Trasformata di FourierâCenni di teoria delle distribuzioni
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Delta <strong>di</strong> Dirac<br />
Infatti<br />
La δ <strong>di</strong> Dirac NON è una <strong>di</strong>stribuzione indotta da una<br />
φ ∈ L 1 loc (R)<br />
Cioè non esiste φ ∈ L 1 loc<br />
(R) tale che<br />
g(x 0 ) = ∫ R<br />
φ(x)g(x)dx ∀g ∈ D(R)<br />
Però la successione <strong>di</strong> funzioni<br />
{ n |x − x0 | ≤ 1<br />
δ n (x − x 0 ) :=<br />
2n<br />
0 altrimenti<br />
approssima la δ(x − x 0 ) nel senso <strong>delle</strong> <strong>di</strong>stribuzioni. Cioè<br />
< T δn(x−x 0 ), g >→< δ(x − x 0 ), g > ∀g ∈ D(R)<br />
< T δn(x−x0 ), g >= ∫ x 0 + 1<br />
2n<br />
ng(x)dx = n 1 x 0 − 1<br />
n g(ξ n)<br />
2n<br />
per qualche ξ n ∈ (x 0 − 1<br />
2n , x 0 + 1<br />
2n )<br />
facendo tendere n → +∞, essendo g continua:<br />
< T δn(x−x 0 ), g >→ g(x 0 ) =< δ(x − x 0 ), g ><br />
A. Cutrì 12-11-2012 Meto<strong>di</strong> Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale
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