x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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Nicolò Beverini
Applicando la definizione di velocità, la velocità con cui si muove il
!
! d r !
CM
centro di massa è v CM = . Sostituiamo in tale espressione il valore di r CM
dt
dato dalla [9.2]; si ottiene:
!
! d r CM 1 d
[9.3] v CM = =
dt M dt
m !
! ir
i
i = 1
M
m d !
! i r
i
i =
dt
1
M
m !
! iv
i
i ,
!
essendo v i = d !
r i la velocità della parte i-esima.
dt
Dalla [9.3] si ricava:
[9.4]
M ! !
v CM = ! miv i
i
! !
Poiché ! miv i
i = q i = !
! Q rappresenta la quantità di moto totale del
i
corpo esteso, la [9.4] può essere interpretata dicendo che la quantità di moto
totale di un corpo esteso è uguale a quella di un corpo puntiforme di massa
M che si muova solidale con il centro di massa:
[9.5]
!
Q = M !
v CM .
Calcoliamo ora il valore dell’accelerazione
!
del centro di massa. Per
! d v CM
definizione d’accelerazione, a CM = e quindi:
dt
!
! d v CM 1 d
[9.6] a CM = =
dt M dt
m !
! iv
i
i = 1
M
m d !
! i v
i
i =
dt
1
M
m !
! ia
i
i
!
essendo a i = d !
v i l’accelerazione della parte i-esima.
dt
!
Se f i rappresenta la risultante delle forze agenti sulla parte i-esima
del corpo esteso,
!
applicando ad ogni parte il secondo principio della dina-
!
mica si ha che f i = mia i . Si ottiene quindi:
[9.7]
M ! ! !
a CM = ! mia i = ! f i .
Nel considerare le forze agenti sulla parte i-esima, è utile distinguere
tra le forze dovute all’interazione con le altre porzioni del corpo ! stesso, che
(int )
diremo quindi forze interne, la cui risultante indichiamo con f i , e quelle
relative alle interazioni
!
con il mondo esterno, che diremo forze esterne, la
(est )
cui risultante è f i . Eseguiamo ora la somma di tutte le forze agenti su
tutto il corpo esteso, suddividendole tra interne ed esterne:
! ! !
(int )
(est )
[9.8]
! f
i
i = ! f
i
i + ! f
i
i .
! (int )
Il 3° principio della dinamica ci assicura che ! f
i
i = 0. In tale
somma compare, infatti, la forza agente sulla parte i dovuta all’interazione
con la parte j , ma compare anche la forza agente sulla parte j dovuta alla
parte i, che è uguale in modulo ed opposta in direzione (principio d’azione e
reazione); di conseguenza i termini della somma si elidono tutti due a due.
Si può quindi scrivere la [9.7] nella forma:
i
i