corso di tecnica ed economia dei trasporti aa 2006-07 diagrammi ...

Corso di Tecnica ed Economia dei Trasporti 

Docente: Michele Ottomanelli 

POLITECNICO DI BARI 

II FACOLTA’ DI INGEGNERIA 

CORSO DI TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI 

A.A. 2006-07 

DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI 

Diagrammi del moto semplificati slide 1 di 21 



DESCRIZIONE DEL MOTO DI UN VEICOLO ISOLATO 

Il moto di un veicolo isolato viene descritto mediante 

DIAGRAMMI DEL MOTO 

Essi servono a rappresentare le variazioni nel tempo delle grandezze 

cinematiche caratterizzanti in moto del veicolo 

Spazio, Velocità, Accelerazione 

I diagrammi da individuare e di interesse sono: 

• s = s(t) 

• v = v(t) 

• a = a(t) 

• j = j(t) 

diagramma dello spazio percorso 

diagramma della velocità 

diagramma dell’accelerazione 

diagramma del contraccolpo 

Diagrammi del moto semplificati slide 2 di 21



DETERMINAZIONE DEI DIAGRAMMI DEL MOTO 

I diagrammi del moto possono essere definiti seguendo due approcci 

1) MEDIANTE LE EQUAZIONI DELLA CINEMATICA 

(diagrammi semplificati o diagrammi “tipo”) 

2) SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE GENERALE DEL MOTO 

F- R = M e dv/dt 

(diagrammi reali del moto) 




DIAGRAMMI DEL MOTO 

Diamo preventivamente delle definizioni atte ad individuare il significato delle 

grandezze cinematiche rappresentative del moto di un veicolo isolato. 

Siano: 

- t il generico istante di tempo in cui si osserva un dato veicolo (misurato 

rispetto ad un tempo iniziale di riferimento) 

- s(t) l’ascissa curvilinea che individua la posizione del veicolo all’istante di 

tempo t (misurata rispetto ad una ascissa zero di riferimento) 




PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MOTO 

VELOCITA’ 

Si definisce velocità istantanea la velocità posseduta dal veicolo all’ istante 

t: 

v(t) = ds(t) 

dt 

Siano t 1 e t 2 due istanti di tempo (con t 2 > t 1 ), si definisce velocità media 

nell’intervallo di tempo (t 1 , t 2 ): 

v M (t 1 , t 2 )= [s(t 2 ) - s(t 1 )] 

(t 2 - t 1 ) 

La stessa relazione indica la velocità commerciale media se nell’intervallo 

di tempo (t 1 , t 2 ) il veicolo si è arrestato per un certo periodo di tempo (v=0, ad 

es. arresto al semaforo o arresto di un autobus alle fermate). 





ACCELERAZIONE 

Si definisce accelerazione istantanea (all’istante t): 

a(t) = dv(t) 

dt 

Si definisce accelerazione media: 

a M (t 1 , t 2 ) = [v(t 2 ) - v(t 1 )] 

(t 2 - t 1 ) 





CONTRACCOLPO 

Si definisce contraccolpo j (jerk) la variazione istantanea dell’accelerazione: 

j(t) = da(t) 

dt 

contraccolpo istantaneo 

j M (t 1 , t 2 ) = [a(t 2 ) - a(t 1 )] 

(t 2 - t 1 ) contraccolpo medio 

Le variazioni di accelerazione sono da evitare nei sistemi di trasporto 

collettivo, per cui si cerca di mantenerle a livelli minimi. 




I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI o DIAGRAMMI “TIPO” 

Sono diagrammi del moto che rappresentano in maniera approssimata (per 

valori medi) i parametri caratteristici del moto di un veicolo isolato, 

ovvero vengono determinati sotto ipotesi semplificative 

I diagrammi del moto “tipo” consentono un rapido, anche se approssimato 

calcolo, delle prestazioni di un veicolo isolato. 

- velocità massime; 

- tempi di percorrenza; 

- tempi di avviamento; 

- accelerazione massima 

- etc. 




I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI 

Di seguito vengono esaminati 3 diagrammi tipo, che possono essere utilizzati 

in luogo diagrammi del moto reali, con un grado di approssimazione sempre 

migliore: 

– diagramma del moto a velocità uniforme (tipo rettangolare); 

– diagramma del moto con variazione lineare della velocità (tipo 

trapezio); 

– diagramma del moto con variazione lineare della accelerazione 

(diagramma a contraccolpi costanti). 

In ciascuno dei tre casi calcoleremo varie grandezze utili a descrivere il moto, 

tra cui il tempo di percorrenza complessivo. 





Diagramma rettangolare 

Ipotesi: il veicolo viaggia a velocità uniforme per l’intera tratta; 

E’ un diagramma molto approssimato: può essere usato, per un calcolo di 

massima, se e soltanto se i tempi di avviamento e di frenatura sono 

trascurabili rispetto al tempo totale di viaggio. 

Siano: 

L AB 

v M 

lo spazio da percorrere (lunghezza della tratta) 

la velocità media (costante) 

A L AB B 

Il tempo di percorrenza totale è dato da: t AB = L AB /v M 




I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - RETTANGOLO 

L’accelerazione a(t) è teoricamente infinita negli istanti di tempo iniziale e 

finale. La velocità è costante (per ipotesi), per cui il diagramma della velocità 

è rettangolare e lo spazio percorso ha andamento lineare: 

v(t) = v M 

s(t) = v M t 

v M 

V 

t 

L AB 

s 

t 




I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - TRAPEZIO 

DIAGRAMMA TRAPEZIO 

Il moto del veicolo si assume composto di 3 fasi: 

– avviamento intervallo di tempo (0, t 1 ) 

– regime intervallo di tempo (t 1 , t 2 ) 

– frenatura intervallo di tempo (t 2 , t AB ) 

Vm 

V 

0 t1 t2 t AB 

t 





Fase di avviamento 

Si ipotizza un moto uniformemente accelerato 

(a=costante=a M , velocità lineare): 

v(t) = a(t)• t= a M t 

Lo spazio percorso nell’intervallo [0, t] è pari all’integrale tra 0 e t della 

velocità istantanea : 

s(t) = ∫ 0,t v(t) dt = ∫ 0,t a M t dt = (a M t 2 )/2 

Al termine della fase di avviamento (t=t 1 ) si ha: 

v(t 1 ) = v MAX = a M (t 1 − t 0 ) = a M t 1 (1) 

da cui a M = v MAX / t 1 

s(t 1 ) = (a M t 1 2 )/2 = v 2 MAX/(2 a M ) (2) 





Fase di regime 

il moto è uniforme e valgono le seguenti relazioni: 

a(t) = 0 ; v(t) = v MAX = cost. ; s(t) = s(t 1 ) + v MAX (t - t 1 ) 

Lo spazio percorso alla fine della fase di regime è: 

s(t 2 ) = s(t 1 ) + v MAX (t 2 − t 1 ) 

Fase di frenatura [t 2 , t AB ] 

E’ analoga a quella di avviamento, con valore dell’accelerazione a(t)



Lo spazio di frenatura è dato da: 

s(t 2 , t AB ) = [a’ M (t AB −t 2 ) 2 ]/2 = v 2 MAX/(2 a’ M ) 

Lo spazio totale percorso è pari a: 

L AB = v 2 MAX/(2 a M ) + v MAX (t 2 − t 1 ) + v 2 MAX/(2 a’ M ) (1) 

L AB 

spazio percorso - s(t) 

0 t 1 t 2 t AB 

t 





Il tempo totale di percorrenza è dato dalla somma di: 

– durata della fase di avviamento t 1 = v MAX /a M 

– durata della fase a regime (t 2 - t 1 ) 

– t durata della fase di frenatura (t AB – t 2 )= v MAX /a’ M 

t AB = v MAX /a M + (t 2 - t 1 )+ v MAX /a’ M (2) 

Ricavando (t 2 - t 1 ) dalla formula (1), si ottiene: 

(t 2 - t 1 )= L AB /v MAX − v MAX /(2 a M ) − v MAX /(2 a’ M ) 

da cui, sostituendo in (2), il tempo di percorrenza totale risulta pari a: 

t AB = L AB /v MAX + v MAX /(2 a M ) +v MAX /(2 a’ M ) (3) 





I due termini nella (3) 

v MAX /(2 a M ) e v MAX /(2 a’ M ) 

sono detti perditempo, rispettivamente in avviamento ed in frenatura. 

Se i perditempo sono per ipotesi uguali 

a M = a’ M 

si ha: 

t AB = L AB /v MAX + v MAX / a M 

Il diagramma trapezio degenera in un diagramma triangolare quando è 

assente la fase di regime (diagramma sistema metropolitano). 





DIAGRAMMA AD ACCELERAZIONE LINEARE E CONTRACCOLPI COSTANTI 

Un veicolo per raggiungere una data accelerazione impiega un tempo non 

nullo. Pertanto si assume che l'accelerazione abbia una fase iniziale e 

finale con incremento e decremento lineare. 





La pendenza dell'incremento o del decremento viene definito contraccolpo 

(variazione di accelerazione nel tempo). 

Sotto tali ipotesi, viene considerata la presenza di 4 differenti contraccolpi: 

• j 1 il contraccolpo per l'incremento di accelerazione nella fase [0, t 3 ]; 

• j 2 il contraccolpo per il decremento di accelerazione nella fase [t 4 , t 1 ]; 

• j 3 il contraccolpo per il decremento di accelerazione nella fase [t 2 , t 5 ]; 

• j 4 il contraccolpo per l'incremento di accelerazione nella fase [t 6 , t AB ]. 

Per semplicità di calcolo nel seguito si suppone che: 

a M = a M1 = a M2 

j = j 1 = j 2 = j 3 = j 4 

Anche in questo caso si individuano le tre fasi: avviamento, regime e 

frenatura. 





La fase di avviamento e la fase di frenatura sono divise in tre intervalli di 

tempo ognuna. 

Durante il primo ed il terzo intervallo di ogni fase si assume il contraccolpo 

costante e diverso da zero, ovvero l’accelerazione variabile linearmente: 

j(t) = j M 

a(t) = j M · t 

Nella fase intermedia il contraccolpo è nullo e l’accelerazione è costante (vedi 

caso precedente). 

1,5 

a M1 

a (m/sec 2 ) 

0,5 

t (sec) 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

-0,5 

t AB 

a M2 

-1,5 





Nell’ipotesi semplificativa in cui si assume che: 

- i contraccolpi (4 in totale) siano in valore assoluto uguali tra loro 

- siano uguali i valori dell’accelerazione decelerazione massima 

Allora, trascurando un termine infinitesimo di ordine superiore, il tempo di 

percorrenza della tratta è pari a: 

t AB = L AB /v MAX + v MAX /a M + a M /j M 

Rispetto al caso precedente c’è l’ulteriore perditempo a M /j M . 

Questo diagramma è quello che più si avvicina alla realtà.

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