x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa
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50<br />
Nicolò Beverini<br />
Le forze, per cui vale la legge [6.11] (nota anche come legge <strong>di</strong> Hooke),<br />
sono dette forze elastiche e costituiscono una classe <strong>di</strong> forze che si incontrano<br />
assai <strong>di</strong> frequente in fisica.<br />
Calcoliamo ora quale sia il lavoro effettuato dalla forza elastica su un<br />
corpo ad esso collegato, quando la molla passa da una lunghezza l1 = l0 + x1<br />
ad una lunghezza l2 = l0 + x2, cioè quando l’allungamento x passa dal valore<br />
x1 al valore x2.<br />
Poiché la forza non è costante durante lo spostamento, si deve applicare<br />
la definizione generale [6.10] e calcolare perciò l’integrale:<br />
[6.13]<br />
x 2<br />
!<br />
L = f d x =<br />
x 1<br />
x 2<br />
!<br />
x 1<br />
2<br />
# x &<br />
( "kx )d x = " k %<br />
$ 2 '<br />
x 2<br />
( x1<br />
= " kx 2<br />
2<br />
2 + kx 2<br />
1<br />
2 .<br />
Effettuiamo in particolare il calcolo del lavoro fatto da una molla <strong>di</strong><br />
costante elastica k, che inizialmente è allungata <strong>di</strong> un tratto x0, per riportarsi<br />
nella posizione d’equilibrio (x =0). Si ottiene:<br />
[6.14]<br />
0<br />
"<br />
( )<br />
L = !kx<br />
6.7 Il teorema dell’energia cinetica<br />
x 0<br />
d x = !k x # &<br />
$<br />
% 2 '<br />
0<br />
( x0<br />
= 1<br />
2 kx 2<br />
0<br />
Si è visto in precedenza nel § 6.2 che lavoro ed energia cinetica sono<br />
grandezze omogenee tra loro. Esiste in effetti una relazione precisa tra il lavoro<br />
L eseguito da una forza ƒ su un corpo e la variazione <strong>di</strong> energia cinetica<br />
che questo subisce. Questa relaione è una <strong>di</strong>retta conseguenza della 2a !<br />
legge della <strong>di</strong>namica f = m !<br />
a .<br />
Sappiamo infatti che la 2 a legge della <strong>di</strong>namica può infatti essere<br />
scritta nella forma:<br />
[6.15]<br />
!<br />
f = m<br />
!<br />
Calcoliamo, usando la definizione [6.10], il lavoro dL fatto dalla forza<br />
f per spostare un corpo <strong>di</strong> una quantità infinitesima d !<br />
s :<br />
[6.16] d L = !<br />
f ! d !<br />
s = m !<br />
a ! d !<br />
!<br />
d v ! d<br />
s = m !<br />
s<br />
= m<br />
dt<br />
!<br />
v ! d !<br />
v ,<br />
dove si è applicata la definizione <strong>di</strong> velocità<br />
d !<br />
v<br />
dt<br />
!<br />
v =<br />
d !<br />
s<br />
dt .<br />
Integrando la [6.16] sull’intero spostamento ed in<strong>di</strong>cando con A e B il<br />
punto <strong>di</strong> partenza e il punto d’arrivo e con vA e vB i rispettivi valori della velocità:<br />
!<br />
[6.17] L = f ! d ! B<br />
" s = m ! v ! d ! vB " v = 1 2<br />
vB #$ 2 mv % & vA A<br />
v A<br />
= 1<br />
2 mv 2 1<br />
B ' 2 mv 2 (B ) (A)<br />
A = Ecin ' Ecin