Trasformata discreta di Fourier di una sequenza finita : algoritmi FFT

Trasformata discreta di Fourier
diunasequenzafinita: algoritmiFFT
La TDF di una sequenza finita può essere calcolata utilizzando
algoritmi, computazionalmente efficienti, quali gli algoritmi Fast
Fourier Transform (FFT).
L’efficienza degli algoritmi FFT consiste nel numero di
operazioni necessarie per calcolare la TDF di una sequenza
finita di N campioni:
-il calcolo della TDF, a partire dalla definizione, implica l’utilizzo
di 8N 2 -2N operazioni
-tramite algoritmi FFT si arriva a 8log 2 (N)+6N operazioni
Tale velocità di calcolo giustifica l’utilizzo di algoritmi FFT per il
calcolo della convoluzione tra due sequenze.

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab
Vedremo un’esercitazione relativa al calcolo della trasformata
discreta di Fourier di alcune sequenze finite.
Il comando per calcolare la trasformata discreta di Fourier in
ambiente Matlab® prende il nome di fft(.)
Se la sequenza finita viene memorizzata in un vettore x di N
elementi, il comando y=fft(x) fornisce nel vettore y di N
elementi, i coefficienti della TDF, previa divisione per il numero
di campioni N
L’algoritmo dal punto di vista computazionale è particolarmente
efficiente se N è uguale ad una potenza di 2

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab
Il risultato differisce ne caso in cui il numero N sia pari o dispari.
N pari : la prima posizione del vettore di uscita y contiene il
coefficiente X[0], che rappresenta la componente continua della
trasformata, alla posizione N il vettore contiene il coefficiente
X[N-1]
Consideriamo un segnale sinusoidale definito su un intervallo
temporale tra -10 e 10 secondi, con T=1 sec
x
=
sin( 2
∗
pi
∗
f
0
∗t)
con t=[-10:1:10] e f0=0.2 Hz

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab
La TDF calcolata su N=21 punti viene mostrata in modulo e fase
nelle figure seguenti.
A destra viene visualizzato l’intervallo tra 0 e (N-1)/NT
A sinistra viene eseguito l’operazione di fftshift che utilizza
l’intervallo frequenziale -(N-1)/2NT:(N-1)/2NT
Si deve notare che la risoluzione frequenziale scelta non
permette di visualizzare il valore 0.2 Hz

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab
La stessa trasformata calcolata su 20 punti dando come opzione
al comando fft(.) il numero N=20: Y=fft(x,20)
Essendo x lungo 21 elementi, la fft viene calcolata sul segnale
troncato.
In questo caso la risoluzione frequenziale è tale da poter
visualizzare 0.2 Hz.
L’operazione di fftshift (figura di destra) porta, come primo
elemento del vettore, la frequenza pari a N/(2NT), detta
frequenza di Nyquist, che ritroveremo quindi al valore f=-0.5 Hz

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab:
analisi TF sequenza
Riprendiamo la relazione di campionamento in frequenza.
X
1
( k) = X
⎜
N ⎟ 0 ⎝ N0T
⎠
Da questa relazione si evince che è possibile utilizzare la fft per
stimare la Trasformata di Fourier X ( f ) della sequenza aperiodica
x[n]:
X ⎛ k ⎞
⎜
N0T
⎟ =
⎝ ⎠
⎛
N
0
k
⎞
X ( k)
Tramite la fft si possono calcolare gli X(k) e dalla questi i valori
della X ( f ) .
Vedremo un esempio di come fare questa stima e migliorarla con la
Tecnica dello zero padding: in questo caso aggiungere zeri, vuol dire
aumentare N 0 e quindi aumentare la risoluzione frequenziale di X f
( )

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab:
analisi TF sequenza
Come esempio consideriamo la Trasformata di Fourier di un
impulso rettangolare discreto
La Trasformata di Fourier vale X
( f )
La figura seguente ne rappresenta il modulo
n
=
sin
sin
( 5 fT )
( πfT
)
π − j4πfT
e

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab:
analisi TF sequenza
Noi partiremo da un vettore contenente gli elementi non nulli della
sequenza di partenza: quindi di 5 elementi.
Si esegue la fft(.) sul vettore periodicizzato, rispettivamente con N=5
con N=10 e N=20. Nel caso di N=10 e N=20, è necessario aggiungere in
coda al vettore di partenza rispettivamente 5 e 15 zeri. Questo può
essere ottenuto sempre come seconda opzione del comando fft:
y=fft(x,N)

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab:
analisi TF sequenza
Il grafico del modulo del risultato della fft(.) è sovrapposto a quello della
Trasformata di Fourier della sequenza. Si fa notare che se non
effettuiamo la normalizzazione per N l’algoritmo fft, nella versione di
Matlab, fornisce già il valore N 0 X( k )
N=5 N=10 N=20

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab: durata delle
osservazioni
Se ipotizziamo che la nostra sequenza finita derivi dal campionamento
di un segnale tempo continuo, può essere interessante vedere cosa
succede se aumento il mio intervallo di osservazione. Consideriamo
sempre il segnale x = sin( 2 ∗ pi ∗ f 0 ∗t)
con t=[-32:1:31] e f0=0.2 Hz.
Abbiamo scelto la finestra temporale in modo da avere ancora 64
campioni come nel caso del seno precedentemente studiato, così come
lo stesso è l’intervallo di campionamento: questo implica che lo spettro
è rappresentato per gli stessi valori della frequenza. Quello che
cambia è la risoluzione frequenziale. Vediamo cosa cambia nello
spettro del segnale.

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab: durata delle
osservazioni
Vediamo che in corrispondenza di f=2 Hz e f=-2Hz sono presenti due
picchi pronunciati, mentre nel caso precedente sono più smussati e
presentano delle ondulazioni.
Questo fenomeno è l’effetto del troncamento del segnale:
un troncamento più pesante e quindi l’osservazione di un numero
inferiore di campioni si può schematizzare come il prodotto tra la
sequenza, supposta di durata infinita e una finestra rettangolare
w[n]. Dal teorema del prodotto segue che lo spettro finale è dato
dalla convoluzione tra i due spettri.
La differenza tra i due casi precedenti si può capire se ricordiamo
che lo spettro di w[n] si concentra sempre più nello zero
all’aumentare della durata della finestra, mentre presenta un lobo
principale e i lobi laterali sempre più ampi al diminuire di T.

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab
Il prossimo esempio mostra la TDF di un impulso rettangolare e
della sua versione ritardata.
Le successioni e gli spettri sono disegnati a tratto continuo:
bisogna comunque ricordare sempre che sono a valori discreti.
Si deve evidenziare l’effetto sulla fase della trasformata del
ritardo temporale. Infatti dal teorema del ritardo si ha:
x
TDF
2πkn
0
− j
[] n ↔ X ( k ) ⇒ x[ n − n ] ↔ X ( k ) e
N
con somma sulla fase di un termine che varia linearmente con la
frequenza.
0
TDF

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab
Si deve notare che, nella figura di destra, le oscillazioni sulla
fase presente nel grafico di fase dell’impulso non ritardato non
sono apprezzabili a causa della scala scelta.
Il grafico di fase è stato realizzato utilizzando unwrap(.) che
permette la visualizzazione della fase non limitandosi
all’intervallo [ − π ,π ]

Trasformata discreta di Fourier
Tramite FFT in ambiente Matlab
Il prossimo esempio mostra le TDF di un onda quadra e di un
triangolare.
Dallo spettro di ampiezza si ha la conferma che il modulo dei
coefficienti di Fourier X(k) decresce secondo come 1/k per
l’onda quadra e come 1/k 2 per l’onda triangolare

Calcolo della convoluzione tra due sequenze
utilizzando la Trasformata discreta di Fourier
La convoluzione tra due sequenze finite x[n]e h[n] può essere
calcolata tramite la TDF utilizzando l’efficienza degli algoritmi fft.
Infatti detta
y
+∞
∑
=−∞
[] n = x[][ k h n − k]
k
la convoluzione lineare tra le
due sequenze e date P e Q le lunghezze rispettivamente di x[n]e y[n],
si verifica che la convoluzione lineare coincide con un periodo della
convoluzione circolare delle due sequenze, periodicizzate di N=P+Q-1.
y
1 N ∑ −
k = 0
1
[] n = x[][ k h n − k]
N

Calcolo della convoluzione tra due sequenze
utilizzando la Trasformata discreta di Fourier
I passi da seguire sono:
-calcolare le TDF, tramite fft, delle due sequenze periodicizzate
-moltiplicare le due TDF e antitrasformare il risultato
La periodicizzazione della sequenza è implicita quando si utilizza la
TDF:
il periodo corretto viene indicato con l’operazione dello zero padding
in modo da avere, per ogni sequenza, una TDF calcolata su N=P+Q-1
campioni

Calcolo della convoluzione tra due sequenze
utilizzando la Trasformata discreta di Fourier
Nell’esempio viene mostrata la convoluzione
lineare tra due rect.
Nella figure in basso a destra il risultato della
convoluzione circolare tramite fft senza zero
padding, nella figura di sinistra con zero
padding.