x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa
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Elementi <strong>di</strong> fisica<br />
e la velocità in funzione del tempo è espressa da:<br />
[5.16]<br />
vx ( t)<br />
= !gt<br />
Il problema richiede <strong>di</strong> calcolare la velocità al momento in cui il corpo raggiunge<br />
il suolo. Tradotto in termini matematici, significa che dobbiamo calcolare<br />
il valore <strong>di</strong> v all’istante t' nel quale x(t')=0. La [5.15] ci fornisce<br />
un’equazione dalla quale si ricava il valore <strong>di</strong> t’:<br />
[5.17]<br />
0 = ! 1<br />
g "<br />
2 t 2 + h ; t " =<br />
Sostituendo il valore calcolato <strong>di</strong> t’ nella [5.14], si ottiene:<br />
[5.18]<br />
vx ( t ! ) = "g t ! = "g<br />
2 h<br />
g<br />
2h<br />
g<br />
= " 2 g h<br />
Il segno negativo del risultato esprime il fatto che la velocità è <strong>di</strong>retta , in<br />
senso contrario all’orientazione dell’asse x e quin<strong>di</strong> verso il basso.<br />
b) Mo<strong>di</strong>fichiamo ora il problema precedente. Supponiamo che il corpo venga lanciato<br />
sempre dall’alto della torre, ma con una velocità iniziale <strong>di</strong> modulo v0 in <strong>di</strong>rezione orizzontale.<br />
Si calcoli a quale <strong>di</strong>stanza dalla base della torre il corpo arriva a terra e<br />
con quale velocità.<br />
Il moto non è ora più uni<strong>di</strong>rezionale, ma bi<strong>di</strong>mensionale, nel piano definito<br />
!<br />
dalla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> v 0 e dalla verticale. Consideriamo perciò una terna <strong>di</strong> riferimento<br />
cartesiana, con origine ai pie<strong>di</strong> della torre, in cui l’asse x sia orientato<br />
!<br />
lungo la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> v 0 e l’asse y in <strong>di</strong>rezione verticale verso l’alto. Essendo<br />
il moto bi<strong>di</strong>mensionale, ci interessano solo queste due componenti.<br />
I dati del nostro problema, da inserire nella formula risolutiva, sono dunque:<br />
[5.19] ax= 0; ay= – g; x(0)=0; y(0)=h; vx(0)=v0; vy(0)=0<br />
Se ne deduce che la legge oraria del moto ha la forma:<br />
[5.20]<br />
e la velocità è:<br />
[5.21]<br />
x(t) = v0t y(t) = ! 1<br />
2 gt 2 "<br />
$<br />
#<br />
+ h<br />
% $<br />
" vx ( t)<br />
= v0 #<br />
$ vy ( t)<br />
= !g t<br />
Il problema chiede a quale <strong>di</strong>stanza dalla torre il corpo arrivi a terra, cioè<br />
qual è il valore che assume la variabile x quando y=0. Per ottenere il risultato<br />
si può ricavare dalla seconda equazione della [5.20] il valore t' per cui y = 0 ,<br />
risolvendo l’equazione:<br />
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