7)<br />
nell’equazione <strong>di</strong> partenza (6.6)<br />
mAλ 2 e λt +kAe λt = 0 (6.8)<br />
che, trascurando la soluzione banale A = 0 che rappresenta la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio statico, porta a<br />
λ 2 = − k<br />
m<br />
ovvero<br />
�<br />
λ1,2 = ± − k<br />
�<br />
k<br />
= ±i<br />
m m<br />
= ±iω0<br />
(6.10)<br />
(6.7)<br />
(6.9)<br />
La soluzione <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong>fferenziale (6.6) è quin<strong>di</strong> data dalla combinazione lineare <strong>del</strong>le due<br />
soluzioni date da λ1 e λ2<br />
x(t) = A1e iω0t +A2e −iω0t<br />
(6.11)<br />
Lo spostamento x(t) è una quantità reale, mentre per la forma <strong>del</strong>l’equazione (6.6) lo spostamento<br />
risultante dalla sua soluzione in generale è complesso:<br />
x(t) = (A1 +A2)cos(ω0t)+i(A1 −A2)sin(ω0t) (6.12)<br />
per cui affinché x(t) sia reale, occorre che la somma <strong>del</strong>le costanti A1 e A2 sia reale e la loro <strong>di</strong>fferenza<br />
immaginaria, ovvero occorre che siano complesse coniugate.<br />
Se si prende come tempo iniziale t0 = 0, cosa sempre lecita a patto <strong>di</strong> ridefinire l’origine <strong>del</strong>l’asse<br />
dei tempi, dal momento che i coefficienti <strong>del</strong>l’equazione (6.6) non <strong>di</strong>pendono dal tempo, si nota che, per<br />
t = 0, la soluzione (6.12) vale<br />
x(0) = A1 +A2<br />
6-3<br />
(6.13)
mentre la sua derivata vale<br />
Figura 6.4: Oscillazione armonica.<br />
˙x(0) = iω0(A1 −A2) (6.14)<br />
Le relazioni (6.13) e (6.14) mostrano come le costanti A1 e A2 siano in relazione con le con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali <strong>del</strong> moto, dalle quali si ricavano:<br />
⎧<br />
⎪⎨ A1 =<br />
⎪⎩<br />
1<br />
�<br />
x(0)+<br />
2<br />
˙x(0)<br />
�<br />
iω0<br />
A2 = 1<br />
�<br />
x(0)−<br />
2<br />
˙x(0)<br />
� (6.15)<br />
iω0<br />
Consideriamo ancora lo stesso oscillatore già visto, ma supponiamolo anche soggetto alla gravità. Nel<br />
precedente esempio avevamo posto l’origine <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera (x = 0) dove è nulla la forza esercitata<br />
dalla molla. Anche in questo caso porremo l’origine y = 0 dove la molla è scarica.<br />
L’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico porta a<br />
ovvero<br />
−m¨y −ky +mg = 0 (6.16)<br />
m¨y +ky = mg, (6.17)<br />
equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare a coefficienti costanti completa. Se pren<strong>di</strong>amo ora come origine <strong>del</strong>la<br />
coor<strong>di</strong>nata libera x la posizione <strong>di</strong> equilibrio statico y0, sarà<br />
e<br />
con<br />
y = y0 +x (6.18)<br />
¨y = ¨x, (6.19)<br />
y0 = mg<br />
k<br />
(6.20)<br />
che sostituite portano a<br />
�<br />
mg<br />
−m¨x−k<br />
k +x<br />
�<br />
+mg = 0 (6.21)<br />
6-4
da cui<br />
Figura 6.5: Oscillatore smorzato.<br />
m¨x+kx = 0. (6.22)<br />
Ovvero, se non interessa lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> moto derivante dall’applicazione <strong>di</strong> una forza costante nel tempo,<br />
conviene scegliere l’origine <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera nel punto <strong>di</strong> equilibrio statico, in quanto si ottiene<br />
sempre un’equazione <strong>di</strong>fferenziale omogenea.<br />
6.3 Vibrazioni libere smorzate<br />
Smorzamento viscoso. Durante la vibrazione libera, l’energia è <strong>di</strong>ssipata in vari mo<strong>di</strong>, e un moto<br />
con ampiezza costante non può essere mantenuto senza che venga continuamente fornita energia.<br />
È <strong>di</strong>fficile una formulazione esatta <strong>del</strong> fenomeno <strong>di</strong>ssipativo, in quanto questo può essere funzione<br />
<strong>del</strong>lo spostamento, <strong>del</strong>la velocità, <strong>del</strong>lo stato <strong>di</strong> deformazione, <strong>del</strong> tempo o <strong>di</strong> altro.<br />
Un mo<strong>del</strong>lo ideale, spesso sod<strong>di</strong>sfacente, è quello <strong>del</strong>lo smorzamento viscoso, secondo il quale la forza<br />
<strong>di</strong>ssipativa è espressa da<br />
F = −r˙x = −c˙x, (6.23)<br />
dove r è utilizzato nella bibliografia italiana, mentre c in quella <strong>di</strong> lingua anglosassone. L’equazione <strong>di</strong><br />
equilibrio <strong>di</strong>namico <strong>del</strong> nostro solito oscillatore <strong>di</strong>verrà quin<strong>di</strong><br />
−m¨x−r˙x−kx = 0 (6.24)<br />
che può essere risolta usando la solita forma (6.7) la quale, sostituita nell’equazione <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong><br />
partenza (6.24) porta all’equazione lineare<br />
�<br />
λ 2 + r<br />
�<br />
k<br />
λ+ Ae<br />
m m<br />
λt = 0 (6.25)<br />
che ammette come soluzioni non banali (per A �= 0 e valide per qualsiasi valore <strong>di</strong> t)<br />
λ1,2 = − r<br />
2m ±<br />
�<br />
�<br />
r<br />
�2 −<br />
2m<br />
k<br />
m<br />
e la soluzione generale per la vibrazione libera smorzata è data da<br />
x(t) = Ae λ1t +Be λ2t<br />
dove A e B sono costanti arbitrarie <strong>di</strong>pendenti dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali.<br />
6-5<br />
(6.26)<br />
(6.27)
Smorzamento critico. Il comportamento <strong>del</strong>l’oscillatore smorzato <strong>di</strong>pende dal valore numerico <strong>del</strong><br />
ra<strong>di</strong>cando<br />
∆ =<br />
�<br />
r<br />
�2 −<br />
2m<br />
k<br />
m<br />
(6.28)<br />
detto anche <strong>di</strong>scriminante. A seconda che esso sia maggiore o minore <strong>di</strong> zero, le ra<strong>di</strong>ci saranno reali<br />
e <strong>di</strong>stinte o complesse coniugate. Quin<strong>di</strong> è ragionevole prendere come valore <strong>di</strong> riferimento per lo<br />
smorzamento, detto anche smorzamento critico, quello per il quale il ra<strong>di</strong>cando si annulla:<br />
rc = 2 √ mk (6.29)<br />
A questo punto lo smorzamento effettivo <strong>del</strong> sistema può essere espresso in forma a<strong>di</strong>mensionale come<br />
frazione <strong>del</strong>lo smorzamento critico rc, dal rapporto<br />
ξ = r<br />
rc<br />
detto anche in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> smorzamento 1 . Ne consegue che<br />
r rc<br />
= ξ<br />
2m 2m = ξ2√ �<br />
km k<br />
= ξ = ξω0<br />
(6.31)<br />
2m m<br />
e quin<strong>di</strong> le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico sono espresse dalla relazione<br />
λ1,2 =<br />
(6.30)<br />
�<br />
−ξ ±i � 1−ξ 2<br />
�<br />
ω0 |ξ| < 1 (6.32)<br />
Ovviamente se |ξ| ≥ 1 questa rappresentazione perde <strong>di</strong> interesse, in quanto il ra<strong>di</strong>cando <strong>del</strong>la (6.32)<br />
<strong>di</strong>venta a sua volta negativo, e le ra<strong>di</strong>ci λ1,2 <strong>di</strong>ventano reali e <strong>di</strong>stinte. A questo punto, conviene scrivere<br />
λ1,2 =<br />
�<br />
−ξ ± � ξ2 �<br />
−1 ω0 |ξ| ≥ 1 (6.33)<br />
Si ricor<strong>di</strong> che è opportuno ragionare sul modulo <strong>di</strong> ξ in quanto, in casi particolari, lo smorzamento<br />
r potrebbe essere negativo e portare quin<strong>di</strong> ad un comportamento instabile; si veda il capitolo 7 ed<br />
il capitolo 16 per una <strong>di</strong>scussione più approfon<strong>di</strong>ta. Posto σ = −ξω0 e ω = � 1−ξ 2 ω0, la generica<br />
soluzione (6.27) assume la forma<br />
x(t) = ((A+B)cos(ωt)+i(A−B)sin(ωt))e σt<br />
(6.34)<br />
Anche in questo caso, valutando la soluzione (6.34) e la sua derivata all’istante iniziale, si possono<br />
esprimere i coefficienti A e B in funzione <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni iniziali:<br />
e<br />
x(0) = A+B (6.35)<br />
˙x(0) = σ(A+B)+iω(A−B) (6.36)<br />
da cui si ricava<br />
⎧<br />
⎪⎨ A =<br />
⎪⎩<br />
1<br />
�<br />
x(0)+<br />
2<br />
˙x(0)−σx(0)<br />
�<br />
iω<br />
B = 1<br />
�<br />
x(0)−<br />
2<br />
˙x(0)−σx(0)<br />
� (6.37)<br />
iω<br />
6-6
Figura 6.6: Oscillazione smorzata.<br />
Figura 6.7: Risposta supercritica.<br />
Smorzamento minore <strong>di</strong> quello critico: 0 < ξ < 1. La soluzione generale <strong>di</strong>venta<br />
�� �<br />
1−ξ 2ω0t+φ x(t) = e −ξω0t�<br />
Ae i√ 1−ξ 2 ω0t +Be −i √ 1−ξ 2 ω0t �<br />
= Xe −ξω0t sin<br />
e il moto risulta perio<strong>di</strong>co con pulsazione<br />
ω = � 1−ξ 2 ω0<br />
e ampiezza decrescente nel tempo con legge esponenziale.<br />
(6.38)<br />
(6.39)<br />
Smorzamento maggiore <strong>di</strong> quello critico: ξ > 1. In questo caso le due ra<strong>di</strong>ci sono reali, e la<br />
soluzione generale <strong>di</strong>venta<br />
x(t) = Ae<br />
�<br />
−ξ+ √ ξ2 �<br />
−1<br />
ω0t +Be<br />
�<br />
−ξ− √ ξ2 �<br />
−1<br />
ω0t . (6.40)<br />
Il moto non è più oscillatorio, ma si smorza col tempo in modo esponenziale.<br />
1 In alcuni ambiti, lo smorzamento è descritto in termini <strong>di</strong> fattore <strong>di</strong> qualità (quality factor), in<strong>di</strong>cato con Q. Il fattore<br />
<strong>di</strong> qualità in<strong>di</strong>ca il rapporto fra la quantità <strong>di</strong> energia immagazzinata dal sistema e quella <strong>di</strong>ssipata in un ciclo. Tanto meno<br />
è smorzato un sistema, tanto più alto è il suo fattore <strong>di</strong> qualità. Un sistema non smorzato ha fattore <strong>di</strong> qualità Q = ∞.<br />
L’equivalenza tra il fattore <strong>di</strong> qualità Q e il coefficiente <strong>di</strong> smorzamento ξ è Q = 1/(2ξ).<br />
6-7
Figura 6.8: Risposta critica.<br />
Figura 6.9: Confronto tra le risposte al variare <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> smorzamento.<br />
Smorzamento uguale a quello critico: ξ = 1. In quest’ultimo caso le due ra<strong>di</strong>ci sono reali e<br />
coincidenti. In questo caso l’integrale generale assumerà la forma<br />
x(t) = (A+tB)e −ω0t<br />
(6.41)<br />
Per cui il moto libero non è più oscillatorio ma si smorza anch’esso in modo esponenziale.<br />
Non sono stati considerati i casi per cui ξ < 0; in tali casi il sistema ha comportamento instabile e,<br />
dallo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> modulo <strong>di</strong> ξ, in totale analogia con quanto visto sopra, si può dedurre se l’instabilità<br />
si manifesta come una oscillazione che cresca esponenzialmente (0 > ξ > −1) o come una <strong>di</strong>vergenza<br />
statica (ξ < −1).<br />
Confrontando per lo stesso oscillatore l’andamento <strong>del</strong> moto libero al variare <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> smorzamento<br />
ξ per le medesime con<strong>di</strong>zioni iniziali<br />
�<br />
x(0) = 1<br />
(6.42)<br />
˙x(0) = 0<br />
come illustrato in figura 6.9, si nota che:<br />
• in<strong>di</strong>pendentemente dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali il moto libero si annulla sempre dopo un tempo più o<br />
meno lungo;<br />
• a parità <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zioni iniziali, il tempo necessario per smorzarsi <strong>di</strong>pende da ξ;<br />
• a parità <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zioni iniziali, per ξ = 1 il tempo è minimo (strumenti <strong>di</strong> misura, artiglierie, ecc.).<br />
6-8
6.4 Moto forzato<br />
Sempre in assenza <strong>di</strong> smorzamento e <strong>di</strong> attriti, ve<strong>di</strong>amo ora che cosa succede se applichiamo al sistema<br />
una forza esterna F (t) che supponiamo per semplicità armonica 2 , ovvero<br />
F (t) = F0sin(ωt) (6.43)<br />
con F0 e ω noti. L’equazione <strong>di</strong> equilibrio per la massa m <strong>di</strong>venta<br />
m¨x+kx = F0sin(ωt) (6.44)<br />
equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare a coefficienti costanti completa il cui integrale generale è dato dall’integrale<br />
generale <strong>del</strong>l’omogenea associata più l’integrale particolare<br />
ovvero<br />
con<br />
x(t) = xg(t)+xp(t) (6.45)<br />
x(t) = Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)+xp(t) (6.46)<br />
xp(t) = Csin(ωt) (6.47)<br />
integrale particolare che sostituito nell’equazione (6.44) <strong>di</strong> partenza<br />
dà<br />
−mCω 2 sin(ωt)+kCsin(ωt) = F0sin(ωt) (6.48)<br />
C =<br />
F0<br />
k −mω 2<br />
quin<strong>di</strong> la (6.46) <strong>di</strong>venta<br />
x(t) = Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)+<br />
(6.49)<br />
F0<br />
sin(ωt) (6.50)<br />
k −mω2 Il moto risultante è quin<strong>di</strong> somma <strong>di</strong> due funzioni armoniche, una con pulsazione ω0, caratteristica <strong>del</strong><br />
sistema, e l’altra con pulsazione ω, data dalla forzante.<br />
Per effetto degli inevitabili smorzamenti, l’integrale generale <strong>del</strong>l’omogenea associata, come visto,<br />
tende a zero col crescere <strong>del</strong> tempo, per cui a noi interessa stu<strong>di</strong>are il solo integrale particolare che<br />
rappresenta il comportamento vibratorio a regime <strong>del</strong> sistema 3 :<br />
x(t) t≫t0<br />
∼=<br />
F0<br />
sin(ωt) (6.51)<br />
k −mω2 Analizziamo l’ampiezza C <strong>del</strong> moto a regime al variare dei parametri:<br />
• se la pulsazione ω <strong>del</strong>la forzante tende a zero, l’ampiezza <strong>di</strong> vibrazione C tende a un valore pari<br />
alla deformazione indotta dalla forza F0 applicata staticamente;<br />
• se la pulsazione ω cresce, l’ampiezza C aumenta (fenomeno <strong>del</strong>l’amplificazione <strong>di</strong>namica) fino a un<br />
asintoto verticale (risonanza):<br />
lim |C| = ∞ (6.52)<br />
ω→ω0<br />
• al crescere ulteriore <strong>del</strong>la pulsazione ω <strong>del</strong>la forzante, l’ampiezza <strong>del</strong>la risposta si annulla:<br />
lim |C| = 0 (6.53)<br />
ω→∞<br />
6-9
Figura 6.10: Risposta in frequenza <strong>di</strong> un sistema vibrante forzato.<br />
Attenzione: se siamo in risonanza, la soluzionecade in <strong>di</strong>fettoin primoluogo perchéil comportamento<br />
<strong>del</strong>lamollaèlinearesoloperpiccolispostamenti. Inoltre, dobbiamoricordarechelecostantiAeB devono<br />
essere calcolate per la soluzione generale completa rappresentata dalla (6.46) per cui<br />
�<br />
x(0) = A+xp(0)<br />
(6.54)<br />
˙x(0) = ω0B + ˙xp(0)<br />
supponendo, per t = 0, che tanto lo spostamento quanto la velocità siano nulle, si ottiene<br />
x(t) = F0<br />
�<br />
1<br />
� �<br />
k 2 sin(ωt)−<br />
ω<br />
1−<br />
ω<br />
�<br />
sin(ω0t)<br />
ω0<br />
ω0<br />
ω0<br />
(6.55)<br />
che fornisce una forma indeterminata <strong>del</strong> tipo 0/0 per ω → ω0. Applicando alla (6.55) la regola <strong>di</strong> de<br />
l’Hôpital si ottiene<br />
�<br />
F0 1<br />
lim x(t) = lim � �<br />
ω→ω0 ω→ω0 k 2 sin(ωt)−<br />
ω<br />
1−<br />
ω<br />
�<br />
sin(ω0t) =<br />
ω0<br />
F0<br />
2k (sin(ω0t)−ω0tcos(ω0t)) (6.56)<br />
per cui sarebbe comunque necessario tempo infinito, anche in con<strong>di</strong>zioni ideali <strong>di</strong> linearità <strong>del</strong>le forze<br />
elastiche, per raggiungere ampiezze infinite. Ricordando, infine, che<br />
C =<br />
F0<br />
k −ω2 F0/k<br />
=<br />
m<br />
1− ω2 =<br />
m<br />
k<br />
1−<br />
δst<br />
� ω<br />
si definisce il coefficiente <strong>di</strong> amplificazione <strong>di</strong>namica H come<br />
H(ω) = C<br />
δst<br />
=<br />
1−<br />
1<br />
�<br />
ω<br />
ω0<br />
� 2<br />
ω0<br />
� 2<br />
(6.57)<br />
(6.58)<br />
2 Sotto ampie ipotesi, una forzante generica può essere descritta da una funzione perio<strong>di</strong>ca, ovvero una funzione per la<br />
quale f (t+T) = f (t), con T pari al suo periodo. Un’ampia classe <strong>di</strong> funzioni perio<strong>di</strong>che può essere sviluppata in serie <strong>di</strong><br />
Fourier, ovvero in serie <strong>di</strong> funzioni armoniche e quin<strong>di</strong>, per la linearità <strong>del</strong> problema, la risposta ad una generica forzante<br />
può essere espressa come combinazione lineare <strong>del</strong>la risposta a forzanti alle <strong>di</strong>verse armoniche che costituiscono la serie.<br />
3 La (6.51), a rigore, è vero solo in presenza <strong>di</strong> smorzamento; tuttavia spesso si opera questa semplificazione anche<br />
in assenza <strong>di</strong> smorzamento esplicito nell’equazione (6.44), avendo tacitamente assunto che lo smorzamento nel sistema è<br />
sufficientemente piccolo da consentire <strong>di</strong> ignorarlo, ma è sicuramente presente in misura sufficiente da cancellare, dopo un<br />
tempo sufficientemente elevato, il moto libero <strong>del</strong>la (6.46).<br />
6-10
Figura 6.11: Sistema vibrante per spostamento <strong>del</strong> vincolo.<br />
6.5 Moto forzato per spostamento <strong>del</strong> vincolo<br />
Consideriamo il solito sistema che si muova rispetto ad un osservatore assoluto con una legge y(t) nota,<br />
come rappresentato in figura 6.11.<br />
Definiamo x(t) lo spostamento assoluto <strong>del</strong>la massa e misuriamo lo spostamento dalla posizione <strong>di</strong><br />
equilibrio statico che sarà definita da<br />
y(t) = x(t)−xr(t) = 0 (6.59)<br />
ove xr(t) in<strong>di</strong>ca lo spostamento relativo <strong>del</strong>la massa, e quin<strong>di</strong> l’allungamento <strong>del</strong>la molla. Scrivendo<br />
l’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico, otteniamo<br />
ovvero<br />
m¨x+k(x−y(t)) = 0, (6.60)<br />
m¨x+kx = ky(t) (6.61)<br />
che è un’equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare a coefficienti costanti completa <strong>del</strong> tutto simile a quella già vista<br />
nel moto forzato.<br />
Per un osservatore relativo, l’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico <strong>di</strong>venta invece<br />
ovvero<br />
m(¨xr + ¨y(t))+kxr = 0, (6.62)<br />
m¨xr +kxr = −m¨y(t) (6.63)<br />
Si supponga che il moto <strong>del</strong> vincolo sia armonico, <strong>di</strong> frequenza ω e ampiezza b:<br />
y(t) = bsin(ωt) (6.64)<br />
per cui la (6.61) <strong>di</strong>venta<br />
m¨x+kx = kbsin(ωt) (6.65)<br />
che ha, come integrale particolare,<br />
xp(t) =<br />
kb<br />
k −ω2 sin(ωt) = Xsin(ωt) (6.66)<br />
m<br />
ove X è l’ampiezza <strong>di</strong> vibrazione nel moto assoluto <strong>del</strong>la massa m. In termini a<strong>di</strong>mensionali:<br />
X<br />
b =<br />
1−<br />
1<br />
�<br />
ω<br />
ω0<br />
� 2<br />
6-11<br />
(6.67)
Figura 6.12: Sistema vibrante per squilibrio <strong>di</strong>namico.<br />
<strong>del</strong> tutto analogo al coefficiente <strong>di</strong> amplificazione H già definito. Pertanto, una molla potrà esseredefinita<br />
“rigida”quando non vi è moto relativo, e quin<strong>di</strong><br />
X<br />
b ∼ = 1 (6.68)<br />
ovvero<br />
ω 2 0 ≫ ω 2<br />
Considerando ora l’osservatore relativo, la (6.63) <strong>di</strong>venta<br />
e quin<strong>di</strong><br />
(6.69)<br />
m¨xr +kxr = mω 2 bsin(ωt) (6.70)<br />
xrp(t) = mω2 b<br />
k −ω 2 m sin(ωt) = Xrsin(ωt) (6.71)<br />
che, in termini a<strong>di</strong>mensionali, <strong>di</strong>venta<br />
� �2 ω<br />
Xr<br />
b =<br />
1−<br />
ω0<br />
� ω<br />
ω0<br />
� 2<br />
(6.72)<br />
Moto forzato dovuto a squilibri rotanti. Supponiamo<strong>di</strong>avereunamacchinaconunaparterotante,<br />
avente massa propria M e uno squilibrio <strong>di</strong> momento statico rispetto all’asse <strong>di</strong> rotazione, definito<br />
attraverso una massa m e un braccio e rispetto all’asse <strong>di</strong> rotazione. Supponiamo che la velocità angolare<br />
ω sia costante.<br />
L’accelerazione assoluta <strong>del</strong>la massa eccentrica sarà<br />
�a =�ar +�at = − � � ω 2 e � �e iωt + ¨ �x (6.73)<br />
dove, con un certo abuso <strong>di</strong> notazione, si sono combinati il formalismo esponenziale dei fasori per quanto<br />
riguarda l’accelerazione relativa, centripeta, a cui è soggetta la massa eccentrica, e la notazione vettoriale<br />
6-12
più classica per l’accelerazione <strong>di</strong> trascinamento a cui è soggetta la massa M. Avremo quin<strong>di</strong>, misurando<br />
gli spostamenti x, positivi verso l’alto, a partire dalla posizione <strong>di</strong> equilibrio statico, l’equazione <strong>del</strong>la<br />
<strong>di</strong>namica <strong>del</strong>l’intero sistema<br />
ovvero<br />
M¨x+m � −ω 2 esin(ωt)+ ¨x � +2kx = 0 (6.74)<br />
(M +m)¨x+2kx = mω 2 esin(ωt) (6.75)<br />
e l’integrale particolare, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime, varrà<br />
e quin<strong>di</strong><br />
xp(t) =<br />
X(ω)<br />
e<br />
meω2 sin(ωt) = X(ω)sin(ωt) (6.76)<br />
2k −(M +m)ω 2<br />
m<br />
=<br />
M +m<br />
ω 2 0<br />
ω 2<br />
� ω<br />
� 2<br />
m ω0<br />
= �<br />
−ω2 M +m<br />
ω<br />
1−<br />
ω0<br />
� 2<br />
(6.77)<br />
Si noti che la macchina al variare <strong>del</strong>la velocità trasmetterà al terreno una forza variabile nel tempo pari<br />
a<br />
Ftr = 2kXsin(ωt) (6.78)<br />
che forzerà il terreno a vibrare, non potendolo considerare infinitamente rigido, e questo forzerà a sua<br />
volta a vibrare, per spostamento <strong>di</strong> vincolo, le altre strutture posate su <strong>di</strong> esso.<br />
Ovviamente, equilibrando la macchina, ovvero facendo in modo che il suo asse <strong>di</strong> rotazione sia baricentrico<br />
(e anche principale d’inerzia come vedremo), la forzante si annulla e il fenomeno scompare in<br />
quanto l’equazione <strong>di</strong> moto risulta essere la soluzione <strong>di</strong><br />
(M +m)¨x+2kx = 0 (6.79)<br />
6.6 Moto forzato smorzato con eccitazione armonica<br />
La soluzione a regime per un’eccitazione <strong>di</strong> tipo armonico ha una vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong> tutto generale in quanto:<br />
• un’eccitazione perio<strong>di</strong>ca è scomponibile, sotto ipotesi largamente accettabili e verificate nella pratica,<br />
in una serie <strong>di</strong> eccitazioni armoniche (serie <strong>di</strong> Fourier);<br />
• i sistemi meccanici <strong>di</strong> cui ci occupiamo sono descritti da equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari e quin<strong>di</strong> vale<br />
il principio <strong>di</strong> sovrapposizione degli effetti.<br />
Quin<strong>di</strong>, la risposta <strong>del</strong> sistema meccanico è fornita dalla sovrapposizione <strong>del</strong>le risposte alle singole<br />
componenti armoniche in cui è sviluppabile la generica eccitazione perio<strong>di</strong>ca.<br />
Inoltre, tali risposte, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime, sono date dai soli integrali particolari in quanto gli<br />
integrali generali <strong>del</strong>le omogenee associate, per effetto <strong>del</strong>le inevitabili <strong>di</strong>ssipazioni, tendono comunque a<br />
zero in un tempo più o meno lungo.<br />
L’equazione <strong>di</strong>fferenziale <strong>del</strong> moto può essere scritta come<br />
m¨x+r˙x+kx = F0e iωt<br />
la cui soluzione è data da<br />
(6.80)<br />
x(t) = xg(t)+xp(t) (6.81)<br />
6-13
Figura 6.13: Sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.<br />
Tralasciamo, per quanto più volte detto, il contributo <strong>del</strong>l’integrale generale <strong>del</strong>l’omogenea associata;<br />
quin<strong>di</strong>, a regime:<br />
con<br />
x(t) ∼ = xp(t) (6.82)<br />
xp(t) = Xe iωt = |X|e iφ e iωt = |X|e i(ωt+φ) ÷|X|sin(ωt+φ) (6.83)<br />
con X e φ calcolati sostituendo nell’equazione <strong>di</strong>fferenziale l’integrale particolare. Sostituendo quin<strong>di</strong><br />
la (6.83) nell’equazione <strong>di</strong>fferenziale (6.80) <strong>di</strong> partenza otteniamo<br />
� −mω 2 +irω +k � Xe iωt = F0e iωt<br />
(6.84)<br />
che ammette come soluzione valida per tutti i valori <strong>di</strong> t<br />
con<br />
X =<br />
F0<br />
k −mω 2 +irω =<br />
φ = −tan −1<br />
�<br />
ωr<br />
k −mω2 �<br />
Ricordando che<br />
F0<br />
�<br />
(k −mω 2 ) 2 +r 2 ω 2<br />
• ω0 = � k/m è la frequenza propria <strong>del</strong> sistema non smorzato;<br />
• ξ = r/rc è il fattore <strong>di</strong> smorzamento, rapporto tra lo smorzamento ed il suo valore critico;<br />
• rc = 2mω0 è lo smorzamento critico;<br />
• X(0) = F0/k è la freccia statica, per effetto <strong>del</strong>la forzante F0 a pulsazione nulla,<br />
otteniamo<br />
|X| 1<br />
= �<br />
X0 �⎛<br />
�<br />
� � ⎞<br />
2<br />
� ω<br />
�⎝1−<br />
⎠<br />
ω0<br />
2<br />
+<br />
�<br />
2ξ ω<br />
ω0<br />
� 2<br />
e iφ<br />
6-14<br />
(6.85)<br />
(6.86)<br />
(6.87)
Figura 6.14: Risposta <strong>di</strong> un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente (N.B.: nel <strong>di</strong>segno ω/ω0<br />
è in<strong>di</strong>cato con ω/ωn, lo smorzamento r è in<strong>di</strong>cato con c, mentre la fase φ è rappresentata con segno<br />
opposto).<br />
e<br />
⎛<br />
φ = −tan −1<br />
⎜ 2ξ<br />
⎜<br />
⎝<br />
ω<br />
ω0<br />
�<br />
ω<br />
1−<br />
ω0<br />
� 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(6.88)<br />
Possiamo rappresentare graficamente in figura 6.14 l’andamento <strong>del</strong>l’integrale particolare in funzione <strong>del</strong><br />
rapporto ω/ω0. Si notano due zone: per ω/ω0 < 1 e per ω/ω0 > 1, con il caso ω/ω0 = 1 a fare da<br />
spartiacque.<br />
Si può effettuare un’interessante analisi qualitativa <strong>del</strong> comportamento <strong>del</strong> sistema stu<strong>di</strong>ando il<br />
<strong>di</strong>agramma vettoriale <strong>del</strong>le forze agenti sulla massa: dall’equazione <strong>di</strong> equilibrio<br />
m¨x+r˙x+kx = F0e iωt<br />
una volta sostituita la soluzione particolare<br />
xp(t) = Xe iωt<br />
(6.89)<br />
(6.90)<br />
con X complesso, le singole forze sono descritte da coefficienti complessi che hanno una rappresentazione<br />
molto chiara nel piano complesso avente come riferimento la <strong>di</strong>rezione e iωt :<br />
−mω 2 Xe iωt +irωXe iωt +kXe iωt = F0e iωt<br />
(6.91)<br />
ovvero<br />
�� � � 2 iωt<br />
−mω +irω +k X −F0 e = 0 (6.92)<br />
quin<strong>di</strong> in generale si può costruire graficamente un trapezio rettangolo, avente come basi le forze elastica<br />
e inerziale, come altezza la forza viscosa, e come quarto lato la forzante esterna. Ad una data pulsazione<br />
ω corrispondono ben precise lunghezze <strong>del</strong>le basi e <strong>del</strong>l’altezza; data l’ampiezza <strong>del</strong>la forzante F0, la<br />
chiusura <strong>del</strong> trapezio si ottiene variando il modulo e la fase attraverso la scelta <strong>di</strong> X.<br />
6-15
(a) ω/ω0 < 1.<br />
(b) ω/ω0 = 1.<br />
(c) ω/ω0 > 1.<br />
Figura 6.15: Risposta <strong>di</strong> un sistema vibrante smorzato, forzato armonicamente.<br />
6-16
• ω/ω0 < 1: l’angolo <strong>di</strong> fase è piccolo e quin<strong>di</strong> è principalmente la forza <strong>del</strong>la molla ad equilibrare la<br />
forzante esterna, cui si somma la forza d’inerzia, come illustrato in figura 6.15(a).<br />
• ω/ω0 = 1: l’angolo <strong>di</strong> fase è pari a 90 gra<strong>di</strong>, per cui la forzante esterna è equilibrata dalla sola forza<br />
viscosa, come illustrato in figura 6.15(b). L’ampiezza <strong>di</strong> vibrazione a regime è pari a<br />
|X| = F0<br />
=<br />
rω0<br />
X(0)<br />
2ξ<br />
(6.93)<br />
• ω/ω0 > 1: l’angolo <strong>di</strong> fase cresce e si avvicina a 180 gra<strong>di</strong>; la forza impressa è equilibrata quasi<br />
integralmente da quella d’inerzia, come illustrato in figura 6.15(c).<br />
Esercizio 6.1 Si consideri un motore elettrico in c.c. che comanda un carico costituito da una inerzia<br />
Ju collegata al motore da un albero flessibile, descrivibile me<strong>di</strong>ante una molla rotazionale <strong>di</strong> rigidezza kθ<br />
e uno smorzamento strutturale rθ. Si progetti un controllo proporzionale tra la tensione <strong>di</strong> alimentazione<br />
e la rotazione <strong>del</strong> motore, facendo attenzione a come le caratteristiche <strong>di</strong>namiche <strong>del</strong> carico possono<br />
influenzare il progetto.<br />
6-17
6-18
Capitolo 7<br />
Cenni sulla stabilità<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
7.1 Che cosa si intende per stabilità<br />
Il termine“stabilità”in<strong>di</strong>ca la sensitività <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> un problema matematico alle perturbazioni.<br />
Spessoladefinizione<strong>di</strong> stabilità, la suaportataed il significatosiafisicochematematicocheessasottende<br />
sfuggono allo studente frettoloso o <strong>di</strong>stratto. Queste brevi note non vogliono tanto rappresentare una<br />
trattazione rigorosa e completa dal punto <strong>di</strong> vista matematico, quanto una sorta <strong>di</strong> breviario che aiuti<br />
non solo lo studente <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali a superare l’esame, ma in generale<br />
gli studenti <strong>di</strong> <strong>Ingegneria</strong> <strong>Aerospaziale</strong> ad orientarsi nella terminologia e nella scelta degli strumenti più<br />
adatti a risolvere i problemi fondamentali <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica dei sistemi, in un linguaggio che sia il più<br />
possibile corretto e allo stesso tempo conforme alla terminologia in uso nel settore.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità così come interessa il <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali si applica<br />
tipicamente alle soluzioni<br />
y = y(t) (7.1)<br />
dei problemi<br />
f (y, ˙y,t) = 0, y(t0) = y0. (7.2)<br />
In generale, non è possibile affermare che un generico sistema sia stabile; tuttavia, è possibile stu<strong>di</strong>are<br />
la stabilità <strong>di</strong> una particolare soluzione.<br />
Solo in caso <strong>di</strong> sistemi lineari a coefficienti costanti 1 si può stu<strong>di</strong>are la stabilità <strong>del</strong> sistema, in quanto<br />
la struttura <strong>del</strong>la generica soluzione, il cosiddetto integrale generale, è nota a partire dalle caratteristiche<br />
<strong>del</strong> sistema, e ha la forma<br />
y(t) = y(t0)e λ(t−t0)<br />
con λ complesso e <strong>di</strong>pendente solo dai coefficienti <strong>del</strong> sistema, mentre y(t0) rappresenta le con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali. Anche in questo caso, quin<strong>di</strong>, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità si applica ad una specifica soluzione, e solo<br />
per la specificità <strong>del</strong> problema, ovvero per l’unicità <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> un sistema lineare, è possibile da<br />
questo stu<strong>di</strong>o risalire a caratteristiche globali <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong> sistema.<br />
7.2 Definizione <strong>di</strong> stabilità<br />
Esistono <strong>di</strong>verse definizioni <strong>di</strong> stabilità, a seconda <strong>di</strong> che cosa venga perturbato (stato, parametri, ...).<br />
Nel caso in esame, oggetto <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, si intende stu<strong>di</strong>are la stabilità<br />
alla perturbazione <strong>del</strong>lo stato.<br />
1 In caso <strong>di</strong> sistemi lineari a coefficienti <strong>di</strong>pendenti dal tempo, se perio<strong>di</strong>ci, è ancora possibile stu<strong>di</strong>are la stabilità con<br />
meto<strong>di</strong> de<strong>di</strong>cati; si veda ad esempio la teoria <strong>di</strong> Floquet.<br />
7-1<br />
(7.3)
Si considerino gli enunciati:<br />
Una soluzione si <strong>di</strong>ce stabile se, comunque venga fissata la misura <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stanza tollerabile, è<br />
possibiledeterminareunvalorenonnullo<strong>di</strong>perturbazioneiniziale<strong>del</strong>lasoluzionecheconsente<br />
alla soluzione perturbata <strong>di</strong> rimanere al <strong>di</strong> sotto <strong>di</strong> tale <strong>di</strong>stanza per tutti gli istanti <strong>di</strong> tempo<br />
successivi a quello iniziale 2 . In forma rigorosa: una soluzione <strong>di</strong> equilibrio ye si <strong>di</strong>ce stabile<br />
al tempo t0 se e solo se per ogni ǫ > 0 esiste un valore δ(ǫ) > 0 tale che �y(t0)−ye� < δ(ǫ)<br />
implica �y(t)−ye� < ǫ qualunque sia t ≥ t0.<br />
Una soluzione si <strong>di</strong>ce asintoticamente stabile se è stabile e la soluzione perturbata, dopo un<br />
tempo sufficientemente lungo (al limite, infinito), ritorna alla soluzione <strong>di</strong> riferimento.<br />
Una soluzione si <strong>di</strong>ce instabile se non è stabile, ovvero non è possibile determinare un valore<br />
non nullo <strong>del</strong>la perturbazione iniziale che le consenta <strong>di</strong> rimanere al <strong>di</strong> sotto <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stanza<br />
fissata per tutti gli istanti successivi a quello iniziale.<br />
Si ba<strong>di</strong> bene che la perturbazione si applica allo stato, ovvero, per un sistema meccanico descritto<br />
da un’equazione o da un sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne, può essere applicata<br />
separatamente alla posizione e alla velocità.<br />
Quando si parla <strong>di</strong> perturbazione <strong>di</strong> una soluzione, si intende che viene perturbato lo stato ad un dato<br />
istante <strong>di</strong> tempo t0; quin<strong>di</strong>, in quell’istante <strong>di</strong> tempo, lo stato perturbato presenta un salto (uno scalino)<br />
rispetto al valore <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> riferimento.<br />
Come questa perturbazione venga applicata non riveste alcuna importanza; quin<strong>di</strong>, nel caso <strong>di</strong> un<br />
problema meccanico, è limitativo parlare <strong>di</strong> forze usate per applicare la perturbazione; ciò non toglie che<br />
la definizione <strong>di</strong> stabilità come effetto sulla soluzione <strong>di</strong> un ingresso impulsivo, come viene proposto da<br />
altri corsi, sia collegato alla definizione proposta. Infatti, si può <strong>di</strong>mostrare che, in un sistema meccanico,<br />
una forza impulsiva corrisponde ad una perturbazione <strong>del</strong>la velocità 3 .<br />
7.3 Stabilità ed equilibrio<br />
Si noti bene che la definizione <strong>di</strong> stabilità si riferisce ad una soluzione qualunque, anche <strong>di</strong>pendente dal<br />
tempo; infatti, in essa, non si parla mai <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Equilibrio e stabilità sono due concetti <strong>di</strong>stinti.<br />
La soluzione <strong>di</strong> equilibrio,<br />
y(t) = ye = costante, (7.4)<br />
incuiladerivata<strong>di</strong>or<strong>di</strong>neminimodacui<strong>di</strong>pendeilproblemaècostanteneltempo,assumeun’importanza<br />
fondamentalein meccanicaed in <strong>di</strong>namica in generale. In corrispondenza<strong>di</strong> una soluzione<strong>di</strong> equilibrio, lo<br />
stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità <strong>del</strong>le piccole oscillazioni è significativo in quanto, se la configurazione <strong>di</strong> riferimento<br />
è <strong>di</strong> equilibrio e l’ampiezza <strong>del</strong>le oscillazioni è limitata, da una parte può essere lecito ritenere che il<br />
comportamento <strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo linearizzato <strong>del</strong> problema non si <strong>di</strong>scosti molto da quello <strong>del</strong> sistema<br />
reale (ma non è detto che ciò sia sempre lecito); dall’altra, i coefficienti risultanti dalla linearizzazione<br />
<strong>del</strong> problema, valutati nella soluzione <strong>di</strong> equilibrio, possono essere ritenuti costanti a meno che non<br />
contengano una <strong>di</strong>pendenza esplicita dal tempo.<br />
Quin<strong>di</strong> si ricade nel caso <strong>del</strong> problema lineare a coefficienti costanti, per il quale, dallo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la<br />
stabilità <strong>del</strong>la soluzione generale, è possibile risalire a risultati <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà generale, a con<strong>di</strong>zione che le<br />
ipotesi fatte sulla linearizzazione siano rispettate.<br />
2 Questa definizione <strong>di</strong> stabilità si <strong>di</strong>ce uniforme; la definizione più generale prevede che il valore <strong>del</strong>la perturbazione<br />
possa <strong>di</strong>pendere dall’istante in cui viene applicata.<br />
3 Ciò che in effetti viene applicato è un impulso <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto per perturbare la velocità, oppure una derivata <strong>di</strong><br />
impulso <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto per perturbare la posizione. Tuttavia, questo approccio presuppone che attraverso l’ingresso<br />
<strong>del</strong> sistema sia possibile perturbare tutto lo stato; allo stesso modo, si assume che osservando l’uscita sia possibile osservare<br />
tutto lo stato. Entrambe le con<strong>di</strong>zioni potrebbero non essere verificate per sistemi con stati cosiddetti non raggiungibili<br />
oppure non osservabili.<br />
7-2
Riassumendo: lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità attorno ad una soluzione <strong>di</strong> equilibrio riveste per noi un’importanza<br />
fondamentale essenzialmente perché tale tipo <strong>di</strong> movimento è molto importante nella pratica, e<br />
perchétale stu<strong>di</strong>o può essereeffettuato, sotto certe ipotesi, con strumentianalitici relativamentesemplici.<br />
Tuttavia lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità non è limitato a questo tipo <strong>di</strong> problemi, e ha valenza molto più ampia.<br />
7.3.1 Linearizzazione attorno ad una soluzione <strong>di</strong> equilibrio<br />
Il generico problema <strong>di</strong>namico <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne, rappresentativo <strong>di</strong> un problema meccanico ad un grado<br />
<strong>di</strong> libertà 4<br />
f (y, ˙y,¨y,t) = 0, (7.5)<br />
unavoltalinearizzatoattornoadunasoluzione<strong>di</strong>equilibrioy(t) = ye costante, inunproblemameccanico<br />
ad un grado <strong>di</strong> libertà assume la forma<br />
M∆¨y +R∆˙y +K∆y = f (ye,0,0,t), (7.6)<br />
oveleforze<strong>di</strong>pendentidallacoor<strong>di</strong>nataliberay sonostateriassuntedaicoefficienti<strong>di</strong>massaM, resistenza<br />
R e rigidezza K equivalenti, ovvero<br />
M = − ∂f<br />
∂¨y<br />
, R = −∂f<br />
∂˙y<br />
La soluzione <strong>del</strong>l’equazione omogenea associata<br />
, K = −∂f . (7.7)<br />
∂y<br />
M¨y +R˙y +Ky = 0, (7.8)<br />
in<strong>di</strong>cata in Equazione (7.3) e qui riprodotta per chiarezza<br />
y(t) = Ce λt , (7.9)<br />
èrappresentatadaunmovimentoesponenzialeche,incaso<strong>di</strong>esponentecomplesso,modulaunmovimento<br />
oscillante armonicamente, in quanto se λ = σ +iω, con σ e ω reali,<br />
e (σ+iω)t = e σt (cos(ωt)+isin(ωt)). (7.10)<br />
7.3.2 Stabilità <strong>del</strong>la soluzione <strong>del</strong> problema linearizzato<br />
La parte reale <strong>del</strong>l’esponente λ determina l’evoluzione <strong>del</strong> movimento.<br />
Se la parte reale è positiva, il movimento è instabile.<br />
Se la parte reale è negativa, il movimento è asintoticamente stabile.<br />
Se la parte reale è nulla, il movimento è stabile (secondo alcuni autori, semplicemente stabile).<br />
Dal momento che la soluzione in<strong>di</strong>cata in Equazione (7.3) per la linearità <strong>del</strong> sistema è unica, e<br />
<strong>di</strong>pende dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali solo nel coefficiente moltiplicativo C, le considerazioni precedenti si<br />
applicano all’intero sistema, ovvero a tutte le sue soluzioni, dal momento che fra loro si <strong>di</strong>stinguono solo<br />
per il coefficiente C, che non ha alcuna influenza sulle caratteristiche <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong>la soluzione.<br />
L’esponente λ, ra<strong>di</strong>ce <strong>del</strong> polinomio caratteristico, è dato da<br />
λ = − R<br />
2M ±<br />
� R 2<br />
In base al valore <strong>del</strong> <strong>di</strong>scriminante<br />
∆ = R2 K<br />
−<br />
4M2 M<br />
si possono <strong>di</strong>stinguere tre casi.<br />
K<br />
− . (7.11)<br />
4M2 M<br />
(7.12)<br />
4 In questa trattazione si fa essenzialmente riferimento a problemi meccanici, anche se la trasposizione a problemi generici<br />
<strong>del</strong>le considerazioni svolte è, o dovrebbe essere, imme<strong>di</strong>ata.<br />
7-3
Figura 7.1: Stabilità <strong>del</strong> pendolo.<br />
1. Per ∆ > 0, le ra<strong>di</strong>ci sono reali e <strong>di</strong>stinte, e sono date dall’Equazione (7.11). A seconda dei valori<br />
dei parametri, possono essere tutte positive; in ogni caso, per R/M ≤ 0 almeno una è positiva, ma<br />
anche per R/M > 0 si può avere una ra<strong>di</strong>ce positiva, qualora K/M < 0; in tale caso, infatti, la<br />
ra<strong>di</strong>ce positiva <strong>del</strong> <strong>di</strong>scriminante è maggiore in modulo <strong>di</strong> R/(2M).<br />
2. Per ∆ = 0, le ra<strong>di</strong>ci sono reali e coincidenti<br />
λ = − R<br />
. (7.13)<br />
2M<br />
Se R/M < 0 sono entrambe positive e quin<strong>di</strong> la soluzione è instabile.<br />
3. Per ∆ < 0, le ra<strong>di</strong>ci sono complesse coniugate<br />
λ = − R<br />
2M ±i<br />
�<br />
K<br />
M<br />
− R2<br />
4M 2.<br />
(7.14)<br />
Il segno <strong>del</strong>la parte reale è determinato da R/M; anche in questo caso per R/M < 0 la soluzione è<br />
instabile.<br />
7.3.3 Vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> problema linearizzato<br />
Lostu<strong>di</strong>o<strong>del</strong>lastabilità<strong>del</strong>lasoluzionelinearizzatahavaloresolamentenellamisuraincuisonorispettate<br />
le ipotesi che hanno portato alla linearizzazione, ovvero:<br />
• se la soluzione attorno alla quale la linearizzazione è avvenuta è <strong>di</strong> equilibrio;<br />
• se l’ampiezza <strong>del</strong> movimento è sufficientemente limitata da non far allontanare la soluzione <strong>del</strong>l’equazione<br />
linearizzata dal bacino <strong>di</strong> attrazione <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Quest’ultima con<strong>di</strong>zione può essere decisamente critica, in quanto il suo sod<strong>di</strong>sfacimento non è <strong>di</strong> agevole<br />
valutazione.<br />
Problema: pendolo. Si stu<strong>di</strong> la stabilità <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> un pendolo costituito da una massa puntiforme<br />
m, incernierata nel piano verticale ad una <strong>di</strong>stanza L dall’asse <strong>di</strong> rotazione, soggetta all’accelerazione<br />
<strong>di</strong> gravità g e ad uno smorzamento che dà un momento R ˙ θ 2 , come illustrato in figura 7.1.<br />
L’equazione <strong>del</strong> moto è<br />
mL 2¨ θ +R ˙ θ 2 +mLgcosθ = 0 (7.15)<br />
ove si è in<strong>di</strong>cato con θ l’angolo che il pendolo forma rispetto all’orizzontale. La soluzione <strong>di</strong> equilibrio<br />
statico è<br />
θ = π<br />
+nπ, n ∈ N (7.16)<br />
2<br />
7-4
Figura 7.2: Stabilità in presenza <strong>di</strong> attrito.<br />
Si consideri la soluzione <strong>di</strong> equilibrio θ1 = −π/2; l’equazione <strong>del</strong> moto linearizzata <strong>di</strong>venta:<br />
mL 2 ∆ ¨ θ +mLg∆θ = 0 (7.17)<br />
le cui ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico sono<br />
�<br />
g<br />
λ = ±i<br />
L<br />
Si consideri ora la soluzione <strong>di</strong> equilibrio θ2 = π/2; l’equazione <strong>del</strong> moto linearizzata <strong>di</strong>venta:<br />
(7.18)<br />
mL 2 ∆ ¨ θ −mLg∆θ = 0 (7.19)<br />
le cui ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico sono<br />
�<br />
g<br />
λ = ±<br />
L<br />
(7.20)<br />
Nel primo caso il sistema è stabile; nel secondo è instabile. È lecito supporre che attorno alla soluzione<br />
θ1 il sistema reale abbia un comportamento smorzato, tuttavia lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità <strong>del</strong> sistema<br />
linearizzato non consente <strong>di</strong> affermarlo con certezza.<br />
Problema: attrito <strong>di</strong>namico. Le forze <strong>di</strong> attrito, secondo il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Coulomb considerato nell’ambito<br />
<strong>di</strong> questo <strong>corso</strong>, non sono linearizzabili in prossimità <strong>del</strong>la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio statico, se questa<br />
comporta l’annullarsi <strong>del</strong>la velocità relativa tra le superfici a contatto. È possibile, tuttavia, formulare<br />
problemi nei quali, ad una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio definibile come statica, corrispondente in realtà ad<br />
una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime, la velocità relativa tra le superfici <strong>di</strong> contatto si mantenga costante anche se<br />
non nulla5 .<br />
Si consideri il problema in figura 7.2, posto in un piano verticale. Il nastro si muova con velocità v<br />
imposta; la velocità relativa <strong>del</strong> corpo rispetto al nastro è<br />
vr = v − ˙x (7.21)<br />
La reazione normale tra massa e nastro trasportatore è pari al peso <strong>del</strong>la massa, mg; la forza tangenziale<br />
dovuta all’attrito, secondo quanto illustrato nel Capitolo 8, è<br />
RT = fdmg vr<br />
, (7.22)<br />
|vr|<br />
avendoassuntocomeversopositivo<strong>del</strong>laforzaquello<strong>di</strong>x, oppostoalversopositivo<strong>del</strong>lavelocitàrelativa.<br />
Quin<strong>di</strong> l’equilibrio statico, per ˙x = 0 e ¨x = 0, e quin<strong>di</strong> per vr = v, si ottiene dalla relazione<br />
kxe = fdmg. (7.23)<br />
5 Si veda, ad esempio, l’analogo problema <strong>del</strong> freno a <strong>di</strong>sco svolto nell’introduzione <strong>del</strong> Capitolo 16.<br />
7-5
L’equazione <strong>del</strong> moto è<br />
f (x, ˙x,¨x) = −m¨x−kx+fdmg vr<br />
= 0; (7.24)<br />
|vr|<br />
la sua linearizzazione attorno alla posizione <strong>di</strong> equilibrio xe = fdmg/k, ˙xe = 0, ¨xe = 0 ne comporta lo<br />
sviluppo in serie, arrestato al primo or<strong>di</strong>ne, rispetto alla coor<strong>di</strong>nata libera x e alle sue derivate:<br />
�<br />
∂f ∂f ∂fd�<br />
∂vr<br />
= −k, = �<br />
∂x ∂˙x ∂vr ∂˙x mg,<br />
∂f<br />
= −m. (7.25)<br />
∂¨x<br />
� vr=v<br />
Dal momento che ∂vr/∂˙x = −1, si ottiene:<br />
m∆¨x+ ∂fd<br />
mg∆˙x+k∆x = 0 (7.26)<br />
∂vr<br />
A con<strong>di</strong>zione che la molla abbia rigidezza k > 0, la stabilità <strong>di</strong>pende dal segno <strong>di</strong> ∂fd/∂vr; se si considera<br />
una curva caratteristica <strong>del</strong> coefficiente fd in funzione <strong>del</strong>la velocità relativa vr come quello descritto in<br />
figura 8.3, è possibile identificare, sia a bassissima (0 < vr < 0.02 m/s) che ad alta (vr > 5 m/s) velocità<br />
<strong>del</strong>le zone in cui il segno <strong>del</strong>la derivata ∂fd/∂vr <strong>di</strong>venta negativo. Se l’equilibrio viene raggiunto per<br />
valori <strong>di</strong> velocità <strong>del</strong> nastro in quegli intervalli, sarà instabile.<br />
7.4 Stabilità statica<br />
Esiste una particolare definizione <strong>di</strong> stabilità, anch’essa strettamente associata al concetto <strong>di</strong> equilibrio:<br />
la cosiddetta stabilità statica. Non si tratta <strong>di</strong> una vera e propria definizione <strong>di</strong> stabilità; va piuttosto<br />
interpretata come un requisito minimo che una soluzione <strong>di</strong> equilibrio deve possedere per essere stabile in<br />
senso lato e, allo stesso tempo, come un comodo ed utile in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> prestazione <strong>di</strong> un sistema nell’intorno<br />
<strong>di</strong> quella soluzione.<br />
Innanzitutto, occorre precisare che l’equilibrio è un particolare tipo <strong>di</strong> movimento che non varia nel<br />
tempo<br />
ye = costante (7.27)<br />
quin<strong>di</strong> è un caso particolare <strong>del</strong>la soluzione considerata nella definizione <strong>di</strong> stabilità in senso lato. Se tale<br />
soluzione esiste, la relazione<br />
f (ye,0,t) = 0 (7.28)<br />
è verificata per ogni istante <strong>di</strong> tempo.<br />
Una perturbazione <strong>di</strong> questa soluzione, in generale, dà luogo ad una soluzione che non è più <strong>di</strong><br />
equilibrio, perché in assenza <strong>del</strong>la derivata temporale ˙y si ottiene la relazione<br />
f (ye +∆y,0,t) �= 0 (7.29)<br />
ovvero una <strong>di</strong>seguaglianza. Perché l’eguaglianza sia ripristinata, dovrebbe nascere una opportuna ˙y che<br />
ripristini l’equilibrio <strong>di</strong>namico.<br />
Ad esempio, se si considera il problema meccanico<br />
M¨y +Ky = 0, (7.30)<br />
la posizione <strong>di</strong> equilibrio statico è data dalla soluzione <strong>di</strong><br />
Ky = 0 (7.31)<br />
Una perturbazione ∆y �= 0 <strong>del</strong>la (7.31) rispetto alla sua soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico y = 0 porta a<br />
K∆y �= 0; (7.32)<br />
7-6
infatti, perché l’equilibrio sia ripristinato, occorre, per una data perturbazione ∆y, introdurre le forze<br />
d’inerzia in accordo con la (7.30), ovvero occorre scrivere un equilibrio <strong>di</strong>namico<br />
M∆¨y +K∆y = 0. (7.33)<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità statica consiste nel valutare come variano, per effetto <strong>del</strong>la perturbazione<br />
<strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio, le sole porzioni <strong>del</strong> sistema che <strong>di</strong>pendono dalla derivata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne minimo<br />
<strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera; in un problema meccanico, le forze <strong>di</strong>pendenti dalla posizione.<br />
La relazione <strong>di</strong> Equazione (7.29), sviluppata in serie <strong>di</strong> Taylor attorno alla posizione <strong>di</strong> equilibrio<br />
<strong>di</strong>venta<br />
f (ye +∆y,0,t) = f (ye,0,t)+<br />
∂f (ye,0,t)<br />
∆y +o(∆y), (7.34)<br />
∂y<br />
da cui, tenendo conto <strong>del</strong>l’Equazione (7.28) e trascurando i termini <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore al primo, si ottiene<br />
f (ye +∆y,0,t) =<br />
∂f (ye,0,t)<br />
∆y; (7.35)<br />
∂y<br />
quin<strong>di</strong> per valutare la variazione <strong>del</strong>la funzione f in seguito alla perturbazione ∆y <strong>del</strong>lo stato ye è<br />
sufficiente considerare il segno <strong>del</strong>la derivata parziale <strong>di</strong> f rispetto a y, a con<strong>di</strong>zione che si sia assunto lo<br />
stesso verso come positivo sia per f che per y. In un problema meccanico, il significato fisico è legato<br />
al verso <strong>del</strong>la variazione <strong>di</strong> f, che rappresenta una equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong> forza, a seguito <strong>di</strong> una<br />
perturbazione ∆y <strong>di</strong> y, che rappresenta uno spostamento.<br />
Se la variazione <strong>di</strong> forza rispetto all’equilibrio si oppone alla perturbazione <strong>di</strong> configurazione,<br />
si <strong>di</strong>ce che la soluzione <strong>di</strong> equilibrio è staticamente stabile.<br />
Se la variazione <strong>di</strong> forza rispetto all’equilibrio è concorde con la perturbazione <strong>di</strong> configurazione,<br />
si <strong>di</strong>ce che la soluzione <strong>di</strong> equilibrio è staticamente instabile.<br />
Se la variazione <strong>di</strong> forza rispetto all’equilibrio è nulla, si <strong>di</strong>ce che la soluzione <strong>di</strong> equilibrio è<br />
in<strong>di</strong>fferentemente stabile.<br />
Si noti che, in quest’ultimo caso, la soluzione perturbata è ancora equilibrata, in quanto, dal momento<br />
che la funzione f non varia al variare <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera, la relazione<br />
f (ye +∆y,0,t) = 0 (7.36)<br />
è ancora verificata 6 .<br />
Dallo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità dei sistemi lineari a coefficienti costanti si ricava una interpretazione significativa<strong>del</strong>concetto<strong>di</strong>stabilitàstatica.<br />
Infatti, perilsistemadescrittodall’Equazione(7.8), lacon<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong> stabilità statica è data da K > 0; si noti però che, dal paragrafo 7.3.2, assumendo M > 0, la medesima<br />
con<strong>di</strong>zione è necessaria affinché le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico associato all’Equazione (7.8),<br />
quando sono reali e <strong>di</strong>stinte, siano negative.<br />
Il passaggio <strong>di</strong> una ra<strong>di</strong>ce <strong>del</strong> polinomio caratteristico dal semipiano sinistro (stabile) a quello destro<br />
(instabile) <strong>del</strong> piano complesso può avvenire attraverso l’asse immaginario lontano dall’origine, quando,<br />
per K > 0 e M > 0, lo smorzamento R passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 7.3(a);<br />
oppure per l’origine quando, per R > 0, K passa da positivo a negativo, come illustrato in figura 7.3(b).<br />
Questo secondo caso è descritto dalla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> stabilità statica.<br />
Dal confronto tra lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità <strong>del</strong>la soluzione <strong>del</strong>l’equazione lineare a coefficienti costanti<br />
e <strong>del</strong>la sua stabilità statica appare evidente che la seconda è una con<strong>di</strong>zione necessaria alla prima, ma<br />
non sufficiente. In questo senso, è corretto affermare che la stabilità statica non è una vera definizione<br />
<strong>di</strong> stabilità <strong>di</strong> una soluzione <strong>di</strong> equilibrio, in quanto il verificarsi <strong>del</strong>la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> stabilità statica non<br />
è garanzia <strong>di</strong> stabilità ma solo un suo prerequisito.<br />
6 A rigore, è verificata al primo or<strong>di</strong>ne, ovvero<br />
f (ye +∆y,0,t) = o(∆y) (7.37)<br />
7-7
(a) Con M > 0, per K > 0, quando R<br />
passa da positivo a negativo.<br />
(b) Con M > 0, per R ≥ 0, quando K<br />
passa da positivo a negativo.<br />
Figura 7.3: Transizione da stabilità ad instabilità al variare <strong>di</strong> parametri <strong>del</strong> sistema.<br />
7.5 Regime assoluto<br />
Va sotto il nome <strong>di</strong> regime assoluto il moto <strong>di</strong> un sistema che non <strong>di</strong>pende dalla coor<strong>di</strong>nata libera ma<br />
solo dalle sue derivate a partire da un dato or<strong>di</strong>ne; ad esempio, per un sistema meccanico, si parla<br />
<strong>di</strong> regime assoluto quando non sono presenti forze <strong>di</strong>pendenti dalla posizione, per cui la derivata prima<br />
<strong>del</strong>la posizione è la derivata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne minimo da cui <strong>di</strong>pendono le forze agenti sul sistema, quando questa<br />
derivata assuma un valore costante. Un esempio è dato da un corpo in moto in un fluido in equilibrio a<br />
velocità costante, per quanto concerne la posizione, oppure dal moto <strong>del</strong>le tipiche macchine rotative in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> velocità angolare costante.<br />
In questo caso, il problema descritto dall’Equazione (7.5) <strong>di</strong>venta<br />
f (˙y,¨y,t) = 0 (7.38)<br />
per cui, una volta linearizzato, dall’omogenea associata si ottengono le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico<br />
�<br />
−R/M<br />
λ = , (7.39)<br />
0<br />
ove M e R sono state definite in precedenza. Si noti che una <strong>del</strong>le due ra<strong>di</strong>ci è sempre nulla, ovvero<br />
il problema è staticamente in<strong>di</strong>fferente. Non bisogna però confondere la stabilità in<strong>di</strong>fferente <strong>di</strong> questa<br />
soluzioneconunacon<strong>di</strong>zionecritica, legataadesempioall’avvicinarsi<strong>di</strong>unasoluzioneallimite<strong>di</strong>stabilità<br />
statica. Infatti, inquestocasolastabilità<strong>del</strong>sistemaèstrutturalmentein<strong>di</strong>fferente, inquantoilproblema<br />
è retto in realtà da un’equazione <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne anziché <strong>del</strong> secondo, quin<strong>di</strong> in realtà è più corretto<br />
descriverne il comportamento utilizzando la velocità come incognita primaria, riducendolo così ad un<br />
problema <strong>di</strong>fferenziale <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne.<br />
Problema: particella in moto in un fluido. Si stu<strong>di</strong> la stabilità <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> una particella <strong>di</strong> massa<br />
m immersa in un fluido che esercita su <strong>di</strong> essa una forza viscosa r˙z che si oppone al moto.<br />
L’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>del</strong>la particella in <strong>di</strong>rezione verticale è<br />
m¨z +r˙z = mg (7.40)<br />
Si consideri la soluzione <strong>di</strong> equilibrio, nel senso <strong>di</strong> regime assoluto, ˙z = mg/r. Il sistema è lineare a<br />
coefficienti costanti, quin<strong>di</strong> la sua stabilità si stu<strong>di</strong>a me<strong>di</strong>ante le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico:<br />
�<br />
0<br />
λ =<br />
(7.41)<br />
−r/m,<br />
ovvero la soluzione è stabile se r/m > 0.<br />
7-8
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità statica <strong>del</strong> problema dà un risultato <strong>del</strong> tutto equivalente: riscrivendo il<br />
sistema al primo or<strong>di</strong>ne nella componente verticale <strong>del</strong>la velocità, w = ˙z, e considerando le sole forze<br />
nella derivata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne minimo w,<br />
f = −rw +mg = 0 (7.42)<br />
si verifica che la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> stabilità statica ∂f/∂w < 0 è sod<strong>di</strong>sfatta per r > 0, ove per definizione<br />
m > 0.<br />
7.6 Stabilità statica ed energia potenziale<br />
(Ovvero: come non rispondere all’esame quando viene chiesto <strong>di</strong> spiegare che cosa si intende<br />
per stabilità statica).<br />
Nel <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Meccanica Razionale, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità <strong>di</strong> una soluzione <strong>di</strong> equilibrio viene presentato<br />
nell’ambito <strong>di</strong> sistemi conservativi a vincoli fissi, in cui l’energia meccanica totale si conserva, ed il cui<br />
moto si manifesta sotto forma <strong>di</strong> trasferimento <strong>di</strong> energia da potenziale a cinetica e viceversa. In questi<br />
casi, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità statica consente <strong>di</strong> giungere a considerazioni generali sulla stabilità <strong>del</strong><br />
problema, in quanto la stabilità statica, che ricor<strong>di</strong>amo è una con<strong>di</strong>zione necessaria per la stabilità <strong>del</strong>la<br />
soluzione, <strong>di</strong>venta anche con<strong>di</strong>zione sufficiente. In tale ambito, la ricerca <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio<br />
avviene attraverso la ricerca <strong>del</strong>le soluzioni per le quali l’energia potenziale <strong>del</strong> sistema è stazionaria,<br />
mentre lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità statica consiste nel determinare se il punto stazionario è un minimo<br />
(stabile) o un massimo o un flesso (o sella per i sistemi a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, instabile).<br />
Per tale stu<strong>di</strong>o, in genere, si ricorre all’uso <strong>del</strong>la matrice Hessiana, ovvero <strong>del</strong>la derivata seconda<br />
<strong>del</strong>l’energia potenziale rispetto alle coor<strong>di</strong>nate libere <strong>del</strong> problema. Senza nulla togliere alla vali<strong>di</strong>tà <strong>di</strong><br />
questa trattazione, è fondamentale sottolineare come il concetto <strong>di</strong> stabilità statica abbia valore in<strong>di</strong>pendentemente<br />
dall’esistenza <strong>del</strong>l’energia potenziale, in quanto si applica a soluzioni <strong>di</strong> problemi qualsiasi,<br />
anche non conservativi. Per questo motivo è fondamentale non associare automaticamente il concetto<br />
<strong>di</strong> stabilità statica alla derivata seconda <strong>del</strong>l’energia potenziale, così come è fondamentale non associare<br />
automaticamente il concetto <strong>di</strong> equilibrio alla derivata prima <strong>del</strong>l’energia potenziale.<br />
In un generico problema meccanico, che senza nulla togliere alla generalità viene scelto lineare nelle<br />
forze puramente meccaniche, l’energia cinetica ha la forma<br />
Ec = 1<br />
2 M ˙y2 , (7.43)<br />
mentre l’energia potenziale ha la forma<br />
Ep = 1<br />
2 Ky2 . (7.44)<br />
Se è presente anche una sollecitazione attiva<br />
Qy = Qy(y,t), (7.45)<br />
l’equazione <strong>del</strong> moto che ne risulta è<br />
ovvero<br />
d ∂Ec ∂Ec ∂Ep<br />
− +<br />
dt ∂˙y ∂y ∂y = Qy, (7.46)<br />
M¨y +Ky = Qy(y,t). (7.47)<br />
La determinazione <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio, se esiste, si ottiene dalla relazione<br />
∂Ep<br />
∂y = Qy, (7.48)<br />
7-9
ovvero<br />
Figura 7.4: Sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà.<br />
Ky = Qy(y,t), (7.49)<br />
mentre lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità statica si ottiene valutando il segno <strong>del</strong>la relazione<br />
ovvero<br />
∂f<br />
∂y = −∂2 Ep ∂Qy<br />
+ , (7.50)<br />
∂y2 ∂y<br />
∂f<br />
∂y<br />
∂Qy<br />
= −K + . (7.51)<br />
∂y<br />
Come si può notare, la matrice Hessiana partecipa in quanto, essendo richiesta la derivata parziale <strong>del</strong>la<br />
forza rispetto alla coor<strong>di</strong>nata libera, ed essendo la forza conservativa l’opposto <strong>del</strong>la derivata parziale<br />
<strong>del</strong>l’energia potenziale rispetto alla coor<strong>di</strong>nata libera, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità statica viene a richiedere<br />
la derivata seconda <strong>del</strong>l’energia potenziale.<br />
Tuttavia, la presenza <strong>del</strong>le forze non conservative Qy rende necessario considerare altri contributi<br />
alla stabilità statica, per cui la matrice Hessiana fornisce solo una parte <strong>del</strong>l’informazione richiesta.<br />
Al contrario, le forze conservative possono essere espresse <strong>di</strong>rettamente nella forza generalizzata Qy<br />
anzichéattraversol’energiapotenziale,qualoranonsiritenganecessariotenerneincontolaconservatività.<br />
Quin<strong>di</strong>, la matrice Hessiana <strong>del</strong>l’energia potenziale può essere utilizzata per concorrere allo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la<br />
stabilità statica <strong>di</strong> un problema meccanico, ma il concetto <strong>di</strong> stabilità statica, così come il suo stu<strong>di</strong>o,<br />
non <strong>di</strong>pendono in alcun modo dalla conoscenza o dall’esistenza stessa <strong>del</strong>la matrice Hessiana.<br />
Problema: sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà. Sia dato il sistema meccanico ad un grado<br />
<strong>di</strong> libertà <strong>di</strong> figura 7.4, costituito da una massa m e da una molla k collegata al terreno, a cui è applicata<br />
una forza f.<br />
L’energia cinetica è<br />
Ec = 1<br />
2 m˙x2 , (7.52)<br />
mentre l’energia potenziale è<br />
Ep = 1<br />
2 kx2 . (7.53)<br />
Il lavoro associato alla forza è<br />
δL = δxf (7.54)<br />
L’equazione <strong>del</strong> moto è<br />
ovvero<br />
d ∂Ec ∂Ec ∂Ep<br />
− + = Qx<br />
(7.55)<br />
dt ∂˙x ∂x ∂x<br />
m¨x+kx = f (7.56)<br />
7-10
Figura 7.5: Sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà in un sistema rotante.<br />
La soluzione <strong>di</strong> equilibrio è x = f/k.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità statica è possibile me<strong>di</strong>ante lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la matrice Hessiana, in quanto il<br />
sistema è soggetto a sole forze <strong>di</strong> natura conservativa e a vincoli fissi:<br />
H = ∂2Ep = k (7.57)<br />
∂x2 Il sistema risulta staticamente stabile se k > 0.<br />
Problema: sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà in rotazione. Si consideri il sistema<br />
definito nel problema precedente, in cui il sistema <strong>di</strong> riferimento ruoti rispetto all’origine a velocità<br />
angolare Ω costante, come illustrato in figura 7.5.<br />
La velocità relativa <strong>del</strong>la massa è<br />
vr = ˙x (7.58)<br />
mentre quella <strong>di</strong> trascinamento è<br />
vt = Ωx (7.59)<br />
e sono tra loro perpen<strong>di</strong>colari; ne risulta un’energia cinetica<br />
Ec = 1<br />
2 m� ˙x 2 +Ω 2 x 2�<br />
(7.60)<br />
mentre l’energia potenziale ed il lavoro <strong>del</strong>la forza esterna sono immutati rispetto al problema precedente.<br />
L’equazione <strong>del</strong> moto è<br />
m¨x+ � k −Ω 2 m � x = f (7.61)<br />
È possibile definire una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio rispetto alla variabile cinematica x, dal momento che<br />
l’equazione <strong>del</strong> moto non <strong>di</strong>pende esplicitamente dal tempo, mentre la velocità angolare <strong>del</strong> riferimento<br />
mobile è costante per ipotesi. La soluzione <strong>di</strong> equilibrio è x = f/ � k −Ω 2 m � ed è definita solo per<br />
Ω �= � k/m; inoltre, per Ω > � k/m, il sistema risulta staticamente instabile. In questo caso, la matrice<br />
Hessiana non può essere usata perché il sistema è soggetto a vincoli mobili.<br />
7.7 Applicazioni<br />
Il problema <strong>del</strong>lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità <strong>del</strong>le soluzioni e, attraverso la linearizzazione dei problemi attorno<br />
a soluzioni <strong>di</strong> equilibrio, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità dei sistemi lineari, è <strong>di</strong> importanza fondamentale<br />
nell’ingegneria.<br />
Gli studenti <strong>di</strong> <strong>Ingegneria</strong> <strong>Aerospaziale</strong> incontrano questi problemi e queste tematiche in molti corsi,<br />
spesso presentate in modo <strong>di</strong>verso da quanto illustrato in queste note perché ogni <strong>di</strong>sciplina può avere<br />
basi, terminologia e problemi specifici.<br />
7-11
Questo non può esimere lo studente attento dal cogliere il filo comune e le analogie, oltre alla<br />
sostanziale comunanza <strong>di</strong> metodo, che caratterizza lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la stabilità in<strong>di</strong>pendentemente dal problema<br />
a cui si applica.<br />
La stabilità dei sistemi lineari viene affrontata in modo esaustivo nell’ambito <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Automatica,<br />
in riferimento sia a sistemi <strong>di</strong>namici generici che ai sistemi con controllo in retroazione.<br />
La stabilità statica viene utilizzata in Scienza <strong>del</strong>le Costruzioni I (o Fondamenti <strong>di</strong> Meccanica Strutturale)<br />
per stu<strong>di</strong>are la stabilità <strong>del</strong>l’equilibrio <strong>del</strong>le strutture; l’applicazione <strong>di</strong> riferimento è la trave <strong>di</strong><br />
Eulero caricata a compressione.<br />
Nel <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Strutture Aerospaziali, il problema viene arricchito introducendo i concetti <strong>di</strong> stabilità<br />
degli elementi sottili, travi e pannelli, e il concetto <strong>di</strong> instabilità locale <strong>del</strong>le travi in parete sottile.<br />
In meccanica <strong>del</strong> volo vengono utilizzati i concetti sia <strong>di</strong> stabilità statica, per verificare la stabilità<br />
<strong>del</strong>l’equilibrio statico <strong>del</strong> velivolo, che i concetti fondamentali <strong>di</strong> stabilità “<strong>di</strong>namica”: nel piano <strong>di</strong><br />
simmetria, il moto fugoide e quello <strong>di</strong> corto periodo, e le loro relazioni con la qualità <strong>del</strong> volo.<br />
Nel <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, oltre alla introduzione dei problemi <strong>di</strong> vibrazione<br />
dei sistemi meccanici, il concetto <strong>di</strong> stabilità statica viene applicato al moto assoluto <strong>del</strong>le macchine ad<br />
un grado <strong>di</strong> libertà e alla <strong>di</strong>vergenza aeroelastica <strong>del</strong>le superfici aero<strong>di</strong>namiche, mentre il concetto <strong>di</strong><br />
stabilità viene applicato alla <strong>di</strong>namica dei sistemi con un cenno alla stabilità aeroelastica <strong>del</strong>le superfici<br />
aero<strong>di</strong>namiche.<br />
In corsi successivi, e nella laurea specialistica, i concetti legati alla stabilità assumono una importanza<br />
fondamentale.<br />
Come si può notare, l’argomento è fondamentale e inter<strong>di</strong>sciplinare; viene affrontato in numerose<br />
occasioni, sempre in relazione ad una sua applicazione pratica a problemi essenziali <strong>del</strong>l’<strong>Ingegneria</strong> ed in<br />
particolare <strong>del</strong>l’<strong>Ingegneria</strong> <strong>Aerospaziale</strong>.<br />
7-12
Capitolo 8<br />
Azioni mutue tra elementi <strong>di</strong><br />
macchine — Parte I<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
In ogni sistema meccanico, durante il suo funzionamento, nascono dei movimenti relativi tra i membri<br />
che lo compongono e, inoltre, la macchina stessa o parti <strong>di</strong> essa si muovono rispetto all’ambiente<br />
circostante.<br />
Questifenomeniassumonograndeimportanzanellostu<strong>di</strong>o<strong>del</strong>comportamento<strong>di</strong>namicoeiloroeffetti<br />
sono stu<strong>di</strong>ati riconducendoli a due <strong>di</strong>stinte tipologie <strong>di</strong> contatto, ovvero:<br />
• contatto tra solido e solido;<br />
• contatto fra solido e fluido.<br />
I due principali fenomeni legati all’aderenza tra soli<strong>di</strong> sono l’attrito e l’usura. Il primo si manifesta<br />
come resistenza o impe<strong>di</strong>mento al moto relativo tra le parti a contatto. Ciò può costituire uno svantaggio<br />
quando <strong>di</strong>viene fonte <strong>di</strong> per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> potenza tra i membri che devono essere mantenuti in movimento<br />
(attrito nei supporti, nelle tenute, ecc.); viceversa, in alcuni casi <strong>di</strong>venta un fattore essenziale per il<br />
funzionamento <strong>del</strong>le macchine (come nel contatto ruota-rotaia e pneumatico-strada, ovvero in organi<br />
quali i freni e le frizioni, le giunzioni forzate e imbullonate, ecc.).<br />
L’usura si manifesta invece come un’abrasione progressiva <strong>di</strong> materiale dalle superfici <strong>di</strong> due corpi<br />
in moto relativo, che ha luogo nelle superfici stesse. L’usura può essere un fattore utile (ad esempio<br />
nelle lavorazioni tecnologiche <strong>di</strong> finitura) o, come accade in generale, causare un progressivo degrado<br />
<strong>del</strong>l’accoppiamento tra le parti a contatto.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista cinematico possiamo <strong>di</strong>stinguere, almeno macroscopicamente, contatti <strong>di</strong> rotolamento,<br />
strisciamento e urto. Si osserva come nel caso <strong>di</strong> rotolamento il moto relativo al contatto è nullo<br />
(almeno limitandoci ad un punto <strong>di</strong> vista macroscopico). Nello strisciamento è invece presente una componente<br />
<strong>di</strong> velocità relativa lungo la tangente comune alle superfici <strong>di</strong> contatto tra i due corpi, mentre<br />
nell’urto è presente anche una componente normale <strong>del</strong>la velocità relativa.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista geometrico è possibile effettuare un’ulteriore classificazione, <strong>di</strong>stinguendo contatti<br />
puntiformi, lineari e superficiali, a seconda che l’ente geometrico in comune tra i soli<strong>di</strong> sia, nell’ipotesi <strong>di</strong><br />
corpi indeformabili, un punto (per esempio una sfera a contatto su un piano), una linea (la generatrice <strong>di</strong><br />
un cilindro a sezione circolare su un piano), o un’intera superficie (una faccia <strong>di</strong> un prisma su un piano).<br />
8.1 Attrito <strong>di</strong> strisciamento nei soli<strong>di</strong> a contatto<br />
Si definisce come attrito la resistenza al moto che si manifesta quando un corpo striscia su un altro. Tale<br />
azione <strong>di</strong> resistenza agisce secondo la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> moto relativo, ma in verso opposto, e viene in<strong>di</strong>cata<br />
come forza <strong>di</strong> attrito. La forza <strong>di</strong> attrito che è necessario vincere per iniziare un moto <strong>di</strong> strisciamento,<br />
a partire da uno stato <strong>di</strong> quiete, è detta forza <strong>di</strong> attrito statico, mentre quella necessaria a mantenere<br />
il moto <strong>di</strong> strisciamento tra due corpi è detta forza <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico (o cinetico). La forza <strong>di</strong> attrito<br />
8-1
Figura 8.1: Rappresentazione pittorica <strong>del</strong>la superficie <strong>di</strong> contatto tra due corpi.<br />
<strong>di</strong>namico è in generale inferiore a quella statica. Nel contatto tra soli<strong>di</strong> si è sempre in presenza <strong>di</strong> una<br />
superficie nominale <strong>di</strong> contatto che, nel caso <strong>di</strong> superfici conformi, corrisponde alla superficie in comune<br />
tra i due corpi, mentre nel caso <strong>di</strong> superfici non conformi, è una conseguenza <strong>del</strong>l’elasticità dei corpi a<br />
contatto e <strong>del</strong>l’azione che li preme uno contro l’altro.<br />
Una <strong>del</strong>le teorie più accre<strong>di</strong>tate è quella <strong>del</strong>la micro-saldatura fra le parti effettivamente a contatto,<br />
la cui superficie complessiva è una piccolissima frazione <strong>di</strong> quella apparente <strong>di</strong> contatto, come illustrato<br />
in figura 8.1. In seguito alla compressione mutua e alle conseguenti deformazioni plastiche ed elastiche, le<br />
zone deformate, fra le quali può verificarsi una vera e propria saldatura, si estendono proporzionalmente<br />
alla forza che preme i corpi l’uno contro l’altro e in<strong>di</strong>pendente dalla superficie apparente <strong>di</strong> contatto.<br />
Consideriamo il caso in cui tra i due corpi a contatto non vi sia moto relativo. L’esperienza mostra<br />
che se applichiamo a uno dei due corpi una forza � F, anche non perpen<strong>di</strong>colare al piano, questo resta<br />
fermo finché la componente � Ft non supera in modulo un certo valore F∗ �<br />
�<br />
t , ovvero �� �<br />
�<br />
Ft�<br />
< F∗ t . Possiamo<br />
perciò <strong>di</strong>re che il piano è in grado <strong>di</strong> esercitare una reazione � R avente una componente � Rt tangente al<br />
piano <strong>di</strong> valore massimo in modulo R ∗ t = F ∗ t , capace <strong>di</strong> opporsi all’azione <strong>di</strong> � Ft che tenderebbe a muovere<br />
il corpo rispetto al piano <strong>di</strong> appoggio.<br />
Dalle esperienze <strong>di</strong> Coulomb, risulta che<br />
ove<br />
R ∗ t = faRn<br />
• Rn è la componente normale <strong>del</strong>la reazione, avendo assunto Rn > 0 quando si ha contatto;<br />
• fa è il coefficiente <strong>di</strong> aderenza (o attrito statico) <strong>di</strong>pendente dalla natura e dallo stato <strong>del</strong>le superfici<br />
a contatto, in<strong>di</strong>pendente entro ampi limiti dall’estensione <strong>del</strong>l’area apparente <strong>di</strong> contatto.<br />
Per cui, affinché non vi sia moto relativo tra le superfici, deve valere che<br />
�<br />
�<br />
�� �<br />
�<br />
Rt�<br />
≤ R ∗ t<br />
Perché lo strisciamento fra i due corpi possa avere inizio, la componente tangenziale <strong>del</strong>la reazione deve<br />
avere un valore in modulo pari al valore massimo R ∗ t. Ciò significa, facendo riferimento alla teoria <strong>del</strong>le<br />
micro-saldature, che esse si debbono rompere e, per conseguenza:<br />
R ∗ t = τmaxAeff<br />
dove si assume un comportamento perfettamente plastico <strong>del</strong> materiale, per il quale lo sforzo raggiunge<br />
il valore massimo <strong>di</strong> plasticizzazione su tutta la sezione e lo mantiene in<strong>di</strong>pendentemente dall’entità <strong>del</strong>la<br />
8-2<br />
(8.1)<br />
(8.2)<br />
(8.3)
deformazione; ma<br />
quin<strong>di</strong><br />
Aeff = Rn<br />
σmax<br />
R ∗ t = τmax<br />
Rn = faRn<br />
σmax<br />
Figura 8.2: Attrito statico.<br />
che evidenzia la ricordata in<strong>di</strong>pendenza dall’estensione <strong>del</strong>la superficie apparente <strong>di</strong> contatto, e la <strong>di</strong>pendenza<br />
dalle sole caratteristiche <strong>del</strong> materiale.<br />
Se la reazione tangente richiesta è maggiore <strong>di</strong> quella massima sviluppabile dal vincolo in base al<br />
coefficiente<strong>di</strong>attrito, allorasihal’innesco<strong>del</strong>motorelativo<strong>di</strong>strisciamento, abbandonandolacon<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong> aderenza. Se infatti:<br />
�<br />
�<br />
�� �<br />
�<br />
Rt�<br />
> R ∗ t = faRn<br />
(8.6)<br />
il corpo si mette in moto rispetto alla superficie d’appoggio, ovvero accelera, nella <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la reazione<br />
�Rt, ma con verso opposto. Non appena in movimento, la componente tangenziale <strong>del</strong>la reazione vale:<br />
�v<br />
�Rt = −f (|�v|)Rn<br />
|�v|<br />
<strong>di</strong>retta in verso opposto a quello <strong>del</strong>la velocità relativa �v (la funzione �v/|�v| rappresenta un versore,<br />
ovvero un vettore <strong>di</strong> modulo unitario <strong>di</strong>retto come �v). Il coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico (o cinetico)<br />
f (|�v|) è anch’esso <strong>di</strong>pendente dallo stato e dalla natura <strong>del</strong>le superfici a contatto, e sempre in<strong>di</strong>pendente<br />
dall’estensione <strong>del</strong>l’area apparente <strong>di</strong> contatto. Normalmente, in prima approssimazione, si trascura la<br />
sua <strong>di</strong>pendenza dalla velocità relativa e si assume f costante.<br />
L’in<strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> f dalla velocità relativa è ammissibile entro limiti non troppo ampi, come illustrato<br />
in figura 8.3. Dopo una brusca <strong>di</strong>minuzione passando da velocità relativa nulla (attrito statico) a velocità<br />
relative piccolissime, <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> qualche millimetro al secondo, subisce poi un sensibile aumento al<br />
crescere <strong>del</strong>la velocità relativa fino a valori <strong>di</strong> circa 0.3 m/s. Per velocità relative maggiori, fino a circa<br />
5 m/s, il coefficiente d’attrito rimane praticamente costante. Oltre quella velocità relativa il coefficiente<br />
<strong>di</strong> attrito tende nuovamente a decrescere, <strong>di</strong>minuzione che <strong>di</strong>venta notevole a forti velocità relative.<br />
Le leggi utilizzate per considerare i fenomeni <strong>di</strong> attrito sono <strong>di</strong> origine empirica; sono state in<strong>di</strong>viduate<br />
da Amonton (1699) e successivamente perfezionate da Coulomb (1785). Possono essere sintetizzate come<br />
segue:<br />
• l’attrito è in<strong>di</strong>pendente dall’estensione <strong>del</strong>l’area apparente <strong>di</strong> contatto;<br />
• laforzalimite<strong>di</strong>attritostatico, elaforza<strong>di</strong>attritoincon<strong>di</strong>zioni<strong>di</strong>strisciamento,sonoproporzionali<br />
alla forza normale che tiene i corpi a contatto;<br />
• l’attrito <strong>di</strong>namico è in<strong>di</strong>pendente dalla velocità <strong>di</strong> strisciamento, con le limitazioni sopra chiarite.<br />
8-3<br />
(8.4)<br />
(8.5)<br />
(8.7)
Figura 8.3: Coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico f in funzione <strong>del</strong> modulo <strong>del</strong>la velocità relativa.<br />
Le(8.6, 8.7) valgonosolamenteselesuperficiacontattosonopiane; la(8.7)richiedeinoltrechelavelocità<br />
sia costante in modulo, <strong>di</strong>rezione e verso. Se tali ipotesi non sono verificate, allora le relazioni (8.6, 8.7)<br />
valgono per le sole componenti <strong>di</strong> forza infinitesime:<br />
�<br />
�<br />
�d� �<br />
�<br />
Rt�<br />
≤ fadRn<br />
(8.8a)<br />
�vdA<br />
d� Rt = −fdRn<br />
|�vdA|<br />
(8.8b)<br />
ove dA è l’area <strong>di</strong> contatto infinitesima (d� A = dA�n è un vettore avente modulo pari a dA e <strong>di</strong>rezione<br />
normale all’area stessa), �vdA è la velocità relativa <strong>di</strong> strisciamento e dRn è la componente <strong>del</strong>la reazione<br />
normale all’area dA (e quin<strong>di</strong> parallela a d� A) e agente su <strong>di</strong> essa; le forze infinitesime sono<br />
�<br />
dRn = σd� �<br />
A �n (8.9a)<br />
d� �<br />
Rt = σd� �<br />
A −�ndRn<br />
(8.9b)<br />
ovvero rappresentano il prodotto <strong>del</strong> tensore degli sforzi a cui è soggetto il materiale al contatto per l’area<br />
<strong>di</strong> contatto infinitesima, nell’ipotesi <strong>di</strong> contatto continuo.<br />
La potenza <strong>di</strong>ssipata per attrito vale<br />
�<br />
Wr(attrito) = �vdA ×d<br />
A<br />
� �<br />
R = �vdA ×d<br />
A<br />
� �<br />
Rt = − �vdA ×<br />
A<br />
�vdA<br />
|�vdA| fdRn<br />
�<br />
= −<br />
A<br />
|�vdA|fdRn, (8.10)<br />
nell’ipotesi che, per un vincolo unilatero, deve valere la relazione dRn ≥ 0. Altrimenti, se il vincolo è<br />
bilatero, si usa |dRn|.<br />
Nel caso in cui la velocità sia uniforme,<br />
�<br />
Wr(attrito) =�v × d� R = � R×�v = � �v<br />
Rt ×�v = −fRn<br />
|�v| ×�v = −fRn|v|. (8.11)<br />
A<br />
Questo contributo <strong>di</strong> potenza è da annoverare nell’espressione <strong>del</strong>la somma <strong>del</strong>le potenze nel Teorema<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica<br />
Π = dT<br />
dt<br />
come richiamato nel Capitolo 2.<br />
8-4<br />
(8.12)
Figura 8.4: Perno rotante.<br />
Al fine <strong>di</strong> chiarire come la (8.7) valga solamente nel caso <strong>di</strong> strisciamento a velocità relativa costante<br />
tra due superfici piane, si consideri il perno spingente <strong>di</strong> figura 8.4, ruotante con velocità angolare �ω<br />
costante attorno al proprio asse e premuto su una superficie piana, immobile, da una forza assiale N.<br />
Ogni punto <strong>del</strong>la superficie d’appoggio <strong>del</strong> perno è dotato <strong>di</strong> velocità assoluta in modulo proporzionale<br />
alla <strong>di</strong>stanza �r dall’asse <strong>di</strong> rotazione e <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezione tangente alla rispettiva traiettoria circolare:<br />
�v(r) = �ω ∧�r (8.13)<br />
il cui modulo è v(r) = ωr.<br />
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione verticale si ottiene<br />
� �<br />
N = Rn = dRn = p dA �= 0 (8.14)<br />
A<br />
A<br />
dove p è la pressione <strong>di</strong> contatto, funzione <strong>del</strong> solo raggio r per l’ovvia simmetria assiale <strong>del</strong> problema,<br />
ma<br />
�<br />
�<br />
�� � ��<br />
� �<br />
Rt�<br />
= �<br />
� d� �<br />
�<br />
Rt<br />
�<br />
� = 0 �= fRn<br />
(8.15)<br />
A<br />
Esercizio 8.1 Considerando la (8.8b) con la velocità espressa dalla (8.13), si verifichi la (8.15).<br />
8.2 Usura nel contatto tra soli<strong>di</strong><br />
Richiamando le tre cause che possono portare alla messa fuori servizio <strong>di</strong> una macchina (rottura,<br />
obsolescenza ed usura), si può osservare che:<br />
• la rottura <strong>di</strong> elementi <strong>di</strong> macchine è un evento non frequente, che può essere dovuto a <strong>di</strong>fetti <strong>del</strong><br />
materiale o al fatto che il sistema sia assoggettato a carichi maggiori rispetto a quelli <strong>di</strong> progetto;<br />
• l’obsolescenza, ossia l’invecchiamento dovuto alla comparsa sul mercato <strong>di</strong> macchine in grado<br />
<strong>di</strong> effettuare la medesima funzione in modo più conveniente (sia dal punto <strong>di</strong> vista <strong>del</strong>la velocità<br />
<strong>di</strong> esecuzione, sia <strong>del</strong> risparmio <strong>del</strong>l’energia impiegata), interviene, in genere, dopo anni <strong>di</strong><br />
funzionamento;<br />
• l’usura è connaturata all’esercizio stesso <strong>del</strong>la macchina, provocandone un deca<strong>di</strong>mento <strong>del</strong>la funzionalità,<br />
e non sempre in misura proporzionale al trascorrere <strong>del</strong> tempo. Di solito, infatti, i<br />
fenomeni <strong>di</strong> usura mostrano un tasso <strong>di</strong> crescita più elevato man mano che il livello globale <strong>di</strong><br />
usura cresce.<br />
L’usura si manifesta attraverso:<br />
8-5
• aumento dei giochi negli accoppiamenti con conseguenti imprecisioni nel movimento e aumento<br />
<strong>del</strong>la rumorosità;<br />
• possibile comparsa <strong>di</strong> fenomeni <strong>di</strong> urti microscopici e conseguenti vibrazioni e sovraccarichi <strong>di</strong>namici;<br />
• possibile aumento <strong>del</strong> tasso <strong>di</strong> usura stesso, sopra citato, a causa <strong>del</strong>l’incremento <strong>del</strong>le azioni<br />
scambiate tra i corpi a contatto, oltre che a causa <strong>del</strong>l’abrasione <strong>del</strong>le superfici <strong>di</strong> contatto.<br />
Un mo<strong>del</strong>lo elementare <strong>di</strong> usura (Ipotesi <strong>di</strong> Reye) definisce il rateo <strong>di</strong> asportazione <strong>di</strong> materiale per<br />
logoramento come proporzionale al lavoro <strong>di</strong>ssipato per attrito nell’unità <strong>di</strong> tempo.<br />
8.2.1 Esempio: <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> pressione su un perno rotante<br />
L’ipotesi <strong>di</strong> Reye può essere utilizzata “al contrario”, per determinare la <strong>di</strong>stribuzione ra<strong>di</strong>ale <strong>del</strong>la<br />
pressione su un <strong>di</strong>sco rotante, in base a semplici considerazioni cinematiche.<br />
Si consideri l’esempio precedente relativo ad un perno rotante attorno alla normale ad una superficie<br />
piana contro cui è premuto (figura 8.4). Su un elemento dA <strong>del</strong>la superficie <strong>di</strong> contatto, su cui agisce la<br />
pressione p, si ha una forza normale pdA e perciò, durante il moto, una componente tangenziale fpdA,<br />
con f supposto noto e in<strong>di</strong>pendente dalla velocità.<br />
Se v è la velocità <strong>di</strong> strisciamento, il lavoro perduto nell’unità <strong>di</strong> tempo vale:<br />
dΠ = fpvdA (8.16)<br />
Se h è lo spessore asportato sull’elemento per logoramento nell’unità <strong>di</strong> tempo 1 , il volume asportato<br />
nell’unità <strong>di</strong> tempo risulta hdA; per la proporzionalità affermata dal Reye, detto k un coefficiente <strong>di</strong><br />
usura <strong>di</strong>pendente dai materiali <strong>di</strong> cui sono costituite le due parti e dalle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> lavoro, risulta:<br />
hdA = kfpvdA (8.17)<br />
Nel caso <strong>del</strong> perno spingente risulta quin<strong>di</strong>:<br />
h = kfpv = kfpωr (8.18)<br />
e poiché nell’ipotesi che si usuri solamente il perno, e quin<strong>di</strong> la sua superficie a contatto con il piano<br />
si mantenga a sua volta piana, lo spessore <strong>di</strong> materiale asportato nell’unità <strong>di</strong> tempo risulta costante e<br />
in<strong>di</strong>pendente dalla posizione sulla superficie, si ha:<br />
kfpωr = h = costante → p(r) = h k′<br />
=<br />
kfωr r<br />
8.2.2 Esempio: innesto a frizione<br />
(8.19)<br />
Come applicazione <strong>di</strong> quanto detto, si consideri un innesto a frizione, illustrato in figura 8.5, tipicamente<br />
utilizzato in veicoli spinti da motori a combustione interna, in quanto:<br />
• imotoriacombustioneinternanonpossonoavviarsisottocaricoedevonoesseremantenuti, durante<br />
l’avviamento <strong>del</strong> veicolo, a un regime <strong>di</strong> velocità angolare superiore a un dato valore minimo; inoltre<br />
occorre poter fermare il veicolo stesso senza dover necessariamente fermare il motore;<br />
• qualora sia presente un cambio <strong>di</strong> velocità, il passaggio da una marcia all’altra va fatto mentre<br />
la trasmissione non trasmette coppia, in quanto occorre accoppiare alberi inizialmente rotanti a<br />
velocità <strong>di</strong>verse.<br />
1 Ovvero la velocità <strong>di</strong> asportazione <strong>del</strong> materiale. L’ipotesi <strong>di</strong> Reye può essere espressa in forma <strong>di</strong>fferenziale: la portata<br />
<strong>di</strong> materiale asportato è proporzionale alla potenza <strong>di</strong>ssipata dalle forze d’attrito; oppure in forma integrale: il volume <strong>di</strong><br />
materiale asportato è proporzionale al lavoro (negativo) compiuto dalle forze d’attrito.<br />
8-6
Figura 8.5: Innesto a frizione.<br />
Tali esigenze sono sod<strong>di</strong>sfatte dagli innesti a frizione, che permettono <strong>di</strong> trasmettere una data coppia<br />
motrice tra due alberi coassiali rotanti a velocità angolari <strong>di</strong>fferenti.<br />
Al fine <strong>di</strong> realizzare un innesto a frizione, vengono utilizzate le forze d’attrito che nascono tra due<br />
superfici rotanti (a−a1 e b) rispettivamente solidali con l’albero motore e con quello comandato, premute<br />
l’una contro l’altra dallo spingi<strong>di</strong>sco a1.<br />
Tale pressione è generalmente data da molle opportunamente precaricate ed è necessario che la<br />
pressione sia tale da poter trasmettere una coppia superiore a quella massima erogata dal motore.<br />
È necessario, d’altronde, che:<br />
• l’innesto possa funzionare come giunto <strong>di</strong> sicurezza evitando che, in caso <strong>di</strong> frenatura d’urgenza<br />
con motore innestato, si possano trasmettere all’albero motore decelerazioni troppo gran<strong>di</strong>;<br />
• la <strong>di</strong>fferenza tra la coppia che l’innesto trasmette slittando e la coppia motrice non sia troppo<br />
grande per evitare gran<strong>di</strong> rallentamenti nel motore durante la fase <strong>di</strong> avviamento <strong>del</strong> veicolo.<br />
Al fine <strong>di</strong> determinare la coppia trasmessa per attrito, in<strong>di</strong>cato con A2 il precarico dato dalle molle, la<br />
pressione p agente su una faccia <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco b solidale con l’albero <strong>di</strong> trasmissione risulta essere pari a:<br />
� � re<br />
A2 = p dA = 2πpr dr (8.20)<br />
A<br />
ri<br />
Secondo la (8.19), la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> pressione è inversamente proporzionale al raggio. Si ha quin<strong>di</strong><br />
A2 =<br />
� re<br />
ri<br />
2π k′<br />
r r dr = 2πk′ (re −ri) (8.21)<br />
da cui, nota la forza A2 applicata dal pilota e le <strong>di</strong>mensioni <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco:<br />
k ′ =<br />
A2<br />
2π(re −ri)<br />
(8.22)<br />
Nel moto relativo tra i <strong>di</strong>schi, a causa <strong>del</strong>l’attrito definito dal coefficiente f supposto costante, si genera<br />
quin<strong>di</strong> un momento � Mr opposto alla velocità angolare �ω <strong>del</strong> motore<br />
� � � � re �ω ∧�r<br />
�Mr = �r ∧ −fp dA = − 2πf<br />
��ω ∧�r�<br />
k′ r<br />
r<br />
2�ω �r�ω� rdr = −fπk′�r 2 e −r 2� �ω<br />
i , (8.23)<br />
��ω�<br />
A<br />
ri<br />
8-7
ove si è sfruttato il fatto che, secondo la (3.8d), �r ∧ (�ω ∧�r) = r2�ω quando �r × �ω = 0. Tale momento,<br />
<strong>di</strong> ampiezza Mr = fπk ′�r2 e −r2 �<br />
i , può essere interpretato come conseguenza <strong>di</strong> una forza tangenziale<br />
fittizia2 , <strong>di</strong> modulo pari a fA2 e quin<strong>di</strong> proporzionale alla forza normale esercitata tra il <strong>di</strong>sco e la<br />
campana, avente un braccio equivalente Req<br />
Req = Mr<br />
=<br />
fA2<br />
fπk′�r2 e −r2 �<br />
i<br />
f2πk ′ (re −ei) = (re −ri)(re +ri)<br />
=<br />
2(re −ri)<br />
re +ri<br />
(8.24)<br />
2<br />
pari al raggio me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco.<br />
Manovra d’innesto<br />
Si consideri la manovra <strong>di</strong> innesto, all’inizio <strong>del</strong>la quale il motore è in movimento con velocità angolare<br />
ω0 e l’utilizzatore è fermo, per arrivare ad una con<strong>di</strong>zione in cui essi ruotano entrambi alla stessa velocità<br />
angolare e quin<strong>di</strong> non c’è più strisciamento. Quin<strong>di</strong>, inizialmente il sistema ha due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà<br />
mentre, al termine <strong>del</strong>la manovra, il sistema ha un solo grado <strong>di</strong> libertà, in quanto la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> non<br />
strisciamento tra <strong>di</strong>sco e campana <strong>del</strong>la frizione introduce il vincolo cinematico <strong>di</strong> uguaglianza tra le<br />
velocità angolari <strong>del</strong> motore e <strong>del</strong>l’utilizzatore.<br />
Al fine <strong>di</strong> semplificare la trattazione <strong>del</strong> problema, si assume che il motore eroghi una coppia Mm<br />
costante, in<strong>di</strong>pendentemente dal valore <strong>del</strong>la valocità angolare ωm, e che ogni accoppiamento tra parti<br />
<strong>del</strong>la frizione in moto relativo trasmetta una coppia Mr costante, ovvero che la forza normale A2 scambiata<br />
si mantenga costante. Nell’esempio illustrato in figura 8.5, la coppia scambiata tra i due alberi è<br />
in realtà M ′ r = 2Mr, dal momento che ci sono due facce <strong>di</strong> accoppiamento tra il <strong>di</strong>sco e la campana <strong>del</strong>la<br />
frizione.<br />
Dinamica <strong>del</strong>l’utilizzatore prima <strong>del</strong>l’innesto<br />
Si consideri innanzitutto il sistema composto dall’utilizzatore, dall’albero <strong>di</strong> trasmissione e dal <strong>di</strong>sco <strong>del</strong>la<br />
frizione; dall’applicazione <strong>del</strong> teorema <strong>del</strong>l’enegia cinetica si ricava<br />
M ′ rωu −Muωu = Ju˙ωuωu<br />
(8.25)<br />
avendo in<strong>di</strong>cato con Mu e Ju, rispettivamente, la coppia e il momento d’inerzia <strong>del</strong> veicolo ridotti<br />
all’albero sul quale è calettato il <strong>di</strong>sco <strong>del</strong>la frizione che ruota con velocità angolare ωu, ovvero<br />
Muωu = �<br />
(Fivi +Miωi) (8.26)<br />
e<br />
dTu<br />
dt<br />
i<br />
= �<br />
(FiRi +Miτi)ωu<br />
i<br />
�<br />
d 1<br />
=<br />
dt 2<br />
�<br />
1<br />
�<br />
i<br />
�<br />
miv 2 i +Jiω 2� i<br />
�<br />
= d ��<br />
miR<br />
dt 2<br />
i<br />
2 i +Jiτ 2 i<br />
= ��<br />
miR 2 i +Jiτ 2� i ωu˙ωu<br />
i<br />
= Juωu˙ωu<br />
� ω 2 u<br />
�<br />
(8.27)<br />
(8.28)<br />
(8.29)<br />
(8.30)<br />
(8.31)<br />
ove si sono in<strong>di</strong>cati con mi e Ji rispettivamente le masse e le inerzie <strong>del</strong>le parti in movimento, con Fi<br />
e Mi rispettivamente le forze e le coppie attive, mentre Ri e τi rispettivamente in<strong>di</strong>cano i rapporti <strong>di</strong><br />
trasmissione tra la velocità <strong>del</strong>l’utilizzatore ωu e le rispettive velocità <strong>di</strong> traslazione vi e <strong>di</strong> rotazione ωi<br />
2 Si ba<strong>di</strong> bene: questa interpretazione si basa solo su considerazioni <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong>mensionale; come mostrato dalla (8.15), la<br />
risultante <strong>del</strong>le forze tangenziali agenti sul <strong>di</strong>sco è esattamente zero.<br />
8-8
Figura 8.6: Velocità <strong>del</strong>l’utilizzatore durante la manovra <strong>di</strong> innesto <strong>del</strong>la frizione.<br />
Figura 8.7: Innesto a frizione — dettaglio <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco.<br />
<strong>del</strong>le varie parti. Il momento d’inerzia ridotto Ju tiene conto solo <strong>del</strong>la massa <strong>del</strong> veicolo e <strong>del</strong> momento<br />
d’inerzia <strong>del</strong>le ruote e degli organi <strong>di</strong> trasmissione.<br />
L’accelerazione <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco <strong>del</strong>la frizione è quin<strong>di</strong><br />
˙ωu = M′ r −Mu<br />
Ju<br />
(8.32)<br />
e la conseguente legge <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> veicolo, supposto inizialmente fermo e considerando Mu costante, è<br />
ωu(t) = M′ r −Mu<br />
t (8.33)<br />
Ju<br />
Ne risulta un andamento lineare a partire da velocità ωu nulla, come illustrato in figura 8.6, la cui<br />
pendenza è <strong>di</strong>rettamente proprozionale alla coppia M ′ r trasmessa dalla frizione, che per l’utilizzatore<br />
funge da coppia motrice; tale coppia deve essere superiore ala coppia resistente Mu affinché la velocità<br />
cresca.<br />
Dinamica <strong>del</strong> motore prima <strong>del</strong>l’innesto<br />
Applicando quin<strong>di</strong> il teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica al sistema composto dal motore e dalla campana <strong>del</strong>la<br />
frizione si ottiene<br />
Mmωm −M ′ rωm = Jm˙ωmωm<br />
(8.34)<br />
Poiché si vuole portare il <strong>di</strong>sco (figura 8.7) e la campana (figura 8.8) alla stessa velocità <strong>di</strong> rotazione,<br />
è opportuno che la velocità angolare <strong>del</strong> motore non aumenti; in tale caso, occorre far sì che il momento<br />
8-9
Figura 8.8: Innesto a frizione — dettaglio <strong>del</strong>la campana.<br />
Figura 8.9: Velocità <strong>del</strong> motore durante la manovra <strong>di</strong> innesto <strong>del</strong>la frizione.<br />
M ′ r applicato dalla frizione all’albero motore sia maggiore <strong>del</strong>la coppia massima erogata dal motore 3 ; <strong>di</strong><br />
conseguenza, quest’ultimo decelera con una accelerazione negativa pari a:<br />
˙ωm = Mm −M ′ r<br />
Jm<br />
(8.35)<br />
Conseguentemente, supponendo Mm costante e integrando la (8.35) a partire dalla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
velocità angolare iniziale <strong>del</strong> motore pari a ω0, la legge <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> sistema fisico composto dal motore<br />
e dalla sola campana <strong>del</strong>la frizione risulta essere<br />
ωm(t) = ω0 − M′ r −Mm<br />
t (8.36)<br />
Jm<br />
come illustrato dalla figura 8.9, dalla quale si nota che se la velocità angolare iniziale <strong>del</strong> motore è<br />
troppo piccola, o troppo grande è la <strong>di</strong>fferenza tra la coppia erogata e quella applicata dalla frizione, la<br />
decelerazione può portare il motore a spegnersi.<br />
3 Si ricor<strong>di</strong> che la coppia massima che la frizione può sviluppare è proporzionale alla forza normale applicata tra <strong>di</strong>sco e<br />
campana, a meno <strong>di</strong> una piccola <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> f dalla velocità. La forza normale, a sua volta, <strong>di</strong>pende dal precarico <strong>del</strong>le<br />
molle che mantengono premuti fra loro i due corpi. In generale, se la coppia massima erogabile dal motore supera la coppia<br />
massima trasmissibile dalla frizione in con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> slittamento, la trasmissione non può funzionare correttamente perché<br />
in tali con<strong>di</strong>zioni la frizione non può giungere alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> non strisciamento.<br />
8-10
Figura 8.10: Velocità <strong>di</strong> motore ed utilizzatore durante e al termine <strong>del</strong>la manovra <strong>di</strong> innesto <strong>del</strong>la<br />
frizione.<br />
Dinamica <strong>del</strong> sistema dopo l’innesto<br />
Dopo un tempo t1, detto tempo d’innesto, le due velocità angolari saranno eguali; da tale con<strong>di</strong>zione si<br />
ricava il tempo<br />
t1 =<br />
M ′ r<br />
� 1<br />
Jm<br />
+ 1<br />
�<br />
Ju<br />
ω0<br />
−<br />
� Mm<br />
Jm<br />
+ Mu<br />
Ju<br />
�; (8.37)<br />
la frizione si comporterà quin<strong>di</strong> come un collegamento rigido, e la legge <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> veicolo varrà<br />
ωm(t) = ωu(t) = ωm(t1)+ Mm −Mu<br />
Jm +Ju<br />
(t−t1) (8.38)<br />
Tale legge vale se non vi è slittamento tra <strong>di</strong>sco e campana <strong>del</strong>la frizione, ovvero se sono verificate<br />
entrambe le equazioni:<br />
M ′ max = 2faA2Req > Mm(ω)−Jm˙ω<br />
M ′ max = 2faA2Req > Mu(ω)+Ju˙ω<br />
(8.39)<br />
dove M ′ max rappresenta il momento massimo che la frizione riesce a trasmettere in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> slittamento<br />
incipiente.<br />
Si noti che la potenza <strong>di</strong>ssipata durante l’avviamento è<br />
Π = −M ′ r(ωm −ωu) (8.40)<br />
che corrisponde all’area tratteggiata in figura 8.10.<br />
Si noti che:<br />
• durante il transitorio d’innesto gli organi <strong>del</strong>la trasmissione sono sollecitati da un momento torcente<br />
M ′ r maggiore <strong>del</strong>la coppia Mm erogata dal motore; siccome ciò deve essere possibile anche se Mm<br />
è la coppia massima erogata dal motore, questo spiega le possibili rotture in fase <strong>di</strong> partenza, se gli<br />
organi <strong>di</strong> trasmissione sono <strong>di</strong>mensionati per Mm massimo anziché per M ′ r massimo;<br />
• l’aumento <strong>del</strong> momento M ′ r trasmesso durante la fase <strong>di</strong> slittamento riduce il tempo d’innesto a<br />
vantaggio <strong>del</strong>le prestazioni;<br />
• la riduzione <strong>di</strong> Jm e Ju migliora le accelerazioni;<br />
• aumentando il momento trasmesso dalla frizione in fase d’innesto si ha un incremento <strong>del</strong>la potenza<br />
<strong>di</strong>ssipata con corrispondente incremento <strong>del</strong>la temperatura <strong>del</strong> materiale d’attrito e, tipicamente,<br />
una conseguente riduzione <strong>del</strong> coefficiente f.<br />
8-11
Figura 8.11: Schema <strong>di</strong> contatto ruota-strada per ruota deformbile<br />
8.3 Resistenza al rotolamento<br />
Con il termine resistenza al rotolamento (talora impropriamente in<strong>di</strong>cato come attrito volvente) si<br />
definisce la resistenza incontrata da un corpo che rotoli senza strisciare macroscopicamente sulla superficie<br />
<strong>di</strong> un altro corpo. L’esperienza, infatti, in<strong>di</strong>ca che per mantenere, ad esempio, una ruota in moto<br />
a velocità costante, anche in assenza <strong>di</strong> azioni resistenti attive, è necessario applicare <strong>del</strong>le azioni motrici,<br />
realizzate tramite coppie applicate alle ruote o forze al centro ruota.<br />
In varie applicazioni in campo ingegneristico, la potenza <strong>di</strong>ssipata associata a questa forma <strong>di</strong> resistenza<br />
non può essere sempre trascurata. Si darà qui una spiegazione qualitativa <strong>del</strong> fenomeno, che in<br />
realtà è molto complessa e legata alla deformabilità dei corpi, in<strong>di</strong>cando la procedura per includere tali<br />
effetti negli schemi <strong>di</strong> calcolo utilizzati per i corpi rigi<strong>di</strong>.<br />
Se i corpi fossero continui e perfettamente rigi<strong>di</strong>, quali si suppongono in schemi <strong>di</strong> prima approssimazione,<br />
nel rotolamento puro <strong>di</strong> un corpo su un altro, ammesso che le forze agenti tra i due corpi passino<br />
sempre per i punti <strong>di</strong> contatto, non si dovrebbe avere, per effetto <strong>di</strong> tale moto relativo, <strong>di</strong>spersione alcuna<br />
<strong>di</strong> energia meccanica. Infatti, essendo nullo, per la definizione stessa <strong>di</strong> rotolamento, il moto istantaneo<br />
tra i punti <strong>di</strong> contatto, le forze agenti tra i due corpi con linee d’azione passanti per detti punti eseguono<br />
lavoro nullo.<br />
Ancheseicorpinonfosserorigi<strong>di</strong>,maperfettamenteelastici,ilrotolamentonondarebbe<strong>di</strong>spersione<strong>di</strong><br />
energia, perché l’energia spesa per produrre la deformazione negli elementi che vengono successivamente<br />
a contatto sarebbe eguale a quella restituita da quelli che abbandonano il contatto.<br />
In realtà, i corpi reali non sono perfettamente elastici, con l’effetto <strong>di</strong> far <strong>di</strong>minuire i valori che le<br />
forze elastiche assumono, nell’intervallo in cui il corpo tende a riprendere la forma primitiva, rispetto ai<br />
valori che esse avevano, per il medesimo valore <strong>di</strong> deformazione, nell’intervallo in cui questa aumentava.<br />
La <strong>di</strong>stribuzione reale <strong>del</strong>le pressioni assume quin<strong>di</strong> l’andamento (b), rispetto a quello simmetrico (a)<br />
<strong>del</strong> caso <strong>di</strong> perfetta elasticità. La risultante Rn <strong>del</strong>le pressioni passa per un punto C1 spostato nel verso<br />
<strong>del</strong> moto <strong>di</strong> una quantità u legata dalla relazione u = fvr al coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento fv.<br />
È possibile a questo punto determinare la potenza perduta per rotolamento da prendere in considerazione<br />
nel teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica:<br />
Wr = −Rnuω = −fvRnv (8.41)<br />
essendo ω la velocità angolare <strong>del</strong>la ruota, e v la velocità <strong>di</strong> avanzamento <strong>del</strong> centro ruota.<br />
8-12
Figura 8.12: Schema <strong>di</strong> contatto ruota-strada: <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> carico<br />
Figura 8.13: Coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento.<br />
8-13
Figura 8.14: Schema <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong>la ruota strada.<br />
8.3.1 Misura <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento è in genere funzione <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> marcia (<strong>di</strong>agramma<br />
sperimentale), normalmente approssimato con l’espressione<br />
fv = f0 +Kv 2<br />
Qualora il campo <strong>di</strong> velocità lo permetta, viene ritenuto costante.<br />
Ruota strada<br />
(8.42)<br />
Al fine <strong>di</strong> rilevare sperimentalmente il coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento ad esempio <strong>di</strong> pneumatici,<br />
le più semplici macchine <strong>di</strong> prova sono quelle che utilizzano la cosiddetta “ruota strada”, ovvero una<br />
superficie cilindrica sulla quale la ruota viene fatta rotolare.<br />
Le con<strong>di</strong>zioni reali <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong> pneumatico sono interme<strong>di</strong>e tra i risultati ottenuti con i due<br />
tipi <strong>di</strong> macchina, e i risultati sono tanto più atten<strong>di</strong>bili quanto più è alto il rapporto tra i raggi <strong>del</strong>la<br />
ruota strada e <strong>del</strong> pneumatico.<br />
Per la misura <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> resistenza al rotolamento si può portare il complesso ruota-ruota<br />
strada a una velocità prestabilita per poi lasciare che il sistema proceda per inerzia <strong>di</strong>sinnestando i<br />
motori. Applicando il bilancio <strong>di</strong> potenze al sistema si ottiene, nota la curva caratteristica <strong>del</strong> momento<br />
resistente Ms(ωs) applicato alla ruota strada e trascurando il momento resistente applicato al cerchio<br />
con pneumatico, avremo<br />
−Ms(ωs)ωs −fvZr0ω = Js˙ωsωs +J ˙ωω (8.43)<br />
dove il pe<strong>di</strong>ce (·) s si riferisce alle grandezze <strong>del</strong>la ruota strada, r0 è il raggio <strong>di</strong> rotolamento sotto carico<br />
<strong>del</strong> pneumatico e Z è il carico verticale applicato zavorrando la ruota dotata <strong>di</strong> pneumatico.<br />
Ricordando per le ipotesi <strong>di</strong> rotolamento che<br />
otteniamo:<br />
da cui:<br />
rsωs = r0ω (8.44)<br />
−Ms(ωs) r0<br />
rs<br />
−Ms(ωs) r0<br />
rs<br />
ω −fvZr0ω = Js<br />
−fvZr0 =<br />
�<br />
Js<br />
� �2 r0<br />
rs<br />
� �2 r0<br />
rs<br />
˙ωω +J ˙ωω (8.45)<br />
+J<br />
�<br />
˙ω (8.46)<br />
8-14
Figura 8.15: Misura sperimentale <strong>del</strong>la resistenza al rotolamento <strong>di</strong> un veicolo stradale.<br />
ovvero:<br />
fv = −Ms(ωs)r0rs − � Jsr2 0 +Jr 2 �<br />
s ˙ω<br />
Zr0r 2 s<br />
(8.47)<br />
La curva caratteristica Ms(ωs) può essere rilevata sperimentalmente registrando un transitorio <strong>di</strong><br />
arresto <strong>del</strong>la sola ruota strada. Il metodo presenta <strong>del</strong>le <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> misura in quanto normalmente si<br />
registra la legge <strong>del</strong> moto ω(t), <strong>del</strong>la quale è necessario calcolare numericamente l’accelerazione angolare.<br />
Prove su strada<br />
In alternativa si effettuano prove su strada trainando un veicolo posto all’interno <strong>di</strong> un cassone per<br />
impe<strong>di</strong>re che su <strong>di</strong> esso si esercitino forze aero<strong>di</strong>namiche, come illustrato in figura 8.15.<br />
Un tirante <strong>di</strong>namometrico collega il cassone con il veicolo, e applicando il bilancio <strong>di</strong> potenze alla sola<br />
autovettura avremo, in con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime assoluto,<br />
Tv −<br />
4�<br />
fviRnir0iωi = 0 (8.48)<br />
i=1<br />
che, nelle ipotesi <strong>di</strong> egual coefficiente <strong>di</strong> attrito per le quattro ruote ed eguale raggio <strong>di</strong> rotolamento sotto<br />
carico, e ricordando che nelle ipotesi <strong>di</strong> rotolamento v = r0iωi porta a<br />
Tv −fvv<br />
4�<br />
Rni = 0 (8.49)<br />
i=1<br />
ma, nelle ipotesi <strong>di</strong> marcia in piano, detta M la massa <strong>del</strong> veicolo, l’equilibrio alla traslazione verticale<br />
porta a<br />
4�<br />
Rni = Mg (8.50)<br />
i=1<br />
e quin<strong>di</strong> la (8.49) <strong>di</strong>venta<br />
fv = T<br />
. (8.51)<br />
Mg<br />
8-15
8-16
Capitolo 9<br />
Dinamica <strong>del</strong>la macchina a un grado<br />
<strong>di</strong> libertà<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
9.1 Considerazioni generali<br />
In questo capitolo si esaminerà il funzionamento <strong>di</strong> una macchina sotto l’ipotesi <strong>di</strong> poter considerare tale<br />
sistema dotato <strong>di</strong> un solo grado <strong>di</strong> libertà. In generale, una macchina può essere pensata come composta<br />
da un motore, una trasmissione ed un utilizzatore, come mostrato dalla figura 9.1.<br />
Benché la sud<strong>di</strong>visione tra queste tre parti <strong>del</strong>la macchina possa risultare talvolta schematica o poco<br />
aderente all’effettivo funzionamento <strong>del</strong> sistema, è possibile in linea <strong>di</strong> massima affermare che:<br />
• il motore ha il compito <strong>di</strong> produrre potenza meccanica, utilizzando una fonte <strong>di</strong> energia <strong>di</strong> <strong>di</strong>versa<br />
natura (chimica, elettrica o altro);<br />
• l’utilizzatore impiega la potenza meccanica resa <strong>di</strong>sponibile dal motore per compiere uno scopo, che<br />
può essere <strong>di</strong> natura alquanto varia, ad esempio il sollevamento o la movimentazione <strong>di</strong> un carico,<br />
una lavorazione meccanica, la compressione <strong>di</strong> un fluido ecc.;<br />
• la trasmissione ha il compito <strong>di</strong> trasferire la potenza dal motore all’utilizzatore e, dal punto <strong>di</strong><br />
vista <strong>del</strong>la cinematica <strong>del</strong>la macchina, stabilisce un rapporto (detto rapporto <strong>di</strong> trasmissione, come<br />
illustrato nel paragrafo 9.1.3) tra la velocità <strong>del</strong> motore e quella <strong>del</strong>l’utilizzatore.<br />
L’ipotesi che la macchina sia un sistema dotato <strong>di</strong> un solo grado <strong>di</strong> libertà, corrisponde ad affermare<br />
che la posizione <strong>di</strong> tutti i punti <strong>del</strong>la macchina viene univocamente determinata dal valore <strong>di</strong> una sola<br />
coor<strong>di</strong>nata libera, che nel seguito sarà sempre rappresentata dalla rotazione <strong>del</strong>l’albero motore.<br />
Escludendo casi particolari in cui la macchina abbia più <strong>di</strong> una possibilità <strong>di</strong> movimento rigido (ad<br />
esempio macchine contenenti rotismi epicicloidali), questa ipotesi corrisponde a considerare trascurabili<br />
gli effetti <strong>di</strong> deformabilità degli organi (alberi, membri <strong>di</strong> sistemi articolati, cinghie ecc.) che compongono<br />
la macchina stessa.<br />
Motore Trasmissione Utilizzatore<br />
Figura 9.1: Schema <strong>del</strong>la macchina a un grado <strong>di</strong> libertà<br />
9-1
Per scrivere l’equazione <strong>di</strong>fferenziale che governa il moto <strong>del</strong>la macchina ad un grado <strong>di</strong> libertà è<br />
conveniente utilizzare il teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica<br />
Π = dEc<br />
dt<br />
nella forma detta <strong>di</strong> bilancio <strong>del</strong>le potenze, con<br />
Π = ˆ Wm + ˆ Wr + ˆ Wp<br />
Ec = Ecm +Ecr<br />
avendo assunto nulla l’energia cinetica associata alla trasmissione stessa in quanto la si idealizza in un<br />
componente privo <strong>di</strong> inerzia riducibile ad una rotazione, come illustrato nel seguito. Tale equazione<br />
assume la forma:<br />
ˆWm + ˆ Wr + ˆ Wp = dEc<br />
dt<br />
in cui il termine ˆ Wm rappresenta la potenza dovuta a tutte le forze ed i momenti, a meno <strong>di</strong> quelli<br />
d’inerzia, che si esercitano sul lato motore, ossia su tutte le parti <strong>del</strong>la macchina poste a monte <strong>del</strong>la<br />
trasmissione, il termine ˆ Wr tiene conto <strong>di</strong> tutte le forze e coppie agenti sull’utilizzatore (ossia a valle <strong>del</strong>la<br />
trasmissione), ed il termine ˆ Wp rappresenta le per<strong>di</strong>te che si realizzano nella trasmissione per effetto degli<br />
attriti e <strong>del</strong>le resistenze interne a questo organo.<br />
9.1.1 Espressione <strong>del</strong>la potenza motrice e <strong>del</strong>la potenza resistente<br />
La potenza motrice rappresenta il contributo al bilancio <strong>di</strong> potenze dovuto a tutte le forze ed in momenti<br />
che agiscono sul lato motore <strong>del</strong>la macchina, ossia su tutti gli organi posti a monte <strong>del</strong>la trasmissione.<br />
Nel caso più generale, in cui sul lato motore agiscano nfm forze ed nmm momenti, tale termine si può<br />
scrivere come:<br />
ˆWm =<br />
nfm �<br />
i=1<br />
�Fmi<br />
nmm �<br />
�vFmi +<br />
j=1<br />
�Mmj ×�ωmj<br />
in cui � Fmi rappresenta il valore <strong>del</strong>la i-esima forza agente sul lato motore, �vmi rappresenta la velocità <strong>del</strong><br />
punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza � Fmi e, analogamente, � Mmj rappresenta il valore <strong>del</strong> j-esimo momento<br />
applicato al lato motore e �ωmj la velocità angolare <strong>del</strong> corpo a cui viene applicato il momento.<br />
Si assume che la macchina sia caratterizzatada soli vincoli fissi, tali per cui le velocità�vmi e le velocità<br />
angolari �ωmj non <strong>di</strong>pendano esplicitamente dal tempo.<br />
Poichélamacchinapossiedeunsologrado<strong>di</strong>libertà,tuttelevelocitàevelocitàangolarichecompaiono<br />
nella (9.5) possono essere espresse, per mezzo <strong>di</strong> opportuni legami cinematici, in funzione <strong>di</strong> un unico<br />
parametro cinematico q. Nel seguito si assumerà che tale parametro sia la posizione angolare <strong>del</strong>l’albero<br />
motore, ϑm; la sua derivata ˙ ϑm, corrispondente alla derivata temporale <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera, ˙q, è la<br />
velocità angolare <strong>del</strong>l’albero motore, nel seguito spesso in<strong>di</strong>cata con ωm. I legami cinematici assumono<br />
la forma:<br />
�vFmi = � XFmi ωm<br />
�ωmi = � Θmi ωm<br />
in cui � Xmi e � Θmi sono gli jacobiani che definiscono il legame cinematico tra le velocità dei punti <strong>di</strong><br />
applicazione <strong>del</strong>le forze e la velocità angolare <strong>del</strong>l’albero motore; per l’ipotesi <strong>di</strong> vincoli fissi, <strong>di</strong>pendono<br />
al più dalla coor<strong>di</strong>nata libera q.<br />
Introducendo tali legami cinematici nella espressione (9.5) è possibile esprimere complessivamente la<br />
potenza motrice come prodotto <strong>del</strong>la velocità angolare ωm per un termine M∗ m che viene detto momento<br />
9-2<br />
(9.1)<br />
(9.2)<br />
(9.3)<br />
(9.4)<br />
(9.5)<br />
(9.6)
motore ridotto1 all’albero motore:<br />
⎛<br />
nfm �<br />
ˆWm = ⎝ �Fmi × � XFmi +<br />
i=1<br />
nmm �<br />
j=1<br />
⎞<br />
�Mmj × � Θmj<br />
⎠ωm = M ∗ mωm<br />
Il momento motore ridotto può essere interpretato come il valore <strong>di</strong> un momento applicato all’albero<br />
motore che fornisce una potenza motrice uguale in ogni istante alla potenza motrice prodotta<br />
complessivamente da tutte le forze e coppie che agiscono effettivamente sul lato motore.<br />
Nella (9.7) si osserva che l’espressione <strong>del</strong> momento motore ridotto <strong>di</strong>pende:<br />
• dalle forze e coppie fisicamente agenti sul lato motore; tali grandezze a loro volta possono assumere<br />
valori costanti (ad esempio nel caso <strong>di</strong> una forza gravitazionale), oppure <strong>di</strong>pendere dalla posizione<br />
e/o dalla velocità <strong>del</strong>l’albero motore (si veda ad esempio nel paragrafo 4.3 la forza sul pistone <strong>di</strong><br />
un motore alternativo dovuta alla pressione nella camera <strong>di</strong> combustione.<br />
• dagli jacobiani che legano il moto dei punti <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>le forze fisiche alla rotazione <strong>del</strong>l’albero<br />
motore; tali quantità sono costanti nel caso <strong>di</strong> legami cinematici lineari e <strong>di</strong>pendono invece<br />
dalla rotazione ϑm <strong>del</strong>l’albero motore se i legami cinematici sono non lineari.<br />
Di conseguenza, il momento motore ridotto <strong>di</strong>penderà, in generale, sia dalla coor<strong>di</strong>nata libera q, che<br />
rappresenta la posizione angolare <strong>del</strong>l’albero motore ϑm, sia dalla sua velocità angolare ωm:<br />
M ∗ m = M ∗ m(ϑm,ωm) (9.8)<br />
Se, come caso particolare, il momento motore ridotto non <strong>di</strong>pende dalla posizione angolare <strong>del</strong>l’albero<br />
ma solo dalla sua velocità angolare, la relazione M ∗ m = M ∗ m(ωm) viene detta caratteristica meccanica<br />
<strong>del</strong> motore, e curva caratteristica la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano Mm −ωm, come<br />
nell’esempio <strong>di</strong> figura 9.6.<br />
Se invece il momento motore <strong>di</strong>pende anche dalla posizione angolare <strong>del</strong>l’albero lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica<br />
<strong>del</strong>la macchina risulta più complesso, come sarà <strong>di</strong>scusso nel paragrafo 9.3. In alcune applicazioni è<br />
però possibile approssimare il momento motore nel seguente modo:<br />
M ∗ m(ϑm,ωm) ∼ = M ∗<br />
m = 1<br />
Θ<br />
� Θ<br />
0<br />
M ∗ m(ϑm,ωm)dϑm<br />
ove con Θ si è in<strong>di</strong>cata la rotazione corrispondente ad un periodo <strong>del</strong> moto2 , in modo da eliminarne<br />
la <strong>di</strong>pendenza dalla posizione angolare <strong>del</strong>l’albero: tale approssimazione è giustificata dal fatto che,<br />
se la macchina ruota ad una velocità pressoché costante, le variazioni che si producono nel momento<br />
motore rispetto al suo valore me<strong>di</strong>o sono assorbite dalle inerzie e dalle deformabilità dei suoi organi.<br />
Questa motivazione, necessariamente incompleta e qualitativa, potrà essere meglio precisata quando si<br />
affronteranno i problemi <strong>del</strong>l’isolamento <strong>del</strong>le vibrazioni e <strong>del</strong>le oscillazioni torsionali <strong>di</strong> una macchina.<br />
Per quanto riguarda l’espressione <strong>del</strong>la potenza resistente è possibile definire un momento resistente<br />
ridotto, sulla base <strong>di</strong> considerazioni analoghe a quelle presentate per la potenza motrice. Tale quantità<br />
rappresenta l’effetto complessivo <strong>di</strong> tutte le forze e coppie agenti sul lato utilizzatore, e consente <strong>di</strong><br />
scrivere la potenza resistente nella forma<br />
⎛<br />
nfr �<br />
ˆWr = ⎝ �Fri × � XFri +<br />
i=1<br />
nmr �<br />
j=1<br />
⎞<br />
�Mrj × � Θrj<br />
⎠ωr = M ∗ rωr<br />
(9.7)<br />
(9.9)<br />
(9.10)<br />
in cui le varie grandezze introdotte assumono significato analogo, per il lato utilizzatore, a quanto<br />
introdotto nella (9.5) e nella (9.6) per il lato motore.<br />
1Il momento ridotto può essere positivo o negativo; nel primo caso, il motore sta introducendo lavoro nel sistema, mentre<br />
nel secondo caso lo sta estraendo.<br />
2Ad esempio, per un motore alternativo a combustione interna monocilindrico a quattro tempi, ad un periodo corrispondono<br />
due giri <strong>del</strong>l’albero motore, quin<strong>di</strong> Θ = 4π; per un analogo motore a 6 cilindri in linea, in caso <strong>di</strong> perfetta simmetria<br />
e bilanciamento <strong>del</strong>le parti l’angolo si riduce a Θ = 2/3π.<br />
9-3
9.1.2 Energia cinetica: momento d’inerzia ridotto <strong>di</strong> motore e utilizzatore<br />
Per quanto riguarda l’energia cinetica <strong>del</strong> lato motore, si consideri il caso più generale in cui questo sia<br />
composto da ncm corpi, e siano mmi e Jmi rispettivamente il valore <strong>del</strong>la massa e <strong>del</strong> momento <strong>di</strong> inerzia<br />
<strong>del</strong>l’i-esimo corpo. L’energia cinetica complessiva <strong>del</strong> lato motore sarà fornita, in base al teorema <strong>di</strong><br />
König, da:<br />
Ecm =<br />
ncm �<br />
i=1<br />
� �<br />
1 1<br />
mmi�vGim ×�vGim + Jmi�ωim ×�ωim<br />
2 2<br />
(9.11)<br />
Anche in questo caso è possibile esprimere attraverso opportuni legami cinematici la relazione che<br />
intercorre tra le velocità dei baricentri dei <strong>di</strong>versi corpi, le velocità angolari <strong>di</strong> questi e la velocità angolare<br />
ωm <strong>del</strong>l’albero motore<br />
�vGmi = � XGmi ωm<br />
�ωmi = � Θmi ωm<br />
(9.12)<br />
Introducendo tali relazioni nella espressione <strong>del</strong>l’energia cinetica <strong>del</strong> lato motore si ottiene è possibile<br />
definire il momento d’inerzia ridotto <strong>del</strong> motore ridotto all’albero motore:<br />
Ecm<br />
ncm<br />
1 ��<br />
=<br />
2<br />
i=1<br />
mmi<br />
�XGmi × � XGmi +Jmi<br />
�Θmi × � �<br />
Θmi ω 2 m = 1<br />
2 J∗ mω 2 m<br />
(9.13)<br />
in questa espressione il momento d’inerzia ridotto J ∗ m può essere interpretato come il momento <strong>di</strong> inerzia<br />
<strong>di</strong> un volano posto sull’albero motore, la cui energia cinetica sia uguale all’energia cinetica complessiva<br />
<strong>di</strong> tutte le inerzie presenti sul lato motore <strong>del</strong>la macchina.<br />
Seilegamicinematiciespressidalla(9.12)sonononlineari, glijacobianiXGmi eΘmi , e<strong>di</strong>conseguenza<br />
il momento <strong>di</strong> inerzia ridotto J∗ m, <strong>di</strong>pendono dalla posizione angolare <strong>del</strong>l’albero motore ϑm:<br />
J ∗ m = J ∗ m(ϑm) (9.14)<br />
se invece i legami cinematici sono lineari gli jacobiani e quin<strong>di</strong> anche il momento <strong>di</strong> inerzia ridotto sono<br />
costanti.<br />
Per quanto riguarda l’energia cinetica <strong>del</strong>l’utilizzatore, si può pervenire ad una scrittura <strong>del</strong>l’energia<br />
cinetica analoga a quella ottenuta per il lato motore, che consente <strong>di</strong> definire un momento <strong>di</strong> inerzia<br />
ridotto <strong>del</strong>l’utilizzatore J ∗ r:<br />
Ecr<br />
ncr<br />
1 ��<br />
=<br />
2<br />
i=1<br />
mri<br />
�XGri × � XGri +Jri<br />
�Θri × � �<br />
Θri ω 2 r = 1<br />
2 J∗ rω 2 r<br />
(9.15)<br />
In linea <strong>di</strong> principio, è possibile definire, in analogia, anche l’energia cinetica associata alla trasmissione;<br />
tuttavia nel mo<strong>del</strong>lo ideale considerato in questa trattazione si assume che l’energia cinetica <strong>del</strong>la<br />
trasmissione sia nulla, ovvero che sia nulla l’inerzia ridotta <strong>del</strong>la trasmissione stessa.<br />
9.1.3 La trasmissione: espressione <strong>del</strong>la potenza perduta<br />
La trasmissione <strong>di</strong> una macchina può essere realizzata per mezzo <strong>di</strong> <strong>di</strong>spositivi quali ingranaggi, alberi,<br />
organi flessibili (cinghie trapezoidali o dentate) catene o altri <strong>di</strong>spositivi. Dal punto <strong>di</strong> vista <strong>del</strong>la cinematica<br />
<strong>del</strong>la macchina, essa stabilisce una relazione tra il moto <strong>del</strong> lato motore e <strong>del</strong>l’utilizzatore. Tale<br />
legame è espresso dal rapporto <strong>di</strong> trasmissione τ definito come:<br />
τ = ωr<br />
ωm<br />
(9.16)<br />
nel seguito si ipotizzerà che il valore <strong>del</strong> rapporto <strong>di</strong> trasmissione sia costante, benché esistano esempi <strong>di</strong><br />
trasmissioni per le quali il valore <strong>di</strong> questo parametro varia con la posizione angolare <strong>del</strong>l’albero motore 3 .<br />
3 Ad esempio il giunto <strong>di</strong> Cardano.<br />
9-4
Per quanto riguarda invece il contributo <strong>del</strong>la trasmissione al bilancio <strong>di</strong> potenze <strong>del</strong>la macchina, la<br />
potenza <strong>di</strong>ssipata dalla trasmissione viene <strong>di</strong> norma espressa come una frazione <strong>del</strong>la potenza entrante<br />
nella trasmissione stessa, attraverso il ren<strong>di</strong>mento η:<br />
η = − Wuscente<br />
, (9.17)<br />
Wentrante<br />
ove il segno negativo è necessario dal momento che le due potenze considerate hanno generalmente segno<br />
opposto 4 . Al fine <strong>di</strong> descrivere il flusso <strong>del</strong>la potenza attraverso la trasmissione, si in<strong>di</strong>chino con Wm e<br />
Wr le potenze agli alberi <strong>del</strong>la trasmissione rispettivamente lato motore e lato utilizzatore, definite come<br />
Wm = ˆ Wm −J ∗ m˙ωmωm<br />
Wr = ˆ Wr −J ∗ r ˙ωrωr<br />
(9.18)<br />
(9.19)<br />
e con Wp la potenza <strong>di</strong>ssipata all’interno <strong>del</strong>la trasmissione che, per le ipotesi fatte in precedenza<br />
sull’assenza <strong>di</strong> inerzia nella trasmissione, risulta<br />
Wp = ˆ Wp. (9.20)<br />
Per tutti e tre questi termini si adotterà la convenzione <strong>di</strong> considerare positivi i contributi <strong>di</strong> potenza<br />
entranti nella trasmissione, come mostrato in figura 9.2.<br />
Wm<br />
Wp<br />
Trasmissione Wr<br />
Figura 9.2: Flussi <strong>di</strong> potenza attraverso la trasmissione<br />
Nel caso in cui sia Wm > 0 e Wr < 0 il moto è definito <strong>di</strong>retto ed il rapporto tra le due potenze Wm<br />
e Wr nella forma<br />
ηd = − Wr<br />
Wm<br />
(9.21)<br />
è detto ren<strong>di</strong>mento (<strong>del</strong>la trasmissione) nel moto <strong>di</strong>retto, Nel caso in cui sia Wr > 0 e Wm < 0, il moto<br />
è detto retrogrado (o inverso) ed il rapporto tra le due potenze nella forma<br />
ηr = − Wm<br />
Wr<br />
(9.22)<br />
è detto ren<strong>di</strong>mento nel moto retrogrado.<br />
Per rapporti <strong>di</strong> trasmissione τ = ωr/ωm che si <strong>di</strong>scostano via via dall’unità (τ < 1/6 e τ > 6) i due<br />
ren<strong>di</strong>menti <strong>di</strong>vengono progressivamente <strong>di</strong>versi fra loro. Per τ = ωr/ωm ≪ 1 (motore veloce e utilizzatore<br />
lento), come spesso accade nelle applicazioni, in cui la trasmissione determina una riduzione <strong>di</strong> velocità<br />
tra il lato motore ed il lato utilizzatore, è ηd > ηr.<br />
Al <strong>di</strong>minuire <strong>di</strong> ηd (ηd < 0.4 ÷ 0.5) può inoltre verificarsi il caso ηr < 0, nel qual caso è necessario<br />
avere anche Wm > 0 (rispetto al caso <strong>di</strong> moto retrogrado già detto) per far funzionare la macchina in<br />
cui la trasmissione è inserita. In tal caso la trasmissione si definisce“irreversibile”e la potenza Wm+Wr<br />
viene tutta <strong>di</strong>ssipata. È privo <strong>di</strong> significato fisico il caso in cui entrambe le potenze Wm e Wr siano<br />
negative.<br />
4 Il caso particolare in cui hanno entrambe segno positivo viene considerato a parte.<br />
9-5
Espressione <strong>del</strong>la potenza perduta<br />
Effettuando un bilancio <strong>di</strong> potenze parziale <strong>del</strong>la trasmissione, e facendo riferimento alle convenzioni<br />
in<strong>di</strong>cate in figura 9.2, si ottiene l’equazione<br />
Wm +Wr +Wp = 0 (9.23)<br />
al fine <strong>di</strong> ottenere l’espressione <strong>del</strong>la potenza perduta, conviene <strong>di</strong>stinguere le <strong>di</strong>verse possibili con<strong>di</strong>zioni<br />
<strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong>la trasmissione.<br />
Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto. Inserendo nel bilancio <strong>di</strong> potenze <strong>del</strong>la trasmissione la definizione <strong>del</strong><br />
ren<strong>di</strong>mento in moto <strong>di</strong>retto fornita in precedenza si ottiene:<br />
⎧<br />
⎪⎨ −(1−ηd)Wm � �<br />
Wp = −Wm −Wr = 1<br />
(9.24)<br />
⎪⎩ −1 Wr<br />
ηd<br />
in cui le due espressioni riportate per la potenza perduta Wp sono equivalenti in quanto danno luogo allo<br />
stesso valore. Si osservi che, in conseguenza <strong>del</strong> fatto che 0 < ηd < 1 la potenza <strong>di</strong>ssipata risulta sempre<br />
minore <strong>di</strong> zero, il che è in accordo con il fatto che all’interno <strong>del</strong>la trasmissione si verifica sempre una<br />
per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> energia.<br />
Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto retrogrado. In questo caso, ricordando la definizione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento in moto<br />
retrogrado, ed escludendo per il momento il caso <strong>di</strong> trasmissione irreversibile, si ha:<br />
⎧<br />
⎪⎨ −(1−ηr)Wr � �<br />
Wp = −Wm −Wr = 1<br />
(9.25)<br />
⎪⎩ −1 Wm<br />
ηr<br />
in questo caso si ha 0 < ηr < 1 e <strong>di</strong> conseguenza la potenza perduta risulta negativa.<br />
Caso <strong>di</strong> trasmissione irreversibile. In questo caso, in<strong>di</strong>cando con η ∗ r il ren<strong>di</strong>mento in moto retro-<br />
grado per sottolineare il fatto che esso assume un valore negativo, si ottiene:<br />
⎧<br />
⎪⎨ −(1−η<br />
Wp = −Wm −Wr =<br />
⎪⎩<br />
∗ � �r)Wr<br />
1<br />
−1 Wm<br />
η ∗ r<br />
(9.26)<br />
in cui, osservando che questa volta η ∗ r < 0, si ha che la potenza perduta ha segno negativo e risulta in<br />
modulo maggiore sia <strong>del</strong>la potenza lato motore Wm, sia <strong>del</strong>la potenza lato utilizzatore Wr.<br />
Determinazione <strong>del</strong> flusso <strong>di</strong> potenza attraverso la trasmissione<br />
Nello stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> una macchina, al fine <strong>di</strong> valutare correttamente la potenza perduta nella trasmissione,<br />
occorre determinare il flusso <strong>di</strong> potenza attraverso la trasmissione, ossia determinare se questa<br />
funzioni in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto o retrogrado.<br />
Si consideri una trasmissione per la quale sia:<br />
ηd > ηr > 0 (9.27)<br />
ossia per la quale sia esclusa la possibilità <strong>di</strong> arresto spontaneo.<br />
Nel caso in cui le due potenze Wm e Wr <strong>del</strong>le forze agenti rispettivamente sul lato motore e sul lato<br />
utilizzatore abbiano segno opposto, la determinazione <strong>del</strong> flusso <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong>scende imme<strong>di</strong>atamente<br />
dal segno <strong>di</strong> questi termini, secondo la tabella 9.1. Invece il caso in cui entrambi i termini Wm e Wr<br />
risultino positivi, il moto può essere <strong>di</strong>retto oppure retrogrado in funzione <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento<br />
<strong>del</strong>la macchina. Nel seguito <strong>di</strong> questo paragrafo si chiarirà in che modo sia possibile sciogliere<br />
9-6
Lato motore Lato utilizzatore<br />
Wm > 0 Wr < 0 moto <strong>di</strong>retto<br />
Wm < 0 Wr > 0 moto retrogrado<br />
Wm > 0 Wr > 0 caso indeterminato<br />
Tabella 9.1: Riassunto <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto e retrogrado <strong>del</strong>la trasmissione<br />
l’indeterminazione e decidere se il moto sia <strong>di</strong>retto o retrogrado. A tale fine si ipotizzerà per semplicità<br />
che i momenti <strong>di</strong> inerzia ridotti <strong>del</strong> lato motore e <strong>del</strong> lato utilizzatore J ∗ m e J ∗ r siano costanti, e si <strong>di</strong>stingueranno<br />
due casi tipici che si verificano nello stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>la macchina: nel primo caso<br />
si assumerà <strong>di</strong> conoscere il valore <strong>del</strong>la accelerazione <strong>del</strong>la macchina nella con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento<br />
considerata. Nel secondo caso si considererà invece incognita l’accelerazione <strong>del</strong>la macchina.<br />
Caso 1 - accelerazione nota. In questo caso basta valutare la più comoda <strong>del</strong>le espressioni:<br />
Wm = ˆ Wm −J ∗ m˙ωmωm<br />
Wr = ˆ Wr −J ∗ r ˙ωrωr<br />
(9.28)<br />
che corrispondono rispettivamente alla scrittura <strong>di</strong> un bilancio <strong>di</strong> potenze parziale <strong>del</strong> solo lato motore o<br />
<strong>del</strong> solo lato utilizzatore. Avremo necessariamente (per l’ipotesi <strong>di</strong> trasmissione reversibile) che una <strong>del</strong>le<br />
due potenze Wm e Wr sarà positiva e l’altra negativa, e sarà <strong>di</strong> conseguenza possibile determinare se la<br />
macchina funziona in moto <strong>di</strong>retto o retrogrado e quin<strong>di</strong> utilizzare l’espressione corretta <strong>del</strong>la potenza<br />
perduta Wp secondo quanto in<strong>di</strong>cato in precedenza.<br />
Caso 2 - accelerazione incognita. in questo caso occorre ipotizzare un flusso <strong>di</strong> potenza (moto<br />
<strong>di</strong>retto o retrogrado), ricavare l’accelerazione e verificare l’ipotesi fatta.<br />
Ipotizzando ad esempio moto <strong>di</strong>retto, avendo ridotto tutte le azioni agenti sui due lati motore ed<br />
utilizzatore ai momenti M ∗ m e M ∗ r e tutte le inerzie ai momenti ridotti <strong>di</strong> inerzia J ∗ m e J ∗ r, il bilancio <strong>di</strong><br />
potenze <strong>di</strong>viene:<br />
M ∗ mωm +τM ∗ rωm −(1−ηd)(M ∗ m −J ∗ m˙ωm)ωm = J ∗ m˙ωmωm +τ 2 J ∗ r ˙ωmωm<br />
che fornisce il valore <strong>del</strong>la accelerazione angolare <strong>del</strong>l’albero motore:<br />
˙ωm = ηdM ∗ m +τM ∗ r<br />
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r<br />
(9.29)<br />
(9.30)<br />
in cui il valore <strong>del</strong>la accelerazione angolare risulta sicuramente positivo in quanto sia il momento motore<br />
ridotto sia il momento resistente ridotto sono positivi. Inserendo tale valore nella espressione <strong>del</strong>la<br />
potenza Wm entrante nella trasmissione dal lato motore è possibile verificare se questa risulta maggiore<br />
<strong>di</strong> zero, e quin<strong>di</strong> se il moto risulta effettivamente <strong>di</strong>retto, come precedentemente ipotizzato.<br />
Sostituendo nella con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto<br />
M ∗ m −J ∗ m˙ωm > 0 (9.31)<br />
l’espressione <strong>del</strong>la accelerazione angolare <strong>del</strong> motore (nell’ipotesi <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto), si ottiene una con<strong>di</strong>zione<br />
necessaria e sufficiente affinché la macchina funzioni in moto <strong>di</strong>retto:<br />
ed essendo:<br />
si ottiene:<br />
M ∗ m −J ∗ ηdM<br />
m<br />
∗ m +τM ∗ r<br />
ηdJ∗ m +τ 2J∗ r<br />
> 0 (9.32)<br />
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r > 0 (9.33)<br />
ηdJ ∗ mM ∗ m +τ 2 J ∗ rM ∗ m −ηdJ ∗ mM ∗ m −τJ ∗ mM ∗ r > 0 (9.34)<br />
9-7
Figura 9.3: Macchina costituita da due corpi in moto relativo lungo un piano inclinato con attrito.<br />
da cui, semplificando e rior<strong>di</strong>nando i termini:<br />
M ∗ m<br />
J ∗ m<br />
> τM∗ r<br />
τ 2 J ∗ r<br />
(9.35)<br />
ossia con<strong>di</strong>zione per avere moto <strong>di</strong>retto è che il rapporto tra la coppia <strong>del</strong>l’utilizzatore ridotta all’albero<br />
motore ed il momento d’inerzia <strong>del</strong>l’utilizzatore ridotto all’albero motore stesso risulti minore <strong>del</strong><br />
corrispondente rapporto relativo alle quantità <strong>di</strong>rettamente agenti sul lato motore.<br />
In definitiva è quin<strong>di</strong> possibile, anche nel caso <strong>di</strong> accelerazione incognita, determinare a priori il flusso<br />
<strong>di</strong> potenza nella trasmissione.<br />
9.1.4 Esempio applicativo: piani inclinati con attrito<br />
Si consideri la semplice macchina illustrata in figura 9.3, consistente in un corpo che scorre orizzontalmente<br />
su un piano liscio, sul quale scorre un altro corpo lungo un piano inclinato <strong>di</strong> un angolo α, la<br />
cui superficie sia caratterizzata da un coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico fd relativo allo strisciamento tra<br />
i due corpi. Il secondo corpo, a sua volta, sia vincolato a scorrere verticalmente su un piano liscio. La<br />
cinematica mostra che lo spostamento <strong>del</strong> secondo corpo è<br />
xr = xmtanα (9.36)<br />
quin<strong>di</strong> tanα è il rapporto <strong>di</strong> trasmissione τ.<br />
Moto <strong>di</strong>retto<br />
Si consideri il caso in cui il primo corpo si muova nel verso positivo <strong>di</strong> xm a velocità costante, quin<strong>di</strong> in<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime. La potenza motrice è<br />
Πm = Fm˙xm<br />
La componente tangenziale <strong>del</strong>la reazione vincolare è data da<br />
RT = fdRN<br />
(9.37)<br />
(9.38)<br />
quin<strong>di</strong>, dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione orizzontale <strong>del</strong> primo corpo si<br />
ottiene<br />
RN = Fm<br />
1<br />
(sinα+fdcosα)<br />
9-8<br />
(9.39)
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione verticale <strong>del</strong> secondo corpo si ottiene<br />
invece<br />
(cosα−fdsinα)<br />
Fr = −RN (cosα−fdsinα) = −Fm<br />
(sinα+fdcosα)<br />
Ne risulta una potenza resistente<br />
(9.40)<br />
(cosα−fdsinα)<br />
Πr = Fr˙xr = −Fm˙xm tanα (9.41)<br />
(sinα+fdcosα)<br />
Il ren<strong>di</strong>mento è dato da<br />
ηd = − Πr<br />
Πm<br />
= (1−fdtanα)<br />
(1+fd/tanα)<br />
ed è unitario in assenza <strong>di</strong> attrito, mentre decresce al crescere <strong>di</strong> fd e <strong>di</strong> α, fino ad annullarsi per<br />
tanα = 1<br />
fd<br />
Moto retrogrado<br />
(9.42)<br />
(9.43)<br />
Si consideri ora il caso in cui il secondo corpo si muova verso il basso, ovvero in <strong>di</strong>rezione opposta al<br />
verso positivo <strong>di</strong> xr, sempre a velocità costante. La potenza associata alla forza Fr è sempre data da<br />
Πr = Fr˙xr = Fr˙xmtanα (9.44)<br />
ma ora sia la forza che la velocità sono negative, in quanto la forza Fr svolge il ruolo <strong>di</strong> forza motrice.<br />
Dal momento che il moto ha cambiato verso, si inverte anche il verso <strong>del</strong>la componente tangenziale <strong>del</strong>la<br />
reazione vincolare; quin<strong>di</strong> ora<br />
RT = −fdRN<br />
(9.45)<br />
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione verticale <strong>del</strong> secondo corpo si ottiene<br />
ora<br />
1<br />
RN = −Fr<br />
(cosα+fdsinα)<br />
(9.46)<br />
Dall’equazione che esprime l’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione orizzontale <strong>del</strong> primo corpo si ottiene<br />
invece<br />
(sinα−fdcosα)<br />
Fm = RN (sinα−fdcosα) = −Fr<br />
(cosα+fdsinα)<br />
Ne risulta una potenza<br />
(sinα−fdcosα)<br />
Πm = Fm˙xm = −Fr˙xm<br />
(cosα+fdsinα)<br />
Il ren<strong>di</strong>mento è ora dato da<br />
ηr = − Πm<br />
Πr<br />
= (1−fd/tanα)<br />
(1+fdtanα)<br />
(9.47)<br />
(9.48)<br />
(9.49)<br />
Anche in questo caso il ren<strong>di</strong>mento è unitario in assenza <strong>di</strong> attrito, e decresce al crescere <strong>di</strong> fd e <strong>di</strong> α,<br />
fino ad annullarsi; questa volta, per<br />
tanα = fd<br />
9-9<br />
(9.50)
È evidente come i due ren<strong>di</strong>menti, in presenza <strong>di</strong> attrito, siano <strong>di</strong>versi. Si noti che, per α = π/4, ossia<br />
per tanα = 1, il rapporto <strong>di</strong> trasmissione è unitario; in tale circostanza, le espressioni dei due ren<strong>di</strong>menti<br />
coincidono, e si ha<br />
ηd| α=π/4 = ηr| α=π/4 = (1−fd)<br />
(1+fd)<br />
(9.51)<br />
Il meccanismo per cui si ha una per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> potenza nelle trasmissioni è spesso associato all’attrito legato<br />
allo strisciamento tra parti meccaniche. Questo semplice mo<strong>del</strong>lo è in grado <strong>di</strong> illustrare in modo efficace<br />
come il ren<strong>di</strong>mento possa non <strong>di</strong>pendere significativamente dalla velocità, e come i ren<strong>di</strong>menti in caso <strong>di</strong><br />
moto <strong>di</strong>retto o retrogrado possano <strong>di</strong>fferire tanto più quanto più il rapporto <strong>di</strong> trasmissione è <strong>di</strong>verso da<br />
1.<br />
9.1.5 Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong>la macchina ad un grado <strong>di</strong> libertà<br />
In definitiva, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la macchina ad un grado <strong>di</strong> libertà può essere condotto sulla base <strong>del</strong>lo schema<br />
rappresentato in figura 9.4, in cui l’insieme <strong>di</strong> tutte le forze agenti sul lato motore viene ridotto ad un<br />
momento motore M ∗ m agente sull’albero motore, l’insieme <strong>del</strong>le forze agenti sull’utilizzatore viene ridotto<br />
ad un unico momento resistente M ∗ r agente sull’albero <strong>del</strong>l’utilizzatore, e tutte le inerzie vengono ridotte<br />
ai due momenti <strong>di</strong> inerzia ridotti <strong>del</strong> motore e <strong>del</strong>l’utilizzatore J ∗ m e J ∗ r rispettivamente.<br />
M ∗ m<br />
J ∗ m<br />
Lato Motore<br />
Trasmissione<br />
Lato Utilizzatore<br />
J ∗ r M ∗ r<br />
Figura 9.4: Schema <strong>del</strong>la macchina ad un grado <strong>di</strong> libertà<br />
Le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento <strong>di</strong> questo sistema possono essere riassunte in tre categorie dette:<br />
• regime assoluto (spesso in<strong>di</strong>cato semplicemente come regime): si tratta <strong>di</strong> una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
funzionamento in cui l’energia cinetica <strong>del</strong>la macchina si mantiene costante nel tempo;<br />
• moto vario (spesso in<strong>di</strong>cato come transitorio): è una qualsiasi con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto in cui l’energia<br />
cinetica <strong>del</strong>la macchina subisce una variazione nel tempo; esempi tipici <strong>di</strong> moto vario sono la fase <strong>di</strong><br />
avviamento, durante la quale la macchina si porta dalla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> quiete ad una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
moto a regime, e <strong>di</strong> arresto, durante la quale avviene la transizione opposta dal regime alla quiete;<br />
• regime perio<strong>di</strong>co che può essere vista come una particolare con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto vario, in cui l’energia<br />
cinetica <strong>del</strong>a macchina, pur variando nel tempo, assume un andamento perio<strong>di</strong>co, ossia ritorna ad<br />
assumere lo stesso valore ad intervalli regolari <strong>di</strong> tempo (in genere corrispondenti ad un multiplo o<br />
sottomultiplo intero <strong>del</strong> periodo <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong>la macchina);<br />
Affinché una macchina possa funzionare in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime assoluto, è necessario che si verifichino<br />
le seguenti due con<strong>di</strong>zioni:<br />
• il momento motore ridotto ed il momento resistente ridotto non devono <strong>di</strong>pendere dalla posizione<br />
angolare dei relativi alberi, ma unicamente dalle velocità angolari <strong>di</strong> questi;<br />
• i momenti <strong>di</strong> inerzia ridotti <strong>del</strong> motore e <strong>del</strong>l’utilizzatore devono essere costanti.<br />
Nel seguito si <strong>di</strong>rà macchina a regime assoluto una macchina per la quale si realizzano queste due<br />
con<strong>di</strong>zioni. Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> questo tipo <strong>di</strong> macchina (sia in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime, sia in transitorio)<br />
sarà oggetto <strong>del</strong> paragrafo 9.2.<br />
9-10
Nel paragrafo 9.3 si fornirà invece un cenno relativo al funzionamento <strong>di</strong> una macchina per la quale<br />
le con<strong>di</strong>zioni (1) e (2) precedentemente citate non si verificano. Si mostrerà che per una macchina <strong>di</strong><br />
questo tipo non è possibile il funzionamento in regime assoluto, ma possono sussistere invece con<strong>di</strong>zioni<br />
<strong>di</strong> funzionamento <strong>di</strong> regime perio<strong>di</strong>co. Per questo motivo, una macchina <strong>di</strong> questo tipo verrà detta<br />
macchina a regime perio<strong>di</strong>co.<br />
9.2 La macchina a regime assoluto<br />
9.2.1 Equazione <strong>di</strong> moto<br />
Al fine <strong>di</strong> scrivere l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong>la macchina ad un grado <strong>di</strong> libertà, si applica l’equazione<br />
<strong>di</strong> bilancio <strong>del</strong>le potenze (9.4) utilizzando le espressioni <strong>del</strong>la potenza motrice, resistente, perduta e<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica ricavate in precedenza.<br />
Per quanto riguarda la derivata <strong>del</strong>l’energia cinetica, si può osservare che, se il momento <strong>di</strong> inerzia ridotto<strong>del</strong>motoree<strong>del</strong>l’utilizzatoresonoin<strong>di</strong>pendentidallarotazionedeirispettivialberi,<br />
alloralederivate<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica ripettivamente <strong>del</strong> motore e <strong>del</strong>l’utilizzatore assumono le seguenti espressioni:<br />
dEcm<br />
dt = J∗ mωm˙ωm<br />
dEcr<br />
dt = J∗ rωr ˙ωr<br />
Inserendo tale risultato nella espressione <strong>del</strong>la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto si ottiene:<br />
(9.52)<br />
Wm > 0 se: M ∗ m −J ∗ m˙ωm > 0 (9.53)<br />
Inoltre le espressioni <strong>del</strong>la potenza perduta in moto <strong>di</strong>retto e retrogrado <strong>di</strong>ventano:<br />
⎧<br />
⎨ Wp = −(1−ηd)(M ∗ m −J ∗ m˙ωm)ωm (moto <strong>di</strong>retto)<br />
⎩<br />
Wp = −(1−ηr)(M ∗ r −J ∗ r ˙ωr)ωr (moto retrogrado)<br />
(9.54)<br />
Per effetto <strong>del</strong> termine <strong>di</strong> potenza <strong>di</strong>ssipata nella trasmissione, l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong>la macchina, ossia<br />
l’equazione <strong>di</strong>fferenziale che lega l’accelerazione angolare <strong>del</strong>l’albero motore alle forze agenti assume una<br />
<strong>di</strong>versa espressione in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto e retrogrado.<br />
Siconsideriinnanzituttolacon<strong>di</strong>zione<strong>di</strong>moto<strong>di</strong>retto; inserendonell’equazione<strong>di</strong>bilancio<strong>del</strong>lepotenze<br />
(9.4) le espressioni (9.7), (9.10), (9.54), (9.52) <strong>del</strong>la potenza motrice, resistente, perduta e <strong>del</strong>l’energia<br />
cinetica si ottiene:<br />
M ∗ mωm +M ∗ rωr −(1−ηd)(M ∗ m −J ∗ m˙ωm)ωm = J ∗ mωm˙ωm +J ∗ rωr ˙ωr<br />
(9.55)<br />
Inserendo in tale equazione l’espressione <strong>del</strong> legame cinematico (9.16) tra la velocità angolare <strong>del</strong>l’albero<br />
motore e <strong>del</strong>l’albero <strong>del</strong>l’utilizzatore e rior<strong>di</strong>nando i termini si ottiene:<br />
(ηdM ∗ m +τM ∗ r)ωm = (ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r)˙ωmωm<br />
(9.56)<br />
ed, esplicitando in funzione <strong>del</strong>la accelerazione angolare <strong>del</strong>l’albero motore, si ottiene l’equazione <strong>di</strong> moto<br />
<strong>del</strong>la macchina per con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto:<br />
˙ωm = ηdM ∗ m +τM ∗ r<br />
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r<br />
(9.57)<br />
nel caso in cui (come ipotizzato in questo paragrafo) il momento motore ed il momento resistente <strong>di</strong>pendano<br />
solo dalle velocità angolari dei rispettivi alberi e non dalla posizione angolare <strong>di</strong> questi, si ottiene<br />
una equazione <strong>di</strong>fferenziale <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne, che consente <strong>di</strong> determinare la legge <strong>di</strong> moto <strong>del</strong>l’albero<br />
motore, ossia l’andamento nel tempo <strong>del</strong>la velocità angolare ωm <strong>del</strong>l’albero motore.<br />
9-11
Nel caso in cui invece la macchina funzioni in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto retrogrado, me<strong>di</strong>ante passaggi<br />
analoghi si ottiene:<br />
˙ωm = M∗ m +ηrτM ∗ r<br />
J ∗ m +ηrτ 2 J ∗ r<br />
(9.58)<br />
Unendo le due espressioni <strong>del</strong>la accelerazione <strong>del</strong>l’albero motore, valide rispettivamente nel caso <strong>di</strong><br />
moto <strong>di</strong>retto e retrogrado, si ottiene l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong>la macchina in regime assoluto, che esprime,<br />
in termini <strong>di</strong> equazione <strong>di</strong>fferenziale <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne, la relazione tra le forze agenti nella macchina ed<br />
il moto <strong>di</strong> questa:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
˙ωm =<br />
⎪⎩<br />
ηdM ∗ m(ωm)+τM ∗ r(ωm)<br />
ηdJ ∗ m +τ 2 J ∗ r<br />
M ∗ m(ωm)+ηrτM ∗ r(ωm)<br />
J ∗ m +ηrτ 2 J ∗ r<br />
per M ∗ m −J ∗ m˙ωm > 0<br />
per M ∗ r −J ∗ r ˙ωr < 0<br />
9.2.2 Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> funzionamento in regime assoluto<br />
(9.59)<br />
Lecon<strong>di</strong>zioni<strong>di</strong>funzionamentoinregimeassoluto<strong>del</strong>lamacchinasiottengonoimponendonellaequazione<br />
<strong>di</strong> bilancio <strong>del</strong>le potenze la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime:<br />
dEc<br />
dt<br />
= 0 (9.60)<br />
in tal modo si ottiene l’equazione:<br />
⎧<br />
⎨ ηdM∗ m(ωm)+τM ∗ r(ωm) = 0 per M∗ m > 0<br />
⎩<br />
M ∗ m(ωm)+ηrτM ∗ r(ωm) = 0 per M ∗ m < 0<br />
(9.61)<br />
in cui la prima equazione si riferisce a con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto, e la seconda a con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> moto<br />
retrogrado. Si osservi che a regime, venendo a mancare il contributo dei termini inerziali, la con<strong>di</strong>zione<br />
<strong>di</strong> moto <strong>di</strong>retto/retrogrado viene determinata esclusivamente dal segno <strong>del</strong> momento ridotto <strong>del</strong> motore<br />
o <strong>del</strong>l’utilizzatore (che devono essere necessariamente <strong>di</strong> segno opposto, per consentire la conservazione<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica).<br />
La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime (9.61) rappresenta una equazione non lineare nella incognita ωm, che può<br />
essere risolta con tecniche numeriche, ad esempio attraverso la minimizzazione <strong>di</strong> una opportuna funzione<br />
residuo, come visto in precedenza per le equazioni <strong>di</strong> chiusura nel metodo dei numeri complessi. Trattandosi<br />
<strong>di</strong> una equazione non lineare, non è possibile garantire a priori l’unicità <strong>del</strong>la soluzione: si potrà<br />
perciò avere un numero <strong>di</strong>verso <strong>di</strong> possibili con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime in funzione <strong>del</strong>la particolare macchina<br />
considerata, e quin<strong>di</strong> <strong>del</strong>le espressioni dei momenti motore e resistente ridotti.<br />
9.2.3 Esempio applicativo: moto <strong>di</strong> un impianto <strong>di</strong> sollevamento carichi<br />
In figura 9.5 si mostra un impianto <strong>di</strong> sollevamento carichi, composto da un motore asincrono trifase,<br />
collegato attraverso una trasmissione formata da una coppia <strong>di</strong> ingranaggi <strong>del</strong> tipo ruota elicoidale-vite<br />
senza fine 5 ad una puleggia. Sulla puleggia si avvolge una fune metallica collegata da un lato alla cabina<br />
che porta il carico da sollevare, ed alla estremità opposta ad un contrappeso. Nel seguito si in<strong>di</strong>cheranno<br />
con mc, mu ed mq rispettivamente la massa <strong>del</strong>la cabina a vuoto, la massa <strong>del</strong> carico utile portato dalla<br />
cabina e la massa <strong>del</strong> contrappeso. Infine, sull’albero motore è calettato un volano Jv che, come si vedrà<br />
nel seguito, ha lo scopo <strong>di</strong> limitare l’accelerazione <strong>del</strong>la cabina nella fase <strong>di</strong> avviamento <strong>del</strong>l’impianto.<br />
5 Si tratta <strong>di</strong> un tipo <strong>di</strong> rotismo atto a trasmettere il moto tra due assi fra loro ortogonali. Generalmente questo tipo <strong>di</strong><br />
trasmissione presenta un elevato rapporto <strong>di</strong> riduzione (ossia un valore <strong>del</strong> rapporto <strong>di</strong> trasmissione τ molto inferiore ad 1)<br />
e da un ren<strong>di</strong>mento modesto.<br />
9-12
τ, ηd, ηr<br />
mc, mu<br />
mq<br />
Jv<br />
ωm Mm<br />
Figura 9.5: Impianto <strong>di</strong> sollevamento carichi<br />
Cenni sul funzionamento <strong>del</strong> motore asincrono trifase<br />
Il motore asincrono trifase è costituito da una parte fissa, detta statore e da una parte mobile, detta<br />
rotore, posta all’interno <strong>del</strong>lo statore e dotata <strong>del</strong>la possibilità <strong>di</strong> ruotare rispetto ad un asse fisso. Su<br />
ciascuno <strong>di</strong> questi elementi è posto un avvolgimento trifase. L’avvolgimento posto sullo statore, detto<br />
induttore, è alimentato con un sistema <strong>di</strong> tensioni trifase alternate, che genera un campo magnetico<br />
rotante con velocità angolare ωs detta velocità <strong>di</strong> sincronismo, pari a:<br />
ωs = 2πfa<br />
p<br />
(9.62)<br />
in cui fa è la frequenza <strong>del</strong>la tensione <strong>di</strong> alimentazione e p è il numero <strong>di</strong> coppie <strong>di</strong> poli <strong>del</strong>lo statore.<br />
Sul rotore si genera quin<strong>di</strong> una forza elettromotrice che <strong>di</strong>pende dalla velocità angolare <strong>del</strong> rotore<br />
e che si annulla quando questo ruota alla velocità <strong>di</strong> sincronismo, ossia in maniera sincrona rispetto al<br />
campo magnetico generato dallo statore.<br />
La caratteristica meccanica <strong>del</strong> motore è mostrata in figura 9.6. Come si può osservare, tale caratteristica<br />
assume un andamento pressoché rettilineo per velocità prossime a quella <strong>di</strong> sincronismo. Per<br />
evitare un funzionamento non corretto <strong>del</strong> motore (eccessive <strong>di</strong>ssipazioni <strong>di</strong> energia con conseguente surriscaldamento)<br />
è necessario che il motore lavori a regime in prossimità <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> sincronismo, e<br />
che la sua velocità angolare non subisca eccessive oscillazioni attorno al valore <strong>di</strong> regime.<br />
Mm<br />
Mmax<br />
ωm<br />
ωs<br />
ωm<br />
Figura 9.6: Caratteristica <strong>del</strong> motore asincrono trifase<br />
Sipuòinoltreosservarechepervelocitàangolarisuperioriallavelocità<strong>di</strong>sincronismolacoppiamotrice<br />
<strong>di</strong>viene negativa, ossia risulta opposta alla velocità angolare <strong>del</strong>l’albero motore. In queste con<strong>di</strong>zioni il<br />
motore asincrono trifase si comporta come un organo frenante, sottraendo potenza alla macchina.<br />
9-13
Le inerzie <strong>del</strong> motore asincrono trifase possono essere rappresentate per mezzo <strong>di</strong> un momento <strong>di</strong><br />
inerzia Jm che rappresenta il momento <strong>di</strong> inerzia <strong>del</strong> rotore rispetto al suo asse <strong>di</strong> rotazione.<br />
Osservazione: Nel caso <strong>di</strong> un impianto <strong>di</strong> sollevamento carichi occorre osservare che il senso <strong>di</strong> rotazione<br />
<strong>del</strong> campo magnetico rotante, e <strong>di</strong> conseguenza, il verso <strong>del</strong> momento motore, viene invertito tra<br />
la fase <strong>di</strong> salita e quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>scesa <strong>del</strong>l’impianto. Nella fase <strong>di</strong> salita il momento motore risulta perciò<br />
concorde con una velocità angolare <strong>del</strong> motore che produca un sollevamento <strong>del</strong> carico utile, mentre nella<br />
fase <strong>di</strong> <strong>di</strong>scesa il momento motore agisce secondo il senso <strong>di</strong> rotazione che produce la <strong>di</strong>scesa <strong>del</strong> carico.<br />
Funzionamento in salita <strong>del</strong>l’impianto<br />
Si considera innanzitutto la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong>l’impianto in cui la cabina si muove verso<br />
l’alto. In questa situazione la macchina è soggetta, sul lato motore, ad una coppia motrice Mm concorde<br />
con la velocità angolare <strong>del</strong>l’albero motore e <strong>di</strong>pendente da questa secondo la caratteristica <strong>di</strong> figura 9.6.<br />
Sullatoutilizzatoreinveceagisconoleforzepesorelativeallacabina(comprensiva<strong>del</strong>caricotrasportato)<br />
e sul contrappeso. Come mostrato in figura 9.7, la forza peso e la velocità sono <strong>di</strong>scor<strong>di</strong> sulla cabina<br />
e concor<strong>di</strong> sul contrappeso.<br />
Vc<br />
ωr<br />
(mc +mu)g<br />
mqg<br />
Vq<br />
(mc +mu)g<br />
Figura 9.7: Con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento in salita ed in <strong>di</strong>scesa <strong>del</strong> lato utilizzatore <strong>del</strong>l’impianto <strong>di</strong><br />
sollevamento carichi<br />
Di conseguenza, la potenza motrice e la potenza resistente assumono le espressioni:<br />
ˆWm = Mmωm<br />
ˆWr = −(mc +mu)gVc +mqgVq<br />
Vc<br />
ωr<br />
mqg<br />
Vq<br />
(9.63)<br />
(9.64)<br />
Ipotizzando che non vi sia strisciamento tra la fune e la puleggia, le velocità Vc <strong>del</strong>la cabina e Vq <strong>del</strong><br />
contrappeso possono essere espresse come:<br />
Vc = Rωr<br />
Vq = Rωr<br />
(9.65)<br />
(9.66)<br />
in cui R e ωr sono rispettivamente il raggio e la velocità angolare <strong>del</strong>la puleggia. Inserendo tali relazioni<br />
nella espressione <strong>del</strong>la potenza resistente si ottiene:<br />
ˆWr = M ∗ rωr<br />
essendo il momento resistente ridotto M ∗ r pari a:<br />
(9.67)<br />
M ∗ r = −(mc +mu −mq)gR (9.68)<br />
9-14
L’energia cinetica <strong>del</strong> lato motore e <strong>del</strong> lato utilizzatore sono rappresentate dalle seguenti espressioni:<br />
Ecm<br />
Ecr<br />
= 1<br />
2 (Jm +Jv)ω 2 m<br />
= 1<br />
2 (mc +mu)V 2<br />
c + 1<br />
2<br />
mqV 2<br />
q + 1<br />
2 Jpω 2 r<br />
(9.69)<br />
(9.70)<br />
avendo in<strong>di</strong>cato con Jp il momento <strong>di</strong> inerzia <strong>del</strong>la puleggia.<br />
Inserendo nella espressione <strong>del</strong>la energia cinetica <strong>del</strong> lato utilizzatore i legami cinemetici precedentemente<br />
ricavati si ottiene:<br />
Ecr<br />
1 �<br />
= mcR<br />
2<br />
2 +muR 2 +mqR 2 � 2<br />
+Jp ωr = J ∗ rω 2 r<br />
Applicando alle espressioni ottenute l’equazione (9.59) si ottiene:<br />
⎧<br />
ηdMm −τ (mc +mu −mq)gR<br />
⎪⎨ ηd(Jm +Jv)+τ<br />
˙ωm =<br />
⎪⎩<br />
2 (mcR2 +muR2 +mqR2 +Jp)<br />
Mm −ηrτ (mc +mu −mq)gR<br />
(Jm +Jv)+ηrτ 2 (mcR 2 +muR 2 +mqR 2 +Jp)<br />
Funzionamento in <strong>di</strong>scesa <strong>del</strong>l’impianto<br />
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm > 0<br />
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm < 0<br />
(9.71)<br />
(9.72)<br />
Si considera in questo caso che il motore ruoti in senso tale da produrre un moto verso il basso <strong>del</strong>la<br />
cabina. Come osservato in precedenza, per effetto <strong>del</strong>la inversione <strong>del</strong> senso <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong> campo<br />
magnetico rotante, anche il momento motore cambia verso e risulta quin<strong>di</strong> concorde con la velocità<br />
angolare <strong>del</strong>l’albero motore, così come nel moto in salita.<br />
Per quanto riguarda invece l’utilizzatore, si invertono le <strong>di</strong>resioni <strong>del</strong>le velocità <strong>del</strong>la cabina e <strong>del</strong><br />
contrappeso, come mostrato nella parte <strong>di</strong> destra <strong>del</strong>la figura 9.7.<br />
Di conseguenza, l’espressione<strong>del</strong>la potenza motrice rimane immutata rispetto al caso in salita, mentre<br />
quella <strong>del</strong>la potenza resistente cambia segno. Per quanto riguarda invece l’energia cinetica l’espressione<br />
rimane uguale sia per il lato motore che per l’utilizzatore, perché la sua espressione non risente <strong>del</strong> segno<br />
<strong>del</strong>le velocità.<br />
Operando gli stessi passaggi descritti per il moto in salita si ottiene l’equazione <strong>di</strong> moto:<br />
⎧<br />
ηdMm +τ (mc +mu −mq)gR<br />
⎪⎨ ηd(Jm +Jv)+τ<br />
˙ωm =<br />
⎪⎩<br />
2 (mcR2 +muR2 +mqR2 +Jp)<br />
Mm +ηrτ ((mc +mu −mq)gR<br />
(Jm +Jv)+ηrτ 2 (mcR 2 +muR 2 +mqR 2 +Jp)<br />
9.2.4 Esempio applicativo: autoveicolo in salita<br />
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm > 0<br />
se Mm −(Jm +Jv) ˙ωm < 0<br />
(9.73)<br />
Si consideri un autoveicolo a due assi, a trazione posteriore, in moto lungo un piano inclinato. Il motore è<br />
collegato all’assale con le ruote motrici da una trasmissione, il cui rapporto <strong>di</strong> trasmissione τ sia costante<br />
e noto, così come il ren<strong>di</strong>mento η. Si considera la presenza <strong>di</strong> resistenza al rotolamento su entrambi gli<br />
assali. Si richiede <strong>di</strong>:<br />
1. calcolare la coppia che consente <strong>di</strong> mantenere il veicolo in salita a regime;<br />
2. calcolare l’accelerazione che si ottiene per una coppia motrice superiore a quella <strong>di</strong> regime;<br />
3. verificare l’aderenza <strong>del</strong>le ruote motrici e condotte.<br />
9-15
Potenza <strong>del</strong>le forze attive<br />
Figura 9.8: Veicolo in salita<br />
La potenza <strong>del</strong>le sole forze attive fornita dal motore è<br />
ˆWm = Cmωm<br />
mentre la potenza <strong>del</strong>le sole forze attive agenti dal lato <strong>del</strong>l’utilizzatore è costituita dai contributi<br />
(9.74)<br />
ˆWg = M�g × ˙ �x = −Mgsinα˙x (9.75)<br />
dovuto al peso <strong>del</strong> veicolo, nel caso in cui il moto avvenga in salita lungo un piano inclinato <strong>di</strong> un angolo<br />
α; da<br />
ˆWv = −Cvpωp −Cvaωa<br />
dovuto alle coppie resistenti al rotolamento <strong>del</strong>le ruote anteriori e posteriori.<br />
Nell’ipotesi <strong>di</strong> puro rotolamento sia <strong>del</strong>le ruote anteriori che posteriori, posta<br />
ωp = τωm<br />
la velocità angolare <strong>del</strong>le ruote motrici, la velocità <strong>del</strong> veicolo è<br />
˙x = Rpωp = τRpωm<br />
mentre la velocità angolare <strong>del</strong>le ruote anteriori risulta<br />
ωa = ˙x<br />
Ra<br />
= τ Rp<br />
ωm<br />
Ra<br />
(9.76)<br />
(9.77)<br />
(9.78)<br />
(9.79)<br />
In base al mo<strong>del</strong>lo presentato nel Capitolo 8, la resistenza al rotolamento è proporzionale alla componentenormale<strong>del</strong>lareazionescambiatafraruotaeterrenoealraggio<strong>del</strong>laruotaattraversouncoefficiente<br />
<strong>di</strong> resistenza al rotolamento fv; quin<strong>di</strong> la potenza espressa dalla (9.76) <strong>di</strong>venta<br />
ˆWv = −fvpNpRpωp −fvaNaRaωa<br />
Dalle (9.77) e (9.79) si ricava<br />
(9.80)<br />
ˆWv = −(fvpNp +fvaNa) ˙x (9.81)<br />
e, nell’ipotesi <strong>di</strong> eguaglianza <strong>del</strong>le ruote degli assali anteriore e posteriore, da cui<br />
fvp = fva = fv<br />
9-16<br />
(9.82)
si ottiene infine<br />
ˆWv = −fv(Np +Na) ˙x (9.83)<br />
La scrittura <strong>del</strong> bilancio <strong>di</strong> potenze richiede quin<strong>di</strong> la conoscenza <strong>del</strong>la componente normale al terreno<br />
<strong>del</strong>le reazioni scambiate con gli assali. In generale, il calcolo <strong>del</strong>le reazioni vincolari richiede la conoscenza<br />
<strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica e quin<strong>di</strong> le reazioni vanno calcolate simultaneamente all’equazione <strong>del</strong> moto. In questo<br />
caso particolare, però, è agevole notare che la scrittura <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>del</strong>l’intero veicolo in<br />
<strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare al piano su cui avviene il moto fornisce <strong>di</strong>rettamente la somma <strong>del</strong>le reazioni<br />
necessarie:<br />
Np +Na = Mgcosα (9.84)<br />
Quin<strong>di</strong> la potenza <strong>di</strong>ssipata per rotolamento, in virtù <strong>del</strong>la (9.82), <strong>di</strong>venta<br />
ˆWv = −fvMgcosα˙x (9.85)<br />
Coppia necessaria al moto a regime<br />
Nella con<strong>di</strong>zione in esame, <strong>di</strong> moto in salita, la potenza viene sicuramente assorbita dall’utilizzatore,<br />
quin<strong>di</strong> il moto è <strong>di</strong>retto. Quin<strong>di</strong> il bilancio <strong>di</strong> potenze dà<br />
�<br />
ˆWm + ˆWg + ˆ �<br />
Wv + ˆ Wp = 0 (9.86)<br />
con ˆ Wp = −(1−ηd) ˆ Wm, ovvero<br />
ηdCmωm −Mgsinα˙x−fvMgcosα˙x = 0 (9.87)<br />
da cui, sostituendo l’espressione (9.78) <strong>del</strong>la velocità ˙x <strong>del</strong> veicolo in funzione <strong>del</strong>la velocità angolare ωm<br />
<strong>del</strong> motore si ottiene<br />
Cm = τ<br />
Mg(sinα+fvcosα)Rp = 0 (9.88)<br />
ηd<br />
La coppia è sicuramente positiva in caso <strong>di</strong> pendenza α positiva; in caso <strong>di</strong> pendenza negativa, la coppia<br />
associata alla gravità cambia segno; la coppia motrice rimane positiva, e quin<strong>di</strong> il moto rimane <strong>di</strong>retto,<br />
fintanto che tanα > −fv.<br />
Accelerazione allo spunto<br />
L’energia cinetica <strong>del</strong> sistema è associata a:<br />
• inerzia Jm <strong>del</strong> motore;<br />
• massa M <strong>del</strong>l’intero veicolo;<br />
• inerzia Jp <strong>del</strong>l’assale posteriore;<br />
• inerzia Ja <strong>del</strong>l’assale anteriore.<br />
Risulta quin<strong>di</strong><br />
Ec = 1 �<br />
Jmω<br />
2<br />
2 +M ˙x 2 +Jpω 2 p +Jaω 2� 1<br />
a =<br />
2<br />
�<br />
Jm +τ 2<br />
Posta la potenza <strong>di</strong>ssipata nella trasmissione pari a<br />
� �<br />
Wp = −(1−ηd) ˆWm −Jm˙ωmωm<br />
9-17<br />
�<br />
MR 2 p +Jp +Ja<br />
R2 p<br />
r2 a<br />
��<br />
ω 2 m<br />
(9.89)<br />
(9.90)
dal teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica si ricava<br />
Cmωm −τMg(sinα+fvcosα)Rpωm −(1−ηd)(Cm −Jm˙ωm)ωm<br />
� � ��<br />
=<br />
Jm +τ 2<br />
da cui, dopo alcune semplificazioni, si ricava<br />
MR 2 p +Jp +Ja<br />
R2 p<br />
r2 a<br />
˙ωmωm<br />
(9.91)<br />
˙ωm = ηdCm −τMg(sinα+fvcosα)Rp<br />
� � (9.92)<br />
ηdJm +τ 2<br />
MR 2 p +Jp +Ja<br />
Verifica <strong>di</strong> aderenza <strong>del</strong>le ruote<br />
R2 p<br />
r2 a<br />
La verifica <strong>di</strong> aderenza <strong>del</strong>le ruote non è particolarmente attinente al tema <strong>di</strong> questo capitolo; viene qui<br />
<strong>di</strong>scussa essenzialmente per illustrare come i bilanci <strong>di</strong> potenze possono anche essere utili al calcolo <strong>del</strong>le<br />
reazioni vincolari.<br />
Ruote anteriori. La verifica <strong>di</strong> aderenza <strong>del</strong>le ruote anteriori richiede la valutazione <strong>del</strong>le componenti<br />
normale e tangenziale <strong>del</strong>la reazione vincolare scambiata tra ruota e terreno.<br />
La componente normale può essere agevolmente ricavata scrivendo l’equilibrio dei momenti agenti<br />
sull’intero veicolo rispetto ad un polo opportunamente posto al punto <strong>di</strong> contatto tra l’assale posteriore<br />
ed il terreno, in modo da escludere la partecipazione <strong>del</strong>la reazione scambiata con il terreno dalle ruote<br />
posteriori stesse:<br />
Na(p1 +p2)+Mg(hsinα−p1cosα)+M¨xh+Jp˙ωp +Ja˙ωa +(Cvp +Cva) = 0 (9.93)<br />
Si noti che la coppia motrice non partecipa a questa equazione, in quanto si tratta <strong>di</strong> una coppia interna<br />
scambiata tra veicolo e assale posteriore. Considerando le definizioni<br />
Cvp = fvNpRp<br />
Cva = fvNaRa<br />
e l’equazione (9.84), si ottiene<br />
(9.94)<br />
(9.95)<br />
Cvp +Cva = fv(NpRp +NaRa) = fv(MgcosαRp −Na(Rp −Ra)) (9.96)<br />
e quin<strong>di</strong>, dalla (9.93),<br />
Na = Mg(p1cosα−hsinα)−M¨xh−Jp˙ωp −Ja˙ωa −fvMgcosαRp<br />
p1 +p2 −fv(Rp −Ra)<br />
(9.97)<br />
In realtà, la componente normale <strong>del</strong>la reazione vincolare sulla singola ruota è la metà <strong>del</strong> valore calcolato<br />
nella (9.97). Questa relazione si semplifica qualora sia Rp = Ra, come avviene ad esempio nella maggior<br />
parte degli autoveicoli.<br />
La componente tangenziale <strong>del</strong>la reazione vincolare si ricava, ad esempio, dall’equilibrio alla rotazione<br />
<strong>del</strong> solo assale anteriore, per il quale si ha<br />
Ja˙ωa +Cva −TaRa = 0 (9.98)<br />
in quantonon partecipanoil peso, le reazioniscambiatenel vincolocon il veicoloela componentenormale<br />
<strong>del</strong>la reazione scambiata con il terreno, in quanto il loro braccio è nullo. Da questa si ricava<br />
Ta = Ja<br />
˙ωa +fvNa<br />
Ra<br />
9-18<br />
(9.99)
La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> aderenza è data da<br />
Na > 0 (9.100)<br />
in quanto le ruote anteriori devono essere a contatto con il terreno 6 , e da<br />
|Ta|<br />
Na<br />
≤ fs<br />
(9.101)<br />
Si noti che, nel caso la reazione Na <strong>di</strong>minuisca, come avviene ad esempio per effetto <strong>di</strong> una accelerazione<br />
positiva, è possibile che la con<strong>di</strong>zione (9.101) sia violata proprio a causa <strong>del</strong>l’accelerazione angolare ˙ωa<br />
<strong>del</strong>l’assale. Quin<strong>di</strong> le ruote anteriori, in caso <strong>di</strong> accelerazione sufficientemente elevata, inizierebbero a<br />
strisciare prima <strong>di</strong> arrivare alla per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> contatto (motociclo che“impenna”).<br />
Ruote posteriori. Il calcolo <strong>del</strong>la componente normale <strong>del</strong>la reazione scambiata con il terreno si<br />
ricava dalle (9.84) e (9.97):<br />
Np = Mg((p2 −fv(Rp −Ra))cosα+hsinα)+M¨xh+Jp˙ωp +Ja˙ωa +fvMgcosαRp<br />
p1 +p2 −fv(Rp −Ra)<br />
(9.102)<br />
Il calcolo <strong>del</strong>la componente tangenziale <strong>del</strong>la reazione scambiata con il terreno può avvenire in due mo<strong>di</strong>;<br />
il primo, banale, consiste nello scrivere l’equilibrio alla traslazione <strong>del</strong>l’intero veicolo in <strong>di</strong>rezione parallela<br />
al piano inclinato, dalla quale si ottiene<br />
Tp +Ta +M¨x+Mgsinα = 0 (9.103)<br />
da cui si ottiene<br />
Tp = −Ta −M¨x−Mgsinα (9.104)<br />
Il secondo approccio consiste nello scrivere l’equilibrio dei momenti <strong>del</strong> solo assale posteriore che, a<br />
<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> quello anteriore, comprende anche la coppia motrice C:<br />
Jp˙ωp +Cvp −TpRp −C = 0 (9.105)<br />
Quest’ultima si ricava scrivendo un bilancio <strong>di</strong> potenza a valle <strong>del</strong>la trasmissione ove, come potenza<br />
assorbita dall’utilizzatore, si scriva la potenza associata alla coppia −C incognita, uguale ed opposta alla<br />
coppia motrice applicata all’assale:<br />
ηd(Cm −Jm˙ωm)ωm −Cωp<br />
da cui risulta<br />
(9.106)<br />
C = ηd<br />
τ (Cm −Jm˙ωm) (9.107)<br />
La reazione è quin<strong>di</strong><br />
Tp = Jp<br />
˙ωp +fvNp −<br />
Rp<br />
ηd<br />
(Cm −Jm˙ωm) (9.108)<br />
τRp<br />
Lacomponentenormale<strong>del</strong>lareazionescambiataconilterreno, inquestocaso, èessenzialmentecostituita<br />
da contributi che, in caso <strong>di</strong> accelerazione positiva, tendono ad aumentarla. Quin<strong>di</strong> la principale causa <strong>di</strong><br />
potenziale slittamento risulta dalla coppia motrice Cm, a meno <strong>del</strong>l’inerzia accumulata dal motore stesso<br />
e dall’assale.<br />
6 Si noti che, a parte il contributo associato al peso per la <strong>di</strong>stanza p1 tra l’assale posteriore ed il baricentro, tutti gli<br />
altri contributi alla reazione Na sono negativi, in caso <strong>di</strong> accelerazione positiva.<br />
9-19
9.3 Macchina in regime perio<strong>di</strong>co<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> una macchina a regime perio<strong>di</strong>co sarà limitato per semplicità <strong>di</strong> trattazione<br />
al caso in cui il motore e l’utilizzatore <strong>del</strong>la macchina siano posti sullo stesso albero, senza l’interposizione<br />
<strong>di</strong> una trasmissione.<br />
9.3.1 Equazione <strong>di</strong> moto<br />
L’equazione <strong>del</strong>la macchina a regime perio<strong>di</strong>co può essere ottenuta me<strong>di</strong>ante l’equazione <strong>di</strong> bilancio <strong>del</strong>le<br />
potenze (9.4). Rispetto al caso <strong>del</strong>la macchina a regime assoluto stu<strong>di</strong>ato in precedenza, si osserva che,<br />
nell’ipotesi <strong>di</strong> assenza <strong>del</strong>la trasmissione, viene a mancare il termine relativo alla potenza perduta Wp,<br />
ed inoltre che, per effetto <strong>del</strong> fatto che i momenti ridotti <strong>di</strong> inerzia <strong>del</strong> motore e <strong>del</strong>l’utilizzatore sono<br />
funzione <strong>del</strong>la posizione angolare <strong>del</strong>l’albero ϑm (la quale, a sua volta, è funzione <strong>del</strong> tempo), la derivata<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica assume la forma:<br />
dEc<br />
dt<br />
= dEcm<br />
dt<br />
in cui si è tenuto conto <strong>del</strong> fatto che:<br />
dϑm<br />
dt<br />
= ωm<br />
(9.110)<br />
dEcr<br />
+<br />
dt = (J∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm))ωm˙ωm + 1d(J<br />
2<br />
∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm))<br />
dϑm<br />
ω 3 m<br />
(9.109)<br />
ed i momenti d’inerzia associati al motore (J ∗ m) e al carico resistente (J ∗ r) sono stati entrambi ridotti alla<br />
rotazione ωm <strong>del</strong>l’albero motore.<br />
Sostituendo queste espressioni nella equazione <strong>di</strong> bilancio <strong>di</strong> potenze si ottiene:<br />
M ∗ m(ϑm,ωm)+M ∗ r (ϑm,ωm) = (J ∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm)) ˙ωm + 1<br />
2<br />
ed, esplicitando rispetto alla accelerazione angolare <strong>del</strong>l’albero:<br />
M<br />
˙ωm =<br />
∗ m(ϑm,ωm)+M ∗ r (ϑm,ωm)− 1<br />
�<br />
∗ dJm +<br />
2 dϑm<br />
dJ∗ �<br />
r<br />
dϑm<br />
J∗ m(ϑm)+J ∗ r(ϑm)<br />
ω 2 m<br />
d(J ∗ m +J ∗ r)<br />
dϑm<br />
ω 2 m<br />
(9.111)<br />
(9.112)<br />
in cui anche la coppia motrice M ∗ m e quella resistente M ∗ r sono state ridotte alla rotazione ωm <strong>del</strong>l’albero<br />
motore.<br />
9.3.2 Funzionamento in regime perio<strong>di</strong>co: irregolarità perio<strong>di</strong>ca<br />
Per una macchina retta da una equazione <strong>di</strong> moto avente la forma (9.112) non è possibile determinare<br />
una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento in regime assoluto. Infatti, per avere una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime assoluto<br />
sarebbe necessario che, in ogni istante <strong>del</strong> funzionamento, le derivate dei momenti <strong>di</strong> inerzia associati<br />
alle parti motrice e resistente <strong>del</strong>la macchina si annullassero, così come le coppie motrice e resistente.<br />
Infatti se si impone la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime assoluto:<br />
dEc<br />
dt<br />
si ottiene l’equazione:<br />
= 0 (9.113)<br />
M ∗ m(ϑm,ωm)+M ∗ r (ϑm,ωm) = 0 (9.114)<br />
Tale equazione può risultare sod<strong>di</strong>sfatta in particolari istanti <strong>del</strong> funzionamento <strong>del</strong>la macchina, in cui<br />
occasionalmente il momento motore ed il momento resistente assumono valori opposti, ma non può essere<br />
sod<strong>di</strong>sfatta identicamente per qualsiasi valore <strong>del</strong> tempo, perché i due momenti agenti sull’albero motore<br />
<strong>di</strong>pendono secondo espressioni <strong>di</strong>verse dalla posizione angolare <strong>del</strong>l’albero.<br />
9-20
E’ però possibile imporre che l’andamento <strong>del</strong>l’energia cinetica, pur non risultando esattamente<br />
costante nel tempo, sia perio<strong>di</strong>co con periodo T:<br />
Ec(t+T)−Ec(t) =<br />
� t+T<br />
t<br />
dEc<br />
dt = 0 (9.115)<br />
dt<br />
Ciò significa che nel proprio moto la macchina subirà una perio<strong>di</strong>ca alternanza <strong>di</strong> fasi <strong>di</strong> accelerazione<br />
e <strong>di</strong> decelerazione, tali però da compensarsi a vicenda, in modo che la velocità me<strong>di</strong>a <strong>del</strong>la macchina<br />
(anch’essa da valutarsi sul periodo T) non cambi.<br />
Se si integra l’equazione (9.4) <strong>di</strong> bilancio <strong>del</strong>le potenze tra il generico tempo t ed il tempo t+T e si<br />
impone la con<strong>di</strong>zione (9.115) si ottiene:<br />
� t+T<br />
t<br />
si osservi poi che:<br />
e si ponga:<br />
(M ∗ m +M ∗ r)ωmdt =<br />
ωm = dϑm<br />
dt ⇒ ωmdt = dϑm<br />
� t+T<br />
t<br />
dEc<br />
dt = 0 (9.116)<br />
dt<br />
(9.117)<br />
ϑ = ϑm(t) (9.118)<br />
Θ = ϑm(T +t)−ϑm(t) (9.119)<br />
si osservi che Θ rappresenta l’angolo <strong>di</strong> cui l’albero motore ruota in un periodo T. Inserendo tali relazioni<br />
nell’integrale calcolato in precedenza nella (9.116) si ottiene:<br />
� ϑ+Θ<br />
ϑ<br />
(M ∗ m +M ∗ r)dϑm = 0 (9.120)<br />
tale equazione mostra che la macchina funziona in regime perio<strong>di</strong>co se l’integrale esteso al periodo <strong>del</strong>la<br />
somma <strong>del</strong> momento motore e <strong>del</strong> momento resistente si annulla, ovvero se i valori me<strong>di</strong> nel periodo dei<br />
due momenti sono uguali ed opposti:<br />
� ϑ+Θ<br />
ϑ<br />
M ∗ mdϑm = −<br />
� ϑ+Θ<br />
ϑ<br />
M ∗ rdϑm<br />
(9.121)<br />
Una funzione perio<strong>di</strong>ca continua e regolare 7 può presentare in un periodo un numero arbitrario <strong>di</strong><br />
minimi e massimi relativi per i quali si annulla la derivata prima; tra questi devono necessariamente<br />
essere compresi un massimo ed un minimo assoluti, che sono rispettivamente i valori più grande e più<br />
piccolo assunti dalla funzione nel periodo.<br />
In un moto perio<strong>di</strong>co anche l’energia cinetica è una funzione perio<strong>di</strong>ca <strong>del</strong> tempo; in presenza <strong>di</strong><br />
sollecitazioni a scalino 8 la velocità non è più regolare ma rimane continua; in presenza <strong>di</strong> sollecitazioni<br />
impulsive 9 la velocità non è più neppure continua, ma presenta a sua volta un salto. In ogni caso, in un<br />
periodo, è sempre possibile in<strong>di</strong>viduare almeno un massimo ed un minimo assoluti <strong>di</strong> valore finito; nei<br />
punti <strong>di</strong> massimo e <strong>di</strong> minimo si hanno le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> energia cinetica massima e minima. Si consideri,<br />
per semplicità espositiva, un sistema per il quale il momento d’inerzia totale ridotto all’albero motore<br />
sia costante; per esso, il minimo ed il massimo <strong>del</strong>l’energia cinetica corrispondono con il minimo ed il<br />
massimo <strong>del</strong>la velocità angolare.<br />
7 Ovvero una funzione la cui derivata prima è anch’essa continua.<br />
8 Ovvero sollecitazioni che variano bruscamente nel tempo, soggette a <strong>di</strong>scontinuità con“salto”.<br />
9 Ovvero sollecitazioni <strong>di</strong> durata molto breve, idealmente infinitesima, ma il cui integrale nel tempo sia finito, e quin<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> ampiezza molto elevata, idealmente infinita.<br />
9-21
Si consideri ora l’integrale <strong>del</strong>la potenza <strong>del</strong>le forze d’inerzia dall’istante tmin, in cui si ha il minimo<br />
<strong>del</strong>la velocità, all’istante tmax, in cui la velocità raggiunge il suo valore massimo<br />
∆L tmax<br />
tmin =<br />
� ϑmax<br />
=<br />
=<br />
ϑmin<br />
� tmax<br />
tmin<br />
� ωmax<br />
ωmin<br />
(M ∗ m +M ∗ r) dϑ<br />
J ∗ ω˙ω dt<br />
J ∗ ω dω<br />
= 1<br />
2 J∗�ω 2 max −ω 2 �<br />
min<br />
= 1<br />
2 J∗ (ωmax +ωmin)(ωmax −ωmin)<br />
= J ∗ ωmed(ωmax −ωmin) (9.122)<br />
dove si è introdotta la velocità me<strong>di</strong>a ωmed come la me<strong>di</strong>a aritmetica tra le velocità massima e minima<br />
ωmed = ωmax +ωmin<br />
2<br />
(9.123)<br />
L’integrale (9.122) rappresenta il lavoro compiuto dalle sollecitazioni attive a cui è soggetto il sistema<br />
durante il transitorio che porta dalla velocità minima a quella massima; esso è uguale ed opposto al<br />
lavoro assorbito durante il transitorio successivo dalla velocità massima alla minima, e quin<strong>di</strong> entrambi<br />
rappresentano una misura <strong>del</strong>la variabilità <strong>del</strong>le coppie in gioco durante un periodo.<br />
Spesso, un problema tecnico presentato dalle macchine che operano in regime perio<strong>di</strong>co consiste nel<br />
limitare le oscillazioni <strong>di</strong> velocità che la macchina subisce nel suo periodo <strong>di</strong> funzionamento. L’entità<br />
<strong>del</strong>le oscillazioni <strong>di</strong> velocità può essere quantificata per mezzo <strong>di</strong> un parametro a<strong>di</strong>mensionale i, detto<br />
grado <strong>di</strong> irregolarità perio<strong>di</strong>ca e definito come<br />
i = ωmax −ωmin<br />
ωmed<br />
Si ricavi la variazione <strong>di</strong> velocità dalla (9.122) e la si sostituisca nella (9.124):<br />
i = ∆Ltmax<br />
tmin<br />
J ∗ ω 2 med<br />
(9.124)<br />
(9.125)<br />
La (9.125) mostra come, a pari variabilità <strong>del</strong>le forze attive sul periodo e a pari velocità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong><br />
funzionamento, l’aumento <strong>del</strong>l’inerzia ridotta J∗ abbia l’effetto <strong>di</strong> limitare l’irregolarità perio<strong>di</strong>ca <strong>del</strong>la<br />
macchina. A tal fine viene <strong>di</strong> norma aggiunto un volano, il cui momento <strong>di</strong> inerzia può essere determinato<br />
per mezzo <strong>di</strong> meto<strong>di</strong> approssimati come quello sopra esposto.<br />
Si consideri, ora, un sistema in cui sia rimossa l’ipotesi <strong>di</strong> costanza <strong>del</strong> momento d’inerzia ridotto<br />
all’albero motore, ma in cui sia presente un volano <strong>di</strong> inerzia Jv; le coppie d’inerzia a meno <strong>di</strong> quelle <strong>del</strong><br />
volano si considerino parte <strong>del</strong>la sollecitazione attiva:<br />
�<br />
Jvω˙ω = M ∗ m +M ∗ r −J ∗ ˙ω − 1<br />
2<br />
dJ ∗<br />
dt ω2<br />
�<br />
ω (9.126)<br />
L’integrale <strong>del</strong> secondo membro <strong>del</strong>la (9.126) tra tmin e tmax rappresenta ora il lavoro ∆L tmax<br />
tmin <strong>del</strong>le forze<br />
complessive agenti sul sistema, incluso l’effetto moderatore <strong>del</strong>l’irregolarità perio<strong>di</strong>ca operato dall’inerzia<br />
<strong>del</strong> sistema stesso. In analogia con la (9.122) si ottiene:<br />
∆L tmax<br />
tmin =<br />
� ϑmax<br />
ϑmin<br />
�<br />
M ∗ m +M ∗ r −J ∗ ˙ω − 1<br />
2<br />
dJ∗ dt ω2<br />
�<br />
dϑ<br />
= Jvω 2 me<strong>di</strong> (9.127)<br />
9-22
e quin<strong>di</strong> si ricava un utile criterio per il <strong>di</strong>mensionamento <strong>di</strong> un ulteriore volano, ai fini <strong>del</strong> contenimento<br />
<strong>del</strong>l’irregolarità perio<strong>di</strong>ca.<br />
L’integrazione numerica <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto <strong>del</strong>la macchina in regime perio<strong>di</strong>co può essere utilizzata,<br />
ad esempio, per verificare a posteriori la correttezza <strong>del</strong> <strong>di</strong>mensionamento <strong>del</strong> volano, in quanto<br />
rende possibile valutare l’effettiva irregolarità <strong>del</strong>la macchina con volano montato, prescindendo dalle<br />
ipotesi semplificative che stanno alla base <strong>del</strong>le metodologie utilizzate nel <strong>di</strong>mensionamento <strong>di</strong> questo<br />
componente.<br />
Inoltrel’integrazionenumerica<strong>del</strong>leequazioni<strong>di</strong>motopuòessereutilizzatapervalutarelecomponenti<br />
armoniche <strong>del</strong> momento torcente che viene applicato all’albero motore durante il funzionamento <strong>del</strong>la<br />
macchina, e fornisce quin<strong>di</strong> la base per lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le vibrazioni torsionali <strong>del</strong>la macchina stessa. Questo<br />
argomento verrà ripreso nel seguito <strong>del</strong> <strong>corso</strong>.<br />
9.3.3 Esempio applicativo: motore alternativo a combustione interna<br />
Nel capitolo 4 è stato illustrato il funzionamento <strong>del</strong> motore alternativo a combustione interna. Dal<br />
<strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> figura 4.9 è evidente come la potenza <strong>del</strong>le varie fasi abbia non solo valore, ma anche segno<br />
<strong>di</strong>verso: durante la fase <strong>di</strong> compressione, il fluido riceve lavoro dal pistone, che, dal punto <strong>di</strong> vista <strong>del</strong>la<br />
macchina, risulta quin<strong>di</strong> assorbito, mentre, durante la fase <strong>di</strong> espansione, il lavoro viene restituito dal<br />
fluido alla macchina; in più, durante tutte le fasi, la macchina deve vincere attriti ed altre resistenze. La<br />
coppia fornita dal motore è quin<strong>di</strong> fortemente variabile su <strong>di</strong> un ciclo che, per un motore monocilindrico<br />
a 4 tempi, è costituito da due giri completi, ovvero Θ = 4π, ed è tipicamente positiva solo per circa un<br />
quarto <strong>del</strong> periodo, ovvero π/2.<br />
Un’altra fonte <strong>di</strong> perio<strong>di</strong>cità nel moto <strong>di</strong> questo tipo <strong>di</strong> macchina è legata alla <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>l’inerzia<br />
ridotta all’albero motore dalla posizione angolare <strong>del</strong>l’albero stesso, come illustrato dall’equazione (4.57).<br />
9.3.4 Esempio applicativo: pompa a stantuffo<br />
Si tratta <strong>di</strong> un meccanismo cinematicamente analogo al motore alternativo a combustione interna, ovvero<br />
<strong>di</strong> un manovellismo or<strong>di</strong>nario che spinge un pistone, il quale a sua volta, in prima approssimazione, aspira<br />
un fluido a pressione Pa ragionevolmente costante durante la fase <strong>di</strong> <strong>di</strong>scesa, e lo espelle a pressione Ps<br />
<strong>di</strong> nuovo ragionevolmente costante durante la fase <strong>di</strong> risalita.<br />
Nelle ipotesi fatte, e considerando costante la coppia Cm fornita dal motore, è relativamente agevole<br />
calcolare il lavoro su un periodo, pari ad un giro e quin<strong>di</strong> a 2π, che è dato da<br />
∆L 2π<br />
0 =<br />
� 2π<br />
0<br />
�<br />
Cm − dc<br />
dϑ ApP<br />
�<br />
dϑ<br />
= 2πCm −Ap(cmax −cmin)(Ps −Pa)<br />
= 0 (9.128)<br />
dove si è posta c = c(ϑ) la corsa <strong>del</strong> pistone, e si è sfruttato il fatto che la pressione è costante durante<br />
le fasi <strong>di</strong> aspirazione ed espulsione, e quin<strong>di</strong><br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� π<br />
0<br />
dc<br />
dϑ dϑ<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� = (cmax −cmin) (9.129)<br />
Il <strong>di</strong>verso segno tra le pressioni Pa e Ps è dovuto al fatto che durante l’aspirazione lo stantuffo scende<br />
e quin<strong>di</strong> il gas compie lavoro positivo, mentre durante l’espulsione il pistone sale e quin<strong>di</strong> il gas compie<br />
lavoro negativo, ovvero assorbe lavoro dalla macchina.<br />
Dalla (9.128) si ricava la coppia motrice necessaria a mantenere la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto perio<strong>di</strong>co<br />
Cm = 1<br />
2π Ap(cmax −cmin)(Ps −Pa) (9.130)<br />
9-23
9.3.5 Esempio applicativo: motore elettrico in corrente continua<br />
Nel Capitolo 10 viene illustrato l’azionamento elettromeccanico in corrente continua. In tale sistema, la<br />
coppia erogata, ancorché in genere ritenuta costante ad una data velocità <strong>di</strong> rotazione, risulta in realtà<br />
perio<strong>di</strong>ca. Si rimanda a tale capitolo per una <strong>di</strong>scussione più estesa <strong>del</strong>la natura <strong>di</strong> questa perio<strong>di</strong>cità e<br />
per una breve illustrazione <strong>del</strong> regime perio<strong>di</strong>co.<br />
9-24
Capitolo 10<br />
Azionamento elettromeccanico in<br />
corrente continua<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
10.1 Introduzione<br />
In questo capitolo viene presentato un semplice esempio <strong>di</strong> azionamento elettromeccanico: il motore elettrico<br />
in corrente continua. Questo esempio viene usato per illustrare in generale i principi <strong>del</strong>l’attuazione<br />
elettromeccanica, in quanto consente, attraverso l’utilizzo <strong>di</strong> semplici nozioni <strong>di</strong> elettromagnetismo, <strong>di</strong><br />
descrivere in modo completo ed efficace un sistema multi<strong>di</strong>sciplinare, in cui la potenza elettrica viene<br />
trasformata in potenza meccanica 1 . Dallo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> questo semplice mo<strong>del</strong>lo si passa poi allo stu<strong>di</strong>o in<br />
generale <strong>del</strong>la stabilità dei sistemi in cui un motore viene accoppiato ad un utilizzatore.<br />
10.2 Motore elettrico in corrente continua<br />
Il motore elettrico in corrente continua è costituito da una parte rotante, detta rotore, che ruota rispetto<br />
ad una cassa, detta statore, nella quale è presente un campo magnetico idealmente uniforme. La presenza<br />
<strong>di</strong> spire sul rotore fa sì che si generi tra rotore e statore una coppia in funzione <strong>del</strong>la corrente circolante<br />
nellespire, mentrelavelocità<strong>di</strong>rotazionerelativafrarotoreestatorefasìchesigeneriuncampoelettrico<br />
indotto lungo le spire.<br />
Il principio <strong>di</strong> funzionamento è illustrato in figura 10.1; la figura 10.2 mostra invece uno schema<br />
costruttivo <strong>del</strong> rotore.<br />
10.2.1 Considerazioni generali<br />
Se una carica elettrica q è in moto con velocità �v in un campo magnetico uniforme � B, su <strong>di</strong> essa nasce<br />
una forza<br />
�F = q�v ∧ � B, (10.1)<br />
detta forza <strong>di</strong> Lorenz. Se al posto <strong>del</strong>la carica q con velocità �v si considera una corrente i = dq/dt che<br />
scorre lungo un conduttore rettilineo <strong>di</strong> lunghezza L, al posto <strong>di</strong> q�v si può sostituire L�i, ove�i è il vettore<br />
che esprime la corrente i lungo la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> conduttore, supposta fissata. La forza � F che agisce su un<br />
conduttore rettilineo <strong>di</strong> lunghezza L posto in un campo magnetico uniforme � B è quin<strong>di</strong><br />
�F = L�i∧ � B, (10.2)<br />
ed è perpen<strong>di</strong>colare al piano in<strong>di</strong>viduato dal flusso magnetico � B e dal vettore corrente�i.<br />
1 O, viceversa, la potenza meccanica viene trasformata in potenza elettrica, come nei generatori <strong>di</strong> corrente.<br />
10-1
Figura 10.1: Principio <strong>di</strong> funzionamento <strong>del</strong> motore in corrente continua.<br />
Figura 10.2: Disegno schematico <strong>del</strong> rotore <strong>di</strong> un motore in corrente continua.<br />
10-2
Analogamente, se un conduttore viene mosso con velocità �v all’interno <strong>di</strong> un campo magnetico � B, sul<br />
conduttore viene indotto un campo elettrico<br />
�E = � B ∧�v (10.3)<br />
a cui corrisponde, sulla lunghezza L <strong>del</strong> conduttore, una <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale<br />
∆ � V = −L � B ∧�v (10.4)<br />
tra i due capi <strong>del</strong> conduttore.<br />
10.2.2 Architettura generale<br />
La realizzazione <strong>di</strong> una macchina elettrica in corrente continua prevede pertanto che il conduttore venga<br />
messo in moto all’interno <strong>di</strong> un campo magnetico � B realizzato me<strong>di</strong>ante magneti permanenti o in alternativa<br />
me<strong>di</strong>ante un circuito <strong>di</strong> induzione. Il motore in c.c. è costituito da un rotore e da uno statore:<br />
nello statore è presente un sistema <strong>di</strong> magneti permanenti (motore a magneti permanenti) oppure una<br />
serie <strong>di</strong> avvolgimenti percorsi da una corrente <strong>di</strong> eccitazione (motori a campo avvolto) che generano un<br />
campo magnetico fisso nello spazio, idealmente uniforme e costante nel tempo, entro cui si muove il<br />
rotore. Quest’ultimo è costituito da un albero sulla cui periferia è presente un avvolgimento formato da<br />
una serie <strong>di</strong> conduttori (avvolgimento <strong>di</strong> armatura), <strong>di</strong>retti lungo l’asse <strong>del</strong>l’albero in modo da formare<br />
<strong>del</strong>le spire che quin<strong>di</strong> si trovano a ruotare all’interno <strong>del</strong> campo magnetico.<br />
Tale avvolgimento è munito <strong>di</strong> numerose prese equi<strong>di</strong>stanti connesse ad un cilindro costituito da tante<br />
lamelle, isolate tra loro, su cui poggiano le spazzole che costituisconoil collegamento elettrico(strisciante)<br />
tra rotore e statore. I motori a magneti permanenti, così come quelli a campo avvolto se la corrente <strong>di</strong><br />
eccitazione è mantenuta costante, vengono regolati attraverso la tensione <strong>di</strong> armatura ea; naturalmente<br />
esistono altri mo<strong>di</strong> per comandare un motore in c.c., ad esempio attraverso la corrente <strong>di</strong> armatura ia.<br />
Quando il rotore si muove all’interno <strong>del</strong> campo magnetico, su <strong>di</strong> esso si manifestano due fenomeni,<br />
uno elettrico e uno meccanico. Si consideri, in un sistema <strong>di</strong> riferimento cartesiano, l’asse <strong>del</strong> rotore<br />
<strong>di</strong>retto come z, e il campo magnetico � B <strong>di</strong>retto come x.<br />
10.2.3 Forza elettromotrice indotta<br />
Per effetto <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> rotazione �ω <strong>del</strong> rotore, i lati <strong>del</strong>la spira <strong>di</strong>retti come l’asse <strong>del</strong> rotore si<br />
muovono nel campo magnetico con velocità<br />
�v = �ω ∧ � R (10.5)<br />
proporzionale a ω e <strong>di</strong>retta perpen<strong>di</strong>colarmente alla posizione ra<strong>di</strong>ale <strong>del</strong> conduttore.<br />
L’equazione (10.4) applicata ad uno dei lati <strong>del</strong>la spira <strong>di</strong>retti come l’asse <strong>del</strong> rotore <strong>di</strong>venta<br />
∆� V ∗<br />
b = −L� �<br />
B ∧ �ω ∧ � �<br />
R<br />
(10.6)<br />
e quin<strong>di</strong>, per costruzione, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale indotta è sempre <strong>di</strong>retta come z e ha forma<br />
cosinusoidale:<br />
∆V ∗<br />
b = −LRBωcosθ (10.7)<br />
avendo preso la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> campo magnetico come riferimento per l’angolo θ, ove ω = ˙ θ.<br />
Si noti che la forza elettromotrice indotta sui lati <strong>del</strong>la spira <strong>di</strong>retti ra<strong>di</strong>almente è nulla in quanto<br />
<strong>di</strong>retta come z e quin<strong>di</strong> perpen<strong>di</strong>colare al conduttore stesso.<br />
La forza elettromotrice indotta sulla singola spira è quin<strong>di</strong> due volte quella fornita dalla (10.7)<br />
∆V ∗∗<br />
b = −2LRBωcosθ. (10.8)<br />
Allo stesso risultato si può giungere a partire dalla definizione <strong>del</strong>la tensione indotta su una spira per<br />
effetto <strong>del</strong>la variazione <strong>del</strong> flusso magnetico Φ attraverso la spira stessa,<br />
∆V ∗∗<br />
b = − dΦ<br />
. (10.9)<br />
dt<br />
10-3
Nel caso in esame il flusso è<br />
Φ = � B × � A = 2LRBsinθ, (10.10)<br />
in quanto la normale�n <strong>del</strong>l’area A = 2RL è inclinata <strong>del</strong>l’angolo θ−π/2 rispetto alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> campo<br />
magnetico � B. La variazione <strong>del</strong> flusso Φ è legata alla variazione <strong>di</strong> area efficace a seguito <strong>del</strong>la rotazione<br />
<strong>del</strong>la spira; si ha quin<strong>di</strong><br />
dΦ<br />
dt<br />
= 2LRBωcosθ, (10.11)<br />
da cui la relazione (10.8).<br />
10.2.4 Coppia motrice<br />
La forza che si esercita su uno dei lati <strong>del</strong>la singola spira <strong>di</strong>retti come l’asse <strong>del</strong> rotore per effetto <strong>del</strong>la<br />
corrente <strong>di</strong> armatura fornisce al rotore una coppia<br />
�C ∗ = � �<br />
R∧ L�i∧ � �<br />
B<br />
(10.12)<br />
che è <strong>di</strong>retta, per costruzione, come l’asse <strong>del</strong> rotore, e varia cosinusoidalmente con la posizione angolare<br />
<strong>del</strong> rotore<br />
C ∗ = LRBicosθ (10.13)<br />
Ancheinquestocaso, sinotichelaforzachenascesuilati<strong>del</strong>laspira<strong>di</strong>rettira<strong>di</strong>almentenonpartecipa<br />
alla coppia applicata al rotore, in quanto sempre <strong>di</strong>retta come z.<br />
La coppia totale che si esercita sul rotore per effetto <strong>del</strong>l’intera spira è quin<strong>di</strong><br />
C ∗∗ = 2LRBicosθ (10.14)<br />
10.2.5 Contatti striscianti<br />
Dalle (10.8) e (10.14) si evince che la forza elettromotrice indotta, come pure la coppia, sono me<strong>di</strong>amente<br />
nulle su un giro. Tuttavia, considerando ad esempio la coppia, se all’atto <strong>del</strong> passare da positiva a<br />
negativa si inverte la polarità dei contatti agli estremi <strong>del</strong>la spira, si ottiene una coppia<br />
C = 2LRBi|cosθ| (10.15)<br />
il cui valore me<strong>di</strong>o è<br />
C = 1<br />
2π<br />
� 2π<br />
0<br />
C dθ = 4<br />
LRBi (10.16)<br />
π<br />
La funzione che descrive la <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>la coppia dall’angolo θ è tutt’altro che costante e regolare;<br />
tuttavia, se si considera l’insieme <strong>del</strong>le spire, sfasate in modo da <strong>di</strong>stribuire con uniformità i massimi e le<br />
cuspi<strong>di</strong><strong>di</strong>|cosθ|, siottieneunafunzionecaratterizzatadaunvaloreme<strong>di</strong>opariaN voltelacoppia(10.16)<br />
Cm = N 4<br />
LRBi (10.17)<br />
π<br />
e da una piccolairregolaritàcon frequenzapari ad un multiplo <strong>del</strong>lavelocità <strong>di</strong> rotazione legato al numero<br />
<strong>del</strong>le spire, N, come illustrato in figura 10.3.<br />
In modo analogo si ottiene che la forza elettromotrice indotta, in presenza <strong>di</strong> contatti striscianti che<br />
invertono la polarità ogni mezzo giro, è data dalla relazione<br />
∆Vb = −2LRBω|cosθ| (10.18)<br />
10-4
C, eb [a<strong>di</strong>m]<br />
1<br />
0.9<br />
0.8<br />
0.7<br />
0.6<br />
0.5<br />
0.4<br />
0.3<br />
2/π<br />
0.2<br />
N=1<br />
N=3<br />
0.1<br />
0<br />
0 0.2<br />
N=7<br />
N=15<br />
0.4 0.6 0.8 1<br />
θ [giri]<br />
Figura 10.3: Distribuzione sul giro <strong>di</strong> coppia e forza elettromotrice indotta da una spira in un motore<br />
elettrico in c.c. al crescere <strong>del</strong> numero <strong>del</strong>le spire N; il valore fornito dalla singola spira tende rapidamente<br />
al valor me<strong>di</strong>o 2/π, pari a circa 0.63662.<br />
il cui valore me<strong>di</strong>o è<br />
∆V b = − 1<br />
2π<br />
� 2π<br />
0<br />
∆Vb dθ = − 4<br />
LRBω (10.19)<br />
π<br />
mentre la forza elettromotrice indotta me<strong>di</strong>a associata a tutte le spire è pari a N volte la (10.19)<br />
eb = −N 4<br />
LRBω (10.20)<br />
π<br />
Sia la coppia che la forza elettromotrice indotta presentano quin<strong>di</strong> un andamento sul giro che è<br />
sostanzialmentecostante, conpiccoleperturbazioniafrequenzaparia2N lavelocità<strong>di</strong>rotazione. Questo<br />
<strong>di</strong>sturbo va sotto il nome <strong>di</strong> ripple; ove necessario, può essere tenuto in conto usando le tecniche illustrate<br />
nel paragrafo 9.3 per il moto in regime perio<strong>di</strong>co.<br />
Le spazzole possono essere sostituite, in motori moderni, da circuiti <strong>di</strong> commutazione <strong>del</strong>la tensione<br />
che consentono <strong>di</strong> realizzare la funzionalità desiderata evitando la complessità meccanica e i problemi <strong>di</strong><br />
usura e <strong>di</strong> manutenzione associati alla soluzione tra<strong>di</strong>zionale. Questi motori sono detti brushless, ovvero<br />
senza spazzole.<br />
10.2.6 Potenza elettromeccanica<br />
La potenza meccanica associata al motore è data dal prodotto tra la coppia fornita dal motore e la<br />
velocità angolare che si sviluppano tra rotore e statore<br />
Πm = Cmω = N 4<br />
LRBiω (10.21)<br />
π<br />
ed è positiva, in quanto è generata dal motore.<br />
La potenza elettrica associata al motore è data dal prodotto tra la forza elettromotrice indotta dal<br />
movimento <strong>del</strong> rotore all’interno <strong>del</strong> campo magnetico <strong>del</strong>lo statore, e la corrente che percorre le spire<br />
Πe = ebi = −N 4<br />
LRBωi (10.22)<br />
π<br />
10-5
Figura 10.4: Il mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> motore in corrente continua<br />
ed è negativa in quanto è assorbita dal motore.<br />
Le due potenze sono uguali ed opposte; questo significa che in un bilancio <strong>di</strong> potenza non partecipano,<br />
inquantodalpunto<strong>di</strong>vistaelettromeccanico, ovvero, perquantoconcerneilsolofenomeno<strong>del</strong>l’induzione<br />
elettromagnetica, il motore trasforma potenza, ma non ne genera e neppure ne <strong>di</strong>ssipa.<br />
Ne consegue che la coppia fornita dal motore può essere espressa come<br />
Cm = Ki (10.23)<br />
mentre la forza elettromotrice esercitata dal rotore sul circuito <strong>di</strong> alimentazione può essere espressa come<br />
eb = −Kω (10.24)<br />
me<strong>di</strong>ante la stessa caratteristica K, che nei motori a magneti permanenti è costante, mentre in quelli avvoltièproporzionaleal<br />
flussomagneticogeneratodagli avvolgimentisullostatore, il qualeèproporzionale<br />
a sua volta alla corrente <strong>di</strong> eccitazione.<br />
10.2.7 Mo<strong>del</strong>lo elettro<strong>di</strong>namico <strong>del</strong> motore in c.c.<br />
La prima caratteristica da considerare in un motore è la sua impedenza elettrica. La miglior via <strong>di</strong><br />
determinazione è sperimentale, me<strong>di</strong>ante una sua identificazione: fissato il rotore e applicando al motore<br />
una tensione armonica a frequenza variabile, è possibile misurare la corrente risultante e determinare la<br />
caratteristica tra corrente e tensione. Il circuito elettrico equivalente risulta formato da una resistenza<br />
in serie ad un sistema <strong>di</strong> resistenza e induttanza in parallelo tra loro, secondo lo schema riportato in<br />
figura 10.4.<br />
In tale sistema, Ra e La rappresentano rispettivamente la resistenza e l’induttanza <strong>del</strong>l’armatura,<br />
mentre ea ed ia sono la tensione e la corrente <strong>di</strong> armatura. La resistenza Ra <strong>del</strong>l’armatura esprime<br />
la resistenza elettrica che l’insieme <strong>del</strong>le spire esercita sulla corrente <strong>di</strong> armatura ia. L’induttanza La<br />
<strong>del</strong>l’armatura esprime l’effetto <strong>di</strong> autoinduzione elettromagnetica che le spire esercitano su se stesse. La<br />
presenza <strong>del</strong>la resistenza RL viene spiegata attraverso le per<strong>di</strong>te nel circuito magnetico 2 : tale valore RL si<br />
2 A cavallo <strong>di</strong> due elementi in parallelo si ha la stessa <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale, mentre la corrente complessiva si ripartisce<br />
tra i due componenti. Nel caso in esame, i due componenti hanno caratteristiche <strong>di</strong>namiche <strong>di</strong>fferenti: il resistore è per<strong>corso</strong><br />
da una corrente<br />
iR = ∆V<br />
RL<br />
mentre l’induttore è per<strong>corso</strong> da una corrente che, nel dominio <strong>del</strong>le frequenze, si esprime come<br />
iL = ∆V<br />
jΩLa<br />
(10.25)<br />
(10.26)<br />
Ne consegue che, in con<strong>di</strong>zioni stazionarie, ovvero per i costante e Ω = 0, la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale sarà nulla e quin<strong>di</strong> la<br />
corrente passerà tutta per l’induttanza, mentre a frequenza Ω tendente ad infinito la corrente passerà tutta per la resistenza.<br />
Per valori finiti <strong>di</strong> frequenza, la corrente si ripartisce tra i due rami, privilegiando la resistenza via via che la frequenza<br />
cresce. In conclusione:<br />
10-6
Figura 10.5: Il mo<strong>del</strong>lo essenziale <strong>del</strong> motore in corrente continua<br />
presenta molto maggiore <strong>del</strong> corrispondenteRa (5-10 volte), ritenendo pertanto il suo effetto trascurabile,<br />
in quanto, a bassa frequenza, la corrente che passa per la resistenza RL è minima.<br />
Il circuito elettrico equivalente <strong>di</strong>venta pertanto come in figura 10.5 ed è pertanto possibile scrivere<br />
l’equazione<strong>di</strong> chiusura<strong>del</strong>la maglia (annullamento<strong>del</strong>le tensioni sulla maglia) per l’avvolgimento rotorico<br />
<strong>di</strong>a<br />
La<br />
dt +Raia −eb = ea<br />
(10.27)<br />
dove la forza controelettromotrice eb risulta proporzionale alla velocità angolare <strong>del</strong> rotore stesso, come<br />
in<strong>di</strong>cato nella (10.24).<br />
Nei motori a magneti permanenti il controllo in genere si ottiene variando la tensione <strong>di</strong> alimentazione<br />
ea. Nei motori ad avvolgimento, come ulteriore parametro <strong>di</strong> controllo si <strong>di</strong>spone anche <strong>del</strong>la tensione <strong>di</strong><br />
alimentazione degli avvolgimenti, la quale fa variare K.<br />
10.2.8 Funzionamento e ren<strong>di</strong>mento <strong>del</strong> motore elettrico in c.c.<br />
Si consideri l’equazione (10.27) <strong>del</strong> motore elettrico in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime; in questo caso, da essa è<br />
possibile esplicitare la corrente elettrica<br />
ia = ea −Kω<br />
Ra<br />
(10.28)<br />
che, sostituita nella (10.23), consente <strong>di</strong> esprimere la <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>la coppia dalla velocità angolare <strong>del</strong><br />
motore<br />
Cm = K<br />
ea −<br />
Ra<br />
K2<br />
Ra<br />
ω (10.29)<br />
detta anche curva <strong>di</strong> funzionamento. Essa ha andamento rettilineo, con pendenza negativa; può essere<br />
traslata verticalmente variando la tensione <strong>di</strong> alimentazione ea, come illustrato in figura 10.6.<br />
La potenza elettrica che occorre fornire al motore è<br />
Πentrante = eaia<br />
che, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime, ovvero per corrente ia costante, a partire dalla (10.27), <strong>di</strong>venta<br />
Πentrante = Rai 2 a +Kωia<br />
(10.30)<br />
(10.31)<br />
• considerare infinita la resistenza RL significa privilegiare il comportamento“lento”<strong>del</strong> circuito, ovvero considerarne<br />
un’approssimazione statica;<br />
• la resistenza RL non ha un significato fisico preciso; serve a descrivere l’evidenza sperimentale che ad alta frequenza,<br />
quando nel mo<strong>del</strong>lo sopra in<strong>di</strong>cato una frazione via via più rilevante <strong>del</strong>la corrente si trova a passare per la resistenza<br />
anziché per l’induttanza, si manifesta una <strong>di</strong>ssipazione <strong>di</strong> potenza via via maggiore nel circuito.<br />
10-7
Figura 10.6: Curve <strong>di</strong> funzionamento <strong>di</strong> un motore elettrico in corrente continua per <strong>di</strong>verse tensioni <strong>di</strong><br />
alimentazione ea (rette oblique); la curva Cr rappresenta la coppia resistente generata da un generico<br />
utilizzatore, cambiata <strong>di</strong> segno.<br />
La potenza uscente, sotto forma <strong>di</strong> potenza meccanica, è data da<br />
Πuscente = −Cmω (10.32)<br />
ovvero, me<strong>di</strong>ante la (10.23)<br />
Πuscente = −Kiaω (10.33)<br />
Ne risulta un ren<strong>di</strong>mento<br />
η = − Πuscente<br />
=<br />
Πentrante<br />
1<br />
1+ Raia<br />
Kω<br />
(10.34)<br />
che <strong>di</strong>pende da corrente e velocità angolare. Si noti che il ren<strong>di</strong>mento va a zero nel momento in cui la<br />
coppia, e quin<strong>di</strong> la corrente, non è nulla ma si annulla la velocità angolare, e quin<strong>di</strong> il motore, fermo, deve<br />
sostenere un carico. Inoltre, il ren<strong>di</strong>mento è minore <strong>di</strong> 1 ogni qual volta ci sia corrente, e quin<strong>di</strong> coppia;<br />
la riduzione <strong>del</strong> ren<strong>di</strong>mento è <strong>di</strong> natura puramente elettrica, ed è legato alla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> potenziale che<br />
esprime la <strong>di</strong>ssipazione ohmica nel conduttore, descritta dal termine Raia, e al suo rapporto con la forza<br />
elettromotrice indotta, Kω.<br />
10.3 L’azionamento in corrente continua<br />
Si consideri un sistema costituito da un motore in c.c. con un carico inerziale illustrato in figura 10.7. In<br />
questa fase si vuole giungere alla scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> moto facendo alcuni cenni alla regolazione<br />
<strong>di</strong> tale sistema.<br />
Il sistema in esame è pertanto costituito da una massa m all’estremità <strong>di</strong> una trave priva <strong>di</strong> massa e<br />
schematizzabile come un corpo rigido <strong>di</strong> lunghezza L.<br />
L’altro estremo <strong>del</strong>la trave è vincolato tramite una cerniera in modo tale essa possa compiere un<br />
moto rotatorio nel piano orizzontale. Supponendo che gli attriti che si sviluppano nella cerniera siano<br />
rappresentabili con uno smorzatore <strong>di</strong> tipo viscoso, nascerà una coppia resistente proporzionale alla<br />
velocità <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong>la trave tramite il coefficiente <strong>di</strong> smorzamento viscoso equivalente rt.<br />
È possibile scrivere l’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> sistema tenendo conto <strong>del</strong>l’inerzia <strong>del</strong> motore Jm e <strong>del</strong><br />
carico ridotto all’albero motore Jr = ml 2 e <strong>di</strong> inevitabili <strong>di</strong>ssipazioni introdotte nel mo<strong>del</strong>lo attraverso il<br />
10-8
termine proporzionale alla velocità:<br />
Figura 10.7: Un carico inerziale<br />
(Jm +Jr) ¨ θ +rt ˙ θ = C. (10.35)<br />
Ricordando l’espressione <strong>del</strong>la coppia motrice (10.23) e le (10.27) e (10.24), si ottiene il sistema <strong>di</strong><br />
equazioni:<br />
⎧<br />
⎨ J¨ θ +rt ˙ θ −Kia = 0<br />
⎩<br />
<strong>di</strong>a<br />
La<br />
dt +Raia +K ˙ θ = ea<br />
(10.36)<br />
dove con J si è in<strong>di</strong>cata l’inerzia totale, comprensiva sia <strong>del</strong> momento d’inerzia <strong>del</strong> motore che <strong>del</strong> carico.<br />
Il sistema <strong>di</strong> equazioni descrive pertanto la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema; si nota come la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>le<br />
variabili <strong>di</strong> stato caratteristiche <strong>del</strong> motore sono mutuamente influenzate con le grandezze <strong>di</strong> stato<br />
caratteristiche <strong>del</strong>la meccanica.<br />
In conclusione si vuole illustrare come spesso anche le <strong>di</strong>scipline legate al controllo e all’automatica<br />
<strong>di</strong>ventino parte integrante <strong>del</strong>la mo<strong>del</strong>lazione <strong>di</strong>namica.<br />
Si pensi infatti <strong>di</strong> voler portare il sistema in una posizione desiderata o <strong>di</strong> riferimento θrif (controllo<br />
in posizione). L’azione <strong>del</strong>la coppia motrice C = Kia deve essere così regolata in modo da minimizzare<br />
la <strong>di</strong>fferenza tra la posizione angolare θ e quella <strong>di</strong> riferimento θrif.<br />
10.3.1 Controllo in tensione<br />
Essendo il motore l’organo <strong>di</strong> attuazione, la regolazione avviene tramite la tensione ea <strong>di</strong> alimentazione<br />
che potrà assumere, ad esempio, la forma:<br />
ea = Kp(θrif −θ) (10.37)<br />
in caso <strong>di</strong> semplice controllo proporzionale, o<br />
ea = Kp(θrif −θ)+Ki<br />
� t<br />
in caso <strong>di</strong> controllo proporzionale ed integrale.<br />
t0<br />
(θrif −θ) dt (10.38)<br />
Risposta in anello aperto. Si usi la trasformata <strong>di</strong> Laplace per esprimere la perturbazione <strong>di</strong><br />
rotazione θ in funzione <strong>del</strong>le perturbazioni <strong>di</strong> tensione <strong>di</strong> alimentazione ea e <strong>di</strong> coppia <strong>del</strong>l’utilizzatore<br />
Cr,<br />
(sL+R)ia +sKθ = ea<br />
(10.39a)<br />
� � 2<br />
s J +srt θ −Kia = Cr. (10.39b)<br />
10-9
Cr<br />
ea<br />
C(s)<br />
G(s)<br />
+ +<br />
Figura 10.8: Schema a blocchi <strong>del</strong> sistema in anello aperto<br />
Tipicamente Cr < 0 quando il funzionamento è <strong>di</strong>retto. Esplicitando la corrente ia dalla (10.39a) e<br />
sostituendola nella (10.39b) si ottiene<br />
da cui<br />
s � s 2 LaJ +s(RaJ +Lart)+ � Rart +K 2�� θ = Kea +(sLa +Ra)Cr, (10.40)<br />
θ = 1 K<br />
s (s2LaJ +s(RaJ +Lart)+(Rart +K 2 ))<br />
� �� �<br />
G(s)<br />
ea<br />
θ<br />
(10.41)<br />
+ 1 (sLa +Ra)<br />
s (s2LaJ +s(RaJ +Lart)+(Rart +K 2 Cr. (10.42)<br />
))<br />
� �� �<br />
C(s)<br />
La figura 10.8 mostra lo schema a blocchi <strong>del</strong> sistema in anello aperto.<br />
La funzione <strong>di</strong> trasferimento <strong>del</strong> sistema in anello aperto G(s) ha un polo nell’origine e altri due poli,<br />
tipicamente reali negativi e ben separati:<br />
�<br />
s = p 1|2 = − RaJ +Lart<br />
2LaJ<br />
��<br />
�<br />
±<br />
� RaJ +Lart<br />
2LaJ<br />
� 2<br />
− Rart +K 2<br />
, (10.43)<br />
LaJ<br />
<strong>di</strong> cui quello a più alta frequenza associato alla <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>la parte elettrica, e quello a più bassa<br />
frequenza associato alla <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>la parte meccanica.<br />
Occorre notare che non è stata specificata la natura <strong>del</strong>la coppia <strong>del</strong>l’utilizzatore; qualora essa presentasse<br />
una significativa <strong>di</strong>pendenza dall’angolo θ o dalle sue derivate potrebbe mo<strong>di</strong>ficare anche sostanzialmente<br />
la natura <strong>del</strong> sistema. Per questo motivo la regolazione <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong>namico da una parte<br />
richiede una conoscenza il più possibile dettagliata <strong>del</strong>la natura <strong>del</strong> sistema, mentre dall’altra deve essere<br />
il più possibile robusta per comportarsi adeguatamente anche in presenza <strong>di</strong> incertezze sul mo<strong>del</strong>lo.<br />
Controllo proporzionale. Il sistema <strong>di</strong> equazioni da risolvere, a partire dalla (10.36), <strong>di</strong>venta<br />
J ¨ θ +rt ˙ θ −Ki = 0 (10.44a)<br />
<strong>di</strong>a<br />
La<br />
dt +Raia +K ˙ θ = −Kp(θ −θrif) (10.44b)<br />
Quest’ultimo costituisce un sistema controllato in anello chiuso con una retroazione proporzionale all’errore<br />
angolare. L’obiettivo <strong>del</strong> controllo è quello <strong>di</strong> fare in modo che la rotazione <strong>del</strong> braccio θ(t) segua<br />
al meglio l’andamento desiderato θrif(t) (controllo in posizione).<br />
In questo esempio la grandezza in ingresso è la rotazione <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong> braccio θrif(t), mentre la<br />
grandezza in uscita è la rotazione effettiva <strong>del</strong> braccio stesso, θ(t).<br />
La presenza <strong>del</strong> termine <strong>di</strong> controllo proporzionale fa sì che la tensione <strong>di</strong> alimentazione vari in modo<br />
da garantire una coppia che si oppone all’errore <strong>di</strong> posizionamento. Tuttavia, in presenza <strong>di</strong> coppia<br />
resistente non nulla, perché nasca una coppia <strong>del</strong> motore che contrasti l’errore occorre che l’errore sia<br />
10-10
dB<br />
deg<br />
20<br />
0<br />
-20<br />
-40<br />
-60<br />
-80<br />
-100<br />
open loop<br />
1 10 100 1000<br />
-90<br />
-120<br />
-150<br />
-180<br />
-210<br />
-240<br />
-270<br />
1 10 100 1000<br />
Figura 10.9: Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto <strong>del</strong> motore elettrico in<br />
c.c.<br />
θrif<br />
Cr<br />
+ + +<br />
−<br />
R(s)<br />
ea<br />
G(s)<br />
ω<br />
C(s)<br />
Figura 10.10: Schema a blocchi <strong>del</strong> sistema in anello chiuso<br />
non nullo, e tanto più grande quanto più piccolo è il coefficiente <strong>di</strong> guadagno Kp. Aumentare il guadagno<br />
Kp riduce l’errore ma non lo può annullare. Inoltre, un aumento eccessivo porta conseguenze negative<br />
sulla stabilità <strong>del</strong> sistema controllato.<br />
La funzione <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto<br />
G(s) = 1<br />
s<br />
K<br />
(s2LaJ +s(RaJ +Lart)+(Rart +K 2 , (10.45)<br />
))<br />
illustrata in Figura 10.9 (a titolo <strong>di</strong> esempio, La = 10 −4 , J = 0.1, K = 0.1, Ra = 0.01 e rt = 0), esprime<br />
la rotazione θ <strong>del</strong> motore in funzione <strong>del</strong>la tensione <strong>di</strong> alimentazione ea.<br />
Con riferimento allo schema a blocchi <strong>del</strong> sistema retroazionato <strong>di</strong> figura 10.10, il controllo proporzionale<br />
consiste nel progettare il regolatore R(s), che concorre a formare la funzione d’anello <strong>del</strong><br />
sistema regolato L(s) = R(s)G(s), nel modo più semplice possibile, in base solamente ad un progetto<br />
statico. Con i meto<strong>di</strong> <strong>del</strong>l’automatica, si ipotizzi infatti <strong>di</strong> realizzare un regolatore R(s) = R1(s)R2(s),<br />
ove R1(s) = s −gR µR viene progettato staticamente, mentre R2(s) è una funzione polinomiale razionale<br />
che garantisca la stabilità <strong>del</strong> sistema controllato. Nel caso <strong>del</strong> controllo proporzionale, si sceglie a priori<br />
gR = 0 e R2(s) = 1, nell’ipotesi <strong>di</strong> poter ottenere le prestazioni desiderate contestualmente alla stabilità<br />
<strong>del</strong> sistema agendo soltanto sul guadagno µR = Kp. La funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
10-11<br />
θ
dB<br />
deg<br />
20<br />
0<br />
-20<br />
-40<br />
-60<br />
-80<br />
-100<br />
0<br />
-60<br />
-120<br />
-180<br />
-240<br />
open loop<br />
open loop, regulated<br />
closed loop<br />
1 10 100 1000<br />
1 10 100 1000<br />
Figura 10.11: Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c.<br />
L(s) = KpG(s), il che corrisponde a traslare verticalmente la curva <strong>del</strong> modulo <strong>del</strong>la funzione G(s) nel<br />
<strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Bode senza mo<strong>di</strong>ficarne la fase.<br />
Siccome il sistema ha un polo nell’origine, a bassa frequenza la fase è −90 gra<strong>di</strong>. Quando la frequenza<br />
si avvicina al polo non nell’origine più piccolo in modulo, o polo dominante, la fase tende a −180 gra<strong>di</strong>.<br />
Siccome secondo il criterio <strong>di</strong> Bode occorre che l’attraversamento <strong>del</strong>l’asse a 0 dB avvenga quando la fase<br />
è sufficientemente in anticipo rispetto a −180 gra<strong>di</strong>, esso deve avvenire a frequenza inferiore a quella <strong>del</strong><br />
polo dominante.<br />
Sia ωc la frequenza alla quale il modulo <strong>del</strong>la funzione L(s) vale 0 dB (frequenza <strong>di</strong> crossover); sia<br />
ω la frequenza alla quale il modulo <strong>del</strong>la funzione L(s) vale −3 dB, in modo da avere un certo margine<br />
rispetto a ωc. Se si approssima la funzione <strong>di</strong> trasferimento <strong>del</strong> sistema con il solo polo dominante, in<br />
aggiunta a quello nell’origine, si ha una fase <strong>di</strong> −120 gra<strong>di</strong>, che garantisce un margine <strong>di</strong> fase <strong>di</strong> 60 gra<strong>di</strong>,<br />
quando ωc = −p1/ √ 3. Allora L(jω), per ω < ωc, vale circa<br />
L(jω) ∼ = 1 KpK<br />
jω Rart +K 2.<br />
Imponendo che 20log 10(�L(jω)�) = −3 dB si ricava<br />
ω<br />
(10.46)<br />
Kp = 10 −3/20 ω Rart +K 2<br />
∼= 0.7ω<br />
K<br />
Rart +K 2<br />
. (10.47)<br />
K<br />
Questo valore rappresenta il limite superiore al guadagno che garantisce la stabilità con un semplice<br />
controllo proporzionale. Occorre notare che un controllo <strong>di</strong> questo tipo non è necessariamente robusto,<br />
né rende il sistema particolarmente performante, in quanto non consente <strong>di</strong> aumentare sensibilmente il<br />
guadagno a bassa frequenza.<br />
Esercizio 10.1 Si calcolino il margine <strong>di</strong> fase e <strong>di</strong> guadagno <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento (10.45).<br />
Esercizio 10.2 Si verifichi la robustezza <strong>del</strong> controllo proporzionale appena progettato, in termini <strong>di</strong><br />
margine <strong>di</strong> fase e <strong>di</strong> guadagno, al variare <strong>di</strong> rt.<br />
La Figura 10.11, rispetto alla 10.9, mostra anche la funzione <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto scalata<br />
per il guadagno µR, ovvero la funzione d’anello L(s), mettendo in evidenza come essa valga −3 dB<br />
10-12
imag<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
-1.5 -1 -0.5 0<br />
real<br />
open loop<br />
open loop, regulated<br />
closed loop<br />
Figura 10.12: Diagramma <strong>di</strong> Nyquist <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c.<br />
quando la fase è −120 gra<strong>di</strong>, e la funzione in anello chiuso, F(s), che ricalca la precedente ad alta<br />
frequenza mentre assume guadagno unitario a frequenze inferiori a ωc. La Figura 10.12 mostra le stesse<br />
funzioni <strong>di</strong> trasferimento nel piano complesso.<br />
Inuncertosenso, l’uso<strong>del</strong>controlloproporzionaleinsistemi<strong>di</strong>questotipoconsente<strong>di</strong>nonconsiderare<br />
la<strong>di</strong>namica<strong>del</strong>sistemanelprogetto<strong>del</strong>regolatoresemplicementeperchéèpossibilefareinmodochenella<br />
banda<strong>di</strong>frequenzeincuiessasimanifesta(al<strong>di</strong>sopra<strong>di</strong>ωc) l’ampiezza<strong>del</strong>larispostasiasufficientemente<br />
attenuata da non consentirle <strong>di</strong> mettere a rischio la stabilità <strong>del</strong> sistema. Perché questa con<strong>di</strong>zione sia<br />
sod<strong>di</strong>sfatta, però, occorre porre un limite al guadagno, e quin<strong>di</strong> alle prestazioni <strong>del</strong> sistema in anello<br />
chiuso.<br />
La funzione <strong>di</strong> trasferimento in anello chiuso è data da F(s) = L(s)/(1+L(s)); se L(s) è razionale,<br />
e quin<strong>di</strong> può essere espressa come L(s) = N(s)/D(s), si ha F(s) = N(s)/(D(s) + N(s)). Nel caso in<br />
esame si ottiene<br />
� 3<br />
s LaJ +s 2 (RaJ +Lart)+s � Rart +K 2� �<br />
+KKp θ = KKpθrif +(sLa +Ra)Cr, (10.48)<br />
da cui<br />
θ =<br />
KKp<br />
s 3 LaJ +s 2 (RaJ +Lart)+s(Rart +K 2 )+KKp<br />
� �� �<br />
F(s)<br />
sLa +Ra<br />
+<br />
s3LaJ +s2 (RaJ +Lart)+s(Rart +K 2 Cr. (10.49)<br />
)+KKp<br />
La <strong>di</strong>fferenza sostanziale, rispetto al caso in anello aperto, sta nel fatto che il polo nell’origine è stato<br />
rimpiazzato da un polo circa in ωc, come appare chiaramente dalla Figura 10.11.<br />
La funzione che moltiplica Cr rappresenta l’ammettenza <strong>del</strong> sistema in anello chiuso, ovvero la<br />
rotazione <strong>del</strong> motore in funzione <strong>del</strong> carico applicato. Per s = 0 si ha la cedevolezza statica <strong>del</strong> sistema,<br />
θ (s=0) = Ra<br />
Cr(s=0). (10.50)<br />
KKp<br />
Come si vede, è costituita da termini elettrici (K e Ra) e legati al controllo (Kp). La cedevolezza statica<br />
rappresenta l’errore statico per effetto <strong>di</strong> un <strong>di</strong>sturbo <strong>di</strong> coppia.<br />
L’ammettenza si mantiene costante fino al primo polo, circa in ωc, poi scende fino ad avere asintoticamente<br />
pendenza −2 (−40 dB) per via <strong>del</strong>lo zero in −Ra/La. Quin<strong>di</strong> l’errore <strong>di</strong>namico associato ad un<br />
10-13<br />
θrif
<strong>di</strong>sturbo <strong>di</strong> coppia si attenua al crescere <strong>del</strong>la frequenza, in quanto l’ammettenza è analoga ad un filtro<br />
passa-basso <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne.<br />
Esercizio 10.3 Si valuti la banda passante <strong>del</strong> sistema (10.49).<br />
Esercizio 10.4 Si valuti la sensitività al <strong>di</strong>sturbo <strong>di</strong> coppia Cr <strong>del</strong> sistema (10.49).<br />
Controllo proporzionale-integrale. Occorre conoscere l’integrale <strong>del</strong>l’errore <strong>di</strong> posizionamento. Si<br />
definisca una nuova variabile (o stato) e, tale per cui ˙e = θ −θrif. Il problema <strong>di</strong>venta<br />
J ¨ θ +rt ˙ θ −Kia = 0 (10.51a)<br />
<strong>di</strong>a<br />
La<br />
dt +Raia +K ˙ θ = −Kp(θ −θrif)−Kie (10.51b)<br />
˙e = θ −θrif. (10.51c)<br />
La presenza <strong>del</strong> termine integrale fa sì che la tensione <strong>di</strong> alimentazione <strong>di</strong>penda anche da quanto l’errore<br />
è perdurato nel tempo. Di conseguenza, la tensione avrà anche un contributo persistente, che smette <strong>di</strong><br />
crescere solo quando l’errore si è esattamente annullato.<br />
Esercizio 10.5 Si in<strong>di</strong>chi come l’aggiunta <strong>del</strong> contributointegraleal controllo possa giovare alle prestazioni<br />
statiche <strong>del</strong> sistema controllato, garantendo nel contempo caratteristiche <strong>di</strong> stabilità analoghe a quelle <strong>del</strong><br />
controllo puramente proporzionale.<br />
10.3.2 Controllo in corrente<br />
Me<strong>di</strong>ante l’uso <strong>di</strong> amplificatori <strong>di</strong> potenza è possibile separare l’azionamento meccanico, ovvero la generazione<br />
<strong>del</strong>la coppia Cm = Ki, dalla generazione <strong>del</strong>la corrente i necessaria per ottenere la coppia. In<br />
questo caso, purché si rimanga al <strong>di</strong> sotto <strong>del</strong> valore imax <strong>di</strong> saturazione, è possibile imporre <strong>di</strong>rettamente<br />
il valore <strong>del</strong>la corrente desiderata.<br />
Il mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> motore si riduce quin<strong>di</strong> a<br />
J ¨ θ = Ki+Cr<br />
ovvero, nel dominio <strong>di</strong> Laplace,<br />
θ = 1<br />
s 2<br />
K<br />
J<br />
� �� �<br />
G(s)<br />
(10.52)<br />
i+ 1<br />
s2 1<br />
J Cr, (10.53)<br />
a meno <strong>di</strong> poli ad alta frequenza. Quin<strong>di</strong> la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la corrente e la rotazione è<br />
semplicemente costituita da due poli nell’origine. Perché la funzione d’anello garantisca la stabilità e<br />
le prestazioni desiderate occorre progettare un regolatore che abbia uno zero al <strong>di</strong> sotto <strong>del</strong>la frequenza<br />
ωc alla quale la funzione d’anello vale 0 dB, e almeno un polo a frequenza superiore ad ωc, in modo da<br />
ripristinare il comportamento asintotico <strong>del</strong>la (10.53) e cancellare il più rapidamente possibile eventuali<br />
<strong>di</strong>namiche ad alta frequenza. In questo modo il margine <strong>di</strong> fase sarà <strong>di</strong> circa 90 gra<strong>di</strong>.<br />
Si vuole quin<strong>di</strong> progettare un regolatore <strong>del</strong>la corrente in funzione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>fferenza tra l’angolo<br />
desiderato e quello effettivo, i = R(s)(θrif −θ), con la struttura<br />
1+s/z<br />
R(s) = µR , (10.54)<br />
1+s/p<br />
dove µR è il guadagno statico, z lo zero e p il polo. Si scelga z = 0.1ωc e p = 10.0ωc; il guadagno si<br />
determina imponendo che il modulo <strong>del</strong>la funzione d’anello L(s) = R(s)G(s) valga 0 dB per s = jωc.<br />
Data la G(s), si ha circa<br />
�<br />
�<br />
�L(jω)� = �<br />
� µR<br />
1+j/0.1 1<br />
1+j/10.0<br />
ω 2 c<br />
K<br />
J<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ∼ = µR 1<br />
0.1<br />
ω 2 c<br />
K<br />
J<br />
= 1 (10.55)<br />
10-14
dB<br />
deg<br />
100<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
-100<br />
-150<br />
-200<br />
0<br />
-60<br />
-120<br />
-180<br />
-240<br />
open loop<br />
open loop, regulated<br />
closed loop<br />
0.01 0.1 1 10 100 1000<br />
0.01 0.1 1 10 100 1000<br />
Figura 10.13: Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c. controllato in corrente.<br />
da cui si ricava<br />
µR = 0.1ω 2 c<br />
J<br />
K<br />
La funzione ad anello chiuso <strong>di</strong>venta<br />
ω<br />
(10.56)<br />
1+s/z<br />
θ = µRK<br />
s2 (1+s/p)J +µRK(1+s/z) θrif<br />
1+s/p<br />
+<br />
s2 (1+s/p)J +µRK(1+s/z) Cr. (10.57)<br />
Si noti come l’errore statico sia 1/(µRK), ovvero circa 1/(0.1ω 2 cJ).<br />
Le figure 10.13 e 10.14 mostrano rispettivamente il <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Bode e <strong>di</strong> Nyquist <strong>del</strong>le funzioni<br />
<strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore controllato in corrente per J = 1 kg m 2 , K = 1 V<br />
s/ra<strong>di</strong>an, ωc = 10 ra<strong>di</strong>an/s.<br />
Questo progetto sembra in<strong>di</strong>care che scegliendo ωc opportunamente grande è possibile aumentare a<br />
piacere la banda passante <strong>del</strong> motore e/o aumentare a piacere il guadagno statico e quin<strong>di</strong> ridurre l’errore<br />
<strong>di</strong> posizionamento statico. Vi possono essere, però, <strong>del</strong>le controin<strong>di</strong>cazioni. Per esempio, se il sistema<br />
presenta <strong>del</strong>le <strong>di</strong>namiche poco smorzate ad alta frequenza (ad esempio una coppia <strong>di</strong> poli complessi<br />
coniugati con smorzamento basso), quando ωc <strong>di</strong>venta sufficientemente grande il picco corrispondente<br />
ai poli complessi coniugati verrà amplificato fino a far assumere valore unitario alla funzione d’anello<br />
alla frequenza corrispondente. Di conseguenza si rischia <strong>di</strong> avere spill-over, ovvero eccitazione <strong>di</strong> mo<strong>di</strong><br />
non previsti nel progetto <strong>del</strong> regolatore. Siccome su tali mo<strong>di</strong> è possibile che ci siano incertezze, sia in<br />
termini <strong>di</strong> frequenza che soprattutto <strong>di</strong> smorzamento, dovuti sia alla <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> caratterizzarli che alla<br />
loro variabilità in funzione <strong>di</strong> parametri <strong>del</strong> sistema (in <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>la configurazione, per esempio), è<br />
opportuno cautelarsi adeguatamente.<br />
Esercizio 10.6 Si consideri la funzione d’anello <strong>del</strong> motore controllato in corrente. Si aggiunga una<br />
coppia <strong>di</strong> poli complessi coniugati con pulsazione caratteristica arbitrariamente alta e smorzamento <strong>del</strong>l’1%.<br />
Si <strong>di</strong>agrammi la funzione d’anello per <strong>di</strong>versi valori <strong>di</strong> guadagno, in modo che ωc si avvicini via<br />
via alla pulsazione caratteristica dei due poli ad alta frequenza.<br />
Esercizio 10.7 Si aggiunga al regolatore un polo nell’origine per cancellare l’errore statico; quale altra<br />
mo<strong>di</strong>fica occorre apportare al regolatore per garantire la stabilità <strong>del</strong> sistema controllato?<br />
10-15
imag<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
-1.5 -1 -0.5 0<br />
real<br />
open loop<br />
open loop, regulated<br />
closed loop<br />
Figura 10.14: Diagramma <strong>di</strong> Nyquist <strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> trasferimento in anello aperto e chiuso <strong>del</strong> motore<br />
elettrico in c.c. controllato in corrente.<br />
10.3.3 Azionamento in c.c. <strong>di</strong> un compressore<br />
L’obiettivo in questo caso è regolare la velocità angolare <strong>di</strong> un compressore azionato da un motore in<br />
corrente continua. Il motore in c.c. è costituito da un rotore <strong>di</strong> momento d’inerzia Jm.<br />
Sulrotoreagisceunacoppiamotriceproporzionaleallacorrente<strong>di</strong>armaturaia, secondouncoefficiente<br />
<strong>di</strong> coppia K, come descritto nella (10.23).<br />
La curva caratteristica <strong>del</strong> motore, ovvero la coppia motrice erogata a regime, quin<strong>di</strong> per ¨ θ = 0 e<br />
<strong>di</strong>/dt = 0, si presenta lineare, funzione parametrica <strong>del</strong>la tensione <strong>di</strong> alimentazione ea<br />
C = K<br />
Ra<br />
�<br />
ea −K ˙ �<br />
θ<br />
(10.58)<br />
La curva caratteristica <strong>del</strong> compressore può essere in prima approssimazione schematizzata come una<br />
funzione proporzionale al quadrato 3 <strong>del</strong>la velocità angolare:<br />
Cr = −r ˙ θ 2 , (10.59)<br />
con r > 0. L’equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong>l’albero è:<br />
J ¨ θ = C +Cr<br />
(10.60)<br />
dove con J si è in<strong>di</strong>cata l’inerzia totale comprensiva sia <strong>del</strong> momento d’inerzia <strong>del</strong> motore che <strong>del</strong><br />
compressore. Sostituendo l’equazione caratteristica <strong>del</strong> compressore e l’equazione motore si ottiene:<br />
J ¨ θ +r ˙ θ 2 = Kia<br />
(10.61)<br />
Per ricavare ora la corrente ia in funzione <strong>del</strong>la grandezza <strong>di</strong> regolazione ea, tensione <strong>di</strong> alimentazione<br />
<strong>del</strong> motore, si deve ricorrere al mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> motore introdotto nella (10.27). Le equazioni <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica<br />
<strong>del</strong> sistema <strong>di</strong>ventano pertanto<br />
⎧<br />
⎨ J¨ θ +r ˙ θ2 −Kia = 0<br />
⎩<br />
<strong>di</strong>a<br />
La<br />
dt +Raia +K ˙ θ = ea<br />
(10.62)<br />
3 A rigore, la curva caratteristica dovrebbe essere espressa come Cr = −r� ˙ θ� ˙ θ, in quanto la coppia si oppone sempre<br />
alla velocità angolare. La <strong>di</strong>stinzione è superflua se la velocità angolare ha sempre segno positivo.<br />
10-16
Figura 10.15: Il motore <strong>di</strong> azionamento <strong>di</strong> un compressore e le relative curve caratteristiche<br />
e quin<strong>di</strong> possono essere viste nella forma:<br />
⎧<br />
⎪⎨ ¨θ = −<br />
⎪⎩<br />
r<br />
J ˙ θ2 + K<br />
J ia<br />
<strong>di</strong>a<br />
= −Raia<br />
−<br />
dt La<br />
K<br />
˙θ +<br />
La<br />
1<br />
ea<br />
La<br />
Definendo ora il vettore <strong>di</strong> stato<br />
� �<br />
˙θ<br />
{x} =<br />
ia<br />
e il vettore degli ingressi<br />
� �<br />
0<br />
{u} =<br />
ea<br />
il sistema <strong>di</strong> equazioni può essere scritto nella forma<br />
(10.63)<br />
(10.64)<br />
(10.65)<br />
{˙x} = {f ({x})}+[B]{u} (10.66)<br />
Taleequazione, comesivede, ènonlineareepermette, unavoltanotalatensioneea, <strong>di</strong>ricavarelavelocità<br />
angolare<strong>del</strong>sistema. Naturalmentetalemo<strong>del</strong>lopuòfornire, datalavelocitàel’accelerazioneangolare, la<br />
tensione <strong>di</strong> alimentazione <strong>del</strong> motore stesso; tale applicazione, che sfrutta la <strong>di</strong>namica inversa <strong>del</strong> sistema,<br />
può ad esempio servire per controllare in anello aperto la velocità <strong>del</strong> compressore. Naturalmente tale<br />
logica<strong>di</strong>controlloinanelloapertosoffredegliinconvenientiderivantidalnonconsiderarei<strong>di</strong>sturbiesterni<br />
e le incertezze <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo stesso.<br />
Si possono integrare numericamente le (10.63) e analizzare la risposta ad assegnati andamenti <strong>del</strong>la<br />
tensione ea(t). In alternativa, dal momento che interessa stu<strong>di</strong>are il comportamento <strong>del</strong> sistema nell’intorno<br />
<strong>del</strong>la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> funzionamento a regime, il problema può essere analizzato linearizzando le<br />
equazioni <strong>di</strong> moto nell’intorno <strong>di</strong> una assegnata velocità ˙ θ0 ritenuta costante.<br />
Tale analisi si effettua risolvendo il sistema <strong>di</strong> equazioni algebriche non lineari<br />
{0} = {f ({x})}+[B]{u} (10.67)<br />
ottenuto dalla (10.66), dal momento che si ricerca la soluzione avendola supposta costante; si ottiene<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 = −<br />
⎪⎩<br />
r<br />
J ˙ θ2 + K<br />
J ia<br />
0 = − Ra<br />
ia − K<br />
˙θ + 1<br />
(10.68)<br />
La<br />
La<br />
ea<br />
La<br />
da cui è possibile determinare la tensione necessaria e la conseguente corrente che circola nel circuito<br />
statorico, o viceversa conoscere la velocità angolare ad una assegnata tensione <strong>di</strong> alimentazione ea0.<br />
Tale soluzione può essere inoltre vista in forma grafica come in figura 10.16, permettendo ancora una<br />
volta <strong>di</strong> ricavare, nota ea0, la velocità angolare <strong>di</strong> regime e la coppia <strong>di</strong> regime.<br />
10-17
Figura 10.16: Con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> moto a regime per il sistema motore a c.c.-compressore<br />
10.3.4 L’analisi <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong> sistema<br />
Si possono a questo punto linearizzare le equazioni <strong>di</strong> moto non lineari nell’intorno <strong>del</strong>la posizione <strong>di</strong><br />
equilibrio<br />
� �<br />
˙θ0<br />
{x0} =<br />
(10.69)<br />
ia0<br />
ovvero, in<strong>di</strong>cando con ∆˙ θ = ˙ θ − ˙ θ0 e ∆ia = ia −ia0, da cui ∆{x} = {x}−{x0}, si ottiene<br />
∆{˙x} = {f ({x0})}+ ∂{f}<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂{x}<br />
∆{x}+[B]{u} (10.70)<br />
ma, per definizione <strong>di</strong> equilibrio,<br />
� {x0}<br />
{f ({x0})}+[B]{u0} = {0} (10.71)<br />
per cui l’equazione <strong>di</strong>venta<br />
∆{˙x} = ∂{f}<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂{x}<br />
∆{x}+[B]∆{u} = [A]∆{x}+[B]∆{u} (10.72)<br />
con<br />
[A] =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
− 2r˙ θ0<br />
J<br />
− K<br />
La<br />
� {x0}<br />
L’omogenea associata<br />
K<br />
J<br />
− Ra<br />
La<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(10.73)<br />
∆{˙x} = [A]∆{x} (10.74)<br />
ammette la soluzione generica:<br />
∆{x} = {X}e λt<br />
che, sostituita nella (10.74), dà<br />
(10.75)<br />
([A]−[I]λ){X}e λt = {0} (10.76)<br />
Il sistema <strong>di</strong> equazioni ammette soluzione <strong>di</strong>versa da quella banale {X} = {0} se il determinante<br />
<strong>del</strong>la matrice dei coefficienti è nullo, ovvero se<br />
⎛⎡<br />
⎜⎢<br />
−<br />
det⎜⎢<br />
⎝⎣<br />
2r˙ θ0<br />
J −λ<br />
K<br />
J<br />
− K<br />
−<br />
La<br />
Ra<br />
⎤⎞<br />
⎥⎟<br />
⎥⎟<br />
⎦⎠<br />
= 0 (10.77)<br />
−λ<br />
La<br />
10-18
ovvero<br />
λ 2 +<br />
�<br />
2r˙ �<br />
θ0 Ra<br />
+ λ+<br />
J La<br />
K2 +2r ˙ θ0Ra<br />
= 0 (10.78)<br />
JLa<br />
Risolvendol’equazionecaratteristicaprecedenteèpossibilecalcolarelera<strong>di</strong>ci(oautovalori)<strong>del</strong>sistema<br />
λ = 1<br />
⎛<br />
�<br />
⎜ 2r<br />
⎝−<br />
2<br />
˙ �<br />
�<br />
��<br />
� θ0 Ra<br />
+ ±<br />
� 2r<br />
J La<br />
˙ �2 θ0 Ra<br />
+ −4<br />
J La<br />
K2 +2r ˙ ⎞<br />
θ0Ra⎟<br />
⎠ (10.79)<br />
JLa<br />
che sono un in<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>la stabilità <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio rispetto alla quale il sistema è stato<br />
linearizzato.<br />
Si noti come il primo addendo degli autovalori sia sempre negativo; quin<strong>di</strong> il sistema è stabile se la<br />
parte sotto ra<strong>di</strong>ce è minore in modulo <strong>del</strong> primo addendo, ovvero<br />
K 2<br />
Ra<br />
+2r ˙ θ0 > 0. (10.80)<br />
Inoltre, a seconda che il ra<strong>di</strong>cando sia maggiore o minore <strong>di</strong> zero, i due autovalori stabili si possono<br />
presentare puramente reali (negativi) o complessi coniugati.<br />
Se invece<br />
K 2<br />
Ra<br />
+2r ˙ θ0 < 0 (10.81)<br />
il sistema presenta una forma <strong>di</strong> instabilità statica messa in evidenza dal fatto che un autovalore ha parte<br />
reale positiva.<br />
Stabilità statica. Ad analoghe conclusioni si può giungere considerando l’equazione<br />
J¨ � � � �<br />
θ = C ˙θ +Cr<br />
˙θ<br />
(10.82)<br />
ossia considerando le curve caratteristiche ad una assegnata tensione <strong>di</strong> armatura ea. Definita ˙ θ0 dalla<br />
soluzione <strong>del</strong>l’equazione (10.82) per ¨ θ = 0, è possibile effettuare l’analisi <strong>di</strong> stabilità linearizzando<br />
nell’intorno <strong>del</strong>la velocità angolare trovata, ottenendo pertanto<br />
J¨ � �<br />
θ = C ˙θ0<br />
da cui<br />
J∆¨ �<br />
∂C<br />
θ =<br />
∂˙ �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
+ ∂C<br />
∂ ˙ θ<br />
� ˙θ0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ˙θ0<br />
+ ∂Cr<br />
∂ ˙ θ<br />
che ammette come soluzione<br />
˙θ = Ωe λt<br />
� ˙θ − ˙ θ0<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ˙θ0<br />
�<br />
�<br />
+Cr<br />
� �<br />
˙θ0<br />
+ ∂Cr<br />
∂ ˙ θ<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ˙θ0<br />
� �<br />
˙θ −θ0 ˙ , (10.83)<br />
∆ ˙ θ, (10.84)<br />
(10.85)<br />
che, sostituita nell’omogenea associata<br />
�<br />
∂C<br />
∂˙ �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
� +<br />
˙θ0<br />
∂Cr<br />
∂˙ � �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
� −Jλ ∆<br />
˙θ0<br />
˙ θ = 0, (10.86)<br />
da cui:<br />
λ = 1<br />
J<br />
�<br />
∂C<br />
∂˙ �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
� ˙θ0<br />
+ ∂Cr<br />
∂ ˙ θ<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ˙θ0<br />
�<br />
. (10.87)<br />
10-19
Perché il sistema si presenti come stabile, l’autovalore λ, essendo reale, deve essere negativo, ovvero deve<br />
essere:<br />
∂C<br />
∂˙ �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
� +<br />
˙θ0<br />
∂Cr<br />
∂˙ �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
� < 0. (10.88)<br />
˙θ0<br />
Ricordando l’espressione (10.58) <strong>del</strong>la coppia motrice a regime, e quella (10.59) <strong>del</strong>la coppia resistente<br />
si ottiene così la medesima con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> stabilità:<br />
∂C<br />
∂˙ �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
� +<br />
˙θ0<br />
∂Cr<br />
∂˙ �<br />
�<br />
�<br />
θ<br />
� = −<br />
˙θ0<br />
K2<br />
−2r<br />
Ra<br />
˙ θ0 < 0. (10.89)<br />
L’analisi <strong>di</strong> stabilità presentata in questo paragrafo va sotto il nome, forse improprio, <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la<br />
stabilità statica. Essaconsistenel valutare, a partireda una con<strong>di</strong>zione<strong>di</strong> riferimento<strong>di</strong> equilibriostatico,<br />
la variazione dei termini che compongono un’equazione <strong>di</strong> equilibrio in conseguenza <strong>di</strong> una variazione<br />
<strong>del</strong>la derivata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne minimo <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata libera; nel caso in esame, ˙ θ. Questo tipo <strong>di</strong> analisi<br />
consente <strong>di</strong> esprimere una con<strong>di</strong>zione necessaria, ma non sufficiente, per la stabilità <strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong><br />
riferimento. Per una trattazione più approfon<strong>di</strong>ta si veda il capitolo 7.<br />
Controllo proporzionale. Si consideri l’equazione<br />
J ˙ω = Ki+Cr(ω) (10.90)<br />
con la corrente <strong>del</strong> motore data dalla<br />
Rai+Kω = ea, (10.91)<br />
avendo scelto <strong>di</strong> definire<br />
ea = −Kp(θ −θrif). (10.92)<br />
Questo corrisponde a trascurare la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>la parte elettrica <strong>del</strong> motore, ovvero La<strong>di</strong>/dt ∼ = 0. A<br />
seguito <strong>di</strong> una linerizzazione attorno ad una posizione <strong>di</strong> equilibrio θ0 = 0, da cui ω0 = 0, si ottiene<br />
l’equazione<br />
J ˙ω = − K<br />
Kp(θ −θrif)−<br />
Ra<br />
K2<br />
Ra<br />
a cui occorre aggiungere ˙ θ = ω. Si ha quin<strong>di</strong><br />
⎡<br />
� �<br />
˙θ 0 1<br />
= ⎣<br />
˙ω − K<br />
Kp −<br />
JRa<br />
K2<br />
+<br />
JRa<br />
C ⎤ ⎧<br />
� � ⎨ 0<br />
⎦<br />
θ<br />
r/ω + K<br />
ω ⎩<br />
J JRa<br />
ω +C r/ωω, (10.93)<br />
Kp<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ θrif. (10.94)<br />
Il polinomio caratteristico <strong>del</strong>la matrice è<br />
λ 2 � 2 K<br />
+λ −<br />
JRa<br />
C �<br />
/ω<br />
+<br />
J<br />
K<br />
Kp = 0. (10.95)<br />
JRa<br />
Perché la soluzione <strong>di</strong> equilibrio sia stabile occorre che gli autovalori abbiano parte reale negativa. si<br />
ottiene<br />
λ = − 1<br />
� 2 K<br />
−<br />
2 JRa<br />
C �<br />
�<br />
�<br />
/ω 1 K2 ± −<br />
J 4 JRa<br />
C �2 /ω<br />
−<br />
J<br />
K<br />
Kp<br />
(10.96)<br />
JRa<br />
Occorre che Kp > 0 e C /ω < K 2 /Ra affinché gli autovalori abbiano sicuramente parte reale negativa.<br />
Se Kp è sufficientemente grande da rendere il <strong>di</strong>scriminante negativo, gli autovalori <strong>di</strong>ventano complessi<br />
coniugati. Questo può rappresentare un vantaggio, nel senso che la rapi<strong>di</strong>tà con cui il sistema risponde<br />
è maggiore, ma introduce sovraelongazione nella risposta. Per questo motivo, è opportuno che Kp sia<br />
limitato. Intuitivamente, è opportuno che lo smorzamento <strong>del</strong> sistema sia prossimo a quello critico.<br />
10-20
Controllo proporzionale-integrale. Si definisca ora<br />
ea = −Kp(θ −θrif)−Ki<br />
� t<br />
t0<br />
(θ −θrif) dt; (10.97)<br />
aggiungendo al sistema precedente l’equazione ˙e = θ −θrif, si ottiene<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ ˙e ⎬<br />
˙θ<br />
⎩ ⎭<br />
˙ω<br />
=<br />
⎡<br />
0 1<br />
⎢ 0 0<br />
⎣<br />
−<br />
0<br />
1<br />
K<br />
Ki −<br />
JRa<br />
K<br />
Kp<br />
JRa<br />
− K2<br />
+<br />
JRa<br />
C ⎤<br />
⎧ ⎫<br />
⎥⎨<br />
e ⎬<br />
⎥<br />
⎦<br />
θ<br />
r/ω ⎩ ⎭<br />
ω<br />
J<br />
+<br />
Il polinomio caratteristico <strong>del</strong>la matrice è<br />
⎧ ⎫<br />
⎪⎨<br />
−1 ⎪⎬<br />
0<br />
θrif.<br />
⎪⎩<br />
K ⎪⎭ Kp<br />
JRa<br />
(10.98)<br />
λ 3 +λ 2<br />
� 2 K<br />
−<br />
JRa<br />
C �<br />
r/ω<br />
+λ<br />
J<br />
K<br />
Kp +<br />
JRa<br />
K<br />
Ki = 0.<br />
JRa<br />
(10.99)<br />
L’espressione analitica <strong>del</strong>le ra<strong>di</strong>ci è piuttosto involuta e poco espressiva. Tuttavia, si può notare come un<br />
requisito per l’asintotica stabilità sia dato dal criterio <strong>di</strong> Routh-Hurwitz, dal quale, per Cr/ω < K2 /Ra<br />
(requisito <strong>di</strong> stabilità statica <strong>del</strong> sistema non controllato), si ottiene<br />
� 2 K<br />
Ki < Kp<br />
JRa<br />
− C r/ω<br />
J<br />
�<br />
. (10.100)<br />
Siricor<strong>di</strong>cheilcriterio<strong>di</strong>Routh-Hurwitzesprimeunacon<strong>di</strong>zionenecessaria, basatasull’ipotesi<strong>di</strong>assenza<br />
<strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ci sull’asse immaginario.<br />
10.4 Equazioni <strong>di</strong> Lagrange per sistemi elettromeccanici<br />
Senza gran<strong>di</strong> pretese <strong>di</strong> eleganza formale, si vogliono generalizzare le equazioni <strong>di</strong> Lagrange nel caso <strong>del</strong><br />
problema elettromeccanico, applicandolo al contesto <strong>del</strong> motore elettrico in c.c.<br />
10.4.1 Approccio in corrente<br />
Siconsideriinnanzituttouninduttoreidealelineare, <strong>di</strong>induttanzaL(danonconfondersiconlalunghezza<br />
<strong>del</strong> conduttore nei paragrafi precedenti), la cui relazione costitutiva è<br />
∆V = L <strong>di</strong><br />
dt<br />
La potenza associata a questo componente è<br />
(10.101)<br />
ΠL = i∆V = Li <strong>di</strong><br />
, (10.102)<br />
dt<br />
che può essere espressa anche come<br />
ΠL = d<br />
dt<br />
� 1<br />
2 Li2<br />
�<br />
. (10.103)<br />
Inoltre, ricordando che la corrente i è la derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>la carica q, si ottiene<br />
ΠL = d<br />
dt<br />
� 1<br />
2 L˙q2<br />
�<br />
. (10.104)<br />
Si consideri ora, anche se non necessario per il semplice mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> motore in c.c. considerato finora,<br />
la relazione costitutiva <strong>di</strong> un condensatore <strong>di</strong> capacità C,<br />
i = C d∆V<br />
dt<br />
. (10.105)<br />
10-21
La potenza ad esso associata è<br />
ΠC = ∆Vi = C∆V d∆V<br />
dt<br />
che può essere espressa anche come<br />
ΠC = d<br />
� �<br />
1 2<br />
C∆V<br />
dt 2<br />
L<br />
C<br />
o, invertendo la relazione costitutiva, come<br />
ΠC = d<br />
dt<br />
� 1<br />
2<br />
q 2<br />
C<br />
i<br />
∆V<br />
Figura 10.17: Induttore e condensatore (LC).<br />
, (10.106)<br />
(10.107)<br />
�<br />
. (10.108)<br />
Si noti come, se si sceglie come variabile in<strong>di</strong>pendente la carica q, le funzioni le cui derivate danno<br />
la potenza <strong>del</strong>l’induttore e <strong>del</strong> condensatore assomiglino rispettivamente ad un’energia cinetica e ad<br />
un’energia potenziale. Questi componenti elettrici, infatti, nella loro idealizzazione sono conservativi,<br />
ovvero immagazzinano e rilasciano energia senza <strong>di</strong>ssipazione.<br />
Quin<strong>di</strong>, definita una funzione<br />
Le = 1<br />
2 L˙q2 − 1q<br />
2<br />
2<br />
, (10.109)<br />
C<br />
l’applicazione <strong>del</strong> formalismo <strong>di</strong> Lagrange a Le consente <strong>di</strong> scrivere<br />
d<br />
dt<br />
� ∂Le<br />
∂˙q<br />
�<br />
− ∂Le q<br />
= L¨q +<br />
∂q C<br />
= 0, (10.110)<br />
ovvero la relazione <strong>di</strong> equilibrio alla maglia che lega un induttore e un condensatore collegati fra loro<br />
come in figura 10.17.<br />
È possibile anche definire l’equivalente <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione,<br />
De = 1<br />
2 R˙q2 , (10.111)<br />
ove come elemento <strong>di</strong>ssipativo si è considerato un resistore lineare <strong>di</strong> caratteristica R. Il suo contributo<br />
alla equazione relativa alla coor<strong>di</strong>nata q è ∂De/∂˙q = R˙q, ovvero la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> tensione associata al<br />
resistore. L’applicazione <strong>del</strong> formalismo <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong>venta così<br />
d<br />
dt<br />
� ∂Le<br />
∂˙q<br />
�<br />
− ∂Le ∂De q<br />
+ = L¨q + +R˙q = 0, (10.112)<br />
∂q ∂˙q C<br />
ovvero la relazione <strong>di</strong> equilibrio alla maglia che lega un induttore, un condensatore e un resistore collegati<br />
fra loro come in figura 10.18.<br />
10-22
L<br />
R<br />
C<br />
i<br />
∆V<br />
Figura 10.18: Resistore, induttore e condensatore (RLC).<br />
Nelle relazioni precedenti occorre aggiungere il lavoro generalizzato <strong>del</strong>le eventuali forze non descritte<br />
in Le per una variazione virtuale <strong>del</strong>la variabile in<strong>di</strong>pendente q. Per esempio, il lavoro associato ad un<br />
generatore <strong>di</strong> tensione ea è<br />
δWea = δqea. (10.113)<br />
Il lavoro associato alla forza controelettromotrice <strong>del</strong> motore in c.c. in esame è<br />
δWeb = δqeb = −δqK ˙ θ. (10.114)<br />
Si consideri ora il lato meccanico <strong>del</strong> motore in corrente continua. La funzione <strong>di</strong> Lagrange, Lm, è<br />
Lm = 1<br />
2 J ˙ θ 2 . (10.115)<br />
Il lavoro è dato da<br />
δWm = δθ(Cm +Cu) = δθ(K ˙q +Cu), (10.116)<br />
ove si è considerata l’espressione Cm = K ˙q per la coppia motrice. La funzione <strong>di</strong> Lagrange complessiva,<br />
L, è<br />
L = 1<br />
2 La˙q 2 + 1<br />
2 J ˙ θ 2 . (10.117)<br />
La funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione complessiva è<br />
D = 1 2<br />
Ra˙q<br />
2<br />
(10.118)<br />
Il lavoro complessivo è<br />
�<br />
δW = δq ea −K ˙ �<br />
θ +δθ(Cu +K ˙q). (10.119)<br />
Dall’applicazione <strong>del</strong> formalismo <strong>di</strong> Lagrange alla funzione L così definita, alla funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione<br />
D, e al corrispondente lavoro generalizzato W, rispetto alle due coor<strong>di</strong>nate libere q e θ, si ottiene<br />
La¨q +Ra˙q +K ˙ θ = ea<br />
(10.120a)<br />
J ¨ θ −K ˙q = Cu, (10.120b)<br />
ovvero le medesime equazioni scritte in precedenza, come era lecito attendersi. In sostanza, il formalismo<br />
<strong>di</strong> Lagrange può essere vantaggiosamente esteso a problemi multi<strong>di</strong>sciplinari, ove sia possibile definire<br />
convenientemente le grandezze che vi partecipano. Questo consente <strong>di</strong> rendere automatica e generale la<br />
scrittura <strong>del</strong>le equazioni che governano il problema.<br />
10-23
10.4.2 Approccio in tensione<br />
Si consideri ora un approccio complementare al precedente. Si definisca l’integrale <strong>del</strong>la tensione ϕ, tale<br />
per cui ˙ϕ = V. La legge costitutiva <strong>del</strong>l’induttanza, data dalla (10.101), può essere riscritta come<br />
d∆ϕ<br />
dt<br />
da cui si ricava<br />
= L<strong>di</strong>,<br />
(10.121)<br />
dt<br />
i = 1<br />
∆ϕ. (10.122)<br />
L<br />
La potenza corrispondente è<br />
ΠL = i d∆ϕ<br />
dt<br />
1<br />
=<br />
L ∆ϕd∆ϕ<br />
d<br />
=<br />
dt dt<br />
� 1<br />
2<br />
∆ϕ 2<br />
L<br />
�<br />
. (10.123)<br />
Analogamente, la legge costitutiva <strong>del</strong> condensatore, data dalla (10.105), si può scrivere come<br />
i = C d2∆ϕ . (10.124)<br />
dt2 La potenza ad esso associata è<br />
ΠC = i d∆ϕ<br />
dt<br />
= C∆ ˙ϕ∆¨ϕ = d<br />
dt<br />
È possibile anche riscrivere la funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione (10.111) come<br />
De = 1<br />
2<br />
� �<br />
1<br />
C∆ ˙ϕ2 . (10.125)<br />
2<br />
∆ ˙ϕ 2<br />
. (10.126)<br />
R<br />
La funzione <strong>di</strong> Lagrange relativa alle grandezze elettriche è<br />
Le = 1<br />
2 C∆ ˙ϕ2 − 1∆ϕ<br />
2<br />
2<br />
, (10.127)<br />
L<br />
e l’equazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema è data da<br />
d<br />
dt<br />
� ∂Le<br />
∂∆ ˙ϕ<br />
�<br />
− ∂Le ∂De<br />
+<br />
∂∆ϕ ∂∆ ˙ϕ = Q∆ϕ, (10.128)<br />
dove la Q∆ϕ, non ancora definita, è la corrente generalizzata che fluisce nel nodo a cui è associato il<br />
flusso rispetto al quale viene scritta l’equazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica.<br />
Ora, a <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> quanto visto in precedenza, anziché un equilibrio <strong>del</strong>le tensioni lungo una maglia,<br />
sistannoscrivendobilanci<strong>di</strong>correnteaino<strong>di</strong>. Quin<strong>di</strong>occorreprestareattenzioneacomevengonodefinite<br />
le variazioni <strong>di</strong> flusso ∆ϕ. Occorre anche trovare un modo per esprimere il lavoro <strong>del</strong>le tensioni esterne,<br />
quali la tensione <strong>di</strong> alimentazione ea e la forza controelettromotrice eb = K ˙ θ. Si consideri <strong>di</strong> nuovo<br />
l’esempio <strong>del</strong> motore elettrico in corrente continua, mettendo in evidenza i no<strong>di</strong> 1, 2, 3 e 4 ai capi dei<br />
componenti <strong>del</strong> circuito equivalente come illustrato in Figura 10.19.<br />
La funzione <strong>di</strong> Lagrange è data da<br />
Le = − 1<br />
2<br />
(ϕ1 −ϕ2) 2<br />
, (10.129)<br />
L<br />
mentre la funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione è data da<br />
De = 1<br />
2<br />
( ˙ϕ2 − ˙ϕ3) 2<br />
. (10.130)<br />
R<br />
10-24
ea<br />
1 2 3<br />
4<br />
ia<br />
L R<br />
Figura 10.19: Motore elettrico in corrente continua, approccio in tensione.<br />
L’effetto <strong>del</strong>le tensioni ea e eb si introduce con il metodo dei moltiplicatori <strong>di</strong> Lagrange. Si definiscano<br />
le relazioni<br />
˙ϕ1 − ˙ϕ4 = ea<br />
eb<br />
ib<br />
(10.131a)<br />
˙ϕ3 − ˙ϕ4 = eb = K ˙ θ, (10.131b)<br />
analoghe a vincoli anolonomi sulle derivate dei flussi ai rispettivi no<strong>di</strong>. Introducendo le correnti incognite<br />
ia e ib, associate ai rami 1–4 e 3–4, si ottiene il lavoro virtuale<br />
δWe = ia(δϕ1 −δϕ4)+ib(δϕ3 −δϕ4). (10.132)<br />
Il sistema finale può essere scritto in funzione <strong>del</strong>le incognite nodali, ϕ1, ϕ2, ϕ3 e ϕ4, e <strong>del</strong>le correnti nei<br />
rami <strong>di</strong> alimentazione e <strong>di</strong> forza controelettromotrice, ia = ˙qa e ib = ˙qb, ovvero<br />
⎡<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎡<br />
⎤⎧<br />
0 0 0 0 1 0 ˙ϕ1 1/L −1/L 0 0 0 0 ϕ1<br />
⎢ 0 1/R −1/R 0 0 0 ⎥ ˙ϕ2 ⎢<br />
⎥⎪⎨<br />
⎪⎬ ⎢ −1/L 1/L 0 0 0 0 ⎥ ϕ2 ⎥⎪⎨<br />
⎢ 0 −1/R 1/R 0 0 1 ⎥ ˙ϕ3 ⎢<br />
⎥<br />
⎢ 0 0 0 0 −1 −1 ⎥ + ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ϕ3 ⎥<br />
˙ϕ4 ⎢<br />
⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ϕ4 ⎥<br />
⎣ 1 0 0 −1 0 0 ⎦<br />
⎪⎩<br />
˙qa ⎣<br />
⎪⎭<br />
0 0 0 0 0 0 ⎦<br />
⎪⎩<br />
qa<br />
0 0 1 −1 0 0 ˙qb 0 0 0 0 0 0 qb<br />
⎫ ⎧<br />
0<br />
⎪⎬ ⎪⎨<br />
0<br />
0<br />
=<br />
0<br />
ea ⎪⎭ ⎪⎩<br />
K ˙ ⎫<br />
⎪⎬<br />
.<br />
⎪⎭<br />
θ<br />
(10.133)<br />
Si noti come le matrici siano simmetriche e significativamente sparse.<br />
Questo problema è indeterminato; infatti il flusso ϕ è definito a meno <strong>di</strong> una costante. Lo si può<br />
agevolmente verificareconstatando che la somma <strong>del</strong>le prime quattro righe dà 0. Per ovviare al problema,<br />
occorre mettere a terra un nodo. Ad esempio, se si pone ϕ4 = 0, e quin<strong>di</strong> anche ˙ϕ4 = 0 e δϕ4 = 0, si<br />
ottiene ⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0 0 0 1 0<br />
0 1/R −1/R 0 0<br />
0 −1/R 1/R 0 1<br />
1 0 0 0 0<br />
0 0 1 0 0<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎡<br />
˙ϕ1<br />
⎥⎪⎨<br />
˙ϕ2 ⎪⎬ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ˙ϕ3 ⎥ + ⎢<br />
⎦ ˙qa ⎣<br />
⎪⎩ ⎪⎭<br />
˙qb<br />
1/L −1/L 0 0 0<br />
−1/L 1/L 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
⎤⎧<br />
⎥⎪⎨<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎪⎩<br />
ϕ1<br />
ϕ2<br />
ϕ3<br />
qa<br />
qb<br />
⎫ ⎧<br />
⎪⎬ ⎪⎨<br />
=<br />
⎪⎭ ⎪⎩<br />
0<br />
0<br />
0<br />
ea<br />
K ˙ θ<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
. (10.134)<br />
⎪⎭<br />
È agevole verificare l’equivalenza tra questo sistema e l’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla maglia ottenuta con<br />
l’approccio in corrente:<br />
• dalla quarta e dalla quinta equazione si ricava ˙ϕ1 = ea e ˙ϕ3 = K ˙ θ;<br />
• dalla terza equazione si ricava ˙ϕ2 = ˙ϕ3 +Rib, ovvero ˙ϕ2 = K ˙ θ +Rib;<br />
• dalla prima equazione si ricava ϕ1 − ϕ2 + Lia = 0 che, derivata una volta, dà ea − K ˙ θ − Rib +<br />
L<strong>di</strong>a/dt = 0;<br />
• per costruzione, ia va dal nodo 1 al nodo 4, quin<strong>di</strong> è opposta alla corrente ib; ne consegue che<br />
i = ib = −ia, da cui l’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla maglia.<br />
Questo approccio, solo all’apparenza complesso, è in realtà <strong>di</strong> relativamente facile implementazione<br />
numerica, in analogia con l’approccio agli spostamenti nel calcolo strutturale.<br />
10-25
10-26
Capitolo 11<br />
Azioni mutue tra elementi <strong>di</strong><br />
macchine — Parte II<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
11.1 Azioni aero<strong>di</strong>namiche<br />
Nelle macchine si devono spesso considerare azioni tra soli<strong>di</strong> e flui<strong>di</strong>; questi ultimi possono essere ritenuti<br />
veri e propri membri non rigi<strong>di</strong> <strong>del</strong>la macchina, accoppiati con i membri soli<strong>di</strong>, dei quali bagnano tutta<br />
o parte <strong>del</strong>la superficie.<br />
Le azioni possono avere carattere <strong>di</strong> forze interne, come ad esempio in una turbina in cui il fluido si<br />
muove entro condotti facenti parte <strong>del</strong>la macchina e reagisce su <strong>di</strong> essi, oppure <strong>di</strong> forze esterne, come<br />
l’azione <strong>del</strong>l’aria su <strong>di</strong> una aeroplano o la resistenza offerta dal mezzo all’avanzamento <strong>di</strong> una nave o <strong>di</strong><br />
una vettura, quando tutta la massa <strong>del</strong> fluido è considerata esterna al sistema che si stu<strong>di</strong>a. Esse inoltre<br />
possono essere costituite da semplici pressioni statiche come quelle che sostengono un corpo immerso in<br />
un fluido o che vengono esercitate da un fluido in pressione sulle pareti <strong>di</strong> un recipiente chiuso, oppure<br />
possono essere pressioni <strong>di</strong>namiche, cioè esercitate dal fluido in conseguenza <strong>del</strong> suo moto o <strong>del</strong> moto <strong>del</strong><br />
solido.<br />
Spesso l’azione <strong>del</strong> fluido costituisce una resistenza al moto <strong>di</strong> un corpo in esso totalmente o parzialmente<br />
immerso; in tal caso essa prende il nome <strong>di</strong> resistenza <strong>del</strong> mezzo ed è una resistenza passiva, che,<br />
<strong>di</strong> regola, si deve cercare <strong>di</strong> ridurre il più possibile. Nasce così il problema <strong>di</strong> ottimizzare la forma al fine<br />
<strong>di</strong> aumentarne la penetrazione (carene <strong>di</strong> navi, forme <strong>di</strong> autovetture, ...). In generale però tale azione tra<br />
corpo e fluido ha una componente utile che si cerca <strong>di</strong> massimizzare (forza propulsiva <strong>di</strong> un’elica, forza<br />
portante <strong>di</strong> un’ala).<br />
Le forze esercitate da flui<strong>di</strong> in quiete sono determinate dalla fluidostatica, mentre assai più complessa<br />
è la ricerca <strong>del</strong>le azioni esercitate dai flui<strong>di</strong> in moto, la quale più particolarmente interessa le macchine e<br />
forma oggetto <strong>del</strong>la fluido<strong>di</strong>namica, comprendente come casi particolari l’idro<strong>di</strong>namica e l’aero<strong>di</strong>namica.<br />
Supponiamo che il corpo sia fermo rispetto al fluido; in tal caso l’unica azione agente sul corpo è la<br />
spinta fluidostatica. Tale spinta è proporzionale, come noto, alla densità <strong>del</strong> fluido e al volume <strong>del</strong> corpo.<br />
Se invece il corpo si muove con una certa velocità in un fluido, oppure se il corpo è investito da un fluido<br />
in moto con una certa velocità, nascono su ogni elemento infinitesimo <strong>di</strong> area <strong>del</strong>la superficie <strong>del</strong> corpo<br />
stesso <strong>del</strong>le forze infinitesime normali e tangenziali.<br />
Si supponga che la corrente sia laminare e il fluido incomprimibile (numero <strong>di</strong> Mach, definito come<br />
il rapporto tra la velocità <strong>del</strong> fluido e la velocità <strong>di</strong> propagazione <strong>del</strong> suono nel fluido stesso, minore <strong>di</strong><br />
0.1÷0.2).<br />
In tali con<strong>di</strong>zioni, sul contorno <strong>del</strong> corpo il fluido aderisce e ciò significa che la velocità <strong>del</strong> fluido a<br />
contatto con il corpo si annulla 1 : la velocità <strong>del</strong> fluido passa pertanto da zero al valore v allontanandosi<br />
dal corpo.<br />
1 Si veda la nota 4 <strong>del</strong> Capitolo 4.<br />
11-1
Figura 11.1: Sezioni <strong>di</strong> riferimento in campo automobilistico per la valutazione <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong><br />
resistenza <strong>del</strong> veicolo: proiezione frontale (a) e massima sezione trasversale (b).<br />
Per esprimere la generica forza F e il generico momento aero<strong>di</strong>namico M in modo semplice si ricorre<br />
alle espressioni:<br />
F = 1<br />
2 ρv2 SCf<br />
M = 1<br />
2 ρv2 SlCm<br />
(11.1)<br />
ove 1/2ρv 2 è la pressione <strong>di</strong>namica, spesso in<strong>di</strong>cata con q in aeroelasticità 2 .<br />
Si suppone quin<strong>di</strong> che essi siano proporzionali alla pressione <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>la corrente in<strong>di</strong>sturbata e<br />
a una superficie <strong>di</strong> riferimento S (nell’espressione <strong>del</strong> momento compare anche una lunghezza l) tramite<br />
un coefficiente a<strong>di</strong>mensionale da determinare sperimentalmente.<br />
I coefficienti che compaiono nelle (11.1) sono funzione, oltre che <strong>del</strong>la forma <strong>del</strong> corpo e <strong>del</strong>la sua<br />
posizione relativa alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la corrente, <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> Reynolds<br />
Re = ρvl<br />
µ<br />
(11.2)<br />
ove ρ e µ sono rispettivamente la densità e la viscosità <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> fluido (la viscosità cinematica è<br />
ν = µ/ρ). La <strong>di</strong>pendenza dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici dal numero <strong>di</strong> Reynolds non è grande se il valore<br />
<strong>di</strong> quest’ultimo è sufficientemente elevato, come si verifica per tipiche applicazioni aeronautiche, con<br />
lunghezze <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong> metro, velocità <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong> centinaio <strong>di</strong> m/s, densità <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 1 kg/m3 e viscosità <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 1.6 · 10−5 kg/(ms). I coefficienti aero<strong>di</strong>namici ricavati sperimentalmente sono<br />
da ritenersi in<strong>di</strong>pendenti dalla velocità se il numero <strong>di</strong> Reynolds è superiore ad alcuni milioni.<br />
La superficie S e la lunghezza l <strong>di</strong> riferimento possono essere qualsiasi: esse esprimono solamente la<br />
<strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>le forze e dei momenti rispettivamente dal quadrato e dal cubo <strong>del</strong>le <strong>di</strong>mensioni lineari<br />
<strong>del</strong> corpo. È però evidente che il valore dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici <strong>di</strong>pende dalla scelta <strong>del</strong>la superficie<br />
e <strong>del</strong>la lunghezza <strong>di</strong> riferimento.<br />
In campo automobilistico, nel quale la portanza è spesso da ritenersi un effetto indesiderato <strong>del</strong>la<br />
presenza<strong>del</strong>l’aria,mentrelaresistenzaèunarilevantefonte<strong>di</strong><strong>di</strong>ssipazione,siusasceglierequalesuperficie<br />
<strong>di</strong> riferimento l’area <strong>del</strong>la superficie trasversale <strong>del</strong> veicolo, anche se una certa confusione può essere<br />
ingenerata dal fatto che taluni usano l’area <strong>del</strong>la proiezione frontale (a) e altri l’area <strong>del</strong>la massima<br />
sezione trasversale (b) in<strong>di</strong>cate in figura 11.1.<br />
In campo aeronautico, viceversa, come superficie <strong>di</strong> riferimento per un velivolo si considera in genere<br />
la sezione in pianta <strong>del</strong>l’ala, in quanto si è primariamente interessati alla forza portante, mentre quella<br />
resistente, altrettanto importante, viene comunque in seconda battuta, essendo tipicamente, in normali<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> volo, <strong>di</strong> almeno un or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza inferiore.<br />
2 Da non confondere con la generica coor<strong>di</strong>nata libera; <strong>di</strong> solito la confusione non è possibile dal momento che la pressione<br />
<strong>di</strong>namica q è uno scalare, mentre le coor<strong>di</strong>nate libere sono raccolte in un vettore {q}.<br />
11-2
Figura 11.2: Schematizzazione <strong>del</strong> moto laminare <strong>di</strong> un fluido.<br />
11.2 Teoria elementare <strong>del</strong>la lubrificazione<br />
Gli strisciamenti tra corpi asciutti si verificano nelle macchine solo in casi eccezionali, quando sia utile<br />
avere un forte attrito, come ad esempio nei freni e negli innesti a frizione; negli altri casi le superfici a<br />
contatto sono sempre bagnate da un liquido detto lubrificante, ovvero lubrificate. Per lubrificazione si<br />
intende la riduzione <strong>del</strong>l’attrito tra superfici a contatto in moto relativo me<strong>di</strong>ante l’interposizione tra esse<br />
<strong>di</strong> un apposito mezzo detto appunto lubrificante. Tale liquido, interposto tra le due superfici, impe<strong>di</strong>sce<br />
il fenomeno <strong>del</strong>la microsaldatura che si è riconosciuto nel Capitolo 8 essere la causa <strong>del</strong>l’attrito cinetico<br />
(o <strong>di</strong>namico).<br />
Da un lato, possono essere usati come lubrificanti gli olii e i grassi, che hanno la proprietà <strong>di</strong> formare<br />
veli superficiali (epilamini) <strong>di</strong> spessore molecolare (qualche micron) aderenti alle superfici striscianti. I<br />
lubrificanti possono essere anche soli<strong>di</strong> (grafite) per con<strong>di</strong>zioni operative a temperature molto basse.<br />
D’altra parte, un’azione più decisiva viene esercitata dal lubrificante nella lubrificazione idrostatica<br />
e in quella idro<strong>di</strong>namica, le quali consistono nella interposizione tra le superfici striscianti <strong>di</strong> un velo<br />
continuo <strong>di</strong> lubrificante che, per quanto sottile, ha però spessore sufficiente per impe<strong>di</strong>re il contatto<br />
<strong>di</strong>retto tra le due parti. Lo strisciamento non avviene più fra solido e solido (attrito cinetico) o fra<br />
strati molecolari aderenti alle superfici (attrito untuoso), ma fra gli strati <strong>del</strong> lubrificante interposto tra<br />
queste (attrito me<strong>di</strong>ato o fluido) che può assumere valori pari anche a 1/100 (<strong>di</strong>pendente solo dal tipo <strong>di</strong><br />
lubrificante) <strong>di</strong> quello che si ha nell’attrito radente (<strong>di</strong>pendente dallo stato e dalla natura <strong>del</strong>le superfici).<br />
Tutti i flui<strong>di</strong> reali sono viscosi e oppongono una resistenza allo scorrimento <strong>del</strong>le particelle che li<br />
compongono. Se noi facciamo scorrere degli strati <strong>di</strong> fluido gli uni sugli altri, fra gli strati stessi si esercita<br />
un’azione che si oppone al moto relativo, come illustrato in figura 11.2. Tale azione è proporzionale<br />
alla velocità con la quale avviene lo scorrimento, secondo un coefficiente caratteristico <strong>del</strong> fluido, detto<br />
coefficiente <strong>di</strong> viscosità, ovvero il coefficiente µ illustrato nella definizione <strong>del</strong> numero <strong>di</strong> Reynolds.<br />
11.2.1 Descrizione <strong>del</strong> problema<br />
Nel seguito, per semplicità espositiva, viene considerato un problema piano, in cui due corpi sono in<br />
movimento relativo <strong>di</strong> traslazione in <strong>di</strong>rezione parallela alle superfici, ritenute piane, tra le quali avviene<br />
la lubrificazione. Si assume inoltre che non ci siano per<strong>di</strong>te laterali, per cui il meato <strong>di</strong> fluido può essere a<br />
tutti gli effetti considerato in movimento in un condotto per cui quin<strong>di</strong> vale il principio <strong>di</strong> conservazione<br />
<strong>del</strong>la massa.<br />
Per semplicità, si consideri il corpo inferiore vincolato al telaio, mentre il corpo superiore viene<br />
fatto scorrere con velocità v; il caso in cui entrambe le superfici si muovono verrà brevemente <strong>di</strong>scusso<br />
nel seguito. La velocità <strong>del</strong> fluido nel meato sia u, <strong>di</strong>retta essenzialmente lungo il condotto. Questa<br />
velocità potrà variare in funzione <strong>del</strong>la posizione nel condotto, sia trasversale che longitu<strong>di</strong>nale. Sul<br />
corpo superiore, per effetto <strong>del</strong>la presenza <strong>del</strong> fluido in moto relativo, si generano una forza normale ed<br />
una tangenziale.<br />
11-3
La forza normale per unità <strong>di</strong> larghezza, data dall’integrale <strong>del</strong>la pressione relativa p nel fluido lungo<br />
la lunghezza <strong>del</strong> meato, è<br />
N =<br />
� l<br />
0<br />
p dx; (11.3)<br />
si è considerata <strong>di</strong>rettamente la pressione relativa in quanto la pressione <strong>di</strong> riferimento agisce comunque<br />
anche sul resto <strong>del</strong> corpo. Si in<strong>di</strong>chi con b la <strong>di</strong>mensione <strong>del</strong> condotto nella terza <strong>di</strong>rezione, perpen<strong>di</strong>colare<br />
al piano in cui avviene il moto, per cui la forza normale scambiata è FN = bN.<br />
La forza tangenziale per unità <strong>di</strong> larghezza, data dall’integrale degli sforzi <strong>di</strong> taglio τ alla parete, è<br />
T =<br />
� l<br />
0<br />
τ dx (11.4)<br />
L’effetto globale <strong>del</strong>l’interazione con il fluido viscoso può essere descritto me<strong>di</strong>ante un coefficiente <strong>di</strong><br />
attrito equivalente, detto <strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato<br />
fm = |T|<br />
N<br />
(11.5)<br />
che esprime il rapporto tra la forza tangenziale che si oppone al movimento e quella normale che occorre<br />
per separare i corpi.<br />
La determinazione<strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato, e la valutazione <strong>del</strong>le caratteristichegeometriche<br />
e meccaniche necessarie perché la lubrificazione, e quin<strong>di</strong> l’attrito me<strong>di</strong>ato, abbiano luogo, richiede lo<br />
stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la fluido<strong>di</strong>namica <strong>del</strong> lubrificante per poter determinare la pressione p e gli sforzi <strong>di</strong> taglio τ<br />
agenti sul corpo sostentato.<br />
11.2.2 Fluido<strong>di</strong>namica <strong>del</strong> lubrificante<br />
Nel moto laminare, considerando due strati <strong>di</strong> or<strong>di</strong>nate z e z+∆z, caratterizzati dalle velocità u e u+∆u,<br />
la velocità relativa sarà ∆u. Il gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> velocità per ∆z tendente a 0 è pari a du/dz, da cui la legge<br />
<strong>di</strong> Petroff 3 :<br />
τ = µ du<br />
dz<br />
(11.7)<br />
che descrive la legge costitutiva degli sforzi tangenziali viscosi, in caso <strong>di</strong> moto laminare, affermando<br />
che sono linearmente proporzionali al gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> velocità in <strong>di</strong>rezione normale alla superficie a cui si<br />
riferiscono.<br />
Si analizzi il problema <strong>del</strong> moto <strong>del</strong> fluido interposto tra due superfici in moto, supponendo che:<br />
• il moto <strong>del</strong> fluido sia laminare permanente per strati paralleli all’asse z;<br />
• le forze <strong>di</strong> volume (peso e inerzia) siano trascurabili rispetto a quelle dovute alla viscosità 4 ;<br />
• il fluido sia incomprimibile e abbia µ costante (ovvero, in sostanza, la temperatura si mantenga<br />
costante all’interno <strong>del</strong> condotto);<br />
• il moto avvenga in una sola <strong>di</strong>rezione (lungo x).<br />
Si assume dunque il problema piano e quin<strong>di</strong> che non vi sia fuoriuscita laterale in <strong>di</strong>rezione y<br />
(perpe<strong>di</strong>colare al piano x−z), secondo lo schema illustrato in figura 11.3.<br />
3 La legge <strong>di</strong> Petroff in realtà rappresenta una semplificazione <strong>del</strong>la definizione più generale <strong>del</strong>lo sforzo viscoso laminare<br />
che, nel caso bi<strong>di</strong>mensionale, è<br />
� �<br />
∂u ∂w<br />
τ = µ +<br />
∂z ∂x<br />
avendo chiamato w la componente <strong>del</strong>la velocità in <strong>di</strong>rezione z, nulla per ipotesi nel caso in esame.<br />
4 Quest’ipotesi non è verificata, ad esempio, in caso <strong>di</strong> moto nel meato a corona circolare che si ha in un accoppiamento<br />
perno-sede<br />
11-4<br />
(11.6)
Figura 11.3: Schematizzazione <strong>del</strong> moto laminare <strong>di</strong> un fluido tra due superfici in moto relativo.<br />
Imponendo l’equilibrio alla traslazione secondo x per un prisma elementare <strong>di</strong> fluido <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni<br />
(dx,1,dz), si ottiene<br />
ovvero<br />
pdz −(p+dp)dz −τdx+(τ +dτ)dx = 0 (11.8)<br />
dpdz = dτdx → dp<br />
dx<br />
dτ<br />
= . (11.9)<br />
dz<br />
Questa relazione afferma che la variazione <strong>del</strong>la pressione lungo il condotto è pari alla variazione degli<br />
sforzi tangenziali nella <strong>di</strong>rezione trasversale.<br />
Ricordando la legge <strong>di</strong> Petroff (11.7), si ottiene:<br />
dp<br />
dx = µd2 u<br />
dz 2,<br />
ovvero un’equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare <strong>del</strong> 2 o or<strong>di</strong>ne a coefficienti costanti completa.<br />
Se si scrive l’analoga equazione <strong>di</strong> equilibrio in <strong>di</strong>rezione trasversale si ricava invece<br />
dpdx = dτdz → dp<br />
dz<br />
(11.10)<br />
dτ<br />
= . (11.11)<br />
dx<br />
In questo caso, però, nell’ipotesi che la velocità w in <strong>di</strong>rezione trasversale sia nulla e così pure le sue<br />
derivate, e che quin<strong>di</strong> la velocità u in <strong>di</strong>rezione longitu<strong>di</strong>nale, per effetto <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> bilancio <strong>di</strong><br />
massa, non <strong>di</strong>penda dalla coor<strong>di</strong>nata x lungo il meato, dalla derivata <strong>del</strong>la legge <strong>di</strong> Petroff (11.7) si<br />
ottiene dτ/dx = 0, da cui si ricava<br />
dp<br />
= 0, (11.12)<br />
dz<br />
ovvero la pressione non varia in <strong>di</strong>rezione trasversale, per cui la dp/dx che compare nella (11.10) non<br />
<strong>di</strong>pende dalla variabile z rispetto alla quale è <strong>di</strong>fferenziata la velocità u.<br />
Grazie alla (11.12), l’integrale generale, somma <strong>del</strong>la soluzione <strong>del</strong>l’omogenea associata e <strong>del</strong>l’integrale<br />
particolare, è dato dalla:<br />
µu = dp z<br />
dx<br />
2<br />
+Cz +D, (11.13)<br />
2<br />
in cui le costanti <strong>di</strong> integrazione C e D sono da determinare a partire dalle con<strong>di</strong>zioni al contorno:<br />
u(0) = 0 → D = 0<br />
u(h) = v → µv = dp<br />
dx<br />
h 2<br />
2<br />
+Ch → C = µv<br />
h<br />
dph<br />
−<br />
dx2<br />
.<br />
(11.14)<br />
L’espressione <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> velocità (11.13) <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong>:<br />
u(z) = dp z<br />
dx<br />
2 � �<br />
1 µv dp h<br />
+ − z =<br />
2µ µ h dx 2<br />
v dp z<br />
z − (h−z), (11.15)<br />
h dx2µ<br />
11-5
mentre gli sforzi <strong>di</strong> taglio sulla faccia superiore <strong>del</strong>l’elemento <strong>di</strong> fluido alla quota z sono<br />
τ = µ v<br />
�<br />
dp h<br />
−<br />
h dx 2 −z<br />
�<br />
. (11.16)<br />
Questo risultato è dato dalla sovrapposizione dei moti <strong>di</strong> Newton, lineare in z e legato al trascinamento<br />
v per la <strong>di</strong>versa velocità <strong>del</strong>le due pareti al contorno, e <strong>di</strong> Couette, parabolico in z e legato al gra<strong>di</strong>ente<br />
<strong>di</strong> pressione dp/dx.<br />
Ipotizzando che non vi siano fuoriuscite laterali e sostituendo la (11.15) nell’equazione <strong>di</strong> continuità<br />
<strong>del</strong>la portata volumetrica per unità <strong>di</strong> larghezza<br />
Q =<br />
� h<br />
0<br />
u dz = costante, (11.17)<br />
esprimente la portata <strong>di</strong> fluido vista dal corpo solidale con il telaio, otteniamo, considerando costante la<br />
viscosità e ricordando che p ′ = dp/dx non è funzione <strong>di</strong> z:<br />
Q = v<br />
� h<br />
z dz −<br />
h 0<br />
p′<br />
� h�<br />
2<br />
hz −z<br />
2µ 0<br />
� dz = v<br />
� �h 2 z<br />
−<br />
h 2 0<br />
p′<br />
� �h 2 hz z3<br />
− =<br />
2µ 2 3 0<br />
vh<br />
2 − p′ h3 (11.18)<br />
12µ<br />
in cui il primo termine, detto portata <strong>di</strong> trascinamento, è un effetto <strong>del</strong> trascinamento <strong>del</strong>la parete mobile<br />
sul meato, e il secondo, detto portata <strong>di</strong> pressione, <strong>di</strong>pende dal gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> pressione; se p ′ = 0 questo<br />
termine si annulla.<br />
Dall’espressione <strong>del</strong>la portata (11.18) è possibile determinare il gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> pressione:<br />
p ′ = 12µ<br />
h3 �<br />
vh<br />
2 −Q<br />
�<br />
(11.19)<br />
Dal momento che la portata Q, per la (11.17), è costante lungo x, se anche h(x) fosse costante tutti<br />
i termini a destra <strong>del</strong>l’uguale sarebbero costanti, e quin<strong>di</strong> p ′ dovrebbe necessariamente essere costante.<br />
Ma agli estremi <strong>del</strong> meato la pressione è pari a quella atmosferica, quin<strong>di</strong> la pressione relativa è nulla; <strong>di</strong><br />
conseguenza<br />
p ′ = dp<br />
dx = C′ → dp = C ′ dx → p(x) = C ′ x+D ′<br />
(11.20)<br />
che, con le con<strong>di</strong>zioni al contorno p(0) = 0 → D ′ = 0, p(l) = 0 → C ′ = 0, implica che p ′ = 0, ovvero<br />
il sostentamento non è possibile.<br />
11.2.3 Lubrificazione idrostatica<br />
Nel paragrafo precedente è stato evidenziato come, se h fosse costante, non sarebbe possibile il sostentamento<br />
naturale e <strong>di</strong> conseguenza la lubrificazione idro<strong>di</strong>namica naturale. Si deve quin<strong>di</strong> ricorrere a<br />
quella idrostatica, nella quale la pressione viene fornita al lubrificante tramite una pompa.<br />
In realtà, la portata ¯ Qs = bQs associata al gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> pressione<br />
Qs = − p′ h 3<br />
12µ<br />
(11.21)<br />
viene immessa da un circuito <strong>di</strong> alimentazione. A regime, essa è costante; quin<strong>di</strong> il gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> pressione<br />
<strong>di</strong>venta<br />
p ′ = − 12µQs<br />
h 3<br />
(11.22)<br />
La pressione relativa, nell’estremo al quale viene immessa la portata, vale p = −lp ′ , mentre all’estremo al<br />
quale il fluido fuoriesce libero5 vale 0. Quin<strong>di</strong>, a partire dalle con<strong>di</strong>zioni al contorno p(0) = p → D ′ = p,<br />
p(l) = 0 → C ′ = −p/l, si ottiene un andamento lineare <strong>del</strong>la pressione<br />
�<br />
p(x) = p 1− x<br />
�<br />
(11.23)<br />
l<br />
5 Trascurando eventuali per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico concentrate dovute all’effusione <strong>del</strong> meato in una camera.<br />
11-6
Figura 11.4: Andamento <strong>del</strong>la pressione nel meato per effetto <strong>del</strong>la geometria.<br />
Da questa, a partire dalla (11.3), si ricava lo spessore <strong>del</strong> meato in funzione <strong>del</strong> carico ¯ N = bN, <strong>del</strong>la<br />
geometria <strong>del</strong> problema, <strong>del</strong>le proprietà <strong>del</strong> fluido e <strong>del</strong>la portata imposta Qs.<br />
¯N = p bl<br />
2 = −bl2 p ′<br />
2 = bl26µQs h3 → h = 3<br />
�<br />
l26µ Qs<br />
¯<br />
¯N<br />
(11.24)<br />
Gli sforzi tangenziali definiti nella (11.16), sulla superficie inferiore <strong>del</strong> corpo in movimento (z = h)<br />
in questo caso valgono<br />
�<br />
v<br />
τs(h) = −µ<br />
h −6Qs<br />
h2 �<br />
(11.25)<br />
La forza resistente ¯ T = bT agente sul corpo in movimento è quin<strong>di</strong><br />
�<br />
¯T<br />
v<br />
= −µbl<br />
h −6Qs<br />
h2 �<br />
Ne risulta, idealmente, un coefficiente <strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato<br />
� �<br />
�¯ T� |T|<br />
fm =<br />
¯N<br />
=<br />
N =<br />
�<br />
�<br />
�<br />
vh<br />
�<br />
2<br />
�<br />
h�<br />
− �<br />
6Qsl l �<br />
(11.26)<br />
(11.27)<br />
C’è quin<strong>di</strong> un contributo al coefficiente <strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato che è proporzionale alla velocità relativa tra<br />
le pareti e al quadrato <strong>del</strong>lo spessore, e inversamente proporzionale alla portata immessa nel meato; la<br />
<strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong> cubo <strong>del</strong>lo spessore dalla portata immessa illustrato nella (11.24) fa sì che il coefficiente<br />
<strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato <strong>di</strong>minuisca al crescere <strong>del</strong>la portata immessa. Se la portata dovuta al gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong><br />
pressione è concorde con il movimento relativo, il corpo superiore è trascinato nella <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> moto<br />
dagli sforzi tangenziali; questo fa sì che ci sia una riduzione <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato (il termine<br />
−h/l) tanto più grande quanto più grande è lo spessore <strong>del</strong> meato.<br />
Si noti però che la potenza perduta non è data soltanto da Πd = − ¯ T · v, ma anche dalla potenza<br />
necessaria per alimentare il flusso forzato, Πh = −p· ¯ Qs; quin<strong>di</strong> l’elevata efficienza meccanica <strong>di</strong> questa<br />
soluzione viene attenuata dalla riduzione in efficienza complessiva legata alla necessità <strong>di</strong> provvedere al<br />
forzamento <strong>del</strong>la lubrificazione.<br />
11-7
11.2.4 Lubrificazione idro<strong>di</strong>namica<br />
Nel caso in cui all’estremo iniziale non venga imposta una pressione maggiore <strong>di</strong> quella presente all’estremo<br />
finale, la pressione relativa deve essere nulla agli estremi <strong>del</strong> meato e variabile lungo <strong>di</strong> esso per<br />
ottenere capacità <strong>di</strong> sostentamento; quin<strong>di</strong>, a tal fine, vi deve essere una variazione <strong>di</strong> altezza h(x).<br />
Vi sarà quin<strong>di</strong>, lungo il meato, un punto <strong>di</strong> ascissa x0 in cui la pressione è massima ed è in<strong>di</strong>viduata<br />
dal fatto che in quel punto il gra<strong>di</strong>ente p ′ è nullo<br />
p ′ = 12µ<br />
h 3 (x0)<br />
� �<br />
vh(x0)<br />
−Q<br />
2<br />
= 0 → vh(x0) = 2Q → Q = vh(x0)<br />
2<br />
e quin<strong>di</strong>, sostituendo la (11.28) nella (11.19), quest’ultima <strong>di</strong>venta<br />
(11.28)<br />
p ′ = 6µv<br />
h 3 (h−h(x0)) (11.29)<br />
Si nota imme<strong>di</strong>atamente che se v = 0, ovvero non vi è moto relativo tra le superfici, la portata è nulla<br />
e quin<strong>di</strong> non può instaurarsi la lubrificazione idro<strong>di</strong>namica (problema degli organi <strong>di</strong> macchine dotati <strong>di</strong><br />
moto con arresto).<br />
Nel punto in cui si ha la massima pressione, la portata <strong>di</strong> pressione è nulla e si ha solo la portata <strong>di</strong><br />
trascinamento6 . Nella zona in cui il gra<strong>di</strong>ente p ′ è positivo, la portata <strong>di</strong> pressione si sottrae a quella <strong>di</strong><br />
trascinamento, mentre dove p ′ è negativo la portata <strong>di</strong> pressione si somma a quella <strong>di</strong> trascinamento.<br />
L’azione <strong>di</strong> sostentamento per unità <strong>di</strong> larghezza <strong>del</strong> cuscinetto risulta quin<strong>di</strong> pari a:<br />
� l � l � x<br />
N =<br />
0<br />
p(x) dx =<br />
0<br />
dx<br />
0<br />
p ′ (ξ) dξ (11.37)<br />
ovvero la pressione genera una spinta per unità <strong>di</strong> larghezza <strong>del</strong> cuscinetto N, capace <strong>di</strong> tenere separate<br />
le due superfici.<br />
Inoltre, sulla superficie superiore in moto si genera una reazione d’attrito per unità <strong>di</strong> larghezza <strong>del</strong><br />
cuscinetto pari a:<br />
Tsup =<br />
� l<br />
0<br />
τ| z=h(x) dx (11.38)<br />
6Sostituendo l’espressione (11.28) <strong>del</strong>la portata, Q = vh(x0)/2, in quella (11.29) <strong>del</strong> gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> p:<br />
p ′ (x) = 12µ<br />
h3 �<br />
vh(x)<br />
(x) 2 −Q<br />
�<br />
= 6µv<br />
h3 (x) (h(x)−h(x0)) (11.30)<br />
e, integrandola sulla lunghezza l <strong>del</strong> meato, si ottiene:<br />
� l<br />
p(l)−p(0) = p<br />
0<br />
′ � l 6µv<br />
(x) dx =<br />
0 h3 (x) (h(x)−h(x0)) dx = 0 (11.31)<br />
Utilizzando un’espressione lineare per l’altezza <strong>del</strong> meato:<br />
h(x) = h1 − h1 −h2<br />
x (11.32)<br />
l<br />
da cui, <strong>di</strong>fferenziando:<br />
dh = − h1 −h2 l<br />
dx → dx = dh<br />
l h2 −h1<br />
(11.33)<br />
� h2 h−h(x0)<br />
6µv<br />
h1 h3 l<br />
dh = 0<br />
h2 −h1<br />
che semplificata nelle costanti:<br />
(11.34)<br />
� h2<br />
h1<br />
h(x)−h(x0)<br />
h3 dh = 0 →<br />
� h2<br />
h1<br />
dh<br />
= h(x0)<br />
h2 � h2<br />
espressione che sostituita nell’espressione (11.32) <strong>di</strong> h valutata in x0,<br />
2h1h2<br />
h1 +h2<br />
= h1 − h1 −h2<br />
x0<br />
l<br />
permette <strong>di</strong> calcolare l’ascissa x0.<br />
h1<br />
11-8<br />
dh<br />
h 3 → h(x0) = 2h1h2<br />
h1 +h2<br />
(11.35)<br />
(11.36)
mentre su quella inferiore si genera una reazione d’attrito per unità <strong>di</strong> larghezza<br />
Tinf =<br />
� l<br />
0<br />
τ| z=0 dx (11.39)<br />
Possiamo quin<strong>di</strong> calcolare il coefficiente <strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato come:<br />
fm = T<br />
N<br />
(11.40)<br />
che tipicamente è <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 0.01.<br />
Ricordando che b in<strong>di</strong>ca la larghezza <strong>del</strong> meato, l’azione tangenziale genera una potenza resistente:<br />
Wr = b � T ×�v = −bTv = −fmbNv = −fm ¯ Nv (11.41)<br />
che, in un bilancio termico <strong>del</strong> fluido, risulta entrante in esso e quin<strong>di</strong> positiva; questa si trasforma in<br />
calore portando il lubrificante alla temperatura θ:<br />
fm ¯ Nv = αbl(θ −θe) → θ = θe + fm ¯ Nv<br />
bαl<br />
(11.42)<br />
ove α è il coefficiente <strong>di</strong> scambio termico, θ è la temperatura <strong>del</strong> fluido a regime e θe è la temperatura<br />
esterna verso cui avviene lo scambio termico all’equilibrio.<br />
Noto quin<strong>di</strong>ilcarico ¯ N = bN cheilcuscinettodevesopportareelasuageometria(b,l), sipuòvalutare<br />
la temperatura <strong>di</strong> funzionamento e quin<strong>di</strong> scegliere l’olio <strong>del</strong>la gradazione più opportuna, tenendo conto<br />
che all’aumento <strong>del</strong>la temperatura la viscosità µ, e quin<strong>di</strong> la capacità <strong>di</strong> sostentamento, decresce.<br />
Si noti che, noto il carico ¯ N, la temperatura <strong>di</strong> esercizio risulta essere, secondo questo mo<strong>del</strong>lo semplificato,<br />
inversamente proporzionale alla larghezza b <strong>del</strong> cuscinetto. Proprio la temperatura <strong>di</strong> esercizio<br />
<strong>del</strong> fluido, e quin<strong>di</strong> la necessità <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipare il calore accumulato nel fluido durante il funzionamento, può<br />
<strong>di</strong>ventare un criterio <strong>di</strong>mensionante per la larghezza <strong>del</strong> cuscinetto.<br />
Si noti inoltre che, se entrambe le superfici sono in moto, l’integrale generale (11.13) deve essere<br />
risolto per le con<strong>di</strong>zioni al contorno<br />
�<br />
u(0) = v1<br />
(11.43)<br />
u(h) = v2<br />
dove v1 e v2 sono le velocità <strong>del</strong>le due superfici. Se esse sono eguali e concor<strong>di</strong>, è facile verificare che<br />
la portata Q è pari a 0, ovvero non può instaurarsi la lubrificazione idro<strong>di</strong>namica naturale, che risulta<br />
quin<strong>di</strong> legata alla velocità relativa tra le due superfici che <strong>del</strong>imitano trasversalmente il meato.<br />
Si noti, infine, che il carico effettivo applicabile nella realtà è inferiore a quello ricavato da questa<br />
trattazione elementare, infatti il fluido non ha sempre <strong>di</strong>rezione parallela a x, ma si ha fuoriuscita laterale<br />
e, quand’anche questa non vi fosse, il moto non è rigorosamente uni<strong>di</strong>rezionale, ma piano.<br />
Sperimentalmente si è ricavato un fattore correttivo c = (b+l)/b, detto coefficiente <strong>di</strong> fuoriuscita<br />
laterale, e il carico effettivamente sopportabile è<br />
P ′ = bN<br />
c<br />
(11.44)<br />
Per i perni lubrificati, illustrati in figura 11.5, la teoria elementare non è più sufficiente e si deve<br />
ricorrere alla integrazione numerica <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> Navier-Stokes o alla teoria semplicata <strong>di</strong> Reynolds;<br />
infatti il perno cambia posizione <strong>del</strong> centro al variare <strong>del</strong> carico a parità <strong>di</strong> velocità angolare, o a pari<br />
carico al variare <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> rotazione.<br />
Nella lubrificazione idro<strong>di</strong>namica, per basse velocità angolari dei perni è possibile ancora il contatto<br />
tra le superfici e, per valori molto bassi <strong>del</strong>la velocità periferica v, nella zona detta <strong>di</strong> attrito combinato,<br />
il coefficiente <strong>di</strong> attrito me<strong>di</strong>ato fm anziché variare con legge parabolica come vorrebbe la teoria, ritorna<br />
a crescere fino ad assumere il valore dato da OB nella figura 11.6, che rappresenta l’attrito untuoso.<br />
Questo è uno dei motivi per cui gli olii lubrificanti sono ad<strong>di</strong>ttivati con prodotti che creino un resistente<br />
epilamine.<br />
11-9
Figura 11.5: Perno lubrificato.<br />
Figura 11.6: Lubrificazione idro<strong>di</strong>namica: <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>l’attrito me<strong>di</strong>ato dalla velocità relativa.<br />
11-10
Capitolo 12<br />
Mo<strong>del</strong>lazione elementi a fluido<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
La soluzione completa <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> un fluido richiede la determinazione <strong>di</strong>:<br />
• densità (1),<br />
• pressione (1),<br />
• temperatura (1),<br />
• vettore velocità (3), e<br />
• tensore degli sforzi (9) <strong>del</strong> fluido;<br />
i termini fra parentesi rappresentano il numero <strong>di</strong> componenti <strong>di</strong> ciascuna grandezza incognita, per un<br />
totale <strong>di</strong> 15 incognite <strong>di</strong> campo. Allo scopo abbiamo <strong>di</strong>sponibili le seguenti leggi fisiche:<br />
• conservazione <strong>del</strong>la massa (1)<br />
• bilancio <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto (3)<br />
• bilancio <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto (3)<br />
• conservazione <strong>del</strong>l’energia (1, primo principio <strong>del</strong>la termo<strong>di</strong>namica)<br />
• equazione <strong>di</strong> stato (1)<br />
I termini fra parentesi rappresentano il numero <strong>di</strong> componenti <strong>di</strong> ciascuna equazione, per un totale <strong>di</strong><br />
9 relazioni. Notiamo imme<strong>di</strong>atamente che una relazione esplicita si può ottenere rapidamente per i<br />
flui<strong>di</strong> più comuni dalla conservazione <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto applicata ad un volume elementare<br />
infinitesimo. Tale relazione stabilisce l’importante proprietà <strong>di</strong> simmetria <strong>del</strong> tensore degli<br />
sforzi, riducendone le relative componenti incognite a 6. Si hanno pertanto 12 incognite <strong>di</strong> campo con 6<br />
equazioni, ragion per cui devono essere determinate 6 ulteriori relazioni fra le variabili <strong>del</strong> campo fluido<br />
per permettere la chiusura <strong>del</strong> bilancio equazioni-incognite. Tali relazioni costituiscono quello che viene<br />
genericamente detto legame costitutivo, cioè la relazione che collega il tensore degli sforzi al tensore <strong>del</strong>le<br />
velocità <strong>di</strong> deformazione. La determinazione <strong>di</strong> tale relazione si basa su considerazioni sia teoriche che<br />
sperimentali, ma la determinazione dei parametri che la caratterizzano richiede comunque una sperimentazione<br />
appropriata. Alle relazioni costitutive è solitamente demandato anche il sod<strong>di</strong>sfacimento <strong>del</strong><br />
vincolo fisico associato all’entropia che, in un sistema isolato, non può che crescere o rimanere invariata<br />
(secondo principio <strong>del</strong>la termo<strong>di</strong>namica, irreversibilità <strong>di</strong> processi termo<strong>di</strong>namici reali). Assegnata<br />
la legge costitutiva, il bilancio incognite-equazioni è quin<strong>di</strong> chiuso. Per la determinazione <strong>di</strong> tutte le<br />
grandezze <strong>di</strong> campo summenzionate, le leggi <strong>di</strong> cui sopra vengono scritte per elementi infinitesimi <strong>di</strong> fluido,<br />
assunto come continuo, dando origine ad un sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali alle derivate parziali.<br />
Per la soluzione <strong>di</strong> tali equazioni occorre poi assegnare le con<strong>di</strong>zioni al contorno e, nel caso instazionario,<br />
le con<strong>di</strong>zioni iniziali, specifiche <strong>di</strong> ciascun problema. Molto spesso, nella pratica ingegneristica, è però<br />
12-1
possibile ottenere risultati significativi utilizzando le leggi <strong>di</strong> cui sopra sotto forma <strong>di</strong> bilanci globali che,<br />
pur non permettendo certo la soluzione completa <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> fluido, rendono possibile la<br />
determinazione <strong>di</strong> significative relazioni, estremamente utili per l’analisi e la progettazione <strong>di</strong> sistemi industriali<br />
a fluido, per i quali viene spesso usata la denominazione <strong>di</strong>“idraulici”, quando elaborano liqui<strong>di</strong>,<br />
e“pneumatici”, quando elaborano gas. Tali sistemi sono mo<strong>del</strong>labili con flussi interni in:<br />
• tubi (tubazioni),<br />
• valvole,<br />
• pompe, e<br />
• motori/attuatori,<br />
che, con accettabile approssimazione, si possono ritenere sostanzialmente mono<strong>di</strong>mensionali ed approssimabili<br />
ad isotermici. In realtà il fluido subisce anche apprezzabili variazioni <strong>di</strong> temperatura dovute<br />
agli attriti interni e <strong>di</strong> parete, comunque non tali da influenzare significativamente il suo movimento, e<br />
vengono pertanto trascurate. A causa <strong>del</strong>la mono<strong>di</strong>mensionalità, il bilancio <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità<br />
<strong>di</strong> moto non è d’interesse, mentre la conservazione <strong>del</strong>l’energia viene utilizzata, <strong>di</strong> solito, a posteriori,<br />
per determinare la quantità <strong>di</strong> calore da smaltire a causa <strong>del</strong>l’inevitabile riscaldamento <strong>del</strong> fluido causato<br />
dagli attriti. Si possono pertanto scrivere le sole:<br />
• conservazione <strong>del</strong>la massa (1)<br />
• bilancio <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto, o bilancio <strong>del</strong>l’energia meccanica (1)<br />
• equazione <strong>di</strong> stato (1).<br />
Noi faremo riferimento a tale semplificazione, utile per una significativa parte <strong>di</strong> problemi associati a<br />
impiantiidrauliciepneumatici, che, utilizzatainforma<strong>di</strong>bilanciglobalisuopportunivolumi<strong>di</strong>controllo,<br />
ci permetterà <strong>di</strong> affrontare alcuni semplici e significativi problemi.<br />
Inoltre, come illustrato nel seguito, non si cercherà un mo<strong>del</strong>lo unico onnicomprensivo, in grado <strong>di</strong><br />
descrivere il comportamento puntuale <strong>del</strong> fluido, ma piuttosto un insieme <strong>di</strong> semplici mo<strong>del</strong>li, adatti alla<br />
descrizione <strong>di</strong> specifici componenti <strong>di</strong> circuiti idraulici, nei quali vengono trascurati gli aspetti inessenziali<br />
alla descrizione <strong>del</strong> comportamento fondamentale <strong>di</strong> tali componenti. L’utilizzo <strong>di</strong> tali componenti all’interno<br />
<strong>di</strong> uno schema <strong>di</strong> connessione riconducibile ad una rete consente <strong>di</strong> descrivere il comportamento<br />
<strong>del</strong> sistema nell’ambito <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>le approssimazioni utilizzate.<br />
Conservazione <strong>del</strong>la massa: la conservazione <strong>del</strong>la massa in un volume <strong>di</strong> controllo, con un flusso<br />
entrante ed uno uscente, si scrive semplicemente:<br />
(ρAu) entrante −(ρAu) uscente = d(ρV)<br />
dt<br />
(12.1)<br />
Bilancio <strong>del</strong>l’energia meccanica: è poi pratica comune non utilizzare <strong>di</strong>rettamente l’equazione <strong>del</strong><br />
bilancio <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto, ma il suo integrale primo, ossia il teorema <strong>del</strong>l’energia meccanica, spesso<br />
chiamato teorema <strong>di</strong> Bernoulli, pratica impropria nel caso <strong>di</strong> bilancio globale completo <strong>del</strong>l’energia<br />
meccanica sulle grandezze me<strong>di</strong>e sezionali <strong>di</strong> flussi mono<strong>di</strong>mensionali, che comunque accetteremo fra“virgolette”.<br />
Più accettabile è invece la generica denominazione <strong>di</strong> trinomio <strong>di</strong> Bernoulli per le espressioni:<br />
e<br />
p u2<br />
+ +gz = cost. (12.2)<br />
ρ 2<br />
p u2<br />
+ +z = cost. (12.3)<br />
γ 2g<br />
che compariranno fra breve. Ci limitiamo qui a scrivere la relativa relazione ipotizzando che il fluido<br />
<strong>di</strong> interesse sia sostanzialmente incomprimibile, in moto sostanzialmente stazionario e soggetto al solo<br />
12-2
campo gravitazionale. Ricor<strong>di</strong>amo che l’ipotesi <strong>di</strong> incomprimibilità non è tanto legata al fatto che il<br />
fluido sia un gas o un liquido, quanto al rapporto fra la velocità <strong>del</strong>lo stesso e la propagazione <strong>del</strong>le<br />
piccole perturbazioni interne al campo a velocità sonica c, detto numero <strong>di</strong> Mach M. Tale rapporto deve<br />
essere significativamente minore <strong>di</strong> uno per potere parlare <strong>di</strong> fluido incomprimibile, ragion per cui i nostri<br />
richiami <strong>di</strong> fluido<strong>di</strong>namica saranno generalmente vali<strong>di</strong> per un fluido generico, gas o liquido, purché M<br />
sia significativamente minore <strong>di</strong> uno. Il bilancio <strong>di</strong> energia meccanica per unità <strong>di</strong> massa è<br />
pingresso<br />
ρingresso<br />
+ u2 entrante<br />
2<br />
+gzingresso = puscita<br />
ρuscita<br />
+ u2 uscente<br />
2<br />
+gzuscita +Energia <strong>di</strong>ssipata (12.4)<br />
dove il termine“Energia <strong>di</strong>ssipata”, rappresentante l’energia <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> massa <strong>di</strong> fluido, sarà<br />
precisato più avanti. Si noti che <strong>di</strong>mensionalmente questa equazione contiene <strong>del</strong>le velocità al quadrato.<br />
Una forma equivalente, spesso usata, si ottiene <strong>di</strong>videndo per g entrambi i termini, ottenendo:<br />
pingresso<br />
γingresso<br />
+ u2 entrante<br />
2g<br />
+zingresso = puscita<br />
γuscita<br />
+ u2uscente 2g +zuscita<br />
Energia <strong>di</strong>ssipata<br />
+<br />
g<br />
(12.5)<br />
in cui tutti i termini hanno le <strong>di</strong>mensioni <strong>di</strong> una lunghezza, e a volte permettono una più intuitiva<br />
valutazione <strong>del</strong>l’importanza relativa dei vari termini.<br />
Come vedremo nelle applicazioni successive, utilizzeremo spesso tale relazione anche per flussi instazionari,<br />
ragion per cui riteniamo utile giustificare subito tale estensione in modo da evitarne usi<br />
impropri. Allo scopo notiamo che il bilancio <strong>del</strong>l’energia meccanica sopra riportato si può ricavare dall’integrazione<br />
<strong>del</strong> bilancio <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> un flusso stazionario lungo il tubo, ritenuto sensibilmente<br />
rettilineo.<br />
Nella derivata totale <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto,<br />
d<br />
(ρu) = ρ<br />
dt<br />
�<br />
∂u dξ ∂u<br />
+<br />
∂ξ dt ∂t<br />
�<br />
, (12.6)<br />
ove ξ è una coor<strong>di</strong>nata curvilinea lungo il tubo, per cui dξ/dt = u e, siccome si è considerata l’ipotesi<br />
<strong>di</strong> incomprimibilità, non compare esplicitamente la derivata <strong>del</strong>la densità ρ, in quanto nulla, l’ipotesi <strong>di</strong><br />
stazionarietà implica la con<strong>di</strong>zione<br />
∂u<br />
∂t<br />
= 0. (12.7)<br />
Qualora si consideri un flusso non stazionario, l’approssimazione data dal considerare ancora valida<br />
la (12.7) può essere ancora relativamente accettabile purché l’integrale <strong>del</strong> termine temporale <strong>del</strong>la<br />
variazione <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto,<br />
ρ ∂u<br />
, (12.8)<br />
∂t<br />
lungo il tubo, si possa ritenere trascurabile rispetto agli altri termini.<br />
È importante rilevare, come già visto in altri casi, che nella pratica ingegneristica si ricorre spesso a<br />
simili approssimazioni, che trascurano alcuni termini <strong>del</strong> problema al fine <strong>di</strong> una più semplice soluzione<br />
senza però inficiare sensibilmente la vali<strong>di</strong>tà dei risultati ottenibili. In tali approssimazioni, anche se il<br />
tralasciare formalmente alcuni termini appare come considerare gli stessi nulli, il relativo significato fisico<br />
è invece sempre associato al fatto che essi sono trascurabili rispetto agli altri fattori che intervengono<br />
nella scrittura <strong>del</strong>le relazioni d’interesse.<br />
Poiché noi utilizzeremo prevalentemente l’equazione <strong>di</strong>“Bernoulli”per determinare la velocità me<strong>di</strong>a<br />
<strong>del</strong> flusso mono<strong>di</strong>mensionale in con<strong>di</strong>zioni dominate dai gra<strong>di</strong>enti <strong>di</strong> pressione e dal termine convettivo,<br />
ρu ∂u<br />
, (12.9)<br />
∂ξ<br />
<strong>del</strong>la variazione <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto (12.6), l’approssimazione stazionaria manterrà un significativo<br />
livello<strong>di</strong> accettabilitàanchequandola velocitàpotràvariaretemporalmenteinmodo non trascurabile. In<br />
12-3
ultima analisi, la validazione <strong>di</strong> tale ipotesi spetta alla sperimentazione, ed infatti una lunga pratica ne ha<br />
ampiamente <strong>di</strong>mostrato il livello <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà nelle tipiche applicazioni che qui esemplificheremo, ma potrà,<br />
anzi dovrà, comunque sempre essere verificata a posteriori analizzando accuratamente i risultati ottenuti.<br />
È infatti evidente che, se dopo avere risolto le equazioni che mo<strong>del</strong>lano il nostro sistema a fluido sulla<br />
base <strong>di</strong> una certa ipotesi, la soluzione ottenuta non verifica le ipotesi stesse, la formulazione sviluppata<br />
non può che ritenersi inappropriata. D’altro canto, l’ottenimento <strong>di</strong> risultati consistenti con gli assunti<br />
non può certo garantire la bontà fisica <strong>del</strong>la soluzione se quest’ultima è soggetta solo ad approssimazioni<br />
plausibili ma non rigorosamente provate, ragion per cui la verifica sperimentale <strong>di</strong>venta essenziale. È<br />
utile aggiungere che spesso tale verifica può essere assunta a priori come scontata sulla base <strong>di</strong> pratiche<br />
consolidate da una vasta letteratura. Un’ulteriore imme<strong>di</strong>ata applicazione <strong>di</strong> quanto appena detto viene<br />
suggerito dalla formula espressa in unità <strong>di</strong> lunghezza (12.5), che chiaramente ci <strong>di</strong>ce che per i flui<strong>di</strong> più<br />
comuni, già in presenza <strong>di</strong> variazioni <strong>di</strong> pressione <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> pochi bar, si potrà spesso trascurare il<br />
termine associato a variazioni <strong>di</strong> quota, poiché le variazioni <strong>di</strong> energia gravitazionale corrispondenti sono<br />
trascurabili rispetto alle quote barometriche e d’energia cinetica, ipotesi valida per molte applicazioni<br />
industriali <strong>di</strong> componenti a fluido. Continuiamo ancora notando che il nostro volume <strong>di</strong> controllo è sì<br />
prevalentemente mono<strong>di</strong>mensionale, ma dotato <strong>di</strong> sezione finita, per cui l’equazione <strong>di</strong> cui sopra implica<br />
che si possano definire una pressione ed una velocità me<strong>di</strong>amente uniformi nella stessa. Senza <strong>di</strong>lungarci<br />
ricor<strong>di</strong>amo che tale con<strong>di</strong>zione è praticamente sod<strong>di</strong>sfatta per correnti turbolente su tutta la sezione, al<br />
<strong>di</strong> fuori, al più, <strong>di</strong> uno strato genericamente sottile vicino alla parete fisica che contiene il volume <strong>di</strong><br />
controllo. In sostanza, nella sezione il flusso è dominato dalle forze d’inerzia, mentre gli sforzi viscosi<br />
si evidenziano solo in prossimità <strong>del</strong>la parete <strong>del</strong> tubo, quando la velocità <strong>di</strong>minuisce fino ad annullarsi<br />
per sod<strong>di</strong>sfare la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> adesione <strong>del</strong> fluido alla parete. Si noti che si è preferito parlare <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> velocità nella sezione, evitando ogni riferimento improprio ad un possibile strato limite<br />
<strong>di</strong> parete, essendo tale estensione <strong>del</strong> concetto <strong>di</strong> strato limite inappropriata, anche se spesso usata in<br />
letteratura 1 . Come detto, l’esistenza <strong>di</strong> moti stabilmente turbolenti <strong>di</strong>pende essenzialmente dal prevalere<br />
<strong>del</strong>le forze d’inerzia sulle forze viscose, con<strong>di</strong>zione come noto sintetizzata da un numero <strong>di</strong> Reynolds<br />
me<strong>di</strong>o sulla sezione sufficientemente elevato. Nel caso <strong>di</strong> flussi prevalentemente mono<strong>di</strong>mensionali, tale<br />
numero <strong>di</strong> Reynolds è definito da:<br />
Re = ρDiu<br />
µ = Diu<br />
, (12.10)<br />
ν<br />
essendo Di una <strong>di</strong>mensione caratterizzante la sezione <strong>di</strong> riferimento, spesso definita per una generica<br />
sezione col termine <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro idraulico equivalente, o semplicemente <strong>di</strong>ametro idraulico, dato da:<br />
Di = 4A<br />
P<br />
(12.11)<br />
dove A è l’area <strong>del</strong>la sezione e P è il suo perimetro. Chiaramente, per tubi a sezione circolare, Di altro<br />
non è che il <strong>di</strong>ametro reale <strong>del</strong> tubo. Con tale definizione si può approssimativamente ritenere che il<br />
flusso sia sicuramente turbolento per Re > 4000 e laminare per Re < 2000, mentre per valori compresi<br />
fra 2000 e 4000 si ha una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> flusso misto, detto <strong>di</strong> transizione. In generale, la transizione<br />
presenta una isteresi, nel senso che, in assenza <strong>di</strong> perturbazioni, per numeri <strong>di</strong> Reynolds in crescita<br />
da valori inferiori a 2000, il flusso tende a rimanere significativamente laminare ben dentro l’intervallo<br />
critico, e, viceversa, in <strong>di</strong>minuizione da valori maggiori <strong>di</strong> 4000, il flusso tende a permanere turbolento.<br />
La con<strong>di</strong>zione Re > 4000 è generalmente sod<strong>di</strong>sfatta, e sarà assunta come vera nella maggior parte <strong>del</strong>la<br />
nostra trattazione, salvo quando verranno specificamente evidenziati flussi meglio approssimabili come<br />
laminari. Si ricorda che la viscosità <strong>di</strong>pende sia dalla pressione che dalla temperatura. In particolare la<br />
viscosità dei liqui<strong>di</strong> <strong>di</strong>minuisce significativamente all’aumentare <strong>del</strong>la temperatura, aumentando invece,<br />
ma con minore sensitività, all’aumentare <strong>del</strong>la pressione. Per i gas si hanno invece aumenti <strong>di</strong> viscosità<br />
sia all’aumentare <strong>del</strong>la pressione che <strong>del</strong>la temperatura. Si ricordano alcuni valori tipici <strong>di</strong> orientamento<br />
per la viscosità cinematica alla pressione atmosferica, e per temperature attorno ai 20 o C: acqua 10 −6 ,<br />
1 La nozione <strong>di</strong> ‘strato limite’ presuppone che al <strong>di</strong> fuori <strong>di</strong> esso esista una regione <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> fluido nel quale<br />
il comportamento possa essere approssimato dal mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> fluido perfetto, ovvero non viscoso. Questo, nelle condutture<br />
<strong>di</strong> sezione piccola rispetto alla lunghezza, non è mai possibile, in quanto tutto il campo <strong>di</strong> moto risente <strong>del</strong>la viscosità, sia<br />
pure in modo <strong>di</strong>verso.<br />
12-4
olî qualche decina <strong>di</strong> 10 −6 , aria 1.5 10 −5 m 2 /s. Nella pratica ingegneristica il termine“Energia <strong>di</strong>ssipata”<br />
viene denominato genericamente come “per<strong>di</strong>te d’attrito”, o anche “per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico”, con riferimento<br />
al termine energetico associato ad un salto <strong>di</strong> pressione che eguaglia le per<strong>di</strong>te stesse. Tale <strong>di</strong>citura<br />
richiama la semplice ed intuitiva constatazione che per vincere la resistenza d’attrito <strong>del</strong> fluido bisogna<br />
applicare una pressione. Tali per<strong>di</strong>te vengono generalmente sud<strong>di</strong>vise in per<strong>di</strong>te <strong>di</strong>stribuite lungo tratti<br />
<strong>di</strong> tubazione <strong>di</strong> sezione a caratteristiche costruttive sensibilmente costanti e per<strong>di</strong>te concentrate, collegate<br />
ad esempio a:<br />
• brusche variazioni <strong>di</strong> sezione,<br />
• intersezioni <strong>di</strong> tubazioni,<br />
• brusche curve,<br />
• raccor<strong>di</strong>.<br />
Le per<strong>di</strong>te d’attrito <strong>di</strong>stribuite su una tubazione <strong>di</strong> lunghezza L, <strong>di</strong>ametro idraulico Di e percorsa da un<br />
fluido alla velocità me<strong>di</strong>a u sono generalmente espresse tramite la relazione:<br />
con<br />
Energia <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> volume = f L<br />
Di<br />
ρu 2<br />
2<br />
(12.12)<br />
f = f (Re) (12.13)<br />
funzione <strong>di</strong>mensionale determinata sperimentalmente. Le per<strong>di</strong>te concentrate hanno un’analoga espressione:<br />
Energia <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> volume = K ρu2<br />
2<br />
(12.14)<br />
dove K è ancora una volta determinato sperimentalmente. Qualora l’elemento <strong>di</strong> concentrazione <strong>del</strong>la<br />
per<strong>di</strong>ta coinvolga una variazione <strong>di</strong> sezione, K è generalmente espresso assumendo per u la velocità più<br />
elevata. È opportuno ricordare che tale convenzione non ha nulla <strong>di</strong> arbitrario, in quanto la per<strong>di</strong>ta<br />
concentrata coinvolge un volume equivalente <strong>di</strong> controllo abbastanza limitato, per il quale è sempre<br />
possibile scrivere la relazione <strong>di</strong> continuità in termini volumetrici<br />
(Au) entrante = (Au) uscente . (12.15)<br />
Comunque è opportuno verificare attentamente la convenzione utilizzata per definire K ogni volta che se<br />
ne reperiscono i valori in letteratura e/o su manuali. Può essere utile ricordare l’estensione <strong>del</strong> bilancio<br />
<strong>del</strong>l’energia meccanica testè illustrato al caso in cui il volume <strong>di</strong> controllo non sia un semplice tratto<br />
<strong>di</strong> condotta, ma contenga anche macchine utilizzatrici/operatrici, che scambino potenza con l’esterno.<br />
Scriviamo pertanto il:<br />
Bilancio globale generalizzato <strong>del</strong>l’energia meccanica:<br />
�<br />
pingresso<br />
(ρAu) entrante +<br />
ρingresso<br />
u2 �<br />
entrante<br />
+gzingresso = (ρAu) uscente<br />
2<br />
+Potenza <strong>di</strong>ssipata+Potenza esterna<br />
� puscita<br />
ρuscita<br />
+ u2 uscente<br />
2<br />
+gzuscita<br />
dove il termine “Potenza esterna” si riferisce alla potenza totale scambiata con l’esterno, positiva in<br />
uscita, mentre il termine“Potenza <strong>di</strong>ssipata”in<strong>di</strong>ca la potenza totale <strong>di</strong>ssipata all’interno. Come abbiamo<br />
detto precedentemente, l’energia <strong>di</strong>ssipata si trasforma in calore che è parzialmente smaltito lungo<br />
il circuito idraulico, principalmente per conduzione verso componenti con esso a contatto e convezione<br />
verso l’ambiente che lo circonda. Come già detto, noi riterremo che, anche in assenza <strong>di</strong> un significativo<br />
smaltimento termico <strong>di</strong>stribuito, le variazioni <strong>di</strong> temperatura non siano generalmente tali da causare<br />
12-5<br />
�
significativi effetti sul flusso. In tale asserzione si ritiene implicitamente che il fluido elaborato sia continuamente<br />
rinnovato, in quanto è chiaro che, qualora la stessa massa fluida fosse continuamente ricircolata<br />
in un impianto chiuso che non è in grado <strong>di</strong> smaltire naturalmente il calore accumulato sotto forma <strong>di</strong><br />
energia interna lungo il per<strong>corso</strong>, la temperatura continuerebbe a salire invalidando l’assunto. Poiché<br />
questo è proprio ciò che avviene negli impianti a fluido <strong>di</strong> potenza, tali impianti sono sempre dotati <strong>di</strong><br />
un sistema <strong>di</strong> raffreddamento, concentrato in uno o più ra<strong>di</strong>atori, che ha il compito <strong>di</strong> smaltire l’energia<br />
termica accumulata dal fluido a causa <strong>del</strong>l’attrito. Ecco allora che a questo punto possiamo chiarire cosa<br />
intendevamo quando abbiamo detto che il bilancio <strong>del</strong>l’energia ci avrebbe permesso <strong>di</strong> trarre opportune<br />
conclusioni sullo smaltimento <strong>del</strong>l’accumulo <strong>del</strong>l’energia <strong>di</strong>ssipata per attrito sotto forma <strong>di</strong> energia interna.<br />
Infatti se Et è l’energia totale <strong>di</strong>ssipata per unità <strong>di</strong> massa e Q è la portata <strong>di</strong> massa elaborata<br />
nel circuito idraulico, la variazione me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> temperatura <strong>del</strong> fluido sarà<br />
∆T = Et<br />
, (12.16)<br />
cp<br />
mentre la potenza termica totale generata, e quin<strong>di</strong> da smaltire per mantenere la temperatura <strong>del</strong> fluido<br />
in limiti accettabili, sarà<br />
Pt = QEt. (12.17)<br />
Tali valori permettono il <strong>di</strong>mensionamento <strong>di</strong> massima <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> raffreddamento <strong>del</strong> fluido.<br />
Equazione <strong>di</strong> stato: l’equazione <strong>di</strong> stato <strong>di</strong> un fluido è una generica relazione <strong>del</strong> tipo:<br />
ρ = ρ(p,T) (12.18)<br />
Per flussi idraulici e pneumatici approssimabili come incomprimibili è spesso necessario poter valutare<br />
alcuni effetti causati dalla comprimibilitàsul bilancio <strong>di</strong> massa <strong>del</strong> fluido attorno alla con<strong>di</strong>zione nominale<br />
<strong>di</strong> funzionamento. Infatti si ricorda che in tale bilancio interviene il termine<br />
d(ρV)<br />
, (12.19)<br />
dt<br />
per il quale il volume V funge da fattore <strong>di</strong> amplificazione <strong>del</strong>le variazioni <strong>di</strong> densità ρ, variazioni che<br />
invece abbiamo ritenuto inessenziali e tali da non influenzare significativamente il bilancio energetico<br />
meccanico. Limitandosi a flussi poco comprimibili e con limitate variazioni <strong>di</strong> temperatura, è spesso<br />
accettabile utilizzare un approssimazione linearizzata <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> stato ottenuta con uno sviluppo<br />
attorno ad una densità me<strong>di</strong>a nota <strong>di</strong> riferimento ρ0:<br />
� � � �<br />
∂ρ ∂ρ<br />
ρ = ρ0 + ∆p+ ∆T<br />
∂p T ∂T p<br />
ρ0<br />
�<br />
1+ 1<br />
ρ0<br />
� ∂ρ<br />
∂p<br />
�<br />
T<br />
∆p+ 1<br />
ρ0<br />
� � �<br />
∂ρ<br />
∆T<br />
∂T p<br />
(12.20)<br />
Chiaramente, in con<strong>di</strong>zioni normali 2 , la densità aumenta all’aumentare <strong>del</strong>la pressione, (∂ρ/∂p) T > 0,<br />
mentre <strong>di</strong>minuisce all’aumentare <strong>del</strong>la temperatura, (∂ρ/∂T) p < 0. Tenendo conto <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni<br />
precedenti, si definiscono allora due significative grandezze caratterizzanti i flui<strong>di</strong>:<br />
• il modulo <strong>di</strong> comprimibilità volumetrica (isotermico)<br />
� �<br />
∂p<br />
β = ρ0 , (12.21)<br />
∂ρ T<br />
detto anche bulk modulus in inglese, e<br />
2 Vi sono notevoli eccezioni nel comportamento <strong>di</strong> alcuni flui<strong>di</strong>, che spesso si verificano in prossimità <strong>di</strong> un cambiamento<br />
<strong>di</strong> stato. Ad esempio, l’acqua ha (∂ρ/∂T) p > 0 tra 0 e 4 gra<strong>di</strong> centigra<strong>di</strong> a pressione atmosferica.<br />
12-6
• il coefficiente <strong>di</strong> <strong>di</strong>latazione volumetrica isobarico<br />
α = − 1<br />
� �<br />
∂ρ<br />
, (12.22)<br />
ρ0 ∂T p<br />
per cui la formula espressa dall’equazione 12.20 si scrive:<br />
�<br />
ρ = ρ0 1+ 1<br />
β ∆p−α∆T<br />
�<br />
(12.23)<br />
Spesso è utile riferire β e α ad un generico volume <strong>di</strong> riferimento V0, invece che ad una densità. Essendo,<br />
a parità <strong>di</strong> massa, il volume inversamente proporzionale alla densità, si avrà:<br />
e quin<strong>di</strong><br />
ρ = 1<br />
V<br />
dρ = − dV<br />
V 2,<br />
(12.24)<br />
(12.25)<br />
per cui<br />
� � � � � �<br />
∂p ∂p ∂V ∂p<br />
β = ρ0 = ρ0 = −V0 , (12.26)<br />
∂ρ T ∂V ∂ρ T ∂V T<br />
α = − 1<br />
� �<br />
∂ρ<br />
= −<br />
ρ0 ∂T p<br />
1<br />
� �<br />
∂ρ ∂V<br />
=<br />
ρ0 ∂V ∂T p<br />
1<br />
� �<br />
∂V<br />
. (12.27)<br />
V0 ∂T p<br />
Siccome abbiamo assunto trascurabili gli effetti termici sulla <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> fluido, α non sarà considerato.<br />
Al contrario, β sarà una caratteristica <strong>del</strong>la massima importanza nella determinazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica<br />
dei sistemi a fluido ogniqualvolta non potremo ritenere il fluido perfettamente incomprimibile, in quanto<br />
ne caratterizzerà la relativa rigidezza. Si noti che è anche possibile la definizione <strong>di</strong> un coefficiente <strong>di</strong><br />
comprimibilità a<strong>di</strong>abatica βa, collegabile a β tramite la relazione:<br />
Essendo 3<br />
βa = cp<br />
cv<br />
γ = cp<br />
cv<br />
β. (12.28)<br />
(12.29)<br />
significativamente approssimabile a uno per i liqui<strong>di</strong>, per essi la <strong>di</strong>stinzione fra i due moduli è solitamente<br />
inessenziale. Per i gas, invece, la <strong>di</strong>fferenza può essere significativa; si ricor<strong>di</strong> che cp/cv vale all’incirca 1.4<br />
per gas perfetti biatomici, e l’utilizzo <strong>del</strong> modulo a<strong>di</strong>abatico meglio approssima la realtà, in quanto per i<br />
gas l’ipotesi <strong>di</strong> a<strong>di</strong>abaticità, ovvero scambio <strong>di</strong> calore nullo, è più appropriata. Per un gas, approssimato<br />
come perfetto, ricordando la definizione <strong>di</strong> β e la relativa equazione <strong>di</strong> stato,<br />
p = ρRT, (12.30)<br />
si constata facilmente che β = p (mentre α = 1/T) e quin<strong>di</strong><br />
βa = cp<br />
cv<br />
p = γp. (12.31)<br />
Nel prosieguo, salvo <strong>di</strong>versa ed esplicita menzione, noi utilizzeremo sempre il simbolo β, sottintendendo<br />
allo stesso βa nel caso <strong>di</strong> gas. Si può quin<strong>di</strong> avere un’idea imme<strong>di</strong>ata <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza <strong>del</strong>la<br />
comprimibilità <strong>di</strong> un gas, mentre per i liqui<strong>di</strong> si ricordano i valori approssimativi a 20 o C: per gli olî<br />
3 Non si confonda questo γ, rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante, con quello usato nella (12.5)<br />
per in<strong>di</strong>care la densità specifica ρg.<br />
12-7
utilizzati nei circuiti idraulici β = 1.5 Gpa (15000 bar), e per l’acqua β = 2.1 Gpa (21000 bar). La<br />
comprimibilità volumetrica generalmente <strong>di</strong>minuisce all’aumentare <strong>del</strong>la temperatura, con variazioni che<br />
<strong>di</strong>pendono da liquido a liquido; l’acqua, ad esempio, non presenta significative variazioni nell’intervallo<br />
20÷100 o C, mentre gli olî idraulici possono subire una <strong>di</strong>minuizione <strong>di</strong> circa il 25%.<br />
È importante rilevare che nelle reali con<strong>di</strong>zioni operative, per quanto si ponga attenzione ad evitare<br />
l’inclusione e la formazione <strong>di</strong> gas, una certa percentuale <strong>di</strong> inclusione <strong>di</strong> gas non <strong>di</strong>sciolto è sempre<br />
presente. Tale inclusione può influenzare significativamente la rigidezza <strong>del</strong> fluido, esperienza spesso<br />
drammaticamente avvertita quando il calore sviluppato dall’eccessivo riscaldamento dei freni <strong>di</strong> un autoveicolo<br />
si trasmette al fluido <strong>del</strong> circuito frenante che evapora parzialmente, facendo sì che la pressione<br />
esercitata sul pedale <strong>del</strong> freno produca un effetto frenante estremamente limitato, poiché frenando non<br />
si fa altro che comprimere le bolle <strong>di</strong> vapore sviluppatesi in seno al liquido (fa<strong>di</strong>ng). Infatti, il vapore<br />
ed il liquido agiscono come due elementi elastici in serie, per i quali, come ben sappiamo, si sommano le<br />
relativeflessibilità(inverso<strong>del</strong>le rigidezze), per cui se una è preponderantesull’altra<strong>di</strong>ventapraticamente<br />
la sola responsabile <strong>del</strong>la cedevolezza globale <strong>del</strong> sistema idromeccanico.<br />
Può essere utile evidenziare tale concetto nei casi <strong>di</strong> interesse applicativo. Supponiamo che in un<br />
volume complessivo Vt ci sia una parte Vl <strong>di</strong> liquido e una parte Vg <strong>di</strong> gas; sarà evidentemente Vt = Vl+Vg<br />
e ∆Vt = ∆Vl +∆Vg. Chiamando β il modulo relativo a tutto il volume, dalla sua definizione in termini<br />
volumetrici potremo scrivere la precedente relazione <strong>del</strong>le variazioni volumetriche nella forma:<br />
Vt<br />
β<br />
∆p = Vl<br />
βl<br />
da cui proseguendo:<br />
Vt<br />
β ∆p = Vt −Vg<br />
βl<br />
per arrivare a:<br />
1 1<br />
= +<br />
β βl<br />
Vg<br />
Vt<br />
∆p+ Vg<br />
∆p, (12.32)<br />
βg<br />
� 1<br />
∆p+ Vg<br />
∆p, (12.33)<br />
βg<br />
βg<br />
− 1<br />
�<br />
βl<br />
spesso più semplicemente approssimabile con<br />
1 1<br />
≃ +<br />
β βl<br />
Vg<br />
Vt<br />
(12.34)<br />
1<br />
, (12.35)<br />
βg<br />
essendo βl ≫ βg. Da tale formula si vede come per un’inclusione volumetrica <strong>di</strong> gas <strong>del</strong>l’1%, ovvero per<br />
Vg/Vt = 0.01, alla pressione me<strong>di</strong>a operativa atmosferica, βg ≡ 1 bar, un fluido idraulico con βl = 15000<br />
bar abbia una rigidezza volumetrica effettiva <strong>di</strong> soli circa 100 bar, mentre alla pressione me<strong>di</strong>a operativa<br />
<strong>di</strong> 150 bar si abbia un valore“solo”<strong>di</strong>mezzato. Questa è certamente una <strong>del</strong>le ragioni che ben evidenzia<br />
l’opportunità <strong>del</strong>l’utilizzo <strong>di</strong> circuiti idraulici <strong>di</strong> potenza operanti a pressioni relativamente alte.<br />
Ad ulteriore complemento si rileva che l’inclusione <strong>di</strong> aria nei circuiti idraulici operanti alla pressione<br />
atmosferica può raggiungere valori ben maggiori <strong>del</strong>l’1%, mentre ad alte pressioni me<strong>di</strong>e operative l’aria<br />
tende a <strong>di</strong>ssolversi nel liquido con minore degrado <strong>del</strong>la rigidezza volumetrica <strong>del</strong>lo stesso. Pur senza<br />
<strong>di</strong>lungarci oltre, notiamo che un’ulteriore <strong>di</strong>minuzione <strong>del</strong>la rigidezza apparente <strong>del</strong> fluido può imputarsi<br />
anche alla deformabilità strutturale degli elementi che lo contengono.<br />
Abbiamo già richiamato come la <strong>di</strong>stinzione fra flussi comprimibili e non sia associata al numero <strong>di</strong><br />
Mach M e quin<strong>di</strong> alla velocità <strong>di</strong> propagazione <strong>del</strong> suono nel fluido. Può essere ora utile ricordare che<br />
la velocità <strong>del</strong> suono altro non è che la velocità <strong>di</strong> propagazione <strong>del</strong>le piccole perturbazioni <strong>di</strong> campo nel<br />
mezzo, approssimato come non <strong>di</strong>ssipativo, ed è data da<br />
c =<br />
��<br />
∂p<br />
∂ρ<br />
�<br />
a<strong>di</strong>abatico<br />
=<br />
�<br />
βa<br />
. (12.36)<br />
ρ<br />
Come già ricordato, per i liqui<strong>di</strong> la <strong>di</strong>stinzione fra comprimibilità isotermica e a<strong>di</strong>abatica è inessenziale,<br />
mentre per i gas è necessario usare βa. Si ricorda che per i gas perfetti la celerità <strong>del</strong> suono, a partire<br />
dalla (12.36), è data dalla<br />
c = � γRT. (12.37)<br />
12-8
Riprendendo il bilancio <strong>di</strong> massa dato dalla (12.1), qui ripetuto per chiarezza espositiva:<br />
(ρAu) entrante −(ρAu) uscente = d(ρV)<br />
, (12.38)<br />
dt<br />
dopo aver condotto buona parte <strong>del</strong>la presentazione precedente sulla base <strong>del</strong>l’ipotesi <strong>di</strong> flusso incomprimibile<br />
parrebbe naturale riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici, e cioè:<br />
(Au) entrante −(Au) uscente = dV<br />
, (12.39)<br />
dt<br />
essendo quin<strong>di</strong> ogni effetto instazionario attribuibile alla sola variabilità <strong>del</strong> volume <strong>di</strong> controllo, come nel<br />
caso <strong>di</strong> un cilindro con pistone mobile o <strong>di</strong> una valvola con elemento <strong>di</strong> chiusura scorrevole. Ricordando<br />
l’equazione <strong>di</strong> stato linearizzata<br />
�<br />
ρ = ρ0 1+ ∆p<br />
�<br />
(12.40)<br />
β<br />
e trascurando le <strong>di</strong>latazioni termiche, è infatti facilmente verificabile che per i liqui<strong>di</strong> ∆p/β rimane<br />
nell’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> soli alcuni punti percentuali anche per variazioni <strong>di</strong> alcune centinaia <strong>di</strong> bar, mentre per<br />
i gas, essendo ∆p/β <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> ∆p/p l’effetto è sostanzialmente <strong>di</strong>pendente dalla pressione me<strong>di</strong>a<br />
operativa, ma può comunque rimanere adeguatamente contenuto in presenza <strong>di</strong> una pressurizzazione<br />
me<strong>di</strong>a adeguata. È comunque utile esplicitare tali considerazioni eseguendo alcuni passaggi. Sostituendo<br />
allora l’equazione <strong>di</strong> stato linearizzata nel bilancio <strong>di</strong> massa abbiamo:<br />
(ρAu) entrante −(ρAu) uscente = ρ dV<br />
dt +ρ0<br />
V<br />
β<br />
d∆p<br />
, (12.41)<br />
dt<br />
che, assumendo ∆p/β sufficientemente minore <strong>di</strong> uno, permette <strong>di</strong> confondere ρ0 con ρ e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
semplificare ρ e riscrivere la stessa in termini puramente volumetrici:<br />
(Au) entrante −(Au) uscente ∼ = dV<br />
dt<br />
+ V<br />
β<br />
d∆p<br />
. (12.42)<br />
dt<br />
Tale formula mostra come, anche per flussi ben approssimabili come incomprimibili, in presenza <strong>di</strong><br />
relativamente elevate variazioni temporali <strong>di</strong> pressione e/o volumi non piccoli si possano introdurre<br />
eccessive approssimazioni trascurando il termine<br />
V<br />
β<br />
d∆p<br />
. (12.43)<br />
dt<br />
La <strong>di</strong>fferenza essenziale fra liqui<strong>di</strong> e gas è allora legata alla pressione <strong>di</strong> riferimento implicita nell’equazione<br />
<strong>di</strong> stato linearizzata. Infatti, come già detto, per i liqui<strong>di</strong> tale equazione può fornire una buona<br />
approssimazione anche per variazioni <strong>di</strong> pressione <strong>di</strong> centinaia <strong>di</strong> bar e si può quin<strong>di</strong> scrivere anche assumendo<br />
come pressione <strong>di</strong> riferimento la pressione nulla, e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>rettamente in termini <strong>di</strong> pressione<br />
assoluta:<br />
(Au) entrante −(Au) uscente = dV<br />
dt<br />
V dp<br />
+<br />
β dt<br />
(12.44)<br />
e non <strong>di</strong> variazione ∆p. È anche opportuno ricordare che la pressione non può essere minore <strong>di</strong> zero,<br />
corrispondendo infatti la pressione nulla al vuoto assoluto. Una banale constatazione da cui consegue<br />
l’impossibilità <strong>di</strong> aspirare un liquido alla pressione atmosferica ad un altezza <strong>di</strong> più <strong>di</strong> 100000/(ρg) metri,<br />
circa 10 m nel caso <strong>del</strong>l’acqua. Di fatto, a causa <strong>del</strong>le per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico e <strong>del</strong>la necessità <strong>di</strong> garantire una<br />
portata adeguata, il fluido deve pervenire a destinazione con una velocità, e quin<strong>di</strong> energia cinetica,<br />
adeguata, tale altezza è in pratica assai inferiore al limite sopra riportato. Inoltre, all’abbassarsi <strong>del</strong>la<br />
pressione a livelli significativamente inferiori alla pressione atmosferica, il fluido libera ogni gas in esso<br />
<strong>di</strong>sciolto e comincia a vaporizzare, <strong>di</strong>ventando praticamente bifasico (gas-liquido); i gas <strong>di</strong>sciolti e il suo<br />
vapore formano bolle <strong>di</strong> varie <strong>di</strong>mensioni. Tale con<strong>di</strong>zione è spesso fonte <strong>di</strong> varie forme <strong>di</strong> vibrazioni,<br />
12-9
umore e generazione <strong>di</strong> sollecitazioni <strong>di</strong>namiche. Quando poi il liquido viene assoggettato a ricompressione,<br />
si possono generare fenomeni <strong>di</strong> erosione dovuti a pressioni intense e fortemente localizzate, causate<br />
dall’esplosione <strong>del</strong>le bolle, che sono spesso in grado <strong>di</strong> rompere i legami intermolecolari <strong>del</strong> materiale con<br />
cui vengono a contatto durante l’esplosione stessa, formando cavità ed erosioni <strong>di</strong>struttive. Il termine<br />
generalmente usato per tali situazioni è quello <strong>di</strong> cavitazione. Conclu<strong>di</strong>amo ricordando la scrittura <strong>del</strong><br />
bilancio globale <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto per un flusso stazionario applicato ad un volume <strong>di</strong> controllo fisso:<br />
�<br />
F = ρU(U·n) dS, (12.45)<br />
S<br />
essendo F la risultante <strong>di</strong> tutte le forze applicate al volume <strong>di</strong> controllo, U la velocità <strong>di</strong> efflusso e S<br />
la superficie che racchiude il volume <strong>di</strong> controllo. Tale formula risulterà utile per determinare le forze<br />
scambiate fra fluido e parti meccaniche, sia fisse che mobili.<br />
12.1 Esempi <strong>di</strong> applicazione dei concetti richiamati<br />
12.1.1 Colpo d’ariete<br />
Perfino nelle normali condotte domestiche <strong>del</strong>l’acqua potabile è a volte possibile avvertire un colpo<br />
metallico proveniente dalle tubazioni quando si chiude bruscamente un rubinetto ben aperto. Tale<br />
“botto” è associato alla sovrapressione che si genera a causa <strong>del</strong>la comprimibilità <strong>del</strong>l’acqua. Non ci<br />
addentreremo qui in uno stu<strong>di</strong>o dettagliato <strong>del</strong> fenomeno, ma solo in un’analisi semplificata, in grado <strong>di</strong><br />
fornire però alcune utili in<strong>di</strong>cazioni pratiche. Supponiamo allora che si sia stabilito un flusso stazionario<br />
avente velocità me<strong>di</strong>a u in una tubazione <strong>di</strong> lunghezza L e area A; a tale flusso sarà associata un’energia<br />
cinetica<br />
T = 1<br />
2 ρLAu2 . (12.46)<br />
In conseguenza <strong>di</strong> una chiusura istantanea <strong>del</strong>la condotta, il flusso viene improvvisamente bloccato all’uscita,<br />
e comincerà a comprimersi, propagando, alla velocità <strong>del</strong> suono c e in senso retrogrado al flusso,<br />
una sovrapressione che si accompagna ad un annullamento <strong>del</strong>la sua velocità. Dopo un tempo L/c,<br />
tutto il fluido avrà velocità nulla e, trascurando gli effetti gravitazionali, tutta l’energia cinetica si sarà<br />
trasformata ed accumulata in energia elastica, che sarà data da:<br />
�<br />
E = − p dV. (12.47)<br />
V<br />
Il principio <strong>di</strong> conservazione <strong>del</strong>la massa, applicato alla tubazione, ci <strong>di</strong>ce che<br />
dV<br />
dt<br />
o anche<br />
V dp<br />
+ = 0, (12.48)<br />
β dt<br />
dV = − V<br />
dp, (12.49)<br />
β<br />
che, sostituita nell’integrale precedente, permette <strong>di</strong> scrivere<br />
E = 1LA<br />
2 β p2 . (12.50)<br />
Eguagliando le due energie, si ricava la variazione <strong>di</strong> pressione massima conseguente ad una soppressione<br />
istantanea <strong>del</strong> flusso:<br />
�<br />
β<br />
∆pci = ρ u = ρcu (12.51)<br />
ρ<br />
12-10
Figura 12.1: Variazione <strong>di</strong> pressione massima in una condotta<br />
che, va rilevato, non <strong>di</strong>pende dalla pressione già esistente nella condotta. È facile constatare che già con<br />
un modesto flusso d’acqua, con velocità <strong>di</strong> circa un metro al secondo, si può instaurare una sovrapressione<br />
<strong>di</strong> una decina <strong>di</strong> bar. Naturalmente, una chiusura istantanea <strong>del</strong> rubinetto <strong>di</strong> casa non è ipotizzabile<br />
ma, come abbiamo già detto, zero non vuol mai <strong>di</strong>re zero <strong>di</strong> per sé, ma qualcosa <strong>di</strong> piccolo rispetto ad<br />
una grandezza <strong>di</strong> riferimento. È allora evidente che la rapi<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> chiusura non è un valore assoluto, ma<br />
va collegata ad un tempo caratteristico legato al propagarsi <strong>del</strong>la perturbazione ipotizzata. Tale tempo<br />
può, riferendosi ad una compressione e riespansione completa, assumersi dato da<br />
Tc = 2 L<br />
, (12.52)<br />
c<br />
ragion per cui, per evitare sovrapressioni eccessive, sarà opportuno effettuare le manovre <strong>di</strong> chiusura<br />
in tempi molto maggiori <strong>di</strong> tale quantità. Tale con<strong>di</strong>zione si può facilmente sod<strong>di</strong>sfare in occasione<br />
<strong>di</strong> manovre <strong>di</strong> chiusura programmabili a priori, ma può imporre un vincolo inaccettabile in tutte le<br />
operazioni <strong>di</strong> regolazione, sia <strong>di</strong> normale funzionamento che <strong>di</strong> emergenza, nelle quali è richiesta una certa<br />
prontezza, ragion per cui è spesso opportuno provvedere con opportuni accorgimenti <strong>di</strong> progetto, su cui<br />
non è opportuno qui <strong>di</strong>lungarsi. Chiaramente, l’esempio“domestico”viene fatto solo per imme<strong>di</strong>atezza<br />
intuitiva. Per un esempio più significativo basti pensare alle lunghe condotte in pressione che alimentano<br />
leturbineidraulicheeagliimpiantiafluidochecontengonocomponenti<strong>di</strong>regolazioneconbandapassante<br />
avente frequenze <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 1/Tc. Il grafico <strong>di</strong> figura 12.1 permette una valutazione approssimata <strong>del</strong>la<br />
variazione <strong>di</strong> pressione massima ∆pmax che si sviluppa in una condotta in cui il fluido scorre alla pressione<br />
p0 e la chiusura avviene con legge lineare su un tempo T. I simboli utilizzati sono:<br />
K = ∆pic<br />
2p0<br />
, Tc = 2L T<br />
, N =<br />
c Tc<br />
12.1.2 Flusso stazionario da una piccola apertura (orifizio)<br />
(12.53)<br />
Si supponga che in un tubo <strong>di</strong> area At sia inserito un <strong>di</strong>aframma con un’apertura <strong>di</strong> area Ao, centrata<br />
attorno all’asse <strong>del</strong> tubo, come illustrato in figura 12.2. Se Ao è significativamente minore <strong>di</strong> At, ovvero<br />
se l’apertura è un orifizio, si ha in genere una forte contrazione <strong>del</strong> flusso, la cui minima sezione non si<br />
stabilisce in coincidenza <strong>del</strong> <strong>di</strong>aframma ma in una sezione contratta, detta appunto <strong>di</strong> vena contracta,<br />
12-11
Figura 12.2: Orifizio<br />
poco a valle e <strong>di</strong> area Ac = CcAo, essendo Cc un opportuno coefficiente <strong>di</strong> contrazione. Allora, tra la<br />
sezione 2 e una sufficientemente a monte <strong>del</strong>la sezione 1 si possono scrivere le seguenti equazioni: dalla<br />
(12.15)<br />
Atut = Acuc, (12.54)<br />
e dalla (12.4), ricordando la (12.14)<br />
da cui<br />
2∆p<br />
ρ = u2 c (1+Kc)−u 2 t, (12.55)<br />
1<br />
uc = �<br />
�<br />
�<br />
� (1+Kc)−<br />
� �2 Ac<br />
At<br />
�<br />
2∆p<br />
. (12.56)<br />
ρ<br />
Più usualmente, però, le per<strong>di</strong>te dovute alla contrazione vengono tenute in conto riscrivendo la formula<br />
(12.56) nella forma:<br />
�<br />
Cu 2∆p<br />
uc = �<br />
� � �<br />
, (12.57)<br />
2<br />
�<br />
ρ<br />
Ac �1− At<br />
dove Cu è un coefficiente, detto <strong>di</strong> velocità, lievemente inferiore ad uno, <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 0.98, spesso<br />
omesso essendo assai prossimo ad 1, il che corrisponde anche ad assumere per<strong>di</strong>te concentrate nulle e<br />
quin<strong>di</strong> Kvc = 0. Si può allora scrivere la portata corrispondente in termini <strong>del</strong>le grandezze geometriche<br />
effettive:<br />
q = �<br />
�<br />
�<br />
�1− CuCcAo<br />
� �2 CcAo<br />
At<br />
�<br />
che, definendo un coefficiente d’efflusso<br />
Ce = �<br />
�<br />
�<br />
�1− CuCc<br />
�<br />
CcAo<br />
At<br />
2∆p<br />
, (12.58)<br />
ρ<br />
� 2 , (12.59)<br />
12-12
si scrive più sinteticamente:<br />
�<br />
2∆p<br />
q = CeAo . (12.60)<br />
ρ<br />
Nella prassi, Ce è il coefficiente <strong>di</strong> più facile valutazione sperimentale, <strong>di</strong>pende dal numero <strong>di</strong> Reynolds<br />
ed è sensibilmente compreso fra 0.6 e 0.7 per rapporti <strong>di</strong> contrazione che sod<strong>di</strong>sfino la relazione: 0.2 ≤<br />
Ao/At ≤ 0.6. Per mantenersi consistenti con la relazione sopra illustrata, per il calcolo <strong>del</strong>la portata da<br />
un orifizio sarà allora opportuno calcolare la relativa velocità d’efflusso con:<br />
uo = Ce<br />
�<br />
2∆p<br />
. (12.61)<br />
ρ<br />
Va anche notato che nelle formule precedenti si è sempre assunto ∆p > 0 e che un’eventuale variazione <strong>del</strong><br />
segno <strong>del</strong> salto <strong>di</strong> pressione starebbe ad in<strong>di</strong>care l’inversione <strong>del</strong> flusso attraverso l’orifizio. Chiaramente,<br />
sia la portata che la velocità d’efflusso sono grandezze con un verso, e quin<strong>di</strong> segno, e un’inversione <strong>di</strong><br />
flusso è sempre possibile. In relazione a tale eventualità, sarà opportuno scrivere:<br />
q = CeAo<br />
�<br />
2|∆p|<br />
sign(∆p) (12.62)<br />
ρ<br />
nella quale, qualora si evidenzino asimmetrie geometriche, si dovrà inoltre avere cura <strong>di</strong> utilizzare un Ce<br />
<strong>di</strong>pendente anch’esso dal segno <strong>del</strong> salto <strong>di</strong> pressione. Una simile precauzione può essere evitata solo se<br />
è possibile garantire l’impossibilità <strong>di</strong> inversione <strong>del</strong> flusso sulla base <strong>di</strong> considerazioni fisiche, ragion per<br />
cui ∆p ≤ 0 <strong>di</strong>venterà invece una sicura in<strong>di</strong>cazione <strong>di</strong> errori <strong>di</strong> calcolo e/o <strong>di</strong> mo<strong>del</strong>lazione. La presenza<br />
<strong>del</strong> termine � 2∆p/ρ nelle formule presentate evidenzia chiaramente che tali formule non sono utilizzabili<br />
per flussi laminari. In tale caso è infatti noto che la portata è invece proporzionale a ∆p, per cui si può<br />
scrivere:<br />
q = CelAo∆p. (12.63)<br />
Si riportano quin<strong>di</strong> brevemente le espressioni<strong>di</strong> Cel per due geometrie <strong>di</strong> orifizi più comuni, valide quando<br />
la <strong>di</strong>mensione massima degli stessi è molto minore <strong>del</strong>la <strong>di</strong>mensione <strong>del</strong> tubo:<br />
• per orifizi circolari:<br />
Cel = d<br />
; (12.64)<br />
12.6µ<br />
• per orifizi rettangolari e corone circolari <strong>di</strong> altezza molto inferiore alla circonferenza me<strong>di</strong>a:<br />
Cel =<br />
<strong>di</strong>mensione minima<br />
. (12.65)<br />
10.2µ<br />
Anchesenonèunorifizio, ricor<strong>di</strong>amoquilaformulaperilCel <strong>del</strong>flussopianofraduepiastre<strong>di</strong>lunghezza<br />
L <strong>di</strong>stanti h, con h/L molto minore <strong>di</strong> uno:<br />
Cel = h2<br />
12µL<br />
(12.66)<br />
Essendo h/L molto minore <strong>di</strong> uno, il flusso è sostanzialmente bi<strong>di</strong>mensionale sia per intagli rettangolari<br />
che circolari, e tale formula è assai utile per determinare le per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> flusso conseguente ai giochi<br />
costruttivi. Come già precedentemente ricordato a commento <strong>del</strong> bilancio <strong>di</strong> energia meccanica nelle<br />
condotte, si rileva che le espressioni sopra ricavate valgono per flussi stazionari, ma verranno da noi<br />
utilizzate anche nel caso non stazionario, essendo tale fenomeno dominato dalle variazioni <strong>di</strong> pressione e<br />
dai termini inerziali convettivi.<br />
12-13
12.1.3 Molla-smorzatore a fluido<br />
Figura 12.3: Molla-smorzatore a fluido<br />
Con riferimento alla figura 12.3, si assuma che il cilindro-pistone contenga un fluido inizialmente pressurizzato<br />
uniformemente, in modo da non avere squilibri <strong>di</strong> pressione sulle due facce. Assumendo che<br />
ogni successivo movimento sia effettuato in modo da causare variazioni <strong>di</strong> pressione tali da permettere<br />
<strong>di</strong> utilizzare il bilancio <strong>di</strong> massa basato sull’equazione <strong>di</strong> stato linearizzata (12.42), ricordando la (12.63),<br />
potremo scrivere:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
∆ ˙<br />
P1 =<br />
∆ ˙<br />
P2 =<br />
β<br />
Apx (−Ap˙x−CeliAeli(∆P1 −∆P2)−CeleAele∆P1)<br />
β<br />
Ap(L−x) (Ap˙x+CeliAeli(∆P1 −∆P2)−CeleAele∆P2),<br />
(12.67)<br />
dove L è la corsa <strong>del</strong> pistone, e i termini <strong>di</strong> scambio <strong>di</strong> fluido, fra le due camere e verso l’esterno, sono<br />
formulati assumendo un flusso laminare, ritenendo quin<strong>di</strong> che gli accoppiamenti cilindro-pistone e stelosupporti<br />
siano sufficientemente precisi da garantire giochi tali da mantenere il numero <strong>di</strong> Reynolds ben<br />
dentro i limiti <strong>di</strong> laminarità in ogni con<strong>di</strong>zione operativa. Celi è il coefficiente <strong>di</strong> efflusso laminare interno<br />
attraverso l’area anulare Aeli attorno al pistone, Cele è il coefficiente <strong>di</strong> efflusso laminare verso l’esterno<br />
attraverso i supporti <strong>del</strong>lo stelo. Supponendo che l’attrito che si stabilisce fra cilindro e pistone e fra<br />
stelo e supporti sia approssimabile con una <strong>di</strong>ssipazione viscosa <strong>di</strong> coefficiente r, la forza generata dalla<br />
molla-smorzatore sarà:<br />
F ′ = (∆P1 −∆P2)Ap −r˙x. (12.68)<br />
Le formule <strong>di</strong> cui sopra possono essere sintetizzate nella seguente forma matriciale:<br />
• equazione <strong>di</strong> stato:<br />
�<br />
∆P1 ˙<br />
∆ ˙<br />
�<br />
= −<br />
P2<br />
β<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
• equazione <strong>di</strong> uscita:<br />
Ap<br />
⎢<br />
+β ⎣<br />
CeliAeli +CeleAele<br />
x<br />
⎡<br />
F ′ � �<br />
= −Ap −1 1 � ∆P1<br />
∆P2<br />
− CeliAeli<br />
−<br />
x<br />
CeliAeli<br />
L−x<br />
−<br />
⎤<br />
� �<br />
⎥ ∆P1<br />
⎦<br />
CeliAeli +CeleAele ∆P2<br />
L−x<br />
1<br />
⎤<br />
x ⎥<br />
1<br />
⎦ ˙x;<br />
L−x<br />
(12.69)<br />
�<br />
−r˙x; (12.70)<br />
12-14
le quali mostrano come il sistema risponda con la generazione <strong>di</strong> una forza ad un movimento assegnato<br />
definito da x, ˙x. Si deve rilevare che il comportamento <strong>del</strong>la molla-smorzatore a fluido non solo sia non<br />
lineare, per la presenza <strong>del</strong>lo spostamento x a denominatore, ma sia anche caratterizzato da un sistema<br />
<strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali che non permettono <strong>di</strong> definire la forza come puntualmente <strong>di</strong>pendente dai<br />
valori istantanei <strong>di</strong> x, ˙x, poiché la stessa viene a <strong>di</strong>pendere dall’integrazione <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> equazioni<br />
<strong>di</strong>fferenziali e quin<strong>di</strong> dalla storia <strong>del</strong> movimento.<br />
Caso limite: smorzatore Solo nel caso in cui il coefficiente <strong>di</strong> comprimibilità sia talmente elevato, e<br />
i movimenti sufficientemente lenti da rendere le derivate <strong>del</strong>le variazioni <strong>di</strong> pressione trascurabili rispetto<br />
alla variazione temporale <strong>del</strong>le pressioni nelle due camere, il sistema sarà approssimabile con la semplice<br />
relazione algebrica:<br />
⎛<br />
F ′ ⎜<br />
= −⎜<br />
⎝ A2 p<br />
⎡<br />
� �⎢<br />
−1 1 ⎣<br />
− CeliAeli +CeleAele<br />
x<br />
CeliAeli<br />
L−x<br />
CeliAeli<br />
x<br />
− CeliAeli +CeleAele<br />
L−x<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
−1⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
− 1<br />
x<br />
1<br />
L−x<br />
⎤<br />
⎞<br />
⎥ ⎟<br />
⎦+r ⎟<br />
⎠ ˙x. (12.71)<br />
In tal modo è sì possibile una relazione algebrica che permette <strong>di</strong> determinare la forza esercitabile dalla<br />
molla-smorzatore a fluido, ma il comportamento rimane comunque non lineare, ed una linearizzazione<br />
è possibile solo per piccole perturbazioni attorno ad una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> riferimento, ovvero ad un dato<br />
valore <strong>di</strong> x.<br />
Caso limite: molla Si noti che una forza <strong>di</strong>pendente dalla sola posizione è possibile solo con tenute<br />
perfette e senza nessun attrito <strong>di</strong> contatto, nel qual caso si ha una molla a fluido:<br />
si ha<br />
CeliAeli = CeleAele = 0, (12.72)<br />
� ∆ ˙<br />
P1<br />
∆ ˙<br />
P2<br />
⎡<br />
�<br />
⎢<br />
= β⎣<br />
− 1<br />
x<br />
1<br />
L−x<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ˙x (12.73)<br />
che, per integrazione (trascurando la <strong>di</strong>pendenza da x <strong>del</strong> termine forzante), dà<br />
� ∆P1<br />
∆P2<br />
⎡<br />
�<br />
⎢<br />
= β⎣<br />
− 1<br />
x<br />
1<br />
L−x<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦(x−x0). (12.74)<br />
La forza <strong>di</strong>venta<br />
F ′ � �<br />
= −Ap −1 1 � �<br />
∆P1<br />
∆P2<br />
� �<br />
1 1<br />
= −βAp + (x−x0)<br />
x L−x<br />
L<br />
= −βAp<br />
x(L−x) (x−x0), (12.75)<br />
che rappresenta un elemento elastico non lineare, la cui linearizzazione attorno a x = x0 dà:<br />
F ′ L<br />
= −βAp ∆x. (12.76)<br />
x0(L−x0)<br />
Si noti come il minimo <strong>del</strong>la rigidezza equivalente si abbia per x0 = L/2, mentre questa tenda ad infinito<br />
quando x0 è tale da far tendere a zero il volume <strong>di</strong> una <strong>del</strong>le camere.<br />
12-15
12.1.4 Attuatore idraulico lineare<br />
Figura 12.4: Attuatore idraulico lineare<br />
Se nel cilindro stu<strong>di</strong>ato nel caso precedente, che supponiamo attuato con un liquido, apriamo due luci <strong>di</strong><br />
alimentazione che, grazie ad una valvola <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione, possiamo collegare sia ad una elevata pressione<br />
<strong>di</strong>alimentazione, ritenutacostante, Pa, cheaunapressione<strong>di</strong>scaricoPs (spessolapressioneatmosferica),<br />
otteniamo un attuatore, leggasi anche motore, idraulico lineare, ovvero una macchina che genera uno<br />
spostamento o una forza, illustrato in figura 12.4. Utilizzando i concetti qui presentati, il comportamento<br />
<strong>di</strong> tale sistema è mo<strong>del</strong>labile tramite il seguente sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali non lineari:<br />
• bilancio <strong>di</strong> massa nelle due camere, dalle (12.67) e (12.60):<br />
˙<br />
P1 =<br />
˙<br />
P2 =<br />
⎛<br />
�<br />
β<br />
⎝−Ap˙x−CeliAeli(P1 −P2)−CeleAele(P1 −Pe)+CeAic<br />
Apx<br />
2<br />
ρ (Pa<br />
⎞<br />
−P1) ⎠<br />
⎛<br />
�<br />
β<br />
⎝Ap˙x+CeliAeli(P1 −P2)−CeleAele(P2 −Pe)−CeAuc<br />
Ap(L−x)<br />
2<br />
ρ (P2<br />
⎞<br />
−Ps) ⎠;<br />
• equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> pistone:<br />
M¨x = Ap(P1 −P2)−r˙x−F, (12.77)<br />
essendo F una generica forza esterna applicata alla stelo (opposta allo spostamento x).<br />
12-16
Anch’esse sono sintetizzabili in forma matriciale nella seguente:<br />
⎡<br />
0 1 0 0<br />
⎧ ⎫ ⎢<br />
⎪⎨<br />
˙x ⎢<br />
⎪⎬ ⎢ 0 −<br />
¨x ⎢<br />
P1<br />
˙ = ⎢<br />
⎪⎩ ⎪⎭ ⎢<br />
P2<br />
˙ ⎢<br />
⎣<br />
r<br />
M<br />
Ap<br />
M<br />
− Ap<br />
0 −<br />
M<br />
β<br />
x<br />
−β CeliAeli +CeleAele<br />
Apx<br />
β CeliAeli<br />
0<br />
Apx<br />
⎡<br />
⎢<br />
+ ⎢<br />
⎣<br />
βCe<br />
Apx<br />
�<br />
2<br />
β<br />
L−x<br />
0 0<br />
0 0<br />
β CeliAeli<br />
Ap(L−x)<br />
ρ (Pa −P1) 0<br />
�<br />
βCe 2<br />
0 −<br />
Ap(L−x) ρ (P2<br />
⎥<br />
⎦<br />
−Ps)<br />
−β CeliAeli +CeleAele<br />
Ap(L−x)<br />
⎤<br />
� Aic<br />
Auc<br />
⎡<br />
⎢<br />
� ⎢<br />
+ ⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥⎧<br />
⎥<br />
⎥⎪⎨<br />
⎥<br />
⎥⎪⎩<br />
⎥<br />
⎦<br />
β CeleAele<br />
Apx<br />
β CeleAele<br />
Ap(L−x)<br />
x<br />
˙x<br />
P1<br />
P2<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥Pe−<br />
⎢<br />
⎥ ⎣<br />
⎦<br />
(12.78)<br />
0<br />
1<br />
M 0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ F,<br />
(12.79)<br />
dalla quale si vede che si può controllare il movimento <strong>del</strong> pistone e la forza generata controllando le<br />
portate <strong>di</strong> fluido nelle camere <strong>del</strong> cilindro tramite le aperture Aic, Auc. Spostanto opportunamente la<br />
valvola a cassetto è possibile anche invertire il collegamento tra le camere <strong>del</strong> pistone e le pressioni <strong>di</strong><br />
alimentazione e scarico. In questo modo il comportamento <strong>del</strong>l’attuatore è perfettamente simmetrico.<br />
12-17
12-18
Capitolo 13<br />
Sistemi vibranti ad un grado <strong>di</strong><br />
libertà — Parte II<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
13.1 Identificazione <strong>del</strong>lo smorzamento<br />
13.1.1 Smorzamento viscoso: moto libero<br />
Nell’ipotesi <strong>di</strong> avere uno smorzamento <strong>di</strong> tipo viscoso, la risposta <strong>del</strong> moto libero è retta da una legge<br />
<strong>del</strong> tipo<br />
x(t) = |X|e −ξω0t �� �<br />
sin 1−ξ 2ω0t+φ (13.1)<br />
Negli istanti <strong>di</strong> tempo t per cui<br />
�� �<br />
sin 1−ξ 2ω0t+φ = 1 (13.2)<br />
la risposta è tangente all’inviluppo esponenziale<br />
|X|e −ξω0t ; (13.3)<br />
tuttavia le tangenti non sono orizzontali, e i punti <strong>di</strong> tangenza sono leggermente spostati a destra <strong>del</strong><br />
punto <strong>di</strong> massima ampiezza. Generalmente questo fatto è trascurabile e l’ampiezza <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> tangenza<br />
può essere considerata coincidente con l’ampiezza al punto <strong>di</strong> massimo <strong>del</strong>l’oscillazione. Con riferimento<br />
alla simbologia in<strong>di</strong>cata in figura, il decremento logaritmico tra due oscillazioni consecutive è<br />
� � � � −ξω0t<br />
x1 |X|e<br />
δ = ln = ln = ξω0T (13.4)<br />
x2<br />
|X|e −ξω0(t+T)<br />
Dal momento che il periodo <strong>di</strong> una oscillazione è<br />
si ottiene<br />
T = 2π<br />
ω =<br />
ω0<br />
2π<br />
�<br />
1−ξ 2<br />
(13.5)<br />
δ = 2πξ<br />
� ∼= 2πξ (13.6)<br />
1−ξ 2<br />
ove l’approssimazione si può ritenere valida per valori <strong>di</strong> ξ relativamente piccoli (si noti che per ξ = 0.1<br />
l’errore è <strong>del</strong>lo 0.5%, mentre per ξ = 0.3 l’errore è <strong>del</strong> 5%). La vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>l’approssimazione è illustrata<br />
in figura 13.2.<br />
Si noti inoltre che, per ξ = 0.1, l’attenuazione è x2/x1 = e −ξω0T ∼ = 0.53, ovvero l’ampiezza <strong>del</strong>l’oscillazione<br />
su un periodo è quasi <strong>di</strong>mezzata. Ne consegue che il segnale si attenua molto rapidamente.<br />
13-1
Figura 13.1: Identificazione <strong>del</strong>lo smorzamento.<br />
Figura 13.2: Vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>l’approssimazione <strong>del</strong>lo smorzamento identificato me<strong>di</strong>ante la relazione (13.6).<br />
13-2
13.1.2 Smorzamento viscoso: moto forzato<br />
Per una forzante armonica <strong>del</strong> tipo<br />
F (t) = F0sin(ωt) (13.7)<br />
il lavoro introdotto in un periodo in un sistema meccanico è pari a<br />
�<br />
L =<br />
T<br />
F dx (13.8)<br />
e supponendo il sistema a regime con legge <strong>del</strong> moto<br />
x(t) = |X|sin(ωt+φ) (13.9)<br />
ne deriva quin<strong>di</strong> che<br />
dx = dx<br />
dt = |X|ωcos(ωt+φ)dt (13.10)<br />
dt<br />
e quin<strong>di</strong> la (13.8) <strong>di</strong>venta 1<br />
L = ωF0|X|<br />
� 2π<br />
ω<br />
0<br />
sin(ωt)cos(ωt+φ) dt = −πF0|X|sinφ (13.12)<br />
dove si è sfruttata la relazione T = 2π/ω tra periodo e pulsazione. Nell’ipotesi <strong>di</strong> smorzamento viscoso,<br />
quin<strong>di</strong> con FD = −r˙x e fase φ = π/2, il lavoro <strong>di</strong>ssipato 2 a regime è<br />
�<br />
LD =<br />
T<br />
−r˙x dx = −ω 2 r|X| 2<br />
� 2π<br />
ω<br />
0<br />
cos 2 (ωt+φ) dt = −ωπr|X| 2<br />
(13.13)<br />
Imponendo l’annullamento <strong>del</strong>la somma <strong>del</strong> lavoro (13.12) compiuto dalla forzante F e <strong>di</strong> quello (13.13)<br />
assorbito dallo smorzamento viscoso si ottiene<br />
L+LD = −πF0|X|sinφ−ωπr|X| 2 = 0, (13.14)<br />
da cui è possibile ricavare il valore <strong>del</strong>lo smorzamento<br />
r = − F0sinφ<br />
ω|X|<br />
(13.15)<br />
a seguito <strong>del</strong> rilevamento sperimentale <strong>del</strong> modulo |X| e <strong>del</strong>la fase φ <strong>del</strong>la risposta <strong>del</strong> sistema ad una<br />
forzante armonica (si ricor<strong>di</strong> che per un sistema ad un grado <strong>di</strong> libertà −π < φ ≤ 0), <strong>di</strong> cui siano noti<br />
ampiezza F0 e pulsazione ω.<br />
Dalla misura <strong>del</strong>l’energia <strong>di</strong>ssipata scopriamo che, a parità <strong>di</strong> ampiezza |X| <strong>del</strong>la risposta, il lavoro<br />
<strong>di</strong>ssipato varia proporzionalmente con la pulsazione ω, mentre a parità <strong>di</strong> pulsazione si mo<strong>di</strong>fica con il<br />
quadrato <strong>del</strong>l’ampiezza <strong>del</strong>la risposta.<br />
1 Si ricor<strong>di</strong> che, secondo le formule <strong>di</strong> prostaferesi,<br />
cos(ωt+φ) = cos(ωt)cosφ−sin(ωt)sinφ (13.11)<br />
e che l’integrale sul periodo <strong>del</strong> prodotto <strong>di</strong> funzioni ortogonali dà zero, a meno che non si tratti <strong>del</strong>la stessa funzione,<br />
ovvero <strong>del</strong> quadrato <strong>di</strong> una funzione; quin<strong>di</strong> nella (13.12) solo il termine sin 2 (ωt) dà integrale <strong>di</strong>verso da zero.<br />
2 È relativamente agevole verificare che il lavoro compiuto su un periodo dalle forze elastiche e <strong>di</strong> inerzia per il movimento<br />
armonico descritto dalla (13.9) è nullo; <strong>di</strong> conseguenza, se la forzante compie lavoro, questo non può che essere assorbito<br />
dalle forze <strong>di</strong>ssipative.<br />
13-3
13.1.3 Smorzamento isteretico<br />
A <strong>di</strong>spetto <strong>di</strong> quanto evidenziato nel paragrafo precedente, molte esperienze <strong>di</strong> laboratorio hanno mostrato<br />
che se il fenomeno <strong>di</strong>ssipativo è legato a fenomeni d’isteresi, come spesso avviene ad esempio per lo<br />
smorzamento <strong>del</strong>le vibrazioni nelle strutture metalliche, l’energia <strong>di</strong>ssipata in un ciclo è in<strong>di</strong>pendente<br />
dalla frequenza <strong>di</strong> vibrazione, e <strong>di</strong>pende solamente dal quadrato <strong>del</strong>l’ampiezza <strong>di</strong> deformazione e quin<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> vibrazione, per cui<br />
ovvero<br />
LD ÷−|X| 2 → LD = −α|X| 2<br />
(13.16)<br />
LD = −ωπreq|X| 2 = −α|X| 2 . (13.17)<br />
Da questa si ricava uno smorzamento equivalente, all’equilibrio, dato da<br />
req = 1 α<br />
ω π<br />
(13.18)<br />
per cui l’equazione <strong>di</strong>fferenziale, la cui soluzione descrive il moto <strong>del</strong> sistema quando è forzato armonicamente<br />
alla frequenza ω, <strong>di</strong>venta<br />
m¨x+ 1 α<br />
ω π ˙x+kx = F0sin(ωt) (13.19)<br />
il cui integrale particolare ha un’ampiezza<br />
F0<br />
|X| = �<br />
�<br />
�<br />
� (k −ω2 2<br />
m) +<br />
che in risonanza vale<br />
|X| = F0<br />
α/π<br />
� �2 α<br />
π<br />
(13.20)<br />
(13.21)<br />
Si noti che l’equazione (13.19) non è in grado <strong>di</strong> descrivere il comportamento generale <strong>del</strong> sistema, in<br />
quanto il coefficiente che moltiplica ˙x <strong>di</strong>pende dalla pulsazione ω <strong>del</strong>la forzante; quin<strong>di</strong> è in grado <strong>di</strong><br />
descrivere solamente il comportamento <strong>del</strong> sistema soggetto ad una forzante armonica alla frequenza ω.<br />
La conclusione è che lo smorzamento viscoso, descritto dalla relazione costitutiva FD = −r˙x, consente<br />
<strong>di</strong> introdurre smorzamento nei mo<strong>del</strong>li matematici dei sistemi fisici preservando i vantaggi <strong>del</strong>l’uso <strong>di</strong><br />
mo<strong>del</strong>li lineari o linearizzati, ma l’evidenza sperimentale mostra che in alcuni casi non descrive in modo<br />
adeguato la natura <strong>del</strong>la <strong>di</strong>ssipazione che ha luogo nei meccanismi durante i fenomeni <strong>di</strong> vibrazione.<br />
Tuttavia, vista l’importanza <strong>del</strong>lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> fenomeni meccanici quali le vibrazioni, sia libere che forzate<br />
armonicamente, la possibilità <strong>di</strong> tarare empiricamente il coefficiente <strong>di</strong> smorzamento ξ in funzione <strong>del</strong>la<br />
pulsazione ω <strong>del</strong>la forzante consente comunque <strong>di</strong> utilizzare il mo<strong>del</strong>lo viscoso, introducendo quin<strong>di</strong> il<br />
fenomeno fondamentale <strong>del</strong>la <strong>di</strong>ssipazione <strong>del</strong>l’energia associata alle vibrazioni, tenendone ben presenti i<br />
limiti <strong>di</strong> applicabilità.<br />
13.2 Isolamento <strong>del</strong>le vibrazioni<br />
Come abbiamo visto, la forzante armonica impressa al nostro oscillatore potrebbe essere dovuta a un<br />
macchinario ruotante con velocità angolare ω posto sulla massa <strong>di</strong> fondazione.<br />
La forza trasmessa al terreno, al generico tempo t, sarà<br />
Ftr(t) = kx+r˙x = kXe iωt +irωXe iωt = (k +irω)Xe iωt = Ftre iωt<br />
13-4<br />
(13.22)
dove<br />
ovvero<br />
�<br />
F0 k<br />
|Ftr| =<br />
2 +(rω) 2<br />
�<br />
(k −mω2 ) 2 +(rω) 2<br />
|Ftr|<br />
F0<br />
Figura 13.3: Macchine che trasmettono vibrazioni al terreno.<br />
Figura 13.4: Sistema soggetto a vibrazione <strong>del</strong> terreno.<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�1+ 2ξ<br />
=<br />
ω<br />
�2 ω0<br />
�<br />
�⎛<br />
�<br />
� � ⎞<br />
2<br />
2 �<br />
� ω<br />
�⎝1−<br />
⎠ + 2ξ<br />
ω0<br />
ω<br />
ω0<br />
� 2<br />
(13.23)<br />
(13.24)<br />
Come visto in precedenza, questa forzante armonica applicata al terreno lo porterà a vibrare con<br />
un’ampiezza b, ovvero con una legge <strong>del</strong> tipo descritto dalla (6.64), che forzerà le strutture circostanti,<br />
come illustrato in figura 13.4.<br />
Per questa struttura l’equazione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico è<br />
ovvero<br />
m¨x+r(˙x− ˙y)+k(x−y) = 0 (13.25)<br />
m¨x+r˙x+kx = r˙y +ky = b(iωr +k)e iωt<br />
13-5<br />
(13.26)
Figura 13.5: Modulo e fase <strong>del</strong>la risposta <strong>di</strong> un sistema vibrante smorzato (N.B.: nel <strong>di</strong>segno ω/ω0<br />
è in<strong>di</strong>cato con ω/ωn, lo smorzamento r è in<strong>di</strong>cato con c, mentre la fase φ è rappresentata con segno<br />
opposto).<br />
e il relativo integrale particolare è<br />
con<br />
xp = |X|e i(ωt+φ)<br />
|X| =<br />
�<br />
b k2 +(rω) 2<br />
�<br />
(k −mω2 ) 2 +(rω) 2<br />
ovvero<br />
|X|<br />
b =<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
�1+ 2ξ ω<br />
�2 ω0<br />
�<br />
�⎛<br />
�<br />
� � ⎞<br />
2<br />
2 �<br />
� ω<br />
�⎝1−<br />
⎠ + 2ξ<br />
ω0<br />
ω<br />
ω0<br />
� 2<br />
(13.27)<br />
(13.28)<br />
(13.29)<br />
Sinotichepuressendoduefenomeni<strong>di</strong>versi,lasoluzioneè<strong>del</strong>tuttoanalogaaquella<strong>del</strong>laforzatrasmessa,<br />
descritta dalla (13.24). In entrambi i casi interessa che la soluzione sia ≪ 1 tanto per la forza trasmessa<br />
|Ftr|/F0 al terreno quanto per la trasmissibilità β = |X|/b.<br />
I parametri <strong>di</strong> progetto sono:<br />
• per la macchina eccitatrice la massa M, la pulsazione <strong>di</strong> funzionamento a regime ω e il momento<br />
statico <strong>di</strong> eccenticità me, prodotto <strong>del</strong>la massa eccentrica m e <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stanza dal centro <strong>di</strong> rotazione<br />
e;<br />
• per la struttura eccitata la massa m, l’ampiezza <strong>del</strong>lo spostamento imposto b e ovviamente la<br />
pulsazione ω <strong>del</strong>l’eccitazione, che è uguale a quello <strong>del</strong>la macchina sbilanciata.<br />
Diagrammiamo l’andamento <strong>di</strong> β = |X|/b al variare <strong>di</strong> ω/ω0. Si nota che per ω/ω0 = √ 2 la<br />
trasmissibilità è pari a 1 e che al crescere <strong>del</strong> rapporto tra le frequenze la trasmissibilità scende fino<br />
a tendere asintoticamente a zero per ω/ω0 → ∞. Questo fatto avviene in<strong>di</strong>pendentemente dal valore<br />
<strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> smorzamento ξ, il cui effetto è, al suo aumento, <strong>di</strong> ridurre l’ampiezza <strong>di</strong> vibrazione per<br />
ω/ω0 = 1, ma d’altra parte, rallenta la <strong>di</strong>minuzione <strong>di</strong> β per ω/ω0 → ∞.<br />
13-6
Riassumendo, converrebbe quin<strong>di</strong> scegliere ω/ω0 > √ 2, e quin<strong>di</strong> la rigidezza k < mω 2 /2, e nel<br />
contempo avere valori <strong>del</strong> fattore <strong>di</strong> smorzamento ξ piccoli per non ricorrere a rigidezze k troppo piccole,<br />
che comportano, ad esempio, frecce statiche elevate. Poiché abbiamo scelto <strong>di</strong> far operare la fondazione<br />
con ω/ω0 > √ 2, ciò significa che tutte le volte che il macchinario viene avviato o arrestato, entrambe<br />
le fondazioni, durante il transitorio, si troveranno a passare per ω/ω0 = 1 e quin<strong>di</strong> non conviene avere<br />
valori <strong>del</strong>l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> smorzamento troppo piccoli, o ad<strong>di</strong>rittura trascurabili, in quanto ciò porterebbe ad<br />
ampiezze in risonanza elevate che creerebbero problemi ai collegamenti verso l’esterno <strong>del</strong> macchinario.<br />
In secondo luogo, operare con valori <strong>di</strong> ξ piccoli significa anche non poter più trascurare l’integrale<br />
generale <strong>del</strong>l’omogenea associata, che partecipa alla soluzione completa, perché torna a essere presente<br />
tutte le volte che avvengono <strong>del</strong>le perturbazioni, per quanto piccole, <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> regime, e la sua<br />
cancellazione può richiedere un numero elevato <strong>di</strong> cicli.<br />
I problemi maggiori vengono, tuttavia, creati dalla rigidezza k. Dal <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> figura 13.5 si vede,<br />
ad esempio, che per ridurre <strong>del</strong> 60% le vibrazioni nelle strutture circostanti dobbiamo avere ω/ω0 > 2,<br />
ovvero k < mω 2 /4.<br />
Tale ragionamento porterebbe a scegliere ω0 → 0, ma in tale caso<br />
δst = mg<br />
k<br />
= g<br />
ω 2 0<br />
(13.30)<br />
ovvero lo schiacciamento statico è inversamente proporzionale al quadrato <strong>del</strong>la pulsazione caratteristica<br />
<strong>del</strong> sistema, per cui dovremmo realizzare fondazioni con frecce statiche molto gran<strong>di</strong>, e tale problema è<br />
ovviamente <strong>di</strong> impossibile soluzione se abbiamo macchine lente in cui ω è <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> qualche centinaio<br />
<strong>di</strong> giri/min.<br />
Per un’asta omogenea ed uniforme, la rigidezza k è esprimibile come<br />
k = F F FE<br />
= =<br />
∆h hε hσ<br />
= FEA<br />
hF<br />
= EA<br />
h<br />
(13.31)<br />
quin<strong>di</strong> per ridurre k, scelto un materiale e quin<strong>di</strong> il modulo <strong>di</strong> elasticità E, dovremo avere <strong>del</strong>le aree A<br />
piccole e degli spessori h degli elementi elastici (ad esempio un tappeto <strong>di</strong> gomma) gran<strong>di</strong>. Ma, perché<br />
la molla sia in grado <strong>di</strong> sopportare un certo carico, ad esempio quello statico, deve valere la relazione<br />
quin<strong>di</strong><br />
ovvero<br />
A > F<br />
><br />
σamm<br />
mg<br />
σamm<br />
k > mgE<br />
σammh<br />
ω0 =<br />
�<br />
k<br />
m ><br />
�<br />
gE<br />
σammh<br />
(13.32)<br />
(13.33)<br />
(13.34)<br />
da cui si nota che per avere una bassa pulsazione caratteristica ω0 ed essere contemporaneamente in<br />
grado <strong>di</strong> sostenere la sollecitazione statica si dovrebbero avere bassi valori <strong>di</strong> E e corrispondentemente,<br />
impossibili nei materiali, alti valori <strong>di</strong> σamm e comunque alti valori <strong>di</strong> h, che potenzialmente creerebbero<br />
problemi <strong>di</strong> instabilità <strong>del</strong>le aste caricate <strong>di</strong> punta.<br />
13.3 Strumenti <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le vibrazioni<br />
Tra le applicazioni <strong>del</strong> nostro oscillatore degna <strong>di</strong> nota è la misura <strong>del</strong>le vibrazioni assolute <strong>di</strong> un corpo,<br />
come illustrato in figura 13.6.<br />
Con riferimento alle grandezze in<strong>di</strong>cate nella figura 13.6 e ai relativi versi positivi degli spostamenti,<br />
avremo che<br />
Ksx0 +B˙x0 = M¨xM = M (¨xi − ¨x0) (13.35)<br />
13-7
Figura 13.6: Strumento <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le vibrazioni assolute <strong>di</strong> un corpo.<br />
dove xi è il movimento <strong>del</strong> telaio, che rappresenta un ce<strong>di</strong>mento imposto <strong>del</strong> vincolo, mentre xM è lo<br />
spostamento assoluto <strong>del</strong>la massa M, e x0 = xi−xM è lo spostamento relativo 3 , ovvero la grandezza che<br />
viene <strong>di</strong>rettamente misurata per determinare, in via in<strong>di</strong>retta, il movimento xi imposto alla cassa <strong>del</strong>lo<br />
strumento.<br />
La (13.35) può essere riscritta usando le nostre consuete notazioni come<br />
dove<br />
kx0 +r˙x0 = M¨xM = M (¨xi − ¨x0) (13.36)<br />
xi(t) = |Xi|sin(ωit+ψi) (13.37)<br />
è l’andamento temporale<strong>del</strong>l’i-esimacomponentearmonica (serie<strong>di</strong> Fourier)<strong>del</strong>lo spostamentoincognito<br />
x(t) <strong>del</strong> vincolo.<br />
Rior<strong>di</strong>nando l’equazione avremo<br />
M¨x0 +r˙x0 +kx0 = −ω 2 i |Xi|Me i(ωit+ψi)<br />
<strong>di</strong> cui l’integrale particolare ha coefficiente complesso<br />
|Xi|Me iψi<br />
−<br />
X0i = −ω2 i<br />
−ω2 =<br />
iM +k +irωi<br />
1−<br />
� �2 ωi<br />
|Xi|e<br />
ω0<br />
iψi<br />
� �2 ωi<br />
ω0<br />
+i2ξ ωi<br />
ω0<br />
(13.38)<br />
= |X0i|e iφi (13.39)<br />
con ω0 = � k/M e ξ = r/rc = r/(2Mω0).<br />
Se riferiamo le fasi <strong>del</strong>la risposta a quelle <strong>del</strong>le componenti armoniche avremo che<br />
X ′ 0i =<br />
1−<br />
da cui si ottiene<br />
|X ′ 0i |<br />
|Xi| =<br />
−<br />
� �2 ωi<br />
ω0<br />
� �2 ωi<br />
ω0<br />
�<br />
�⎛<br />
�<br />
�<br />
�⎝1−<br />
|Xi|<br />
+i2ξ ωi<br />
−<br />
� ωi<br />
ω0<br />
ω0<br />
� �2 ωi<br />
ω0<br />
� 2 ⎞<br />
⎠<br />
2<br />
= |X0i|e i(φ−ψi) = |X0i|e iβi (13.40)<br />
+<br />
�<br />
2ξ ωi<br />
�2 ω0<br />
3 Si noti che, come in<strong>di</strong>cato nella figura, il verso <strong>di</strong> x0 è opposto a quello <strong>di</strong> xM e xi<br />
13-8<br />
(13.41)
e<br />
βi = −tan −1<br />
⎜ 2ξ<br />
⎜<br />
⎝<br />
ωi<br />
ω0<br />
�<br />
ωi<br />
1−<br />
Figura 13.7: Risposta <strong>del</strong>lo strumento <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le vibrazioni.<br />
⎛<br />
ω0<br />
� 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(13.42)<br />
Si nota, quin<strong>di</strong>, che, se ωi ≫ ω0 (almeno 4÷5 volte) la misura <strong>del</strong>l’ampiezza <strong>del</strong>la vibrazione relativa<br />
permette <strong>di</strong> ricavare quella incognita <strong>di</strong> trascinamento. Ovviamente, affinché la misura non sia <strong>di</strong>storta,<br />
|X0i|/|Xi| deve essere costante e βi = nπ (con n=0,1,2,...,N) per i = 1,2,3,...,N.<br />
Questa esigenza comporta che il sismografo, tale è il nome <strong>del</strong>lo strumento, abbia una frequenza<br />
propria ω0 < ω1/4, dove ω1 è la prima <strong>del</strong>le armoniche significative <strong>del</strong> segnale che si intende misurare,<br />
e tale con<strong>di</strong>zione verifica automaticamente che non vi sia <strong>di</strong>storsione per le componenti armoniche <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne superiore.<br />
I sismografi sono quin<strong>di</strong> strumenti pesanti e ingombranti, dovendo avere una frequenza propria necessariamente<br />
bassa; normalmente si usano in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> smorzamento ξ <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> 0.6-0.7 per ridurre l’effetto<br />
<strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni iniziali.<br />
Nel caso duale <strong>di</strong> ωi ≪ ω0 risulta che |X0i|/|Xi| → 0, per cui<br />
¨xM (t) = ¨xi(t)− ¨x0(t) ∼ = ¨xi(t) (13.43)<br />
e la forza d’inerzia agente sulla massa M è praticamente dovuta al solo moto <strong>di</strong> trascinamento, per cui, se<br />
riuscissimoamisurarela reazione<strong>del</strong>lamolla, questa, a meno<strong>del</strong>guadagno, sarebbepari all’accelerazione<br />
incognita <strong>del</strong> vincolo.<br />
Ovviamente la necessità <strong>di</strong> non <strong>di</strong>storcere la misura comporta che la con<strong>di</strong>zione ωi ≪ ω0 sia verificata<br />
per la massima frequenza presente nello sviluppo in serie <strong>del</strong> segnale incognito, ovvero ω0 deve essere<br />
<strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne dei kHz. Dobbiamo avere, quin<strong>di</strong>, massa M molto piccola e rigidezza k molto grande.<br />
Spesso come elemento elastico si usa una lastra <strong>di</strong> quarzo, materiale piezoelettrico 4 che, se sollecitato<br />
lungo l’asse elettrico, produce sulle facce ortogonali all’asse <strong>del</strong>le cariche <strong>di</strong> segno opposto proporzionali<br />
4 Letteralmente, un materiale che genera una carica elettrostatica per effetto <strong>di</strong> uno sforzo. Si tratta <strong>di</strong> materiali polari<br />
che, deformati o caricati lungo <strong>di</strong>rezioni preferenziali, si polarizzano elettricamente, producendo un <strong>di</strong>polo elettrico e quin<strong>di</strong><br />
una carica <strong>di</strong> spostamento, in analogia con i condensatori piani le cui piastre siano spostate. Il legame costitutivo, qui<br />
ridotto per semplicità in forma mono<strong>di</strong>mensionale, è formato da una parte elastica<br />
σ = Eε−eE (13.44)<br />
e da una <strong>di</strong>elettrica<br />
D = eε+ǫE (13.45)<br />
13-9
Figura 13.8: Accelerometro piezoelettrico.<br />
alla forza applicata (circa 2 pC/N). L’uso <strong>del</strong> quarzo limita la frequenza minima <strong>di</strong> misura (<strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne<br />
<strong>del</strong>l’Hz).<br />
Riscrivendo l’equazione <strong>di</strong>fferenziale in coor<strong>di</strong>nate assolute<br />
M¨xMi +r˙xMi +kxMi = r˙xi +kxi = (iωir +k)|Xi|e i(ωt+ψi)<br />
otteniamo l’integrale particolare<br />
con<br />
ovvero<br />
e<br />
xMi(t) = XMie iωit<br />
XMi =<br />
(13.46)<br />
(13.47)<br />
(k +iωir)|Xi|e iψi<br />
k −Mω 2 i +iωir = |XMi|e iβi (13.48)<br />
|XMi|<br />
|Xi| = |Hi| =<br />
�<br />
k 2 +(ωir) 2<br />
�<br />
(k −Mω 2 i )2 +(ωir) 2<br />
βi = −tan −1<br />
�<br />
ωir � 2k −Mω 2 �<br />
i<br />
−k2 +kMω 2 �<br />
2<br />
i +(ωir)<br />
(13.49)<br />
(13.50)<br />
Utilizzando, a esempio, un fattore <strong>di</strong> smorzamento ξ = 0.7 si nota che la fase varia, per un range <strong>di</strong><br />
frequenza compreso tra 0.6ω0 e ω0, con legge pari a βi ÷ωi/ω0.<br />
dove σ e ε sono i consueti sforzi e deformazioni, D ed E sono rispettivamente lo spostamento <strong>di</strong>elettrico ed il campo elettrico,<br />
E è la rigidezza <strong>del</strong> materiale, ǫ è la sua costante <strong>di</strong>elettrica ed infine e è la costante piezoelettrica. Quin<strong>di</strong> uno strumento<br />
<strong>di</strong> questo tipo consente <strong>di</strong> tradurre una misura <strong>di</strong> sforzo o <strong>di</strong> deformazione <strong>di</strong>rettamente in una misura elettrica, fatte salve<br />
esigenze ulteriori <strong>di</strong> con<strong>di</strong>zionamento ed amplificazione <strong>del</strong> segnale.<br />
13-10
13.4 Risposta a forzante impulsiva<br />
13.4.1 Impulso <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto<br />
Si consideri un generico sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà,<br />
m¨x+kx = f (t). (13.51)<br />
La forzante f (t) sia un impulso. Per il momento, la si consideri semplicemente una forzante che vale 0<br />
lontano da t0, e che abbia un valore tendente ad infinito per t = 0. A questa definizione poco rigorosa si<br />
affianca il requisito che l’integrale <strong>del</strong>l’impulso sia però finito, e valga f1.<br />
La durata <strong>del</strong>l’evento impulsivo deve essere trascurabile rispetto alla scala dei tempi <strong>del</strong> problema,<br />
definita da T = 2π/ω0 = 2π/ � k/m.<br />
Siccome la forzante impulsiva ha durata infinitesima, mentre la forza è <strong>di</strong>versa da zero, non possono<br />
ragionevolmente avere luogo variazioni finite <strong>di</strong> x, per cui il contributo <strong>del</strong>le forze elastiche kx ad<br />
equilibrare l’ingresso sarà nullo. Il valore <strong>del</strong>la forza tende istantaneamente ad infinito; l’accelerazione<br />
che ne consegue tenderà anch’essa istantaneamente ad infinito. Siccome l’integrale <strong>del</strong>la forza è finito, e<br />
l’integrale <strong>di</strong> una forza nel tempo corrisponde ad un impulso <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto, ad esso corrisponderà<br />
una variazione finita <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> sistema, ovvero<br />
� +∞<br />
−∞<br />
f (t) dt = ∆q =<br />
� 0 +<br />
0 −<br />
f (t) dt = m � ˙x � 0 +� − ˙x � 0 −�� , (13.52)<br />
dove ˙x(0 − ) e ˙x(0 + ) hanno il significato <strong>di</strong> velocità ‘appena prima’ e ‘appena dopo’ l’applicazione <strong>del</strong>la<br />
forzanteimpulsiva. Diconseguenza,l’applicazione<strong>di</strong>unaforzanteimpulsivacorrispondeadunarepentina<br />
mo<strong>di</strong>fica <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni iniziali <strong>di</strong> velocità <strong>del</strong> problema, in corrispondenza <strong>del</strong> tempo t = 0, pari a<br />
∆˙x = f1<br />
. (13.53)<br />
m<br />
Ne consegue che, intuitivamente, risolvere un problema <strong>di</strong> forzamento impulsivo corrisponde a risolvere il<br />
problema omogeneo, nel quale l’effetto <strong>del</strong>l’impulso si manifesta in una mo<strong>di</strong>fica <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni iniziali.<br />
13.4.2 Impulso<br />
Un impulso è una funzione che per una durata tendente a zero assume un valore molto elevato, tendente<br />
ad infinito, mentre è nulla al <strong>di</strong> fuori <strong>di</strong> quell’intervallo <strong>di</strong> tempo. Tuttavia, l’integrale nel tempo <strong>di</strong> tale<br />
funzione, su un dominio che comprenda l’intervallo in cui non è nulla, è finito.<br />
Al <strong>di</strong> là <strong>del</strong>la sua formalizzazione matematica, accennata nel seguito ma sostanzialmente lasciata a<br />
corsi successivi, si pensi ad un impulso come a qualche cosa che ha luogo in un tempo molto limitato<br />
rispetto alla scala dei tempi caratteristica <strong>del</strong> problema che si sta analizzando. Se ciò è vero, l’espressione<br />
precisa <strong>del</strong>l’impulso in funzione <strong>del</strong> tempo non ha molta importanza, ciò che conta è l’effetto che esso ha<br />
sul sistema.<br />
Come in<strong>di</strong>cato in figura 13.9, si immagini che l’impulso, convenzionalmente definito all’istante t = 0,<br />
abbia forma rettangolare, ovvero sia nullo per t < −a/2 e t > a/2, e assuma il valore b per −a/2 <<br />
t < a/2, senza (per ora) precisare quanto valga per t = ±a/2. Questo equivale a descriverlo come una<br />
sequenza <strong>di</strong> due scalini <strong>di</strong> ampiezza uguale e segno opposto, <strong>di</strong>stanziati <strong>di</strong> un tempo a.<br />
L’integrale rispetto al tempo tra −∞ e +∞ <strong>del</strong>l’impulso così definito vale ab; se si assume convenzionalmente<br />
che tale valore sia 1, si ottiene l’ampiezza <strong>del</strong>l’impulso b = 1/a. Quin<strong>di</strong>, se la durata a tende<br />
a 0, l’ampiezza tende ad infinito, ma l’integrale rimane finito.<br />
È possibile immaginare altre funzioni con caratteristiche analoghe, ma più regolari, come quelle<br />
illustrate in figura 13.10: un triangolo <strong>di</strong> base 2a e altezza b (funzione con continuità C 0 ), la funzione<br />
(1+cos(πt/a))b/2 in [−a,a] (funzione con continuità C 1 ), ecc. Il loro limite per a → 0 è lo stesso, come<br />
pure il loro integrale.<br />
La funzione δ(t) si chiama“<strong>del</strong>ta <strong>di</strong> Dirac”, e non è una vera e propria funzione, ma viene definita<br />
nell’ambito <strong>del</strong>le funzioni generalizzate o <strong>di</strong>stribuzioni. Come anticipato, gode <strong>del</strong>la proprietà<br />
� +∞<br />
−∞<br />
δ(t) dt = 1, (13.54)<br />
13-11
a<br />
Figura 13.9: Approssimazione <strong>di</strong> un impulso come sequenza <strong>di</strong> due scalini.<br />
b<br />
2a<br />
rettangolo<br />
� �<br />
1+cos 2π t<br />
��<br />
b<br />
a 2<br />
triangolo<br />
Figura 13.10: Approssimazioni <strong>di</strong> un impulso.<br />
e vale 0 per t �= 0 mentre tende ad infinito per t = 0. La figura 13.11 mostra la rappresentazione grafica<br />
<strong>del</strong>la funzione δ(t).<br />
L’impulso può essere interpretato come la derivata <strong>del</strong>la funzione “scalino”, in<strong>di</strong>cata con step(t)<br />
e rappresentata in figura 13.12. Quest’ultima è definita come il limite <strong>di</strong> una funzione infinitamente<br />
derivabile, che vale 0 per t → −∞ e 1 per t → +∞, che passa per 1/2 per t = 0, e che è <strong>di</strong>spari<br />
rispetto a tale punto, ovvero step(−t) = 1−step(t). Dal momento che la funzione scalino, così definita,<br />
è infinitamente derivabile, anche l’impulso è infinitamente derivabile. Inoltre, l’impulso è pari rispetto<br />
all’origine, ovvero δ(−t) = δ(t).<br />
Come approssimazione <strong>del</strong>la funzione scalino, si consideri, per esempio, la funzione (1+tanh(αt))/2,<br />
quando α → +∞. La figura 13.13 ne mostra l’andamento per alcuni valori <strong>di</strong> α. La sua derivata è<br />
(1−tanh 2 (αt))α/2, e al limite per α → +∞ si comporta come le approssimazioni <strong>di</strong> impulso definite in<br />
precedenza. La figura 13.14 ne mostra l’andamento per i medesimi valori <strong>di</strong> α.<br />
0<br />
Figura 13.11: Funzione impulso: δ(t).<br />
13-12<br />
t<br />
t<br />
t
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
α = 1<br />
α = 10<br />
α = 100<br />
1<br />
0<br />
Figura 13.12: Funzione scalino: step(t).<br />
-1 -0.5 0 0.5 1<br />
Time<br />
Figura 13.13: Funzione scalino approssimata come (1+tanh(αt))/2.<br />
13-13<br />
t
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-1 -0.5 0 0.5 1<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
α = 1<br />
α = 10<br />
α = 100<br />
α = 1<br />
α = 10<br />
α = 100<br />
Time<br />
-1 -0.5 0 0.5 1<br />
Figura 13.14: Impulso approssimato come derivata <strong>di</strong> (1 + tanh(αt))/2. Il grafico sopra riporta la<br />
funzione, il grafico sotto ne riporta la normalizzazione a valore massimo unitario, per consentirne il<br />
confronto visivo.<br />
Time<br />
13-14
fd0 = f(0+ )−f(0 − )<br />
f(0 + )<br />
f(0 − )<br />
fd0 step(t)<br />
fc(t)<br />
f(t)<br />
Figura 13.15: Funzione <strong>di</strong>scontinua con salto.<br />
Esercizio 13.1 Si propongano altre funzioni che approssimano la funzione scalino al tendere a +∞ <strong>del</strong><br />
loro parametro che ne definisce la pendenza nell’origine.<br />
Una funzione f(t) che presenta <strong>di</strong>scontinuità con salto in t = 0 può essere espressa come composizione<br />
<strong>di</strong> una parte regolare, fc(t), a cui si aggiunge una costante fd0 moltiplicata per la funzione scalino, ovvero<br />
f (t) = fc(t)+fd0 step(t), (13.55)<br />
come illustrato in figura 13.15. La costante fd0 rappresenta la <strong>di</strong>fferenza tra i limiti destro e sinistro<br />
<strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong>scontinua, ovvero fd0 = f(0+ ) − f(0− ). Questa funzione <strong>di</strong>venta derivabile, in senso<br />
generalizzato, in tutto il dominio:<br />
d d<br />
f (t) = fc(t)+fd0 δ(t), (13.56)<br />
dt dt<br />
in quanto la derivata <strong>del</strong>lo scalino è l’impulso. In base a ragionamenti analoghi, basati sull’uso <strong>del</strong>la<br />
funzione“rampa”, in<strong>di</strong>cata con ramp(t), si possono definire funzioni continue ma non derivabili in senso<br />
stretto.<br />
Esercizio 13.2 Si mostri come una funzione continua, ma con una <strong>di</strong>scontinuità con salto nella derivata<br />
prima, può essere rappresentata me<strong>di</strong>ante la funzione ramp(t).<br />
L’impulso gode <strong>di</strong> altre proprietà interessanti. Una proprietà, nota come proprietà <strong>del</strong> campionamento,<br />
afferma che il prodotto tra la funzione δ(t) e una generica funzione f (t) è<br />
f (t)δ(t) = f (0)δ(t). (13.57)<br />
Non ne viene data <strong>di</strong>mostrazione.<br />
Un’altra, estremamente importante, è :<br />
� +∞<br />
−∞<br />
f (t)δ(t) dt = f(0). (13.58)<br />
13-15<br />
t<br />
t
Questo significa che integrare una qualsiasi funzione moltiplicata per un impulso equivale ad estrarne il<br />
valore per l’istante in cui l’impulso è definito. Per estrarre f(t) ad un istante arbitrario t0, basta valutare<br />
l’impulso in δ(t−t0). La proprietà <strong>di</strong>venta<br />
� +∞<br />
−∞<br />
f (t)δ(t−t0) dt = f(t0). (13.59)<br />
La proprietà si <strong>di</strong>mostra considerando che, siccome l’impulso è la derivata <strong>del</strong>lo scalino, la derivazione<br />
<strong>del</strong> prodotto <strong>di</strong> funzioni dà<br />
f (t)δ(t) = f (t) d d<br />
� �<br />
step(t) = f (t)step(t) −f<br />
dt dt<br />
′ (t)step(t). (13.60)<br />
Se f (t) è regolare, il prodotto f (t)step(t) è pari a f (t) per t > 0, e a 0 per t < 0. Ne consegue che<br />
l’integrale<br />
� +∞<br />
�+∞<br />
�<br />
� +∞<br />
f (t)δ(t) dt = f (t)step(t) �<br />
� − f ′ (t)step(t) dt<br />
−∞<br />
dove � +∞<br />
−∞<br />
f ′ (t)step(t) dt = lim<br />
a→0 +<br />
−∞<br />
−∞<br />
= f (+∞)−0−f (+∞)+f (0) = f (0), (13.61)<br />
� +∞<br />
a<br />
f ′ (t) dt = f(+∞)− lim<br />
a→0 +f(a)<br />
= f(+∞)−f(0). (13.62)<br />
Se f (t) non è regolare, ma presenta una <strong>di</strong>scontinuità con salto in t = 0, ovvero proprio nell’istante<br />
<strong>di</strong> tempo in cui viene valutata dalla δ(t), è comunque possibile eseguire l’operazione, ed il risultato è<br />
molto interessante.<br />
Si consideri l’espressione <strong>di</strong> f(t) data dalla (13.56); la proprietà in esame <strong>di</strong>venta<br />
�<br />
� +∞<br />
−∞<br />
�<br />
f (t)δ(t) dt = f (t)step(t) �<br />
�<br />
+∞<br />
−∞<br />
−<br />
� +∞<br />
−∞<br />
(f ′ c(t)+fd0 δ(t))step(t) dt<br />
= f (+∞)−0−fc(+∞)+fc(0)− 1<br />
2 fd0<br />
= fc(0)+ 1<br />
2 fd0 = f(0+ )+f(0 − )<br />
, (13.63)<br />
2<br />
in quanto f (+∞) = fc(+∞)+fd0 . Ovvero, viene preso il valore <strong>del</strong>la funzione che rappresenta la me<strong>di</strong>a<br />
tra i limiti destro e sinistro, dal momento che fc(0) = f(0− ) e fd0 = f(0+ )−f(0 − ).<br />
Questa <strong>di</strong>mostrazione fa uso <strong>del</strong>la proprietà che si vuole <strong>di</strong>mostrare, <strong>di</strong>mostrata in precedenza per<br />
funzioni regolari. Tuttavia la si sta applicando ad una funzione non regolare, step(t). Quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>mostrazione<br />
è valida se si considera la funzione step(t) come limite <strong>di</strong> una funzione regolare, in base alla<br />
sua definizione.<br />
In alternativa, si può rappresentare il dominio <strong>di</strong> integrazione come l’unione <strong>di</strong> due parti, che escluda<br />
la <strong>di</strong>scontinuità, ovvero<br />
� +∞<br />
−∞<br />
f (t)δ(t) dt =<br />
� 0 −<br />
−∞<br />
f (t)δ(t) dt+<br />
�<br />
�<br />
= f (t)step(t) �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
+ f (t)step(t) �<br />
�<br />
0 −<br />
−<br />
−∞<br />
+∞<br />
0 +<br />
� +∞<br />
0 +<br />
� −<br />
0<br />
−<br />
−∞<br />
� +∞<br />
0 +<br />
f (t)δ(t) dt<br />
f ′ (t)step(t) dt<br />
f ′ (t)step(t) dt<br />
= 1<br />
2 f � 0 −� −0−0+0+f (+∞)− 1<br />
2 f � 0 +� −f (+∞)+f � 0 +�<br />
= f (0+ )+f (0− )<br />
, (13.64)<br />
2<br />
ovvero il medesimo risultato ottenuto in precedenza.<br />
13-16
13.4.3 Generalizzazione<br />
Come anticipato, l’impulso è un’astrazione matematica che rappresenta qualcosa <strong>di</strong> breve durata rispetto<br />
alla scala dei tempi <strong>del</strong> problema in esame, ma che lascia effetti non trascurabili.<br />
Si consideri ora un generico sistema meccanico ad un grado <strong>di</strong> libertà,<br />
m¨x+r˙x+kx = f (t). (13.65)<br />
La forzante f (t) sia costituita dall’impulso introdotto in precedenza, e dalla sua derivata:<br />
f (t) = f1δ(t)+f2 ˙ δ(t). (13.66)<br />
È lecito attendersi che la risposta x(t) sia anch’essa caratterizzata da <strong>di</strong>scontinuità. In particolare, se il<br />
sistema prima <strong>del</strong>l’impulso era a riposo, la risposta <strong>del</strong> sistema sarà data da una funzione regolare xc(t)<br />
moltiplicata per uno scalino al tempo t, ovvero<br />
x(t) = xc(t)step(t). (13.67)<br />
In base alle proprietà <strong>del</strong>lo scalino, le sue derivate sono<br />
˙x(t) = ˙xc(t)step(t)+xc(t)δ(t) = ˙xc(t)step(t)+xc(0)δ(t) (13.68a)<br />
¨x(t) = ¨xc(t)step(t)+ ˙xc(t)δ(t)+xc(0) ˙ δ(t) = ¨xc(t)step(t)+ ˙xc(0)δ(t)+xc(0) ˙ δ(t). (13.68b)<br />
Sostituendo queste espressioni nella (13.65) si ottiene<br />
�<br />
m ¨xc(t)step(t)+ ˙xc(0)δ(t)+xc(0) ˙ �<br />
δ(t)<br />
+r(˙xc(t)step(t)+xc(0)δ(t))+kxc(t)step(t) = f1δ(t)+f2 ˙ δ(t). (13.69)<br />
Raccogliendo i termini omogenei si ottiene<br />
(m¨xc(t)+r˙xc(t)+kxc(t))step(t)<br />
+(m˙xc(0)+rxc(0)−f1)δ(t)<br />
+(mxc(0)−f2) ˙ δ(t) = 0. (13.70)<br />
Siccome tale relazione deve essere vera qualunque sia t, occorre annullare in<strong>di</strong>pendentemente i termini<br />
moltiplicati per le funzioni step(t), δ(t) e ˙ δ(t). Si ricavano quin<strong>di</strong> le relazioni<br />
m¨xc(t)+r˙xc(t)+kxc(t) = 0 (13.71a)<br />
m˙xc(0)+rxc(0) = f1<br />
(13.71b)<br />
mxc(0) = f2. (13.71c)<br />
La (13.71a) rappresenta un’equazione <strong>di</strong>fferenziale omogenea in xc(t), la soluzione <strong>del</strong> sistema a seguito<br />
<strong>del</strong>la forzante impulsiva. Ne consegue che la forzante impulsiva dà luogo ad un movimento libero <strong>del</strong><br />
sistema, analogo a quello che risulta da una perturbazione <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni iniziali. Le (13.71c) e (13.71b)<br />
definiscono le con<strong>di</strong>zioni iniziali su posizione e velocità,<br />
xc(0) = f2<br />
m<br />
˙xc(0) =<br />
f1 −f2<br />
m<br />
(13.72a)<br />
r<br />
m.<br />
(13.72b)<br />
La risposta <strong>di</strong> un sistema ad una forzante impulsiva corrisponde al moto libero <strong>del</strong> medesimo sistema,<br />
datodall’integralegenerale<strong>del</strong>la(13.65), calcolatoapartiredallecon<strong>di</strong>zioniinizialifornitedalle(13.72).<br />
13-17
Viene quin<strong>di</strong> formalizzata e generalizzata la conclusione, ottenuta intuitivamente all’inizio, che una<br />
forzante impulsiva, come pure la sua derivata, equivalgono ad una perturbazione finita <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni<br />
iniziali <strong>del</strong> sistema.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista fisico, una forzante descritta me<strong>di</strong>ante un impulso può essere ritenuta rappresentativa<br />
<strong>di</strong> una sollecitazione applicata per una durata Tf ≪ 2π/ � k/m. Ad essa corrisponde una<br />
<strong>di</strong>scontinuità finita nella velocità, e quin<strong>di</strong> nell’energia cinetica <strong>del</strong> sistema.<br />
La derivata <strong>del</strong>l’impulso, invece, non è altrettanto facilmente spiegabile in modo intuitivo. In base<br />
alla sua definizione, la si può considerare come una sequenza <strong>di</strong> due impulsi, <strong>di</strong> segno opposto, separati<br />
da un tempo che tende a zero. Si tratta quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> una doppietta <strong>di</strong> impulsi. Ad essa corrisponde una<br />
<strong>di</strong>scontinuità finita nello spostamento, e quin<strong>di</strong> una <strong>di</strong>scontinuità nell’energia potenziale. Inoltre, alla<br />
<strong>di</strong>scontinuitàfinita<strong>del</strong>lospostamentocorrispondeunimpulso<strong>di</strong> velocità, e quin<strong>di</strong>unimpulsoal quadrato<br />
<strong>di</strong> energia cinetica.<br />
Esercizio 13.3 Si scriva la derivata prima <strong>del</strong>l’impulso ottenuto approssimando la funzione scalino come<br />
(1+tanh(αt))/2. Se ne rappresenti il grafico per α → +∞.<br />
Esercizio 13.4 Si scriva l’espressione <strong>del</strong>la soluzione (13.67) <strong>del</strong> problema <strong>del</strong>la risposta impulsiva in<br />
base alle con<strong>di</strong>zioni iniziali definite dalle (13.72). Quin<strong>di</strong> la si sostituisca nella (13.65) per verificarne<br />
il sod<strong>di</strong>sfacimento (suggerimento: per semplicità, conviene prima considerare il caso non smorzato, con<br />
r = 0).<br />
Esercizio 13.5 In analogia con quanto svolto finora per la risposta impulsiva, si ricavi la risposta ad<br />
una forzante a scalino, f(t) = f0step(t). Si <strong>di</strong>scuta in particolare la natura <strong>del</strong>l’equazione <strong>del</strong> moto che<br />
si ottiene e la scelta <strong>del</strong>le con<strong>di</strong>zioni iniziali.<br />
Esercizio 13.6 Si calcoli la risposta <strong>di</strong> un sistema meccanico smorzato ad una sequenza <strong>di</strong> scalini <strong>di</strong><br />
ampiezza b e −b, rispettivamente a t = −a/2 e t = a/2, come in<strong>di</strong>cato in figura 13.9. Quin<strong>di</strong>, si verifichi<br />
che al tendere <strong>di</strong> a a 0 si ottiene la risposta all’impulso.<br />
13-18
Capitolo 14<br />
Sistemi vibranti a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
libertà<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
14.1 Sistemi a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà non smorzati<br />
Per un sistema non smorzato con N gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, le equazioni che ne governano il moto possono essere<br />
sempre scritte nella forma matriciale<br />
dove<br />
[M]{¨x(t)}+[K]{x(t)} = {f (t)} (14.1)<br />
• [M] e [K] sono rispettivamente le matrici quadrate <strong>di</strong> massa e <strong>di</strong> rigidezza <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne N;<br />
• {x(t)} e {f (t)} sono i vettori <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne N degli spostamenti e <strong>del</strong>le forze agenti, entrambi funzione<br />
<strong>del</strong> tempo.<br />
Siconsideri, adesempio, ilsistemaillustratoinFigura14.1. Applicandoilprincipio<strong>di</strong>sovrapposizione<br />
degli effetti, ovvero calcolando le forze che agiscono sul sistema prima per x1 �= 0, x2 = 0 e poi quelle per<br />
x1 = 0, x2 �= 0 si possono facilmente determinare le equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico <strong>del</strong>le due masse,<br />
m1¨x1 +k1x1 +k2(x1 −x2) = f1<br />
(14.2a)<br />
m2¨x2 +k3x2 +k2(x2 −x1) = f2. (14.2b)<br />
Queste possono essere riscritte come<br />
� �� � �<br />
m1 0 ¨x1 k1 +k2 −k2<br />
+<br />
0 m2 ¨x2 −k2 k2 +k3<br />
ovvero nella forma <strong>del</strong>la (14.1) con<br />
�� x1<br />
x2<br />
�<br />
=<br />
� f1<br />
Figura 14.1: Sistema <strong>di</strong>namico a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
14-1<br />
f2<br />
�<br />
(14.3)
• la matrice <strong>di</strong> massa<br />
� �<br />
m1 0<br />
[M] =<br />
0 m2<br />
• la matrice <strong>di</strong> rigidezza<br />
� �<br />
k1 +k2 −k2<br />
[K] =<br />
−k2 k2 +k3<br />
• il vettore <strong>del</strong>le incognite<br />
� �<br />
x1<br />
{x} =<br />
x2<br />
• ed il vettore dei termini noti<br />
� �<br />
f1<br />
{f} =<br />
f2<br />
14.1.1 Moto libero: mo<strong>di</strong> propri <strong>di</strong> vibrare<br />
La soluzione <strong>del</strong> moto libero, per {f} = {0}, sarà <strong>del</strong> tipo<br />
{x(t)} = {X}e λt<br />
(14.4)<br />
(14.5)<br />
(14.6)<br />
(14.7)<br />
(14.8)<br />
dove {X} è un vettore <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne X <strong>di</strong> ampiezze in<strong>di</strong>pendenti dal tempo. Imponendo la soluzione (14.8)<br />
all’equazione <strong>di</strong>fferenziale otteniamo<br />
� λ 2 [M]+[K] � {X}e λt = {0} (14.9)<br />
la quale presenta soluzione non banale, ovvero per {X} �= {0}, quando<br />
det � λ 2 [M]+[K] � ��<br />
2 λ m1 +k1 +k2<br />
= det<br />
−k2<br />
−k2<br />
λ2 ��<br />
= 0,<br />
m2 +k2 +k3<br />
(14.10)<br />
che è il polinomio <strong>di</strong> grado 2N in λ<br />
m1m2λ 4 +(m1(k2 +k3)+m2(k1 +k2))λ 2 +k1k2 +k1k3 +k2k3 = 0 (14.11)<br />
detto polinomio caratteristico, da cui, posti<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
a = m1m2<br />
b = (m1(k2 +k3)+m2(k1 +k2))<br />
c = k1k2 +k1k3 +k2k3<br />
si ottiene il polinomio <strong>di</strong> secondo grado in λ 2<br />
(14.12)<br />
aλ 4 +bλ 2 +c = 0 (14.13)<br />
le cui ra<strong>di</strong>ci sono<br />
λ 2 b<br />
1|2 = −<br />
2a +<br />
�<br />
��<br />
�<br />
� b<br />
2a<br />
λ 2 b<br />
3|4 = −<br />
2a −<br />
�<br />
��<br />
�<br />
� b<br />
2a<br />
� 2<br />
� 2<br />
− c<br />
a<br />
− c<br />
a<br />
14-2<br />
(14.14a)<br />
(14.14b)
Dal momento che per definizione le masse e le rigidezze sono positive, si ha sempre λ2 j < 0, quin<strong>di</strong> i<br />
singoli autovalori sono a due a due immaginari e coniugati:<br />
λ1|2 = ±iω1<br />
(14.15a)<br />
λ3|4 = ±iω2. (14.15b)<br />
Questa proprietà ha valore generale: quando le matrici <strong>di</strong> massa [M] e <strong>di</strong> rigidezza [K] sono definite<br />
positive, le N ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico in λ 2 sono reali negative, quin<strong>di</strong> le 2N ra<strong>di</strong>ci λ sono<br />
immaginarie coniugate.<br />
Nei problemi <strong>di</strong> interesse per la meccanica la matrice <strong>di</strong> massa [M] è sempre definita positiva; qualora<br />
la matrice <strong>di</strong> rigidezza fosse semi-definita, le corrispondenti ra<strong>di</strong>ci λ sarebbero nulle. Questa eventualità<br />
è possibile quando al sistema è consentito un movimento rigido (ad esempio i 6 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>di</strong> moto<br />
rigido <strong>di</strong> un velivolo nello spazio) oppure quando il sistema rappresenta un meccanismo.<br />
Sostituendo le ra<strong>di</strong>ci nell’equazione <strong>di</strong> partenza si ottiene<br />
� [K]−ω 2 1 [M] � {X} 1 = {0} (14.16)<br />
e<br />
� [K]−ω 2 2 [M] � {X} 2 = {0} (14.17)<br />
che permettono <strong>di</strong> calcolare, a meno <strong>di</strong> una costante arbitraria, <strong>di</strong>pendente dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali, le<br />
forme modali {X} j , o mo<strong>di</strong>, <strong>del</strong> sistema associate a ogni frequenza propria ωj.<br />
Nel caso in esame,<br />
� −ω 2 1m1 +k1 +k2<br />
−k2<br />
−k2<br />
−ω2 1m2 +k2 +k3<br />
�� 1X1<br />
1X2<br />
�<br />
1<br />
=<br />
� 0<br />
0<br />
�<br />
(14.18)<br />
Risolvendo ad esempio la prima equazione,<br />
� � 2<br />
−ω1m1 +k1 +k2 1X1 −k21X2 = 0 (14.19)<br />
si ottiene la relazione tra le componenti 1X1 e 1X2 <strong>del</strong>l’autovettore, che risulta definito, ad esempio,<br />
⎧<br />
⎨<br />
{X} 1 =<br />
⎩<br />
e analogamente<br />
⎧<br />
⎨<br />
{X} 2 =<br />
⎩<br />
1<br />
−ω 2 1m1 +k1 +k2<br />
k2<br />
1<br />
−ω 2 2m1 +k1 +k2<br />
k2<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ 1X1<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ 2X1<br />
(14.20)<br />
(14.21)<br />
ove si è arbitrariamente posta unitaria la prima componente <strong>del</strong>l’autovettore, data l’intrinseca indeterminazione<br />
<strong>del</strong>la soluzione. Ad un risultato <strong>del</strong> tutto analogo si può giungere risolvendo, ad esempio, la<br />
seconda equazione e ponendo unitaria la seconda componente <strong>del</strong>l’autovettore; infatti la matrice<br />
[A] = λ 2 [M]+[K] (14.22)<br />
èsingolarequaloraaλsisostituiscaunqualsiasiautovalore<strong>del</strong>problema; neconseguecheuna 1 equazione<br />
<strong>del</strong> sistema è combinazione lineare <strong>del</strong>le altre.<br />
Nel caso, ad esempio, che m1 = m2 = m e k1 = k2 = k3 = k, abbiamo che<br />
�<br />
k<br />
ω1 =<br />
(14.23a)<br />
m<br />
�<br />
ω2 = 3 k<br />
(14.23b)<br />
m<br />
1 Si suppone che le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico abbiano molteplicità pari esattamente a 1; questa ipotesi può essere<br />
rimossa, come verrà illustrato nel seguito. Si veda in particolare la nota 3.<br />
14-3
a cui corrispondono<br />
� �<br />
1<br />
{X} 1 =<br />
1<br />
� �<br />
1<br />
{X} 2 =<br />
−1<br />
Figura 14.2: Forme modali e risposta <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong>namico a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
1X1<br />
2X1<br />
(14.24a)<br />
(14.24b)<br />
La figura 14.2 mostra come al primo modo corrisponda un movimento in cui la molla <strong>di</strong> mezzo non<br />
viene deformata; infatti, le due componenti <strong>del</strong>l’autovettore sono identiche. Di conseguenza, il sistema si<br />
comporta come se le due masse fossero collegate rigidamente. Il secondo modo, al contrario, vede le due<br />
masse muoversi in opposizione, per cui la molla centrale è deformata esattamente il doppio <strong>di</strong> quelle <strong>di</strong><br />
estremità. Di conseguenza, è come se le due masse fossero <strong>di</strong>saccoppiate, e la molla centrale fosse messa<br />
a terra nel suo punto me<strong>di</strong>o. Il moto generico avviene come combinazione <strong>di</strong> due movimenti armonici a<br />
frequenze tra loro incommensurabili (il loro rapporto è √ 3, quin<strong>di</strong> un numero irrazionale).<br />
Ritornando all’equazione (14.9) <strong>di</strong> partenza, se la si premoltiplica per l’inversa <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> massa<br />
[M] si ottiene<br />
�<br />
λ 2 [I]+[M] −1 �<br />
[K] {X}e λt = {0} (14.25)<br />
che è una forma <strong>del</strong> tutto analoga a<br />
(γ[I]−[A]){V} = {0} (14.26)<br />
14-4
ovvero ad un problema agli autovalori in forma canonica, ove γ sono gli autovalori <strong>del</strong>la matrice [A] e<br />
{V} sono i corrispondenti autovettori, posto γ = −λ2 , [A] = [M] −1 [K] e {V} = {X}.<br />
Nell’esempio iniziale si ha<br />
[M] −1 � �<br />
1/m 0<br />
=<br />
(14.27)<br />
0 1/m<br />
e quin<strong>di</strong> la matrice<br />
[A] = [M] −1 [K] =<br />
� 2k/m −k/m<br />
−k/m 2k/m<br />
�<br />
(14.28)<br />
che ne risulta è simmetrica; questo in generale non è più vero per matrici [M] e [K] meno banali, anche<br />
se, al costo <strong>di</strong> un cambio <strong>di</strong> base per le incognite, è possibile ottenere un problema agli autovalori nella<br />
forma canonica <strong>del</strong>la (14.26) con la matrice simmetrica 2 .<br />
Gli autovalori <strong>del</strong>la matrice (14.28) sono<br />
γ1|2 = k k<br />
, 3<br />
m m<br />
mentre gli autovettori, a meno <strong>di</strong> una costante, sono<br />
� �<br />
−1<br />
{V} 1 =<br />
1<br />
� �<br />
1<br />
{V} 2 =<br />
1<br />
(14.33)<br />
(14.34a)<br />
(14.34b)<br />
Esercizio 14.1 Si verifichi che gli autovalori <strong>del</strong>la matrice nella forma <strong>del</strong>la (14.25) sono anche autovalori<br />
<strong>del</strong>la matrice nella forma <strong>del</strong>la (14.32).<br />
14.1.2 Ortogonalità dei mo<strong>di</strong> propri<br />
Si può ora <strong>di</strong>mostrare l’ortogonalità dei mo<strong>di</strong> <strong>di</strong> vibrare. Se ω1 e ω2 sono due autovalori <strong>di</strong>stinti <strong>di</strong> un<br />
generico problema omogeneo, e {X}1 e {X}2 sono i corrispondenti autovettori, si ha<br />
� −ω 2 1 [M]+[K] � {X} 1 = {0} (14.35)<br />
e<br />
� −ω 2 2 [M]+[K] � {X} 2 = {0}. (14.36)<br />
L’equazione (14.35) può essere liberamente premoltiplicata per {X} T<br />
2 senza alterarne il valore:<br />
{X} T � 2<br />
2 −ω1 [M]+[K] � {X} 1 = 0 (14.37)<br />
2 Dal momento che si assume che la matrice <strong>di</strong> massa sia simmetrica e definita positiva, è possibile decomporla nel<br />
prodotto <strong>di</strong> una matrice triangolare inferiore per la sua trasposta secondo Cholesky<br />
[M] = [L][L] T<br />
quin<strong>di</strong>, operando il cambio <strong>di</strong> variabili<br />
il problema<br />
<strong>di</strong>venta<br />
(14.29)<br />
{z} = [L] T {x} (14.30)<br />
[M]¨x+[K]{x} = {0} (14.31)<br />
{¨z}+[L] −1 [K][L] −T {z} = {0} (14.32)<br />
e quin<strong>di</strong>, assumendo che la matrice [K] sia simmetrica, anche la matrice [L] −1 [K][L] −T rimane simmetrica.<br />
14-5
da cui si ricava<br />
{X} T<br />
2 [K]{X} 1 = ω2 1 {X} T<br />
2 [M]{X} 1<br />
Allo stesso modo, si può moltiplicare la trasposta <strong>del</strong>l’equazione (14.36) per {X} 1 :<br />
{X} T<br />
2<br />
(14.38)<br />
�<br />
−ω 2 2 [M] T +[K] T�<br />
{X} 1 = 0 (14.39)<br />
da cui si ricava, anche in considerazione <strong>del</strong>la simmetria <strong>del</strong>le matrici [M] e [K],<br />
{X} T<br />
2 [K]{X} 1 = ω2 2 {X} T<br />
2 [M]{X} 1<br />
Quin<strong>di</strong>, per l’uguaglianza dei termini a primo membro <strong>del</strong>le (14.38) e (14.40), si ha<br />
ω 2 1 {X} T<br />
2 [M]{X} 1 = ω2 2 {X} T<br />
2 [M]{X} 1<br />
(14.40)<br />
(14.41)<br />
ovvero<br />
� 2<br />
ω2 −ω 2� T<br />
1 {X} 2 [M]{X} 1 = 0. (14.42)<br />
Se ω2 �= ω1, cioè le frequenze proprie sono <strong>di</strong>stinte 3 , deve valere la relazione<br />
{X} T<br />
2 [M]{X} 1 = 0 (14.43)<br />
e, <strong>di</strong> consequenza<br />
{X} T<br />
2 [K]{X} 1 = 0 (14.44)<br />
Più in generale, detti j e k gli in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> due mo<strong>di</strong>, deve essere<br />
{X} T<br />
k [M]{X} j = 0 (14.45a)<br />
{X} T<br />
k [K]{X} j = 0 (14.45b)<br />
quando j �= k; ovvero, i mo<strong>di</strong> propri vibrare, associati a frequenze proprie <strong>di</strong>stinte, sono ortogonali<br />
rispetto alla matrice <strong>di</strong> massa e rigidezza 4 .<br />
Quando si pre- e post-moltiplica per lo stesso autovettore si ottiene<br />
{X} T<br />
j [M]{X} j = mj<br />
(14.46a)<br />
{X} T<br />
j [K]{X} j = kj<br />
(14.46b)<br />
dove mj e kj sono chiamate rispettivamente massa e rigidezza generalizzata, o massa e rigidezza modale<br />
associate al modo j-esimo.<br />
Nell’esempio iniziale,<br />
m1 =<br />
� 1<br />
1<br />
� T � m 0<br />
0 m<br />
�� 1<br />
1<br />
�<br />
= 2m (14.47a)<br />
m2 = 2m (14.47b)<br />
k1 = 2k (14.47c)<br />
k2 = 6k (14.47d)<br />
3Nel caso in cui due o più autovalori siano uguali, se è possibile in<strong>di</strong>viduare un numero <strong>di</strong> autovettori in<strong>di</strong>pendenti pari<br />
alla molteplicità degli autovalori coincidenti, come sempre avviene nei casi <strong>di</strong> interesse pratico per lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le vibrazioni<br />
dei sistemi meccanici, in cui le matrici <strong>di</strong> massa sono simmetriche e definite positive, o al più semidefinite, gli autovettori,<br />
per la loro arbitrarietà, possono essere ortogonalizzati proprio imponendo le con<strong>di</strong>zioni (14.43) e (14.44). Un tipico esempio<br />
in cui ciò avviene è dato dai sistemi non vincolati, come i velivoli, che ammettono i sei spostamenti rigi<strong>di</strong>, ai quali è associato<br />
l’autovalore nullo con molteplicità 6. Un altro esempio è dato dai mo<strong>di</strong> associati al movimento <strong>del</strong>le superfici <strong>di</strong> comando<br />
nel caso si consideri il velivolo a coman<strong>di</strong> liberi.<br />
4 T<br />
Attenzione: i mo<strong>di</strong> propri non sono ortogonali fra loro; dall’analisi si ottiene che {X} j {X} k = 0 se j �= k per il<br />
problema in forma canonica, in cui la matrice che moltiplica l’autovalore è l’identità, [I]. Ma il problema meccanico non è<br />
in forma canonica, quin<strong>di</strong> gli autovalori che ne risultano non sono in generale ortogonali rispetto a loro stessi.<br />
14-6
La rigidezza e la massa modale tra loro stanno in un rapporto ben preciso, kj/mj = ω2 j , ma per il resto<br />
sono indeterminate; o meglio, il loro valore <strong>di</strong>pende dal valore arbitrariamente assegnato all’autovettore,<br />
il quale è determinato a meno <strong>di</strong> un fattore <strong>di</strong> scala. Se per esempio si sceglie <strong>di</strong> ridefinire l’autovettore<br />
j-esimo, {X}j, come {X} ′ j = cj{X}j, si ottiene<br />
m ′ j =<br />
k ′ j =<br />
�<br />
�<br />
{X} ′<br />
�T j<br />
{X} ′<br />
j<br />
� T<br />
[M]{X} ′<br />
j = c2 j {X} T<br />
j [M]{X} j = c2 jmj<br />
(14.48a)<br />
[K]{X} ′<br />
j = c2 j {X} T<br />
j [K]{X} j = c2 jkj. (14.48b)<br />
In<strong>di</strong>pendentemente dal valore <strong>di</strong> cj, si ha k ′ j /m′ j = ω2 j , quin<strong>di</strong> la scalatura <strong>del</strong>l’autovalore non ha alcun<br />
effetto sulla frequenza caratteristica <strong>di</strong> quel modo. Questo consente <strong>di</strong> scalare gli autovettori in modo da<br />
mo<strong>di</strong>ficare convenientemente la massa e la rigidezza modali. Una scalatura usata spesso, detta a massa<br />
unitaria, consiste nel rendere la matrice <strong>del</strong>le masse modali pari alla matrice identità.<br />
Esercizio 14.2 Si riscrivano gli autovettori <strong>del</strong> problema iniziale scalati a massa unitaria.<br />
Esercizio 14.3 Si mostri come, in caso <strong>di</strong> autovalori coincidenti, è possibile ortogonalizzare gli autovettori<br />
corrispondenti.<br />
14.2 Approccio modale<br />
Cerchiamo ora un sistema <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate libere che <strong>di</strong>saccoppi contemporaneamente il sistema tanto<br />
inerzialmente quanto elasticamente, ovvero tale per cui le equazioni che, risolte, descrivano il moto <strong>del</strong><br />
sistema siano <strong>di</strong>saccoppiate. Se costruiamo una matrice quadrata [ψ] le cui colonne siano costituite dai<br />
mo<strong>di</strong> propri <strong>di</strong> vibrare, ovvero<br />
� �<br />
1X1 2X1<br />
[ψ] =<br />
(14.49)<br />
1X2 2X2<br />
detta anche matrice modale, e definiamo la trasformazione<br />
{x(t)} = [ψ]{q(t)} (14.50)<br />
con {q(t)} detto vettore <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate principali, il problema (14.1) <strong>di</strong>venta<br />
[M][ψ]{¨q}+[K][ψ]{q} = {f} (14.51)<br />
Se si premoltiplica 5 la (14.51) per la trasposta <strong>del</strong>la matrice modale (14.49), si ottiene<br />
[ψ] T [M][ψ]{¨q}+[ψ] T [K][ψ]{q} = [ψ] T {f} (14.54)<br />
Da quanto detto in precedenza, si vede che<br />
[ψ] T [M][ψ] = [<strong>di</strong>ag(mj)] (14.55a)<br />
[ψ] T [K][ψ] = [<strong>di</strong>ag(kj)] (14.55b)<br />
dove [<strong>di</strong>ag(mj)] e [<strong>di</strong>ag(kj)] sono matrici <strong>di</strong>agonali, ovvero tali per cui mjk e kjk sono nulli se j �= k,<br />
mentre mj e kj sono rispettivamente la massa e la rigidezza associate al modo j-esimo.<br />
5 Questa operazione può apparire un artifizio, ma ha una giustificazione più profonda se si considera che l’equazione (14.1)<br />
può essere ricondotta ad un principio variazionale e quin<strong>di</strong> ad una relazione <strong>del</strong> tipo<br />
δ{x} T � {F ({x})} = 0 (14.52)<br />
per cui la trasformazione (14.50) viene applicata sia alle incognite da cui <strong>di</strong>pendono le forze {F} che alle loro variazioni<br />
virtuali, ovvero<br />
δ{q} T [ψ] T � {F ([ψ]{q})} = 0. (14.53)<br />
14-7
Nell’esempio iniziale, si ha<br />
� �<br />
2m 0<br />
[<strong>di</strong>ag(mj)] =<br />
0 2m<br />
� �<br />
2k 0<br />
[<strong>di</strong>ag(kj)] =<br />
0 6k<br />
quin<strong>di</strong> il problema <strong>di</strong>venta<br />
� �� � �<br />
2m 0 ¨q1 2k 0<br />
+<br />
0 2m ¨q2 0 6k<br />
�� q1<br />
q2<br />
� � �<br />
f1 +f2<br />
=<br />
f1 −f2<br />
(14.56a)<br />
(14.56b)<br />
(14.57)<br />
Si noti che le due equazioni sono <strong>di</strong>saccoppiate, ovvero ogni equazione <strong>di</strong>pende solo dalla propria incognita;<br />
l’accoppiamento tra i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà fisici si è tradotto, a livello modale, in accoppiamento tra i<br />
corrispondenti termini noti.<br />
Sostituendo uno ad uno gli autovalori ed i corrispondenti autovettori, l’equazione omogenea (14.9)<br />
risulta sod<strong>di</strong>sfatta; ne consegue che, così come sono stati accostati gli autovettori a dare la matrice<br />
modale [ψ], è possibile accostare gli autovalori a dare la matrice <strong>di</strong>agonale dei quadrati <strong>del</strong>le frequenze<br />
proprie<br />
� � �� 2<br />
<strong>di</strong>ag ωj =<br />
tale per cui 6<br />
� ω 2 1 0<br />
0 ω 2 2<br />
�<br />
(14.58)<br />
[K][ψ]−[M][ψ] � <strong>di</strong>ag � ω 2�� j = [0] (14.59)<br />
La (14.59), se premoltiplicata per la trasposta <strong>del</strong>la matrice modale (14.49), <strong>di</strong>venta<br />
[ψ] T [K][ψ]−[ψ] T [M][ψ] � <strong>di</strong>ag � ω 2�� j = [0] (14.60)<br />
ovvero<br />
[<strong>di</strong>ag(kj)]−[<strong>di</strong>ag(mj)] � <strong>di</strong>ag � ω 2�� j = [0] (14.61)<br />
Se la matrice <strong>di</strong> massa modale [<strong>di</strong>ag(mj)] è definita positiva7 , la sua inversa esiste; quin<strong>di</strong> la (14.61) può<br />
essere riscritta, previa premoltiplicazione per l’inversa <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> massa modale, come<br />
[<strong>di</strong>ag(mj)] −1 [<strong>di</strong>ag(kj)] = � <strong>di</strong>ag � ω 2�� j<br />
(14.65)<br />
6Si noti l’o<strong>di</strong>ne in cui vengono eseguiti i prodotti <strong>di</strong> matrici, essenziale perché ogni autovettore venga moltiplicato per<br />
il proprio autovalore.<br />
7L’unico motivo per cui la matrice <strong>di</strong> massa, anziché essere definita positiva, può essere semidefinita, è che ad un grado<br />
<strong>di</strong> libertà non sia associata inerzia. Questa eventualità viene scartata nella presente trattazione perché in tale caso il grado<br />
<strong>di</strong> libertà privo <strong>di</strong> massa può essere eliminato staticamente, rendendo la nuova matrice <strong>di</strong> massa strettamente definita<br />
positiva. Ad esempio: dato il problema<br />
� �� � � �� � � �<br />
m 0 ¨x1 k11 k12 x1 f1<br />
+<br />
=<br />
(14.62)<br />
0 0 ¨x2 k21 k22 x2 f2<br />
la cui matrice <strong>di</strong> massa è chiaramente semidefinita positiva in quanto tutti i minori principali sono positivi tranne uno che è<br />
nullo, a con<strong>di</strong>zione che la matrice [K] non sia singolare la seconda equazione può essere usata per esplicitare x2 in funzione<br />
<strong>di</strong> x1<br />
x2 = f2 −k21x1<br />
k22<br />
che, sostituito nella prima equazione, dà<br />
� �<br />
k21<br />
m¨x1 + k11 −k12 x1 = f1 −<br />
k22<br />
k12<br />
f2<br />
k22<br />
ovvero dal problema iniziale se ne ottiene uno <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni inferiori ma con la matrice <strong>di</strong> massa definita positiva.<br />
14-8<br />
(14.63)<br />
(14.64)
Nel caso in esame,<br />
[<strong>di</strong>ag(mj)] −1 [<strong>di</strong>ag(kj)] =<br />
� 1/(2m) 0<br />
0 1/(2m)<br />
�� 2k 0<br />
0 6k<br />
�<br />
=<br />
� k/m 0<br />
0 3k/m<br />
�<br />
(14.66)<br />
Questo suggerisce una scelta interessante per la normalizzazione dei mo<strong>di</strong> propri, detta a massa unitaria;<br />
se si <strong>di</strong>vidono i coefficienti <strong>del</strong> modo j-esimo per il valore √ mj, si ottiene:<br />
[ψI] = [ψ] � <strong>di</strong>ag �√ ��−1 mj<br />
A questo punto, le relazioni (14.55a) e (14.55b), attraverso la nuova matrice modale [ψI], <strong>di</strong>ventano<br />
(14.67)<br />
[ψI] T [M][ψI] = � <strong>di</strong>ag �√ ��−1[ψ] T � �√ ��−1 mj [M][ψ] <strong>di</strong>ag mj<br />
= � <strong>di</strong>ag �√ ��−1[<strong>di</strong>ag(mj)] mj<br />
� <strong>di</strong>ag �√ ��−1 mj = [I] (14.68a)<br />
[ψI] T [K][ψI] = � <strong>di</strong>ag �√ ��−1[ψ] T � �√ ��−1 mj [K][ψ] <strong>di</strong>ag mj<br />
= � <strong>di</strong>ag �√ ��−1[<strong>di</strong>ag(kj)] mj<br />
� <strong>di</strong>ag �√ ��−1 mj<br />
= [<strong>di</strong>ag(mj)] −1 [<strong>di</strong>ag(kj)] = � <strong>di</strong>ag � ω 2�� j<br />
(14.68b)<br />
ove si è sfruttato il fatto che � <strong>di</strong>ag �√ ��−T � �√ ��−1 mj = <strong>di</strong>ag mj in quanto la matrice è <strong>di</strong>agonale; allo<br />
stesso modo, l’ultimo passaggio che porta alla matrice <strong>di</strong> rigidezza modale è lecito perché il prodotto <strong>di</strong><br />
matrici <strong>di</strong>agonali è commutativo.<br />
14.2.1 Risposta a forzanti armoniche<br />
Analizziamo, ora, larisposta<strong>del</strong>genericosistema<strong>di</strong>Equazione14.1 quandosoggettoaforzantiarmoniche<br />
[M]{¨x(t)}+[K]{x(t)} = {f}e iωt<br />
che, a regime, ammette una soluzione <strong>del</strong> tipo<br />
{x(t)} = {x}e iωt<br />
(14.69)<br />
(14.70)<br />
dove il vettore <strong>del</strong>le ampiezze <strong>di</strong> vibrazione {x} è soluzione <strong>di</strong><br />
� [K]−ω 2 [M] � {x} = {f} (14.71)<br />
ovvero<br />
{x} = � [K]−ω 2 [M] � −1 {f} (14.72)<br />
che può essere anche riscritta come<br />
{x} = [H(ω)]{f} (14.73)<br />
dove [H(ω)] è la matrice <strong>del</strong>l’ammettenza meccanica (in inglese, receptance matrix) <strong>del</strong> sistema; è<br />
quadrata, <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne N, e ne costituisce il mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong>la risposta in frequenza. La sua inversa,<br />
[Z(ω)] = [H(ω)] −1<br />
(14.74)<br />
èdettamatrice<strong>del</strong>l’impedenzameccanica, edescrivelaforzacheilsistemaopponeadundatomovimento.<br />
Dalla definizione<br />
si ricava<br />
[Z(ω)] = [K]−ω 2 [M] (14.75)<br />
[H(ω)] = � [K]−ω 2 [M] � −1<br />
14-9<br />
(14.76)
Se si applica la trasformazione modale all’impedenza meccanica, si ottiene<br />
[ψ] T [Z(ω)][ψ] = [ψ] T � [K]−ω 2 [M] � [ψ]<br />
= [<strong>di</strong>ag(kj)]−ω 2 [<strong>di</strong>ag(mj)]<br />
si inverta quin<strong>di</strong> la (14.77); si ottiene<br />
= [ψ] T [H(ω)] −1 [ψ] (14.77)<br />
� [<strong>di</strong>ag(kj)]−ω 2 [<strong>di</strong>ag(mj)] � −1 = [ψ] −1 [H(ω)][ψ] −T<br />
e quin<strong>di</strong> la [H(ω)] si ottiene come<br />
[H(ω)] = [ψ] � [<strong>di</strong>ag(kj)]−ω 2 [<strong>di</strong>ag(mj)] � −1 [ψ] T<br />
(14.78)<br />
(14.79)<br />
Dalla (14.79) si evince che la matrice [H(ω)] è simmetrica; se si utilizza la normalizzazione a massa<br />
unitaria dei mo<strong>di</strong>, ovvero la matrice (14.67), la (14.79) <strong>di</strong>venta<br />
[H(ω)] = [ψI] �� <strong>di</strong>ag � ω 2�� � 2 −1[ψI]<br />
j −ω [I] T = [ψI] � <strong>di</strong>ag � 1/(ω 2 j −ω 2 ) �� [ψI] T<br />
ed il generico coefficiente è dato da<br />
hjk(ω) = xj (ω)<br />
fk(ω) = hkj (ω) = xk(ω)<br />
fj (ω) =<br />
N�<br />
r=1<br />
rXIj · rXIk<br />
ω 2 r −ω 2<br />
(14.80)<br />
(14.81)<br />
da cui si nota come il sistema possa andare in risonanza qualora la pulsazione <strong>del</strong>la forzante ω uguagli<br />
una <strong>del</strong>le N frequenze ωr proprie <strong>del</strong> sistema vibrante.<br />
Ritornando al sistema vibrante iniziale, risulta che risolvendo il sistema <strong>di</strong> equazioni lineari<br />
−2k +ω<br />
h11(ω) =<br />
2m 3k2 −4kmω2 +ω4 2k −ω<br />
=<br />
m2 2m m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )<br />
k<br />
h21(ω) =<br />
3k2 −4kmω2 +ω4 k<br />
=<br />
m2 m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )<br />
mentre, in termini modali, si ottiene<br />
1<br />
h11(ω) =<br />
2m(k/m−ω 2 ) +<br />
1<br />
2m(3k/m−ω 2 ) =<br />
2k −ω2m m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )<br />
1<br />
h21(ω) =<br />
2m(k/m−ω 2 ) −<br />
1<br />
2m(3k/m−ω 2 ) =<br />
k<br />
m2 (k/m−ω 2 )(3k/m−ω 2 )<br />
(14.82a)<br />
(14.82b)<br />
(14.83a)<br />
(14.83b)<br />
Come si vede dalla figura 14.3, ove è mostrato l’andamento <strong>del</strong> modulo <strong>di</strong> h11, non si commette un<br />
grande errore se stu<strong>di</strong>amo la risposta <strong>del</strong> sistema nell’intorno <strong>del</strong>la prima frequenza propria considerando<br />
la risposta <strong>di</strong> un sistema ad un solo grado <strong>di</strong> libertà che abbia massa pari a m1 e rigidezza pari a k1.<br />
Analogo <strong>di</strong>s<strong>corso</strong> si può fare considerando la sola risposta dovuta alla seconda frequenza propria se la<br />
pulsazione <strong>del</strong>la forzante è <strong>di</strong> valore non troppo <strong>di</strong>ssimile da questa. Ovvero abbiamo verificato empiricamente<br />
che pur essendo i sistemi fisici continui, purché le loro frequenze proprie siano ragionevolmente<br />
separate nel dominio <strong>del</strong>le frequenze, è lecito, nell’ipotesi che lo spettro <strong>del</strong>la forzante sia limitato nello<br />
stesso dominio, considerare il contributo <strong>di</strong> un numero limitato <strong>di</strong> mo<strong>di</strong> le cui frequenze proprie associate<br />
stanno nel dominio <strong>del</strong>lo spettro <strong>del</strong>la forzante. Ovvero: è possibile stu<strong>di</strong>are la risposta <strong>di</strong>namica a<br />
regime <strong>di</strong> un sistema continuo con un mo<strong>del</strong>lo matematico caratterizzato da un numero <strong>di</strong>screto <strong>di</strong> gra<strong>di</strong><br />
<strong>di</strong> libertà. Ne consegue, inoltre, che misurando sperimentalmente la receptance matrix, dalla risposta<br />
misurata nell’intorno <strong>di</strong> una risonanza possiamo ricavare i parametri modali (massa modale o massa<br />
generalizzata mj e rigidezza modale o rigidezza generalizzata kj) così come il modo <strong>di</strong> vibrare.<br />
14-10
Figura 14.3: Risposta modale <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong>namico a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
14.2.2 Considerazioni sull’utilizzo <strong>del</strong>l’approccio modale<br />
Le considerazionichestannoalla base<strong>del</strong>l’utilizzopratico<strong>del</strong>l’approcciomodale si basanoprincipalmente<br />
su aspetti computazionali:<br />
1. la risposta a forzante armonica utilizzando la base <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate fisiche richiede l’inversione <strong>del</strong>la<br />
matrice <strong>di</strong> impedenza meccanica, [Z(ω)],<br />
[H(ω)] = � [K]−ω 2 [M] � −1 . (14.84)<br />
Se occorre calcolare la risposta a più armoniche, ad esempio perché una forzante perio<strong>di</strong>ca è stata<br />
decomposta nella sommatoria <strong>di</strong> forzanti armoniche me<strong>di</strong>ante sviluppo in serie <strong>di</strong> Fourier arrestato<br />
ad un certo or<strong>di</strong>ne, si devono invertire tante matrici quante sono le armoniche, con una complessità<br />
computazionale che può essere elevata (<strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> n 3 operazioni, a meno che una particolare<br />
struttura <strong>del</strong>le matrici non consenta ottimizzazioni). Viceversa, l’approccio modale non richiede<br />
alcuna inversione, ma solo prodotti <strong>di</strong> matrici: si veda la (14.80);<br />
2. se si usano tecniche esplicite <strong>di</strong> integrazione numerica, in genere il calcolo <strong>del</strong>le incognite (in questo<br />
caso le velocità) ad un dato istante <strong>di</strong> tempo è funzione <strong>del</strong>le loro derivate ad un tempo antecedente<br />
secondo una formula <strong>del</strong> tipo 8<br />
{˙x(t+∆t)} = {˙x(t)}+∆t{¨x(t)} (14.85)<br />
Il calcolo <strong>del</strong>le accelerazioni richiede l’inversione <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> massa:<br />
{¨x(t)} = [M] −1 ({f}−[K]{x(t)}) (14.86)<br />
che invece viene evitata se si usa l’approccio modale, in quanto senza particolari normalizzazioni<br />
dei mo<strong>di</strong> l’accelerazione è<br />
�<br />
{¨q(t)} = [<strong>di</strong>ag(1/mj)] [ψ] T �<br />
{f}−[<strong>di</strong>ag(kj)]{q(t)}<br />
(14.87)<br />
mentre, se si usa la normalizzazione a massa unitaria, si ha<br />
�<br />
{¨qI (t)} = [ψI] T {f}− � <strong>di</strong>ag � ω 2�� �<br />
j {qI (t)} . (14.88)<br />
Algoritmi più sofisticati richiedono l’inversione <strong>di</strong> una combinazione lineare <strong>del</strong>le matrici <strong>di</strong> massa e<br />
<strong>di</strong> rigidezza, operazione in ogni caso banale se le matrici, proiettate in base modale, sono <strong>di</strong>agonali.<br />
8 La formula <strong>di</strong> integrazione numerica riportata corrisponde al metodo <strong>di</strong> Eulero esplicito e non è raccomandabile per<br />
questioni <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong>l’algoritmo; viene qui utilizzata al solo fine <strong>di</strong> illustrare senza eccessivi tecnicismi le operazioni<br />
richieste per l’integrazione esplicita <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong>namici.<br />
14-11
Si noti tuttavia che questi vantaggi si pagano in qualche modo, perché l’approccio modale richiede comunquel’estrazione<strong>di</strong>autovaloriedautovettori,<br />
operazioneingeneralerelativamentecostosa(<strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne<br />
<strong>di</strong> n 4 ). Occorre verificare quale strada è più conveniente in funzione <strong>del</strong> tipo <strong>di</strong> risultato che si vuole<br />
ottenere. Ad esempio, l’approccio modale può essere comunque conveniente nel caso le autosoluzioni<br />
siano già <strong>di</strong>sponibili, perché il loro calcolo era comunque richiesto per altri motivi.<br />
14.2.3 Esempio: soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico <strong>di</strong> un sistema libero<br />
Si vuole applicare l’approccio modale all’esempio illustrato nel paragrafo 5.3.1. Il problema, in forma<br />
matriciale, è<br />
� m 0<br />
0 m<br />
�� ¨x1<br />
¨x2<br />
� �<br />
k −k<br />
+<br />
−k k<br />
�� x1<br />
x2<br />
�<br />
=<br />
� F<br />
0<br />
Si consideri il problema agli autovalori che risulta dall’equazione omogenea associata:<br />
�<br />
−ω 2<br />
� � � ��� � � �<br />
m 0 k −k x1 0<br />
+<br />
=<br />
0 m −k k 0<br />
da cui si ricava l’equazione caratteristica<br />
0 = � k −ω 2 m � 2 −k 2<br />
= ω 2 m � ω 2 m−2k �<br />
quin<strong>di</strong> gli autovalori sono:<br />
x2<br />
�<br />
(14.89)<br />
(14.90)<br />
(14.91)<br />
ω 2 1 = 0 (14.92a)<br />
ω 2 2 = 2 k<br />
m<br />
(14.92b)<br />
Si ricavi ora lo spostamento <strong>del</strong>la seconda massa in funzione <strong>di</strong> quello <strong>del</strong>la prima, alternativamente con<br />
il primo ed il secondo autovalore; si ottiene:<br />
� � � � � �<br />
x1 1X1 1<br />
= q1 = q1<br />
(14.93a)<br />
x2 1 1X2 1<br />
� � � � � �<br />
x1 2X1 1<br />
= q2 = q2<br />
(14.93b)<br />
−1<br />
x2<br />
2<br />
2X2<br />
da cui si ricava la matrice dei mo<strong>di</strong><br />
� �<br />
1 1<br />
[ψ] =<br />
1 −1<br />
(14.94)<br />
Ora occorre ridurre le matrici <strong>di</strong> massa e <strong>di</strong> rigidezza, secondo le (14.55a), (14.55b), e il termine noto in<br />
base modale:<br />
[<strong>di</strong>ag(mj)] = [ψ] T � �<br />
2m 0<br />
[M][ψ] =<br />
(14.95a)<br />
0 2m<br />
[<strong>di</strong>ag(kj)] = [ψ] T � �<br />
0 0<br />
[K][ψ] =<br />
(14.95b)<br />
0 4k<br />
[ψ] T � �<br />
F<br />
{F} =<br />
(14.95c)<br />
F<br />
La (14.95b) mette in evidenza la singolarità <strong>del</strong>la matrice [K].<br />
Il problema (14.90), trasformato secondo l’approccio modale, <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
2m¨q1 = F (14.96a)<br />
2m¨q2 +4kq2 = F (14.96b)<br />
14-12
Figura 14.4: Assorbitore <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> vibrazioni usato su cavi <strong>del</strong>l’alta tensione.<br />
ovvero si ottengono due equazioni <strong>di</strong>saccoppiate <strong>di</strong> cui la prima descrive un moto uniformemente accelerato,<br />
associato alla traslazione rigida <strong>del</strong>l’intero sistema, mentre la seconda descrive un tipico oscillatore<br />
armonico non smorzato, associato alla vibrazione <strong>del</strong>le due masse attorno al baricentro.<br />
Si calcoli, infatti, la posizione <strong>del</strong> baricentro relativa ai due mo<strong>di</strong> (14.93a) e (14.93b):<br />
xCG1 =<br />
xCG2 =<br />
� mj1Xjq1<br />
� mj<br />
� mj2Xjq2<br />
� mj<br />
= q1<br />
(14.97a)<br />
= 0 (14.97b)<br />
dalla (14.97a) si deduce che la coor<strong>di</strong>nata modale q1 esprime naturalmente il moto <strong>del</strong> baricentro <strong>del</strong><br />
sistema; per l’ortogonalità dei mo<strong>di</strong> propri attraverso la matrice <strong>di</strong> massa ne risulta la necessità che il<br />
baricentro non si sposti in conseguenza <strong>del</strong> moto secondo l’altro modo proprio.<br />
È interessante notare come l’approccio modale abbia portato <strong>di</strong>rettamente ed in modo naturale alla<br />
scrittura <strong>del</strong>le due equazioni (5.43) e (5.52), ove si ponga q1 = xCG e q2 = ∆x, che nel paragrafo 5.3.1<br />
eranostatededotteattraversounaserie<strong>di</strong>ragionamentiall’apparenzaspecificiperilparticolareproblema<br />
in esame.<br />
14.3 Applicazione: assorbitore <strong>di</strong>namico<br />
Il concetto su cui si basa l’assorbitore <strong>di</strong>namico è quello <strong>di</strong> trasferire tutta l’energia introdotta in un<br />
sistemavibrantedauncampo<strong>di</strong>forze, mandandonevolutamenteinunasorta<strong>di</strong>risonanzaunparticolare,<br />
mentre il resto <strong>del</strong> sistema è mantenuto in quiete.<br />
È importante notare che l’assorbitore <strong>di</strong>namico, come <strong>di</strong>ce il nome stesso, non <strong>di</strong>ssipa energia. Al<br />
contrario, assorbe l’energia associata al movimento forzato a regime <strong>di</strong> un sistema, e la confina, sotto<br />
forma <strong>di</strong> energia cinetica e potenziale elastica, in una parte <strong>del</strong> sistema stesso.<br />
14-13
Figura 14.5: Mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong>l’assorbitore <strong>di</strong>namico.<br />
Nella figura è rappresentata la sospensione <strong>di</strong> una linea elettrica ad alta tensione. Ovvi problemi<br />
impe<strong>di</strong>scono <strong>di</strong> collegare il cavo a terra, ad esempio con un elemento <strong>di</strong>ssipativo. D’altronde il basso<br />
smorzamento <strong>del</strong> cavo e l’ampio spettro <strong>del</strong> vento incidente, oltre al fenomeno <strong>del</strong>le vibrazioni indotte<br />
per <strong>di</strong>stacco <strong>di</strong> vortici, rendono molto probabile l’eccitazione in risonanza <strong>del</strong>la campata.<br />
Consideriamo il comportamento <strong>del</strong> cavo con l’assorbitore <strong>di</strong>namico, considerando quest’ultimo, per<br />
semplicità, a un solo grado <strong>di</strong> libertà anzichá a quattro, ovvero ci si riconduca allo schema seguente dove<br />
m1 e k1 sono rispettivamente la massa e la rigidezza a flessione <strong>del</strong> cavo, mentre m2 e k2 sono quelle <strong>di</strong><br />
uno dei due contrappesi. Essendo il sistema lineare, o come tale approssimabile, la forzante armonica è<br />
una <strong>del</strong>le componenti <strong>del</strong>lo sviluppo in serie <strong>di</strong> Fourier <strong>del</strong>l’azione <strong>del</strong> vento.<br />
Le equazioni <strong>di</strong> moto sono le soluzioni a regime <strong>del</strong> sistema<br />
m1¨x1 +k1x1 +k2(x1 −x2) = F0sin(ωt) (14.98a)<br />
m2¨x2 +k2(x2 −x1) = 0 (14.98b)<br />
Effettuiamo le seguenti sostituzioni<br />
ω11 =<br />
ω22 =<br />
�<br />
�<br />
X0 = F0<br />
k1<br />
k1<br />
m1<br />
k2<br />
m2<br />
e imponiamo come soluzioni degli integrali particolari<br />
otterremo<br />
⎛<br />
(14.99a)<br />
(14.99b)<br />
(14.99c)<br />
x1(t) = X1sin(ωt) (14.100a)<br />
x2(t) = X2sin(ωt) (14.100b)<br />
⎝1+ k2<br />
k1<br />
� � ⎞<br />
2<br />
ω<br />
− ⎠X1 − k2<br />
ω11<br />
X2 = X0<br />
k1<br />
(14.101a)<br />
⎛ � � ⎞<br />
2<br />
ω<br />
−X1 + ⎝1− ⎠X2 = 0 (14.101b)<br />
ω22<br />
14-14
ovvero<br />
X1<br />
X0<br />
X2<br />
X0<br />
= ⎛<br />
= ⎛<br />
⎝1+ k2<br />
k1<br />
⎝1+ k2<br />
k1<br />
Figura 14.6: Risposta <strong>del</strong>la massa 1 <strong>del</strong>l’assorbitore <strong>di</strong>namico.<br />
1−<br />
� ω<br />
ω22<br />
� 2<br />
� � ⎞⎛<br />
2 � � ⎞<br />
2<br />
ω ω<br />
− ⎠⎝1−<br />
ω11<br />
ω22<br />
1<br />
� � ⎞⎛<br />
2 � � ⎞<br />
2<br />
ω ω<br />
− ⎠⎝1−<br />
ω11<br />
ω22<br />
⎠− k2<br />
k1<br />
⎠− k2<br />
k1<br />
(14.102a)<br />
(14.102b)<br />
Si nota imme<strong>di</strong>atamente che per ω = ω22, pari alla frequenza propria <strong>del</strong> solo assorbitore <strong>di</strong>namico messo<br />
a terra, X1/X0 si annulla 9 , mentre X2/X0 = −k1/k2, ovvero<br />
k2X2 = −F0 = ω 2 m2X2<br />
(14.103)<br />
che ci permette, noto F0 e ω, ovvero nota la forzante, <strong>di</strong> determinare l’entità <strong>del</strong>la massa m2 una volta<br />
fissata la massima freccia ammissibile X2 per il trefolo che regge la massa stessa. Le due frequenze<br />
proprie <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong>pendono, ovviamente, dal rapporto<br />
µ = m2<br />
m1<br />
14.4 Vibrazioni forzate smorzate<br />
(14.104)<br />
Come sappiamo esistono <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> smorzamento, quali il viscoso, l’isteretico, quello dovuto ad attrito<br />
coulombiano, quello aero<strong>di</strong>namico, ecc. È in generale <strong>di</strong>fficile valutare quale tipo <strong>di</strong> smorzamento agisca<br />
in una particolare struttura; spesso il fenomeno <strong>di</strong>ssipativo è dovuto alla presenza contemporanea <strong>di</strong> più<br />
<strong>di</strong> tipi <strong>di</strong> smorzamento. In molti casi, tuttavia, lo smorzamento è piccolo e possono essere fatte alcune<br />
ipotesi semplificative.<br />
Il sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico per il sistema vibrante <strong>di</strong> figura 14.7 è dato da<br />
� �� � � �� � � �� � � �<br />
m1 0 ¨x1 c1 +c2 −c2 ˙x1 k1 +k2 −k2 x1 f1<br />
+<br />
+<br />
=<br />
0 m2 ¨x2 −c2 c2 +c3 ˙x2 −k2 k2 +k3 x2 f2<br />
9 Infatti, per tale frequenza, si annullano i due zeri <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la forzante X0 e lo spostamento<br />
<strong>del</strong>la massa 1, X1. Si noti che è improprio <strong>di</strong>re che l’assorbitore viene fatto funzionare in risonanza, perché, dal momento<br />
che viene montato sul sistema, non è più definita una sua frequenza propria in<strong>di</strong>pendente, ma, dato che aggiunge un grado<br />
<strong>di</strong> libertà al sistema su cui viene montato, il sistema risultante ha una frequenza propria in più, che però <strong>di</strong>pende dalle<br />
caratteristiche <strong>di</strong>namiche <strong>del</strong>l’insieme.<br />
14-15
ovvero<br />
Figura 14.7: Sistema vibrante a 2 gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà smorzato.<br />
(14.105)<br />
[M]{¨x}+[C]{˙x}+[K]{x} = {f} (14.106)<br />
14.4.1 Smorzamento proporzionale<br />
Si ha il cosiddetto smorzamento proporzionale se la matrice [C] può essere scritta come<br />
[C] = α[M]+β[K] (14.107)<br />
con i casi particolari per cui α = 0 o β = 0. Quin<strong>di</strong> il termine ‘proporzionale’ si riferisce al fatto che la<br />
matrice <strong>di</strong> smorzamento [C] è proporzionale alle matrici <strong>di</strong> massa e <strong>di</strong> rigidezza.<br />
In tutti e tre i casi si <strong>di</strong>mostra facilmente che la matrice modale (14.49) <strong>del</strong> sistema conservativo<br />
associato, ovvero quello senza smorzamento, che <strong>di</strong>agonalizza tanto la matrice <strong>di</strong> massa [M] quanto<br />
quella <strong>di</strong> rigidezza [K], rende <strong>di</strong>agonale anche la matrice [C].<br />
Infatti, nel caso più generale <strong>di</strong> equazione (14.107)<br />
[ψ] T [C][ψ] = [ψ] T (α[M]+β[K])[ψ] = α[<strong>di</strong>ag(mj)]+β[<strong>di</strong>ag(kj)] = [<strong>di</strong>ag(cj)] (14.108)<br />
quin<strong>di</strong> il problema (14.106), in coor<strong>di</strong>nate principali, <strong>di</strong>venta<br />
[<strong>di</strong>ag(mj)]{¨q}+[<strong>di</strong>ag(cj)]{˙q}+[<strong>di</strong>ag(kj)]{q} = [ψ] T {f} (14.109)<br />
che rappresenta un set <strong>di</strong> N equazioni <strong>di</strong>saccoppiate, tante quanti sono i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> sistema, <strong>del</strong><br />
tipo<br />
mj¨qj +cj ˙qj +kjqj = {X} T<br />
j<br />
{f} (14.110)<br />
dove {X} j è il j-esimo autovettore <strong>del</strong> sistema conservativo associato.<br />
L’equazione, che risolta fornisce la legge <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un sistema ad un grado <strong>di</strong> libertà forzato, mette<br />
in luce che, a meno <strong>di</strong> una costante arbitraria, la forzante è data dal lavoro che le restanti forze agenti<br />
sul sistema compiono per il j-esimo modo <strong>di</strong> vibrare.<br />
Le frequenze proprie <strong>del</strong> sistema sono date da<br />
ωDi = ωj<br />
ωj =<br />
�<br />
�<br />
1−ξ 2 j<br />
kj<br />
mj<br />
ξj = cj<br />
=<br />
2mjωj<br />
α<br />
+<br />
2ωj<br />
βωj<br />
2<br />
(14.111a)<br />
(14.111b)<br />
(14.111c)<br />
mentre la contrazione <strong>del</strong>la soluzione avviene con le ampiezze che decrescono esponenzialmente con legge<br />
<strong>del</strong> tipo e −ξjωjt , e il generico termine <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> trasferimento vale<br />
hjk(ω) = hkj (ω) =<br />
N�<br />
r=1<br />
rXj · rXk<br />
kr −mrω 2 +iωcr<br />
14-16<br />
(14.112)
Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> smorzamento proporzionale viene essenzialmente introdotto perché, per strutture debolmente<br />
smorzate, consente <strong>di</strong> utilizzare le forme modali ottenute per il sistema conservativo ad un costo<br />
computazionale decisamente inferiore a quello necessario nel caso <strong>di</strong> smorzamento generico, illustrato nel<br />
seguito.<br />
Un’analisi puramente qualitativa <strong>di</strong> questo mo<strong>del</strong>lo mostra che se l’idea <strong>di</strong> forze <strong>di</strong>ssipative proporzionali<br />
alle forze elastiche può essere plausibile, in quanto le forze elastiche sono proporzionali alla<br />
deformazione e quin<strong>di</strong> a movimenti relativi, l’idea <strong>di</strong> forze <strong>di</strong>ssipative proporzionali alle forze d’inerzia<br />
lascia abbastanza perplessi, in quanto le forze d’inerzia sono proporzionali alle accelerazioni assolute, e<br />
quin<strong>di</strong> a movimenti assoluti. Per cui si arriva all’assurdo che su <strong>di</strong> un sistema non vincolato, sottoposto<br />
ad un movimento rigido, agisce uno smorzamento strutturale <strong>di</strong> tipo viscoso.<br />
In conclusione, la scelta <strong>di</strong> questo tipo <strong>di</strong> smorzamento va vista soprattutto come un espe<strong>di</strong>ente per<br />
introdurre in modo computazionalmente vantaggioso una <strong>di</strong>ssipazione che <strong>di</strong> caso in caso deve essere<br />
tarata per risultare globalmente equivalente a quella rilevata sperimentalmente per un dato sistema<br />
debolmente smorzato.<br />
14.4.2 Smorzamento isteretico<br />
Nel caso <strong>di</strong> smorzamento isteretico o strutturale, abbiamo già visto nel Capitolo 13 che l’energia <strong>di</strong>ssipata<br />
in un ciclo è in<strong>di</strong>pendente dalla pulsazione, ma <strong>di</strong>pende solo dalla ampiezza <strong>di</strong> vibrazione, ovvero, nel<br />
dominio <strong>del</strong>le frequenze 10 ,<br />
−[M]ω 2 {x}+i η<br />
[K]ω{x}+[K]{x} = {f} (14.113)<br />
ω<br />
ove si è usata la matrice proporzionale<br />
[C] = η<br />
[K] (14.114)<br />
ω<br />
per rendere la proporzionalità <strong>del</strong>lo smorzamento dalla rigidezza, attraverso il coefficiente η, ma non<br />
dalla frequenza. Ne risulta l’equazione<br />
� −ω 2 [M]+(1+iη)[K] � {x} = {f} (14.115)<br />
nella quale la <strong>di</strong>ssipazione è ottenuta “sfasando” le forze elastiche <strong>di</strong> un angolo tan −1 η. In coor<strong>di</strong>nate<br />
principali si ottiene<br />
� −ω 2 [<strong>di</strong>ag(mj)]+(1+iη)[<strong>di</strong>ag(kj)] � {q} = [ψ] T {f} (14.116)<br />
ovvero un set <strong>di</strong> N equazioni <strong>di</strong>saccoppiate, tante quanti sono i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> sistema, <strong>del</strong> tipo<br />
−ω 2 mjqj +(1+iη)kjqj = {X} T<br />
j<br />
dove {X} j è il j-esimo autovettore <strong>del</strong> sistema conservativo associato.<br />
Ovviamente<br />
λ 2 j = − kj<br />
mj<br />
(1+iη) = −ω 2 j<br />
{f} (14.117)<br />
� 1+η 2 e itan −1 η<br />
mentre il generico termine <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> trasferimento vale<br />
hjk(ω) = hkj (ω) =<br />
N�<br />
r=1<br />
rXj · rXk<br />
kr −mrω 2 +iηkj<br />
(14.118)<br />
(14.119)<br />
10 Questo tipo <strong>di</strong> smorzamento non è rappresentabile nel dominio <strong>del</strong> tempo, perché dà luogo ad un sistema dal<br />
comportamento non causale.<br />
14-17
14.4.3 Smorzamento viscoso generico<br />
Quando la matrice <strong>di</strong> smorzamento non è proporzionale alla matrice <strong>di</strong> massa e/o a quella <strong>di</strong> rigidezza, la<br />
matrice modale (14.49) <strong>del</strong> sistema conservativo associato non <strong>di</strong>agonalizza la matrice <strong>di</strong> smorzamento.<br />
Si può tuttavia ottenere un sistema <strong>di</strong>saccoppiato nel modo seguente. Il set <strong>di</strong> N equazioni <strong>di</strong>fferenziali<br />
<strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne è convertito in un set <strong>di</strong> 2N equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne, assegnando nuove<br />
variabili (chiamate variabili <strong>di</strong> stato) a ciascuna <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate libere originali e <strong>del</strong>le loro derivate nel<br />
tempo<br />
� �� � � �� � � �<br />
m1 0 ˙x1 m1 0 ˙x1 0<br />
− =<br />
0 m2 ˙x2 0 m2 ˙x2 0<br />
� �� � �<br />
m1 0 ¨x1 c1 +c2<br />
+<br />
0 m2 ¨x2 −c2<br />
ovvero<br />
�� � �<br />
−c2 ˙x1 k1 +k2<br />
+<br />
c2 +c3 ˙x2 −k2<br />
(14.120a)<br />
�� � � �<br />
−k2 x1 f1<br />
=<br />
k2 +k3 x2 f2<br />
(14.120b)<br />
⎡<br />
0 0 m1<br />
⎢ 0 0 0<br />
⎣ m1 0 c1 +c2<br />
0 m2 −c2<br />
Sostituendo<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎡<br />
0 ¨x1 −m1 ⎪⎨ ⎪⎬<br />
m2 ⎥ ¨x2 ⎢<br />
⎥<br />
−c2 ⎦ + ⎢ 0<br />
˙x1 ⎣<br />
⎪⎩ ⎪⎭<br />
0<br />
c2 +c3 ˙x2 0<br />
0<br />
−m2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
k1 +k2<br />
−k2<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎧ ⎫<br />
0 ˙x1 ⎪⎨ ⎪⎬ ⎪⎨<br />
0 ⎪⎬<br />
0 ⎥ ˙x2 ⎥ 0<br />
−k2 ⎦ =<br />
x1 f1 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭<br />
k2 +k3 x2 f2<br />
(14.121)<br />
x1 = z1<br />
(14.122a)<br />
x2 = z2<br />
(14.122b)<br />
˙x1 = ˙z1 = z3<br />
(14.122c)<br />
˙x2 = ˙z2 = z4<br />
(14.122d)<br />
¨x1 = ˙z3<br />
(14.122e)<br />
¨x2 = ˙z4<br />
otteniamo<br />
(14.122f)<br />
⎡<br />
0 0 m1<br />
⎢ 0 0 0<br />
⎣ m1 0 c1 +c2<br />
0 m2 −c2<br />
ovvero<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎡<br />
0 ˙z3 −m1 ⎪⎨ ⎪⎬<br />
m2 ⎥ ˙z4 ⎢<br />
⎥<br />
−c2 ⎦ + ⎢ 0<br />
˙z1 ⎣<br />
⎪⎩ ⎪⎭<br />
0<br />
c2 +c3 ˙z2 0<br />
0<br />
−m2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
k1 +k2<br />
−k2<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎧ ⎫<br />
0 z3 ⎪⎨ ⎪⎬ ⎪⎨<br />
0 ⎪⎬<br />
0 ⎥ z4 ⎥ 0<br />
−k2 ⎦ =<br />
z1 f1 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭<br />
k2 +k3 z2 f2<br />
(14.123)<br />
[A]{˙z}+[B]{z} = {g} (14.124)<br />
con<br />
� �<br />
[0] [M]<br />
[A] =<br />
[M] [C]<br />
� �<br />
−[M] [0]<br />
[B] =<br />
[0] [K]<br />
� �<br />
{0}<br />
{g} =<br />
{f}<br />
(14.125a)<br />
(14.125b)<br />
(14.125c)<br />
Si noti che le matrici [A] e [B] sono simmetriche, ancorché non più definite positive; gli autovalori <strong>del</strong><br />
problemaomogeneo associato sono <strong>di</strong>rettamentegli autovalori <strong>del</strong> problemameccanico, e sono in generale<br />
o reali o complessi coniugati.<br />
14-18
Si consideri ancora il problema <strong>di</strong> figura 14.7, con m1 = m2 = m, c1 = c2 = c3 = c, k1 = k2 = k3 = k.<br />
In questo caso particolare <strong>di</strong> smorzamento proporzionale si ottiene, dal calcolo degli autovalori e degli<br />
autovettori<br />
e<br />
⎡<br />
⎢<br />
[<strong>di</strong>ag(ωj)] = ⎢<br />
⎣<br />
3c+ √ 9c 2 −12mk<br />
2m<br />
0<br />
0 0 0<br />
3c− √ 9c 2 −12mk<br />
2m<br />
0 0<br />
0 0<br />
c+ √ c 2 −4mk<br />
2m<br />
0 0 0<br />
0<br />
c− √ c 2 −4mk<br />
2m<br />
⎤<br />
⎥ (14.126)<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡<br />
⎢ −<br />
⎢<br />
[ψ] = ⎢<br />
⎣<br />
3c+√9c 2 −12mk<br />
2m<br />
− 3c−√9c 2 −12mk<br />
2m<br />
c+ √ c2 −4mk<br />
2m<br />
c− √ c2 3c+<br />
−4mk<br />
2m<br />
√ 9c2 −12mk<br />
2m<br />
3c− √ 9c2 −12mk<br />
2m<br />
c+ √ c2 −4mk<br />
2m<br />
c− √ c2 −1 −1 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
−4mk ⎥<br />
2m ⎥ (14.127)<br />
⎥<br />
1 ⎥<br />
⎦<br />
1 1 1 1<br />
Si noti che gli autovalori sono o reali, se i ra<strong>di</strong>can<strong>di</strong> sono positivi, o complessi coniugati, se i ra<strong>di</strong>can<strong>di</strong><br />
sono negativi; inoltre, le prime e le ultime due righe <strong>del</strong>la matrice degli autovettori sod<strong>di</strong>sfano la relazione<br />
� � � �<br />
ψ1|2 = ψ3|4 [<strong>di</strong>ag(ωj)] (14.128)<br />
che traduce la con<strong>di</strong>zione<br />
x1 = z1<br />
˙x1 = ˙z1 = z3 = ωjx1<br />
x2 = z2<br />
˙x2 = ˙z2 = z4 = ωjx2<br />
(14.129a)<br />
(14.129b)<br />
(14.129c)<br />
(14.129d)<br />
mentre le ultime due righe <strong>del</strong>la matrice degli autovettori contengono gli autovettori <strong>del</strong> sistema conservativo<br />
<strong>di</strong> partenza, come atteso dal momento che la matrice <strong>di</strong> smorzamento è proporzionale.<br />
Nel caso invece generale, <strong>di</strong> smorzamento non proporzionale, i mo<strong>di</strong> propri smorzati esistono, ma<br />
non sono più identici a quelli <strong>del</strong> sistema conservativo e vi sono <strong>di</strong>fferenze <strong>di</strong> fase (non più 0 o π) tra le<br />
componenti <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate libere. I mo<strong>di</strong> sono quin<strong>di</strong> complessi e in generale non sono più definibili<br />
punti nodali (aventi componente nulla <strong>del</strong>lo spostamento).<br />
Esercizio 14.4 Dato il problema omogeneo associato alla (14.106) si <strong>di</strong>mostri che non può avere autovettori<br />
{X} reali associati agli eventuali autovalori complessi coniugati.<br />
14.5 Dal continuo al <strong>di</strong>screto<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le vibrazioni <strong>di</strong> sistemi continui, ad esempio dei mo<strong>di</strong> propri <strong>di</strong> vibrare <strong>di</strong> una trave, viene<br />
affrontato in modo abbastanza simile a quello descritto in questo capitolo per i sistemi <strong>di</strong>screti a più<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, a partire dalle equazioni <strong>di</strong>fferenziali alle derivate parziali che descrivono la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong><br />
continuo. Questa trattazione esula dallo scopo <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Dinamica dei Sistemi Aerospaziali; tuttavia,<br />
dal momento che sono evidenti i punti <strong>di</strong> contatto tra i due argomenti, viene qui introdotto, in modo<br />
<strong>del</strong> tutto qualitativo, il problema <strong>del</strong>la <strong>di</strong>scretizzazione dei problemi continui, che consente <strong>di</strong> superare i<br />
limiti <strong>del</strong>la trattazione analitica qualora il problema non sia risolvibile in forma chiusa.<br />
In particolare, si illustra come, attraverso una <strong>di</strong>scretizzazione sia pure grossolana <strong>del</strong> problema<br />
continuo, sia possibile stimare le sue frequenze proprie con accuratezza via via crescente.<br />
14-19
Figura 14.8: Torsione <strong>di</strong> una trave omogenea incastrata.<br />
Si consideri la sola torsione <strong>del</strong>la trave rettilinea <strong>di</strong> figura 14.8, <strong>di</strong> lunghezza L e <strong>di</strong> rigidezza GJ ed<br />
inerzia Jp torsionali uniformi, incastrata all’estremo x = 0 e libera all’estremo x = L. Dal momento che<br />
si tratta <strong>di</strong> un sistema continuo, possiede infiniti gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà e quin<strong>di</strong> infiniti mo<strong>di</strong> <strong>di</strong> vibrare.<br />
L’equilibrio alla rotazione attorno all’asse <strong>di</strong> un concio infinitesimo <strong>di</strong> trave afferma che la derivata<br />
<strong>del</strong> momento torcente equilibra le coppie torcenti <strong>di</strong>stribuite<br />
d<br />
dx Mt = M ′ t = µ (14.130)<br />
Il momento torcente è legato alla derivata prima <strong>del</strong>l’angolo <strong>di</strong> rotazione attorno all’asse<br />
Mt = GJ d<br />
θ = GJθ′<br />
dx<br />
(14.131)<br />
le coppie torcenti <strong>di</strong>stribuite, in presenza <strong>di</strong> solo movimento <strong>di</strong> rotazione attorno all’asse, per effetto <strong>di</strong><br />
piccole perturbazioni <strong>del</strong>la posizione <strong>di</strong> equilibrio, per il principio <strong>di</strong> d’Alembert sono date dalla coppia<br />
<strong>di</strong> inerzia <strong>di</strong>stribuita,<br />
µ = −Jp ¨ θ(x,t) (14.132)<br />
quin<strong>di</strong> l’equazione <strong>di</strong>fferenziale alle derivate parziali che governa le piccole perturbazioni <strong>del</strong>la torsione<br />
<strong>di</strong> una trave uniforme rispetto alla posizione <strong>di</strong> equilibrio è<br />
GJθ ′′ +Jp ¨ θ = 0 (14.133)<br />
Senza presentare i dettagli <strong>del</strong>la soluzione analitica <strong>del</strong> problema, lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le vibrazioni <strong>del</strong> continuo,<br />
una volta applicate le con<strong>di</strong>zioni al contorno <strong>di</strong> rotazione nulla all’estremo incastrato, θ(0) = 0, e<br />
momento torcente nullo all’estremo libero, GJθ ′ (L) = 0, ci <strong>di</strong>ce che le sue pulsazioni proprie sono<br />
�<br />
π<br />
ωk =<br />
2 +kπ<br />
� �<br />
GJ<br />
JpL2 (14.134)<br />
ed i corrispondenti mo<strong>di</strong> sono<br />
��<br />
π<br />
θk(x) = sin<br />
2 +kπ<br />
�<br />
x<br />
�<br />
L<br />
Quin<strong>di</strong>, posto<br />
�<br />
GJ<br />
φ =<br />
JpL2 la pulsazione associata al primo modo, la cui forma è un quarto <strong>di</strong> onda <strong>di</strong> seno, è<br />
(14.135)<br />
(14.136)<br />
ω1 = π<br />
2 φ ∼ = 1.57φ (14.137)<br />
Per poter stimare i mo<strong>di</strong> propri <strong>di</strong> vibrare <strong>di</strong> questo problema, si può immaginare <strong>di</strong> trasformarlo in<br />
qualche modo da continuo a <strong>di</strong>screto, per ricondurlo in una forma nota; ad esempio, si può pensare <strong>di</strong><br />
sud<strong>di</strong>videre la trave in due parti, come illustrato in figura 14.9, e <strong>di</strong> associare le rispettive inerzie alle<br />
14-20
otazioni dei due estremi. Siccome il primo è incastrato, solo l’inerzia associata al secondo, pari a JpL/2,<br />
darà luogo ad una coppia associata all’accelerazione angolare <strong>del</strong>l’estremo libero. La rotazione relativa<br />
tra i due estremi darà luogo ad una coppia elastica dovuta alla rigidezza torsionale <strong>del</strong>l’intera trave,<br />
GJ/L. Ne risulta l’equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare omogenea a coefficienti costanti<br />
JpL<br />
2 ¨ θL + GJ<br />
L θL = 0 (14.138)<br />
la cui costante caratteristica è<br />
ω = √ �<br />
GJ<br />
2<br />
JpL2 = √ 2φ (14.139)<br />
mentre la forma associata è una variazione lineare <strong>del</strong>l’angolo θ da 0 a θL. Dal momento che il problema<br />
è stato approssimato in maniera piuttosto grossolana, non ci aspettiamo una particolare accuratezza,<br />
soprattutto in virtù <strong>del</strong> fatto che la <strong>di</strong>fferenza tra la forma corretta e quella approssimata <strong>del</strong> modo è<br />
così notevole; tuttavia, si nota che il rapporto tra √ 2 ∼ = 1.41 e π/2 ∼ = 1.57 è pari a 0.90, quin<strong>di</strong> l’errore<br />
commesso è solo <strong>del</strong> 10% rispetto alla soluzione analitica (14.137).<br />
Si consideri ora un mo<strong>del</strong>lo leggermente più raffinato, come illustrato in figura 14.10, in cui la trave è<br />
<strong>di</strong>visa in tre parti, e si considerino, come incognite, la rotazione <strong>di</strong> mezzeria e quella <strong>del</strong>l’estremo libero.<br />
L’inerzia associata alla rotazione <strong>di</strong> mezzeria sarà la metà <strong>del</strong>l’inerzia polare <strong>del</strong>la trave, mentre quella<br />
associata alla rotazione <strong>di</strong> estremità sarà pari ad un quarto. La rigidezza <strong>del</strong>le molle torsionali sarà invece<br />
il doppio <strong>del</strong>la rigidezza iniziale, in quanto la lunghezza degli spezzoni <strong>di</strong> trave è la metà <strong>del</strong>la lunghezza<br />
originaria.<br />
Si ottengono le equazioni<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
ovvero<br />
JpL<br />
4<br />
e, infine,<br />
JpL<br />
2<br />
0<br />
� 2 0<br />
0 1<br />
0<br />
JpL<br />
4<br />
� 2 0<br />
0 1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
�� ¨θL/2<br />
� ¨θL/2<br />
�� ¨θL/2<br />
¨θL<br />
¨θL<br />
¨θL<br />
⎡<br />
�<br />
⎢<br />
+ ⎢<br />
⎣<br />
2 GJ<br />
L/2 −GJ<br />
− GJ<br />
L/2<br />
�<br />
+ GJ<br />
�<br />
2 −1<br />
L/2 −1 1<br />
� �<br />
2 −1<br />
+8φ<br />
−1 1<br />
Le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico sono<br />
L/2<br />
GJ<br />
L/2<br />
�� θL/2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
�� θL/2<br />
θL<br />
� θL/2<br />
θL<br />
�<br />
=<br />
θL<br />
�<br />
=<br />
� 0<br />
0<br />
�<br />
=<br />
�<br />
� 0<br />
0<br />
� 0<br />
0<br />
�<br />
�<br />
(14.140)<br />
(14.141)<br />
(14.142)<br />
�<br />
ω = 2 2± √ 2φ (14.143)<br />
Figura 14.9: Mo<strong>del</strong>lo ad un grado <strong>di</strong> libertà per la torsione <strong>di</strong> una trave omogenea incastrata.<br />
14-21
Figura 14.10: Mo<strong>del</strong>lo a due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà per la torsione <strong>di</strong> una trave omogenea incastrata.<br />
<strong>di</strong> cui la minore è pari a circa 1.53φ, con un errore rispetto alla soluzione analitica (14.137) inferiore al<br />
3%. La forma modale è data da una spezzata, ovvero da una funzione che varia linearmente da 0 a θ L/2<br />
e quin<strong>di</strong> a θL, in cui<br />
θ L/2 = 1<br />
√ 2 θL<br />
(14.144)<br />
che, caso fortuito, posta unitaria la rotazione all’estremo libero per entrambe le forme, è esattamente<br />
uguale alla soluzione analitica: sin(π/4) = 1/ √ 2.<br />
L’altra ra<strong>di</strong>ce dà una stima <strong>del</strong>la pulsazione <strong>del</strong> secondo modo <strong>di</strong> vibrare, che sarà decisamente più<br />
grossolana rispetto a quella <strong>del</strong> primo (circa il 22% <strong>di</strong> errore). Al raffinarsi <strong>del</strong>la sud<strong>di</strong>visione, e quin<strong>di</strong> al<br />
crescere<strong>del</strong>numerodeigra<strong>di</strong><strong>di</strong>libertà<strong>del</strong>mo<strong>del</strong>lo<strong>di</strong>scretoapprossimato, lastima<strong>del</strong>laprimapulsazione<br />
propria, e via via <strong>di</strong> quelle imme<strong>di</strong>atamente successive, <strong>di</strong>venta sempre più accurata.<br />
14-22
Capitolo 15<br />
Rappresentazione agli stati <strong>di</strong><br />
sistemi vibranti e mo<strong>del</strong>li<br />
approssimati<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
La rappresentazione agli stati <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong>namico consiste nella scrittura <strong>di</strong> un problema <strong>di</strong>fferenziale<br />
nella forma<br />
{˙x} = [A]{x}+[B]{u} (15.1a)<br />
{y} = [C]{x}+[D]{u} (15.1b)<br />
ove la relazione <strong>di</strong>namica tra ingresso {u} e uscita {y} <strong>di</strong>pende da una relazione <strong>di</strong>fferenziale lineare.<br />
Qualsiasi sistema lineare <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali, <strong>di</strong> qualsiasi or<strong>di</strong>ne, può essere rappresentato in questa<br />
forma a seguito <strong>di</strong> opportune trasformazioni.<br />
Se la matrice [D] è nulla, non vi è termine <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong>retta, e il sistema si <strong>di</strong>ce strettamente<br />
proprio. È sempre possibile descrivere un sistema proprio come combinazione <strong>di</strong> un termine <strong>di</strong> trasmissione<br />
<strong>di</strong>retta tra ingresso e uscita e <strong>di</strong> un sistema strettamente proprio, quin<strong>di</strong> lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> quest’ultimo<br />
caso è sufficiente per lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> caso più generale.<br />
La capacità <strong>di</strong> rappresentare un sistema <strong>di</strong>namico generico nella forma agli stati consente <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>arne<br />
le caratteristiche ed il comportamento me<strong>di</strong>ante le tecniche sviluppate nell’ambito <strong>del</strong>la teoria dei sistemi.<br />
La formulazione agli stati è considerata parte <strong>di</strong> un approccio“moderno”alla teoria dei sistemi, nato<br />
e fiorito nella seconda metà <strong>del</strong> ventesimo secolo, in contrapposizione ad un approccio“classico”me<strong>di</strong>ante<br />
funzioni <strong>di</strong> trasferimento formulate nel dominio <strong>di</strong> Laplace, fiorito nella prima metà <strong>del</strong>lo stesso secolo.<br />
I due approcci sono quasi perfettamente analoghi in quanto a contenuti, ma presentano vantaggi e<br />
svantaggi <strong>di</strong>versi, che li rendono complementari. La conoscenza <strong>di</strong> entrambi gli approcci, e la capacità <strong>di</strong><br />
utilizzare il più vantaggioso a seconda <strong>del</strong>l’ambito <strong>di</strong> applicazione e <strong>del</strong>le esigenze <strong>di</strong> analisi costituiscono<br />
importanti strumenti.<br />
Le implicazioni relative all’opportunità <strong>di</strong> utilizzare o meno la formulazione agli stati vengono lasciate<br />
ad altri corsi per i quali l’argomento è centrale1 . In questo capitolo si vogliono soprattutto presentare le<br />
tecniche per descrivere problemi tipici <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica dei sistemi aerospaziali me<strong>di</strong>ante tale formalismo.<br />
15.1 Rappresentazione agli stati nel dominio <strong>del</strong> tempo<br />
Dalla teoria dei sistemi è noto che la soluzione ad un problema <strong>di</strong> questo tipo è data dalla combinazione<br />
lineare <strong>di</strong> una soluzione <strong>di</strong>pendente dalle con<strong>di</strong>zioni iniziali {x0}, in assenza <strong>di</strong> forzamento ({u} = {0}),<br />
e da una <strong>di</strong>pendente dall’ingresso {u} ({u} = {u(t)} �= {0}). La prima va sotto il nome <strong>di</strong> integrale<br />
generale, mentre la seconda va sotto il nome <strong>di</strong> integrale particolare.<br />
1 Si rammenta che la formulazione agli stati <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong>namici è stata <strong>di</strong>scussa nell’ambito <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong> Fondamenti <strong>di</strong><br />
Automatica, al quale si rimanda per approfon<strong>di</strong>menti e rigore <strong>del</strong>le formalizzazioni.<br />
15-1
15.1.1 Integrale generale<br />
La soluzione <strong>del</strong>l’integrale generale ha la forma<br />
{xg} = e [A](t−t0) {x0}. (15.2)<br />
Si ricorda che la funzione esponenziale <strong>di</strong> matrice è definita come<br />
e [A](t−t0) =<br />
∞�<br />
k=0<br />
È imme<strong>di</strong>ato verificare che<br />
1<br />
k! [A]k (t−t0) k . (15.3)<br />
d<br />
dt e[A](t−t0) = [A]e [A](t−t0) , (15.4)<br />
da cui risulta che la (15.2) sod<strong>di</strong>sfa la (15.1a) per {u} = {0}.<br />
La soluzione <strong>del</strong>l’integrale generale tende ad annullarsi se il sistema descritto dalla matrice [A] è<br />
asintoticamente stabile 2 . Questo si verifica quando gli autovalori λi <strong>del</strong>la matrice, in generale reali o<br />
complessi coniugati in quanto la matrice è reale, hanno parte reale negativa.<br />
Esponenziale <strong>di</strong> matrice<br />
La (15.3) rappresenta la definizione <strong>di</strong> esponenziale <strong>di</strong> matrice. Tuttavia, la definizione come serie<br />
non rappresenta uno strumento pratico per il suo calcolo (si veda [4] per una <strong>di</strong>scussione completa<br />
sull’argomento).<br />
Se invece, qualora sia possibile, si opera una decomposizione spettrale <strong>del</strong>la matrice [A], si ottiene<br />
[A] = [V][<strong>di</strong>ag(λ)][V] −1 , (15.5)<br />
ove [<strong>di</strong>ag(λ)] è una matrice <strong>di</strong>agonale contenente gli autovalori λi <strong>del</strong>la matrice [A], mentre la matrice<br />
[V] contiene i rispettivi autovettori, {v} i .<br />
La (15.3) <strong>di</strong>venta così<br />
e [A](t−t0) ∞� 1<br />
�<br />
= [V][<strong>di</strong>ag(λ)][V]<br />
k!<br />
k=0<br />
−1� k<br />
(t−t0) k<br />
∞� 1<br />
= [V]<br />
= [V]<br />
k!<br />
k=0<br />
([<strong>di</strong>ag(λ)](t−t0)) k [V] −1<br />
15.1.2 Integrale particolare<br />
� �<br />
<strong>di</strong>ag e λ(t−t0)��<br />
[V] −1 . (15.6)<br />
La soluzione <strong>del</strong>l’integrale particolare è data dall’integrale <strong>di</strong> convoluzione tra l’ingresso {u(t)} e la<br />
soluzione e [A]t , ovvero<br />
{xp(t−t0)} =<br />
� t<br />
Esercizio 15.1 Si verifichi che<br />
� t<br />
0<br />
t0<br />
e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ =<br />
e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ. (15.7)<br />
� t<br />
Suggerimento: si operi il cambio <strong>di</strong> variabile η = t−τ.<br />
0<br />
e [A]τ [B]{u(t−τ)} dτ. (15.8)<br />
2 Si ricorda che a rigore la stabilità può essere valutata per le singole soluzioni, e non per i sistemi. Fanno eccezione, tra<br />
gli altri, i sistemi lineari tempoinvarianti.<br />
15-2
Anche in questo caso, ricordando l’espressione <strong>del</strong>la derivata <strong>del</strong>l’integrale<br />
d<br />
dt<br />
� b(t)<br />
a(t)<br />
f (t−τ) dτ =<br />
è imme<strong>di</strong>ato verificare che<br />
d<br />
dt {xp(t−t0)} =<br />
� t<br />
t0<br />
� b(t)<br />
a(t)<br />
d<br />
d d<br />
f (t−τ) dτ +f (b(t)) b(t)−f (a(t)) a(t), (15.9)<br />
dt dt dt<br />
[A]e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ +[B]{u(t)}. (15.10)<br />
Siccome [A] è costante e quin<strong>di</strong> può essere portata fuori dal segno <strong>di</strong> integrale, l’ultima espressione<br />
corrisponde alla (15.1a).<br />
Ricordando la (13.58), e supponendo per semplicità che il sistema abbia un solo ingresso u e che<br />
quin<strong>di</strong> la matrice [B] sia formata da una sola colonna, la risposta ad un ingresso sotto forma <strong>di</strong> Delta <strong>di</strong><br />
Dirac u(t) = δ(t−t0) è<br />
{x(t−t0)} =<br />
� t<br />
e [A](t−τ) [B]δ(τ) dτ = e [A](t−t0) [B]. (15.11)<br />
t0<br />
15.2 Rappresentazione agli stati nel dominio <strong>di</strong> Laplace<br />
La rappresentazione agli stati assume forme particolarmente significative quando viene valutata nel<br />
dominio <strong>di</strong> Laplace:<br />
s{x} = [A]{x}+[B]{u} (15.12a)<br />
{y} = [C]{x}+[D]{u}, (15.12b)<br />
ove si sono supposte per semplicità con<strong>di</strong>zioni iniziali nulle. La soluzione <strong>del</strong> problema forzato <strong>di</strong>venta<br />
�<br />
{y} = [C](s[I]−[A]) −1 �<br />
[B]+[D] {u}. (15.13)<br />
15.3 Realizzazione agli stati <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong> trasferimento<br />
Una generica funzione <strong>di</strong> trasferimento razionale strettamente propria, caratterizzante un semplice sistema<br />
a singolo ingresso e singola uscita (Single-Input Single-Output, SISO), esprimibile come<br />
n�<br />
aiy (n−i) =<br />
i=0<br />
n�<br />
biu (n−i) , (15.14)<br />
i=1<br />
con a0 = 1, può essere realizzata agli stati in varie forme. Con y (i) si in<strong>di</strong>ca la derivata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne i <strong>del</strong>la<br />
funzione y. La sua rappresentazione nel dominio <strong>di</strong> Laplace è<br />
oppure<br />
y =<br />
y =<br />
�n �i=1 n<br />
i=0<br />
n−i bis<br />
aisn−iu, (15.15)<br />
� n<br />
i=1<br />
s n + � n<br />
i=1<br />
bis n−i<br />
ais n−iu<br />
(15.16)<br />
per sottolineare che a0 = 1.<br />
Esercizio 15.2 Si mostri come una funzione <strong>di</strong> trasferimento non strettamente propria possa essere<br />
espressa come somma <strong>di</strong> una funzione strettamente propria e <strong>di</strong> un termine <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong>retta.<br />
15-3
Il motivo per cui una funzione è realizzabile in molteplici forme è legato alla constatazione che la<br />
realizzazione agli stati richiede più coefficienti (n 2 per [A], n sia per [B] che per [C], per un totale <strong>di</strong><br />
n 2 +2n) <strong>di</strong> quanti presenti nella forma razionale <strong>di</strong> Eq. (15.14), ovvero al più 2n.<br />
Questa semplice considerazione sottintende un’altra considerazione: la forma razionale non contiene<br />
eventuali cancellazioni tra poli e zeri coincidenti, né eventuali <strong>di</strong>namiche nascoste, ovvero non raggiungibili<br />
o non osservabili. Quin<strong>di</strong> la forma agli stati consente <strong>di</strong> considerare nei mo<strong>del</strong>li anche quegli aspetti<br />
che non contribuiscono <strong>di</strong>rettamente alla relazione ingresso-uscita, ma possono essere presenti nella fisica<br />
<strong>di</strong> un problema, con conseguenze potenzialmente non trascurabili sul suo comportamento <strong>di</strong>namico.<br />
Quanto detto vale anche per sistemi a ingresso multiplo e a uscita multipla (Multi-Input Multi-<br />
Output, MIMO), a patto <strong>di</strong> considerare le ai come matrici quadrate <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne ny × ny, e le bi come<br />
matrici rettangolari <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne ny ×nu. In questo caso, si avrebbe<br />
n�<br />
i=0<br />
con [a0] = [I], e<br />
�<br />
[ai] y (n−i)�<br />
=<br />
n�<br />
i=1<br />
�<br />
[bi] u (n−i)�<br />
, (15.17)<br />
�<br />
n�<br />
{y} = [ai]s n−i<br />
�−1� n�<br />
[bi]s n−i<br />
�<br />
{u}. (15.18)<br />
i=0<br />
i=1<br />
15.3.1 Invarianza <strong>di</strong> una rappresentazione agli stati<br />
Una rappresentazione agli stati è invariante rispetto ad una trasformazione degli stati che sia invertibile.<br />
Data una trasformazione<br />
{x} = [T]{x ′ } (15.19)<br />
invertibile, tale per cui<br />
{x ′ } = [T] −1 {x}, (15.20)<br />
il sistema (15.1) <strong>di</strong>venta<br />
{˙x ′ } = [T] −1 [A][T]{x ′ }+[T] −1 [B]{u} (15.21a)<br />
{y} = [C][T]{x ′ }+[D]{u}. (15.21b)<br />
Si consideri ora, in analogia con la (15.13), la rappresentazione nel dominio <strong>di</strong> Laplace <strong>del</strong>la (15.21),<br />
� �<br />
{y} = [C][T] s[I]−[T] −1 �−1 [A][T] [T] −1 �<br />
[B]+[D] {u}<br />
� �<br />
= [C][T] s[T] −1 [T]−[T] −1 �−1 [A][T] [T] −1 �<br />
[B]+[D] {u}<br />
� �<br />
= [C][T] [T] −1 �−1 (s[I]−[A])[T] [T] −1 �<br />
[B]+[D] {u}<br />
�<br />
= [C][T][T] −1 (s[I]−[A]) −1 [T][T] −1 �<br />
[B]+[D] {u}<br />
�<br />
= [C](s[I]−[A]) −1 �<br />
[B]+[D] {u}. (15.22)<br />
La(15.22)èidenticaalla(15.13), quin<strong>di</strong>unatrasformazioneinvertibile<strong>del</strong>lostatononcambialarelazione<br />
tra ingresso e uscita.<br />
15.3.2 Raggiungibilità ed osservabilità<br />
Definizione <strong>di</strong> raggiungibilità:<br />
15-4
Un sistema, per essere raggiungibile, deve consentire <strong>di</strong> portare, in un tempo finito arbitrario,<br />
il suo stato {x} dal valore iniziale {x0} ad un qualsiasi valore desiderato, attraverso<br />
un’opportuna scelta degli ingressi {u} tra l’istante iniziale e quello finale.<br />
Spesso la raggiungibilità è denominata controllabilità. Definizione <strong>di</strong> osservabilità:<br />
Perché un sistema sia osservabile, il moto <strong>di</strong> ogni suo stato, a partire da un qualunque valore<br />
iniziale {x0}, deve poter essere rilevato in un tempo finito attraverso le uscite {y}, in assenza<br />
<strong>di</strong> forzamento {u}.<br />
Le nozioni <strong>di</strong> raggiungibilità e osservabilità sono generali3 , ovvero si applicano a sistemi lineari anche<br />
tempovarianti o, in caso <strong>di</strong> sistemi non lineari, si applicano alla loro linearizzazione attorno ad una<br />
soluzione <strong>di</strong> riferimento.<br />
Per i sistemi lineari tempo-invarianti, esistono criteri <strong>di</strong> verifica particolarmente semplici. Si definiscono<br />
le matrici <strong>di</strong> raggiungibilità<br />
[Kr] = � [B], [A][B], [A] 2 [B], ... [A] n−1 [B] �<br />
(15.23)<br />
e osservabilità<br />
�<br />
[Ko] =<br />
[C] T , [A] T [C] T ,<br />
�<br />
[A] T� 2<br />
[C] T , ...<br />
�<br />
[A] T� n−1<br />
[C] T<br />
�<br />
, (15.24)<br />
con n pari al numero degli stati. Il sistema si <strong>di</strong>ce raggiungibile se la matrice [Kr] ha rango pieno, e si<br />
<strong>di</strong>ce osservabile se la matrice [Ko] ha rango pieno.<br />
Si noti che, se il sistema ha nu ingressi e ny uscite, le matrici [Kr] e [Ko] hanno or<strong>di</strong>ne rispettivamente<br />
n × (n · nu) e n × (n · ny). Ne consegue che il loro rango non può essere maggiore <strong>di</strong> n, la <strong>di</strong>mensione<br />
più piccola. Tuttavia, è possibile che abbiano rango inferiore a n, nel qual caso il sistema sarebbe<br />
rispettivamente non raggiungibile o non osservabile.<br />
15.3.3 Verifica intuitiva <strong>del</strong> criterio <strong>di</strong> osservabilità<br />
La definizione <strong>di</strong> osservabilità <strong>di</strong>ce che qualunque sia lo stato iniziale {x0}, deve poter essere rilevato<br />
attraverso le uscite {y} in un tempo finito, in assenza <strong>di</strong> forzamento {u}. Questo significa che l’uscita<br />
dovuta all’integrale generale,<br />
{y} = [C]e [A]t {x0}, (15.25)<br />
deve essere non-nulla qualunque sia {x0}.<br />
Se esiste un vettore {x0} = {z} tale per cui la (15.25) è identicamente nulla, ovvero<br />
[C]e [A]t {z} ≡ {0}, ∀{z} �= {0}, (15.26)<br />
allora anche tutte le derivate <strong>di</strong> {y} devono essere identicamente nulle. Ne consegue che<br />
{˙y} = [C][A]e [A]t {z} = {0} (15.27a)<br />
{¨y} = [C][A] 2 e [A]t {z} = {0} (15.27b)<br />
...<br />
�<br />
y (n−1)�<br />
= [C][A] n−1 e [A]t {z} = {0}. (15.27c)<br />
Perché questo sia vero qualunque sia t, compreso t = 0, il vettore {z} deve essere ortogonale a tutte le<br />
matrici [C][A] k , con k = 0,n−1. Ma questo è possibile solo se la matrice [Ko] ha rango minore <strong>di</strong> n.<br />
3 Esistono anche definizioni meno stringenti, che vengono riportate per completezza. Si parla <strong>di</strong> stabilizzabilità quando<br />
un sistema è raggiungibile, oppure i suoi stati non raggiungibili sono asintoticamente stabili. Si parla <strong>di</strong> rilevabilità (in<br />
inglese detectability) quando un sistema è osservabile, oppure i suoi stati non osservabili sono asintoticamente stabili.<br />
15-5
Un ragionamento analogo può essere svolto per il criterio <strong>di</strong> raggiungibilità. Si può anche notare che<br />
dato un sistema<br />
{˙xo} = [Ao]{xo}+[Bo]{uo} (15.28a)<br />
{yo} = [Co]{xo} (15.28b)<br />
che sia osservabile, ovvero tale per cui [Ko] abbia rango pieno, si ottiene un sistema<br />
{˙xr} = [Ar]{xr}+[Br]{ur} (15.29a)<br />
{yr} = [Cr]{xr} (15.29b)<br />
sicuramente raggiungibile ponendo [Ar] = [Ao] T , [Br] = [Co] T , [Cr] = [Co] T , dal momento che la matrice<br />
<strong>di</strong> raggiungibilità [Kr] <strong>di</strong> quest’ultimo sistema è strutturalmente identica alla matrice <strong>di</strong> osservabilità <strong>del</strong><br />
problema precedente.<br />
15.4 Rappresentazione agli stati <strong>di</strong> problemi meccanici<br />
La rappresentazione agli stati <strong>di</strong> problemi meccanici richiede <strong>di</strong> esprimere l’equazione<br />
[M]{¨z}+[R]{˙z}+[K]{z} = {f} (15.30)<br />
me<strong>di</strong>ante la quadrupla <strong>di</strong> matrici [A], [B], [C], [D].<br />
15.4.1 Oscillatore armonico smorzato<br />
Si consideri il caso <strong>di</strong> un oscillatore armonico smorzato, oggetto principale <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> capitolo 6. Il suo<br />
moto è descritto dall’equazione<br />
m¨z +r˙z +kz = f. (15.31)<br />
La realizzazione agli stati più intuitiva consiste nel definire w = ˙z e quin<strong>di</strong><br />
� �<br />
w<br />
{x} =<br />
z<br />
(15.32a)<br />
{u} = {f} (15.32b)<br />
� �<br />
−r/m −k/m<br />
[A] =<br />
(15.32c)<br />
1 0<br />
� �<br />
1/m<br />
[B] =<br />
(15.32d)<br />
0<br />
[C] = � 0 1 � . (15.32e)<br />
Si considerino gli autovalori <strong>del</strong> sistema, ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico<br />
Essi sono<br />
det(λ[I]−[A]) = λ 2 +λr/m+k/m = 0. (15.33)<br />
λ = − r<br />
2m ±<br />
�<br />
�<br />
r<br />
�2 −<br />
2m<br />
k<br />
. (15.34)<br />
m<br />
Il polinomio caratteristico è ovviamente identico a quello che si ottiene considerando <strong>di</strong>rettamente<br />
l’equazione <strong>di</strong> secondo grado originaria.<br />
Per questo sistema il problema <strong>del</strong>l’osservabilità e <strong>del</strong>la raggiungibilità non si pone, in quanto sappiamo<br />
dalla fisica che si tratta <strong>di</strong> un sistema in realtà ad un solo grado <strong>di</strong> libertà, quin<strong>di</strong> un forzamento<br />
15-6
applicato al grado <strong>di</strong> libertà non può non eccitarlo, e la misura scelta è <strong>di</strong>rettamente il grado <strong>di</strong> libertà<br />
stesso. È tuttavia interessanteverificareil calcolo <strong>del</strong>le matrici <strong>di</strong> raggiungibilità e osservabilità; si ottiene<br />
� �<br />
2 1/m −r/m<br />
[Kr] =<br />
(15.35a)<br />
0 1/m<br />
� �<br />
0 1<br />
[Ko] = , (15.35b)<br />
1 0<br />
e quin<strong>di</strong> il sistema è raggiungibile e osservabile (anche in assenza <strong>di</strong> smorzamento, per r = 0).<br />
15.4.2 Forma canonica <strong>di</strong> controllabilità<br />
Tra le infinite realizzazioni possibili, un caso importante è rappresentato dalla forma canonica <strong>di</strong> controllabilità,<br />
o forma canonica <strong>di</strong> raggiungibilità,<br />
⎧ ⎫ ⎡<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎧ ⎫<br />
˙x1<br />
−a1 −a2 −a3 ... −an x1 1<br />
⎪⎨ ˙x2 ⎪⎬<br />
⎢ 1 0 0 0 ⎥<br />
⎥⎪⎨<br />
x2 ⎪⎬ ⎪⎨ 0 ⎪⎬<br />
⎢<br />
˙x3 = ⎢ 0 1 0 0 ⎥ x3 ⎥ + 0 u (15.36a)<br />
⎢<br />
⎪⎩<br />
...<br />
.<br />
⎪⎭<br />
⎣ . .<br />
.<br />
..<br />
.<br />
⎥ .<br />
. ⎦ .<br />
.<br />
⎪⎩<br />
.<br />
.<br />
⎪⎭ ⎪⎩<br />
. ⎪⎭<br />
˙xn 0 0 0 ... 0 xn 0<br />
⎧ ⎫<br />
y = � b1 b2 b3 ... bn<br />
⎪⎨ �<br />
⎪⎩<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
.<br />
xn<br />
⎪⎬<br />
. (15.36b)<br />
⎪⎭<br />
Il nome esprime il fatto che la matrice <strong>di</strong> raggiungibilità è intrinsecamente triangolare superiore, con i<br />
coefficienti <strong>di</strong>agonali unitari, e quin<strong>di</strong> la raggiungibilità è strutturalmente garantita in<strong>di</strong>pendentemente<br />
dai coefficienti <strong>del</strong>la funzione originaria.<br />
Esercizio 15.3 Si scriva la matrice <strong>di</strong> raggiungibilità [Kr] <strong>del</strong>la forma canonica <strong>di</strong> raggiungibilità.<br />
Bilanciamento. È opportuno ricordare che spesso le matrici che si ottengono me<strong>di</strong>ante canonicizzazione<br />
sono mal con<strong>di</strong>zionate. Può essere vantaggioso scalarle me<strong>di</strong>ante algoritmi <strong>di</strong> bilanciamento che<br />
scalano gli stati e l’ingresso in modo da migliorare il con<strong>di</strong>zionamento sia per quanto riguarda la fattorizzazione<br />
<strong>del</strong>la matrice [A] che l’estrazione dei suoi autovalori. Si vedano ad esempio le funzioni balance<br />
<strong>di</strong> Matlab e Octave, e le funzioni dgebal e dggbal <strong>di</strong> LAPACK.<br />
Il bilanciamento consiste nel calcolare una matrice <strong>di</strong> trasformazione [T] che consenta <strong>di</strong> esprimere<br />
gli stati {x} come<br />
{x} = [T]{ˆx}. (15.37)<br />
A questo punto, il problema <strong>di</strong>venta<br />
� �<br />
˙ˆx<br />
= [T] −1 [A][T]{ˆx}+[T] −1 [B]{u} (15.38a)<br />
{y} = [C][T]{ˆx}+[D]{u}. (15.38b)<br />
La scalatura [T] viene scelta in modo che la matrice bilanciata [T] −1 [A][T] abbia la norma <strong>di</strong> righe e<br />
colonne <strong>del</strong>lo stesso or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza.<br />
Ad esempio, si consideri la matrice [A] associata ad un oscillatore armonico non smorzato <strong>di</strong> frequenza<br />
caratteristica pari a ω0 = 10 ra<strong>di</strong>anti/s, realizzato in forma canonica <strong>di</strong> raggiungibilità, ovvero<br />
octave:1> A = [0 -100; 1 0]<br />
A =<br />
15-7
0 -100<br />
1 0<br />
octave:2> [T, AA] = balance(A)<br />
T =<br />
AA =<br />
8 0<br />
0 1<br />
0.00000 -12.50000<br />
8.00000 0.00000<br />
Anche per un problema così semplice una scalatura è opportuna. Essa consiste nel <strong>di</strong>videre il primo stato<br />
per 8. Per ragioni <strong>di</strong> efficienza, la funzione balance effettua la scalatura utilizzando potenze <strong>di</strong> 2.<br />
Oscillatore armonico smorzato<br />
Si consideri il problema descritto dall’equazione (15.31). La sua realizzazione in forma canonica <strong>di</strong><br />
controllabilità è molto simile a quella presentata nelle (15.32), ottenuta in modo <strong>del</strong> tutto intuitivo.<br />
Si riscriva infatti tale equazione nella forma<br />
¨z + r k<br />
˙z +<br />
m m z = 0 f ˙<br />
1<br />
+<br />
m f<br />
↑ ↑ ↑ ↑<br />
.<br />
↑<br />
(15.39)<br />
1 a1 a2 b1 b2<br />
In base alle (15.36) ne risultano le matrici<br />
{u} = f (15.40a)<br />
� �<br />
−r/m −k/m<br />
[A] =<br />
(15.40b)<br />
1 0<br />
� �<br />
1<br />
[B] =<br />
(15.40c)<br />
0<br />
[C] = � 0 1/m � . (15.40d)<br />
La <strong>di</strong>fferenza principale rispetto alla scrittura intuitiva <strong>del</strong>le (15.32) sta nel fatto che ora la <strong>di</strong>visione<br />
per m compare nella matrice [C] anziché nella [B]. Di conseguenza gli stati non assumono il significato<br />
<strong>di</strong> posizione e velocità, ma <strong>di</strong> integrale <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto e quantità <strong>di</strong> moto. Data la specificità<br />
<strong>di</strong> questo caso, per cui il coefficiente b1 è sempre zero, nulla vieta <strong>di</strong> considerare la forma presentata<br />
nelle (15.32).<br />
15-8
Generico sistema meccanico<br />
Si ottiene il risultato desiderato con una minima rielaborazione 4 <strong>del</strong>la forma canonica <strong>di</strong> controllabilità,<br />
ovvero<br />
{u} = {f} (15.42a)<br />
� �<br />
−1 −1<br />
−[M] [R] −[M] [K]<br />
[A] =<br />
(15.42b)<br />
[I] [0]<br />
� � −1<br />
[M]<br />
[B] =<br />
(15.42c)<br />
[0]<br />
[C] = � [0] [I] � . (15.42d)<br />
Sinoticheèrichiestal’inversione<strong>del</strong>lamatrice<strong>di</strong>massa<strong>del</strong>problema. Taleoperazionepuòessereonerosa<br />
per problemi <strong>di</strong> gran<strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni. In tali casi, dal momento che il problema può essere formulato in<br />
modo che la matrice <strong>di</strong> massa sia simmetrica definita positiva, può essere opportuno riformulare la<br />
formalizzazione agli stati considerando prima una decomposizione <strong>di</strong> Cholesky <strong>del</strong>la matrice, tale per cui<br />
[M] = [L][L] T , (15.43)<br />
ove [L] sia una matrice triangolare inferiore. Si ponga poi {w} = [L] T {z}. A questo punto, il problema<br />
<strong>di</strong> equazione (15.30) può essere riformulato come<br />
{¨w}+[L] −1 [R][L] −T { ˙w}+[L] −1 [K][L] −T {w} = [L] −1 {f}. (15.44)<br />
Le matrici [L] −1 [R][L] −T e [L] −1 [K][L] −T sono simmetriche per costruzione se anche le matrici [R] e<br />
[K] lo sono. La rappresentazione agli stati <strong>di</strong>venta<br />
{u} = {f} (15.45a)<br />
� �<br />
−1 −T −1 −T<br />
−[L] [R][L] −[L] [K][L]<br />
[A] =<br />
(15.45b)<br />
[I] [0]<br />
� � −1<br />
[L]<br />
[B] =<br />
(15.45c)<br />
[0]<br />
� �<br />
−T<br />
[C] = [0] [L] . (15.45d)<br />
15.4.3 Forma canonica <strong>di</strong> osservabilità<br />
Un altro caso importante è rappresentato dalla forma canonica <strong>di</strong> osservabilità,<br />
⎧ ⎫ ⎡<br />
˙x1<br />
−a1<br />
⎪⎨ ˙x2 ⎪⎬<br />
⎢ −a2 ⎢<br />
˙x3 = −a3 ⎢<br />
⎪⎩<br />
...<br />
.<br />
⎪⎭<br />
⎣ .<br />
˙xn −an<br />
⎤⎧<br />
⎫ ⎧ ⎫<br />
1 0 ... 0 x1 b1<br />
0 1 0 ⎥<br />
⎥⎪⎨<br />
x2 ⎪⎬ ⎪⎨ b2 ⎪⎬<br />
0 0 0 ⎥ x3 ⎥ + b3 u<br />
. ..<br />
.<br />
⎥ .<br />
. ⎦ . .<br />
⎪⎩<br />
. .<br />
⎪⎭ ⎪⎩<br />
. ⎪⎭<br />
0 0 ... 0 xn bn<br />
⎧ ⎫<br />
(15.46a)<br />
y = � 1 0 0 ... 0 �<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
.<br />
xn<br />
⎪⎬<br />
. (15.46b)<br />
⎪⎭<br />
4 Una realizzazione secondo la forma canonica avrebbe la matrice [A] data dalla (15.42b), mentre le matrici [B] e [C]<br />
sarebbero<br />
[B] =<br />
� [I]<br />
[0]<br />
�<br />
[C] = � [0] [M] −1 � . (15.41)<br />
Anche in questo caso gli stati perderebbero il significato fisico <strong>di</strong> spostamenti e velocità; per questo motivo può essere<br />
preferibile utilizzare la forma mo<strong>di</strong>ficata.<br />
15-9
Il nome esprime il fatto che la matrice <strong>di</strong> osservabilità è intrinsecamente triangolare superiore, con i<br />
coefficienti <strong>di</strong>agonali unitari, e quin<strong>di</strong> l’osservabilità è strutturalmente garantita in<strong>di</strong>pendentemente dai<br />
coefficienti <strong>del</strong>la funzione originaria.<br />
Esercizio 15.4 Si scriva la matrice <strong>di</strong> osservabilità [Ko] <strong>del</strong>la forma canonica <strong>di</strong> osservabilità.<br />
Oscillatore armonico smorzato<br />
Si consideri il problema descritto dall’equazione (15.31). Ricordando la (15.39), la sua realizzazione in<br />
forma canonica <strong>di</strong> osservabilità è<br />
{u} = f (15.47a)<br />
� �<br />
−r/m 1<br />
[A] =<br />
(15.47b)<br />
−k/m 0<br />
� �<br />
0<br />
[B] =<br />
(15.47c)<br />
1/m<br />
[C] = � 1 0 �<br />
(15.47d)<br />
Anche questa forma può essere ottenuta in modo relativamente intuitivo, definendo<br />
e quin<strong>di</strong><br />
mw = m˙z +rz (15.48)<br />
m ˙w +kz = f. (15.49)<br />
Le matrici <strong>di</strong> raggiungibilità e osservabilità sono<br />
� �<br />
0 1/m<br />
[Kr] =<br />
(15.50a)<br />
1/m 0<br />
� �<br />
1 −r/m<br />
[Ko] = , (15.50b)<br />
0 1<br />
a conferma che il problema è strutturalmente osservabile e, nel caso specifico, raggiungibile.<br />
15.5 Risposta a forzanti specifiche<br />
15.5.1 Risposta impulsiva<br />
In aggiunta a quanto già illustrato nella sezione 13.4 si consideri un generico sistema, rappresentato agli<br />
stati, in cui, senza ledere la generalità, sia presente un solo ingresso u(t) impulsivo u(t) = f1δ(t−t1). La<br />
soluzione generale data dalla (15.7), con t1 > t0, <strong>di</strong>venta<br />
{xp(t−t0)} =<br />
� t<br />
t0<br />
e [A](t−τ) [B]f1δ(τ −t1) dτ = step(t−t1)e [A](t−t1) [B]f1, (15.51)<br />
che, come già notato nella sezione 13.4, corrisponde all’integrale generale dato dalla (15.2) in cui le<br />
con<strong>di</strong>zioni iniziali siano {x0} = [B]f1.<br />
Esercizio 15.5 A partire dalla (15.51) si valuti la risposta <strong>del</strong> sistema meccanico descritto da m¨x+r˙x+<br />
kx = f0δ(t−t1) con con<strong>di</strong>zioni iniziali x(t0) = 0 e ˙x(t0) = 0, con t1 > t0.<br />
15-10
15.5.2 Risposta a scalino<br />
Si consideri una forzante a scalino, ovvero una forza che ha valore nullo per t < t1 e valore costante pari<br />
a f0 per t > t1, senza che occorra specificarne il valore al tempo t1. Si consideri un generico sistema,<br />
rappresentato agli stati, in cui, senza ledere la generalità, sia presente un solo ingresso u(t) a scalino <strong>di</strong><br />
valore f0 al tempo t1. La soluzione generale data dalla (15.7), con t1 > t0, <strong>di</strong>venta<br />
{xp(t−t0)} =<br />
� t<br />
t0<br />
e [A](t−τ) [B]f0step(τ −t1) dτ = step(t−t1)<br />
� t<br />
t1<br />
e [A](t−τ) dτ [B]f0, (15.52)<br />
ove la funzione step(t−t1) è stata introdotta per imporre che la soluzione sia considerata solo per t ≥ t1,<br />
mentre per t < t1 la soluzione è nulla per causalità5 . Si consideri il cambio <strong>di</strong> variabile τ = η+t, per cui<br />
dτ = dη; si ottiene<br />
{xp(t−t0)} = step(t−t1)<br />
� 0<br />
t1−t<br />
e −[A]η dη[B]f0 = −step(t−t1)<br />
�<br />
[A] −1 e −[A]η�� � � 0<br />
t1−t<br />
[B]f0<br />
= −step(t−t1)[A] −1�<br />
[I]−e [A](t−t1)�<br />
[B]f0. (15.53)<br />
Perché la risposta sia definita occorre che [A] non sia singolare. Se gli autovalori <strong>del</strong>la matrice [A] hanno<br />
parte reale negativa, per t → ∞ si ottiene la soluzione statica<br />
lim<br />
t→∞ {xp(t−t0)} = −[A] −1 [B]f0, (15.54)<br />
data <strong>di</strong>rettamente dalla (15.1a) per {u} costante a transitorio esaurito, ovvero per {˙x} = {0}. L’uscita<br />
a transitorio esaurito è quin<strong>di</strong><br />
{y} = −[C][A] −1 [B]+[D]. (15.55)<br />
Esercizio 15.6 A partire dalla (15.53) si valuti la risposta <strong>del</strong> sistema meccanico descritto da m¨x+r˙x+<br />
kx = f0step(t−t1) con con<strong>di</strong>zioni iniziali x(t0) = 0 e ˙x(t0) = 0, con t1 > t0.<br />
15.6 Approssimazioni<br />
In questo paragrafo sono presentate le definizioni <strong>di</strong> alcune forme <strong>di</strong> approssimazione <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong>namici<br />
la cui applicazione può essere utile nel caso in cui siano valide opportune ipotesi, in base alle quali la<br />
<strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema, o una sua porzione, siano trascurabili ai fini <strong>del</strong>l’analisi che si intende effettuare.<br />
Alcune definizioni saranno fornite in modo intuitivo, sia perché la loro formalizzazione richiede strumenti<br />
relativamente sofisticati che non è opportuno introdurre in questo contesto, sia perché spesso la<br />
scelta <strong>di</strong> quando utilizzare un’approssimazione e quanto spingerla sono soggettive e spesso basate su<br />
considerazioni empiriche.<br />
15.6.1 Approssimazione statica<br />
Si ha un’approssimazione cosiddetta statica (o stazionaria) quando la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema viene interamente<br />
trascurata. Si consideri la soluzione a regime, ovvero a transitorio esaurito, <strong>di</strong> un sistema<br />
<strong>di</strong>namico asintoticamente stabile, soggetto ad un ingresso costante {u(t)} = {u0}. Questo significa che<br />
la soluzione è costituita dal solo integrale particolare, dal momento che l’integrale generale in caso <strong>di</strong><br />
stabilità asintotica si annulla a con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> lasciar trascorrere un tempo sufficientemente lungo.<br />
In caso <strong>di</strong> ingresso costante, l’integrale particolare è dato da una soluzione costante; ovvero, posto<br />
{0} = [A]{x}+[B]{u0}, (15.56)<br />
si ricava {x} che, sostituito nella relazione <strong>di</strong> uscita, dà<br />
{y} = −[C][A] −1 [B]{u0}. (15.57)<br />
5 Siccome per t < t1 l’ingresso è nullo, anche l’uscita deve essere nulla.<br />
15-11
Si noti che la matrice [A] deve essere invertibile; questa con<strong>di</strong>zione è verificata in caso <strong>di</strong> stabilità<br />
asintotica, perché in tale caso tutti gli autovalori <strong>di</strong> [A] devono avere parte reale negativa, e quin<strong>di</strong> sono<br />
<strong>di</strong>versi da zero 6 .<br />
Si ipotizzi ora un processo in cui l’ingresso {u} non è più costante, ma varia lentamente. Se la<br />
variazione è sufficientemente lenta e regolare, si può pensare <strong>di</strong> sud<strong>di</strong>viderla in tratti costanti, raccordati<br />
dascalini. Intalecaso, larispostasaràdatadasequenze<strong>di</strong>integraliparticolaricostanti, analoghi a quello<br />
appena determinato, raccordati da integrali generali che tengono conto <strong>del</strong>la variazione improvvisa <strong>di</strong><br />
con<strong>di</strong>zioni al contorno.<br />
Se il tempo necessario perché l’integrale generale si annulli è piccolo rispetto alla durata <strong>del</strong> singolo<br />
tratto in cui è stato <strong>di</strong>scretizzato l’ingresso, allora si può ridurre la lunghezza dei tratti, affinando la <strong>di</strong>scretizzazione.<br />
Se l’ingresso è sufficientemente regolare, questo comporta salti più piccoli nelle con<strong>di</strong>zioni<br />
al contorno, e così via, fino a rendere <strong>di</strong> nuovo continuo l’ingresso.<br />
Ne risulta, in modo intuitivo, che la regolarità <strong>del</strong>l’ingresso fornisce un termine <strong>di</strong> paragone da confrontare<br />
con la rapi<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> annullamento <strong>del</strong>l’integrale generale. Se l’ingresso è sufficientemente regolare,<br />
la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema non viene eccitata, e quin<strong>di</strong> è sufficiente considerare un’approssimazione statica<br />
<strong>del</strong> sistema stesso,<br />
{y(t)} s = −[C][A] −1 [B]{u(t)}, (15.58)<br />
dove con s = si è in<strong>di</strong>cata una uguaglianza non in senso stretto, ma me<strong>di</strong>ante approssimazione stazionaria.<br />
Approssimazione statica: interpretazione nel dominio <strong>di</strong> Laplace<br />
Se si considera la trasformata <strong>di</strong> Laplace <strong>del</strong>la rappresentazione agli stati, l’approssimazione statica<br />
consiste nel valutare l’uscita per s = 0. Dalla (15.13) si ottiene<br />
{y(s)} s=0 = −[C][A] −1 [B]{u(s)} (15.59)<br />
che, antitrasformata <strong>di</strong> nuovo nel dominio <strong>del</strong> tempo, dà la (15.58).<br />
Approssimazione stazionaria con ingresso instazionario<br />
In alcuni contesti, il fatto che l’ingresso {u(t)} <strong>di</strong>penda dal tempo porta a chiamare impropriamente<br />
quasi-stazionaria l’approssimazione stazionaria appena descritta. Questo non è corretto, perché la<br />
non-stazionarietà, ovvero la variabilità nel tempo, è solo <strong>del</strong>l’ingresso. La <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema viene<br />
interamente trascurata.<br />
Si consideri per esempio un sistema <strong>di</strong>namico molto semplice, costituito dalle forze aero<strong>di</strong>namiche<br />
stazionarie,<br />
F = 1<br />
2 ρv2 SCf (α), (15.60)<br />
la cui <strong>di</strong>pendenza dall’angolo <strong>di</strong> incidenza α è confinata nel generico coefficiente Cf, che può essere<br />
scomposto in Cl e in Cd proiettando la forza in <strong>di</strong>rezione rispettivamente perpen<strong>di</strong>colare e parallela alla<br />
velocità relativa �v, <strong>di</strong> cui v è il modulo. Il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namiche descritto dal coefficiente Cf<br />
è puramente stazionario, in quanto non <strong>di</strong>pende dalla storia <strong>di</strong> α ma solo dal suo valore istantaneo,<br />
nell’ipotesi che ogni transitorio si sia esaurito.<br />
Se ad esempio la velocità relativa�v è combinazione <strong>di</strong> un vento asintotico v∞ in una <strong>di</strong>rezione fissata,<br />
e <strong>di</strong> un movimento <strong>del</strong> corpo, ˙ h, perpen<strong>di</strong>colare al vento relativo, l’angolo <strong>di</strong> incidenza istantaneo è<br />
α = θ −tan −1<br />
� �<br />
˙h<br />
, (15.61)<br />
v∞<br />
dove θ rappresenta l’orientazione <strong>del</strong> corpo rispetto alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> vento relativo.<br />
6 Si ricor<strong>di</strong> che una matrice è invertibile quando il suo determinante non è nullo, e il determinante <strong>di</strong> una matrice è pari<br />
al prodotto <strong>di</strong> tutti i suoi autovalori.<br />
15-12
Se si considera l’angolo <strong>di</strong> incidenza dato dalla (15.61) nel mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namiche dato dalla(15.60)sicompieunaforzatura,<br />
inquantola(15.60)èunmo<strong>del</strong>lostazionario<strong>del</strong>leforzeaero<strong>di</strong>namiche,<br />
mentre α può variare nel tempo (per via <strong>del</strong> termine ˙ h, nel caso <strong>di</strong> moto vario), e quin<strong>di</strong> viola l’ipotesi<br />
<strong>di</strong> stazionarietà.<br />
L’approssimazione può <strong>di</strong>venire accettabile se la variazione <strong>di</strong> α è sufficientemente lenta da consentire<br />
<strong>di</strong> trascurare il transitorio <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>le forze aero<strong>di</strong>namiche che causerebbe. Il mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong>le forze<br />
rimane tuttavia puramente stazionario, nonostante l’ingresso instazionario.<br />
15.6.2 Approssimazione quasi-stazionaria<br />
L’approssimazione quasi-stazionaria consiste nell’approssimare la convoluzione con la funzione esponenziale<br />
<strong>del</strong>la (15.7) me<strong>di</strong>ante uno sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor, arrestato all’or<strong>di</strong>ne desiderato, nell’ipotesi che<br />
i transitori siano sufficentemente veloci da poter essere trascurati.<br />
In alternativa, si consideri la (15.1a). La sua derivata dà<br />
{¨x} = [A]{˙x}+[B]{˙u}, (15.62)<br />
nell’ipotesi che l’ingresso sia sufficientemente regolare da poter essere derivato, e che la sua derivata sia<br />
nota. È possibile sostituire la (15.1a) nella (15.62), da cui si ottiene<br />
{¨x} = [A]([A]{x}+[B]{u})+[B]{˙u}. (15.63)<br />
In analogia con il caso <strong>del</strong>l’approssimazione statica, nell’ipotesi che l’ingresso e la sua derivata siano<br />
sufficientemente regolari rispetto al tempo necessario per annullare l’integrale generale, si trascuri la<br />
derivata seconda <strong>del</strong>lo stato, {¨x}. Si ottiene<br />
{y(t)} qs1<br />
= −[C][A] −1 [B]{u(t)}−[C][A] −2 [B]{˙u(t)}, (15.64)<br />
che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne. In analogia con l’uguaglianza<br />
me<strong>di</strong>ante approssimazione stazionaria, in<strong>di</strong>cata con s =, con qs1<br />
= si vuole in<strong>di</strong>care una uguaglianza me<strong>di</strong>ante<br />
approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne.<br />
Esercizio 15.7 Si verifichi come, scrivendola convoluzionenella forma <strong>del</strong>l’esercizio15.1 con la forzante<br />
{u(t − τ)} sviluppata in serie <strong>di</strong> Taylor rispetto a t, l’integrazione <strong>del</strong>la forma risultante consenta <strong>di</strong><br />
riottenere la (15.64).<br />
L’operazione può essere ripetuta arrestandosi ad or<strong>di</strong>ni più elevati. Ad esempio, se si deriva ulteriormente<br />
la (15.62) e si eseguono le opportune sostituzioni, si ottiene<br />
{y(t)} qs2<br />
= −[C][A] −1 [B]{u(t)}−[C][A] −2 [B]{˙u(t)}−[C][A] −3 [B]{ü(t)}, (15.65)<br />
che rappresenta un’approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong> second’or<strong>di</strong>ne.<br />
In generale, la sequenza <strong>di</strong> derivazioni può essere continuata a piacere. Tuttavia, al crescere <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne,<br />
sono richieste via via derivate <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore <strong>del</strong>l’ingresso, la cui <strong>di</strong>sponibilità può essere<br />
problematica, oltre a non avere un chiaro significato fisico.<br />
Si noti come in questo caso la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema venga in parte recuperata me<strong>di</strong>ante la <strong>di</strong>namica<br />
<strong>del</strong>l’ingresso (le sue derivate), attraverso opportune matrici −[C][A] −n [B] fra loro in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Approssimazione quasi-stazionaria: interpretazione nel dominio <strong>di</strong> Laplace<br />
Se si considera la trasformata <strong>di</strong> Laplace <strong>del</strong>la rappresentazione agli stati, l’approssimazione quasistazionaria<br />
consiste nel valutare lo sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento, arrestato<br />
all’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong>l’approssimazione, per s = 0.<br />
Si ricorda che la derivata <strong>del</strong>l’inversa <strong>di</strong> una matrice [M] rispetto ad un generico parametro scalare s<br />
è data dalla relazione<br />
d<br />
ds<br />
�<br />
[M] −1�<br />
= −[M] −1<br />
�<br />
d<br />
ds [M]<br />
�<br />
[M] −1 . (15.66)<br />
15-13
Esercizio 15.8 Si verifichi la relazione (15.66).<br />
Da questa relazione, con alcune manipolazioni, si ricava<br />
d j<br />
dsj �<br />
[C](s[I]−[A]) −1 �<br />
[B] = j!(−1) j [C](s[I]−[A]) −j−1 [B]. (15.67)<br />
Lo sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor <strong>del</strong>la (15.13) attorno a s = 0 dà quin<strong>di</strong><br />
{y(s)} ∼ =<br />
�<br />
−[C][A] −1 [B]−s[C][A] −2 [B]−...−s k [C][A] −k−1 �<br />
[B] {u(s)} (15.68)<br />
Questa può essere riscritta come<br />
{y(s)} ∼ = −[C][A] −1 [B]{u(s)}−[C][A] −2 [B]s{u(s)}−...−[C][A] −k−1 [B]s k {u(s)}, (15.69)<br />
ove si è messa in evidenza, me<strong>di</strong>ante moltiplicazione per s j , la derivazione <strong>del</strong>l’ingresso. Questa relazione,<br />
antitrasformata <strong>di</strong> nuovo nel dominio <strong>del</strong> tempo, dà<br />
{y(t)} qs-k<br />
= − �<br />
j=0,k<br />
[C][A] −j−1 �<br />
[B] u (j) �<br />
(t) , (15.70)<br />
ovvero la formula <strong>del</strong>l’approssimazione quasi-stazionaria dedotta in precedenza, compresa l’approssimazione<br />
stazionaria intesa come approssimazione quasi-stazionaria <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 0. Con {u (j) (t)} si in<strong>di</strong>ca<br />
la derivata j-esima <strong>del</strong>l’ingresso.<br />
Esempio: oscillatore armonico<br />
Si consideri il caso <strong>del</strong>l’oscillatore armonico in forma canonica <strong>di</strong> osservabilità dato dalle (15.47). Si<br />
supponga che il forzamento avvenga me<strong>di</strong>ante ce<strong>di</strong>mento imposto v <strong>del</strong>la base, ovvero che f = kv +r˙v.<br />
Si noti che, per r �= 0, occorre conoscere a priori la derivata prima <strong>del</strong> moto <strong>del</strong>la base.<br />
Oscillatore armonico non smorzato. Si consideri innanzitutto il caso non smorzato, ovvero con<br />
r = 0. L’approssimazione stazionaria è data da<br />
z s = − � 1 0 ��<br />
0 1<br />
−k/m 0<br />
� −1�<br />
0<br />
1/m<br />
�<br />
kv = v. (15.71)<br />
L’approssimazione stazionaria non può che consistere in uno spostamento <strong>del</strong> corpo identico a quello <strong>del</strong><br />
vincolo, in assenza <strong>di</strong> forze <strong>di</strong>namiche che lo contrastino.<br />
L’errorecommessopuòessereagevolmentevalutatorispettoallafrequenza<strong>del</strong>laforzanteconsiderando<br />
che la risposta a forzante armonica <strong>di</strong> questo sistema è<br />
1<br />
z(jΩ) =<br />
1−Ω 2 /ω2v(jΩ), (15.72)<br />
0<br />
ove ω0 = � k/m. Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde a trascurare il contributo<br />
<strong>del</strong>le forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0.<br />
Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne. Si ottiene<br />
z qs1<br />
= v − � 1 0 ��<br />
0 1<br />
−k/m 0<br />
� −2�<br />
0<br />
1/m<br />
�<br />
k˙v = v. (15.73)<br />
L’aggiunta <strong>di</strong> un termine <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne non comporta alcun cambiamento nell’approssimazione. Ciò<br />
è in qualche misura atteso, perché non vi sono contributi <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne alla <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema.<br />
15-14
Si consideri infine un’approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne. Si ottiene<br />
z qs2<br />
= v − � 1 0 ��<br />
0 1<br />
−k/m 0<br />
� −3�<br />
In frequenza, questa approssimazione <strong>di</strong>venta<br />
0<br />
1/m<br />
�<br />
k¨v = v − ¨v/ω 2 0. (15.74)<br />
z(jΩ) = � 1+Ω 2 /ω 2� 0 v(jΩ). (15.75)<br />
Il miglioramento che introduce rispetto alle precedenti può essere valutato considerando che la (15.72)<br />
può essere riscritta come<br />
z(jΩ) =<br />
�<br />
1+ Ω2 /ω2 0<br />
1−Ω 2 /ω2 �<br />
v(jΩ), (15.76)<br />
0<br />
che mette in luce come compaia un termine <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne in Ω. L’approssimazione quasi-stazionaria<br />
<strong>del</strong> second’or<strong>di</strong>ne tende alla (15.76) per 0 ≤ Ω ≪ ω0.<br />
Oscillatore armonico smorzato. In questo caso, l’approssimazione stazionaria è data da<br />
z s = − � 1 0 �� −r/m 1<br />
−k/m 0<br />
In frequenza, questo corrisponde a<br />
� −1�<br />
0<br />
1/m<br />
�<br />
(kv +r˙v) = v + r<br />
˙v. (15.77)<br />
k<br />
z(jΩ) = (1+2jξΩ/ω0)v(jΩ). (15.78)<br />
L’errorecommessopuòessereagevolmentevalutatorispettoallafrequenza<strong>del</strong>laforzanteconsiderando<br />
che la risposta a forzante armonica <strong>di</strong> questo sistema è<br />
1+2jξΩ/ω0<br />
z(jΩ) =<br />
1−Ω 2 /ω2 0 +2jξΩ/ω0<br />
v(jΩ), (15.79)<br />
ove ω0 = � k/m e ξ = r/(2 √ km). Se ne deduce che l’approssimazione stazionaria corrisponde non<br />
solo a trascurare il contributo <strong>del</strong>le forze d’inerzia, cosa lecita fintanto che 0 ≤ Ω ≪ ω0, ma anche a<br />
sopravvalutareilcontributo<strong>del</strong>leforzeviscose, dalmomentoche, seΩ 2 /ω 2 0 ètrascurabile, allorala(15.79)<br />
si riduce all’unità, mentre l’approssimazione stazionaria dà una risposta complessa e quin<strong>di</strong> sfasata.<br />
Si consideri ora un’approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong> primo or<strong>di</strong>ne. Si ottiene<br />
z qs1<br />
= v + r<br />
k ˙v −� 1 0 �� −r/m 1<br />
−k/m 0<br />
In frequenza, questo <strong>di</strong>venta<br />
� −2�<br />
0<br />
1/m<br />
�<br />
(k˙v +r¨v) = v − r2<br />
k 2¨v.<br />
(15.80)<br />
z(jΩ) = � 1+4ξ 2 Ω 2 /ω 2� 0 v(jΩ). (15.81)<br />
L’errore rispetto all’espressione esatta <strong>del</strong>la risposta in frequenza contiene a numeratore un termine<br />
Ω 2 /ω 2 0, oltre a termini <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore, che sono trascurabili quando 0 ≤ Ω ≪ ω0. Ciò che più conta<br />
è che la presenza <strong>del</strong> contributo quasi-stazionario rende l’approssimazione puramente reale, e quin<strong>di</strong><br />
elimina lo sfasamento spurio introdotto dall’approssimazione stazionaria.<br />
Nonconvienespingersioltre, dalmomentocheun’approssimazionequasi-stazionaria<strong>del</strong>second’or<strong>di</strong>ne<br />
richiederebbe la conoscenza <strong>del</strong>la derivata terza <strong>del</strong>lo spostamento <strong>del</strong> vincolo, ...<br />
v.<br />
15-15
Esempio: forze aero<strong>di</strong>namiche<br />
Si ipotizzi <strong>di</strong> poter esprimere, me<strong>di</strong>ante un mo<strong>del</strong>lo agli stati, la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>le forze aero<strong>di</strong>namiche in<br />
funzione <strong>di</strong> un ingresso <strong>di</strong>pendente dal tempo. In questo caso, l’uscita y rappresenta le forze aero<strong>di</strong>namiche<br />
in senso lato, mentre l’ingresso u rappresenta la con<strong>di</strong>zione al contorno cinematica, ad esempio<br />
l’angolo <strong>di</strong> incidenza effettivo in un problema bi<strong>di</strong>mensionale associato ad un corpo aero<strong>di</strong>namico rigido.<br />
Come illustrato nella (15.61), la <strong>di</strong>pendenza dal tempo <strong>del</strong>l’ingresso α in un semplice mo<strong>del</strong>lo come<br />
quellorappresentatodalcoefficienteCf <strong>del</strong>la(15.60)puòesserelegatoalmovimento<strong>del</strong>sistema, descritto<br />
da rotazione θ e spostamento trasversale h.<br />
Una volta nota la quadrupla, qualora il tipo <strong>di</strong> analisi lo giustifichi, è possibile ricavarne mo<strong>del</strong>li<br />
approssimati, me<strong>di</strong>ante approssimazione statica o quasi-stazionaria. In quest’ultimo caso, conviene<br />
arrestarsi al prim’or<strong>di</strong>ne, in quanto, se si considera la linearizzazione <strong>del</strong>l’angolo <strong>di</strong> incidenza<br />
α ∼ = θ − ˙ h<br />
v∞<br />
, (15.82)<br />
l’ingresso u = α è proporzionale a θ e ˙ h. L’approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong> prim’or<strong>di</strong>ne richiede<br />
infatti la conoscenza <strong>del</strong>l’ingresso fino alla derivata prima, che contiene ˙ θ e ¨ h. Nella descrizione <strong>del</strong>la<br />
<strong>di</strong>namica<strong>di</strong>unsistemameccanico, <strong>di</strong>solitoleincognitecinematichecompaionofinoalladerivataseconda,<br />
per via <strong>del</strong>le forze d’inerzia. Quin<strong>di</strong> conviene arrestare l’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong>l’approssimazione al più a quel valore<br />
che richiede la derivata massima <strong>del</strong>le incognite cinematiche che sia già <strong>di</strong>sponibile.<br />
Il generico coefficiente aero<strong>di</strong>namico <strong>di</strong>venta così<br />
dove<br />
= −[C][A] −1 [B]α(t)−[C][A] −2 [B] ˙α(t)<br />
= −[C][A] −1 �<br />
[B] θ − ˙ �<br />
h<br />
−[C][A]<br />
v∞<br />
−2 �<br />
[B] ˙θ − ¨ �<br />
h<br />
v∞<br />
�<br />
1 = 0 v∞ [C][A]−2 �<br />
[B]<br />
� �<br />
θ¨<br />
¨h<br />
�<br />
+ −[C][A] −2 1 [B] v∞ [C][A]−1 �<br />
[B]<br />
� �<br />
θ˙<br />
˙h<br />
Cf (t) qs1<br />
+ � −[C][A] −1 [B] 0 �� θ<br />
h<br />
�<br />
. (15.83)<br />
Se si considera per esempio un problema <strong>del</strong> tipo<br />
� � � � � � � �<br />
¨θ ˙θ θ m<br />
[M]<br />
¨h<br />
+[R]<br />
˙h<br />
+[K] = , (15.84)<br />
h l<br />
m = 1<br />
2 ρv2 SLCm<br />
l = 1<br />
2 ρv2 SCl<br />
(15.85a)<br />
(15.85b)<br />
sono rispettivamente il momento aero<strong>di</strong>namico e la portanza, la loro rappresentazione quasi-stazionaria<br />
<strong>del</strong> prim’or<strong>di</strong>ne me<strong>di</strong>ante la (15.83) porta a scrivere<br />
�<br />
[M]+ 1<br />
2 ρv2 �<br />
0 −L/v∞[Cm][Am]<br />
S<br />
−2 [Bm]<br />
0 −1/v∞[Cl][Al] −2 ��� �<br />
¨θ<br />
[Bl] ¨h<br />
�<br />
+ [R]+ 1<br />
2 ρv2 �<br />
[Cm][Am]<br />
S<br />
−2 [Bm] −L/v∞[Cm][Am] −1 [Bm]<br />
[Cm][Am] −2 [Bm] −1/v∞[Cl][Al] −1 ��� �<br />
˙θ<br />
[Bl] ˙h<br />
�<br />
+ [K]+ 1<br />
2 ρv2 �<br />
[Cm][Am]<br />
S<br />
−1 [Bm] 0<br />
[Cl][Al] −1 ��� � � �<br />
θ m0<br />
= , (15.86)<br />
[Bl] 0 h l0<br />
15-16
dove si è sfruttato il fatto che la (15.83) <strong>di</strong>pende dal movimento <strong>del</strong>la struttura, θ e h, e dalle loro derivate<br />
fino al secondo or<strong>di</strong>ne.<br />
Quin<strong>di</strong> l’approssimazione porta a contributi formalmente analoghi a rigidezze, smorzamenti e inerzie<br />
<strong>di</strong> natura aero<strong>di</strong>namica. Senza voler entrare nel significato fisico <strong>di</strong> questi contributi, dal punto <strong>di</strong> vista<br />
<strong>del</strong>la mo<strong>del</strong>lazione le approssimazioni (quasi-)stazionarie consentono quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> estendere l’utilizzo <strong>di</strong><br />
mo<strong>del</strong>li e tecniche <strong>di</strong> analisi già note ed impiegate per la <strong>di</strong>namica strutturale a problemi <strong>di</strong> interazione.<br />
Nota a margine: la scrittura <strong>di</strong>retta <strong>del</strong>la quadrupla <strong>del</strong> sistema è piuttosto complessa, se non impossibile.<br />
Per questo motivo non vengono forniti esempi. Di solito viene ricavata me<strong>di</strong>ante tecniche<br />
specifiche <strong>di</strong> identificatione basate sulla minimizzazione <strong>del</strong>l’errore nella rappresentazione nel dominio <strong>di</strong><br />
Laplace <strong>di</strong> mo<strong>del</strong>li aero<strong>di</strong>namici instazionari <strong>di</strong> cui è nota o calcolabile la rappresentazione analitica o<br />
per lo meno numerica [5].<br />
15.6.3 Residualizzazione degli stati“veloci”<br />
Nelgiustificarel’approssimazionestazionaria, sièintrodottal’idea<strong>di</strong>confrontareitempi<strong>di</strong>annullamento<br />
<strong>del</strong>l’integrale generale con la regolarità <strong>del</strong>l’ingresso.<br />
In realtà i sistemi meccanici, ad esempio le gran<strong>di</strong> strutture metalliche, sono caratterizzate da comportamento<br />
<strong>di</strong>namico particolare: i movimenti liberi sono molto poco smorzati, e coprono un ampio<br />
intervallo <strong>di</strong> frequenze. Lo smorzamento strutturale presente, anche se piccolo, è sufficiente a rendere il<br />
comportamento <strong>del</strong>la struttura asintoticamente stabile.<br />
Quin<strong>di</strong> è lecito attendersi che i movimenti liberi a frequenze più basse, ω0l, vengano eccitati dall’ingresso,<br />
nel momento in cui Ω ≈ ω0l, rispondendo quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>namicamente, mentre i movimenti liberi a<br />
frequenze più alte, ω0v, per cui vale ancora Ω ≪ ω0v, vengano sì eccitati, ma solo staticamente.<br />
Si supponga ora <strong>di</strong> essere in grado <strong>di</strong> partizionare gli stati <strong>del</strong> problema in “lenti”, {xl}, le cui<br />
frequenze caratteristiche ω0l siano in qualche modo confrontabili con quelle <strong>del</strong>l’ingresso, e “veloci”,<br />
{xv}. Il problema <strong>di</strong>venta<br />
� �<br />
{˙xl}<br />
=<br />
{˙xv}<br />
� ��<br />
[All] [Alv] {xl}<br />
[Avl] [Avv] {xv}<br />
{y} = � [Cl] [Cv] �� �<br />
{xl}<br />
{xv}<br />
� �<br />
[Bl]<br />
+<br />
[Bv]<br />
�<br />
{u} (15.87a)<br />
(15.87b)<br />
A questo punto, in base alle considerazioni precedenti, si trascuri la <strong>di</strong>namica degli stati veloci, ponendo<br />
{˙xv} r = {0}, dove r = in<strong>di</strong>ca approssimazione per residualizzazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica veloce. L’equazione<br />
degli stati veloci <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong> algebrica:<br />
{0} r = [Avl]{xl}+[Avv]{xv}+[Bv]{u}. (15.88)<br />
Da quest’ultima è imme<strong>di</strong>ato ricavare il valore degli stati veloci,<br />
{xv} r = −[Avv] −1 [Avl]{xl}−[Avv] −1 [Bv]{u}, (15.89)<br />
che, sostituiti nell’equazione degli stati lenti e in quella <strong>del</strong>l’uscita, danno<br />
{˙xl} r �<br />
= [All]−[Alv][Avv] −1 � �<br />
[Avl] {xl}+ [Bl]−[Alv][Avv]<br />
� �� �<br />
−1 �<br />
[Bv] {u} (15.90a)<br />
� �� �<br />
{y} r �<br />
=<br />
[A r ]<br />
[Cl]−[Cv][Avv] −1 [Avl]<br />
�<br />
� �� �<br />
[C r ]<br />
�<br />
{xl}+<br />
[B r ]<br />
−[Cv][Avv] −1 �<br />
[Bv] {u}. (15.90b)<br />
� �� �<br />
[D r ]<br />
Come si può notare, da un sistema strettamente proprio, me<strong>di</strong>ante residualizzazione degli stati veloci<br />
se ne è ottenuto uno proprio, in cui compare il termine <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong>retta [D r ] relativo agli stati<br />
residualizzati.<br />
Esistono numerosi criteri e tecniche, dal punto <strong>di</strong> vista matematico, che consentono <strong>di</strong> operare la<br />
scelta <strong>di</strong> quali stati eliminare. Esse si basano in genere su considerazioni <strong>di</strong> ottimalità <strong>del</strong>la base ridotta<br />
che si ottiene. Tra queste vale la pena <strong>di</strong> citare la selezione in base alla frequenza dei mo<strong>di</strong> propri, l’uso<br />
<strong>di</strong> spazi <strong>di</strong> Krylov con controllo sull’errore residuo, l’uso <strong>del</strong> troncamento bilanciato [6].<br />
15-17
Esempio: residualizzazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica veloce <strong>di</strong> un sistema libero in coor<strong>di</strong>nate modali<br />
Siconsideril’esempio<strong>del</strong>leduemassenonvincolateecollegatedaunamolla,<strong>di</strong>scussonelparagrafo14.2.3.<br />
Utilizzando la forma canonica <strong>di</strong> controllabilità, si ottiene<br />
{u} = f<br />
⎡ ⎤<br />
0 0 0 0<br />
⎢<br />
[A] = ⎢ 0 0 0 −2k/m ⎥<br />
⎣ 1 0 0 0 ⎦<br />
(15.91a)<br />
(15.91b)<br />
0 1 0<br />
⎡ ⎤<br />
1/(2m)<br />
⎢<br />
[B] = ⎢ 1/(2m) ⎥<br />
⎣ 0 ⎦<br />
0<br />
(15.91c)<br />
0<br />
� �<br />
0 0 1 1<br />
[C] = .<br />
0 0 1 −1<br />
(15.91d)<br />
Sono state usate le matrici ottenute me<strong>di</strong>ante l’approccio modale. Questo consente <strong>di</strong> utilizzare agevolmente<br />
le frequenze caratteristiche per partizionare gli stati in“lenti”e“veloci”.<br />
Nel caso in esame, si considerano“lenti”gli stati associati al moto libero <strong>del</strong> sistema, che ha frequenza<br />
nulla, mentre quelli associati al moto relativo tra le due masse, che ha frequenza ω0 = � 2k/m, sono<br />
considerati“veloci”. Si ottiene:<br />
� �<br />
� �<br />
0 0<br />
0 0<br />
[All] =<br />
[Alv] =<br />
(15.92a)<br />
1 0<br />
0 0<br />
� �<br />
� �<br />
0 0<br />
0 −2k/m<br />
[Avl] =<br />
[Avv] =<br />
(15.92b)<br />
0 0<br />
1 0<br />
� �<br />
� �<br />
1/(2m)<br />
1/(2m)<br />
[Bl] =<br />
[Bv] =<br />
(15.92c)<br />
[Cl] =<br />
0<br />
� 0 1<br />
0 1<br />
�<br />
[Cv] =<br />
0<br />
� 0 1<br />
0 −1<br />
�<br />
. (15.92d)<br />
Il sistema residualizzato <strong>di</strong>venta<br />
[A r � �<br />
0 0<br />
] =<br />
(15.93a)<br />
1 0<br />
[B r � �<br />
1/(2m)<br />
] =<br />
(15.93b)<br />
0<br />
[C r � �<br />
0 1<br />
] =<br />
(15.93c)<br />
0 1<br />
[D r � �<br />
1/(4k)<br />
] = . (15.93d)<br />
−1/(4k)<br />
Si noti come la <strong>di</strong>namica non <strong>di</strong>penda in alcun modo dalla molla k (infatti [Avl] e [Alv] sono nulle). Il<br />
suo effetto sul moto <strong>del</strong>le due masse è puramente statico, attraverso il termine <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong>retta<br />
[D r ].<br />
Esempio: residualizzazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica veloce <strong>di</strong> un sistema libero in coor<strong>di</strong>nate fisiche<br />
Si consideri un sistema topologicamente analogo al precedente, ma costituito da due masse <strong>di</strong>verse, con<br />
m2 ≫ m1. Si considerino <strong>di</strong>rettamente le posizioni <strong>del</strong>le due masse quali coor<strong>di</strong>nate libere. Si consideri,<br />
come uscita, l’azione interna nella molla, definita come N = k(z1 −z2).<br />
15-18
Utilizzando la forma canonica <strong>di</strong> controllabilità, si ottiene<br />
{u} = f<br />
⎡<br />
0 0 −k/m1<br />
⎢<br />
[A] = ⎢ 0 0 k/m2<br />
⎣ 1 0 0<br />
⎤<br />
k/m1<br />
−k/m2 ⎥<br />
0 ⎦<br />
(15.94a)<br />
(15.94b)<br />
0 1 0<br />
⎡ ⎤<br />
1/m1<br />
⎢<br />
[B] = ⎢ 0 ⎥<br />
⎣ 0 ⎦<br />
0<br />
0<br />
(15.94c)<br />
[C] = � 0 0 k −k � . (15.94d)<br />
L’uso <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate fisiche rende <strong>di</strong>fficile decidere quali stati possano essere considerati“veloci”, quin<strong>di</strong><br />
residualizzabili staticamente, e quali debbano invece essere considerati“lenti”, <strong>di</strong> cui è necessario preservare<br />
la <strong>di</strong>namica. In questo caso specifico, intuitivamente occorre preservare la <strong>di</strong>namica degli stati a cui<br />
è associata la massa più grande, ovvero la seconda.<br />
Si ottiene:<br />
� �<br />
� �<br />
0 −k/m2<br />
0 k/m2<br />
[All] =<br />
[Alv] =<br />
(15.95a)<br />
1 0<br />
0 0<br />
� �<br />
� �<br />
0 k/m1<br />
0 −k/m1<br />
(15.95b)<br />
[Avl] =<br />
0 0<br />
� �<br />
0<br />
[Bl] =<br />
0<br />
[Cl] = � 0 −k �<br />
Il sistema residualizzato <strong>di</strong>venta<br />
[A r � �<br />
0 0<br />
] =<br />
1 0<br />
[B r � �<br />
1/m2<br />
] =<br />
0<br />
[C r ] = � 0 0 �<br />
[Avv] =<br />
[Bv] =<br />
1 0<br />
� �<br />
1/m1<br />
0<br />
(15.95c)<br />
[Cv] = � 0 k � . (15.95d)<br />
(15.96a)<br />
(15.96b)<br />
(15.96c)<br />
[D r ] = � 1 � . (15.96d)<br />
Si noti come la <strong>di</strong>namica non <strong>di</strong>penda in alcun modo dalla molla k, ma soltanto dalla massa m2 che, per<br />
ipotesi, è grossolanamente equivalente alla massa totale. Questo mo<strong>del</strong>lo è tanto più“sbagliato”quanto<br />
più è violata l’ipotesi m2 ≫ m1.<br />
Inoltre c’è una trasmissione <strong>di</strong>retta tra l’ingresso f e l’azione interna nell’asta, pari esattamente a 1.<br />
La misura <strong>del</strong>l’azione interna non <strong>di</strong>pende quin<strong>di</strong> dalla <strong>di</strong>namica, ed è pari alla forza stessa.<br />
Una imme<strong>di</strong>ata conseguenza <strong>di</strong> questa approssimazione è che il movimento complessivo <strong>del</strong> sistema<br />
risulta errato. Infatti, il sistema dovrebbe muoversi <strong>di</strong> moto uniformememte accelerato con accelerazione<br />
a = f/(m1+m2), mentre l’accelerazionedovuta all’approssimazioneèa r = f/m2. Inoltre, l’azione interna<br />
dovrebbe essere N = fm2/(m1 +m2), ma l’approssimazione restituisce N r = f.<br />
Si consideri ora lo stesso problema, ovvero con m2 ≫ m1, in coor<strong>di</strong>nate modali. Le frequenze<br />
caratteristiche e i rispettivi mo<strong>di</strong> propri sono<br />
ω 2 � �<br />
1<br />
1 = 0 {X} 1 =<br />
(15.97a)<br />
1<br />
ω 2 2 = k m1<br />
� �<br />
+m2<br />
−m2/m1<br />
{X} 2 =<br />
(15.97b)<br />
m1m2<br />
1<br />
15-19
Le matrici <strong>di</strong>ventano<br />
⎡<br />
⎤<br />
0 0 0 0<br />
⎢<br />
[A] = ⎢ 0 0 0 −k(m1 +m2)/(m1m2) ⎥<br />
⎣ 1 0 0 0 ⎦<br />
0 1 0 0<br />
⎡ ⎤<br />
1<br />
1 ⎢<br />
[B] = ⎢ −1 ⎥<br />
m1 +m2<br />
⎣ 0 ⎦<br />
0<br />
� �<br />
0 0 1 −m2/m1<br />
[C] =<br />
0 0 1 1<br />
(15.98a)<br />
(15.98b)<br />
(15.98c)<br />
A seguito <strong>del</strong> partizionamento in stati lenti e veloci, e <strong>del</strong>la residualizzazione statica <strong>di</strong> questi ultimi, si<br />
ottiene<br />
[A r � �<br />
0 0<br />
] =<br />
(15.99a)<br />
1 0<br />
[B r � �<br />
1 1<br />
] =<br />
(15.99b)<br />
m1 +m2 0<br />
[C r � �<br />
0 1<br />
] =<br />
(15.99c)<br />
0 1<br />
[D r 1<br />
] =<br />
k(1+m1/m2) 2<br />
� �<br />
1<br />
. (15.99d)<br />
−m1/m2<br />
La forza nella molla è data da<br />
1<br />
F = k(x2 −x1) = −<br />
1+m1/m2<br />
(15.100)<br />
ovvero <strong>di</strong>fferisce da quella applicata per la parte equilibrata dalla massa m1 sotto forma <strong>di</strong> forza d’inerzia.<br />
Esempio: residualizzazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica veloce <strong>di</strong> un motore elettrico in CC<br />
Si consideri il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> motore elettrico in corrente continua che trascina una coppia resistente <strong>di</strong>pendente<br />
dalla velocità angolare descritta nel paragrafo 10.3.<br />
Dopo aver linearizzato il problema attorno alla con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> regime ω = ˙ θ0, i = i0 in funzione <strong>del</strong>la<br />
tensione <strong>di</strong> alimentazione ea imposta, si ottiene l’equazione <strong>di</strong>fferenziale lineare<br />
�<br />
d ∆ω<br />
dt ∆i<br />
� �<br />
−2rω0/J K/J<br />
=<br />
−K/La −Ra/La<br />
�� ∆ω<br />
∆i<br />
� �<br />
+<br />
0<br />
∆ea/La<br />
�<br />
. (15.101)<br />
Si supponga che l’uscita sia y = ω.<br />
In genere, la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>la parte elettrica <strong>del</strong> sistema è più“veloce”<strong>di</strong> quella <strong>del</strong>la parte meccanica.<br />
Se questa ipotesi è fondata, allora si può considerare“lento”lo stato associato alla parte meccanica, ω, e<br />
“veloce”quello associato alla parte elettrica, i. Questo consiste nel porre <strong>di</strong>/dt r = 0. Dalla seconda riga<br />
<strong>del</strong>la (15.101) si ottiene<br />
∆i r = − K<br />
∆ω + 1<br />
∆ea<br />
Ra<br />
Ra<br />
che, sostituito nella prima riga <strong>del</strong>la (15.101), dà<br />
(15.102)<br />
∆˙ω r � �<br />
2rω0 K2<br />
= − + ∆ω +<br />
J JRa<br />
K<br />
∆ea. (15.103)<br />
JRa<br />
15-20
Al medesimo risultato si giunge considerando<br />
[All] = − 2rω0<br />
J<br />
[Avl] = − K<br />
La<br />
[Alv] = K<br />
J<br />
[Avv] = − Ra<br />
[Bl] = 0 [Bv] = 1<br />
La<br />
La<br />
(15.104a)<br />
(15.104b)<br />
(15.104c)<br />
[Cl] = 1 [Cv] = 0, (15.104d)<br />
per cui il sistema residualizzato <strong>di</strong>venta<br />
[A r � �<br />
2rω0 K2<br />
] = − +<br />
J JRa<br />
(15.105a)<br />
[B r ] = K<br />
JRa<br />
(15.105b)<br />
[C r ] = 1 (15.105c)<br />
[D r ] = 0. (15.105d)<br />
Gli autovalori <strong>del</strong>la matrice <strong>del</strong> problema (15.101) sono<br />
� �<br />
�<br />
�rω0 �2 rω0 Ra Ra<br />
λ = − + ± − −<br />
J 2La J 2La<br />
K2<br />
. (15.106)<br />
JLa<br />
Se Ra/La ≫ rω0/J (<strong>di</strong>namica <strong>del</strong>la parte elettrica molto più“veloce”<strong>di</strong> quella <strong>del</strong>la parte meccanica),<br />
<strong>di</strong>ventano<br />
⎧<br />
⎪⎨ −∞�<br />
�<br />
λ = 2rω0 K2 . (15.107)<br />
⎪⎩ − +<br />
J JRa<br />
Il secondo è pari al coefficiente caratteristico che si ottiene con la residualizzazione, dato dalla (15.105a).<br />
15.6.4 Accelerazione dei mo<strong>di</strong><br />
Con il nome <strong>di</strong>“accelerazione dei mo<strong>di</strong>”(o, a volte, “mo<strong>di</strong> <strong>di</strong> accelerazione”), si intende la soluzione <strong>di</strong><br />
un problema statico dettagliato per il quale le sollecitazioni <strong>di</strong>namiche siano ottenute dall’analisi <strong>di</strong> un<br />
mo<strong>del</strong>lo approssimato. Come illustrato nel seguito, questo corrisponde ad una residualizzazione statica<br />
<strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica degli stati ritenuti“veloci”rispetto alla banda passante <strong>del</strong> forzamento.<br />
Si consideri un generico problema a più gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà<br />
[M]{¨x}+[K]{x} = {f} (15.108)<br />
caratterizzato da scale <strong>del</strong>le <strong>di</strong>namiche proprie molto <strong>di</strong>verse tra loro, tali per cui, in presenza <strong>di</strong> forzamento<br />
{f} con banda relativamente limitata rispetto alle <strong>di</strong>namiche più veloci <strong>del</strong> sistema, sia lecita una<br />
residualizzazione statica <strong>di</strong> queste ultime.<br />
Anche se non è strettamente necessario, tale residualizzazione, specialmente a fini illustrativi, può<br />
risultare molto efficace se si descrivono i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà {x} su base modale, ovvero {x} = [ψ]{q}. Si<br />
sud<strong>di</strong>vidano i mo<strong>di</strong> in “lenti”, [ψl], e “veloci”, [ψv], con [ψ] = [[ψl][ψv]]. Usando l’approccio modale il<br />
problema <strong>di</strong>venta<br />
� [<strong>di</strong>ag(mil)] [0]<br />
[0] [<strong>di</strong>ag(miv)]<br />
�� {¨ql}<br />
{¨qv}<br />
� �<br />
[<strong>di</strong>ag(kil)] [0]<br />
+<br />
[0] [<strong>di</strong>ag(kiv)]<br />
15-21<br />
�� {ql}<br />
{qv}<br />
� �<br />
=<br />
[ψl] T {f}<br />
[ψv] T {f}<br />
�<br />
(15.109)
e, a seguito <strong>del</strong>la residualizzazione statica <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica dei mo<strong>di</strong> veloci, ovvero posto {¨qv} r = {0},<br />
� �� � � �� � �<br />
[<strong>di</strong>ag(mil)] [0] {¨ql} [<strong>di</strong>ag(kil)] [0] {ql} r= [ψl]<br />
+<br />
[0] [0] {¨qv} [0] [<strong>di</strong>ag(kiv)] {qv}<br />
T {f}<br />
[ψv] T �<br />
.<br />
{f}<br />
(15.110)<br />
Questa approssimazione è accettabile nel momento in cui le frequenze caratteristiche degli stati veloci,<br />
ωiv = � kiv/miv, sono molto più gran<strong>di</strong> <strong>del</strong>l’estremo superiore <strong>del</strong>la banda <strong>di</strong> frequenze che caratterizza<br />
la forzante {f}. A questo punto la soluzione è<br />
{x} = [ψl]{ql}+[ψv]{qv} = [ψl]{ql}+[ψv][<strong>di</strong>ag(kiv)] −1 [ψv] T {f}, (15.111)<br />
ove {ql} risulta dall’integrazione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà lenti, mentre i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà veloci<br />
sono risolti <strong>di</strong>rettamente in quanto associati alle equazioni algebriche che costituiscono il secondo blocco<br />
<strong>del</strong>la (15.110).<br />
Questo approccio richiede un cambiamento completo <strong>di</strong> base, e quin<strong>di</strong> la conoscenza <strong>di</strong> [ψl] e [ψv], il<br />
cui calcolo, per problemi con un elevato numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, può essere molto oneroso. Siccome<br />
il calcolo <strong>di</strong> un sottoinsieme dei mo<strong>di</strong> propri <strong>di</strong> vibrare può essere relativamente più efficiente 7 , sarebbe<br />
utile poter ottenere lo stesso risultato <strong>del</strong>la (15.111) avendo a <strong>di</strong>sposizione soltanto i mo<strong>di</strong> lenti, ovvero<br />
[ψl].<br />
Si consideri ora il problema dato dalla (15.108) in cui le forze d’inerzia, in linea con l’approssimazione<br />
data dalla residualizzazione statica <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica degli stati veloci, siano espresse in funzione dei soli<br />
stati lenti, quin<strong>di</strong> {fin} = −[M][ψl]{¨ql}, a dare<br />
da cui<br />
[K]{x} = {f}−[M][ψl]{¨ql}, (15.112)<br />
{x} = [K] −1 ({f}−[M][ψl]{¨ql}). (15.113)<br />
Siccome la matrice <strong>di</strong> rigidezza modale si può esprimere come<br />
[<strong>di</strong>ag(ki)] = [ψ] T [K][ψ], (15.114)<br />
l’inversa <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> rigidezza è<br />
[K] −1 = [ψ][<strong>di</strong>ag(ki)] −1 [ψ] T = [ψl][<strong>di</strong>ag(kil)] −1 [ψl] T +[ψv][<strong>di</strong>ag(kiv)] −1 [ψv] T . (15.115)<br />
La (15.113) <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
{x} = [ψ][<strong>di</strong>ag(ki)] −1 [ψ] T ({f}−[M][ψl]{¨ql})<br />
= [ψl][<strong>di</strong>ag(kil)] −1 [ψl] T ({f}−[M][ψl]{¨ql})<br />
+[ψv][<strong>di</strong>ag(kiv)] −1 [ψv] T ({f}−[M][ψl]{¨ql}); (15.116)<br />
ma, per l’ortogonalità dei mo<strong>di</strong> propri rispetto alla matrice <strong>di</strong> massa, nell’ultimo termine a destra<br />
<strong>del</strong>l’espressione precedente si ha [ψv] T [M][ψl] = [0], quin<strong>di</strong> la (15.113) può essere scritta come<br />
{x} = [ψl][<strong>di</strong>ag(kil)] −1�<br />
[ψl] T �<br />
{f}−[<strong>di</strong>ag(mil)]{¨ql} +[ψv][<strong>di</strong>ag(kiv)] −1 [ψv] T {f}. (15.117)<br />
A partire dal primo blocco <strong>del</strong>la (15.110), si può scrivere<br />
[ψl] T {f}−[<strong>di</strong>ag(mil)]{¨ql} = [<strong>di</strong>ag(kil)]{ql}, (15.118)<br />
che, sostituito nella (15.117), dà <strong>di</strong> nuovo la (15.111).<br />
7 Ad esempio utilizzando meto<strong>di</strong> iterativi per il calcolo degli autovalori quali il metodo <strong>del</strong>le potenze a blocchi o il metodo<br />
<strong>di</strong> Lanczos.<br />
15-22
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
01<br />
k1<br />
m1<br />
x1<br />
Figura 15.1: Esempio <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>l’accelerazione dei mo<strong>di</strong>.<br />
Quin<strong>di</strong> la soluzione <strong>del</strong> problema (15.108) me<strong>di</strong>ante residualizzazione statica <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica degli<br />
stati veloci corrisponde ad integrare prima le equazioni <strong>del</strong> moto degli stati lenti, data dal primo blocco<br />
<strong>del</strong>la (15.110), e quin<strong>di</strong> risolvere il problema statico dato dalla (15.112) in cui le forze d’inerzia sono<br />
portate a secondo membro e scritte in funzione dei soli stati lenti, come illustrato dalla (15.113). Questa<br />
procedura richiede la semplice fattorizzazione <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> rigidezza 8 , in aggiunta al calcolo dei soli<br />
autovettori [ψl], o <strong>di</strong> una opportuna base <strong>di</strong> spostamenti da considerarsi lenti, anziché il calcolo <strong>di</strong> tutti<br />
gli autovettori. Si noti infine che la <strong>di</strong>mostrazione riportata sopra si avvale <strong>del</strong>l’ortogonalità degli autovettori<br />
rispetto alle matrici <strong>di</strong> massa e <strong>di</strong> rigidezza; tuttavia, l’approssimazione <strong>del</strong> problema me<strong>di</strong>ante<br />
accelerazione dei mo<strong>di</strong> rimane valida qualunque sia la base scelta, come <strong>di</strong>mostrato nell esercizio 15.9.<br />
Esercizio 15.9 Scelto un sottospazio arbitrario [Hl] <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate {x}, che non sod<strong>di</strong>sfa il criterio<br />
<strong>di</strong> ortogonalità rispetto alle matrici <strong>di</strong> massa e <strong>di</strong> rigidezza, lo si utilizzi come base <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate generalizzate<br />
“lente” applicando l’approssimazione <strong>del</strong>l’accelerazione dei mo<strong>di</strong>. Dato il complemento [Hv] <strong>di</strong><br />
[Hl], tale per cui [H] = [[Hl][Hv]] rappresenta una base completa, si scriva l’equazione <strong>del</strong> moto nelle<br />
nuove coor<strong>di</strong>nate, si residualizzino staticamente quelle veloci e si ricavi la soluzione {x} in funzione <strong>del</strong>le<br />
coor<strong>di</strong>nate lente {ql} e <strong>del</strong>la residualizzazione <strong>di</strong> quelle veloci, {qv}. Si verifichi che la soluzione per<br />
accelerazione dei mo<strong>di</strong> è coincidente.<br />
Si consideri per esempio il sistema illustrato in figura 15.1, costituito da una massa m1 collegata al<br />
telaio da una molla k1, e da una seconda massa m2, confrontabile con m1, connessa alla prima da una<br />
molla k2 molto più rigida <strong>del</strong>l’altra, k2 ≫ k1. Le equazioni <strong>del</strong> moto sono<br />
� m1 0<br />
0 m2<br />
�� ¨x1<br />
¨x2<br />
� �<br />
k1 +k2 −k2<br />
+<br />
−k2 k2<br />
�� x1<br />
x2<br />
k2<br />
�<br />
=<br />
m2<br />
� f1<br />
f2<br />
x2<br />
f2<br />
�<br />
. (15.119)<br />
A partire dall’equazione omogenea associata alle equazioni <strong>del</strong> moto, si possono calcolare i mo<strong>di</strong> propri<br />
<strong>di</strong> vibrare <strong>del</strong> problema,<br />
ω 2 1|2<br />
�<br />
1 k2<br />
= +<br />
2 m2<br />
k1<br />
�<br />
+k2<br />
∓<br />
m1<br />
1<br />
�<br />
�<br />
k2<br />
+<br />
2 m2<br />
k1<br />
�2 +k2<br />
−4<br />
m1<br />
k1<br />
m1<br />
k2<br />
m2<br />
. (15.120)<br />
Il sistema sia soggetto ad una forzante armonica <strong>di</strong> frequenza Ω confrontabile con quella <strong>del</strong> primo<br />
modo, applicata alla seconda massa; siccome k2 ≫ k1, la frequenza <strong>del</strong> primo modo è circa ω1 ∼ =<br />
� k1/(m1 +m2). A questo punto si può considerare veloce la coor<strong>di</strong>nata associata al secondo modo <strong>di</strong><br />
vibrare. Ne consegue che l’equazione <strong>del</strong> modo lento dà come risultato<br />
ql(jΩ) = 2XI1<br />
ω 2 1 −Ω2f2,<br />
(15.121)<br />
ove 2XI1 è l’elemento <strong>del</strong> primo modo associato allo spostamento <strong>del</strong>la massa m2, avendo assunto per i<br />
mo<strong>di</strong> propri la normalizzazione a massa unitaria.<br />
8 A con<strong>di</strong>zione che la matrice [K] non sia singolare; se lo fosse, questo significa che tra i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà sono presenti<br />
movimenti rigi<strong>di</strong>. Quin<strong>di</strong> occorre rendere il problema staticamente determinato, imponendo opportune con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> vincolo<br />
che rimuovano i movimenti rigi<strong>di</strong> senza alterare la soluzione statica in termini <strong>di</strong> azioni interne.<br />
15-23
La soluzione <strong>di</strong>venta quin<strong>di</strong><br />
{x(jΩ)} r �<br />
= {XI1} 2XI1<br />
ω2 2XI2<br />
+{XI2}<br />
1 −Ω2 ω2 �<br />
f2. (15.122)<br />
2<br />
Questa soluzione mette in luce come il primo modo risponda <strong>di</strong>namicamente, mentre il secondo risponde<br />
staticamente, in quanto il termine esatto 1/(ω 2 2 −Ω 2 ) è sostituito da 1/ω 2 2, nell’ipotesi che ω 2 2 ≫ Ω 2 .<br />
Se si considerano, per esempio, m1 = m2 = 1 kg, k1 = (2π) 2 N/m, k2 = 100k1 N/m, si ha ω1 = 4.44<br />
ra<strong>di</strong>an/s e ω2 = 88.97 ra<strong>di</strong>an/s, con {XI1} = {0.70534;0.70887} e {XI2} = {0.70887;−0.7034}, f2 = 1<br />
N e Ω = 5 ra<strong>di</strong>an/s. Si ottiene<br />
�� �<br />
0.49999<br />
{x(jΩ)} =<br />
0.50250<br />
e quin<strong>di</strong><br />
{x(j5)} =<br />
�� −0.094158<br />
−0.094630<br />
�<br />
1 −6.3167e−05<br />
+<br />
19.690−Ω 2 6.2852e−05<br />
� �<br />
−6.3167e−05<br />
+<br />
6.2852e−05<br />
��<br />
=<br />
��<br />
� −0.094221<br />
−0.094567<br />
(15.123)<br />
�<br />
. (15.124)<br />
Si noti che il contributo alla soluzione dato dal modo veloce è <strong>di</strong> alcuni or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> grandezza inferiore in<br />
modulo a quello dato dal modo lento. Tuttavia, l’azione interna nella molla k2, data da N = k2(x2 −<br />
x1), calcolata con il solo modo lento è pari a Nl = k2[−1 1]{XI1}ql, e quin<strong>di</strong> Nl = 0.0035355k2ql =<br />
r<br />
−4.7197e−04k2 N, mentre il contributo <strong>del</strong> modo veloce è Nv = k2[−1 1]{XI2}qv = 1.2602e−04k2 N.<br />
r<br />
Di conseguenza, la somma dei due contributi dà N = Nl +Nv = −3.4595e−04k2 N. Come confronto, la<br />
soluzione esatta è N = −3.4555e−04k2 N. Si può quin<strong>di</strong> notare come la residualizzazione statica <strong>del</strong>la<br />
<strong>di</strong>namica degli stati veloci possa portare ad una soluzione molto più accurata rispetto alla loro semplice<br />
eliminazione.<br />
Le figure 15.2 e 15.3 mostrano lo spostamento <strong>del</strong>le masse 1 e 2, rispettivamente, per effetto <strong>del</strong>la<br />
forza applicata alla massa 2. La soluzione esatta, ottenuta dal calcolo <strong>del</strong>la risposta in frequenza <strong>di</strong> un<br />
sistema a due gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, è confrontata con la soluzione <strong>di</strong>:<br />
• un mo<strong>del</strong>lo semplificato, corrispondente a considerare solo la risposta <strong>del</strong> modo a frequenza più<br />
bassa (in<strong>di</strong>cata come“modo #1”nella legenda), quin<strong>di</strong> {x} = {Xl}ql, con ql dato dalla (15.121);<br />
• un mo<strong>del</strong>lo semplificato consistente nella residualizzazione statica <strong>del</strong> modo più veloce (in<strong>di</strong>cata<br />
come“acc. mo<strong>di</strong>, modale”nella legenda), secondo la (15.122);<br />
• un mo<strong>del</strong>lo semplificato ottenuto definendo due forme <strong>di</strong> spostamento generalizzate {X1} = {1;1},<br />
corrispondente ad uno spostamento in cui la molla 2 non si deforma, e {X2} = {0;1}, corrispondente<br />
ad uno spostamento in cui la molla 1 non si deforma (in<strong>di</strong>cata come“acc. mo<strong>di</strong>, arbitraria”<br />
nella legenda); il modo in cui la molla 2 non si deforma è considerato “lento” (vi corrisponde un<br />
valore � ({X1} T [K]{X1})/({X1} T [M]{X1}) = 4.44 ra<strong>di</strong>an/s), mentre l’altro è considerato“veloce”<br />
( � ({X2} T [K]{X2})/({X2} T [M]{X2}) = 62.83 ra<strong>di</strong>an/s); si noti però che le matrici <strong>di</strong> massa e <strong>di</strong><br />
rigidezza corrispondenti alle nuove variabili non sono <strong>di</strong>agonali, in quanto la trasformazione non<br />
corrisponde ai mo<strong>di</strong> propri.<br />
Si può notare come tutti i mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong>ano risultati sostanzialmente equivalenti per frequenze inferiori a<br />
quella <strong>del</strong> primo modo <strong>di</strong> vibrare, mentre il loro comportamento si <strong>di</strong>fferenzia tra loro e da quello esatto<br />
man mano che la frequenza si avvicina a quella <strong>del</strong> secondo modo <strong>di</strong> vibrare. Questo è consistente con<br />
l’osservazione che in prossimità <strong>di</strong> un modo <strong>di</strong> vibrare la risposta è dominata dal contributo alla soluzione<br />
dato dal modo stesso, e tutti i mo<strong>del</strong>li descrivono accuratamente il primo modo <strong>di</strong> vibrare.<br />
Lafigura15.4, invece, mostral’azioneinternanellamolla2, mettendoinevidenzacomeunmo<strong>del</strong>loottenuto<br />
per troncamento <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo esatto, quello in<strong>di</strong>cato come“modo #1”, non sia in grado <strong>di</strong> ottenere<br />
il comportamento statico corretto, mentre vi riescono perfettamente entrambi i mo<strong>del</strong>li ottenuti me<strong>di</strong>ante<br />
residualizzazione statica <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica degli stati veloci. Quin<strong>di</strong> la residualizzazione può non portare<br />
miglioramenti significativi alla qualità <strong>del</strong> movimento <strong>del</strong> sistema, qualora esso sia sostanzialmente descritto<br />
dalla <strong>di</strong>namica a bassa frequenza. Tuttavia può portare significativi miglioramenti alla qualità<br />
<strong>del</strong>le azioni interne, qualora la <strong>di</strong>namica a bassa frequenza non sia in grado <strong>di</strong> descriverle accuratamente.<br />
15-24
ampiezza, m/N<br />
fase, deg<br />
1e+01<br />
1e+00<br />
1e-01<br />
1e-02<br />
1e-03<br />
massa 1<br />
1e-04<br />
1e-05<br />
1e-06<br />
1e-07<br />
esatto<br />
modo #1<br />
acc. mo<strong>di</strong>, modale<br />
acc. mo<strong>di</strong>, arbitrario<br />
1 10 100<br />
0<br />
-90<br />
-180<br />
1 10 100<br />
frequenza, ra<strong>di</strong>an/s<br />
Figura 15.2: Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lo<br />
spostamento <strong>del</strong>la massa 1.<br />
15-25
ampiezza, m/N<br />
fase, deg<br />
1e+01<br />
1e+00<br />
1e-01<br />
1e-02<br />
1e-03<br />
massa 2<br />
1e-04<br />
1e-05<br />
1e-06<br />
1e-07<br />
esatto<br />
modo #1<br />
acc. mo<strong>di</strong>, modale<br />
acc. mo<strong>di</strong>, arbitrario<br />
1 10 100<br />
0<br />
-90<br />
-180<br />
1 10 100<br />
frequenza, ra<strong>di</strong>an/s<br />
Figura 15.3: Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e lo<br />
spostamento <strong>del</strong>la massa 2.<br />
15-26
ampiezza, N/N<br />
fase, deg<br />
1e+03<br />
1e+02<br />
1e+01<br />
1e+00<br />
1e-01<br />
azione interna molla 2<br />
1e-02<br />
1e-03<br />
esatto<br />
modo #1<br />
1e-04<br />
1e-05<br />
1<br />
acc. mo<strong>di</strong>, modale<br />
acc. mo<strong>di</strong>, arbitrario<br />
10 100<br />
0<br />
-90<br />
-180<br />
1 10 100<br />
frequenza, ra<strong>di</strong>an/s<br />
Figura 15.4: Diagramma <strong>di</strong> Bode <strong>del</strong>la funzione <strong>di</strong> trasferimento tra la forza applicata alla massa 2 e<br />
l’azione interna nella molla 2.<br />
15-27
Questoesempiomostraanchecomelabasedeglistatilentinondebbaesserenecessariamentecostituita<br />
da soli mo<strong>di</strong> propri <strong>di</strong> vibrare. In pratica conviene spesso utilizzare alcuni mo<strong>di</strong> propri per descrivere il<br />
grosso <strong>del</strong> movimento libero, in quanto rappresentano una base molto efficiente per la sua descrizione alle<br />
frequenze nella banda che caratterizza la forzante, arricchendo però la base con altre forme, linearmente<br />
in<strong>di</strong>pendentidaimo<strong>di</strong>scelti,checontribuiscanoa<strong>di</strong>ncrementarel’efficacia<strong>del</strong>labaseridottaneldescrivere<br />
le caratteristiche <strong>del</strong> problema che sono <strong>di</strong> interesse per l’analisi. La <strong>di</strong>scussione <strong>di</strong> questi aspetti travalica<br />
tuttavia i limiti <strong>del</strong> <strong>corso</strong>.<br />
15-28
Capitolo 16<br />
Sistemi immersi in campi <strong>di</strong> forza<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
16.1 Sistemi ad un grado <strong>di</strong> libertà<br />
16.1.1 Freno a <strong>di</strong>sco<br />
Siconsideriunfrenoa<strong>di</strong>scocomequelloillustratoinfigura16.1esisuppongachelarigidezzaelosmorzamento<br />
<strong>del</strong> vincolo <strong>del</strong>la pinza in <strong>di</strong>rezione verticale siano ks ed rs, e mp sia la sua massa. Esercitando<br />
Figura 16.1: Freno a <strong>di</strong>sco.<br />
una forza N sulla pinza, nascerà una forza frenante su ogni lato <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco <strong>di</strong>sco, la cui somma è pari a<br />
F = 2Nf (16.1)<br />
<strong>di</strong>rettainversooppostoallavelocitàperifericarelativa<strong>del</strong><strong>di</strong>sco, mentrelapinza<strong>del</strong>frenosaràsottoposta<br />
a una forza uguale e opposta. Ricor<strong>di</strong>amo che il coefficiente <strong>di</strong> attrito f varia in funzione <strong>del</strong>la velocità<br />
relativatraiduecorpichestriscianoconunaleggechehal’andamento<strong>di</strong>figura8.3,riportataapagina8-4.<br />
Scrivendo l’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione verticale (approssimabile alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la velocità<br />
periferica Vr <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco nella zona <strong>di</strong> contatto tra questo e le pastiglie) otteniamo<br />
−mp¨x−rs˙x−ksx+2Nf (Vr) = 0 (16.2)<br />
16-1
dove il coefficiente <strong>di</strong> attrito f(˙x) = f(Vr(˙x)), nelle zone in cui è ragionevolmente regolare, è localmente<br />
approssimabile con il suo sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor arrestato al prim’or<strong>di</strong>ne,<br />
f (˙x) ∼ = f(Vr(˙x0))+ df<br />
�<br />
�<br />
�<br />
d˙x � (˙x− ˙x0) = f(Vr0)+<br />
˙x=˙x0<br />
df<br />
� �<br />
� dVr�<br />
� �<br />
dVr<br />
� d˙x � ˙x<br />
Vr=Vr0 ˙x=0<br />
= f(Vr0)− df<br />
�<br />
�<br />
� ˙x, (16.3)<br />
dVr<br />
� Vr=Vr0<br />
in quanto Vr = V − ˙x, e la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> linearizzazione si riferisce a ˙x0 = 0, per cui Vr(˙x0) = Vr0 = V e<br />
dVr/d˙x = −1. Quin<strong>di</strong>, sostituendo la (16.3) nella (16.2), si ottiene<br />
�<br />
−mp¨x−rs˙x−ksx+2N f (Vr0)− df<br />
� �<br />
�<br />
� ˙x . (16.4)<br />
dVr<br />
L’equazione (16.4) <strong>di</strong>venta<br />
�<br />
mp¨x+ rs +2N df<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dVr<br />
� Vr=Vr0<br />
�<br />
� Vr=Vr0<br />
˙x+kx = 2Nf (Vr0) (16.5)<br />
Esistono regioni, nel <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> figura 8.3, in cui, per Vr che tende a zero, la pendenza <strong>del</strong>la curva<br />
<strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico è negativa, per cui, in tali regioni, sarà sempre possibile trovare valori<br />
<strong>del</strong>la forza N per la quale il coefficiente <strong>di</strong> smorzamento complessivo<br />
r = rs +2N df<br />
�<br />
�<br />
� < 0; (16.6)<br />
dVr<br />
� Vr=Vr0<br />
in tali casi rischiano <strong>di</strong> innescarsi oscillazioni autoeccitate. Il fenomeno è fortemente non-lineare, in<br />
quanto non appena la velocità relativa si allontana dal tratto <strong>di</strong> curva a pendenza fortemente negativa<br />
lo smorzamento torna ad essere <strong>di</strong>ssipativo.<br />
16.1.2 Campo <strong>di</strong> forze aero<strong>di</strong>namico<br />
Analogamente, un sistema vibrante ad un grado <strong>di</strong> libertà investito da una vena fluida può dare origine<br />
a forme <strong>di</strong> instabilità. Supponiamo ora un generico corpo in moto verticale 1 con relativa traslazione x<br />
rispetto alla sua posizione <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Figura 16.2: Composizione <strong>del</strong>le velocità <strong>di</strong> vento V∞ e corpo ˙x.<br />
L’ala verrà investita da una velocità relativa Vr, la cui composizione è illustrata in figura 16.2, <strong>di</strong><br />
modulo<br />
|Vr| = � V 2 ∞ + ˙x 2 (16.7)<br />
1 In aeroelasticità spesso per in<strong>di</strong>care lo spostamento <strong>di</strong> un profilo alare in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong><br />
vento asintotico si usa il simbolo h, che deriva da heave, il nome con cui in inglese si in<strong>di</strong>ca tale movimento, detto anche<br />
plunge.<br />
16-2
con anomalia<br />
ˆα = tan −1<br />
� �<br />
˙x<br />
V∞<br />
Figura 16.3: Decomposizione <strong>del</strong>la forza aero<strong>di</strong>namica.<br />
(16.8)<br />
rispetto alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la vena in<strong>di</strong>sturbata V∞. L’anomalia rappresenta un vero e proprio angolo <strong>di</strong><br />
incidenza cinematico, dovuto alla composizione <strong>del</strong>la velocità assoluta <strong>del</strong> corpo con la velocità <strong>del</strong> vento<br />
asintotico.<br />
Sul profilo alare, quin<strong>di</strong>, si genera una forza aero<strong>di</strong>namica F che è opportuno decomporre in portanza<br />
(L come lift, perpen<strong>di</strong>colare al vento relativo Vr) e <strong>di</strong> resistenza (D come drag, <strong>di</strong>retta come il vento<br />
relativo Vr) che nel caso <strong>di</strong> ala ferma saranno <strong>di</strong>rette come nella parte sinistra <strong>di</strong> figura 16.3 e varranno<br />
rispettivamente 2 :<br />
L = 1<br />
2 ρV 2 SCL(α) (16.10)<br />
D = 1<br />
2 ρV 2 SCD(α) (16.11)<br />
dove ρ è la densità <strong>del</strong> fluido, mentre S è la superficie <strong>di</strong> riferimento rispetto alla quale sono stati calcolati<br />
i coefficienti a<strong>di</strong>mensionali CL e CD, dei quali è stata messa in evidenza la <strong>di</strong>pendenza 3 dall’angolo <strong>di</strong><br />
incidenza α.<br />
Nel caso <strong>di</strong> profilo in traslazione con velocità ˙x, le forze <strong>di</strong> resistenza e portanza agiscono come nella<br />
parte destra <strong>di</strong> figura 16.3 e valgono rispettivamente:<br />
L = 1 2<br />
ρVr SCL(α− ˆα)<br />
2<br />
(16.12)<br />
D = 1 2<br />
ρVr SCD(α− ˆα),<br />
2<br />
(16.13)<br />
in quanto l’angolo <strong>di</strong> incidenza effettivo è dato dalla somma, con segno, <strong>del</strong>l’angolo α, dovuto al calettamento<br />
<strong>del</strong> profilo, e <strong>del</strong>l’angolo ˆα, dovuto alla velocità <strong>di</strong> traslazione ˙x, che va sottratto al precedente.<br />
2 Spesso si <strong>di</strong>ce che la forza aero<strong>di</strong>namica F è<br />
F = 1<br />
2 ρV 2 SCF. (16.9)<br />
In realtà la forza aero<strong>di</strong>namica F è data dall’integrale degli sforzi esercitati dal fluido sul contorno <strong>del</strong> corpo immerso nel<br />
fluido stesso. L’espressione sopra riportata nasce dal fatto che, in base al teorema π <strong>di</strong> Buckingham, è possibile mettere<br />
in evidenza la <strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>la forza F da tre parametri <strong>di</strong>mensionali (nel caso specifico la densità ρ, la velocità V e la<br />
lunghezza attraverso cui si esprime la superficie S), in modo da esprimerla in forma a<strong>di</strong>mensionale attraverso un coefficiente<br />
CF che <strong>di</strong>penda solo da altri parametri a<strong>di</strong>mensionali, come l’angolo <strong>di</strong> incidenza, il numero <strong>di</strong> Mach, <strong>di</strong> Reynolds, ed altri<br />
(si veda anche la nota 3).<br />
3 I coefficienti possono <strong>di</strong>pendere anche da altri parametri a<strong>di</strong>mensionali caratteristici; fra questi, vale sicuramente la<br />
pena <strong>di</strong> menzionare i numeri <strong>di</strong> Reynolds e <strong>di</strong> Mach, che esprimono gli effetti legati alla viscosità e alla comprimibilità <strong>del</strong><br />
fluido. In genere, però, queste <strong>di</strong>pendenze non influenzano <strong>di</strong>rettamente i fenomeni <strong>di</strong>namici <strong>di</strong> interesse, perché nel <strong>corso</strong><br />
<strong>di</strong> questi fenomeni il loro valore varia <strong>di</strong> poco, o ad<strong>di</strong>rittura rimane costante.<br />
16-3
Spesso, in aeroelasticità, la velocità <strong>di</strong> riferimento e la densità vengono riassunte nella pressione<br />
<strong>di</strong>namica <strong>di</strong> riferimento<br />
q = 1 2<br />
ρVr 2<br />
(16.14)<br />
Questo consente <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are agevolmente i fenomeni <strong>di</strong>namici a parità <strong>di</strong> numero <strong>di</strong> Mach, che <strong>di</strong>pende<br />
dalla velocità Vr ma anche dalla quota, a cui è associata la densità ρ e quin<strong>di</strong> la celerità <strong>del</strong> suono.<br />
Superficie aero<strong>di</strong>namica <strong>di</strong> automobile da corsa<br />
Venendo a un esempio pratico, uno dei profili alari usati nel recente passato nello sport automobilistico 4<br />
era il NACA 0009, che veniva montato posteriormente, collegato <strong>di</strong>rettamente ai portamozzi <strong>del</strong>le ruote<br />
motrici tramite due bracci verticali. L’angolo d’incidenza statico α comunemente usato era <strong>di</strong> circa<br />
14 o così da farlo lavorare in prossimità <strong>del</strong> minimo (massimo negativo) <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> portanza CL e<br />
ottenere la massima deportanza possibile (circa 1.2) in<strong>di</strong>pendentemente dalla velocità <strong>di</strong> avanzamento<br />
V <strong>del</strong>la vettura. Il corrispondente CD legato alla resistenza passiva <strong>del</strong>la sola ala era circa 0.12 per<br />
quell’angolo <strong>di</strong> attacco. A una certa velocità V, costante, trascurando l’effetto degli spoiler anteriori,<br />
la sospensione posteriore sarà compressa rispetto alla posizione indeformata per effetto non solo <strong>del</strong>la<br />
quota parte <strong>del</strong> peso <strong>del</strong>la vettura che su <strong>di</strong> essa si scarica, ma anche per effetto <strong>del</strong>la deportanza e <strong>del</strong>la<br />
resistenza agenti sull’ala posteriore.<br />
L’equilibrio alla rotazione <strong>del</strong>la vettura rispetto all’asse anteriore, nell’ipotesi che il baricentro sia a<br />
metà tra gli assi, dà<br />
NRl = W l<br />
+Dh−Ll, (16.15)<br />
2<br />
dove NR è la forza che agisce sulla sospensione, W è il peso, L la forza deportante, D la resistenza,<br />
l la <strong>di</strong>stanza tra gli assi e h l’altezza <strong>del</strong>l’alettone rispetto al suolo. Da questa relazione si ricava uno<br />
schiacciamento statico <strong>del</strong>la sospensione posteriore 5<br />
x0 = NR<br />
ks<br />
(16.16)<br />
dove ks in<strong>di</strong>ca la rigidezza <strong>del</strong>la sospensione posteriore (per semplicità supponiamo i montanti <strong>del</strong>l’ala<br />
rigi<strong>di</strong>).<br />
4 Si noti che il profilo NACA 0009 è simmetrico; siccome le superfici aero<strong>di</strong>namiche <strong>del</strong>le automobili da corsa devono<br />
essenzialmente fornire deportanza, in applicazioni moderne si usano soprattutto ali a profilo non simmetrico, spesso a<br />
profili multipli, montate con la concavità verso l’alto, e fornite <strong>di</strong> vari <strong>di</strong>spositivi (spesso fissi e dettati più da considerazioni<br />
regolamentari che da effettive ragioni ingegneristiche <strong>di</strong> efficacia ed efficienza) volti ad aumentare il coefficiente <strong>di</strong> portanza<br />
massimo (negativo).<br />
5 A seguito <strong>di</strong> uno schiacciamento <strong>del</strong>la sola sospensione posteriore è lecito domandarsi se la vettura subisca anche un<br />
movimento <strong>di</strong> beccheggio, che a rigore mo<strong>di</strong>ficherebbe l’angolo <strong>di</strong> calettamento <strong>del</strong> profilo alare. Non c’è contrad<strong>di</strong>zione tra<br />
il trascurarne l’effetto sull’angolo <strong>di</strong> calettamento e il considerarne l’effetto dovuto alla velocità <strong>di</strong> traslazione <strong>del</strong> profilo<br />
alare in <strong>di</strong>rezione verticale perché una elevata rigidezza <strong>del</strong>la sospensione può dare luogo a significative velocità verticali<br />
con trascurabili rotazioni <strong>di</strong> beccheggio.<br />
Figura 16.4: Auto da corsa.<br />
16-4
Figura 16.5: Caratteristiche <strong>del</strong> profilo alare NACA 0009<br />
16-5
Consideriamo, ora, il moto traslatorio lungo la verticale <strong>del</strong>la sala posteriore completa <strong>di</strong> ala, su cui<br />
agisce, trascurando l’effetto <strong>del</strong>la coppia aero<strong>di</strong>namica, la forza aero<strong>di</strong>namica per effetto <strong>del</strong>la velocità<br />
Vr, dovuta sia alla velocità V <strong>di</strong> avanzamento, sia alla velocità ˙x <strong>di</strong> vibrazione.<br />
Scrivendo l’equazione <strong>di</strong> equilibrio alla traslazione verticale <strong>del</strong>la sola sospensione posteriore, ala<br />
compresa, avremo, con ovvio significato dei simboli non definiti:<br />
−ms¨x−rs˙x−ksx− 1 2<br />
ρVr SCD(α− ˆα)sin ˆα+<br />
2 1 2<br />
ρVr SCL(α− ˆα)cos ˆα = 0 (16.17)<br />
2<br />
Le componenti <strong>del</strong>le forze <strong>di</strong> resistenza e portanza possono essere linearizzate; dal momento che è<br />
ragionevole ritenere ˙x piccolo rispetto alla velocità <strong>di</strong> avanzamento V, la (16.7) <strong>di</strong>venta<br />
Vr ∼ = V (16.18)<br />
e conseguentemente<br />
sin ˆα ∼ = ˆα ∼ = ˙x<br />
(16.19)<br />
V<br />
cos ˆα ∼ = 1 (16.20)<br />
per cui la (16.17) <strong>di</strong>venta<br />
−ms¨x−rs˙x−ksx− 1<br />
2 ρVSCD(−ˆα+α) ˙x+ 1<br />
2 ρV 2 SCL(−ˆα+α) = 0 (16.21)<br />
A loro volta, i coefficienti <strong>di</strong> portanza e resistenza possono essere linearizzati secondo Taylor nell’intorno<br />
<strong>del</strong>la posizione statica <strong>di</strong> α = α0 = −12o , ovvero:<br />
CL(α− ˆα) ∼ = CL(α)− dCL(α)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ˆα = CL(α0)−<br />
dα �<br />
α=α0<br />
dCL(α)<br />
�<br />
�<br />
� ˙x<br />
� (16.22)<br />
dα � V<br />
α=α0<br />
CD(α− ˆα) ∼ = CD(α)− dCD(α)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ˆα ∼<br />
˙x<br />
= CD(α0)−0·<br />
(16.23)<br />
dα<br />
V<br />
� α=α0<br />
tenendo anche in conto <strong>del</strong> piccolo valore numerico <strong>del</strong>la derivata <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> resistenza rispetto<br />
all’angolo d’incidenza, dCD/dα ∼ = 0. Sostituendo le (16.22, 16.23) nella (16.21) si ha:<br />
ovvero<br />
−ms¨x−rs˙x−ksx+ 1<br />
2 ρV 2 SCL(α0)− 1<br />
2 ρVS<br />
ms¨x+<br />
�<br />
rs + 1<br />
2 ρVS<br />
� �<br />
dCL(α)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dα<br />
� α=α0<br />
+CD(α0)<br />
� �<br />
dCL(α)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dα<br />
��<br />
� α=α0<br />
+CD(α0)<br />
�<br />
˙x = 0 (16.24)<br />
˙x+ksx = 1<br />
2 ρV 2 SCL(α0) (16.25)<br />
Per il profilo scelto, in prossimità <strong>del</strong>l’angolo <strong>di</strong> incidenza <strong>di</strong> riferimento considerato la pendenza <strong>del</strong>la<br />
curva statica 6 <strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> portanza, come riportato in figura 16.5, è negativa e molto maggiore<br />
<strong>del</strong> coefficiente <strong>di</strong> resistenza, per cui il contributo <strong>di</strong> origine aero<strong>di</strong>namica allo smorzamento <strong>del</strong> sistema<br />
è instabilizzante, ed esisterà sempre una velocità V <strong>di</strong> avanzamento <strong>del</strong>la vettura al <strong>di</strong> sopra <strong>del</strong>la quale<br />
la soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico x0 nel cui intorno il problema è stato linearizzato <strong>di</strong>venta instabile.<br />
6 Si noti che la curva riportata in figura 16.5 si riferisce a misure statiche <strong>di</strong> coefficienti <strong>di</strong> forza (e momento) che, per gli<br />
angoli <strong>di</strong> incidenza <strong>di</strong> interesse per questo problema, includono con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> stallo. In tali con<strong>di</strong>zioni, il valore dei coefficienti<br />
in genere <strong>di</strong>pende non solo dall’angolo <strong>di</strong> incidenza, ma anche dalla sua storia temporale; ovvero, le curve presentano una<br />
isteresi tanto più marcata quanto più sono rapide le variazioni <strong>di</strong> angolo <strong>di</strong> incidenza. Per questo motivo, a rigore, l’analisi<br />
svolta in questo paragrafo è valida solo per fenomeni sufficientemente lenti da poter essere considerati stazionari dal punto<br />
<strong>di</strong> vista <strong>del</strong>l’aero<strong>di</strong>namica. Per ulteriori chiarimenti sul concetto <strong>di</strong> approssimazione stazionaria si veda la nota 9.<br />
16-6
Infatti se, per un dato α0<br />
�<br />
dCL(α)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dα<br />
� α=α0<br />
allora esiste un valore <strong>di</strong> V per cui<br />
ovvero<br />
req = rs + 1<br />
2 ρVS<br />
+CD(α0) < 0 (16.26)<br />
� �<br />
dCL(α)<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dα<br />
� α=α0<br />
+CD(α0)<br />
Di conseguenza, le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico <strong>del</strong>l’equazione<br />
�<br />
< 0 (16.27)<br />
ms¨x+req ˙x+ksx = 0 (16.28)<br />
λ1|2 = − req<br />
±<br />
2ms<br />
� � req<br />
2ms<br />
� 2<br />
− ks<br />
ms<br />
(16.29)<br />
se, come probabile, hanno <strong>di</strong>scriminante negativo, e quin<strong>di</strong> sono complesse coniugate, hanno sicuramente<br />
parte reale positiva; se viceversa hanno <strong>di</strong>scriminante positivo e quin<strong>di</strong> sono reali e <strong>di</strong>stinte, almeno una<br />
ra<strong>di</strong>ce è sicuramente maggiore <strong>di</strong> zero.<br />
Siccomel’origine<strong>del</strong>l’instabilitàèlegataadunanonlinearità<strong>del</strong>legametrailcoefficienteaero<strong>di</strong>namico<br />
e l’angolo <strong>di</strong> incidenza, per effetto <strong>di</strong> un fenomeno complesso come lo stallo, non è possibile ricavare da<br />
queste considerazioni alcuna informazione sulla stabilità <strong>del</strong> problema nel suo insieme, se non l’instabilità<br />
<strong>del</strong>la soluzione <strong>di</strong> equilibrio statico. A volte, con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> instabilità <strong>di</strong> questo tipo, dovute ad effetti non<br />
lineari che insorgono in problemi altrimenti lineari e stabili, risultano in una evoluzione <strong>del</strong>la soluzione<br />
da equilibrio statico ad un ciclo limite, ovvero ad una soluzione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico perio<strong>di</strong>co, con<br />
un’ampiezza limitata ma finita. Un fenomeno <strong>di</strong> questo tipo è il cosiddetto flutter da stallo.<br />
16.2 Sistemi vibranti a 2 gdl perturbati nell’intorno <strong>del</strong>la posizione<br />
<strong>di</strong> equilibrio<br />
Esten<strong>di</strong>amo ai sistemi a 2 gdl quanto già visto per i sistemi a un solo grado <strong>di</strong> libertà, andando a valutare<br />
la stabilità <strong>del</strong>le soluzioni <strong>di</strong> equilibrio statico <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong> questo tipo.<br />
Le equazioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>namico per il sistema <strong>di</strong> figura 16.6 sono<br />
m¨x+rx˙x+kxx = Fx(x,y, ˙x, ˙y) (16.30a)<br />
m¨y +ry ˙y +kyy = Fy(x,y, ˙x, ˙y) (16.30b)<br />
dove i termini Fx e Fy dovuti al campo <strong>di</strong> forze sono funzioni non lineari <strong>di</strong> x e y e <strong>del</strong>le loro derivate<br />
rispetto al tempo. In linea <strong>di</strong> principio tali forze possono <strong>di</strong>pendere da derivate <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne arbitrario <strong>del</strong>le<br />
coor<strong>di</strong>nate libere (ad esempio, in figura 16.30, fino al secondo or<strong>di</strong>ne). Senza ledere la generalità, nel<br />
seguito si considera la <strong>di</strong>pendenza soltanto fino al primo or<strong>di</strong>ne.<br />
Il sistema <strong>di</strong> equazioni (16.30) può essere riscritto in forma matriciale come<br />
[M]{¨z}+[R]{˙z}+[K]{z} = {F ({z},{˙z})} (16.31)<br />
16-7
con<br />
Figura 16.6: Sistema a 2 gdl immerso in un campo <strong>di</strong> forze.<br />
� �<br />
x<br />
{z} =<br />
y<br />
� �<br />
Fx(x,y, ˙x, ˙y)<br />
{F ({z},{˙z})} =<br />
Fy(x,y, ˙x, ˙y)<br />
� �<br />
m 0<br />
[M] =<br />
0 m<br />
� �<br />
rx 0<br />
[R] =<br />
0 ry<br />
� �<br />
kx 0<br />
[K] =<br />
0 ky<br />
Del sistema potremo calcolare una 7 posizione <strong>di</strong> equilibrio statico, se esiste, definita da<br />
(16.32)<br />
(16.33)<br />
(16.34)<br />
(16.35)<br />
(16.36)<br />
[K]{z0} = {F ({z0},{0})} (16.37)<br />
ovvero con {z} = {z0} e {˙z} = {0}, e quin<strong>di</strong>, nell’intorno <strong>di</strong> tale soluzione, linearizzare il campo <strong>di</strong> forze<br />
{F ({z},{˙z})} ∼ � � � �<br />
∂{F}<br />
∂{F}<br />
= {F ({z0},{0})}+ ({z}−{z0})+ {˙z} (16.38)<br />
∂{z} {z0},{0} ∂{˙z} {z0},{0}<br />
ma<br />
⎡<br />
� �<br />
∂{F} ⎢<br />
= ⎢<br />
∂{z} ⎣<br />
{z0},{0}<br />
⎡<br />
� �<br />
∂{F} ⎢<br />
= ⎢<br />
∂{˙z} ⎣<br />
{z0},{0}<br />
∂Fx<br />
∂x<br />
∂Fy<br />
∂x<br />
∂Fx<br />
∂˙x<br />
∂Fy<br />
∂˙x<br />
⎤<br />
∂Fx<br />
∂y<br />
⎥<br />
∂Fy ⎦<br />
∂y<br />
⎤<br />
∂Fx<br />
∂˙y<br />
⎥<br />
∂Fy ⎦<br />
∂˙y<br />
{z0},{0}<br />
{z0},{0}<br />
= −[KF] (16.39a)<br />
= −[RF] (16.39b)<br />
In<strong>di</strong>cando con il vettore {z} gli spostamenti a partire dalla posizione <strong>di</strong> equilibrio statico<br />
{z} = {z0}+{z} (16.40)<br />
il sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali <strong>di</strong> partenza può essere riscritto come<br />
[M] � ¨z � +([R]+[RF]) � ˙z � +([K]+[KF]){z} = {0} (16.41)<br />
7 Dato che le equazioni non sono lineari, possono esistere più soluzioni <strong>di</strong> equilibrio statico, o nessuna.<br />
16-8
ovvero, con ovvio significato dei simboli,<br />
[M] � ¨z � +[RT] � ˙z � +[KT]{z} = {0} (16.42)<br />
Si ottiene un sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari omogenee a coefficienti costanti la cui soluzione<br />
è <strong>del</strong> tipo<br />
{z(t)} = � Z � e λt<br />
(16.43)<br />
dove λ sono le ra<strong>di</strong>ci <strong>di</strong><br />
� λ 2 [M]+λ[RT]+[KT] �� Z � e λt = {0} (16.44)<br />
Analizziamo separatamente i vari casi che possono presentarsi.<br />
16.2.1 Campo <strong>di</strong> forze puramente posizionale<br />
In questo caso il sistema si riduce a<br />
[M] � ¨z � +[R] � ˙z � +[KT]{z} = {0} (16.45)<br />
ovvero, trascurando lo smorzamento strutturale [R], in genere limitato, si ottiene<br />
[M] � ¨z � +[KT]{z} = {0} (16.46)<br />
da cui si ha il problema agli autovalori<br />
� λ 2 [M]+[KT] �� Z � e λt = {0} (16.47)<br />
Essendo la matrice [M] reale, simmetrica e definita positiva, tutti i suoi minori principali dominanti<br />
sono positivi, ovvero<br />
p1 = m11 > 0; p2 = m11m22 −m12m21 > 0 (16.48)<br />
Analogamente ciò vale per la matrice [K]<br />
p1 = k11 > 0; p2 = k11k22 −k12k21 > 0 (16.49)<br />
Per quanto riguarda la matrice [KF], possono presentarsi due casi:<br />
• il campo <strong>di</strong> forze è conservativo, per cui<br />
∂Fx<br />
∂y<br />
= ∂Fy<br />
∂x<br />
e la matrice [KF] risulta simmetrica;<br />
• il campo <strong>di</strong> forze non è conservativo, per cui<br />
∂Fx<br />
∂y<br />
�= ∂Fy<br />
∂x<br />
e la matrice [KF] non risulta simmetrica;<br />
In entrambi i casi, tuttavia, i valori <strong>di</strong> λ sono comunque le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio<br />
ovvero<br />
(16.50)<br />
(16.51)<br />
m11m22λ 4 +(m11kT22 +m22kT11)λ 2 +(kT11kT22 −kT12kT21) = 0 (16.52)<br />
aλ 4 +bλ 2 +c = 0 (16.53)<br />
16-9
con<br />
a = m11m22<br />
b = m11kT22 +m22kT11<br />
(16.54a)<br />
(16.54b)<br />
c = kT11kT22 −kT12kT21. (16.54c)<br />
Le generiche ra<strong>di</strong>ci sono date dalla relazione<br />
λ 2 b<br />
1|2,3|4 = −<br />
2a ±<br />
�<br />
� �2 b<br />
−<br />
2a<br />
c<br />
a<br />
ove a > 0 dal momento che la matrice <strong>di</strong> massa è definita positiva.<br />
Campo <strong>di</strong> forze conservativo<br />
Si possono presentare due casi:<br />
• la matrice [KT] è definita positiva, ovvero<br />
(16.55)<br />
p1 = kT11 > 0; p2 = kT11kT22 −k 2 T12 > 0 (16.56)<br />
con b > 0 e c > 0, in quanto kT21 = kT12 perché il campo <strong>di</strong> forze è conservativo. Le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong><br />
polinomio caratteristico (16.55) risultano essere<br />
λ 2 1|2,3|4<br />
essendo nella (16.55)<br />
< 0, (16.57)<br />
c<br />
> 0, (16.58)<br />
a<br />
per cui i quattro autovalori sono tutti immaginari, come illustrato in figura 16.7(a), e il moto libero<br />
risultante è semplicemente stabile; è realistico pensare che si annulli per effetto <strong>del</strong>l’inevitabile<br />
smorzamento strutturale, fin qui trascurato.<br />
• la matrice [KT] non è definita positiva, ovvero o<br />
oppure<br />
p1 = kT11 < 0 (16.59)<br />
p2 = kT11kT22 −k 2 T12 < 0 (16.60)<br />
oppure entrambe le con<strong>di</strong>zioni sono verificate. Nell’ipotesi che p2 < 0 avremo che nella (16.55)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
a<br />
< 0 (16.61)<br />
c<br />
λ 2 1|2<br />
λ 2 3|4<br />
> 0 (16.62a)<br />
< 0. (16.62b)<br />
La prima ra<strong>di</strong>ce porta a due valori <strong>di</strong> λ reali ed opposti, come illustrato in figura 16.7(b), che<br />
danno luogo per la soluzione positiva a un fenomeno <strong>di</strong> instabilità statica (<strong>di</strong>vergenza) essendo la<br />
soluzione data dalla (16.43). La stessa con<strong>di</strong>zione si può verificare per p1 < 0.<br />
16-10
Campo <strong>di</strong> forze non conservativo<br />
Accade che<br />
∂Fx<br />
∂y<br />
�= ∂Fy<br />
∂x<br />
(a) Stabile per c/a > 0. (b) Instabile per c/a < 0.<br />
Figura 16.7: Autovalori <strong>di</strong> un sistema conservativo.<br />
e la matrice [KT] risulta non simmetrica.<br />
Ricordando che le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico sono date dalla (16.55), ovvero<br />
con<br />
λ 2 1|2,3|4<br />
∆ =<br />
se risulta che<br />
si ottiene<br />
1<br />
�<br />
= −b±<br />
2a<br />
√ �<br />
∆<br />
� �2 b<br />
−<br />
2a<br />
c<br />
a<br />
(16.63)<br />
(16.64)<br />
(16.65)<br />
∆ < 0 (16.66)<br />
λ 2 1|2,3|4<br />
1<br />
�<br />
= −b±i<br />
2a<br />
� �<br />
|∆|<br />
= e∓itan−1 (|∆|/b)<br />
2a<br />
� e<br />
b2 +|∆| = ∓iα�<br />
b2 +|∆| (16.67)<br />
2a<br />
e quin<strong>di</strong><br />
� � � � � � ��<br />
1 �<br />
λ1|2 = ± b2 iα/2 1 � α α<br />
+|∆|e = ± b2 +|∆| cos +isin = ±(ψ1 +iψ2) (16.68)<br />
2a 2a 2 2<br />
�<br />
� � � � � ��<br />
1 �<br />
λ3|4 = ± b2 −iα/2 1 � α α<br />
+|∆|e = ± b2 +|∆| cos −isin = ±(ψ1 −iψ2)<br />
2a<br />
2a 2 2<br />
(16.69)<br />
Le ra<strong>di</strong>ci sono illustrate in figura 16.8(a). Ricordando la soluzione generale (16.43), sappiamo che, come<br />
più volte mostrato, ciascuna coppia <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ci coniugate, quando vengono imposte le con<strong>di</strong>zioni iniziali,<br />
fornisce una soluzione puramente reale<br />
{z(t)} = � � �� �� � � �� �� (ψ1+iψ2)t −(ψ1+iψ2)t (ψ1−iψ2)t −(ψ1−iψ2)t<br />
Z1 e +conj Z1 e + Z2 e +conj Z2 e (16.70)<br />
16-11
(a) Instabile per ∆ < 0. (b) Instabile per matrice [RT] non<br />
definita.<br />
Figura 16.8: Autovalori <strong>di</strong> un sistema non conservativo.<br />
<strong>del</strong>le quali quella con parte reale positiva è esponenzalmente espansiva (instabile), mentre l’altra è esponenzialmente<br />
contrattiva (asintoticamente stabile). Ovvero il moto libero risultante è ellittico e instabile<br />
con pulsazione ψ2. Il fenomeno, in aeroelasticità, prende il nome <strong>di</strong> flutter.<br />
Se invece<br />
e<br />
∆ > 0 (16.71)<br />
c < 0 (16.72)<br />
si avrà b < √ ∆ e quin<strong>di</strong>, essendo<br />
λ 2 1|2,3|4<br />
1<br />
�<br />
= −b±<br />
2a<br />
√ �<br />
∆<br />
(16.73)<br />
avremo due soluzioni reali opposte e due immaginarie coniugate, con quella reale positiva che porta<br />
alla <strong>di</strong>vergenza, in analogia con quanto illustrato in figura 16.7(b) per la possibile instabilità dei sistemi<br />
conservativi.<br />
Gli altri casi portano a soluzioni armoniche stabili, <strong>di</strong>fferenti solo nei valori <strong>del</strong>le frequenze proprie<br />
da quello già trattato nel caso <strong>di</strong> campo <strong>di</strong> forze conservativo.<br />
Banale è poi il caso in cui la matrice [RT] sia definita negativa, o non definita, come illustrato<br />
in figura 16.8(b). Il sistema sarà soggetto a fenomeni <strong>di</strong> instabilità <strong>di</strong>namica, con ampiezze crescenti<br />
esponenzialmente nel tempo.<br />
16.2.2 Instabilità aeroelastica <strong>del</strong>la“sezione tipica”<br />
La <strong>di</strong>namica <strong>di</strong> un corpo aero<strong>di</strong>namico deformabile immerso in un fluido rappresenta un problema <strong>di</strong><br />
notevole complessità. Tuttavia, l’essenza dei fenomeni che lo coinvolgono può essere descritta efficacemente<br />
da un mo<strong>del</strong>lo piuttosto semplice e tuttavia rappresentativo <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong> particolare importanza<br />
in aeronautica e in meccanica in genere, detto“sezione tipica”. Questo mo<strong>del</strong>lo, descritto in figura 16.9,<br />
è costituito da un profilo alare che si muove nel suo piano; <strong>di</strong> esso si considerano solo i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>di</strong><br />
traslazione in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare alla corrente asintotica e <strong>di</strong> rotazione attorno all’asse <strong>di</strong> beccheggio.<br />
In prima approssimazione, può essere ritenuto rappresentativo <strong>di</strong> un’ala ad elevato allungamento<br />
senza freccia, o <strong>del</strong>la sezione <strong>di</strong> un ponte sospeso, o <strong>di</strong> una superficie aero<strong>di</strong>namica <strong>di</strong> automobile da<br />
corsa.<br />
16-12
Figura 16.9: Sezione tipica: profilo alare immerso in un fluido, soggetto a in moto piano.<br />
Le equazioni semplificate 8 che descrivono la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> figura 16.9 sono:<br />
m¨x+rx˙x+kxx = Lcosψ +Dsinψ (16.74a)<br />
J ¨ θ +rxl 2˙ θ +kxl 2 θ = M (16.74b)<br />
dove ψ è l’angolo tra la velocità relativa Vr <strong>del</strong>la vena e la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la corrente in<strong>di</strong>sturbata V∞,<br />
supposta costante, mentre l è la <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> entrambi i complessi molla-smorzatore dal punto a cui è<br />
riferita la rotazione.<br />
Esercizio 16.1 Si ricavino le equazioni <strong>del</strong> moto (16.74).<br />
Si noti che, nel puro moto rotatorio, ogni punto <strong>del</strong>la superficie <strong>del</strong> profilo possiede una velocità <strong>di</strong><br />
trascinamento <strong>di</strong>versa, quin<strong>di</strong> la velocità relativa Vr varia da punto a punto <strong>del</strong> profilo. Non sarebbe<br />
quin<strong>di</strong> lecito utilizzare l’approssimazione stazionaria 9 <strong>del</strong>le forze aero<strong>di</strong>namiche, dal momento che questa<br />
8 Le equazioni qui riportate, per semplicità, si basano sull’assunto che il punto nel piano <strong>del</strong>la sezione a cui si riferiscono<br />
le coor<strong>di</strong>nate libere sia simultaneamente il baricentro ed il centro <strong>di</strong> taglio <strong>del</strong>la sezione tipica. Di conseguenza, le matrici <strong>di</strong><br />
massa e <strong>di</strong> rigidezza sono <strong>di</strong>agonali, cosa abbastanza rara e, d’altra parte, non sempre desiderabile nelle normali costruzioni<br />
aeronautiche.<br />
9 Con il termine approssimazione stazionaria si intende che <strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong>namico si considera solo la parte statica,<br />
ovvero si assume che il sistema risponda istantaneamente ad un ingresso con la sola risposta statica. Per fare un esempio<br />
meccanico, è come se <strong>di</strong> un sistema ad un grado <strong>di</strong> libertà, retto dall’equazione<br />
m¨x+r˙x+kx = f, (16.75)<br />
a con<strong>di</strong>zione che sia asintoticamente stabile, si considerasse solo la parte<br />
kx ∼ = f (16.76)<br />
Questa approssimazione è sicuramente drastica in assoluto, ma può essere ritenuta ragionevole, ad esempio, se il sistema<br />
viene forzato da una forzante armonica <strong>di</strong> frequenza ω ≪ � k/m.<br />
Le forze aero<strong>di</strong>namiche, al pari <strong>del</strong>le forze meccaniche ed in totale analogia con i sistemi elettro- ed idromeccanici stu<strong>di</strong>ati<br />
nei paragrafi precedenti, sono descrivibili sotto forma <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong>namici, che, ad esempio, per un profilo alare consentono <strong>di</strong><br />
descrivere i coefficienti <strong>di</strong> forza e momento in funzione <strong>del</strong>la storia temporale <strong>del</strong>l’angolo <strong>di</strong> incidenza. In altre parole, sono<br />
descritte dall’uscita <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong>namico il cui ingresso è l’angolo <strong>di</strong> incidenza. Per molte applicazioni pratiche, ogni volta<br />
che la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>l’aero<strong>di</strong>namica è caratterizzata da costanti <strong>di</strong> tempo molto più piccole <strong>di</strong> quelle degli ingressi, nel nostro<br />
caso legati al movimento <strong>del</strong>la struttura e quin<strong>di</strong>, in prima battuta, alle frequenze proprie <strong>del</strong> sistema meccanico, il sistema<br />
<strong>di</strong>namico che descrive le forze aero<strong>di</strong>namiche può essere approssimato nella forma stazionaria, ovvero considerandone solo<br />
la parte statica.<br />
La stima <strong>del</strong>le costanti <strong>di</strong> tempo <strong>del</strong>le forze aero<strong>di</strong>namiche si basa sul concetto <strong>di</strong> frequenza ridotta; ovvero, nell’ipotesi<br />
che la rilevanza <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>l’aero<strong>di</strong>namica che interessa il corpo sia legata al tempo in cui una particella <strong>di</strong> fluido<br />
interagisce con il corpo stesso, ovvero alla lunghezza caratteristica <strong>del</strong> corpo nella <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> flusso (la corda c per un<br />
profilo alare, o meglio la semicorda secondo una certa letteratura) <strong>di</strong>visa per la velocità <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong> flusso (V∞),<br />
si definisce la frequenza ridotta come il numero a<strong>di</strong>mensionale che esprime il rapporto tra la pulsazione <strong>del</strong> movimento e<br />
questa misura caratteristica <strong>del</strong>la velocità <strong>del</strong>l’aero<strong>di</strong>namica:<br />
frequenza ridotta = k = ωc<br />
2V∞<br />
16-13<br />
(16.77)
Figura 16.10: Composizione <strong>del</strong>le velocità <strong>del</strong> vento V∞ e <strong>del</strong> corpo ˙x a dare l’angolo <strong>di</strong> incidenza<br />
cinematico ψ.<br />
presuppone l’esistenza <strong>di</strong> un angolo <strong>di</strong> incidenza definito per tutto il profilo; senonché, è possibile <strong>di</strong>mostrare<br />
che riferendosi alla velocità <strong>di</strong> trascinamento <strong>di</strong> un punto P1 <strong>del</strong> profilo alare, in genere vicino<br />
al bordo d’attacco 10 , posto a una certa <strong>di</strong>stanza b1 dall’asse <strong>di</strong> rotazione, è possibile utilizzare ancora<br />
l’approssimazione stazionaria.<br />
In pratica, per il calcolo <strong>del</strong>le forze aero<strong>di</strong>namiche, si utilizza l’angolo <strong>di</strong> incidenza instazionario<br />
calcolato con la velocità relativa <strong>di</strong> P1.<br />
L’approssimazione stazionaria è comunemente accettata per frequenze ridotte inferiori a 0.01, ma c’è chi fa salire questo<br />
numero fino a 0.1 ed oltre.<br />
10 Alcuni autori, utilizzando la teoria dei profili sottili applicata ad una lamina piana in moto oscillatorio armonico, fanno<br />
cadere questo punto a 3/4 <strong>del</strong>la corda, quin<strong>di</strong> in posizione opposta al centro aero<strong>di</strong>namico che, per la medesima teoria, cade<br />
ad 1/4 <strong>del</strong>la corda. Tuttavia, i risultati ottenuti in questo modo sono a volte in contrasto con l’evidenza sperimentale. La<br />
motivazione sostanziale è legata al fatto che l’approssimazione stazionaria <strong>del</strong>le forze e <strong>del</strong> momento aero<strong>di</strong>namico non è in<br />
grado <strong>di</strong> descriverne la <strong>di</strong>pendenza dalla sola velocità <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong> profilo, perché non contiene l’informazione associata<br />
a questo ingresso; sono necessarie approssimazioni <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore, ad esempio l’approssimazione quasi-stazionaria.<br />
Quest’ultima parte dalla definizione dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici come risposta <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong>namico<br />
CA(s) = H (s)α(s) (16.78)<br />
Se la soluzione <strong>di</strong> interesse è caratterizzata da una bassa frequenza ridotta, è ragionevole supporre che uno sviluppo in serie<br />
<strong>di</strong> Taylor attorno alla frequenza nulla possa descriverne, in prima battuta, la <strong>di</strong>namica. Quin<strong>di</strong><br />
H (s) ∼ = H (0)+ ∂H<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂s � s+<br />
s=0<br />
1<br />
2<br />
∂ 2 H<br />
∂s 2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� s<br />
s=0<br />
2<br />
(16.79)<br />
Si verifica che la parte reale <strong>del</strong>la funzione complessa H (s) è simmetrica rispetto all’asse immaginario, mentre la parte<br />
immaginaria è antisimmetrica; quin<strong>di</strong>, se la funzione è regolare nell’intorno <strong>di</strong> 0, la si può valutare in 0 assieme alle sue<br />
derivate rispetto a s, ottenendo numeri reali. Ma quando si moltiplica la (16.79) per α(s), si ha che sα(s) nel dominio<br />
<strong>del</strong> tempo corrisponde a ˙α(t), mentre s 2 α(s) nel dominio <strong>del</strong> tempo corrisponde a ¨α(t); quin<strong>di</strong>, dal momento che la<br />
funzione <strong>di</strong> trasferimento H e le sue derivate sono costanti in quanto valutate a frequenza nulla, l’approssimazione <strong>del</strong>la<br />
relazione (16.78) ottenuta me<strong>di</strong>ante la (16.79) può essere rappresentata nel dominio <strong>del</strong> tempo come<br />
CA(t) ∼ = H (0)α(t)+ ∂H<br />
∂s<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
s=0<br />
˙α(t)+ 1<br />
2<br />
∂ 2 H<br />
∂s 2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ¨α(t) (16.80)<br />
s=0<br />
Se ci si ferma al termine <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 0 si ottiene l’approssimazione stazionaria; le approssimazioni ottenute considerando<br />
termini <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore vanno sotto il nome generale <strong>di</strong> approssimazione quasi-stazionaria.<br />
L’errore che si ottiene considerando anche l’effetto <strong>del</strong>l’incidenza associata a ˙ θ nell’approssimazione stazionaria è<br />
essenzialmente dovuto al fatto che si sta scrivendo qualcosa <strong>del</strong> tipo<br />
CA(t) ∼ �<br />
= H (0) α(t)+ b1<br />
�<br />
˙θ(t)<br />
V∞<br />
(16.81)<br />
che, come si può notare, è ben <strong>di</strong>verso dalla (16.80) arrestata al primo or<strong>di</strong>ne: innanzitutto ˙ θ è solo una porzione <strong>di</strong> ˙α,<br />
inoltre manca completamente l’informazione su ∂H/∂s. Ciò nonostante, l’uso <strong>del</strong>la (16.81) per frequenze ridotte molto<br />
piccole da una parte è ritenuto accettabile, dall’altra è desiderabile perché consente <strong>di</strong> introdurre smorzamento <strong>di</strong> natura<br />
aero<strong>di</strong>namica anche sulla coor<strong>di</strong>nata libera <strong>di</strong> rotazione, pur conoscendo soltanto i coefficienti aero<strong>di</strong>namici stazionari. Per<br />
una formalizzazione <strong>del</strong> concetto <strong>di</strong> approssimazione <strong>di</strong> mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong>namici si rimanda al capitolo 15.<br />
16-14
Varrà quin<strong>di</strong><br />
Vt = ˙x+b1 ˙ θ (16.82)<br />
�<br />
Vr = V 2 �<br />
∞ + ˙x+b1 ˙ �2 θ<br />
(16.83)<br />
ψ = −tan −1<br />
�<br />
˙x+b1 ˙ �<br />
θ<br />
(16.84)<br />
V∞<br />
Se si considerano piccole perturbazioni <strong>di</strong> x e θ attorno all’equilibrio, valgono le consuete approssimazioni<br />
�<br />
sinψ = sin − ˙x+b1 ˙ �<br />
θ<br />
∼= −<br />
Vr<br />
˙x+b1 ˙ θ<br />
(16.85)<br />
V∞<br />
cosψ = V∞ ∼= 1 (16.86)<br />
Vr<br />
L’angolo <strong>di</strong> incidenza che si utilizza per il calcolo dei coefficienti aero<strong>di</strong>namici secondo l’approssimazione<br />
stazionaria è quin<strong>di</strong>, ad ogni istante <strong>di</strong> tempo, dato dalla somma <strong>del</strong>l’angolo <strong>di</strong> incidenza cinematica<br />
ψ, ottenuto considerando l’angolo formato dalla velocità relativa, per composizione <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong><br />
traslazione <strong>del</strong> corpo e <strong>del</strong>la velocità <strong>del</strong> vento, con una <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> riferimento sul corpo, e <strong>del</strong>l’angolo<br />
<strong>di</strong> incidenza geometrica θ, legato alla rotazione <strong>del</strong>la linea <strong>di</strong> riferimento rispetto al vento asintotico,<br />
ovvero<br />
α = ψ +θ ∼ = − ˙x+b1 ˙ θ<br />
+θ (16.87)<br />
V∞<br />
per cui il sistema <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali che descrive il moto <strong>del</strong>la sezione tipica <strong>di</strong>venta<br />
� �� � �<br />
m 0 ¨x rx 0<br />
0 J ¨θ<br />
+<br />
0 rxl2 �� � �<br />
˙x kx 0<br />
˙θ<br />
+<br />
0 kxl2 �� �<br />
x<br />
=<br />
θ<br />
1<br />
�<br />
2 CL(α)cosψ +CD(α)sinψ<br />
ρVr S<br />
2 cCM (α)<br />
(16.88)<br />
dove ai coefficienti <strong>di</strong> portanza e resistenza si aggiunge il coefficiente <strong>di</strong> momento CM rispetto al punto a<br />
cui è riferita la rotazione θ, mentre la corda c viene aggiunta per una corretta <strong>di</strong>mensionalizzazione <strong>del</strong><br />
momento aero<strong>di</strong>namico.<br />
Dopo aver linearizzato attorno alla posizione <strong>di</strong> equilibrio, che per semplicità si assume essere α = 0,<br />
e considerando un profilo simmetrico quale il NACA0009 <strong>di</strong> figura 16.11, per il quale i coefficienti <strong>di</strong><br />
portanza e <strong>di</strong> momento rispetto al centro aero<strong>di</strong>namico sono nulli per α = 0, mentre il coefficiente <strong>di</strong><br />
resistenza presenta un minimo, si ottiene:<br />
≈2π<br />
CL(α)cosψ +CD(α)sinψ ∼ � �� =0 � �<br />
� �� � � dCL�<br />
= CL(0)+ � α−CD(0)<br />
dα �<br />
α=0<br />
˙x+b1 ˙ θ<br />
(16.89a)<br />
V∞<br />
CM (α) ∼ = CM (0) +<br />
� �� �<br />
=0<br />
dCM<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� α (16.89b)<br />
dα �<br />
α=0<br />
Sostituendo ad α la sua espressione (16.87) in funzione <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate libere, e rior<strong>di</strong>nando i termini<br />
<strong>del</strong>le equazioni, le forze <strong>di</strong> campo linearizzate possono essere scritte, in forma matriciale, come<br />
� �<br />
F<br />
= −<br />
M<br />
1<br />
2 ρV 2 ⎡<br />
1 � � b1 �<br />
⎢ CL/α +CD(0) CL/α +CD(0)<br />
∞S⎢<br />
V∞ V∞<br />
⎣<br />
�<br />
⎤<br />
� �<br />
⎥<br />
˙x<br />
c cb1 ⎦ ˙θ<br />
CM/α CM/α V∞ V∞<br />
− 1<br />
2 ρV 2 � �� �<br />
0 −CL/α x<br />
∞S<br />
(16.90)<br />
0 −cCM/α θ<br />
16-15<br />
�<br />
,
Figura 16.11: Curve CL-α, CD-α e CM-α <strong>del</strong> profilo NACA 0009.<br />
16-16
dove per praticità si è usata la notazione C /α ≡ dC/dα, per cui<br />
⎡<br />
rx ⎢ +<br />
[RT] = ⎣<br />
1<br />
2 ρV∞S � � 1<br />
CL/α +CD(0)<br />
2 ρV∞Sb1<br />
�<br />
CL/α +CD(0) �<br />
1<br />
2 ρV∞ScCM/α rxl2 + 1<br />
2 ρV∞Sb1cC<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ (16.91)<br />
M/α<br />
⎡<br />
kx ⎢ −<br />
[KT] = ⎣<br />
1<br />
2 ρV 2 ∞SCL/α 0 kxl2 − 1<br />
2 ρV 2 ⎤<br />
⎥<br />
⎦ (16.92)<br />
∞ScCM/α Instabilità legate allo smorzamento aero<strong>di</strong>namico<br />
Dall’analisi <strong>del</strong>le matrici (16.91, 16.92) si deduce la possibilità <strong>di</strong> avere instabilità <strong>di</strong>namica per il grado<br />
<strong>di</strong> libertà <strong>di</strong> spostamento (tipicamente associato alla flessione <strong>del</strong>l’ala) se<br />
rx + 1<br />
2 ρV∞S � C L/α +CD(0) � < 0, (16.93)<br />
mentre il profilo sarebbe instabile per quanto concerne il grado <strong>di</strong> libertà torsionale se<br />
rxl 2 + 1<br />
2 ρV∞Sb1cC M/α < 0. (16.94)<br />
Senessuna<strong>del</strong>lecon<strong>di</strong>zioni(16.93, 16.94)èverificata, lamatrice[RT]risultadefinitapositivaacon<strong>di</strong>zione<br />
che il suo determinante sia positivo, ovvero<br />
�<br />
rx rxl 2 �<br />
1<br />
+<br />
2 ρV∞S<br />
�2�l 2� CL/α +CD(0) � �<br />
+b1cCM/α �<br />
> 0. (16.95)<br />
Come è noto, per i profili alari normalmente usati si ha C L/α > 0 (pari a circa 2π) per piccoli<br />
angoli <strong>di</strong> incidenza, lontano dall’incidenza <strong>di</strong> stallo. Sempre nell’ipotesi <strong>di</strong> angoli <strong>di</strong> incidenza lontani da<br />
quello <strong>di</strong> stallo, il coefficiente <strong>di</strong> momento, quando è riferito al centro aero<strong>di</strong>namico <strong>del</strong> profilo, ovvero<br />
CM = CMCA, per definizione non <strong>di</strong>pende dall’angolo <strong>di</strong> incidenza; quin<strong>di</strong>, per piccoli angoli <strong>di</strong> incidenza<br />
C MCA/α ≡ 0. Seviceversailpuntoal qualesonoriferitele coor<strong>di</strong>nateliberesi trovainposizionearretrata<br />
rispetto al centro aero<strong>di</strong>namico, detta e la <strong>di</strong>stanza tra tale punto ed il centro aero<strong>di</strong>namico, il coefficiente<br />
<strong>di</strong> momento CM nel generico punto <strong>di</strong> riferimento si ricava dalla relazione<br />
1<br />
2 ρV 2 ScCM (α) = 1<br />
2 ρV 2 ScCMCA + 1<br />
2 ρV 2 SeCL(α) (16.96)<br />
e quin<strong>di</strong>, dato che ci occorre solo la sua derivata rispetto all’angolo <strong>di</strong> incidenza,<br />
C M/α = e<br />
c C L/α<br />
(16.97)<br />
in quanto, come affermato in precedenza, C MCA/α ≡ 0 per definizione <strong>di</strong> centro aero<strong>di</strong>namico. Ne<br />
consegue che un’instabilità associata ad un eventuale smorzamento aero<strong>di</strong>namico negativo è improbabile,<br />
ma il fenomeno potrebbe avvenire per profili con elevata sezione frontale (ad esempio, travi a semplice o<br />
doppio T, ecc.).<br />
Flutter<br />
Tuttavia, analizzando la matrice [KT], dove si è fatto uso <strong>del</strong>la (16.97), il termine<br />
kT22 = kxl 2 − 1<br />
2 ρV 2 ∞ScC M/α = kxl 2 − 1<br />
2 ρV 2 ∞SeC L/α<br />
16-17<br />
(16.98)
(a) Coalescenza lungo l’asse immaginario<br />
<strong>di</strong> due frequenze proprie che si <strong>di</strong>partono<br />
in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare all’asse<br />
dando luogo ad una soluzione<br />
instabile (flutter).<br />
(b) Qualora sia presente smorzamento, le<br />
ra<strong>di</strong>ci non coalescono, ma evolvono in <strong>di</strong>rezioni<br />
<strong>di</strong>verse; il flutter potrebbe anche non<br />
avere luogo.<br />
Figura 16.12: Coalescenza, al crescere <strong>del</strong>la velocità V∞, <strong>di</strong> due frequenze proprie; per semplicità sono<br />
mostrate solo le ra<strong>di</strong>ci con parte immaginaria positiva.<br />
<strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> rigidezza mostra come le forze aero<strong>di</strong>namiche possano mo<strong>di</strong>ficare la frequenza propria<br />
torsionale <strong>del</strong> profilo alare riducendola al crescere <strong>del</strong>la velocità, mentre quella flessionale, <strong>di</strong>pendente da<br />
kT11, rimane sostanzialmente costante.<br />
Per cui se, come <strong>di</strong> solito si verifica per le normali costruzioni aerodnautiche, la frequenza propria<br />
torsionale nel vuoto è più alta <strong>di</strong> quella flessionale, e il centro aero<strong>di</strong>namico si trova più avanti (in<br />
genere al 25–27% <strong>del</strong>la corda) rispetto all’asse <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong>la sezione (dal 25% <strong>del</strong>la corda per le<br />
pale <strong>di</strong> elicottero fino al 35–45% per velivoli commerciali), vi sarà sempre una velocità V∞ per cui le<br />
due frequenze <strong>di</strong>verranno molto prossime, dando luogo al fenomeno <strong>del</strong> flutter per coalescenza <strong>del</strong>le<br />
due pulsazioni, come illustrato in figura 16.12(a); nella realtà, la presenza <strong>di</strong> smorzamento sia <strong>di</strong> natura<br />
strutturalechesoprattutto<strong>di</strong>naturaaero<strong>di</strong>namicapotràspostareilfenomenoadunavelocitàpiùelevata,<br />
o ad<strong>di</strong>rittura inibirlo, in quanto gli autovalori tenderanno a comportarsi come in figura 16.12(b): non vi<br />
è una vera e propria coalescenza degli autovalori, che rimangono sempre <strong>di</strong>stinti, ma semplicemente un<br />
avvicinamento lungo la <strong>di</strong>rezione immaginaria, a cui può seguire un allontanamento lungo la <strong>di</strong>rezione<br />
reale.<br />
Divergenza aeroelastica<br />
Il coefficiente kT22 consente anche <strong>di</strong> mettere in luce un’altra forma <strong>di</strong> instabilità aeroelastica, che si<br />
ottiene quando la velocità V∞, e quin<strong>di</strong> la pressione <strong>di</strong>namica, assume un valore tale per cui kT22 = 0<br />
1<br />
2 ρV 2 ∞ =<br />
kxl 2<br />
SeC L/α<br />
(16.99)<br />
Intalecasolamatrice[KT]<strong>di</strong>ventasingolare, equin<strong>di</strong>sihaunacon<strong>di</strong>zione<strong>di</strong>stabilitàstaticain<strong>di</strong>fferente,<br />
ovvero una con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> limite <strong>di</strong> stabilità a frequenza nulla.<br />
Questo fenomeno va sotto il nome <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza aeroelastica, e la velocità a cui avviene si chiama<br />
velocità <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza.<br />
È evidente che se la frequenza <strong>del</strong> modo flessionale è inferiore a quella <strong>del</strong> modo<br />
torsionale nel vuoto, al crescere <strong>del</strong>la velocità V∞ la frequenza torsionale intersecherà quella flessionale<br />
prima <strong>di</strong> annullarsi, e quin<strong>di</strong> la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> flutter viene tipicamente incontrata prima <strong>di</strong> quella <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>vergenza. Per questo motivo, nelle tipiche costruzioni aeronautiche la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza raramente<br />
<strong>di</strong>venta critica, mentre quella <strong>di</strong> flutter è spesso determinante nelle scelte <strong>di</strong> progetto. Tuttavia<br />
la semplice riduzione <strong>di</strong> rigidezza torsionale dovuta alla presenza <strong>del</strong>le forze aero<strong>di</strong>namiche può influenzare<br />
significativamente il comportamento sia statico che <strong>di</strong>namico <strong>del</strong> velivolo già a velocità decisamente<br />
inferiori a quella <strong>di</strong> <strong>di</strong>vergenza, ad esempio sotto forma <strong>di</strong> fenomeni quali l’inversione dei coman<strong>di</strong>.<br />
16-18
Appen<strong>di</strong>ce A<br />
Esempi <strong>di</strong> azionamenti idraulici<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
In questa appen<strong>di</strong>ce vengono presentati esempi <strong>di</strong> azionamenti idraulici.<br />
A.1 Valvola a doppio getto controllata da un motore elettrico<br />
in corrente continua e accoppiata ad un attuatore lineare<br />
Ilcompletamento<strong>del</strong>l’esempio<strong>di</strong>azionamentoidraulicopresentatonelcapitolo12richiederebbelamo<strong>del</strong>lazione<br />
<strong>del</strong>la valvola <strong>di</strong>stributrice e <strong>del</strong> suo sistema <strong>di</strong> attuazione. Se si astrae dal sistema <strong>di</strong> attuazione<br />
<strong>del</strong> pistone <strong>del</strong>la valvola <strong>di</strong>stributrice, generalmente <strong>di</strong> tipo elettrico o misto elettroidraulico, la relativa<br />
mo<strong>del</strong>lazione non è <strong>di</strong>ssimile da quella <strong>del</strong> cilindro attuatore, ragion per cui non dovrebbe essere <strong>di</strong>fficile<br />
completare l’esempio precedente fino a contenere tutti i suoi componenti. Una corretta formulazione<br />
necessita però <strong>di</strong> un approfon<strong>di</strong>mento, non tanto concettuale ma preminentemente associato ad alcuni<br />
dettagli, che richiederebbe un’estensione che mal si concilia con le finalità esemplificative <strong>del</strong>la nostra<br />
presentazione. Si preferisce pertanto completare l’esempio facendo riferimento ad una valvola <strong>di</strong> controllo<br />
<strong>del</strong> flusso a flappeggio, quale quella schematizzata in figura A.1.<br />
A-1
A.1.1 Nomenclatura<br />
Siano:<br />
Figura A.1: Valvola a doppio getto (da Merritt, [2]).<br />
A1 sezione <strong>di</strong> trafilamento tra valvola e alimentazione<br />
A2 sezione <strong>di</strong> trafilamento tra valvola e pistone<br />
Ae sezione <strong>di</strong> trafilamento tra le camere <strong>del</strong> pistone e l’esterno<br />
Ag sezione <strong>del</strong> getto tra le camere <strong>del</strong>la valvola e la camera <strong>del</strong> flap<br />
Ai sezione <strong>di</strong> trafilamento tra le camere <strong>del</strong> pistone<br />
Ap area <strong>del</strong> pistone<br />
Ce0 coefficiente <strong>di</strong> efflusso tra valvola e alimentazione<br />
Ce1 coefficiente <strong>di</strong> efflusso tra valvola e pistone<br />
Ceg coefficiente <strong>di</strong> efflusso tra valvola e camera <strong>del</strong> flap<br />
Cele coefficiente <strong>di</strong> trafilamento tra le camere <strong>del</strong> pistone e l’esterno<br />
Celi coefficiente <strong>di</strong> trafilamento tra le camere <strong>del</strong> pistone<br />
Dg <strong>di</strong>ametro <strong>del</strong> getto tra valvola e flap<br />
F forza esterna agente sul pistone<br />
i corrente elettrica nel motore<br />
kf rigidezza molla <strong>di</strong> richiamo flap<br />
Km costante caratteristica <strong>del</strong> motore elettrico<br />
L induttanza <strong>del</strong> motore elettrico<br />
Lp lunghezza <strong>del</strong> pistone<br />
M massa <strong>del</strong> pistone<br />
Pa pressione <strong>di</strong> alimentazione<br />
Pc1 pressione camera 1 pistone<br />
Pc2 pressione camera 2 pistone<br />
Pe pressione esterna<br />
Ps pressione <strong>di</strong> scarico<br />
Pv1 pressione camera 1 valvola<br />
Pv2 pressione camera 2 valvola<br />
A-2
R resistenza elettrica <strong>del</strong> motore<br />
rp smorzamento <strong>del</strong> pistone <strong>di</strong> natura non idraulica<br />
rf smorzamento <strong>del</strong> flap <strong>di</strong> natura non idraulica<br />
V1 volume camera 1 <strong>del</strong> pistone<br />
V2 volume camera 2 <strong>del</strong> pistone<br />
Vc tensione <strong>di</strong> alimentazione <strong>del</strong> motore<br />
Vv volume camere <strong>del</strong>la valvola<br />
xf spostamento <strong>del</strong> flap<br />
xf0 spostamento massimo <strong>del</strong> flap<br />
xp spostamento <strong>del</strong> pistone<br />
β modulo <strong>di</strong> comprimibilità volumetrica<br />
ρ densità <strong>del</strong> fluido<br />
θf angolo <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong> flap<br />
A.1.2 Equazioni<br />
Le equazioni necessarie alla scrittura <strong>del</strong>la parte idraulica <strong>del</strong> problema sono:<br />
a) bilancio <strong>di</strong> portata:<br />
(Av) entrante −(Av) uscente = dV<br />
dt<br />
V dP<br />
+<br />
β dt<br />
(A.1)<br />
ovverola<strong>di</strong>fferenzatralaportatavolumetricainentratae<strong>di</strong>nuscitaèdatadalladerivatatemporale<br />
<strong>del</strong> volume <strong>del</strong>la camera e dalla variazione <strong>di</strong> densità <strong>del</strong> fluido;<br />
b) per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico laminari:<br />
Q = CelA0∆P (A.2)<br />
c) per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico turbolente:<br />
�<br />
2<br />
Q = CeA0 ∆P (A.3)<br />
ρ<br />
in realtà è più corretto scrivere<br />
�<br />
2<br />
Q = CeA0 |∆P|sign(∆P) (A.4)<br />
ρ<br />
tuttavia, in questo esempio, si assume nota la <strong>di</strong>rezione in cui il flusso avviene;<br />
d) teorema <strong>di</strong> Bernoulli:<br />
P + 1<br />
2 ρv2 = costante (A.5)<br />
Le equazioni che descrivono il problema sono:<br />
1. bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 1 <strong>del</strong>l’attuatore<br />
2. bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 2 <strong>del</strong>l’attuatore<br />
3. bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 1 <strong>del</strong>la valvola<br />
4. bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 2 <strong>del</strong>la valvola<br />
5. equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> pistone<br />
6. equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> flap<br />
7. equazione <strong>del</strong> motore elettrico<br />
A-3
A.1.3 Incognite<br />
Le incognite sono:<br />
i) la posizione <strong>del</strong> pistone, xp, e le sue derivate<br />
ii) l’angolo <strong>di</strong> rotazione <strong>del</strong> flap, θf, e le sue derivate<br />
iii) la pressione nella camera 1 <strong>del</strong> pistone, P1c, e le sue derivate<br />
iv) la pressione nella camera 2 <strong>del</strong> pistone, P2c, e le sue derivate<br />
v) la pressione nella camera 1 <strong>del</strong>la valvola, P1v, e le sue derivate<br />
vi) la pressione nella camera 2 <strong>del</strong>la valvola, P2v, e le sue derivate<br />
vii) la corrente applicata al motore, i.<br />
A.1.4 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 1 <strong>del</strong> pistone<br />
Il volume <strong>del</strong>la camera 1 <strong>del</strong> pistone è V1 = xpAp; il bilancio <strong>di</strong> portata comprende:<br />
• la variazione <strong>di</strong> densità dovuta alla comprimibilità,<br />
V1 ˙<br />
P1c<br />
β<br />
• la variazione <strong>di</strong> volume <strong>del</strong>la camera dovuta allo spostamento <strong>del</strong> pistone, ˙xpAp<br />
• il flusso entrante dalla camera 1 <strong>del</strong>la valvola, <strong>di</strong> tipo turbolento, Ce1A1<br />
�<br />
2<br />
ρ (P1v −P1c)<br />
• il flusso <strong>di</strong> trafilamento verso la camera 2 <strong>del</strong> pistone, <strong>di</strong> tipo laminare, CeliAi(P1c −P2c )<br />
• il flusso <strong>di</strong> trafilamento verso l’esterno, <strong>di</strong> tipo laminare, CeleAe(P1c −Pe)<br />
L’equazione <strong>di</strong>venta:<br />
Apxp<br />
β<br />
˙<br />
P1c = −˙xpAp +Ce1A1<br />
� 2<br />
ρ (P1v −P1c)−CeliAi(P1c −P2c )−CeleAe(P1c −Pe) (A.6)<br />
A.1.5 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 2 <strong>del</strong> pistone<br />
I termini che compaiono in questa equazione sono analoghi a quelli <strong>del</strong>l’equazione precedente; il volume<br />
ora è V2 = Ap(Lp −xp) L’equazione <strong>di</strong>venta:<br />
Ap(Lp −xp)<br />
β<br />
˙<br />
P2c = ˙xpAp −Ce1A1<br />
� 2<br />
ρ (P2c −P2v)+CeliAi(P1c −P2c )−CeleAe(P2c −Pe) (A.7)<br />
si noti che la variazione <strong>di</strong> volume dovuta al movimento <strong>del</strong> pistone è l’opposto <strong>del</strong> caso precedente. Si<br />
noti tuttavia che i flussi verso la valvola e tra le due camere cambiano segno.<br />
A.1.6 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 1 <strong>del</strong>la valvola<br />
Si suppone nulla la variazione <strong>di</strong> volume <strong>del</strong>la camera. Il bilancio è quin<strong>di</strong> costituito dai flussi:<br />
• variazione <strong>di</strong> densità <strong>del</strong> fluido,<br />
Vv ˙<br />
P1v<br />
β<br />
• portata <strong>di</strong> alimentazione, <strong>di</strong> tipo turbolento, Ce0A0<br />
A-4<br />
�<br />
2<br />
ρ (Pa −P1v)
• portata verso la camera 1, <strong>di</strong> tipo turbolento, Ce1A1<br />
�<br />
2<br />
ρ (P1v −P1c)<br />
• portata uscente verso il flap; si assuma che il getto verso il flap sia un cilindro; in prossimità <strong>del</strong>la<br />
superficie <strong>del</strong> flap, il getto si apre in <strong>di</strong>rezione ra<strong>di</strong>ale. La superficie attraverso la quale il getto<br />
fluisce è quin<strong>di</strong> πDg(xf0 −xf), ovvero la circonferenza <strong>del</strong> getto per la <strong>di</strong>stanza <strong>del</strong>l’ugello dal flap.<br />
Questa <strong>di</strong>stanza teorica, in genere, è corretta da un coefficiente determinato sperimentalmente, che<br />
tiene conto <strong>del</strong>la effettiva geometria <strong>del</strong> getto. Il flusso è quin<strong>di</strong><br />
�<br />
2<br />
CegπDg(xf0 −xf)<br />
ρ (P1v −Ps) (A.8)<br />
L’equazione <strong>di</strong>venta<br />
Vv<br />
β ˙<br />
�<br />
2<br />
P1v = Ce0A0<br />
ρ (Pa −P1v)−Ce1A1<br />
−CegπDg(xf0 −xf)<br />
� 2<br />
ρ (P1v −Ps)<br />
� 2<br />
ρ (P1v −P1c)<br />
A.1.7 Bilancio <strong>di</strong> portata <strong>del</strong>la camera 2 <strong>del</strong>la valvola<br />
Analogamente, nell’altra camera <strong>del</strong>la valvola si ottiene:<br />
Vv<br />
β ˙<br />
�<br />
2<br />
P2v = Ce0A0<br />
ρ (Pa −P2v)+Ce1A1<br />
�<br />
2<br />
−CegπDg(xf0 +xf)<br />
ρ (P2v −Ps)<br />
� 2<br />
ρ (P2c −P2v)<br />
Sinoticomeancheinquestocasolaportatadallacamera<strong>del</strong>pistoneaquella<strong>del</strong>lavalvolaabbiacambiato<br />
segno, comepureècambiatol’effetto<strong>del</strong>lospostamento<strong>del</strong>lavalvolanelcalcolo<strong>del</strong>lasuperficie<strong>di</strong>efflusso.<br />
A.1.8 Equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> pistone<br />
Il pistone ha massa M, un generico smorzamento r, e gli è applicata una sollecitazione esterna F che<br />
rappresenta il carico che deve vincere (ad esempio, una molla, o la forza aero<strong>di</strong>namica su una superficie<br />
mobile, o il peso <strong>di</strong> un carrello <strong>di</strong> atterraggio). Sulle due superfici esposte nelle camere <strong>del</strong>l’attuatore<br />
agiscono le forze dovute alla pressione, Ap(P1c −P2c). Si noti che in linea <strong>di</strong> principio le due aree<br />
potrebbero essere <strong>di</strong>verse. La sua equazione <strong>di</strong> moto è un equilibrio alla traslazione <strong>del</strong> pistone stesso,<br />
che <strong>di</strong>venta:<br />
M¨xp +rp˙xp = Ap(P1c −P2c)+F (A.9)<br />
A.1.9 Equazione <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> flap<br />
La valvola a flap è costituita da una lamina incernierata ad un estremo, che si può avvicinare ad uno<br />
dei due <strong>di</strong>ffusori ruotando attorno al punto <strong>di</strong> cerniera, comandata da un motore. La sua equazione<br />
<strong>di</strong> moto è un equilibrio alla rotazione attorno al punto <strong>di</strong> cerniera. Il momento d’inerzia rispetto alla<br />
cerniera è Jc = Jcg +mL2 cg; Tipicamente la rotazione è contrastata da una molla <strong>di</strong> rigidezza kf, e nel<br />
caso in esame è controllata da un motore elettrico in corrente continua, la cui coppia è Kmi. La forza<br />
<strong>di</strong> origine idraulica agente sulla valvola può essere stimata usando il teorema <strong>di</strong> Bernoulli, ovvero un<br />
bilancio <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong> moto in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare al flap; la somma <strong>di</strong> pressione statica e <strong>di</strong>namica<br />
all’uscita dalla valvola, in prima approssimazione, è uguale alla pressione esercitata sul flap, quin<strong>di</strong> la<br />
forza esercitata sul flap è data dalla somma <strong>di</strong> pressione statica e <strong>di</strong>namica all’uscita dalla valvola per<br />
l’area <strong>del</strong> tubo <strong>di</strong> flusso:<br />
F1 = AgP1f = Ag<br />
�<br />
P1v + 1<br />
2 ρv2 1g<br />
�<br />
A-5<br />
(A.10)
all’uscita dalla camera 1 <strong>del</strong>la valvola verso il flap il fluido ha pressione P1v e velocità v1g; quest’ultima<br />
si ricava dalla portata attraverso l’ugello, dalla camera 1 <strong>del</strong>la valvola verso la camera <strong>del</strong> flap, quin<strong>di</strong><br />
tra P1v e Ps:<br />
v 2 1g =<br />
� �2 Q1v<br />
Ag<br />
= 32C2 eg<br />
ρD 2 g<br />
(xf0 −xf) 2 (P1v −Ps)<br />
Tipicamente questo valore viene corretto empiricamente per tenere conto <strong>di</strong> effetti dovuti alla effettiva<br />
geometria <strong>del</strong> getto. Quin<strong>di</strong> le forze <strong>di</strong> natura idraulica agenti sul flap sono:<br />
F1 = πD2 g<br />
4 P1v +4πC 2 eg(xf0 −xf) 2 (P1v −Ps)<br />
F2 = πD2 g<br />
4 P2v +4πC 2 eg(xf0 +xf) 2 (P2v −Ps)<br />
Lo spostamento <strong>del</strong>la valvola è xf = dtanθf. L’equazione <strong>del</strong> flap <strong>di</strong>venta:<br />
J ¨ θf +rf ˙ θf +kfθf = Kmi+d(F2 −F1) (A.11)<br />
A.1.10 Equazione <strong>del</strong> motore elettrico<br />
L’equazione <strong>del</strong> motore elettrico in corrente continua è:<br />
L <strong>di</strong><br />
dt +Ri+Km ˙ θf = ea<br />
dove ea è la tensione alla quale viene alimentato per controllarne la posizione.<br />
A.1.11 Linearizzazione<br />
Vi sono contributi non lineari <strong>del</strong> tipo:<br />
• tanθ<br />
• xy<br />
• √ cx<br />
la cui linearizzazione è<br />
• tanθ ∼ = ∆θ per θ0 = 0<br />
• xy ∼ = x0y0 +y0∆x+x0∆y<br />
• √ cx ∼ = √ cx0 +∆x/ � 2 √ �<br />
x0<br />
(A.12)<br />
Ad esempio, la linearizzazione dei termini <strong>di</strong> portata attraverso le per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico turbolente,<br />
�<br />
2<br />
Q = CeA0<br />
ρ (Pa −Pb) (A.13)<br />
porta ad una forma<br />
Q+∆Q = CeA0<br />
� �<br />
2 �(Pa0 −Pb0)+<br />
ρ<br />
∆Pa −∆Pb<br />
2 � �<br />
(Pa0 −Pb0)<br />
(A.14)<br />
Si noti che quando la <strong>di</strong>fferenza tra le due pressioni <strong>di</strong>minuisce, il denominatore <strong>del</strong> coefficiente <strong>del</strong>le<br />
perturbazioni <strong>di</strong> pressione tende ad annullarsi, rendendo singolare il problema. Questo fenomeno, dal<br />
punto <strong>di</strong> vista fisico, non ha corrispondenza, in quanto, al <strong>di</strong>minuire <strong>del</strong>la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> pressione, la<br />
portata <strong>di</strong>minuisce. Quin<strong>di</strong>, a parità <strong>di</strong> sezione, la velocità <strong>del</strong> fluido <strong>di</strong>minuisce e con essa il numero <strong>di</strong><br />
Reynolds, fino al punto in cui il moto <strong>di</strong>venta laminare. In caso <strong>di</strong> moto laminare, quin<strong>di</strong>, il coefficiente<br />
<strong>del</strong>la perturbazione <strong>di</strong> pressione è praticamente costante.<br />
A-6
A.1.12 Comportamento <strong>del</strong> sistema<br />
Duranteilfunzionamentonormale, quandoilpistoneèinequilibrioilflusso<strong>di</strong>fluidodaeversolecamereè<br />
moltolimitato, inteorianullo. Inrealtàrimaneunpiccoloefflussodovutoalleper<strong>di</strong>te; sicuramentequesto<br />
efflusso sarà in entrata nella camera <strong>del</strong> pistone a pressione più alta, mentre nell’altra camera <strong>di</strong>pende da<br />
quale tra le per<strong>di</strong>te interna ed esterna prevale. All’interno <strong>del</strong>la valvola, invece, c’è un continuo ricircolo<br />
<strong>di</strong> fluido dai condotti <strong>di</strong> alimentazione verso la pressione <strong>di</strong> scarico che, in un sistema pressurizzato, è<br />
comunque superiore alla pressione atmosferica. Quando, mentre il pistone è in equilibrio, si sposta il flap,<br />
si altera la sezione <strong>di</strong> efflusso <strong>del</strong>le per<strong>di</strong>te <strong>di</strong> carico tra ugelli <strong>di</strong> efflusso e flap stesso. In particolare, la<br />
camera <strong>del</strong>la valvola verso cui il flap si sposta vedrà ridurre la sezione e quin<strong>di</strong> la portata, mentre l’altra<br />
vedrà aumentare sezione e portata. Di conseguenza, la pressione nella prima camera aumenta, mentre<br />
nella seconda <strong>di</strong>minuisce. Le camere omonime <strong>del</strong> pistone vedono variare allo stesso modo le rispettive<br />
pressioni, quin<strong>di</strong> il pistone non è più in equilibrio e inizia a spostarsi (nel mo<strong>del</strong>lo illustrato nel <strong>di</strong>segno)<br />
in <strong>di</strong>rezione opposta a quella <strong>del</strong> flap. Se la valvola viene nuovamente portata in posizione <strong>di</strong> equilibrio,<br />
il flusso da e verso le camere <strong>del</strong> pistone si annulla, quin<strong>di</strong> il pistone si arresta nella nuova posizione. La<br />
posizione <strong>del</strong> flap che dà equilibrio può essere <strong>di</strong>versa da caso a caso, perché la forza che il pistone deve<br />
reagire, F, può <strong>di</strong>pendere dalla posizione.<br />
In ogni caso, la linearizzazione in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio <strong>del</strong> pistone, quella <strong>di</strong> maggiore interesse<br />
per lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema, <strong>di</strong>fferisce comunque da punto a punto perché nelle equazioni<br />
<strong>di</strong> bilancio <strong>di</strong> portata per le camere <strong>del</strong> pistone c’è una <strong>di</strong>pendenza esplicita <strong>del</strong> coefficiente legato alla<br />
comprimibilità <strong>del</strong> fluido dalla posizione <strong>del</strong> pistone. Si può verificare che, dal punto <strong>di</strong> vista <strong>di</strong>namico,<br />
la con<strong>di</strong>zione in genere più critica per la stabilità <strong>del</strong> sistema si ha quando il pistone è centrato, ovvero<br />
xp = Lp/2 e V1 = V2. In questa con<strong>di</strong>zione, lo smorzamento <strong>del</strong> sistema idromeccanico è minimo. Si<br />
noti che, in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, ovvero quando le derivate temporali si annullano, non c’è alcuna<br />
<strong>di</strong>pendenza esplicita <strong>del</strong>le equazioni dalla posizione <strong>del</strong> pistone. Infatti, ad una data posizione <strong>del</strong>la<br />
valvola, possono corrispondere infinite posizioni <strong>del</strong> pistone. Di conseguenza, controllando la posizione<br />
<strong>del</strong> flap è possibile al più controllare la velocità <strong>del</strong> pistone. Per controllarne la posizione, occorre legare<br />
la posizione <strong>del</strong> flap (o meglio, la tensione <strong>di</strong> alimentazione <strong>del</strong> motore) ad una misura <strong>di</strong> posizione <strong>del</strong><br />
pistone. Occorre, in altre parole, retroazionare il flap con la misura <strong>del</strong>la posizione <strong>del</strong> pistone.<br />
A.2 Attuatore collegato ad un sistema <strong>di</strong>namico<br />
Viene presentata la mo<strong>del</strong>lazione <strong>di</strong> un attuatore idraulico che aziona un sistema <strong>di</strong>namico rappresentativo<br />
<strong>di</strong> una generica superficie mobile <strong>di</strong> un velivolo, ad esempio un alettone ma, fatte le dovute<br />
considerazioni, anche l’azionamento <strong>del</strong> passo collettivo <strong>di</strong> un elicottero.<br />
TODO<br />
A-7
A-8
Appen<strong>di</strong>ce B<br />
Procedure per l’impostazione e la<br />
soluzione dei problemi<br />
Generato il 16 gennaio 2012<br />
Questo capitolo vuole rappresentare un breve compen<strong>di</strong>o <strong>di</strong> quanto già illustrato nei capitoli precedenti,<br />
finalizzato all’impostazione e alla soluzione <strong>di</strong> problemi.<br />
L’obbiettivo non è tanto facilitare il superamento <strong>del</strong>la prova scritta, quanto cercare <strong>di</strong> fornire un<br />
metodo che consenta allo studente <strong>di</strong> comprendere e sistematizzare le fasi necessarie ad affrontare un<br />
tipico problema <strong>di</strong> <strong>di</strong>namica.<br />
Il metodo consta <strong>di</strong> due fasi:<br />
• comprensione e scrittura <strong>del</strong> problema<br />
– analisi cinematica<br />
– scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> moto<br />
– scrittura <strong>del</strong>le relazioni costitutive<br />
• soluzione <strong>del</strong> problema<br />
Letresottofasi<strong>di</strong>comprensioneescrittura<strong>del</strong>problemasonocorrelate; inmolticasiconvienesvolgerle<br />
in parallelo.<br />
Paradossalmente, la fase <strong>di</strong> soluzione <strong>del</strong> problema è la meno critica, in quanto <strong>di</strong> solito si riduce<br />
all’utilizzo <strong>di</strong> meto<strong>di</strong> standard in base al tipo <strong>di</strong> problema.<br />
B.1 Comprensione e scrittura <strong>del</strong> problema<br />
B.1.1 Analisi cinematica<br />
L’analisi cinematica <strong>del</strong> problema consiste nel:<br />
• comprendere quanti sono i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> problema;<br />
• scegliere i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà più convenienti;<br />
• comprendere quali variabili cinematiche sono necessarie o semplicemente agevolano la definizione<br />
<strong>del</strong> problema;<br />
• scrivere le relazioni cinematiche tra le variabili e i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà scelti.<br />
L’analisi cinematica può limitarsi alle sole variabili cinematiche che partecipano alla scrittura <strong>del</strong>le<br />
equazioni e <strong>del</strong>le relazioni costitutive. Tuttavia, un’analisi più approfon<strong>di</strong>ta e dettagliata può agevolare<br />
la comprensione <strong>del</strong>la natura <strong>del</strong> problema.<br />
Non esiste una semplice formula per l’in<strong>di</strong>viduazione e la scelta dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà <strong>di</strong> un sistema.<br />
B-1
B.1.2 Scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> moto<br />
La scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> problema deve rispondere innanzitutto alla domanda:<br />
quali equazioni <strong>del</strong> moto occorre scrivere per risolvere il problema?<br />
La seconda domanda è<br />
quale metodo conviene utilizzare per scriverle efficacemente?<br />
Il metodo usato, <strong>di</strong> per sé, dovrebbe essere ininfluente, dal momento che qualunque metodo deve portare<br />
alle stesse equazioni, o a set <strong>di</strong> equazioni equivalenti. In alcuni casi, la scelta <strong>del</strong> metodo rende la scrittura<br />
più semplice, o a“prova <strong>di</strong> errore”(per quanto sia possibile).<br />
Di solito, quando possibile, si sceglie <strong>di</strong> utilizzare il formalismo <strong>di</strong> Lagrange, o comunque qualche<br />
metodo riconducibile alla meccanica analitica e quin<strong>di</strong> al principio dei lavori virtuali, per il semplice<br />
motivo che, una volta scritta correttamente la cinematica, e riconosciute tutte le forze attive che partecipano<br />
al problema, si ottengono <strong>di</strong>rettamente e“a prova <strong>di</strong> errore”(concettuale) le equazioni <strong>del</strong> moto<br />
coniugate alle coor<strong>di</strong>nate libere (equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>del</strong> secondo tipo). Questo consente <strong>di</strong> rispondere<br />
alla prima domanda:<br />
le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coor<strong>di</strong>nate libere.<br />
L’approccio appena <strong>del</strong>ineato non è più valido nel caso in cui i vincoli non siano ideali. In questo<br />
caso compaiono forze che <strong>di</strong>pendono dalle reazioni vincolari e che contemporaneamente compiono lavoro<br />
per spostamenti virtuali. Un tipico esempio sono le forze dovute all’attrito radente, o la coppia che dà<br />
resistenza al rotolamento.<br />
Occorre scrivere un set ulteriore <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong> equilibrio, in<strong>di</strong>pendenti da quelle coniugate alle<br />
coor<strong>di</strong>nate libere, sufficiente a calcolare a priori le reazioni vincolari necessarie 1 . Le reazioni così calcolate<br />
possono <strong>di</strong>pendere dalla cinematica, ovvero dalle q e dalle loro derivate, anche se ancora incognite, dal<br />
momentocheverrannopoiutilizzatenellerelazionicostitutiveperconcorrereallascrittura<strong>del</strong>leequazioni<br />
<strong>del</strong> moto. Questo consente <strong>di</strong> estendere la risposta alla prima domanda:<br />
le equazioni che occorre scrivere sono quelle coniugate alle coor<strong>di</strong>nate libere, più un numero<br />
<strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong> equilibrio pari al numero <strong>di</strong> reazioni vincolari necessarie ad esprimere le<br />
forze <strong>di</strong> reazione che compiono lavoro.<br />
Soprattutto quando si usino gli equilibri <strong>di</strong>namici, ma in ogni caso, è <strong>di</strong> grande aiuto tracciare il<br />
cosiddetto <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> corpo libero, ovvero un <strong>di</strong>segno in cui il corpo o i corpi <strong>di</strong> cui è costituito il<br />
sistema viene svincolato, con i vincoli sostituiti dalle reazioni vincolari, e tutte le forze attive vengono<br />
messe in evidenza. Questo <strong>di</strong>agramma consente <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare tutti i punti la cui cinematica occorre<br />
scrivere per valutarne posizione, velocità ed eventualmente accelerazione e spostamento virtuale. Si<br />
consiglia caldamente <strong>di</strong> tracciare il <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> corpo libero in<strong>di</strong>pendentemente dal metodo che si usa<br />
per scrivere le equazioni <strong>del</strong> moto.<br />
B.1.3 Scrittura <strong>del</strong>le relazioni costitutive<br />
La scrittura <strong>del</strong>le relazioni costitutive da un certo punto <strong>di</strong> vista è la parte più semplice: noto il tipo <strong>di</strong><br />
forza, e quin<strong>di</strong> il principio fisico da cui <strong>di</strong>pende, è sufficiente procurarsi le variabili cinematiche da cui<br />
<strong>di</strong>pende. La criticità <strong>di</strong> questa fase consiste appunto nello scegliere il principio fisico da cui <strong>di</strong>pende la<br />
forza in questione.<br />
1 Esistono tecniche alternative (equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>del</strong> primo tipo) che, attraverso il formalismo dei moltiplicatori <strong>di</strong><br />
Lagrange, consentono <strong>di</strong> scrivere simultaneamente le equazioni <strong>del</strong> moto e le equazioni da cui ricavare le reazioni vincolari<br />
relative ai vincoli non ideali.<br />
B-2
B.1.4 Mettiamo tutto insieme<br />
In<strong>di</strong>pendentemente dalla sequenza scelta, la scrittura <strong>del</strong> problema consiste nell’unire le fasi descritte in<br />
precedenza, qui riassunte nella loro essenza.<br />
• L’analisi cinematica consiste nello scegliere i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, ovvero le coor<strong>di</strong>nate libere q, e nello<br />
scrivere le variabili cinematiche x in funzione <strong>di</strong> queste, x = x(q). Ciò implica la conoscenza anche<br />
<strong>del</strong>le derivate e <strong>del</strong>le variazioni virtuali <strong>del</strong>le variabili cinematiche, se richieste nella procedura <strong>di</strong><br />
soluzione, per semplice derivazione o perturbazione virtuale:<br />
˙x = ∂x ∂x<br />
˙q +<br />
∂q ∂t<br />
¨x = ∂x<br />
∂q ¨q +2 ∂2x ∂t∂q ˙q + ∂2x ∂t2 (B.1a)<br />
(B.1b)<br />
δx = ∂x<br />
δq. (B.1c)<br />
∂q<br />
• La scrittura <strong>del</strong>le equazioni <strong>del</strong> moto<br />
�<br />
consiste nello scrivere relazioni <strong>di</strong> equilibrio tra le forze<br />
T (generalizzate) agenti sul sistema, δx ifi = 0, con δx definito al punto precedente in funzione<br />
<strong>del</strong>la variazione virtuale <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate libere.<br />
• La scrittura <strong>del</strong>le relazioni costitutive consente <strong>di</strong> sostituire ad ogni forza fi la sua espressione in<br />
funzione <strong>del</strong>le variabili cinematiche e <strong>del</strong>le loro derivate, fi = fi(x, ˙x,¨x), e quin<strong>di</strong>, in ultima analisi,<br />
<strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate libere e <strong>del</strong>le loro derivate, fi = fi(q, ˙q,¨q).<br />
B.2 Soluzione <strong>del</strong> problema<br />
Questa è un’altra storia...<br />
B-3
B-4
Appen<strong>di</strong>ce C<br />
Breviario ad (ab)uso degli studenti<br />
Questaappen<strong>di</strong>ceracchiudealcunenozioniutiliaglistudentiperaumentareleprobabilità<strong>di</strong>nonsuperare<br />
l’esame.<br />
C.1 Primo Principio <strong>del</strong>la Dinamica dei Sistemi Aerospaziali<br />
Qualunque sia la natura <strong>del</strong> sistema, in presenza <strong>di</strong> attrito <strong>di</strong>namico <strong>di</strong> coefficiente fd, il modulo <strong>del</strong>la<br />
forza resistente è definito come<br />
T = fdN (C.1)<br />
ove N, la componente <strong>del</strong>la reazione vincolare normale alla superficie <strong>di</strong> scorrimento, secondo il Primo<br />
Principio <strong>del</strong>la Dinamica dei Sistemi Aerospaziali, è sempre e comunque<br />
N = mg (C.2)<br />
o, nel caso in cui la superficie <strong>di</strong> scorrimento sia inclinata <strong>di</strong> un angolo α rispetto all’orizzontale,<br />
N = mgcosα (C.3)<br />
Per nessuna ragione N può essere ricavata a partire da una equazione <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Nota: almeno il 25% degli svolgimenti <strong>di</strong> ogni tema d’esame vede l’applicazione <strong>del</strong> Primo Principio.<br />
Nota: N = mg anche se il problema è nel piano orizzontale (visto veramente in uno scritto <strong>del</strong>la<br />
prova <strong>del</strong> 16 Febbraio 2010).<br />
C.2 Teorema <strong>del</strong>l’ininfluenza <strong>del</strong>le forze d’inerzia<br />
Enunciato: un corpo, spinto verso l’alto a velocità costante da una forza uguale ed opposta al peso,<br />
al cessare <strong>del</strong>la stessa scende imme<strong>di</strong>atamente. La <strong>di</strong>mostrazione è lasciata alla curiosità <strong>del</strong> lettore.<br />
Nota: sentito davvero ad un orale.<br />
Esercizio C.1 Dimostrare il teorema <strong>del</strong>l’ininfluenza <strong>del</strong>le forze d’inerzia.<br />
C.2.1 Corollario <strong>del</strong>la viralità <strong>del</strong> moto uniforme<br />
Una parte <strong>di</strong> un meccanismo arbitrariamente complesso si muova <strong>di</strong> moto uniforme (per esempio una<br />
manovella ruoti a velocità costante). Allora, in<strong>di</strong>pendentemente dalla complessità cinematica <strong>del</strong> meccanismo,<br />
tutte le forze <strong>di</strong> inerzia si annullano, anche qualora il moto uniforme <strong>di</strong> una parte si traduca<br />
in moto vario <strong>di</strong> altre parti <strong>del</strong> sistema (per esempio la biella trascinata dalla manovella e il <strong>corso</strong>io<br />
trascinato dalla biella in un glifo).<br />
Esercizio C.2 Con riferimento all’esempio <strong>del</strong>la manovella in moto a velocità angolare costante, si<br />
verifichi come il corollario non sia vero a rigore neppure per la manovella stessa: le forze d’inerzia sono<br />
veramente nulle?<br />
C-1
C.2.2 Lemma <strong>del</strong>la singolarità <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>le masse.<br />
Si consideri un’asta uniforme <strong>di</strong> lunghezza L. Si calcolino le azioni interne in un punto qualsiasi, posto<br />
a <strong>di</strong>stanza x da un estremo. Le forze <strong>di</strong> inerzia sono applicate nel baricentro, e quin<strong>di</strong> agiscono solo<br />
sulla porzione <strong>di</strong> asta che contiene il baricentro. Quando l’asta è tagliata nel baricentro, la metà a cui si<br />
applicano le forze <strong>di</strong> inerzia non è definita.<br />
Esercizio C.3 Si calcolino le forze <strong>di</strong> inerzia <strong>di</strong> un’asta uniforme soggetta a moto vario dopo averla<br />
sezionata in due parti in un punto arbitrario. Si faccia tendere tale punto al baricentro <strong>del</strong>l’asta integra.<br />
C.2.3 Corollario <strong>del</strong>l’incompatibilità tra regime e forze d’inerzia<br />
Qualora in una frase compaia l’espressione“a regime”, ciò necessariamente implica che le forze d’inerzia<br />
siano nulle per tutto il resto <strong>del</strong>l’esercizio.<br />
Esercizio C.4 Si calcoli la risposta a regime <strong>di</strong> un sistema descritto dall’equazione<br />
m¨x+r˙x+kx = f(t) (C.4)<br />
quando sia forzato armonicamente, ovvero f = fe jΩt .<br />
Svolgimento (sconsigliato): siccome nel testo compare l’espressione“a regime”, l’equazione <strong>di</strong>venta<br />
r˙x+kx = fe jΩt<br />
Daqui<strong>di</strong>solitocisiincartaintentativi<strong>di</strong>trovareun’espressioneplausibileperx, eventualmentescrivendo<br />
frasi <strong>del</strong> tipo“non sono in grado <strong>di</strong> concludere per mancanza <strong>di</strong> tempo”.<br />
Ri-svolgimento (corretto): l’espressione “a regime” va inteso nel senso <strong>di</strong> “a transitorio esaurito”.<br />
Si ricorda infatti che la soluzione <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari è costituita dalla combinazione <strong>di</strong><br />
un integrale generale, soluzione <strong>del</strong>l’equazione omogenea associata al problema non omogeneo, e <strong>di</strong> un<br />
integrale particolare, associato al termine noto specifico. La soluzione omogenea viene determinata<br />
imponendo il raccordo tra il valore all’istante iniziale <strong>del</strong>l’integrale particolare e le con<strong>di</strong>zioni iniziali <strong>del</strong><br />
problema. Se il sistema è asintoticamente stabile (si può parlare <strong>di</strong> stabilità <strong>del</strong> sistema anziché <strong>del</strong>la<br />
soluzione solo perché si tratta <strong>di</strong> equazioni <strong>di</strong>fferenziali lineari a coefficienti costanti), allora l’integrale<br />
generale è destinato ad annullarsi asintoticamente; ne consegue che “a regime”, ovvero a transitorio<br />
esaurito, rimane solo l’integrale particolare,<br />
(C.5)<br />
x = � −Ω 2 m+jΩr +k � −1 f (C.6)<br />
C.2.4 Sull’opportunità <strong>di</strong> considerare due volte le forze d’inerzia<br />
L’(ab)uso <strong>del</strong> teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica consente <strong>di</strong> commettere un errore piuttosto frequente. Questo<br />
teorema<strong>di</strong>ceche“laderivatarispettoaltempo<strong>del</strong>l’energiacineticaèugualeallapotenza<strong>del</strong>leforzeattive,<br />
escluse quelle <strong>di</strong> inerzia”. Se si trascura la invero secondaria postilla sulle forze <strong>di</strong> inerzia, si ottiene il<br />
Teorema <strong>del</strong>l’(abuso <strong>del</strong> teorema <strong>del</strong>l’)Energia Cinetica, il quale afferma che“la derivata rispettoal tempo<br />
<strong>del</strong>l’energia cinetica è (quasi) uguale alla potenza <strong>del</strong>le forze attive (incluse quelle <strong>di</strong> inerzia)”.<br />
Esercizio C.5 Si utilizzi il summenzionato teorema per scrivere l’equazione <strong>del</strong> moto <strong>di</strong> un punto materiale<br />
libero, soggetto ad una forza arbitraria.<br />
Soluzione (sbagliata): l’energia cinetica è T = m�v ×�v/2; la potenza <strong>del</strong>le forze attive (incluse<br />
quelle <strong>di</strong> inerzia) è Π = � F ×�v −m�a×�v. La derivata <strong>del</strong>l’energia cinetica dà ˙ T = m�a×�v. Ne consegue<br />
m�a×�v = � F ×�v −m�a×�v<br />
da cui si ricava<br />
�<br />
2m�a− � �<br />
F �v = 0,<br />
ovvero la nota relazione � F = 2m�a.<br />
C-2
C.3 Lemma <strong>del</strong>la crasi tra definizioni <strong>di</strong>verse<br />
Spesso, uno stesso principio o fenomeno può essere enunciato in mo<strong>di</strong> <strong>di</strong>versi. In questi casi, i <strong>di</strong>versi<br />
mo<strong>di</strong> possono sintetizzati prendendo a caso un po’ da uno e un po’ da un altro.<br />
Esercizio C.6 Illustrare l’ipotesi <strong>di</strong> Reye mischiando la definizione in termini sia <strong>di</strong> lavoro che <strong>di</strong><br />
potenza <strong>del</strong>le forze <strong>di</strong> attrito, avendo cura <strong>di</strong> cadere in contrad<strong>di</strong>zione almeno una volta.<br />
C.4 Teorema <strong>del</strong> calcolo <strong>del</strong>le frequenze caratteristiche <strong>di</strong> sistemi<br />
meccanici descritti da equazioni <strong>di</strong>saccoppiate (o <strong>del</strong>la<br />
“ammuina”)<br />
Le frequenze caratteristiche <strong>di</strong> un sistema meccanico si calcolano trovando le ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong> polinomio caratteristico,<br />
che si ottiene imponendo l’annullamento <strong>del</strong> determinante <strong>del</strong>la matrice<br />
[Z] = −ω 2 [M]+[K] (C.7)<br />
Se le matrici [M] e [K] sono <strong>di</strong>agonali, il determinante <strong>di</strong> [Z] è costituito dal prodotto dei coefficienti<br />
<strong>di</strong>agonali kii−ω 2 mii, e quin<strong>di</strong> si annulla quando si annulla ciascun coefficiente <strong>del</strong>la <strong>di</strong>agonale. Malgrado<br />
ciò, occorre ogni volta:<br />
• scrivere per intero il polinomio caratteristico<br />
• raccogliere i coefficienti <strong>del</strong> polinomio per ogni potenza pari <strong>del</strong>l’incognita ω<br />
• se possibile, calcolarne le ra<strong>di</strong>ci<br />
• evitare <strong>di</strong> accorgersi che queste sono semplicemente e rispettivamente ω 2 i<br />
Questo consente <strong>di</strong>:<br />
= kii/mii.<br />
1. non ammettere che probabilmente, se le matrici sono <strong>di</strong>agonali, è stato commesso qualche errore<br />
nel loro calcolo; se si sono svolti tutti quei passaggi, significa che non ci si è accorti che le matrici<br />
erano <strong>di</strong>agonali, e quin<strong>di</strong> l’errore è stato commesso in buona fede;<br />
2. introdurre errori in un risultato altrimenti banale.<br />
Nota: se le matrici [K] e [M] sono entrambe <strong>di</strong>agonali,<br />
1. si ha un occhio incre<strong>di</strong>bile nella scelta dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà; oppure<br />
2. è stato commesso un errore.<br />
Nota alla nota: questo non implica che matrici non <strong>di</strong>agonali siano sempre corrette.<br />
C.5 Esercizio: trova l’errore<br />
Questa sezione propone una serie <strong>di</strong> esercizi sbagliati, nei quali si richiede <strong>di</strong> trovare e spiegare l’errore.<br />
Tutti gli esercizi sono ispirati a risposte realmente viste in prove scritte (mutatis mutan<strong>di</strong>s).<br />
Esercizio C.7 Data una ruota <strong>di</strong> massa m, raggio R e inerzia J, rotolante lungo un piano inclinato <strong>di</strong><br />
un angolo α trascinata da una fune inestensibile e priva <strong>di</strong> massa, parallela al terreno, calcolare:<br />
1. la reazione al contatto tra ruota e terreno;<br />
2. la tensione nella fune.<br />
Svolgimento:<br />
C-3
Risposta 1) L’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione parallela al terreno è −RT −mgsinα−m¨x = 0, da cui la<br />
componente tangenziale <strong>del</strong>la reazione tra ruota e terreno è RT = −m¨x−mgsinα.<br />
Risposta 2) L’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione parallela al terreno è T − mgsinα − m¨x = 0, da cui la<br />
tensione nella fune è T = m¨x+mgsinα.<br />
Si è fatto uso <strong>del</strong> Teorema <strong>del</strong>l’Omissione <strong>del</strong>l’Incognita che si Preferisce non Considerare per Rendere<br />
più Semplici i Calcoli.<br />
Il risultato corretto è:<br />
1. dall’equilibrio alla rotazione <strong>del</strong>la ruota attorno al proprio centro si ottiene RT = J/R 2 ¨x<br />
2. dall’equilibrio alla traslazione <strong>del</strong>la ruota lungo la <strong>di</strong>rezione tangente al piano si ricava T = (m+<br />
J/R 2 )¨x+mgsinα.<br />
Esercizio C.8 Vero o falso?<br />
1<br />
a<br />
b +1<br />
= b<br />
+1 (C.8)<br />
a<br />
Falso. Il risultato si ottiene a seguito <strong>del</strong>l’utilizzo <strong>del</strong> Metodo <strong>del</strong> Passaggio Inutile e Non Richiesto per<br />
Complicare un Risultato in Origine Semplice.<br />
Il risultato corretto è<br />
1<br />
a<br />
b +1<br />
= 1<br />
a<br />
b +1<br />
, (C.9)<br />
ovvero meglio non rigirare troppo formule senza che sia strettamente necessario; se lo si fa, si stia almeno<br />
attenti.<br />
C-4
Appen<strong>di</strong>ce D<br />
Soluzione esercizi<br />
Capitolo 2<br />
Soluzione es. 2.2<br />
L’energia cinetica <strong>del</strong> corpo è T = m(˙x 2 + ˙y 2 )/2, mentre l’energia potenziale è V = mgy. L’equazione <strong>di</strong><br />
vincolo può essere formulata come ycosα−xsinα = 0. La lagrangiana aumentata corrispondente è<br />
L = 1<br />
2 m� ˙x 2 + ˙y 2� −mgy −(ycosα−xsinα)λ<br />
Si ottiene<br />
� �<br />
d ∂L<br />
−<br />
dt ∂˙x<br />
∂L<br />
= m¨x−sinαλ = 0<br />
∂x<br />
� �<br />
d ∂L<br />
−<br />
dt ∂˙y<br />
∂L<br />
= m¨y +mg +cosαλ = 0<br />
∂y<br />
�<br />
d ∂L<br />
dt ∂˙ �<br />
−<br />
λ<br />
∂L<br />
= ycosα−xsinα = 0<br />
∂λ<br />
Per la riduzione ad una equazione pura si può procedere come segue:<br />
• si derivi due volte l’equazione <strong>di</strong> vincolo rispetto al tempo, in modo da ottenere<br />
¨ycosα− ¨xsinα = 0<br />
• dalle due equazioni <strong>di</strong> equilibrio si esplicitino ¨x e ¨y,<br />
¨x = 1<br />
m sinαλ<br />
¨y = −g − 1<br />
m cosαλ<br />
• e li si sostituiscano nella derivata seconda <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> vincolo,<br />
�<br />
− g + 1<br />
m cosαλ<br />
� �<br />
1<br />
cosα−<br />
m sinαλ<br />
�<br />
sinα = 0<br />
• da questa relazione si espliciti il moltiplicatore λ,<br />
λ = −mgcosα<br />
D-1
• lo si sostituisca nelle equazioni <strong>di</strong> equilibrio,<br />
m¨x = −mgcosαsinα<br />
m¨y = −mgsin 2 α.<br />
Queste due equazioni sono solo formalmente in<strong>di</strong>pendenti; in realtà basta risolverne una, rispettivamente<br />
in funzione <strong>del</strong>la coor<strong>di</strong>nata x o y, e usare l’equazione <strong>di</strong> vincolo per calcolare l’altra coor<strong>di</strong>nata.<br />
Se si considera una nuova coor<strong>di</strong>nata q parallela al piano inclinato, si ha x = qcosα e y = qsinα;<br />
è imme<strong>di</strong>ato verificare che le due equazioni“pure”ottenute sono in realtà la stessa equazione una volta<br />
sostituite le x e y in funzione <strong>di</strong> q, ovvero ¨x = ¨qcosα e ¨y = ¨qsinα, con cui si ottiene due volte<br />
m¨q = −mgsinα.<br />
Soluzione es. 2.3<br />
La guida scambia con il corpo una reazione <strong>di</strong>retta perpen<strong>di</strong>colarmente alla guida stessa, ove α = dy/dx<br />
è la pendenza locale <strong>del</strong>la guida.<br />
Equilibri <strong>di</strong>namici. La reazione Φ ha componente verticale Φy = Φcosα e componente orizzontale<br />
Φx = −Φsinα. Ne consegue che la componente orizzontale è<br />
dy<br />
Φx = −Φytanα = −Φy<br />
dx .<br />
Le equazioni <strong>di</strong> equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione orizzontale e verticale danno<br />
−m¨x+Φx +f(t) = 0<br />
−m¨y +Φy −mg = 0.<br />
La componente verticale <strong>del</strong>l’accelerazione si calcola in funzione <strong>del</strong>la componente orizzontale <strong>del</strong> moto<br />
come<br />
˙y = dy<br />
dx ˙x<br />
¨y = dy d<br />
¨x+<br />
dx dx<br />
�<br />
dy<br />
dx ˙x<br />
�<br />
˙x = dy<br />
dx ¨x+ d2y dx2 ˙x2 .<br />
Dall’equilibrio in <strong>di</strong>rezione verticale si ricava Φy,<br />
Φy = mg +m¨y<br />
Sfruttando l’espressione <strong>di</strong> Φx in funzione <strong>di</strong> Φy si può eliminare per sostituzione la reazione vincolare<br />
dall’equazione <strong>di</strong> equilibrio in <strong>di</strong>rezione orizzontale,<br />
� � � �<br />
2<br />
dy<br />
−m 1+ ¨x−m<br />
dx<br />
dy d<br />
dx<br />
2 y<br />
dx2 ˙x2 −mg dy<br />
+f(t) = 0,<br />
dx<br />
ottenendo così un’equazione pura <strong>del</strong> moto.<br />
Nel caso in esame, y = y0sin(2πx/L), quin<strong>di</strong><br />
dy 2π<br />
= y0<br />
dx<br />
d 2 y<br />
= −y0<br />
dx2 L cos<br />
� �<br />
2πx<br />
L<br />
� �2 � �<br />
2π 2πx<br />
sin .<br />
L L<br />
D-2
L’equazione <strong>del</strong> moto è<br />
� �<br />
2π<br />
m 1+ y0<br />
L cos<br />
� �� �<br />
2<br />
2πx<br />
¨x−my<br />
L<br />
2 � �3 � � � �<br />
2π 2πx 2πx<br />
0 cos sin ˙x<br />
L L L<br />
2<br />
2π<br />
= f(t)−mgy0<br />
L cos<br />
� �<br />
2πx<br />
L<br />
Principio dei lavori virtuali. La componente orizzontale <strong>di</strong> uno spostamento virtuale <strong>del</strong>la massa<br />
è δx. La componente verticale è δy = (dy/dx)δx. Il lavoro virtuale <strong>del</strong>le forze attive è<br />
�<br />
δL = δxf(t)−δxm¨x−δymg −δym¨y = δx f(t)−m¨x− dy<br />
�<br />
(mg +m¨y) .<br />
dx<br />
Sostituendo l’espressione <strong>di</strong> ¨y, per l’arbitrarietà <strong>del</strong>lo spostamento virtuale δx si ottiene <strong>di</strong>rettamente<br />
l’equazione pura <strong>del</strong> moto scritta in precedenza. Il calcolo <strong>del</strong>la reazione vincolare può essere svolto a<br />
posteriori utilizzando per esempio l’equilibrio alla traslazione in <strong>di</strong>rezione verticale scritto in precedenza,<br />
ove ¨y è noto dall’equazione <strong>del</strong> moto (anche se sarebbe più corretto scrivere un equilibrio alla traslazione<br />
in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare alla guida).<br />
Teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica. Il teorema <strong>del</strong>l’energia cinetica può essere utilizzato per scrivere<br />
<strong>di</strong>rettamente l’equazione <strong>del</strong> moto perché il sistema ha un solo grado <strong>di</strong> libertà e i vincoli sono fissi (non<br />
<strong>di</strong>pendono esplicitamente dal tempo), quin<strong>di</strong> l’atto <strong>di</strong> moto è compatibile con i vincoli a tempo fissato.<br />
L’energia cinetica <strong>del</strong> sistema è<br />
T = 1 1<br />
m�v �v =<br />
2 2 m� ˙x 2 + ˙y 2� .<br />
La sua derivata rispetto al tempo dà<br />
dT<br />
dt<br />
= m(¨x˙x+ ¨y˙y) = m<br />
�<br />
¨x+ ¨y dy<br />
�<br />
dx<br />
La potenza <strong>del</strong>le forze attive, escluse quelle <strong>di</strong> inerzia, è<br />
�<br />
Π = f(t)˙x−mg˙y = f(t)−mg dy<br />
�<br />
˙x.<br />
dx<br />
Dall’uguaglianza dT/dt = Π si ricava<br />
�<br />
m ¨x+ ¨y dy<br />
� �<br />
˙x = f(t)−mg<br />
dx<br />
dy<br />
�<br />
˙x.<br />
dx<br />
˙x.<br />
Eliminando la velocità ˙x e sostituendo ¨y si ottiene <strong>di</strong> nuovo l’equazione pura <strong>del</strong> moto scritta in precedenza.<br />
La reazione vincolare si può ricavare in modo analogo al caso <strong>del</strong> principio dei lavori virtuali.<br />
Equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> II o tipo. All’energia cinetica calcolata in precedenza si sottragga<br />
l’energia potenziale associata al peso, mgy, a dare la Lagrangiana<br />
L = 1<br />
2 m� ˙x 2 + ˙y 2� −mgy.<br />
Il lavoro virtuale <strong>del</strong>le forze attive rimanenti è δL = δxf(t). Si ottiene<br />
d<br />
dt<br />
∂L<br />
= m˙x+m˙ydy<br />
∂˙x dx<br />
� �<br />
∂L<br />
= m¨x+m¨y<br />
∂˙x<br />
dy<br />
dx +m˙yd2 y<br />
˙x<br />
dx2 ∂L<br />
= m˙yd˙y<br />
∂x dx −mgdy<br />
dx = m˙yd2 y<br />
˙x−mgdy<br />
dx2 dx<br />
Q = f(t)<br />
D-3
Si ottiene quin<strong>di</strong><br />
m¨x+m¨y dy<br />
dx + ✟ ✟✟✟ m˙y d2y dx2 ˙x− ✟ ✟✟✟ m˙y d2y ˙x+mgdy = f(t),<br />
dx2 dx<br />
ovvero, dopo alcune semplificazioni e sostituendo l’espressione <strong>di</strong> ¨y, <strong>di</strong> nuovo l’equazione pura <strong>del</strong> moto<br />
trovata in precedenza. La reazione vincolare si può ricavare in modo analogo al caso <strong>del</strong> principio dei<br />
lavori virtuali.<br />
Equazioni <strong>di</strong> Lagrange <strong>di</strong> I o tipo. Si consideri la Lagrangiana scritta in precedenza e aumentata<br />
dall’equazione <strong>di</strong> vincolo y−y(x) = 0 moltiplicata per l’incognita <strong>di</strong> reazione λ, ove y è considerata alla<br />
stregua <strong>di</strong> una coor<strong>di</strong>nata libera mentre y(x) è il valore imposto dalla presenza <strong>del</strong>la guida. Si ottiene<br />
L = 1<br />
2 m� ˙x 2 + ˙y 2� −mgy +λ(y −y(x)).<br />
Si applichi il formalismo <strong>di</strong> Lagrange in funzione <strong>del</strong>le tre variabili x, y e λ, considerando anche il lavoro<br />
virtuale δL = δxf(t). Si ottiene<br />
∂L<br />
= m˙x<br />
∂˙x<br />
∂L<br />
= m˙y<br />
∂˙y<br />
∂L<br />
∂˙ = 0<br />
λ<br />
ovvero<br />
m¨x+ dy<br />
λ = f(t)<br />
dx<br />
m¨y −λ = −mg<br />
0 = y −y(x).<br />
d<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
d<br />
dt<br />
� �<br />
∂L<br />
= m¨x<br />
∂˙x<br />
� �<br />
∂L<br />
= m¨y<br />
∂˙y<br />
�<br />
∂L<br />
∂˙ �<br />
= 0<br />
λ<br />
∂L<br />
= −dy<br />
∂x dx λ Qx = f(t)<br />
∂L<br />
∂y = −mg +λ Qy = 0<br />
∂L<br />
∂λ = y −y(x) Qλ = 0<br />
Il moltiplicatore λ assume il significato <strong>di</strong> componente verticale <strong>del</strong>la reazione vincolare (si confrontino<br />
le equazioni appena scritte con gli equilibri <strong>di</strong>namici).<br />
Per arrivare all’equazione pura <strong>del</strong> moto si può esplicitare λ dalla seconda equazione e sostituirlo nella<br />
prima, dopo aver ricavato ¨y dalla derivata seconda <strong>del</strong>la terza equazione. La reazione vincolare si ricava<br />
<strong>di</strong>rettamente dalla seconda equazione esplicitata rispetto a λ, una volta noto il movimento.<br />
Capitolo 3<br />
Soluzione es. 3.1<br />
• Equazione (3.8a): si consideri la rappresentazione vettoriale �v = vx�i+vy �j +vz �k; si ottiene<br />
�<br />
�p�q = px�i+py �j +pz � � �<br />
k × qx�i+qy �j +qz � �<br />
k = pxqx +pyqy +pzqz<br />
�<br />
�q �p = qx�i+qy �j +qz � � �<br />
k × px�i+py �j +pz � �<br />
k = qxpx +qypy +qzpz<br />
in quanto il prodotto scalare tra versori <strong>di</strong>fferenti dà 0 (�i×�j =�j× � k = � k×�i = 0) mentre il prodotto<br />
scalare <strong>di</strong> un versore per se stesso dà 1 (�i×�i =�j ×�j = � k × � k = 1).<br />
Si consideri la notazione matriciale {v} = [vx,vy,vz] T ; si ottiene<br />
{p}×{q} = � px py pz<br />
{q}×{p} = � qx qy qz<br />
� T<br />
� T<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
qx<br />
qy<br />
qz<br />
px<br />
py<br />
pz<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ = pxqx +pyqy +pzqz<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ = qxpx +qypy +qzpz<br />
D-4
• Equazione (3.8b): si consideri la notazione vettoriale; si ha:<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�p∧�q = �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�q ∧�p = �<br />
�<br />
�<br />
px py pz<br />
qx qy qz<br />
�i �j � k<br />
qx qy qz<br />
px py pz<br />
�i �j � k<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� = (pyqz −pzqy)�i+(pzqx −pxqz)�j +(pxqy −pyqx) �k �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� = (qypz −qzpy)�i+(qzpx −qxpz)�j +(qxpy −qypx) �k. I due risultati sono chiaramente uno l’opposto <strong>del</strong>l’altro.<br />
Si consideri ora la notazione matriciale; si ha<br />
⎡<br />
[p∧]{q} = ⎣ 0 −pz<br />
⎤⎧<br />
py ⎨<br />
pz 0 −px ⎦<br />
⎩<br />
−py px 0<br />
⎡ ⎤⎧<br />
0 −qz qy ⎨<br />
[q ∧]{p} = ⎣ qz 0 −qx ⎦<br />
⎩<br />
−qy qx 0<br />
qx<br />
qy<br />
qz<br />
px<br />
py<br />
pz<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ =<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
I due risultati sono chiaramente uno l’opposto <strong>del</strong>l’altro.<br />
pyqz −pzqy<br />
pzqx −pxqz<br />
pxqy −pyqx<br />
qypz −qzpy<br />
qzpx −qxpz<br />
qxpy −qypx<br />
• Equazione (3.8c): si consideri la notazione vettoriale; sfruttando la relazione �p ∧ �q calcolata in<br />
precedenza, si ha<br />
�<br />
�r ×(�p∧�q) = rx�i+ry �j +rz � �<br />
k<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
⎫<br />
⎬<br />
�<br />
× (pyqz −pzqy)�i+(pzqx −pxqz)�j +(pxqy −pyqx) � �<br />
k<br />
= rx(pyqz −pzqy)+ry(pzqx −pxqz)+rz(pxqy −pyqx)<br />
Si potrebbe procedere come nei casi precedenti, cioè sviluppare la forma �q × (�p ∧�r) e verificare<br />
che il risultato è l’opposto <strong>di</strong> quanto ottenuto (viene lasciato al lettore come esercizio). Si osservi<br />
invece che l’ultima espressione può essere raccolta altrimenti, ovvero<br />
rx(pyqz −pzqy)+ry(pzqx −pxqz)+rz(pxqy −pyqx)<br />
= −qx(pyrz −pzry)−qy(pzrx −pxrz)−qz(pxry −pyrx).<br />
Ma l’espressione a destra <strong>del</strong>l’uguale non è altro che il risultato <strong>di</strong> −�q ×(�p∧�r).<br />
Si consideri ora la notazione matriciale; la relazione [p∧] T = −[p∧] è dovuta al fatto che per<br />
costruzione [p∧] è antisimmetrica.<br />
Per quanto riguarda la relazione usata per enunciare la proprietà con la notazione vettoriale, si<br />
consideri il fatto che {r} T [p∧]{q} è uno scalare, quin<strong>di</strong> è identico alla sua trasposta:<br />
{r} T [p∧]{q} = {q} T [p∧] T {r}.<br />
Ma la matrice [p∧] è antisimmetrica, quin<strong>di</strong><br />
{r} T [p∧]{q} = {q} T [p∧] T {r} = −{q} T [p∧]{r}.<br />
• Equazione (3.8d): viene lasciata alla curiosità <strong>del</strong> lettore.<br />
• Equazione (3.8e): viene lasciata alla curiosità <strong>del</strong> lettore.<br />
• Equazione (3.8f): viene lasciata alla curiosità <strong>del</strong> lettore.<br />
D-5<br />
⎭
Soluzione es. 3.2<br />
Si consideri la notazione vettoriale. Del termine centrifugo �a = �ω ∧ (�ω ∧�r) si consideri il termine tra<br />
parentesi, �v = �ω ∧ �r. Questo, per costruzione, è normale sia a �r che a �ω. Di conseguenza, �ω ∧ �v è<br />
ortogonale a �ω e �v. Questo significa che �a giace nel piano normale a �v ed è normale a �ω. Questo piano,<br />
per costruzione, contiene anche �r. Se ne conclude che �a è <strong>di</strong>retto come la porzione <strong>di</strong> �r perpen<strong>di</strong>colare a<br />
�ω (con verso opposto).<br />
Nel caso piano, in cui per costruzione �ω è perpen<strong>di</strong>colare a �r, il vettore�a è <strong>di</strong>retto come �r, e ha verso<br />
opposto.<br />
Si consideri la notazione matriciale. Il termine centrifugo {a} = [ω∧][ω∧]{r} può essere riscritto come<br />
{a} = ({ω}{ω} T −ω 2 [I]){r}, ove si è posto ω 2 = {ω} T {ω}. L’effetto <strong>del</strong>la matrice {ω}{ω} T −ω 2 [I] può<br />
essere separato in due contributi: il primo, {ω}{ω} T , attraverso il prodotto scalare {ω} T {r} estrae la<br />
parte <strong>di</strong> {r} <strong>di</strong>retta come {ω} e la moltiplica per il modulo <strong>di</strong> {ω} stesso; quin<strong>di</strong> moltiplica il tutto <strong>di</strong><br />
nuovo per {ω}, dando luogo ad un vettore <strong>di</strong>retto come {ω} e avente modulo pari alla lunghezza <strong>del</strong>la<br />
componente <strong>di</strong> {r} <strong>di</strong>retta come {ω} per il modulo <strong>di</strong> {ω} al quadrato. Il secondo contributo, −ω 2 [I],<br />
dà luogo ad un vettore <strong>di</strong>retto come {r} il cui modulo è pari al modulo <strong>di</strong> {r} per il modulo <strong>di</strong> {ω} al<br />
quadrato. L’insieme dei due contributi consiste quin<strong>di</strong> nella sola porzione <strong>di</strong> {r} perpen<strong>di</strong>colare a {ω}<br />
moltiplicata per l’opposto <strong>del</strong> quadrato <strong>del</strong> modulo <strong>di</strong> {ω} stesso.<br />
Anche in questo caso, se si considera un problema piano, {r} è per definizione perpen<strong>di</strong>colare a {ω};<br />
<strong>di</strong> conseguenza {a} = −{ω} T {ω}{r}.<br />
Per completezza, e per evidenziare la generalità <strong>di</strong> questa operazione me<strong>di</strong>ante il formalismo matriciale,<br />
si propone un’ulteriore interpretazione. Si ridefinisca la velocità angolare {ω} come {ω} = ω{n},<br />
in cui si separa il modulo ω dal versore {n}, <strong>di</strong>retto come {ω} e <strong>di</strong> modulo unitario. Il termine centrifugo<br />
{a} = [ω∧][ω∧]{r} = ({ω}{ω} T −ω 2 [I]){r} può essere riscritto come {a} = −ω 2 ([I]−{n}{n} T ){r}.<br />
Lamatrice[P] = [I]−{n}{n} T èunproiettore (ortogonale),ovveroun’entitàcheproiettaunvettorein<br />
un sottospazio <strong>del</strong> suo spazio <strong>di</strong> definizione. In questo caso il sottospazio è dato dalle <strong>di</strong>rezioni ortogonali<br />
a {n}. I proiettori ortogonali godono <strong>del</strong>le proprietà<br />
• [P] T = [P]<br />
• [P] 2 = [P]<br />
È imme<strong>di</strong>ato verificarle entrambe.<br />
Il vettore {r} può essere decomposto in una parte <strong>di</strong>retta come {n} ed una ortogonale ad {n}, ovvero<br />
{r} = rn{n}+rm{m}, con {n} T {m} = 0. Ne consegue che<br />
{a} = [P]{r}<br />
�<br />
= [I]−{n}{n} T��<br />
�<br />
rn{n}+rm{m}<br />
= rn{n}+rm{m}−rn{n}{n} T {n}<br />
= rm{m}<br />
� �� �<br />
1<br />
−rm{n}{n} T {m}<br />
� �� �<br />
0<br />
L’operazionepuòessereestesaaspazi<strong>di</strong><strong>di</strong>mensionearbitrariaeallaproiezioneinsottospazi<strong>di</strong><strong>di</strong>mensioni<br />
arbitrarie purché inferiori.<br />
Soluzione es. 3.3<br />
La generica matrice <strong>di</strong> rotazione [R] è ortonormale, ovvero [R] T [R] = [R][R] T = [I]. Si derivi rispetto al<br />
tempo la seconda relazione,<br />
d<br />
�<br />
[R][R]<br />
dt<br />
T�<br />
= ˙ [R][R] T +[R] [R] ˙<br />
T<br />
= [0].<br />
D-6
Siccome [R] ˙ [R] T<br />
= ( ˙<br />
[R][R] ˙ T �<br />
= − [R][R] ˙ T� T<br />
,<br />
[R][R] T ) T , se ne deduce che<br />
ovvero che la trasposta <strong>di</strong> [R] ˙ [R] T<br />
è uguale al suo opposto. Ma questo implica che [R] ˙ [R] T<br />
sia esprimibile<br />
come [ω∧], ovvero come la matrice prodotto vettore <strong>di</strong> un vettore {ω}, che assume il significato <strong>di</strong> velocità<br />
angolare.<br />
Soluzione es. 3.4<br />
In analogia con l’esercizio precedente, la derivazione <strong>di</strong> [R] T [R] dà<br />
d<br />
�<br />
[R]<br />
dt<br />
T �<br />
[R] = ˙ [R] T<br />
[R]+[R] T [R] ˙ = [0],<br />
da cui si ricava<br />
[R] T ˙<br />
[R] = [v ∧],<br />
dove {v} è un generico vettore 1 . Si consideri ora<br />
[v ∧] = [v ∧][R] T [R] = [R] T ˙<br />
[R][R] T [R] = [R] T [ω ∧][R].<br />
Se ne deduce che {v} = [R] T {ω} = {ω}.<br />
Soluzione es. 3.5<br />
Si consideri la prima <strong>del</strong>le matrici <strong>del</strong>la (3.23). Dalla sua derivazione rispetto al tempo si ottiene<br />
⎛⎡<br />
⎤⎞<br />
⎡ ⎤<br />
1 0 0 0 0 0<br />
d<br />
⎝⎣<br />
0 cosα −sinα ⎦⎠<br />
= ˙α ⎣ 0 −sinα −cosα ⎦.<br />
dt<br />
0 sinα cosα 0 cosα −sinα<br />
Dal prodotto <strong>del</strong>la derivata per la trasposta <strong>del</strong>la matrice stessa si ottiene<br />
⎡<br />
0 0 0<br />
⎤⎡<br />
1 0 0<br />
⎤ ⎡ ⎤<br />
0 0 0<br />
˙α ⎣ 0 −sinα −cosα ⎦⎣<br />
0 cosα sinα ⎦ = ˙α ⎣ 0 0 −1 ⎦<br />
0 cosα −sinα 0 −sinα cosα 0 1 0<br />
da cui si ricava {ω} = [0,0, ˙α] T , ovvero un vettore il cui modulo è ˙α e la cui <strong>di</strong>rezione è data dall’asse x.<br />
In modo analogo si calcola la velocità angolare associata alle rimanenti due matrici <strong>del</strong>la (3.23).<br />
Soluzione es. 3.7<br />
Il momento statico {sQ} e la matrice d’inerzia [JQ] risultano dagli integrali <strong>del</strong>la (3.36),<br />
�<br />
{sQ} = ρ{r} dV<br />
V<br />
�<br />
[JQ] = ρ[r ∧][r ∧] T dV.<br />
V<br />
Il vettore {r} può essere espresso in funzione <strong>del</strong> suo valore in un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il<br />
corpo come {r} = [R]{r}, da cui<br />
� �<br />
{sQ} = ρ[R]{r} dV = [R] ρ{r} dV = [R]{sQ}<br />
V<br />
�<br />
V<br />
[JQ] = ρ[([R]r)∧][([R]r)∧]<br />
V<br />
T �<br />
dV = [R]ρ[r ∧][R]<br />
V<br />
T [R][r ∧] T [R] T dV<br />
�<br />
= [R] ρ[r ∧][r ∧] T dV [R] T = [R] � � T<br />
JQ [R] .<br />
V<br />
1 È evidente che anche {v} sarà legato in qualche modo alla velocità angolare.<br />
D-7
Soluzione es. 3.8<br />
Il momento statico {sQ} varia al variare <strong>del</strong>l’orientazione <strong>del</strong> corpo. Essendo definito rispetto al polo<br />
Q, non risente <strong>di</strong> una pura traslazione <strong>del</strong> corpo, ma soltanto <strong>di</strong> una rotazione rispetto a tale polo.<br />
Di conseguenza, definito un valore rispetto ad una orientazione <strong>di</strong> riferimento, {sQ}, e una matrice<br />
<strong>di</strong> rotazione [R] dall’orientazione <strong>di</strong> riferimento a quella corrente, il momento statico nell’orientazione<br />
corrente è<br />
{sQ} = [R]{sQ}.<br />
La sua derivata rispetto al tempo è quin<strong>di</strong><br />
{˙sQ} = [ω ∧][R]{sQ} = [ω ∧]{sQ}.<br />
La matrice <strong>di</strong> inerzia, allo stesso modo, risente solo <strong>di</strong> una rotazione rigida rispetto al polo Q. Di<br />
conseguenza, definito un valore <strong>di</strong> riferimento [JQ], la matrice <strong>di</strong> inerzia nell’orientazione corrente è<br />
[JQ] = [R] � � T<br />
JQ [R] .<br />
A questa considerazione si può arrivare in <strong>di</strong>versi mo<strong>di</strong>; qui si preferisce una considerazione ‘operativa’.<br />
L’energia cinetica associata alla rotazione <strong>di</strong> un corpo rigido non <strong>di</strong>pende dal sistema <strong>di</strong> riferimento, è un<br />
invariante scalare <strong>del</strong> moto. Nella configurazione corrente, essa è {ω} T [JQ]{ω}/2. Nella configurazione <strong>di</strong><br />
riferimento, per la quale {ω} = [R] T {ω}, si ha {ω} T [JQ]{ω}/2. Le due espressioni devono essere uguali,<br />
per cui si ottiene<br />
1<br />
2 {ω}T � � 1<br />
JQ {ω} =<br />
2 {ω}T [R] � � T 1<br />
JQ [R] {ω} =<br />
2 {ω}T [JQ]{ω},<br />
da cui, per l’arbitrarietà <strong>di</strong> {ω}, si ricava [JQ] = [R][JQ][R] T . La sua derivata è quin<strong>di</strong><br />
� �<br />
JQ<br />
˙ = [ω ∧][R] � � T � � � � � �<br />
T T<br />
JQ [R] +[R] JQ [R] [ω ∧] = [ω ∧] JQ<br />
˙ + JQ<br />
˙ [ω ∧] T .<br />
Soluzione es. 3.9<br />
Il momento statico {sQ} e la matrice d’inerzia [JQ] in un sistema <strong>di</strong> riferimento solidale con il corpo sono<br />
costanti per definizione; <strong>di</strong> conseguenza la loro derivata è nulla.<br />
Soluzione es. 3.10<br />
Usando la notazione vettoriale e applicando la (3.8b)<br />
�r ∧�ω ∧�ω ∧�r =�r ∧(�ω ∧(�ω ∧�r))<br />
= −(�ω ∧(�ω ∧�r))∧�r.<br />
Quin<strong>di</strong>, applicando ripetutamente la (3.8f) e la (3.8b),<br />
−(�ω ∧(�ω ∧�r))∧�r = −�ω ∧(�ω ∧�r)∧�r +(�ω ∧�r)∧�ω ∧�r<br />
= −�ω ∧�ω ∧�r ∧�r +�ω ∧�r ∧�ω ∧�r + ✭✭✭✭✭✭✭✭<br />
(�ω ∧�r)∧(�ω ∧�r)<br />
= − ✭✭✭✭✭✭✭<br />
�ω ∧�ω ∧(�r ∧�r)−�ω ∧�r ∧�r ∧�ω<br />
È forse più intuitivo usare la notazione matriciale anziché quella vettoriale; in questo caso, l’obbiettivo<br />
è <strong>di</strong>mostrare che<br />
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = −[ω ∧][r ∧][r ∧]{ω}.<br />
Si consideri la proprietà (3.8d), qui riscritta per como<strong>di</strong>tà:<br />
[a∧][b∧] = {b}{a} T −{a} T {b}[I].<br />
D-8
La si usi per sostituire il contributo [ω∧][ω∧] con {ω}{ω} T −{ω} T {ω}[I], ovvero<br />
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = [r ∧]{ω}{ω} T {r}−{ω} T {ω}[r ∧]{r} .<br />
� �� �<br />
{0}<br />
Il contributo {ω} T {r} è scalare, quin<strong>di</strong> può essere riscritto come {r} T {ω}. Il contributo [r∧]{ω} ricordando<br />
la proprietà <strong>di</strong> antisimmetria <strong>del</strong> prodotto vettore può essere invece riscritto come −[ω∧]{r};<br />
quin<strong>di</strong><br />
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = [r ∧]{ω}{ω} T {r}<br />
= −[ω ∧]{r}{r} T {ω}.<br />
A questo punto, è possibile aggiungere arbitrariamente un contributo <strong>del</strong> tipo {r} T {r}[I][ω∧]{ω} in<br />
quanto identicamente nullo; si ottiene<br />
[r ∧][ω ∧][ω ∧]{r} = [r ∧]{ω}{ω} T {r}<br />
Soluzione es. 3.11<br />
= −[ω ∧]{r}{r} T {ω}<br />
�<br />
= −[ω ∧] {r}{r} T −{r} T �<br />
{r}[I] {ω}<br />
= −[ω ∧][r ∧][r ∧]{ω}.<br />
La verifica <strong>del</strong>la simmetria è imme<strong>di</strong>ata: la matrice <strong>di</strong> inerzia, nella (3.36), è definita come<br />
�<br />
[JQ] = − ρ[r ∧][r ∧] dV.<br />
V<br />
Grazie alla proprietà <strong>di</strong> antisimmetria <strong>del</strong>la matrice che esprime il prodotto vettore, questa si può<br />
riscrivere<br />
�<br />
[JQ] = ρ[r ∧][r ∧] T dV.<br />
V<br />
Siccome il prodotto <strong>di</strong> una matrice per la sua trasposta dà una matrice simmetrica, la [JQ] è simmetrica<br />
per costruzione.<br />
Verificare che la matrice <strong>di</strong> inerzia sia definita positiva richiede una trattazione più elaborata. Una<br />
<strong>del</strong>le proprietà <strong>del</strong>le matrici definite positive consiste nell’avere tutti gli autovalori positivi. Come descritto<br />
nella nota 6 <strong>di</strong> pagina 3-10, gli autovalori <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> inerzia sono i momenti principali <strong>di</strong><br />
inerzia, ovvero i momenti <strong>di</strong> inerzia calcolati rispetto agli assi principali <strong>di</strong> inerzia. Siccome un cambiamento<br />
<strong>di</strong> orientazione non cambia le proprietà invarianti <strong>di</strong> una matrice, quali gli autovalori, non si lede<br />
la generalità se ci si riferisce fin dall’inizio al sistema <strong>di</strong> riferimento principale d’inerzia. In questo caso<br />
speciale la matrice d’inerzia, data da<br />
�<br />
[JQ] =<br />
V<br />
ρ[r ∧][r ∧] T �<br />
dV =<br />
V<br />
⎡<br />
ρ⎣<br />
y 2 +z 2 −xy −xz<br />
−yx z 2 +x 2 −yz<br />
−zx −zy x 2 +y 2<br />
⎤<br />
⎦ dV,<br />
ha i coefficienti extra-<strong>di</strong>agonali identicamente nulli. Siccome la densità ρ è positiva, i coefficienti <strong>di</strong>agonali<br />
sono positivi per costruzione, perché integrali <strong>di</strong> funzioni sempre positive (tranne che in un insieme<br />
limitato <strong>di</strong> punti; ma la matrice non può essere semidefinita perché ciò implicherebbe che almeno due<br />
<strong>di</strong>mensioni siano nulle, ad esempio che il corpo sia un segmento <strong>di</strong> retta).<br />
D-9
Soluzione es. 3.12<br />
Si consideri l’espressione <strong>del</strong>le coppie d’inerzia data dalla (3.40b). L’espressione <strong>del</strong>la potenza è<br />
Π = {ω} T {CiG} = {ω} T (−[JG]{˙ω}−[ω ∧][JG]{ω}).<br />
Si noti però che {ω} T [ω∧] = {0} T (perché? lo si verifichi), quin<strong>di</strong><br />
Π = −{ω} T [JG]{˙ω}.<br />
Si verifichi che l’espressione trovata è l’opposto <strong>del</strong>la derivata rispetto al tempo <strong>del</strong>l’energia cinetica<br />
associata alla rotazione, {ω} T [JG]{ω}/2.<br />
Soluzione es. 3.13<br />
La (3.40a) ci <strong>di</strong>ce che le forze d’inerzia sono nulle, in quanto il baricentro, che per ipotesi si trova sull’asse<br />
<strong>di</strong> rotazione, ha accelerazione nulla. La (3.40b), nell’ipotesi che il sistema <strong>di</strong> riferimento in cui è espressa<br />
la matrice dei momenti <strong>di</strong> inerzia [JG] non sia principale d’inerzia, ci <strong>di</strong>ce che le coppie d’inerzia sono<br />
⎧<br />
⎨<br />
{CiG} = −<br />
⎩<br />
−IxzG<br />
−IyzG<br />
IzzG<br />
Soluzione es. 3.14<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ˙ωz<br />
⎧<br />
⎨<br />
−<br />
⎩<br />
La derivata <strong>del</strong>la (3.50a) è imme<strong>di</strong>ata:<br />
� �<br />
˙Q = m{˙vG}.<br />
IyzG<br />
−IxzG<br />
0<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ ω2 z.<br />
La derivata <strong>del</strong>la (3.50b) comporta anche la derivazione rispetto al tempo <strong>del</strong>la matrice <strong>di</strong> inerzia, ovvero<br />
� � � �<br />
˙ΓG = [JG]{˙ω}+ JG<br />
˙ {ω}.<br />
La derivata <strong>del</strong>la matrice d’inerzia è<br />
� �<br />
JG<br />
˙ = [ω ∧][JG]+[JG][ω ∧] T ;<br />
la sua sostituzione nella derivata <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>le quantità <strong>di</strong> moto comporta un prodotto [ω∧] T {ω},<br />
che è nullo per definizione. Si ottiene così<br />
� �<br />
˙ΓG = [JG]{˙ω}+[ω ∧][JG]{ω}.<br />
Dal momento che {Fi} = −{ ˙ Q} e {CiG} = −{ ˙ ΓG}, si riottengono le (3.40).<br />
Soluzione es. 3.15<br />
La soluzione è già stata data come soluzione <strong>del</strong>l’esercizio 3.4. Viene qui proposta una <strong>di</strong>mostrazione<br />
alternativa. Una rotazione in generale rappresenta un cambiamento <strong>del</strong> ‘punto <strong>di</strong> vista’ rispetto al<br />
quale si guarda una relazione tra vettori, non la natura dei vettori né <strong>del</strong>la relazione. Si consideri il<br />
prodotto vettore tra {ω} e un generico vettore {v}, espresso nello stesso sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong> primo.<br />
L’operazione dà<br />
{z} = [ω ∧]{v}.<br />
La stessa operazione può essere svolta come sequenza <strong>di</strong> operazioni che portano entrambi i vettori {ω} e<br />
{v} in un altro sistema <strong>di</strong> riferimento, me<strong>di</strong>ante moltiplicazione per [R], e poi riportano il risultato nel<br />
sistema <strong>di</strong> riferimento iniziale me<strong>di</strong>ante moltiplicazione per [R] T , ovvero<br />
D-10
{ω} = [R]{ω}<br />
{v} = [R]{v}<br />
{z} = [ω ∧]{v}<br />
{z} = [R] T {z}.<br />
Quin<strong>di</strong> {z} = [ω∧]{v} = [R] T [ω∧][R]{v}, ovvero, per l’arbitrarietà <strong>di</strong> {v}, [([R] T {ω})∧] = [R] T [ω∧][R].<br />
Soluzione es. 3.16<br />
La velocità angolare tra il corpo e il telaio nel sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale (3.66) è<br />
⎧<br />
⎨ ˙Ψ<br />
{ω} = −<br />
⎩<br />
˙ ⎫<br />
⎬<br />
ΦsinΨ<br />
˙ΦcosΨ<br />
⎭ .<br />
La sua derivata è<br />
⎧<br />
⎨ ¨Ψ<br />
{˙ω} = −<br />
⎩<br />
¨ ⎫<br />
⎬<br />
ΦsinΨ<br />
¨ΦcosΨ<br />
⎭ −<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
cosΨ<br />
⎩ ⎭<br />
sinΨ<br />
˙ Ψ˙ Φ.<br />
In con<strong>di</strong>zioni nominali, ¨ Ψ = ¨ Φ = 0, quin<strong>di</strong><br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{˙ω} = − cosΨ<br />
⎩ ⎭<br />
sinΨ<br />
˙ Ψ˙ Φ.<br />
La matrice d’inerzia nel sistema solidale con il corpo, [J] = <strong>di</strong>ag(I,I,I3) rimane inalterata quando la<br />
si trasforma nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong>la cassa; quando la si trasforma nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong><br />
telaio, si ottiene<br />
⎡<br />
[JG] = ⎣<br />
⎡<br />
= ⎣<br />
1 0 0<br />
0 cosΨ −sinΨ<br />
0 sinΨ cosΨ<br />
⎤⎡<br />
⎦⎣<br />
I 0 0<br />
0 I 0<br />
0 0 I3<br />
⎤⎡<br />
⎦⎣<br />
I 0 0<br />
0 Icos 2 Ψ+I3sin 2 Ψ (I −I3)cosΨsinΨ<br />
0 (I −I3)cosΨsinΨ Isin 2 Ψ+I3cos 2 Ψ<br />
La coppia d’inerzia nel sistema <strong>di</strong> riferimento inerziale <strong>di</strong>venta<br />
⎧ ⎫<br />
⎨ 0 ⎬<br />
{CiG} = cosΨ<br />
⎩ ⎭<br />
sinΨ<br />
I3 ˙ Ψ˙ Φ<br />
1 0 0<br />
0 cosΨ sinΨ<br />
0 −sinΨ cosΨ<br />
La sua proiezione nel riferimento solidale con la cassa dà <strong>di</strong> nuovo la (3.72).<br />
Capitolo 14<br />
Soluzione es. 14.3<br />
Se due autovalori ωi e ωj sono uguali, pur avendo autovettori <strong>di</strong>stinti, la relazione<br />
� 2<br />
ωi −ω 2� T<br />
j {X} j [M]{X} i = 0 (D.1)<br />
D-11<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎦
è verificata anche se gli autovettori non sono ortogonali, e quin<strong>di</strong> in generale è possibile che<br />
{X} T<br />
j [M]{X} i �= 0. (D.2)<br />
Questa relazione può essere utilizzata per imporre l’ortogonalizzazione degli autovettori. Per esempio,<br />
si scelga <strong>di</strong> preservare {X}i; se la (D.2) è vera occorre mo<strong>di</strong>ficare {X}j affinché sia ortogonale a {X}i<br />
attraverso la matrice <strong>di</strong> massa. Si scelga <strong>di</strong> scrivere<br />
{X} ′<br />
j = {X} j −α{X} i , (D.3)<br />
ovvero <strong>di</strong> combinare linearmente {X}j con {X}i attraverso il coefficiente incognito α, in modo da sottrarre<br />
a {X}j un vettore <strong>di</strong> ampiezza incognita allineato con {X}i. Si imponga ora l’ortogonalità tra<br />
{X} ′ j e {X}i attraverso la matrice <strong>di</strong> massa,<br />
{X} T<br />
i [M]<br />
� �<br />
{X} j −α{X} i = 0, (D.4)<br />
da cui si ricava<br />
{X} T<br />
i [M]{X} i<br />
� �� �<br />
mi<br />
α = {X} T<br />
i [M]{X} j . (D.5)<br />
Siccome la matrice <strong>di</strong> massa è definita positiva, mi > 0, quin<strong>di</strong> è possibile esplicitare α:<br />
α = {X}T i [M]{X} j<br />
{X} T<br />
i [M]{X} . (D.6)<br />
i<br />
A questo punto {X} ′ j sostituisce l’autovettore originario {X}j.<br />
Capitolo 15<br />
Soluzione es. 15.1<br />
Si consideri, come suggerito, un cambio <strong>di</strong> variabile η = t−τ; ne consegue τ = t−η e dτ = dη. Quin<strong>di</strong><br />
la convoluzione <strong>di</strong>venta<br />
{x(t)} =<br />
� t<br />
0<br />
e [A](t−τ) [B]{u(τ)} dτ =<br />
� 0<br />
t<br />
e [A](η) [B]{u(t−η)} (−dη)<br />
A questo punto, data l’arbitrarietà <strong>del</strong>la variabile <strong>di</strong> integrazione η, la si può ribattezzare τ; inoltre,<br />
invertendo gli estremi <strong>di</strong> integrazione, l’integrale cambia segno, per cui si ottiene<br />
{x(t)} =<br />
� t<br />
0<br />
e [A](τ) [B]{u(t−τ)} dτ,<br />
ovvero quanto si voleva verificare.<br />
Soluzione es. 15.2<br />
Si consideri una funzione <strong>di</strong> trasferimento non strettamente propria definita come<br />
y = b0sn + �n n−i<br />
i=1bis sn + �n u<br />
aisn−i i=1<br />
(è strettamente propria se b0 = 0). A numeratore si sommi e si sottragga �<br />
i=1,n ais n−i moltiplicato per<br />
b0; si ottiene<br />
y = b0s n + � n<br />
i=1 bis n−i +b0<br />
��n i=1aisn−i� ��n −b0 i=1<br />
s n + � n<br />
i=1<br />
ais n−i<br />
= b0<br />
� � n n<br />
s + i=1aisn−i� + �n i=1bisn−i −b0<br />
�<br />
= b0 +<br />
� n<br />
s n + � n<br />
i=1 (bi −b0ai)s n−i<br />
s n + � n<br />
i=1<br />
ais n−i<br />
i=1<br />
�<br />
u.<br />
ais n−i<br />
D-12<br />
�� n<br />
i=1<br />
aisn−i� u<br />
aisn−i� u
Quin<strong>di</strong> il termine <strong>di</strong> trasmissione <strong>di</strong>retta b0u si somma ad una funzione <strong>di</strong> trasferimento strettamente<br />
propria i cui coefficienti <strong>del</strong> numeratore sono b ′ i = bi −b0ai.<br />
Soluzione es. 15.6<br />
Il problema in esame può essere realizzato agli stati come<br />
�<br />
0<br />
[A] =<br />
−ω<br />
1<br />
2 0<br />
�<br />
−2ξω0<br />
�<br />
[B] =<br />
con ω0 = � k/m e ξ = r/rc = r/(2 √ km). L’inversa <strong>del</strong>la matrice [A] è<br />
[A] −1 =<br />
� −2ξ/ω0 −1/ω 2 0<br />
1 0<br />
�<br />
.<br />
0<br />
1/m<br />
La valutazione <strong>del</strong>l’esponenziale <strong>di</strong> matrice si può ricavare a partire dalla sua decomposizione spettrale,<br />
con<br />
[A] = [X][Λ][X] −1 ,<br />
� �<br />
σ +jω 0<br />
[Λ] =<br />
0 σ −jω<br />
� �<br />
1 1<br />
[X] =<br />
σ +jω σ −jω<br />
�<br />
e σ = −ω0ξ e ω = ω0 1−ξ 2 . L’esponenziale <strong>di</strong>venta<br />
con<br />
e [A](t−t1) = [X]e [Λ](t−t1) [X] −1 ,<br />
e [Λ](t−t1) =<br />
� e (σ+jω)(t−t1) 0<br />
0 e (σ−jω)(t−t1)<br />
�<br />
.<br />
Dal momento che l’esponenziale <strong>del</strong>la matrice deve essere moltiplicata per [B], è sufficiente valutarne<br />
l’ultima colonna, ovvero<br />
e [A](t−t1) [B] = eσ(t−t1)<br />
⎡<br />
sin(ω(t−t1))<br />
⎢<br />
⎣ ω<br />
m σ<br />
ω sin(ω(t−t1))+cos(ω(t−t1))<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦.<br />
Quin<strong>di</strong> si ha<br />
e infine<br />
⎡<br />
�<br />
[I]−e [A](t−t1)�<br />
[B] = 1 ⎢<br />
m ⎣<br />
1−e σ(t−t1)<br />
−step(t−t1)[A] −1�<br />
[I]−e [A](t−t1)�<br />
[B] = step(t−t1) ⎢<br />
k ⎣<br />
sin(ω(t−t1))<br />
σ(t−t1) −e<br />
� ω<br />
σ<br />
ω sin(ω(t−t1))+cos(ω(t−t1))<br />
�<br />
⎡<br />
�<br />
1+e σ(t−t1)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
�<br />
σ<br />
ω sin(ω(t−t1))−cos(ω(t−t1))<br />
�<br />
ω2 sin(ω(t−t1))<br />
σ(t−t1)<br />
0e<br />
ω<br />
È relativamente agevole verificare come questa soluzione corrisponda alla soluzione statica meno la<br />
soluzione <strong>del</strong>l’integrale generale trovata per altra via nella sezione 6.3.<br />
D-13<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ .
Soluzione es. 15.7<br />
Si consideri la convoluzione<br />
{x(t)} p =<br />
� t<br />
0<br />
e [A]τ [B]{u(t−τ)} dτ<br />
Si sviluppi l’ingresso in serie <strong>di</strong> Taylor rispetto a τ; senza ledere la generalità ci si può arrestare al primo<br />
termine:<br />
{u(t−τ)} ∼ = {u(t)}− d{u(t)}<br />
τ<br />
dτ<br />
L’integrale <strong>di</strong> convoluzione <strong>di</strong>venta<br />
{x(t)} p ∼ =<br />
=<br />
� t<br />
0<br />
� t<br />
0<br />
e [A]τ �<br />
[B] {u(t)}− d{u(t)}<br />
�<br />
τ dτ<br />
dτ<br />
e [A]τ dτ [B]{u(t)}−<br />
Il primo integrale dà semplicemente<br />
� t<br />
e<br />
0<br />
[A]τ dτ = [A] −1 e [A]τ<br />
�<br />
�<br />
� t<br />
0<br />
� t<br />
0<br />
= [A] −1�<br />
e [A]t �<br />
−[I] .<br />
e [A]τ τ dτ [B] d{u(t)}<br />
dτ<br />
Il secondo integrale può essere risolto me<strong>di</strong>ante integrazione per parti: la derivata <strong>di</strong> prodotto <strong>di</strong> funzioni<br />
ci <strong>di</strong>ce che f ′ g = (fg) ′ −fg ′ , per cui, posto f ′ = e [A]τ e g = τ, per cui f = [A] −1 e [A]τ e g ′ = 1, si ottiene<br />
� t<br />
0<br />
Di conseguenza,<br />
e [A]τ �<br />
−1<br />
τ dτ = [A] e [A]τ ��t ��<br />
τ −[A]<br />
0<br />
−1<br />
� t<br />
0<br />
e [A]τ dτ = [A] −1 e [A]t t−[A] −2�<br />
e [A]t �<br />
−[I] .<br />
{x(t)} ∼ −1<br />
p = [A] �<br />
e [A]t � �<br />
−[I] [B]{u(t)}− [A] −1 e [A]t t−[A] −2�<br />
e [A]t ��<br />
−[I] [B] d{u(t)}<br />
dτ<br />
Se la <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema è abbastanza più veloce rispetto alla variabilità <strong>del</strong>l’ingresso, tutti i termini<br />
esponenziali che risultano dagli integrali <strong>di</strong> convoluzione si annullano molto rapidamente al crescere <strong>di</strong> t,<br />
quin<strong>di</strong> si ottiene<br />
e quin<strong>di</strong><br />
{x(t)} ∼ −1<br />
p = [A] �<br />
✟ ✟<br />
�<br />
[A]t<br />
e −[I] [B]{u(t)}−<br />
�<br />
✘✘ ✘✘✘<br />
= −[A] −1 [B]{u(t)}−[A] −2 [B] d{u(t)}<br />
,<br />
dτ<br />
[A] −1 e [A]t t−[A] −2�<br />
{y(t)} = −[C][A] −1 [B]{u(t)}−[C][A] −2 [B] d{u(t)}<br />
dτ<br />
✟ ✟<br />
��<br />
[A]t<br />
e −[I] [B] d{u(t)}<br />
dτ<br />
che è quanto si voleva verificare. Arrestando lo sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor a termini <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore<br />
si ottiene la formula <strong>del</strong>l’approssimazione quasi-stazionaria <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne desiderato.<br />
Soluzione es. 15.9<br />
Si consideri {x} = [H]{q}, con [H] = [[Hl][Hv]] e {q} = {{ql};{qv}}. L’equazione <strong>del</strong> moto<br />
[M]{¨x}+[K]{x} = {f} (D.7)<br />
D-14
nelle nuove coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong>venta<br />
�<br />
mll mlv<br />
mT lv mvv<br />
�� �<br />
¨ql<br />
+<br />
¨qv<br />
� kll klv<br />
k T lv kvv<br />
�� ql<br />
qv<br />
�<br />
=<br />
� H T l f<br />
H T v f<br />
�<br />
(D.8)<br />
dove per semplicità <strong>di</strong> notazione d’ora in avanti si omettono le parentesi che in<strong>di</strong>cano semplicemente<br />
r<br />
matrici e vettori. Se si approssima ¨qv = 0, dal secondo blocco si ricava<br />
� T<br />
Hv f −m T lv¨ql −k T �<br />
lvql , (D.9)<br />
qv = k −1<br />
vv<br />
che, sostituito nel primo blocco dà<br />
� mll −klvk −1<br />
vv m T lv<br />
Il risultato è<br />
x = Hlql +Hvk −1<br />
vv<br />
� ¨ql + � kll −klvk −1<br />
vv k T lv<br />
� T<br />
Hv f −m T lv¨ql −k T �<br />
lvql<br />
= Hvk −1<br />
vv H T v f −Hvk −1<br />
vv m T lv¨ql + � Hl −Hvk −1<br />
vv k T lv<br />
La matrice <strong>di</strong> rigidezza nelle nuove coor<strong>di</strong>nate è data dalla relazione<br />
da cui<br />
e quin<strong>di</strong><br />
�<br />
ql = � H T l −klvk −1<br />
vv H T� v f (D.10)<br />
� ql. (D.11)<br />
k = H T KH (D.12)<br />
K = H −T kH −1<br />
K −1 = Hk −1 H T<br />
con, per il lemma <strong>di</strong> inversione <strong>del</strong>le matrici,<br />
k −1 � �<br />
kll −klvk<br />
=<br />
−1<br />
vv kT �−1 lv<br />
−k−1 vv kT �<br />
lv<br />
kll −klvk −1<br />
�−1 e quin<strong>di</strong><br />
K −1 = Hl<br />
vv k T lv<br />
− � kll −klvk −1<br />
vv kT �−1klvk lv<br />
−1<br />
vv<br />
k−1 vv +k−1 vv kT �<br />
lv<br />
kll −klvk −1<br />
vv kT �−1klvk lv<br />
−1<br />
vv<br />
�<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 T<br />
lv Hl �<br />
−Hl kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
vv H T v<br />
−Hvk −1<br />
vv k T �<br />
lv kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 T<br />
lv Hl +Hvk −1<br />
vv H T v +Hvk −1<br />
vv k T �<br />
lv kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
vv H T v<br />
Il problema formulato come accelerazione dei mo<strong>di</strong> è<br />
ovvero<br />
�<br />
(D.13)<br />
(D.14)<br />
(D.15)<br />
(D.16)<br />
x = K −1 (f −MHl¨ql) (D.17)<br />
x = Hl<br />
�<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T lv<br />
�<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
�<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T lv<br />
−Hl<br />
−Hvk −1<br />
vv k T lv<br />
+Hvk −1<br />
vv H T v (f −MHl¨ql)<br />
+Hvk −1<br />
vv k T lv<br />
= � Hl −Hvk −1<br />
+<br />
�−1 H T l (f −MHl¨ql)<br />
�<br />
Hvk −1<br />
vv + � Hvk −1<br />
vv k T lv −Hl<br />
vv H T v (f −MHl¨ql)<br />
�−1 T<br />
Hl (f −MHl¨ql)<br />
�<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
vv k T�� lv kll −klvk −1<br />
vv k T lv<br />
��<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T lv<br />
vv H T v (f −MHl¨ql)<br />
�−1� � T<br />
Hl f −mll¨ql<br />
�−1<br />
klvk −1<br />
��HT vv v f −m T �<br />
lv¨ql<br />
D-15<br />
(D.18)
Siccome<br />
si ottiene<br />
H T l f −mll¨ql = kllql +klvqv = � kll −klvk −1<br />
vv k T lv<br />
x = � Hl −Hvk −1<br />
vv k T lv<br />
�<br />
+ Hvk −1<br />
vv − � Hl −Hvk −1<br />
= � Hl −Hvk −1<br />
vv k T lv<br />
� ql −klvk −1<br />
vv m T lv¨ql +klvk −1<br />
vv H T v f (D.19)<br />
��<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T�−1�� lv kll −klvk −1<br />
vv k T� lv ql −klvk −1<br />
vv m T lv¨ql +klvk −1<br />
vv k T�� lv kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
��HT vv v f −m T �<br />
lv¨ql<br />
�<br />
ql<br />
− � Hl −Hvk −1<br />
vv k T�� lv kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
vv m T lv¨ql<br />
+ � Hl −Hvk −1<br />
vv k T�� lv kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
vv H T v f<br />
+Hvk −1<br />
vv H T v f<br />
−Hvk −1<br />
vv m T lv¨ql<br />
− � Hl −Hvk −1<br />
vv k T�� lv kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
vv H T v f<br />
��<br />
kll −klvk −1<br />
vv k T�−1 lv klvk −1<br />
�<br />
ql<br />
+ � Hl −Hvk −1<br />
vv k T lv<br />
vv m T lv¨ql<br />
= Hvk −1<br />
vv H T v f −Hvk −1<br />
vv m T lv¨ql + � Hl −Hvk −1<br />
vv k T lv<br />
ovvero ciò che si voleva <strong>di</strong>mostrare.<br />
D-16<br />
vv H T v f �<br />
(D.20)
Bibliografia<br />
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[2] H. E. Merritt, Hydraulic Control Systems. New York: John Wiley & Sons, 1967.<br />
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[4] C. Moler and C. V. Loan,“Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty-five<br />
years later,”SIAM Review, vol. 45, no. 1, pp. 3–49, 2003.<br />
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D-17