x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa
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forma:<br />
In formula:<br />
[7.4]<br />
La relazione [7.3]:<br />
[7.5]<br />
Elementi <strong>di</strong> fisica<br />
U ( B ) !U A<br />
U ( A)<br />
= !LO "A<br />
( ) può essere riscritta nella<br />
B A<br />
( ) = ! Ecin ! Ecin<br />
A B<br />
U ( A)<br />
+ Ecin =U ( B ) + Ecin che sintetizza il cosiddetto principio <strong>di</strong> conservazione dell’energia meccanica:<br />
QUANDO UN CORPO SI MUOVE IN UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO, IN<br />
ASSENZA DI FORZE DISSIPATIVE, LA SUA ENERGIA MECCANICA TOTALE,<br />
DEFINITA COME LA SOMMA, ISTANTE PER ISTANTE, DELL’ENERGIA<br />
POTENZIALE E DELL’ENERGIA CINETICA, SI MANTIENE COSTANTE.<br />
7.4 Energia potenziale elastica.<br />
Negli esempi fatti fin qui, abbiamo sempre fatto riferimento al moto <strong>di</strong><br />
un corpo soggetto alla forza peso (attenzione: parlando <strong>di</strong> forza peso e <strong>di</strong> energia<br />
potenziale gravitazionale, facciamo qui riferimento alla forza gravitazionale<br />
dovuta all’attrazione della Terra che agisce su un corpo in prossimità<br />
della superficie terrestre; la forma generale della forza <strong>di</strong> gravitazione e<br />
dell’energia potenziale gravitazionale la stu<strong>di</strong>eremo più avanti nel cap. 10).<br />
In base alle considerazioni già fatte nel § 6.4, il lavoro fatto dalla forza peso<br />
per portare un corpo <strong>di</strong> massa m da un punto A ad un punto B <strong>di</strong>pende esclusivamente<br />
dalla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> quota esistente tra i due punti. Se si in<strong>di</strong>cano<br />
con hA e hB le rispettive altezze rispetto ad un livello <strong>di</strong> riferimento<br />
(totalmente arbitrario, essendo la forza peso costante in qualunque punto),<br />
è LA'B = mg (hA – hB ) e quin<strong>di</strong> in base alla definizione [7.2] si ha:<br />
U ( B ) !U ( A)<br />
= mg ( hB !h A ). L’energia potenziale <strong>di</strong> un punto, posto ad una<br />
quota h rispetto al livello assunto come livello <strong>di</strong> zero, vale mgh.<br />
Applichiamo ora la definizione <strong>di</strong> energia potenziale al caso <strong>di</strong> un<br />
corpo in movimento ad opera <strong>di</strong> una forza elastica. Consideriamo per esempio,<br />
come nel § 6.6 un corpo <strong>di</strong> massa m, appoggiato su un piano orizzontale,<br />
collegato ad un punto fisso da una molla <strong>di</strong> costante elastica k e <strong>di</strong><br />
lunghezza a riposo l0. Abbiamo già mostrato che la forza elastica è una forza<br />
conservativa; si potrà perciò definire per il corpo in questione un’energia<br />
potenziale elastica. Quale riferimento (punto in cui assumiamo un valore<br />
zero dell’energia potenziale) pren<strong>di</strong>amo il punto in cui la molla è a riposo<br />
(f = 0), cioè quando l’allungamento x è nullo.<br />
Usando la definizione <strong>di</strong> energia potenziale [7.4], otteniamo che il valore<br />
dell’energia potenziale per un allungamento della molla x0 vale:<br />
[7.6]<br />
x 0<br />
U ( x 0 ) = ! " ( !kx ) dx = k x # &<br />
$<br />
% 2 '<br />
0<br />
x 0<br />
( 0<br />
= 1<br />
2 kx 2<br />
0<br />
Si noti che sia che la molla sia allungata (x >0), sia che sia compressa (x<br />