x - Dipartimento di Fisica - Università di Pisa
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[5.7]<br />
t<br />
Elementi <strong>di</strong> fisica<br />
!<br />
v ( t)<br />
= ! " a ( t!<br />
) d t!<br />
+ ! v = 0 ! a d t!<br />
0<br />
t<br />
" +<br />
0<br />
! v = 0 ! at + ! v0 In termini delle componenti vettoriali, in<strong>di</strong>cando con v0x, v0y, v0z le compo-<br />
!<br />
!<br />
nenti del vettore v 0 e con ax, ay, az, le componenti del vettore a , la relazione<br />
vettoriale [5.7] equivale all’insieme <strong>di</strong> tre relazioni scalari:<br />
( ) = axt + v0x ( ) = ayt + v0y ( ) = azt + v0z ! vx t<br />
#<br />
[5.8]<br />
" vy t<br />
.<br />
#<br />
$ vz t<br />
!<br />
Siamo così giunti a determinare la funzione v ( t ) che esprime, nel caso<br />
del moto uniformemente accelerato, la velocità del corpo in funzione del<br />
tempo.<br />
Nel § 3.2 la funzione velocità era stata definita come la derivata della<br />
!<br />
funzione posizione s t<br />
( ) rispetto al tempo. Dalla [3.7] ricaviamo la formula:<br />
[5.9]<br />
d !<br />
s = !<br />
v ( t )dt<br />
!<br />
Si sostituisce in [5.9] la funzione v ( t ) trovata prima nella [5.7] e si integra<br />
nuovamente su tutto l’intervallo <strong>di</strong> tempo tra 0 e t. L’integrale del<br />
primo membro d ! !<br />
s (t )<br />
!<br />
! s dà lo spostamento totale s ( t ) ! !<br />
s ( 0).<br />
Si ottiene quin<strong>di</strong>,<br />
!<br />
s (0)<br />
svolgendo gli integrali:<br />
[5.10]<br />
!<br />
s ( t ) ! !<br />
s 0<br />
( ) =<br />
t<br />
#<br />
0<br />
!<br />
v ( t " )d t " =<br />
che, in<strong>di</strong>cando con x ( t ), y ( t ), z ( t ) le componenti del vettore<br />
t<br />
#<br />
0<br />
!<br />
a t " + !<br />
( v 0 )d t " = 1 !<br />
a t<br />
2<br />
2 + !<br />
v 0t<br />
!<br />
s ( t ), equivale a:<br />
t<br />
x(t) ! x(0) = v t"<br />
x ( )d t " = # ( a t " +v x 0x )d t"<br />
=<br />
0<br />
[5.11]<br />
1<br />
2 axt 2 t<br />
#<br />
+v t 0x<br />
0<br />
t<br />
y(t) ! y(0) = v t"<br />
y ( )d t " = # ( a t " +v y 0y )d t"<br />
=<br />
0<br />
1<br />
2 ayt 2 t<br />
#<br />
+v t 0y<br />
0<br />
t<br />
t<br />
z(t) ! z(0) = # v t"<br />
z ( )d t " = # ( a t " +v z 0z )d t"<br />
=<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2 azt 2 $<br />
&<br />
&<br />
&<br />
%<br />
.<br />
&<br />
&<br />
&<br />
+v t 0z<br />
&<br />
'<br />
!<br />
In<strong>di</strong>cando con s 0 = !<br />
s ( 0),<br />
<strong>di</strong> componenti x0,y 0,z 0 il valore del vettore<br />
posizione all’istante iniziale t=0, possiamo quin<strong>di</strong> concludere che la legge<br />
oraria del moto <strong>di</strong> un corpo soggetto ad accelerazione costante (moto uniformmemente<br />
accelerato) è in generale della forma:<br />
[5.12]<br />
!<br />
s ( t ) = 1 !<br />
a t<br />
2<br />
2 + !<br />
v 0t + !<br />
s 0<br />
che equivale, in termini delle coor<strong>di</strong>nate spaziali del corpo:<br />
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