x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa
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Elementi <strong>di</strong> fisica<br />
6.3 Il prodotto scalare <strong>di</strong> due vettori<br />
!<br />
L’operazione <strong>di</strong> moltiplicazione tra i due vettori f e ! !<br />
s che abbiamo<br />
usato per definire il lavoro può essere generalizzata per definire il prodotto<br />
scalare <strong>di</strong> due vettori qualunque.<br />
! !<br />
DATI DUE VETTORI a E b , SI DEFINISCE PRODOTTO SCALARE DEI DUE<br />
VETTORI LA GRANDEZZA SCALARE CHE SI OTTIENE MOLTIPLICANDO I MODULI<br />
DEI DUE VETTORI ED IL COSENO DELL’ANGOLO COMPRESO.<br />
In modo equivalente si potrebbe definire il prodotto scalare come la<br />
grandezza che si ottiene (si è visto nel paragrafo precedente che è un modo<br />
<strong>di</strong>verso <strong>di</strong> <strong>di</strong>re la stessa cosa) moltiplicando il modulo <strong>di</strong> uno dei vettore per<br />
la proiezione dell’altro vettore nella <strong>di</strong>rezione del primo.<br />
L’operazione viene in<strong>di</strong>cata simbolicamente<br />
a mezz’altezza tra i simboli dei due vettori.<br />
Per definizione quin<strong>di</strong>:<br />
!<br />
[6.5]<br />
a ! !<br />
b = !<br />
a !<br />
b cos"<br />
!<br />
a ! !<br />
b inserendo un punto<br />
E’ facile <strong>di</strong>mostrare che il risultato <strong>di</strong> questa operazione può essere<br />
scritto in termini delle componenti cartesiane ax, ay, az e bx, by, bz dei due<br />
vettori nella forma:<br />
[6.6]<br />
!<br />
a ! !<br />
b = axbx + ayby + azbz Il prodotto scalare è dunque essere esprimibile anche come la somma<br />
dei prodotti delle componenti dei due vettori.<br />
Dalla definizione [6.5] si ricava che il prodotto scalare <strong>di</strong> due vettori<br />
ha valore massimo quando i vettori sono paralleli (cos 0° = 1), minimo (negativo)<br />
se sono antiparalleli (cos 180° = –1) ed è nullo se sono ortogonali<br />
(cos 90° = 0).<br />
Ritornando alla definizione<br />
!<br />
<strong>di</strong> lavoro, si può concludere che il lavoro<br />
eseguito da una forza costante f su un corpo per effettuare uno spostamento<br />
! !<br />
s è definito dal prodotto scalare dei due vettori:<br />
[6.7]<br />
L = !<br />
f ! " !<br />
s .<br />
6.4 Il lavoro effettuato dalla forza peso.<br />
Un caso <strong>di</strong> un corpo che si muove soggetto ad una forza costante, è,<br />
come si è visto nel capitolo precedente, quello <strong>di</strong> un corpo soggetto alla forza<br />
<strong>di</strong> gravità in prossimità della superficie terrestre.<br />
Si consideri dunque un corpo <strong>di</strong> massa m che, sotto l’azione della<br />
forza peso, si sposta lungo la verticale dal punto A al punto B, scendendo<br />
<strong>di</strong> un <strong>di</strong>slivello %h (Fig. 6-2). La forza m !<br />
g è <strong>di</strong>retta nella stessa <strong>di</strong>rezione<br />
dello spostamento ! !<br />
s e quin<strong>di</strong> il lavoro è L = !<br />
f ! " !<br />
s = mg "h .<br />
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