Trasformata di Fourier–Cenni di teoria delle distribuzioni

Trasformata di Fourier–Cenni di teoria delle
distribuzioni
Docente:Alessandra Cutrì
A. Cutrì 12-11-2012 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

Formula di inversione della Trasformata di Fourier
Come ottenere f a partire da ˆf ?
Teorema: f ∈ L 1 (R) + f ∈ C 1 a tratti Allora
f (x + ) + f (x − )
2
= 1 ∫ +∞
2π v.p. ˆf (ω)e iωx dω
−∞
dove
∫
v.p.
R
f (t)dt :=
∫ R
lim f (t)dt
R→+∞ −R
Valor principale
se f è continua in x ⇒
f (x) = 1 ∫ +∞
2π v.p. ˆf (ω)e iωx dω
−∞
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Formula di inversione della Trasformata di Fourier
Se ˆf ∈ L 1 (R) (per esempio se f ′′ ∈ L 1 ) otteniamo la formula
di antitrasformazione che avevamo incontrato nella deduzione
dell’integrale di Fourier:
f (x) = 1
2π
∫ +∞
−∞
ˆf (ω)e iωx dω
Attenzione: f ∈ L 1 (R) Non implica ˆf ∈ L 1 (R) (Es. χ [−a,a] )
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Formula di Dualità
Chi è la trasformata della trasformata di Fourier?
Teorema: Sia f ∈ L 1 (R) ∩ C 1 a tratti e ˆf la sua trasformata di
Fourier. Allora, posto
si ha
f (ω) := f (ω+ ) + f (ω − )
2
ˆf (ω) = 2πf (−ω)
f normalizzata
DIM: Per la formula di inversione:
∫
2πf (x) = v.p. ˆf (ω)e iωx dω
cambiando variabile ω ↔ x otteniamo
2πf (ω) = v.p. ∫ ˆf R
(x)e iωx dx quindi
∫
2πf (−ω) = v.p. ˆf (x)e −iωx dx
se ˆf ∈ L 1 ⇒ 2πf (−ω) = ˆf (ω)
R
R
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Esempio
f (x) = e −|x| ha per trasformata ˆf (ω) = 2
1+ω 2
Applicando la formula di dualità otteniamo
1
F(
1 + x 2 )(ω) = 1 ˆf (ω) = πf (−ω)= πe −|ω|
2
essendo ˆf ∈ L 1 e f continua e pari
Esercizio: Usando la trasformata precedente, calcolare la
trasformata di
1
x 2 −6x+13
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Trasformata di Fourier in L 2 (R)
f ∈ L 2 (R) ⇏ f ∈ L 1 (R) quindi non è detto che f sia
trasformabile in senso classico. Però
Quindi
f ∈ L 2 ([−n, n]) ∀n ∈ N ⇒ f ∈ L 1 ([−n, n]) ∀n ∈ N
χ [−n,n] f =
{ f (x) |x| ≤ n
0 |x| > n ∈ L1 (R)
Indichiamo con g n (ω) := F(χ [−n,n] f )(ω) = ∫ n
−n f (x)e−iωx dx.
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Teorema di Plancherel (1910): f ∈ L 2 (R) ⇒ g n ∈ L 2 (R) e g n
converge in L 2 (R) per n → +∞. Posto
g(ω) := lim
n→∞ g n(ω) (limite nel senso di L 2 )
si può definire g := ˆf . Inoltre vale un’ identità di Parseval:
||g|| L 2 = 2π||f || L 2
Se f ∈ L 1 (R), g = ˆf classica (generalizza la trasformata
classica)
Per ogni coppia di funzioni f 1 , f 2 ∈ L 2 (R)
(f 1 , f 2 ) = 1
2π (g 1, g 2 )
(conservazione del prodotto scalare)
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Distribuzioni–Spazio delle funzioni test
Consideriamo lo spazio delle funzioni di prova
D(R) = {f ∈ C ∞ (R) : supp f è compatto }
dove
supp f = {x : f (x) ≠ 0}
Convergenza in D(R):
f j ∈ D(R) f j → 0 in D(R) ⇔
(1) ∃A ⊂ R A compatto t.c. f j (x) ≡ 0 su A c def. per j → ∞
(2) lim |f (k)
j
(x)| = 0 ∀k = 0, 1, . . .
sup
j→+∞ A
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Definizione di distribuzione
Definizione di Distribuzione:
T : D(R) → R
(Funzionale)
si chiama Distribuzione ⇔ T è Lineare e Continuo.
T è Lineare:
< T , αf + βg >= α < T , f > +β < T , g > ∀α, β ∈ R ,
∀f , g ∈ D(R)
T è Continuo:
∀f n ∈ D(R) t.c. f n → 0 in D(R) si ha < T , f n >→ 0
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Esempio
Distribuzioni indotte da funzioni φ ∈ L 1 loc (R)
Sia φ ∈ L 1 loc
(R) (⇔ ∀A ⊂ R A limitato ∫ A
|φ(x)|dx < +∞)
T φ : D(R) → R definita da
< T φ , g >:= ∫ R φ(x)g(x)dx = ∫ supp g
φ(x)g(x)dx g ∈ D(R)
Poiché l’applicazione φ → T φ è Iniettiva spesso si identifica T φ con
la funzione φ
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Esempio
Delta di Dirac centrata in zero: (T = δ(x))
< δ(x), g >:= g(0) ∀g ∈ D(R)
Delta di Dirac centrata in x 0 : (T = δ(x − x 0 ))
< δ(x − x 0 ), g >= g(x 0 ) ∀g ∈ D(R)
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Delta di Dirac
Infatti
La δ di Dirac NON è una distribuzione indotta da una
φ ∈ L 1 loc (R)
Cioè non esiste φ ∈ L 1 loc
(R) tale che
g(x 0 ) = ∫ R
φ(x)g(x)dx ∀g ∈ D(R)
Però la successione di funzioni
{ n |x − x0 | ≤ 1
δ n (x − x 0 ) :=
2n
0 altrimenti
approssima la δ(x − x 0 ) nel senso delle distribuzioni. Cioè
< T δn(x−x 0 ), g >→< δ(x − x 0 ), g > ∀g ∈ D(R)
< T δn(x−x0 ), g >= ∫ x 0 + 1
2n
ng(x)dx = n 1 x 0 − 1
n g(ξ n)
2n
per qualche ξ n ∈ (x 0 − 1
2n , x 0 + 1
2n )
facendo tendere n → +∞, essendo g continua:
< T δn(x−x 0 ), g >→ g(x 0 ) =< δ(x − x 0 ), g >
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