Laboratorio di cinematica 1,2-dimensionale - Cartan

Laboratorio di cinematica
1, 2-dimensionale
Sommario
La cinematica, dal greco κινεῖν (velocità), è quella branca della fisica
che si occupa di descrivere il moto degli oggetti. In questo laboratorio
tratteremo della relazione spazio-tempo per corpi in moto lungo traiettorie
bidimensionali e unidimensionali
Per gli esperimenti sui moti unidimensionali utilizzeremo la guidovia a cuscino
d’aria del laboratorio del liceo, figura [1].
Figura 1: Guidovia a cuscino d’aria con sensori di posizione montati
La posizione dei carrelli lungo la guidovia verrà campionata con i sensori di posizione
ultrasonici CI-6742, figura [2], della Pasco che verranno montati durante
l’esperienza tramite della staffe. In rete è disponibile un datasheet completo dei
sensori riportante tutte le loro caratteristiche tecniche 1 .
1 Come esercizio cercate il file pdf con le caratteristiche dei sensori di posizione che potrete
poi citare nelle vostre relazioni
1

Figura 2: Sensore di posizione Pasco, disegno tratto dal datasheet della strumentazione
Per studiare i moti bidimensionali utilizzeremo, invece, dei piccoli cannoni ad
elastico con i quali lanceremo dei proiettili il cui moto verrà ripreso e quindi
analizzato tramite il programma Tracker.
Figura 3: Traiettoria del proiettile estratta da un filmato a 240 Hz ripreso durante il
secondo laboratorio di cinematica anno scolastico 2010/2011
Esercizio con la guidovia a cuscino d’aria
Un treno passa davanti ad un passaggio a livello. La locomotiva transita in T 1
secondi l’ultimo vagone transita in T 2 secondi. Sapendo che il treno è composto
di n elementi della stessa lunghezza L, determinarne l’accelerazione nell’ipotesi
che questa sia uniforme. 2 .
2 Esercizio proposto dal prof. Marco Clocchiatti dell’Isis Paschini di Tolmezzo
2

Possiamo rispondere, in via sperimentale, al precedente esercizio misurando con
i sensori di posizione della Pasco l’accelerazione del convoglio, che in laboratorio
sarà rappresentato da due slitte collegate fra loro da un filo. La misura diretta
è molto semplice però non ci insegna nulla di particolarmente interessante, per
questo motivo tramite una fotocellula misureremo il tempo di transito del primo
e dell’ultimo “convoglio” del nostro “treno” e quindi dedurremo un’espressione
analitica dell’accelerazione in funzione dei parametri del problema:
a = f(L, T 1 , T 2 , n) (1)
La soluzione analitica è lasciata a voi come utile esercizio di cinematica unidimensionale,
la migliore tra quelle proposte verrà a tempo debito pubblicata
all’indirizzo http://cartan.e-moka.net.
Stima degli errori
Tutti i dati raccolti in laboratorio saranno affetti da errori sperimentali per
questo motivo le grandezze derivate che calcoleremo (velocità ed accelerazione)
presenteranno un’incertezza. Al fine di valutarne la significatività sarà necessario
determinare come l’incertezza sulle grandezze misurate si rifletta su quelle
calcolate. In questi semplici esperimenti le uniche operazioni coinvolte saranno
somme, prodotti e quozienti questo ci permette di calcolare l’errore con relativa
facilità. Seguiremo le due regole:
Regola 1. 3
Se delle grandezze x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . . . sono misurate con incertezze δx 1 , δx 2 , δx 3 , δx 4 . . .
ed i valori sono utilizzati per calcolare una grandezza derivata
y = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 . . .
l’errore massimo su y che chiameremo δy sarà dato da:
δy ≈ δx 1 + δx 2 + δx 3 + δx 4 + . . .
Regola 2. Se delle grandezze x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . . . sono misurate con incertezze
δx 1 , δx 2 , δx 3 , δx 4 . . . ed i valori sono utilizzati per calcolare una grandezza derivata:
y = x 1x 2 . . .
x 3 x 4 . . .
allora l’errore relativo sulla grandezza derivata y sarà la somma degli errori
relativi delle misure:
δy
|y| ≈ δx 1
|x 1 | + δx 2
|x 2 | + δx 3
|x 3 | + δx 4
|x 4 | + . . .
Utilizzando un foglio di calcolo (ad esempio Libre Office Calc) determinate l’errore
che affligge velocità ed accelerazione misurate con gli strumenti Pasco. Chi
volesse approfondire può consultare il manuale introduttivo sul calcolo degli
errori [[1]].
3 Se le incertezze sulle misure sono indipendenti e casuali allora possiamo utilizzare una
stima più accurata per l’errore nota come somma in quadratura
3

Figura 5: Esportazione dei dati da Pasco Data Studio
Esportazione dei dati da Pasco Data Studio
Il programma Data Studio, installato nei computer del laboratorio di fisica, ci
permette di acquisire le misurazioni dai sensori di posizione e di effettuare le
prime analisi sui dati figura [4].
Figura 4: Serie dai misure acquisite tramite Pasco Datastudio
Il programma permette l’esportazione dei dati acquisiti in formato testuale per
una successiva analisi manuale o tramite altri software dedicati al calcolo numerico.
La procedura di esportazione è molto semplice, dal menu File selezionate
Esporta dati. . . e scegliete quindi l’insieme di misure da esportare figura [5].
I dati saranno esportati in un file di testo utilizzabile poi da tutti i programmi
di analisi numerica:
4

Position, Run #1
Time ( s ) Position ( m )
0,0032 1,100
0,1032 1,099
0,2032 1,100
0,3032 1,096
0,4032 1,099
0,5032 1,099
0,6032 1,099
0,7032 1,099
Moto parabolico
Per studiare il moto di un proiettile utilizzeremo un cannone ad elastico come
in figura [6]
Figura 6: Cannone ad elastico montato in laboratorio
Durante gli esperimenti la bocca del cannone si troverà ad una quota y 0 , l’inclinazione
del tubo di lancio sarà θ e la velocità iniziale del proiettile sarà v 0 . Le
componenti della velocità v(t) saranno:
v x (t) = v 0 cos θ (2)
v y (t) = v 0 sin θ − gt (3)
dove g è l’accelerazione di gravità. Le componenti dello spostamento saranno:
x(t) = v 0 t cos θ (4)
y(t) = y 0 + v 0 t sin θ − 1 2 gt2 (5)
dove si è presupposto che la bocca del cannone si trovi alle coordinate x = 0
e y = y 0 . Dalle [4] possiamo ricavare facilmente la distanza L dalla bocca del
cannone ad un istante t:
√
L(t) =
(v 0 t cos θ) 2 + (v 0 t sin θ − 1 2 gt2 ) 2 (6)
5

e la gittata in funzione dell’angolo θ:
g(θ) = v 0 cos θ v 0 sin θ + √ v 2 sin 2 θ + 2y 0 g
g
avremo gittata massima per un angolo θ:
√
v0 2 θ max = arccos
+ 2gy 0
2v0 2 + 2gy 0
(7)
(8)
possiamo notare che se y 0 = 0 allora θ max = arccos 1 √
2
= π/4
gΘ
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5
Θ
Figura 7: Gittata in funzione dell’angolo θ e della posizione iniziale y 0 del proiettile.
Velocità iniziale v 0 = 2ms −1 e 0 ≤ y 0 ≤ 0.5m
Tutti calcoli presentati precedentemente si suppongono svolti in assenza di atmosfera,
considerando la terra un sistema inerziale e l’accelerazione di gravità
costante; per tali motivi i risultati sperimentali si discosteranno dalle previsioni
teoriche presentate precedentemente.
Determinazione della gittata
Per una determinazione sperimentale della relazione che lega la velocità iniziale
del proiettile all’inclinazione del cannone e alla quota della bocca del cannone
stesso effettueremo svariate prove di lancio per ogni copia di valori (θ, y 0 ) e
riporteremo i dati in un grafico simile a quello di figura [7]. Per minimizzare
gli errori sperimentali nel suddetto grafico inseriremo unicamente la media delle
misure raccolte per ogni coppia di valori inclinazione-quota iniziale.
6

Figura 8: Misurazione dell’angolo che il cannone forma con l’orizzontale
Traiettoria
Conoscendo il vettore posizione r(t) possiamo ricavare la traiettoria della pallina
soggetta ad un moto accelerato lungo l’asse verticale ed uno a velocità costante
lungo l’asse orizzontale. Siccome le componenti del vettore posizione r espresse
in coordinate cartesiane rappresentano le coordinate della pallina ad un certo
istante di tempo t possiamo scrivere il sistema:
{
x = v 0 cos θt
y = v 0 sin θt − 1 2 gt2 (9)
Per ottenere l’equazione della traiettoria dobbiamo cercare una relazione indipendente
dal tempo tra le variabili x ed y. Dalla [9] vediamo che è sufficiente
ricavare il tempo dalla prima equazione del sistema e sostituirlo nella seconda:
⎧
x
⎪⎨
t =
v 0 cos θ
(10)
⎪⎩
y = v 0 sin θt − 1 2 gt2
da cui ricaviamo:
y = tan θx −
gx 2
2v 2 0 cos2 θ
(11)
ovvero l’equazione di una parabola con la concavità rivolta verso il basso.
Per determinare la traiettoria del proiettile lanciato dal cannone ad elastico,
utilizzeremo una macchina fotografica digitale in grado di riprendere filmati ad
alta velocità.
7

Figura 9: La traiettoria sarà determinata misurando le successive posizioni del centro
della pallina.
Procederemo nel modo seguente:
• Impostiamo la frequenza di campionamento della macchina fotografica (es
240Hz)
• Riprendiamo il moto per una data estrazione del pistone del cannone.
• Ripetiamo la ripresa per tre volte (ad allungamento fisso dell’elastico)
I filmati dovranno essere poi rielaborati tramite il programma Tracker come visto
durante il laboratorio sull’analisi dati. Per meglio visualizzare la traiettoria del
proiettile vi consigliamo di effettuare, oltre all’elaborazione con Tracker, anche
la sovrapposizione dei fotogrammi con la tecnica esposta durante il laboratorio
dello scorso anno 4 .
Riferimenti bibliografici
[1] J.R. Taylor Introduzione all’analisi degli errori - Zanichelli
4 Potete trovare una guida esemplificativa all’indirizzo http://cartan.e-moka.net/Fisica/
Laboratorio/Laboratorio-7-cinematica-bidimensionale
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