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Esercizi Analisi Dimensionale e Scaling
1. Una sfera lanciata verticalmente con velocità iniziale v, raggiunge una certa altezza h al
tempo t secondo la legge:
1 2
h = − gt + vt
2
a. Mostrare che la legge è dimensionalmente corretta
b. Trovare due variabili adimensionali (πi e π2) e riscrivere l’equazione in termini di tali
variabili. Rappresentare graficamente il modello nel piano π1‐π2. Tale diagramma
adimensionale contiene tutte le informazioni sul modello, qualunque siano i valori
dei parametri g e v?
2. Un fenomeno fisico è descritto dalla generica legge fisica
f
( P,
l,
m,
t,
ρ)
= 0
dove sono definite le quantità dimensionali P (pressione), l (lunghezza), m (massa), t
(tempo) e ρ (densità). Determinare le variabili adimensionali a esse correlate.
3. Sia P la potenza che deve essere applicata per far muovere una nave di lunghezza l, a una
velocità V costante. In prima approssimazione si può supporre che le altre quantità
dimensionali in gioco siano l’accelerazione gravitazionale g, la viscosità μ e la densità ρ
dell’acqua. Dimostrare che
P
ρlV
( )
= f Fr,Re
2 3
V ρ lV
Fr = , Re=
gl
μ
dove Fr è il numero di Froude, (dal nome del costruttore di navi William Froude, del XIX
secolo) e Re è il numero di Reynolds.
4. La potenza P sviluppata da una pompa dipende dal peso specifico w del fluido, l’altezza h
alla quale il fluido è aspirato e la portata volumetrica Q. Effettuare l’analisi dimensionale
per calcolare la dipendenza della portata Q dalle altre variabili.
5. Le onde sulla superficie dell’acqua sono dette onde gravitazionali. La formazione e
propagazione delle onde può essere descritto dalle seguenti variabili fisiche: densità
dell’acqua ρ ([=] M L ‐3 ), accelerazione gravitazionale g ([=] L T ‐2 ), frequenza delle onde ω
([=] T ‐1 ) e numero d’onda k (k = 2 π/λ, essendo λ la distanza tra due onde consecutive sulla
superficie, k [=] L ‐1 ) . Calcolare i gruppi adimensionali presenti nel processo. In particolare
Matematica Applicata – Analisi dimensionale

icavare, se possibile, una dipendenza della frequenza caratteristica dalle altre variabili
fisiche. Commentare eventualmente i risultati.
Nella trattazione precedente non e stato considerato l’eventuale impatto della tensione
superficiale dell’acqua (σ [=] M T ‐2 ). Ripetere l’analisi dimensionale considerando anche
l’impatto di tale quantità dimensionale. Commentare eventualmente le differenze con il
caso precedente.
6. Il processo di emissione di inquinanti da traffico veicolare in centri urbani può essere
descritto in prima approssimazione con un numero limitato di quantita dimensionali, in
particolare, la concentrazione C (adimensionale) di una specie inquinante è influenzata
dalle caratteristiche geometriche della sede stradale (altezza H dei palazzi circostanti e
larghezza l della strada), velocità del vento V ([=] L T ‐1 ) al di sopra degli edifici e diffusività D
([=] L 2 T ‐1 ) della specie inquinante. Determinare i numeri adimensionali che reggono il
processo. Stabilire inoltre quali possono essere i potenziali tempi caratteristici tc e le
lunghezze caratteristiche lc del processo.
7. Il flusso di sangue nelle arterie è supposto essere regolato dalle seguenti grandezze fisiche:
Termine Dimensioni
Q Portata volumetrica L 3 T ‐1
ΔP/L Caduta di pressione per
unità di lunghezza
r Diametro dell’arteria L
M L ‐2 T ‐2
ρ Densità del sangue M L ‐3
μ Viscosità del sangue M L ‐1 T ‐1
Stabilire un set adeguato di gruppi adimensionali per descrivere il processo. A tal proposito
si suggerisce di sviluppare gruppi adimensionali che dipendano linearmente dalle
dimensioni Q e μ. Commentare i risultati.
Uno degli approcci più utilizzati per lo studio di processi in microfluidica è il cosiddetto
“scale‐up”, ovvero studiare il processo investigando in laboratorio su scale più grandi (e
quindi più facilmente accessibili), preservando comunque i valori dei gruppi adimensionali
che si registrano nella realtà. A tal proposito, valutare i gruppi adimensionali nel caso in cui
il diametro r sia 100 volte quello delle arterie. È possibile fare le prove in laboratorio
considerando come fluido campione l’acqua (che ha viscosità e densità analoghe al
sangue)?
Matematica Applicata – Analisi dimensionale

8. Traccia prova intercorso 01/12/07
Un cantilever è una sbarra fissata solo a un’estremità e libera di oscillare.
La variabile dipendente è la frequenza di oscillazione ω ([=] T ‐1 ) e può dipendere dalle
variabili indipendenti: dimensioni geometriche b, d e l (rispettivamente larghezza, spessore
e lunghezza libera della sbarra [=] L), dal modulo elastico E del materiale ([=] M L ‐1 T ‐2 ) e
dalla densità ρ ([=] M L ‐3 ) del materiale.
a) Eseguire l’analisi dimensionale del problema. Si suggerisce di sviluppare gruppi
adimensionali che dipendano linearmente dalle dimensioni ω, b e d.
b) I cantilever sono appendici usate nei microscopi atomici e quindi in tali applicazioni
sono di dimensioni molto piccole. Tramite l’analisi dimensionale, è possibile trarre delle
conclusioni sul comportamento di ω al diminuire delle dimensioni (per rapporti delle
dimensioni geometriche l/d, b/d e l/b costanti)?
c) Proporre una campagna sperimentale adeguata per verificare se le variabili
indipendenti supposte nella modellazione siano sufficienti oppure no.
9. Traccia prova esame 15/02/08
Le emulsioni sono costituite da due fasi liquide la cui miscelazione restituisce un prodotto
finale il cui comportamento in condizioni di flusso può essere molto diverso da quello
osservato per le singole fasi. In virtù della tensione interfacciale ed in presenza di soluzione
di diluite (la percentuale di una componente è molto minore dell’altra), la fase di
concentrazione minore (fase dispersa) si presenta con morfologia globulare, in virtù della
tensione interfacciale. Si suppone che le grandezze fisiche che influenzano il processo in
condizioni di flusso siano:
viscosità fase dispersa μD [=] M L ‐1 T ‐1
viscosità fase matrice μM [=] M L ‐1 T ‐1
dimensioni gocce fase dispersa R [=] L
tensione interfacciale σ [=] M T ‐2
tempo caratteristico del flusso tC [=] T
a) Determinare un insieme di gruppi adimensionali per il processo in esame
b) All’aumentare delle dimensioni delle gocce della fase dispersa, su quali grandezze
fisiche posso operare per garantire l’invariabilità dei gruppi adimensionali?
Matematica Applicata – Analisi dimensionale