le scienze fisiche nel settecento - fisica/mente
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FISICA/<br />
MENTE<br />
LE SCIENZE FISICHE<br />
NEL SETTECENTO<br />
di Roberto Renzetti<br />
SECONDA PARTE: BOSCOVICH,<br />
D'ALEMBERT, LAGRANGE, LAPLACE<br />
8 - RUGGERO GIUSEPPE BOSCOVICH (1711<br />
- 1787)<br />
Nei paragrafi precedenti abbiamo accennato alla ce<strong>le</strong>bre<br />
argomentazione di Laplace:<br />
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Un'Intelligenza che, per un dato istante,<br />
conoscesse tutte <strong>le</strong> forze da cui è animata la
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natura e la situazione rispettiva di tutti gli esseri<br />
che la compongono, se per di più fosse abbastanza<br />
profonda per sottomettere questi dati all'analisi,<br />
abbraccerebbe <strong>nel</strong>la stessa formula i movimenti<br />
dei più grandi corpi dell'universo e dell'atomo più<br />
<strong>le</strong>ggero: nulla sarebbe incerto per essa e<br />
l'avvenire, come il passato, sarebbe presente ai<br />
suoi occhi.<br />
E' questo il manifesto del meccanicismo a cavallo dei<br />
secoli XVIII e XIX che illustra bene il substrato cultura<strong>le</strong> su<br />
cui lavoravano i fisici-matematici francesi di quel periodo. Su<br />
quanto ipotizzato da Newton, soprattutto <strong>nel</strong>l'Optics, la<br />
spiegazione del mondo consisteva <strong>nel</strong> ridurre tutti i fenomeni<br />
naturali al<strong>le</strong> interazioni meccaniche di particel<strong>le</strong> considerate<br />
come parti ultime della materia. Bastava, come abbiamo visto<br />
or ora per Laplace, conoscere <strong>le</strong> condizioni iniziali (posizioni e<br />
velocità) di un dato sistema di particel<strong>le</strong> per calcolarsi, con la<br />
meccanica, la sua successiva evoluzione a stati diversi in<br />
fenomeni diversi. Ed è importante notare che, con la<br />
meccanica, non era soltanto possibi<strong>le</strong> calcolarsi l'evoluzione in<br />
avanti, ma anche l'evoluzione all'indietro. Niente infatti, a<br />
partire dalla formulazione newtoniana, impediva la<br />
reversibilità dei fenomeni naturali proprio perché <strong>le</strong> equazioni<br />
della meccanica risultano simmetriche rispetto al tempo.<br />
In questo contesto particellare si inseriscono i lavori del<br />
gesuita Giuseppe Ruggero Boscovich che risultò un grande<br />
«mediatore» tra la <strong>fisica</strong> di Newton e la critica di Leibniz.<br />
Egli, il primo scienziato che dopo 100 anni fa riemergere<br />
il nome dell'Italia, nacque a Ragusa (oggi Dubrovnik), in<br />
Dalmazia, <strong>nel</strong> 1711. Nel 1726 entrò <strong>nel</strong>l’ordine dei gesuiti ed<br />
alcuni anni più tardi fu ordinato sacerdote a Roma. Iniziò i suoi<br />
studi al Col<strong>le</strong>gium Ragusinum e li proseguì al Col<strong>le</strong>gium<br />
Romanum a Roma. La sua carriera iniziò come docente al<strong>le</strong><br />
classi inferiori del Col<strong>le</strong>gium Romanum e successiva<strong>mente</strong><br />
(1740) come docente di matematica al medesimo Col<strong>le</strong>gio.<br />
Egli fu scienziato poliedrico che studiò astronomia,<br />
matematica, <strong>fisica</strong>, geodesia. Gli furono assegnati importanti<br />
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incarichi tecnici che assolse con grande perizia: la verifica<br />
della stabilità della cupola di San Pietro dopo la comparsa di<br />
alcune crepe e quella della guglia del Duomo di Milano; la<br />
consu<strong>le</strong>nza relativa alla bonifica del<strong>le</strong> pianure pontine; i<br />
prob<strong>le</strong>mi dei porti di Rimini e Savona. Partecipò, insieme a<br />
Cristoforo Maire e sotto il papato di Benedetto XIV, alla<br />
misura dell'arco di meridiano (due gradi) da Roma a Rimini al<br />
fine di definire al meglio la configurazione e <strong>le</strong> carte degli Stati<br />
pontifici. Si occupò anche di questioni diplomatiche per <strong>le</strong> sue<br />
capacità dia<strong>le</strong>ttiche, per la sua serietà ed i modi e<strong>le</strong>ganti e<br />
brillanti che a volte sapevano anche essere duri e spigolosi.<br />
Viaggiò, tra l'altro, a Vienna dove si recò e per studiare la<br />
stabilità della Biblioteca Cesarea e per dirimere del<strong>le</strong> questioni<br />
di confine tra Repubblica di Lucca e Granducato di Toscana e<br />
dove (1758) pubblicò una del<strong>le</strong> sue opere più importanti,<br />
Theoria Philosophiae Naturalis redacta ad unicam <strong>le</strong>gem<br />
virium in natura existentium (altre opere degne di nota sono:<br />
De viribus vivis -1745; De lumine - 1748; De centro gravitatis<br />
- 1751). Anch'egli passò per l'intol<strong>le</strong>ranza del<strong>le</strong> idee. Fu<br />
costretto<br />
ad abbandonare il suo insegnamento a Roma perché non erano<br />
condivise <strong>le</strong> sue idee di newtoniano in genera<strong>le</strong> e sulla<br />
costituzione della materia in particolare. Nel 1759 viaggiò in<br />
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Francia ed in Inghilterra dove fu fatto membro della Royal<br />
Society. Si recò a Costantinopoli per osservare il passaggio di<br />
Venere davanti al So<strong>le</strong> ma arrivò in ritardo. Al ritorno visitò<br />
vari Paesi dell'Est europeo e <strong>nel</strong> 1763 fu chiamato ad insegnare<br />
matematica all'Università di Pavia. Negli anni che vanno dal<br />
1763 al 1768 insegnò tra Pavia e <strong>le</strong> Scuo<strong>le</strong> Palatine di Milano.<br />
In questa città fondò l'Osservatorio astronomico di Brera, la<br />
Specola, <strong>nel</strong> qua<strong>le</strong> si occupò di<br />
Specola di Boscovich<br />
strumentazione e degli errori dovuti alla medesima<br />
(eliminazione del<strong>le</strong> aberrazioni cromatica e sferica). Venuto in<br />
contrasto con altri astronomi, lasciò Brera e, in simultanea con<br />
l'abolizione dell'ordine dei gesuiti del 1773 da parte di Papa<br />
C<strong>le</strong><strong>mente</strong> XIV, accettò di andare a lavorare a Parigi come<br />
direttore dell'Ottica della Marina. Qui ebbe molti scienziati<br />
amici che lo stimavano moltissimo ma ebbe anche scontri<br />
continui con Laplace sul metodo di determinazione del<strong>le</strong> orbite<br />
del<strong>le</strong> comete. Nel 1782 ottenne licenza di rimettere piede in<br />
Italia e, dopo un soggiorno a Bassano del Grappa dedicato alla<br />
pubblicazione della sua opera in 5 volumi Opera pertinentia ad<br />
opticam et astronomiam (1785), morì a Milano <strong>nel</strong> 1787.<br />
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Oltre a quanto detto e a quanto dirò oltre, Boscovich<br />
studiò <strong>le</strong> perturbazioni del<strong>le</strong> orbite di Giove e Saturno e della<br />
determinazione dell'orbita di Urano e si occupò di geometria<br />
sferica indagando la possibilità di geometrie non euclidee. Tra i<br />
suoi grandi meriti c'è quello di essere stato uno tra i primi<br />
grandi divulgatori dell'opera di Newton <strong>nel</strong> continente.<br />
La ricerca di Boscovich, che presenta un approccio del<br />
tutto diverso da quanto fino ad ora visto alla meccanica, partì<br />
dal proposito di determinare il centro di oscillazione dei corpi<br />
solidi. Per far questo passò attraverso lo studio dei fenomeni<br />
d'urto tra due corpi. Da alcune osservazioni empiriche (tutte di<br />
carattere qualitativo) egli iniziò a costruirsi un modello<br />
microscopico dei fenomeni in oggetto. Se l'urto tra <strong>le</strong> particel<strong>le</strong><br />
ultime che costituiscono la materia è pensato come urto tra<br />
corpuscoli duri ed estesi, allora bisogna ammettere che<br />
<strong>nel</strong>l'urto si crei una discontinuità <strong>nel</strong>la velocità e quindi <strong>nel</strong>la<br />
quantità di moto del<strong>le</strong> particel<strong>le</strong>. Detto con linguaggio moderno<br />
e supponendo l'urto unidimensiona<strong>le</strong>, all'istante in cui i due<br />
corpuscoli si urtano, il vettore velocità dovrebbe assumere, in<br />
quell'istante, due valori (se non altro due versi opposti).<br />
L'ammissione di ciò viola la <strong>le</strong>gge di continuità che impedisce<br />
si possa andare da un valore ad un altro, di una data grandezza,<br />
senza passare attraverso valori intermedi. La prima assunzione<br />
di Boscovich è quindi quella <strong>le</strong>gge di continuità, di sapore<br />
preva<strong>le</strong>nte<strong>mente</strong> euristico, che spesso era stata utilizzata da<br />
Leibniz. Per risolvere il prob<strong>le</strong>ma occorre, secondo Boscovich,<br />
sbarazzarsi dei corpuscoli estesi e duri ed ammettere una sorta<br />
di parzia<strong>le</strong> «penetrabilità» della materia. Dal<strong>le</strong> sue osservazioni<br />
risultava che "immediata<strong>mente</strong> prima del contatto [<strong>nel</strong>l'urto tra<br />
corpi solidi] <strong>le</strong> stesse velocità [di questi corpi] cominciano a<br />
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cambiare." (Da: Theoria philosophiae naturalis ...). Quindi, a<br />
distanze piccolissime, non vi deve più essere attrazione<br />
(gravitaziona<strong>le</strong>) tra corpi, ma repulsione che aumenta al<br />
diminuire della distanza tra gli stessi. Riportando ciò a livello<br />
microscopico è impossibi<strong>le</strong> pensare <strong>le</strong> ultime particel<strong>le</strong> della<br />
materia come dure ed estese. Esse, secondo Boscovich, devono<br />
essere punti (matematici), indivisibili, inestesi, dotati di inerzia<br />
ma non di massa, disseminati <strong>nel</strong> vuoto immenso. Intorno a<br />
questi punti vi è poi una sorta di atmosfera di forza, più densa<br />
man mano che ci si avvicina al punto. In questo modo<br />
Boscovich supera la difficoltà che sullo stesso prob<strong>le</strong>ma si era<br />
presentata a Leibniz (1) , sviluppando, come osserva Bertrand<br />
Russel, la monadologia in modo più logico e conseguente dello<br />
stesso Leibniz. Le azioni che poi si esercitano tra punti di<br />
Boscovich sono a distanza, di tipo cioè newtoniano, ma anche<br />
se qui c'è un esplicito richiamo a Newton, quando si dovesse<br />
formalizzare il prob<strong>le</strong>ma, non potremmo introdurre la massa e<br />
quindi in alcun modo potremmo parlare di forze alla Newton.<br />
Eppure per Boscovich non c'è materia ma forze <strong>le</strong> quali sono<br />
responsabili di quel<strong>le</strong> variazioni di velocità <strong>nel</strong>l'urto tra due<br />
corpi o tra punti inestesi, cui si accennava prima (per la verità<br />
Boscovich sostiene che "l'universo non consiste di vuoto<br />
disseminato tra la materia, ma di materia disseminata <strong>nel</strong><br />
vuoto e fluttuante in esso" ma, portando al<strong>le</strong> naturali<br />
conseguenze la sua concezione atomica, si vede bene qual fine<br />
faccia la materia).<br />
E lo stesso urto sparisce <strong>nel</strong>la meccanica di Boscovich;<br />
esso è sostituito da azioni che, avvenendo tra punti inestesi,<br />
sono sempre a distanza (tra <strong>le</strong> atmosfere di forza che si<br />
lasciano penetrare per un poco e poi, gradata<strong>mente</strong>, originano<br />
la repulsione che diventa sempre più intensa). La curva di forza<br />
(meglio sarebbe il dire: di variazione di velocità) in funzione<br />
della distanza tra punti è data dal nostro in modo da prevedere<br />
attrazioni di tipo gravitaziona<strong>le</strong> a grande distanza, che vanno<br />
con l'inverso del quadrato, e repulsioni molto intense<br />
(impenetrabilità della materia) a brevissima distanza. A<br />
distanze intermedie si hanno del<strong>le</strong> altre intersezioni della curva<br />
con l'asse del<strong>le</strong> ascisse che, <strong>nel</strong><strong>le</strong> ipotesi di Boscovich,<br />
debbono rendere conto di tutti gli altri fenomeni conosciuti<br />
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come, ad esempio: l'evaporazione di un liquido, la coesione, il<br />
gas prodotto da fermentazione di sostanze, ....<br />
Questa concezione di Boscovich, che prende <strong>le</strong> mosse da<br />
Leibniz, che si sviluppa con Newton, che è in contrasto con il<br />
meccanicismo cartesiano (che si serviva di particel<strong>le</strong> estese e<br />
dure <strong>nel</strong> tutto pieno), è in realtà un' elaborazione assoluta<strong>mente</strong><br />
origina<strong>le</strong> che Boscovich definiva un sistema che è a mezza<br />
strada tra quello di Leibniz e quello di Newton; (2) e ad essa,<br />
poiché si fonda sul concetto di forza, è stato dato il nome di<br />
«dinamismo».<br />
Il dinamismo, modello meccanicistico che si presterà bene<br />
ad una elaborazione matematica, sta a metà strada tra<br />
concezioni corpuscolari e fluidistiche; esso in qualche modo<br />
concilia il punto di vista della continuità (forze presenti<br />
dovunque) con quello della discontinuità (punti inestesi).<br />
Questa teoria dinamica di Boscovich (dinamismo fisico)<br />
fu molto ammirata ma non compresa <strong>nel</strong>la sua grandezza tanto<br />
che, per molto tempo, non fu ripresa da nessuno: anche essa<br />
aveva il difetto di essere intera<strong>mente</strong> qualitativa senza nessuna<br />
base sperimenta<strong>le</strong>. Saranno prima Schelling, quindi Faraday a<br />
riprenderla con successo: il primo inserendola in un sistema<br />
filosofico che ebbe grande influenza tra i fisici romantici ed il<br />
secondo fornendo al dinamismo una gran mo<strong>le</strong> di risultati<br />
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sperimentali che intersecarono il dinamismo con l'azione a<br />
contatto e quindi con la teoria di campo.<br />
E' interessante osservare che un altro sostenitore del<br />
dinamismo fu proprio Kant, che molto contribuì alla sua<br />
affermazione per la grande influenza più genera<strong>le</strong> che egli<br />
ebbe sul pensiero filosofico e scientifico dell' '800.<br />
Nonostante quindi i grandi successi dei fisici - matematici<br />
francesi, <strong>le</strong> prime istanze critiche, che erano state di Leibniz e<br />
di Berke<strong>le</strong>y, si facevano avanti ed andavano a mettere in<br />
discussione proprio i fondamenti della meccanica stessa.<br />
Questo bisogno di critica dei fondamenti era stato tra l'altro<br />
esplicita<strong>mente</strong> manifestato da Kant nei suoi Primi principi<br />
metafisici della scienza della natura (1786). Secondo Kant<br />
occorre far avanzare la discussione sui principi della meccanica<br />
ben oltre la loro accettazione acritica a priori. Bisogna arrivare<br />
fino ai concetti base su cui l'intera meccanica poggia. (3)<br />
Osservo a margine che siamo alla fine del XVIII secolo. La<br />
formulazione di queste istanze critiche coincide, da una parte,<br />
con la decadenza dell'Illuminismo (4) e, dall'altra, con<br />
l'emergere della Germania che va, via via, a collocarsi al<br />
centro del pensiero filosofico europeo. Il primo movimento di<br />
rottura con il pur evanescente Illuminismo tedesco è quello<br />
dello Sturm und Drang. Gli appartenenti ad esso (gli sturmer)<br />
ebbero molto in comune con gli illuministi, soprattutto divisero<br />
con loro la dura condanna per l'ancien regime, l'interesse per la<br />
natura e lo spirito laico; <strong>nel</strong> contempo, però, si distaccarono<br />
radical<strong>mente</strong> da essi <strong>nel</strong> sostituire la categoria del 'genio' a<br />
quella della 'razionalità'. Ma l'autentico superamento<br />
dell'Illuminismo tedesco sarà rappresentato dal criticismo<br />
kantiano. Kant, che si muoveva all'interno dell'Illuminismo<br />
(essendone un appassionato difensore), si impadronì del<strong>le</strong><br />
esigenze di razionalità di esso, studiò i fondamenti di tali<br />
esigenze ed arrivò a scoprirne i limiti.<br />
9 - JEAN LE ROND D'ALEMBERT (1717 -<br />
1783)<br />
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D'A<strong>le</strong>mbert nacque <strong>nel</strong> 1717 a Parigi da una relazione<br />
il<strong>le</strong>gittima tra la famosa donna di <strong>le</strong>ttere madame Claudine<br />
Guérin de Tencin ed il cavaliere Louis-Camus Destouches,<br />
genera<strong>le</strong> d'artiglieria. Per ordine della madre fu abbandonato da<br />
un servo sui gradini di una cappella contigua ad una del<strong>le</strong> torri<br />
di Notre Dame, quella di Saint Jean Le Rond, da cui il suo<br />
nome. Fu portato in un orfanatrofio ma suo padre riuscì a<br />
trovarlo e, pur non riconoscendolo, lo fece adottare, in cambio<br />
di una rendita, alla moglie di un vetraio, Madame Rousseau,<br />
con la qua<strong>le</strong> Jean vivrà fino ai 50 anni e che riconoscerà<br />
sempre come sua vera madre. Con la piccola pensione che il<br />
padre dette a Jean, egli iniziò i suoi studi prima in forma<br />
privata e poi, a partire dai 12 anni, al giansenista Collège des<br />
Quatre Nations, fondato da Mazzarino. Fu uno studente<br />
brillante che, dopo aver preso il diploma di scuola superiore<br />
(baccalauréat en arts) <strong>nel</strong> 1735, proseguì gli studi alla Scuola<br />
di Diritto, iscrivendosi con il cognome che aveva, Daremberg,<br />
che fece cambiare in D'A<strong>le</strong>mbert, divenendo avvocato <strong>nel</strong> 1738<br />
ma rinunciando all'avvocatura. Si iscrisse poi a medicina ma<br />
anche qui abbandonò. Il suo interesse era per <strong>le</strong> <strong>scienze</strong> e la<br />
matematica. Nel 1739, infatti, presentò un primo lavoro di<br />
matematica all'Académie des Sciences e <strong>nel</strong> 1742 fu assunto<br />
come collaboratore <strong>nel</strong>la sezione astronomica. Appena un anno<br />
dopo pubblicò uno dei suoi lavori più importanti, il Traité de<br />
dynamique dans <strong>le</strong>quel <strong>le</strong>s lois de l'équilibre et du mouvement<br />
des corps sont réduites au plus petits nombre possib<strong>le</strong> ... e ad<br />
esso seguirono altre opere di gran rilievo: Traité de l’équilibre<br />
et du mouvement des fluides (1744);<br />
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Théorie généra<strong>le</strong> des vents (1745); Réf<strong>le</strong>xions sur la cause<br />
généra<strong>le</strong> des vents (1746); Recherches sur <strong>le</strong>s cordes vibrantes<br />
(1747); Recherches sur la précession des équinoxes (1749)<br />
oltre ad opere di carattere eminente<strong>mente</strong> filosofico. Tra queste<br />
merita particolare rilievo il Discours préliminaire<br />
all'Encyclopédie (alla qua<strong>le</strong> D'A<strong>le</strong>mbert contribuì anche<br />
scrivendo molte voci), la monumenta<strong>le</strong> opera che D'A<strong>le</strong>mbert<br />
intraprese insieme a Diderot a partire dal 1746 e che vide il suo<br />
primo tomo uscire <strong>nel</strong> 1751 (tomo <strong>nel</strong> qua<strong>le</strong> compariva il<br />
suddetto Discours préliminaire). D'A<strong>le</strong>mbert lasciò<br />
l'Encyclopédie <strong>nel</strong> 1759 per divergenze con Diderot.<br />
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Ancora <strong>nel</strong> 1746 egli fu e<strong>le</strong>tto associato di geometria<br />
all'Académie ma la sua carriera da quel<strong>le</strong> parti non fu brillante<br />
a seguito della sua comp<strong>le</strong>ta adesione al progetto<br />
dell'Encyclopédie che gli creò vari nemici, tra cui l'accademico<br />
Clairaut. In compenso, <strong>nel</strong> 1745, fu associato all'Accademia di<br />
Berlino (declinò l'invito di Federico di Prussia a dirigere<br />
l'Accademia perché: non vo<strong>le</strong>va avere un grado accademico<br />
superiore a colui che stimava come più grande matematico del<br />
tempo, Eu<strong>le</strong>r; e perché sapeva che la cosa avrebbe creato<br />
prob<strong>le</strong>mi politici in Francia) e, <strong>nel</strong> 1754, venne e<strong>le</strong>tto membro<br />
dell' Académie française della qua<strong>le</strong> dal 1772 assunse la carica<br />
di segretario a vita. Fu amico di Voltaire e Lagrange e grande<br />
ispiratore dell'Illuminismo. Anche se non arrivò a vederla, fu<br />
uno dei padri della Rivoluzione Francese. Si spense <strong>nel</strong> 1787<br />
per una malattia alla vescica, sopravvivendo di 11 anni ad una<br />
scrittrice, Julie de Lespinasse, che aveva conosciuto <strong>nel</strong> 1754 e<br />
con la qua<strong>le</strong> aveva diviso molti anni di tenera ed affettuosa<br />
compagnia. Da ateo convinto qual era la sua sepoltura fu in una<br />
fossa comune senza lapide.<br />
Quando D'ando D'A<strong>le</strong>mbert iniziò a lavorare, vi erano<br />
varie incongruenze e contraddizioni <strong>nel</strong><strong>le</strong> questioni di<br />
meccanica. D'Agostino ricorda che <strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi meccaniche note a<br />
quell'epoca (1743) contenevano alcune <strong>le</strong>ggi del moto e<br />
dell'urto elaborate da Descartes, <strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi di Gali<strong>le</strong>o sulla caduta<br />
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dei gravi, <strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi di Huygens sulla forza centrifuga e sul<br />
pendolo composto, la conservazione della forza viva di Leibniz<br />
e la gran mo<strong>le</strong> di concetti e <strong>le</strong>ggi dei Principia di Newton. Noi<br />
oggi siamo portati a vedere solo Newton come il<br />
sistematizzatore di tutto ma non doveva essere così in un'epoca<br />
in cui tutti i contributi erano relativa<strong>mente</strong> recenti e qualche<br />
confusione poteva nascere. Pertanto doveva esservi e<br />
certa<strong>mente</strong> vi era in D'A<strong>le</strong>mbert una esigenza di ordine tra <strong>le</strong><br />
varie cose che erano state elaborate, anche su medesimi<br />
argomenti e che potevano sembrare trattazioni differenti. Nel<br />
Traité de dynamique egli inizia a fare ordine spiegandolo <strong>nel</strong>la<br />
Premessa:<br />
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Si è avuta fortuna <strong>nel</strong>l'applicare l'algebra alla<br />
geometria, la geometria alla meccanica e ciascuna<br />
di queste <strong>scienze</strong> a tutte <strong>le</strong> altre, del<strong>le</strong> quali ultime<br />
esse sono la base e il fondamento. Ma non si è mai<br />
prestata altrettanta cura <strong>nel</strong>l'opera di ridurre i<br />
principi di tali <strong>scienze</strong> al minor numero possibi<strong>le</strong> o<br />
in quella di fornir loro tutta quella chiarezza che<br />
si può desiderare. A questo proposito, la<br />
meccanica soprattutto è quella che sembra esser<br />
stata maggior<strong>mente</strong> trascurata: e così la maggior<br />
parte dei suoi principi ha dato luogo a molte<br />
questioni spinose, vuoi perché tali principi sono<br />
oscuri di per se stessi, vuoi perché essi sono<br />
enunciati e dimostrati in modo oscuro. In<br />
genera<strong>le</strong>, sino ad oggi ci si è preoccupati più di<br />
far crescere l'edificio che di far luce al suo<br />
ingresso; si è pensato maggior<strong>mente</strong> all'ampiezza<br />
dell'edificazione che a dare ai suoi fondamenti<br />
tutta la solidità che ad essi converrebbe.<br />
Io mi sono proposto, con quest'opera, di<br />
soddisfare due istanze: far retrocedere i limiti<br />
della meccanica e appianare l'accesso di<br />
quest'ultima; e il mio fine principa<strong>le</strong> è stato quello<br />
di colmare ciascuna di tali istanze, in qualche<br />
modo, per mezzo dell'altra, e cioè, non sola- .<br />
<strong>mente</strong> di dedurre i principi della meccanica da
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nozioni che siano <strong>le</strong> più chiare, ma anche di<br />
applicarli a nuovi usi; di mostrare sia l'inutilità di<br />
molti principi che sino ad oggi sono stati impiegati<br />
in meccanica, sia i vantaggi che si possono<br />
ricavare, per il progresso di questa scienza, dalla<br />
combinazione di altri; in una parola, di estendere i<br />
principi riducendoli di numero [Da Bellone,<br />
bibliografia 63].<br />
Il programma di D'A<strong>le</strong>mbert è dunque chiaro: è inuti<strong>le</strong><br />
utilizzare tanti principi dove ne occorrono pochi. Vediamone<br />
una qualche articolazione <strong>nel</strong> seguito della Premessa:<br />
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Il tempo per sua natura scorre uniforme<strong>mente</strong>, e la<br />
meccanica suppone una ta<strong>le</strong> uniformità. D'altra<br />
parte, senza conoscere il tempo in se stesso e<br />
senza averne una misura precisa, non possiamo<br />
con maggior chiarezza rappresentare il rapporto<br />
fra <strong>le</strong> sue parti se non ricorrendo al rapporto fra<br />
<strong>le</strong> porzioni di una linea retta indefinita. Orbene,<br />
l'analogia che si ha tra il rapporto fra <strong>le</strong> parti di<br />
una tal linea e il rapporto fra <strong>le</strong> parti dello spazio<br />
percorso da un corpo che si muove in modo<br />
qualsiasi può sempre essere espressa per mezzo di<br />
un'equazione: si può dunque immaginare una<br />
curva <strong>le</strong> cui ascisse rappresentano <strong>le</strong> porzioni di<br />
tempo che sono trascorse dopo l'inizio del<br />
movimento, mentre <strong>le</strong> ordinate corrispondenti<br />
designano gli spazi percorsi durante quel<strong>le</strong><br />
porzioni di tempo. [...]<br />
È allora evidente che, mediante la sola<br />
applicazione della geometria e del calcolo, diventa<br />
possibi<strong>le</strong>, senza ricorrere ad alcun altro principio,<br />
trovare <strong>le</strong> proprietà generali del movimento,<br />
essendo quest'ultimo variabi<strong>le</strong> secondo una <strong>le</strong>gge<br />
qualsiasi. Ma come accade che il movimento di un<br />
corpo segue questa o quella <strong>le</strong>gge particolare? La<br />
sola geometria nulla ci può insegnare in<br />
proposito: qui si può pensare che stia il primo
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prob<strong>le</strong>ma che appartiene immediata<strong>mente</strong> alla<br />
meccanica [Da Bellone, bibliografia 63].<br />
Da dove iniziare a cambiare, allora ? Vi è qualcosa che non<br />
torna <strong>nel</strong>la meccanica che comune<strong>mente</strong> utilizziamo ?<br />
[...] questo unico assioma, vago e oscuro, secondo<br />
cui l'effetto è proporziona<strong>le</strong> alla causa. Non<br />
esamineremo affatto se questo principio sia di<br />
verità necessaria; confesseremo soltanto che <strong>le</strong><br />
prove che sino ad ora sono state portate in suo<br />
favore non ci sembrano affatto libere da critiche:<br />
e non lo adotteremo, come qualche geometra, in<br />
veste di verità pura<strong>mente</strong> contingente, poiché ciò<br />
getterebbe in rovina la certezza della meccanica e<br />
ridurrebbe quest'ultima a non esser altro che una<br />
scienza sperimenta<strong>le</strong>; ci contenteremo di<br />
osservare che, vero o centro di dubbi, chiaro<br />
oppure oscuro, esso è inuti<strong>le</strong> per la meccanica e<br />
ne deve, di conseguenza, essere bandito [Da<br />
Bellone, bibliografia 63].<br />
E qui siamo al nocciolo del prob<strong>le</strong>ma da cui D'A<strong>le</strong>mbert<br />
prende <strong>le</strong> mosse. Su questa questione di causa ed effetto egli<br />
specificherà ancora <strong>nel</strong>la voce causa dell'Encyclopédie:<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (14 of 59)23/02/2009 10.10.05<br />
Sarebbe final<strong>mente</strong> auspicabi<strong>le</strong> che i Meccanici<br />
riconoscessero che noi non conosciamo altro sul<br />
moto se non il moto stesso [...] e che <strong>le</strong> cause<br />
meta<strong>fisiche</strong> di questo moto ci sono ignote e che ciò<br />
che chiamiamo causa, anche quella [...] dell'urto,<br />
sono chiamate così solo impropria<strong>mente</strong>; ma essi<br />
sono effetti da cui derivano altri effetti.<br />
In un urto un corpo in moto ne muove un altro e di<br />
conseguenza il corpo che urta viene considerato<br />
come causa del movimento del corpo urtato. Ma è<br />
un modo improprio di esprimersi. La causa
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
meta<strong>fisica</strong>, la vera causa c'è ignota [citato da<br />
D'Agostino].<br />
E' una critica decisa al secondo principio della dinamica di<br />
Newton e, come si vede, egli accettò <strong>le</strong> definizioni newtoniane<br />
di spazio e tempo ma non accettò il fatto che la forza sia<br />
proporziona<strong>le</strong> all'acce<strong>le</strong>razione come Eu<strong>le</strong>r aveva esplicitato.<br />
Dietro questo principio vi è un qualcosa di vago, di metafisico<br />
e di oscuro (che estendono tenebre sopra una Scienza che è<br />
invece chiara di per sé), il fatto cioè che la causa deve essere<br />
proporziona<strong>le</strong> all'effetto.<br />
Natural<strong>mente</strong>, per fare critiche così pesanti, D'A<strong>le</strong>mbert<br />
ha una visione diversa della meccanica che egli basa su tre<br />
principi o <strong>le</strong>ggi del movimento. Egli dice che possiamo ridurre<br />
i Principi della Meccanica a tre, la forza d'inerzia, il moto<br />
compostoi e l'equilibrio. Seguiamo l'impostazione di<br />
D'A<strong>le</strong>mbert, aiutandoci con D'Agostino.<br />
PRIMA LEGGE DEL MOTO. E' la <strong>le</strong>gge del moto<br />
inerzia<strong>le</strong> o principio della forza d'inerzia che D'A<strong>le</strong>mbert<br />
ritiene evidente di per sé in base al principio di ragion<br />
sufficiente:<br />
Un corpo non si può mettere in moto da solo [...]<br />
ma una volta data l'esistenza del moto, la <strong>le</strong>gge<br />
più semplice che un corpo possa osservare [...] è<br />
la <strong>le</strong>gge dell'uniformità ed è per conseguenza<br />
questa la <strong>le</strong>gge che esso deve osservare [...]. Il<br />
moto è dunque uniforme per natura.<br />
Per alterare il moto di un corpo, secondo D'A<strong>le</strong>mbert, è<br />
necessario agisca o un peso o un urto. Le forze altrove invocate<br />
sono ritenute entità occulte di origine meta<strong>fisica</strong>. Da ciò<br />
discende il fatto che D'A<strong>le</strong>mbert non prenderà posizione <strong>nel</strong>la<br />
po<strong>le</strong>mica del<strong>le</strong> forze vive.<br />
Ed in termini di soli effetti (per noi è una sola ipotesi<br />
mentre per tutti i geometri è eretta a principio) egli definisce la<br />
forza acce<strong>le</strong>ratrice:<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (15 of 59)23/02/2009 10.10.05
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
ϕ dt = du<br />
dove <strong>le</strong> quantità du e dt sono gli incrementi infinitesimi del<strong>le</strong><br />
velocità e dei tempi. E dopo questa prima definizione egli ce ne<br />
offre un'altra, quella della forza motrice che risulta essere il<br />
prodotto della forza acce<strong>le</strong>ratrice per la massa, senza però darci<br />
alcuna definizione origina<strong>le</strong> per quest'ultima che sembrerebbe<br />
essere un dato a priori. In tal modo, <strong>nel</strong>la Meccanica di<br />
D'A<strong>le</strong>mbert, la forza diventa una nozione derivata. In<br />
definitiva: se si conosce il moto, quel<strong>le</strong> che chiamiamo forze<br />
non sono che mere manifestazioni del medesimo moto che si<br />
possono calcolare a partire da esso.<br />
SECONDA LEGGE DEL MOTO. E' la <strong>le</strong>gge del moto<br />
composto che si ha quando un corpo in moto cambia direzione<br />
a causa di un urto contro un ostacolo fisso (in tal caso il moto è<br />
composto dal moto inizia<strong>le</strong> e da quello ricevuto dall'urto). E'<br />
anche vero il viceversa quando il moto inizia<strong>le</strong> può essere<br />
considerato come risultante dal moto assunto e da quello<br />
perduto (termine usato per indicare l'opposto di ricevuto).<br />
Nell'urto vi è un moto perduto ed uno mantenuto (si deve<br />
osservare che D'A<strong>le</strong>mbert considera i corpi come<br />
comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong> rigidi e quindi esenti da rimbalzi che solo<br />
l'elasticità permette; conseguenza di questa posizione è<br />
l'assenza di conservazione dell'energia meccanica).<br />
Poiché il moto del corpo prima della collisione<br />
può essere considerato come composto del nuovo<br />
moto che egli assume o di un altro che è perduto<br />
[...] ne segue che la <strong>le</strong>gge del moto, cambiato da<br />
un qualsiasi ostacolo, dipende unica<strong>mente</strong> dalla<br />
<strong>le</strong>gge del moto distrutto da quegli stessi ostacoli.<br />
Ed osserva D'A<strong>le</strong>mbert:<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (16 of 59)23/02/2009 10.10.05<br />
Alcuni <strong>le</strong>ttori potrebbero restare sorpresi dal fatto<br />
che io faccia la dimostrazione di una<br />
proposizione, così semplice in apparenza, che è<br />
parte di un caso genera<strong>le</strong> molto più comp<strong>le</strong>sso ma<br />
non si può, mi sembra, dimostrare altrimenti la
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
proposizione in oggetto che <strong>nel</strong> considerarla come<br />
un assioma incontestabi<strong>le</strong>, che l'effetto di due<br />
cause congiunte è ugua<strong>le</strong> alla somma dei loro<br />
effetti presi separata<strong>mente</strong> o che due cause<br />
agiscono congiunta<strong>mente</strong> come agirebbero<br />
separata<strong>mente</strong>, principio che non mi sembra molto<br />
evidente né molto semplice e che d'altra parte ha<br />
molto a che vedere con la questione del<strong>le</strong> forze<br />
vive e con il principio della forze acce<strong>le</strong>ratrici<br />
[...]. E' la ragione che mi ha obbligato ad evitare<br />
di farne uso, in accordo con quanto mi sono<br />
proposto all'inizio di questo Trattato e cioè di<br />
ridurre la Meccanica al più piccolo numero<br />
possibi<strong>le</strong> di principi, e di occuparmi solo di tutti<br />
quei principi che hanno a che fare con il<br />
movimento, cioè dello spazio percorso e del tempo<br />
impiegato a percorrerlo, senza farci entrare in<br />
alcun modo <strong>le</strong> forze e <strong>le</strong> cause motrici.<br />
Il secondo principio di Newton, considerato una<br />
tautologia, viene quindi enunciato da D'A<strong>le</strong>mbert in altro modo<br />
(principio di D'A<strong>le</strong>mbert), che era stato anche di Jacob II<br />
Bernouilli ma solo <strong>nel</strong> caso particolare del pendolo composto.<br />
Secondo D'A<strong>le</strong>mbert, in un sistema meccanico vincolato, deve<br />
esservi una equiva<strong>le</strong>nza tra <strong>le</strong> forze reali applicate al sistema e<br />
<strong>le</strong> forze che sarebbero necessarie se non esistessero i vincoli<br />
per dare al sistema il moto che esso ha. In tal modo <strong>le</strong> forze<br />
vincolari vengono eliminate ed i prob<strong>le</strong>mi dinamici vengono<br />
ridotti a prob<strong>le</strong>mi statici (stessi calcoli erano stati sviluppati,<br />
senza ricorso al principio D'A<strong>le</strong>mbert, anche da Eu<strong>le</strong>r).<br />
TERZA LEGGE DEL MOTO. E' la <strong>le</strong>gge che riguarda<br />
gli urti tra due masse rigide quando si muovono con velocità<br />
opposte. In caso di uguaglianza del<strong>le</strong> masse, dopo l'urto, si ha<br />
equilibrio. L'equilibrio si ha anche quando <strong>le</strong> masse dei due<br />
corpi, in moto in versi opposti, sono in ragione inversa al<strong>le</strong> loro<br />
velocità. La giustificazione di ciò risiede, per D'A<strong>le</strong>mbert su<br />
ragioni di simmetria. Ogni altro caso, per D'A<strong>le</strong>mbert può<br />
essere ricondotto a questo come pretende dimostrare studiando<br />
4 possibili casi. Ma la cosa è, in genera<strong>le</strong>, del tutto errata.<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (17 of 59)23/02/2009 10.10.05
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
Questa terza <strong>le</strong>gge serviva comunque a D'A<strong>le</strong>mbert proprio per<br />
non utilizzare il concetto di forza. Per far ciò introdusse un<br />
moto virtua<strong>le</strong> che egli considerava una tendenza al moto. In tal<br />
modo la statica diventava un caso particolare della sua<br />
meccanica dell'urto <strong>nel</strong> caso di equilibrio che si ha quando<br />
masse uguali tenderebbero a muoversi con velocità uguali ed<br />
opposte, con l'integrazione (errata) già fatta secondo la qua<strong>le</strong> è<br />
possibi<strong>le</strong> ridurre a questo tutti gli altri casi.<br />
Dal<strong>le</strong> seconda e terza <strong>le</strong>gge D'A<strong>le</strong>mbert ricava il<br />
principio che porta il suo nome e che riguarda gli urti sia che<br />
essi avvengano diretta<strong>mente</strong> sia che gli urti siano trasmessi da<br />
un corpo intermedio (ad esempio un'asta rigida o una corda<br />
non elastica). Il principio afferma che durante il moto di un<br />
qualsiasi sistema di corpi, la risultante del<strong>le</strong> forze attive è<br />
ugua<strong>le</strong> alla risultante del<strong>le</strong> reazioni cinetiche, definite come il<br />
prodotto della massa di ciascun punto per la sua acce<strong>le</strong>razione.<br />
Esso può anche essere enunciato <strong>nel</strong> modo seguente: <strong>le</strong> azioni e<br />
reazioni interne a un sistema di corpi rigidi in moto si fanno<br />
equilibrio. O anche: in ogni istante, ogni stato del moto può<br />
essere considerato come uno stato di equilibrio, qualora siano<br />
introdotte del<strong>le</strong> appropriate forze d'inerzia. O ancora: Se si<br />
considera un sistema di punti materiali <strong>le</strong>gati tra loro in modo<br />
che <strong>le</strong> loro masse acquisiscano velocità rispettive differenti a<br />
seconda se esse si muovano libera<strong>mente</strong> o solidal<strong>mente</strong>, <strong>le</strong><br />
quantità di moto acquisite o perse <strong>nel</strong> sistema sono uguali.Ed<br />
in definitiva, <strong>nel</strong> caso di un corpo vincolato (pendolo<br />
oscillante, sfera che rotola su un piano inclinato, ...) vi deve<br />
essere equiva<strong>le</strong>nza fra <strong>le</strong> forze applicate al sistema e quel<strong>le</strong> che<br />
occorrerebbero per dare al corpo vincolato il moto che ha<br />
effettiva<strong>mente</strong>, qualora non esistessero vincoli. In tal modo <strong>le</strong><br />
coordinate spaziali non risultano più indipendenti con la<br />
conseguenza che la stessa cosa accade per <strong>le</strong> equazioni<br />
differenziali che descrivono il prob<strong>le</strong>ma; <strong>le</strong> forze vincolari non<br />
producono moto ma sono effetti del moto. Egli dice:<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (18 of 59)23/02/2009 10.10.05<br />
Sia dato un sistema di corpi disposti gli uni in<br />
rapporto agli altri in un modo qualsiasi;<br />
supponiamo d'imprimere a ciascuno di questi<br />
corpi un movimento particolare, che egli non
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
possa seguire a causa dell'azione degli altri corpi:<br />
trovare il movimento che ciascun corpo deve<br />
prendere.<br />
Si può sempre considerare, dice D'A<strong>le</strong>mbert,<br />
ciascuno dei movimenti a. b, c ..., impressi<br />
rispettiva<strong>mente</strong> ai differenti corpi A, B, C ...,<br />
costituenti il sistema dato, come costituito di due<br />
movimenti: a ed α, b e β, c e γ ... , in cui a, b, c ...<br />
sono i movimenti real<strong>mente</strong> seguiti, cioè i<br />
movimenti cercati e α, β, γ ... movimenti che<br />
devono distruggersi mutua<strong>mente</strong> per il fatto dei<br />
<strong>le</strong>gamenti.<br />
Ta<strong>le</strong> è la scomposizione che d'A<strong>le</strong>mbert e<strong>le</strong>va a principio:<br />
Scomporre i movimenti a, b, c ... impressi a<br />
ciascun corpo. ciascuno in altri due a, α; b, β; c,<br />
γ ... che siano tali che se si fossero impressi ai<br />
corpi soltanto i movimenti a, b, c ... essi avrebbero<br />
potuto conservare questi movimenti senza nuocersi<br />
reciproca<strong>mente</strong>; e che se non si fosse loro<br />
impresso che i movimenti α, β, γ .... il sistema<br />
sarebbe rimasto in riposo; è chiaro che a, b, c ....<br />
saranno i movimenti che questi corpi prenderanno<br />
in virtù della loro azione. Ciò che bisognava<br />
trovare.<br />
Se il principio di d'A<strong>le</strong>mbert è chiarissimo, <strong>le</strong><br />
scomposizioni al<strong>le</strong> quali egli obbliga sono spesso laboriose. Ci<br />
troviamo di fronte al<strong>le</strong> stesse difficoltà di Descartes e Leibniz<br />
perché abbiamo ancora a che fare con il sistema <strong>nel</strong>la sua<br />
totalità e non con <strong>le</strong> parti che lo compongono; perciò esso<br />
risulta insufficiente per risolvere i prob<strong>le</strong>mi generali della<br />
dinamica. Comunque il principio di D'A<strong>le</strong>mbert creò qualche<br />
illusione come realizzazione del sogno di Descartes di scrivere<br />
una meccanica basata solo su materia e moto, ed espresse la<br />
sua potenza solo <strong>nel</strong><strong>le</strong> mani di Lagrange, quando fu combinato<br />
con il principio dei lavori virtuali per dar luogo al<strong>le</strong> equazioni<br />
di Lagrange, come vedremo.<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (19 of 59)23/02/2009 10.10.05
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
Molti altri furono i contributi di D'A<strong>le</strong>mbert ed almeno ad<br />
un altro devo far riferimento. Nel<strong>le</strong> Recherches sur <strong>le</strong>s cordes<br />
vibrantes (1747) egli studiò il prob<strong>le</strong>ma del<strong>le</strong> corde vibranti<br />
riuscendo a ricondurre il fenomeno ad una equazione<br />
differenzia<strong>le</strong> che descrive la propagazione del<strong>le</strong> onde sonore<br />
per la qua<strong>le</strong> fornì anche la soluzione<br />
u = (x + t) + (x - t).<br />
dove e sono funzioni arbitrarie. Vediamo il ragionamento<br />
che D'A<strong>le</strong>mbert seguì per arrivare a ta<strong>le</strong> soluzione, pubblicato<br />
negli Atti dell'Accademia di Berlino del 1747.<br />
Egli inizia affermando che se indichiamo con p e<br />
con q, si ha:<br />
du = p dx + q dt.<br />
Ma, poiché va<strong>le</strong> l'equazione , allora p dt + q dx è<br />
ancora un differenzia<strong>le</strong> esatto che possiamo denotare con dv.<br />
Da cui<br />
E facendo i conti si ha<br />
e<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (20 of 59)23/02/2009 10.10.05<br />
dv = p dt + q dx.<br />
du + dv = (p dx + q dt) + (p dt + q dx) = (p + q)(dx<br />
+ dt),<br />
du - dv = (p dx + q dt) - (p dt + q dx) = (p - q)(dx -<br />
dt).
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
Così u + v deve essere una funzione di x + t e u - v deve essere<br />
una funzione di x - t. Possiamo quindi scrivere<br />
e<br />
Da cui<br />
u + v = 2 (x + t)<br />
u - v = 2 (x - t)<br />
u = (x + t) + (x - t).<br />
D'A<strong>le</strong>mbert osserva qui che <strong>le</strong> condizioni del prob<strong>le</strong>ma<br />
fisico di di una corda vibrante richiede che, quando x = 0, u<br />
deve annullarsi per ogni valore di t. Deve quindi risultare,<br />
identica<strong>mente</strong>:<br />
(t) + (-t) = 0.<br />
Assumendo che ambedue <strong>le</strong> funzioni possono essere sviluppate<br />
in serie di potenze di t, ciò richiede che essi devono contenere<br />
solo potenze dispari. Allora<br />
Quindi<br />
(-t) = - (t) = (-t)<br />
u = (x + t) + (x - t).<br />
Eu<strong>le</strong>r fece avanzare ulterior<strong>mente</strong> questo campo del<br />
calcolo differenzia<strong>le</strong> trovando, per l'equazione più genera<strong>le</strong><br />
che l'integra<strong>le</strong> genera<strong>le</strong> è<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (21 of 59)23/02/2009 10.10.05
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
u = (x + at) + (x - at).<br />
dove e sono funzioni arbitrarie.<br />
Posso ora passare a concludere con D'A<strong>le</strong>mbert ritornando<br />
al suo lavoro <strong>nel</strong>l'Encyclopédie ed in particolare al suo<br />
Discorso preliminare. In esso tracciò, tra l'altro, un quadro<br />
organico dei rapporti tra <strong>le</strong> varie branche della conoscenza<br />
guidato dal suo criterio di ricerca sistematica di principi<br />
sempre più generali sotto i quali riunire i risultati parziali del<strong>le</strong><br />
singo<strong>le</strong> <strong>scienze</strong>.<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (22 of 59)23/02/2009 10.10.05<br />
Per poco che si rif<strong>le</strong>tta sulla connessione che <strong>le</strong>ga<br />
fra loro <strong>le</strong> varie scoperte, è faci<strong>le</strong> accorgersi del<br />
mutuo aiuto che <strong>le</strong> <strong>scienze</strong> e <strong>le</strong> arti si prestano, e<br />
quindi della catena che <strong>le</strong> unisce. Ma se spesso è<br />
dffici<strong>le</strong> ridurre a un esiguo numero di rego<strong>le</strong> o di<br />
nozioni generali ogni singola scienza e ogni<br />
singola arte, non lo è di meno rinchiudere in un<br />
unico sistema <strong>le</strong> articolazioni infinita<strong>mente</strong> diverse<br />
della scienza umana.<br />
Il primo passo che dobbiamo fare in questa<br />
ricerca è quello di esaminare, ci si permetta una<br />
simi<strong>le</strong> espressione, la genealogia e la filiazione<br />
del<strong>le</strong> nostre conoscenze, <strong>le</strong> cause a cui si deve la<br />
loro nascita e i caratteri che <strong>le</strong> distinguono; in<br />
breve di risalire fino all'origine e alla generazione<br />
stessa del<strong>le</strong> nostre idee. [ ... ] Tutte <strong>le</strong> nostre<br />
conoscenze possiamo divider<strong>le</strong> in dirette e in<br />
rif<strong>le</strong>sse. Le conoscenze dirette sono quel<strong>le</strong> che noi,<br />
senza alcun intervento attivo della nostra volontà,<br />
riceviamo immediata<strong>mente</strong>; trovando aperte, se<br />
così ci si può esprimere, tutte <strong>le</strong> porte della nostra<br />
anima, esse vi penetrano senza trovare resistenza<br />
e senza compiere sforzo alcuno. Le conoscenze<br />
rif<strong>le</strong>sse sono invece quel<strong>le</strong> che lo spirito acquista<br />
operando sul<strong>le</strong> dirette, unendo<strong>le</strong> e combinando<strong>le</strong><br />
insieme.<br />
Tutte <strong>le</strong> nostre conoscenze dirette si riducono a
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
quel<strong>le</strong> che riceviamo attraverso i sensi; ne segue<br />
che noi dobbiamo tutte <strong>le</strong> nostre idee al<strong>le</strong><br />
sensazioni [...] la prima cosa che <strong>le</strong> nostre<br />
sensazioni ci fanno conoscere, e che neppure si<br />
distingue da esse, è la nostra esistenza. Ne<br />
consegue che <strong>le</strong> nostre prime idee rif<strong>le</strong>sse devono<br />
avere come oggetto noi stessi, cioè quel principio<br />
pensante che costituisce la nostra natura e che<br />
non è affatto differente da noi. La seconda<br />
conoscenza che noi dobbiamo al<strong>le</strong> nostre<br />
sensazioni, è l'esistenza degli oggetti esterni, fra i<br />
quali deve essere compreso il nostro stesso corpo.<br />
[...]. L'effetto che questi innumerevoli oggetti<br />
producono su di noi è così forte, così continuo e ci<br />
unisce tal<strong>mente</strong> ad essi che, passato il primo<br />
momento in cui <strong>le</strong> nostre idee rif<strong>le</strong>sse ci<br />
richiamano dentro noi stessi, <strong>le</strong> sensazioni, che ci<br />
assediano da ogni lato, ci costringono ad uscirne,<br />
strappandoci alla solitudine in cui resteremmo<br />
senza il loro intervento.<br />
E, più oltre, D'A<strong>le</strong>mbert indica la <strong>fisica</strong> come uno dei modi per<br />
avvicinarci a conoscere il mondo esterno:<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (23 of 59)23/02/2009 10.10.05<br />
I primi uomini, aiutandosi l'un l'altro con <strong>le</strong> loro<br />
conoscenze, ossia con i loro sforzi separati o<br />
congiunti, sono pervenuti, forse in breve tempo, a<br />
scoprire, almeno in parte, gli usi cui potevano<br />
prestarsi i vari corpi. Avidi di conoscenze utili,<br />
dovettero in un primo tempo rifuggire da qualsiasi<br />
genere di speculazione oziosa e considerare<br />
invece rapida<strong>mente</strong>, uno dopo l'altro, i vari esseri<br />
che la natura presentava, combinandoli, per così<br />
dire, material<strong>mente</strong>, secondo <strong>le</strong> loro proprietà più<br />
evidenti e sensibili. [...]. Ma per quanto lungo<br />
possa essere stato il cammino che i primi uomini e<br />
i loro successori seppero compiere, incalzati da<br />
uno stimolo stringente quanto può esserlo quello<br />
della propria conservazione, l'esperienza e<br />
l'osservazione di questo vasto universo dovettero
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
ben presto metterli davanti a difficoltà che con<br />
tutti i loro sforzi non riuscirono a superare. La<br />
<strong>mente</strong> umana, abituata alla meditazione e avida di<br />
ricavarne qualche frutto, trovò allora una certa<br />
qual risorsa <strong>nel</strong>la pura curiosità di scoprire <strong>le</strong><br />
proprietà dei corpi: un campo di scoperte che non<br />
conosce limiti. [...] Se l'utilità non costituisce il<br />
diretto oggetto della nostra azione, essa può<br />
esserne almeno il pretesto. Ci basta di aver<br />
talvolta scoperto un rea<strong>le</strong> vantaggio in certe<br />
conoscenze che inizial<strong>mente</strong> non lo facevano<br />
supporre, per ritenere che tutte <strong>le</strong> ricerche<br />
compiute per pura curiosità potranno un giorno<br />
esserci utili. Ecco l'origine e la causa dei<br />
progressi di questa vasta scienza chiamata<br />
general<strong>mente</strong> <strong>fisica</strong> o studio della natura, che si<br />
divide in tanti settori differenti.<br />
Ma, a fianco di queste considerazioni d'interesse sullo sviluppo<br />
del<strong>le</strong> <strong>scienze</strong> che si intersecarono con quel<strong>le</strong> del<strong>le</strong> religioni e<br />
del<strong>le</strong> superstizioni (sia Diderot che D'A<strong>le</strong>mbert non spinsero<br />
troppo nei loro attacchi alla religione perché erano in regime di<br />
monarchia assoluta con la Chiesa che condivideva il potere con<br />
il sovrano), vi è anche il riconoscimento del lavoro manua<strong>le</strong>,<br />
del lavoro artigiano della classe emergente borghese, che, dai<br />
tempi di Gali<strong>le</strong>o, era sparito dal<strong>le</strong> elaborazioni degli scienziati:<br />
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/ (24 of 59)23/02/2009 10.10.05<br />
Il disprezzo per <strong>le</strong> arti meccaniche sembra avere<br />
colpito fino a un certo punto anche i rispettivi<br />
inventori. I nomi di questi benefattori del genere<br />
umano sono pressoché sconosciuti, mentre la<br />
storia dei suoi distruttori - va<strong>le</strong> a dire dei politici e<br />
dei conquistatori - non è ignota a nessuno.<br />
Eppure, forse, bisogna andare a cercare presso gli<br />
artigiani <strong>le</strong> più ammirevoli prove di sagacia, di<br />
pazienza, di ingegnosità. Ammetto che quasi tutte<br />
<strong>le</strong> arti sono state inventate poco a poco, e che ci<br />
sono voluti secoli perché gli orologi, ad esempio,<br />
raggiungessero l'attua<strong>le</strong> perfezione. Ma non<br />
accade lo stesso anche <strong>nel</strong><strong>le</strong> <strong>scienze</strong>? Quante
http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
scoperte, che hanno reso immortali i loro autori,<br />
non erano state preparate dal<strong>le</strong> fatiche dei secoli<br />
precedenti, e spesso persino recate a un tal punto<br />
di maturità, che restava un solo passo da fare?<br />
Per restare <strong>nel</strong> campo dell'orologeria, perché mai<br />
coloro a cui dobbiamo la piramide degli orologi,<br />
lo scappamento e la ripetizione, non sono famosi<br />
quanto coloro che nei secoli hanno recato a<br />
perfezione l'algebra? D'altra parte, se debbo<br />
credere ad alcuni filosofi che non si sono<br />
vergognati di studiare <strong>le</strong> arti [meccaniche] perché<br />
la moltitudine <strong>le</strong> disprezzava, esistono macchine<br />
così complicate, fornite di parti tal<strong>mente</strong><br />
interdipendenti, che difficil<strong>mente</strong> l'invenzione è da<br />
attribuirsi a più persone. Quel genio raro, il cui<br />
nome è sepolto <strong>nel</strong>l'oblio, non sarebbe stato degno<br />
di essere accolto <strong>nel</strong> ristretto novero degli spiriti<br />
creativi, che hanno aperto strade nuove al<strong>le</strong><br />
<strong>scienze</strong>?<br />
10 - GIUSEPPE LUIGI LAGRANGE (1736 -<br />
1813)<br />
Altro gigante del secolo è il piemontese Giuseppe Luigi<br />
Lagrange (in origine la Grangia poi la Grange). Il suo<br />
bisnonno era francese ma lasciò il servizio di Luigi XIV per<br />
passare al<strong>le</strong> dipendenze di Carlo Emanue<strong>le</strong> II a Torino. Sua<br />
madre era Maria Teresa Gros, figlia di un medico, e suo padre,<br />
Giuseppe Francesco Ludovico, lavorava come tesoriere<br />
dell'artiglieria del re e che portò alla rovina la famiglia per <strong>le</strong><br />
sue improvvide operazioni finanziarie (dirà più tardi il giovane<br />
Lagrange: Se fossi stato ricco non mi sarei dato al<strong>le</strong><br />
matematiche). Fu primogenito di 11 figli dei quali solo due<br />
raggiunsero la maggiore età. A soli 14 anni fu avviato a<br />
studiare da avvocato <strong>nel</strong>l'Università di Torino e divenne subito<br />
un appassionato della lingua latina. I suoi interessi si<br />
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spostarono verso la matematica dopo aver <strong>le</strong>tto un libro del<br />
famoso astronomo Hal<strong>le</strong>y. Studiò matematica e <strong>scienze</strong> sotto la<br />
guida del fisico G. B. Beccaria (occorrerebbe una grande opera<br />
di rivalutazione di questo fisico dimenticato che fece cose<br />
eccel<strong>le</strong>nti soprattutto in campo e<strong>le</strong>ttromagnetico). A soli 17<br />
anni <strong>le</strong>ggeva tranquilla<strong>mente</strong> <strong>le</strong> opere di Newton, Eu<strong>le</strong>r,<br />
Leibniz e dei Bernoulli. A 19 anni, <strong>nel</strong> 1755, iniziò a<br />
corrispondere con Eu<strong>le</strong>r al qua<strong>le</strong> comunicò alcuni suoi lavori<br />
sul calcolo del<strong>le</strong> variazioni. Nello stesso fu chiamato ad<br />
insegnare geometria <strong>nel</strong>la regia scuola di artiglieria di Torino.<br />
Due anni dopo prese parte alla costituzione della Società<br />
privata torinese, nuc<strong>le</strong>o della futura Accademia Rea<strong>le</strong> del<strong>le</strong><br />
Scienze di Torino. Stabilì una relazione epistolare con<br />
D'A<strong>le</strong>mbert del qua<strong>le</strong> divenne in seguito grande amico. Si recò<br />
a Parigi a cavallo degli anni 1763-1764, dove fu vo<strong>le</strong>ntieri<br />
ospitato da vari studiosi. L'Académie di Parigi lo premiò per i<br />
suoi studi sull'irregolarità <strong>nel</strong> moto della Luna. Quando Eu<strong>le</strong>r<br />
lasciò Berlino, raccomandò Lagrange per sostituirlo. Carlo<br />
Emanue<strong>le</strong> fu dispiaciuto ma accettò che questo grande si<br />
recasse presso la corte di Federico II di Prussia, dove ottenne la<br />
carica di direttore della classe di <strong>scienze</strong> <strong>nel</strong>l'Accademia di<br />
Berlino, che mantenne dal 1766 al 1787 quando, alla morte di<br />
Federico II, decise di accettare l'invito a Parigi di Luigi XVI<br />
dove, già in periodo rivoluzionario, divenne presidente della<br />
Commission des Poids et Mesures (1790). Fu comunque a<br />
Berlino dove Lagrange scrisse una del<strong>le</strong> sue opere più<br />
importanti, la Méchanique analytique, pubblicata <strong>nel</strong> 1788.<br />
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A Parigi, anche per la perdita recente della prima moglie<br />
(1783), sua cugina Vittoria Conti, sposata <strong>nel</strong> 1766, fu preso da<br />
profondo abbattimento: tutto lo annoiava, la vita e la<br />
matematica. Si risol<strong>le</strong>vò quando conobbe una giovinetta,<br />
Adelaide Le Monnier figlia di un suo col<strong>le</strong>ga astronomo<br />
dell'Académie, di circa 40 anni più giovane che <strong>nel</strong> 1792<br />
divenne la sua nuova compagna. Riprese a scrivere opere<br />
principal<strong>mente</strong> di matematica, ricercando formulazioni sempre<br />
più rigorose (5) . Tra queste notevoli sono <strong>le</strong> Leçons<br />
élémentaires sur <strong>le</strong>s mathématiques, données à l'Éco<strong>le</strong><br />
Norma<strong>le</strong> del 1795 (che ebbero un grandissimo successo e<br />
furono subito importate dagli Stati Uniti d'America con il titolo<br />
Lectures on E<strong>le</strong>mentary Mathematics) (6) , la Théorie des<br />
fonctions analytiques (1797) e <strong>le</strong> Leçons sur <strong>le</strong> calcul des<br />
fonctions (1806). Dal 1797, a seguito della chiusura dell' Éco<strong>le</strong><br />
Norma<strong>le</strong>, passò ad insegnare all'Éco<strong>le</strong> polytechnique che <strong>nel</strong><br />
1794 era stata fondata dal geometra Monge e dall'ingegnere<br />
idraulico Lazare Carnot come emanazione dei governi<br />
rivoluzionari.<br />
Si sarà notato che ci troviamo negli anni della<br />
Rivoluzione Francese e Lagrange arrivò a Parigi proprio un<br />
anno prima che scoppiasse. Furono anni molto difficili per<br />
Lagrange per il fatto che egli era uno straniero e proveniva<br />
dalla Prussia, uno Stato nemico della Francia. E, proprio <strong>nel</strong><br />
1793, sembrò imminente un decreto della Convenzione che<br />
avrebbe fatto arrestare tutti gli stranieri di Stati nemici. Su<br />
fortissime pressioni di Lavoisier, Lagrange fu risparmiato<br />
anche se fu lo stesso Lavoisier a perdere la testa sotto la<br />
ghigliottina <strong>nel</strong> 1794 (era un agente del<strong>le</strong> tasse, oltre che<br />
chimico eccelso) e, in questa occasione, Lagrange fece del<br />
tutto per ricambiare ma senza successo.<br />
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L'esecuzione di Lavoisier<br />
Morì <strong>nel</strong> 1813, dopo aver raccolto la grande ammirazione<br />
dello stesso Napo<strong>le</strong>one che gli conferì la Legion d'onore, lo<br />
fece Senatore e lo nominò conte dell'Impero.<br />
Come Eu<strong>le</strong>r, fu estrema<strong>mente</strong> prolifico e scrisse<br />
pratica<strong>mente</strong> su tutto e sempre in francese: astronomia,<br />
aritmetica, analisi, <strong>fisica</strong>-matematica, algebra, meccanica,<br />
calcolo del<strong>le</strong> probabilità, geometria e trigonometria. Non è il<br />
caso, <strong>nel</strong>l'economia di ciò che racconto, di trattare i suoi<br />
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elaboratissimi contributi alla meccanica analitica (chi è del<br />
mestiere sa bene in cosa consiste la lagrangiana) ma alcune<br />
cose meritano molta attenzione a partire da una sua frase della<br />
sua Méchanique analytique <strong>le</strong> cui conseguenze in alcuni<br />
matematici dei miei studi universitari mi fecero molto soffrire.<br />
Dice Lagrange:<br />
Non si troveranno figure in quest'opera: I metodi<br />
che io espongo non richiedono né costruzioni né<br />
ragionamenti geometrici o meccanici, ma<br />
sola<strong>mente</strong> operazioni algebriche soggette ad un<br />
andamento regolare e uniforme. Quelli che amano<br />
l'analisi vedranno con piacere la meccanica<br />
divenirne una nuova branca e mi saranno grati<br />
d'averne esteso così il dominio.<br />
A questo proposito osserva Forti:<br />
Se io risolvo un prob<strong>le</strong>ma con metodo geometrico<br />
non perderò mai di vista <strong>le</strong> figure date e <strong>le</strong><br />
operazioni su di esse, fino alla soluzione. Così ta<strong>le</strong><br />
soluzione si col<strong>le</strong>ga con continuità ai dati stessi,<br />
attraverso una visione chiara, spesso semplice ed<br />
e<strong>le</strong>gante.<br />
Se procedo invece analitica<strong>mente</strong><br />
(algebrica<strong>mente</strong>) dovrò indicare con simboli <strong>le</strong><br />
incognite, <strong>le</strong>gar<strong>le</strong> ad altri simboli che sprimono i<br />
dati del prob<strong>le</strong>ma, ed infine operare<br />
meccanica<strong>mente</strong> su tali simboli, tenendo conto di<br />
proprietà del<strong>le</strong> operazioni universal<strong>mente</strong><br />
riconosciute, ma dimenticando ogni significato<br />
concreto della questione, ogni possibi<strong>le</strong><br />
interpretazione dei passaggi (7) .<br />
Ed il Settecento rappresenta proprio il passaggio deciso ad<br />
una trattazione analitica dei prob<strong>le</strong>mi, trattazione che viene<br />
aperta<strong>mente</strong> rivendicata da Lagrange. Si tratta di far vivere il<br />
calcolo differenzia<strong>le</strong> di vita propria non solo<br />
indipendente<strong>mente</strong> dal<strong>le</strong> figure ma anche dall'esperimento che<br />
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verrà dopo con un tota<strong>le</strong> ribaltamento dell'impostazione<br />
gali<strong>le</strong>iana. Si osservi che siamo agli inizi della rivoluzione<br />
industria<strong>le</strong> e della specializzazione del lavoro che vede via via<br />
la separazione del fisico teorico dallo sperimenta<strong>le</strong>. La cosa si<br />
affermerà definitiva<strong>mente</strong> con i lavori di Maxwell.<br />
Entriamo ora in qualche dettaglio sull'opera di Lagrange,<br />
che divide con Eu<strong>le</strong>r il titolo di massimo matematico del<br />
Settecento, con particolare riferimento alla Méchanique<br />
analytique.<br />
Questo trattato ha una struttura genera<strong>le</strong> del tutto<br />
differente da altre opere su argomenti analoghi redatte in<br />
quegli anni. La meccanica è ora del tutto trasformata in un<br />
capitolo della matematica (e ciò era quanto si faceva all'epoca)<br />
con una particolare idea del medesimo Lagrange che intendeva<br />
la meccanica come una geometria a quattro dimensioni e<br />
l'analisi meccanica come un'estensione della geometria<br />
analitica. Da qui il nome di meccanica analitica che richiama<br />
<strong>nel</strong> nome la geometria analitica di Descartes. E come<br />
quest'ultimo <strong>nel</strong> caso del<strong>le</strong> proprietà geometriche, così<br />
Lagrange per quel<strong>le</strong> meccaniche, si propone di trovare una<br />
calzante traduzione simbolica, e quindi analitica, che accresca<br />
il rigore logico. L'opera è divisa in due parti. La prima parte è<br />
dedicata alla statica (o teoria dell'equilibrio) e la dinamica (o<br />
teoria del movimento). E ciascuna di queste parti tratterà<br />
separata<strong>mente</strong> dei corpi solidi e dei liquidi. Lo stesso<br />
Lagrange, <strong>nel</strong><strong>le</strong> Avvertenze alla prima edizione dice:<br />
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Esistono già diversi trattati di meccanica, ma lo<br />
schema del presente trattato è comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong><br />
nuovo. lo mi sono proposto di ridurre la teoria di<br />
questa scienza, e l'arte di risolvere i prob<strong>le</strong>mi ad<br />
essa relativi, a del<strong>le</strong> formu<strong>le</strong> generali il cui<br />
semplice sviluppo fornisce tutte <strong>le</strong> equazioni che<br />
sono necessarie per la soluzione di ogni prob<strong>le</strong>ma.<br />
Spero che il modo in cui ho cercato di assolvere<br />
piena<strong>mente</strong> il mio proposito non lasci alcunché a<br />
desiderare.
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La presente opera avrà inoltre un ulteriore aspetto<br />
d'utilità: essa riunirà e presenterà sotto un<br />
medesimo punto di vista i diversi principi che sino<br />
ad oggi sono stati trovati per facilitare la<br />
soluzione del<strong>le</strong> questioni di meccanica, ne<br />
mostrerà il <strong>le</strong>game e la dipendenza reciproca, e<br />
porrà in condizione di poter giudicare della loro<br />
giustezza e della loro estensione.<br />
Ho diviso l'opera in due parti: la statica, ovvero la<br />
teoria dell'equilibrio, e la dinamica, ovvero la<br />
teoria del movimento; e ciascuna di queste parti<br />
tratterà separata<strong>mente</strong> dei corpi solidi e di quelli<br />
liquidi.<br />
Più oltre, <strong>nel</strong> testo, spiega qua<strong>le</strong> ruolo egli assegni alla forza<br />
<strong>nel</strong>la statica. La statica è basata sulla distruzione e<br />
l'annientamento reciproco di diverse forze [...]. Lo scopo della<br />
statica è quello di dare <strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi secondo cui si produce ta<strong>le</strong><br />
distruzione. Esse sono basate su principi generali che si<br />
possono ridurre a tre: quello del<strong>le</strong> <strong>le</strong>ve, della composizione<br />
del<strong>le</strong> forze e quello del<strong>le</strong> velocità virtuali (8) . Più in dettaglio,<br />
Lagrange ci descrive come debba essere considerata la forza<br />
<strong>nel</strong>la statica:<br />
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La statica è la scienza dell'equilibrio del<strong>le</strong> forze.<br />
In genera<strong>le</strong>, per forza o potenza si intende la<br />
causa, qua<strong>le</strong> essa sia, che imprime o tende a<br />
imprimere del movimento al corpo al qua<strong>le</strong> la si<br />
suppone applicata; ed è sulla base del movimento<br />
impresso, o imprimibi<strong>le</strong>, che si deve valutare la<br />
forza, o la potenza. Nello stato di equilibrio la<br />
forza non compie un esercizio rea<strong>le</strong>; essa non<br />
produce altro che una semplice tendenza al<br />
movimento; ma la si deve pur sempre misurare in<br />
base all'effetto che essa produrrebbe qualora non<br />
fosse arrestata. Assumendo per unità una forza<br />
qualsiasi oppure il suo effetto, l'espressione di<br />
ogni altra forza non è altro che un rapporto, una<br />
quantità matematica, che può essere
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rappresentata per mezzo di numeri o di linee: ed è<br />
sotto questo punto di vista che, in meccanica, si<br />
debbono considerare <strong>le</strong> forze.<br />
e come, oltre alla statica, anche la dinamica possa essere<br />
comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong> ridotta all'analisi matematica:<br />
Nella prima parte di quest'opera abbiamo ridotto<br />
tutta la statica a una sola formula genera<strong>le</strong> che<br />
fornisce <strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi dell'equilibrio di un sistema<br />
qualsiasi di corpi sottoposti all'azione di tutte <strong>le</strong><br />
forze che si vogliono. Si potrà dunque ridurre a<br />
una formula genera<strong>le</strong> anche tutta la dinamica; in<br />
effetti, per applicare al movimento di un sistema di<br />
corpi la formula del suo equilibrio, sarà<br />
sufficiente in essa introdurre <strong>le</strong> forze che<br />
provengono dal<strong>le</strong> variazioni del moto di ciascun<br />
corpo e che debbono essere annullate. Lo sviluppo<br />
di ta<strong>le</strong> formula, tenendo conto del<strong>le</strong> condizioni che<br />
diipendono dalla natura del sistema, fornirà tutte<br />
<strong>le</strong> equazioni necessarie per la determinazione del<br />
movimento di ciascun corpo, e non resterà altro<br />
da fare che integrare queste equazioni, il che<br />
spetta all'analisi. [ ... ] In questo modo, <strong>le</strong> forze,<br />
gli spazi, i tempi e <strong>le</strong> velocità non saranno altro<br />
che dei semplici rapporti, del<strong>le</strong> quantità<br />
matematiche ordinarie.<br />
Si tratta quindi di una meccanica basata sul Principio di<br />
D'A<strong>le</strong>mbert coniugato con il principio dei lavori virtuali e del<strong>le</strong><br />
coordinate generalizzate. Alla fine del processo di riscrittura<br />
della meccanica si arriva al<strong>le</strong> ben note equazioni dinamiche di<br />
Lagrange. Scrive De Maria:<br />
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Lagrange derivò <strong>le</strong> sue equazioni partendo dal<strong>le</strong><br />
<strong>le</strong>ggi di Newton (<strong>nel</strong>la formulazione di Eu<strong>le</strong>r)<br />
attraverso il passaggio da una formulazione<br />
vettoria<strong>le</strong> ad una formulazione scalare. Nel<br />
trattamento analitico lagrangiano è sufficiente<br />
conoscere una singola funzione scalare
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(comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong> determinata in ogni punto dello<br />
spazio da un numero relativo) dipendente dal<strong>le</strong><br />
posizioni dei punti materiali in movimento; questa<br />
"funzione lavoro" contiene implicita<strong>mente</strong> tutte <strong>le</strong><br />
forze agenti sui punti materiali del sistema. Un<br />
altro vantaggio è quello di non richiedere la<br />
conoscenza di forze come quel<strong>le</strong> che producono la<br />
rigidità di un corpo o quel<strong>le</strong> che agiscono fra <strong>le</strong><br />
particel<strong>le</strong> di un fluido. Tali forze vengono<br />
sostituite da una condizione cinematica: durante il<br />
moto la distanza tra due punti del corpo non può<br />
variare e, analoga<strong>mente</strong>, il volume di ogni parte<br />
del fluido deve conservarsi. Le n equazioni<br />
differenziali del secondo ordine che descrivono il<br />
moto di sistemi a n gradi di libertà in funzione<br />
della loro energia cinetica T e del<strong>le</strong> forze<br />
lagrangiane dovute a sol<strong>le</strong>citazioni attive Q h in<br />
assenza di vincoli addizionali oltre quelli olonomi,<br />
hanno la forma genera<strong>le</strong>:<br />
dove <strong>le</strong> q h sono <strong>le</strong> coordinate lagrangiane scelte<br />
per descrivere il sistema, mentre <strong>le</strong> p h si dicono<br />
velocità generalizzate. Se <strong>le</strong> forze in gioco sono<br />
conservative, esprimibili cioè come derivate di un<br />
potenzia<strong>le</strong>, una funzione U(q h ) ta<strong>le</strong> che, istante per<br />
istante, dipenda dal<strong>le</strong> so<strong>le</strong> posizioni occupate <strong>nel</strong>lo<br />
spazio dal sistema meccanico al<strong>le</strong> quali si<br />
applicano <strong>le</strong> Q h , per queste ultime va<strong>le</strong> appunto che<br />
In tal caso, introdotta una funzione L = T - U, detta
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lagrangiana del sistema, <strong>le</strong> equazioni precedenti si<br />
riscrivono:<br />
Tali equazioni permettono appunto di confrontare<br />
la dinamica di sistemi comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong> diversi tra<br />
loro dal punto di vista geometrico e materia<strong>le</strong>, pur<br />
di scegliere un opportuno insieme di coordinate<br />
lagrangiane: la loro invarianza rispetto ad<br />
un'arbitraria trasformazione di coordinate implica<br />
un'assoluta libertà <strong>nel</strong>la scelta del sistema di<br />
coordinate più adatto alla natura del prob<strong>le</strong>ma.<br />
Lagrange fu il primo ad esprimere in forma<br />
matematica genera<strong>le</strong> del<strong>le</strong> proposizioni espresse<br />
fino ad allora in forma particolare, come la <strong>le</strong>gge<br />
del<strong>le</strong> forze vive, il moto del baricentro e il<br />
principio di minima azione, applicando questi<br />
risultati a prob<strong>le</strong>mi diversi come la meccanica<br />
ce<strong>le</strong>ste, <strong>le</strong> corde vibranti e l'idrodinamica. La<br />
meccanica analitica di Lagrange, pur essendo una<br />
formulazione del tutto genera<strong>le</strong> della <strong>le</strong>gge del<br />
moto, è tuttavia limitata al<strong>le</strong> so<strong>le</strong> forze<br />
conservative, per <strong>le</strong> quali il lavoro compiuto<br />
dipende unica<strong>mente</strong> dallo stato inizia<strong>le</strong> e dallo<br />
stato fina<strong>le</strong> e non dal modo in cui viene prodotto.<br />
Ta<strong>le</strong> denominazione deriva dal fatto che l'energia<br />
tota<strong>le</strong> di un corpo soggetto al<strong>le</strong> azioni del campo, e<br />
in moto <strong>nel</strong> campo stesso, in assenza di cause<br />
dissipative di energia si conserva, durante il moto,<br />
invariata. Tutte <strong>le</strong> forze dissipative che<br />
trasformano l'energia meccanica in calore, e che<br />
rendono il moto irreversibi<strong>le</strong> sono quindi<br />
comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong> escluse. Contraria<strong>mente</strong> alla<br />
meccanica di Newton <strong>nel</strong>la sua forma più<br />
genera<strong>le</strong>, quella di Lagrange è reversibi<strong>le</strong> e non<br />
contiene una freccia del tempo, il qua<strong>le</strong> assume il<br />
ruolo di semplice parametro.
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Come conseguenza del<strong>le</strong> equazioni di Lagrange si<br />
ottiene, in una formulazione matematica, il<br />
principio di minima azione (9) . Lagrange aveva<br />
dimostrato, per un sistema di punti sottoposti a<br />
forze conservative (tutte <strong>le</strong> volte cioè che <strong>le</strong> forze<br />
derivano da un potenzia<strong>le</strong>), che l'azione minima è<br />
una conseguenza del<strong>le</strong> equazioni di Lagrange che<br />
governano il moto e, viceversa, si ottengono <strong>le</strong><br />
equazioni imponendo il principio di minima<br />
azione. Ta<strong>le</strong> principio è indipendente da qualsiasi<br />
sistema particolare di coordinate, perché il minimo<br />
di una quantità scalare non dipende dal<strong>le</strong><br />
coordinate rispetto al<strong>le</strong> quali una certa quantità<br />
viene misurata,di conseguenza anche <strong>le</strong> equazioni<br />
del moto sono appunto invarianti rispetto a una<br />
qualsiasi trasformazione di coordinate.<br />
Una osservazione di Truesdell è di grande importanza.<br />
Egli dice che l'astrattezza del formalismo di Lagrange tende ad<br />
occultare i principali prob<strong>le</strong>mi concettuali della meccanica:<br />
l'idea di sistemi inerziali di riferimento e la nozione di<br />
rigidezza, ambedue essenziali all'immagine classica di<br />
osservatore, restano oscurate dall'invarianza dell'algebra (10) .<br />
Con Lagrange si chiude un periodo molto importante della<br />
storia della <strong>fisica</strong>, diventata matematica. Si trattava di<br />
giustificare quanto aveva fatto Newton <strong>nel</strong> modo più comp<strong>le</strong>to<br />
possibi<strong>le</strong>, di razionalizzare la meccanica. Da questo momento<br />
l'interesse principa<strong>le</strong> si sposterà sul rendere operativa la<br />
meccanica proprio in connessione con quanto ho già<br />
adombrato e cioè con <strong>le</strong> esigenze produttive.<br />
11 - PIERRE SIMON LAPLACE (1749 - 1827)<br />
Questo grandissimo matematico, astronomo e fisico<br />
francese, nacque figlio di contadini poveri a Beaumont en<br />
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Auge (Normandia). Per <strong>le</strong> sue capacità subito mostrate e per il<br />
bell'aspetto, poté studiare grazie alla beneficenza di alcuni<br />
vicini. E' questo il poco che si conosce della sua giovinezza dai<br />
suoi primi studi in un convitto benedettino <strong>nel</strong> suo paese fino a<br />
che arrivò ad insegnare <strong>nel</strong>la medesima scuola. Passò quindi a<br />
studiare teologia all'Università di Caen (tra i 16 ed i 18 anni)<br />
perché quello era il destino dei poveri (o prete o soldato). Qui<br />
scoprì il fascino della matematica grazie agli insegnamenti che<br />
ricevette (Le Canu e Gadb<strong>le</strong>d). Lasciò allora l'Università e si<br />
recò a Parigi con una <strong>le</strong>ttera di presentazione di Le Canu a<br />
D'A<strong>le</strong>mbert che colse subito il grande ta<strong>le</strong>nto del giovane. E<br />
D'A<strong>le</strong>mbert non solo si prestò a fargli da insegnante ma lo<br />
raccomandò anche per un posto di docente all' Éco<strong>le</strong> militaire<br />
(1768) che gli lasciava il tempo per approfondire i suoi studi.<br />
Già <strong>nel</strong> 1770 presentò sue memorie di matematica<br />
all'Académie del Sciences. Nel 1771 pubblicò il suo primo<br />
lavoro, in latino, nei Nova Acta Eruditorum di Berlino. In ta<strong>le</strong><br />
rivista continuò a pubblicare come pure pubblicò nei Mélanges<br />
de Turin, rivista dell'Accademia del<strong>le</strong> Scienze di Torino,<br />
fondata anche da Lagrange un importante lavoro, Recherches<br />
sur <strong>le</strong> calcul intégral aux différences infiniment petites, et aux<br />
différences finies (1771), che contiene equazioni importanti sia<br />
per la meccanica che per l'astronomia. In questo anno Laplace<br />
tentò di essere ammesso all'Académie ma non vi riuscì perché<br />
gli fu preferito il matematico Vandermonde. L'anno successivo<br />
fu ancora rifiutato per un tal Cousin che era molto più indietro<br />
di lui <strong>nel</strong>la graduatoria. Sia Laplace che D'A<strong>le</strong>mbert restarono<br />
molto amareggiati per queste decisioni e D'A<strong>le</strong>mbert scrisse a<br />
Lagrange, che dirigeva l'Accademia di Berlino, per trovare un<br />
posto a Laplace in quella città. Ma prima che Lagrange<br />
rispondesse si trovò un posto di associato presso l'Académie<br />
<strong>nel</strong> 1773.<br />
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In quei tre anni Laplace aveva scritto molto ed in<br />
particolare aveva dato contributi allo studio del<strong>le</strong> equazioni<br />
differenziali, alla teoria del<strong>le</strong> probabilità e all'astronomia<br />
matematica con memorie che studiavano l'inclinazioni del<strong>le</strong><br />
orbite planetarie, <strong>le</strong> perturbazioni che i satelliti originavano <strong>nel</strong><br />
moto dei pianeti e, in genera<strong>le</strong>, il moto dei pianeti e la stabilità<br />
del sistema solare. Ma è tutto il suo lavoro sviluppato negli<br />
anni Ottanta che gli darà fama di massimo scienziato mondia<strong>le</strong>,<br />
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anche se non riuscì mai ad avere buoni rapporti con i suoi<br />
col<strong>le</strong>ghi, compreso D'A<strong>le</strong>mbert, per la sua tota<strong>le</strong> mancanza di<br />
modestia. Egli diceva di sé di essere il migliore in campo<br />
scientifico e metteva bocca pratica<strong>mente</strong> su ogni argomento.<br />
Nel 1780 fece un lavoro con Lavoisier, mostrando che la<br />
respirazione è una forma di combustione, per la realizzazione<br />
del qua<strong>le</strong> costruirono un calorimetro a ghiaccio. Questo<br />
episodio aprì un altro campo ai suoi studi, quello del calore al<br />
qua<strong>le</strong> si dedicò verso la fine della sua carriera.<br />
Nel 1784 diventò esaminatore della scuola del Corps<br />
Royal d’Artil<strong>le</strong>rie in sostituzione del matematico Bezout. Ebbe<br />
occasione, l'anno successivo, di esaminare il sedicenne<br />
Napo<strong>le</strong>one. Questo suo incarico da una parte gli toglieva molto<br />
tempo ma dall'altra lo metteva a contatto con personaggi<br />
influenti di governo. E, final<strong>mente</strong>, <strong>nel</strong> 1785, riuscì ad essere<br />
ammesso come membro dell'Académie alla qua<strong>le</strong>, <strong>nel</strong> 1787, si<br />
aggregò anche Lagrange (proveniente da Berlino) che<br />
comportò una gran rivalità tra i due.<br />
Nel 1788 Laplace, a 39 anni, si sposò con una giovane di<br />
19 anni, Marie-Charlotte de Courty de Romanges e <strong>nel</strong> 1790,<br />
già in periodo rivoluzionario, divenne membro della<br />
Commission des Poids et Mesures, presieduta da Lagrange.<br />
Quando <strong>nel</strong> 1793 iniziò il periodo del terrore, l'Académie fu<br />
chiusa e Laplace si ritirò in campagna con la moglie ed i due<br />
figli. Ritornò a Parigi <strong>nel</strong> 1794, dopo che il suo amico<br />
Lavoisier era stato ghigliottinato, per prendere parte ai lavori<br />
della nuova Commission des Poids et Mesures (che portò a<br />
termine la grande impresa dell'introduzione del Sistema<br />
Metrico Decima<strong>le</strong>). L'anno successivo fu chiamato ad<br />
insegnare teoria della probabilità all'Éco<strong>le</strong> Norma<strong>le</strong>, appena<br />
fondata. Analoga<strong>mente</strong> a quanto abbiamo visto per Lagrange,<br />
anche Laplace fu costretto a trascrivere <strong>le</strong> sue <strong>le</strong>zioni per<br />
pubblicar<strong>le</strong>. Si tratta della famosa Théorie analytique des<br />
probabilités, con una introduzione dal titolo Essai<br />
philosophique sur <strong>le</strong>s probabilités, che vedrà la luce <strong>nel</strong> 1812.<br />
In questo periodo cumu<strong>le</strong>rà una gran quantità di incarichi di<br />
prestigio (11) e pubblicherà alcune tra <strong>le</strong><br />
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sue opere piùimportanti. Nel 1796, quando diventò presidente<br />
dell'Académie, pubblicò l'Exposition du système du monde e<br />
<strong>nel</strong> 1799 i primi due volumi (dei 5 in tota<strong>le</strong>) del suo Traité de<br />
Mécanique cé<strong>le</strong>ste (in cui, indipendente<strong>mente</strong> da Kant che lo<br />
aveva fatto <strong>nel</strong>la sua Storia genera<strong>le</strong> della natura e teoria del<br />
cielo del 1755, formulò l'ipotesi della nebulosa secondo la<br />
qua<strong>le</strong> il sistema solare deriverebbe dalla rotazione di una<br />
nebulosa di gas incandescente) (12) .<br />
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Finiti i momenti più duri della Rivoluzione si passò al<br />
Consolato di Napo<strong>le</strong>one. Laplace fu nominato senatore ed ebbe<br />
(1805) la Legion d'onore. Vi fu qui un episodio spiacevo<strong>le</strong> che<br />
ricorda i giudizi di Delambre ai quali ho accennato. Sembra per<br />
insistenza dello stesso Laplace che Napo<strong>le</strong>one nominò il<br />
medesimo come Ministro degli interni ma solo per sei<br />
settimane e poi lo licenziò per manifesta incapacità avendo<br />
portato lo spirito dell'infinita<strong>mente</strong> piccolo <strong>nel</strong> governo. Nel<br />
1806 fu fatto Conte da Napo<strong>le</strong>one e <strong>nel</strong> 1817, in piena<br />
Restaurazione, fu nominato Marchese da Luigi XVIII Borbone.<br />
Nei suoi ultimi anni di vita si ritirò in campagna dove curò una<br />
società, la Société d'Arcueil, per il sostegno dei giovani<br />
scienziati tra i quali Claude Berthol<strong>le</strong>t, Louis Joseph Gay-<br />
Lussac, ... . Fu qui che scrisse <strong>le</strong> sue memorie ed ordinò i suoi<br />
scritti ancora non pubblicati. Si spense <strong>nel</strong> 1827.<br />
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Passiamo ora a vedere quali sono i principali contributi<br />
scientifici, ma anche filosofici, di Laplace a partire dalla sua<br />
concezione della natura e del ruolo che in essa svolgono <strong>le</strong><br />
forze. Abbiamo già detto che una del<strong>le</strong> sue opere più<br />
importanti è l'Exposition du système du monde. Aggiungo ora<br />
che questa è un'opera divulgativa, scritta in modo discorsivo e<br />
senza formu<strong>le</strong> che doveva costituire una sorta di premessa<br />
all'opera tecnica successiva, la Mécanique Cé<strong>le</strong>ste. Sulla strada<br />
aperta da Kant e rinunciando ad una del<strong>le</strong> sue ipotesi (quella<br />
del caos originario), Laplace perfezionò e precisò l'idea di<br />
nebulosa con i dati dell'astronomia disponibili che mostravano<br />
che tutti i pianeti ed i satelliti noti ruotavano tutti <strong>nel</strong>lo stesso<br />
verso e tutti si trovavano sullo stesso piano (qualche imbarazzo<br />
si ebbe alla ristampa dell'opera <strong>nel</strong> 1808 quando Herschel<br />
aveva mostrato già dal 1798 che alcuni satelliti di Nettuno e di<br />
Urano hanno moto retrogrado). L'idea di Laplace era che tutto<br />
il sistema planetario discendesse dalla rotazione e progressiva<br />
condensazione di una massa gassosa incandescente la cui<br />
temperatura andava in continua diminuzione. La forza<br />
centrifuga avrebbe permesso il distacco dei pianeti dalla massa<br />
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principa<strong>le</strong> costituente il So<strong>le</strong>, così come la stessa forza avrebbe<br />
permesso il distacco dei satelliti dai pianeti. Nella descrizione<br />
particolareggiata della dinamica della sua nebulosa, Laplace ci<br />
offre appunto la sua concezione del<strong>le</strong> forze e di alcune <strong>le</strong>ggi di<br />
natura che coincidono con <strong>le</strong> idee di D'A<strong>le</strong>mbert: <strong>le</strong> forze non<br />
<strong>le</strong> conosciamo che dai loro effetti e sono questi che dobbiamo<br />
studiare e tra questi vi è il moto che ha, come prima <strong>le</strong>gge,<br />
quella d'inerzia e come seconda la forza proporziona<strong>le</strong> alla<br />
velocità. Lo studio della meccanica è più semplice <strong>nel</strong> cielo<br />
che non sulla Terra perché in cielo esse si osservano con la<br />
massima precisione mentre sulla Terra vi sono molte<br />
circostanze che complicano lo studio di ta<strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi, circostanze<br />
dal<strong>le</strong> quali è diffici<strong>le</strong> districarsi e che rendono diffici<strong>le</strong><br />
sottomettere tali <strong>le</strong>ggi al calcolo. Ma piano piano si riesce a<br />
fare dei passi in avanti che ci aprono orizzonti inaspettati. Una<br />
<strong>le</strong>gge, ad esempio che ci ha aperto la conoscenza del cielo è la<br />
gravitazione universa<strong>le</strong> che è un vero ed immutabi<strong>le</strong> principio<br />
di natura. Più in genera<strong>le</strong> la conoscenza del<strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi della<br />
meccanica libera gli uomini dalla superstizione perché<br />
razionalizza fenomeni che precedente<strong>mente</strong> non potevano che<br />
essere misteriosi quando non terrorifici (eclissi, comete, ...).<br />
Gli errori, <strong>le</strong> superstizioni, i vani terrori e tutti i mali che<br />
l'ignoranza porta con sé si riprodurrebbero pronta<strong>mente</strong> se la<br />
luce della scienza venisse a spegnersi.<br />
La centralità della gravità viene messa in grande risalto<br />
<strong>nel</strong> Traité de Mécanique cé<strong>le</strong>ste (13) . Qui vi è il dispiegarsi di<br />
tutto l'apparato del calcolo differenzia<strong>le</strong> che era stato elaborato<br />
negli ultimi anni e Laplace interpreta la gravità mediante il<br />
concetto di potenzia<strong>le</strong> che Lagrange aveva introdotto <strong>nel</strong> 1777<br />
e che egli sviluppa qui inserendolo in una ce<strong>le</strong>bre equazione<br />
differenzia<strong>le</strong> che porta il suo nome. Laplace si pone quello che<br />
era uno dei massimi prob<strong>le</strong>mi di tutti gli studiosi da molti anni:<br />
determinare la grandezza dell'attrazione gravitaziona<strong>le</strong> che una<br />
massa esercita su di un'altra in casi più comp<strong>le</strong>ssi di quando,<br />
date grandi distanze, è possibi<strong>le</strong> considerare <strong>le</strong> masse come<br />
puntiformi. Se si considera ad esempio la Terra che attrae un<br />
qualunque oggetto (ad esempio: una particella P), diventa<br />
importante la dimensione della Terra e la sua massa distribuita.<br />
In tal caso la forza di attrazione non può essere calcolata come<br />
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se la massa della Terra fosse concentrata <strong>nel</strong> suo centro. Per<br />
calcolare ta<strong>le</strong> forza si tratta di considerare la somma del<strong>le</strong> forze<br />
che ogni piccola unità di massa della Terra esercita sull'unità di<br />
massa P. Ciò comporta una mo<strong>le</strong> considerevo<strong>le</strong> di calcoli che<br />
debbono essere estesi al<strong>le</strong> tre componenti spaziali. E' a questo<br />
punto che subentra la funzione potenzia<strong>le</strong>: invece di trattare<br />
separata<strong>mente</strong> ogni componente della forza è possibi<strong>le</strong><br />
introdurre la funzione V(x,y,z) <strong>le</strong> cui derivate parziali rispetto<br />
ad x, ad y ed a z, siano rispettiva<strong>mente</strong> <strong>le</strong> tre componenti della<br />
forza e cioè, a meno di considerare la costante della <strong>le</strong>gge di<br />
Newton:<br />
In tal caso il vantaggio consiste <strong>nel</strong> lavorare con la sola<br />
funzione V invece che con <strong>le</strong> tre componenti della forza. Ma<br />
anche qui <strong>le</strong> cose non risulterebbero semplici se Laplace non<br />
avesse scoperto una proprietà del potenzia<strong>le</strong> (per punti esterni<br />
al corpo che attrae) e cioè che questa funzione ubbidisce alla<br />
seguente equazione differenzia<strong>le</strong> del secondo ordine al<strong>le</strong><br />
derivate parziali:<br />
che è nota appunto come equazione del potenzia<strong>le</strong> o equazione<br />
di Laplace (misura la differenza tra il valore della funzione in<br />
un punto e la sua media intorno a questo punto). Qualunque<br />
funzione f che soddisfi l'equazione di Laplace è chiamata<br />
armonica. E' d'interesse notare che una forza è originata da<br />
una funzione potenzia<strong>le</strong> ma la forza si perde nei simbolismi<br />
dell'analisi matematica. Questa genesi di forza da potenzia<strong>le</strong><br />
era già comparsa <strong>nel</strong>l'Hydrodinamica (1738) di Daniel<br />
Bernoulli. Era stata ripresa da Eu<strong>le</strong>r in un lavoro sui fluidi <strong>nel</strong><br />
1752 ma erano sorte difficoltà che egli non era stato in grado di<br />
risolvere. Era stato poi Lagrange <strong>nel</strong> 1762 a riprendere e<br />
chiarire <strong>le</strong> questioni (come abbiamo visto in modo analitico,<br />
trattando di Lagrange). Infine il contributo di Laplace che<br />
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riuscì anche a risolvere l'equazione del potenzia<strong>le</strong> (dopo<br />
importanti contributi di Legendre).<br />
L'equazione di Laplace (14) si usa scrivere più agevol<strong>mente</strong><br />
in forma vettoria<strong>le</strong>:<br />
dove il simbolo è un operatore chiamato di Laplace o<br />
laplaciano o nabla che ha per componenti:<br />
Con un apparato matematico che si serviva di ogni<br />
avanzamento del calcolo, Laplace dedusse tutti i fenomeni dei<br />
pianeti e dei satelliti dalla <strong>le</strong>gge di gravità espressa in termini<br />
di potenzia<strong>le</strong>. E' appena il caso di osservare che questa<br />
gigantesca operazione matematica, che lasciava solo qualche<br />
piccola discrepanza, ha resistito fino alla relatività einsteniana.<br />
Ed Einstein ha mostrato che non sempre <strong>le</strong> picco<strong>le</strong> discrepanze<br />
sono sistemabili con il calcolo e che partendo da esse si può<br />
arrivare ad una revisione comp<strong>le</strong>ta dei concetti che sono stati<br />
ritenuti alla base di precedenti formulazioni.<br />
Si può dire a questo punto che una del<strong>le</strong> caratteristiche del<br />
metodo di Laplace è l'accettare alcune indicazioni<br />
dall'esperienza per costruirvi sopra, con il calcolo, una teoria<br />
definita da Laplace come il <strong>le</strong>game analitico dei fatti<br />
particolari con un fatto genera<strong>le</strong>. Ed il calcolo, l'analisi<br />
matematica, gioca un ruolo fondamenta<strong>le</strong> <strong>nel</strong>la conoscenza<br />
della natura, perché, come dice Laplace, l'analisi matematica è<br />
uno strumento dell'intelligenza umana che ha una grande<br />
capacità di permettere la conoscenza della natura.<br />
Vediamo ora i contributi di Laplace alla teoria del<strong>le</strong><br />
probabilità. Anche in questo campo egli seguì un procedimento<br />
analogo a quello seguito per <strong>le</strong> questioni astronomiche: prima<br />
un libro divulgativo, privo di formu<strong>le</strong>, fatto per far<br />
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http://www.<strong>fisica</strong><strong>mente</strong>.net/<br />
comprendere quali sono i prob<strong>le</strong>mi, l'Essai philosophique sur<br />
<strong>le</strong>s probabilités, seguito subito dopo dalla Théorie analytique<br />
des probabilités, che è invece un'opera rigorosa in cui si<br />
sviluppa la matematica corrispondente con l'introduzione,<br />
anche qui, dell'analisi per la trattazione del principio dei<br />
minimi quadrati. Non è negli scopi di questo lavoro andare a<br />
studiare i contributi di Laplace in questo campo, basti dire che<br />
egli si inserisce <strong>nel</strong> filone aperto da Jacob Bernoulli,<br />
proseguito da De Moivre ed altri. Suo merito è l'aver<br />
ricondotto la probabilità a solidi fondamenti matematici,<br />
riallacciandosi al concetto di probabilità a priori,<br />
indipendente<strong>mente</strong> dal<strong>le</strong> aspettative individuali. Ciò permise<br />
l'uso di questo calcolo <strong>nel</strong>la <strong>fisica</strong> oltre che nei campi dove fino<br />
ad allora si era fatto (economia, sociologia, gioco). All'interno<br />
del Traité vi è il calcolo di diversi integrali tra i quali due sono<br />
di particolare importanza. Il primo riguarda il calcolo dell'area<br />
della curva di probabilità:<br />
ed il secondo la funzione nota come trasformata di Laplace:<br />
dove f(x) è la trasformata di Laplace della funzione g(x).<br />
La parte comunque più nota, anche ai non cultori del<strong>le</strong><br />
matematiche, del<strong>le</strong> cose che Laplace scrisse sulla probabilità,<br />
la si trova <strong>nel</strong> saggio introduttivo, che è in qualche modo il<br />
manifesto del determinismo. Dice Laplace che se ci fosse dato<br />
conoscere, ad un dato istante, <strong>le</strong> posizioni e <strong>le</strong> velocità di tute<br />
<strong>le</strong> mo<strong>le</strong>co<strong>le</strong> costituenti l'Universo noi potremmo conoscere gli<br />
eventi futuri e risalire a quelli passati. E' solo per mancanza di<br />
dati noi non possiamo essere comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong> deterministi:<br />
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Possiamo considerare lo stato attua<strong>le</strong><br />
dell'universo come l'effetto del suo passato e la
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causa del suo futuro. Un'Intelligenza che ad un<br />
dato istante conoscesse tutte <strong>le</strong> forze che mettono<br />
in moto la natura, e tutte <strong>le</strong> posizioni di tutti gli<br />
oggetti di cui la natura è composta, se questa<br />
Intelligenza fosse inoltre sufficiente<strong>mente</strong> ampia<br />
da sottoporre questi dati ad analisi, essa<br />
racchiuderebbe in un'unica formula i movimenti<br />
dei corpi più grandi dell'universo e quelli degli<br />
atomi più piccoli; per una ta<strong>le</strong> Intelligenza nulla<br />
sarebbe incerto ed il futuro proprio come il<br />
passato sarebbe evidente davanti ai suoi occhi.<br />
E' evidente che queste concezioni derivano a Laplace dai suoi<br />
studi astronomici e da lì egli ricava la fiducia che la<br />
conoscenza del sistema del mondo, con <strong>le</strong> sue <strong>le</strong>ggi, con<br />
l'analisi che ce <strong>le</strong> fa scoprire,possa dissipare <strong>le</strong> paure<br />
dell'uomo, paure che discendono dalla sua ignoranza. Le<br />
regolarità astronomiche funzionano come <strong>le</strong> previsioni del<br />
moto di una mo<strong>le</strong>cola d'aria ed è per questo possibi<strong>le</strong> trattare<br />
questi fenomeni con il calcolo del<strong>le</strong> probabilità. Il<br />
determinismo meccanicista esclude quindi l'imprevedibi<strong>le</strong> e la<br />
meta<strong>fisica</strong> garantendoci la razionalità del decorso dei fenomeni<br />
naturali. Ma questo determinismo deve rispondere a due<br />
precise condizioni. Innanzitutto occorre conoscere con<br />
esattezza la posizione e velocità di tutti i corpi. Quindi occorre<br />
saper trattare tali condizioni iniziali con gli strumenti<br />
matematici. L'insieme di queste due condizioni ci fa capire che<br />
Laplace aveva posto un limite alla conoscenza della natura che<br />
era lo stesso limite del<strong>le</strong> capacità ora note dell'uomo. E' a<br />
questo punto che occorre mettere insieme i troppi dati con il<br />
calcolo del<strong>le</strong> probabilità che è il massimo strumento di<br />
conoscenza del qua<strong>le</strong> ora disponiamo.<br />
12 - QUALCHE CONSIDERAZIONE<br />
Soffermandoci su alcuni grandi pensatori del Settecento,<br />
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siamo arrivati agli inizi dell'Ottocento. Se si fa un breve<br />
excursus a marcia indietro si individuano alcuni punti fermi:<br />
- la scienza, in particolare <strong>fisica</strong> e matematica, è<br />
diventata adulta<br />
- abbiamo visto pian piano emergere scienziati che<br />
non appartengono a ceti benestanti<br />
- abbiamo visto pian piano sparire la meta<strong>fisica</strong><br />
dalla spiegazione scientifica<br />
- l'impresa scientifica si estende sempre più come<br />
portato dell'emergere della borghesia<br />
- la compressione di questo ceto porterà al<strong>le</strong><br />
estreme conseguenze rivoluzionarie in Francia,<br />
con l'inizio della fine dei privi<strong>le</strong>gi di nobiltà e<br />
c<strong>le</strong>ro.<br />
Questi e<strong>le</strong>menti saranno di grande importanza<br />
<strong>nel</strong>l'Ottocento, <strong>nel</strong> secolo del Romanticismo che si affermerà<br />
come reazione irraziona<strong>le</strong> all'Illuminismo e che produrrà molta<br />
più scienza di quanta si sia mai potuta pensare <strong>nel</strong> Settecento,<br />
il secolo in cui ta<strong>le</strong> scienza veniva esaltata. Natural<strong>mente</strong><br />
questo processo si accompagna ad un'enorme espansione della<br />
borghesia, alla rivoluzione industria<strong>le</strong>, alla creazione di un<br />
grande ceto salariato, all'esplosione della tecnica, alla ricerca<br />
dei mercati di sbocco, all'avviarsi del<strong>le</strong> grandi imprese<br />
coloniali che daranno l'impronta che conosciamo al mondo<br />
intero. Di questo discuterò in lavori successivi.<br />
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NOTE
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(1) Leibniz rifiuta l'azione a distanza ed allo stesso modo <strong>le</strong><br />
qualità occulte connesse alla gravitazione (in questo d'accordo<br />
con i cartesiani). Se è vero che l'ammissione di inesistenza di<br />
vuoto suggerisce a Leibniz il rifiuto dell'azione a distanza,<br />
rimane il prob<strong>le</strong>ma di stabilire come si possa trasmettere un'<br />
azione da una parte all'altra dello spazio. E qui Leibniz si<br />
schiera aperta<strong>mente</strong> con i cartesiani affermando che <strong>le</strong> azioni si<br />
trasmettono per contatto da 'materia' a 'materia'. Ma l'unico<br />
modo per poter ammettere ciò era la conseguente ammissione<br />
dell'urto tra particel<strong>le</strong> estese e dure (come faceva Descartes) e<br />
ciò portava Leibniz in un vicolo cieco poiché richiedeva<br />
l'ammissione di atomi (e quindi di vuoto) e comunque, in<br />
accordo col meccanicismo di Huygens, di entità non<br />
compatibili con la teoria del<strong>le</strong> monadi altrove sviluppata dallo<br />
stesso Leibniz .<br />
(2) Si osservi che Boscovich criticherà anche i concetti di<br />
spazio e tempo assoluti oltre al principio d'inerzia, in base al<br />
fatto che questi non sono sperimental<strong>mente</strong> osservabili.<br />
(3) Anche l' «osservatore», per Kant, comincia a diventare<br />
importante <strong>nel</strong>la indagine <strong>fisica</strong>. Come dice Popper, riportando<br />
il pensiero di Kant:<br />
Dobbiamo abbandonare l'opinione secondo cui<br />
siamo degli osservatori passivi, sui quali la natura<br />
imprime la propria regolarità. E' bene invece<br />
adottare l'opinione secondo cui, <strong>nel</strong>l'assimilare i<br />
dati sensibili, imprimiamo attiva<strong>mente</strong> ad essi<br />
l'ordine e <strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi del nostro intel<strong>le</strong>tto. Il cosmo<br />
reca l'impronta della nostra <strong>mente</strong> ... Lo<br />
sperimentatore non deve attendere che alla natura<br />
piaccia rivelargli i propri segreti, ma deve<br />
interrogarla. Egli deve fare ciò ripetuta<strong>mente</strong> alla<br />
luce dei propri dubbi, congetture, teorie, idee ed<br />
ispirazioni.<br />
In questo modo la scienza risulta una creazione umana come<br />
l'arte e la <strong>le</strong>tteratura.<br />
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(4) Si osservi che, ispirate dalla grande atmosfera cultura<strong>le</strong><br />
illuministica, si erano realizzate due grandi rivoluzioni che<br />
avevano affermato gli ideali di libertà, uguaglianza e fraternità.<br />
Nel contempo però i sovrani 'illuminati' di Russia, Prussia ed<br />
Austria, con la prima spartizione della Polonia (1772),<br />
mostrano come la politica di potenza possa più dei lumi della<br />
ragione e come <strong>le</strong> aspirazioni progressiste non possano<br />
coesistere con l'assolutismo monarchico. Sul finire del secolo,<br />
poi, è proprio un "figlio della Rivoluzione", Napo<strong>le</strong>one, ad<br />
interpretare fino in fondo gli ideali borghesi con <strong>le</strong> sue armate<br />
dilaganti per tutta l'Europa. E certa<strong>mente</strong> l'Illuminismo,<br />
propagandato non dai Voltaire, dai Diderot, dai D'A<strong>le</strong>mbert,<br />
ma dal<strong>le</strong> armate napo<strong>le</strong>oniche, apre la strada ai nazionalismi<br />
dei popoli che, per difendersi dall'invasore, ricercano una unità<br />
(anche se fittizia) nei loro regnanti.<br />
(5) E' certo che la struttura del calcolo a partire da Leibniz era<br />
molto carente, soprattutto se confrontata con <strong>le</strong> elaborazioni<br />
successive dei Bernouilli, degli Eu<strong>le</strong>ro, dei Lagrange, dei<br />
Cauchy (1789 - 1857). Ci vorranno circa 100 anni per<br />
conquistare il rigore in matematica: esso si può datare con <strong>le</strong><br />
Réf<strong>le</strong>xions sur la métaphysique du calcul infinitésimal di<br />
Lazare Carnot e la Théorie des fonctions analytiques di<br />
Lagrange ambedue del 1797. La comp<strong>le</strong>ta sistemazione<br />
dell'analisi, all'incirca di come la conosciamo oggi fu invece<br />
dovuta a Cauchy (con successivi contributi di Weierstrass),<br />
anch'egli docente all'Éco<strong>le</strong> Norma<strong>le</strong>, che per questo stesso<br />
fatto, scrisse tre fondamentali trattati di Analisi: Cours<br />
d'analyse de l'Éco<strong>le</strong> Polytechnique (1821), Resumé des <strong>le</strong>çons<br />
sur <strong>le</strong> calcul infinitesimal (1823), Leçons sur <strong>le</strong> calcul<br />
différentiel (1829). In queste opere vi è la caratteristica saliente<br />
del rifiuto del metodo analitico di Lagrange, intera<strong>mente</strong><br />
basato sullo sviluppo in serie di Taylor, e l'accettazione del<br />
metodo indicato da D'A<strong>le</strong>mbert basato sul concetto di limite<br />
definito <strong>nel</strong> modo seguente:<br />
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Quando i valori successivi attribuiti ad una<br />
variabi<strong>le</strong> si avvicinano indefinita<strong>mente</strong> ad un<br />
valore fissato così che finiscono con il differire da<br />
questo per una differenza piccola quanto si vuo<strong>le</strong>,
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quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri (...)<br />
Si dice che una quantità variabi<strong>le</strong> diventa<br />
infinita<strong>mente</strong> piccola quando il suo valore<br />
numerico decresce indefinita<strong>mente</strong> in maniera da<br />
convergere verso il limite zero<br />
e con ciò ci si sbarazzava di quanti avevano inteso<br />
l'infinitesimo come numero finito molto piccolo.<br />
Altri matematici, non altrove citati, amplieranno di molto lo<br />
studio del calcolo infinitesima<strong>le</strong> <strong>nel</strong> Settecento, <strong>nel</strong>l'Ottocento<br />
e nei primi anni del Novecento. Si avranno i contributi di<br />
grandi matematici tra cui: Rol<strong>le</strong> (1652 - 1719), J. Riccati (1676<br />
- 1754), Clairaut (1713 - 1765), De Moivre (1667 - 1754), L.<br />
Carnot (1753 - 1823), Legendre (1752 - 1833), Fourier (1768 -<br />
1830), Bolzano (1781 - 1848), Abel (1802 - 1829), Gauss<br />
(1777 - 1855), Cauchy, Hamilton (1805 - 1865), Dirich<strong>le</strong>t<br />
(1805 - 1859), Jacobi (1804 - 1851), Hesse (1811 - 1874),<br />
Cantor (1845 - 1918), Volterra (1860 -1940) che fondò il<br />
calcolo funziona<strong>le</strong>, Ricci-Curbastro (1853 - 1925) che, insieme<br />
a Levi-Civita, creò il calcolo differenzia<strong>le</strong> assoluto, alla base<br />
della Relatività Genera<strong>le</strong> di Einstein, Weierstrass (1815 -<br />
1897), Peano (1858 - 1932), Levi-Civita (1873 - 1941), Hilbert<br />
(1862 - 1943).<br />
(6) Fu la Rivoluzione Francese ad obbligare i professori<br />
universitari a scrivere il contenuto del<strong>le</strong> loro <strong>le</strong>zioni e la cosa<br />
fu e resta di enorme importanza. Ancora oggi solo pochi si<br />
dedicano a questo compito fondamenta<strong>le</strong>.<br />
(7) Dal punto di vista del giovane che apprende un ta<strong>le</strong><br />
passaggio può diventare traumatico. Dipende dal livello di<br />
capacità astrattive che si è conquistato al momento in cui si<br />
affronta un ta<strong>le</strong> studio senza sostegni materiali. Io affrontai lo<br />
studio dell'analisi matematica ai 18 anni e della meccanica<br />
analitica a 19 anni e non avevo ancora sviluppate<br />
comp<strong>le</strong>ta<strong>mente</strong> <strong>le</strong> mie facoltà astrattive. Credo che questo<br />
abbia iniziato a rappresentare un chiaro momento di rottura con<br />
chi vo<strong>le</strong>va capire ed iniziava a muoversi nei comp<strong>le</strong>ssi campi<br />
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del<strong>le</strong> <strong>scienze</strong> teoriche ed applicate. La riduzione della<br />
meccanica alla matematica, per di più senza disegni, rese<br />
particolar<strong>mente</strong> comp<strong>le</strong>ssa la disciplina ad un certo tipo di<br />
approccio alla conoscenza, come ad esempio il mio.<br />
(8) Lagrange definisce velocità virtua<strong>le</strong> quella che un corpo in<br />
equilibrio è disposto a ricevere, quando l'equilibrio viene<br />
interrotto, cioè la velocità che il corpo assumerebbe real<strong>mente</strong><br />
<strong>nel</strong> primo istante del suo movimento; ed il principio [dei lavori<br />
virtuali] consiste in ciò che del<strong>le</strong> potenze sono in equilibrio<br />
quando stanno in ragione inversa del<strong>le</strong> loro velocità virtuali,<br />
stimate <strong>nel</strong>la direzione di queste potenze.<br />
(9) Per Lagrange questo principio, visto analitica<strong>mente</strong>,<br />
consiste <strong>nel</strong> fatto che, <strong>nel</strong> moto dei corpi che agiscono l'uno<br />
sull'altro, la somma dei prodotti del<strong>le</strong> masse per <strong>le</strong> velocità e<br />
per gli spazi percorsi è un minimo. Il principio fu ricavato da<br />
Maupertuis <strong>nel</strong> caso particolare di rif<strong>le</strong>ssione e rifrazione della<br />
luce e quindi non poteva essere generalizzabi<strong>le</strong> finché Eu<strong>le</strong>r<br />
non ha fatto vedere che <strong>nel</strong><strong>le</strong> traiettorie descritte a causa di<br />
forze centrali, l'integra<strong>le</strong> della velocità moltiplicato per<br />
l'e<strong>le</strong>mento della curva origina sempre un massimo o un<br />
minimo. Lagrange estese questa proprietà, mediante il teorema<br />
del<strong>le</strong> forze vive, al moto di di ogni sistema di corpi che<br />
agiscano l'uno sull'altro in un modo qualsiasi.<br />
(10) Truesdell così prosegue:<br />
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E' vero che <strong>le</strong> equazioni di Lagrange conservano la<br />
stessa forma per tutti gli osservatori, ma non è<br />
vero che un sistema di equazioni differenziali <strong>nel</strong>la<br />
forma di Lagrange debba corrispondere<br />
necessaria<strong>mente</strong> ad un sistema dinamico che<br />
soddisfaccia <strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi di Eu<strong>le</strong>r in un dato sistema di<br />
riferimento, ed ancor meno in un sistema di<br />
riferimento inerzia<strong>le</strong>. Con l'oscurare <strong>le</strong> forze, <strong>le</strong><br />
equazioni di Lagrange nascondono il gruppo<br />
invariante della meccanica classica, che invece<br />
risulta immediata<strong>mente</strong> dal<strong>le</strong> equazioni di Eu<strong>le</strong>r.<br />
Inoltre <strong>le</strong> equazioni di Lagrange non rif<strong>le</strong>ttono la
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geometria spazio-tempora<strong>le</strong> della meccanica<br />
classica, la cui proprietà fondamenta<strong>le</strong> è la<br />
possibilità di sommare tra sé vettori localizzati in<br />
punti differenti. Senza questo lontano paral<strong>le</strong>lismo<br />
possiamo parlare di energia ma ci risulta<br />
impossibi<strong>le</strong> costruire <strong>le</strong> rimanenti grandezze alla<br />
base della meccanica classica: quantità di moto,<br />
centro di massa e momento della quantità di moto.<br />
Vedendo <strong>le</strong> equazioni di Lagrange non si capisce<br />
se un sistema possiede quantità di moto o no; in<br />
cambio <strong>le</strong> equazioni di Eu<strong>le</strong>r mostrano<br />
immediata<strong>mente</strong> questa proprietà, risultando più<br />
generali.<br />
(11) In tali posti dove fu nominato presidente non sempre<br />
riscosse l'approvazione dei col<strong>le</strong>ghi come ad esempio<br />
Delambre che affermò che mai un geometra dovrebbe essere<br />
messo alla testa di un osservatorio perché egli si disinteresserà<br />
sempre di tutto meno che di ciò che lo riguarda diretta<strong>mente</strong>.<br />
(12) Vi è un aneddoto che merita di essere raccontato. Quando<br />
Laplace presentò a Napo<strong>le</strong>one la sua Mécanique cé<strong>le</strong>ste,<br />
Napo<strong>le</strong>one osservò a Laplace che <strong>nel</strong>la sua opera non<br />
compariva mai Dio. E Laplace rispose che: Sire non ho avuto<br />
bisogno di ta<strong>le</strong> ipotesi. L'imperatore si rivolse allora a<br />
Lagrange per sentire anche il suo parere su questa vicenda<br />
dell'assenza di Dio. Lagrange, sorridendo disse: E' una bella<br />
ipotesi, che spiega molte cose.<br />
(13) Questo libro è di difficilissima <strong>le</strong>ttura e la cosa fu fatta<br />
notare a Laplace da Biot che lo aiutava <strong>nel</strong>la correzione per la<br />
pubblicazione. Biot racconta che spesso lo stesso Laplace non<br />
si ritrovava. Spesso compare <strong>nel</strong> libro l'espressione "E' lasciata<br />
al <strong>le</strong>ttore la dimostrazione ..." o cose simili. Ricordo (si veda<br />
nota 7) che il mio professore di analisi matematica, Giuseppe<br />
Scorza Dragoni, che aveva il suo testo il<strong>le</strong>ggibi<strong>le</strong>, usava<br />
regolar<strong>mente</strong> ta<strong>le</strong> espressione in ogni teorema che dimostrava.<br />
Ebbene, ad ogni espressione che Scorza usava "donde la<br />
conclusione", dovevo riempire una decina di pagine di conti<br />
per arrivare a quella bana<strong>le</strong> conclusione. Dico questo come<br />
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quello che ho già detto in nota 7 perché i professori non<br />
abusino della loro posizione vessando in questo modo del<strong>le</strong><br />
persone che accedono all'università per apprendere e non per<br />
essere torturati.<br />
(14) L'equazione di Laplace è una equazione omogenea in<br />
quanto eguagliata a zero. Nel caso e<strong>le</strong>ttrico è possibi<strong>le</strong> definire<br />
una funzione potenzia<strong>le</strong> V che però non soddisfa l'equazione<br />
omogenea di Laplace ma l'equazione che l'altro grande<br />
matematico francese, Poisson, stabilì <strong>nel</strong> 1812. Ta<strong>le</strong> equazione,<br />
valida per lo spazio libero da materia attraente, è:<br />
dove al secondo membro figura la densità ρ della materia <strong>nel</strong><br />
dato punto P preso in considerazione.<br />
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