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FISICA/ 

MENTE 

LE SCIENZE FISICHE 

NEL SETTECENTO 

di Roberto Renzetti 

SECONDA PARTE: BOSCOVICH, 

D'ALEMBERT, LAGRANGE, LAPLACE 

8 - RUGGERO GIUSEPPE BOSCOVICH (1711 

- 1787) 

Nei paragrafi precedenti abbiamo accennato alla celebre 

argomentazione di Laplace: 

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Un'Intelligenza che, per un dato istante, 

conoscesse tutte le forze da cui è animata la


natura e la situazione rispettiva di tutti gli esseri 

che la compongono, se per di più fosse abbastanza 

profonda per sottomettere questi dati all'analisi, 

abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti 

dei più grandi corpi dell'universo e dell'atomo più 

leggero: nulla sarebbe incerto per essa e 

l'avvenire, come il passato, sarebbe presente ai 

suoi occhi. 

E' questo il manifesto del meccanicismo a cavallo dei 

secoli XVIII e XIX che illustra bene il substrato culturale su 

cui lavoravano i fisici-matematici francesi di quel periodo. Su 

quanto ipotizzato da Newton, soprattutto nell'Optics, la 

spiegazione del mondo consisteva nel ridurre tutti i fenomeni 

naturali alle interazioni meccaniche di particelle considerate 

come parti ultime della materia. Bastava, come abbiamo visto 

or ora per Laplace, conoscere le condizioni iniziali (posizioni e 

velocità) di un dato sistema di particelle per calcolarsi, con la 

meccanica, la sua successiva evoluzione a stati diversi in 

fenomeni diversi. Ed è importante notare che, con la 

meccanica, non era soltanto possibile calcolarsi l'evoluzione in 

avanti, ma anche l'evoluzione all'indietro. Niente infatti, a 

partire dalla formulazione newtoniana, impediva la 

reversibilità dei fenomeni naturali proprio perché le equazioni 

della meccanica risultano simmetriche rispetto al tempo. 

In questo contesto particellare si inseriscono i lavori del 

gesuita Giuseppe Ruggero Boscovich che risultò un grande 

«mediatore» tra la fisica di Newton e la critica di Leibniz. 

Egli, il primo scienziato che dopo 100 anni fa riemergere 

il nome dell'Italia, nacque a Ragusa (oggi Dubrovnik), in 

Dalmazia, nel 1711. Nel 1726 entrò nell’ordine dei gesuiti ed 

alcuni anni più tardi fu ordinato sacerdote a Roma. Iniziò i suoi 

studi al Collegium Ragusinum e li proseguì al Collegium 

Romanum a Roma. La sua carriera iniziò come docente alle 

classi inferiori del Collegium Romanum e successivamente 

(1740) come docente di matematica al medesimo Collegio. 

Egli fu scienziato poliedrico che studiò astronomia, 

matematica, fisica, geodesia. Gli furono assegnati importanti 

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incarichi tecnici che assolse con grande perizia: la verifica 

della stabilità della cupola di San Pietro dopo la comparsa di 

alcune crepe e quella della guglia del Duomo di Milano; la 

consulenza relativa alla bonifica delle pianure pontine; i 

problemi dei porti di Rimini e Savona. Partecipò, insieme a 

Cristoforo Maire e sotto il papato di Benedetto XIV, alla 

misura dell'arco di meridiano (due gradi) da Roma a Rimini al 

fine di definire al meglio la configurazione e le carte degli Stati 

pontifici. Si occupò anche di questioni diplomatiche per le sue 

capacità dialettiche, per la sua serietà ed i modi eleganti e 

brillanti che a volte sapevano anche essere duri e spigolosi. 

Viaggiò, tra l'altro, a Vienna dove si recò e per studiare la 

stabilità della Biblioteca Cesarea e per dirimere delle questioni 

di confine tra Repubblica di Lucca e Granducato di Toscana e 

dove (1758) pubblicò una delle sue opere più importanti, 

Theoria Philosophiae Naturalis redacta ad unicam legem 

virium in natura existentium (altre opere degne di nota sono: 

De viribus vivis -1745; De lumine - 1748; De centro gravitatis 

- 1751). Anch'egli passò per l'intolleranza delle idee. Fu 

costretto 

ad abbandonare il suo insegnamento a Roma perché non erano 

condivise le sue idee di newtoniano in generale e sulla 

costituzione della materia in particolare. Nel 1759 viaggiò in 



Francia ed in Inghilterra dove fu fatto membro della Royal 

Society. Si recò a Costantinopoli per osservare il passaggio di 

Venere davanti al Sole ma arrivò in ritardo. Al ritorno visitò 

vari Paesi dell'Est europeo e nel 1763 fu chiamato ad insegnare 

matematica all'Università di Pavia. Negli anni che vanno dal 

1763 al 1768 insegnò tra Pavia e le Scuole Palatine di Milano. 

In questa città fondò l'Osservatorio astronomico di Brera, la 

Specola, nel quale si occupò di 

Specola di Boscovich 

strumentazione e degli errori dovuti alla medesima 

(eliminazione delle aberrazioni cromatica e sferica). Venuto in 

contrasto con altri astronomi, lasciò Brera e, in simultanea con 

l'abolizione dell'ordine dei gesuiti del 1773 da parte di Papa 

Clemente XIV, accettò di andare a lavorare a Parigi come 

direttore dell'Ottica della Marina. Qui ebbe molti scienziati 

amici che lo stimavano moltissimo ma ebbe anche scontri 

continui con Laplace sul metodo di determinazione delle orbite 

delle comete. Nel 1782 ottenne licenza di rimettere piede in 

Italia e, dopo un soggiorno a Bassano del Grappa dedicato alla 

pubblicazione della sua opera in 5 volumi Opera pertinentia ad 

opticam et astronomiam (1785), morì a Milano nel 1787. 



Oltre a quanto detto e a quanto dirò oltre, Boscovich 

studiò le perturbazioni delle orbite di Giove e Saturno e della 

determinazione dell'orbita di Urano e si occupò di geometria 

sferica indagando la possibilità di geometrie non euclidee. Tra i 

suoi grandi meriti c'è quello di essere stato uno tra i primi 

grandi divulgatori dell'opera di Newton nel continente. 

La ricerca di Boscovich, che presenta un approccio del 

tutto diverso da quanto fino ad ora visto alla meccanica, partì 

dal proposito di determinare il centro di oscillazione dei corpi 

solidi. Per far questo passò attraverso lo studio dei fenomeni 

d'urto tra due corpi. Da alcune osservazioni empiriche (tutte di 

carattere qualitativo) egli iniziò a costruirsi un modello 

microscopico dei fenomeni in oggetto. Se l'urto tra le particelle 

ultime che costituiscono la materia è pensato come urto tra 

corpuscoli duri ed estesi, allora bisogna ammettere che 

nell'urto si crei una discontinuità nella velocità e quindi nella 

quantità di moto delle particelle. Detto con linguaggio moderno 

e supponendo l'urto unidimensionale, all'istante in cui i due 

corpuscoli si urtano, il vettore velocità dovrebbe assumere, in 

quell'istante, due valori (se non altro due versi opposti). 

L'ammissione di ciò viola la legge di continuità che impedisce 

si possa andare da un valore ad un altro, di una data grandezza, 

senza passare attraverso valori intermedi. La prima assunzione 

di Boscovich è quindi quella legge di continuità, di sapore 

prevalentemente euristico, che spesso era stata utilizzata da 

Leibniz. Per risolvere il problema occorre, secondo Boscovich, 

sbarazzarsi dei corpuscoli estesi e duri ed ammettere una sorta 

di parziale «penetrabilità» della materia. Dalle sue osservazioni 

risultava che "immediatamente prima del contatto [nell'urto tra 

corpi solidi] le stesse velocità [di questi corpi] cominciano a 



cambiare." (Da: Theoria philosophiae naturalis ...). Quindi, a 

distanze piccolissime, non vi deve più essere attrazione 

(gravitazionale) tra corpi, ma repulsione che aumenta al 

diminuire della distanza tra gli stessi. Riportando ciò a livello 

microscopico è impossibile pensare le ultime particelle della 

materia come dure ed estese. Esse, secondo Boscovich, devono 

essere punti (matematici), indivisibili, inestesi, dotati di inerzia 

ma non di massa, disseminati nel vuoto immenso. Intorno a 

questi punti vi è poi una sorta di atmosfera di forza, più densa 

man mano che ci si avvicina al punto. In questo modo 

Boscovich supera la difficoltà che sullo stesso problema si era 

presentata a Leibniz (1) , sviluppando, come osserva Bertrand 

Russel, la monadologia in modo più logico e conseguente dello 

stesso Leibniz. Le azioni che poi si esercitano tra punti di 

Boscovich sono a distanza, di tipo cioè newtoniano, ma anche 

se qui c'è un esplicito richiamo a Newton, quando si dovesse 

formalizzare il problema, non potremmo introdurre la massa e 

quindi in alcun modo potremmo parlare di forze alla Newton. 

Eppure per Boscovich non c'è materia ma forze le quali sono 

responsabili di quelle variazioni di velocità nell'urto tra due 

corpi o tra punti inestesi, cui si accennava prima (per la verità 

Boscovich sostiene che "l'universo non consiste di vuoto 

disseminato tra la materia, ma di materia disseminata nel 

vuoto e fluttuante in esso" ma, portando alle naturali 

conseguenze la sua concezione atomica, si vede bene qual fine 

faccia la materia). 

E lo stesso urto sparisce nella meccanica di Boscovich; 

esso è sostituito da azioni che, avvenendo tra punti inestesi, 

sono sempre a distanza (tra le atmosfere di forza che si 

lasciano penetrare per un poco e poi, gradatamente, originano 

la repulsione che diventa sempre più intensa). La curva di forza 

(meglio sarebbe il dire: di variazione di velocità) in funzione 

della distanza tra punti è data dal nostro in modo da prevedere 

attrazioni di tipo gravitazionale a grande distanza, che vanno 

con l'inverso del quadrato, e repulsioni molto intense 

(impenetrabilità della materia) a brevissima distanza. A 

distanze intermedie si hanno delle altre intersezioni della curva 

con l'asse delle ascisse che, nelle ipotesi di Boscovich, 

debbono rendere conto di tutti gli altri fenomeni conosciuti 



come, ad esempio: l'evaporazione di un liquido, la coesione, il 

gas prodotto da fermentazione di sostanze, .... 

Questa concezione di Boscovich, che prende le mosse da 

Leibniz, che si sviluppa con Newton, che è in contrasto con il 

meccanicismo cartesiano (che si serviva di particelle estese e 

dure nel tutto pieno), è in realtà un' elaborazione assolutamente 

originale che Boscovich definiva un sistema che è a mezza 

strada tra quello di Leibniz e quello di Newton; (2) e ad essa, 

poiché si fonda sul concetto di forza, è stato dato il nome di 

«dinamismo». 

Il dinamismo, modello meccanicistico che si presterà bene 

ad una elaborazione matematica, sta a metà strada tra 

concezioni corpuscolari e fluidistiche; esso in qualche modo 

concilia il punto di vista della continuità (forze presenti 

dovunque) con quello della discontinuità (punti inestesi). 

Questa teoria dinamica di Boscovich (dinamismo fisico) 

fu molto ammirata ma non compresa nella sua grandezza tanto 

che, per molto tempo, non fu ripresa da nessuno: anche essa 

aveva il difetto di essere interamente qualitativa senza nessuna 

base sperimentale. Saranno prima Schelling, quindi Faraday a 

riprenderla con successo: il primo inserendola in un sistema 

filosofico che ebbe grande influenza tra i fisici romantici ed il 

secondo fornendo al dinamismo una gran mole di risultati 



sperimentali che intersecarono il dinamismo con l'azione a 

contatto e quindi con la teoria di campo. 

E' interessante osservare che un altro sostenitore del 

dinamismo fu proprio Kant, che molto contribuì alla sua 

affermazione per la grande influenza più generale che egli 

ebbe sul pensiero filosofico e scientifico dell' '800. 

Nonostante quindi i grandi successi dei fisici - matematici 

francesi, le prime istanze critiche, che erano state di Leibniz e 

di Berkeley, si facevano avanti ed andavano a mettere in 

discussione proprio i fondamenti della meccanica stessa. 

Questo bisogno di critica dei fondamenti era stato tra l'altro 

esplicitamente manifestato da Kant nei suoi Primi principi 

metafisici della scienza della natura (1786). Secondo Kant 

occorre far avanzare la discussione sui principi della meccanica 

ben oltre la loro accettazione acritica a priori. Bisogna arrivare 

fino ai concetti base su cui l'intera meccanica poggia. (3) 

Osservo a margine che siamo alla fine del XVIII secolo. La 

formulazione di queste istanze critiche coincide, da una parte, 

con la decadenza dell'Illuminismo (4) e, dall'altra, con 

l'emergere della Germania che va, via via, a collocarsi al 

centro del pensiero filosofico europeo. Il primo movimento di 

rottura con il pur evanescente Illuminismo tedesco è quello 

dello Sturm und Drang. Gli appartenenti ad esso (gli sturmer) 

ebbero molto in comune con gli illuministi, soprattutto divisero 

con loro la dura condanna per l'ancien regime, l'interesse per la 

natura e lo spirito laico; nel contempo, però, si distaccarono 

radicalmente da essi nel sostituire la categoria del 'genio' a 

quella della 'razionalità'. Ma l'autentico superamento 

dell'Illuminismo tedesco sarà rappresentato dal criticismo 

kantiano. Kant, che si muoveva all'interno dell'Illuminismo 

(essendone un appassionato difensore), si impadronì delle 

esigenze di razionalità di esso, studiò i fondamenti di tali 

esigenze ed arrivò a scoprirne i limiti. 

9 - JEAN LE ROND D'ALEMBERT (1717 - 

1783) 



D'Alembert nacque nel 1717 a Parigi da una relazione 

illegittima tra la famosa donna di lettere madame Claudine 

Guérin de Tencin ed il cavaliere Louis-Camus Destouches, 

generale d'artiglieria. Per ordine della madre fu abbandonato da 

un servo sui gradini di una cappella contigua ad una delle torri 

di Notre Dame, quella di Saint Jean Le Rond, da cui il suo 

nome. Fu portato in un orfanatrofio ma suo padre riuscì a 

trovarlo e, pur non riconoscendolo, lo fece adottare, in cambio 

di una rendita, alla moglie di un vetraio, Madame Rousseau, 

con la quale Jean vivrà fino ai 50 anni e che riconoscerà 

sempre come sua vera madre. Con la piccola pensione che il 

padre dette a Jean, egli iniziò i suoi studi prima in forma 

privata e poi, a partire dai 12 anni, al giansenista Collège des 

Quatre Nations, fondato da Mazzarino. Fu uno studente 

brillante che, dopo aver preso il diploma di scuola superiore 

(baccalauréat en arts) nel 1735, proseguì gli studi alla Scuola 

di Diritto, iscrivendosi con il cognome che aveva, Daremberg, 

che fece cambiare in D'Alembert, divenendo avvocato nel 1738 

ma rinunciando all'avvocatura. Si iscrisse poi a medicina ma 

anche qui abbandonò. Il suo interesse era per le scienze e la 

matematica. Nel 1739, infatti, presentò un primo lavoro di 

matematica all'Académie des Sciences e nel 1742 fu assunto 

come collaboratore nella sezione astronomica. Appena un anno 

dopo pubblicò uno dei suoi lavori più importanti, il Traité de 

dynamique dans lequel les lois de l'équilibre et du mouvement 

des corps sont réduites au plus petits nombre possible ... e ad 

esso seguirono altre opere di gran rilievo: Traité de l’équilibre 

et du mouvement des fluides (1744); 



Théorie générale des vents (1745); Réflexions sur la cause 

générale des vents (1746); Recherches sur les cordes vibrantes 

(1747); Recherches sur la précession des équinoxes (1749) 

oltre ad opere di carattere eminentemente filosofico. Tra queste 

merita particolare rilievo il Discours préliminaire 

all'Encyclopédie (alla quale D'Alembert contribuì anche 

scrivendo molte voci), la monumentale opera che D'Alembert 

intraprese insieme a Diderot a partire dal 1746 e che vide il suo 

primo tomo uscire nel 1751 (tomo nel quale compariva il 

suddetto Discours préliminaire). D'Alembert lasciò 

l'Encyclopédie nel 1759 per divergenze con Diderot. 



Ancora nel 1746 egli fu eletto associato di geometria 

all'Académie ma la sua carriera da quelle parti non fu brillante 

a seguito della sua completa adesione al progetto 

dell'Encyclopédie che gli creò vari nemici, tra cui l'accademico 

Clairaut. In compenso, nel 1745, fu associato all'Accademia di 

Berlino (declinò l'invito di Federico di Prussia a dirigere 

l'Accademia perché: non voleva avere un grado accademico 

superiore a colui che stimava come più grande matematico del 

tempo, Euler; e perché sapeva che la cosa avrebbe creato 

problemi politici in Francia) e, nel 1754, venne eletto membro 

dell' Académie française della quale dal 1772 assunse la carica 

di segretario a vita. Fu amico di Voltaire e Lagrange e grande 

ispiratore dell'Illuminismo. Anche se non arrivò a vederla, fu 

uno dei padri della Rivoluzione Francese. Si spense nel 1787 

per una malattia alla vescica, sopravvivendo di 11 anni ad una 

scrittrice, Julie de Lespinasse, che aveva conosciuto nel 1754 e 

con la quale aveva diviso molti anni di tenera ed affettuosa 

compagnia. Da ateo convinto qual era la sua sepoltura fu in una 

fossa comune senza lapide. 

Quando D'ando D'Alembert iniziò a lavorare, vi erano 

varie incongruenze e contraddizioni nelle questioni di 

meccanica. D'Agostino ricorda che le leggi meccaniche note a 

quell'epoca (1743) contenevano alcune leggi del moto e 

dell'urto elaborate da Descartes, le leggi di Galileo sulla caduta 



dei gravi, le leggi di Huygens sulla forza centrifuga e sul 

pendolo composto, la conservazione della forza viva di Leibniz 

e la gran mole di concetti e leggi dei Principia di Newton. Noi 

oggi siamo portati a vedere solo Newton come il 

sistematizzatore di tutto ma non doveva essere così in un'epoca 

in cui tutti i contributi erano relativamente recenti e qualche 

confusione poteva nascere. Pertanto doveva esservi e 

certamente vi era in D'Alembert una esigenza di ordine tra le 

varie cose che erano state elaborate, anche su medesimi 

argomenti e che potevano sembrare trattazioni differenti. Nel 

Traité de dynamique egli inizia a fare ordine spiegandolo nella 

Premessa: 


Si è avuta fortuna nell'applicare l'algebra alla 

geometria, la geometria alla meccanica e ciascuna 

di queste scienze a tutte le altre, delle quali ultime 

esse sono la base e il fondamento. Ma non si è mai 

prestata altrettanta cura nell'opera di ridurre i 

principi di tali scienze al minor numero possibile o 

in quella di fornir loro tutta quella chiarezza che 

si può desiderare. A questo proposito, la 

meccanica soprattutto è quella che sembra esser 

stata maggiormente trascurata: e così la maggior 

parte dei suoi principi ha dato luogo a molte 

questioni spinose, vuoi perché tali principi sono 

oscuri di per se stessi, vuoi perché essi sono 

enunciati e dimostrati in modo oscuro. In 

generale, sino ad oggi ci si è preoccupati più di 

far crescere l'edificio che di far luce al suo 

ingresso; si è pensato maggiormente all'ampiezza 

dell'edificazione che a dare ai suoi fondamenti 

tutta la solidità che ad essi converrebbe. 

Io mi sono proposto, con quest'opera, di 

soddisfare due istanze: far retrocedere i limiti 

della meccanica e appianare l'accesso di 

quest'ultima; e il mio fine principale è stato quello 

di colmare ciascuna di tali istanze, in qualche 

modo, per mezzo dell'altra, e cioè, non sola- . 

mente di dedurre i principi della meccanica da


nozioni che siano le più chiare, ma anche di 

applicarli a nuovi usi; di mostrare sia l'inutilità di 

molti principi che sino ad oggi sono stati impiegati 

in meccanica, sia i vantaggi che si possono 

ricavare, per il progresso di questa scienza, dalla 

combinazione di altri; in una parola, di estendere i 

principi riducendoli di numero [Da Bellone, 

bibliografia 63]. 

Il programma di D'Alembert è dunque chiaro: è inutile 

utilizzare tanti principi dove ne occorrono pochi. Vediamone 

una qualche articolazione nel seguito della Premessa: 


Il tempo per sua natura scorre uniformemente, e la 

meccanica suppone una tale uniformità. D'altra 

parte, senza conoscere il tempo in se stesso e 

senza averne una misura precisa, non possiamo 

con maggior chiarezza rappresentare il rapporto 

fra le sue parti se non ricorrendo al rapporto fra 

le porzioni di una linea retta indefinita. Orbene, 

l'analogia che si ha tra il rapporto fra le parti di 

una tal linea e il rapporto fra le parti dello spazio 

percorso da un corpo che si muove in modo 

qualsiasi può sempre essere espressa per mezzo di 

un'equazione: si può dunque immaginare una 

curva le cui ascisse rappresentano le porzioni di 

tempo che sono trascorse dopo l'inizio del 

movimento, mentre le ordinate corrispondenti 

designano gli spazi percorsi durante quelle 

porzioni di tempo. [...] 

È allora evidente che, mediante la sola 

applicazione della geometria e del calcolo, diventa 

possibile, senza ricorrere ad alcun altro principio, 

trovare le proprietà generali del movimento, 

essendo quest'ultimo variabile secondo una legge 

qualsiasi. Ma come accade che il movimento di un 

corpo segue questa o quella legge particolare? La 

sola geometria nulla ci può insegnare in 

proposito: qui si può pensare che stia il primo


problema che appartiene immediatamente alla 

meccanica [Da Bellone, bibliografia 63]. 

Da dove iniziare a cambiare, allora ? Vi è qualcosa che non 

torna nella meccanica che comunemente utilizziamo ? 

[...] questo unico assioma, vago e oscuro, secondo 

cui l'effetto è proporzionale alla causa. Non 

esamineremo affatto se questo principio sia di 

verità necessaria; confesseremo soltanto che le 

prove che sino ad ora sono state portate in suo 

favore non ci sembrano affatto libere da critiche: 

e non lo adotteremo, come qualche geometra, in 

veste di verità puramente contingente, poiché ciò 

getterebbe in rovina la certezza della meccanica e 

ridurrebbe quest'ultima a non esser altro che una 

scienza sperimentale; ci contenteremo di 

osservare che, vero o centro di dubbi, chiaro 

oppure oscuro, esso è inutile per la meccanica e 

ne deve, di conseguenza, essere bandito [Da 

Bellone, bibliografia 63]. 

E qui siamo al nocciolo del problema da cui D'Alembert 

prende le mosse. Su questa questione di causa ed effetto egli 

specificherà ancora nella voce causa dell'Encyclopédie: 


Sarebbe finalmente auspicabile che i Meccanici 

riconoscessero che noi non conosciamo altro sul 

moto se non il moto stesso [...] e che le cause 

metafisiche di questo moto ci sono ignote e che ciò 

che chiamiamo causa, anche quella [...] dell'urto, 

sono chiamate così solo impropriamente; ma essi 

sono effetti da cui derivano altri effetti. 

In un urto un corpo in moto ne muove un altro e di 

conseguenza il corpo che urta viene considerato 

come causa del movimento del corpo urtato. Ma è 

un modo improprio di esprimersi. La causa


metafisica, la vera causa c'è ignota [citato da 

D'Agostino]. 

E' una critica decisa al secondo principio della dinamica di 

Newton e, come si vede, egli accettò le definizioni newtoniane 

di spazio e tempo ma non accettò il fatto che la forza sia 

proporzionale all'accelerazione come Euler aveva esplicitato. 

Dietro questo principio vi è un qualcosa di vago, di metafisico 

e di oscuro (che estendono tenebre sopra una Scienza che è 

invece chiara di per sé), il fatto cioè che la causa deve essere 

proporzionale all'effetto. 

Naturalmente, per fare critiche così pesanti, D'Alembert 

ha una visione diversa della meccanica che egli basa su tre 

principi o leggi del movimento. Egli dice che possiamo ridurre 

i Principi della Meccanica a tre, la forza d'inerzia, il moto 

compostoi e l'equilibrio. Seguiamo l'impostazione di 

D'Alembert, aiutandoci con D'Agostino. 

PRIMA LEGGE DEL MOTO. E' la legge del moto 

inerziale o principio della forza d'inerzia che D'Alembert 

ritiene evidente di per sé in base al principio di ragion 

sufficiente: 

Un corpo non si può mettere in moto da solo [...] 

ma una volta data l'esistenza del moto, la legge 

più semplice che un corpo possa osservare [...] è 

la legge dell'uniformità ed è per conseguenza 

questa la legge che esso deve osservare [...]. Il 

moto è dunque uniforme per natura. 

Per alterare il moto di un corpo, secondo D'Alembert, è 

necessario agisca o un peso o un urto. Le forze altrove invocate 

sono ritenute entità occulte di origine metafisica. Da ciò 

discende il fatto che D'Alembert non prenderà posizione nella 

polemica delle forze vive. 

Ed in termini di soli effetti (per noi è una sola ipotesi 

mentre per tutti i geometri è eretta a principio) egli definisce la 

forza acceleratrice: 



ϕ dt = du 

dove le quantità du e dt sono gli incrementi infinitesimi delle 

velocità e dei tempi. E dopo questa prima definizione egli ce ne 

offre un'altra, quella della forza motrice che risulta essere il 

prodotto della forza acceleratrice per la massa, senza però darci 

alcuna definizione originale per quest'ultima che sembrerebbe 

essere un dato a priori. In tal modo, nella Meccanica di 

D'Alembert, la forza diventa una nozione derivata. In 

definitiva: se si conosce il moto, quelle che chiamiamo forze 

non sono che mere manifestazioni del medesimo moto che si 

possono calcolare a partire da esso. 

SECONDA LEGGE DEL MOTO. E' la legge del moto 

composto che si ha quando un corpo in moto cambia direzione 

a causa di un urto contro un ostacolo fisso (in tal caso il moto è 

composto dal moto iniziale e da quello ricevuto dall'urto). E' 

anche vero il viceversa quando il moto iniziale può essere 

considerato come risultante dal moto assunto e da quello 

perduto (termine usato per indicare l'opposto di ricevuto). 

Nell'urto vi è un moto perduto ed uno mantenuto (si deve 

osservare che D'Alembert considera i corpi come 

completamente rigidi e quindi esenti da rimbalzi che solo 

l'elasticità permette; conseguenza di questa posizione è 

l'assenza di conservazione dell'energia meccanica). 

Poiché il moto del corpo prima della collisione 

può essere considerato come composto del nuovo 

moto che egli assume o di un altro che è perduto 

[...] ne segue che la legge del moto, cambiato da 

un qualsiasi ostacolo, dipende unicamente dalla 

legge del moto distrutto da quegli stessi ostacoli. 

Ed osserva D'Alembert: 


Alcuni lettori potrebbero restare sorpresi dal fatto 

che io faccia la dimostrazione di una 

proposizione, così semplice in apparenza, che è 

parte di un caso generale molto più complesso ma 

non si può, mi sembra, dimostrare altrimenti la


proposizione in oggetto che nel considerarla come 

un assioma incontestabile, che l'effetto di due 

cause congiunte è uguale alla somma dei loro 

effetti presi separatamente o che due cause 

agiscono congiuntamente come agirebbero 

separatamente, principio che non mi sembra molto 

evidente né molto semplice e che d'altra parte ha 

molto a che vedere con la questione delle forze 

vive e con il principio della forze acceleratrici 

[...]. E' la ragione che mi ha obbligato ad evitare 

di farne uso, in accordo con quanto mi sono 

proposto all'inizio di questo Trattato e cioè di 

ridurre la Meccanica al più piccolo numero 

possibile di principi, e di occuparmi solo di tutti 

quei principi che hanno a che fare con il 

movimento, cioè dello spazio percorso e del tempo 

impiegato a percorrerlo, senza farci entrare in 

alcun modo le forze e le cause motrici. 

Il secondo principio di Newton, considerato una 

tautologia, viene quindi enunciato da D'Alembert in altro modo 

(principio di D'Alembert), che era stato anche di Jacob II 

Bernouilli ma solo nel caso particolare del pendolo composto. 

Secondo D'Alembert, in un sistema meccanico vincolato, deve 

esservi una equivalenza tra le forze reali applicate al sistema e 

le forze che sarebbero necessarie se non esistessero i vincoli 

per dare al sistema il moto che esso ha. In tal modo le forze 

vincolari vengono eliminate ed i problemi dinamici vengono 

ridotti a problemi statici (stessi calcoli erano stati sviluppati, 

senza ricorso al principio D'Alembert, anche da Euler). 

TERZA LEGGE DEL MOTO. E' la legge che riguarda 

gli urti tra due masse rigide quando si muovono con velocità 

opposte. In caso di uguaglianza delle masse, dopo l'urto, si ha 

equilibrio. L'equilibrio si ha anche quando le masse dei due 

corpi, in moto in versi opposti, sono in ragione inversa alle loro 

velocità. La giustificazione di ciò risiede, per D'Alembert su 

ragioni di simmetria. Ogni altro caso, per D'Alembert può 

essere ricondotto a questo come pretende dimostrare studiando 

4 possibili casi. Ma la cosa è, in generale, del tutto errata. 



Questa terza legge serviva comunque a D'Alembert proprio per 

non utilizzare il concetto di forza. Per far ciò introdusse un 

moto virtuale che egli considerava una tendenza al moto. In tal 

modo la statica diventava un caso particolare della sua 

meccanica dell'urto nel caso di equilibrio che si ha quando 

masse uguali tenderebbero a muoversi con velocità uguali ed 

opposte, con l'integrazione (errata) già fatta secondo la quale è 

possibile ridurre a questo tutti gli altri casi. 

Dalle seconda e terza legge D'Alembert ricava il 

principio che porta il suo nome e che riguarda gli urti sia che 

essi avvengano direttamente sia che gli urti siano trasmessi da 

un corpo intermedio (ad esempio un'asta rigida o una corda 

non elastica). Il principio afferma che durante il moto di un 

qualsiasi sistema di corpi, la risultante delle forze attive è 

uguale alla risultante delle reazioni cinetiche, definite come il 

prodotto della massa di ciascun punto per la sua accelerazione. 

Esso può anche essere enunciato nel modo seguente: le azioni e 

reazioni interne a un sistema di corpi rigidi in moto si fanno 

equilibrio. O anche: in ogni istante, ogni stato del moto può 

essere considerato come uno stato di equilibrio, qualora siano 

introdotte delle appropriate forze d'inerzia. O ancora: Se si 

considera un sistema di punti materiali legati tra loro in modo 

che le loro masse acquisiscano velocità rispettive differenti a 

seconda se esse si muovano liberamente o solidalmente, le 

quantità di moto acquisite o perse nel sistema sono uguali.Ed 

in definitiva, nel caso di un corpo vincolato (pendolo 

oscillante, sfera che rotola su un piano inclinato, ...) vi deve 

essere equivalenza fra le forze applicate al sistema e quelle che 

occorrerebbero per dare al corpo vincolato il moto che ha 

effettivamente, qualora non esistessero vincoli. In tal modo le 

coordinate spaziali non risultano più indipendenti con la 

conseguenza che la stessa cosa accade per le equazioni 

differenziali che descrivono il problema; le forze vincolari non 

producono moto ma sono effetti del moto. Egli dice: 


Sia dato un sistema di corpi disposti gli uni in 

rapporto agli altri in un modo qualsiasi; 

supponiamo d'imprimere a ciascuno di questi 

corpi un movimento particolare, che egli non


possa seguire a causa dell'azione degli altri corpi: 

trovare il movimento che ciascun corpo deve 

prendere. 

Si può sempre considerare, dice D'Alembert, 

ciascuno dei movimenti a. b, c ..., impressi 

rispettivamente ai differenti corpi A, B, C ..., 

costituenti il sistema dato, come costituito di due 

movimenti: a ed α, b e β, c e γ ... , in cui a, b, c ... 

sono i movimenti realmente seguiti, cioè i 

movimenti cercati e α, β, γ ... movimenti che 

devono distruggersi mutuamente per il fatto dei 

legamenti. 

Tale è la scomposizione che d'Alembert eleva a principio: 

Scomporre i movimenti a, b, c ... impressi a 

ciascun corpo. ciascuno in altri due a, α; b, β; c, 

γ ... che siano tali che se si fossero impressi ai 

corpi soltanto i movimenti a, b, c ... essi avrebbero 

potuto conservare questi movimenti senza nuocersi 

reciprocamente; e che se non si fosse loro 

impresso che i movimenti α, β, γ .... il sistema 

sarebbe rimasto in riposo; è chiaro che a, b, c .... 

saranno i movimenti che questi corpi prenderanno 

in virtù della loro azione. Ciò che bisognava 

trovare. 

Se il principio di d'Alembert è chiarissimo, le 

scomposizioni alle quali egli obbliga sono spesso laboriose. Ci 

troviamo di fronte alle stesse difficoltà di Descartes e Leibniz 

perché abbiamo ancora a che fare con il sistema nella sua 

totalità e non con le parti che lo compongono; perciò esso 

risulta insufficiente per risolvere i problemi generali della 

dinamica. Comunque il principio di D'Alembert creò qualche 

illusione come realizzazione del sogno di Descartes di scrivere 

una meccanica basata solo su materia e moto, ed espresse la 

sua potenza solo nelle mani di Lagrange, quando fu combinato 

con il principio dei lavori virtuali per dar luogo alle equazioni 

di Lagrange, come vedremo. 



Molti altri furono i contributi di D'Alembert ed almeno ad 

un altro devo far riferimento. Nelle Recherches sur les cordes 

vibrantes (1747) egli studiò il problema delle corde vibranti 

riuscendo a ricondurre il fenomeno ad una equazione 

differenziale che descrive la propagazione delle onde sonore 

per la quale fornì anche la soluzione 

u = (x + t) + (x - t). 

dove e sono funzioni arbitrarie. Vediamo il ragionamento 

che D'Alembert seguì per arrivare a tale soluzione, pubblicato 

negli Atti dell'Accademia di Berlino del 1747. 

Egli inizia affermando che se indichiamo con p e 

con q, si ha: 

du = p dx + q dt. 

Ma, poiché vale l'equazione , allora p dt + q dx è 

ancora un differenziale esatto che possiamo denotare con dv. 

Da cui 

E facendo i conti si ha 

e 


dv = p dt + q dx. 

du + dv = (p dx + q dt) + (p dt + q dx) = (p + q)(dx 

+ dt), 

du - dv = (p dx + q dt) - (p dt + q dx) = (p - q)(dx - 

dt).


Così u + v deve essere una funzione di x + t e u - v deve essere 

una funzione di x - t. Possiamo quindi scrivere 

e 

Da cui 

u + v = 2 (x + t) 

u - v = 2 (x - t) 

u = (x + t) + (x - t). 

D'Alembert osserva qui che le condizioni del problema 

fisico di di una corda vibrante richiede che, quando x = 0, u 

deve annullarsi per ogni valore di t. Deve quindi risultare, 

identicamente: 

(t) + (-t) = 0. 

Assumendo che ambedue le funzioni possono essere sviluppate 

in serie di potenze di t, ciò richiede che essi devono contenere 

solo potenze dispari. Allora 

Quindi 

(-t) = - (t) = (-t) 

u = (x + t) + (x - t). 

Euler fece avanzare ulteriormente questo campo del 

calcolo differenziale trovando, per l'equazione più generale 

che l'integrale generale è 



u = (x + at) + (x - at). 

dove e sono funzioni arbitrarie. 

Posso ora passare a concludere con D'Alembert ritornando 

al suo lavoro nell'Encyclopédie ed in particolare al suo 

Discorso preliminare. In esso tracciò, tra l'altro, un quadro 

organico dei rapporti tra le varie branche della conoscenza 

guidato dal suo criterio di ricerca sistematica di principi 

sempre più generali sotto i quali riunire i risultati parziali delle 

singole scienze. 


Per poco che si rifletta sulla connessione che lega 

fra loro le varie scoperte, è facile accorgersi del 

mutuo aiuto che le scienze e le arti si prestano, e 

quindi della catena che le unisce. Ma se spesso è 

dfficile ridurre a un esiguo numero di regole o di 

nozioni generali ogni singola scienza e ogni 

singola arte, non lo è di meno rinchiudere in un 

unico sistema le articolazioni infinitamente diverse 

della scienza umana. 

Il primo passo che dobbiamo fare in questa 

ricerca è quello di esaminare, ci si permetta una 

simile espressione, la genealogia e la filiazione 

delle nostre conoscenze, le cause a cui si deve la 

loro nascita e i caratteri che le distinguono; in 

breve di risalire fino all'origine e alla generazione 

stessa delle nostre idee. [ ... ] Tutte le nostre 

conoscenze possiamo dividerle in dirette e in 

riflesse. Le conoscenze dirette sono quelle che noi, 

senza alcun intervento attivo della nostra volontà, 

riceviamo immediatamente; trovando aperte, se 

così ci si può esprimere, tutte le porte della nostra 

anima, esse vi penetrano senza trovare resistenza 

e senza compiere sforzo alcuno. Le conoscenze 

riflesse sono invece quelle che lo spirito acquista 

operando sulle dirette, unendole e combinandole 

insieme. 

Tutte le nostre conoscenze dirette si riducono a


quelle che riceviamo attraverso i sensi; ne segue 

che noi dobbiamo tutte le nostre idee alle 

sensazioni [...] la prima cosa che le nostre 

sensazioni ci fanno conoscere, e che neppure si 

distingue da esse, è la nostra esistenza. Ne 

consegue che le nostre prime idee riflesse devono 

avere come oggetto noi stessi, cioè quel principio 

pensante che costituisce la nostra natura e che 

non è affatto differente da noi. La seconda 

conoscenza che noi dobbiamo alle nostre 

sensazioni, è l'esistenza degli oggetti esterni, fra i 

quali deve essere compreso il nostro stesso corpo. 

[...]. L'effetto che questi innumerevoli oggetti 

producono su di noi è così forte, così continuo e ci 

unisce talmente ad essi che, passato il primo 

momento in cui le nostre idee riflesse ci 

richiamano dentro noi stessi, le sensazioni, che ci 

assediano da ogni lato, ci costringono ad uscirne, 

strappandoci alla solitudine in cui resteremmo 

senza il loro intervento. 

E, più oltre, D'Alembert indica la fisica come uno dei modi per 

avvicinarci a conoscere il mondo esterno: 


I primi uomini, aiutandosi l'un l'altro con le loro 

conoscenze, ossia con i loro sforzi separati o 

congiunti, sono pervenuti, forse in breve tempo, a 

scoprire, almeno in parte, gli usi cui potevano 

prestarsi i vari corpi. Avidi di conoscenze utili, 

dovettero in un primo tempo rifuggire da qualsiasi 

genere di speculazione oziosa e considerare 

invece rapidamente, uno dopo l'altro, i vari esseri 

che la natura presentava, combinandoli, per così 

dire, materialmente, secondo le loro proprietà più 

evidenti e sensibili. [...]. Ma per quanto lungo 

possa essere stato il cammino che i primi uomini e 

i loro successori seppero compiere, incalzati da 

uno stimolo stringente quanto può esserlo quello 

della propria conservazione, l'esperienza e 

l'osservazione di questo vasto universo dovettero


ben presto metterli davanti a difficoltà che con 

tutti i loro sforzi non riuscirono a superare. La 

mente umana, abituata alla meditazione e avida di 

ricavarne qualche frutto, trovò allora una certa 

qual risorsa nella pura curiosità di scoprire le 

proprietà dei corpi: un campo di scoperte che non 

conosce limiti. [...] Se l'utilità non costituisce il 

diretto oggetto della nostra azione, essa può 

esserne almeno il pretesto. Ci basta di aver 

talvolta scoperto un reale vantaggio in certe 

conoscenze che inizialmente non lo facevano 

supporre, per ritenere che tutte le ricerche 

compiute per pura curiosità potranno un giorno 

esserci utili. Ecco l'origine e la causa dei 

progressi di questa vasta scienza chiamata 

generalmente fisica o studio della natura, che si 

divide in tanti settori differenti. 

Ma, a fianco di queste considerazioni d'interesse sullo sviluppo 

delle scienze che si intersecarono con quelle delle religioni e 

delle superstizioni (sia Diderot che D'Alembert non spinsero 

troppo nei loro attacchi alla religione perché erano in regime di 

monarchia assoluta con la Chiesa che condivideva il potere con 

il sovrano), vi è anche il riconoscimento del lavoro manuale, 

del lavoro artigiano della classe emergente borghese, che, dai 

tempi di Galileo, era sparito dalle elaborazioni degli scienziati: 


Il disprezzo per le arti meccaniche sembra avere 

colpito fino a un certo punto anche i rispettivi 

inventori. I nomi di questi benefattori del genere 

umano sono pressoché sconosciuti, mentre la 

storia dei suoi distruttori - vale a dire dei politici e 

dei conquistatori - non è ignota a nessuno. 

Eppure, forse, bisogna andare a cercare presso gli 

artigiani le più ammirevoli prove di sagacia, di 

pazienza, di ingegnosità. Ammetto che quasi tutte 

le arti sono state inventate poco a poco, e che ci 

sono voluti secoli perché gli orologi, ad esempio, 

raggiungessero l'attuale perfezione. Ma non 

accade lo stesso anche nelle scienze? Quante


scoperte, che hanno reso immortali i loro autori, 

non erano state preparate dalle fatiche dei secoli 

precedenti, e spesso persino recate a un tal punto 

di maturità, che restava un solo passo da fare? 

Per restare nel campo dell'orologeria, perché mai 

coloro a cui dobbiamo la piramide degli orologi, 

lo scappamento e la ripetizione, non sono famosi 

quanto coloro che nei secoli hanno recato a 

perfezione l'algebra? D'altra parte, se debbo 

credere ad alcuni filosofi che non si sono 

vergognati di studiare le arti [meccaniche] perché 

la moltitudine le disprezzava, esistono macchine 

così complicate, fornite di parti talmente 

interdipendenti, che difficilmente l'invenzione è da 

attribuirsi a più persone. Quel genio raro, il cui 

nome è sepolto nell'oblio, non sarebbe stato degno 

di essere accolto nel ristretto novero degli spiriti 

creativi, che hanno aperto strade nuove alle 

scienze? 

10 - GIUSEPPE LUIGI LAGRANGE (1736 - 

1813) 

Altro gigante del secolo è il piemontese Giuseppe Luigi 

Lagrange (in origine la Grangia poi la Grange). Il suo 

bisnonno era francese ma lasciò il servizio di Luigi XIV per 

passare alle dipendenze di Carlo Emanuele II a Torino. Sua 

madre era Maria Teresa Gros, figlia di un medico, e suo padre, 

Giuseppe Francesco Ludovico, lavorava come tesoriere 

dell'artiglieria del re e che portò alla rovina la famiglia per le 

sue improvvide operazioni finanziarie (dirà più tardi il giovane 

Lagrange: Se fossi stato ricco non mi sarei dato alle 

matematiche). Fu primogenito di 11 figli dei quali solo due 

raggiunsero la maggiore età. A soli 14 anni fu avviato a 

studiare da avvocato nell'Università di Torino e divenne subito 

un appassionato della lingua latina. I suoi interessi si 



spostarono verso la matematica dopo aver letto un libro del 

famoso astronomo Halley. Studiò matematica e scienze sotto la 

guida del fisico G. B. Beccaria (occorrerebbe una grande opera 

di rivalutazione di questo fisico dimenticato che fece cose 

eccellenti soprattutto in campo elettromagnetico). A soli 17 

anni leggeva tranquillamente le opere di Newton, Euler, 

Leibniz e dei Bernoulli. A 19 anni, nel 1755, iniziò a 

corrispondere con Euler al quale comunicò alcuni suoi lavori 

sul calcolo delle variazioni. Nello stesso fu chiamato ad 

insegnare geometria nella regia scuola di artiglieria di Torino. 

Due anni dopo prese parte alla costituzione della Società 

privata torinese, nucleo della futura Accademia Reale delle 

Scienze di Torino. Stabilì una relazione epistolare con 

D'Alembert del quale divenne in seguito grande amico. Si recò 

a Parigi a cavallo degli anni 1763-1764, dove fu volentieri 

ospitato da vari studiosi. L'Académie di Parigi lo premiò per i 

suoi studi sull'irregolarità nel moto della Luna. Quando Euler 

lasciò Berlino, raccomandò Lagrange per sostituirlo. Carlo 

Emanuele fu dispiaciuto ma accettò che questo grande si 

recasse presso la corte di Federico II di Prussia, dove ottenne la 

carica di direttore della classe di scienze nell'Accademia di 

Berlino, che mantenne dal 1766 al 1787 quando, alla morte di 

Federico II, decise di accettare l'invito a Parigi di Luigi XVI 

dove, già in periodo rivoluzionario, divenne presidente della 

Commission des Poids et Mesures (1790). Fu comunque a 

Berlino dove Lagrange scrisse una delle sue opere più 

importanti, la Méchanique analytique, pubblicata nel 1788. 



A Parigi, anche per la perdita recente della prima moglie 

(1783), sua cugina Vittoria Conti, sposata nel 1766, fu preso da 

profondo abbattimento: tutto lo annoiava, la vita e la 

matematica. Si risollevò quando conobbe una giovinetta, 

Adelaide Le Monnier figlia di un suo collega astronomo 

dell'Académie, di circa 40 anni più giovane che nel 1792 

divenne la sua nuova compagna. Riprese a scrivere opere 

principalmente di matematica, ricercando formulazioni sempre 

più rigorose (5) . Tra queste notevoli sono le Leçons 

élémentaires sur les mathématiques, données à l'École 

Normale del 1795 (che ebbero un grandissimo successo e 

furono subito importate dagli Stati Uniti d'America con il titolo 

Lectures on Elementary Mathematics) (6) , la Théorie des 

fonctions analytiques (1797) e le Leçons sur le calcul des 

fonctions (1806). Dal 1797, a seguito della chiusura dell' École 

Normale, passò ad insegnare all'École polytechnique che nel 

1794 era stata fondata dal geometra Monge e dall'ingegnere 

idraulico Lazare Carnot come emanazione dei governi 

rivoluzionari. 

Si sarà notato che ci troviamo negli anni della 

Rivoluzione Francese e Lagrange arrivò a Parigi proprio un 

anno prima che scoppiasse. Furono anni molto difficili per 

Lagrange per il fatto che egli era uno straniero e proveniva 

dalla Prussia, uno Stato nemico della Francia. E, proprio nel 

1793, sembrò imminente un decreto della Convenzione che 

avrebbe fatto arrestare tutti gli stranieri di Stati nemici. Su 

fortissime pressioni di Lavoisier, Lagrange fu risparmiato 

anche se fu lo stesso Lavoisier a perdere la testa sotto la 

ghigliottina nel 1794 (era un agente delle tasse, oltre che 

chimico eccelso) e, in questa occasione, Lagrange fece del 

tutto per ricambiare ma senza successo. 



L'esecuzione di Lavoisier 

Morì nel 1813, dopo aver raccolto la grande ammirazione 

dello stesso Napoleone che gli conferì la Legion d'onore, lo 

fece Senatore e lo nominò conte dell'Impero. 

Come Euler, fu estremamente prolifico e scrisse 

praticamente su tutto e sempre in francese: astronomia, 

aritmetica, analisi, fisica-matematica, algebra, meccanica, 

calcolo delle probabilità, geometria e trigonometria. Non è il 

caso, nell'economia di ciò che racconto, di trattare i suoi 



elaboratissimi contributi alla meccanica analitica (chi è del 

mestiere sa bene in cosa consiste la lagrangiana) ma alcune 

cose meritano molta attenzione a partire da una sua frase della 

sua Méchanique analytique le cui conseguenze in alcuni 

matematici dei miei studi universitari mi fecero molto soffrire. 

Dice Lagrange: 

Non si troveranno figure in quest'opera: I metodi 

che io espongo non richiedono né costruzioni né 

ragionamenti geometrici o meccanici, ma 

solamente operazioni algebriche soggette ad un 

andamento regolare e uniforme. Quelli che amano 

l'analisi vedranno con piacere la meccanica 

divenirne una nuova branca e mi saranno grati 

d'averne esteso così il dominio. 

A questo proposito osserva Forti: 

Se io risolvo un problema con metodo geometrico 

non perderò mai di vista le figure date e le 

operazioni su di esse, fino alla soluzione. Così tale 

soluzione si collega con continuità ai dati stessi, 

attraverso una visione chiara, spesso semplice ed 

elegante. 

Se procedo invece analiticamente 

(algebricamente) dovrò indicare con simboli le 

incognite, legarle ad altri simboli che sprimono i 

dati del problema, ed infine operare 

meccanicamente su tali simboli, tenendo conto di 

proprietà delle operazioni universalmente 

riconosciute, ma dimenticando ogni significato 

concreto della questione, ogni possibile 

interpretazione dei passaggi (7) . 

Ed il Settecento rappresenta proprio il passaggio deciso ad 

una trattazione analitica dei problemi, trattazione che viene 

apertamente rivendicata da Lagrange. Si tratta di far vivere il 

calcolo differenziale di vita propria non solo 

indipendentemente dalle figure ma anche dall'esperimento che 



verrà dopo con un totale ribaltamento dell'impostazione 

galileiana. Si osservi che siamo agli inizi della rivoluzione 

industriale e della specializzazione del lavoro che vede via via 

la separazione del fisico teorico dallo sperimentale. La cosa si 

affermerà definitivamente con i lavori di Maxwell. 

Entriamo ora in qualche dettaglio sull'opera di Lagrange, 

che divide con Euler il titolo di massimo matematico del 

Settecento, con particolare riferimento alla Méchanique 

analytique. 

Questo trattato ha una struttura generale del tutto 

differente da altre opere su argomenti analoghi redatte in 

quegli anni. La meccanica è ora del tutto trasformata in un 

capitolo della matematica (e ciò era quanto si faceva all'epoca) 

con una particolare idea del medesimo Lagrange che intendeva 

la meccanica come una geometria a quattro dimensioni e 

l'analisi meccanica come un'estensione della geometria 

analitica. Da qui il nome di meccanica analitica che richiama 

nel nome la geometria analitica di Descartes. E come 

quest'ultimo nel caso delle proprietà geometriche, così 

Lagrange per quelle meccaniche, si propone di trovare una 

calzante traduzione simbolica, e quindi analitica, che accresca 

il rigore logico. L'opera è divisa in due parti. La prima parte è 

dedicata alla statica (o teoria dell'equilibrio) e la dinamica (o 

teoria del movimento). E ciascuna di queste parti tratterà 

separatamente dei corpi solidi e dei liquidi. Lo stesso 

Lagrange, nelle Avvertenze alla prima edizione dice: 


Esistono già diversi trattati di meccanica, ma lo 

schema del presente trattato è completamente 

nuovo. lo mi sono proposto di ridurre la teoria di 

questa scienza, e l'arte di risolvere i problemi ad 

essa relativi, a delle formule generali il cui 

semplice sviluppo fornisce tutte le equazioni che 

sono necessarie per la soluzione di ogni problema. 

Spero che il modo in cui ho cercato di assolvere 

pienamente il mio proposito non lasci alcunché a 

desiderare.


La presente opera avrà inoltre un ulteriore aspetto 

d'utilità: essa riunirà e presenterà sotto un 

medesimo punto di vista i diversi principi che sino 

ad oggi sono stati trovati per facilitare la 

soluzione delle questioni di meccanica, ne 

mostrerà il legame e la dipendenza reciproca, e 

porrà in condizione di poter giudicare della loro 

giustezza e della loro estensione. 

Ho diviso l'opera in due parti: la statica, ovvero la 

teoria dell'equilibrio, e la dinamica, ovvero la 

teoria del movimento; e ciascuna di queste parti 

tratterà separatamente dei corpi solidi e di quelli 

liquidi. 

Più oltre, nel testo, spiega quale ruolo egli assegni alla forza 

nella statica. La statica è basata sulla distruzione e 

l'annientamento reciproco di diverse forze [...]. Lo scopo della 

statica è quello di dare le leggi secondo cui si produce tale 

distruzione. Esse sono basate su principi generali che si 

possono ridurre a tre: quello delle leve, della composizione 

delle forze e quello delle velocità virtuali (8) . Più in dettaglio, 

Lagrange ci descrive come debba essere considerata la forza 

nella statica: 


La statica è la scienza dell'equilibrio delle forze. 

In generale, per forza o potenza si intende la 

causa, quale essa sia, che imprime o tende a 

imprimere del movimento al corpo al quale la si 

suppone applicata; ed è sulla base del movimento 

impresso, o imprimibile, che si deve valutare la 

forza, o la potenza. Nello stato di equilibrio la 

forza non compie un esercizio reale; essa non 

produce altro che una semplice tendenza al 

movimento; ma la si deve pur sempre misurare in 

base all'effetto che essa produrrebbe qualora non 

fosse arrestata. Assumendo per unità una forza 

qualsiasi oppure il suo effetto, l'espressione di 

ogni altra forza non è altro che un rapporto, una 

quantità matematica, che può essere


rappresentata per mezzo di numeri o di linee: ed è 

sotto questo punto di vista che, in meccanica, si 

debbono considerare le forze. 

e come, oltre alla statica, anche la dinamica possa essere 

completamente ridotta all'analisi matematica: 

Nella prima parte di quest'opera abbiamo ridotto 

tutta la statica a una sola formula generale che 

fornisce le leggi dell'equilibrio di un sistema 

qualsiasi di corpi sottoposti all'azione di tutte le 

forze che si vogliono. Si potrà dunque ridurre a 

una formula generale anche tutta la dinamica; in 

effetti, per applicare al movimento di un sistema di 

corpi la formula del suo equilibrio, sarà 

sufficiente in essa introdurre le forze che 

provengono dalle variazioni del moto di ciascun 

corpo e che debbono essere annullate. Lo sviluppo 

di tale formula, tenendo conto delle condizioni che 

diipendono dalla natura del sistema, fornirà tutte 

le equazioni necessarie per la determinazione del 

movimento di ciascun corpo, e non resterà altro 

da fare che integrare queste equazioni, il che 

spetta all'analisi. [ ... ] In questo modo, le forze, 

gli spazi, i tempi e le velocità non saranno altro 

che dei semplici rapporti, delle quantità 

matematiche ordinarie. 

Si tratta quindi di una meccanica basata sul Principio di 

D'Alembert coniugato con il principio dei lavori virtuali e delle 

coordinate generalizzate. Alla fine del processo di riscrittura 

della meccanica si arriva alle ben note equazioni dinamiche di 

Lagrange. Scrive De Maria: 


Lagrange derivò le sue equazioni partendo dalle 

leggi di Newton (nella formulazione di Euler) 

attraverso il passaggio da una formulazione 

vettoriale ad una formulazione scalare. Nel 

trattamento analitico lagrangiano è sufficiente 

conoscere una singola funzione scalare



(completamente determinata in ogni punto dello 

spazio da un numero relativo) dipendente dalle 

posizioni dei punti materiali in movimento; questa 

"funzione lavoro" contiene implicitamente tutte le 

forze agenti sui punti materiali del sistema. Un 

altro vantaggio è quello di non richiedere la 

conoscenza di forze come quelle che producono la 

rigidità di un corpo o quelle che agiscono fra le 

particelle di un fluido. Tali forze vengono 

sostituite da una condizione cinematica: durante il 

moto la distanza tra due punti del corpo non può 

variare e, analogamente, il volume di ogni parte 

del fluido deve conservarsi. Le n equazioni 

differenziali del secondo ordine che descrivono il 

moto di sistemi a n gradi di libertà in funzione 

della loro energia cinetica T e delle forze 

lagrangiane dovute a sollecitazioni attive Q h in 

assenza di vincoli addizionali oltre quelli olonomi, 

hanno la forma generale: 

dove le q h sono le coordinate lagrangiane scelte 

per descrivere il sistema, mentre le p h si dicono 

velocità generalizzate. Se le forze in gioco sono 

conservative, esprimibili cioè come derivate di un 

potenziale, una funzione U(q h ) tale che, istante per 

istante, dipenda dalle sole posizioni occupate nello 

spazio dal sistema meccanico alle quali si 

applicano le Q h , per queste ultime vale appunto che 

In tal caso, introdotta una funzione L = T - U, detta



lagrangiana del sistema, le equazioni precedenti si 

riscrivono: 

Tali equazioni permettono appunto di confrontare 

la dinamica di sistemi completamente diversi tra 

loro dal punto di vista geometrico e materiale, pur 

di scegliere un opportuno insieme di coordinate 

lagrangiane: la loro invarianza rispetto ad 

un'arbitraria trasformazione di coordinate implica 

un'assoluta libertà nella scelta del sistema di 

coordinate più adatto alla natura del problema. 

Lagrange fu il primo ad esprimere in forma 

matematica generale delle proposizioni espresse 

fino ad allora in forma particolare, come la legge 

delle forze vive, il moto del baricentro e il 

principio di minima azione, applicando questi 

risultati a problemi diversi come la meccanica 

celeste, le corde vibranti e l'idrodinamica. La 

meccanica analitica di Lagrange, pur essendo una 

formulazione del tutto generale della legge del 

moto, è tuttavia limitata alle sole forze 

conservative, per le quali il lavoro compiuto 

dipende unicamente dallo stato iniziale e dallo 

stato finale e non dal modo in cui viene prodotto. 

Tale denominazione deriva dal fatto che l'energia 

totale di un corpo soggetto alle azioni del campo, e 

in moto nel campo stesso, in assenza di cause 

dissipative di energia si conserva, durante il moto, 

invariata. Tutte le forze dissipative che 

trasformano l'energia meccanica in calore, e che 

rendono il moto irreversibile sono quindi 

completamente escluse. Contrariamente alla 

meccanica di Newton nella sua forma più 

generale, quella di Lagrange è reversibile e non 

contiene una freccia del tempo, il quale assume il 

ruolo di semplice parametro.


Come conseguenza delle equazioni di Lagrange si 

ottiene, in una formulazione matematica, il 

principio di minima azione (9) . Lagrange aveva 

dimostrato, per un sistema di punti sottoposti a 

forze conservative (tutte le volte cioè che le forze 

derivano da un potenziale), che l'azione minima è 

una conseguenza delle equazioni di Lagrange che 

governano il moto e, viceversa, si ottengono le 

equazioni imponendo il principio di minima 

azione. Tale principio è indipendente da qualsiasi 

sistema particolare di coordinate, perché il minimo 

di una quantità scalare non dipende dalle 

coordinate rispetto alle quali una certa quantità 

viene misurata,di conseguenza anche le equazioni 

del moto sono appunto invarianti rispetto a una 

qualsiasi trasformazione di coordinate. 

Una osservazione di Truesdell è di grande importanza. 

Egli dice che l'astrattezza del formalismo di Lagrange tende ad 

occultare i principali problemi concettuali della meccanica: 

l'idea di sistemi inerziali di riferimento e la nozione di 

rigidezza, ambedue essenziali all'immagine classica di 

osservatore, restano oscurate dall'invarianza dell'algebra (10) . 

Con Lagrange si chiude un periodo molto importante della 

storia della fisica, diventata matematica. Si trattava di 

giustificare quanto aveva fatto Newton nel modo più completo 

possibile, di razionalizzare la meccanica. Da questo momento 

l'interesse principale si sposterà sul rendere operativa la 

meccanica proprio in connessione con quanto ho già 

adombrato e cioè con le esigenze produttive. 

11 - PIERRE SIMON LAPLACE (1749 - 1827) 

Questo grandissimo matematico, astronomo e fisico 

francese, nacque figlio di contadini poveri a Beaumont en 



Auge (Normandia). Per le sue capacità subito mostrate e per il 

bell'aspetto, poté studiare grazie alla beneficenza di alcuni 

vicini. E' questo il poco che si conosce della sua giovinezza dai 

suoi primi studi in un convitto benedettino nel suo paese fino a 

che arrivò ad insegnare nella medesima scuola. Passò quindi a 

studiare teologia all'Università di Caen (tra i 16 ed i 18 anni) 

perché quello era il destino dei poveri (o prete o soldato). Qui 

scoprì il fascino della matematica grazie agli insegnamenti che 

ricevette (Le Canu e Gadbled). Lasciò allora l'Università e si 

recò a Parigi con una lettera di presentazione di Le Canu a 

D'Alembert che colse subito il grande talento del giovane. E 

D'Alembert non solo si prestò a fargli da insegnante ma lo 

raccomandò anche per un posto di docente all' École militaire 

(1768) che gli lasciava il tempo per approfondire i suoi studi. 

Già nel 1770 presentò sue memorie di matematica 

all'Académie del Sciences. Nel 1771 pubblicò il suo primo 

lavoro, in latino, nei Nova Acta Eruditorum di Berlino. In tale 

rivista continuò a pubblicare come pure pubblicò nei Mélanges 

de Turin, rivista dell'Accademia delle Scienze di Torino, 

fondata anche da Lagrange un importante lavoro, Recherches 

sur le calcul intégral aux différences infiniment petites, et aux 

différences finies (1771), che contiene equazioni importanti sia 

per la meccanica che per l'astronomia. In questo anno Laplace 

tentò di essere ammesso all'Académie ma non vi riuscì perché 

gli fu preferito il matematico Vandermonde. L'anno successivo 

fu ancora rifiutato per un tal Cousin che era molto più indietro 

di lui nella graduatoria. Sia Laplace che D'Alembert restarono 

molto amareggiati per queste decisioni e D'Alembert scrisse a 

Lagrange, che dirigeva l'Accademia di Berlino, per trovare un 

posto a Laplace in quella città. Ma prima che Lagrange 

rispondesse si trovò un posto di associato presso l'Académie 

nel 1773. 



In quei tre anni Laplace aveva scritto molto ed in 

particolare aveva dato contributi allo studio delle equazioni 

differenziali, alla teoria delle probabilità e all'astronomia 

matematica con memorie che studiavano l'inclinazioni delle 

orbite planetarie, le perturbazioni che i satelliti originavano nel 

moto dei pianeti e, in generale, il moto dei pianeti e la stabilità 

del sistema solare. Ma è tutto il suo lavoro sviluppato negli 

anni Ottanta che gli darà fama di massimo scienziato mondiale, 



anche se non riuscì mai ad avere buoni rapporti con i suoi 

colleghi, compreso D'Alembert, per la sua totale mancanza di 

modestia. Egli diceva di sé di essere il migliore in campo 

scientifico e metteva bocca praticamente su ogni argomento. 

Nel 1780 fece un lavoro con Lavoisier, mostrando che la 

respirazione è una forma di combustione, per la realizzazione 

del quale costruirono un calorimetro a ghiaccio. Questo 

episodio aprì un altro campo ai suoi studi, quello del calore al 

quale si dedicò verso la fine della sua carriera. 

Nel 1784 diventò esaminatore della scuola del Corps 

Royal d’Artillerie in sostituzione del matematico Bezout. Ebbe 

occasione, l'anno successivo, di esaminare il sedicenne 

Napoleone. Questo suo incarico da una parte gli toglieva molto 

tempo ma dall'altra lo metteva a contatto con personaggi 

influenti di governo. E, finalmente, nel 1785, riuscì ad essere 

ammesso come membro dell'Académie alla quale, nel 1787, si 

aggregò anche Lagrange (proveniente da Berlino) che 

comportò una gran rivalità tra i due. 

Nel 1788 Laplace, a 39 anni, si sposò con una giovane di 

19 anni, Marie-Charlotte de Courty de Romanges e nel 1790, 

già in periodo rivoluzionario, divenne membro della 

Commission des Poids et Mesures, presieduta da Lagrange. 

Quando nel 1793 iniziò il periodo del terrore, l'Académie fu 

chiusa e Laplace si ritirò in campagna con la moglie ed i due 

figli. Ritornò a Parigi nel 1794, dopo che il suo amico 

Lavoisier era stato ghigliottinato, per prendere parte ai lavori 

della nuova Commission des Poids et Mesures (che portò a 

termine la grande impresa dell'introduzione del Sistema 

Metrico Decimale). L'anno successivo fu chiamato ad 

insegnare teoria della probabilità all'École Normale, appena 

fondata. Analogamente a quanto abbiamo visto per Lagrange, 

anche Laplace fu costretto a trascrivere le sue lezioni per 

pubblicarle. Si tratta della famosa Théorie analytique des 

probabilités, con una introduzione dal titolo Essai 

philosophique sur les probabilités, che vedrà la luce nel 1812. 

In questo periodo cumulerà una gran quantità di incarichi di 

prestigio (11) e pubblicherà alcune tra le 



sue opere piùimportanti. Nel 1796, quando diventò presidente 

dell'Académie, pubblicò l'Exposition du système du monde e 

nel 1799 i primi due volumi (dei 5 in totale) del suo Traité de 

Mécanique céleste (in cui, indipendentemente da Kant che lo 

aveva fatto nella sua Storia generale della natura e teoria del 

cielo del 1755, formulò l'ipotesi della nebulosa secondo la 

quale il sistema solare deriverebbe dalla rotazione di una 

nebulosa di gas incandescente) (12) . 





Finiti i momenti più duri della Rivoluzione si passò al 

Consolato di Napoleone. Laplace fu nominato senatore ed ebbe 

(1805) la Legion d'onore. Vi fu qui un episodio spiacevole che 

ricorda i giudizi di Delambre ai quali ho accennato. Sembra per 

insistenza dello stesso Laplace che Napoleone nominò il 

medesimo come Ministro degli interni ma solo per sei 

settimane e poi lo licenziò per manifesta incapacità avendo 

portato lo spirito dell'infinitamente piccolo nel governo. Nel 

1806 fu fatto Conte da Napoleone e nel 1817, in piena 

Restaurazione, fu nominato Marchese da Luigi XVIII Borbone. 

Nei suoi ultimi anni di vita si ritirò in campagna dove curò una 

società, la Société d'Arcueil, per il sostegno dei giovani 

scienziati tra i quali Claude Berthollet, Louis Joseph Gay- 

Lussac, ... . Fu qui che scrisse le sue memorie ed ordinò i suoi 

scritti ancora non pubblicati. Si spense nel 1827. 



Passiamo ora a vedere quali sono i principali contributi 

scientifici, ma anche filosofici, di Laplace a partire dalla sua 

concezione della natura e del ruolo che in essa svolgono le 

forze. Abbiamo già detto che una delle sue opere più 

importanti è l'Exposition du système du monde. Aggiungo ora 

che questa è un'opera divulgativa, scritta in modo discorsivo e 

senza formule che doveva costituire una sorta di premessa 

all'opera tecnica successiva, la Mécanique Céleste. Sulla strada 

aperta da Kant e rinunciando ad una delle sue ipotesi (quella 

del caos originario), Laplace perfezionò e precisò l'idea di 

nebulosa con i dati dell'astronomia disponibili che mostravano 

che tutti i pianeti ed i satelliti noti ruotavano tutti nello stesso 

verso e tutti si trovavano sullo stesso piano (qualche imbarazzo 

si ebbe alla ristampa dell'opera nel 1808 quando Herschel 

aveva mostrato già dal 1798 che alcuni satelliti di Nettuno e di 

Urano hanno moto retrogrado). L'idea di Laplace era che tutto 

il sistema planetario discendesse dalla rotazione e progressiva 

condensazione di una massa gassosa incandescente la cui 

temperatura andava in continua diminuzione. La forza 

centrifuga avrebbe permesso il distacco dei pianeti dalla massa 



principale costituente il Sole, così come la stessa forza avrebbe 

permesso il distacco dei satelliti dai pianeti. Nella descrizione 

particolareggiata della dinamica della sua nebulosa, Laplace ci 

offre appunto la sua concezione delle forze e di alcune leggi di 

natura che coincidono con le idee di D'Alembert: le forze non 

le conosciamo che dai loro effetti e sono questi che dobbiamo 

studiare e tra questi vi è il moto che ha, come prima legge, 

quella d'inerzia e come seconda la forza proporzionale alla 

velocità. Lo studio della meccanica è più semplice nel cielo 

che non sulla Terra perché in cielo esse si osservano con la 

massima precisione mentre sulla Terra vi sono molte 

circostanze che complicano lo studio di tale leggi, circostanze 

dalle quali è difficile districarsi e che rendono difficile 

sottomettere tali leggi al calcolo. Ma piano piano si riesce a 

fare dei passi in avanti che ci aprono orizzonti inaspettati. Una 

legge, ad esempio che ci ha aperto la conoscenza del cielo è la 

gravitazione universale che è un vero ed immutabile principio 

di natura. Più in generale la conoscenza delle leggi della 

meccanica libera gli uomini dalla superstizione perché 

razionalizza fenomeni che precedentemente non potevano che 

essere misteriosi quando non terrorifici (eclissi, comete, ...). 

Gli errori, le superstizioni, i vani terrori e tutti i mali che 

l'ignoranza porta con sé si riprodurrebbero prontamente se la 

luce della scienza venisse a spegnersi. 

La centralità della gravità viene messa in grande risalto 

nel Traité de Mécanique céleste (13) . Qui vi è il dispiegarsi di 

tutto l'apparato del calcolo differenziale che era stato elaborato 

negli ultimi anni e Laplace interpreta la gravità mediante il 

concetto di potenziale che Lagrange aveva introdotto nel 1777 

e che egli sviluppa qui inserendolo in una celebre equazione 

differenziale che porta il suo nome. Laplace si pone quello che 

era uno dei massimi problemi di tutti gli studiosi da molti anni: 

determinare la grandezza dell'attrazione gravitazionale che una 

massa esercita su di un'altra in casi più complessi di quando, 

date grandi distanze, è possibile considerare le masse come 

puntiformi. Se si considera ad esempio la Terra che attrae un 

qualunque oggetto (ad esempio: una particella P), diventa 

importante la dimensione della Terra e la sua massa distribuita. 

In tal caso la forza di attrazione non può essere calcolata come 



se la massa della Terra fosse concentrata nel suo centro. Per 

calcolare tale forza si tratta di considerare la somma delle forze 

che ogni piccola unità di massa della Terra esercita sull'unità di 

massa P. Ciò comporta una mole considerevole di calcoli che 

debbono essere estesi alle tre componenti spaziali. E' a questo 

punto che subentra la funzione potenziale: invece di trattare 

separatamente ogni componente della forza è possibile 

introdurre la funzione V(x,y,z) le cui derivate parziali rispetto 

ad x, ad y ed a z, siano rispettivamente le tre componenti della 

forza e cioè, a meno di considerare la costante della legge di 

Newton: 

In tal caso il vantaggio consiste nel lavorare con la sola 

funzione V invece che con le tre componenti della forza. Ma 

anche qui le cose non risulterebbero semplici se Laplace non 

avesse scoperto una proprietà del potenziale (per punti esterni 

al corpo che attrae) e cioè che questa funzione ubbidisce alla 

seguente equazione differenziale del secondo ordine alle 

derivate parziali: 

che è nota appunto come equazione del potenziale o equazione 

di Laplace (misura la differenza tra il valore della funzione in 

un punto e la sua media intorno a questo punto). Qualunque 

funzione f che soddisfi l'equazione di Laplace è chiamata 

armonica. E' d'interesse notare che una forza è originata da 

una funzione potenziale ma la forza si perde nei simbolismi 

dell'analisi matematica. Questa genesi di forza da potenziale 

era già comparsa nell'Hydrodinamica (1738) di Daniel 

Bernoulli. Era stata ripresa da Euler in un lavoro sui fluidi nel 

1752 ma erano sorte difficoltà che egli non era stato in grado di 

risolvere. Era stato poi Lagrange nel 1762 a riprendere e 

chiarire le questioni (come abbiamo visto in modo analitico, 

trattando di Lagrange). Infine il contributo di Laplace che 



riuscì anche a risolvere l'equazione del potenziale (dopo 

importanti contributi di Legendre). 

L'equazione di Laplace (14) si usa scrivere più agevolmente 

in forma vettoriale: 

dove il simbolo è un operatore chiamato di Laplace o 

laplaciano o nabla che ha per componenti: 

Con un apparato matematico che si serviva di ogni 

avanzamento del calcolo, Laplace dedusse tutti i fenomeni dei 

pianeti e dei satelliti dalla legge di gravità espressa in termini 

di potenziale. E' appena il caso di osservare che questa 

gigantesca operazione matematica, che lasciava solo qualche 

piccola discrepanza, ha resistito fino alla relatività einsteniana. 

Ed Einstein ha mostrato che non sempre le piccole discrepanze 

sono sistemabili con il calcolo e che partendo da esse si può 

arrivare ad una revisione completa dei concetti che sono stati 

ritenuti alla base di precedenti formulazioni. 

Si può dire a questo punto che una delle caratteristiche del 

metodo di Laplace è l'accettare alcune indicazioni 

dall'esperienza per costruirvi sopra, con il calcolo, una teoria 

definita da Laplace come il legame analitico dei fatti 

particolari con un fatto generale. Ed il calcolo, l'analisi 

matematica, gioca un ruolo fondamentale nella conoscenza 

della natura, perché, come dice Laplace, l'analisi matematica è 

uno strumento dell'intelligenza umana che ha una grande 

capacità di permettere la conoscenza della natura. 

Vediamo ora i contributi di Laplace alla teoria delle 

probabilità. Anche in questo campo egli seguì un procedimento 

analogo a quello seguito per le questioni astronomiche: prima 

un libro divulgativo, privo di formule, fatto per far 



comprendere quali sono i problemi, l'Essai philosophique sur 

les probabilités, seguito subito dopo dalla Théorie analytique 

des probabilités, che è invece un'opera rigorosa in cui si 

sviluppa la matematica corrispondente con l'introduzione, 

anche qui, dell'analisi per la trattazione del principio dei 

minimi quadrati. Non è negli scopi di questo lavoro andare a 

studiare i contributi di Laplace in questo campo, basti dire che 

egli si inserisce nel filone aperto da Jacob Bernoulli, 

proseguito da De Moivre ed altri. Suo merito è l'aver 

ricondotto la probabilità a solidi fondamenti matematici, 

riallacciandosi al concetto di probabilità a priori, 

indipendentemente dalle aspettative individuali. Ciò permise 

l'uso di questo calcolo nella fisica oltre che nei campi dove fino 

ad allora si era fatto (economia, sociologia, gioco). All'interno 

del Traité vi è il calcolo di diversi integrali tra i quali due sono 

di particolare importanza. Il primo riguarda il calcolo dell'area 

della curva di probabilità: 

ed il secondo la funzione nota come trasformata di Laplace: 

dove f(x) è la trasformata di Laplace della funzione g(x). 

La parte comunque più nota, anche ai non cultori delle 

matematiche, delle cose che Laplace scrisse sulla probabilità, 

la si trova nel saggio introduttivo, che è in qualche modo il 

manifesto del determinismo. Dice Laplace che se ci fosse dato 

conoscere, ad un dato istante, le posizioni e le velocità di tute 

le molecole costituenti l'Universo noi potremmo conoscere gli 

eventi futuri e risalire a quelli passati. E' solo per mancanza di 

dati noi non possiamo essere completamente deterministi: 


Possiamo considerare lo stato attuale 

dell'universo come l'effetto del suo passato e la


causa del suo futuro. Un'Intelligenza che ad un 

dato istante conoscesse tutte le forze che mettono 

in moto la natura, e tutte le posizioni di tutti gli 

oggetti di cui la natura è composta, se questa 

Intelligenza fosse inoltre sufficientemente ampia 

da sottoporre questi dati ad analisi, essa 

racchiuderebbe in un'unica formula i movimenti 

dei corpi più grandi dell'universo e quelli degli 

atomi più piccoli; per una tale Intelligenza nulla 

sarebbe incerto ed il futuro proprio come il 

passato sarebbe evidente davanti ai suoi occhi. 

E' evidente che queste concezioni derivano a Laplace dai suoi 

studi astronomici e da lì egli ricava la fiducia che la 

conoscenza del sistema del mondo, con le sue leggi, con 

l'analisi che ce le fa scoprire,possa dissipare le paure 

dell'uomo, paure che discendono dalla sua ignoranza. Le 

regolarità astronomiche funzionano come le previsioni del 

moto di una molecola d'aria ed è per questo possibile trattare 

questi fenomeni con il calcolo delle probabilità. Il 

determinismo meccanicista esclude quindi l'imprevedibile e la 

metafisica garantendoci la razionalità del decorso dei fenomeni 

naturali. Ma questo determinismo deve rispondere a due 

precise condizioni. Innanzitutto occorre conoscere con 

esattezza la posizione e velocità di tutti i corpi. Quindi occorre 

saper trattare tali condizioni iniziali con gli strumenti 

matematici. L'insieme di queste due condizioni ci fa capire che 

Laplace aveva posto un limite alla conoscenza della natura che 

era lo stesso limite delle capacità ora note dell'uomo. E' a 

questo punto che occorre mettere insieme i troppi dati con il 

calcolo delle probabilità che è il massimo strumento di 

conoscenza del quale ora disponiamo. 

12 - QUALCHE CONSIDERAZIONE 

Soffermandoci su alcuni grandi pensatori del Settecento, 



siamo arrivati agli inizi dell'Ottocento. Se si fa un breve 

excursus a marcia indietro si individuano alcuni punti fermi: 

- la scienza, in particolare fisica e matematica, è 

diventata adulta 

- abbiamo visto pian piano emergere scienziati che 

non appartengono a ceti benestanti 

- abbiamo visto pian piano sparire la metafisica 

dalla spiegazione scientifica 

- l'impresa scientifica si estende sempre più come 

portato dell'emergere della borghesia 

- la compressione di questo ceto porterà alle 

estreme conseguenze rivoluzionarie in Francia, 

con l'inizio della fine dei privilegi di nobiltà e 

clero. 

Questi elementi saranno di grande importanza 

nell'Ottocento, nel secolo del Romanticismo che si affermerà 

come reazione irrazionale all'Illuminismo e che produrrà molta 

più scienza di quanta si sia mai potuta pensare nel Settecento, 

il secolo in cui tale scienza veniva esaltata. Naturalmente 

questo processo si accompagna ad un'enorme espansione della 

borghesia, alla rivoluzione industriale, alla creazione di un 

grande ceto salariato, all'esplosione della tecnica, alla ricerca 

dei mercati di sbocco, all'avviarsi delle grandi imprese 

coloniali che daranno l'impronta che conosciamo al mondo 

intero. Di questo discuterò in lavori successivi. 


NOTE


(1) Leibniz rifiuta l'azione a distanza ed allo stesso modo le 

qualità occulte connesse alla gravitazione (in questo d'accordo 

con i cartesiani). Se è vero che l'ammissione di inesistenza di 

vuoto suggerisce a Leibniz il rifiuto dell'azione a distanza, 

rimane il problema di stabilire come si possa trasmettere un' 

azione da una parte all'altra dello spazio. E qui Leibniz si 

schiera apertamente con i cartesiani affermando che le azioni si 

trasmettono per contatto da 'materia' a 'materia'. Ma l'unico 

modo per poter ammettere ciò era la conseguente ammissione 

dell'urto tra particelle estese e dure (come faceva Descartes) e 

ciò portava Leibniz in un vicolo cieco poiché richiedeva 

l'ammissione di atomi (e quindi di vuoto) e comunque, in 

accordo col meccanicismo di Huygens, di entità non 

compatibili con la teoria delle monadi altrove sviluppata dallo 

stesso Leibniz . 

(2) Si osservi che Boscovich criticherà anche i concetti di 

spazio e tempo assoluti oltre al principio d'inerzia, in base al 

fatto che questi non sono sperimentalmente osservabili. 

(3) Anche l' «osservatore», per Kant, comincia a diventare 

importante nella indagine fisica. Come dice Popper, riportando 

il pensiero di Kant: 

Dobbiamo abbandonare l'opinione secondo cui 

siamo degli osservatori passivi, sui quali la natura 

imprime la propria regolarità. E' bene invece 

adottare l'opinione secondo cui, nell'assimilare i 

dati sensibili, imprimiamo attivamente ad essi 

l'ordine e le leggi del nostro intelletto. Il cosmo 

reca l'impronta della nostra mente ... Lo 

sperimentatore non deve attendere che alla natura 

piaccia rivelargli i propri segreti, ma deve 

interrogarla. Egli deve fare ciò ripetutamente alla 

luce dei propri dubbi, congetture, teorie, idee ed 

ispirazioni. 

In questo modo la scienza risulta una creazione umana come 

l'arte e la letteratura. 



(4) Si osservi che, ispirate dalla grande atmosfera culturale 

illuministica, si erano realizzate due grandi rivoluzioni che 

avevano affermato gli ideali di libertà, uguaglianza e fraternità. 

Nel contempo però i sovrani 'illuminati' di Russia, Prussia ed 

Austria, con la prima spartizione della Polonia (1772), 

mostrano come la politica di potenza possa più dei lumi della 

ragione e come le aspirazioni progressiste non possano 

coesistere con l'assolutismo monarchico. Sul finire del secolo, 

poi, è proprio un "figlio della Rivoluzione", Napoleone, ad 

interpretare fino in fondo gli ideali borghesi con le sue armate 

dilaganti per tutta l'Europa. E certamente l'Illuminismo, 

propagandato non dai Voltaire, dai Diderot, dai D'Alembert, 

ma dalle armate napoleoniche, apre la strada ai nazionalismi 

dei popoli che, per difendersi dall'invasore, ricercano una unità 

(anche se fittizia) nei loro regnanti. 

(5) E' certo che la struttura del calcolo a partire da Leibniz era 

molto carente, soprattutto se confrontata con le elaborazioni 

successive dei Bernouilli, degli Eulero, dei Lagrange, dei 

Cauchy (1789 - 1857). Ci vorranno circa 100 anni per 

conquistare il rigore in matematica: esso si può datare con le 

Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal di 

Lazare Carnot e la Théorie des fonctions analytiques di 

Lagrange ambedue del 1797. La completa sistemazione 

dell'analisi, all'incirca di come la conosciamo oggi fu invece 

dovuta a Cauchy (con successivi contributi di Weierstrass), 

anch'egli docente all'École Normale, che per questo stesso 

fatto, scrisse tre fondamentali trattati di Analisi: Cours 

d'analyse de l'École Polytechnique (1821), Resumé des leçons 

sur le calcul infinitesimal (1823), Leçons sur le calcul 

différentiel (1829). In queste opere vi è la caratteristica saliente 

del rifiuto del metodo analitico di Lagrange, interamente 

basato sullo sviluppo in serie di Taylor, e l'accettazione del 

metodo indicato da D'Alembert basato sul concetto di limite 

definito nel modo seguente: 


Quando i valori successivi attribuiti ad una 

variabile si avvicinano indefinitamente ad un 

valore fissato così che finiscono con il differire da 

questo per una differenza piccola quanto si vuole,


quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri (...) 

Si dice che una quantità variabile diventa 

infinitamente piccola quando il suo valore 

numerico decresce indefinitamente in maniera da 

convergere verso il limite zero 

e con ciò ci si sbarazzava di quanti avevano inteso 

l'infinitesimo come numero finito molto piccolo. 

Altri matematici, non altrove citati, amplieranno di molto lo 

studio del calcolo infinitesimale nel Settecento, nell'Ottocento 

e nei primi anni del Novecento. Si avranno i contributi di 

grandi matematici tra cui: Rolle (1652 - 1719), J. Riccati (1676 

- 1754), Clairaut (1713 - 1765), De Moivre (1667 - 1754), L. 

Carnot (1753 - 1823), Legendre (1752 - 1833), Fourier (1768 - 

1830), Bolzano (1781 - 1848), Abel (1802 - 1829), Gauss 

(1777 - 1855), Cauchy, Hamilton (1805 - 1865), Dirichlet 

(1805 - 1859), Jacobi (1804 - 1851), Hesse (1811 - 1874), 

Cantor (1845 - 1918), Volterra (1860 -1940) che fondò il 

calcolo funzionale, Ricci-Curbastro (1853 - 1925) che, insieme 

a Levi-Civita, creò il calcolo differenziale assoluto, alla base 

della Relatività Generale di Einstein, Weierstrass (1815 - 

1897), Peano (1858 - 1932), Levi-Civita (1873 - 1941), Hilbert 

(1862 - 1943). 

(6) Fu la Rivoluzione Francese ad obbligare i professori 

universitari a scrivere il contenuto delle loro lezioni e la cosa 

fu e resta di enorme importanza. Ancora oggi solo pochi si 

dedicano a questo compito fondamentale. 

(7) Dal punto di vista del giovane che apprende un tale 

passaggio può diventare traumatico. Dipende dal livello di 

capacità astrattive che si è conquistato al momento in cui si 

affronta un tale studio senza sostegni materiali. Io affrontai lo 

studio dell'analisi matematica ai 18 anni e della meccanica 

analitica a 19 anni e non avevo ancora sviluppate 

completamente le mie facoltà astrattive. Credo che questo 

abbia iniziato a rappresentare un chiaro momento di rottura con 

chi voleva capire ed iniziava a muoversi nei complessi campi 



delle scienze teoriche ed applicate. La riduzione della 

meccanica alla matematica, per di più senza disegni, rese 

particolarmente complessa la disciplina ad un certo tipo di 

approccio alla conoscenza, come ad esempio il mio. 

(8) Lagrange definisce velocità virtuale quella che un corpo in 

equilibrio è disposto a ricevere, quando l'equilibrio viene 

interrotto, cioè la velocità che il corpo assumerebbe realmente 

nel primo istante del suo movimento; ed il principio [dei lavori 

virtuali] consiste in ciò che delle potenze sono in equilibrio 

quando stanno in ragione inversa delle loro velocità virtuali, 

stimate nella direzione di queste potenze. 

(9) Per Lagrange questo principio, visto analiticamente, 

consiste nel fatto che, nel moto dei corpi che agiscono l'uno 

sull'altro, la somma dei prodotti delle masse per le velocità e 

per gli spazi percorsi è un minimo. Il principio fu ricavato da 

Maupertuis nel caso particolare di riflessione e rifrazione della 

luce e quindi non poteva essere generalizzabile finché Euler 

non ha fatto vedere che nelle traiettorie descritte a causa di 

forze centrali, l'integrale della velocità moltiplicato per 

l'elemento della curva origina sempre un massimo o un 

minimo. Lagrange estese questa proprietà, mediante il teorema 

delle forze vive, al moto di di ogni sistema di corpi che 

agiscano l'uno sull'altro in un modo qualsiasi. 

(10) Truesdell così prosegue: 


E' vero che le equazioni di Lagrange conservano la 

stessa forma per tutti gli osservatori, ma non è 

vero che un sistema di equazioni differenziali nella 

forma di Lagrange debba corrispondere 

necessariamente ad un sistema dinamico che 

soddisfaccia le leggi di Euler in un dato sistema di 

riferimento, ed ancor meno in un sistema di 

riferimento inerziale. Con l'oscurare le forze, le 

equazioni di Lagrange nascondono il gruppo 

invariante della meccanica classica, che invece 

risulta immediatamente dalle equazioni di Euler. 

Inoltre le equazioni di Lagrange non riflettono la


geometria spazio-temporale della meccanica 

classica, la cui proprietà fondamentale è la 

possibilità di sommare tra sé vettori localizzati in 

punti differenti. Senza questo lontano parallelismo 

possiamo parlare di energia ma ci risulta 

impossibile costruire le rimanenti grandezze alla 

base della meccanica classica: quantità di moto, 

centro di massa e momento della quantità di moto. 

Vedendo le equazioni di Lagrange non si capisce 

se un sistema possiede quantità di moto o no; in 

cambio le equazioni di Euler mostrano 

immediatamente questa proprietà, risultando più 

generali. 

(11) In tali posti dove fu nominato presidente non sempre 

riscosse l'approvazione dei colleghi come ad esempio 

Delambre che affermò che mai un geometra dovrebbe essere 

messo alla testa di un osservatorio perché egli si disinteresserà 

sempre di tutto meno che di ciò che lo riguarda direttamente. 

(12) Vi è un aneddoto che merita di essere raccontato. Quando 

Laplace presentò a Napoleone la sua Mécanique céleste, 

Napoleone osservò a Laplace che nella sua opera non 

compariva mai Dio. E Laplace rispose che: Sire non ho avuto 

bisogno di tale ipotesi. L'imperatore si rivolse allora a 

Lagrange per sentire anche il suo parere su questa vicenda 

dell'assenza di Dio. Lagrange, sorridendo disse: E' una bella 

ipotesi, che spiega molte cose. 

(13) Questo libro è di difficilissima lettura e la cosa fu fatta 

notare a Laplace da Biot che lo aiutava nella correzione per la 

pubblicazione. Biot racconta che spesso lo stesso Laplace non 

si ritrovava. Spesso compare nel libro l'espressione "E' lasciata 

al lettore la dimostrazione ..." o cose simili. Ricordo (si veda 

nota 7) che il mio professore di analisi matematica, Giuseppe 

Scorza Dragoni, che aveva il suo testo illeggibile, usava 

regolarmente tale espressione in ogni teorema che dimostrava. 

Ebbene, ad ogni espressione che Scorza usava "donde la 

conclusione", dovevo riempire una decina di pagine di conti 

per arrivare a quella banale conclusione. Dico questo come 



quello che ho già detto in nota 7 perché i professori non 

abusino della loro posizione vessando in questo modo delle 

persone che accedono all'università per apprendere e non per 

essere torturati. 

(14) L'equazione di Laplace è una equazione omogenea in 

quanto eguagliata a zero. Nel caso elettrico è possibile definire 

una funzione potenziale V che però non soddisfa l'equazione 

omogenea di Laplace ma l'equazione che l'altro grande 

matematico francese, Poisson, stabilì nel 1812. Tale equazione, 

valida per lo spazio libero da materia attraente, è: 

dove al secondo membro figura la densità ρ della materia nel 

dato punto P preso in considerazione. 

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le scienze fisiche nel settecento - fisica/mente

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