Esempi di calcolo 4

4
Esempi di calcolo
173
Si riporta la relazione di un esempio di calcolo di una semplice struttura in c.a.
La sequenza delle operazioni è ripresa da quanto indicato nei capitoli precedenti.
4.1 Descrizione dell’opera
L’opera da realizzare è un edificio di civile abitazione,costituito da due piani fuori terra
e copertura. L’edificio è situato in zona 2. L’andamento del terreno è pianeggiante.
L’edificio è da realizzare in c.a. con fondazioni dirette su plinti.
4.2 Normativa di riferimento
4.2.1 Azioni sulle strutture
D. M 16 gennaio 1996 – Norme tecniche relative ai “Criteri generali per la verifica di
sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”.
Circolare 4 luglio 1996 nº 156AA. GG. /STC. – Istruzioni per l’applicazione delle Norme
tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei
carichi e sovraccarichi di cui al D. M 16 gennaio 1996.
4.2.2 Strutture in cemento armato normale e precompresso
Legge 5.11.1971 n. 1086 – Norma per la disciplina delle opere in conglomerato
cementizio, normale e precompresso e a struttura metallica.
Esempi di calcolo
175

174
D.M. LL. PP. 14.02.1992 – Norme tecniche per l’esecuzione e il collaudo delle strutture
in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche.
Circ.Min.LL.PP.24.06.1993,n.37406 – Istruzioni relative alle norme tecniche per l’esecuzione
e il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e
per le strutture metalliche.
D.M. 9.01.1996 – Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione e il collaudo delle strutture
in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche.
Circolare n. 11951, 14.02.1974 – Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione e il collaudo
delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture
metalliche. Istruzioni per l’applicazione.
Circolare n. 20049, 9.01.1980 – Legge 5. 11. 1971 nº 1086 – Istruzioni relative ai controlli
sul conglomerato cementizio adoperato per le strutture in cemento armato.
Circolare n.252,15.10.1996 – Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche per
il calcolo, l’esecuzione e il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso
e per le strutture metalliche” di cui al D.M. 9 gennaio 1996.
4.2.3 Strutture in Muratura
D.M. 20.11.1987 – Norme tecniche per la progettazione, esecuzione e collaudo degli
edifici in muratura e per il loro consolidamento.
Circ. Min. LL. PP. 04.01.1989, n. 30187 – Istruzioni in merito alle norme tecniche per
la progettazione, esecuzione e collaudo degli edifici in muratura e per il loro
consolidamento.
Normativa di riferimento
Strutture in Acciaio
Legge 5.11.1971 n. 1086 – Norma per la disciplina delle opere in conglomerato
cementizio, normale e precompresso e a struttura metallica.
D.M. LL. PP. 14.02.1992 – Norme tecniche per l’esecuzione e il collaudo delle strutture
in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche.
Circ.Min.LL.PP.24.06.1993,n.37406 – Istruzioni relative alle norme tecniche per l’esecuzione
e il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e
per le strutture metalliche.
D.M. 9.01.1996 – Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione e il collaudo delle strutture
in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche.
Circolare n.252,15.10.1996 – Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche per
il calcolo, l’esecuzione e il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso
e per le strutture metalliche” di cui al D.M. 9 gennaio 1996.
4.2.4 Strutture in zona Sismica
Legge 2.02.1974 n. 64 – Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni
perlezonesismiche.
176

L.25.11.1962,n,1684 – Elenco delle località sismiche di prima e seconda categoria.
D.M. 16.01.1996 – Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche.
D.M. LL. PP. e INT. 2.07.1981 – Normativa per le riparazioni e il rafforzamento degli
edifici danneggiati dal sisma nelle regioni Basilicata, Campania, Puglia.
Circolare 30.07.1981, n. 21745 – Istruzioni relative alla normativa tecnica per la riparazione
e il rafforzamento degli edifici in muratura danneggiati da sisma.
Circolare 12.12.1981, n. 22120 – Istruzioni relative alla normativa tecnica per la riparazione
e il rafforzamento degli edifici in cemento armato e a struttura metallica danneggiati
dal sisma.
Circ. Min. 10.04.1997 n. 65 – Istruzione per l’applicazione delle “Norme tecniche per
le costruzioni in zone sismiche” di cui al D.M. 16 gennaio 1996.
Presidenza del Consiglio Superiore dei LL. PP. – Servizio tecnico centrale – Linee guida
per progettazione, esecuzione e collaudo di strutture isolate dal sisma.
Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri 20 marzo 2003 n.3274 – Primi
elementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale
e di normative tecniche per le costruzioni in zona sismica.
Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri 2 ottobre 2003 n.3316 – Modifiche
e integrazioni all’ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3274 del 20
marzo 2003, recante “Primi elementi in materia di criteri generali per la classificazione
sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per le costruzioni in zona sismica”.
175
4.2.5 Opere di fondazione – Terreni
D.M. 11.03.1988 – Norme tecniche riguardanti le indagini sui terreni e sulle rocce, la
stabilità dei pendii naturali e delle scarpate,i criteri generali e le prescrizioni per la progettazione,
l’esecuzione e il collaudo delle opere di sostegno delle terre e delle opere
di fondazione.Circ. Min. LL. PP. 24.09.1988, N. 30483 – Norme tecniche per terreni e
fondazioni: istruzioni applicative del D.M. 11.03.1988
4.3 Materiali previsti
Calcestruzzo: C 20/25
Il calcestruzzo è definito con la denominazione stabilita dall’Eurocodice: il parametro 20
indica la resistenza caratteristica cilindrica (f ck
) mentre il parametro 25 indica la resistenza
caratteristica cubica (R ck
).
Acciaio: Feb 44K
4.3.1 Livello di protezione antisismica
L’edificio in questione è destinato alla civile abitazione, quindi il “Fattore di importanza”
è assunto pari a 1.
Esempi di calcolo
177

176
Questo valore sarà preso in considerazione per la combinazione delle azioni sismiche
con i carichi verticali.
4.4 Definizione geometria
La geometria della struttura è ricavata dal progetto architettonico, utilizzando gli assi degli
elementi strutturali (travi e pilastri).
La figura seguente riporta lo schema della struttura con le dimensioni dei singoli
elementi.
4.5 Presentazione grafica della struttura
Definizione geometria
178

177
4.6 Dati numerici
Materiali
Nome Tipo Ex
[N/mm 2 ]
Ey
[N/mm 2 ]
ν α[1/º C] ρ[kg/m 3 ] Materiale
colore
Contour
color
1 C20/25 Concrete 29000 29000 0,20 1E-5 2500 ... ...
Nome P1 P2 P3 P4
1 C20/25 f ck [daN/cm 2 ] = 200,00 γ c = 1,500 α =0,85 φ t
=2,00
La sezione “Materiali” presenta le caratteristiche dei materiali impiegati.
Da notare che, per il caso in esame, è utilizzato solo il cls.
È possibile definire due moduli elastici, distinti per direzione X e Y. Questi dati non sono
influenti nel caso di elementi lineari, mentre è possibile definire elementi di superficie con
resistenze differenziate nei due versi.
Questa funzione risulta utile per modellare solai con alleggerimenti in laterizio, in cui una
direzione,cioè quella in cui sono orditi i travetti,risulta maggiormente resistente rispetto all’altra.
Esempi di calcolo
179

178
Aggiornando quindi i valori del modulo elastico in proporzione alle inerzie delle due direzioni,
si può facilmente simulare questo caso.
Sezioni
Nome Sezione h b tw tf Ax
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm 2 ]
Ay
[cm 2 ]
Az
[cm 2 ]
IX [cm 4 ] Iy [cm 4 ] Iz [cm 4 ]
1 30x30 Rect. 30,0 30,0 0 0 900,00 0 0 123105,3 67500,0 67500,0
2 T 65 49 T 49,0 65,0 25,0 24,0 2185,00 0 0 1,0 375278,2 1E10
3 LR 45 49 Custom 49,0 45,0 25,0 24,0 1705,00 0 0 1,0 322027,7 1E10
4 40*40 Rect. 40,0 40,0 0 0 1600,00 0 0 389073,4 213333,3 213333,3
5 30*40 Rect. 40,0 30,0 0 0 1200,00 0 0 210099,6 160000,0 90000,0
6 40*30 Rect. 30,0 40,0 0 0 1200,00 0 0 210099,6 90000,0 160000,0
7 30*50 Rect. 50,0 30,0 0 0 1500,00 0 0 301728,6 312500,0 112500,0
8 50*30 Rect. 30,0 50,0 0 0 1500,00 0 0 301728,6 112500,0 312500,0
9 40 x 24 Rect. 24,0 40,0 0 0 960,00 0 0 123588,0 46080,0 128000,0
La tabella presenta le caratteristiche delle sezioni degli elementi strutturali.
Axis VM presenta una banca dati di sezioni prememorizzate in tabelle,per esempio profilati
metallici e sezioni standard.
È possibile introdurre sezioni di forma qualsiasi,di cui sono calcolate in automatico le caratteristiche
geometriche.
Nella tabella sono riportate le varie forme utilizzate (quadrate o rettangolari per i pilastri,a T
o a L per le travi.
Per simulare il piano rigido è sufficiente aumentare in modo artificiale il momento Iz,dove Z
è l’asse locale delle travi, posto in posizione verticale, parallelo quindi all’asse Z assoluto.
Il momento Iz si oppone quindi alla rotazione delle travi nel piano orizzontale.
Questa è la componente maggiore per gli spostamenti di piano. Aumentare quindi questo
valore vuol dire impedire la rotazione delle travi, cioè mantenere invariata la distanza dei
nodi dopo la deformazione.
Dati numerici
Name Iyz [cm 4 ] Iω [cm 6 ] Hy [cm] Hz [cm] yG [cm] zG [cm] S.p.
1 30x30 0 0 30,0 30,0 15,0 15,0 1
2 T 65 49 0 0 65,0 49,0 32,5 30,0 5
3 LR 45 49 0 0 45,0 49,0 26,2 28,0 5
4 40*40 0 0 40,0 40,0 20,0 20,0 5
5 30*40 0 0 30,0 40,0 15,0 20,0 1
6 40*30 0 0 40,0 30,0 20,0 15,0 1
7 30*50 0 0 30,0 50,0 15,0 25,0 1
8 50*30 0 0 50,0 30,0 25,0 15,0 1
9 40 x 24 0 0 40,0 24,0 20,0 12,0 5
180

Nodi
179
X [m] Y [m] Z [m] e X e Y e Z θ X θ Y θ Z
1 3,000 0 3,000 f f f f f f
2 6,600 0 3,000 f f f f f f
3 10,500 0 3,000 f f f f f f
4 10,500 3,600 3,000 f f f f f f
5 6,600 3,600 3,000 f f f f f f
6 3,000 3,600 3,000 f f f f f f
7 7,000 6,000 3,000 f f f f f f
8 10,500 6,000 3,000 f f f f f f
9 3,000 0 6,000 f f f f f f
10 6,600 0 6,000 f f f f f f
11 10,500 0 6,000 f f f f f f
12 10,500 3,600 6,000 f f f f f f
13 6,600 3,600 6,000 f f f f f f
14 3,000 3,600 6,000 f f f f f f
15 3,000 0 0 f f f f f f
16 6,600 0 0 f f f f f f
17 10,500 0 0 f f f f f f
18 10,500 3,600 0 f f f f f f
19 6,600 3,600 0 f f f f f f
20 3,000 3,600 0 f f f f f f
21 7,000 6,000 0 f f f f f f
22 10,500 6,000 0 f f f f f f
23 3,000 0 7,800 f f f f f f
24 6,600 0 7,800 f f f f f f
25 10,500 0 7,800 f f f f f f
La tabella “Nodi”riporta le coordinate dei nodi rispetto al sistema assoluto di riferimento.Le
sei colonne di destra indicano se al nodo è associato o meno un grado di libertà. Il valore f
indica che il nodo è libero.
Questo valore influisce sulla costruzione della matrice di rigidezza,in quanto abolire un grado
di libertà significa bloccare il nodo e ridurre quindi il n. delle incognite.
In questo modo però non sono calcolati i valori delle reazioni esterne; per ottenere questi
valori occorre inserire vincoli esterni espressi come molle, lasciando l’incognita attiva.
Questi valori sono presentati nella tabella Vincoli esterni.
Esempi di calcolo
181

180
Elementi strutturali
Dati numerici
Nodo i Nodo j Lunghezza [m] Asse X Locale Mat. Sezione Ref z ER St ER End
1 1 ← 2 3,600 j – i 1 3 Auto . .
2 2 ← 3 3,900 j – i 1 3 Auto . .
3 3 ← 4 3,600 j – i 1 3 Auto . .
4 1 → 6 3,600 i – j 1 3 Auto . .
5 2 → 5 3,600 i – j 1 2 Auto . .
6 5 → 7 2,433 i – j 1 2 Auto . .
7 7 → 8 3,500 i – j 1 3 Auto . .
8 4 ← 8 2,400 j – i 1 3 Auto . .
9 9 ← 10 3,600 j – i 1 3 Auto . .
10 10 ← 11 3,900 j – i 1 3 Auto . .
11 11 ← 12 3,600 j – i 1 3 Auto . .
12 12 ← 13 3,900 j – i 1 3 Auto . .
13 9 → 14 3,600 i – j 1 3 Auto . .
14 10 → 13 3,600 i – j 1 2 Auto . .
15 1 → 9 3,000 i – j 1 1 Auto . .
16 2 → 10 3,000 i – j 1 1 Auto . .
17 3 → 11 3,000 i – j 1 1 Auto . .
18 4 → 12 3,000 i – j 1 1 Auto . .
19 5 → 13 3,000 i – j 1 1 Auto . .
20 6 → 14 3,000 i – j 1 1 Auto . .
21 1 ← 15 3,000 j – i 1 8 Auto . .
22 2 ← 16 3,000 j – i 1 4 Auto . .
23 3 ← 17 3,000 j – i 1 8 Auto . .
24 4 ← 18 3,000 j – i 1 8 Auto . .
25 5 ← 19 3,000 j – i 1 4 Auto . .
26 6 ← 20 3,000 j – i 1 8 Auto . .
27 7 ← 21 3,000 j – i 1 8 Auto . .
28 8 ← 22 3,000 j – i 1 1 Auto . .
29 13 ← 14 3,600 j – i 1 3 Auto . .
30 5 ← 6 3,600 j – i 1 2 Auto . .
31 4 ← 5 3,900 j – i 1 2 Auto . .
32 6 → 7 4,665 i – j 1 3 Auto . .
33 9 → 23 1,800 i – j 1 1 Auto . .
34 10 → 24 1,800 i – j 1 1 Auto . .
35 11 → 25 1,800 i – j 1 1 Auto . .
36 14 ← 23 4,025 j – i 1 9 Auto . .
37 13 ← 24 4,025 j – i 1 9 Auto . .
38 12 ← 25 4,025 j – i 1 9 Auto . .
39 23 → 24 3,600 i – j 1 9 Auto . .
40 24 → 25 3,900 i – j 1 9 Auto . .
182

La tabella “Elementi strutturali”riporta per ogni asta (trave o pilastro) il nodo iniziale e finale,
il verso del sistema locale X,la lunghezza,ricavata dalla distanza tra i nodi,il tipo di materiale
e di sezione, indicando il n. di riga della tabella relativa.
Ref z indica se il sistema locale è calcolato secondo la regola automatica riportata nel
manuale, o se è riferita a un sistema definito dall’utente.
181
Vincoli esterni
Nodo Tipo Ref. R(x) R(y) R(z) R (xx) R (yy) R (zz)
Elem. [daN/m] [daN/m] [daN/m] [daNm/rad] [daNm/rad] [daNm/rad]
— — Global — — — — — — —
1 15 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
2 16 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
3 17 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
4 18 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
5 19 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
6 20 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
7 21 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
8 22 Global 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12 1E + 12
Node NL
(x)
NL
(y)
NL
(z)
NL
(xx)
NL
(yy)
NL
(zz)
F(x)
[daN]
F(y)
[daN]
F(z)
[daN]
M(x)
[daNm]
M(y)
[daNm]
M(z)
[daNm]
— — — — — — — — — — — — — —
1 15 . . . . . .
2 16 . . . . . .
3 17 . . . . . .
4 18 . . . . . .
5 19 . . . . . .
6 20 . . . . . .
7 21 . . . . . .
8 22 . . . . . .
La tabella “Vincoli esterni”indica la rigidezza delle molle poste per bloccare gli spostamenti
dei nodi. Il valore indicato 1E + 12 indica che si tratta di incastri perfetti.
I valori riportati nella tabella sottostante sono riferiti ai parametri non-lineari di cui ogni
nodo può disporre.
Sistema costruttivo
La struttura è in c.a. e si utilizza il sistema a telaio con schematizzazione spaziale.
La scelta del materiale e quindi del sistema costruttivo influenzano una serie di analisi e di
modalità di calcolo, riportate di seguito.
Esempi di calcolo
183

182
In particolare è molto condizionata, tramite il parametro q, la definizione dello spettro di
progetto per lo SLU e di conseguenza le azioni sismiche.
Il parametro q 0 risulta quindi pari a: 45 , α u
/α 1
Il fattore α u
/α 1
è assunto pari a 1,3.
Si assume quindi:
q 0
= 5,85
4.7 Verifica distanze – altezze
Il punto 4.2 riporta la tabella relativa alle distanze prescritte
Per il sistema costruttivo adottato (struttura in calcestruzzo) non sono previste limitazioni
in altezza.
Essendo l’altezza della struttura pari a m.7,8 la costruzione dovrà distare di pari valore
dal contorno dell’edificio e il ciglio opposto della strada compresa la carreggiata, se
questa distanza è minore di 11 m.
Se risulta superiore l’altezza massima possibile si ricava da:
H = 11 + 3 (L-11).
4.8 Terreno di fondazione
Al terreno di fondazione la relazione geologia ha attribuito la Categoria B (3.1)
Sono quindi assegnati i parametri da utilizzare per il calcolo dello spettro di progetto:
Categoria suolo S TB TC TD
B 1,25 0,15 0,50 2,0
4.9 Analisi dei carichi
Verifica distanze – altezze
La struttura è soggetta ai normali carichi previsti per edifici di civile abitazione.
• Peso proprio cls: 2500 daN/m 3
• Carico permanente: (peso proprio struttura orizzontale + pavimento e tramezzi)
pari a 500 daN/m²
• Peso proprio murature di tamponamento esterno: 300 daN/m²
• Carico variabile folla: 200 daN/m²
• Carico variabile sottotetto: 100 daN / m²
• Carico variabile neve: 300 daN/m²
• Carico variabile su scale: 400 daN/m²
L’analisi dei carichi sui solai non differisce dall’analisi per una struttura non sismica.
184

Analisi dei carichi sulle travi
La tabella seguente riporta l’analisi dei carichi per ogni trave.
Le colonne d riportano la luce di influenza del carico del solaio per ogni trave.La colonna
h riporta l’altezza di interpiano per il calcolo della muratura di tamponamento.
Il peso proprio dei pilastri viene calcolato automaticamente.
183
Carico perm.
daN/m 2
dm Tot1
daN/m
Solaio quota 3 m
Mura-tu
ra
daN/m
hm Tot2
daN/m
Tot
Perm
daN/m
Folla dm Tot
daN/m 2 Folla
daN/m
Neve dm Tot
daN/m 2 Neve
daN/m
T7 550 1,2 660 660 300 1,2 360 360
T31 550 3 1650 300 2,7 810 2460 200 1,8 360 300 1,2 360 720
T30i 550 3 1650 300 2,7 810 2460 200 1,8 360 300 1,2 360 720
T30f 550 1,8 990 300 2,7 810 1800 200 1,8 360 300 0,5 150 510
T32i 550 1,2 660 660 0 300 1,2 360 360
T32f 550 0,5 275 275 0 300 0,5 150 150
T1 550 1,8 990 300 2,7 810 1800 200 1,8 360 360
T2 550 1,8 990 300 2,7 810 1800 200 1,8 360 360
T3 T4 550 1 550 300 2,7 810 1360 200 0,6 120 120
T5 550 1 550 550 200 1 200 200
T6i 550 1,2 660 660 300 1,2 360 360
T6f 550 0,7 385 385 300 0,7 210 210
T8 1 550 550 300 1 300 300
Solaio quota 6 m
T9 550 1,8 990 300 1,5 450 1440 100 1,8 180 180
T10 550 1,8 990 300 1,5 450 1440 100 1,8 180 180
T11i 550 1 550 300 1,5 450 1000 100 0,6 60 60
T13i
T11f 550 1 550 550 100 0,6 60 60
T13f
T14 550 1 550 550 100 0,6 60 60
T12 550 3,8 2090 2090 100 1,8 180 300 2 600 780
T29 550 3,8 2090 2090 100 1,8 180 300 2 600 780
Solaio copertura
T36 550 1 550 550 300 1 300 300
T37 550 1,5 825 825 300 1,5 450 450
T38 550 1 550 550 300 1 300 300
T39 550 2 1100 1100 300 2 600 600
T40 550 2 1100 1100 300 2 600 600
Tot Var
daN/m
Esempi di calcolo
185

184
4.10 Accelerazione massima orizzontale
In base alla zona di appartenenza (2) il valore di a g
viene assunto pari a:
a g
= 0,25 * g, cioè: 2,4525 m 2 /sec.
4.11 Classe di duttilità
La scelta della classe di duttilità (5.3.2) condiziona sia il fattore di struttura q e quindi le azioni
sismiche da applicare alla struttura, sia la fase di verifica dei singoli elementi, in quanto la
classe A impone l’applicazione della gerarchia di resistenza.
Nel seguito sono presentati diversi esempi di calcolo in cui è analizzata l’ipotesi di Alta
e Bassa duttilità, assumendo quindi il coefficiente K d = 1 e 0,7 rispettivamente.
4.12 Verifica regolarità
Nel calcolo del fattore q interviene il fattore K r
che tiene in conto la regolarità della struttura
in altezza.
Si riporta di seguito l’elenco dei requisiti previsti da normativa per la verifica della
regolarità:
Accelerazione massima orizzontale
Criterio di verifica
e) tutti i sistemi resistenti verticali dell’edificio (quali telai e pareti) si
estendono per tutta l’altezza dell’edificio;
f) massa e rigidezza rimangono costanti o si riducono gradualmente, senza
bruschi cambiamenti, dalla base alla cima dell’edificio (le variazioni da un
piano all’altro non superano il 20%);
g) il rapporto tra resistenza effettiva e resistenza richiesta dal calcolo non è
significativamente diverso per piani diversi (il rapporto fra la resistenza
effettiva e quella richiesta calcolata a un generico piano non deve differire
più del 20% dall’analogo rapporto determinato per un altro piano);
h) eventuali restringimenti della sezione dell’edificio avvengono in modo
graduale, rispettando i seguenti limiti: a ogni piano il rientro non supera il
30% della dimensione corrispondente al primo piano, né il 10% della
dimensione corrispondente al piano immediatamente sottostante
Esito verifica
SI
La struttura si considera non regolare in altezza, assumendo il fattore K r
= 0,8.
4.13 Calcolo fattore q
Il fattore q è definito al punto 5.3.2:
q=q 0*
K d*
K r
186
NO
da effettuare
a posteriori
NO

Analisi fattore q
185
Fattore q0 Kd (classe duttilità) Kr q
Struttura a telaio 5,85 Alta duttilità 1 0,7 4,68
5,85 Bassa duttilità 0,8 0,7 3,276
4.14 Spettro di progetto SLU
Si riporta di seguito l’andamento dello spettro di progetto per lo stato limite ultimo
secondo i parametri adottati:
4.15 Definizione rigidezze
L’analisi della struttura presa in esame considera la rigidezza della sezione integra.
4.16 Analisi masse sismiche
4.16.1 Combinazioni di Carichi
Per la determinazione delle masse da considerare nell’analisi dinamica si considera la
seguente combinazione dei carichi:
Pp e carichi Accidentale Neve
1 1,00 0,15 0,20
Esempi di calcolo
187

186
Prima di effettuare l’analisi dinamica, cioè valutare i modi di vibrare della struttura, è richiestalacondizionedicaricodautilizzare.
Il programma trasforma automaticamente i carichi in masse.
4.17 Eccentricità accidentali
A causa del numero ridotto di condizioni di carico che la versione dimostrativa è in
grado di prendere in conto, non viene considerata la componente dovuta alla eccentricità
accidentale.
Per calcolare l’incidenza della eccentricità accidentale è sufficiente confermare l’opzione
relativa nella finestra relativa alla definizione dei parametri sismici in Axis VM.Questo genera
una serie di condizioni di carico aggiuntive,che saranno conteggiate nella determinazione
dell’inviluppo.
4.18 Calcolo azione sismica SLU
Le azioni sismiche sono determinate attraverso l’analisi modale.
4.18.1 Analisi modale
Axis VM esegue l’analisi modale. in modo automatico e lo schema seguente riporta il
flusso delle operazioni da eseguire:
Input carichi
Combinazione carichi per
analisi massa sismica
Analisi dinamica
Verifica massa
attivata > 85%
No: aumento n. forme modali
Si
Def. Caso Sismico
Eccentricità accidentali
Input parametri sismici
Calcolo casi sismici
Analisi statica
Combinazione con carichi verticali
188

Premendo il pulsante riguardante l’analisi modale appare la finestra:
187
attraverso cui è possibile:
1 Stabilire la combinazione dei carichi da prendere in esame (vedi Analisi masse sismiche)
da cui è ricavata la massa da utilizzare per l’analisi dinamica.
2 Consente di calcolare la massa, ricavata in automatico dai carichi imposti oppure
prendere in conto masse introdotte dall’utente.
3 Indicare il numero dei modi di vibrare da calcolare: la correttezza di questo dato è
verificabile solo a posteriori secondo le prescrizioni da normativa:
“Dovranno essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa.
Si suggerisce a tal riguardo di considerare tutti i modi con massa partecipante superiore
al 5%, oppure un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore
all’85%. “
Eseguita quindi l’analisi dinamica si verifica che la massa partecipante sia compresa
nei limiti indicati. Se questo non si verifica, è necessario aumentare il n. di modi di
vibrare, sino a verificare quanto richiesto.
4 Consente di effettuare l’analisi dinamica modale tenendo in conto l’effetto dei carichi
verticali (analisi del II ordine).
Questo è utile nel caso di edifici alti, in cui gli sforzi normali sono elevati.
Esempi di calcolo
189

188
Questo tipo di analisi consente di valutare con maggior precisione le frequenze dei
vari modi di vibrare, che risultano inferiori rispetto a quelle senza la presa in conto
dello sforzo normale.
Ricordando che t = 1/f, se la frequenza diminuisce, il periodo aumenta, quindi si
potrebbe verificare il caso che le azioni sismiche si riducano, a causa dell’andamento
dello spettro di risposta sismico funzione del periodo.
5 Definisce quali componenti prendere in conto (in genere tutte).
Effettuata l’analisi dinamica, selezionando la tabella Dati e risultati, si può verificare se
il numero dei modi imposti è sufficiente.
Forme modali
A ogni modo di vibrare è associata la rispettiva forma modale.
Frequenze (I.)
La tabella seguente riporta i valori di frequenza (f), periodo (t) e frequenza angolare
(ω) per ogni modo di vibrare.
Forme modali ε x
ε y
ε z
1 0,681 0,004 0
2 0,007 0,685 0
3 0,072 0,004 0
4 0,203 0 0
5 0 0,168 0
La figura seguente riporta i valori del periodo per ogni modo di vibrare riportati sullo
spettro di risposta per SLU.
Calcolo azione sismica SLU
190

Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :1
f
:3,25Hz
T
: 0,308 s
:20,43rad/s
ω
EVal : 417,45
Errore
: 1,28E-10
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Z
X
Y
Z
X
Y
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :2
f
:3,67Hz
T
: 0,272 s
: 23,09 rad/s
ω EVal : 533,00
Errore
: 1,14E-10
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :3
f
:4,08Hz
T
: 0,245 s
: 25,61 rad/s
ω EVal : 655,82
Errore
: 2,01E-10
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Z
X
Y
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :4
f
:8,82Hz
T
: 0,113 s
:55,43rad/s
ω
EVal : 3072,92
Errore
: 2,08E-8
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Z
X
Y
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :5
f
: 10,84 Hz
T
: 0,092 s
: 68,11 rad/s
ω
EVal : 4638,77
Errore
: 1,40E-7
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Z
X
Y
0,123
-0,079
0,025
0,007
-0,048
0,095
0,015
-0,107
-0,027
-0,031
0,122
0,020
-0,026
0,033
0,005
0,122
0,025
0,007
-0,048
-0,079
0,028
0,025
0,152
0,132
0,011
0,009
-0,015
0,120
0,054
0,005
0,045
0,002
-0,081
0,095
0,015
0,122
-0,040
0,003
0,033
0,005
-0,027
-0,031
0,020
-0,026
-0,107
0,120
0,054
0,152
0,132
0,005
0,045
0,010
0,009
0,025
0,002
0,028
-0,015
0,003
-0,081
-0,040
0,122
0,095
0,033
0,015
0,005
-0,027
-0,025
0,020
-0,031
0,120
-0,107
0,132
0,045
0,005
0,054
0,002
0,152
0,009
0,025
-0,015
0,003
0,010
0,028
-0,081
-0,040
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :1
f
:3,25Hz
T
: 0,308 s
: 20,43 rad/s
ω EVal : 417,45
Errore
: 1,28E-10
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Y
X
Y
X
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :2
f
:3,67Hz
T
: 0,272 s
: 23,09 rad/s
ω EVal : 533,00
Errore
: 1,14E-10
Iterazioni : 7
Comp.
:eY
Parte
: 7 parti
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :3
f
:4,08Hz
T
: 0,245 s
: 25,61 rad/s
ω
EVal : 655,82
Errore
: 2,01E-10
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Y
X
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :4
f
:8,82Hz
T
: 0,113 s
: 55,43 rad/s
ωEVal : 3072,92
Errore
: 2,08E-8
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Y
X
Codice
: Italiana
Analisi dinamica
Caso
:Co#1
Modo :5
f
: 10,84 Hz
T
: 0,092 s
: 68,11 rad/s
ωEVal : 4638,77
Errore
: 1,40E-7
Iterazioni : 7
Comp.
:eX
Parte
: 7 parti
Y
X
-0,027
-0,107
0,005
0,025 0,028
0,033
0,095
0,0330,095
0,045 0,045 0,132 0,152
0,132 0,152
0,134
0,033
0,127
0,030
0,025 0,025
0,030 0,027
0,134 0,136 0,127 0,130 0,120 0,123
0,033 0,030 0,027
-0,031
0,122
-0,107-0,027
-0,048
0,005 0,025 0,028
-0,031
-0,081 -0,015
-0,015
0,120 -0,081 -0,015
-0,081
0,120 0,120
-0,025
0,020
0,054
0,003
-0,040
-0,079
-0,026
0,020
0,054
0,003
-0,040
0,122
-0,048
-0,107
-0,027
0,025 0,028
0,005
0,095
0,033
0,132 0,152
0,045
0,121
0,027
0,122 0,123
-0,079
-0,031
0,122
-0,026
0,020
0,054
-0,040 0,003
189
Primomododivibrare
Il modo è prevalentemente flessionale, secondo l’asse X
Secondo modo di vibrare
Il modo è prevalentemente flessionale, secondo l’asse Y
erzo modo di vibrare
Il modo è prevalentemente torsionale
Quarto modo di vibrare
Il modo è prevalentemente flessionale secondo l’asse X con i piani in controfase
Quinto modo di vibrare
Il modo è prevalentemente torsionale, con i piani in controfase
Esempi di calcolo
191

190
Il calcolo delle azioni sismiche si ottiene ricavando l’accelerazione per ogni modo di vibrare,
riportata in ordinate, secondo il valore del periodo di vibrazione, posto in orizzontale.
Il calcolo è completamente svolto in automatico da Axis VM.
Coefficiente sismico equivalente (I.)
Questa tabella indica la massa partecipante per ogni modo di vibrare.
f[Hz] T[s] ωFINE [rad/s]
1 3,25 0,308 20,43
2 3,67 0,272 23,09
3 4,08 0,245 25,61
4 8,82 0,113 55,43
5 10,84 0,092 68,11
Si fa notare che la massa partecipante, verificata con le immagini dei modi di vibrare,
coincide con la risultanza grafica. Per esempio al primo modo di vibrare è associata
una massa partecipante pari al 68,1% della massa totale.
È evidente quindi l’importanza di questo modo per il calcolo delle forze secondo l’asse X
Lo stesso succede per l’asse Y (68,5% della massa totale).
Al terzo modo di vibrare è associata una quantità di massa bassa (max. 7,2% secondo
l’asse X, ma non del tutto trascurabile. Si ricorda che la norma consiglia di tenere in
conto i moti con massa partecipante superiore al 5%).
La massa totale presa in conto è comunque superiore al limite del 85% come prescritto
(96,3% per l’asse X e 86,1% per l’asse Y).
È possibile trascurare masse ridotte senza commettere errori di particolare rilievo in
quanto il loro effetto non è sommato linearmente,ma mediante diverse combinazioni,
per esempio con radice quadrata della somma dei quadrati.
In questo modo l’influenza di un valore basso è pressoché insignificante.
Per esempio, con analisi in prima approssimazione, combinando l’effetto di un valore
pari a 0,65 con 0,05 si ottiene un valore totale pari a:(0,65 ^ 2 + 0,05 ^ 2) ^ 0,5 = 0,6519.
Trascurare questo valore significa commettere un errore pari allo 0,3%.
Calcolo azione sismica SLU
Ottimizzazione della struttura attraverso il controllo delle forme modali
L’esame delle forme modali costituisce un potente mezzo per prevedere l’effetto delle
azioni sismiche e quindi per valutare se è il caso di ottimizzare la struttura variando le
inerzie (e quindi le rispettive dimensioni geometriche) per correggere le forme stesse.
Le forze sismiche sono applicate ai nodi del telaio spaziale e sono proporzionali alla
forma modale,cioè allo spostamento di ogni nodo rispetto alla condizione iniziale per
la massa che grava sul nodo.
La condizione migliore per le forme modali è la prevalenza della forma flessionale
(quindi con deformata prevalentemente traslazionale) nei primi due modi, dove di
solito la massa partecipante e quindi anche l’azione sismica è prevalente.
192