1 Oscillazioni libere (oscillatore armonico) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 e ( )0 - Fisica

C. d. L. Ingegneria Informatica e delle Telecomunicazioni – A.A. 2001/02 – Fisica Generale 1
PROCESSI OSCILLATORI
1 Oscillazioni libere (oscillatore armonico)
Siamo in presenza di un sistema la cui equazione che esprime il 2° principio della
F = ma è del tipo
dinamica ( )
− kxi
N
mg
Proiettando sull'asse x si ottiene:
che è un'equazione che ammette soluzioni del tipo
Derivando la (3) si ottiene:
Imponiamo le condizioni iniziali: per 0
mentre dalla (3), con la (6) si ha
La soluzione è quindi:
Sostituendo la (8) e la (9) nella (2) si ottiene:
x
kxiˆ
− + mg + N = ma (1)
− kx = mx (2)
( ω ϕ )
xt () = Acos t+
(3)
0
0 0
( )
xt () = − Aω sinω
t+
ϕ
(4)
2
0 0
( )
xt () = − Aω cosω
t+
ϕ
(5)
t = sia x( 0)
x0
0
= e ( )
( )
x 0 = 0.
Dalla (4) segue:
x (0) = − Aω sin ϕ = 0 ⇔ ϕ = 0
(6)
x(0) = Acos(0) = x ⇔ A= x
(7)
0 0
( ω )
x() t = x cos t
(8)
0 0
( )
x() t =−ω
x cosωt
(9)
2
0 0 0
Oscillatore Armonico - Risonanza - 1

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Dalla (10) si vede che il sistema ha una pulsazione propria, 0
questa pulsazione corrispondono la frequenza
1
2 m
T = = π
ν k
0
L'energia potenziale del sistema è data da
− k+ ω m=
0
(10)
2
0
ν
ω , data da 0
ω 1
2π 2π
k
m
k
ω = . A
m
0
0 = = e il periodo
1 2 1 2 1 2 2
U = kx = k⎡x0cos( ωt) ≡ kx0 cos ( ωt)
2 2
⎣ ⎤⎦
(11)
2
mentre l'energia cinetica, utilizzando le (4), (6) e (7) è data da
1 2 1 2 1 2 2 2
T = mx = m⎡− x0ω0sin ( ω0t) ⎤ = mω0x0 sin ( ω0t)
2 2
⎣ ⎦
(12)
2
2
Dalla (10) ricaviamo k = mω,
col che la (12) si può riscrivere:
0
1 2 2
T = kx0 sin ( ω0t)
(13)
2
Utilizzando la (11) e la (13) si vede che la somma delle energie cinetica e potenziale è
1 2 2 1 2 2 1 2
E = T + U = kx0 sin ( ωt) + kx0 cos ( ωt)
= kx0 ∀ t (14)
2 2 2
Oscillatore Armonico - Risonanza - 2

xo
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x
v
0 A
0 A
v
1
v 2
0 A
0 A
1 2 3 4 5 6 7 8
3
4
x
x
x
x
-A
-A
0 A
0 A
Oscillatore Armonico - Risonanza - 3
5
v 6
t
v
E=T+U
7
0 A
v 8
0 A
1 2 2
U = kx cos ωt
= U
2 0
max
1 2 2
T = kx sin ωt
= T
2 0
max
t
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
x
x
x
x
1+ cos 2ωt
2
1−cos 2ωt
2
⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥

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2 Oscillazioni smorzate
Se sul sistema agisce anche una forza resistente che dipende dalla velocità (resistenza
di tipo viscoso) f =−bv
, si ha
− kxi
N
mg
la cui proiezione sull'asse x fornisce
f
x
kxiˆ
− − bv + mg + R = ma (15)
mx = −kx−bx ⇒ mx + bx + kx = 0
(16)
che è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Cerchiamo soluzioni
del tipo
Sostituendo nella (16) si ha:
γ t
Essendo e > 0 ∀ t , deve quindi essere
x = e ⇒ x = γe ⇒ x= γ e
γ t γt 2 γt
2 ( γ γ )
γ t
e m + b + k = 0
(17)
2
mγ bγ k
ovvero γ deve essere soluzione della (18), e sarà quindi dato da
+ + = 0
(18)
b
2
b k
1,2 2
Si hanno tre diversi casi a seconda che sia il discriminante
1. Se 0
∆> (grandi smorzamenti), γ 1 e 2
soluzione dell'equazione del moto è
γ = − ± − (19)
2m 4m
m
2
⎛ b ⎞ k >
∆= ⎜ ⎟ − 0
⎝2m⎠ m <
γ sono reali e distinte, e negative. La
∆ ∆
( )
b
− t
γ1t γ2t
2m
t t
1 2 1 2
xt () = Ae + Ae = e Ae + Ae (20)
Oscillatore Armonico - Risonanza - 4

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2. Se ∆= 0 (smorzamento critico), γ 1 e γ 2 sono reali e coincidenti, e si ha
b
γ1 = γ2
=− . La soluzione dell'equazione del moto è
2m
b
− t
2m
( )
x() t = e A + At
(21)
1 2
3. Se ∆< 0 (piccoli smorzamenti), γ 1 e γ 2 sono immaginarie; si ha
b
γ1,2 =− ± iω
',
con i =
2m
− 1 e ω ' =
k ⎛ b ⎞
−⎜ ⎟
m ⎝2m⎠ (22)
La soluzione dell'equazione del moto è:
Sfruttando le formule di Eulero
si ottiene
b
− t
2m
iω't −iω't
( 1 2 )
xt () = e Ae + Ae
(23)
iθ
− iθ
e = cos θ + i sin θ ; e = cos θ − i sin θ
b
− t
2m
( ) 1 cos ' sin ' 2 cos ' sin '
( ω ω ) ( ω ω )
x t = e ⎡⎣A t+ i t + A t+ i t ⎤⎦
=
Poniamo ora A1 A2 Acosϕ da cui
b
− t
2m
⎡⎣ ( 1 2) cos ω ' ( 1 2)
sin ω'⎤⎦
(24)
= e A + A t + i A − A t
+ = e ( )
i A − A = A ϕ ; si ha
1 2 sin
b
− t
2m
( ) cos ' cos sin ' sin
[ ω ϕ ω ϕ]
xt = Ae t + t
(25)
b
− t
2m
() cos '
Queste sono oscillazioni smorzate con pulsazione
( ω ϕ)
xt = Ae t+
(26)
k ⎛ b ⎞ k
ω ' = − ⎜ ⎟ < = ω0
m ⎝2m⎠ m
2
Oscillatore Armonico - Risonanza - 5
2
(27)

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3 Oscillazioni forzate e Risonanza
Se oltre alla forza elastica di richiamo ed alla resistenza di tipo viscoso c'è anche
un'altra forza di tipo alternativo espressa da ( ) ˆ
F = Fcos ωt
i , il 2° principio della
dinamica si scrive come
N
F
f
= F cos (ωt) î
− kxi ˆ
mg
che proiettata sull'asse x da
x
La figura [D.Sette, Lezioni di Fisica, Ed.
Veschi] rappresenta la funzione x(t) per un
oscillatore smorzato. Le curve II e III
rappresentano due possibili risposte nel caso
∆ >0 (grandi smorzamenti); la curva IV
rapprenta il caso ∆=0 (smorzamento critico),
mentre la curva I rappresenta il caso ∆

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più un integrale particolare della equazione completa (29). L'integrale generale della
(30) si risolve come descritto al punto 2), e rappresenta il comportamento transitorio
(o transiente) del sistema dopo che viene perturbato. A tempi lunghi questa
comportamento smorzato scompare, e la soluzione della (29) la cerchiamo nella forma
che ha derivate
( ω ϕ )
xt () = X cos t−
(31)
m
( )
xt () = −ωX sinωt−ϕ
(32)
m
2
() m cos
( )
xt = −ωX ωt−ϕ (33)
Sostituendo le (31), (32) e (33) nella (29) si ottiene la seguente equazione:
( ) ( ) ( ) ( )
− − − − + − =
2
mωXmcos ωt ϕ bωXmsinωt ϕ kXmcosωt ϕ Fcos ωt
Usando le formule trigonometriche di sottrazione, si ottiene:
( cos cos sin sin ) ( sin cos cos sin )
− ω ω ϕ+ ω ϕ − ω ω ϕ− ω ϕ +
2
m Xm t t b Xm t t
raccogliendo e quindi separando i termini in cos( t)
m
( cosω cosϕ sinω sinϕ) cos(
ω )
+ kX t + t = F t
ω e sin ( t)
( 2
mω Xmcosϕ bωXmsinϕ kXmcosϕ F) cosωt
( 2
m m m )
− + + − +
ω si ottiene quindi:
+ −mω X sinϕ− bωX cosϕ+ kX sinϕ sinωt = 0
Si dividono ora tutti i termini per m, e ricordando che
km= ω si impone che la
precedente equazione sia sempre soddisfatta, il che implica che entrambe la parentesi
devono separatamente essere uguali a 0; si ottiene il seguente sistema di equazioni
ovvero
2 bω2 F
− ω Xmcosϕ+ Xmsinϕ+ ω0Xmcosϕ =
m m
2 bω
2
−ω Xmsinϕ− Xmcosϕ+ ω0Xmsinϕ = 0
m
⎧ 2 2
bωF ( ω0− ω ) Xmcosϕ+ Xmsinϕ
=
⎪
m m
⎨
⎪ 2 2 bω
( ω0−ω ) Xmsinϕ− Xmcosϕ
= 0
⎪⎩
m
e le costanti X m e ϕ soddisfano quindi le relazioni
2
0
Oscillatore Armonico - Risonanza - 7

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X
X
m
m
cos
sin
( ϕ )
( ϕ )
dalle quali si ottiene, quadrando e sommando:
mentre, dividendo la (35) per la (34):
X
Dalle (36) e (37) si ha che:
m
=
F
( ) 2
0
2 2
Fm(
ω0−ω )
( 0 −
2
) +
=
2
m
2
ω
2
ω
2 2
b ω
=
Fbω
2
m
2 2
ω − ω
2 2
+ b ω
2 2 2 2 2
m ω − ω + b ω
tgϕ
=
bω
2 2 ( ω0−ω )
( ) 2
0
1. lo spostamento della massa m è sfasato di un angolo ϕ rispetto alla forza F ;
2. l'angolo di sfasamento è sempre positivo, e varia tra 0 e π ;
3. l'ampiezza di oscillazione X m dipende da ω ;
4. il massimo valore di X m si ha per ω = ω0 1−( b 2mω)2≅
ω0
(frequenza di
risonanza); in corrispondenza a tale valore di frequenza lo sfasamento vale
ϕ = π 2.
m
(34)
(35)
(36)
(37)
Oscillatore Armonico - Risonanza - 8