x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

forma:
In formula:
[7.4]
La relazione [7.3]:
[7.5]
Elementi di fisica
U ( B ) !U A
U ( A)
= !LO "A
( ) può essere riscritta nella
B A
( ) = ! Ecin ! Ecin
A B
U ( A)
+ Ecin =U ( B ) + Ecin che sintetizza il cosiddetto principio di conservazione dell’energia meccanica:
QUANDO UN CORPO SI MUOVE IN UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO, IN
ASSENZA DI FORZE DISSIPATIVE, LA SUA ENERGIA MECCANICA TOTALE,
DEFINITA COME LA SOMMA, ISTANTE PER ISTANTE, DELL’ENERGIA
POTENZIALE E DELL’ENERGIA CINETICA, SI MANTIENE COSTANTE.
7.4 Energia potenziale elastica.
Negli esempi fatti fin qui, abbiamo sempre fatto riferimento al moto di
un corpo soggetto alla forza peso (attenzione: parlando di forza peso e di energia
potenziale gravitazionale, facciamo qui riferimento alla forza gravitazionale
dovuta all’attrazione della Terra che agisce su un corpo in prossimità
della superficie terrestre; la forma generale della forza di gravitazione e
dell’energia potenziale gravitazionale la studieremo più avanti nel cap. 10).
In base alle considerazioni già fatte nel § 6.4, il lavoro fatto dalla forza peso
per portare un corpo di massa m da un punto A ad un punto B dipende esclusivamente
dalla differenza di quota esistente tra i due punti. Se si indicano
con hA e hB le rispettive altezze rispetto ad un livello di riferimento
(totalmente arbitrario, essendo la forza peso costante in qualunque punto),
è LA'B = mg (hA – hB ) e quindi in base alla definizione [7.2] si ha:
U ( B ) !U ( A)
= mg ( hB !h A ). L’energia potenziale di un punto, posto ad una
quota h rispetto al livello assunto come livello di zero, vale mgh.
Applichiamo ora la definizione di energia potenziale al caso di un
corpo in movimento ad opera di una forza elastica. Consideriamo per esempio,
come nel § 6.6 un corpo di massa m, appoggiato su un piano orizzontale,
collegato ad un punto fisso da una molla di costante elastica k e di
lunghezza a riposo l0. Abbiamo già mostrato che la forza elastica è una forza
conservativa; si potrà perciò definire per il corpo in questione un’energia
potenziale elastica. Quale riferimento (punto in cui assumiamo un valore
zero dell’energia potenziale) prendiamo il punto in cui la molla è a riposo
(f = 0), cioè quando l’allungamento x è nullo.
Usando la definizione di energia potenziale [7.4], otteniamo che il valore
dell’energia potenziale per un allungamento della molla x0 vale:
[7.6]
x 0
U ( x 0 ) = ! " ( !kx ) dx = k x # &
$
% 2 '
0
x 0
( 0
= 1
2 kx 2
0
Si noti che sia che la molla sia allungata (x >0), sia che sia compressa (x