x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa

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36 Nicolò Beverini 0 = ! 1 2 gt 2 + h ( t ! = 2h g . e sostituendo quindi nella prima equazione della [5.20] il valore trovato: x( t ! ) = v0 t ! = v0 2h g . Il valore delle componenti della velocità al momento dell’urto al suolo si può ricavare dalla [5.24]: vx(t')=v0 e vy(t')= ! 2 g h . Il modulo della velocità al momento dell’urto al suolo è quindi 2 2 2 v ( t ! ) = vx + vy = v0 + 2gh . c) Consideriamo ora il caso di un proiettile, che parte sparato da un punto posto al livello del suolo con velocità iniziale di modulo v0 in direzione inclinata di un angolo $ rispetto al piano orizzontale. Si vuole calcolare: 1. a quale distanza arriva il proiettile, supponendo che il punto d’arrivo sia alla stessa altezza del punto di partenza, e con quale velocità; 2. qual è l’altezza massima della traiettoria; 3. qual è la velocità in tale punto del proiettile. Il moto è anche questa volta bidimensionale, nel piano definito dalla direzione della velocità iniziale e dalla verticale. Consideriamo perciò una terna di riferimento cartesiana, con origine nel punto di partenza, in cui l’asse x e l’asse y definiscono tale piano, il primo orientato orizzontalmente, il secondo orientato in direzione verticale verso l’alto. I dati del nostro problema, da inserire nella formula risolutiva, sono dunque: [5.22] ay= 0; ay= – g; x(0)=0; y(0)=0; vx(0)=v0 cos &; vy(0)= v0 sin & La legge del moto ha quindi la forma: [5.23] e la velocità: [5.24] x(t) = v0 cos! t y(t) = " 1 2 gt 2 # % $ + v0 sin! t & % # vx ( t) = v0 cos! $ % vy ( t) = "g t + v0 sin! La risposta alla domanda 1, si può dare calcolando, tramite la seconda equazione della [5.23], quale sia l’istante tf in cui il proiettile arriva al suolo:
0 = ! 1 2 gt 2 f + v0 sin" t f t f = 2 v0 sin! g Elementi di fisica e sostituendo quindi nella prima il valore trovato, si ottiene: x(t f ) = v0 cos! t f = 2 v0 cos! sin! . g ( La risposta alla domanda 2 si può trovare osservando che nel punto più alto della traiettoria la componente verticale della velocità è nulla. Quindi dalla [5.24] l’istante tM in cui il proiettile arriva in tale punto risolve l’equazione: 0 = !g t M + v 0 sin" ( t M = v 0 sin! g e quindi yM = y(t M ) = ! 1 2 gt 2 M + v0 sin" tM = ! 1 2 g v0 2 sin 2 " g 2 + v 2 2 0 sin " = g 1 2 2 v0 sin " 2 g Riguardo la domanda 3, si può osservare che la componente verticale della velocità è nulla; resta quindi solo la componente orizzontale che è costante ed uguale a v0 cos & . 1 5.4 Le forze vincolari: la forza normale Consideriamo un corpo appoggiato su un piano orizzontale (Fig. 5-1). Esso è in condizione di quiete e quindi la risultante delle forze ad esso applicate deve essere nulla. L’azione ! della forza di gravità è dunque bilanciata da una forza uguale e contraria N dovuta all’interazione con il piano, che impedisce al corpo di muoversi verso il basso. Tale forza si dice forza vincolare, poiché essa ha come origine appunto il vincolo imposto al corpo che gli impedisce di muoversi ! nella direzione della normale al piano, o anche forza normale. Il simbolo N , che usiamo in questi appunti per indicare tale forza, ricorda appunto che essa ha direzione normale al piano. Quanto valga effettivamente la forza vincolare dipende dunque dal valore delle altre forze applicate al corpo, Essa è la reazione del piano alla forza agente su di esso causa del corpo appoggiato. Il suo valore è quello giusto per impedire il moto del corpo nella direzione del vincolo. 1 Matematicamente, il punto più alto della traiettoria corrisponde al massimo della funzione y(t). Quindi in tale punto dovrà essere nullo il valore della derivata y’(t), che per definizione è la componente verticale della velocità. 37
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