x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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Nicolò Beverini
7.2 Forze conservative e forze dissipative.
Fig. 7-1
Consideriamo un corpo che si muova in una zona di spazio in cui è
definito un campo di forze interagente con tale corpo. Come primo esempio,
esaminiamo il caso di un corpo di massa m che si muove nel campo generato
dalla forza peso e consideriamo un suo spostamento da un punto A ad
un punto B (Fig. 7-1). Questo stesso spostamento da A a B può essere effettuato
lungo diversi itinerari: il corpo si può muovere lungo il segmento di
retta che congiunge A con B (percorso I ), ma potrebbe invece spostarsi
dapprima in orizzontale fino al punto C per poi salire verticalmente da C a
B (percorso II) oppure percorrere un’altra strada di profilo qualunque (percorso
III ).
Nel § 6.4 si è calcolato che il lavoro fatto nel caso del percorso I vale
LI = mg %h = mg (hA – hB). Nel caso del percorso II il lavoro complessivo è la
somma del lavoro per andare da A a C in direzione orizzontale, che è nullo,
e quello per andare da C a B in verticale, che vale mg (hC – hB) = mg (hA – hB);
troviamo quindi che LII è uguale a LI . Un po’ più complicato è calcolare il
lavoro nel caso del percorso III, ma si può dimostrare che il risultato è ancora
LIII = LI = LII = mg (hA – hB). In definitiva, si trova che, qualunque sia il
percorso prescelto, il lavoro fatto dalla forza di gravità in uno spostamento
da un punto A ad un altro punto B dipende esclusivamente da quale sia il
punto iniziale ed il punto finale, mentre risulta essere indipendente dal
particolare percorso.
E’ immediato dimostrare che, se è vero che il lavoro effettuato dalle
forze del campo per uno spostamento da A a B è identico qualunque sia la
strada percorsa, deve essere vero anche che il lavoro compiuto da tali forze
in un qualsiasi cammino chiuso (quando cioè il punto d’arrivo coincide con
il punto di partenza) è sempre nullo. Osserviamo in primo luogo che, se
LA'B è il lavoro fatto in uno spostamento da A a B lungo un dato percorso
da una forza posizionale, il lavoro LB'A per tornare indietro lungo la stessa
strada da B a A è uguale, cambiato di segno, a LA'B, cioè LB'A = – LA'B; lo
spostamento, infatti, cambia di segno, mentre la forza resta immutata. Si
può pensare di spezzare il cammino chiuso in due parti, considerandolo
come la somma di uno spostamento I da A a P e quindi di uno spostamento
II da P ad A (Fig. 7-2). Il lavoro fatto sull’intero cammino chiuso, partendo
I
LA !P
da A e tornando in A, LA'A è la somma del lavoro fatto nello sposta-
II
mento I da A a P e del lavoro fatto nello spostamento II da P ad A. Ma,
L P !A