x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

Elementi di fisica
risultati saranno diversi. Quanto più brevi sono gli intervalli %si, tanto più
piccola però sarà le variazioni possibili del valore di f e tanto minore sarà di
conseguenza l’errore del risultato finale. In modo matematicamente corretto,
applicando i metodi dell’analisi matematica, si può dimostrare che il limite
dell’espressione [6.8], quando si faccia tendere a zero la lunghezza di
ciascun elemento di percorso %si , tende ad un valore preciso, ben definito,
che i matematici definiscono come l’integrale definito della funzione f sul
percorso da A a B.
In forma matematicamente esatta, possiamo quindi definire il lavoro
effettuato da una forza variabile (quando la forza è parallela allo spostamento)
nel modo seguente:
[6.9]
L = lim$
fi # !si = f ds
!s"0
i
La definizione [6.9], valida quando forza e spostamento
!
sono sempre
paralleli, è immediatamente generalizzabile al caso in cui f e ! !
s hanno direzione
arbitrarie, scrivendo:
[6.10]
L = lim
!s"0
$
!
f i # ! ! s i
i
=
B
%
A
!
f # d ! s
6.6 Forze elastiche e lavoro di una forza elastica.
Un esempio di forza che non si mantiene costante nel corso dello
spostamento, è la forza elastica. Si pensi ad una molla: essa, lasciata libera,
ha una certa lunghezza l0. Applichiamo ad un capo una forza a tirare la
molla; sperimentalmente si osserva che questa si allunga e che
l’allungamento è direttamente proporzionale alla forza applicata. Qualora la
molla venga invece compressa, si osserva un accorciamento anch’esso proporzionale
alla forza applicata. Dal terzo principio della dinamica deduciamo
che la molla esercita su un corpo ad essa collegato una forza, che è direttamente
proporzionale al suo allungamento o accorciamento. Detta x la
variazione di lunghezza rispetto alla lunghezza della molla a riposo l0, la
forza da essa esercitata è dunque:
[6.11] f = – kx
dove k è la costante di proporzionalità, caratteristica della particolare molla.
Una molla “dura” è caratterizzata da un valore elevato di k, una “morbida”
da un valore piccolo di k. Si noti il segno negativo nell’espressione
[6.11]. Esso evidenzia che la forza elastica è una forza di richiamo: la direzione
della forza è cioè opposta alla deformazione x subita dalla molla.
In modo equivalente alla [6.11], se si indica con l la lunghezza effettiva
della molla, essendo l = l0 + x, si può scrivere:
[6.12] f = – k ( l – l0 ) .
B
%
A
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