UNA SERIE DI EULERO − FOURIER ED IL FENOMENO DI ...
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<strong>UNA</strong> <strong>SERIE</strong> <strong>DI</strong> <strong>EULERO</strong> <strong>−</strong> <strong>FOURIER</strong><br />
<strong>ED</strong> <strong>IL</strong> <strong>FENOMENO</strong> <strong>DI</strong> W<strong>IL</strong>BRAHAM <strong>−</strong> GIBBS<br />
Leonardo Colzani<br />
Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano-Bicocca<br />
via Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126 Milano<br />
+∞∑<br />
n=1<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
n<br />
sin(nx) = x , <strong>−</strong>π < x < π.<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
-4 -2 0<br />
2<br />
x<br />
4<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
∑10<br />
n=1<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
sin(nx)<br />
n<br />
1
Ogni funzione localmente integrabile e periodica di periodo 2π può essere<br />
scomposta in serie di Fourier,<br />
ϕ(x) = a +∞<br />
0<br />
2 + ∑<br />
(a n cos(nx) + b n sin(nx)) ,<br />
∫ π<br />
n=1<br />
a n = 1 cos(nx) dx, b n =<br />
π <strong>−</strong>πϕ(x) 1 ϕ(x) sin(nx) dx.<br />
π <strong>−</strong>π<br />
Sotto opportune ipotesi, verificate per ogni funzione ragionevole, la serie<br />
converge in ogni punto, ma le somme parziali della serie di Fourier di<br />
una funzione con un salto, in un intorno della discontinuità hanno delle<br />
rapide oscillazioni e, per così dire, mancano il bersaglio per circa il 9%<br />
del valore del salto. Per esempio, sommando i primi m termini della serie<br />
x/2 =<br />
sin(nx), in un periodo <strong>−</strong>π < x < π si notano m oscil-<br />
+∞∑<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
n<br />
n=1<br />
lazioni ed avvicinandosi ai punti di salto x = ±π le oscillazioni divengono più<br />
marcate. Questo fenomeno ha una semplice spiegazione, ma è ancora oggetto<br />
di studio perché nei processi di approssimazione si cerca spesso di eliminare o<br />
almeno di tenere sotto controllo queste oscillazioni. Inoltre, questo fenomeno<br />
ha una storia interessante e personaggi importanti vi hanno contribuito. E’<br />
questa storia che qui vogliamo presentare.<br />
Il 21 Dicembre 1807, J.B.J.Fourier presenta un manoscritto ”Sur la propagation<br />
de la chaleur” all’Istituto di Francia a Parigi. I risultati sorprendenti<br />
ma non del tutto giustificati causano una vivace controversia tra gli esaminatori,<br />
Lacroix, Lagrange, Laplace, Monge. Comunque, una versione riveduta<br />
e corretta del lavoro vince nel 1811 un premio sul problema della diffusione<br />
del calore con la motivazione:<br />
∫ π<br />
”Cette pièce renferme les véritables équations différentielles de la transmissions<br />
de la chaleur, soit à l’intérieur des corps, soit à leur surface: et<br />
la nouveauté du sujet, jointé à son importance, a déterminé la Classe à<br />
couronner cet Ouvrage, en observant cependant que la manière dont l’Auteur<br />
parvient à ses équations n’est pas exempte de difficultés, et que son analyse,<br />
pour les intégrer, laisse encore quelque chose à desirer, soit relativement à la<br />
généralité, soit même du côté de la rigueur.”<br />
2
”Questa teoria contiene le corrette equazioni differenziali della trasmissione<br />
del calore, sia all’interno dei corpi, che sulla loro superficie: e la novità<br />
del soggetto, insieme alla sua importanza, hanno determinato la Classe a premiare<br />
questo lavoro, osservando tuttavia che il modo con cui l’autore arriva<br />
alle sue equazioni non è esente da difficoltà, e che la sua analisi, per integrarle,<br />
lascia qualcosa a desiderare, sia relativamente alla generalità, sia<br />
anche dal punto di vista del rigore.”<br />
Nel 1822 Fourier pubblica la ”Théorie analytique de la chaleur”. Per<br />
risolvere delle equazioni differenziali alle derivate parziali con il metodo di<br />
separazione delle variabili, Fourier introduce le serie che poi prenderanno il<br />
suo nome. Nel 1827 P.G.L.Dirichlet presenta la prima dimostrazione rigorosa<br />
della convergenza delle serie di Fourier. Esempi specifici di sviluppi trigonometrici<br />
erano noti dal XVIII secolo e c’erano stati tentativi di A.L.Cauchy,<br />
S.D.Poisson ed altri, di provare questo importante risultato, ma nessuna delle<br />
dimostrazioni presentate sembrava essere completamente soddisfacente. In<br />
particolare, riferendosi ad una memoria di Cauchy, Dirichlet scrive:<br />
”L’auteur de ce travail avoue lui même que sa démostration se trouve<br />
en défaut pour certain fonctions pour lesquelle la convergence est pourtant<br />
incontestable. Un examen attentif du Mémoire cité m’a porté a croire que<br />
la démonstration qui y est exposeé n’est pas même suffisante pour les cas<br />
auxquelle l’auteur la croit applicable.”<br />
”L’autore stesso di questo lavoro confessa che la sua dimostrazione si<br />
trova in difetto per certe funzioni per le quali la convergenza è tuttavia incontestabile.<br />
Un attento esame della memoria citata mi ha portato a credere che<br />
la dimostrazione esposta non è neppure sufficiente per casi ai quali l’autore<br />
la crede applicabile.”<br />
Anche se non del tutto soddisfacenti, le dimostrazioni di Fourier, Poisson,<br />
Cauchy dell’inversione della trasformata di Fourier sono però convincenti e<br />
molto interessanti. Comunque, questo è l’enunciato del teorema di Dirichlet<br />
(Lejeune Dirichlet, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent<br />
a représenter une fonction arbitraire entre des limites données. Crelle,<br />
Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 4, 1829).<br />
3
Si la fonction ϕ(x), dont toutes les valeurs sont supposées finies et déterminées,<br />
ne présente qu’un nombre fini des solutions de continuité entre les limites <strong>−</strong>π<br />
et π, et si en outre elle n’a qu’un nombre determiné de maxima et de minima<br />
entre ces même limites, la série<br />
∫<br />
1<br />
2π<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
ϕ(a) da + 1 π ⎪⎩<br />
∫<br />
cos x<br />
∫<br />
sin x<br />
∫<br />
ϕ(a) cos a da + cos 2x<br />
∫<br />
ϕ(a) sin a da + sin 2x<br />
ϕ(a) cos 2a da + ...<br />
ϕ(a) sin 2a da + ...<br />
,<br />
dont les coefficients sont des intégrales définies dépendantes de la fonction<br />
ϕ(x), est convergente et a un valeur généralement exprimée par:<br />
1<br />
[ϕ(x + ε) + ϕ(x <strong>−</strong> ε)] ,<br />
2<br />
où ε désigne un nombre infiniment petit. ...<br />
On aurait un exemple d’une fonction qui ne remplit pas cette condition,<br />
si l’on supposait ϕ(x) égale à une constante déterminée c lorsque la variable<br />
x obtient un valeur rationnelle, et égale à une autre constante déterminée d,<br />
lorsque cette variable est irrationnelle. La fonction ainsi définie a des valeurs<br />
finies et déterminées pour toute valeur de x, et cependant on ne saurait la<br />
substituer dans la série, attendu que les différentes intégrales qui entrent dans<br />
cette série, perdraient toute signification dans ce cas.”<br />
Se la funzione ϕ(x), i cui valori si suppongono finiti e determinati, non<br />
presenta che un numero finito di discontinuità tra i limiti <strong>−</strong>π e π, e se inoltre<br />
non ha che un numero finito di massimi e minimi tra questi limiti, la serie<br />
∫<br />
1<br />
2π<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
ϕ(a) da + 1 π ⎪⎩<br />
∫<br />
cos x<br />
∫<br />
sin x<br />
∫<br />
ϕ(a) cos a da + cos 2x<br />
∫<br />
ϕ(a) sin a da + sin 2x<br />
ϕ(a) cos 2a da + ...<br />
ϕ(a) sin 2a da + ...<br />
,<br />
i cui coefficienti sono degli integrali definiti dipendenti dalla funzione<br />
ϕ(x), è convergente ad un valore generalmente espresso da:<br />
1<br />
[ϕ(x + ε) + ϕ(x <strong>−</strong> ε)] ,<br />
2<br />
4
dove ε denota un numero infinitamente piccolo...<br />
Si ha un esempio di funzione che non soddisfa questa condizione, se si<br />
suppone ϕ(x) uguale ad una costante determinata c quando la variabile x<br />
assume un valore razionale, ed uguale ad un’altra costante determinata d<br />
quando questa variabile è irrazionale. La funzione così definita assume dei<br />
valori finiti e determinati, tuttavia non si sa come sostituirla nella serie,<br />
perché in questo caso gli integrali che entrano in questa serie perdono ogni<br />
significato.”<br />
In particolare, le serie di Fourier di funzioni con semplici discontinuità<br />
convergono in ogni punto a queste funzioni. Una serie di funzioni continue<br />
può convergere ad una funzione discontinua, questo è il paradosso alla base<br />
del fenomeno di Gibbs.<br />
Nel 1875 W.Thomson, Lord Kelvin, progetta e costruisce una ”Tide Predicting<br />
Machine”, che somma fino a 10 componenti di marea, e versioni perfezionate<br />
di questa apparecchiatura sono rimaste in uso fino all’avvento dei<br />
calcolatori elettronici. Queste macchine meccaniche calcolano i coefficienti di<br />
Fourier di una funzione data e, viceversa, a partire dai coefficienti disegnano<br />
la funzione. Nella rivista ”Nature”, 3 Febbraio 1898, troviamo una breve<br />
descrizione di uno di questi analizzatori armonici.<br />
”A new harmonic analiser, by A.A.Michelson and S.W.Stroud. This is an<br />
instrument designed to sum up as many as eighty terms of a Fourier series,<br />
or to analise a given curve into its original series. The pen which traces the<br />
curve is worked up and down by a lever controlled by a spring. This spring<br />
is stretched by an excentric, which imparts a ”simple harmonic” variation to<br />
the force. The stretching is resisted by another spring. Eighty such elements<br />
are connected together, with one resisting spring to counterbalance the sum<br />
of the elementary springs. The pen therefore moves in accordance with the<br />
sum of the elementary periodic motions. The authors obtain by this machine<br />
the mathematical series representing the profile of a human face.”<br />
”Un nuovo analizzatore armonico, di A.A.Michelson e S.W.Stroud. Questo<br />
è uno strumento progettato per sommare fino ad ottanta termini di una serie<br />
di Fourier, o per analizzare una data curva nella sua serie. Il pennino<br />
che traccia la curva è mosso su e giù da una leva controllata da una molla.<br />
5
Questa molla è tesa da un eccentrico che fornisce una variazione ”armonica<br />
semplice” alla forza. La tensione è controbilanciata da un’altra molla.<br />
Ottanta di questi elementi sono connessi insieme, con una molla che controbilancia<br />
la somma delle molle elementari. Il pennino quindi si muove in<br />
accordo con la somma dei moti periodici elementari. Con questa macchina gli<br />
autori ottengono la serie matematica che rappresenta il profilo di una faccia<br />
umana.”<br />
(”Nature” prosegue poi con ”Un esame delle velocità registrate dei cavalli<br />
da trotto americani, con osservazioni sul loro valore come dato ereditario”.<br />
E’ uno studio su 5703 cavalli che hanno corso un miglio in meno di 2 ′ 30 ′′ .)<br />
Il fisico Michelson, probabilmente motivato da esperimenti con questo<br />
analizzatore armonico, in una lettera a ”Nature”, 6 Ottobre 1898, critica<br />
l’asserzione dei matematici che la serie di Fourier di una funzione converge a<br />
questa funzione anche in un intorno di una discontinuità.<br />
”In all expositions of Fourier series which have come to my notice, it is<br />
expressly stated that the series can represent discontinuous functions. The<br />
idea that a real discontinuity can replace a sum of continuos curves is so<br />
utterly at variance with the physicists’ notion of quantity, that it seems to<br />
me worth while giving a very elementary statement of the problem in such<br />
simple form that the mathematicians can at once point to the inconsistency<br />
if any there be.<br />
Consider the series<br />
y = 2<br />
[sin x <strong>−</strong> 1 2 sin 2x + 1 ]<br />
3 sin 3x <strong>−</strong> ...<br />
In the language of the text-books (Byerly’s ”Fourier’s Series and Spherical<br />
Harmonics”) this series ”coincides with y = x from x = <strong>−</strong>π to x = π...<br />
Moreover the series in addition to the continuous portions of the locus ...<br />
gives the isolated points (<strong>−</strong>π, 0) (π, 0) (3π, 0), &c.”<br />
If for x in the given series we substitute x+ε we have, omitting the factor<br />
2,<br />
<strong>−</strong>y = sin ε + 1 2 sin 2ε + 1 3 sin 3ε + ... + 1 sin nε + ...<br />
n<br />
6
This series increases with n until nε = π. Suppose therefore ε = kπ/n,<br />
where k is a small fraction. The series will now be nearly equal to nε = kπ,<br />
a finite quantity even if n = ∞. Hence the value of y in the immediate<br />
vicinity of x = π is not an isolated point y = 0, but a straight line <strong>−</strong>y = nx.<br />
The same result is obtained by differentiation, which gives<br />
<strong>−</strong> dy = cos x <strong>−</strong> cos 2x + cos 3x <strong>−</strong> ...<br />
dx<br />
putting x = π + ε this becomes<br />
<strong>−</strong> dy = cos ε + cos 2ε + cos 3ε + ...<br />
dx<br />
which is nearly equal n to for values of nε less than kπ. It is difficult to<br />
see the meaning of the tangent if y were an isolated point.<br />
Albert A.Michelson.”<br />
”In tutte le esposizioni sulle serie di Fourier che mi sono note, si dice<br />
espressamente che la serie può rappresentare una funzione discontinua. L’idea<br />
che una discontinuità può rimpiazzare la somma di curve continue è così in<br />
totale contrasto con la nozione di quantità dei fisici, che mi sembra opportuno<br />
dare una elementare esposizione del problema in una forma così semplice che<br />
i matematici ne possano mostrare l’inconsistenza se presente.<br />
Consideriamo la serie<br />
y = 2<br />
[sin x <strong>−</strong> 1 2 sin 2x + 1 ]<br />
3 sin 3x <strong>−</strong> ...<br />
Nel linguaggio del libro di testo (Byerly ”Fourier’s Series and Spherical<br />
Harmonics”) questa serie ”coincide con y = x da x = <strong>−</strong>π a x = π... Inoltre<br />
la serie oltre al luogo continuo di punti... dà i punti isolati (<strong>−</strong>π, 0) (π, 0)<br />
(3π, 0), &c.”<br />
Se per x nella data serie sostituiamo x+ε otteniamo, omettendo il fattore<br />
2,<br />
<strong>−</strong>y = sin ε + 1 2 sin 2ε + 1 3 sin 3ε + ... + 1 sin nε + ...<br />
n<br />
Questa serie cresce con n fino a nε = π. Supponiamo quindi ε = kπ/n,<br />
con k piccolo. La serie sarà ora quasi uguale a nε = kπ, una quantità finita<br />
7
anche quando n = ∞. quindi il valore di y nelle immediate vicinanze di<br />
x = π non è un punto isolato y = 0, ma una linea retta <strong>−</strong>y = nx.<br />
Lo stesso risultato si può ottenere per differenziazione,<br />
<strong>−</strong> dy = cos x <strong>−</strong> cos 2x + cos 3x <strong>−</strong> ...<br />
dx<br />
ponendo x = π + ε questo diventa<br />
<strong>−</strong> dy = cos ε + cos 2ε + cos 3ε + ...<br />
dx<br />
che è quasi uguale a n per valori di nε minori di kπ. E’ difficile vedere<br />
il senso della tangente se y è un punto isolato.<br />
Albert A.Michelson.”<br />
Una risposta a Michelson viene da A.E.H.Love con due lettere a ”Nature”,<br />
13 Ottobre 1898 e 29 Dicembre 1898. La prima lettera è piuttosto brusca e<br />
scortese.<br />
”If there are physicists who hold ”notions of quantity” opposed to the<br />
mathematical result that the sum of an infinite series of continuous functions<br />
may itself be discontinuous, they woud be likely to profit by reading<br />
some standard treatise dealing with the theory of infinite series... Neither of<br />
these statements is correct... The processes employed are invalid... It is not<br />
legitimate...”<br />
”Se ci sono fisici che sostengono ”nozioni di quantità” opposte al risultato<br />
matematico che la somma di una serie infinita di funzioni continue può essere<br />
essa stessa essere discontinua, questi trarrebbero probabilmente profitto dal<br />
leggere qualche trattato di base sulla teoria delle serie infinite... Nessuna di<br />
queste affermazioni è corretta... I metodi impiegati non sono validi... Non è<br />
legittimo...”<br />
Nella seconda lettera Love spiega la differenza tra convergenza puntuale<br />
ed uniforme.<br />
8
”This peculiarity is always presented by a series whose sum is discontinuous:<br />
in the neighbourhoodof the discontinuity the series do not converge<br />
uniformly, or the sums of the first n terms is always appreciably different<br />
from the graph of the limit of the sum.”<br />
”Questa peculiarità è sempre presente in una serie la cui somma è discontinua:<br />
in un intorno della discontinuità la serie non converge uniformemente,<br />
o la somma dei primi n termini differisce in modo apprezzabile dal grafico<br />
del limite della somma”<br />
Anche se questa affermazione è formalmente corretta, di fatto Love non<br />
prende seriamente in considerazione il punto di vista di Michelson. Michelson<br />
replica brevemente con una lettera a ”Nature”, 29 Dicembre 1898. Quindi,<br />
in due lettere a ”Nature”, 29 Dicembre 1898 e 27 Aprile 1899, J.W.Gibbs<br />
chiarisce la differenza tra<br />
”... the limit of the graphs... and the graph of the limit...”<br />
”... il limite dei grafici... e il grafico del limite...”<br />
Se la serie di Fourier converge, il grafico del limite è il grafico della funzione,<br />
ma se la funzione è discontinua il limite dei grafici delle somme parziali<br />
è differente dal grafico della funzione limite.<br />
Come Michelson, anche Gibbs considera la serie di Fourier della funzione<br />
y = x in <strong>−</strong>π < x < π. La periodicizzata di questa funzione è una funzione<br />
lineare a tratti con salti da +π a <strong>−</strong>π nei punti x = π + 2kπ, questa funzione<br />
è detta dente di sega. La prima lettera di Gibbs contiene un errore e non<br />
fa menzione del fatto che le somme parziali della serie di Fourier mancano<br />
il bersaglio per circa il 9% del salto, mentre la seconda lettera descrive con<br />
precisione, ma senza dimostrazioni, il limite dei grafici delle somme parziali.<br />
Questo limite è una linea a zigzag formata alternativamente da segmenti centrati<br />
nei punti (2kπ, 0) e inclinati di 45 o , e da segmenti ∫ verticali centrati in<br />
π<br />
sin(x)<br />
(π + 2kπ, 0). I segmenti verticali sono lunghi 4 dx = 7, 407748...<br />
0 x<br />
e si estendono oltre il punto di intersezione con i segmenti inclinati. Il rapporto<br />
tra questo numero e l’ammontare del salto è = 1, 178979...,<br />
7, 407748...<br />
6, 283185...<br />
9
quindi le somme parziali mancano il bersaglio di circa il 9%, per eccesso in<br />
x = π <strong>−</strong> ε e per difetto in x = π + ε.<br />
Il grafico del limite<br />
Il limite dei grafici<br />
Come abbiamo detto, la lettera di Gibbs contiene una precisa descrizione<br />
del fenomeno, ma senza alcuna dimostrazione. Dopo tre settimane troviamo<br />
ancora una difesa del punto di vista di Michelson in un’altra lettera a<br />
”Nature”, 18 Maggio 1899.<br />
”I have M.Poincaré authority to publish the accompanying note regarding<br />
the applicability of Fourier’s series to discontinuous functions, and send it<br />
accordingly for pubblication in Nature.<br />
A.A.Michelson.<br />
Mon cher collègue, comme ∫ je l’avais prévenu vous avez tout à fait raison.<br />
y<br />
sin xz<br />
Prenons d’abord l’integrale dx, dont la limite pour y = ∞ est π/4,<br />
0 x<br />
0, <strong>−</strong>π/4 selon que z est positif, nul ou négatif. Faisons maintenant tendre<br />
simultanément ∫z vers 0 et y vers l’infini de telle façon que zy tende vers a.<br />
a<br />
sin x<br />
La limite sera dx qui peut prendre toutes valeurs possibles depuis 0<br />
∫ 0 x<br />
π<br />
sin x<br />
jusqu’à<br />
0 x<br />
dx. Si prenons maintenant n termes de la série ∑ sin kz<br />
z<br />
en faisant tendre simultanément z vers 0 et n vers l’infini de telle façon<br />
que le produit nz tende vers a, cela sera évidemment la même chose; et la<br />
10
différence entre la somme et l’integrale sera d’autant plus petîte que z sera<br />
plus petît. Cela se voit aisément. Tout à vous,<br />
Poincaré.<br />
”Ho il permesso del Sig. Poincaré di pubblicare la seguente nota sull’applicabilità<br />
delle serie di Fourier a funzioni discontinue, e la invio per la pubblicazione<br />
su Nature.<br />
A.A.Michelson.<br />
Mio caro collega, come avevo previsto ∫ voi avete del tutto ragione. Per<br />
y<br />
sin xz<br />
cominciare prendiamo l’integrale dx, il cui limite per y = ∞ è<br />
0 x<br />
π/4, 0, <strong>−</strong>π/4 (π/2?) a seconda che z è positivo, nullo o negativo. Facciamo<br />
ora tendere simultaneamente z verso ∫ 0 e y verso l’infinito in modo tale che<br />
a<br />
sin x<br />
zy tenda verso a. Il limite sarà dx che può prendere tutti i valori<br />
∫ 0 x<br />
π<br />
sin x<br />
da 0 fino a<br />
0 x<br />
dx. Se prendiamo ora n termini della serie ∑ sin kz<br />
( z<br />
∑sin<br />
) kz<br />
? facendo tendere simultaneamente z verso 0 e n verso l’infinito<br />
k<br />
in modo tale che il prodotto nz tenda verso a, questo sarà evidentemente la<br />
stessa cosa; e la differenza tra la somma e l’integrale sarà tanto più piccola<br />
quanto z sarà più piccolo. Questo si vede facilmente. Vostro,<br />
Poincaré.<br />
(Probabilmente Poincaré ha scritto la lettera di getto e non la ha neanche<br />
riletta, infatti contiene un paio di errori. La lettera di Poincaré su Nature è<br />
seguita da ”Una nota su dei lombrichi fosforescenti”.)<br />
+∞∑<br />
sin(kx)<br />
+∞∑<br />
(<strong>−</strong>1) k+1<br />
La serie<br />
=<br />
sin(k(π <strong>−</strong> x)) è lo sviluppo della funzione<br />
π <strong>−</strong> x nell’intervallo 0 < x < 2π e in zero c’è un salto di π. Le<br />
k<br />
k<br />
k=1<br />
k=1<br />
2<br />
n∑ sin(kx)<br />
somme parziali<br />
se x = a/n sono somme di Riemann dell’integrale<br />
k<br />
∫ k=1<br />
a<br />
sin(t)<br />
dt,<br />
t<br />
0<br />
11
n∑ sin(ka/n)<br />
=<br />
k<br />
k=1<br />
n∑<br />
k=1<br />
sin(ka/n)<br />
(ka/n)<br />
Più precisamente, se n → +∞ e x → 0+,<br />
n∑ sin(kx)<br />
k<br />
k=1<br />
∫ +∞<br />
= π <strong>−</strong> x<br />
2<br />
<strong>−</strong><br />
∫ +∞<br />
nx<br />
· (a/n) ≈<br />
∫ a<br />
0<br />
sin(t)<br />
dt.<br />
t<br />
sin(t)<br />
dt + o(1).<br />
t<br />
sin(t)<br />
Ricordiamo che<br />
dt = π = 1, 570796..., il valore massimo<br />
∫ 0 t 2<br />
a<br />
∫<br />
sin(t)<br />
π<br />
sin(t)<br />
dell’integrale dt si ha per a = π, dt = 1, 851937...<br />
0 t<br />
0 t<br />
Dopo gli interventi di Gibbs e di Poincaré c’è un’ultima lettera di Love su<br />
”Nature”, 1 Giugno 1899. Si ribadisce che il fenomeno osservato da Michelson<br />
è paradossale solo se non si chiarisce il significato di somma di una serie<br />
infinita, ma il tono di questa lettera è più cortese delle precedenti.<br />
Di fatto il fenomeno di Gibbs è stato descritto con precisione da H.Wilbraham,<br />
cinquant’anni prima di Gibbs (H.Wilbraham, On a certain periodic function.<br />
Cambridge & Dublin Mathematical Journal 3, 1848). Wilbraham considera<br />
la funzione<br />
y = cos(x) <strong>−</strong> cos(3x) + cos(5x) <strong>−</strong> ...<br />
3 5<br />
che prende alternativamente i valori ±π/4 e descrive una onda quadra. Il<br />
comportamento delle somme parziali della serie di Fourier dell’onda quadra<br />
è del tutto analogo a quello dell’onda triangolare. Più in generale, la serie<br />
di Fourier di una funzione a variazione limitata in un intorno di una<br />
discontinuità presenta il fenomeno di Gibbs. Questo segue dal teorema di<br />
convergenza di Dirichlet. Se f(x) e g(x) sono due funzioni a variazione limitata<br />
con un salto in x = a e se f(x) <strong>−</strong> g(x) è continua in un intorno di a,<br />
allora la serie di Fourier di f(x) <strong>−</strong> g(x) converge uniformemente in un intorno<br />
di a. In particolare, le serie di Fourier di f(x) e g(x) hanno lo stesso<br />
comportamento in un intorno di a. Per funzioni non a variazione limitata c’è<br />
ancora un fenomeno di Gibbs, ma le oscillazioni delle somme parziali sono<br />
più marcate e possono mancare il bersaglio di più del 9%.<br />
12
+∞∑<br />
n=0<br />
⎧<br />
(<strong>−</strong>1) n<br />
⎨<br />
2n + 1 cos((2n + 1)x) = ⎩<br />
π/4, |x| < π/2,<br />
0, |x| = π/2, π,<br />
<strong>−</strong>π/4, π/2 < |x| < π.<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
-4 -2 0<br />
2 4<br />
x<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
∑10<br />
n=0<br />
(<strong>−</strong>1) n<br />
cos((2n + 1)x)<br />
2n + 1<br />
Abbiamo accennato al fatto che nelle applicazioni si cerca a volte di<br />
smorzare le oscillazioni delle somme parziali di Fourier in un intorno delle<br />
discontinuità. Un possibile modo di procedere è quello di considerare opportune<br />
medie che pesano meno le frequenze alte rispetto a quelle basse. Nel<br />
grafico sono rappresentate la funzione x/2, le somme parziali della sua serie<br />
10∑<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
∑10<br />
11 <strong>−</strong> n (<strong>−</strong>1) n+1<br />
di Fourier<br />
sin(nx) e le medie di Fejér<br />
sin(nx).<br />
n<br />
11 n<br />
n=1<br />
n=1<br />
13
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
1 2 3<br />
x<br />
-1<br />
-1.5<br />
10<br />
x<br />
2 , ∑(<strong>−</strong>1) n+1<br />
sin(nx),<br />
n<br />
n=1<br />
∑10<br />
n=1<br />
11 <strong>−</strong> n (<strong>−</strong>1) n+1<br />
sin(nx)<br />
11 n<br />
Il fenomeno di Gibbs non è una particolarità delle serie trigonometriche,<br />
ma è una patologia presente in molti processi di approssimazione. Molti sistemi<br />
di funzioni speciali, per esempio i polinomi di Legendre o di Jacobi o<br />
le funzioni di Bessel, hanno dei semplici sviluppi asintotici in termini di funzioni<br />
trigonometriche ed il comportamento degli sviluppi in serie con queste<br />
funzioni speciali non è troppo differente dagli sviluppi in serie trigonometriche.<br />
Nel 1908 C.J. de la Vallée Poussin considera un analogo del fenomeno<br />
di Gibbs nell’interpolazione con polinomi trigonometrici o con funzioni intere<br />
di tipo esponenziale finito. Nel 1910 H.Weyl studia il fenomeno di Gibbs per<br />
sviluppi in armoniche sferiche. Poi il numero di lavori su questo fenomeno si<br />
moltiplica.<br />
Avremmo ancora parecchio da dire su questo argomento, ma invece che<br />
andare avanti con la storia del fenomeno di Gibbs, preferiamo tornare indietro<br />
con la storia delle serie di Fourier. In particolare, andando a ritroso nel tempo<br />
+∞∑<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
vogliamo presentare qualche curiosità sulla serie<br />
sin(nx).<br />
n<br />
n=1<br />
Nel 1826 N.H.Abel pubblica un lavoro sulla formula del binomio (1+x) α =<br />
+∞∑ )<br />
x n e dimostra che una serie di potenze è una funzione continua sui raggi<br />
n=0<br />
( α<br />
n<br />
del cerchio di convergenza.<br />
14
Considerando la serie di Taylor del logaritmo nel piano complesso<br />
log(1 + z) = log |1 + z| + iArg(1 + z) =<br />
e ponendo z = cos(x) + i sin(x), si ottengono le serie<br />
+∞∑<br />
+∞∑<br />
n=1<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
log √ (<strong>−</strong>1) n<br />
2 + 2 cos(x) = <strong>−</strong> cos(nx),<br />
n<br />
n=1<br />
+∞<br />
x<br />
2 = ∑(<strong>−</strong>1) n+1<br />
sin(nx).<br />
n<br />
n=1<br />
Niels Henrik Abel, Recherches sur la série<br />
1 + m m(m <strong>−</strong> 1)<br />
x + x 2 m(m <strong>−</strong> 1)(m <strong>−</strong> 2)<br />
+ x 3 + ...etc.<br />
1 1 · 2<br />
1 · 2 · 3<br />
Crelle, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1, 1826.<br />
L’exellent ouvrage de M.Cauchy ”Cours d’analyse de l’école polytechnique”<br />
qui doit être lu par tout analyste qui aime la riguer dans les recherches<br />
mathématiques, nous servira de guide...<br />
Dans l’ouvrage cité de M. Cauchy on trouve le théorème suivant:<br />
”Lorsque les différent termes de la série, u 0 + u 1 + u 2 + ...etc. sont des<br />
fonctions d’une même variable x, continues par rapport à cette variable dans<br />
le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la<br />
somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière,<br />
fonction continue de x.”<br />
Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par example la<br />
série<br />
sin ϕ <strong>−</strong> 1 2 sin 2ϕ + 1 sin 3ϕ <strong>−</strong> ...etc.<br />
3<br />
est discontinue pour tout valeur (2m + 1)π de ϕ, où m est un nombre<br />
entier. Il y a, comme en sait, plusieurs séries de cette espèce...<br />
1<br />
2 log (1 + 2α cos ϕ + α2 = α cos ϕ <strong>−</strong> 1 2 α2 cos 2ϕ + 1 3 α3 cos 3ϕ <strong>−</strong> etc.<br />
( ) α sin ϕ<br />
arc.tang<br />
= α sin ϕ <strong>−</strong> 1 1 + α cos ϕ<br />
2 α2 sin 2ϕ + 1 3 α3 sin 3ϕ <strong>−</strong> etc.<br />
15<br />
n<br />
z n
Pour avoir les sommes de ces séries lorsque α = +1 ou <strong>−</strong>1, il faut<br />
seulement faire α converger vers cette limite.<br />
L’eccellente opera del Sig. Cauchy ”Corso d’analisi della scuola politecnica”<br />
che deve essere letta da ogni analista che ami il rigore nelle ricerche<br />
matematiche, ci servirà da guida...<br />
Nell’opera citata del Sig. Cauchy si trova il seguente teorema:<br />
”Quando i diversi termini della serie, u 0 + u 1 + u 2 + ...etc. sono delle<br />
funzioni di una stessa variabile x, continue rispetto a questa variabile in un<br />
intorno di un valore particolare per il quale la serie è convergente, anche<br />
la somma s della serie è, nell’intorno di questo valore particolare, funzione<br />
continua di x.”<br />
Ma mi sembra che questo teorema ammetta delle eccezioni. Per esempio<br />
la serie<br />
sin ϕ <strong>−</strong> 1 2 sin 2ϕ + 1 sin 3ϕ <strong>−</strong> ...etc.<br />
3<br />
è discontinua per ogni valore (2m+1)π di ϕ, dove m è un numero intero.<br />
Ci sono, come è noto, parecchie serie di questo tipo...<br />
1<br />
2 log (1 + 2α cos ϕ + α2 = α cos ϕ <strong>−</strong> 1 2 α2 cos 2ϕ + 1 3 α3 cos 3ϕ <strong>−</strong> etc.<br />
( ) α sin ϕ<br />
arc.tang<br />
= α sin ϕ <strong>−</strong> 1 1 + α cos ϕ<br />
2 α2 sin 2ϕ + 1 3 α3 sin 3ϕ <strong>−</strong> etc.<br />
Per avere le somme di queste serie quando α = +1 o <strong>−</strong>1, basta solamente<br />
fare convergere α verso questo limite.<br />
Nel 1807 Fourier introduce le serie che poi prenderanno il suo nome e presenta<br />
vari esempi di sviluppi trigonometrici. Tra questi troviamo lo sviluppo<br />
+∞∑<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
sin(nx) = x/2.<br />
n<br />
n=1<br />
Jean Baptiste Joseph Fourier, Sur la propagation de la chaleur. Manoscritto<br />
presentato il 21 Dicembre 1807 al Institut de France, Paris.<br />
Soit par example<br />
16
y = sin .x<strong>−</strong> 1 2 sin .2x+ 1 3 sin .3x<strong>−</strong> 1 1<br />
sin .4x...+<br />
4 m <strong>−</strong> 1 sin .m <strong>−</strong> 1x<strong>−</strong> 1 sin .mx<br />
m<br />
( m étant un nombre pair quelconque), on tire de cette équation<br />
dy<br />
dx<br />
= cos .x <strong>−</strong> cos .2x + cos .3x <strong>−</strong> cos .4x... + cos .m <strong>−</strong> 1x <strong>−</strong> cos .mx.<br />
Si l’on multiplie les deux membres par 2 sin .x on aura<br />
Donc<br />
2 dy<br />
dx sin .x = ... = sin .x <strong>−</strong> 2 cos .(m + 1 2 )x sin .1 2 x.<br />
On a donc<br />
dy<br />
dx = 1 2 <strong>−</strong> cos .(m + 1)x sin . 1x<br />
2 2<br />
sin .x<br />
y = 1 2 x <strong>−</strong> ∫ cos .(m +<br />
1<br />
2 )x<br />
2 cos . 1 2 x dx<br />
= C + 1 2 x <strong>−</strong> 1 1<br />
2 m + 1 2<br />
et si m est infini on aura<br />
= 1 2 <strong>−</strong> cos .(m + 1 2 )x<br />
2 cos . 1 2 x .<br />
sin .(m + 1 2 )x<br />
2 cos . 1 2 x dx + &c.,<br />
y = C + 1 2 x.<br />
La valeur de y etant nulle en même temp que x, la constante est nulle et<br />
l’on trouve<br />
1<br />
2 x = sin .x <strong>−</strong> 1 2 sin .2x + 1 3 sin .3x <strong>−</strong> 1 sin .4x + ...&c.,<br />
4<br />
équation connue qui a été remarquée par Euler.<br />
... Il est essentiel d’observer à l’égard de toutes ces séries que les équations<br />
qui la contiennent n’ont point lieu de la même manière toutes les valeurs de<br />
la variable, et que les valeurs des séries infinie de sinus ou de cosinus d’arcs<br />
changent de signes subitement.<br />
17
... Quant à la fonction<br />
sin .x <strong>−</strong> 1 2 sin .2x + 1 3 sin .3x <strong>−</strong> 1 sin .4x + ...&c.,<br />
4<br />
elle donne la valeur 1 x tant que l’arc x est plus grand que zéro et moindre<br />
2<br />
que π. Elle devient nulle subitement à la fin de cet interval et au-delà elle<br />
reprende les valeurs précédentes avec le signe contraire. Ainsi l’équation<br />
1<br />
2 x = sin .x <strong>−</strong> 1 2 sin .2x + 1 3 sin .3x <strong>−</strong> 1 sin .4x + ...&c.,<br />
4<br />
appartient à une ligne composée des parallèles inclinée aa...bb...cc... &c.<br />
et des droites perpendiculaires ab, bc, cd,... &c.<br />
Sia per esempio<br />
y = sin .x<strong>−</strong> 1 2 sin .2x+ 1 3 sin .3x<strong>−</strong> 1 4<br />
1<br />
sin .4x...+<br />
m <strong>−</strong> 1 sin .m <strong>−</strong> 1x<strong>−</strong> 1 sin .mx<br />
m<br />
(essendo m un numero pari qualunque), da questa equazione si ricava<br />
dy<br />
dx<br />
= cos .x <strong>−</strong> cos .2x + cos .3x <strong>−</strong> cos .4x... + cos .m <strong>−</strong> 1x <strong>−</strong> cos .mx.<br />
Se si moltiplicano i due membri per 2 sin .x si avrà<br />
Dunque<br />
2 dy<br />
dx sin .x = ... = sin .x <strong>−</strong> 2 cos .(m + 1 2 )x sin .1 2 x.<br />
Si ha dunque<br />
dy<br />
dx = 1 2 <strong>−</strong> cos .(m + 1)x sin . 1x<br />
2 2<br />
sin .x<br />
y = 1 2 x <strong>−</strong> ∫ cos .(m +<br />
1<br />
2 )x<br />
2 cos . 1 2 x dx<br />
= C + 1 2 x <strong>−</strong> 1 1<br />
2 m + 1 2<br />
= 1 2 <strong>−</strong> cos .(m + 1 2 )x<br />
2 cos . 1 2 x .<br />
sin .(m + 1 2 )x<br />
2 cos . 1 2 x dx + &c.,<br />
18
e se m è infinito si avrà<br />
y = C + 1 2 x.<br />
Il valore di y essendo nullo nello stesso tempo di x, la costante è nulla e<br />
si trova<br />
1<br />
2 x = sin .x <strong>−</strong> 1 2 sin .2x + 1 3 sin .3x <strong>−</strong> 1 sin .4x + ...&c.,<br />
4<br />
equazione nota che è stata trovata da Eulero.<br />
... E’ essenziale osservare riguardo a tutte queste serie che le equazioni<br />
che le contengono non hanno affatto luogo nella stessa maniera per tutti i<br />
valori della variabile, e che i valori delle serie infinite di seni e coseni di arco<br />
cambiano di segno all’improvviso.<br />
... Quanto alla funzione<br />
sin .x <strong>−</strong> 1 2 sin .2x + 1 3 sin .3x <strong>−</strong> 1 sin .4x + ...&c.,<br />
4<br />
questa assegna il valore 1 x quando l’arco x è maggiore di zero e minore<br />
2<br />
di π. Questa diviene all’improvviso nulla alla fine di questo intervallo e al<br />
di là riprende i valori precedenti con il segno contrario. Così l’equazione<br />
1<br />
2 x = sin .x <strong>−</strong> 1 2 sin .2x + 1 3 sin .3x <strong>−</strong> 1 sin .4x + ...&c.,<br />
4<br />
appartiene ad una linea composta di parallele inclinate aa...bb...cc... &c.<br />
e di rette perpendicolari ab, bc, cd,... &c.<br />
+∞∑<br />
Fourier attribuisce a L.Eulero la scoperta, nel 1754, della relazione x 2 =<br />
(<strong>−</strong>1) n+1<br />
sin(nx). Per il lettore italiano non è difficile decifrare l’originale<br />
n<br />
n=1<br />
latino.<br />
Leonhardo Eulero, Subsidium calculi sinuum. Novi Commentarii Academiae<br />
Scientiarum Petropolitanae 5, 1754/1755.<br />
Theorema. Si assignari queat summa huius seriei<br />
Az m + Bz m+n + Cz m+2n + Dz m+3n + Ez m+4n + etc. = Z,<br />
19
semper quoque exhiberi poterunt summae harum serierum<br />
A cos .mϕ + B cos .(m + n)ϕ + C cos .(m + 2n)ϕ + D cos .(m + 3n)ϕ + etc.,<br />
A sin .mϕ + B sin .(m + n)ϕ + C sin .(m + 2n)ϕ + D sin .(m + 3n)ϕ + etc.<br />
Demonstratio. Ponantur summae harum serierum<br />
A cos .mϕ + B cos .(m + n)ϕ + C cos .(m + 2n)ϕ + D cos .(m + 3n)ϕ + etc. = S,<br />
A sin .mϕ + B sin .(m + n)ϕ + C sin .(m + 2n)ϕ + D sin .(m + 3n)ϕ + etc = T<br />
sitque ut supra<br />
erit<br />
cos .ϕ + √ <strong>−</strong>1 sin .ϕ = u et cos .ϕ <strong>−</strong> √ <strong>−</strong>1 sin .ϕ = v ;<br />
cos .νϕ + √ <strong>−</strong>1 sin .νϕ = u ν et cos .νϕ + √ <strong>−</strong>1 sin .νϕ = v v .<br />
Hinc ergo erit<br />
S + T √ <strong>−</strong>1 = Au m + Bu m+n + Cu m+2n + Du m+3n + etc. = U,<br />
S <strong>−</strong> T √ <strong>−</strong>1 = Av m + Bv m+n + Cv m+2n + Dv m+3n + etc. = V.<br />
Summae scilicet harum serierum U et V per hypothesin dantur, cum U<br />
et V tales sint functiones ipsarum u et v, qualis functio Z est ipsius z. Hinc<br />
itaque elicitur<br />
S = U + V<br />
2<br />
et<br />
T = U <strong>−</strong> V<br />
2 √ <strong>−</strong>1<br />
ideoque summae propositarumserierum S et T innotescunt. Q.E.D.<br />
Corollarium. Cum sit<br />
z m + az m+n + a 2 z m+2n + a 3 z m+3n + etc. =<br />
... Sit m = 1 et n = 1; erit<br />
zm<br />
1 <strong>−</strong> az n ,<br />
20
cos .ϕ + a cos .2ϕ + a 2 cos .3ϕ + a 3 cos .4ϕ + etc. =<br />
... Sin autem sit a = <strong>−</strong>1, erit<br />
cos .ϕ <strong>−</strong> a<br />
1 + aa <strong>−</strong> 2a cos .ϕ ,<br />
cos .ϕ <strong>−</strong> cos .2ϕ + cos .3ϕ <strong>−</strong> cos .4ϕ + etc. = 1 2 ,<br />
... Illa autem series per dϕ multiplicata et integrata dat<br />
sin .ϕ <strong>−</strong> 1 2 sin .2ϕ + 1 3 sin .3ϕ <strong>−</strong> 1 4 sin .4ϕ + 1 5 sin .5ϕ <strong>−</strong> etc. = ϕ 2 ,<br />
ubi additione constantis non est opus, cum posito ϕ = 0 summa sponte<br />
evanescat.<br />
Cioè, se siamo capaci di sommare una serie di potenze, siamo anche capaci<br />
di sommare le serie trigonometriche corrispondenti. Se z = r (cos(ϑ) + i sin(nϑ)),<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
c n z n =<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
c n r n cos(nϑ) + i<br />
+∞∑<br />
n=0<br />
c n r n sin(nϑ).<br />
Eulero non si preoccupa nel prendere valori di z sul bordo del cerchio di<br />
convergenza della serie e questo lo porta a considerare delle serie divergenti<br />
che poi integra e deriva a piacimento. Sentiamo cosa ne pensa J.d’Alembert:<br />
”Devo confessare che tutti i ragionamenti ed i calcoli fondati su serie che<br />
non sono convergenti o che si può supporre non essere tali, mi sembrano<br />
sempre molto sospetti.”<br />
E Abel rincara la dose:<br />
”Le serie divergenti sono una invenzione del demonio ed è una disgrazia<br />
fondarci sopra delle dimostrazioni.”<br />
Comunque, proprio con i risultati di Abel non è difficile rendere rigorosi<br />
gli argomenti di Eulero. La serie 1/2<strong>−</strong>cos(x)+cos(2x)<strong>−</strong>cos(3x)+... è la serie<br />
21
di Fourier della misura che associa massa π ad ogni punto (2n + 1)π. Questa<br />
serie converge nel senso delle distribuzioni e le operazioni di differenziazione<br />
ed integrazione termine a termine sono lecite.<br />
Eulero non disdegna di tornare più volte sulle sue conquiste ed in un<br />
altro lavoro riottiene questi sviluppi trigonometrici come limite di processi di<br />
interpolazione.<br />
Leonhardo Eulero, De eximio uso methodi interpolationum in serierum<br />
doctrina. Opuscula Analytica 1, 1783.<br />
Si enim quaeratureiusmodi aequatio inter binas variabiles x et y, ut<br />
sumpto x = 0, a, b, c, d, e etc. fiat y = 0, p, q, r, s, t etc., aequatio<br />
haec in genere ita repraesentari poterit<br />
y<br />
x = p bb <strong>−</strong> xx cc <strong>−</strong> xx dd <strong>−</strong> xx ee <strong>−</strong> xx<br />
· · · ·<br />
a bb <strong>−</strong> aa cc <strong>−</strong> aa dd <strong>−</strong> aa ee <strong>−</strong> aa · etc.<br />
+ q aa <strong>−</strong> xx cc <strong>−</strong> xx dd <strong>−</strong> xx ee <strong>−</strong> xx<br />
· · · ·<br />
b aa <strong>−</strong> bb cc <strong>−</strong> bb dd <strong>−</strong> bb ee <strong>−</strong> bb · etc.<br />
+ r aa <strong>−</strong> xx bb <strong>−</strong> xx dd <strong>−</strong> xx ee <strong>−</strong> xx<br />
· · · ·<br />
c aa <strong>−</strong> cc bb <strong>−</strong> cc dd <strong>−</strong> cc ee <strong>−</strong> cc · etc.<br />
+ s aa <strong>−</strong> xx bb <strong>−</strong> xx cc <strong>−</strong> xx ee <strong>−</strong> xx<br />
· · · · · etc. + etc.,<br />
d aa <strong>−</strong> dd bb <strong>−</strong> dd cc <strong>−</strong> dd ee <strong>−</strong> dd<br />
ex qua forma simul manifestum est, quomodo sigulis conditionibus satisfiat.<br />
... Progrediantur arcus a, b, c, d, etc. secundum seriem numerorum<br />
naturalium sitque a = ϕ, b = 2ϕ, c = 3ϕ, d = 4ϕ, etc. in infinitum: ex<br />
quorum sinibus p, q, r, etc veram longitudinem arcus ϕ determinari oporteat.<br />
Solutio ergo problematis pro hoc casu suppediat hanc equationem<br />
ϕ =<br />
<strong>−</strong><br />
+<br />
<strong>−</strong><br />
+<br />
sin .ϕ<br />
· 2 · 2<br />
1 1 · 3 · 3 · 3<br />
2 · 4 · 4 · 4<br />
3 · 5 · 5 · 5<br />
4 · 6 · etc.<br />
sin .2ϕ<br />
· 1 · 1<br />
2<br />
3 · 3 · 3<br />
1 5 · 4 · 4<br />
2 6 · 5 · 5<br />
3 7 · etc.<br />
sin .3ϕ<br />
· 1 · 1<br />
3 2 4 · 2 · 2<br />
1 5 · 4 · 4<br />
1 7 · 5 · 5<br />
2 8 · etc.<br />
sin .4ϕ<br />
· 1 · 1<br />
4 3 5 · 2 · 2<br />
6 · 3 · 3<br />
1 7 · 5 · 5<br />
1 9 · etc.<br />
sin .5ϕ<br />
· 1 · 1<br />
5 4 · 6 · 2 · 2<br />
3 · 7 · 3 · 3<br />
2 · 8 · 4 · 4 · etc. + etc.;<br />
3 · 7<br />
22
omnia autem haec producta eundem reperiendum habere valorem = 2, ita<br />
ut sit<br />
1<br />
2 ϕ = sin .ϕ <strong>−</strong> 1 2 sin .2ϕ + 1 3 sin .3ϕ <strong>−</strong> 1 4 sin .4ϕ + 1 sin .5ϕ <strong>−</strong> etc.,<br />
5<br />
cuius seriei veritas casu, quo angulus ϕ est infinite parvus, per se est<br />
manifesta. Evolvamus ergo casus seguentes:<br />
Sit ϕ = 90 o = π ac prodit series Leibniziana<br />
2<br />
π<br />
4 = 1 <strong>−</strong> 1 3 + 1 5 <strong>−</strong> 1 7 + 1 9 <strong>−</strong> etc.,<br />
... Circa seriem invenita 1 2 ϕ = sin .ϕ <strong>−</strong> 1 2 sin .2ϕ + 1 sin .3ϕ <strong>−</strong> etc. dubium<br />
3<br />
oriri potest, quod sumto arcu ϕ = 180 o = π singuli seriei termini evanescant<br />
ideoque summa nequeat 1 π aequari. Verum ad hoc dubium solvendum<br />
2<br />
statuatur primo ϕ = π <strong>−</strong> ω et resultabit haec equatio<br />
π <strong>−</strong> ω<br />
= sin .ω + 1 2<br />
2 sin .2ω + 1 3 sin .3ω + 1 sin .4ω + etc.<br />
4<br />
nunc vero arcus ω infinite parvus sumatur, unde adipiscimur hanc π <strong>−</strong> ω =<br />
2<br />
ω + ω + ω + ω + ω + etc., quae nihil amplius continet absurdi. Quod idem<br />
tenendum est, si velimus accipere ϕ = 2π vel ϕ = 2π etc.<br />
Per altre referenze sul fenomeno di Gibbs e la sua storia si può consultare<br />
qualche buon testo di Analisi armonica e l’articolo:<br />
E.Hewitt & R.E.Hewitt, The Gibbs-Wilbraham phenomenon: an episode<br />
in Fourier analysis. Archive for the History of Exact Sciences 21, 1979.<br />
23