x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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46 Nicolò Beverini me il prodotto del modulo della forza per la proiezione dello spostamento nella direzione della forza (Fig. 6-1a): [6.2] L = ! f ! ( "s cos# ) ! E’ possibile definire il lavoro eseguito da una forza costante f su un corpo che esegue uno spostamento ! ! s anche in altro modo, come il prodotto del modulo dello spostamento per la proiezione della forza nella direzione dello spostamento (Fig. 6-1b): [6.3] L = ( f cos! )"s ovvero ancora scrivere: [6.4] L = ! f ! " ! s cos# e definire il lavoro come il prodotto del modulo della forza per il modulo dello spostamento, moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso tra le direzioni dei due vettori. E’ evidente che le espressioni [6.2], [6.3], [6.4] sono identiche tra loro e che quindi le tre definizioni sono del tutto equivalenti. Fig. 6-1a Fig. 6-1b La definizione dell’unità di misura di lavoro coerente con il Sistema Internazionale discende immediatamente dalla definizione data sopra: Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del lavoro è il lavoro effettuato da una forza di 1 newton per spostare un corpo di 1 metro. Tale unità prende il nome di joule (simbolo: J). 1 joule =1 N ! 1 m Un’osservazione importante: la grandezza energia cinetica, che abbiamo definita nel § 6.1, è omogenea alla grandezza qui definita come lavoro: le due grandezze si esprimono perciò nelle stesse unità di misura. Se si esegue l’analisi dimensionale della grandezza “energia cinetica”, si constata infatti che l’unità di misura dell’energia cinetica nel Sistema Internazionale è kg ! m 2 " % $ ' = kg ! # s & m s 2 " % $ ' !m = N !m = J . # &
Elementi di fisica 6.3 Il prodotto scalare di due vettori ! L’operazione di moltiplicazione tra i due vettori f e ! ! s che abbiamo usato per definire il lavoro può essere generalizzata per definire il prodotto scalare di due vettori qualunque. ! ! DATI DUE VETTORI a E b , SI DEFINISCE PRODOTTO SCALARE DEI DUE VETTORI LA GRANDEZZA SCALARE CHE SI OTTIENE MOLTIPLICANDO I MODULI DEI DUE VETTORI ED IL COSENO DELL’ANGOLO COMPRESO. In modo equivalente si potrebbe definire il prodotto scalare come la grandezza che si ottiene (si è visto nel paragrafo precedente che è un modo diverso di dire la stessa cosa) moltiplicando il modulo di uno dei vettore per la proiezione dell’altro vettore nella direzione del primo. L’operazione viene indicata simbolicamente a mezz’altezza tra i simboli dei due vettori. Per definizione quindi: ! [6.5] a ! ! b = ! a ! b cos" ! a ! ! b inserendo un punto E’ facile dimostrare che il risultato di questa operazione può essere scritto in termini delle componenti cartesiane ax, ay, az e bx, by, bz dei due vettori nella forma: [6.6] ! a ! ! b = axbx + ayby + azbz Il prodotto scalare è dunque essere esprimibile anche come la somma dei prodotti delle componenti dei due vettori. Dalla definizione [6.5] si ricava che il prodotto scalare di due vettori ha valore massimo quando i vettori sono paralleli (cos 0° = 1), minimo (negativo) se sono antiparalleli (cos 180° = –1) ed è nullo se sono ortogonali (cos 90° = 0). Ritornando alla definizione ! di lavoro, si può concludere che il lavoro eseguito da una forza costante f su un corpo per effettuare uno spostamento ! ! s è definito dal prodotto scalare dei due vettori: [6.7] L = ! f ! " ! s . 6.4 Il lavoro effettuato dalla forza peso. Un caso di un corpo che si muove soggetto ad una forza costante, è, come si è visto nel capitolo precedente, quello di un corpo soggetto alla forza di gravità in prossimità della superficie terrestre. Si consideri dunque un corpo di massa m che, sotto l’azione della forza peso, si sposta lungo la verticale dal punto A al punto B, scendendo di un dislivello %h (Fig. 6-2). La forza m ! g è diretta nella stessa direzione dello spostamento ! ! s e quindi il lavoro è L = ! f ! " ! s = mg "h . 47
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