x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa
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56<br />
Nicolò Beverini<br />
7.2 Forze conservative e forze <strong>di</strong>ssipative.<br />
Fig. 7-1<br />
Consideriamo un corpo che si muova in una zona <strong>di</strong> spazio in cui è<br />
definito un campo <strong>di</strong> forze interagente con tale corpo. Come primo esempio,<br />
esaminiamo il caso <strong>di</strong> un corpo <strong>di</strong> massa m che si muove nel campo generato<br />
dalla forza peso e consideriamo un suo spostamento da un punto A ad<br />
un punto B (Fig. 7-1). Questo stesso spostamento da A a B può essere effettuato<br />
lungo <strong>di</strong>versi itinerari: il corpo si può muovere lungo il segmento <strong>di</strong><br />
retta che congiunge A con B (percorso I ), ma potrebbe invece spostarsi<br />
dapprima in orizzontale fino al punto C per poi salire verticalmente da C a<br />
B (percorso II) oppure percorrere un’altra strada <strong>di</strong> profilo qualunque (percorso<br />
III ).<br />
Nel § 6.4 si è calcolato che il lavoro fatto nel caso del percorso I vale<br />
LI = mg %h = mg (hA – hB). Nel caso del percorso II il lavoro complessivo è la<br />
somma del lavoro per andare da A a C in <strong>di</strong>rezione orizzontale, che è nullo,<br />
e quello per andare da C a B in verticale, che vale mg (hC – hB) = mg (hA – hB);<br />
troviamo quin<strong>di</strong> che LII è uguale a LI . Un po’ più complicato è calcolare il<br />
lavoro nel caso del percorso III, ma si può <strong>di</strong>mostrare che il risultato è ancora<br />
LIII = LI = LII = mg (hA – hB). In definitiva, si trova che, qualunque sia il<br />
percorso prescelto, il lavoro fatto dalla forza <strong>di</strong> gravità in uno spostamento<br />
da un punto A ad un altro punto B <strong>di</strong>pende esclusivamente da quale sia il<br />
punto iniziale ed il punto finale, mentre risulta essere in<strong>di</strong>pendente dal<br />
particolare percorso.<br />
E’ imme<strong>di</strong>ato <strong>di</strong>mostrare che, se è vero che il lavoro effettuato dalle<br />
forze del campo per uno spostamento da A a B è identico qualunque sia la<br />
strada percorsa, deve essere vero anche che il lavoro compiuto da tali forze<br />
in un qualsiasi cammino chiuso (quando cioè il punto d’arrivo coincide con<br />
il punto <strong>di</strong> partenza) è sempre nullo. Osserviamo in primo luogo che, se<br />
LA'B è il lavoro fatto in uno spostamento da A a B lungo un dato percorso<br />
da una forza posizionale, il lavoro LB'A per tornare in<strong>di</strong>etro lungo la stessa<br />
strada da B a A è uguale, cambiato <strong>di</strong> segno, a LA'B, cioè LB'A = – LA'B; lo<br />
spostamento, infatti, cambia <strong>di</strong> segno, mentre la forza resta immutata. Si<br />
può pensare <strong>di</strong> spezzare il cammino chiuso in due parti, considerandolo<br />
come la somma <strong>di</strong> uno spostamento I da A a P e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> uno spostamento<br />
II da P ad A (Fig. 7-2). Il lavoro fatto sull’intero cammino chiuso, partendo<br />
I<br />
LA !P<br />
da A e tornando in A, LA'A è la somma del lavoro fatto nello sposta-<br />
II<br />
mento I da A a P e del lavoro fatto nello spostamento II da P ad A. Ma,<br />
L P !A