Fluidodinamica applicata 4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale ...

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§ 4. ANALISI DIMENSIONALE
§ 4.1. INTRODUZIONE
Fluidodinamica applicata
4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
Misura = confronto (diretto od indiretto) di una grandezza con un’appropriata* grandezza
di riferimento.
*: nel senso che sia commensurabile (ad esempio: una lunghezza di riferimento, ecc.).
La grandezza di riferimento è detta unità di misura. Le unità di misura si dividono in due
gruppi: le unità di misura fondamentali e le unità di misura derivate. Le prime vengono
scelte “arbitrariamente”, mentre le seconde si ottengono dalle prime usando la definizione
delle grandezze coinvolte.
(Ad esempio: se scelgo come unità di misura per le lunghezze il metro, per i tempi il
secondo e per le masse il kilogrammo, allora l’unità di misura delle accelerazioni è il m / s²
(sfrutto u = dx / dt), l’unità di misura delle forze è il Kg m / s² (sfrutto F=m a)).
Un insieme di unità di misura è sufficiente per misurare le grandezze coinvolte in una
classe di fenomeni se le unità di misura di tutte le grandezze coinvolte possono essere
derivate da esse.
(Ad esempio: m (lunghezze), s (tempi), Kg (masse) sono sufficienti per misurare tutte le
grandezze che intervengono in meccanica, ma non sono sufficienti per descrivere
fenomeni che coinvolgono la termodinamica o fenomeni elettrodinamici.
Un insieme di unità di misura che sia sufficiente per una data classe di fenomeni è detto
sistema di unità di misura.
Nota: un sistema di unità di misura non ha bisogno di essere “minimo”;
Ad esempio oltre a m s potrei introdurre il “nodo” per misurare le velocità (anziché usare
1 nodi
m / s). Come contropartita non ho più u = dx / dt, ma u = A dx / dt, con A = .
1855 m / s
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§ 4.2. CLASSI DI SISTEMI DI UNITA’
Fluidodinamica applicata
4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
Un insieme di sistemi di unità di misura che differiscono solo nella grandezza (nel valore)
ma non nella natura delle unità fondamentali è detto classe di sistemi di unità.
Esempio: i sistemi m-s-Kg e cm-s-Kg appartengono alla stessa classe, perché le unità
fondamentali misurano grandezze della stessa natura (una lunghezza, un tempo, una
massa).
Inoltre, dato un sistema di unità, ogni altro sistema nella stessa classe può ottenersi
dividendo le sue unità fondamentali per numeri positivi (nota: numeri puri!). Ad esempio
dal sistema m-s-Kg, ottengo un sistema arbitrario nella classe LMT come segue:
m
unità di misura delle lunghezze =
L
Kg
unità di misura delle masse =
m
s
unità di misura dei tempi =
T
dove L,M,T sono numeri >0 che indicano di quanto le unità fondamentali si sono ridotte
passando dal sistema “originale” ad un altro della stessa classe. (Che sia della stessa
classe è ovvio, poiché le unità fondamentali misurano sempre lunghezze, masse e tempi).
§ 4.3. DIMENSIONI
Se riduco l’unità di misura delle lunghezze di un fattore L, allora il valore numerico delle
misure delle lunghezze sono accresciuti di un fattore L.
Se riduco anche l’unità di misura dei tempi di un fattore T, allora i valori numerici delle
misure dei tempi sono accresciuti di un fattore T.
Inoltre, l’unità di misura delle velocità è ridotta di un fattore
1
LT − .
I cambiamenti delle unità di misura in una stessa classe cambiano i valori numerici delle
misure delle grandezze fisiche in un modo che dipende dalla natura fisica di questa
grandezza.
La funzione che determina il fattore per cui il valore numerico della misura di una
grandezza cambia da un sistema di misura ad un altro della stessa classe è detta funzione
di dimensione ( od anche dimensione) di quella grandezza.
La dimensione di una grandezza è anche la funzione che determina il fattore per cui
cambia la sua unità di misura passando da un sistema di unità ad un altro della stessa
classe.
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Notazione: la dimensione di una grandezza fisica f si indica con [f].
Osservazione: la dimensione di una grandezza dipende dalla classe di sistemi di unità che
considero: nella classe LMT (lunghezza – massa - tempo) la dimensione della massa è
[m] = M, nella classe LFT (lunghezza - forza - tempo) la dimensione della massa è [m] =
−1
+ 2
F
= FL T (la ricavo da F =ma ⇒ m = ).
a
Quantità i cui valori numerici non dipendono dal sistema di unità entro una data classe
sono dette adimensionali (e allora [f] = 1.
Esempio: gli angoli
Esempio: classe LMT. Poiché F =ma e
l
ϕ = ⇒ [ ϕ ] = 1
r
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⎧
⎨
⎩
m ⎯⎯→
aumenta valore misura di M
−2
a ⎯⎯→
aumenta valore misura di LT
(quando le unità di misura sono ridotte di fattori L,M,T), allora F aumenta il valore della sua
2
misura di MLT − , cioè [F] = [m][a]).
§4.4. PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE DI DIMENSIONE
Negli esempi precedenti, le funzioni di dimensione erano tutte monomi (prodotti di
potenze). Questo è vero in generale: le funzioni di dimensione sono monomiali.
Mostriamolo nella classe LMT,, nella quale consideriamo un sistema “originale” (es.: m –
Kg – s) per fattori L,M,T.
Allora la dimensione di una grandezza a sarà funzione di L,M,T:
[a] = f (L,M,T).
Consideriamo due ulteriori sistemi, ottenuti dividendo le unità di misura per fattori L1, M1,
T1 ed L2, M2, T2 rispettivamente. In questi sistemi misuro:
[a = misura nel sistema originale].
Quindi:
f l
r
a1 = af(L1, M1, T1)
a2 = af(L2, M2, T2)
a
a
2
1
ϕ(
L 2 , T2
, M 2 )
=
ϕ(
L , T , M )
1
1
1

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D’altronde le unità di misura del sistema “2” si possono ottenere da quelle del sistema “1”
L 2 M 2 T2
dividendole per , e rispettivamente.
L1
M1
T1
Allora
a
2
⎛ L 2 M 2 T2
⎞
= a1ϕ
⎜ , ,
L1
M1
T ⎟
⎝
1 ⎠
ϕ(
L 2,
M 2 , T2
) ⎛ L 2 M 2 T2
⎞
⇒
= ϕ , ,
( L1,
M1,
T1
) ⎜
L1
M1
T ⎟
ϕ
⎝
1 ⎠
∀L
, M , T , L , M , T
α β γ
Le uniche funzioni f che soddisfano questa equazione sono ϕ = cL M T .
Infatti: deriviamo rispetto a L2:
∂
ϕ(
L 2 , M 2 , T2
)
∂L
1 ∂ ⎛ L 2 M 2 T2
⎞
= ϕ ⎜ , , ⎟
ϕ(
L1,
M1,
T1
) L1
∂L
⎝ L1
M1
T1
⎠
in particolare, per L2 = L1 = L, M2 = M1 = M, T2 = T1 = T, abbiamo:
poniamo
Integrando si ha:
1 ∂ϕ
α
= ⇒
ϕ ∂L
L
∂
∂L
ϕ
Sostituendo si ha per c1 l’equazione:
“Sistema originale”
L1,M1,T1 L2,M2,T2
“1” ”2”
L
2 M 2 T2
, ,
L M T
ϕ(
L,
M,
T)
( L,
M,
T)
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1
1
1
=
1
L
∂
ϕ
∂L
1
( 1,
1,
1)
( 1,
1,
1)
L ϕ
∂
α = (è una costante)
∂
∂ α
α
(log ϕ)
= ⇒ ϕ(
L,
M,
T)
= L
∂L
L
1
1
c
1
2
2
( M,
T)
2

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Ragionando come sopra si ottiene:
∂
∂M
c
1
c
(
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c1(
M 2 , T2
) ⎛ M 2 T2
⎞
= ϕ ⎜ , ⎟ .
c1(
M1,
T1
) ⎝ M1
T1
⎠
( M,
T)
M,
T)
ma f(1,1,1)=1 (evidentemente)
⇒ c
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=
1
M
β,
β
⇒ c ( M,
T)
= M c
1
1
( T)
α
⇒ ϕ(
L,
M,
T)
= c L M
3
2
β
T
β =
γ
2
∂
∂M
c ( 1,
1)
1
γ
( T)
= T c
α β γ
⇒ ϕ(
L,
M,
T)
= L M T ( c3
= 1)
§4.5. GRANDEZZE DIMENSIONALMENTE INDIPENDENTI
k grandezze a1, a2,… ak hanno dimensioni indipendenti se nessuna di esse ha dimensioni
rappresentabili in termini di prodotti di potenze della dimensioni delle altre k-1 grandezze.
Esempio: x, t, u non sono indipendenti:
Esempio: p, r, u non sono indipendenti:
[ x]
[ t]
[ u]
[ p]
[ u]
= L
= T
3
= LT
= LT
−1
= ML
[ ρ]
= ML
Esempio: r, u, F sono dimensionalmente indipendenti: [ ρ]
= ML
x y
Se cerco x, y tali che [ F]
= [ ρ]
[ u]
ho il sistema:
[ F]
[ u]
= LT
−1
−3
−1
−1
T
= MLT
−3
⇒
−2
−2
[ u]
⇒
=
[ x][
t
[ p]
]
−1
= [ ρ][
u]
⎧−
3x
+ y = 1
−2
−3
x −1
x −3x
+ y −y
⎪
LMT = ( ML ) ( LT ) = M L T ⇒ ⎨ x = 1 che non ha soluzione.
⎪
⎩ − y = −2
Date k grandezze dimensionalmente indipendenti è sempre possibile passare da un
sistema di unità di misura ad un altro nella stessa classe facendo sì che il valore della
misura di a1 aumenti di un valore A prefissato mentre i valori delle misure delle altre k-1
grandezze (a1, a2,… ak) restino immutati.
Vediamolo nella classe LMT:
2

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siano a1, a2,… ak dimensionalmente indipendenti e sia
1
α
1
[ α ] = L
M
β
1
T
γ
1
,
4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
[ α ] = L
dove almeno uno fra ai, bi, gi è diverso da zero ∀i.
Cerco L,M,T tali che
⎧L
⎪
⎪L
⎨
⎪...
⎪
⎩L
α
1
α2
αk
M
M
M
β
1
β2
βk
T
T
T
γ
1
γ
2
γk
= A
= 0
= 1
prendo il logaritmo di queste equazioni:
α
α
...
α
1
2
k
log L
log L
log L
+ β
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2
α2
M
β2
T
γ
2
,..., [ α
k
] = L
αk
M
βk
(sono k equazioni in 3 incognite)
1
+ β
+ β
2
log M
k
log M
log M
+ γ
1
+ γ
+ γ
log T
2
k
log T
logT
=
log A
ho così un sistema lineare in 3 incognite (logL, logM, logT).
[Se k

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Dimensionalmente dipendenti ⇔ ∃
Siano:
allora:
Poiché:
L
α
4
M
β
4
T
γ
4
= ( L
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4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
[ a
α
1
x y z
x , y,
z : [ a ] = [ a ] [ a ] [ a ]
] = L
⎧α1x
+ α 2y
+ α 3z
= α
⎪
⇒ ⎨β1x
+ β2
y + β3z
= β4
⎪
⎩γ1x
+ γ 2y
+ γ 3z
= γ 4
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1
M
β
1
T
α
1
γ
1
4
⎡α
Det
⎢
⎢
β
⎢⎣
γ
1
1
1
)
M
x
α
β
γ
β
1
( L
2
2
2
T
α
2
4
γ
1
M
1
ecc...
β
2
T
γ
2
α 3 ⎤
β
⎥
3 ⎥
≠ 0
γ ⎥ 3 ⎦
(altrimenti a1, a2, a3 sarebbero dimensionalmente dipendenti) ⇒∃! Soluzione del sistema
⇒ a1, a2, a3, a4 sono sempre dimensionalmente dipendenti.
[Analogamente: nella classe LMTq (lunghezza-massa-tempo-temperatura) posso avere
al massimo un insieme di 4 grandezze dimensionalmente indipendenti].
§4.6. ANALISI DIMENSIONALE
Consideriamo una “legge” fisica espressa come a=f(a1, a2,…, ak, b1,…, bm), dove a1…ak
sono un insieme di grandezze dimensionalmente indipendenti, mentre b1… bm sono
dimensionalmente dipendenti dalle altre, in modo tale che si possa scrivere:
Definiamo:
Π =
a
p
1
a
a
q
2
... a
r
k
e
1
=
a
[ b ] = [ a
[ b
...
[ b
p
1
1
ed
1
2
m
[ a]
] = [ a
] = [ a
1
p
1
1]
]
anche
p2
1
]
[ a
[ a
pm
1
2
q
1
2 ]
q
2
2 ]
[ a
...[ a
q
m
2 ]
...[ a
...[ a
p q r
= [ a ] [ a ] ...[ a ]
b
a ... a
1
q
1
2
r
1
k
Π,Π1, Π2…Πm sono ovviamente adimensionali.
Π
Π
2
k
=
a
r
1
k ]
r
2
k ]
p
2
1
)
r
m
k ]
a
b
2
q
2
2
y
2
( L
... a
α
3
r
2
k
M
3
β
3
Π
T
m
γ
3
)
z
=
a
pm
1
a
b
m
q
m
2
... a
r
m
k

⎛
⎜
⎝
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p
[ a ] [ a
[ a]
q
] ...[ a ]
Fluidodinamica applicata
[ ] ⎟ Π =
= 1e
così
per gli altri
1
2
k
Sostituiamo nella relazione a=f(a1, a2,…, ak, b1,…, bm):
Π =
a
=
f ( a
p
1
1
a
q
a ... a
, a
2
2
,... a
r
k
k,
=
Π a
1
f ( a
p
1
1
a
a
a
r
... a
1
p
1
2
a
q
2
p
1
k
q
2
... a
a
, b ... b
... a
k
q
2
1 k
r
k
r
2
... a
4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
,..., Π
r
k
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)
=
m
a
p
m
1
a
2
q
m
... a
k
r
m
⎞
⎠
)
=
F(
a
1
, a
2
,... a
k
.
, Π , Π ,... Π )
Adesso c’è il punto chiave: ogni equazione fisica deve essere invariante rispetto al
cambiamento di sistema di unità di misura. Ma a1, a2,…, am sono dimensionalmente
indipendenti, allora posso operare un cambiamento di sistema che cambi il valore della
misura di a1 senza cambiare a2,…, ak:
a1
→ Aa1m,
a 2...
a k → a 2...
a k
F(
Aa1,
a 2...
a k , Π1,
Π 2...
Π m ) = F(
a1,
a 2...
a k , Π1,
Π 2...
Π m )
Π
⇒F non dipende da a1. Analogamente non dipende da a2, a3… ak, quindi ho infine:
Π = Φ(
Π1,
Π 2...
Π m ).
o anche tornando alle variabili originali,
a = a
p
1
a
q
2
... a
r
k
⎛
Φ⎜
⎜
⎝ a
p
1
1
a
b
1
q
1
2
... a
r
1
k
,
a
p
2
1
a
b
2
q
2
2
... a
r
2
k
Π
,...,
a
E’ così dimostrato il cosidetto teorema Π, che può essere enunciato a parole come segue:
“Una relazione fisica fra una grandezza dimensionale (a) e molti “parametri di governo”
dimensionali (le grandezze a1,…, ak, b1,…, bm da cui dipende a) può essere riscritta come
una relazione fra una grandezza adimensionale (Π) ed un numero di grandezze
adimensionali (Π1, Π2… Πm) pari al numero dei parametri di governo dimensionalmente
dipendenti”.
Utilità: passo da una funzione di k+m variabili (la f(a1,…, ak, b1,…, bm)) ad una funzione di
sole m variabili (la Φ(Π1, Π2…Πm)).
pm
1
a
b
m
q
m
2
... a
1
r
m
k
2
⎞
⎟
⎠
m

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§4.7. SIMILITUDINE FISICA
Fluidodinamica applicata
4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
Due fenomeni fisici sono detti fisicamente simili se hanno la stessa rappresentazione in
termini dei parametri di governo adimensionali. (in breve: hanno gli stessi valori di Π1,
Π2…Πm e conseguentemente di Π).
Esempio:
[r,m] U sfera (di raggio D) investimento (con velocità U)
in un fluido viscoso incompressibile (densità r,
viscosità m).
La forza che il fluido esercita sulla sfera (la resistenza ) è F=F(D,U,r,m)
−2
[ F]
= MLT [ D]
= L ⎫
−1
[ U]
= LT
⎪
−3
⎬ U,D,r sono dimensionalmente indipendenti
[ ρ]
= ML ⎪
−1
−1
[ µ ] = ML T ⎪
⎭
allora:
F
2 2 Π = 2 2
Π = [ F]
= [ ρ][
D]
[ U]
⎫ ρU
D
⎬ ⇒
[ ρ]
= [ ρ][
D][
U]
⎭
µ
Π1
=
ρUD
2 2 ⎛ µ ⎞
ed ho Π = Φ(
Π1
) ovvero [ F]
= ρU
D Φ⎜
⎟
⎝ ρUD
⎠
1 ρUD
Re = = è detto numero di Reynolds
Π1
µ
F Π
C R = = è detto coefficiente di resistenza, ed ho C
1 2 2
R = Φ * (Re)
ρU
D 2
2
Due sfere in moto in fluidi diversi a velocità diversa ed avendo diversi diametri definiscono
⎛ ρUD ⎞
due fenomeni fisicamente simili se il numero di Reynolds ⎜ ⎟ è lo stesso nei due casi.
⎝ µ ⎠
1
Log CR qui C R ≈ (per Re ≤0.5)
Re
Log Re
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4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
§4.8. ANALISI DIMENSIONALE: EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES
Equazioni di Navier-Stokes per fluidi incomprimibili:
⎧∇
⋅ u = 0
⎪
⎨ ⎛ ∂u
⎞
⎪ρ
⋅⎜
+ ( u ⋅ ∇)
u ⎟ = −∇p
+ µ ∇
⎩ ⎝ ∂t
⎠
u( x,
t)
→ U per x → −∞
u + ρ ⋅ ∇(
−gx
)
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0 e1
u ( x,
t)
= 0 se x è sulla superficie del corpo.
La soluzione del mio problema è: u, p in funzione di: x, t, U0, L, r0, m, g, cioè ho:
ma
Curiosità: se pongo C*
lim * (Re) Φ =
, allora, per Re “abbastanza grandi”
u
u
u
1
2
3
p = f
= f ( x , x , x , t,
U , L , µ , ρ,
g)
= f ( x , x , x , t,
U , L , µ , ρ,
g)
= f ( x , x , x , t,
U , L , µ , ρ,
g)
p
1
2
3
( x , x , x , t,
U , L , µ , ρ,
g)
1
1
Re→+∞
2 2
Φ * (Re) ≈ C*
⇒ C R ≈ C * (costante) ⇒ F ≈ ρU
D ⋅ C*
.
C* è il valore che forniscono le aziende automobilistiche….
U0 e1
1
1
2
[ u
2
i
[ p]
2
2
3
3
3
3
] = LT
= ML
−1
0
−1
0
T
0
0
−2
1
0
2
L0
0
0
0
3

posto:
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[ U
[ x
0
0
[ g]
i
[ t]
= T
] = LT
[ L ] = L
0
] = L
[ µ ] = ML
−1
= LT
−1
T
−2
[ ρ ] = ML
−1
−3
ottengo nelle equazioni:
dove:
u i
u i*
=
U 0
p
p*
=
ρ U
0
0
Fluidodinamica applicata
4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
x i
x i*
=
L
t
t*
=
U 0
L
⎧∇
⋅ u*
= 0
⎪
⎨∂u
*
⎪ + ( u * ⋅∇*)
u*
= −∇ * p * +
⎩ ∂t
*
U0,L0,r dimensionalmente indipendenti
⎡
⎢
Re
⎢
⎢ F
⎢
⎢
⎣
µ ⎤
=
ρ ⎥
0U
0L
0 ⎥
g
= ⎥
⎛ U ⎞ ⎥ 0
⎜ ⎟
⎝ L ⎠
⎥
⎦
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0
1
Re
∇ *
2
−1
−1
1
u * + ⋅∇
* ( −x
3*)
F
2
ρ0U
0L
0 U 0
Re =
F =
µ
gL 0
n° di Reynolds n° di Froude
↑ ↑
“termini inerziali” “termini inerziali”
---------------------------------------------------------------- ------------------------------ ---------------------------------------------------------------
“termini viscosi” “termine gravitazionale” (forze esterne)
1 2
Approssimazioni: Re>>1 ⇒ ∇ u * trascurabile ⇒ ottengo le equazioni di un fluido
Re
ideale (non viscoso).
Ma attenzione: le equazioni di Eulero sono del primo ordine (compaiono le derivate prime
soltanto), quelle di Navier-Stokes sono del secondo ordine ( in più compare u
2
∇ ) quindi
ammettono diverse condizioni al contorno:

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Fluidodinamica applicata
4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
Eulero u⋅n = 0 (componente normale, non c’è flusso attraverso la parete)
Navier-Stokes u = 0 (tutte le componenti della velocità sono nulle).
⇒ per quanto sia grande Re, sulla parete, e quindi “vicino” ad essa , Eulero e Navie-
Stokes differiscono. Quanto è grande questa regione?
Interpretiamo quello che abbiamo trovato:
⇒
ter min e
" ter min e
n
ρU
inerziale"
L 0
≈
viscos
o"
U
µ
L
⎛ ∂U
⎞
ρ ⋅⎜
+ ( u ⋅ ∇)
u ⎟ = −∇p
+
⎝
∂t
⎠
ρU
ordine di grandezza:
≈
0
L0
ρU
0L
=
µ
" 0
2
0
0
2
0
= Re
2
µ
∇
u
µ U
ordine di grandezza:
≈
0
L
2
0
Allora consideriamo la zona “viscosa” intorno alla parete. Vogliamo che lì i termini viscosi
“contino” come gli altri.
In questa zona:
parete impermeabile
ferma
d zona “viscosa”
µ U 0 µ U
⇒ imponiamo che sia ≈ 2 2
δ L
2
0
U
≈ ρ
δ
2
0
u 2
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Data ultima revisione 01/11/00 Autore: Michele Iovieno
µ ∇
,

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⇒
δ
2
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4.1 Fluidi Viscosi (Analisi Dimensionale)
µ
≈
ρ U L
δ
⇒
L
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Data ultima revisione 01/11/00 Autore: Michele Iovieno
=
1
Re
2
L 0 0 0 0
0
e, per Re → + ∞ , diventa sempre più sottile).
IN BREVE:
1) La rappresentazione adimensionale mi fornisce
≈
1
Re
u1*, u 2*,
u 3*,
p*)
= Φ(
x1*,
x 2*,
x 3*,
t*,
Re, F)
due flussi sono fisicamente simili se x1 *, x 2*,
x 3*,
t*,
Re, F sono gli stessi.
Ma: x1 *, x 2*,
x 3*,
t * uguali ⇔ similitudine geometrica fra i domini nei quali si sviluppano i
flussi.
ρU
0
Re uguale: Re =
0L
è il vero parametro che definisce la similitudine fisica, ed è l’unico
µ
parametro che compare in un flusso incomprimibile.
F: n° di Froude. Poiché rg può sempre essere compreso entro p, ponendo pˆ = p − ρgx
3 ,
non c’è mai, tranne in situazioni particolari, come i flussi con superficie libera (cioè
superfici di separazione di due fluidi diversi).
2) Mi fornisce un criterio per eventuali semplificazioni del problema.
Caso ulteriore:
e2
U0 e1 oscilla con periodo t. (uCORPO =
2πt
i
τ
allora u *, u *, u *, p*)
= Φ(
x *, x *, u *, t*,
Re, St,
F)
dove ora
( 1 2 3
1 2 3
St
τU
0
= n° di Strouhal.
L 0
u e ).
⇒cambia solo U(x,t) = uCORPO per x sulla superficie
L0 del corpo