x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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Nicolò Beverini
Il periodo di rivoluzione T è legato al valore della velocità v lungo
l’orbita e al raggio R dell’orbita stessa dalla relazione vT = 2!R , per cui
v = 2!R T . Sostituendo in [10.6] si ottiene la relazione:
( )2
G mM 2!R T
= m 2
R R
che, con semplici manipolazioni algebriche, diviene:
[10.7]
T 2 2
4!
= 3
R GM
Inserendo al posto di M la massa del Sole e al posto di R la distanza
di un pianeta dal Sole, la formula [10.7] calcola il periodo di rivoluzione del
pianeta (nel conto naturalmente c’è da prestare attenzione ad utilizzare unità
di misura coerenti tra loro!). La stessa formula, inserendo per M il valore
della massa della Terra, permette di calcolare quale sia il periodo di rivoluzione
di un satellite artificiale che ruoti intorno alla Terra su orbita circolare
ad una distanza R dal suo centro.
Calcoliamo come esempio il raggio dell’orbita di un satellite televisivo
geostazionario. Con geostazionario si intende un satellite che resta sempre
fisso sopra la verticale di un punto sulla superficie terrestre sito lungo
l’equatore, effettuando quindi una rivoluzione completa intorno alla Terra
esattamente nello stesso tempo che impiega la Terra a ruotare intorno a se
stessa). Nella [10.7] a T va sostituito il valore di 24 ore (pari a 86 400 s) ed a
M la massa MT della Terra. Si trova:
R =
GM TT 2
3 = 6,67 "10#11 " 5,98"10 24 " 86400 2
3 = 4.225"10 7 m = 42 250 km .
4! 2
4! 2
Un satellite geostazionario orbita dunque intorno alla Terra ad un’altezza
(rispetto alla superficie terrestre) di (42 250 – 6 570) km = 35 880 km.
10.4 L’energia potenziale gravitazionale
La forza di gravitazione è una forza conservativa. Per un corpo che si
trova in un campo gravitazionale si può quindi definire una energia potenziale.
Ricordando che l’energia potenziale in un punto P è definita (§ 7.3)
come il lavoro cambiato di segno fatto dalle forze del campo per spostare un
corpo dalla posizione di riferimento, in cui si pone zero l’energia, al punto
P. Come si è detto nel § 7.3, in generale si usa assumere quale punto di riferimento
in cui porre lo zero dell’energia potenziale, un punto in cui la forza
sia nulla. Se guardiamo la formula [10.1], vediamo che la forza gravitazionale
non va mai esattamente a zero, ma che, quanto più cresce la distanza
r tra i due corpi, diviene sempre più piccolo il modulo della forza; in
termini matematici, si dice che la forza tende a zero per r ' *. Si pone perciò
pari a zero l’energia potenziale “all’infinito”, cioè U ( r ! " ) = 0 o, come si
scrive più usualmente, U !
( ) = 0.