x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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50 Nicolò Beverini Le forze, per cui vale la legge [6.11] (nota anche come legge di Hooke), sono dette forze elastiche e costituiscono una classe di forze che si incontrano assai di frequente in fisica. Calcoliamo ora quale sia il lavoro effettuato dalla forza elastica su un corpo ad esso collegato, quando la molla passa da una lunghezza l1 = l0 + x1 ad una lunghezza l2 = l0 + x2, cioè quando l’allungamento x passa dal valore x1 al valore x2. Poiché la forza non è costante durante lo spostamento, si deve applicare la definizione generale [6.10] e calcolare perciò l’integrale: [6.13] x 2 ! L = f d x = x 1 x 2 ! x 1 2 # x & ( "kx )d x = " k % $ 2 ' x 2 ( x1 = " kx 2 2 2 + kx 2 1 2 . Effettuiamo in particolare il calcolo del lavoro fatto da una molla di costante elastica k, che inizialmente è allungata di un tratto x0, per riportarsi nella posizione d’equilibrio (x =0). Si ottiene: [6.14] 0 " ( ) L = !kx 6.7 Il teorema dell’energia cinetica x 0 d x = !k x # & $ % 2 ' 0 ( x0 = 1 2 kx 2 0 Si è visto in precedenza nel § 6.2 che lavoro ed energia cinetica sono grandezze omogenee tra loro. Esiste in effetti una relazione precisa tra il lavoro L eseguito da una forza ƒ su un corpo e la variazione di energia cinetica che questo subisce. Questa relaione è una diretta conseguenza della 2a ! legge della dinamica f = m ! a . Sappiamo infatti che la 2 a legge della dinamica può infatti essere scritta nella forma: [6.15] ! f = m ! Calcoliamo, usando la definizione [6.10], il lavoro dL fatto dalla forza f per spostare un corpo di una quantità infinitesima d ! s : [6.16] d L = ! f ! d ! s = m ! a ! d ! ! d v ! d s = m ! s = m dt ! v ! d ! v , dove si è applicata la definizione di velocità d ! v dt ! v = d ! s dt . Integrando la [6.16] sull’intero spostamento ed indicando con A e B il punto di partenza e il punto d’arrivo e con vA e vB i rispettivi valori della velocità: ! [6.17] L = f ! d ! B " s = m ! v ! d ! vB " v = 1 2 vB #$ 2 mv % & vA A v A = 1 2 mv 2 1 B ' 2 mv 2 (B ) (A) A = Ecin ' Ecin
Elementi di fisica Il risultato dimostra che, quando un corpo si sposta sotto l’azione di una forza, la sua energia cinetica varia di una quantità pari al lavoro eseguito dalla forza. La relazione [6.18] (B ) (A ) L = Ecin ! Ecin prende il nome di teorema dell’energia cinetica ed ha un valore assolutamente generale. 6.8 Applicazioni del teorema dell’energia cinetica. L’utilizzo del teorema dell’energia cinetica permette di risolvere in modo semplice molti problemi, evitando le difficoltà matematiche che assai spesso si dovrebbero afffrontare per risolvere completamente l’equazioni del moto. Vediamo qui alcuni esempi. a) Un’automobile si muove lungo una traiettoria orizzontale con velocità costante v0. Ad un certo istante si comincia a frenare, applicando una forza F costante, diretta in senso contrario al moto. Quanta strada fa l’auto prima di fermarsi? Per rispondere alla domanda nella maniera più semplice, senza bisogno di trovare esplicitamente la legge oraria del moto, possiamo applicare il teorema dell’energia cinetica. All’istante iniziale l’auto ha un’energia cinetica 1 2 mv 0 2 ; quando l’auto si ferma, la sua energia cinetica è nulla. La variazione d’energia cinetica è quindi tità 1 2 mv 2 0 ). !Ecin = " 1 2 mv 2 0 (essa diminuisce infatti di una quan- D’altra parte, se indichiamo con l lo spazio percorso dall’auto durante la frenata, il lavoro fatto dalla forza costante F è L = – F l (il segno negativo è dovuto al fatto che la forza è diretta in senso opposto al moto). Applicando il teorema dell’energia cinetica, si ha l’eguaglianza l = m 2F v 2 0 . !Fl = ! 1 2 mv 0 2 , ovvero Il risultato ottenuto dimostra che lo spazio necessario a fermare un’auto è proporzionale al quadrato della sua velocità iniziale; se questa raddoppia, lo spazio di frenata si moltiplica per quattro. Consideriamo ora il caso del moto di un corpo che scivola giù da un piano inclinato in assenza d’attrito: b) Un corpo scivola senza attrito lungo un piano inclinato, partendo da fermo da un’altezza h0. Qual è la sua velocità, quando arriva in fondo al piano inclinato? Il corpo è soggetto alla forza peso ed alla forza di reazione vincolare del piano, che come abbiamo visto nel § 5.4 ha direzione ortogonale al piano stesso. Visto che il corpo si muove sul piano, l’angolo tra la forza di reazione vincolare e la direzione del moto è sempre 90°; ne consegue che il lavoro fatto da tale forza è sempre nullo. Si deve quindi considerare solo il lavoro effettuato 51
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